Modélisation des effets vibratoires du trafic ferroviaire sur l

Modélisation des effets vibratoires du traficferroviaire sur l'environnement

Thèse de doctorat présentée en vue de l'obtention du titre deDocteur en Sciences de l'Ingénieur

parGeorges KOUROUSSIS

Mai 2009

These de doctorat presentee en vue de l’obtention du titre de

Docteur en Sciences de l’Ingenieur

par

Georges KOUROUSSIS

Modelisation des effets vibratoires du trafic

ferroviaire sur l’environnement

Membres du Jury :

Prof. Serge Boucher — FPMs (pro–recteur)

Dr Ir Christophe Collette — CERN/ULB

Prof. Selim Datoussaıd — FPMs (secretaire)

Prof. Pierre Dehombreux — FPMs (president)

Prof. Pascal Drazetic — UVHC

Prof. Paul Fisette — UCL

Prof. Jean–Claude Golinval — ULg

Prof. Olivier Kaufmann — FPMs

Prof. Olivier Verlinden — FPMs (promoteur)

Mai 2009

i

A la memoire de mon pere, Jean Kouroussis (1931–1993),

en reconnaissance de ces annees perdues

Remerciements

Cette these est le fruit d’un long travail ou plusieurs personnes ont apporte leur

aide ou leur soutien.

Je tiens a exprimer ma gratitude au Professeur Conti qui m’a accueilli dans son

service en 2002 et qui m’a propose ce sujet de these. J’ai decouvert, a son contact,

un plaisir grandissant pour l’enseignement et pour la recherche dans le domaine

passionnant de la dynamique et des vibrations. J’associe ces memes remerciements

au Professeur Verlinden qui a repris en 2006 la tache de promoteur de ce travail et

qui, par ailleurs, m’a fait profiter de son experience dans le domaine du ferroviaire et

en analyse et simulation des systemes mecaniques. Que le Professeur Boucher trouve

egalement l’expression de ma gratitude, en tant que pro–recteur de la Faculte mais

egalement en tant que chef de service.

Je remercie aussi les membres du comite d’accompagnement qui ont su me guider

a travers deux reunions et qui m’ont prodigue des conseils judicieux.

Je remercie mes collegues de travail, en particulier Cedric, Quentin et David qui

ont su maintenir une ambiance agreable et unique au sein du Service.

Les etudes de cas n’ont pu etre menees a bien qu’avec l’aide d’intervenants indus-

triels : la societe des transports en commun STIB pour avoir initie en partie le projet

TRANSDYN, Infrabel pour son autorisation a pouvoir effectuer des mesures sur le

site de Mevergnies et TUC Rail pour leurs nombreuses informations sur les TGV et

leur collaboration durant ces dernieres annees.

Merci a Catherine pour la relecture de ce rapport.

Enfin je voudrais remercier mes proches pour leur soutien et surtout Perrine qui

a su etre patiente et comprehensive lors de mes nombreuses virees nocturnes et en

week–end . . . au bureau.

iii

Resume

Malgre de nombreux essors technologiques, le train, et les diverses formes sous

lesquelles il se presente (TGV, fret, corail, tram urbain,. . .) est percu comme

une source multiple de problemes environnementaux, qui sont de plus en plus mal

supportes par le public : pollution, bruit, vibrations, . . . La sensibilite vis–a–vis des

vibrations dues au trafic ferroviaire est de plus en plus importante. Plusieurs solu-

tions existent pour attenuer ces vibrations mais leur cout important, sans garantie

totale de resultat efficace, rebute souvent les exploitants de materiel ferroviaire. Si

la simulation du comportement dynamique des vehicules est maintenant devenue

incontournable dans l’industrie ferroviaire, il est plus rare d’integrer, des le stade

de la conception, l’interaction avec la voie et la propagation des vibrations dans le

sol. Ce travail se propose de mettre au point une methodologie fiable dans le but de

predire, des le stade de la conception d’un vehicule ou l’implantation d’une nouvelle

voie ferree, les efforts dynamiques que le vehicule est susceptible de transmettre au

sol via la voie, et d’en estimer l’impact sur l’environnement.

Pratiquement, il s’agit d’interfacer les methodologies classiques de simulation de

vehicules, qui s’appuient sur la theorie des systemes multicorps, et les techniques

de modelisation des voies et du sol. La modelisation de ce dernier est ardue et

les methodes analytiques ou semi–analytiques montrent d’emblee leurs limitations.

L’emploi de methodes numeriques s’avere donc etre une necessite. Une analyse de

l’interaction entre la voie et le sol a ete menee afin de montrer qu’il est tout a

fait possible, sous certaines conditions, de separer le sous–systeme vehicule/voie

du sol, dans le but de travailler en deux phases. La premiere permet de simuler le

v

vi

comportement dynamique ferroviaire, modelisant le vehicule circulant sur un rail

flexible, tenant compte de ses irregularites, supporte de maniere discrete par les

traverses, en considerant un comportement visco–elastique des attaches et du ballast.

La seconde phase fait intervenir le sol et la propagation des vibrations issues des

efforts agissant a la surface du sol et calcules dans la premiere phase. Les techniques

de modelisation de ce dernier ressortissent habituellement de la theorie des elements

frontieres ou des elements finis. Cette derniere, plus seduisante pour modeliser la

complexite du sol (heterogeneite, geometrie complexe, comportement non–lineaire),

a ete retenue, moyennant l’utilisation des elements semi–infinis afin de prendre en

compte la nature non bornee du domaine. Une etape de validation a ete entreprise

afin de verifier les conditions d’utilisation en analyse frequentielle et de definir leurs

equivalents en analyse temporelle. Il en ressort qu’une analyse temporelle est plus

realiste face au phenomene transitoire qu’est la propagation d’ondes dans le sol.

Permettant de travailler avec des modeles plus compacts et donc moins gourmands

en ressources informatiques, l’analyse temporelle replace la methode aux elements

finis a egalite avec la methode aux elements frontieres.

Deux cas d’etudes sont presentes, par l’intermediaire du trafic urbain et du tra-

fic a grandes vitesses, afin de valider l’approche adoptee, basee sur une simulation

temporelle des deux sous–systemes. Le schema d’integration explicite, associe a un

garde–fou relatif a sa stabilite, a ete prefere pour permettre des gains de temps dans la

simulation des modeles de sol. Les resultats obtenus restent tres satisfaisants lorsqu’ils

sont compares a des mesures sur site. Une analyse parametrique a permis de plus de

verifier la sensibilite des parametres du modele complet sur les niveaux vibratoires.

Tous ces resultats montrent l’influence importante de l’interaction vehicule/voie et

la necessite d’un modele complet dans la problematique de la gestion des vibrations

dues au trafic ferroviaire.

Abstract

Although it has been the subject of continuous technological innovation, railway

transport (HST, freight, tramway,...) is still perceived as an important source

of environmental nuisances which are less and less tolerated by the dwellers.

Among these nuisances, the vibrations induced by railway traffic get the same

concern as noise, passenger discomfort or visual impact. Solutions exist to alleviate

the vibrations but are still rarely employed by railway operators as they are quite

expensive without guaranteeing an efficient result in all cases. If the vehicle dynamics

simulation packages are now commonly used in railway industry, it is not yet the

case for the track/soil vibrations which are rarely treated from the very beginning

of the design. The present research work wants to establish a reliable methodology

in order to predict, from the design stage of a vehicle or of a track, the efforts

transmitted by the vehicle to the track/soil system and consequently the level of

vibrations in the surroundings.

Practically, the modelling process involves on one hand the classical metho-

dologies of vehicle simulation, relying on the theory of multibody systems, and

on the other hand the track/soil modelling. The soil modelling is laborious and

analytical or semi–analytical methods show at once their limitation. The usage of

numerical methods becomes therefore a necessity. An analysis of the interaction

between the track and the soil has been performed in order to show that the

track/soil uncoupling is licit in some conditions and can be taken into account,

with the aim of working into two stages. The first step is based on the dynamic

behaviour of the subsystem vehicle/track. The vehicle moves on a flexible rail,

vii

viii

taking into account any track irregularity, discretely connected to the ground by

the sleepers. Railpad and ballast are included into the model with a viscoelastic

behaviour. The second stage concerns the soil. The free field response is computed

from the loads acting on the soil surface, issued from the first subproblem. The

track/soil modelling is usually based on the boundary element or finite element

methods. The latter is more attractive due to the ability to model a domain as

complex as the soil (heterogeneity, complex geometry, non–linear behaviour). The

usage of infinite elements can effectively mimic the dissipative effect of infinity. A

validation step has been firstly conducted in order to verify the working rules on

a frequency analysis. It turns out that the time response analysis is more appro-

priate to simulate the vibration waves propagation. Time domain analysis allows

to consider more reasonable models, achievable with usual computer resources.

It ranks the finite element method on the same level as the boundary element method.

Two case studies are presented in the case of urban traffic and high–speed traffic

in order to validate the selected approach, based on a time simulation of the two

subsystems. The explicit scheme is preferred for soil simulation, joined to a safe-

guard relative to scheme stability. A benefit of calculation time is brought by explicit

scheme. The obtained results show a good agreement with available measurement. A

parametric study has been also made to verify the importance of each model parame-

ter on the vibratory ground level. These results show the important influences of the

vehicle/track interaction and the real benefit of a complete model on the dynamic

response of structures due to the railway traffic.

Table des matieres

Remerciements iii

Resume v

Abstract vii

Table des matieres ix

Table des figures xv

Liste des tableaux xxiii

Notations et symboles xxv

1 Introduction 1

1.1 Motivation et position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Organisation de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Probleme global et caracterisation de l’approche choisie dans la

modelisation 7

2.1 Dynamique ferroviaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Etat de l’art dans les modeles de prediction . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Modelisation de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Modelisation du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

ix

x Table des matieres

2.2.3 Modeles predictifs de nuisance vibratoire . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Couplage entre la voie et le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Developpement d’un modele numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Du contact roue/rail vers la dynamique de systemes vehicule/voie 27

3.1 La theorie du contact roue/rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Irregularites de voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Modelisation adoptee pour le sous–systeme vehicule/voie . . . . . . . . 35

3.3.1 Equations du mouvement du vehicule . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Equations du mouvement de la voie . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3 Couplage entre le vehicule et la voie . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Dynamique de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Application : vehicule circulant sur une voie flexible . . . . . . . . . . 46

3.6 Lien avec le modele de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Elements de la dynamique des sols 53

4.1 Quelques elements de base tires de l’elasticite lineaire . . . . . . . . . 55

4.1.1 Decomposition d’Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Les notions d’ondes volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1 Ondes de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2 Ondes de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.3 Reflexion et transmission a une interface . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Ondes stationnaires bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.1 Ondes planes se propageant dans le plan x1 − x3 . . . . . . . . 63

4.3.2 Ondes planes se propageant dans le plan x1 et s’attenuant dans

la direction x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.3 Reflexion sur une limite plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.4 Ondes de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Imperfection du milieu : l’effet d’amortissement . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.1 Amortissement viscoelastique de Kelvin–Voigt . . . . . . . . . . 75

4.4.2 Amortissement hysteretique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4.3 Amortissement base sur le modele de Barkan . . . . . . . . . . 77

4.4.4 Lien entre les differents modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Charge mobile et aspect dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6 Introduction des fonctions de Green en elastodynamique . . . . . . . . 81

4.7 Fonctions de Green approchees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.7.1 Charge ponctuelle et circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Table des matieres xi

4.8 Cas de surfaces quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.9 Solution analytique au probleme de Lamb etendu . . . . . . . . . . . . 86

4.9.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.9.2 Methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.9.3 Analyse theorique et integration dans le plan complexe . . . . . 90

4.9.4 Integration et resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10 Milieu stratifie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.11 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5 Sur l’utilisation des elements semi–infinis dans la modelisation

numerique de sols 99

5.1 Methode aux elements frontieres ou methode aux elements finis ? . . . 100

5.1.1 Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.2 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.3 La methode aux elements frontieres . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.4 La methode aux elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2 Classification des elements semi–infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.1 Fonction de decroissance (« Decay function ») . . . . . . . . . . 104

5.2.2 Transformation parametrique (« Mapping ») . . . . . . . . . . 106

5.3 Elements semi–infinis en analyse de contraintes . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.1 Analyse statique et dynamique : elements semi–infinis « mapped »109

5.3.2 Analyse dynamique : elements dits « a frontiere visqueuse » . . 110

5.3.3 Implementation des elements semi–infinis dans un modele dy-

namique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.4 Regles de modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 Definition de l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4.1 Domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4.2 Domaine frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5 Validation par l’intermediaire d’un modele axisymetrique . . . . . . . 122

5.5.1 Resultats sur une analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . 123

5.5.2 Resultats sur une analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5.3 Apports des frontieres absorbantes par rapport a des conditions

aux limites « classiques » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.6 Modele tridimensionnel optimise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6.1 Resultats sur une analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.6.2 Confrontation avec des resultats experimentaux . . . . . . . . . 134

5.7 Remarque sur l’utilisation du solveur ABAQUS/Explicit dans le cadre

du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

xii Table des matieres

6 Cas d’etude : le tram T2000 de Bruxelles 145

6.1 Modele du tram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2 Receptance de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3 Investigation du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.4 Modele adopte pour le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.5 Resultats lors du passage sur une cale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7 Cas d’etude : la ligne a grande vitesse de Mevergnies 165

7.1 Les vehicules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.1.1 TGV Thalys PBKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.1.2 TGV Eurostar Transmanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.2 Caracterisation du site de Mevergnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.1 Les caracteristiques de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.2 Caracteristiques du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.3 Modele numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.4 Passages de train — comparaison simulation et mesures . . . . . . . . 184

7.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8 Analyse parametrique 205

8.1 Cas de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.2 Influence du vehicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.2.1 Influence du contact roue/rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.2.2 Influence des caracteristiques du vehicule . . . . . . . . . . . . 210

8.2.3 Influence de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.3 Influence de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.3.1 Influence de l’irregularite de voie . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.3.2 Influence du type de rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.3.3 Influence du type de semelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8.3.4 Influence des traverses (masse et disposition) . . . . . . . . . . 225

8.3.5 Influence de la nature du ballast . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.4 Influence du substrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.4.1 Cas d’un sol homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.4.2 Cas d’un sol stratifie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

8.5 Recapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9 Conclusion et perspectives 241

Table des matieres xiii

A Determination de la frequence pinned–pinned via la methode du

quotient de Rayleigh 245

A.1 Principe d’etablissement de l’equation d’Euler–Bernoulli . . . . . . . . 245

A.2 Utilisation du quotient de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

B Caracterisation dynamique des proprietes de sols par des essais in

situ 249

B.1 Levee des temps d’arrivee directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

B.2 Refraction sismique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

B.2.1 Refractions critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

B.2.2 Determination des vitesses des ondes de compression . . . . . . 253

B.3 Analyse spectrale des ondes de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

B.3.1 Essais in situ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

B.3.2 Courbe de dispersion experimentale . . . . . . . . . . . . . . . 259

B.3.3 Courbe de dispersion theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

B.3.4 Processus d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

B.4 Autres methodes non destructives existantes . . . . . . . . . . . . . . . 271

Bibliographie 273

Index 285

Table des figures

2.1 Profil d’une structure de voie classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Exemple de bogie Alstom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Exemple de composants de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Caracteristiques de raideur du systeme Pandrol Fastening . . . . . . . 11

2.5 Modele plus complet du comportement du ballast . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Courbes d’amplitudes des vibrations verticales couplees . . . . . . . . 21

2.7 Differents cas envisages pour l’analyse du couplage voie/sol . . . . . . 22

2.8 Effet du couplage de la voie avec le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9 Effet du couplage sur la voie pour un sol dur . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Effet du couplage sur la voie pour un sol mou . . . . . . . . . . . . . . 24

2.11 Description de la methodologie adoptee dans la modelisation du

systeme vehicule/voie/sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Principaux mecanismes d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Probleme de Hertz applique au cas du ferroviaire . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Profil du champignon du rail et de la table de roulement de roue (rail

Vignole type 60 kg/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Pression verticale sur la surface de contact pour une paire roue/rail

classique et pour une charge verticale N = 25 kN . . . . . . . . . . . . 31

3.5 Linearisation de la theorie de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 Profils verticaux artificiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7 Modele vehicule/voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.8 Principe d’un logiciel de simulation multicorps . . . . . . . . . . . . . 37

3.9 Degres de liberte d’un element de poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

xv

xvi Table des figures

3.10 Couplage entre le vehicule et la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.11 Modele de base a 2 degres de liberte pour la voie . . . . . . . . . . . . 44

3.12 Evolution de la frequence propre en fonction du mode . . . . . . . . . 45

3.13 Receptances de la voie calculees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.14 Essieu charge circulant sur une voie flexible . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.15 Acceleration verticale d’un essieu charge se deplacant sur une voie

flexible a une vitesse de 100 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.16 Deflexion verticale de la voie pour un essieu charge se deplacant a une

vitesse de 100 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.17 Charges calculees dans le sous–systeme vehicule/voie et agissant sur

un modele de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.18 Mise en œuvre de la simulation temporelle du sous–systeme vehicule/voie 50

4.1 Mouvement du a une onde de compression . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Mouvement du a une onde de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Deux demi–espaces de milieux elastiques differents . . . . . . . . . . . 61

4.4 Un demi–espace elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Onde plane se propageant selon la direction x1 . . . . . . . . . . . . . 64

4.6 Onde plane se propageant selon la direction x1 et s’attenuant expo-

nentiellement selon x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7 Onde plane de compression incidente et les ondes de compression et

de cisaillement reflechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.8 Direction de propagation de l’onde reflechie de cisaillement pour ν = 0,3 68

4.9 Amplitude des ratios des ondes reflechies issues d’une onde de com-

pression pour ν = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.10 Direction de propagation de l’onde reflechie de compression pour ν = 0,3 70

4.11 Amplitude des ratios des ondes reflechies issues d’une onde de com-

pression pour ν = 0,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.12 Vitesse de Rayleigh en fonction du nombre de Poisson . . . . . . . . . 73

4.13 Trajectoires particulaires dues a une onde de Rayleigh, a la surface et

a differents niveaux du sol pour un nombre de Poisson ν = 0,3 . . . . 74

4.14 Onde de surface de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.15 Boucle d’hysteresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.16 Valeurs d’attenuation materielle pour differents types de sol . . . . . . 79

4.17 Trois regimes d’une source mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.18 Exemple de modele de sol avec les traverses discretisees comme sources

de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.19 Geometrie du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.20 Repere fixe et repere mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Table des figures xvii

4.21 Amplitude des deplacements verticaux le long de la ligne

(y = 0 ; z = 0) pour differentes vitesses de la charge . . . . . . . . . . . 92

4.22 Amplitude des deplacements verticaux au niveau du sol pour une vi-

tesse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


tesse c = 100m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


tesse c = 350m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.25 Amplitude des deplacements verticaux pour une vitesse c = 350m/s . 94

4.26 Amplitude des deplacements horizontaux au niveau du sol pour une

vitesse c = 350m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.27 Amplitude des deplacements verticaux a la surface du sol le long de la

ligne (y = 0 ; z = 0) en fonction de la distance de la source (charge fixe) 96

4.28 Amplitude des deplacements verticaux a la surface du sol le long de la

ligne (y = 0 ; z = 0) en fonction de la frequence (charge fixe) . . . . . . 96

4.29 Ondes de surface dans un milieu stratifie . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.1 Element infini avec fonction de decroissance (ξ → ∞) . . . . . . . . . . 105

5.2 Element infini « mapped » (−1 ≤ ξ ≤ +1) . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Transformation parametrique r ↔ ξ (a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.4 Position des nœuds des elements semi–infinis . . . . . . . . . . . . . . 109

5.5 Exemple d’un systeme infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.6 Onde P incidente sur une frontiere visqueuse . . . . . . . . . . . . . . 112

5.7 Rapport d’energie pour une onde P incidente (ν = 0,25) . . . . . . . . 113

5.8 Rapport d’energie effectif pour une onde P incidente (ν = 0,25) . . . . 114

5.9 Rapport d’energie effectif pour une onde S incidente (ν = 0,25) . . . . 116

5.10 Un modele elements finis/elements semi–infini . . . . . . . . . . . . . . 117

5.11 Ordre des nœuds dans les elements briques a 8 nœuds . . . . . . . . . 118

5.12 Evolution de l’amortissement η en fonction des valeurs donnees aux

parametres α et β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.13 Resultats issus d’une analyse frequentielle pour un modele axi-

symetrique (Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000) . . . . . . . . . . 125


symetrique (Te = 1m, Td = 250m, Ne = 60.000) : effet de la taille

d’elements Te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


symetrique (Te = 0,25m, Td = 20m, Ne = 6.000) : effet de la dimen-

sion du modele Td . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

xviii Table des figures

5.16 Cas de charge pour l’analyse temporelle sous ABAQUS

(A0 = 0, A = 1N, t0 = 0,05 s, td = 0,001 s) . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.17 Resultats issus d’une analyse temporelle pour un modele axisymetrique

