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Modélisation et simulation par éléments finis : exercice 7 corrigé

J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2011 p. 1 / 18

SIMULATION ELEMENTS FINIS : Méthodologie et corrigé exercice 7

J. Cugnoni, LMAF/ EPFL, 2011

Le présent document :

décrit la méthodologie recommandée pour la réalisation d’une étude par éléments finis (ou autre

modélisation)

sert de « check-list » lors de la réalisation d’études

contient le rapport d’étude correspondant à l’exercice 7 : piston en charge statique et fatigue



Méth

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Rapport d’étude

Exercice 7 : Méthodologie, post-traitement et analyse

Dimensionnement d’un piston

11.05.2011

Joël Cugnoni, LMAF/EPFL, [email protected]

1. But de l'étude

1.1 Objectifs

Le but de cette étude est de dimensionner un piston sur la base d’un cas de charge statique donné et des critères de dimensionnements suivants :

1) Ovalisation maximale de la tête de piston < 5 microns

2) Contrainte équivalente maximale < limite élastique / facteur de sécurité

3) Limite d'endurance à la fatigue > 1e8 cycles

1.2 Type d'analyse

L’étude se basera sur une analyse statique des contraintes et déformations correspondantes à un cas de charge maximal du piston en conditions réelles (approche cinéto-statique).

1.3 Méthodologie

Nous disposons de la géométrie CAO au format STEP ainsi que d’une description du cas de charge de dimensionnement, des critères à appliquer et des propriétés du matériau. Le cahier des charges (donnée du problème) contient donc tous les éléments nécessaires à la réalisation de l’étude. Les données fournies sont placées en annexe de ce document.

Pour remplir les objectifs de l’étude, l’approche suivante est appliquée :

1) réalisation d’un premier modèle avec maillage non - optimal

2) localisation des zones à raffiner et réalisation d’un maillage optimisé

3) étude de convergence sur les résultats pertinents (contraintes max)

4) extraction des résultats et analyse des critères de dimensionnement

A chaque étape toutes les hypothèses de modélisation sont documentées et présentées



dans le présent rapport.

2. Hypothèses Géométriques

2.1 Présentation de la géométrie

La géométrie CAO nous est fournie dans le fichier « piston.stp ».

Géométrie du Piston

2.2 Système d'unités utilisé

La géométrie est donnée en « mm », nous travaillerons donc dans le système d’unités consistantes « mm-N-tonne-MPa-mJ ».

2.3 Assemblage / configuration

Nous travaillons ici avec une seule pièce, la configuration d’assemblage n’est donc pas importante. Par simplicité, nous travaillerons directement donc dans le système de coordonnées de la géométrie importée.

2.4 Dimensions caractéristiques

A titre d’information, les grandeurs caractéristiques de la pièce sont données dans le tableau suivant.

Grandeur Valeur Unité

Diamètre 55 mm

Longueur 65 mm

Volume 38’435 mm3

Masse 1.04e-004 tonne

2.5 Symétries du problème

La géométrie du piston présente un plan de symétrie et le cas de charge également. Le



problème possède donc un plan de symétrie et nous allons utiliser cette propriété pour ne modéliser que la moitié de la pièce comme présenté ci-dessous :

Géométrie modélisée, y compris symétries

2.6 Espace de modélisation géométrique

La géométrie donnée ne peut pas être simplifiée plus encore, une modélisation en 3D reste nécessaire (impossible à traiter en axisymmétrique, contrainte ou déformation plane).

3. Hypothèses de comportements physiques

3.1 Descriptions des matériaux

Le piston est constitué d’une fonte d’aluminium dont les propriétés mécaniques nous sont fournies.

3.1.1 Modèle(s) de comportement physique(s)

Le comportement mécanique de la fonte d’aluminium est considéré comme linéaire élastique et isotrope.

