MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA

MINISTERE DE L‟ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

-oOo- UNIVERSITE D‟ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D‟ANTANANARIVO

Mémoire de Fin d‟Etudes en vue de l‟obtention du :

DIPLOME D’INGENIEUR EN MATERIAUX

DEPARTEMENT SCIENCE DES MATERIAUX ET METALLURGIE

OPTION SCIENCE ET INGENIERIE DES MATERIAUX

Présenté par

Haingotiana Estelle RAKOTONDRASOA

ANALYSE NUMERIQUE DES PARAMETRES RHEOLOGIQUES

ETUDE DE CAS : MESURE DES CARACTERISTIQUES DE

SUSPENSION EAU – DECHETS CELLULOSIQUES

Encadré par :

Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely

Monsieur ANDRIAMANAMPISOA Tsiry Angelos

Promotion 2013

Premier Partenaire des

Professionnels

MINISTERE DE L‟ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

-oOo- UNIVERSITE D‟ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D‟ANTANANARIVO

Mémoire de Fin d‟Etudes en vue de l‟obtention du :

DIPLOME D’INGENIEUR EN MATERIAUX

DEPARTEMENT SCIENCE DES MATERIAUX ET METALLURGIE

OPTION SCIENCE ET INGENIERIE DES MATERIAUX

Présenté par

Haingotiana Estelle RAKOTONDRASOA

ANALYSE NUMERIQUE DES PARAMETRES RHEOLOGIQUES

ETUDE DE CAS : MESURE DES CARACTERISTIQUES DE

SUSPENSION EAU – DECHETS CELLULOSIQUES

Soutenu le 19 Septembre 2014 devant le jury composé de :

Professeur ANDRIANARY Philippe Antoine Président

Docteur RANDRIANARIVELO Frédéric Examinateur

Docteur RANARIVELO Michel Examinateur

Docteur RAKOTOMALALA Zolimboahangy Examinateur

Professeur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely Encadreur

Monsieur ANDRIAMANAMPISOA Tsiry Angelos Rapporteur

Promotion 2013

Premier Partenaire des

Professionnels

REMERCIEMENTS

Remerciements

Page I

La réalisation de ce présent rapport requiert la coopération et le soutien de

nombreuses personnes.

Tout d‟abord, je remercie le Bon Dieu de m‟avoir donnée la grâce et de m‟avoir

toujours guidée vers le bon chemin. Que l‟honneur et la gloire Lui reviennent à Lui seul.

Ensuite, je tiens à témoigner ma gratitude aux nombreuses personnes physiques

ou morales qui, de près ou de loin, m‟ont apporté leur aide dans la rédaction de ce

rapport, plus particulièrement :

A Monsieur ANDRIANARY Philippe Antoine, Professeur titulaire, Directeur

de l‟Ecole Supérieure Polytechnique d‟Antananarivo qui a accepté de présider cette

soutenance de mémoire ;

Au Docteur RANDRIANARIVELO Frédéric, Chef du Département Science

des Matériaux et Métallurgie de l‟E.S.P.A qui a donné tant d‟efforts pour l‟amélioration

de nos formations au sein du Département ;

Au Docteur RANARIVELO Michel, Maître de conférences, qui a bien voulu

examiner mes travaux ;

Au Docteur RAKOTOMALALA Zolimboahangy, pour sa lecture attentive

de mon manuscrit et qui a accepté de juger ce travail ;

A Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely, Professeur

titulaire au sein du département SMM, pour ses conseils qui se sont avérés cruciaux

pour l‟accomplissement de mon travail ;

A Monsieur Tsiry Angelos ANDRIAMANAMPISOA, Enseignant chercheur,

qui, en dépit de ses obligations, m‟a accordée son temps pour un encadrement

pédagogique sans faille ;

Tous les membres du corps professoral de l‟E.S.P.A, qui nous ont formés

tout au long de nos années d‟études, sans oublier tout le personnel du Bloc Technique

à Vontovorona, de nous avoir aidés pour la réalisation des différents essais.

Mes vifs remerciements s‟adressent aussi à tous les personnels du laboratoire du

Génie Industriel de l‟E.S.P.A qui nous ont facilité l‟accès aux matériels nécessaires pour

les travaux de recherches.

Enfin, je tiens à remercier ma famille et mes amis qui m‟ont soutenue

spirituellement, matériellement et moralement au cours de la préparation de ce rapport.

Sommaire

Page II

Remerciements

Sommaire

Glossaire

Acronymes

Notations et symboles

Liste des tableaux

Liste des illustrations

Introduction

PARTIE I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA RHEOLOGIE

CHAPITRE II. LES THEORIES DE L‟AGITATEUR

CHAPITRE III. LES MODELES MATHEMATIQUES

PARTIE II. ETUDE EXPERIMENTALE

CHAPITRE IV. MATERIELS ET METHODES

CHAPITRE V. OUTILS DE RESOLUTION

PARTIE III. ETUDE EXPLOITATION

CHAPITRE VI. ACQUISITION DES DONNEES

CHAPITRE VII. EXPLOITATION DES DONNEES

Conclusion

Références bibliographiques

Annexes

Table des matières

Résumé

GLOSSAIRE

Glossaire

Page III

Bingham : un fluide qui ne s'écoule que si la tension de cisaillement est supérieure à

un certain seuil .

Broyage : une opération qui consiste à réduire la taille de particules solides, soit dans

une phase liquide, soit directement dans la phase sèche.

Dilatant : un fluide tel que sa viscosité apparente augmente avec le gradient de vitesse.

Dilution : le passage d'une solution concentrée à une solution plus diluée par ajout

d'une phase continue compatible avec la solution.

Dispersion : la mise en contact d'une phase solide divisée dans une phase liquide

continue, les particules de la phase solide n'étant pas solubles dans la phase liquide.

Dissolution : la mise en solution d'une phase solide, soluble dans une phase liquide

continue appelée solvant.

Emulsion : la mise en contact stable d'une phase dispersée discontinue dans une

phase dispersante continue, non miscible avec la première.

Froude : un nombre adimensionnel qui représente le rapport des forces d'inertie sur les

forces de pesanteur.

Homogénéisation : consiste à rendre homogène un milieu.

Indice de comportement : paramètre de la loi d'Ostwald-Dewaele, l'indice de

comportement définit le caractère pseudoplastique d'un fluide pour n<1 ou dilatant pour

n>1 Pour n=1, la viscosité apparente est indépendante du gradient de vitesse, ce qui

définit un fluide newtonien.

Indice de consistance : paramètre de la loi d'Ostwald-Dewaele, l'indice de consistance

définit la consistance du fluide.

Laminaire : un type d‟écoulement où les couches, ou filets, fluides glissent les unes

contre les autres sans se confondre.

Mélange : définit un système formé de plusieurs espèces chimiques qui peuvent être

sous différents états (solide, liquide, gazeux).

Glossaire

Page IV

Pseudoplastique : un fluide tel que sa viscosité apparente diminue lorsque le gradient

de vitesse croît.

Reynolds : un nombre adimensionnel qui représente le rapport des forces d'inerties sur

les forces de viscosité.

Rhéogramme : une représentation de la courbe d'évolution de la contrainte de

cisaillement en fonction du gradient de vitesse appliqué.

Rhéomètre : un appareil qui permet de tracer un rhéogramme.

Suspension : une mise en mouvement d'une phase solide divisée non soluble dans

une phase liquide au sein.

Thixotrope : un fluide tel que sa viscosité apparente diminue lorsque la durée

d'application de la contrainte augmente.

Turbine : désigne le terme générique d'un mobile d'agitation qui engendre un

écoulement principal radial, c'est à dire perpendiculaire à l'axe d'agitation.

Turbulent : un écoulement où les grandeurs caractérisant les mouvements du fluide

sont turbulentes.

Viscoélastique : un fluide tel qu'il comprend simultanément des propriétés visqueuses

(déformation sous l'effet d'une contrainte) et élastiques (retour à la forme initiale lorsque

la contrainte cesse).

Viscosimètre : un appareil qui permet de déterminer la viscosité d'un fluide dans des

conditions opératoires données.

ACRONYMES

Acronymes

Page V

BFGS : Broyden Fletcher Goldfarb Shanno

DFP : Davidon Fletcher Powell

ESPA : Ecole Supérieure Polytechnique d‟Antananarivo

GN : Gauss – Newton

GUI : Graphical User Interface

GUIDE : Graphical User Interface Development Environment

IDE : Integrated Developmnet Environment

IHM : Interfaces Homme Machine

LM : Levenberg – Marquardt

MO : Metzner et Otto

NM : Nelder – Mead

SD : Stepest Descent

SMM : Science des Matériaux et Métallurgie

NOTATIONS ET

SYMBOLES


Page VI

a, a‟: coefficients

b: largeur des chicanes

b‟ : distance d‟une chicane décollée de la paroi à la paroi

d : diamètre du mobile d‟agitation

c, C : constante

D : diamètre de la cuve agitée

Fr : nombre de Froude

g : accélération de la pesanteur

Gm, G‟m : gradient de vitesse (ou taux de cisaillement) moyen

k, k‟, k‟m : constante

: longueur des pales

L : dimension caractéristique

nc : nombre de chicanes collées contre la paroi

n*c : nombre de chicanes décollées de la paroi

np : nombre de pales du mobile d‟agitation

N : fréquence de rotation du mobile d‟agitation

NP : nombre de puissance

NP0 : nombre de puissance en régime turbulent

NQc : nombre de circulation

NQp : nombre de pompage

P : puissance d‟agitation

Qc : débit de circulation

Qe : débit d‟entraînement

Qp : débit de pompage du mobile d‟agitation

Re : nombre de Reynolds


Page VII

U : vitesse d‟écoulement

Ux : vitesse instantanée du liquide dans une direction Ox

: vitesse moyenne du liquide dans une direction Ox

ux : fluctuation de vitesse dans une direction Ox

u‟x : valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse dans une direction Ox

V : volume de liquide contenu dans la cuve

Vp : vitesse périphérique du mobile d‟agitation

W : largeur (ou hauteur) des pales

We : nombre de Weber

Y : élévation du centre du mobile d‟agitation par rapport au fond de la cuve

: tension superficielle

: puissance dissipée par unité de masse

: viscosité dynamique de l‟eau

: viscosité apparente de la solution agitée

: dimension caractéristique d‟un petit tourbillon

: viscosité cinématique de la solution agitée

: masse volumique de l‟eau

: masse volumique de la phase liquide agitée

: contrainte de cisaillement

: courbe caractéristique de l‟agitateur

LISTE DES TABLEAUX

Liste des tableaux

Page VIII

Tableau 1 : Tableau des unités ....................................................................................... 5

Tableau 2 : Expression rhéologique ................................................................................ 8

Tableau 3 : Coefficients a et a‟ ...................................................................................... 24

Tableau 4 : Coefficient B de la théorie de Metzner et Otto ............................................ 35

Tableau 5 : Plaque signalétique du moteur d‟entrainement .......................................... 44

Tableau 6 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 1 avec de l‟eau .................................... 69



Tableau 9 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 1 avec de la pâte de papier ................. 71

Tableau 10 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 2 avec de la pâte de papier ............... 72

Tableau 11 : Puissance de l‟agitateur de la pâle 3 avec de la pâte de papier ............... 72

Tableau 12 : Les évènements lors du lancement du programme .................................. 77

Tableau 13 : K, x et y selon la méthode de Simplexe .................................................... 78

Tableau 14 : K, x et y selon la méthode de Gauss-Newton ........................................... 79

Tableau 15 : k, x et y selon la méthode de Levenberg-Marquardt................................. 79

Tableau 16 : k, x et y de simplexe, de Gauss Newton et de Levenberg Marquardt à E21

................................................................................................................................ 80

Tableau 17 : Valeur de n et m selon NM et LM ............................................................. 91

Tableau 18 : B calculé de P1 selon NM et LM ............................................................... 91



Tableau 21 : Equations de la pâle 1 .............................................................................. 93



Tableau 24 : Valeur de P selon NM ............................................................................... 95

Tableau 25 : Valeur de P selon LM ............................................................................... 95

LISTE DES

ILLUSTRATIONS


Page IX

Figure 1: Fluide newtonien(1), (2) de Bingham, (3) rhéofluidifiant, (4) rhéoépaississant. 7

Figure 2 : Fonction fluage ................................................................................................ 9

Figure 3 : Fonction relaxation .......................................................................................... 9

Figure 4 : Mobiles à débit axial et à débit radial ............................................................ 15

Figure 5 : Formes des courants créés par un mobile à débit axial ................................ 16

Figure 6 : Agitation de grands réservoirs ....................................................................... 17

Figure 7 : Proportion entre débit de pompage et turbulence suivant le mobile d‟agitation

................................................................................................................................ 18

Figure 8 : Cuves et mobiles : configurations possibles .................................................. 18

Figure 9 : Vitesse en un point donné : évolution en fonction du temps ......................... 20

Figure 10 : Courbes caractéristiques de puissance : allure générale ............................ 24

Figure 11 : Gradients de vitesse moyen et maximal pour une turbine à 6 pales droites 28

Figure 12 : Méthodologie pour la détermination de la courbe caractéristique du mobile

d‟agitation (ou de la relation Np-Re-Fr) ................................................................... 31

Figure 13 : Configuration de l‟ATV 28 ........................................................................... 45

Figure 14 : Branchement de l‟appareil avec le réseau triphasé ..................................... 46

Figure 15 : Configuration des paramètres ..................................................................... 47

Figure 16 : Visualisation des valeurs ............................................................................. 48

Figure 17 : Mesure de Puissance .................................................................................. 49

Figure 18 : Intégration de puissance sur une durée ...................................................... 49

Figure 19 : Transfert des données sur un ordinateur .................................................... 50

Figure 20 : Extraction vers Excel ................................................................................... 51

Figure 21 : Algorithme de Nelder et Mead ..................................................................... 55

Figure 22 : Algorithme de Gauss – Newton ................................................................... 57

Figure 23 : Création de M-file ........................................................................................ 60

Figure 24 : Les objets graphiques ................................................................................. 64

Figure 25 : Etape de la détermination des paramètres .................................................. 67

Figure 26 : Affichage des graphes ................................................................................. 75

Figure 27 : Les différents boutons ................................................................................. 75

Figure 28: Bouton info ................................................................................................... 76

Figure 29 : Bouton fermer.............................................................................................. 76

Figure 30 : Courbes caractéristiques de la pâle 1 ......................................................... 82




Page X

Figure 33 : Courbe Npe- méthode de NM de la pale 1 avec de l‟eau ............................ 86

Figure 34 : Courbe Npp- méthode de NM de la pale 1 .................................................. 86

Figure 35 : Courbe de NpRe de la pale 1 - NM ............................................................. 88

Figure 36 : Courbe de NppRe de la pale 1 - NM ........................................................... 88

Figure 37 : Courbe Npe- méthode de LM de la pale 1 avec de l‟eau ............................ 89

Figure 38 : Courbe Npp- méthode de LM de la pale 1 .................................................. 89

Figure 39 : Courbe de NpRe de la pale 1 – LM ............................................................. 90

Figure 40 : Courbe de NppRe de la pale 1 – LM ........................................................... 90

Figure 41 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier carton ........................... 97

Figure 42 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier vélin ............................. 98

Figure 43 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier journaux ....................... 99

INTRODUCTION

Introduction

Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page 1

Généralement, la conception d‟un procédé industriel qui n‟ait au moins une

opération unitaire agitation-mélange, que ce soit la dissolution des phases miscibles ou

l‟agitation des différentes phases immiscibles, est difficile. Ainsi, cette opération joue un

rôle important dans la dissolution des solides-liquides ou liquides-liquides, de formation

des suspensions de solide dans un liquide ou des bulles de gaz dans un liquide.

Dans certains cas, l‟analyse de cette partie de procédé présente toujours des

complexités, il faut tenir compte d‟une part du phénomène hydrodynamique où

interviennent la géométrie de l‟élément de mélange, le débit de fluide et la vitesse de

l‟agitateur, la puissance consommée et la viscosité des différentes phases parmi

d‟autres paramètres tout aussi important. D‟autre part, il est primordial aussi de tenir

compte du phénomène physico-chimique du composant.

Par conséquent, la plupart des unités industrielles penche leur préférence pour un

certain type de mélangeur qui parait adapté aux particularités du produit et du procédé,

elles optent souvent pour un nouvel appareil par analogie avec un système existant.

Cette démarche empirique résulte de la complexité à quantifier tous les paramètres qui

définissent une bonne opération de mélange agitation. D‟où vient l‟idée de notre sujet

d‟étude concernant l‟analyse numérique des paramètres rhéologiques d‟un système de

mélange.

Des travaux de recherche ont été menés par les sociétés et laboratoires spécialisé

dans le domaine de l‟agitation et du mélange, certains auteurs ont effectués des

publications concernant la loi régissant les déchets cellulosiques. Pour notre cas,

l‟objectif de ce travail est de caractériser le comportement rhéologique des suspensions

eau-déchets cellulosiques par des essais expérimentaux pour paramétrer notre broyeur

un rhéomètre de procédé et d‟en tirer les paramètres de l‟agitateur. Ces informations

permettent d‟aider à comprendre et à contrôler le mélange dans la cuve agitée puis

d‟optimiser son fonctionnement dans différentes conditions.

Ce mémoire est ainsi divisé en trois parties. Dans la première partie, on a fait une

révision de la littérature concernant les généralités sur la rhéologie, les théories de

l‟agitateur ainsi que les modèles mathématiques.

Introduction


La deuxième partie porte sur les matériels et la méthodologie utilisés pour réaliser

la partie expérimentale. On discute entre autre le choix des méthodes ainsi que les

outils de résolution.

Enfin, la dernière partie expose l‟exploitation des données et les résultats du travail.

PARTIE I :

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

Etude bibliographique Chapitre I


CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA RHEOLOGIE

I.1 Introduction

La rhéologie, mot inventé par Bingham en 1929 à partir du verbe grec « rhéo » qui

veut dire couler, est l'étude des écoulements et des déformations. Devant l'impuissance

de la théorie de l'élasticité et de la mécanique des fluides à décrire et à expliquer les

propriétés de matériaux aux comportements mal définis et intermédiaires entre celui du

solide élastique parfait et celui du fluide newtonien, il est apparu nécessaire d'élaborer

cette nouvelle discipline. Les études expérimentales s'attachent à mesurer les

propriétés de l'écoulement des matériaux tandis que les approches théoriques

cherchent les équations constitutives reliant contraintes et déformations.

I.2 Définition [2] [3]

I.2.1 La rhéologie

La rhéologie est une branche de la physique qui étudie l‟écoulement ou la

déformation des corps sous l‟effet des contraintes qui leur sont appliquées, compte tenu

de la vitesse d‟application de ces contraintes ou plus généralement de leur variation au

cours du temps.

Les procédés de préparation de produits (solutions, pâtes, etc ...) ou de formage

de pièces (en métallurgie, en plasturgie, etc ...) nécessitent immanquablement

l‟écoulement de la matière, il est donc nécessaire de connaître le comportement de

cette matière pour déterminer les forces à mettre en jeu.

I.2.2 Les différentes études de la rhéologie

La rhéologie se décompose en plusieurs sortes d‟études :

rhéologie expérimentale ;

rhéologie structurale ;

rhéologie théorique.

La rhéologie expérimentale permet de déterminer expérimentalement les

relations de comportement (entre contraintes et déformation ou vitesse de déformation).



La rhéologie structurale consiste à expliquer les comportements à partir de la

structure du matériau.

La rhéologie théorique a pour rôle de fournir des modèles mathématiques en

nombre limité des comportements indépendamment de la structure microscopique.

I.3 Comportements rhéologiques des fluides [1] [3]

La rhéologie se limite aux déformations mécaniques, isothermes, macroscopiques

et stationnaires. Si, sous l‟action d‟une force appliquée constante, la déformation

augmente sans cesse, il y a écoulement. Il est du type plastique lorsque les forces

appliquées sont supérieures à un seuil critique pour que l‟écoulement se produise. Si

le seuil est nul, c‟est un écoulement visqueux qui correspond évidemment à une

déformation permanente irréversible.

I.3.1 Fluides newtoniens

Un fluide newtonien est défini comme un fluide satisfaisant une relation linéaire

entre sa contrainte et son taux de cisaillement

1

où : la contrainte ;

µ : la viscosité dynamique ;

: le taux de cisaillement.

Pour un écoulement à une dimension, on a :

2

La viscosité cinématique est aussi une des grandeurs rhéologiques les plus

employées. Elle est une grandeur qui doit son origine à des dispositifs de mesure

utilisant un temps d‟écoulement sous l‟effet de la pesanteur. Elle est égale au rapport

de la viscosité dynamique par la masse volumique du fluide considéré :

3

D‟où on a le tableau des unités



Tableau 1 : Tableau des unités

g.cm-1s-2 Pa

du/dy s-1 s-1

µ Poise (0,1 Pa.s) Pa.s

Stockes (cm2/s) m2/s

La loi de Newton est vraie pour tous les gaz et une proportion importante des

liquides usuels tel que l‟eau, le pétrole, l‟alcool, le glycérol, le miel ainsi que d‟autres

liquides.