(Te = 0,25m, Td = 50m, Ne = 40.000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.18 Conditions aux limites classiques etudiees . . . . . . . . . . . . . . . . 130


(Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000) avec des conditions d’encas-

trement a la frontiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


(Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000) avec des conditions libres a

la frontiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.21 Propagation des ondes vibratoires (composante verticale) a la surface

du sol, pour un modele tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.22 Coupe geophysique du site de Watermael (site de l’Elan) . . . . . . . . 134

5.23 Caracteristiques dynamiques du sol et disposition des capteurs

geophysiques et de l’impact lors des essais dynamiques au site de l’Elan135

5.24 Excitation sur le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.25 Propagation des ondes vibratoires a la surface du sol (composante

verticale), pour un impact sur le site de l’Elan . . . . . . . . . . . . . . 136

5.26 Comparaison numerique – experimentale pour un impact sur le site de

l’Elan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.27 Exemple de stabilite du schema explicite sur base du critere energetique141

5.28 Differentes phases de modelisation du sol en vue de predire les effets

vibratoires du trafic ferroviaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.29 Mise en œuvre de la simulation temporelle dans la partie sol . . . . . . 143

6.1 Tram T2000 de Bruxelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2 Configuration du tram T2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3 Modelisation du vehicule (caisse avant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4 Moyens de caracterisation de la voie du site de Haren . . . . . . . . . 149

6.5 Identification des parametres de voie du site de Haren . . . . . . . . . 150

6.6 Analyse selon une levee des temps d’arrivee directe au site de Haren . 151

6.7 Temps de calcul dedies a la simulation du tram T2000 . . . . . . . . . 152

6.8 Modelisation du passage sur cale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.9 Acceleration verticale de la roue motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.10 Vitesse verticale a la surface du sol, a 2m de la voie . . . . . . . . . . 155

6.11 Vitesse verticale a la surface du sol, a 8m de la voie . . . . . . . . . . 156

6.12 Comparaison des resultats au niveau du sol dans le type de contact

adopte pour la paire roue/rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Table des figures xix

6.13 Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas d’un

vehicule T2000 circulant a une vitesse de 30 km/h, en concordance avec

le mouvement du vehicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.14 Acceleration verticale de la roue motrice, pour une roue resiliente

(kt = 13MN/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.15 Vitesse verticale a la surface du sol, a 2m de la voie, pour une roue

resiliente (kt = 13MN/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.16 Vitesse verticale a la surface du sol, a 8m de la voie, pour une roue

resiliente (kt = 13MN/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.17 Vitesses particulaires PPV en fonction de la distance par rapport a la

voie, pour des roues motrices nominales (T2008) et resiliente (T2032)

et suivant les trois directions x, y et z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.18 Comparaison des resultats au niveau du sol avec ou sans cale sur la

voie, pour un tram, avec ou sans roue resiliente, circulant a une vitesse

de 50 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.19 Comparaison des resultats au niveau du sol a 2m de la voie, sans cale,

selon le vehicule, circulant a une vitesse de 50 km/h (defaut de classe 3)162

6.20 Influence de la qualite de voie sur les niveaux vibratoires, pour un tram

T2008 circulant a une vitesse de 50 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.1 Train a grande vitesse Thalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2 Configuration du train a grande vitesse Thalys . . . . . . . . . . . . . 167

7.3 Train a grande vitesse Eurostar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.4 Configuration du train a grande vitesse Eurostar . . . . . . . . . . . . 169

7.5 LGV entre Bruxelles et Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.6 Schema de la voie investiguee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.7 Systeme d’impact par chute de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.8 Disposition des points d’impact et des points de mesure pour la

determination des caracteristiques dynamiques de sol . . . . . . . . . . 174

7.9 Courbes de dispersion relatives a la methode SASW . . . . . . . . . . 174

7.10 Representation adimensionnelle de la decroissance geometrique et

materielle pour le site de Mevergnies (β = 0,0004) . . . . . . . . . . . 176

7.11 Resultats experimentaux et numeriques pour un impact au niveau du

sol du site de Mevergnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.12 Modele multicorps de vehicule adopte pour le TGV . . . . . . . . . . . 177

7.13 Receptance directe du rail au droit d’une traverse (modele a 2 ddl) . . 179

7.14 Modele ABAQUS du site de Mevergnies . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.15 Acceleration verticale des caisses, pour le passage d’un Thalys a 300 km/h182

7.16 Deflexion du rail, pour le passage d’un Thalys a 300 km/h . . . . . . . 182

xx Table des figures

7.17 Parametres geometriques principaux de la voie et du train . . . . . . . 183

7.18 Comparaison du contenu frequentiel des vitesses verticales, a 10m de

la voie, calculees au passage d’un vehicule Thalys a 300 km/h . . . . . 183

7.19 Evolution temporelle des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et

transversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au pas-

sage d’un Thalys a 275 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.20 Contenu frequentiel des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et


sage d’un Thalys a 275 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.21 Moyenne mobile ponderee des vitesses verticales (z), longitudinales

(x) et transversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite)

au passage d’un Thalys a 275 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.22 Spectrogramme des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et trans-

versales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage

d’un Thalys a 275 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.23 Evolution temporelle des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et


sage d’un double Thalys a 295 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.24 Contenu frequentiel des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et


sage d’un double Thalys a 295 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.25 Moyenne mobile ponderee des vitesses verticales (z), longitudinales

(x) et transversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite)

au passage d’un double Thalys a 295 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.26 Spectrogramme des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et trans-

versales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage

d’un double Thalys a 295 km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.27 Evolution temporelle des vitesses verticales calculees (gauche) et

experimentales (droite) au passage d’un Eurostar a 280 km/h . . . . . 194

7.28 Contenu frequentiel des vitesses verticales calculees (gauche) et


7.29 Moyenne mobile ponderee des vitesses verticales (z) calculees (gauche)

et experimentales (droite) au passage d’un Eurostar a 280 km/h . . . . 196

7.30 Spectrogramme des vitesses verticales (z) calculees (gauche) et


7.31 comparaison numerique–experimentale, sur base de la vitesse particu-

laire PPV verticale, sur le site de Mevergnies . . . . . . . . . . . . . . 198

7.32 comparaison numerique–experimentale, sur base de l’indicateur

KBF,max vertical, sur le site de Mevergnies . . . . . . . . . . . . . . . 199

Table des figures xxi

7.33 Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas

d’un Thalys, circulant a une vitesse de 300 km/h . . . . . . . . . . . . 200

7.34 Influence de la vitesse du Thalys pour differentes distances de la voie . 201

7.35 Influence du type de train pour differentes distances de la voie

(v = 295 km/h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.36 Influence de l’irregularite de voie sur les niveaux vibratoires (Eurostar

a v = 280 km/h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.1 Modele de base pour l’etude parametrique . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.2 Evolution de la force de contact Frail/roue . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.3 Influence du type de vehicule dans le modele sur l’acceleration de sa

caisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

8.4 Influence du type de vehicule dans le modele sur la deflexion du rail . 212

8.5 Influence du type de vehicule sur les indicateurs PPV et KBF,max . . 213

8.6 Influence de la vitesse du vehicule dans le modele sur l’acceleration de

sa caisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.7 Influence de la vitesse du vehicule dans le modele sur la deflexion du rail215

8.8 Influence de la vitesse du vehicule sur les indicateurs PPV et

KBF,max, pour differentes distances de la voie . . . . . . . . . . . . . . 216

8.9 Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas de

reference (vitesse d’avancement v0 = 100 km/h) . . . . . . . . . . . . . 217

8.10 Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas

d’une vitesse d’avancement de v0 = 600 km/h . . . . . . . . . . . . . . 218

8.11 Regime subsonique et super–Rayleigh pour une source mobile . . . . . 219

8.12 Influence du type de rail dans le modele sur l’acceleration de sa caisse 221

8.13 Influence du type de rail dans le modele sur la deflexion du rail . . . . 221

8.14 Influence du type de rail sur les indicateurs PPV et KBF,max, pour

differentes distances de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8.15 Influence du type de semelle dans le modele sur l’acceleration de sa

caisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.16 Influence du type de semelle dans le modele sur la deflexion du rail . . 224

8.17 Influence du type de semelle sur les indicateurs PPV et KBF,max,

pour differentes distances de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.18 Deflexion de la voie dans le cas de semelles alternees . . . . . . . . . . 225

8.19 Influence de semelles alternees sur les indicateurs PPV et KBF,max,


8.20 Influence des traverses (masse et espacement) sur les indicateurs PPV

et KBF,max, pour differentes distances de la voie . . . . . . . . . . . . 227

8.21 Influence du ballast dans le modele sur l’acceleration de sa caisse . . . 228

xxii Table des figures

8.22 Influence du ballast dans le modele sur la deflexion du rail . . . . . . . 229

8.23 Influence du ballast sur les indicateurs PPV et KBF,max, pour

differentes distances de la voie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.24 Influence du module d’Young sur les indicateurs PPV et KBF,max,


8.25 Influence de l’amortissement β sur les indicateurs PPV et KBF,max,


8.26 Cas d’etude pour un sol a deux couches (hauteur variable) . . . . . . . 233

8.27 Cas d’etude pour un sol a plusieurs couches (nombre de couches variable)233

8.28 Influence de la hauteur d’une couche d’un sol sur les vibrations a la

surface du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.29 Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas d’un

sol a deux couches (h = 5m ; cas 4) — visualisation de la reflexion des

ondes vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.30 Influence du nombre de couche d’un sol sur les vibrations a la surface

du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

A.1 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

B.1 Courbes des temps d’arrivee issues d’une excitation a un point donne . 251

B.2 Refraction critique d’une onde de compression incidente . . . . . . . . 253

B.3 Front d’onde genere par une onde P critique refractee . . . . . . . . . 253

B.4 Chemin de rayons des ondes directes et refractees . . . . . . . . . . . . 254

B.5 Determination des vitesses d’onde P de chaque couche . . . . . . . . . 256

B.6 Configuration du materiel utilise lors d’un test SASW . . . . . . . . . 258

B.7 Configurations preconisees pour la methode SASW . . . . . . . . . . . 259

B.8 Modele de sol pour la theorie de Haskell–Thomson . . . . . . . . . . . 261

B.9 Courbe de dispersion analytique pour un sol a 3 couches . . . . . . . . 267

B.10 Masse volumique des differentes formations, mineralisations et fluides

[kg/m3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

B.11 Procede d’inversion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Liste des tableaux

3.1 Coefficients de Hertz en fonction de θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Parametres intervenant dans l’Eq. (3.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Parametres de la voie etudiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Relations des constantes elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Coefficient d’absorption de differents types de sol . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Amortissement independant de la frequence . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4 Amortissement lineairement dependant de la frequence calcule pour

une onde P a 4Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5 Fonctions de Green approchees pour un disque . . . . . . . . . . . . . 83

5.1 Conditions requises pour une analyse frequentielle, en fonction de la

longueur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2 Efficacite d’un modele axisymetrique, avec frontiere visqueuse, selon

ses dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.1 Resultats issus de la prospection geophysique sur le site de Haren . . . 151

6.2 Proprietes utilisees dans la simulation du modele complet au site de

Haren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.1 Caracteristiques geometriques et dynamiques du TGV Thalys . . . . . 167

7.2 Caracteristiques dynamiques des suspensions des bogies (Thalys) —

charge a vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.3 Caracteristiques geometriques et dynamiques du TGV Eurostar . . . . 170

xxiii

xxiv Liste des tableaux

7.4 Caracteristiques dynamiques des suspensions des bogies (Eurostar) —

charge a vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.5 Resultats obtenus lors des methodes d’investigation du sol du site . . . 175

7.6 Donnees dynamiques pour le modele de vehicule Thalys . . . . . . . . 178

7.7 Donnees dynamiques pour le modele de vehicule Eurostar . . . . . . . 178

7.8 Frequences d’excitation relevees a partir des forces injectees par les

traverses sur la surface du sol, pour le passage d’un Thalys a 300 km/h 183

7.9 Detail des passages de TGV enregistres . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.1 Parametres du cas de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.2 Donnees des differents vehicules utilisees lors de la simulation . . . . . 211

8.3 Differentes vitesses simulees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.4 Donnees des differents types de rail utilisees lors de la simulation . . . 220

8.5 Donnees des differentes semelles de rail utilisees lors de la simulation . 223

8.6 Masse des traverses etudiees lors de la simulation . . . . . . . . . . . . 226

8.7 Espacement des traverses etudiees lors de la simulation . . . . . . . . . 226

8.8 Donnees relatives au ballast et utilisees lors de la simulation . . . . . . 228

8.9 Donnees relatives au module d’Young du sol E et utilisees lors de la

simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.10 Donnees relatives a l’amortissement du sol β et utilisees lors de la

simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.11 Differents type de sol — cas pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.12 Frequence de resonance de la premiere couche dans le cas d’un sol a

deux couches (hauteur variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.13 Resume de l’analyse parametrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.14 Autres constats importants de l’analyse parametrique sur les niveaux

vibratoires du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

B.1 Principales methodes de caracterisation de sol utilisees en geophysique 250

B.2 Synthese des methodes sismiques non destructives . . . . . . . . . . . 271

Notations et symboles

Les listes suivantes contiennent les notations et les symboles qui semblent impor-

tants dans ce qui suit. Les symboles utilises localement n’y ont pas ete inseres

par seul souci de concision. Leur signification physique est expliquee en detail dans

le texte. Vecteurs, matrices et tenseurs sont notes en caractere gras.

Symboles

(x1,x2,x3) systeme de coordonnees cartesiennes d’un sol

(x,y,z) systeme de coordonnees cartesiennes d’une voie ferree

(r,θ,z) systeme de coordonnees cylindriques

~u=(u,v,w) vecteur deplacement [m]

(ψ,η,ζ) systeme de coordonnees locales

~q vecteur des parametres de configuration [m]

C matrice d’amortissement d’un systeme [Ns/m]

K matrice de raideur d’un systeme [N/m]

M matrice masse d’un systeme [kg]

a(t) acceleration temporelle [m/s2]

di constante d’amortissement de l’element i [Ns/m]

f frequence temporelle [Hz]

F frequence spatiale [m−1]

h(x) defaut geometrique de voie [m]

xxv

xxvi Notations et symboles

k nombre d’onde [rad/m]

kHz raideur de Hertz lineaire [N/m]

KHz constante de contact non–lineaire [Nm2/3]

ki constante de raideur de l’element i [N/m]

L espacement regulier de traverses [m]

m masse concentree d’une traverse [kg]

mi masse de l’element i [kg]

Rroue rayon moyen de roue [m]

t temps [s]

v(t) vitesse temporelle [m/s]

v0 vitesse du vehicule (constante) [m/s]

λ longueur d’onde [m]

ω frequence circulaire [rad/s]

Ω pulsation spatiale [rad/m]

A section transversale [m2]

E module d’Young [N/m2]

G module de cisaillement (= µ) [N/m2]

I moment d’inertie geometrique [m4]

εkm deformation selon k par rapport a une direction m [−]

λ,µ coefficients de Lame [N/m2]

ν nombre de Poisson [−]

ρ masse volumique [kg/m3]

σkm contrainte selon k par rapport a un plan m [N/m2]

~G vecteur fonction de Green [m]

cP vitesse des ondes de compression [m/s]

cS vitesse des ondes de cisaillement [m/s]

cR vitesse des ondes de Rayleigh [m/s]

h hauteur de couche [m]

Mi nombre de Mach relatif a une onde i [−]

β amortissement viscoelastique du sol [s]

η amortissement hysteretique du sol [−]

φ,~Ψ potentiels d’Helmholtz [m2]

θ angle d’incidence [ ]

Te taille d’element [m]

Td dimension de modele [m]

∆t pas de temps de simulation [s]

Notations et symboles xxvii

Conventions et operateurs mathematiques

δkm delta de Kronecker (= 1 si k = m ; = 0 si k 6= m)

δ(⋄) fonction de Dirac

j nombre imaginaire√−1

⋄∗ complexe conjugue de la variable ⋄ℜe(⋄) partie reelle de la variable ⋄ℑm(⋄) partie imaginaire de la variable ⋄⋄ substitut complexe de la variable ⋄det(⋄) determinant de la matrice ⋄⋄T transposee de la matrice ⋄⋄−1 inverse de la matrice ⋄d/d⋄ derivee du premier ordre par rapport a ⋄d2/d⋄2 derivee du second ordre par rapport a ⋄∂/∂⋄ derivee partielle du premier ordre par rapport a ⋄∂2/∂⋄2 derivee partielle du second ordre par rapport a ⋄⋄ derivee temporelle du premier ordre de la variable ⋄⋄ derivee temporelle du second ordre de la variable ⋄~∇⋄ gradient du champ scalaire ⋄~∇~⋄ divergence du vecteur ~⋄~∇∧~⋄ rotationnel du vecteur ~⋄~∇2⋄ laplacien du scalaire ⋄~∇2~⋄ laplacien du vecteur ~⋄F(⋄) transformee de Fourier de la fonction ⋄∗ produit de convolution

Liste des abreviations

ddl degre(s) de liberte

FFT transformee de Fourier rapide (Fast Fourier Transform)

FPMs Faculte Polytechnique de Mons

FRF reponse en frequence (Frequency Response Function)

KBF moyenne mobile ponderee de la vitesse (bewertete schwingstarke)

LGV ligne a grande vitesse

LRS long rail soude (CWR ou « Continuous Welded Rail »)

P onde de compression

PSD densite spectrale de puissance (Power Spectral Density)

PPV vitesse particulaire (Peak Particle Velocity)

xxviii Notations et symboles

T1 premier mode vertical de la voie

T2 deuxieme mode vertical de la voie

P–P mode de pincement vertical (pinned–pinned) de la voie

S onde de cisaillement

SASW analyse spectrale des ondes de surface (Spectral Analysis of Surface

Waves)

STIB Societe des Transports Intercommunaux de Bruxelles

TGV train a grande vitesse

Indices

P relatif aux ondes de compression

S relatif aux ondes de cisaillement

R relatif aux ondes de Rayleigh

b relatif au ballast

f relatif a la fondation (souvent incluse au ballast)

p relatif a la combinaison fixation–semelle de rail

r relatif au rail

s relatif au sol

v relatif au vehicule

CHAPITRE 1

Introduction

La prediction des vibrations et/ou des bruits

transmis par le sol par des lignes ferroviaires

est un domaine technique complexe et en pleine evolution.

Extrait de la norme ISO14837-1 (2005)

Le train constitue, de nos jours, un moyen de transport sur et frequemment

utilise, aussi bien pour les voyageurs que pour le transport de marchandises.

La rapidite des deplacements par rail est l’atout que le ferroviaire a de tout temps

cherche a developper pour concurrencer a la fois la route et le transport aerien.

A une periode ou des regles anti–pollution prennent une part preponderante dans

le secteur industriel, l’Union Europeenne a impose recemment aux concepteurs et

aux industriels, jusqu’en 2020, une diminution de 20% de rejet des gaz a effet de

serre alors que le secteur du transport s’est vu accroıtre sa production de CO2 de

35% durant la periode 1990–2006. Le transport ferroviaire est, par contre, le seul

a montrer une decroissance de 5% et ce, malgre le developpement des lignes et un

nombre continuellement croissant de passagers1.

Malgre ses nombreux essors technologiques, le train, et les diverses formes sous

1Source : Agence Europeenne pour l’Environnement.

1

2 1. INTRODUCTION

lesquelles il se presente (TGV, fret, corail, tram urbain,. . .), est percu comme une

source multiple de problemes environnementaux, malgre son faible impact face aux

autres moyens de transport. Pour s’en convaincre, il suffit de relever les inquietudes,

parfois non fondees, des riverains face au developpement du reseau RER bruxellois

afin de desengorger les axes routiers de la peripherie de la capitale belge. Ce reseau

regional sera etendu jusqu’a 50 km autour de Bruxelles, permettant ainsi de reduire

les embouteillages sur les axes routiers, dont le cout a la collectivite est estime a

environ 150 millions d’euros par an2. La Societe de Chemin de Fer Belge avec ses

partenaires (gestionnaires de reseau et d’infrastructure) s’efforcent donc de modifier

l’image un peu ternie du ferroviaire et de lui donner les lettres de noblesse qu’il

merite, en inscrivant le transport ferroviaire dans une demarche de developpement

durable. L’objectif est d’atteindre un transfert modal notable des usagers routiers

vers les transports publics.