3.2 Propriétés constitutives

Propriété Valeur Unité

Module de Young 75’000 MPa

Coef. de Poisson 0.33 -

Densité (*) 2700e-12 tonne/mm3

(* utilisé uniquement pour le calcul de masse de la pièce, valeur approximative tirée de Matweb.com)



3.3 Sections:

S’agissant d’une modélisation 3D, nous utilisons des « sections » 3D avec matériau homogènes.

3.4 Assignation des comportements

Le piston n’est constitué que d’un seul matériau. Le matériau / section « aluminium » est donc assigné à toute la pièce.

4. Hypothèses de chargements

4.1 Modèle de conditions limites

Les conditions limites fournies dans le cahier de charge sont :

1) déplacement radial = 0 sur l’alésage d’axe de piston

2) pression uniforme imposée = 0.1 [MPa] sur la face supérieure du piston

4.2 Conditions de symétries

La symétrie physique du problème est imposée en bloquant les déplacements normaux sur le plan de symétrie.

4.3 Modes de corps rigides

En utilisant les conditions limites précédentes, le modèle possède encore un mode de corps rigide : rotation autour de l’axe. Comme la ligne d’action de la charge est alignée avec l’axe du piston, il n’y a en principe aucun moment autour de l’axe du piston. Nous pouvons donc bloquer ce mode de corps rigide arbitrairement sans introduire d’hypothèse additionnelle. En réalité, le piston se trouve maintenu par des appuis élastiques fournis par les segments. Cependant nous choisissons ici de bloquer le déplacement circonférentiel d’un seul nœud du piston pour supprimer ce mode de corps rigide.

4.4 Systèmes de coordonnées

Nous utilisons 2 systèmes de coordonnées : le système cartésien de la pièce (référentiel global) pour les symétries et un système cylindrique centré sur l’axe pour les conditions de support radial et le blocage circonférentiel.

4.5 Distribution spatiale / temporelle

Distribution spatiale de pression : uniforme, pas d’évolution temporelle des conditions limites

4.6 Si transitoire: conditions initiales...

Pas de transitoire, juste une analyse statique



Au final nous obtenons, les conditions limites suivantes :

Conditions limites et charges

5. Hypothèses de discrétisation [Maillage(s)]

A) Maillage initial

5.1 Choix du type d'éléments finis

Le but de cette étude étant d’obtenir une bonne approximation des déplacements et contraintes en élasticité linéaire en un temps limité, nous choisissons dans un premier temps d’utiliser des éléments tétraédriques quadratiques (intégration exacte).

5.2 Méthode(s) de maillage

Pour ce premier maillage, nous utilisons un algorithme de maillage tétraédrique libre

5.3 Taille / Nbre d'éléments

la taille globale des éléments est fixée à 2.5 mm

aucun raffinement local n’est utilisé pour cette première itération

le maillage initial comporte 19303 nœuds et 10860 éléments tétra. quadratiques C3D10M



Maillage initial

B) Maillage raffiné 1

5.4 Convergence de maillage

Après une première résolution avec un maillage sommaire, nous avons identifié les zones à raffiner : la jonction interne entre la tête de piston et la partie cylindrique (angle vif). Le maillage raffiné est décrit dans les sections suivantes :


On utilise encore des tétraèdres quadratiques dans ce deuxième maillage pour des raisons de temps de préparation de maillage.


On conserve l’utilisation de maillage tétra. libre.


la taille globale des éléments est fixée à 3 mm

la pièce est partitionnée pour permettre un raffinement local proche de la tête de piston.

Sur toutes les arêtes proche de la tête de piston, on impose une taille d’élément = 1.25 mm

le maillage raffiné comporte 49305 nœuds et 30596 éléments tétra. quad. C3D10M



Maillage raffiné localement

C) Maillage raffiné 2

5.5 Convergence de maillage

On reprend le maillage raffiné 1 (B) et on réduit encore la taille d’éléments dans la zone à raffiner


On utilise là encore des tétraèdres quadratiques.