I.3.2 Fluides non-newtoniens

Dans l'effort de cisaillement des liquides Newtoniens, est proportionnel au taux de

cisaillement .

Le comportement de fluides non-newtoniens indépendant du temps ne peut plus

être représenté par l‟équation simple (1), la liaison entre et est plus complexe et

peut prendre un grand nombre de formes.

Pour les liquides non newtoniens, nous pouvons trouver une fonction plus générale

de viscosité

( ), liquides non newtoniens 4

Si la connaissance du ( ) est satisfaisante pour interpréter toutes les propriétés

d'un matériel manifesté dans son écoulement et déformation, le matériel s'appelle le

liquide non newtonien purement visqueux.

Les données expérimentales ( ) peuvent être stockées comme tableaux,

graphiques, toutefois ils sont habituellement des paramètres déterminés dans diverses

formules empiriques, les modèles rhéologiques.

La valeur de l'index d'écoulement, n dans le modèle le plus populaire est le modèle

de la loi de puissance

5



Dans le cas où on a un comportement Newtonien, on a n=1, K=µ.

Les liquides obéissant le modèle de loi de puissance avec n<1, s'appellent les

liquides pseudoplastiques. La nature des liquides pseudoplastiques peut être expliquée

par rupture des liens de basse énergie entre les particules colloïdales ou les grandes

molécules par l'effet du cisaillement ou déformation.

Rarement, nous pouvons rencontrer également les matériaux dilatant avec n>1.

L'épaississement se produit dans les suspensions concentrées à des taux de

cisaillement plus élevés, fourni des particules qui deviennent verrouillés et en forme de

ponts incapables de se réorganiser.

Il existe aussi un autre modèle populaire et encore simple, le modèle plastique de

Bingham d'un matériel qui ne se déplace pas jusqu'à certain effort de fléchissement,

est croisé, et se comporte comme un liquide à un plus élevé :

pour

pour Modèle de Bingham 6

Les matériaux obéissant le modèle de Bingham s'appellent les matières plastiques.

La matière plastique idéale avec , (ou ), ne se déplace

pas au faible effort de cisaillement, toutefois à , la surface de glissade apparaît

avec une couche de glissade de zéro-épaisseur.

Les modèles complexes peuvent mieux s‟adapter aux données

expérimentales ( ), cependant, les formules des mesures compliquées n‟apportent

pas une amélioration significative. La figure suivante résume ces différents fluides.



Figure 1: Fluide newtonien(1), (2) de Bingham, (3) rhéofluidifiant, (4) rhéoépaississant.

Le tableau ci-après permet de résumer le comportement de fluide existant et de

présenter quelques catalogues en loi de comportement.



Tableau 2 : Expression rhéologique

Type de fluide Auteur Equation rhéologique

Plastique Bingham (

)

Plastique et rhéofluidifiant

Herschel-Bulkley

(

*

Plastique et rhéofluidifiant

Casson √ √ √ (

*

Pseudoplastique et dilatant

Ostwald de Waele

Pseudoplastique Carreau

(

( ⁄ )

)

Pseudoplastique Ellis

(

⁄

⁄ ,

Pseudoplastique Shandraw ( )

I.4 Rhéologie des liquides complexes [4] [5]

I.4.1 Viscoélasticité linéaire

La viscoélasticité fait partie du comportement non-newtonien. La réponse du fluide

à une déformation présente à la fois un aspect visqueux (où les contraintes sont

proportionnelles aux vitesses de déformation) et un aspect élastique (où les contraintes

sont proportionnelles aux déformations).

Les fonctions fluages et relaxation sont les fonctions essentielles en viscoélasticité

linéaire. Elles sont définies de la façon suivante :



La fonction fluage, f(t), est la déformation subie par le matériau lorsqu'on impose

à ce dernier une contrainte d'amplitude unité au temps t = 0, contrainte qui est

maintenue constante (voir la figure 2).

Figure 2 : Fonction fluage

La fonction relaxation, g(t), est la contrainte résultant de l'application d'une

déformation d'amplitude unité à l'instant initial t = 0, déformation qui est

maintenue constante au cours du temps (voir la figure 3).

Figure 3 : Fonction relaxation

La connaissance de la fonction fluage ou relaxation d'un matériau permet de

déterminer toutes les propriétés viscoélastiques du matériau. Lorsqu'on dispose d'un

rhéomètre imposant une contrainte constante, , on mesure une déformation

( ) ( ) . Lorsqu'on dispose d'un rhéomètre imposant une déformation

constante, , on mesure une déformation ( ) ( ).



I.4.1.1 Solide élastique parfait

Le premier modèle est le solide élastique parfait. Son équation rhéologique est

décrite par la loi de HOOKE.

7

: déplacement

G0 : Module de rigidité

Pour un solide élastique parfait, la déformation et la contrainte sont reliées par une

relation linéaire mais le coefficient de proportionnalité dépend du type de déformation

imposée (c'est-à-dire, dépend du module d'Young, du coefficient de Poisson ou du

module de compression uniforme).

De la loi de Hooke, on déduit les propriétés suivantes :

Dès qu'une contrainte est appliquée, instantanément une déformation prend

naissance, proportionnelle à la contrainte. Inversement, si la contrainte est

ramenée à zéro, immédiatement la déformation s'annule. La déformation

élastique est instantanée et récupérable.

Le comportement est bien solide. Soumis à une contrainte constante, le matériau

atteint instantanément un état d'équilibre.

Un solide élastique parfait est symbolisé par un ressort de complaisance

élastique G.

I.4.1.2 Liquide visqueux newtonien

Le second modèle de la viscoélasticité linéaire est le liquide visqueux newtonien. Il

est symbolisé par un amortisseur de coefficient de viscosité µ et son équation

rhéologique est décrite par la loi de Newton.

On en déduit les propriétés suivantes :

Le liquide visqueux newtonien se souvient de toutes les contraintes qui lui ont

été imposées dans le passé. En effet, l'expression de ( ) dépend de toutes les

valeurs prises par la contrainte de 0 à t.

Si la contrainte est ramenée à 0 à un instant donnée, la déformation demeure

constante et égale à la valeur à cet instant. La déformation est irrécupérable.



Le comportement est bien celui d'un liquide. Soumise à une contrainte

constante, , la déformation, croît linéairement avec le temps. Le matériau

s'écoule indéfiniment.

Nous avons présenté les deux comportements viscoélastiques linéaires

élémentaires. Le comportement viscoélastique linéaire général se définit en

construisant un modèle constitué d'un assemblage analogique et symbolique de

ressorts (solides élastiques parfaits) et d'amortisseurs (liquides visqueux newtoniens)

en série ou en parallèle.

I.4.2 Liquide non linéaire

Un des comportements pratiques les plus intéressants des fluides non-newtoniens

est leur relation non linéaire entre contrainte et vitesse de déformation. La structure

interne du fluide est complexe et peut être influencée par l'écoulement.

I.4.2.1 Fluide plastique

Dans ce type de fluide, on utilise principalement des modèles pour lesquels la

viscosité dépend du taux de cisaillement. Les liquides plastiques font partis de ce type

de fluide. Ce sont des liquides présentant une contrainte seuil d‟écoulement que nous

avons évoqués dans la section 3.2.

Les matériaux plastiques présentent le comportement soit d‟un solide, soit d‟un

liquide selon la contrainte de cisaillement qui est imposée. Ce sont des dispersions qui,

au repos, forment un réseau de forces par des liaisons intermoléculaires et

interparticulaires (polaires ou Van Der Waals). Ces forces limitent le changement de

position des éléments du volume et donnent à la substance un comportement de solide

ayant une viscosité infiniment élevée (figure 1, courbe n°4). Lorsque les forces

extérieures appliquées surpassent les forces du réseau, le dépassement du seuil de

contrainte , ou seuil d‟écoulement, force les éléments du volume à changer

irréversiblement de position. Il en résulte un effondrement du réseau qui correspond à

la transition solide-liquide.



I.4.2.2 Fluide rhéofludifiant

Ce sont des liquides qui ont une viscosité qui décroît avec le taux de cisaillement et

que nous avons présentés dans la section 3.2.

Une loi empirique très utilisée pour la variation de la viscosité avec le taux de

cisaillement est la loi de puissance (proposée pour la première fois par Ostwald en

1925) :

où le coefficient k et l'exposant n < 1 sont à déterminer empiriquement. La viscosité

s'écrit donc :

8

Le cas où n=1 correspond au comportement newtonien.

I.4.2.3 Fluide rhéoépaississant

Ce sont des liquides qui ont une viscosité qui croît avec le taux de cisaillement et

que nous avons mentionnée dans la section 3.2. On utilise la loi de puissance pour les

représenter :

avec un exposant n > 1 qui est d'autant plus grand que le matériau s'écarte du

comportement newtonien.

La viscosité d‟un matériau rhéoépaississant s‟élève lorsque le gradient de vitesse

augmente. C‟est le cas des suspensions aqueuses de concentration élevée (fraction

volumique supérieure à 0,5). Au repos, chaque particule est entourée d‟une mince

couche de liquide. Lors du cisaillement, des zones sèches dues à l‟insuffisance de

phase continue apparaissent à la surface des particules et créent des forces de

frottements dont l‟intensité augmente avec le cisaillement. Il en résulte une

augmentation de la viscosité.

Etude bibliographique Chapitre II


CHAPITRE II. LES THEORIES DE L’AGITATEUR

II.1 Introduction

Comme notre étude consiste à faire une analyse numérique de paramètre

rhéologique, il s‟avère alors important de développer tout d‟abord les théories des

agitateurs et mélangeurs.

Les agitateurs sont au cœur de nombreux procédés de fabrication. Sans eux, peu

de réactions chimiques ou de mélanges se réaliseraient spontanément. Ainsi, la tâche

principale de conception est le choix du système de mélange le plus approprié selon les

caractéristiques de processus.

La qualité de mélange doit être bien identifiée pendant une réaction chimique ou

dans un processus en continu. Beaucoup de types de mélangeurs sont disponibles.

Quelques mélangeurs sont conçus, spécifiquement pour une application spéciale, alors

que d'autres sont plus souples avec beaucoup d'options telles que la vitesse variable,

les roues à aubes variables et les axes, avec une large gamme de puissances de

moteur.

Les critères de sélection du système de mélange sont souvent basés sur

l‟homogénéisation du mélange et la puissance consommée. On doit prêter attention aux

processus spécifique lors du choix des conditions hydrodynamiques, particulièrement

en traitant les produits dépendant du temps de rhéologie. Puisqu‟il existe certains cas

où l‟on rencontre des produits qui ont une viscosité proche de celle de l‟eau au

commencement mais peut atteindre ensuite plusieurs Pascal-seconde, de ce fait

changeant le régime d'écoulement et la dynamique des fluides dans la cuve. Il devient

alors plus dur de contrôler la réaction dans le réservoir, spécialement dans la zone

d‟agitation d‟où l‟importance de faire une approche théorique des mélangeurs.

II.2 Généralités sur les agitateurs [6]

II.2.1 Définition d’un système d’agitation

Préconiser et dimensionner un type de mélangeur consiste à déterminer les

paramètres optimums à la mise en œuvre du procédé visé. Cette optimisation s‟effectue

très souvent sous contraintes, qu‟elles soient de coûts, d‟encombrements ou de limites



physiques. Cette démarche repose sur le choix d‟un certain nombre de paramètres

comme

Type d‟agitateurs et positionnement

o Mobiles à écoulement radial ;

o Mobiles à écoulement axial ;

o Mobiles à écoulement mixte ;

o Mobiles à écoulement tangentiel ;

o Mobiles de dispersion / émulsification.

Géométrie de la cuve (dimensions, formes)

Rotation du Mobile (vitesse, régime d‟écoulement)

Durée du mélange

Conditions physiques imposées (pression, température)

Un dispositif d‟agitation est constitué :

d‟un système d‟entraînement ;

d‟un arbre ;

d‟un ou plusieurs mobiles d‟agitation.

II.2.1.1 Description des mobiles

Il existe deux grandes classes de mobiles d‟agitation suivant le mouvement des fluides

engendré dans la cuve par rapport à l‟axe de rotation du mobile :

les mobiles à débit axial ;

les mobiles à débit radial.

II.2.1.1.1 Mobiles à débit axial

Ces mobiles créent un mouvement des fluides dans une direction axiale (vers le

haut ou vers le bas). Ils assurent une circulation des fluides importants (figure 4.a).

Cependant, certains mobiles présentent, en plus de la composante axiale

prépondérante, une composante radiale.

Les caractéristiques des principaux types de mobiles à débit axial et les données

techniques fournies par la littérature ou par les fabricants eux-mêmes ont été

rassemblées dans l‟annexe 1.



II.2.1.1.2 Mobiles à débit radial

Ces mobiles fournissent un débit perpendiculaire à l‟arbre d‟agitation. Ils créent des

effets de cisaillement relativement importants. Ce sont des mobiles de turbulence

(figure 4.b). Certains mobiles utilisés pour des produits visqueux ont une composante

tangentielle.

Les caractéristiques des principaux types de mobiles à débits radial et tangentiel

ont été rassemblées dans l‟annexe 2.

Figure 4 : Mobiles à débit axial et à débit radial

II.2.2 Régimes hydrodynamiques

Le régime hydrodynamique créé dépend non seulement du type de mobile

d‟agitation mais aussi de facteurs géométriques concernant la cuve :

présence ou non de chicanes ;

excentration de l‟arbre ;

inclinaison de l‟arbre ;

dimension de la cuve.

Pour chaque mobile d‟agitation, il existe donc une infinité de configurations

possibles. Sur la figure 5 sont indiquées les formes de courant créées dans plusieurs

cas par un mobile à débit axial.

Il est bien évident que, quel que soit le type de turbine, si la cuve n‟est pas munie de

chicanes et si l‟axe de l‟agitateur est confondu avec l‟axe de la cuve (figure 5 a), le

liquide est mis en rotation et les composantes verticales de vitesse seront extrêmement

faibles. Il y a par ailleurs formation d‟un vortex qui présente, comme on le verra au

paragraphe 3, l‟inconvénient de limiter la puissance dissipée et de ne pas favoriser

l‟homogénéisation des fluides. La présence de chicanes fixées sur les parois de la cuve



empêche la formation d‟un vortex (figure 5 b). En général, on dispose 3 ou 4 chicanes

de largeur b = 10−1 D (avec D diamètre de la cuve agitée), collées ou décollées de la

paroi (distance de la chicane à la paroi : b‟ = 2 x 10−2D). On peut aussi, pour éviter la

formation d‟un vortex dans une cuve exempte de chicanes, monter l‟arbre d‟agitation

excentré mais vertical (figure3 c) ou bien incliné sur la verticale (figure 3d). Il est

important de noter que ces deux dernières dispositions induisent des contraintes

mécaniques importantes et donc qu‟elles ne sont pas utilisables pour de fortes

puissances (≈ 3 kW) ou de grandes longueurs d‟arbre (≈ 1 à 2 m).

Pour des grands réservoirs, ayant jusqu‟à 150 000 à 200 000 l de volume,

contenant des liquides de faible viscosité (< 0,1 Pa · s), on place l‟arbre d‟agitation

horizontalement et un peu incliné par rapport au rayon (angle α). On voit, figure 6,

quelle est la position correcte à choisir ; si l‟on place l‟agitateur dans l‟une des positions

des figures 6 b ou 6 c, il se forme un vortex. Cette technique peut également être

utilisée dans des petits réservoirs ou dans des applications particulières (par exemple,

stockage de pâte de haute densité en papeterie, α peut alors être nul).

Figure 5 : Formes des courants créés par un mobile à débit axial



Figure 6 : Agitation de grands réservoirs

II.2.3 Turbulence et pompage

En général, on peut dire que deux actions bien distinctes sont demandées à un

mobile d‟agitation :

une action de pompage ;

une action de turbulence.

Suivant la forme et le type du mobile, les proportions relatives de turbulence et de

débit de pompage peuvent varier considérablement. On verra dans le paragraphe 3

comment évaluer ces deux actions.

Mais à titre de comparaison, on a représenté (figure 7) la proportion entre débit de

pompage et turbulence pour différents types d‟agitateurs consommant une puissance

donnée.

Chaque mobile crée dans sa zone d‟action des formes de cisaillement plus ou moins

grandes, qui peuvent être déterminantes pour certaines applications spécifiques

(dispersion, agitation de produits non newtoniens). Ces forces sont faibles dans le cas

de mobiles à débit axial mais peuvent être très importantes pour des mobiles à débit

radial. Les deux notions, pompage et turbulence, vont conditionner la sélection d‟un

mobile d‟agitation en fonction de l‟opération de mélange à réaliser.



Figure 7 : Proportion entre débit de pompage et turbulence suivant le mobile d’agitation

II.2.4 Géométrie d’un système d’agitation

Lors de ses travaux sur l‟agitation, Rushton a défini une cuve dite standard.

Les dimensions de cette cuve standard sont :

diamètre de la cuve = hauteur du liquide, soit D = H ;

diamètre du mobile d‟agitation d = D/3 ;

hauteur du mobile par rapport au fond de la cuve Y = d = D/3 ;

chicanes de largeur b = 10−1 D collées ou décollées de la paroi avec

b‟ = 2 x 10−2 D.

Figure 8 : Cuves et mobiles : configurations possibles



En réalité toutes les cuves ne sont pas standard ; en particulier les rapports d/D

s‟écartent plus ou moins de la valeur 1/3 et les rapports H/D peuvent être supérieurs à

1. Si H/D > 1, plusieurs mobiles d‟agitation peuvent être placés sur l‟arbre (figure 8).

II.2.5 Régimes d’écoulement

En mécanique des fluides, l‟écoulement d‟un fluide de vitesse U (m/s), de masse

volumique ρ (kg/m3), de viscosité dynamique µ (Pa. s), dans un tube de diamètre d‟,

est caractérisé par le nombre de Reynolds défini par :

9

avec U : vitesse d‟écoulement,

: viscosité cinématique :

d‟ : diamètre de la conduite.

Pour un mobile d‟agitation de diamètre donné d, tournant à une vitesse N, la vitesse

périphérique est proportionnelle à Nd.

Le nombre de Reynolds de l‟agitateur se définira par :

10

Selon la valeur de Re, on pourra distinguer trois régimes hydrodynamiques :

laminaire, intermédiaire, turbulent.

Le nombre de Reynolds correspondant au début du régime turbulent dépend du

type de mobile d‟agitation et de la configuration du système d‟agitation.

Pour les mobiles à débit radial : Re ≈ 104.

Pour les mobiles à débit axial : Re ≈ 105.

Le régime laminaire se traduit par l‟absence de mouvement du fluide dans une

direction différente de celle imposée par le mobile d‟agitation. Le seul mélange qui

puisse se faire entre les couches parallèles au courant est dû uniquement à la diffusion

moléculaire et est indépendant de la puissance fournie qui, d‟ailleurs, est dissipée sous

forme de chaleur.

Le régime turbulent se caractérise par des mouvements dans toutes les directions

et donc par un bon mélange des filets de fluides.



Pour caractériser le niveau de turbulence, il faut analyser en un point donné M de la

cuve le vecteur vitesse instantanée. Celui-ci subit des variations incessantes et

désordonnées, mais sa valeur moyenne reste en général constante si le régime

d‟écoulement est permanent. La figure 9 représente un enregistrement type de la

vitesse en un point M en considérant une seule direction : Ox, par exemple.

Figure 9 : Vitesse en un point donné : évolution en fonction du temps

À un instant donné, on peut poser :

11

Avec vitesse moyenne du liquide,

fluctuation de vitesse du fluide en M.

Les valeurs moyennes de dans le temps sont nulles. On utilise souvent , la

valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse :

√

12

On appelle intensité de turbulence en un point donné M, dans une direction donnée

Ox, le rapport

⁄ .

Les définitions précédentes permettent de définir un mouvement moyen et un

mouvement de turbulence . Le mouvement moyen est constitué de gros

tourbillons, un mouvement passager de fluide de dimension caractéristique L, tandis



que le mouvement de turbulence ou tourbillonnaire est constitué de tourbillons

énergétiques de dimension caractéristique auxquels on associe un nombre de

Reynolds :

13

Les mouvements passager de fluide sont renouvelés en permanence par le mobile

d‟agitation et évoluent vers des structures fines dont l‟énergie cinétique se dissipe. La

puissance ε dissipée par unité de masse de solution dans les petits tourbillons est :

14

Elle est proportionnelle à la viscosité cinématique du fluide, au carré de la valeur

quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse , et inversement proportionnelle à la

taille des petits tourbillons.

Dans un système d‟agitation donné, on peut considérer que l‟énergie dissipée

localement ε est proportionnelle à la puissance d‟agitation volumique P/V (avec P

puissance d‟agitation et V volume du liquide agité), le coefficient de proportionnalité

étant fonction de la nature du mobile et du point considéré. Par conséquent, les valeurs

de la fluctuation de vitesse dépendent de la puissance fournie par le mobile

d‟agitation. Mais certains mobiles dissipent une part importante de l‟énergie sous forme

de turbulence (mobile radial), d‟autres sous forme de circulation (mobile axial).