Le probleme de vibrations dues au trafic ferroviaire fait partie de ces nuisances

environnementales. Qui plus est, elles entrent egalement dans un aspect social, au

meme titre que le bruit, avec la difficulte de quantifier son impact. Ce probleme

devient de plus en plus important et tend a avoir le meme poids que d’autres

nuisances provenant de cette meme source telles que le bruit (aerien ou solidien), les

effets visuels genants ou l’inconfort dans l’habitacle. Les raisons sont nombreuses :

des concentrations humaines de plus en plus grandes aux alentours des voies ferrees3

dans le cas des vehicules urbains, des niveaux vibratoires « anormalement eleves »

lies aux trains a grandes vitesses,. . . Pour ce dernier, le principal exemple retenu dans

la litterature est le train a grande vitesse suedois X2000 auquel un accroissement

de niveau vibratoire d’un facteur 10 etait associe lorsque le vehicule passait de

140 km/h a 160 km/h [MAD2000]. Il fut demontre que le train depassait ainsi la

vitesse caracteristique du sol, inhabituellement faible a cause de la nature molle du

terrain a cet endroit.

La problematique des vibrations ferroviaires s’accentue lorsqu’on essaie de

determiner les origines et de les attenuer. Selon une idee adoptee par de nombreux

auteurs [LEF1999], ce probleme peut se decomposer en quatre parties distinctes mais

indissociables suite aux effets dynamiques qui existent entre elles :

– la dynamique du systeme vehicule/voie,

– la propagation des ondes dans les sols,

– la reponse des structures aux vibrations du sol,

– la reponse des personnes aux alentours de la region concernee.

2Source : Infrabel.3Le reseau ferroviaire belge est un des plus denses d’Europe, avec plus de 3500 km de lignes.

1.1. Motivation et position du probleme 3

Cette derniere partie est paradoxalement la plus difficile a cerner, de par son caractere

subjectif. Ceci est d’ailleurs confirme par la difficulte de mettre en œuvre des moyens

de quantifier l’influence des vibrations sur le corps humain et ce, a travers des normes

qui restent bien souvent le seul moyen mis a notre disposition, les plus courantes etant

les normes ISO 2631 [ISO2631p2] et DIN4150 [DIN4150p2,DIN4150p3]. Le challenge

est de pouvoir caracteriser la propagation des ondes vibratoires et de concevoir des

outils permettant de maıtriser les phenomenes initiateurs ou generateurs de vibra-

tions.

1.1 Motivation et position du probleme

Les mesures sur site restent longues, fastidieuses et couteuses sans apporter de

reelle solution au probleme. Face a des resultats experimentaux, il est difficile de

mettre en avant les causes directes et indirectes intervenant dans les niveaux mesures.

La complexite s’elargit lorsque plusieurs sources excitatrices entrent en jeu et qu’il est

difficile de cerner leurs differentes contributions (c’est le cas pratique rencontre en mi-

lieu urbain lorsque sources ferroviaires et routieres se cotoient simultanement). Cela

est sans compter les contrastes observes entre series de mesures a priori issues des

memes cas pratiques mais ou il reste difficile d’expliquer les origines de ces differences.

Un modele de prediction semble donc un moyen tout a fait interessant d’acceder

a la determination de cette gene vibratoire et d’y remedier par des modifications

ou des alternatives a certains composants, identifies par simulation, generateurs

ou recepteurs de sources vibratoires. Des modeles empiriques, determines a partir

de lourdes campagnes d’essais, ont pu mettre en evidence certains parametres

importants mais l’application de ces modeles reste de toute facon limitee a des

conditions similaires.

La finalite premiere de cette etude est de comprendre et maıtriser les phenomenes

vibratoires lies a la circulation de materiels ferroviaires et se propageant dans le sol.

Le probleme se ramene a l’elaboration d’un modele suffisamment precis en mettant

en avant les constituants majeurs qui peuvent influencer les niveaux vibratoires. Trois

phases sont souvent distinguees dans l’etude numerique des vibrations induites par

le trafic ferroviaire, a savoir :

– la validation du modele (sur base des mesures sur site),

– l’evaluation des nuisances sur l’environnement,

– l’elaboration de solutions anti–vibratoires en concertation avec les resultats

fournis par le modele numerique.

L’utilisation de solutions anti–vibratoires ne pourra se faire qu’en concertation avec

4 1. INTRODUCTION

des parametres economiques et il est clair que, plus un modele est complet, plus il

trouvera des interets parmi les differents intervenants dans l’etablissement et le suivi

de lignes ferroviaires. Le leitmotiv du modele propose sera d’etre le plus general

possible sans etre limite a une quelconque amelioration par la suite. Le vehicule y

prend ainsi une part importante. C’est le deuxieme element de motivation de cette

etude.

Dans le cadre de cette these, le probleme se ramene ainsi a l’elaboration d’un

modele tenant compte de la dynamique du vehicule, de son interaction avec la voie

et des effets sur le sol, tout en ayant a l’esprit les finalites que nous venons d’exposer.

Nous aborderons uniquement le mouvement vertical du vehicule et de la voie, en

supposant constante la vitesse du vehicule. Cette hypothese permettra ainsi de se

focaliser sur la generation et la propagation des ondes dans le sol qui restent la

difficulte principale de ce genre de probleme.

1.2 Organisation de la these

Cette these est constituee de deux parties principales, l’une etant relative a

l’elaboration dudit modele, l’autre a la presentation des resultats en comparaison

avec ceux issus d’essais experimentaux.

La premiere partie commence par le Chapitre 2 ou une description succincte

de la dynamique ferroviaire sera presentee afin d’introduire l’etat de l’art via

une synthese bibliographique sur les modeles existants, leurs evolutions et leurs

domaines de validite. De cette analyse decoulera l’approche decouplee entre le

systeme vehicule/voie et le sol dont nous verifierons bien entendu le bien–fonde.

Le Chapitre 3 s’interessera a l’interaction entre le vehicule et la voie, initiee par le

contact roue/rail, afin d’etablir un modele capable de predire les efforts agissant a

la surface du sol. Une attention toute particuliere sera accordee au modele sur la

possibilite de tenir compte de non–linearites telles que le contact roue/rail et sur

les phenomenes amplificateurs engendres par les irregularites de voie. Le Chapitre 4

aura pour but d’etudier le comportement vibratoire d’un milieu infini tel qu’un sol

en recadrant les vibrations dans la theorie de la propagation des ondes mecaniques

dans un milieu infini, mettant par ailleurs en avant la problematique de la reflexion

et la refraction des ondes dans le sol et a la surface de ce dernier. Des solutions

analytiques de charges surfaciques et dynamiques agissant a la surface du sol seront

explicitees afin de pouvoir valider le modele numerique de sol propose au Chapitre 5.

L’utilisation des elements finis couples aux elements semi–infinis sera mise en premier

plan avec, comme objectif, leur utilisation dans le domaine temporel, permettant

1.2. Organisation de la these 5

ainsi de disposer de toute la puissance de la methode sans perte de precision, avec,

pour finalite, son utilisation eventuelle a des problemes a geometrie(s) complexe(s)

ou pour des cas non–lineaires. Des regles de modelisation, deja existantes, seront

analysees et revues afin de pouvoir travailler avec des moyens et des temps de calcul

raisonnables.

La seconde partie abordera les resultats obtenus avec deux cas d’etudes. Le

Chapitre 6 se concentrera sur le tram T2000 circulant actuellement dans Bruxelles

afin de mettre en avant la problematique des vibrations generees par des vehicules

circulant a faibles vitesses et ou les defauts de voie sont importants. Le Chapitre 7

traitera des grandes vitesses avec le cas des TGV Thalys et Eurostar dans le but

de valider notre approche a des charges mobiles plus rapides. Le Chapitre 8 se

concentrera sur l’analyse de la sensibilite des parametres constituant le modele,

notamment sur la vitesse du vehicule et sur ses caracteristiques dynamiques mais

egalement sur d’autres parametres relatifs a la voie et au sol. A partir de cette

demarche, il sera possible de verifier le reel interet d’un modele complet dans l’etude

des vibrations generees par le trafic ferroviaire.

Finalement, le Chapitre 9 synthetisera les constatations et les resultats obtenus a

travers une conclusion et proposera quelques perspectives d’avenir.

CHAPITRE 2

Probleme global et caracterisation de l’approche choisie dans

la modelisation

Toute tentative en vue de diviser

quoi que se soit par deux

devrait, a priori, nous inspirer

une extreme mefiance.

CHARLES PERCY SNOW

Extrait du « Les Deux Cultures »

Ce chapitre presente une synthese sur la dynamique ferroviaire a travers un

descriptif succinct de la structure d’une voie et de son implication dans la

problematique qui nous preoccupe. Les differents constituants d’une voie ferree se-

ront introduits afin de mieux cerner les modeles que l’on retrouve dans la litterature.

Ce survol bibliographique permettra ainsi de caracteriser les recherches et travaux

deja existants et de se situer par rapport aux objectifs a atteindre. Finalement,

le developpement adopte pour notre modele numerique sera presente, ouvrant la

voie a une approche decouplee du probleme, en separant la dynamique du systeme

vehicule/voie de celle du sol.

7

8 2. PROBLEME GLOBAL ET CARACTERISATION DE L’APPROCHE. . .

2.1 Dynamique ferroviaire

Peu de systemes de transport peuvent pretendre disposer d’une infrastructure

specialisee comme le chemin de fer. On trouve le premier chemin guide en Grece,

construit pendant l’antiquite, permettant aux bateaux de franchir l’isthme de Co-

rinthe en Grece avec (deja !) comme particularite, une structure par blocs de pierre

entailles. Depuis, le « chemin de fer » a evolue, surtout a partir du debut du 19e siecle

avec l’apparition de la premiere locomotive a vapeur. La caracteristique fondamentale

du chemin de fer est le roulement acier/acier du au contact entre la roue et le rail

entre materiaux tres raides qui limite de ce fait la resistance a l’avancement, mais

avec, en contrepartie, une faible adherence augmentant les distances de freinage. Le

transport ferroviaire a ainsi herite d’un long bagage technique pour se presenter sous

sa forme actuelle (Figure 2.1).

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

fixation de railrail

semelle

traverse

ballast

couche de sous-ballast

couche de fondation

couche anti–contaminante

geotextilecouche de forme

dispositif longitudinald’assainissement(fosse ou collecteur drainant)

couchesd’assise

plate–forme

Fig. 2.1 – Profil d’une structure de voie classique (inspire de [ALI1984])

En interaction avec des vehicules, la voie supporte, en plus de la charge statique

de ces derniers, une surcharge dynamique imputee aux accelerations et freinages

2.1. Dynamique ferroviaire 9

(efforts longitudinaux), aux accelerations centripetes en courbes (efforts lateraux)

mais ce sont surtout les surcharges verticales qui restent preponderantes, dues aux

imperfections de la surface du rail et des roues, couplees aux vibrations du vehicule

et de la voie elle–meme.

Le comportement du vehicule ferroviaire a, depuis longtemps, ete etudie dans le

cadre de sa stabilite et de la securite et du confort des passagers, impliquant ainsi

une conception initiale encore maintenue a l’heure actuelle, quel que soit le type de

vehicule envisage : la caisse repose sur deux bogies, eux–memes integrant les essieux

et donc, les roues qui entrent en contact avec la voie. Des suspensions existent entre

les essieux et le bogie (suspension primaire) et entre le bogie et la caisse (suspension

secondaire). Le type de suspension varie suivant le vehicule et, le plus souvent, la

solution mecanique ou purement pneumatique (pour le secondaire) est retenue, per-

mettant ainsi d’amortir les mouvements verticaux mais egalement les mouvements

de roulis, de lacet et de tangage, en fonction de la conception (Figure 2.2). Les

articulation spherique

suspension secondaire(coussin pneumatique)

moteur de traction

essieu

suspension primaire(ressort helicoıdaux)

chassis du bogie

amortisseur anti–lacet

accouplement a denture

reducteur de vitesse

transmission tripode

frein

Fig. 2.2 – Exemple de bogie Alstom

problemes de dynamique du vehicule se posent en majorite sous les 20Hz (confort).

Le comportement du vehicule dans cet intervalle de frequences necessite assez peu de

remarque : la dynamique (stabilite, confort, . . .) est suffisamment comprise ; il existe

par ailleurs plusieurs codes commerciaux dedies a ce sujet. Les suspensions sont en

general concues de facon a ce que les modes de corps rigides du bogie et de la caisse

apparaissent en–dessous des 10Hz. Aux frequences plus elevees (au dessus de 50Hz),

les suspensions primaires et secondaires isolent le bogie et la caisse de l’essieu. Des

lors, les masses non–suspendues constituent le seul composant qui affecte les charges


dynamiques verticales avec la voie.

Le rail est l’element en contact avec le vehicule. Il en existe une multitude, se

differenciant essentiellement par leur forme, leur poids et. . . la nature de la voie.

Le rail moderne est generalement du type vignole (Figure 2.3(a)) ; dans une section

transversale, on distingue le patin qui s’appuie sur la traverse, le champignon qui

constitue le chemin de roulement, et l’ame, filet vertical qui relie le champignon

au patin. Sur les lignes importantes, la masse lineique standard du rail est de

60 kg/m (type UIC 60). A la pose, ils sont legerement inclines vers l’interieur de

la voie d’environ 1/20 (cette inclinaison a comme avantage de favoriser un bon

contact roue/rail et tire le meilleur parti de la structure de la traverse). Le rail a

double champignon, dont la section est symetrique, avait ete concu initialement pour

permettre de retourner le rail use et donc de doubler sa duree de vie mais a vite

ete abandonne, son principal defaut etant que, lorsque le rail etait retourne, il etait

deja abıme (poinconnements dus a l’ecrasement au niveau des berceaux). Les rails

a gorge (type « Broca ») sont utilises pour les voies encastrees dans les chaussees

routieres, notamment pour les installations industrielles et les lignes de tramway. Pour

ce qui est de l’ecartement, il est de 1,435m pour la plupart des pays, dont la Belgique.

72

16.5

150

172

champignon

ame

patin

(a) Section d’un rail standard

UIC 60

445 395

1525

2415

840

260

80

75

190

290

200

blochet entretoisemetallique

(b) Traverse en beton bi–bloc

Fig. 2.3 – Exemple de composants de la voie

La traverse est un autre element constitutif de la voie et tout aussi important. Elle

permet la transmission des efforts entre le rail et l’assise mais egalement le maintien

de l’inclinaison des rails et de leur ecartement. Il en existe de plusieurs natures :

2.1. Dynamique ferroviaire 11

– les traverses en bois dur, generalement en chene, plus rarement en hetre, ou

azobe (bois rouge africain) imputrescible. Ce materiau a ete apprecie (et l’est

toujours) pour sa resistance, sa flexibilite et pour sa facilite de mise en œuvre

mais sa duree de vie est reduite (20 a 30 ans) car il est putrescible ;

– les traverses en beton. Elles ont une duree de vie plus importante (50 ans). Il

en existe de deux types : bi–bloc, formee de deux blocs de beton relies par

une entretoise metallique (Figure 2.3(b)) qui absorbe les efforts en milieu de

traverse, ou monobloc en beton precontraint, amincie dans sa partie centrale,

armee de fils a haute resistance ;

– les traverses metalliques, en acier, qui ne sont plus guere utilisees.

Afin de maintenir les rails sur les traverses, des systemes d’attache sont utilises,

variant en fonction du type de traverses, du type de rail, du mode de pose de la voie

(longs rails soudes LRS ou barres normales), mais aussi en fonction de l’histoire

propre a chaque exploitant ferroviaire. Les attaches dites elastiques sont de plus

en plus utilisees, offrant ainsi un element flexible appele semelle entre le rail et la

traverse, dont le role est d’amortir une partie des efforts transmis et de permettre

le debattement vertical du rail sans endommager la traverse. Les plus usuelles sont

les attaches de type « Nabla » ou « Pandrol » dont les caracteristiques peuvent etre

considerees comme lineaires dans une large gamme d’utilisation (Figure 2.4).

Cla

mpin

gfo

rce

on

rail

foot

[kN

]

Spring displacement [mm]

00 1 2 3 4

5

5 6 7 8 9

10

10 11 12 13 14

15

15

20

25

Fig. 2.4 – Caracteristiques de raideur du systeme Pandrol Fastening suivant la di-

rection verticale (donnees issues de [ESV2001])

Le ballast, premier element de l’assise, se compose de pierres concassees, de gra-

nulometrie variant entre 25mm et 50mm. Le gravillon fin (10mm a 35mm) est


plutot utilise pour le nivellement. Son role est de repartir les efforts au sol, engendres

par le passage des trains, sans qu’il ne se deforme par tassement. Il permet aussi

d’enchasser les traverses afin d’assurer une resistance aux deformations longitudi-

nales (particulierement important pour la technique des LRS) et dispose d’un pou-

voir amortissant grace a ses proprietes rheologiques. Une usure est malheureusement

rencontree dans le ballast, de deux types :

– la contamination par des materiaux parasites, par exemple de la terre,

necessitant regulierement son remplacement,

– le tassement sous les traverses, ce qui provoque une deformation verticale de la

voie. Il est alors necessaire de reinjecter du ballast de faible granulometrie sous

les traverses.

Differents modeles dynamiques ont ete etablis pour le ballast, allant de simples

systemes ressort–amortisseur a une modelisation tridimensionnelle sur base de lois

de comportement des materiaux granulaires.

2.2 Etat de l’art dans les modeles de prediction

Un modele de prediction, analytique ou numerique, des nuisances vibratoires im-

putees au ferroviaire requiert une modelisation de ses differents composants. Le train

se compose de differents elements : caisses, bogies et essieux. Ce sont ces derniers, par

l’intermediaire de leurs roues, qui transmettent des efforts a la voie. Les interactions

voie/sol induisent des ondes qui se propagent dans le sol, considere alors comme un

espace semi–infini anisotrope. A l’echelle du vehicule, la voie et le sol sont assimiles

a des solides non–bornes1.

2.2.1 Modelisation de la voie

En ce qui concerne le rail, les travaux sont nombreux, que ce soit en experimental

ou dans la simulation. Nous retiendrons essentiellement les travaux de synthese de

Knothe, Popp et Grassie [KNO1993, KNO1998, POP1999, GRA1982] presentant les

differents modeles retenus pour caracteriser chaque composant des voies ferrees :

Les rails : le modele le plus simple est sans aucun doute une poutre d’Euler–

Bernoulli (au cours de la deformation, les sections droites restent perpendicu-

laires a la courbe moyenne). La theorie de Timoshenko peut egalement etre uti-

lisee afin de prendre en compte les effets de cisaillement et d’inertie de rotation

dans la section du rail qui ne figurent pas dans la theorie simplifiee d’Euler–

Bernoulli. Les deux approches fournissent quasiment les memes resultats pour

ce qui est du mouvement vertical de la voie, tout au moins jusqu’a 500Hz.

1Pour le premier, suivant une direction ; pour le second, suivant les trois directions.

2.2. Etat de l’art dans les modeles de prediction 13

Dans bien des cas, un modele 2–D est suffisant pour representer la receptance

verticale de rail.

Les traverses : paradoxalement, la plupart des modeles de voie, lorsqu’ils tiennent

compte des traverses, les considerent comme un ensemble continu represente

egalement par une poutre. Les modeles de voies sur support discret sont plus

rares et ne prennent en compte que la masse de l’element. Neanmoins un tel

modele est indispensable si on veut tenir compte du mode de flexion du rail,

pince par les traverses (mode « pinned–pinned »). Le modele le plus complet

reste cependant une poutre de Timoshenko pour une traverse, representant

ainsi la flexibilite de cette derniere mais, en dessous de 1000Hz, il est usuel de

considerer la traverse comme un corps rigide [GRA1982].

Les semelles : le systeme de fixation couramment utilise sur les traverses en beton

comprend une attache de type ressort de diverses formes, agissant en parallele

avec la semelle de rail. Cette derniere est faite en caoutchouc, en plastique ou

en materiau composite. La deformation du systeme d’attache sous la charge

est non lineaire, mais peut etre linearisee au point de fonctionnement (voir

Figure 2.4). Il est, en pratique, d’une grande difficulte d’estimer les valeurs

appropriees pour les parametres de semelle, lorsqu’ils ne sont pas fournis par

le fabriquant. Bien qu’on puisse les mesurer en laboratoire, la determination in

situ, par une excitation au marteau ou par shaker, reste la solution ideale.

