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Robot Scara IBM
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n1
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Ma
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ille
Ce
de
x 2
0
comporte 5 corps (C0→C4), reliés
par 4 liaisons (L0→L4).
trois articulations rotoïdes (R) et
une articulation prismatique (P).
Les actionneurs (moteurs électriques)
sont embarqués, situés sur le bras i-1
pour commander le bras i (sauf 4).
L’axe 4 a une amplitude illimitée
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Ce
de
x 2
0
Indice de mobilité :
M = 6 n - Σ m . Nm
Avec:
m la classe de la liaison : m = 6 - ddl
Nm le nombre de liaisons de classe m.
n le nombre de corps.
Dans notre cas: n = 4
M = 24 - (5×4) = 4
Nombre de degrés de liberté :
Désigne les possibilités de déplacement indépendamment de
l'objet manipulé par rapport au repère initial lié à sa base.
Nombre de degrés de liberté : 4.
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Ce
de
x 2
0
480 mm320 mm
651 mm
240 mm
411 mm
20 °
270 mm
800 mm
540° 295° 340°
Volume de travailRayon minimum 0.27 m
Rayon maximum 0.8 m
Volume engendré 0.4 m3
Angle de balayage de l’axe 1 340°
Angle de balayage de l’axe 2 295°
Angle de balayage de l’axe 4 540°
Course verticale de l’axe 3 0.24 m
vue de dessusvue de profil
240 mm
540 mm
800 mm
Volume de travail du robot SCARA
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Ce
de
x 2
0
Conventions : Corps j : Cj, Articulation j : qj,
Les corps sont supposés parfaitement rigides,
connectés par des articulations idéales (pas de jeu mécanique,
pas d'élasticité).
On lie le repère Rj au corps Cj.
L'axe zj de celui-ci est porté par l'axe de l'articulation j.z2
z3
C0
C1C2
C3
C4
z1
x1
z4
x2
x4
x4
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de
x 2
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Le repère R j est défini comme suit :
- l'axe zj est porté par l'axe de l'articulation j,
- l’axe xj est porté par la perpendiculaire commune
aux axes zj et zj+1.
Ici les axes zi sont colinéaires.
Passage de Rj-1 à R j fonction de quatre paramètres :
•αj : l'angle entre les axes zj-1 et zj (rotation autour de xj-1)
•dj : la distance entre les axes zj-1 et zj le long de xj-1
•θj : l'angle entre les axes xj-1 et xj (rotation autour de zj)
•rj : la distance entre les axes xj-1 et xj le long de zj
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Ce
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Paramètres géométriques pour une structure ouverte simple
θj
αj
dj
σσσσj = 0 si l’articulation est rotoïde,
σσσσj =1 si l’articulation est prismatique.
La variable articulaire
qj associée à
l’articulation j, est
soit θj soit rj , selon
que la dite
articulation est
rotoïde ou
prismatique. Cela se
traduit par la relation
:
qj = (1 - σσσσj )θθθθj + σσσσj rj
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de
x 2
0
θj
αj
dj
j
j j j j j
j j j
j j j j j j j
j j j j j j j
T Rot X Trans X d Rot Z Trans Z r
Cos Sin d
Cos Sin Cos Cos Sin r Sin
Sin Sin Sin Cos Cos r Cos
− =
=
−
− −
1
0
0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )α θ
θ θ
α θ α θ α α
α θ α θ α α
La matrice de
transformation qui
définit le repère Rj
dans Rj-1
est donnée
par :
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Ce
de
x 2
0
Paramètres géométriques du robot (Denavitt - Hartemberg) :
j 1 2 3 4
σσσσ j0 0 1 0
αj0 0 0 0
dj 0 d1 d2 0
θj θ1 θ2 0 θ4
rj 0 0 r 0
Où d1 et d2 sont des
constantes
et r une variable.
z0 , z1
y0 , y1 x0 , x1
z2
y2
x2
z3 , z4
x3 , x4y3 , y4
d1
d2
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de
x 2
0
Paramètres géométriques du robot (Denavitt - Hartemberg) :
z0 , z1
y0 , y1 x0 , x1
z2
y2
x2
z3 , z4
x3 , x4y3 , y4
d 1
d 2
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Ce
de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Direct :
Le modèle géométrique direct (MGD) est l’ensemble des
relations qui permettent d’exprimer la situation de l’organe
terminal du robot en fonction de ses coordonnées articulaires.