II.3 Paramètres globaux d’un système d’agitation [6] [7]

II.3.1 Puissance dissipée

La puissance nécessaire pour agiter un milieu quel qu‟il soit, constitue toujours une

donnée importante pour l‟ingénieur. Dans le cas qui nous intéresse, nous avons pour

fonction de déterminer les paramètres rhéologiques de la matière en suspension et les

paramètres du système d‟agitation. Il est important alors de déterminer la puissance

nécessaire à son entraînement car c‟est un élément important puisqu‟elle permet de

comparer et de choisir, sur le plan consommation d‟énergie, les performances de

plusieurs mobiles.



II.3.1.1 Application de la similitude et de l’analyse dimensionnelle au calcul

de la puissance

Un problème d‟agitation fait intervenir un certain nombre de variables dont :

3 caractéristiques des fluides à agiter : la masse volumique ρ (kg/m3), la

viscosité dynamique µ (Pa · s) et la tension superficielle (N/m) ;

3 caractéristiques cinématiques et dynamiques : la vitesse de l‟agitateur N

(tr/s), l‟accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s2 et la puissance absorbée pour

vaincre les forces de résistance P (W) ;

(au moins) 10 caractéristiques aussi bien de l‟agitateur lui-même que de

l‟appareil dans lequel il fonctionne et des accessoires qui y sont fixés, tels que :

serpentins, chicanes, etc.

Ce qui peut s‟écrire :

( )

Ces 16 variables peuvent s‟exprimer à partir des trois unités fondamentales :

masse, longueur et temps. L‟application du théorème de Vaschy-Buckingham permet

de transformer la relation précédente en une relation comportant 16 − 3 = 13 nombres

sans dimension. Ce sont les nombres suivants :

15

qui caractérise le rapport entre les forces d‟inertie et les forces de viscosité est le

nombre de Reynolds de l‟agitateur ;

16

qui caractérise le rapport entre les forces d‟inertie et les forces de gravité est le nombre

de Froude ;

17

est appelé nombre de puissance. C‟est le coefficient de traînée de l‟agitateur dans le

fluide ;

18

qui caractérise l‟action des forces de tension superficielle. C‟est le nombre de Weber ;



les rapports géométriques

L‟équation générale peut alors s‟écrire, soit :

(

) 19

soit encore en adoptant un développement en puissance :

20

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

II.3.1.2 Courbes caractéristiques

Pour des systèmes cuves-agitateurs géométriquement semblables, quelle que soit

la nature des fluides, l‟équation se réduit à :

21

ou encore à la fonction

22

Cette relation se traduit par une courbe appelée courbe caractéristique d‟un mobile

d‟agitation, donnant les variations de Φ en fonction du nombre de Reynolds.

Les deux cas suivants peuvent se présenter :

en présence d‟un vortex (sans chicane) :

si Re< 300 :

si Re> 300 :

et

avec a et a‟ coefficients donnés dans le tableau 3 ;

en l‟absence d‟un vortex (avec chicanes) :

( ) 23



La figure 10 représente, en l‟absence et en présence d‟un vortex, l‟allure générale

de la courbe caractéristique d‟un mobile d‟agitation. Elle met en évidence les 3 zones

de fonctionnement définies au paragraphe 2.5.

Tableau 3 : Coefficients a et a’

Mobile d'agitation

np ou p

a a'

Turbine à np pales droites

np = 4 np =

6

3,3 3

2,7 à 3,9 2,7 à 3,9

0,75 à 1,3

0,75 à 1,3

1 1

40 40

Hélice marine de pas p

p=d 3 2,7 à 3,9 0,75 à

1,3 2,1 18

Figure 10 : Courbes caractéristiques de puissance : allure générale



II.3.1.2.1 Régime laminaire

Dans le cas où Re< 10 (zone AB, figure 10)

Dans l‟équation

x=-1 et y=0,

d‟où :

24

D‟après la définition de :

25

La puissance est indépendante de la masse volumique du fluide et de la présence

ou non de vortex, mais proportionnelle à la viscosité.

II.3.1.2.2 Régime intermédiaire

Dans le cas où 10 <Re< 104 (selon le type de mobile) (zones BC ou BE, Figure 10).

L‟expression mathématique de la courbe ( ) n‟est pas simple. On

détermine la puissance en utilisant directement la courbe

II.3.1.2.3 Régime turbulent

Dans le cas où 104 <Re< 105 (zones CD ou EF, figure 10). Ce régime se caractérise

par un constant et donc indépendant du nombre de Reynolds pour des valeurs de

:

avec un vortex,

26

sans vortex

27

et 28

Dans une cuve munie de chicanes (sans vortex) fonctionnant en régime turbulent,

la puissance dissipée est indépendante de la viscosité du fluide.



II.3.1.2.4 Influence du nombre de mobiles d’agitation

Dans le cas d‟un arbre comportant plusieurs mobiles d‟agitation (figure 8), la

puissance absorbée dépend de la position des mobiles les uns par rapport aux autres

et aussi du rapport H/D. En première approximation, on peut cependant dire que la

puissance totale absorbée est égale à la somme des puissances absorbées par chaque

mobile.

II.3.2 Débits de pompage et de circulation

II.3.2.1 Débit de pompage

Le débit de pompage est le débit de liquide qui passe effectivement dans le

mobile d‟agitation. Il est proportionnel à la vitesse de rotation N, et au cube du diamètre

du mobile d, soit :

29

Le coefficient de proportionnalité est appelé nombre de pompage. Il est

fonction du type de mobile d‟agitation et du régime hydrodynamique. Dans le cas du

régime turbulent peut être considéré comme constant et ses valeurs sont données

dans l‟annexe a3.

II.3.2.2 Débit de circulation

Le débit de pompage induit dans le volume de la cuve, par transfert de quantité de

mouvement, un débit d‟entraînement . Le débit de circulation est la somme du

débit d‟entraînement et du débit de pompage , soit :

30

D‟après les travaux de plusieurs auteurs [1, 2, 7], on admet que, quel que soit le

type de mobile d‟agitation, le rapport est à peu près constant et vaut environ

1,8. On pourra définir un nombre de circulation par :

31



II.3.3 Gradient de vitesse [8]

Le liquide quittant la pale de l‟agitateur crée des effets de cisaillement dans le

liquide. Le gradient de vitesse (appelé encore taux de cisaillement) se mesure à partir

de la pente de l‟enveloppe des vecteurs vitesses :

32

La contrainte de cisaillement se définit par la loi de Newton :

33

Oldshue a montré qu‟il fallait distinguer deux gradients de vitesse : un gradient

moyen et un gradient maximal. La figure 11a donne la variation de ces gradients de

vitesse moyenne et maximale pour une turbine disque à 6 pales droites, en fonction de

la vitesse de rotation. Le gradient maximal est environ égal à 2 fois le gradient moyen.

La figure 11b donne la variation des gradients de vitesse moyenne et maximale en

fonction du diamètre de la turbine pour une vitesse d‟agitation N constante. Le gradient

moyen reste constant tandis que le gradient maximal augmente avec le diamètre de la

turbine. Il s‟agit d‟un élément important pour l‟extrapolation d‟un système d‟agitation.

Le gradient de vitesse moyen (Gm) autour du mobile d‟agitation est proportionnel à la

vitesse de rotation du mobile :

34

Il est possible de définir un gradient de vitesse moyen dans toute la cuve proportionnel

à N :

35

et sont des valeurs constantes données par les constructeurs selon les types de

turbines.



Figure 11 : Gradients de vitesse moyen et maximal pour une turbine à 6 pales droites

II.4 Paramètres locaux d’un système d’agitation [6]

L‟analyse locale du comportement de la cuve agitée présente plusieurs intérêts. La

connaissance du champ de vitesse en tout point de la cuve donne accès à la

circulation globale, à la localisation des zones d‟eaux mortes et des zones à fort

gradient de vitesse. La connaissance du champ de vitesse induit par un mobile

d‟agitation permet de choisir la position et le type d‟agitateur le mieux adapté à un

procédé : mise en suspension, dispersion de particules solides ou dispersion de bulles

ou de gouttes. La connaissance du champ turbulent permet de quantifier le mélange en

estimant les échelles caractéristiques des tourbillons énergétiques, le niveau d‟énergie

associé et le taux de dissipation d‟énergie.

Pour accéder aux grandeurs locales, l‟analyse expérimentale serait alors indispensable.

II.4.1 Moyens de mesure

Nous voulons étudier le comportement et les caractéristiques des pâtes granulaires.

Mais comment mesurer, en pratique, la viscosité de cisaillement d‟un fluide? Comment



mesurer ses contraintes normales? Comment obtenir ses profils de vitesse? Dans ce

paragraphe, nous exposons les techniques utilisées qui nous permettent d‟apporter une

réponse à ces questions.

II.4.1.1 Acquisition des données

Il existe différentes techniques pour obtenir tous les paramètres rhéologiques

mentionnés ci-dessus. Pour notre cas, l‟objectif consiste à caractériser, d‟une part, le

système d‟agitation en lui-même, et d‟autre part, l‟écoulement, lequel conditionne le

mélange. Deux méthodologies complémentaires sont mises en place à cette fin : d‟une

part, la réalisation d‟essais expérimentaux et d‟autre part, la réalisation de l‟analyse

numériques d‟écoulements. De ce fait, l‟obtention des données serait alors effectuées

par la réalisation de plusieurs expériences que nous allons développer dans la

deuxième partie de l‟ouvrage.

II.4.1.2 Traitement des données

Les essais expérimentaux nous permettent essentiellement de caractériser le

système d‟agitation et, en particulier, de déterminer la courbe caractéristique du mobile

d‟agitation. Concernant la détermination de la loi rhéologique de notre suspension eau-

déchets cellulosique, la réalisation des essais expérimentaux nous permet de mettre en

évidence les puissances consommées par l‟agitateur, puis de déterminer les différents

paramètres. A partir de ces essais expérimentaux réalisés, nous ne pouvant aboutir à la

réalisation des discussions des résultats que par le traitement des données statistiques.

II.4.2 Techniques numériques

Après avoir effectués les essais, le traitement des données ne peuvent être opérés

que par le biais de traitement numérique. Des concepts seraient alors présentés ainsi

que des outils permettant d‟aboutir à l‟obtention des objectifs visés et ce qui nous

conduit au chapitre suivant permettant d‟exposer les théories utilisés, cependant les

outils de traitement numériques des données seront présentés dans la partie II.

Etude bibliographique Chapitre III


CHAPITRE III. LES MODELES MATHEMATIQUES

III.1 Mélange en cuve agitée

Dans les procédés de fabrication, toutes les industries mettent en œuvre l‟opération

unitaire d‟agitation-mélange, dont le but est toujours d‟obtenir une uniformité de

concentration ou de température. Cette homogénéisation est directement liée à la

nature des écoulements engendrés au sein du milieu par le mode d‟agitation choisi. La

qualité d‟un mélange résulte donc toujours des interactions entre les propriétés

rhéologiques du milieu, la géométrie de l‟agitateur et les conditions de sa mise en

œuvre.

III.1.1 Caractérisation du système d’agitation

Les systèmes d‟agitation utilisés expérimentalement, dans le cadre de ce travail, à

l‟échelle du laboratoire, pour la réalisation de l‟opération de mise en suspension eau-

déchets cellulosiques, ne correspondent pas aux cuves standards pour lesquelles de

nombreuses informations peuvent être trouvées dans la littérature. Il s‟agit dès lors de

caractériser le système d‟agitation, et en particulier de déterminer la courbe

caractéristique du mobile d‟agitation

. En pratique, nous préférons travailler

avec la relation Np-Re-Fr, donnée à l‟équation 21, et reprise à la figure 12.

La détermination de la relation Np-Re-Fr peut s‟effectuer en utilisant des fluides

newtoniens, dont la masse volumique, ρ (kg/m3), et la viscosité, µ (Pa.s), sont connues

(figure 12). Pour notre sujet d‟étude, le fluide newtonien que l‟on a choisi est l‟eau vu

que la masse volumique ainsi que sa viscosité sont tous connues.

La détermination de la puissance dissipée dans ce fluide, P (W), lorsqu‟il est agité

au moyen du mobile d‟agitation, de diamètre d (m) tournant à une vitesse de rotation,

N(1/s), permet de déterminer les trois nombres sans dimension : le nombre de

Reynolds, Re (équation 15), le nombre de Froude, Fr (équation 16), et le nombre de

puissance, Np (équation 17). La détermination de la puissance dissipée dans le fluide,

P, peut s‟effectuer expérimentalement ou numériquement. Les trois paramètres

inconnus, k, x et y, apparaissant dans la relation Np-Re-Fr (figure 12), sont déterminés

par une méthode d‟ajustement sur les données expérimentales. L‟annexe a3 montre les



différentes courbes caractéristiques ( ) de certains systèmes d‟agitation selon

les types de pâles.

Cette figure permet de mettre en évidence la méthode permettant d‟exposer la

démarche adoptée pour faire ressortir la courbe caractéristique du mobile. En premier

lieu, des essais expérimentaux avec du fluide newtonien vont être réalisé. Pour notre

cas, on a opté pour l‟eau vu que ρ et µ sont déjà connues.

Au cours de ces essais, les valeurs des puissances vont être relevées

numériquement à l‟issu de l‟analyseur de réseau. Grâce à ces informations comme P,

µ, ρ, d, N et g, le calcul de Np, Re et Fr peuvent être établies.

Ensuite, par la méthode d‟approximation, permettant de trouver les paramètres k, x

et y avec l‟outil de résolution mathématique, on peut obtenir les valeurs de Np.

Par conséquent, la courbe caractéristique de l‟agitateur peut être obtenue en

traçant ( ) .

Figure 12 : Méthodologie pour la détermination de la courbe caractéristique du mobile d’agitation (ou de la relation Np-Re-Fr)



III.2 Le concept de Metzner et Otto [9] [10]

III.2.1 Introduction

L'approche classique pour estimer le taux de cisaillement dans les cuves agités est

l'utilisation de la méthode de Metzner-Otto. En conséquence, un mobile d‟agitation

donnée avec une vitesse de rotation, N, produit un taux effectif de déformation, ,

dans le réservoir de mélange qui pourrait être estimé par :

36

où N est la vitesse de rotation, KS est le coefficient de Metzner-Otto. C‟est une

constante de proportionnalité qui doit être évalué expérimentalement pour chaque

système d‟agitation.

La valeur des KS dans l‟équation 36 est estimée en employant la mesure de

puissance d'énergie pour les fluides newtoniens et non newtoniens en utilisant la

vitesse de rotation du mobile d‟agitation identique et le même arrangement de système

de mélange.

Bien qu'à l'origine les constantes KS aient été postulés pour être une constante

vraie pour une géométrie de système de mélange donnée et indépendant du liquide

rhéologique, plus tard il s'est avéré fonction de l'index de loi de puissance proposant de

ce fait le taux efficace de cisaillement pour être fonction des propriétés rhéologiques.

III.2.2 Théorie

Metzner et Otto ont développé un ensemble de propositions qui vise à unifier le

traitement de la puissance d'agitation dans le cas de fluides à comportements

rhéologiques newtonien et pseudoplastique. La procédure qu‟ils recommandent et qui a

été adoptée par de nombreux chercheurs est la suivante :

1. déterminer les variations du nombre de puissance avec le nombre de Reynolds

dans le cas d'un fluide newtonien de viscosité connue. Tracer la courbe a ;

2. déterminer la rhéologie du fluide considéré dans le cadre du modèle d'Ostwald

de Waele. Tracer la courbe b, viscosité apparente en fonction du gradient de

vitesse :

37



3. mesurer la puissance nécessaire pour agiter le liquide pseudoplastique et

calculer le nombre de puissance Np. En utilisant la courbe a, on peut faire

correspondre à ce nombre de puissance une valeur , dite nombre de

Reynolds apparent. On en déduit une viscosité apparente

38

4. l'exploitation de la courbe b permet alors de faire correspondre à un gradient

de vitesse , appelé gradient de vitesse apparent.

5. au cours d'essais expérimentaux systématiques, Metzner et Otto, Metzner et

coll., ont alors montré qu'il existe une relation de proportionnalité entre et la

vitesse de rotation de l'agitateur, soit :

39

La constante B ne dépend que des caractéristiques géométriques de l‟ensemble

cuve-agitateur et est indépendante de la rhéologie du fluide.

La viscosité apparente s‟écrit alors :

( ) 40

et le nombre de Reynolds apparent :

41

Si le coefficient B, caractéristique de la géométrie utilisée, est connu, il suffit en

effet de disposer de la courbe de puissance établie avec un liquide newtonien, et de

l‟équation rhéologique du fluide.

Le tableau 4 suivant rassemble divers résultats obtenus par des auteurs en

appliquant la théorie de Metzner et Otto. Si certains auteurs vérifient bien

l‟indépendance de B par rapport à l‟indice de comportement n, d‟autres notent des

relations, essentiellement dans le cas de l‟ancre, agitateur le plus souvent étudié :

Calderbank et Moo-Young suggèrent que B est proportionnel à (

)

.

numériquement, ceci signifie que lorsque n croît de 0,3 à 0,9, B est divisé par

1,05 ;

Rieger et Novak proposent une corrélation qui est telle que lorsque n croît de 0,3

à 0,9, B est divisé par 4 environ, ce qui traduit une dépendance très marquée

vis-à-vis de n ;



De la relation de Shilo, lorsque

, nous observons qu‟une variation de n

de 0,3 à 0,9 entraîne une diminution de B, de 23 à 17 ;

Beckner et Smith notent également une diminution assez marquée de B avec n.



Tableau 4 : Coefficient B de la théorie de Metzner et Otto

AGITATEUR REFERENCE B

hélice marine, turbine,

agitateur à pâle

avec

KOEN (1978)

agitateur bipale

avec

HIRAOKA et coll. (1979)

ruban hélicoïdal EDWARDS et coll. (1976)

YAP et coll. (1979)

CHOWDHURY et

TIWARI (1979)

B voisin de 30

vis hélicoïdale EDWARDS et coll. (1976) B = 12

Ancre

;

;

EDWARDS et coll. (1976)

B = 21.5

dimensions

variables CALDERBANK et MOO-

YOUNG (1959)

[ (

)

( )

] (

*

;

;

;

RIEGER et NOVAK (1973)

dimensions

variables SCHILO (1969)

{

(

* (

)

[( )

]

}

dimensions

variables,

avec

BECKNER et SMITH

(1966) cites par

RIEGER et NOVAK

(1973)

[ (

*] ( )



III.2.3 Conclusion

Le concept de Metzner et Otto consiste, en utilisant le système d'agitation comme

un rhéomètre de procédé, à définir la viscosité apparente moyenne , comme égale

à celle d'un fluide newtonien qui nécessiterait la même puissance dans les mêmes

conditions géométriques et opératoires (diamètre et vitesse de rotation du mobile) ; en

se reportant au rhéogramme du fluide, on en déduit la viscosité pour chaque vitesse

de rotation de l‟agitateur N. A partir de cela donc, on peut faire ressortir le paramètre de

l‟agitateur selon Metzner et Otto.

III.3 Ajustement de courbe [11]

L'ajustement de courbe est une technique d'analyse d'une courbe expérimentale,

consistant à construire une courbe à partir de fonctions mathématiques et d'ajuster les

paramètres de ces fonctions pour se rapprocher de la courbe mesurée, on parle donc

aussi d'ajustement de paramètres.

Pour effectuer cet ajustement, on utilise des méthodes de régression. Dans les cas

simples, il s'agit de régression multilinéaire si la loi est linéaire pour tous les

paramètres, ou de régression polynomiale lorsque l'on utilise un polynôme pour simuler

le phénomène.

Les méthodes de régression classiques permettent de déterminer les paramètres à

partir de calculs sur les données, mais sont inapplicables si la fonction est trop

complexe. Il faut alors travailler par essai-erreur pour se rapprocher d'une solution, au

sens de la méthode des moindres carrés. La solution n'est pas nécessairement unique.

III.3.1 Ajustement algébrique ou géométrique

On distingue deux types d'ajustement :

les ajustements algébriques consistent à minimiser l'écart vertical (en y) entre la

courbe modèle et les points expérimentaux ;

les ajustements géométriques consistent à minimiser la distance

perpendiculairement à la courbe modèle ; c'est le cas par exemple de la

régression circulaire ou elliptique, qui consiste à trouver le cercle, l'ellipse, la plus

proche des points.

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_multilin%C3%A9aire

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_polynomiale

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_moindres_carr%C3%A9s



Dans le cas d'un ajustement géométrique, on parle de la méthode des moindres

carrés totaux. En effet, on prend en compte les deux coordonnées x et y pour la

détermination de l'écart quadratique.

III.3.2 Fonction modèle utilisée

Dans certains cas, on a un modèle théorique permettant de prévoir la forme de la

courbe ; la méthode d'ajustement permet de déterminer les paramètres de l'échantillon.

Dans d'autres cas, on utilise une fonction empirique ; on s'intéresse alors en général à

la surface, la largeur ou à la position du maximum de la fonction.