On conserve l’utilisation de maillage tétra. libre.


la taille globale des éléments est fixée à 3 mm

on garde le partitionnement précédent

sur toutes les arêtes proche de la tête de piston, on impose un taille d’élément = 1mm

le maillage raffiné comporte 74700 nœuds et 47576 éléments tétra. C3D10M



Maillage raffiné 2

6. Type de Problème / Résolution

6.1 Type de problème résolu

Nous réalisons une analyse de statique linéaire. L’équation différentielle (forme forte) du

problème représente l’équilibre local des contraintes en tout point x du modèle.

Forme forte : f

En utilisant la méthode des éléments finis, cette équation différentielle est transformée en un système d’équation de la forme suivante :

Système d’équation discret : K u = f

Le vecteur de déplacement u est obtenu alors en factorisant la matrice de rigidité du système K puis en inversant le système.

6.2 Options de résolution

On utilise le solveur linéaire par défaut. Pas d’options particulières.

6.3 Résultats calculés

Les grandeurs suivantes sont calculées (entre autres) :

Champ vectoriels : déplacements U, forces de réaction RF

Champs tensoriels : contraintes S, déformations E

ainsi que leurs invariants : contraintes équivalentes de Von Mises, valeurs principales etc..



6.4 Non linéarités

Il n’y a pas de non linéarité dans ce problème (matériau linéaire élastique et petites déformations.

7. Etude de convergence de maillage

7.1 Critère

Pour évaluer la convergence du maillage, on extrait et compare les grandeurs suivantes :

1) déplacement maximal sur la tête de piston

2) contrainte eq. Von Mises maximale

7.2 Résultat du maillage initial

En utilisant le premier maillage « grossier », nous obtenons les résultats suivants :

Déplacement maximal sur la tête de piston : 4.191e-3 mm

Champs de déplacement calculé sur le 1er maillage (A)

Contrainte max Von Mises :

o Maximum = 8.72 MPa situé sur un seul point le long de l’arête vive à la jonction entre la tête de piston et la partie cylindrique du piston (concentration de contraintes)

o Valeur max au pt d’intégration sur cette zone (arête vive) ~= 4.2 MPa.

o On note donc un gros écart entre les valeurs max au points d’intégration et maximales aux nœuds sur cette arête. Il faut donc raffiner le modèle dans cette zone.



Champ de contrainte équivalente calculé sur le 1er maillage

Zones à raffiner : en visualisant les discontinuités de contraintes, on constate à nouveau que l’angle vif situé entre la tête de piston et l’intérieur de la partie cylindrique doit être raffiné en priorité.

Discontinuité de contraintes équivalentes sur le 1er maillage

7.4 Maillage raffiné localement Voir section maillage (5B)

7.5 Résultats pour le maillage raffiné

Déplacement maximal sur la tête de piston : 4.198e-3 mm

Contraintes eq. Von Mises :

o valeur maximale aux nœuds 6.445 MPa proche de l’angle droit entre tête de piston et zone cylindrique

o valeur max aux points d’intégration dans cette région de forte contrainte ~=



6.7 MPa

o L’écart entre valeur max et moyenne est réduit. Le maillage semble proche de la convergence dans cette région critique

7.6 Estimation d’erreur relative & discussion

écart relatif en déplacement :

o l’écart relatif entre les déplacements obtenu avec les deux maillages est très faible ; ecart relatif = (4.198e-3 - 4.191e-3 mm) / 4.191e-3 mm = 0.16% : on a clairement convergé pour le déplacement global

écart relatif en contraintes von Mises :

o écart relatif en contrainte maximale aux noeuds est très important du fait du maillage initial très grossier et de la forte concentration: écart relatif = (8.7 – 6.4)/6.4 = 36 % !!!

o l’écart relatif en contraintes max aux points d’intégration est également élevé ~= 36 %

o par contre l’écart entre valeur de contrainte max aux nœuds et max aux points d’intégration dans la zone de concentration est fortement réduit avec le maillage raffiné. On passe en effet de 8.7-4.2 = 4.5 MPa à env. 6.4 – 6.7 = 0.3 MPa. Ce second maillage semble donc donner des résultats bien plus homogènes (meilleure approximation des concentrations de contraintes).