Pour cela, le calcul du MGD implique de calculer les matrices
de transformation de l’organe terminal.
Ainsi, à partir du tableau DH et compte tenu des matrices de
transformation homogène étudiées, nous écrivons les matrices
de transformation homogènes élémentaires iTi+1 de notre robot.
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x 2
0
Le Modèle Géométrique Direct :
C1 -S1 0 0
S1 C1 0 0 0T1 = 0 0 1 0
0 0 0 1
Notations :
⇒ Ciet S
idésignent respectivement le cosinus et le sinus de la variable θ
i
j
j j j j j
j j j
j j j j j j j
j j j j j j j
T Rot X Trans X d Rot Z Trans Z r
Cos Sin d
Cos Sin Cos Cos Sin r Sin
Sin Sin Sin Cos Cos r Cos
− =
=
−
− −
1
0
0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )α θ
θ θ
α θ α θ α α
α θ α θ α α
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0
Le Modèle Géométrique Direct :
C2 -S2 0 d1
S2 C2 0 0 1T2 = 0 0 1 0
0 0 0 1
j
j j j j j
j j j
j j j j j j j
j j j j j j j
T Rot X Trans X d Rot Z Trans Z r
Cos Sin d
Cos Sin Cos Cos Sin r Sin
Sin Sin Sin Cos Cos r Cos
− =
=
−
− −
1
0
0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )α θ
θ θ
α θ α θ α α
α θ α θ α α
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de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Direct :
1 0 0 d2
0 1 0 0 2T3 = 0 0 1 r
0 0 0 1
j
j j j j j
j j j
j j j j j j j
j j j j j j j
T Rot X Trans X d Rot Z Trans Z r
Cos Sin d
Cos Sin Cos Cos Sin r Sin
Sin Sin Sin Cos Cos r Cos
− =
=
−
− −
1
0
0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )α θ
θ θ
α θ α θ α α
α θ α θ α α
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de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Direct :
C4 -S4 0 0
S4 C4 0 0 3T4 = 0 0 1 0
0 0 0 1
j
j j j j j
j j j
j j j j j j j
j j j j j j j
T Rot X Trans X d Rot Z Trans Z r
Cos Sin d
Cos Sin Cos Cos Sin r Sin
Sin Sin Sin Cos Cos r Cos
− =
=
−
− −
1
0
0 0 0 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )α θ
θ θ
α θ α θ α α
α θ α θ α α
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x 2
0
Le Modèle Géométrique Direct :
C1 -S1 0 0
S1 C1 0 0 0T1 = 0 0 1 0
0 0 0 1
C2 -S2 0 d1
S2 C2 0 0 1T2 = 0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 d2
0 1 0 0 2T3 = 0 0 1 r
0 0 0 1 C4 -S4 0 0
S4 C4 0 0 3T4 = 0 0 1 0
0 0 0 1
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Le Modèle Géométrique Direct :
Notations :
⇒ Ciet S
idésignent respectivement le cosinus et le sinus de la variable θ
i
⇒ Cij
= cos( θi+ θ
j), S
ij= sin( θ
i+ θ
j)
1 0 0 d2
0 1 0 0
0 0 1 r
0 0 0 1
C4 -S4 0 0
S4 C4 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x
2T4 =
2T3 ×
3T4 =
C4 -S4 0 d2
S4 C4 0 0
2T4 =
2T3 ×
3T4 = 0 0 1 r
0 0 0 1
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Le Modèle Géométrique Direct :
C2 -S2 0 d1
S2 C2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x
C4 -S4 0 d2
S4 C4 0 0
0 0 1 r
0 0 0 1
C24 -S24 0 d2C2+d1
S24 C24 0 d2S2 1T4 =
1T2 ×
2T4 = 0 0 1 r
0 0 0 1
1T4 =
1T2 ×
2T4 =
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Le Modèle Géométrique Direct :
x
C1 -S1 0 0
S1 C1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C24 -S24 0 d2C2+d1
S24 C24 0 d2S2
0 0 1 r
0 0 0 1
C124 -S124 0 d1C1+d2C12
S124 C124 0 d2S1C2+d1S1+d2C1S2 0T4 =
0T1 ×
1T4 = 0 0 1 r
0 0 0 1
0T4 =
0T1 ×
1T4 =
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de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Inverse :
Le MGD du robot permet de calculer les coordonnées
opérationnelles en fonction des coordonnées articulaires. Le
problème inverse consiste à calculer les coordonnées articulaires
qui amènent l’organe terminal dans une situation désirée,
spécifiée par ses coordonnées opérationnelles. Cette opération
est très souvent appelée transformation de coordonnée (ou
changement de coordonnées ).