On utilise souvent des polynômes : ce sont des modèles qui se calculent

facilement. Pour les formes de type « pic » (distributions unimodales), on utilise

fréquemment des fonctions gaussiennes, lorentziennes ou bien des combinaisons

(fonctions ou pseudo-fonctions de Voigt), ou encore des fonctions de Pearson.

De manière générale, on a une fonction ƒ modèle ayant n paramètres p1, p2,…, pn

qui relie l'abscisse x à l'ordonnée y :

( ) 42

et l'on compare cette fonction avec les m points expérimentaux

[( ) (

) ( )] 43

La fonction ƒ peut être parfois décomposée en plusieurs fonctions ƒ1, ƒ2… soit

qu'elle en est la somme, le produit, le produit de convolution…

III.3.3 Démarche de régression

III.3.3.1 Considération générale

On calcule les points yical de la courbe simulée :

( )

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_%28statistiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gaussienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_lorentzienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Voigt

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Pearson

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_%28arithm%C3%A9tique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_math%C3%A9matique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_convolution



Habituellement, on utilise un algorithme de régression visant à minimiser l'écart

quadratique entre la courbe simulée et la courbe expérimentale ; on parle d'algorithme

de minimisation de l'erreur.

On définit donc un facteur de fiabilité (reliability factor) R :

√∑ (

)

∑

44

où yiexp est le i-ème point mesuré et yi

cal est le i-ème point calculé. Le facteur R est

similaire dans son expression au coefficient de corrélation multiple (R² étant alors le

coefficient de détermination). On utilise plus couramment le facteur de fiabilité pondérée

(weighted reliability factor) Rwp :

√∑ (

)

∑

45

où wi est le poids attribué au point i ; ce poids représente l'incertitude associée au

point i.

La régression consiste à trouver le jeu de paramètres (p1, p2,…, pn) tel que Rwp est

minimal. On a donc notamment :

46

Dans les cas simples, le système d'équations que l'on obtient peut se résoudre

« simplement » ; en particulier pour les régressions multilinéaires, on peut le résoudre

par inversion de matrice.

III.3.3.2 Régression non linéaire [12]

Lorsqu'il n'est pas possible de résoudre simplement le système d'équations, on

peut utiliser la méthode de Newton-Raphson.

C'est un algorithme itératif où à chaque étape, on regarde de quelle manière une

petite variation d'un paramètre fait varier le facteur de fiabilité R. Le jeu de paramètre

retenu pour l'étape suivante est obtenu par extrapolation de ces petites variations, par

linéarisation c‟est-à-dire, on cherche les valeurs des paramètres qui rendraient R nul si

ses variations étaient proportionnelles à celles des paramètres. Le calcul s'arrête

lorsque l'on n'arrive plus à diminuer le facteur de fiabilité, on parle de convergence.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89cart_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89cart_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_de_corr%C3%A9lation_multiple

http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_de_d%C3%A9termination

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton-Raphson

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_it%C3%A9ratif



Si l'on note (pk) l'ensemble des paramètres, l'intensité calculée en chaque point i à

l'étape j s'exprime par

47

Pour simplifier les calculs, on peut faire un développement limité du premier ordre

de cette fonction ƒ, alors en appliquant des incréments Δpk aux paramètres, on peut

écrire

48

en imposant yical = yi

exp, on obtient ainsi un système d'équations linéaires (nous

omettons l'indice j pour plus de clarté) :

qui peut se résoudre par une pseudo-inversion de matrice, ce qui permet de calculer les

Δpk et donc les valeurs des paramètres à l'étape suivante j + 1 :

si l'on appelle A la matrice , le système d'équations s'écrit

49

La matrice pseudo-inverse B a les mêmes dimensions que tA (la matrice

transposée de A) et vérifie

A×B×A = A ;

B×A×B = B ;

A×B et B×A sont hermitiennes.

La matrice pseudo-inverse peut se calculer par décomposition en valeurs singulières.

On prend alors:

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quations_lin%C3%A9aires

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-inverse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_transpos%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_transpos%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_hermitienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_valeurs_singuli%C3%A8res



( )

(

) (

)

La pseudo-inversion est justifiée par le fait que le premier membre du système

d'équations s'écrit alors

( ) *(

) ( )

+ 50

si on le multiplie par B, il devient :

*( ) (

) + (

) ( )

51

et donc on a bien

* ( ) (

) + (

) 52

Notons qu'il s'agit d'une condition suffisante, mais pas nécessaire.

Il s'agit bien d'une application de la méthode de Newton-Raphson, puisque l'on

linéarise la fonction et que l'on cherche le point qui annule R (R = 0 si yical = yi

exp pour

tout i).

En remarquant que A est en fait la matrice jacobienne de ƒ (A = J), on voit que le

système d'équations est constitué des équations normales. Les incréments des

paramètres peuvent alors se calculer par

( ) ( ) *(

) ( )

+ 53

On retrouve alors l'algorithme de Gauss-Newton.

Parfois, la linéarisation est « trop violente » : si la fonction présente une

« courbure » importante lorsque les paramètres varient, l'application de la « loi

tangente » peut éloigner de la solution plutôt que rapprocher. On peut donc utiliser un

coefficient d'atténuation d ≤ 1, on a alors :

( )

(

) (

) 54

On peut aussi utiliser un algorithme plus complexe utilisant les dérivées secondes.

Il peut arriver que le programme converge vers un minimum local de R qui n'est pas

le minimum absolu. Pour éviter cette situation, on utilise l'algorithme de Metropolis-

Hastings : lorsque l'on a convergé, on fait varier les paramètres d'une certaine valeur et

on recommence le processus pour voir si l'on arrive à converger vers un autre jeu de

paramètres ayant un facteur de fiabilité plus faible.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-solution

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Gauss-Newton

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Metropolis-Hastings

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Metropolis-Hastings



Si la simulation était parfaite, le facteur de fiabilité aurait une valeur dépendant du

rapport signal sur bruit. Si l'on sait calculer ce rapport signal sur bruit, c'est-à-dire si l'on

connaît la loi de probabilité régissant les fluctuations du signal, on peut alors déterminer

un facteur de fiabilité incompressible R0. Si la simulation est parfaite, on a alors

De ce fait, la qualité de la simulation est souvent exprimée par le rapport R/R0, qui

doit tendre vers 1 au fur et à mesure des étapes itératives.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rapport_signal_sur_bruit

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_probabilit%C3%A9

PARTIE II :

ETUDE EXPERIMENTALE

Etude expérimentale Chapitre IV


CHAPITRE IV. MATERIELS ET METHODES

De très nombreuses méthodes expérimentales sont proposées dans la littérature

pour la détermination des grandeurs rhéologiques comme l‟utilisation des viscosimètres

capillaires, viscosimètres à cylindres coaxiaux, viscosimètres cône-plan ou viscosimètre

à chute de billes. Cependant, la plupart de ces méthodes ne sont pas adaptées à la

détermination de la viscosité de notre matière en suspension et de caractériser notre

système d‟agitation.

Metzner et Otto proposent alors d‟utiliser un système d‟agitation comme rhéomètre

et de définir la viscosité apparente de la suspension, considérée comme un fluide

homogène, qu‟il ait un comportement newtonien ou non, comme étant égale à celle

d‟un fluide newtonien de référence qui nécessiterait la même puissance dissipée dans

les mêmes conditions géométriques et opératoires.

IV.1 Méthodologie générale

L‟idée de départ est de se baser sur la définition de la viscosité apparente des

suspensions telle qu‟elle est donnée par Metzner et Otto en faisant une comparaison

avec le résultat des fluides newtoniens.

En pratique donc, la viscosité apparente inconnue d‟un fluide, quel qu‟il soit, se

détermine par comparaison entre les courbes obtenues par les valeurs de Np du fluide

de référence et du liquide étudié. La figure 12 (III.1.1 p 31) illustre les démarches à

suivre à la réalisation des essais expérimentaux.

Pour notre cas, nous avons utilisé de l‟eau comme fluide de référence vu que c‟est

un fluide newtonien et que nous allons comparer avec la pâte de papier.

Il s‟agit donc de déterminer la puissance dissipé P, de l‟eau par la mise en rotation,

à une vitesse N, d‟un mobile d‟agitation de diamètre d au sein du système d‟agitation.

Ensuite, effectuer le même processus pour le cas de la pâte à papier. A partir de

plusieurs essais expérimentaux, des données sont obtenus afin de tracer les courbes

caractéristiques de l‟agitateur et de faire une comparaison entre les résultats obtenus

par le fluide newtonien et notre fluide étudié.

A l‟issu de la comparaison des courbes, la viscosité apparente de la suspension,

telle qu‟elle est définie par Metzner et Otto, est alors déterminée.



IV.2 Installation et protocole expérimentaux

La réalisation des essais expérimentaux a été effectuée au Bloc Technique

Vontovorona. Le type de mélange à réaliser est un mélange de solide-liquide où l‟on a

utilisé du papier et de l‟eau. L‟opération consiste à mettre en suspension les matières

dont on déterminera son comportement rhéologique à partir de la théorie que nous

avons déjà mentionné dans la partie bibliographique.

Trois différents types de papier ont été considérés afin d‟aboutir à nos objectifs : le

papier carton, le papier vélin et le papier journal.

Ainsi, des appareils ont été utilisés afin de réaliser les recueils des données à citer :

Le broyeur ;

Le variateur de vitesse ;

L‟analyseur de réseau.

IV.2.1 Le broyeur

Le système d‟agitation utilisé est une cuve ronde de capacité 50l, de volume 75l

avec trois types de mobile d‟agitation du fait de ses angles d‟inclinaison qui sont de 45°,

60° et de 90°.

Comme la fonction principale de l‟agitateur est de disperser les matières en

suspensions, le mobile est de type rotor-stator. D‟après le chapitre 2 sur les théories de

l‟agitateur, le flux principal créé par ce mobile est de type radial, ces mobiles fournissent

un débit perpendiculaire à l‟arbre d‟agitation. Ils génèrent de très fort pouvoir de

cisaillement. La présentation des caractéristiques géométriques du broyeur est figurée

dans l‟annexe a4.

Le système d‟agitation est entraîné par un moteur asynchrone triphasé dont les

caractéristiques sont les suivantes :



Tableau 5 : Plaque signalétique du moteur d’entrainement

Moteur asynchrone: Rotor CTLT CS 11 60

Type: LS 112 M1 4 KW

Cos ϕ: 0,88

Rdt: 82%

Tr: 1430 tr/min

Classe d'isolation: E

Fréquence: 50 Hz Phase 3

ΔV: 220 A 14,5

YV: 380 A 8,4

S1: 71

Ambiante C°: 40

N°: 159367 IP 44

IV.2.2 Le variateur de fréquence

Comme notre principal objectif est de déterminer la puissance dispersée par un

mobile varient en fonction de cube de la vitesse de rotation, un variateur de vitesse pour

moteur asynchrone ATV 28 a été installé afin d‟optimiser la vitesse de rotation et de

faciliter les recueilles des données.

Grace à cet appareil, nous avons eu l‟opportunité d‟imposer les valeurs de la

fréquence de 2, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et de 50 Hz afin d‟obtenir des

données complètes.

La figure suivante13 représente les touches ainsi que leur fonction permettant de

configurer l‟appareil.



Figure 13 : Configuration de l’ATV 28

IV.2.3 L’analyseur de réseau - Qualistar

Nombreux sont les appareils que l‟on peut utiliser pour obtenir les valeurs de la

puissance à partir de l‟agitation du fluide mais grâce à l‟installation d‟un analyseur de

réseau de Chauvin Arnoux, nous avons pu acquérir des données de puissance fiables

du fait de la précision de l‟appareil. Ce dispositif est destiné aux services de contrôle

des installations industrielles et permet d‟obtenir une image instantanée des principales

caractéristiques de la qualité du réseau électrique.

Les différentes fonctionnalités que cet appareil offre sont les suivantes :

Affichage en temps réel des formes d‟onde avec 4 tensions et 4 courants ;

Mesures des tensions et courants efficaces à la ½ période ;

Reconnaissance automatique des différents capteurs de courant ;

Mesure sur tout type d‟installation ;

Mesure des puissances P, Q, S et D, totales et par phase ;

Mesure des énergies, totales et par phase ;

Sauvegarde et enregistrement des captures d‟écran (image et données) ;

Enregistrement et exportation sur PC ;

Logiciel de rapatriement des données et de communication en temps réel

avec un PC.



Ce dispositif mesure donc des paramètres de tension, courant et puissance utiles

d‟une installation électrique. Aussi, il capture et enregistre simultanément ces différents

paramètres.

IV.2.3.1 Branchements

Les analyseurs Qualistar conviennent aux applications sur tous les types de

réseaux électriques, du plus simple au plus complexe, donc cela nous a facilité les

tâches de branchements avec le réseau triphasé.

Figure 14 : Branchement de l’appareil avec le réseau triphasé

IV.2.3.2 Configuration

Après avoir installé tous les dispositifs et accessoires, l‟appareil doit être paramétré,

c'est-à-dire l‟utilisateur entre directement les paramètres généraux comme

la date, l‟heure, le contraste d‟affichage, couleur …

le type de réseau sur lequel le Qualistar est connecté ;

les paramètres de mesure et d‟enregistrement.



Figure 15 : Configuration des paramètres

Pour notre cas, les paramètres importants qui nous intéressent sont les valeurs de

la puissance. Lors de la configuration, nous avons créés un code pour nommer les

différents fichiers et pour ne pas se perdre lors de l‟enregistrement, lors de l‟importation

et l‟exportation des données.

Pour le cas des essais avec de l‟eau, nous avons mis : Ex Fy Pz où

Ex permet d‟indiquer la quantité d‟eau [en l] incorporé dans la cuve ;

Fy permet d‟indiquer la valeur de la fréquence [en Hz] que l‟on a varié avec l‟ATV

28 ;

Pz permet d‟afficher le numéro de la pale employé.

x a pour valeur : 0, 3, 9, 15, 21 et 27.

y a comme valeur : 2, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et 50 ;

z prend comme valeur : 1, 2 et 3.

Pour le cas des essais en charge c'est-à-dire des essais avec de la pâte de papier,

nous avons convenu de codifier : Ex PAw PzT avec :

Ex permet d‟indiquer la quantité d‟eau [en l] incorporé dans la cuve ;

PAw indique la quantité de papier [en kg] utilisé lors de l‟essai ;

Pz permet d‟afficher le numéro de la pale employé ;

T indique le type de papier utilisé lors de l‟essai, il peut être C : carton ; V : vélin

ou J : journaux ;

x a pour valeur : 21, 27.

w prend comme valeur : 1, 1.280, 2, 2.560 ;

z prend comme valeur : 1, 2, 3.



Exemples :

E27PA1P1 C : nous avons travaillé avec la quantité d‟eau 27l, 1 kg de papier

carton avec la pâle 1.

E27PA2.560P2 V : la quantité d‟eau que nous avons utilisée est de 27l avec

2.560 kg de papier vélin pour la pâle 2.

E21PA1P3 J : nous avons utilisé la pâle 3 pour effectuer un mélange de 1 kg

de papier journaux avec 21l d‟eau.

IV.2.3.3 Observation

Suite à cette opération de tous les réglages, la période d‟enregistrement et la

cadence de mémorisation programmables, on peut visualiser instantanément les

caractéristiques d‟un réseau. L‟analyseur permet de voir toutes les entrées

simultanément car il a la capacité de visualisation d‟évènement jusqu‟à quelques

dizaines de µs. Les mesures s‟affichent sous forme d‟ondes, de valeurs ou encore sous

la forme d‟une représentation de Fresnel.

Figure 16 : Visualisation des valeurs



IV.2.3.4 Mode Puissance

Pour notre cas, les valeurs qui nous intéressent sont les valeurs des puissances. Le

mode Puissance/Energie affiche toutes les valeurs relatives à la puissance et à

l‟énergie. Les touches « start » et « stop » permettent, respectivement, de déclencher et

d‟arrêter le cumul des énergies.

Figure 17 : Mesure de Puissance

Figure 18 : Intégration de puissance sur une durée

IV.2.3.5 Acquisition et analyse des données

Pendant l‟acquisition, le dispositif effectue un fonctionnement en parallèle de

plusieurs modes. La consultation des données sont possible en cours de campagne.

Par conséquent donc, le manipulateur a la possibilité de visualiser l‟ensemble des

paramètres, facilitant la consultation à tout moment.



Comme les données sont ensuite enregistrées, la phase analyse poursuit cette

tâche. L‟exploitation des mesures réalisées avec les analyseurs Qualistar s‟effectue à

partir de logiciel QualiStar View V2.6 qui a pour fonction de :

configurer l‟appareil ;

traiter des données enregistrées et des alarmes ;

transférer des impressions d‟écran et des transitoires ;

exporter des données sur tableur Excel ;

exporter des données sous forme graphique sous Windows.

IV.2.3.6 Le logiciel QualiStar View V2.6

IV.2.3.6.1 Transfert des données vers l’ordinateur

Ce logiciel livré avec le dispositif nous a été un outil de traitement des données

important vu qu‟il nous a permis d‟importer les valeurs enregistrées par l‟appareil vers

notre PC. L‟importation de ces données s‟effectue, tout d‟abord par le lancement du

programme QualiStar View V2.6, ensuite d‟entrer sur le menu File et choisir Import

pour transférer les données enregistrées dans l‟analyseur. Le nom du fichier sera codé

selon le nom que l‟on a convenu lors de la configuration avec une extension .mon.

Figure 19 : Transfert des données sur un ordinateur



IV.2.3.6.2 L’extraction des données vers Excel

Comme les données de puissance ont été ensuite enregistrées sur l‟ordinateur,

nous avons dû les exporter sur tableur Excel afin d‟être exploitable. Mais avant

d‟effectuer l‟extraction, nous devons procéder comme suit :

Choisir le menu File ;

Ouvrir les fichiers contenant le données transférées sur le PC ;

Afficher les courbes de puissance avec les trois lignes ;

Choisir l‟option « Export to EXCEL ».

Figure 20 : Extraction vers Excel

Les résultats de données obtenues à l‟issue de cette extraction est une feuille Excel

dans laquelle figure le nom du fichier, la date, l‟heure du début de l‟enregistrement et la

date et l‟heure de la fin de l‟enregistrement qui se situe sur la première ligne de la

feuille. Les valeurs de puissance des trois lignes sont réparties dans le tableau selon la

date et l‟heure d‟enregistrement, ces tableaux sont nombreux mais un extrait de ces

données est présenté dans l‟annexe a11. Ainsi, nous avons dû effectuer une

récapitulation afin de rassembler toutes les données recueillies dans le but de procéder

à l‟analyse numérique et ce qui nous a amené au chapitre suivant.

Etude expérimentale Chapitre V


CHAPITRE V. OUTILS DE RESOLUTION

L‟objectif principal de notre travail est d‟effectuer une analyse numérique de

paramètres rhéologiques pour le cas des déchets cellulosiques avec de l‟eau. Après

avoir procédé à des documentations, certains ouvrages mentionnent que notre matière

en question fait partie des fluides non newtonien. Un des comportements pratiques les

plus intéressants de ces fluides est la relation non linéaire entre contrainte et vitesse de

déformation. La structure interne du fluide est complexe et peut être influencée par

l‟écoulement. Avant d‟entamer sur l‟exploitation des données, il s‟avère importants

d‟exposer les méthodes qui interviennent à la résolution de ce problème.

V.1 Les méthodes de résolution

Comme nous nous trouvons dans une situation d‟optimisation qui n‟est pas linéaire,

donc les outils mathématiques que nous allons utiliser est la régression non linéaire.

L‟optimisation sans contrainte de fonctions continues non linéaires a pour objectif,

étant donnée une fonction continue de dans , de trouver un vecteur tel que

( ) soit un extremum de . Usuellement, est appelée fonction objectif (ou critère)

et variable de décision. Etant donné que la maximisation de est équivalente à la

minimisation de , tous les algorithmes recherchent un minimiseur de la fonction

objectif. Autrement dit, on cherche tel que :

( )

Il existe plusieurs algorithmes qui permettent de résoudre ce problème mais pour

notre cas, on a cherchée la méthode la mieux adaptée et on a opté pour la méthode du

simplexe, de Gauss-Newton et Levenberg-Marquardt.

V.1.1 Définitions

Définition 1 (minimum global).

Soit une fonction. ( ) est le minimum global de si et seulement si :



( ) ( )

est un minimiseur global de .

Définition 2 (minimum local).

Soit une fonction. ( ) est un minimum local de si et seulement si :

] [ ( ) ( )

est un minimiseur local de .

Théorème (condition suffisante de minimalité locale).

Soit une fonction . Si vérifie les conditions :

{ ( )

( )

Alors, ( ) est un minimum local strict de f.

Définition 3 (gradient).

Soit une fonction différentiable. La fonction notée

( ) est appelée le gradient de f et est définie par : ( )

(

( )

( )

)

V.1.2 La méthode du Simplexe de Nelder-Mead

La méthode de Nelder-Mead souvent appelée « méthode du simplexe » est un

algorithme d‟optimisation non linéaire. C‟est une méthode qui cherche à minimiser une

fonction continue dans un espace à plusieurs dimensions.