3eme itération de raffinement (maillage C):

o comme la convergence en contrainte n’est pas triviale dans notre cas (angle vif = concentration de contrainte asymptotique), on lance un 3ème calcul avec un maillage plus fin dans la zone d’intérêts (taille = 1mm, 75000 noeuds). On obtient une contrainte maximale aux nœuds = 7.6 MPa relativement localisée et une valeur de contrainte max aux points d’intégration = 7.1 MPa.

Graphe de convergence en contraintes:

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000

Nb noeuds

Co

ntr

ain

te e

q. M

ise

s

Contrainte max au nœuds

Contrainte max au pts d'intégration



En comparant les 3 maillages, on constate donc que la valeur de contrainte max aux points d’intégration converge autour de 7.1 MPa, alors que la contrainte max aux nœuds oscille fortement. Il s’agit d’un cas typique de problème de convergence en contraintes en présence d’angles vifs. Les angles vifs génèrent des concentrations de contraintes importantes et sont difficiles à capturer par éléments finis. Dans ce cas précis, il vaut mieux utiliser les valeurs obtenues aux points d’intégration sur un maillage fin et surtout prendre en compte un facteur de sécurité suffisant pour couvrir l’incertitude des résultats obtenus.

Par la suite, nous utiliserons donc les résultats obtenus sur le 3ème maillage ( C ) qui semble donner les résultats les plus consistants. Pour l’évaluation des contraintes et l’analyse, nous utiliserons les valeurs maximales obtenues aux points d’intégration majorées de 10%

8. Résultats

8.1 Contraintes

Le champ de la contrainte équivalente de von Mises est représenté dans les figures suivantes.

Contraintes eq. Von Mises dans la pièce

On constate rapidement la forte concentration de contraintes dans les angles vifs situés à la jonction de la tête de piston et les flancs ainsi que la distribution linéaires des contraintes dues à la flexion de la tête de piston. La contrainte équivalente max. aux nœuds est de 7.67 MPa alors que la contrainte équ. max au points d’intégration est de l’ordre de 7.1 MPa.



Vue locale de la zone de concentration de contrainte critique

Vue en coupe montrant la distribution des contraintes liées à la flexion de la tête de piston (contraintes liées à la flexion ~4.5 – 5 MPa )

8.2 Déformée

Les figures qui suivent représentent les déplacements calculés avec le modèle raffiné 2 ( C ). On note particulièrement un déplacement max (flexion) de la tête de piston de l’ordre de 4.2e-3 mm = 4.2 microns pour le cas de charge donné.



Déformée globale du modèle

Le graphe suivant montre clairement le profil parabolique de la déformée de la tête de piston (déplacement Z = U3) sous charge, avec un « extrema » à env -4.2 microns au centre de la tête de piston (graphe selon la ligne B-B dans la donnée).

8.3 Ovalisation

Pour évaluer l’ovalisation du piston, les déplacements latéraux des points diamétraux A et B ont été extraits (par Probe Values):



1) Déplacement X (=U1) au point A = +/- 3.7e-4 mm

soit un changement de diamètre de ~ +7.4e-4 mm

2) Déplacement Y (=U2) au point B = +/- 2.9e-4 mm

soit un changement de diamètre de ~ +5.8e-4 mm

9. Analyse & conclusions

9.1 Résumé des résultats calculés

Lors de cette étude, nous avons calculé les champs de contraintes équivalente et la déformée en tout point du modèle. Pour évaluer les critères de dimensionnement demandés, nous avons besoin de :

a) changement de diamètre / ovalisation du piston sous charge

b) contrainte équivalente maximale

L’extraction de valeurs précises des déplacements n’a posé aucun problème dans ce cas, leur convergence étant très rapide lorsqu’on raffine le maillage. Cependant, les contraintes sont malheureusement beaucoup plus difficiles à évaluer à cause de fortes concentrations sur des arêtes vives et le maillage peine à converger dans ce genre de cas. Nous avons constaté que la valeur de contraintes équivalentes aux nœuds ne se stabilise pas. A l’opposé, les valeurs calculées aux points d’intégration convergent progressivement vers env 7.1 MPa. Ainsi, pour la suite, nous choisissons d’utiliser la valeur de contrainte aux points d’intégration pour le dimensionnement. Pour compenser l’incertitude sur la contrainte calculé, nous ajoutons également un facteur de sécurité de 10% à la valeur calculée pour obtenir finalement une contrainte équivalente de « design » égale à 7.81 MPa .