Le ballast : c’est le composant dont les proprietes dynamiques sont les moins

maıtrisees, de par sa forte non–linearite, essentiellement due au vide entre la

traverse et le ballast mais aussi par le ballast lui–meme. Contrairement a la

semelle du rail ou un systeme ressort–amortisseur semble etre naturel pour

le modeliser, il est difficile de s’imaginer que le ballast puisse avoir un com-

portement lineaire et etre modelise de maniere si simple. Neanmoins il semble

licite de le considerer tel quel, selon [KNO1993]. D’autres auteurs, tels que

Zhai [ZHA1994] ou Ahlbeck [AHL1975], proposent de considerer une masse

pour le ballast et de travailler ainsi avec un systeme de voie a 3 couches. La

masse oscillante de chaque bloc de ballast, au droit de chaque traverse, est

calculee par

mb = lshbρb(le + hb tanα) (2.1)

ou ρb est la masse volumique apparente du ballast, les autres termes etant des

donnees geometriques relatives aux blocs de ballast (Figure 2.5(a)). La raideur

de chaque element de ballast est donnee par

kb =2Eb tanα (le − ls)

ln(

le(ls+2hb tan α)ls(le+2hb tan α)

) (2.2)


ou Eb est le module elastique du ballast. Afin de tenir compte du couplage de

hb

le

α αls

(a) Le modele de ballast selon

Zhai [ZHA1994]

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

kbdb

kpdp

kwkwdwdw

krdr

x

z

mb

m

(Er,Ir,ρr,Ar)

(b) modele a trois couches de la voie

Fig. 2.5 – Modele plus complet du comportement du ballast

propriete entre blocs voisins, Zhai [ZHA1994] propose des paires de ressorts–

amortisseurs (kw, dw) travaillant en cisaillement (Figure 2.5(b)). Aucune in-

formation n’est donnee sur leur valeur, ni sur la constante d’amortissement db

introduite dans le modele. Ce dernier est seduisant mais pose une difficulte

supplementaire sur la determination des parametres (5 au total, sans comp-

ter les parametres geometriques et la prise en compte separee de l’impedance

du sol). Dans le cas d’une modelisation volumique, le ballast est clairement

considere comme un milieu granulaire [SUI2002], que l’on peut considerer

comme elastique non lineaire [NGU2002].

Le sol : Il est rarement pris en compte et lorsque cela est le cas, c’est au detriment

d’une modelisation fine de la voie ferree. Avec un modele detaille de voie, on voit

souvent apparaıtre le sol sous la forme d’une fondation de Winkler, substituant

ainsi le sol par une distribution continue de ressort.

2.2.2 Modelisation du sol

Ces 30 dernieres annees, de nombreuses recherches dans la modelisation des

phenomenes dynamiques dans le sol ont ete menees, essentiellement dans la

modelisation de ce dernier et l’evaluation de sa reponse vibratoire a des charges

ponctuelles ou surfaciques, fixes ou mobiles, dans divers domaines dont le cas du

trafic ferroviaire. Gutowski et Dyn [GUT1976] ont synthetise tout ce qui etait relatif

a la propagation des ondes vibratoires dans le sol afin de presenter une theorie sim-

plifiee et accessible a tous, sur base notamment des travaux de Barkan [BAR1962], de

Richart et al. [RIC1970], et axes sur les modes d’attenuation des ondes vibratoires.


On remarque, entre autres, que les vibrations sont significatives jusque 100–150Hz,

ce qui justifie notamment les domaines d’applications des normes d’evaluation

des nuisances ISO [ISO2631p2, ISO14837p1], DIN [DIN4150p2, DIN4150p3] ou

autre [SN640312a].

Les modeles semi–analytiques occupent une vaste partie dans ce genre d’analyse :

tantot considerant le sol comme homogene, tantot comme stratifie, c’est sur la

methode de resolution du probleme de Lamb (charge ponctuelle ou surfacique agis-

sant a la surface du sol) qu’ils peuvent se differencier, offrant ainsi des temps de calcul

ou une precision interessants, selon l’approche bi– ou tridimensionnelle adoptee.

La resolution des equations elastodynamiques de Navier reste neanmoins realisable

dans le domaine de Fourier. Citons, en guise d’exemples, le cas d’une charge lineique

agissant sur un sol homogene [COLE1958, GEO1993] ou stratifie [DeBA1995] en

2–D, les travaux de Zhu [ZHU2002] pour une source ponctuelle mais pour un modele

3–D ou ceux de Lefeuve–Mesgouez [LEF2002] et Jones [JON1997, JON1998] dont

la particularite est une resolution analytique du probleme de charges surfaciques

mobiles dans le domaine de Fourier spatial. Lieb [LIE1998] propose une resolution

alternative basee sur la theorie des ondelettes afin de permettre un gain de temps

de calcul notable. Les solutions purement analytiques restent rares et souvent

simplifiees dans des cas bien precis [VOS2003, DeHO2002a, DeHO2002b]. Tous ces

modeles ont permis de mieux cerner le comportement dynamique du sol, dont,

notamment, l’interaction au niveau des interfaces ainsi que le cas des charges cir-

culant a des vitesses proches de celle caracteristique des ondes surfaciques dans le sol.

Les methodes de resolution purement numeriques appliquees a la dynamique des

sols restent neanmoins plus seduisantes, de par leurs possibilites de tenir compte

des geometries complexes. L’expansion intense des trains a grandes vitesses avec

les problemes environnementaux qu’elle engendre ont ete la motivation de modeles

numeriques de prediction. La principale difficulte fut (et l’est toujours) de coupler

un systeme tel que le train, defini par un nombre limite de degres de liberte, avec

une structure definie par le rail et le sol dont la principale caracteristique est d’etre

infini suivant certaines directions. On y distingue essentiellement deux grandes fa-

milles, la methode aux elements frontieres (BEM) [DEG2002, ARN2004, PYL2004]

et la methodes aux elements finis (FEM) [HAL2003, YER2003], bien que la se-

conde reste peu developpee dans le cas des sols. Les elements frontieres, de par

leur formulation adaptee aux domaines non–bornes, sont superieurs en terme de

temps de calcul aux element finis, ces derniers sont par contre tres bien adaptes

a des geometries complexes, des domaines non–homogenes ou des materiaux non

lineaires. Afin de tirer parti des avantages de ces elements, on a vu apparaıtre de-


puis quelques annees des modeles combines BE/FE capables de tenir compte des

domaines infinis par des elements frontieres tout en modelisant par elements finis

la zone d’etude [ADA2000, SHE2006], le plus souvent en 2–D pour des raisons de

gestion de ressources informatiques. Dans le cas des modeles purement elements fi-

nis, on retiendra les travaux de Laghrouche [LAG1994,LAG1996] presentant diverses

possibilites de definir les conditions a la frontiere numerique du modele, passant des

frontieres dites absorbantes aux elements semi–infinis, bien connus en acoustique. Ces

modeles sont egalement etablis dans des cas bidimensionnels, les conditions d’utilisa-

tion etaient (et encore au stade actuel) trop contraignantes en moyens informatiques.

2.2.3 Modeles predictifs de nuisance vibratoire

Un modele de prediction comprend ainsi une combinaison des differents compo-

sants du vehicule et de la voie, dont la recherche resulte d’un compromis entre une

modelisation detaillee de voie et celle du sol. Pour un systeme ferroviaire, l’excitation

dynamique a la surface du sol est generee principalement par les irregularites de

contact entre la roue et le rail provenant de defauts d’usinage, ou d’usure provoquee

par ce meme contact. A cet effort s’associent bien evidemment les periodicites des

elements constitutifs du train, que ce soit l’essieu ou le bogie, ou tout simplement

au niveau de la voie par l’intermediaire de la periodicite des traverses. Les moyens

techniques les plus anciens traitaient uniquement de l’interaction vehicule/voie. En

effet les dommages causes au train (e.g. meplat de roue) ou a la voie (e.g. rugosite

importante du rail, fissure des traverses) ont stimule le developpement de modeles

vehicule–voie permettant de calculer les charges dynamiques, le modele le plus

simple consistant en une charge constante se deplacant le long d’une poutre reposant

sur une fondation elastique.

Ainsi Metrikine et al. ont choisi d’axer leurs recherches sur la modelisation du

rail, tantot defini comme un fil [WOL1996] tantot comme une poutre d’Euler–

Bernoulli [MET1997,VOS2003], reposant sur une fondation de Winkler et soumis a

une charge evoluant a vitesse constante et d’amplitude fixe, harmonique ou aleatoire.

Ces modelisations, bien que simples au premier abord, permettent de mettre en

evidence certains phenomenes : les vibrations en regime permanent lorsque le rail

est discretement supporte par les traverses [MET1999] ou la traınee visco–elastique

induite par le deplacement a grande vitesse des vehicules [MET2001].

Des modeles plus complexes ont suivi ; citons seulement le modele de

Zhaı [ZHA1994, ZHA1999] modelisant le vehicule (plus particulierement une

caisse complete) par un systeme multicorps roulant, a vitesse constante, sur la voie


definie par une poutre flexible reposee sur fondation discrete definie par quatre

couches (semelle, traverse, ballast et fondation). Malheureusement le sol est defini

dans sa plus simple expression, a savoir une raideur de Winkler, ce qui est coherent

avec l’objectif du modele, axe essentiellement sur la dynamique du vehicule.

L’un des premiers modeles voie/sol, et le plus connu, est sans doute celui de V.

V. Krylov [KRY1994, KRY1997, KRY1998] qui proposa un modele semi–analytique

ou la contribution des efforts dynamiques se limitait a la charge du vehicule complet.

Les forces transmises par les traverses sont estimees a partir de la deflexion de la

voie, modelisee par une poutre d’Euler–Bernoulli sur une fondation de Winkler. Le

modele tient compte uniquement de la contribution des ondes de Rayleigh a travers

l’utilisation d’une solution analytique simple aux fonctions de Green definies par un

espace semi–infini. Initialement base sur une sommation des contributions de chaque

traverse, le modele a ete reformule par Lombaert et Degrande [LOM2000a] afin de

reduire le temps de calcul dans le cas d’une reformulation pour un sol stratifie. Le

modele a ete confronte avec des mesures de vibrations dues au passage de trains

a grande vitesse Thalys et ce, pour differentes vitesses, montrant que le modele

surestimait les hautes frequences [DEG2000b,DEG2001].

Picoux propose, sur base du modele de Lefeuve–Mesgouez, un modele

predictif [PIC2002b] tenant compte de la voie, assimilee a une poutre d’Euler–

Bernoulli reposant sur une poutre de Timoshenko representant les traverses ; des

raideurs lineiques sont utilisees pour modeliser semelles et ballast. Le vehicule est

modelise par une charge harmonique agissant sur le rail par l’intermediaire d’une

surface de contact. La frequence d’excitation est prise egale soit a la frequence de

resonance de sol, soit dans une large gamme de frequences en evaluant la fonction

d’excitation du contact roue/rail a chaque frequence [PIC2002a].

De Saedeleer et al. [DeSA1998a, DeSA1998b, DAT1999, TRANSDYN] ont

propose, il y a quelques annees, un modele vehicule/voie permettant de calculer

l’interaction vehicule/voie (projet TRANSDYN ). Un assemblage de masses, ressorts

et amortisseurs est utilise pour modeliser le train et la voie, se basant sur le modele

general de Zhaı avec un modele elements finis pour le rail. Les vibrations dans le sol

sont determinees par des fonctions de Green approximatives [MEE1993,WOLF1994].

Les simulations sont effectuees tout d’abord pour le systeme vehicule/voie avant

de simuler les vibrations solidiennes, en definissant comme parametres d’entree les

efforts subis par le ballast : les deux sous–systemes sont ainsi decouples2. Le modele

2Hypothese deduites de certains auteurs [SAR1981,RUC1982] lorsque les vitesses analysees sont

faibles, comme dans le cas des vehicules urbains.


a ete valide par le biais de mesures experimentales sur le site de Haren (Belgique)

pour un tram rencontrant une discontinuite du rail de type echelon ou, plus realiste,

un cœur de voie.

Le cas des grandes vitesses a aussi fait l’objet de developpements de modeles

numeriques, souvent par une approche 2–D du probleme, ou l’etat plan de contrainte

est impose en supposant que l’effet dynamique du passage de trains peut etre

modelise par une fonction harmonique [WAN2004]. Une etude a egalement ete

menee en ce sens dans notre service avec un modele 2–D elements finis/elements

semi–infinis, pour une frequence d’excitation basee sur la periodicite des caisses du

vehicule [LAL2006]. Yerli [YER2003] propose egalement l’utilisation des elements

semi–infinis pour des problemes bidimensionnels en appliquant un algorithme de

resolution parallele, permettant ainsi de repartir les calculs sur plusieurs machines.

Hall [HAL2003] propose neanmoins un modele 3–D avec utilisation d’elements

semi–infinis mais, suivant les contraintes classiques sur la taille et les dimensions du

modele, il limite son etude jusqu’a une frequence maximale de 10Hz, filtrant de ce

fait les plus hautes frequences. Adam [ADA2000] propose, par contre, un modele

hybride elements finis/elements frontieres afin de s’affranchir de cette contrainte.

Sheng et al. [SHE2006] ont pris parti de travailler dans le domaine des nombres

d’onde afin de reduire les temps de calcul, proposant ainsi un modele qualifie de

2.5–D (les phenomenes suivant la direction de l’axe des voies sont supposes se repeter

indefiniment). Clouteau et Degrande [CLO2001] proposent une extension de la

methode de sous–structuration dynamique qu’ils proposent d’appliquer dans l’etude

de l’interaction entre le vehicule et l’infrastructure ferroviaire dont le sol est modelise

par elements finis. Auersch etudia, dans de recents articles [AUE2006a,AUE2006b],

un modele tridimensionnel incluant la voie et le vehicule, mais ce dernier fut

limite a de « simples » masses non–suspendues mobiles et chargees par un effort

representant le poids du vehicule. Comme le fait remarquer Kogut [KOG2003b],

l’utilisation d’elements frontieres reste de toute facon majoritaire dans ce genre de

probleme [KOG2003b].

D’autres cas d’etudes que ceux des grandes vitesses ont ete investigues. Le cas

des trafics urbains a egalement ete etudie, bien qu’il soit plus difficile de modeliser

le sol, fortement non–homogene. Citons le cas du tram T2000 a Bruxelles par

Van Den Broeck [VDB2001] en parallele avec le projet TRANSDYN ou le metro

d’Athenes [VOG2004]. Le cas specifique des voies ferrees dans les tunnels a egalement

fait l’objet de mesures [DEG2004] ainsi que de prediction [ARN2004]. L’etude

des voies souterraines est egalement en interet constant [DEG2003, CHA2003]. Les

modeles numeriques proposes permettent ainsi de tenir compte de geometries plus

2.3. Couplage entre la voie et le sol 19

realistes, pour lesquelles les modeles semi–analytiques restent impuissants.

2.2.4 Bilan

Ce bref survol des etudes existantes permet de mettre en avant plusieurs consta-

tations :

– il n’existe que tres peu de modeles complets incluant le vehicule. La plupart

des recherches resument le vehicule a sa plus simple expression, a savoir une

charge ponctuelle constante ou harmonique (afin de combler une lacune dans

le modele de voie) se mouvant a vitesse constante ;

– les methodes analytiques permettent de comprendre certains phenomenes mais

sont difficilement applicables dans les modeles de prediction issus du trafic

ferroviaire. Les methodes numeriques restent plus elegantes mais sont dominees

par les elements frontieres, qui travaillent, pour la plupart, dans le domaine

frequentiel. Le defaut des elements finis est, comme leur nom l’indique, qu’ils

permettent de modeliser des domaines finis. Des artifices doivent etre utilises

afin « d’imiter » la caractere infini des sols ;

– la voie est le plus souvent modelisee par des systemes de poutres et

masses/ressorts/amortisseurs, en considerant uniquement son interaction verti-

cale avec le vehicule et le sol. Les modeles plus sophistiques sont souvent dedies

a des applications necessitant des reponses a plus hautes frequences (bruit fer-

roviaire, usure ondulatoire,. . .) ;

– chaque modele developpe introduit certaines hypotheses qui permettent de

definir un domaine d’utilisation particulier (modelisation continue des tra-

verses dans le cas de charges a grande vitesse, etude plane dans le cas ou l’on

peut considerer une excitation stationnaire de la part du vehicule, decouplage

voie/sol pour les basses vitesses,. . .).

Il semble interessant a ce stade de se pencher sur la dynamique voie/sol afin de verifier

si un decouplage peut etre possible, et sous quelles conditions, dans le but de repartir

la difficulte de modelisation.

2.3 Couplage entre la voie et le sol

Le survol de l’etat de l’art en matiere de modelisation nous montre qu’il est

difficile de trouver un modele complet combinant les effets du vehicule, de la voie

et du sol. La principale raison est la difficulte de modeliser le sol en tenant compte

des composants de la voie et du vehicule. Le caractere infini du sol y est surement

pour quelque chose. C’est pour cette raison que certains auteurs formulent quelques

hypotheses quant a l’influence du vehicule et de ses composants : la plupart des


modeles qui traitent de la problematique vibratoire engendree par le trafic reduisent

le vehicule a l’etat de charge mobile, et parfois harmonique lorsque le caractere

discret des traverses est omis. Cette methode de travail est interessante mais ne

permet pas, par exemple, de proposer un outil aux constructeurs de materiels

ferroviaires afin de verifier l’influence d’un des composants du vehicule sur son

environnement.

Lombaert, dans ses travaux [LOM2000b, LOM2001], a developpe un modele

numerique pour la prediction des vibrations induites par le trafic routier, plus

particulierement par le trafic des poids–lourds. Afin de proposer un modele le plus

complet possible, il emet l’hypothese d’un decouplage entre le vehicule et la route,

justifiee par une raideur de la route plus importante que celle des pneus ou des

suspensions du vehicule. La simulation du vehicule se fait ainsi independamment de

celle du sous–systeme constitue de la voie routiere et du sol. Dans le cadre du projet

TRANSDYN, De Saedeleer et al. [DeSA1998a, DeSA1998b] ont propose le meme

genre d’approche, pour un decouplage entre le sol et le sous–systeme vehicule/voie,

impose inevitablement par les methodes de resolution adoptees : la simulation

du sous–systeme vehicule/voie est etablie par une approche multicorps/elements

finis dans le domaine temporel, les effets du sol etant pris en compte par un

modele definissant ses vibrations dans le domaine frequentiel. Les resultats obtenus

par ce genre d’approche ont ete valides dans le cas des trams circulant a faible vitesse.

Le couplage entre la voie et le sol est un probleme qui avait deja ete traite par le

passe. Sarfield et al. [SAR1981] et Rucker [RUC1982] ont etudie l’interaction entre

l’assise de la voie et le sol, afin de demontrer la necessite du couplage dans le cas

des vehicules circulant a haute vitesse. L’assise de voie est consideree uniquement

comme un systeme de traverses regulierement espacees posees sur un sol homogene,

considere comme elastique et isotrope (defini par son module de cisaillement G, sa

masse volumique ρ et son nombre de Poisson ν). Les diverses transmissibilites entre

traverses ont ainsi ete mises en avant, suivant leur nombre et leurs dimensions. De

ces resultats, on peut remarquer l’effet du couplage entre traverses, mis en avant par

une resonance, liee a l’espacement de celles–ci, mais surtout que le couplage entre

toutes les traverses par le sol n’est pas si important qu’il n’y paraıt (Figure 2.6) : tout

au plus, la traverse adjacente a celle ou est applique un effort presente des niveaux

importants (40% de la transmissibilite directe) ; au plus on s’eloigne de la traverse

de reference, au plus l’influence diminue mais avec une difference qui s’estompe

avec la frequence. L’influence du couplage des traverses avec le sol a egalement

ete mis en avant par Knothe et Wu [KNO1998] qui comparent un modele de voie

avec fondation de Winkler avec un modele ou interviennent les fonctions de trans-


50 100 150 200 250 300 3500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2

3 42′3′4′

2a

2b

b/a = 10

traverse 1traverse 2 et 2’traverse 3 et 3’traverse 4 et 4’

Pejωt

Tra

nsm

issi

bilit

ever

tica

leW

i

W1(f

=0)

Frequence [Hz]

Fig. 2.6 – Courbes d’amplitudes des vibrations verticales couplees pour un sol ho-

mogene (selon [SAR1981])

fert entre traverses et le sol mais en tenant compte d’un sol ideal sans amortissement.

La question que l’on est en droit de se poser est l’influence du couplage par le sol

de ces traverses sur la dynamique de la voie. Nous pouvons donc etendre l’analyse sur

la voie complete et verifier la receptance d’un point de la voie (plus particulierement

du rail) lorsque :

– celle–ci repose sur un sol rigide (Figure 2.7(a)) ;

– le sol est pris en compte dans le modele de voie par une raideur dite de fondation

(Figure 2.7(b)), localisee uniquement sous la traverse ;

– le sol est modelise comme un systeme continu, pour une voie 2–D (Figure 2.7(c))

en 3–D (Figure 2.7(d)).