Lorsqu’elle existe, la forme explicite qui donne toutes les
solutions possibles au problème inverse constitue ce que nous
appelons le modèle géométrique inverse (MGI).
Nous allons utilisés la matrice de passage du repère R0 au repère
R4 : 0T4
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x 2
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Le Modèle Géométrique Inverse :
sx nx ax px
sy ny ay py
sz nz az pz
0 0 0 1
Considérons U0
tel que U0=
La matrice U0
est une donnée du problème ; elle correspond à la situation
désirée de l’organe terminal dans le repère R0.
Le système d’équations à résoudre est le suivant : U0
= 0T4
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x 2
0
Le Modèle Géométrique Inverse :
sx nx ax px
sy ny ay py
sz nz az pz
0 0 0 1
U0=
C124 -S124 0 d1C1+d2C12
S124 C124 0 d2S1C2+d1S1+d2C1S2 0T4 =
0T1 ×
1T4 = 0 0 1 r
0 0 0 1
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de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Inverse :
sx nx ax px
sy ny ay py
sz nz az pz
0 0 0 1
U0=
C124 -S124 0 d1C1+d2C12
S124 C124 0 d2S1C2+d1S1+d2C1S2 0T4 =
0T1 ×
1T4 = 0 0 1 r
0 0 0 1
sx nx ax px
sy ny ay py
sz nz az pz
0 0 0 1
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de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Inverse :
U0=
C124 -S124 0 d1C1+d2C12
S124 C124 0 d2S1C2+d1S1+d2C1S2 0T4 =
0T1 ×
1T4 = 0 0 1 r
0 0 0 1
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de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Inverse :
d1C
1+ d
2C
12= p
x(1)
et d1S
1+ d
2S
12= p
y(2)
En élevant au carré et en additionnant les expressions (1) et (2), nous
obtenons :
d1
2 + d22 + 2d
1d
2(C
1C
12+ S
1S
12) = p
x2 + p
y2
ce qui donne : C2
= (px
2 + py2 - d
12 - d
22)/(2d
1d
2) car C
1C
12+ S
1S
12= C
2
d’où : 1 + tan2θ2
= [(2d1d
2)/( p
x2 + p
y2 - d
12 - d
22)]2
De plus : 1 + tan2θ2
= 1/C2
2
ainsi : θ2
= Arctg[±(√1 - C2
2/C2)]
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Ce
de
x 2
0
Le Modèle Géométrique Inverse :
Les équations précédentes (1) et (2) peuvent s’écrire :
d1C
1+ d
2(C
1C
2- S
1S
2) = p
x(1)
d1S
1+ d
2(S
1C
2+ S
2C
1) = p
y(2)
nous permet d’écrire : C1
= (px
+ d2S
1S
2)/(d
1+ d
2C
2)
et en remplaçant dans (2), nous en déduisons :
S1
= [py
(d1
+ d2C
2) - d
2S
2p
x]/[(d
1+ d
2C
2)2 + d
22S
22]
Maintenant, nous remplaçons cette expression dans (1) et nous avons :
C1
= [px
(d1
+ d2C
2) - d
2S
2p
y]/[(d
1+ d
2C
2)2 + d
22S
22]
Nous pouvons alors en déduire : θ1
= Arctg (S1/C
1)
Enfin, connaissant θ1
et θ2, nous pouvons déterminer θ
4. En identifiant les
matrices U0
et 0T4, nous pouvons écrire : s
x= C
124 s
y= S
124
d’où : tan (θ1
+ θ2
+ θ4) = s
y/s
x
et : θ4
= Arctg (sy/s
x) - θ
2- θ
1