L‟algorithme exploite le concept de simplexe qui est un polytope de sommets

dans un espace à dimensions. Partant initialement d‟un tel simplexe, celui-ci subit des

transformations simples au cours des itérations car il se déforme, se déplace et se

réduit progressivement jusqu‟à ce que ses sommets se rapprochent d‟un point où la

fonction est localement minimale.



Algorithme :

Soit la dimension de l'espace où f prend ses valeurs. L'algorithme débute par la

définition d'un simplexe non dégénéré choisi dans cet espace. Par itérations

successives, le processus consiste à déterminer le point du simplexe où la fonction est

maximale afin de le substituer par la réflexion de ce point par rapport au centre de

gravité des points restants. Si la valeur de la fonction en ce nouveau point est

inférieure aux valeurs prises sur les autres points, le simplexe est étiré dans cette

direction. Sinon, il est supposé que l'allure locale de la fonction est une vallée, et le

simplexe est réduit par une similitude centrée sur le point du simplexe où la fonction est

minimale.

La figure 21 présente l‟algorithme de Nelder et Mead (Algorithme 1)



Figure 21 : Algorithme de Nelder et Mead



V.1.3 Méthode de Gauss-Newton

L‟algorithme de Gauss-Newton est une méthode de résolution des problèmes de

moindres carrés non linéaires. Elle peut être vue comme une modification de la

méthode de Newton dans le cas multidimensionnel afin de trouver le minimum d‟une

fonction (à plusieurs variables). Mais l'algorithme de Gauss-Newton est totalement

spécifique à la minimisation d'une somme de fonctions au carré et présente le grand

avantage de ne pas nécessiter les dérivées secondes, parfois complexe à calculer.

Les problèmes de moindres carrés non linéaires visent à minimiser des fonctions

objectifs de la forme :

( )

∑

( )

On utilise généralement la fonction vectorielle définie par :

( ) ( ( )

( )

+

On a donc :

( )

( ) ( )

Le gradient de est :

( ) ∑ ( )

( ) ( ) ( )

Avec ( ) la matrice de

Le hessien de s‟écrit :

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

( )

( ) ( ) ∑ ( )

( )

http://fr.wikipedia.org/wiki/Minimum_d%27une_fonction

http://fr.wikipedia.org/wiki/Minimisation_d%27une_fonction

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_seconde



Le deuxième terme est très difficile à calculer et peut être négligé en pratique (car il

est relativement faible au voisinage d‟un minimum). On approche le hessien par le

premier terme uniquement qui est une matrice semi définie positive :

( ) ( ) ( )

En pratique, la direction de descente ( ) ( ) est calculée sans

inverser R(X) mais en résolvant :

( ( ) ) ( )

Où est une matrice diagonale telle que ( ) soit définie positive afin de garantir

que la direction soit une direction de descente.

L‟algorithme de Gauss-Newton est un algorithme robuste car la matrice

( ) ( ) est presque toujours définie positive et ainsi la direction calculée est une

direction de descente. On doit cependant initialiser l‟algorithme en un point assez

proche d‟un minimiseur local.

Algorithme

La figure 22 représente l‟algorithme de Gauss – Newton (Algorithme 2)

Figure 22 : Algorithme de Gauss – Newton



V.1.4 La méthode de Levenberg-Marquardt

Cette méthode permet d'obtenir une solution numérique au problème de

minimisation d'une fonction, souvent non linéaire et dépendant de plusieurs variables.

Elle utilise comme direction de descente, le vecteur solution de l‟équation :

( ( ) ) ( ) avec

Si est nul, la direction est celle d‟un algorithme de Gauss-Newton. Quand tend

vers l‟infini, la direction est celle de la plus forte pente.

est calculé à chaque itération et favorise la direction de la plus forte pente dans les

cas où la méthode de Gauss-Newton n‟est pas adaptée. On peut par exemple diminuer

si tout se passe bien (la fonction objectif diminue) et l‟augmenter si il y a divergence

(la fonction objectif augmente).

La méthode de Levenberg-Marquardt est particulièrement robuste et efficace. Elle

est devenue l‟algorithme de référence pour la minimisation de problèmes de moindres

carrés non linéaire.

V.2 Matlab

Comme les méthodes de résolution ont été déjà définies précédemment, nous

allons à présent exposer l‟outil de traitement de ces données : Matlab.

V.2.1 Introduction

Matlab est destiné essentiellement à l‟analyse numérique et à l‟algèbre linéaire à

l‟origine mais actuellement, il est devenu un outil que l‟on peut utiliser pour mener des

simulations dans de très nombreux domaines et pour développer des applications avec

une interface graphique. C‟est l‟une des raisons pour laquelle nous l‟avons choisie vu

que c‟est une application qui a été conçue afin de fournir un environnement de calcul

matriciel simple, efficace, interactif et portable.

Il est constitué d‟un noyau relativement réduit, capable d‟interpréter puis d‟évaluer

les expressions numériques matricielles qui lui sont adressées :

soit directement au clavier depuis une fenêtre de commande ;

http://fr.wikipedia.org/wiki/Minimisation_d%27une_fonction

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Non_lin%C3%A9aire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_%28informatique%29



soit sous forme de séquences d‟expressions ou scripts enregistrées dans des

fichiers-texte appelés m-files et exécutées depuis la fenêtre de commande ;

soit plus rarement sous forme de fichiers binaires appelés mex-files .mex

générés à partir d‟un compilateur C ou fortan.

V.2.2 Matlab et ses bibliothèques

Matlab est un logiciel qui dispose d‟une collection de fonctions/programmes, que

l‟on désigne aussi par des fichiers à extension .m. Ces .m sont classés par thèmes et

constituent alors des boîtes à outils (ou toolboxes en anglais). On dispose ainsi des

toolboxes „general‟, „identification‟, „signal‟, etc. Matlab ayant été créé à partir d‟une

bibliothèque dédiée au calcul matriciel, de nombreuses bibliothèques sont relatives à

l‟algèbre linéaire („elmat‟, „specmat‟, „matfun‟).

Ces bibliothèques sont mises en place au moment de l‟installation de Matlab. Elles

sont très utiles car elles regroupent des traitements de bases (par exemple, le calcul du

déterminant d‟une matrice, l‟obtention des valeurs propres ou singulières et des

vecteurs associés, etc.). En général, chaque programme débute par un commentaire de

quelques lignes décrivant l‟objectif du programme, les entrées, etc.

Comme les bibliothèques doivent être accessibles de n‟importe quel point où l‟on se

place dans l‟arborescence du disque, une variable PATH doit être configurée pour

définir les chemins d‟accès.

On peut sinon créer des bibliothèques personnelles contenant ses propres

fonctions. Pour cela, il faut définir des répertoires où elles seront placées. De la même

manière que précédemment, il faut configurer une variable PATH.

V.2.3 Les variables

Les variables définies par l'utilisateur sont rangées dans l'espace mémoire de

Matlab, ces variables sont dites globales.

V.2.4 Script et m-files

Un script est une séquence d‟expressions ou de commandes. Un script peut se

développer sur une ou plusieurs lignes. Les différentes expressions ou commandes

doivent être séparées par une virgule, un point-virgule ou par le symbole de saut de

ligne constitué de trois points . . . suivis de <entrer> (le rôle des trois points est d‟inhiber



le mécanisme d‟évaluation lors d‟un passage à la ligne). Comme pour une expression

unique, la frappe de <entrer> déclenche le processus d‟évaluation. Les expressions

sont évaluées dans leur ordre d‟écriture. Seule la valeur des expressions suivie d‟une

virgule ou d‟un saut de ligne est affichée, celle des expressions suivies d‟un point-

virgule, ne l‟est pas.

Les m-files permettent d‟enregistrer les scripts sous forme de fichiers-texte et

servent en particulier à définir de nouvelles fonctions (une grande partie des fonctions

prédéfinies de Matlab sont stockées sous forme de m-files dans la toolbox matlab.

Pour créer un m-file, on utilise le menu File -> new -> M-file.

Figure 23 : Création de M-file

V.2.5 Fonctions

Les fonctions ont des rôles très importants dans Matlab puisque ce sont elles qui

constituent un de ses principaux atouts. Ces fonctions sont utilisables à partir d‟un script

ou directement de l‟espace de travail.

Une fonction est définie par :

Son nom ;

Ses entrées ;

Ses sorties.



V.2.6 Structures de programmation usuelles

On rappelle dans ce paragraphe les principales structures de programmation que

l‟on rencontre en général. Sous Matlab, le nombre de ces structures est très réduit

puisque l‟on en a deux types :

Le contrôle de l‟exécution ;

L‟instruction de choix.

V.2.6.1 Le contrôle de l’exécution

V.2.6.1.1 Boucle FOR

La boucle FOR permet d'exécuter des opérations pour un nombre d'itérations

définis. L'avantage de la boucle FOR sur la boucle WHILE est sa simplicité d'écriture

dans le cas d'un nombre d'itérations définis et bien connu à l'avance (par exemple, le

parcours d'un tableau).

Lors de l'exécution de la boucle FOR, la variable qui sert à boucler est accessible

en lecture et en écriture. Il est donc possible de réduire ou d'augmenter le nombre

d'itérations au cours de l'exécution de la boucle.

V.2.6.1.2 Boucle WHILE

La boucle permet d‟exécuter des opérations de manière répétée jusqu'à ce qu'une

condition soit falsifiée. (Par exemple : tant que la solution n'est pas précise à 4

décimales, continuer à chercher une solution précise)

V.2.6.2 L’instruction de choix

V.2.6.2.1 Boucle IF

L'instruction IF est une instruction de choix. Autrement dit, en fonction que sa

condition sera évaluée vrai ou faux, la commande exécutera un groupe d'instructions ou

l'autre.



V.2.6.2.2 Boucle SWITCH

L'instruction SWITCH est une instruction de choix comme le IF mais avec la

particularité de pouvoir effectuer plus de branchements que le IF.

La commande SWITCH doit être utilisée dans le cas ou, par exemple, en fonction

de la valeur d'une variable, on effectue différentes opérations.

V.2.7 Les fonctions utilisées

Il a été exposé précédemment que Matlab dispose des boîtes à outils ou toolboxes

qui regroupent toutes les fonctions ou programmes nécessaires pour les traitements

des données. Pour notre cas, ce qui nous intéresse est la fonction d‟optimisation, ainsi

nous nous sommes inspirés de la fonction Banana pour résoudre la fonction de

Rosenbrock qui est

( ) ( ) ( )

Nombreux sont les algorithmes permettant de résoudre la fonction dont le BFGS,

DFP, SD, Simplex, GN et LM. Mais pour notre cas, nous avons déjà évoqué la raison

de notre choix de méthodes de résolution qui sont NM, GN et LM dans la section

précédente. Le paragraphe suivant met en évidence l‟application de ces algorithmes sur

Matlab.



V.2.7.1 L’algorithme de Simplexe

Le processus de calcul est présenté dans le paragraphe 1.2 du chapitre 5. Lors de

la mis en pratique avec Matlab, on doit définir la fonction objectif dans un fichier « .m ».

L‟algorithme de Nelder-Mead est accessible via la commande fminsearch :

V.2.7.2 L’algorithme de Gauss-Newton

Pour utiliser les méthodes des moindres carrés non linéaires sous Matlab, on doit

définir la fonction vectorielle F et son jacobien dans un fichier .m, par exemple :

Les algorithmes de Gauss-Newton et de Levenberg-Marquardt sont accessibles via

la commande lsqnonlin dont le paramétrage s'effectue aussi grâce la fonction optimset.

V.2.7.3 L’algorithme de Levenberg-Marquardt

Pour utiliser la méthode de Levenberg-Marquardt, on écrit



V.2.8 Graphique

Tout tracé avec Matlab, s'effectue dans une fenêtre graphique que l'on crée par la

commande figure ou quand on exécute une commande de dessin (plot …). On peut

créer autant de fenêtres graphiques que l'on veut celles-ci étant numérotées de 1 à N

au fur et à mesure de leur création.

V.2.9 Programmation des interfaces graphiques GUI

Les IHM (Interfaces Homme Machine), sont appelées GUI (Graphical User

Interfaces) dans Matlab. Elles permettent à l'utilisateur, grâce à des objets graphiques

(boutons, menus, cases à cocher, ...) d'interagir avec un programme informatique.

Des interfaces graphiques sont alors créées du fait de l‟existence de l‟outil I.D.E

(Integrated Development Environment) que Matlab possède. Cet outil s‟appelle le

GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) et qui permet de

concevoir intuitivement des interfaces graphiques. En effet, ce sous programme de

Matlab nous présente tous les objets de la base de donnée de Matlab et nous propose

de les agencer comme bon nous semble.

V.2.9.1 Objets graphiques et leur fonctionnement

Sous Matlab, les objets graphiques sont arrangés selon une hiérarchie pyramidale

parent-enfant :

Figure 24 : Les objets graphiques



L‟Objet Root est invisible, c‟est un objet dont on ne se sert que très rarement mais il

peut être très utile lorsqu‟on désire faire communiquer plusieurs objets Figure entre eux.

L‟objet Figure correspond à la fenêtre qui contiendra tous les autres objets.

L‟objet Axes se rapporte à des objets qui créent une zone réservée à la création

d‟objets graphiques 2D ou 3D. Les enfants de cet objet correspondent à des références

mathématiques.

Au même niveau se trouvent les UI Objects qui se réfèrent à tous les objets cités

plus haut. Ils permettent à l‟utilisateur d‟interagir avec la souris.

A la création de tout objet, Matlab leur attribue un identifiant (« handle ») qui prend

la forme d‟un nombre réel unique qui est stocké dans une variable. Cet identifiant

permet de trouver à tout moment un objet graphique existant, et ceci pendant toute la

durée du fonctionnement de l‟interface. Dès que l‟objet est détruit (par exemple à la

fermeture de l‟interface), son identifiant s‟efface.

Pour manipuler tous ces objets, le programmeur utilise en général un certain

nombre de fonctions récurrentes dans un programme :

GUIHANDLES, qui permet de gérer les handles de chaque objet ;

GCA, (get current axes handles) qui récupère l‟identifiant de l‟objet Axes ;

GCBF, qui récupère l'identifiant de l'objet Figure où se trouve l'objet graphique

dont l'action est en cours ;

GCBO, qui récupère l'identifiant de l'objet graphique dont l'action est en cours ;

GCO, qui récupère l'identifiant de l'objet graphique courant ;

Guidata, qui va enregistrer les rectifications apportées au GUI.

Chaque objet graphique possède des propriétés (position, couleur, nom de l‟objet,

taille…) qu‟il est possible de modifier pendant l‟exécution de l‟interface. Elles sont

définies par défaut lors de la création du GUI mais elles peuvent être remaniée en

utilisant les fonctions get et set.

Une fois que la mise en place des objets sur l‟I.D.E. est réalisée, la compilation de

ce fichier .fig, créé par le GUIDE, permet la création d‟un nouveau fichier .m qui servira

de support à tout le code. En effet, tout le code Matlab est alors généré

automatiquement.



Le fichier .m ainsi créé correspond à l‟exécutable du programme que l‟on a réalisé.

A son lancement, une première fonction d‟initialisation se sert d‟une boucle pour créer

tous les objets que la fenêtre doit contenir en appelant les « create function » de

chaque élément. Ces « create functions » ne s‟exécutent qu‟une fois mais on peut déjà

y rajouter des lignes de code pour initialiser un élément graphique selon ses besoins.

Ensuite, c‟est la fonction « opening function » qui s‟exécute et qui a pour rôle de

rendre visible la figure avec tous ses objets préalablement créés. On peut, ici aussi,

ajouter des lignes de code permettant d‟initialiser la fenêtre et ses composant de la

manière qui nous semble la plus appropriée.

Enfin, dans le fichier .m, on peut modifier les fonctions « callback functions ». Ce

sont ces fonctions qui sont appelées lorsque l‟utilisateur interagi avec un objet. C‟est

donc ici que l‟on va coder toutes les actions que l‟on veut associer à chaque objet.

Un dernier élément important du fonctionnement d‟une interface est la structure

« handles ». Elle constitue en quelque sorte la colonne vertébrale du programme car

elle permet d‟accéder à tous les objets de la fenêtre. C‟est une structure de données

créée par le GUIDE dans laquelle tous les identifiants de chaque objet sont enregistrés

dans un champ repéré par le nom de l‟objet (tag). On peut par ailleurs, à volonté, y

rajouter des champs dans lesquels n‟importe quelle sorte de variable peut être

enregistrée.

Finalement, cette structure « handles » va être utilisée en paramètre pour

énormément de fonctions puisqu‟elle permet d‟accéder à tous les éléments de la

fenêtre depuis n‟importe quel endroit du programme ; à condition que le « handles » ait

déjà été créé, c'est-à-dire après le lancement de la « opening function ». Il est important

de sauvegarder chaque modification du « handles » après son utilisation dans une

fonction. On utilise alors la fonction guidata.

Comme les matériels et méthodes de résolution ont été présentés dans cette

deuxième partie, nous allons à présent entamer dans la dernière partie de l‟ouvrage qui

est l‟étude exploitation consistant à appliquer les outils que nous avons mentionnés sur

notre sujet d‟étude.

PARTIE III :

ETUDE EXPLOITATION

Etude exploitation Chapitre VI


CHAPITRE VI. ACQUISITION DES DONNEES

L‟objectif principal de notre travail consiste à faire une analyse numérique de

paramètres rhéologiques cas des déchets cellulosiques – eau. Pour ce faire, les

théories et méthodes ont été déjà développées dans les deux premières parties de

l‟ouvrage. A présent, nous allons procéder à l‟application de ces méthodes pour en faire

des analyses et interpréter les résultats obtenus.

Comme il a été déjà mentionné dans le chapitre 4, nous allons déterminer les

caractéristiques de notre agitateur en déterminant la viscosité apparente de notre fluide

par l‟application de la théorie de Metzner et Otto.

Dans cette théorie, il est primordial de connaitre tout d‟abord les puissances lors de

l‟agitation des fluides, puis de calculer afin de déterminer les trois paramètres

inconnus : k, x et y ; ensuite, de calculer la viscosité apparente et enfin d‟en tirer les

constantes caractéristiques de notre fluides, et la constante de l‟agitateur B dans le but

d‟affirmer la loi de comportement de notre fluide en question qui est la pâte de papier.

Les différentes étapes sont présentées dans la figure ci-dessous.

Figure 25 : Etape de la détermination des paramètres



D‟après cette figure, nous allons utiliser de l‟eau comme liquide de référence et

pour les déchets cellulosiques, nous avons opté pour trois types de papiers à cité le

papier vélin, journaux et carton tous découpés en morceaux de 1cm² afin d‟acquérir

plusieurs données.

En ce qui concerne notre démarche pour l‟obtention des valeurs de la puissance,

nous avons enregistré les valeurs de la puissance par l‟issu de l‟appareil analyseur de

réseau en effectuant sa configuration de sorte à obtenir des valeurs instantanées sur

une période de 1s pour que nos données soit exploitables et fiables à interpréter.

La vitesse de rotation est obtenue à partir du variateur de fréquence vu qu‟il existe

une relation entre la fréquence et la vitesse par la formule :

Où F : la fréquence

N : la vitesse de rotation

p : le nombre de pôle

VI.1 Description du déroulement des essais

Après avoir réunit tous les matériels nécessaires pour l‟essai et effectuer

l‟installation de tous les appareils, nous avons procédé comme suit lors des essais:

Effectuer des essais à vide ;

Effectuer des essais avec de l‟eau ;

Effectuer des essais avec de la pâte de papier.

Il est à noter que pour chaque essai, nous l‟avons réalisé avec les trois pâles

différentes P1, P2, P3 ; avec les trois différents types de papier (vélin, journaux et

carton). Nous avons varié la fréquence de : 2, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 et de

50 Hz

Lors des essais avec de l‟eau, nous avons varié la quantité de 0, 3, 6, 9, 21 et 27l.

Pour les essais réalisés avec de la pâte à papier, nous avons utilisé la quantité

d‟eau de 21 et 27 l et une quantité de 1, 1.280, 2, 2.560 kg de papier carton, journaux et

vélin.



VI.2 Exportation des données de l’analyseur vers Excel

L‟analyseur est doté de la capacité d‟enregistrer et de stocker des données. Mais

celles qui nous intéressent sont les valeurs de la puissance. Afin de mieux analyser les

valeurs enregistrées, nous avons dû les exporter vers Excel.

Les résultats issus de cette extraction est une longue liste de chiffre regroupé sur

une feuille Excel. Une partie de cette extraction est représenté dans l‟annexe a11.

Pour que ce dernier soit un outil exploitable, nous l‟avons regroupé dans un tableau

après avoir calculer les valeurs moyennes de la puissance des trois lignes à chaque

fréquence. Ainsi, nous avons les différents tableaux suivants.

