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Méthode semi graphique d’addition Méthode semi graphique d’addition d’ondes. La méthode d’ondes. La méthode trigonométriquetrigonométrique n’est pas commode dans le cas de 3 n’est pas commode dans le cas de 3 sources ou plus, ou si les amplitudes sources ou plus, ou si les amplitudes
sont différentes.sont différentes.
1
Les vecteurs de Fresnel (section 7.5)
Interférence à N fentes Position des maxima principaux
Position des minima
Position des maxima secondaires
Illustrations
Intensité de la figure de diffraction (section 7.6)
2
Méthode
1. Chaque onde est représentée par un vecteur tournant (avec une vitesse angulaire appelé vecteurs de Fresnel.
2. La projection sur l’axe vertical représente la variation de la grandeur physique.
3. Additionner 2 ondes (ou plus) équivaut à faire la somme de deux vecteurs formant un angle entre eux.
4. L’amplitude de l’onde résultante sera la longueur du vecteur résultant (utilisation de la loi des cosinus ou des composantes).
3
4
Illustration
−1
−0,5
0
0,5
1
τ
π 2π3π2π2
π 2
π 2
π
Il s’agit d’additionner 2 ondes de même amplitude et de même fréquence angulaire . Ici, les vecteurs de Fresnel sont les champs électriques.
5
E
t
ER
Pour faciliter la tache, on suppose E1 = 0 à t = 0 s , alors: ER = E1 + E2
La solution recherchée est de la forme : ER = E0R sin ( t + )
Avec la loi des cosinus on obtient:
E1=E0sin t
E2=E0sin(t+φ)
E0 R= E0
2 + E02 + 2 E0
2 cos ( φ ) = 2E02(1+cos(φ))
rE01
rE02
rE0R
6
On sait que: 1 + cos = 2 cos2 ( /2) (p. 295) et comme Io est proportionnel à E 2
0R on obtient:
Ici, et
Alors:
I =4I0cos
2 φ2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
φ=
2πδλ δ =dsin
φ=
2πdsinλ
7
8
Conditions: 3 fentes identiques (source en phase).
Remarques:
1. Les positions des maxima principaux sont les mêmes indépendamment du nombre de fentes.
2. Plus le nombre de fentes ( N ) augmente, plus les maxima principaux sont étroits et intenses.
3. Pour N > 2, on remarque la présence de maxima secondaires.
9
En un point sur l’écran, les champs proviennent de fentes adjacentes et ont une différence de phase de :
φ=
2πdsinλ
10
E
t
ER
Pour construire la figure de distribution d’intensité, on trace les diagrammes pour diverses différence de phase .
rE0R
rE03
rE02
rE01
E2=E0sin(t+φ)
E1=E0sint
E3=E0sin(t+ 2φ)
11
Lorsque toutes les ondes sont en phase.
Soit = 0, 2π, 4π, 6π……
E0 E0E0
E0R = 3E0
Puisque l’intensité est proportionnelle au carré de l’amplitude on obtient: I = 9 I0.
12
Pour obtenir E0 = 0, la figure doit se refermer
E0
E0E0
Première possibilité
E0
E0E0
Deuxième possibilité
Remarque: Il existe ( N – 1) minima entre 2 maxima principaux.
φ=2π
3
φ=4π
3
13
Lorsque = π.
E0
E0E0
E0R = E0
Alors I = I0
14
Positions des maxima principaux Soit = 0, 2π, 4π, 6π……
Intensité des maxima principaux I = N 2 I0
Positions des minima (N.B. Il existe (N – 1) minima entre deux maxima principaux)
Soit = 2π ; 4π ; 6π ……(maximum principal lorsque = 2π) …2π + 2π ; 2π + 4π ; 2π + 6π …… (maximum principal lorsque = 4π) ….
Positions des maxima secondaires (Environ à mi-chemin entre 2 minima et au nombre de (N – 2) entre 2 maxima principaux)
Soit = 3π ; 5π ; 7π ……(maximum principal lorsque = 2π) …2π + 3π ; 2π + 5π ; 2π + 7π …… (maximum principal lorsque = 4π) ….
N.B. Il y a une limite ( = 90°) 15
N = 2
N = 3
N = 416
Deux sources
Trois sources
Quatre sources
I =I 0 sin
2 (Nφ 2)
sin2 (φ 2) 17
Utilisation des phaseurs pour calculer l’intensité de la figure de diffraction.
On divise la largeur a de la fente en N sources ainsi la distance d entre 2 sources adjacentes est:
et la différence de marche δ entre 2 rayons adjacents devient:
Ce qui correspond à une différence de phase associée à cette différence de marche:
d =
aN
δ =dsin
φδ =
2πdsinλ
Si Ao est l’amplitude due à une source unique, l’amplitude au centre de l’écran est maximale, ainsi:
Amax = N Ao
Ao Ao Ao Ao Ao Ao
Amax
Pour N très grand, l’arc de cercle sous-tendue par l’angle est: N Ao = Amax
Ainsi; r = N Ao = Amax
/2
/2
Alors:
=N φ
A=Amax
sin 2
2
sin
2=
A / 2r
A=2 r sin
2
Puisque:
alors:
avec:
Remarque: est la différence de phase entre 2 rayons extrêmes.
I ∝ A2
I =I0sin
2
2
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
2
=
2 πλ
asin
Lorsque: a sin =mλ ( m = 1, 2, . ...)
Lorsque:
C’est-à-dire, pour:
Position des maxima secondaires:
Intensité des maxima secondaires:
Remarque: 93% de l’intensité se retrouve dans le pic central.
2
= tanα
2
=2,86 π , 4,92 π , 6,94 π
I =0,047 I 0 , 0,017 I 0 ,0,008 I 0
d I
d =0
Lorsqu’on observe une figure d’interférence à 2 fentes (ou plus), ce que l’on observe sur l’écran est une combinaison d’une figure de diffraction (due à la largeur d,une fente) et une figure d’interférence à 2 fentes.
L’intensité peut être obtenue à partir de la figure d’interférence à 2 fentes, en remplaçant l’intensité de chaque ( I 0) par l’intensité due à la diffraction, on obtient:
I =4I 0sin
2
2
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
2
cos2 (φ 2)
Aucun exemple
Aucune question
Faire l’exercice 23
Faire le problème 3
25