Les modeles de voie et de sol utilises dans ce cas–ci sont developpes et explicites dans

les chapitres suivants. Pour determiner la raideur dynamique de la fondation, les

formules determinees par Wolf [WOLF1994] ont ete appliquees, faisant le lien entre

un milieu visco–elastique (G, ρ, ν) et des constantes de raideur et d’amortissement

kf =Ga

(1 − ν)

[

3,1

(b

a

)2,4

+ 1,6

]

(2.3)

df = 1,48

√

abρ

πGkf (2.4)

dans le cas d’une charge normale appliquee sur le sol par l’intermediaire d’une

surface rectangulaire rigide de dimensions 2a et 2b (b < a). Le cas du sol continu


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

rail

semelle

ballasttraverse

(a) Modele avec sol rigide

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

rail

semelle

ballasttraverse

fondation

(b) Modele avec une raideur de fondation

rail

semelle

ballasttraverse

sol

(c) Modele avec sol continu (voie 2–D)

railsemelle

ballasttraverse

sol

(d) Modele avec sol continu (voie 3–D)

Fig. 2.7 – Differents cas envisages pour l’analyse du couplage voie/sol

a ete etudie en considerant une voie bidimensionnelle dont l’effort issu du ballast

agit sur une surface correspondant a celle de la traverse (a = 0,13m et b = 0,65m).

L’effet du couplage entre les deux rails est egalement pris en compte (cas 3–D) et

servira de reference dans la comparaison.

La Figure 2.8 presente les resultats, en terme de receptance directe (excitation

sur le rail au droit d’une traverse et mesure au meme point) et indirecte (mesure

au point de rail au droit de la traverse adjacente) de la voie pour un sol considere

comme homogene et isotrope (G = 62MN/m2, ρ = 1540 kg/m3, ν = 0,25). Il en

ressort que des differences apparaissent en basses frequences, l’ecart le plus significatif

apparaissant logiquement pour le modele avec sol rigide. Lorsqu’on ajoute une raideur

de fondation en serie avec celle du ballast, les resultats obtenus attenuent la difference

de depart (l’ecart etant de maximum 2dB par rapport au resultats du modele avec

sol). Dans le cas d’un sol plus raide (Figure 2.9 — G = 300MN/m2), la difference

est presque inexistante (moins de 0,5 dB). En effet, si la raideur de fondation kf est

suffisamment importante face a celle du ballast (kb)

1

kb+

1

kf≈ 1

kb, (2.5)

on se retrouve directement devant le postulat de Lombaert ou le decouplage entre


0 50 100 150 200 250 300−230

−220

−210

−200

−190

−180

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

dB]

sol rigideavec une raideur de fondationsol continu (voie 2−D)sol continu (voie 3−D)

(a) Receptance directe

0 50 100 150 200 250 300−230

−220

−210

−200

−190

−180

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

dB]


(b) Receptance indirecte

Fig. 2.8 – Effet du couplage de la voie avec le sol

traverses par le sol devient licite. Ce n’est pas le cas pour un sol mou (Figure 2.10

— G = 4MN/m2) ou les differences sont plus marquees (atteignant parfois jusqu’a

12 dB entre resultats des modeles avec sols rigide et continu). Neanmoins un modele

de voie avec raideur de fondation permet de se rapprocher du probleme avec sol

continu (la difference n’est plus de que 5 dB). L’effet de couplage entre chaque

troncon de voie, dans le cas 3–D, reste par contre negligeable par rapport au 2–D,

pour n’importe quel cas (Figure 2.8 a 2.10).

0 50 100 150 200 250 300−230

−220

−210

−200

−190

−180

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

dB]



0 50 100 150 200 250 300−230

−220

−210

−200

−190

−180

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

dB]



Fig. 2.9 – Effet du couplage sur la voie pour un sol dur

Nous pouvons affirmer que la prise en compte d’une raideur de fondation reste

satisfaisante pour etablir un modele vehicule/voie destine a la determination des

vibrations dans le sol. Ce couplage que nous pouvons qualifier de partiel est licite et


0 50 100 150 200 250 300−230

−220

−210

−200

−190

−180

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

dB]



0 50 100 150 200 250 300−230

−220

−210

−200

−190

−180

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

dB]



Fig. 2.10 – Effet du couplage sur la voie pour un sol mou

d’autant meilleur que la raideur du sol est importante face a celle du ballast, ce qui

est le cas bien souvent en pratique (l’existence de sols qualifies de mous, surtout en

Belgique, reste tres rare).

Une remarque importante pour la suite est a formuler a ce stade. Les parametres

de voie, essentiellement ceux de la semelle de rail et du ballast sont souvent determines

a partir d’essais in situ et les parametres utilises dans ce rapport ne derogent pas a

cette regle (on mesure une raideur equivalente, resultant de la mise en serie de celle

du ballast et de la fondation). Dans le cadre de cette these, lorsque nous parlerons

de modele ou le sol est rigide, c’est cette raideur qui est prise en compte. Dans le cas

contraire (modele avec fondation ou sol continu), la raideur sera celle du ballast.

2.4 Developpement d’un modele numerique

Le survol bibliographique et l’analyse de l’interaction voie/sol nous montrent

que l’utilisation de deux modeles, l’un pour le vehicule et la voie, l’autre pour le sol,

semble tout a fait interessante et que la prise en compte d’une raideur de fondation

reste licite et d’autant meilleure que la difference de rigidite entre le ballast et le sol

est significative. La methodologie adoptee dans le cadre de ce travail est illustree a

la Figure 2.11. Deux phases y sont clairement decrites : la premiere, basee sur un

sous–systeme definissant le vehicule et la voie, permet de determiner la deflexion

du rail et, de ce fait, les efforts induits a la surface du sol par l’intermediaire de

la reaction des traverses. La seconde phase permet, a partir des resultats de la

premiere, de determiner la reponse du sol suivant les efforts injectes par la voie, a

travers le sous–systeme definissant l’interaction voie/sol.

2.4. Developpement d’un modele numerique 25

phase 1

Etude dynamique du sous–

systeme vehicule/voie avec

voie flexible en tenant

compte egalement des im-

perfections de la surface de

roulement. Simplification

dans le plan vertical du

vehicule.

phase 2

Etude dynamique du sous–

systeme sol ou les forces

agissant au sol representent

la contribution des traverses,

calculee dans la phase 1.

∞

∞

v0

x

x

y

z

z

Fig. 2.11 – Description de la methodologie adoptee dans la modelisation du systeme

vehicule/voie/sol


Le vehicule est decrit par ses divers constituants que l’on considerera comme

des corps rigides (caisse, essieu, roue, moteur,. . .) lies par des elements d’intercon-

nection (definissant les suspensions et les divers elements flexibles). Les cas etudies

impliqueront une vitesse constante du vehicule sur une voie rectiligne, si bien que

seuls les efforts verticaux seront de mise. Le rail est decrit par un modele discret a

trois couches, comprenant ainsi les proprietes dynamiques des semelles de rail et du

ballast. Le mouvement du rail est defini dans le meme plan que celui du vehicule.

L’interaction entre le vehicule et la voie est egalement mise en avant en mettant

l’accent sur les imperfections de voie et leur impact sur la dynamique de la voie.

De ce fait, une longueur limite mais suffisante de la voie sera prise en compte. La

simulation de ce sous–systeme sera effectuee dans le domaine temporel, preferable

lorsque des non–linearites doivent etre prises en compte.

Le sol sera decrit par un modele se basant sur les elements finis, plus prometteurs

dans le cas de geometries complexes. La difficulte majeure sera de definir correctement

la frontiere du domaine afin d’imiter un domaine infini. Une attention particuliere

sera accordee aux elements semi–infinis et sur les regles de bonne pratique quant a

leur utilisation. Comme dans le cas du sous–systeme vehicule/voie, l’analyse dans le

domaine temporel sera preferee (et nous verrons qu’elle sera preferable en terme de

ressources informatiques).

CHAPITRE 3

Du contact roue/rail vers la dynamique de systemes

vehicule/voie

The theory of rolling contact is concerned with the many interrelated phenomena which occur

when one elastic body rolls, with or without slipping, on another. Although it has applications

to the printing industry, to the design of ball bearing etc., its foremost application is the

wheel/rail problems. . .

JOOST J. KALKER (1933–2006)

L’interaction vehicule/voie est un element important dans la generation des

vibrations dans le sol puisqu’elle contribue aux niveaux d’excitation de la voie,

plus ou moins amplifies en fonction des caracteristiques de cette derniere, mais

egalement des caracteristiques du vehicule. L’origine de ces vibrations est multiple

(Figure 3.1) mais depend essentiellement du contact roue/rail et de la periodicite

des elements du vehicule et de la voie.

Selon Alias [ALI1984], le contact roue/rail, et plus essentiellement les defauts de

voie, contribuent a une large gamme de frequences d’excitation, que l’on peut classer

en trois bandes de frequences :

de 0 a 15Hz : elles sont essentiellement dues aux masses suspendues et non–

suspendues des vehicules, qui sont assez bien transmises par le sol et constituent

27

28 3. DU CONTACT ROUE/RAIL . . . VERS LA DYNAMIQUE VEHICULE/VOIE

PSD

essieu

bogie

trav

erse

frequence

defauts roue-rail [10–80 Hz]

irregularite dans la voie

excitation due a la voieet aux roues

fluctuations d’amplitudeimportantes

usuregenerale

usure locale

Fig. 3.1 – Principaux mecanismes d’excitation (tires de [PIC2002a])

le domaine propre des vibrations ;

de 15 a 150Hz : les vibrations resultent principalement des oscillations de la voie.

Elles sont deja affaiblies par le sol de facon notable mais peuvent etre tres

genantes car les vibrations de structures qu’elles generent (murs, plafonds) pro-

duisent des bruits tres perceptibles ;

au–dela de 150Hz : ce sont surtout les phenomenes de glissement roue/rail qui

les provoquent. Elles sont tres vite amorties par le sol mais par contre elles

produisent, par l’intermediaire du rail et de la roue comme surface radiante, le

bruit de roulement.

De ce classement, on comprend mieux pourquoi, dans la gamme de frequences qui

est propre aux vibrations dans le sol, le contact roue/rail normal est suffisant pour

etudier ce phenomene. De plus, le sol a un effet filtrant pour les hautes frequences

de par ses caracteristiques dissipatives, moins par sa geometrie expansive que par sa

nature amortissante [ATH2000].

Nous presenterons dans le chapitre le contact de Hertz ainsi que la prise en compte

des irregularites de voie, puisqu’ils sont la source des nuisances vibratoires dans le sol.

Le developpement d’un modele combine vehicule/voie sera ainsi etabli, en insistant

sur la dynamique de la voie et en comparant les resultats obtenus avec ceux d’un

modele analytique. Le lien avec le modele de sol sera ainsi introduit.

3.1. La theorie du contact roue/rail 29

3.1 La theorie du contact roue/rail

Le calcul des efforts issus du contact roue/rail est traditionnellement separe en

deux parties :

– le probleme normal, qui etudie les deformations locales suite a l’ecrasement de

la roue sur le rail,

– le probleme tangentiel qui etudie le glissement relatif entre la roue et le rail.

Nous considererons dans notre modele et, de facto, dans cette etude uniquement le

probleme normal, qui conditionne l’interaction verticale du vehicule avec la voie.

Nous reprenons la theorie liee a ce phenomene afin de mieux cerner la problematique

du contact.

Le probleme du contact normal roue/rail est tres ancien, etudie a partir de

la theorie de Hertz (1887) lorsqu’on considere qu’il est assimilable a un contact

immobile. Le contact entre la roue et le rail est idealement ponctuel, dans l’hypothese

de corps indeformables. En realite, la masse du vehicule repartie sur chaque roue

deforme l’acier de la roue et du rail, creant ainsi une surface de contact par elasticite

(Figure 3.2). L’analyse de la zone de contact a ete faite par Hertz en statique,

sans transmission d’effort tangentiel. L’application la plus simple de ce resultat

utilise deux cylindres a axes perpendiculaires, un representant le rail, l’autre la roue

(on prend alors pour la roue le rayon moyen au point de contact). Le contact est

represente sur la Figure 3.3, sans usure et en l’absence de deformation elastique. Les

phenomenes de contact deporte et de double contact (a travers le bourrelet de roue)

ne sont pas pris en compte.

2a 2b

xz

d

N N

rail

roue rigide roue deformable

Fig. 3.2 – Probleme de Hertz applique au cas du ferroviaire [COL2007,ESV2001]


Exterieur a la voie Interieur a la voie

champignondu rail

profil de laroue

conicite de la roue rayon nominalmoyen

70,6

72

1:20

1:20

R.13

R.80R.300

Fig. 3.3 – Profil du champignon du rail et de la table de roulement de roue (rail

Vignole type 60 kg/m)

La surface de contact, calculee analytiquement dans ces conditions, est une ellipse

plane, dont les deux demi–axes a et b se calculent par la relation

a

m=b

n= 3

√

3N(1 − ν2)

E(A+B)(3.1)

ou A et B sont les inverses des rayons du cylindre idealisant le champignon du rail

(Rrail) et de celui idealisant la roue (Rroue). N est la force de contact et E et ν

respectivement les modules d’Young et nombre de Poisson des deux elements, que

l’on considere comme etant du meme materiau, a savoir l’acier. m et n sont des

coefficients sans dimension dependant de l’angle θ defini par [ALA2005]

cos θ =B −A

B +A(3.2)

et donnes par le Tableau 3.1. La pression, en un point de la surface de contact et en

fonction des coordonnees x et y centrees a la surface, est obtenue par

pz(x, y) =3N

2πab

√

1 −(x

a

)2

−(y

b

)2

(3.3)

et a une forme semi-ellipsoıdale comme le montre la Figure 3.4.

3.1. La theorie du contact roue/rail 31

Tab. 3.1 – Coefficients de Hertz en fonction de θ

parametre m

parametre n

parametre r

θ [ ]

0

2

4

6

8

20 40 60 80

θ [ ] 10 20 30 40 50 60 70 80

m 6,61 3,78 2,73 2,14 1,75 1,49 1,28 1,13

n 0,32 0,41 0,49 0,57 0,64 0,72 0,80 0,89

r 2,80 2,30 1,98 1,74 1,55 1,39 1,25 1,12

−0.01−0.005

00.005

0.01

−0.01

−0.005

0

0.005

0.010

5

10

15

x 108

Pre

ssio

nvert

icale

pz

[N/m

2]

Direction longitudinale x [m]Direction transversale y [m]

Fig. 3.4 – Pression verticale sur la surface de contact pour une paire roue/rail clas-sique et pour une charge verticale N = 25 kN

Ce qui nous interesse plus particulierement, c’est l’ecrasement roue/rail d qui

s’avere proportionnel a la puissance 2/3 de la charge normale N

d =r

2m

3

√

9N2(1 − ν2)2(A+B)

E2, (3.4)

cette relation se mettant sous la forme suivante

N =E

3(1 − ν2)

√

8m3

r3(A+B)d3/2 = KHz d

3/2 (3.5)


plus elegante et faisant intervenir de maniere explicite la charge normale N en fonc-

tion de l’ecrasement d. Le coefficient sans dimension r est tabule egalement dans le

Tableau 3.1. Cette force montre bien la non–linearite du contact. Comme toute loi

non lineaire, on peut la lineariser en considerant de petites variations ∆d autour de la

valeur nominale d0 (Figure 3.5). L’Eq. (3.5) peut etre approximee par une loi lineaire

∆d

∆N

t

t

d

N

kHz

N0

d0

Fig. 3.5 – Linearisation de la theorie de Hertz (tire de [COL2007])

de type

∆N = kHz∆d (3.6)

faisant intervenir l’ecrasement ∆d, resultant de l’application d’une force ∆N , et

kHz la raideur verticale du contact, plus communement appelee raideur de Hertz ,

et definie par

kHz =∂N

∂d

∣∣∣∣d0,N0

=3N0

2d0. (3.7)

Dans la plupart des applications ferroviaires repertoriees dans la litterature, la

valeur de kHz tourne autour des 1,2 109 N/m [COL2007]. Esveld, dans son ou-

vrage [ESV2001], propose une formule approximative pour cette raideur

kHz = 3

√

3E2N0

√RroueRrail

2(1 − ν2)2, (3.8)

qui est tout aussi fiable que la premiere.

3.2 Irregularites de voie

L’analyse des defauts des principales donnees de la voie est faite au moyen de

spectres de densite spectrale de puissance, definis en fonction de la frequence spatiale

3.2. Irregularites de voie 33

F liee a la vitesse du vehicule v0 et la frequence temporelle f par la formule

F =f

v0. (3.9)

La relation entre les densites spectrales spatiales et temporelles s’etablit

immediatement en remarquant que, en vertu de l’egalite de Parseval, l’energie conte-

nue dans le signal est la meme quelle que soit sa representation ; on doit donc avoir

∫ +∞

−∞Szz(F ) dF =

∫ +∞

−∞Szz(f) df = σ2(h) (3.10)

avec σ2 la variance du defaut de voie h. Puisque df = v0dF , le lien entre ces deux

densites n’est que la vitesse v0 tel que

Szz(F )

v0= Szz(f) . (3.11)

Ainsi la densite spectrale temporelle, a vitesse v0, correspondant au defaut

geometrique h(x) est egale a la densite spectrale spatiale divisee par la vitesse

de circulation. L’influence de la vitesse aura une consequence importante sur les

niveaux vibratoires calculees, comme nous le verrons par la suite.

Les spectres de defaut de nivellement d’une voie ont une forme bien definie, assez

bien representee par [ALI1984]

Szz(Ω) =µ

(1 + Ω

λ

)n .

ou la pulsation spatiale Ω = 2πF est introduite a ce niveau. Trois parametres λ, µ et

n interviennent donc pour caracteriser le spectre mais en pratique deux suffisent :

– le parametre d’amplitude µ,

– et λ le parametre d’etalement,

n etant impose entre 2 et 4. En realite, a ce spectre, appele spectre de fond, s’en

superposent plusieurs autres, en particulier des defauts dus aux inegalites de dressage

des rails. Il en resulte que, vers les courtes et grandes longueurs d’ondes, la formule

precedente peut etre sujette a des modifications mais la partie centrale reste de toute

facon la plus interessante. Parmi les differents spectres que l’on peut retrouver dans la

litterature, notre devolu s’est jete sur ceux definis par Garg et Dukkipati [GAR1984],

qui ont la particularite d’avoir une large classification (6 classes) et d’etre bases sur

un recensement du Federal Railway Administration (FRA) sur des voies americaines.

Le PSD propose pour un profil peut etre mis sous la forme

Szz(F ) =Aφ2

2

(F 2 + φ2

1

)

F 4 (F 2 + φ22)

(3.12)


avec A la parametre de rugosite et φ1 et φ2 les frequences spatiales de coupure.

Nous reprenons au Tableau 3.2 les valeurs de ces parametres pour l’erreur sur le

profil vertical. Le parametre de rugosite A change ainsi selon la classe de voie tandis

que les frequences de coupure restent identiques. Une erreur d’unite de A existe

cependant dans [GAR1984] qui a ete longtemps meconnue, impliquant indirectement

des erreurs de valeurs dans les ouvrages s’inspirant de ces parametres1. Les valeurs

presentees dans le Tableau 3.2 sont bien evidemment les valeurs corrigees, a partir

des bonnes unites. Il est a noter egalement que cette expression du PSD n’est

valable que dans la gamme de longueurs d’onde allant de 1,5m a 300m, selon les

memes auteurs.

Tab. 3.2 – Parametres intervenant dans l’Eq. (3.12)

parametres classes de voie

symboles unites 6 5 4 3 2 1

A [10−6m] 0,0954 0,1675 0,2968 0,5300 0,9540 1,6748

φ1 [10−3m−1] 23,294 23,294 23,294 23,294 23,294 23,294

φ2 [10−2m−1] 13,123 13,123 13,123 13,123 13,123 13,123

A partir d’une densite spectrale de puissance, l’information de phase est inexis-

tante et un processus aleatoire devient necessaire. Des lors, la procedure de generation

est tout simplement appelee stochastique ou quasi–stochastique, suivant la methode

de generation aleatoire de phase. Pour ce qui est de la generation aleatoire directe

du signal spatial, l’utilisation d’une FFT inverse ne permet pas de tenir compte

de la variation du pas de temps ∆t lors de l’integration numerique dans l’analyse

dynamique multicorps. La recomposition en termes de Fourier permet de s’affran-

chir de cette limitation. Le filtre (3.12) analytique est divise en ni intervalles, a

resolution frequentielle ∆F constante, equivalente a une periode d’echantillonnage

Xm (Xm = 1∆F ). Pour chaque intervalle k, de pulsation angulaire Ωk, sa valeur

discrete est definie

Szz,k(Ωk) =1

XmSzz(Ω = Ωk) (3.13)

1Garg et Dukkipati ont presente le parametre A sous l’unite cpf/inch au lieu de cpf × inch (cpf :cycle per foot), ce qui implique une amplitude de defaut multipliee par un facteur 1000 apres de laconversion d’unite !