Tableau 6 : Puissance de l’agitateur de la pâle 1 avec de l’eau

P MESUREES [W]

F [Hz] N [s-1] E0 E3 E9 E15 E21 E27

2,00 1,000 65,4 65,0 54,7 54,6 52,8 63,4

5,00 2,500 197,6 65,0 198,3 194,5 196,9 196,2

8,00 4,000 258,8 258,8 260,4 270,0 276,0 294,8

10,00 5,000 275,5 276,9 290,2 303,7 322,3 363,8

15,00 7,500 329,5 330,3 358,9 398,7 473,0 519,7

20,00 10,000 265,6 278,0 336,1 403,1 550,3 633,3

25,00 12,500 250,4 266,8 352,8 574,8 734,5 826,6

30,00 15,000 241,7 265,8 386,7 744,8 915,7 1084,3

35,00 17,500 250,7 276,6 428,7 904,3 1176,4 1416,0

40,00 20,000 264,4 307,6 486,8 1091,3 1463,9 1832,0

45,00 22,500 300,5 332,7 581,7 1321,4 1761,5 2210,1

50,00 25,000 335,6 368,5 657,4 1605,3 2146,4 2600,8




P MESUREES [W]

F [Hz] N [s-1] E0 E3 E9 E15 E21 E27

2,00 1,000 63,6 57,3 52,9 53,2 55,1 48,8

5,00 2,500 200,7 189,4 192,1 195,1 199,2 192,5

8,00 4,000 263,4 252,5 256,5 274,3 284,7 276,3

10,00 5,000 287,9 272,5 283,1 311,3 333,2 330,8

15,00 7,500 354,7 327,9 358,8 430,6 497,8 519,9

20,00 10,000 289,9 265,8 336,0 482,0 606,0 637,2

25,00 12,500 272,7 250,3 358,7 601,1 780,7 867,9

30,00 15,000 270,7 253,5 403,5 777,2 989,8 1148,5

35,00 17,500 276,3 276,3 481,5 986,9 1276,3 1460,8

40,00 20,000 287,2 307,6 542,7 1182,7 1597,8 1763,5

45,00 22,500 313,8 326,9 606,6 1411,1 2302,3 2302,3

50,00 25,000 362,3 363,0 700,6 1738,0 2365,1 2784,1


P MESUREES [W]

F [Hz] N [s-1] E0 E3 E9 E15 E21 E27

2,00 1,000 61,1 55,3 56,9 57,4 64,5 65,0

5,00 2,500 199,0 190,3 197,8 197,9 196,8 197,5

8,00 4,000 259,2 246,2 262,7 270,5 275,0 279,9

10,00 5,000 282,9 266,0 291,9 303,9 320,7 334,0

15,00 7,500 318,2 281,6 350,7 386,2 440,4 559,3

20,00 10,000 280,0 240,5 339,1 392,6 506,4 569,7

25,00 12,500 256,6 224,1 346,6 440,8 642,7 730,5

30,00 15,000 246,2 222,9 375,9 511,2 840,1 949,9

35,00 17,500 263,4 235,6 424,0 599,5 1087,0 1217,4

40,00 20,000 271,8 280,5 466,4 703,2 1359,3 1541,8

45,00 22,500 279,9 306,3 518,1 814,9 1602,3 1906,8

50,00 25,000 299,3 325,7 588,1 938,7 1798,7 2283,6



Ensuite, les tableaux ci-après affichent les valeurs de la puissance consommée des

essais que nous avons réalisés pour chaque type de pâle et à chaque type de papier.

Pour le cas de la pâle 1, nous avons eu les relevées suivantes :

Tableau 9 : Puissance de l’agitateur de la pâle 1 avec de la pâte de papier

F [Hz] N [s-1] E21PA1P1 J E21PA1P1 V E21PA1P1 C E21PA2P1 V

2,00 1,000 52,2 63,1 53,3 58,00

5,00 2,500 192,4 195,8 195,9 200,00

8,00 4,000 280,5 284,2 279,1 290,00

10,00 5,000 338,6 335,1 332,2 344,00

15,00 7,500 523,9 572,1 512,2 545,00

20,00 10,000 672,4 862,2 669,0 691,00

25,00 12,500 1049,5 1193,7 1115,9 869,00

30,00 15,000 1748,4 1492,1 1606,5 1049,00

35,00 17,500 2668,5 1766,7 1928,7 1237,00

40,00 20,000 3496,6 2130,5 2373,9 1409,00

45,00 22,500 4147,1 2557,7 2820,6 1566,00

50,00 25,000 4317,6 3013,3 3191,2 1827,00



Le tableau suivant affiche les valeurs de la pâle 2.


F [Hz] N [s-1] E21PA1P1 J E21PA1P1 V E21PA1P1 C E27PA1.280P2

V E27PA2.560P2

V

2,00 1,000 51,4 55,2 52,7 58,00

5,00 2,500 191,8 191,6 196,4 197,00

8,00 4,000 281,9 289,9 279,0 314,00

10,00 5,000 357,2 370,7 358,5 410,00 74,000

15,00 7,500 622,7 631,0 640,3 691,00

20,00 10,000 1000,7 839,8 948,3 949,00

25,00 12,500 1615,3 1082,6 1280,0 1274,00 2580,000

30,00 15,000 2224,7 1286,7 1666,6 1632,00

35,00 17,500 2860,2 1596,0 2106,9 2038,00

40,00 20,000 3346,8 1952,1 2574,6 2538,00

45,00 22,500 4078,9 2675,9 3101,4 3047,00 6917,000

50,00 25,000 4731,5 2800,8 3640,4 3676,13 7330,269

En ce qui concerne le cas de la pâle 3, nous avons eu le tableau suivant :


F [Hz] N [s-1] E21PA1P1 J E21PA1P1 V E21PA1P1 C

2,00 1,000 52,68 58,01 53,22

5,00 2,500 195,35 195,26 192,87

8,00 4,000 280,32 274,91 270,33

10,00 5,000 327,03 316,50 322,68

15,00 7,500 447,89 475,44 479,42

20,00 10,000 488,74 647,18 620,99

25,00 12,500 573,76 964,92 895,30

30,00 15,000 685,37 1390,51 1395,68

35,00 17,500 855,12 1906,26 2027,29

40,00 20,000 1032,05 2144,60 2666,67

45,00 22,500 1336,73 2477,65 3303,88

50,00 25,000 2323,57 2957,32 4007,98



Comme les valeurs des puissances ont été déjà obtenues, que ce soit lors des

essais réalisés avec de l‟eau ou avec de la pâte à papier, pour la suite donc, nous

allons les intégrés dans le programme présenté sous Matlab. Mais avant de développer

l‟outil de résolution, nous allons dégager la méthode de calcul. Le paragraphe suivant

exposera la démarche que notre outil va exécuter dans le programme.

VI.3 Méthode de calcul

Après avoir obtenues les valeurs des puissances, nous pouvons à présent calculer

le (de l‟eau) qui a été défini auparavant dans l‟équation 17 par :

Ces valeurs de vont être nommées expérimentales notées et , vu

que ces données sont issues des essais expérimentaux.

Grâce à ces résultats, nous pouvons tracer alors la courbe de ( ).

Des courbes expérimentales de l‟agitateur vont alors être obtenues.

Selon la théorie de l‟agitateur, nous avons comme équation (21) :

Nous allons procéder à l‟ajustement des paramètres d‟où la nécessité de faire

appel à la méthode de résolution qui est la régression non linéaire.

Pour notre cas, nous avons étudié trois méthodes de résolution qui sont la méthode

de Neldear-Mead ou de Simplexe, la méthode de Gauss-Newton et la méthode de

Levenberg-Marquardt pour déterminer les valeurs de k, x et y.

A partir des valeurs de ces paramètres, nous avons alors théoriques. Par la

suite, les courbes caractéristiques de l‟agitateur de l‟agitateur ϕ vont être définies

puisque que l‟on a les paramètres nécessaires.

Vu le nombre des informations à considérer et la difficulté de la méthode de

résolution à effectuer, nous allons traiter ces données par matlab.



VI.4 Utilisation de l’outil Matlab

Plusieurs outils et applications sont disponibles de nos jours pour faire de l‟analyse

numérique. Pour notre cas, nous avons opté pour Matlab vu qu‟il offre plusieurs options

possibles qui répondent à nos exigences.

VI.4.1 Le script

Par définition, le script n‟est rien d‟autre qu‟un fichier contenant une suite

d‟instructions. Après avoir établi sur papier les méthodes de calcul, nous avons écrit un

script contenant la méthode de résolution de notre problème. Il peut manipuler les

données contenues dans l‟espace de travail. Ainsi, ces données sont les variables et

les constantes qui interviennent dans les phases de calcul à citer : F, P, d, g, ρ, ρp, .

Dans ce script qui est un M-fichier, on rencontre des fonctions qui peuvent accepter

des arguments d‟entrées et des arguments de retour. Etant donné que le nom des M-

fichiers et de la fonction doivent être rigoureusement identique, nous avons intitulé notre

projet « OPTIMGLOBAL ». Les fonctions opèrent sur des variables qui leurs sont

locales. Elles sont dans un espace de travail propre complètement séparé du

workspace principal.

Les fonctions utilisées dans le script sont nombreuses : banana function, la

méthode de Simplexe, la méthode de Gauss-Newton et Levenberg-Marquardt. Comme

les méthodes de résolution utilisent des itérations et plusieurs alternatives, la structure

algorithmique de la programmation la plus utilisée est l‟instruction des choix.

Dans ce script figure aussi les commandes permettant d‟afficher l‟interface lors du

lancement du programme.

VI.4.2 Organisation de l’interface

Lors de l‟exécution du programme, une fenêtre s‟ouvre. Nous pouvons constater

que trois objets différents se place sur cette fenêtre active :

la fenêtre des graphes ;

les palettes des boutons ;

le volet d‟affichage des résultats.



VI.4.2.1 La fenêtre des graphes

Cette zone est une partie réservée à l‟affichage des graphes. Elle est constituée de

deux axes où l‟on rencontre les valeurs de N sur l‟axe des abscisses et les valeurs de

Np sur l‟axe des ordonnées. La visualisation des courbes ne peut s‟effectuer que

lorsque l‟on appuie sur les boutons de commandes.

Figure 26 : Affichage des graphes

VI.4.2.2 Les boutons

Les boutons font parties des objets graphiques dans le G.U.I de Matlab. Ils

permettent à l‟utilisateur d‟interagir avec la souris. Un seul clic de l‟un de ces boutons

fait appel à leur propre fonction et exécute le programme.

Figure 27 : Les différents boutons

A partir de cette figure, nous pouvons visualiser qu‟il existe plusieurs boutons.



VI.4.2.2.1 Les boutons

Les trois premiers boutons qui s‟affichent sur l‟interface sont les boutons de

Simplex, Np G-N et Np L-M. Ils ont pour fonction de lancer le code pour calculer les

valeurs des paramètres k, x, y selon les méthodes de Simplexe, de Gauss-Newton et

de Levenberg-Marquardt.

Lorsque la fenêtre de l‟interface s‟ouvre alors et que lorsque l‟utilisateur appui sur

l‟un de ces boutons, le programme se déclenche et effectue le calcul des paramètres

selon les algorithmes prescrits. Cependant, au cours du lancement du programme, le

graphe des ainsi que de ajustés sont affichés sur la fenêtre des graphes en

même temps.

VI.4.2.2.2 Le bouton Info

Il a pour fonction d‟afficher les informations correspondantes que l‟utilisateur doit

effectuer au moment de la manipulation du programme.

Figure 28: Bouton info

VI.4.2.2.3 Le bouton fermer

Ce dernier pushbouton permet d‟effectuer la fermeture du programme lorsque

l‟utilisateur souhaitera quitter l‟application.

Figure 29 : Bouton fermer.

VI.4.2.3 La fenêtre d’affichage

Cette partie est constituée d‟un cadre et d‟un slider ou barre de défilement

permettant d‟afficher les résultats lors de la manipulation de l‟application.

Le tableau suivant permet de résumer les évènements qui peuvent se produire au

moment de l‟exécution du programme.



Tableau 12 : Les évènements lors du lancement du programme

BOUTONS FENETRE D’AFFICHAGE GRAPHE

1 Np simplex Nombre d'itération, nombre de fonction, k, x, y de Simplex Np = f(N)

2 Np G-N Nombre d'itération, nombre de fonction, k, x, y de G-N Np = f(N)

3 Np L-M Nombre d'itération, nombre de fonction, k, x, y de L-M Np = f(N)

4 Info Instructions -

5 Fermer - -

Après avoir lancé le programme, quand on appuie sur l‟un des trois premiers

boutons de Np le programme essai de trouver les valeurs des paramètres k, x, y jusqu‟à

ce qu‟il trouve les solutions optimales. Ainsi, les résultats vont être transférer

automatiquement sur la fenêtre d‟affichage où on trouvera le nombre d‟itération, le

nombre de fonction d‟évaluation, les valeurs de k, x et y. Dans la partie réservée pour le

graphique, on visualisera la courbe Np en fonction de N.

Ainsi, les résultats vont être étalés dans la cadre de la partie affichage où nous

pouvons visualiser le Re, Fr. Comme les résultats sont une longue liste de chiffre, le

slider permet de faire le défilement sur cette fenêtre.

Le bouton info permet d‟afficher les instructions nécessaires pour manipuler le

programme.

VI.5 Manipulation du programme

Pour démarrer le programme et voir sa fonctionnalité, l‟utilisateur doit ouvrir le

programme de Matlab ; ensuite rechercher le fichier Optimglobal contenant l‟application

le lancer ; puis compléter les données de P et F pour que le programme soit

exécutable.

Lorsque l‟on se trouve sur la phase de l‟affichage de l‟interface, il suffit de cliquer

sur les différents boutons. Le tableau 12 permettra de mieux comprendre les

fonctionnalités de chaque bouton et les évènements qu‟il commande. Enfin, pour quitter

le programme, il suffit de cliquer sur le bouton Fermer.

Comme les méthodes expérimentaux et les recueilles des données ont été définies

et réalisés alors nous allons passer dans le dernier chapitre qui est consacré à l‟analyse

et à l‟interprétation des résultats

Etude exploitation Chapitre VII


CHAPITRE VII. EXPLOITATION DES DONNEES

VII.1 Introduction

L‟objectif principal de notre travail est de déterminer les paramètres de l‟agitateur

ainsi que de faire la caractérisation rhéologique de la suspension eau - déchets

cellulosiques. Comme les méthodes de résolution ainsi que les recueilles des données

ont été effectué, ce dernier chapitre est consacré à l‟exploitation de ces informations.

Grâce à l‟outil de développement de Matlab, nous avons eu l‟occasion d‟obtenir des

résultats de calcul en quelques clics et dans un délai de quelque minute. Dans ce qui

suit alors, nous allons présenter les étapes permettant de déterminer ces paramètres,

de faire des analyses et d‟effectuer l‟interprétation des résultats.

De ce fait donc, les résultats vont être présentés sur la fenêtre d‟affichage où il y

aura le nombre de fonction d‟évaluation et le nombre d‟itération lors de la recherche

des résultats, le k, x et y selon la méthode choisie.

VII.2 Méthode de Nelder-Mead

Après avoir calculé les à l‟issu des valeurs de puissance du tableau 8, 9 et

10, et utilisé le programme Matlab, nous avons eu comme résultat les valeurs de k, x et

y selon la résolution de NM. D‟où le tableau suivant :

Tableau 13 : K, x et y selon la méthode de Simplexe

NELDER - MEAD

PALE 1 PALE 2 PALE 3

k x y k x y k x y

E0 0,648 0,163 -1,033 0,719 0,159 -1,011 0,741 0,157 -0,999

E3 0,680 0,162 -1,023 0,726 0,156 -0,990 0,766 0,153 -0,976

E9 0,891 0,148 -0,948 0,869 0,148 -0,946 0,836 0,151 -0,965

E15 0,896 0,148 -0,946 0,943 0,146 -0,931 0,849 0,151 -0,964

E21 0,987 0,145 -0,927 0,970 0,147 -0,932 0,716 0,160 -1,014

E27 0,781 0,158 -0,994 1,092 0,139 -0,891 0,734 0,160 -1,010



VII.3 Méthode de Gauss-Newton

Le même procédé de calcul a été effectué pour retrouver ces paramètres selon la

résolution de GN et ce qui nous donne les résultats ci-après

Tableau 14 : K, x et y selon la méthode de Gauss-Newton

GAUSS - NEWTON


k x y k x y k x y

E0 2,487 0,056 -0,980 2,494 0,060 -0,962 2,420 0,063 -0,952

E3 2,501 0,058 -0,971 2,310 0,064 -0,944 2,241 0,068 -0,933

E9 2,369 0,070 -0,909 2,312 0,070 -0,907 2,403 0,067 -0,923

E15 2,494 0,066 -0,905 2,520 0,068 -0,892 2,485 0,066 -0,921

E21 2,600 0,068 -0,883 2,712 0,065 -0,891 2,750 0,053 -0,960

E27 2,906 0,053 -0,941 2,626 0,069 -0,856 2,857 0,051 -0,956

VII.4 Méthode de Levenberg-Marquardt

Aussi, les valeurs suivantes sont les paramètres obtenues par la méthode de LM.

Tableau 15 : k, x et y selon la méthode de Levenberg-Marquardt

LEVENBERG - MARQUARDT


k x y k x y k x y

E0 2,225 0,065 -0,984 2,221 0,069 -0,966 2,174 0,071 -0,956

E3 2,238 0,067 -0,976 2,068 0,073 -0,948 2,042 0,075 -0,937

E9 1,682 0,097 -0,923 1,633 0,098 -0,920 2,014 0,076 -0,928

E15 1,681 0,098 -0,921 1,689 0,100 -0,908 2,165 0,077 -0,927

E21 1,713 0,101 -0,899 1,750 0,100 -0,909 2,245 0,069 -0,968

E27 2,277 0,072 -0,951 1,708 0,104 -0,873 2,276 0,069 -0,965



VII.5 Etude comparative par les trois méthodes

Après avoir effectué l‟approximation des nos résultats expérimentaux par la

méthode de régression non linéaire, nous avons eu les paramètres k, x et y.

A partir de ces valeurs, nous avons pu constater que chaque méthode possède ces

propres valeurs de k, x et y et ceci est dû au procédé que la méthode effectue au cours

de l‟approximation.

La méthode de Nelder Mead n‟utilise que la valeur de la fonction et ne nécessite

pas le calcul du gradient pour trouver les solutions. Cependant, elle présente un

inconvénient en termes d‟occupation de mémoire vu qu‟elle nécessite une grande

place. Cela est démontré par le nombre d‟itération et le nombre de fonction d‟évaluation

lors de la recherche des résultats.

Pour illustrer ce propos, le tableau suivant permet de mettre en évidence le nombre

de la fonction d‟évaluation et le nombre d‟itération relevé lors de la recherche de k, x et

y à 21 l d‟eau selon les différentes pâles.

Tableau 16 : k, x et y de simplexe, de Gauss Newton et de Levenberg Marquardt à E21


k x y NI NF k x y NI NF k x y NI NF

S 0,987 0,145 -0,927 37 72 0,970 0,147 -0,932 40 77 0,716 0,160 -1,014 50 92

GN 2,601 0,068 -0,882 4 14 2,711 0,065 -0,891 4 14 2,749 0,053 -0,960 4 14

LM 1,713 0,101 -0,899 5 18 1,750 0,100 -0,909 5 18 2,245 0,069 -0,968 4 15

Pour le cas de la pale 3, le NF et le NI (92 ; 50) sont considérables par rapport aux

deux autres pâle 2 (77 ; 40) et pale 1 (72 ; 14). Alors que pour le cas du GN et LM, les

NI ne sont qu‟au nombre de 4 ou de 5 itérations et les nombres d‟évaluations de

fonctions sont au nombre de 14, 15 ou 18.

L‟algorithme de Gauss-Newton ne nécessite pas le calcul des dérivées secondes,

parfois complexes à calculer pour effectuer la recherche de la fonction objectif, et ce qui

permet à la méthode d‟être plus efficace à trouver les solutions.



Pour le cas de la méthode de Levenberg-Marquardt, elle est particulièrement

robuste et efficace du fait qu‟elle est plus stable que celui de Gauss-Newton et trouve

une solution même si l‟algorithme est démarré très loin d‟un minimum.

Nous avons pu observer que GN et LM sont des méthodes les plus efficaces à la

régression non linéaires. Pourtant, la méthode de Simplexe possède aussi ses points

forts comme sa généralité, sa simplicité lors de la mise en œuvre, son efficacité pour

une fonction non dérivable.

VII.6 Courbes caractéristiques de l’agitateur

Vu que les données de puissances ont été collectées et que les k, x et y ont été

déterminés, nous pouvons à présent afficher les courbes caractéristiques de l‟agitateur

Np-Re tel que le chapitre 2 du paragraphe 3.1.2 a défini.

VII.6.1 Cas de la pâle 1

Pour le cas de P1, nous avons eu les courbes ci-après selon les trois méthodes

que l‟on a procédé lors de la résolution sur Matlab.