9.2 Pertinence / précision des résultats? causes d'incertitude majeures?

Comme mentionné ci-dessus, la principale cause d’incertitude des résultats obtenus vient de la difficulté à calculer précisément les contraintes dans des « coins » et autre angles vifs exhibant de forte concentration de contraintes. La géométrie, les propriétés de matériaux et les charges sont toutes données dans le cahier de charge, il n’y a donc pas lieu de reconsidérer leur validité pour cette étude de dimensionnement.

9.3 Critères et analyse

A partir des données calculées, nous pouvons maintenant vérifier chaque critère de dimensionnement demandé :

Critère d’ovalisation maximale : D’après nos calculs, le changement maximal de diamètre du piston sous charge est de l’ordre de 0.74 microns. Nous sommes donc largement au dessous de la tolérance admise de 5 microns. Ce critère est donc vérifié.

Critère de contrainte élastique maximale : La valeur de contrainte de design calculée est de 7.81 MPa. En considérant un

facteur de sécurité Sf de 1.5 et une limite élastique e = 180 MPa, la contrainte maximale admissible est de 180/1.5 = 120 MPa. On constate rapidement que la



contrainte maximale calculée est bien loin de la contrainte maximale admissible. Ce critère est donc également vérifié. On note que l’incertitude qui plane sur la valeur de contrainte n’affecte aucunement cette conclusion.

Critère de durée de vie en fatigue : Le nombre de cycles de charge de pression entre 0 et 0.1 MPa avant rupture doit être supérieur à 1e8 cycles. Les extrema de contraintes équivalentes de von Mises correspondant à ce cycle sont respectivement 0 et 7.81 MPa. Dans notre cas, le rapport de charge R est nul car R = contraintes minimale / contrainte maximale. La courbe de fatigue donnée en annexe correspond également à un test effectué pour un rapport de charge R = 0. Nous pouvons donc directement comparer les contraintes calculées avec les limites données dans la courbe de fatigue. En se référant à la courbe de fatigue, la limite d’endurance à 1e8 cycles (contrainte max) est de ~25 MPa. En considérant à nouveau un facteur de sécurité de 1.5, nous avons une contrainte maximale admissible à la fatigue de 25/1.5 = 16.6 MPa. On constate là encore que la contrainte maximale calculée reste significativement inférieure à la contrainte admissible en fatigue. Ce dernier critère est donc également vérifié. La durée de vie peut être estimée en recherchant dans la courbe de fatigue S-N le point où la contrainte atteint 7.81 MPa. On note que pour ce matériau, ce point se situe au-delà des données disponible, soit au-delà de 1e10 cycles. On note que l’incertitude qui plane sur la valeur de contrainte réelle n’affecte également pas cette conclusion.

9.4 Conclusion:

Au vu des résultats calculés dans cette étude, nous pouvons conclure que le design actuel de la pièce satisfait largement les critères de conceptions considérés même en prenant en compte la relative incertitude des contraintes calculées (effet d’entaille / arête vive).

9.5 Recommandations

Cependant au vu des fortes concentrations de contraintes constatées sur l’angle vif liant la tête de piston aux flans cylindriques, nous recommandons de considérer l’ajout d’un léger filet à cet endroit. Il est d’ailleurs fort probable que pour des raisons d’usinage, un faible rayon existe en réalité à cet endroit. Cette modification devrait significativement baisser le risque d’apparition de fissures de fatigue à cet endroit.

10. Annexes

Joint à ce document : Donnée du problème et propriétés de matériaux

Documents

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