3.3. Modelisation adoptee pour le sous–systeme vehicule/voie 35

dont la contribution harmonique dans le domaine spatial est

hk(x) =√

2∆FSzz,k(Ωk) cos(Ωkx+ ϕk) (3.14)

(3.15)

ou ϕk est une phase definie de maniere aleatoire entre −π et π. En tenant compte de

toutes les contributions frequentielles, la hauteur du defaut de voie est donc egale a

h(x) =∑

k

√

2∆FSzz,k(Ωk) cos(Ωkx+ ϕk) (3.16)

superposition de ni fonctions harmoniques a phase aleatoire.

La Figure 3.6 nous montre les profils artificiels generes de cette maniere. Le lien

entre ces profils et le domaine frequentiel depend bien evidemment de la vitesse du

vehicule qui ne verra pas la variation de profil de la meme facon s’il roule a 30 ou a

300 km/h.

10−2

10−1

10010

−10

10−5

100

Fréquence spatiale F [m−1]

Pro

fil P

SD

[m

2 /m−

1 ]

classe 1classe 2classe 3classe 4classe 5classe 6

(a) Densite spectrale de puissance

0 50 100 150 200−1

−0.5

0

0.5

1x 10−3

Distance [m]

Irré

gula

rité

[m]

classe 1classe 2classe 3classe 4classe 5classe 6

(b) Evolution spatiale

Fig. 3.6 – Profils verticaux artificiels

3.3 Modelisation adoptee pour le sous–systemevehicule/voie

C’est autour du contact roue/rail que le sous–systeme vehicule/voie est construit.

Comme il a ete signale au chapitre precedent, sa modelisation est etablie suivant

une approche bidimensionnelle du probleme ou chaque composant intervient de


facon plus ou moins detaillee (Figure 3.7) : le vehicule est modelise suivant une

approche multicorps ou les differents solides sont connectes entre eux par des

paires de ressorts–amortisseurs en parallele, modelisant les suspensions primaires

et secondaires. Le rail est modelise par une poutre d’Euler–Bernoulli discretement

supportee par les traverses et le ballast, selon un modele a masses concentrees. Seul

leur mouvement vertical est considere dans leur dynamique.

contactroue/rail

caissebogieessieux

rail

traversesemelle

ballastsubstrat

(a) Composants du modele

kp

kb

dp

db

m

E,I,Ar,ρr

(b) Parametres de la voie

Fig. 3.7 – Modele vehicule/voie

La dynamique d’un tel systeme est decrite par un systeme d’equations

differentielles du second ordre, que nous pouvons mettre sous forme residuelle

~f(~q, ~q, ~q, t) = 0 , (3.17)

faisant intervenir les parametres de configuration ~q regroupant ceux du vehicule et

de la voie. Nous analyserons par la suite chaque contribution de maniere separee

pour plus de clarte.

Le systeme est directement defini dans un code C++, utilisant la bibliotheque

EasyDyn, developpee dans le service de Mecanique Rationnelle, Dynamique et Vibra-

tions et dedicacee aux problemes differentiels du second ordre, plus particulierement

aux systemes multicorps [VER2003a,VER2005]. La simulation est faite dans le do-

maine temporel, permettant ainsi de considerer les non–linearites, notamment dans le

contact roue/rail. Le schema d’integration de Newmark est ainsi utilise, se basant sur

une formulation residuelle dans l’ecriture des equations differentielles. Verlinden et

al. [VER1994] ont demontre que cette formulation, combinee a l’utilisation d’une ma-

trice d’iteration complete, est bien adaptee au traitement de systemes raides, comme

c’est le cas ici notamment a cause des contacts roue/rail.


3.3.1 Equations du mouvement du vehicule

Une approche multicorps a ete choisie pour le vehicule car elle correspond a la

modelisation que l’on rencontre classiquement en dynamique ferroviaire. Avec le

developpement des ordinateurs devenus de puissantes machines de calcul, l’analyse

du comportement dynamique de systemes mecaniques a pris une part preponderante

dans le metier de l’ingenieur, mettant au premier plan la simulation numerique

avec, comme avantage, le calcul dans le domaine temporel, permettant l’analyse

de systemes complexes (Figure 3.8). Elle permet ainsi de determiner l’evolution

spatio–temporelle de chaque solide constituant le systeme sous l’effet de sollicitations

externes, qui dans notre cas, se ramenent essentiellement a l’effet de la gravite et a

l’effet du contact roue/rail.

elements de force

solides liaisons elements speciaux

code de simulationmulticorps

Fig. 3.8 – Principe d’un logiciel de simulation multicorps [VER2003b]

Un systeme multicorps resulte donc d’un assemblage de corps (definis par

leur proprietes d’inertie et l’eventuelle prise en compte de leur deformabilite), de

liaisons cinematiques (definissant le mouvement relatif de chaque solide) et de

sollicitations externes (resultant de forces appliquees, de suspensions, de contacts

et/ou de trajectoires imposees). L’analyse topologique est a la base de la simulation

multicorps et permet ainsi de differencier les differents logiciels mis a disposition du

dynamicien. Parmi les differentes approches (cartesienne, naturelle, minimale, rela-

tive ou par elements finis), l’approche en coordonnees minimales (appelee egalement

generalisees) a ete preferee de par sa generation d’un systeme d’equations compact

dont le nombre est strictement egal au nombre de degres de liberte du systeme


etudie, en l’occurrence le vehicule. Son traitement numerique reste simple puisque

aucune equation de contrainte (equation algebrique) ne s’ajoute aux equations

differentielles de base. L’inconvenient de cette approche reside dans l’eventuelle

difficulte de les obtenir mais, pour peu que le systeme ne comporte que peu de

boucles cinematiques2, la cinematique peut facilement etre obtenue en decomposant

le mouvement de chaque corps et en faisant appel au calcul symbolique [VER2003a].

A partir des six degres de liberte de chaque solide, on selectionne ainsi n coordonnees

remarquables qui definiront les n degres de liberte du systeme. Le choix de ces

coordonnees remarquables n’est pas unique mais doit decrire le mouvement du

systeme de facon univoque.

Le modele de vehicule est ainsi forme par une combinaison de corps (caisses

et bogies rigides ou flexibles, corps en rotation comme des essieux ou des roues

independantes) et par des elements d’interconnexion (elements ressort et amortis-

seur pour les suspensions primaires et secondaires). La voie etant ajoutee sous le

vehicule, il est necessaire de reduire le comportement du vehicule aux degres de li-

berte dans le meme plan que celui de la voie. L’equation du mouvement du vehicule

peut se mettre sous la forme generale

[Mv] ~qv + ~Q(~qv, ~qv, t) = ~fa , (3.18)

faisant intervenir une matrice masse Mv, un vecteur ~Q regroupant les forces

centrifuges et gyroscopiques, un vecteur definissant les efforts appliques ~fa, ainsi

que le vecteur relatif aux differents parametres de configurations ~qv. Rappelons que

nous nous penchons uniquement sur le cas d’un mouvement vertical du vehicule, les

parametres de configuration pris en compte ne sont donc relatifs qu’aux deplacements

verticaux et aux rotations dans le plan du vehicule.

Lorsque le modele est lineaire (ou linearise autour de son point de fonctionnement

nominal), il est plus facile de mettre en avant les elements d’interconnexion a travers

une matrice de raideur Kv et d’amortissement Cv ainsi que les efforts exterieurs ~fv(effet de la gravite et des contacts roue/rail)

[Mv] ~qv + [Cv] ~qv + [Kv] ~qv = ~fv . (3.19)

Cette equation peut par ailleurs se mettre sous une autre forme3 en separant les

2La structure d’un systeme multicorps est dite fermee si elle peut etre parcourue par plusieurschemins, formant ainsi une boucle, appelee cinematique, en opposition aux systemes dits ouverts.

3Cette distinction n’est possible que lorsque les coordonnees des essieux et des bogies sont definiesde maniere independante (mouvement absolu) ou si on est dans une approche de type « coordonneescartesiennes ».


degres de liberte en contact avec la voie (p), des autres (i)

[Mvi

0

0 Mvp

]~qvi

~qvp

+

[Cvi

Cvip

CvpiCvp

]~qvi

~qvp

+

[Kvi

Kvip

KvpiKvp

]~qvi

~qvp

=

~fext,i

~fext,p +~frail/roue

(3.20)

ce qui permet de distinguer, dans les efforts exterieurs, la contribution du contact

roue/rail (~frail/roue) des efforts exterieurs (~fext,i et ~fext,p) relatifs aux charges ap-

pliquees.

3.3.2 Equations du mouvement de la voie

Le rail consiste en un modele de voie 2–D classique, appele modele a 2 couches,

avec des traverses rigides et un rail discretement supporte. Le rail flexible (Er, Ir, Ar,

ρr) est modelise par une approche elements finis suivant le modele d’Euler–Bernoulli.

Les semelles de rail et le ballast sont caracterises par des ressorts et amortisseurs (kp

et dp pour la semelle de rail, kb et db pour le ballast). Les traverses ont une masse

concentree m et espacees d’une longueur L ; des modeles avec des masses du ballast

additionnelles (appeles modeles a 3 couches) sont moins courants et il subsiste en tout

cas toujours une difficulte a identifier experimentalement les parametres additionnels

correspondants. Un modele 3–D de la voie est aussi une complication superflue dans

ce contexte et exige un effort supplementaire superflu dans la caracterisation de la

voie. Les equations du rail sont ainsi decrites par

[Mr] ~qr + [Kr] ~qr = ~fr . (3.21)

ou l’indice r est relatif au rail. Si on y inclut la contribution des traverses (s), on

obtient[

Mr 0

0 Ms

]~qr

~qs

+

[Cp −Cp

−Cp Cp + Cb

]~qr

~qs

+

[Kr + Kp −Kp

−Kp Kp + Kb

]~qr

~qs

=

~fr0

. (3.22)

Le rail est interconnecte aux traverses par l’intermediaire de semelles de rail, dont

la raideur et l’amortissement se retrouvent respectivement dans les matrices Kp et

Cp. La meme approche est definie pour le ballast (matrices Kb et Cb). Le vecteur

force ~fr contient la reaction du contact roue/rail −~frail/roue, pour les points du rail

concernes.


Afin de tenir compte de la flexibilite du rail et de la distribution des efforts du

rail sur les nœuds, les fonctions de forme cubiques du rail sont etablies a partir d’un

troncon de poutre elementaire a 4 degres de liberte soumis a la flexion (Figure 3.9).

qe,1

qe,2

qe,3

qe,4

Ln

ξ

Fig. 3.9 – Degres de liberte d’un element de poutre

On exprime via les Eq. (3.23) a (3.26) les matrices elementaires (4×4) de raideur

et de masse de cet element de poutre4 en fonction de sa longueur Ln :

[Kpoutre] =Er IrL3

n

12 6Ln −12 6Ln

6Ln 4L2n −6Ln 2L2

n

−12 −6Ln 12 −6Ln

6Ln 2L2n −6Ln 4L2

n

, (3.23)

[Mpoutre-T] =ρr Ar Ln

420

156 22Ln 54 −13Ln

22Ln 4L2n 13Ln −3L2

n

54 13Ln 156 −22Ln

−13Ln −3L2n −22Ln 4L2

n

, (3.24)

[Mpoutre-R] =ρr Ir30Ln

36 3Ln −36 3Ln

3Ln 4L2n 3Ln −L2

n

−36 3Ln 36 −3Ln

3Ln −L2n −3Ln 4L2

n

, (3.25)

[Mpoutre] = [Mpoutre-T] + [Mpoutre-R] . (3.26)

Les matrices elementaires Mpoutre et Kpoutre sont ainsi construites, une seule

fois si le rail est discretise de maniere uniforme ou a chaque fois ou des irregularites

geometriques apparaissent au niveau du rail (support de traverses non regulier

par exemple). Les matrices globales (pour l’ensemble des degres de liberte du rail)

peuvent ensuite etre obtenues par assemblage de ces matrices elementaires, calculees

4Les matrices elementaires d’un tel element peuvent etre deduites facilement des relations ef-forts/deplacements.


egalement une seule fois. La taille de la matrice globale depend directement de la

longueur de la voie consideree, qui est discretisee en Nn elements par espacement L

de traverse.

A ce stade interviennent les fonctions de forme du rail afin de quantifier le

deplacement du rail au niveau du point de contact. L’element de poutre est ca-

racterise par quatre fonctions de forme N1(ξ), N2(ξ), N3(ξ) et N4(ξ) qui permettent

de decrire l’etat de l’element de poutre en n’importe quel endroit (ξ = xL ) du troncon

a partir de l’etat aux nœuds extremes. On peut par exemple exprimer la hauteur du

rail en n’importe quel point intermediaire par la formule

z(ξ) = N1(ξ) qe, 1 +N2(ξ) qe, 2 +N3(ξ) qe, 3 +N4(ξ) qe, 4 (3.27)

avec

N1(ξ) = 1 − 3ξ2 + 2ξ3 , (3.28)

N2(ξ) = (ξ − 2ξ2 + ξ3)Ln , (3.29)

N3(ξ) = 3ξ2 − 2ξ3 , (3.30)

N4(ξ) = (−ξ2 + ξ3)Ln . (3.31)

On utilisera cette propriete pour calculer la hauteur de rail au niveau du point

d’application de l’effort de contact, notamment dans l’expression du calcul de la force

de contact existant entre le rail et le vehicule. Les fonctions de forme permettent

egalement d’obtenir la repartition de la charge verticale appliquee Froue/rail,i en un

endroit quelconque ξ du troncon sur les termes de force des nœuds extremes (les

forces verticales F1 et F3, ainsi que les moments F2 et F4), par la famille de formules

simples

Fj(ξ) = Nj(ξ)Froue/rail,i j : 1 7→ 4 (3.32)

faisant intervenir l’effort de contact Froue/rail,i agissant sur le rail.

L’adoption d’un modele d’Euler–Bernoulli pour le rail est suffisant pour

notre application puiqu’il peut fournir des resultats tout a fait precis en basses

frequences [KNO1993] ; des modeles plus developpes, comme par exemple ceux bases

sur la theorie de poutres de Timoshenko, ne sont interessants qu’a haute frequence,

par exemple pour des applications relatives au bruit ferroviaire.

3.3.3 Couplage entre le vehicule et la voie

Dans le cas d’un contact normal entre la roue et le rail, le contact hertzien offre

des perspectives interessantes. L’effort de contact applique par le rail, en un point j,


sur chaque roue i se met ainsi sous la forme

Frail,roue,i = −KHz (zroue,i − zrail,j − hdefaut,j)3/2 (3.33)

ou, dans le cas linearise,

Frail,roue,i = −kHz (zroue,i − zrail,j − hdefaut,j) (3.34)

ou KHz et kHz sont respectivement definis dans les Eq. (3.5) et Eq. (3.6). Cette

definition permet de tenir compte des defauts de voie hdefaut,j definis de maniere

locale (cœur de voie ou aiguillage par exemple) et/ou globale (irregularites de voie),

offrant ainsi des analyses precises qui ne posent aucune contrainte en analyse tem-

porelle (Figure 3.10). Dans le but d’etudier les interactions vehicule/voie et de

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

IRREGULARITE DE VOIE DISCONTINUITE LOCALE

discontinuite surla tete du rail

PSD

du

pro

fil

Frequence spatiale

Irre

gula

rite

distance

v0

x

z

Frail/roue,i

Froue/rail,i

zrail,jzroue,i hdefaut

Fig. 3.10 – Couplage entre le vehicule et la voie

predire leur reponse, la forme (analytique ou pas) decrivant la geometrie de la voie

3.4. Dynamique de la voie 43

est necessaire. Dans le cadre d’un defaut local, une fonction analytique permet de

decrire la geometrie. Pour un joint de rail, une approche simple consiste a representer

ce defaut par une onde sinusoıdale redressee. Pour des joints de rails alternes, la

representation en terme de serie de Fourier est courante pour le profil vertical

h(x) =2A

π

[

1 − 2

15cos(4πx/l) − 2

63cos(8πx/l) − . . .

]

(3.35)

avec A l’amplitude et l la longueur du defaut [GAR1984]. Les irregularites de voie

meritent, par contre, une attention particuliere a ce stade.

3.4 Dynamique de la voie

Alors que la dynamique du vehicule est maıtrisee a ce stade, il n’en est pas de

meme pour la voie qui merite peut–etre une attention particuliere afin de mieux

cerner son comportement dynamique.

La premiere analyse est tout naturellement l’analyse modale ; les deux premiers

modes attendus sont des modes de « corps rigides » ou un mouvement d’ensemble

existe pour la rail :

– le premier mode ou le rail est en phase avec les traverses (mode T1),

– le second mode ou le rail et les traverses sont en opposition de phase (mode

T2).

Un simple calcul permet de trouver ces deux frequences en considerant un systeme

de base a deux degres de liberte, modelisant le rail comme un masse concentree

mr = ρrArL, au droit de la traverse (Figure 3.11). Ce systeme, regi par l’equation

suivante

[M] ~q + [K] ~q = 0 (3.36)

avec

[M] =

[m 0

0 mr

]

et

[K] =

[kp + kb −kp

−kp kp

]

,

admet deux frequences propres fT1 et fT2. Pour le troisieme mode, il s’agit du mode


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

m

mr

kp

kb

Fig. 3.11 – Modele de base a 2 degres de liberte pour la voie

fort connu ou les traverses sont immobiles et le rail se deforme, « pince » par les tra-

verses (mode pinned–pinned ou P–P ), dont la frequence peut etre tres bien approchee

par

fP–P ≈ 1

2π

√

97,6EI

mrL3(3.37)

issue d’un calcul par la methode du quotient de Rayleigh, sur une poutre de section

uniforme bi–appuyee (voir Annexe A). Pour des donnees typiques de simulation

(Tableau 3.3), les trois frequences propres sont fT1 = 88Hz, fT2 = 341Hz et

fP–P = 875Hz.

Tab. 3.3 – Parametres de la voie etudiee

Er Ir ρr Ar L

210GPa 1987 cm4 7850 kg/m3 63,8 cm2 0,72 m

kp dp kb db m

90MN/m 30 kNs/m 25,5 MN/m 40 kNs/m 90,84 kg

L’analyse modale d’une voie finie donne des resultats differents, aussi bien par

le modele decrit ci–dessus que par un modele issu d’un logiciel aux elements finis.

Le fait d’avoir une voie finie implique une multitude de modes, fonctions de la

longueur de voie et du maillage envisage (Figure 3.12), qui peuvent se regrouper en

differentes categories. On remarque aussi que la repartition des frequences propres

comportent des discontinuites, montrant ainsi des groupes de modes relatifs aux

modes T1 et T2 : le premier groupe montre des modes ou les traverses sont en phase

avec les points du rail leur correspondant, le second groupe indique, quant a lui, une

3.4. Dynamique de la voie 45

Fre

quen

ce[H

z]

Numero du mode

groupe desgroupe desmodes T1 modes T2

00 10 20 30 40 50

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Fig. 3.12 – Evolution de la frequence propre en fonction du mode

opposition de phase. Le rail est par contre flexible, les modes decrivent egalement

des deformees de poutre. Les frequences theoriques correspondent aux premieres

frequences de chaque groupe. Le nombre de mode depend de la discretisation du rail

ainsi que de sa longueur envisagee. La Figure 3.13 nous montre, a partir de notre

modele, l’evolution de la receptance du rail et des traverses en fonction de la position

du point de deplacement. Une discretisation Nn = 2 entre traverses et un nombre de

troncon N = 30 ont ete choisis et semblent suffisants a ce stade. Bien evidemment,

le mode P–P apparaıt pour les points du rail et entre traverses mais a une frequence

plus basse que celle trouvee par l’Eq. (3.37) : une difference de modelisation reside,

ne serait–ce qu’au niveau des fonctions de forme (hypothese d’Euler–Bernoulli).

Les amortissements importants des modes T1 et T2 masquent les phenomenes de

multiplication des modes si bien que les resonances (et anti–resonances) sont peu

marquees. Au fur et a mesure que l’on s’eloigne du point d’application de l’effort, les

niveaux des deplacements diminuent de maniere assez importante, comme l’a deja

fait remarquer Ripke [RIP1991].