Figure 30 : Courbes caractéristiques de la pâle 1

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000

Courbe caractéristique NM pale 1

Np27

Np21

Np15

Np9

Np0

Np3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000

Courbe caractéristique GN pale 1

Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000

Courbe caractéristique LM pale 1

Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0





3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000


Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000


Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0

4

5

5

6

6

7

7

8

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000


Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0





3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000


Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0

4

5

5

6

6

7

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000


Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0

4

5

5

6

6

7

0 2 4 6 8 10 12

ϕ

Re

x 100000


Np27

Np21

Np15

Np9

Np3

Np0



Les valeurs de k, x et y nous ont permis de calculer (

).

En se référant à la théorie de l‟agitateur énoncé dans le chapitre 2, paragraphe

3.2.1, nous remarquons que les courbes des figures 30, 31, 32 ne présentent qu‟une

partie de la courbe caractéristique. Cela s‟explique par le fait que notre domaine d‟étude

se situe entre le régime d‟écoulement intermédiaire et turbulent. Ainsi, la théorie de

l‟agitateur est vérifiée et que notre type de pâle est spécialement conçu pour créer un

régime d‟écoulement turbulent.

VII.7 Analyse rhéologique des équations viscosimétriques

VII.7.1 Calcul de n, B et m

VII.7.1.1 Cas de la pale 1 – Méthode de NM

Comme les paramètres ont été obtenus, nous pouvons écrire les deux relations

suivantes :

Donc, le rapport

Où

et

Ainsi,

Nous avons donc l‟expression de la viscosité apparente

(

)

Les valeurs de Npe et Npp sont déjà obtenues à partir du programme de Matlab, les

figures suivantes représentent l‟allure de Npe et Npp en fonction de N.



Figure 33 : Courbe Npe- méthode de NM de la pale 1 avec de l’eau

Figure 34 : Courbe Npp- méthode de NM de la pale 1

Pour le cas de la pale 1 avec du papier carton, après avoir représenté les courbes

de Npe et Npp en fonction de N, nous avons trouvés que :

Npe = 168.8 N-1.71

Npp=156.4 N-1.74

μa = 1.679.10-3 N-0.206

Par identification avec l‟équation de

y = 168,82x-1,71 R² = 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30

Npe

N

Npe

Npe

Puissance (Npe)

y = 156,48x-1,74 R² = 0,9925

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30

Npp

N

Npp

NpC

Puissance (NpC)



On a

( )

Et

Par la relation de Np.Re, nous pouvons avoir la deuxième équation Npe.Re et Npp.Rea.

En procédant de la même manière, le rapport Npe.Re et Npp.Rea nous donne

or,

Donc, (

*

( )

Pour le cas de la pale 1, l‟expression de Np.Re est

Ainsi, l‟expression de B est fonction de Re et la valeur de m est obtenue à partir de

l‟équation

( ).



Figure 35 : Courbe de NpRe de la pale 1 - NM

Figure 36 : Courbe de NppRe de la pale 1 - NM

On effectue le même processus de calcul avec du papier vélin et journaux pour la

même pâle.

Lors des calculs des paramètres k, x et y, nous avons pu constater qu‟il n‟existe

que peu de différence entre les résultats de calcul issus de la résolution de GN et LM.

Du fait de la robustesse et de l‟efficacité de LM, nous allons par la suite effectuer le

même processus de calcul mais avec la résolution de LM.

y = 1E+10x-0,71 R² = 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12

NpRe

Mill

ion

s

Re

x 100000

NpRe

NpRe

Puissance (NpRe)

y = 2E+10x-0,74 R² = 0,9599

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12

NppRe

Mill

ion

s

Re

x 100000

NppRe

NpReC

Puissance (NpReC)



VII.7.1.2 Cas de la pale 1 – Méthode de LM

Par la méthode de LM, nous avons pu tracer la courbe de Npe et Npp suivante :

Figure 37 : Courbe Npe- méthode de LM de la pale 1 avec de l’eau

Figure 38 : Courbe Npp- méthode de LM de la pale 1

A partir de ces courbes, nous avons

Npe = 165.2 N-1.69

Npp = 156.4 N-1.74

μa = 1.70.10-3 N-0495

y = 165,28x-1,697 R² = 1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30

Npe

N

Npe

Npe

Puissance (Npe)

y = 156,48x-1,74 R² = 0,9925

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30

Npp

N

Npp

Npp

Puissance (Npp)



Par identification, nous avons obtenues .

B et m sont obtenus par la deuxième relation Np.Re à l‟issue des courbes NppRea et

NpeRe.

NppRea = 1.1010Rea -0.69

NpeRe = 2.1010Re -0.74

Figure 39 : Courbe de NpRe de la pale 1 – LM

Figure 40 : Courbe de NppRe de la pale 1 – LM

y = 1E+10x-0,697 R² = 1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15

NpRe

Mill

ion

s

Re

x 100000

NpRe

NpRe

Puissance (NpRe)

y = 2E+10x-0,74 R² = 0,9599

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15

NppRe

Mill

ion

s

Re

x 100000

NppRe

NppRe

Puissance (NppRe)



Pour déterminer les paramètres du fluide, nous avons dû procéder de la même

manière que précédemment. Par conséquent, nous avons récapitulé les résultats des

valeurs de n et m.

Tableau 17 : Valeur de n et m selon NM et LM

n m

NM LM NM LM

CARTON 1,207 1,496 0,0024 0,0020

VELIN 1,622 2,090 0,0007 0,0003

JOURNAUX 0,308 0,207 0,0065 0,0072

Les valeurs de B pour le cas de la pâle 1 avec les deux méthodes de résolution ont

été récapitulées comme suit :

Tableau 18 : B calculé de P1 selon NM et LM

CARTON VELIN JOURNAUX

F [Hz] N [s-1] NM LM NM LM NM LM

2,00 1,000 0,129 0,676 0,479 0,799 1,316 0,885

5,00 2,500 0,150 0,754 0,551 0,885 1,569 1,008

8,00 4,000 0,162 0,798 0,592 0,933 1,717 1,078

10,00 5,000 0,168 0,820 0,613 0,957 1,792 1,113

15,00 7,500 0,180 0,861 0,652 1,001 1,936 1,179

20,00 10,000 0,189 0,891 0,682 1,034 2,046 1,228

25,00 12,500 0,196 0,915 0,705 1,060 2,136 1,267

30,00 15,000 0,201 0,935 0,725 1,082 2,211 1,300

35,00 17,500 0,207 0,953 0,743 1,101 2,278 1,329

40,00 20,000 0,211 0,968 0,758 1,117 2,337 1,355

45,00 22,500 0,215 0,982 0,772 1,132 2,390 1,378

50,00 25,000 0,219 0,994 0,784 1,145 2,439 1,398

VII.7.1.3 Cas des pâles 2 et 3

Afin de déterminer les valeurs de la constante B pour le cas des pâles 2 et 3, il suffit

d‟appliquer l‟expression de µa avec les valeurs de n et m trouvés de la pale 1.



Par les valeurs des Npe et Npp, nous pouvons tirer les valeurs de . Ensuite, nous

obtenons l‟équation suivante :

Où C et c sont les valeurs des constantes issu de la courbe de tendance de .

Donc (

)

Les résultats de calcul des pâles 2 et 3 sont présentés dans les tableaux suivants :




2,00 1,000 0,610 1,439 6,334 8,115 2,149 0,940

5,00 2,500 0,133 0,397 1,695 2,316 3,045 1,911

8,00 4,000 0,061 0,205 0,862 1,217 3,641 2,749

10,00 5,000 0,042 0,150 0,625 0,897 3,964 3,267

15,00 7,500 0,022 0,085 0,349 0,515 4,625 4,470

20,00 10,000 0,013 0,057 0,231 0,347 5,159 5,584

25,00 12,500 0,009 0,041 0,167 0,256 5,616 6,637

30,00 15,000 0,007 0,032 0,129 0,199 6,019 7,642

35,00 17,500 0,005 0,026 0,103 0,161 6,383 8,610

40,00 20,000 0,004 0,021 0,085 0,134 6,715 9,547

45,00 22,500 0,003 0,018 0,072 0,114 7,023 10,458

50,00 25,000 0,003 0,016 0,060 0,099 7,310 11,346






2,00 1,000 1020,378 5319,474 11,556 36,885 13,914 11,320

5,00 2,500 4,880 29,215 2,426 6,283 1,481 1,426

8,00 4,000 0,315 2,024 1,090 2,534 0,469 0,493

10,00 5,000 0,086 0,570 0,745 1,647 0,272 0,297

15,00 7,500 0,008 0,057 0,373 0,753 0,101 0,119

20,00 10,000 0,002 0,011 0,229 0,432 0,050 0,062

25,00 12,500 0,000 0,003 0,156 0,281 0,029 0,037

30,00 15,000 0,000 0,001 0,115 0,197 0,019 0,025

35,00 17,500 0,000 0,000 0,088 0,146 0,013 0,018

40,00 20,000 0,000 0,000 0,070 0,113 0,009 0,013

45,00 22,500 0,000 0,000 0,057 0,090 0,007 0,010

50,00 25,000 0,000 0,000 0,048 0,074 0,005 0,008

VII.7.2 Equations de µa et σ

Après avoir obtenu les résultats de calcul permettant d‟obtenir les valeurs de n, B et

m ; nous pouvons écrire les équations viscosimétriques ainsi que σ.

Les tableaux suivants rassemblent les équations sur les trois types de papier selon

les deux méthodes de résolution : NM et LM

Tableau 21 : Equations de la pâle 1

µa σ

NM LM NM LM

CARTON

VELIN

JOURNAUX




µa σ

NM LM NM LM

CARTON

VELIN

JOURNAUX


µa σ

NM LM NM LM

CARTON

VELIN

JOURNAUX

Par ces équations, nous pouvons déterminer la viscosité du mélange ainsi que σ

selon les différentes pâles. Aussi, grâce à ces tableaux, nous pouvons représenter la

courbe d‟évaluation de la contrainte de cisaillement en fonction du gradient de vitesse.

VII.7.3 Valeurs de puissance de l’agitateur

Comme tous les paramètres que ce soit de l‟agitateur ou du fluide sont tous

connus, nous pouvons à présent afficher les résultats de calculs des valeurs de

puissance de l‟agitateur pour chaque type de pâle et chaque type de papier.

Pour le cas des résultats de calcul de la méthode de NM, nous avons le tableau suivant



Tableau 24 : Valeur de P selon NM

PC PV PJ

F [Hz] P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3

2 49,66 50,21 45,54 57,80 48,22 52,54 42,89 44,06 62,26

5 157,56 165,57 148,90 173,60 161,96 158,16 153,31 162,17 151,83

8 284,89 305,33 273,38 305,16 301,50 278,36 294,67 316,41 239,84

10 377,41 408,29 364,80 398,88 404,97 364,06 401,85 434,58 297,99

15 629,10 692,26 616,18 648,91 692,21 592,89 706,09 773,58 442,08

20 904,00 1006,84 893,77 916,51 1012,59 838,02 1053,30 1164,64 584,84

25 1197,55 1346,34 1192,65 1197,98 1360,08 1096,02 1436,41 1599,61 726,63

30 1506,88 1707,12 1509,66 1491,01 1730,83 1364,76 1850,78 2073,12 867,64

35 1829,97 2086,60 1842,58 1794,03 2122,12 1642,79 2293,11 2581,27 1008,01

40 2165,34 2482,87 2189,77 2105,88 2531,89 1929,01 2760,86 3121,11 1147,84

45 2511,82 2894,44 2549,94 2425,64 2958,55 2222,59 3252,05 3690,25 1287,19

50 2868,48 3313,09 2389,50 2752,61 3400,77 2795,47 3765,03 4286,78 1940,27

Pour celui de LM, nous avons le tableau 25

Tableau 25 : Valeur de P selon LM

PC PV PJ

F [Hz] P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3

2 49,67 50,21 45,54 57,82 48,22 52,54 42,91 44,06 62,26

5 156,53 165,58 148,89 172,46 161,97 158,15 152,30 162,17 151,83

8 282,02 305,36 273,36 302,08 301,52 278,34 291,69 316,44 239,84

10 372,96 408,33 364,76 394,18 405,00 364,02 397,11 434,63 297,99

15 619,78 692,35 616,09 639,29 692,30 592,81 695,63 773,68 442,08

20 888,65 1006,98 893,63 900,95 1012,73 837,89 1035,42 1164,80 584,84

25 1175,23 1346,55 1192,44 1175,65 1360,29 1095,82 1409,63 1599,86 726,63

30 1476,74 1707,40 1509,37 1461,19 1731,12 1364,50 1813,77 2073,46 867,64

35 1791,27 2086,97 1842,21 1756,10 2122,50 1642,45 2244,61 2581,73 1008,01

40 2117,40 2483,34 2189,31 2059,25 2532,37 1928,60 2699,73 3121,69 1147,84

45 2454,01 2895,00 2549,37 2369,81 2959,12 2222,10 3177,20 3690,97 1287,19

50 2800,21 3320,75 2427,07 2687,10 3401,45 2738,10 3675,43 4287,64 1908,77



A partir de ces deux tableaux, nous pouvons voir que les deux méthodes affichent à

peu près les mêmes résultats. L‟analyse de ces valeurs nous ont permis d‟affirmer que

lors du broyage de la pâte à papier, la pâle 2 consomme beaucoup plus d‟énergie par

rapport à P1 et P3. La pâle 3 est celle qui consomme le moins d‟énergie par rapport aux

deux autres. D‟ailleurs ce propos est aussi vérifié pour le cas des essais réalisés avec

de l‟eau.

Nous pouvons affirmer alors que ces résultats de calcul seront un outil d‟aide pour

le manipulateur de la machine à prendre une décision.

VII.7.4 Rhéogramme du fluide

Vu que les paramètres du fluide ainsi que ceux de l‟agitateur ont été définis, nous

pouvons à présent établir le rhéogramme du fluide selon la théorie de Metzner et Otto.



VII.7.4.1 Papier carton

Figure 41 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier carton

y = 0,0024x1,1783 R² = 1

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

0 1 2 3 4 5 6

τ [Pa.s]

γ [s-1]

Sigma NM

Sigma

Puissance (Sigma)

y = 0,002x1,4424 R² = 1

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0 5 10 15 20 25 30

τ [Pa.s]

γ [s-1]

Sigma LM

Sigma

Puissance (Sigma)



VII.7.4.2 Papier vélin

Figure 42 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier vélin

y = 0,0008x1,5398 R² = 1

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0 5 10 15 20 25

τ [Pa.s]

γ [s-1]

Sigma NM

Sigma

Puissance (Sigma)

y = 0,0004x1,9803 R² = 1

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0 10 20 30 40

τ [Pa.s]

γ [s-1]

Sigma LM

Sigma

Puissance (Sigma)



VII.7.4.3 Papier journaux

Figure 43 : Rhéogramme de la pâte de papier avec du papier journaux

y = 0,0047x0,4196 R² = 1

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0 20 40 60 80

τ [Pa.s]

γ [s-1]

Sigma NM

Sigma

Puissance (Sigma)

y = 0,0056x0,3057 R² = 1

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0 10 20 30 40

τ [Pa.s]

γ [s-1]

Sigma LM

Sigma

Puissance (Sigma)



VII.7.5 Analyse et interprétation des résultats

Lors des essais expérimentaux, nous avons effectué des relevés de puissances de

E0, E3, E9, E15, E21 et E27 avec les trois pales. Pour le cas des essais avec de la

pâte à papier, nous avons fait des essais de E21PA1, E21PA2, E271280 et E27PA2560

pourtant, nous n‟avons considéré que les données de E21PA1 pour les trois pales

puisque c‟est à cette proportion que nous avons observé un bon écoulement et

homogénéisation du fluide.

Les valeurs expérimentales de ces puissances nous permettent d‟obtenir les Np

expérimentaux qui nous ont ensuite conduit à l‟expression théorique de l‟équation de

l‟agitateur. Grâce à cela, nous avons pu acquérir les courbes caractéristiques. Du fait

de la structure géométrique de notre pâle, qui a été classé parmi les types de pâle

permettant de créer une grande vitesse de rotation et de créer une zone de turbulence

selon la théorie, nous n‟avons obtenus qu‟une partie des courbes montrant que notre

domaine d‟étude est en en régime turbulent.

La détermination des paramètres k, x et y a permis de calculer le Npe, puis

d‟évaluer la viscosité apparente de notre mélange et d‟en déterminer les

caractéristiques rhéologiques de notre fluide. A partir de ces courbes Npe et Npp, nous

avons pu ressortir les valeurs de n d‟une part. La détermination de NpeRe et NppRe a

pu donner les valeurs de B d‟autre part.

D‟après les résultats de calcul de B, nous avons pu remarquer que B croît avec la

vitesse de rotation pour le cas des papiers journaux selon P1 et P2 alors que c‟est

totalement l‟inverse pour les autres cas.

En dressant une comparaison de la même matière pour différents types de pâles,

nous pouvons constater que les valeurs de B3 sont beaucoup plus importantes par

rapport à celui de B2 et B1. Ainsi, l‟explication de ses valeurs est ramenée à l‟angle

d‟inclinaison des mobiles d‟agitation car plus l‟angle d‟inclinaison est grand, plus nous

avons une valeur de B considérable.

Concernant les valeurs des paramètres du fluide résumé dans le tableau 17, nous

pouvons visualiser qu‟il existe une différence entre les résultats de la résolution de NM

et LM. Cependant, ce qui est mis en évidence est la valeur de l‟indice de consistance m

par rapport à n : au fur et à mesure que n augmente, nous remarquons que m décroit. A

cet effet, nous pouvons conclure alors que l‟indice de consistance est fonction de n.



Enfin, comme les paramètres rhéologiques ont été déterminés, nous avons pu

établie la loi de comportement de notre mélange.

Pour la pâte à papier avec des journaux, le fluide est un liquide non Newtonien vu

que les valeurs de n données par les résultats de NM et LM sont tous inférieurs à 1

donc c‟est un fluide rhéofluidifiant. D‟ailleurs, les courbes de la contrainte en fonction du

taux de cisaillement (figure 43) renforcent cette affirmation. Plus, on augmente les

valeurs de BN, plus, nous disposerons d‟un liquide encore plus fluide du fait de sa

structure ainsi que sa composition.

Etant donné que les résultats des paramètres rhéologiques ainsi que les figures 41

et 42 du papier carton et papier vélin ont été affichés, nous pouvons à présent affirmer

que ces deux types de papier ont un comportement rhéoépaississant car les valeurs de

n sont supérieures à 1. La viscosité du mélange accroit autant qu‟on augmente la

contrainte, qui est proportionnelle à la vitesse de rotation, du fait de la structure des

papiers carton et papier vélin.

Suite à ces résultats de calcul, nous avons pu tirer les équations viscosimétriques

de notre fluide ainsi que les puissances consommées. L‟application de ce travail de

recherche sera ensuite de pouvoir piloter le système à travers nos résultats de calcul,

les équations de la viscosité seront alors les paramètres d‟entrés du système pour

pouvoir automatiser le procédé.

VII.7.6 Conclusion partielle

Cette dernière partie de l‟ouvrage nous a permis d‟exposer les méthodes que nous

avons adopté lors des recueilles des informations dans un premier temps et vient

ensuite l‟exploitation des données.

Des dispositifs de mesure ont été utilisés pour pouvoir acquérir les valeurs de

puissances, puis Matlab nous a été utile pour pouvoir traiter les données

numériquement. Par ces résultats de calcul, nous avons pu obtenir les courbes

caractéristiques de l‟agitateur. Puis, les paramètres du mélange et celui de l‟agitateur.

Grâce à la connaissance de ces paramètres, nous avons pu aboutir à la détermination

de la loi de comportement de notre fluide. Aussi, à l‟issu de ces résultats, nous avons

pu tirer les équations viscosimétriques du mélange ainsi que les puissances qui vont

être par la suite des données d‟entrées du système permettant de l‟automatiser.

CONCLUSION

Conclusion


L‟opération de mélange est une opération unitaire mécanique du Génie des

Procédés qui ne doit pas être négligée en aucun cas. Elle a pour fonction principale

d‟atteindre une uniformité de concentration ou de température reposant sur la nature

des écoulements engendrés au sein du milieu par le mode d‟agitation choisi.

Comme la qualité d‟un mélange résulte toujours des interactions entre les

propriétés rhéologiques du milieu, la géométrie de l‟agitateur et les conditions de sa

mise en œuvre, nous avons menés une étude sur un mélangeur permettant de

déterminer ces paramètres.

Au cours de cette recherche, afin d‟atteindre les objectifs, nous nous sommes basé

sur la théorie de Metzner et Otto. Ils proposent d‟utiliser un système d‟agitation comme

rhéomètre et de définir la viscosité apparente de la suspension comme étant égale à

celle d‟un fluide de référence qui nécessiterait la même puissance dissipée dans les

mêmes conditions géométriques et opératoires.

Pour se faire, nous avons utilisé l‟eau comme fluide de référence. Ensuite les

relevés de puissance ont été obtenus grâce à un analyseur de réseau. Ces valeurs

permettent de déterminer les courbes caractéristiques de l‟agitateur et d‟en déterminer

la viscosité apparente du mélange.