Le constat de multiplicite de modes reste mineur dans notre etude puisque la

gamme de frequences etudiee dans le cas qui nous occupe est limitee a la centaine de

Hz, les premiers modes du rail apparaissant egalement aux alentours de cette limite.

Nous le verrons par ailleurs dans l’application qui vient ci–apres, en comparant les


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0 200 400 600 800 100010-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

Rec

epta

nce

de

lavoie

[m/N

]

Frequence [Hz]

F (t)

Fig. 3.13 – Receptances de la voie calculees

resultats obtenus avec ceux issus de cas de reference.

3.5 Application : vehicule circulant sur une voieflexible

Considerons le cas d’un seul essieu ferroviaire, modelise comme une masse non–

suspendue chargee (Figure 3.14), circulant a une vitesse constante v0 de 100 km/h

sur une voie dont les parametres dynamiques sont identiques a ceux presentes

precedemment (Tableau 3.3). La charge represente la contribution d’un essieu relatif

a une locomotive HLE11 dont la force P par essieu est de 206 kN (21 tonnes). Le

contact roue–rail est considere dans ce cas–ci comme lineaire, de raideur egale a

1GN/m. Le rail est discretise en N = 60 elements avec Nn = 2 elements par traverse.

La Figure 3.15 presente l’acceleration verticale de l’essieu, dans le cas d’une voie

parfaite mais egalement dans le cas ou la voie presente une irregularite importante

(classe 1) qui amplifie de maniere significative les niveaux vibratoires, eux–memes

3.5. Application : vehicule circulant sur une voie flexible 47

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

v0t

x

xz

P

Fig. 3.14 – Essieu charge circulant sur une voie flexible

dependant en partie du contact roue/rail.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−10

−5

0

5

10

Temps [s]

Acc

élér

atio

n ve

rtic

ale

[m/s

2 ]

voie parfaite voie réelle (classe 1)

Fig. 3.15 – Acceleration verticale d’un essieu charge se deplacant sur une voie flexiblea une vitesse de 100 km/h

Dans [KRY1996, KRY1998], Krylov propose une methode semi–analytique per-

mettant de determiner la deflexion w(x, t) d’une voie ferroviaire soumise a des charges

mobiles ainsi que ses effets sur le sol. Il reprend ainsi une approche quasi–statique

basee sur l’equation decrivant le comportement vertical d’un poutre sur une fondation

de Winkler

ErIr∂4w

∂x4+Kfw = Pδ(x− v0t) (3.38)

dont la solution s’ecrit

w(x, t) = w(x− v0t) =P

8ErIrβ3e−β|x−v0t| [cos(β|x− v0t|) + sin(β|x− v0t|)] (3.39)

ou β = 4

√Kf

4ErIr. Le parametre Kf est la raideur (par unite de longueur) de la

fondation que l’on peut approximer par

Kf =

(L

kb+L

kp

)−1

.


La Figure 3.16 presente, quant a elle, la deflexion verticale de la voie, au droit

d’une traverse, ainsi que son contenu frequentiel. Elle permet ainsi de comparer les

resultats issus de notre modele avec la solution analytique (3.39) ou l’on remarque une

tres legere difference due a la modelisation analytique que l’on qualifiera de simple

par rapport au modele developpe. Differentes analyses ont ete faites afin de verifier

si le niveau de discretisation est suffisant : un nombre Nn egale a 2 s’avere suffisant

pour modeliser la voie.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

Temps [s]

Déf

lexi

on v

ertic

ale

[m]

modèle numérique solution analytique

(a) Evolution temporelle

0 10 20 30 40 500

1

2

x 10−4

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de d

e la

déf

lexi

on [m

]

modèle numérique solution analytique

(b) Contenu frequentiel

Fig. 3.16 – Deflexion verticale de la voie pour un essieu charge se deplacant a unevitesse de 100 km/h

3.6 Lien avec le modele de sol

Les efforts transmis au sol peuvent se calculer en considerant que la reaction

du ballast intervient directement suivant la surface de ce dernier. On divise ainsi

le probleme en deux sous–problemes travaillant chacun dans son propre systeme.

3.6. Lien avec le modele de sol 49

Le sous–systeme vehicule/voie permet ainsi de calculer les efforts transmis par les

traverses, qui sont decrits par

~fs = [Cb] ~qs + [Kb] ~qs . (3.40)

Ces efforts seront ensuite injectes dans le sous–systeme definissant le sol ou les efforts

sont transmis au travers de chaque surface de traverse (Figure 3.17).

xyz

sens d’avancement

du vehicule

efforts cal

cules

surface des traversesintervenant dans le modele de sol

Fig. 3.17 – Charges calculees dans le sous–systeme vehicule/voie et agissant sur unmodele de sol

Comme nous l’avons signale precedemment, cette maniere de proceder permet,

dans chaque sous–systeme, de modeliser de maniere detaillee chaque element inter-

venant dans la generation et la propagation des vibrations sans une limite imposee

par l’autre sous–systeme. Puisqu’un nombre limite de traverses entre en jeu dans

le modele de voie, il en est de meme pour le modele de sol, sa valeur etant definie

par la taille du modele de sol, en concertation avec la precision voulue (les traverses

eloignees de la zone d’etude auront une influence negligeable). La mise en œuvre de

la modelisation du sous–systeme vehicule/voie est ainsi resumee a la Figure 3.18,

decrivant par ailleurs l’implementation du modele en C++, utilisant la bibliotheque

de simulation EasyDyn. Les resultats obtenus contiennent ainsi les efforts a injecter

au modele de sol (voir Chapitre 5).


100010110

100010110

evolution temporelle

Simulation du sous–systeme sol en prenant compte de la reaction du ballast sur le sol

Donnees vehicule

Donnees voie

Parametres de simulation

Equations du mouvement

bibliothequeEasyDyn

editeurde lien

conditions initialesvitesseposition

du vehicule

du vehicule

definitiondes solides(forme)

animation

visualisation*.res *.vol

*.van

initialisation (contact)

initialisation (rail)

generation

quasi–stochastique

de l’irregularite

globale de voie

definition d’un

defaut local

definition des

fonctions de forme

du rail

ecriture des

matrices

elementaires de

masse et de raideur

recherche des points

de contact (rail)

roue/rail

calcul des efforts calcul des efforts

aux nœuds du rail de contact

equations du mouvement equations du mouvement

des traverses du rail

efforts aux

essieux

equations differentielles du sous–systeme vehicule/voie

integration numerique

(Newmark)

sauvegarde des

sauvegarde de la

sauvegarde de laparametres de

configurationreaction du ballast

position de chaque

solide

loi de contact

Fig. 3.18 – Mise en œuvre de la simulation temporelle du sous–systeme vehicule/voie

3.7. Conclusion 51

3.7 Conclusion

Les outils necessaires a un modele vehicule/voie ont ete presentes dans ce cha-

pitre afin d’etre utilise pour predire le comportement vibratoire d’un sol soumis au

trafic ferroviaire. Autour de l’importance du contact roue/rail, les hypotheses du

modele vehicule/voie ont ete etablies. La dynamique du vehicule est approchee par

une modelisation multicorps, comme cela est fait lors des conceptions ferroviaires. Le

modele de voie est etabli en concertation avec celui du vehicule et en fonction des

besoins. La comparaison avec une solution analytique a demontre la suffisance d’une

voie finie sur son comportement. Les efforts injectes a la surface du sol peuvent ainsi

etre calcules et prets a etre inclus dans un modele de sol.

CHAPITRE 4

Elements de la dynamique des sols

Dans la vie, y’a pas de grands, y’a pas de petits.La bonne longueur pour les jambes,

c’est quand les pieds touchent par terre.COLUCHE

extrait du sketch « L’Etudiant » (1980)

La propagation d’ondes de toutes natures est l’un des phenomenes physiques

les plus usuels auquel nous soyons confrontes. Depuis la vie courante (sons,

vibrations, vagues, telecommunications, radar) jusqu’a l’echelle de l’univers (ondes

electromagnetiques, de gravite) et a celle de l’atome (emission spontanee ou sti-

mulee, interferences entre particules), ce sont l’emission et la reception des ondes

qui constituent notre moyen privilegie de connaissance du monde qui nous entoure.

La comprehension du principe et la definition du domaine de fonctionnement des

vibrations mecaniques induites dans un espace requierent ainsi une analyse de la

propagation des ondes elastiques dans les solides, isotropes et anisotropes, et de

leur generation. Ces deux points sont examines dans les deux cas principaux qui sont :

– les ondes planes dans un milieu de dimensions laterales grandes par rapport a

celles du faisceau d’ondes elastiques (ondes de volume) ;

– les ondes guidees par la surface libre d’un milieu semi-infini (ondes de surface).

53

54 4. ELEMENTS DE LA DYNAMIQUE DES SOLS

C’est dans la geophysique et plus particulierement dans l’une de ses branches,

la sismologie, que s’est developpee la theorie de propagation d’ondes afin de

comprendre et de maıtriser les vibrations solidiennes causees artificiellement par

l’Homme, comme les explosions, ou de maniere naturelle, comme les tremblements

de terre et les eruptions volcaniques.

Depuis longtemps, l’existence des deux ondes primaires et secondaires dans

les solides etait deja connue. Apres la decouverte de la loi de Hooke en 1660, des

avancees majeures furent faites en theorie de l’elasticite par les etudes de Navier a

travers l’equation generale d’equilibre dynamique, avec des consequences identiques

aux interpretations de Young et de Fresnel definissant la lumiere comme des ondes

transversales polarisees. Avant cette interpretation, il etait generalement admis que

seulement des ondes longitudinales pouvaient se propager dans un milieu continu.

Des progres ont continue dans la theorie de propagation d’ondes elastiques avec

Cauchy (qui, en 1822, a developpe le concept de six composants de contrainte

independants, et six pour la deformation) et avec Poisson (qui utilisa le concept

Newtonien de forces intermoleculaires dans un solide). Il decouvrit de maniere

theorique les deux types d’ondes P et S mentionnees plus haut, affirmant que, a

partir d’un modele, l’onde P est√

3 fois plus rapide que l’onde S (d’ou les noms

de « primaire » et « secondaire » accordes a ces ondes). Une fondation essentielle

de la theorie de l’elasticite fut decouverte par Green, qui invoqua l’existence

d’une relation entre les contraintes et les deformations. Love (1892) en profita

pour donner une esquisse historique de la theorie de l’elasticite dans son ouvrage

classique traitant de geologie dynamique, regroupant les theories connues a cette

epoque. En 1887, Lord Rayleigh decouvrit l’existence d’une troisieme onde, qui

porte maintenant son nom, se propageant uniquement sur une surface libre d’un

solide elastique et vehiculant une part non negligeable de l’energie dynamique.

Depuis lors, les proprietes des ondes planes, comme la reflexion et la transmission

sur une interface plane, les changements de phase, l’attenuation et la dispersion

physique ont ete etudiees par plusieurs auteurs. Citons le probleme de Lamb

consistant en la generation d’une onde spherique a partir d’une source ponctuelle

interagissant avec une surface plane. Son application fut fructueuse en sismolo-

gie grace notamment aux contributions de Benioff, Ewing, Press et autres [EWI1957].

Il semble donc opportun de decrire et d’analyser les principaux types d’ondes

elastiques aptes a se propager dans les solides, plus particulierement dans les sols

qui presentent la particularite d’etre non–bornes. La demarche se base principale-

ment sur la modelisation des problemes physiques et leur mise en equations et sur la

resolution de cas simples pour en puiser les informations necessaires a la description

4.1. Quelques elements de base tires de l’elasticite lineaire 55

des phenomenes de propagation d’ondes mecaniques.

4.1 Quelques elements de base tires de l’elasticitelineaire

Les problemes de propagation des ondes, originelles du trafic ferroviaire, peuvent

etre caracterises par de petites deformations [SCH2007]. Dans cette gamme d’ampli-

tudes de deformation, le sol peut etre considere comme un milieu elastique lineaire.

Dans cette section, les fondements de cette discipline seront rappeles a travers

les lois decrivant le comportement des deformations et des contraintes. Certaines

notions, connues des cours de resistance des materiaux [TIM1970, CON2006], sont

reprises et completees afin de mettre en evidence les lois gouvernant le mouvement

de particules de solides elastiques.

Dans le cas d’un solide lineaire et isotrope, la relation d’equilibre dynamique

s’ecrit

ρ∂2um

∂t2= (λ+ µ)

3∑

k=1

∂2uk

∂xm∂xk+ µ

3∑

k=1

∂2um

∂x2k

+ fm , (4.1)

relation qui peut se mettre sous forme vectorielle

ρ∂2~u

∂t2= (λ+ µ)~∇(~∇~u) + µ~∇2~u +~f (4.2)

faisant intervenir le deplacement sous forme vectorielle ~u=(u1,u2,u3) et les forces

volumiques ~f . Substituant le laplacien du second membre par la forme pratique

~∇2 · = ~∇(~∇ ·) − ~∇∧ (~∇∧ ·) ,

on obtient finalement

ρ∂2~u

∂t2= (λ+ 2µ)~∇(~∇~u) − µ ~∇∧ (~∇∧ ~u) +~f . (4.3)

Les Eq. (4.2) et (4.3) representent ainsi, sous deux formes, les equations

elastodynamiques de Navier gouvernant un solide elastique lineaire isotrope. Elle

font ainsi intervenir la masse volumique ρ et les coefficient de Lame λ et µ. Le Ta-

bleau 4.1 reprend les differentes dependances dans le module d’Young E et le nombre

de Poisson ν, dont le sens reste plus physique.


Tab. 4.1 – Relations des constantes elastiques

E ν µ λ

E,ν E2(1+ν)

E ν(1+ν)(1−2 ν)

E,µ E−2 µ2 µ

µ(E−2 µ)3µ−E

E,λ 2 λE+λ+R

E−3 λ+R4

µ,ν 2 µ(1 + ν)2 µ ν1−2ν

ν,λ λ(1+ν)(1−2ν)ν

λ(1−2 ν)2 ν

µ,λ µ(3 λ+2 µ)λ+µ

λ2(λ+µ)

Note : R =√

E2 + 9 λ2 + 2 E λ

A ce stade du developpement, les efforts volumiques ~f , qui n’influencent aucu-

nement la phenomenologie du probleme, ne sont plus pris en compte. Les forces

volumiques intervenant dans le sol se limitent aux forces gravitationnelles, qui n’in-

terviennent pas dans la dynamique des sols.

4.1.1 Decomposition d’Helmholtz

Dans la decomposition d’Helmholtz, le champ de deplacement dans un solide peut

etre exprime comme la somme du gradient d’un potentiel scalaire φ et du rotationnel

d’un potentiel vecteur ~Ψ(ψ1,ψ2,ψ3)

~u = ~∇φ+ ~∇∧ ~Ψ . (4.4)

En substituant cette expression dans l’Eq. (4.3), cette derniere peut s’ecrire sous la

forme

~∇[

ρ∂2φ

∂t2− (λ+ 2µ)~∇2φ

]

+ ~∇∧[

ρ∂2~Ψ

∂t2− µ~∇2~Ψ

]

= 0 . (4.5)

Celle–ci est satisfaite si les potentiels φ et ~Ψ verifient les equations

∂2φ

∂t2= α2~∇2φ (4.6)

4.1. Quelques elements de base tires de l’elasticite lineaire 57

et

∂2~Ψ

∂t2= β2~∇2~Ψ (4.7)

ou les constantes α et β sont definies par

α =

√

λ+ 2µ

ρ(4.8)

et

β =

√µ

ρ. (4.9)

Les Eq. (4.6) et (4.7) sont appelees equations d’onde. Aki et Richard [AKI2002]

ont rappele qu’il y a toujours moyen de trouver des potentiels qui satisfont ces

equations. De par leur forme simple, ces equations sont souvent utilisees dans beau-

coup de problemes de propagation d’ondes, notamment dans le domaine de la sismo-

logie. Certains auteurs [VDB2001,AKI2002] considerent la decomposition du vecteur

deplacement suivante :

~u = ~∇φ− l ~∇∧(

~∇∧ (~e1ψ))

+ ~∇∧ (~e1χ) (4.10)

faisant intervenir les deux potentiels scalaires ψ et χ, en lieu et place du potentiel

vecteur ~Ψ, un vecteur unitaire ~e1 perpendiculaire a une surface de reference et un

facteur dimensionnel l ; cela permet d’introduire trois equations

∂2φ

∂t2= α2~∇2φ , (4.11)

∂2ψ

∂t2= β2~∇2ψ , (4.12)

∂2χ

∂t2= β2~∇2χ . (4.13)

afin de mettre en avant certaines proprietes par rapport a la surface de reference.

C’est a partir de cette decomposition d’Helmholtz que la theorie de propagation

des ondes structurelles est introduite. Les Sections 4.2 et 4.3 presente cette theorie

un peu particuliere en dynamique des structures, et largement inspires par les ou-

vrages d’Ewing et al. [EWI1957] et de Bedford et Drumheller [BED1994].


4.2 Les notions d’ondes volumiques

C’est a partir de l’etude des mouvements unidimensionnels dans un mi-

lieu elastique que l’on peut introduire aisement l’utilisation d’ondes volumiques.

L’equation d’une onde unidimensionnelle

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2(4.14)

est une equation du second ordre en u selon les variables independantes x et t ; le

terme c etant une constante. Une propriete interessante de cette equation est qu’elle

admet une solution generale en terme des variables independantes ξ = x − c t et

η = x + c t. De ce fait, la variable u est fonction soit des variables (x,t) soit des

variables (ξ,η) :

u = u(x, t) = u(ξ, η) .

Les solutions se mettent donc sous la forme

u = f(ξ) + g(η) = f(x− c t) + g(x+ c t) (4.15)

ou f(ξ) et g(η) sont deux fonctions arbitraires doublement differentiables, appelees

solutions de d’Alembert de l’equation d’onde unidimensionnelle [BED1994].

L’introduction de ces deux fonctions est en concordance avec la notion intuitive

d’onde. De maniere generale, une onde est une perturbation dans un milieu qui se

propage dans ce meme milieu. Les fonctions f(ξ) et g(η) decrivent des ondes qui se

propagent respectivement selon les directions x positive et negative avec une vitesse

constante c.

4.2.1 Ondes de compression

Considerons un espace elastique semi–infini initialement au repos. Le mouvement

de cet espace est decrit par son champ de deplacement ~u(~x, t). Supposons que cet

espace est initialement perturbe sur sa frontiere par un mouvement uniforme selon

la direction x1 decrit par la relation

u1(0, t) = p(t) , (4.16)

ou p(t) est une fonction temporelle arbitraire definie pour t > 0 et nulle ailleurs. Le

mouvement a la frontiere etant uniforme selon la direction x1, le mouvement resultant

4.2. Les notions d’ondes volumiques 59

ne depend ni de x2, ni de x3 :

u1 = u1(x1, t) ,

u2 = 0 ,

u3 = 0 .

Pour ce mouvement unidimensionnel, l’equation du mouvement (4.2) se reduit a

∂2u1

∂t2= α2 ∂

2u1

∂x21

, (4.17)

ou α est defini par la relation (4.8). Des ondes de ce type sont appelees ondes

de compression ou ondes P et α leur vitesse de propagation (plus communement

appelee vitesse de compression). La Figure 4.1 illustre ce mouvement resultant d’une

onde de compression. Les notations les plus rencontrees pour sa vitesse sont cP , clou c1. Dans la suite de ce rapport, et pour eviter toute confusion, seule cP sera utilisee.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x1

x2

(a) Un tableau de pointsrepresentant un demi–espace au

repos


x1

x2

p(t)

(b) Deplacement de ces points du a uneonde de compression

Fig. 4.1 – Mouvement du a une onde de compression

4.2.2 Ondes de cisaillement

De la meme maniere que pour une onde de compression, l’onde de cisaillement,

baptisee onde S, peut etre definie : reprenons le demi–espace defini plus haut et

appliquons sur sa frontiere un mouvement selon la direction x2

u2(0, t) = p(t) , (4.18)


avec p(t) nulle pour t ≤ 0. Le mouvement a la frontiere est uniforme selon la direction

x2 :

u1 = 0 ,

u2 = u2(x1, t) ,

u3 = 0 .

Les memes conclusions que precedemment peuvent etre apportees. L’equation du

mouvement (4.2) se reduit ainsi a

∂2u2

∂t2= β2 ∂

2u2

∂x21

, (4.19)

ou β est defini ici par la relation (4.9). Cette constante definit ainsi la vitesse de

propagation des ondes de cisaillement (vitesse de cisaillement). Comme pour l’onde

de compression, la notation cS sera utilisee pour sa vitesse et ce, parmi les c2 et ctles plus couramment rencontrees. La Figure 4.2 illustre ce mouvement de cisaillement.


x1

x2

(a) Un tableau de pointsrepresentant un demi–espace au

repos


x1

x2

p(t)

(b) Deplacement de ces points du a uneonde de cisaillement

Fig. 4.2 – Mouvement du a une onde de cisaillement

4.2.3 Reflexion et transmission a une interface

Le cas de deux demi–espaces elastiques differents relies entre eux est un cas que

l’on rencontre assez couramment (voire systematiquement) en dynamique des sols.