L‟utilisation de la théorie de Metzner et Otto nous a permis de tracer les courbes

Np-Re-Fr qui conduisent à la détermination des paramètres B de l‟agitateur, ainsi que

d‟affirmer le comportement rhéologique de la pâte à papier. Ces informations sont d‟une

grande importance pour permettre le choix le plus favorables à l‟accomplissement du

procédé et à l‟optimisation du fonctionnement de l‟agitateur notamment sur le plan

économique. Autrement dit, l‟application immédiate de ce travail est de piloter le

broyeur en fonction de la viscosité.

Toutefois, nous tenons à signaler que lors des essais réalisés, notre régime

d‟écoulement est dans le domaine turbulent, et ce qui nous a donné ces résultats de

calcul ainsi qu‟une partie de la courbe caractéristique de l‟agitateur. De plus, plusieurs

autres paramètres doivent être aussi étudiés en parallèle avec notre sujet d‟étude à

citer la composition physico-chimique de la pâte, l‟influence de la température, etc…

Une perspective s‟ouvre alors qu‟il est envisageable de faire une étude sur la

modélisation de l‟écoulement en tenant compte des dynamiques moléculaires.

REFERENCES

BIBLIOGRAPHIQUES


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et de barrières. Thèse Doctorat ès physiques, Institut National Polytechnique de

Toulouse (1983).

[2] ROUSTAN (M.) – Contribution à l‟étude des phénomènes d‟agitation et de

transfert de matière des réacteurs gaz-liquide. Thèse Doctorat ès sciences,

Université Paul Sabatier Toulouse (1978).

[3] Tsiry Angelos ANDRIAMANAMPISOA – Cours rhéologie 4ème année. ESPA,

2012.

[4] J. BESSON, G. CAILLETAUD, S. FOREST – Lois de comportement non

linéaires des matériaux. Ecole des Mines de Paris

[5] S. PONCET – Initiation à la rhéologie. IUT Génie Thérmique et Energie –

Marseille.

[6] Michel ROUSTAN, Jean Claude PHARAMOND, Alain LINE – Agitation. Mélange

concept théoriques de base. Institut National des Sciences appliquées Toulouse.

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of mixing impellers. (Part. 2) Chem. Eng. Progress 46, no 9, p. 467-76 (1950).

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AIChE - Symposium Series, Process Mixing – Chemical and Biochemical

Applications: Part II, 89(293), 158-163 (1992).

[9] Metzner, A.; Otto, R. – Agitation of non-Newtonian fluids. AIChE Journal, 3(1), 3-

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[10] Bertrand, J.; Couderc, J.P.; Angelino, H. “Power consumption, pumping capacity

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turbines”. Chem. Eng. Sci., 35, 2157 (1980).

[11] http://www.ajustement de courbe_Wikipédia .htm (10-01-14).

[12] http://www.régression non linéaire_Wikipédia .htm (07-03-14)

ANNEXES

Annexe

Mémoire de Fin d’Etudes - SIM Page a1

Les principaux types de mobiles à débit axial

Annexe


Les principaux types de mobiles à débit radial et tangentiel

Valeur de Np et Nq des mobiles d’agitation de type radial et axial :

Annexe


Nombre de puissance des mobiles d’agitation Missenard-Quint en fonction du

nombre de Reynolds

Annexe


Annexe


Annexe


Annexe


Annexe


Annexe


Annexe


Annexe


3F45P1 28/12/2013 11:42:00 > 28/12/2013 11:42:59 Date Time W W W W

L1 L2 L3 S

28/12/2013 11:42:00 0 0 0 0 0

28/12/2013 11:42:01 0 0 0 0 0

28/12/2013 11:42:02 377,2085571 431,1989136 372,9479065 1181,355377 118,1355377

28/12/2013 11:42:03 1181,064331 1412,544067 1210,985474 3804,593872 380,4593872

28/12/2013 11:42:04 1551,086792 1671,832642 1650,007324 4872,926758 487,2926758

28/12/2013 11:42:05 1164,553223 1237,702026 1267,511597 3669,766846 366,9766846

28/12/2013 11:42:06 1033,584473 1130,112183 1105,558472 3269,255127 326,9255127

28/12/2013 11:42:07 1018,602844 1184,61084 1038,535522 3241,749207 324,1749207

28/12/2013 11:42:08 985,4488525 1165,705078 1133,963013 3285,116943 328,5116943

28/12/2013 11:42:09 1054,708984 1198,033813 1112,214966 3364,957764 336,4957764

28/12/2013 11:42:10 1063,730957 1142,196533 1116,084106 3322,011597 332,2011597

28/12/2013 11:42:11 1058,046387 1184,739136 1062,722534 3305,508057 330,5508057

28/12/2013 11:42:12 1012,514832 1140,417847 1142,783325 3295,716003 329,5716003

28/12/2013 11:42:13 979,7092896 1098,00354 1137,483887 3215,196716 321,5196716

28/12/2013 11:42:14 939,7522583 1121,420288 1152,777222 3213,949768 321,3949768

28/12/2013 11:42:15 1103,926514 1266,028687 1141,829834 3511,785034 351,1785034

28/12/2013 11:42:16 1055,479248 1154,977661 1107,153931 3317,61084 331,761084

28/12/2013 11:42:17 1072,294556 1131,689209 1127,123291 3331,107056 333,1107056

28/12/2013 11:42:18 1014,90033 1134,138794 1127,1427 3276,181824 327,6181824

28/12/2013 11:42:19 1035,069824 1152,135376 1097,563477 3284,768677 328,4768677

28/12/2013 11:42:20 951,4880981 1124,812744 1156,517944 3232,818787 323,2818787

28/12/2013 11:42:21 965,6262207 1188,681641 1119,238159 3273,546021 327,3546021

28/12/2013 11:42:22 1039,342407 1158,755127 1183,89563 3381,993164 338,1993164

28/12/2013 11:42:23 1053,975464 1155,051025 1116,707642 3325,734131 332,5734131

28/12/2013 11:42:24 1017,337585 1191,634033 1196,67688 3405,648499 340,5648499

28/12/2013 11:42:25 1086,267578 1154,464233 1160,240479 3400,97229 340,097229

28/12/2013 11:42:26 1021,940186 1102,514526 1136,658691 3261,113403 326,1113403

28/12/2013 11:42:27 1033,584473 1101,560913 1118,339722 3253,485107 325,3485107

28/12/2013 11:42:28 969,2936401 1153,290649 1160,753906 3283,338196 328,3338196

28/12/2013 11:42:29 1020,840027 1168,987427 1092,245605 3282,073059 328,2073059

28/12/2013 11:42:30 986,0723877 1098,810303 1125,949707 3210,832397 321,0832397

28/12/2013 11:42:31 1016,970825 1185,490967 1205,313721 3407,775513 340,7775513

28/12/2013 11:42:32 986,4391479 1142,343262 1098,425293 3227,207703 322,7207703

28/12/2013 11:42:33 1082,654785 1167,128174 1103,571289 3353,354248 335,3354248

28/12/2013 11:42:34 1031,952393 1167,520386 1096,059814 3295,532593 329,5532593

28/12/2013 11:42:35 1080,161255 1182,887085 1090,30188 3353,35022 335,335022

28/12/2013 11:42:36 977,1971436 1211,126709 1154,390869 3342,714722 334,2714722

28/12/2013 11:42:37 952,6800537 1153,675659 1135,723389 3242,079102 324,2079102

28/12/2013 11:42:38 1076,21875 1213,693848 1149,47644 3439,389038 343,9389038

28/12/2013 11:42:39 1069,672363 1092,465576 1067,306763 3229,444702 322,9444702

28/12/2013 11:42:40 1032,777588 1164,549683 1153,767334 3351,094604 335,1094604

28/12/2013 11:42:41 987,5577393 1137,410522 1149,586426 3274,554688 327,4554688

28/12/2013 11:42:42 1040,699341 1145,350464 1146,615845 3332,665649 333,2665649

28/12/2013 11:42:43 1104,98999 1170,270996 1172,434814 3447,695801 344,7695801

28/12/2013 11:42:44 947,0688477 1180,503174 1207,990967 3335,562988 333,5562988

28/12/2013 11:42:45 972,5394287 1206,799072 1124,794312 3304,132813 330,4132813

28/12/2013 11:42:46 1003,841248 1229,078857 1178,046021 3410,966125 341,0966125

28/12/2013 11:42:47 1089,77002 1189,121826 1147,917847 3426,809692 342,6809692

28/12/2013 11:42:48 979,0491333 1185,894409 1162,6427 3327,586243 332,7586243

28/12/2013 11:42:49 1051,818115 1178,591064 1143,054443 3373,463623 337,3463623

28/12/2013 11:42:50 1046,879028 1190,185303 1172,618286 3409,682617 340,9682617

28/12/2013 11:42:51 1070,570801 1152,612183 1088,798218 3311,981201 331,1981201

28/12/2013 11:42:52 1014,055115 1187,471436 1165,026611 3366,553162 336,6553162

28/12/2013 11:42:53 1024,397339 1127,28833 1098,223633 3249,909302 324,9909302

28/12/2013 11:42:54 1061,713867 1156,554688 1098,865356 3317,133911 331,7133911

28/12/2013 11:42:55 1104,880005 1168,033813 1093,914307 3366,828125 336,6828125

TABLE DES MATIERES

Table des matières

Remerciements…………………………………………………………………………………-I

Sommaire………………………………………………………………………………………. II

Glossaire……………………………………………………………………………………….. III

Acronyme………………………………………………………………………………………. V

Notations et symboles……………………………………………………………………...… VI

Liste des tableaux…………………………………………………………………………… VIII

Liste des illustrations………………………………………………………………………..... IX

Introduction…………………………………………………………………………………….. 1

PARTIE I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

CHAPITRE I. GENERALITES SUR LA RHEOLOGIE ................................................. 3

I.1 Introduction .................................................................................................................. 3

I.2 Définition ..................................................................................................................... 3

I.2.1 La rhéologie ...................................................................................................... 3

I.2.2 Les différentes études de la rhéologie .............................................................. 3

I.3 Comportements rhéologiques des fluides ................................................................... 4

I.3.1 Fluides newtoniens ........................................................................................... 4

I.3.2 Fluides non-newtoniens .................................................................................... 5

I.4 Rhéologie des liquides complexes .............................................................................. 8

I.4.1 Viscoélasticité linéaire ....................................................................................... 8

I.4.1.1 Solide élastique parfait .............................................................................. 10

I.4.1.2 Liquide visqueux newtonien ....................................................................... 10

I.4.2 Liquide non linéaire ......................................................................................... 11

I.4.2.1 Fluide plastique .......................................................................................... 11

I.4.2.2 Fluide rhéofludifiant ................................................................................... 12

I.4.2.3 Fluide rhéoépaississant ............................................................................. 12

CHAPITRE II. LES THEORIES DE L‟AGITATEUR .................................................... 13

II.1 Introduction ................................................................................................................ 13

II.2 Généralités sur les agitateurs ................................................................................... 13

II.2.1 Définition d‟un système d‟agitation .................................................................. 13

II.2.1.1 Description des mobiles ............................................................................. 14

II.2.1.1.1 Mobiles à débit axial ............................................................................ 14

II.2.1.1.2 Mobiles à débit radial .......................................................................... 15

II.2.2 Régimes hydrodynamiques ............................................................................. 15

II.2.3 Turbulence et pompage .................................................................................. 17

Table des matières

II.2.4 Géométrie d‟un système d‟agitation ................................................................ 18

II.2.5 Régimes d‟écoulement .................................................................................... 19

II.3 Paramètres globaux d‟un système d‟agitation .......................................................... 21

II.3.1 Puissance dissipée ......................................................................................... 21

II.3.1.1 Application de la similitude et de l‟analyse dimensionnelle au calcul de la

puissance ........................................................................................................... 22

II.3.1.2 Courbes caractéristiques ........................................................................... 23

II.3.1.2.1 Régime laminaire ................................................................................ 25

II.3.1.2.2 Régime intermédiaire .......................................................................... 25

II.3.1.2.3 Régime turbulent ................................................................................. 25

II.3.1.2.4 Influence du nombre de mobiles d‟agitation ........................................ 26

II.3.2 Débits de pompage et de circulation ............................................................... 26

II.3.2.1 Débit de pompage ..................................................................................... 26

II.3.2.2 Débit de circulation .................................................................................... 26

II.3.3 Gradient de vitesse ........................................................................................ 27

II.4 Paramètres locaux d‟un système d‟agitation ............................................................. 28

II.4.1 Moyens de mesure .......................................................................................... 28

II.4.1.1 Acquisition des données ............................................................................ 29

II.4.1.2 Traitement des données ............................................................................ 29

II.4.2 Techniques numériques .................................................................................. 29

CHAPITRE III. LES MODELES MATHEMATIQUES ................................................... 30

III.1 Mélange en cuve agitée ............................................................................................. 30

III.1.1 Caractérisation du système d‟agitation ........................................................... 30

III.2 Le concept de Metzner et Otto .................................................................................. 32

III.2.1 Introduction ..................................................................................................... 32

III.2.2 Théorie ............................................................................................................ 32

III.2.3 Conclusion ...................................................................................................... 36

III.3 Ajustement de courbe ............................................................................................... 36

III.3.1 Ajustement algébrique ou géométrique ........................................................... 36

III.3.2 Fonction modèle utilisée ................................................................................. 37

III.3.3 Démarche de régression ................................................................................. 37

III.3.3.1 Considération générale .............................................................................. 37

III.3.3.2 Régression non linéaire ............................................................................ 38

Table des matières

PARTIE II. ETUDE EXPERIMENTALE

CHAPITRE IV. MATERIELS ET METHODES ............................................................. 42

IV.1 Méthodologie générale .............................................................................................. 42

IV.2 Installation et protocole expérimentaux ..................................................................... 43

IV.2.1 Le broyeur ....................................................................................................... 43

IV.2.2 Le variateur de fréquence ............................................................................... 44

IV.2.3 L‟analyseur de réseau - Qualistar ................................................................... 45

IV.2.3.1 Branchements ........................................................................................ 46

IV.2.3.2 Configuration .......................................................................................... 46

IV.2.3.3 Observation ............................................................................................ 48

IV.2.3.4 Mode Puissance ..................................................................................... 49

IV.2.3.5 Acquisition et analyse des données ....................................................... 49

IV.2.3.6 Le logiciel QualiStar View V2.6 .............................................................. 50

IV.2.3.6.1 Transfert des données vers l‟ordinateur .............................................. 50

IV.2.3.6.2 L‟extraction des données vers Excel ................................................... 51

CHAPITRE V. OUTILS DE RESOLUTION ................................................................. 52

V.1 Les méthodes de résolution ....................................................................................... 52

V.1.1 Définitions ....................................................................................................... 52

V.1.2 La méthode du Simplexe de Nelder-Mead ...................................................... 53

V.1.3 Méthode de Gauss-Newton ............................................................................ 56

V.1.4 La méthode de Levenberg-Marquardt ............................................................. 58

V.2 Matlab ........................................................................................................................ 58

V.2.1 Introduction ..................................................................................................... 58

V.2.2 Matlab et ses bibliothèques ............................................................................. 59

V.2.3 Les variables ................................................................................................... 59

V.2.4 Script et m-files ............................................................................................... 59

V.2.5 Fonctions ........................................................................................................ 60

V.2.6 Structures de programmation usuelles ............................................................ 61

V.2.6.1 Le contrôle de l‟exécution .......................................................................... 61

V.2.6.1.1 Boucle FOR ......................................................................................... 61

V.2.6.1.2 Boucle WHILE ..................................................................................... 61

V.2.6.2 L‟instruction de choix ................................................................................. 61

V.2.6.2.1 Boucle IF ............................................................................................. 61

V.2.6.2.2 Boucle SWITCH .................................................................................. 62

Table des matières

V.2.7 Les fonctions utilisées ..................................................................................... 62

V.2.7.1 L‟algorithme de Simplexe .......................................................................... 63

V.2.7.2 L‟algorithme de Gauss-Newton.................................................................. 63

V.2.7.3 L‟algorithme de Levenberg-Marquardt ....................................................... 63

V.2.8 Graphique ....................................................................................................... 64

V.2.9 Programmation des interfaces graphiques GUI .............................................. 64

V.2.9.1 Objets graphiques et leur fonctionnement ................................................. 64

PARTIE III. ETUDE EXPLOITATION

CHAPITRE VI. ACQUISITION DES DONNEES .......................................................... 67

VI.1 Description du déroulement des essais ..................................................................... 68

VI.2 Exportation des données de l‟analyseur vers Excel ................................................... 69

VI.3 Méthode de calcul ...................................................................................................... 73

VI.4 Utilisation de l‟outil Matlab ......................................................................................... 74

VI.4.1 Le script .......................................................................................................... 74

VI.4.2 Organisation de l‟interface .............................................................................. 74

VI.4.2.1 La fenêtre des graphes........................................................................... 75

VI.4.2.2 Les boutons ............................................................................................ 75

VI.4.2.2.1 Les boutons .................................................................................. 76

VI.4.2.2.2 Le bouton Info ..................................................................................... 76

VI.4.2.2.3 Le bouton fermer ................................................................................. 76

VI.4.2.3 La fenêtre d‟affichage ............................................................................. 76

VI.5 Manipulation du programme ...................................................................................... 77

CHAPITRE VII.EXPLOITATION DES DONNEES ......................................................... 78

VII.1Introduction ............................................................................................................... 78

VII.2Méthode de Nelder-Mead78

VII.3Méthode de Gauss-Newton……………………………………………………………79

VII.4Méthode de Levenberg-Marquardt……………………………………………………79

VII.5Etude comparative par les trois méthodes…………………………………………...80

VII.6Courbes caractéristiques de l‟agitateur……………………………………………….81

VII.6.1 Cas de la pâle 1 ............................................................................................ 81

VII.6.2 Cas de la pâle 2 ............................................................................................ 83

VII.6.3 Cas de la pâle 3 ............................................................................................ 84

VII.7Analyse rhéologique des équations viscosimétriques………………………………85

Table des matières

VII.7.1 Calcul de n, B et m ........................................................................................ 85

VII.7.1.1 Cas de la pale 1 – Méthode de NM ........................................................ 85

VII.7.1.2 Cas de la pale 1 – Méthode de LM ......................................................... 89

VII.7.1.3 Cas des pâles 2 et 3 ............................................................................... 91

VII.7.2 Equations de µa et σ ...................................................................................... 93

VII.7.3 Valeurs de puissance de l‟agitateur .............................................................. 94

VII.7.4 Rhéogramme du fluide .................................................................................. 96

VII.7.4.1 Papier carton .......................................................................................... 97

VII.7.4.2 Papier vélin ............................................................................................. 98

VII.7.4.3 Papier journaux ...................................................................................... 99

VII.7.5 Analyse et interprétation des résultats ........................................................ 100

VII.7.6 Conclusion partielle ..................................................................................... 101

Conclusion………………………………………………………………………..…………. 102


Annexes

Table des matières

Résumé

Nom : RAKOTONDRASOA

Prénoms : Haingotiana Estelle

Titre du mémoire : ANALYSE NUMERIQUE DES PARAMETRES RHEOLOGIQUES

ETUDE DE CAS : MESURE DES CARACTERISTIQUES DE SUSPENSION EAU –

DECHETS CELLULOSIQUES

Nombre de page : 102

Nombre de figure : 43

Nombre de tableau : 25

RESUME

Dans cet ouvrage, nous faisons l‟analyse numérique des paramètres rhéologiques

d‟une matière en suspension eau – déchets cellulosiques ainsi que la détermination des

paramètres du broyeur. Pour atteindre nos objectifs, nous avons opté pour la méthode de

Metzner et Otto proposant d‟utiliser un système d‟agitation comme rhéomètre et de définir

la viscosité apparente de la suspension comme étant égale à celle d‟un fluide de référence

qui nécessiterait la même puissance dissipée dans les mêmes conditions géométriques et

opératoires. Un analyseur de réseau a été utilisé pour la recueille des données. Ces

données ont été traitées numériquement sur Matlab pour obtenir les paramètres de k, x et

y. Enfin, les valeurs de n, m et B pour chaque type de pâle sont obtenues en utilisant Excel.

ABSTRACT

In this work, the numerical analysis of rheological parameters of suspended material

cellulose and the determination of parameters of water-mill waste is performed. To achieve

our goals, the method of Metzner and Otto is applied, proposing to use a stirring system as

rheometer and to define the apparent viscosity of the suspension as being equal to that of

the reference fluid which would require the same power dissipated in the same geometric

and operating conditions. A network analyzer was used to collecte the data. These data

were digitally processed by Matlab to obtain the parameters of the shaker k, x and y.

Finally, the values of n, m and B for each type of blade are processed by Excel.

Mots clés : Rhéologie, viscosité, analyse numérique, régression non linéaire, Metzner et Otto.

Directeur de mémoire : Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriel

Monsieur ANDRIAMANAMPISOA Tsiry Angelos.

Coordonnées de l’auteur :

Adresse : Lot II A 73 TA Ambatomainty Antananarivo

Mail : [email protected]

Contact: 032 40 292 09

mailto:[email protected]

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