Soit une onde incidente se propageant selon les x1 positifs dans le milieu G (Fi-

gure 4.3). Son interaction avec l’interface x1 = 0 genere deux ondes : une onde

4.2. Les notions d’ondes volumiques 61

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0

x1

G D

αG

Fig. 4.3 – Deux demi–espaces de milieux elastiques differents

reflechie dans le milieu G se propageant selon les x1 negatifs et une onde trans-

mise se propageant dans le milieu D selon la direction x1 positive. Le champ de

deplacement dans le milieu G peut s’ecrire

uG1 = p(ξG) + g(ηG) = p

(

t− x1

cP,G

)

+ g

(

t+x1

cP,G

)

, (4.20)

avec p la fonction de l’onde incidente et g celle de l’onde reflechie. Pour le milieu D,

le champ de deplacement de l’onde transmise est

uD1 = h(ξD) = h

(

t− x1

cP,D

)

. (4.21)

En exprimant que, au niveau de l’interface, les deplacements dans les deux mi-

lieux sont identiques et les contraintes sont egales, les fonctions g et h peuvent etre

determinees a partir de la fonction connue p :

g

(

t+x1

cP,G

)

=

(1 −K

1 +K

)

p

(

t+x1

cP,G

)

, (4.22)

h

(

t− x1

cP,D

)

=

(2

1 +K

)

p

(

t− x1

cP,D

)

. (4.23)

ou

K =zD

zG=ρD cP,D

ρG cP,G

faisant intervenir l’impedance acoustique z = ρ cP du materiau concerne.

Quelques consequences decoulent immediatement de ces relations [BED1994] :


– Si les deux milieux sont identiques, il n’y a evidemment pas d’onde reflechie et

l’onde transmise est identique a l’onde incidente.

– Lors d’une reflexion sur une frontiere rigide, l’onde reflechie est determinee

par la relation (4.22) ou l’impedance acoustique zD → ∞ (K → ∞). L’onde

reflechie est donc opposee a l’onde incidente

g

(

t+x1

cP,G

)

= −p(

t+x1

cP,G

)

. (4.24)

– Lors d’une reflexion sur une frontiere libre, l’impedance acoustique zD → 0

(K → 0) et l’onde reflechie est identique a l’onde incidente

g

(

t+x1

cP,G

)

= p

(

t+x1

cP,G

)

. (4.25)

Cette etude n’est effectivement valable que dans le cas ou l’interface est perpen-

diculaire au front d’onde. Dans le cas contraire, il faut inevitablement passer par une

onde au minimum bidimensionnelle.

4.3 Ondes stationnaires bidimensionnelles

Le concept des ondes bidimensionnelles se base essentiellement sur le cas ou elles

sont stationnaires. Considerons un demi–espace elastique et son systeme de coor-

donnees tel qu’il est represente a la Figure 4.4. Le mouvement dans le milieu est

decrit par son champ de deplacement

u1 = u1(x1, x3, t) ,

u2 = 0 ,

u3 = u3(x1, x3, t) .

Le mouvement est donc bidimensionnel. En utilisant la decomposition d’Helm-

holtz1 (4.10), les composantes du deplacement peuvent etre exprimees en terme de

deux potentiels scalaires

u1 =∂φ

∂x1− ∂ψ2

∂x3, (4.26)

u3 =∂φ

∂x3+∂ψ2

∂x1(4.27)

1A partir de la decomposition d’Helmholtz, la propagation des ondes de cisaillement se distingueselon la direction de la surface de reference (le plus souvent horizontale et representant une surfacelibre). Les potentiels ψ et χ decrivent alors la propagation des ondes dites respectivement SV etSH. Elles correspondent a la contribution de l’onde de cisaillement dans le vecteur deplacementdecompose en une composante parallele (onde SH) et normale (onde SV ) a la surface libre.

4.3. Ondes stationnaires bidimensionnelles 63

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x1

x3

Fig. 4.4 – Un demi–espace elastique

ou φ = φ(x1, x3, t) et ψ2 = ψ2(x1, x3, t), le scalaire ψ2 etant la composante selon

x2 du vecteur potentiel ~Ψ. Ces potentiels sont regis par les Eq. (4.6) et (4.7) qui se

simplifient pour l’occasion en

∂2φ

∂t2= c2P

(∂2φ

∂x21

+ 2 ∂2φ

∂x23

)

, (4.28)

∂2ψ2

∂t2= c2S

(∂2ψ2

∂x21

+∂2ψ2

∂x23

)

. (4.29)

En supposant que le potentiel φ est donne par la solution harmonique

φ = f(x3) ej(k1x1−ωt) , (4.30)

avec k1 le nombre d’onde et f(x3) la fonction a determiner. La solution de φ a

pour forme une onde stationnaire se propageant dans la direction x1 positive. En

substituant cette solution dans l’Eq. (4.28), la fonction f(x3) satisfait l’equation

differentielle

d2f(x3)

dx23

+

(ω2

c2P− k2

1

)

f(x3) = 0 . (4.31)

Les solutions de cette equation ont un caractere tres different selon que k21 < ω2/c2P

ou k21 > ω2/c2P [EWI1957]. Chaque cas sera discute separement.

4.3.1 Ondes planes se propageant dans le plan x1 − x3

Si k21 < ω2/c2P , les solutions de l’Eq. (4.31) peuvent se mettre sous la forme

f(x3) = Aej k3 x3 +B e−j k3 x3


ou A et B sont contants et

k3 =

√

ω2

c2P− k2

1 .

En substituant cette forme dans l’Eq. (4.30), nous obtenons la solution pour le po-

tentiel φ de la forme

φ = Aej(k1 x1+k3 x3−ωt) +B ej(k1 x1−k3 x3−ωt) . (4.32)

Considerons le premier terme de cette solution, il decrit une onde plane suivant

la direction xa = x1 cos θ + x3 sin θ. La Figure 4.5 nous montre le trace de la partie

reelle de φ en fonction de x1 et x3. L’onde se propage selon la direction definie par

l’angle θ selon la vitesse cP . Les longueurs d’onde λ1 et λ3 respectivement selon les

directions x1 et x3 sont determinees par

λ = λ1 cos θ ,

λ = λ3 sin θ .

x1

x3

xa

θλ3

λ1

λ

ℜe(φ)

Fig. 4.5 – Onde plane se propageant selon la direction x1

Avec ces resultats, nous pouvons exprimer le premier terme de l’Eq. (4.32) suivant

la direction de propagation xa de l’onde :

φ = Aej(k xa−ωt) (4.33)

avec k = 2 πλ . De cette equation, nous pouvons deduire les composantes du champ de


deplacement

u1 =∂φ

∂x1= j k A cos θ ej(k xa−ωt) , (4.34)

u3 =∂φ

∂x3= j k A sin θ ej(k xa−ωt) (4.35)

ainsi que le deplacement selon la direction de propagation

uc = u1 cos θ + u3 sin θ (4.36)

= j k A ej(k xa−ωt) . (4.37)

L’Eq. (4.33) est l’expression d’une onde plane de compression avec une direction de

propagation θ par rapport a l’axe x1. Les memes expressions peuvent facilement etre

etablies pour une onde de cisaillement en recherchant une solution pour le potentiel

ψ2.

4.3.2 Ondes planes se propageant dans le plan x1 ets’attenuant dans la direction x3

Si k21 > ω2/c2P , les solutions de l’Eq. (4.31) peuvent se mettre sous la forme

f(x3) = Ae−h x3 +B eh x3

ou A et B sont contants et

h =

√

k21 − ω2

c2P.

En substituant cette forme dans l’Eq. (4.30), nous obtenons la solution pour le po-

tentiel φ de la forme

φ = Ae−h x3 ej(k1 x1−ωt) +B eh x3 ej(k1 x1−ωt) . (4.38)

Cette solution represente une serie d’ondes de compression se propageant selon la

direction x1 et dont l’amplitude s’attenue ou s’amplifie exponentiellement dans la

direction x3. Si cette expression represente la solution pour un demi–espace tel que

represente a la Figure 4.4, la constante B doit necessairement etre egale a zero et

seule une amplitude decroissante existe (Figure 4.6).

Le meme raisonnement est applicable dans le cas d’une onde de cisaillement ou

intervient, dans ce cas, le potentiel ψ2.


x1

x3

ℜe(φ)

Fig. 4.6 – Onde plane se propageant selon la direction x1 et s’attenuant exponentiel-lement selon x3

4.3.3 Reflexion sur une limite plane

Il est interessant de s’attarder sur les problemes de reflexions d’ondes, les deux

approches etant l’onde de compression et l’onde de cisaillement, incidentes, qui se

reflechissent sur une surface libre d’un demi–espace.

Onde incidente de compression

Considerons une onde de compression, de frequence et d’amplitude connues, se

propageant dans un demi–espace suivant une direction connue et determinee par

l’angle θ (Figure 4.7). L’onde incidente peut etre exprimee a travers un potentiel

sous la forme de l’Eq. (4.33)

φ = I ej(kP x1 cos θ−kP x3 sin θ−ωt) (4.39)

avec I son amplitude et kP = ω/cP son nombre d’onde. La determination des ondes

reflechies s’etablit a partir de la connaissance des conditions au point d’incidence, ce

qui se traduit, dans ce cas precis, par trois conditions au niveau des contraintes

σ13|x3=0 = 0 , σ23|x3=0 = 0 , σ33|x3=0 = 0 . (4.40)

Comme le mouvement est bidimensionnel, la composante σ23 est nulle. Les deux

autres impliquent les deux conditions

σ13|x3=0 =

[

µ

(∂u1

∂x3+∂u3

∂x1

)]

x3=0

= 0 , (4.41)

σ33|x3=0 =

[

λ∂u1

∂x1+ (λ+ 2µ)

∂u3

∂x3

]

x3=0

= 0 . (4.42)


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x1

x3

θθP

θS

I P

S

Fig. 4.7 – Onde plane de compression incidente et les ondes de compression et decisaillement reflechies

Ces conditions ne peuvent etre satisfaites que si deux ondes de reflexion existent :

une onde de compression et une onde de cisaillement. Les potentiels φ et ψ2 sont

donc de la forme

φ = I ej(kP x1 cos θ−kP x3 sin θ−ωt) + P ej(kP x1 cos θP −kP x3 sin θP −ωt) , (4.43)

ψ2 = S ej(kS x1 cos θS−kS x3 sin θS−ωt) (4.44)

ou P et S sont les amplitudes complexes des ondes reflechies de compression et de

cisaillement, leur direction etant definie par les angles θP et θS . Le nombre kS = ωcS

represente le nombre d’onde de cisaillement.

La resolution de ce probleme passe par l’etablissement des expressions du champ

de deplacement en respectant les conditions de contraintes au point d’incidence. On

aboutit, apres calculs, aux relations

θP = θ , (4.45)

cos θS =cScP

cos θ (4.46)

pour les directions des ondes reflechies et

(P/I) +

[2 sin θS cos θS

1 − (2 c2S/c2P ) cos2 θ

]

(S/I) = −1 , (4.47)

(P/I) −[

1 − 2 cos2 θS

(2 c2S/c2P ) sin θ cos θ

]

(S/I) = 1 (4.48)


pour les valeurs des amplitudes de ces ondes. Ces expressions ne dependent que de

l’angle θ et du nombre de Poisson ν car cS/cP =√

1−2 ν2(1−ν) . Les Figures 4.8 et 4.9

illustrent ces solutions en terme des ratios |uP /uI | = |P/I| et |uS/uI | = |kS S/kP I|en fonction de θ dans le cas pratique ou ν = 0,3 et en designant par uI , uP et uS les

deplacements des ondes correspondantes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

50

60

70

80

90

θ [ ]

θ S[]

Fig. 4.8 – Direction de propagation de l’onde reflechie de cisaillement pour ν = 0,3

Onde incidente de cisaillement

Le cas d’une onde incidente de cisaillement est traite de la meme maniere : une

onde incidente de cisaillement genere deux ondes de reflexion, l’une de cisaillement

et l’autre de compression. En utilisant les memes notations (I : onde incidente de

cisaillement ; P : onde reflechie de compression ; S : onde reflechie de cisaillement),

on obtient comme solution des angles de direction :

θS = θ , (4.49)

cos θP =cPcS

cos θ . (4.50)

Contrairement au cas precedent, cette derniere solution n’existe que pour certaines

valeurs de l’angle incident θ. En effet, pour des angles θ tels que cP

cScos θ > 1, il est

impossible de resoudre la relation (4.50). Cette condition s’ecrit, en faisant intervenir


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

θ [ ]

Am

plitu

de

des

rati

os

[-]

onde Ponde S

Fig. 4.9 – Amplitude des ratios des ondes reflechies issues d’une onde de compressionpour ν = 0,3

les longueurs d’onde,

cPcS

cos θ =λP

λcos θ

> 1 . (4.51)

Elle definit une limite inferieure a l’angle θ, appelee angle critique θC , ou l’onde de

compression reflechie se propage le long de la surface libre, sa longueur d’onde etant

egale a la longueur d’onde λP = λ/ cos θ. La Figure 4.10 illustre cette direction de

propagation en fonction de l’angle d’incidence pour ν = 0,3 (dans ce cas, l’angle

critique θC = 57,7 ).

Si l’angle θ est superieur a l’angle critique θC , les relations sur les amplitudes des

ondes sont de la forme

(S/I) −[(2 c2S/c

2P ) sin θP cos θP

sin2 θ − cos2 θ

]

(P/I) = −1 , (4.52)

(S/I) +

[1 − (2 c2S/c

2P ) cos2 θP

2 sin θ cos θ

]

(P/I) = 1 . (4.53)

Ces expressions ne dependent, comme auparavant, que de l’angle θ et du nombre de

Poisson ν.


40 50 60 70 80 90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

θ [ ]

θ P[]

Fig. 4.10 – Direction de propagation de l’onde reflechie de compression pour ν = 0,3

Si l’angle θ est inferieur a l’angle critique θC , on tombe dans le cas vu

precedemment ou l’onde de compression se propage dans la direction x1 avec une

attenuation en amplitude suivant la direction x3. Dans ce cas, les relations sur les

amplitudes sont

(S/I) −[

2 j cos θ√

cos2 θ − c2S/c2P

sin2 θ − cos2 θ

]

(P/I) = −1 , (4.54)

(S/I) +

[1 − cos2 θ

2 sin θ cos θ

]

(P/I) = 1 . (4.55)

La Figure 4.11 presente les ratios |uS/uI | = |S/I| et |uP /uI | = |kP P/kS I| dans les

deux cas de figure.

4.3.4 Ondes de Rayleigh

Le cas critique de la reflexion d’une onde de cisaillement vu plus haut introduit

une onde se propageant selon une direction arbitraire au niveau d’une surface et

s’attenuant, de maniere exponentielle, perpendiculairement a celle–ci. Regardons de

plus pres aux proprietes de ce type d’ondes.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

θ [ ]

Am

plitu

de

des

rati

os

[-]

onde Ponde S

Fig. 4.11 – Amplitude des ratios des ondes reflechies issues d’une onde de compressionpour ν = 0,3

Prenons les solutions des potentiels de compression φ et de cisaillement ψ2 pour

un demi–espace

φ = Ae−hP x3 ej(k1 x1−ωt) , (4.56)

ψ2 = C e−hS x3 ej(k1 x1−ωt) (4.57)

avec A et C deux constantes et

hP =

√

k21 − ω2

c2P, hS =

√

k21 − ω2

c2S.

De ces equations, le champ des deplacements peut etre facilement deduit et, com-

bine aux expressions des conditions a la frontiere (4.41) et (4.42), nous obtenons un

systeme de deux equations homogenes pour les constantes A et C qui peut s’ecrire[

2 j k1 hP 2 k21 − ω2/c2S

2 k21 − ω2/c2S 2 j k1 hS

]A

C

= 0 . (4.58)

Ce systeme a une solution non triviale pour A et C seulement si le determinant de

cette matrice est nul, c’est–a–dire

(

2 − c2Rc2S

)2

− 4

√

1 − c2Sc2P

c2Rc2S

√

1 − c2Rc2S

= 0 (4.59)


ou l’on introduit la vitesse de phase de l’onde selon la direction x1 par cR = ω/k1.

L’expression (4.59) est appelee equation de Rayleigh, le terme de gauche etant la

fonction de Rayleigh. La methode usuelle pour la resoudre passe par une rationalisa-

tion, ce qui implique une equation basee sur un polynome d’ordre six

χ6 − 8χ4 +

(

24 − 16c2Sc2P

)

χ2 − 16

(

1 − c2Sc2P

)

= 0 (4.60)

ou χ =c2

R

c2S

. Malheureusement cette procedure introduit des racines supplementaires et

la question de savoir laquelle de ces racines (reelle, imaginaire ou complexe) satisfait a

l’Eq. (4.59) a souvent ete posee [RAH1995,NKE1997], meme recemment [MAL2000,

MAL2001,ROY2001]. Elle fournit, parmi ses racines reelles, une seule qui permet de

determiner la vitesse d’une onde qui se propage selon la direction x1 et qui s’attenue

exponentiellement dans la direction x3. Ce type d’onde est plus communement ap-

pelee onde de surface ou onde de Rayleigh (onde R), sa vitesse cR est nommee vitesse

de Rayleigh. Cette vitesse peut etre approchee par l’expression

c2Rc2S

=0,87 + 1,12 ν

1 + ν(4.61)

appelee formule de Viktorov, bien qu’il soit possible de la determiner de maniere

analytique [RAH1995].

La solution de l’Eq. (4.59) en cR/cS depend uniquement du nombre de Poisson

du materiau concerne. La Figure 4.12 donne les valeurs de cette vitesse : la vitesse de

Rayleigh est legerement plus faible que la vitesse de cisaillement. Ceci peut s’expliquer

par l’absence de matiere au dessus de la surface libre, ce qui equivaut a diminuer les

constantes de rigidite. La racine du determinant trouvee, la relation entre les deux

constantes A et C peut etre etablie ainsi que les expressions des composantes du

champ de deplacement. La partie reelle de ces resultats peut ainsi etre ecrite sous la


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.86

0.87

0.88

0.89

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Nombre de Poisson ν

Rapport

c R/c S

solution de l’Equation (4.59)formule approchee de Viktorov

Fig. 4.12 – Vitesse de Rayleigh en fonction du nombre de Poisson

forme suivante en terme de la constante arbitraire A

ℜe(u1

k1A

)

= −(2

√

1 − c2S

c2P

c2R

c2S

√

1 − c2R

c2S

c2R

c2S

− 2e−

√1−(cR/cS)2k1 x3

+ e−√

1−(cS/cP )2(cR/cS)2k1 x3

)

sin(k1 x1 − ωt) , (4.62)

ℑm(u3

k1A

)

= −(√

1 − c2Sc2P

c2Rc2S

e−√

1−(cS/cP )2(cR/cS)2k1 x3

+

2

√

1 − c2S

c2P

c2R

c2S

c2R

c2S

− 2e−

√1−(cR/cS)2k1 x3

)

cos(k1 x1 − ωt) . (4.63)

La longueur d’onde λR et le nombre d’onde kR sont definis comme pour les

ondes volumiques. Le nombre d’onde kR = ω/cR depend ainsi de la frequence.

La Figure 4.13 illustre les deux relations (4.62) et (4.63), soulignant le caractere

dispersif de ces ondes avec la profondeur.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

k1x1

k1x3

0

2

4

6

Fig. 4.13 – Trajectoires particulaires dues a une onde de Rayleigh, a la surface et adifferents niveaux du sol pour un nombre de Poisson ν = 0,3

Une des proprietes de ce type d’onde est la direction elliptique qu’elle donne

au mouvement des particules : les points proches de la surface ont un mouvement

elliptique retrograde2, comme l’illustre la Figure 4.14.

A approximativement k1 x3 = 1 (x3 = 0,2λR), le mouvement horizontal s’annule

et, a partir de ce niveau, le sens du mouvement change pour devenir prograde. Il est

reconnu que les ondes superficielles sont preponderantes a la surface du massif. A

une profondeur x3 superieure a 3λR, la contribution de l’onde de Rayleigh devient

negligeable et seules les ondes volumiques sont preponderantes. Cette contribution

de l’onde de Rayleigh explique pourquoi de nombreuses recherches et modelisations

dans le domaine des vibrations mettent en avant les ondes de Rayleigh, laissant

les ondes volumiques en arriere–plan. Selon Miller et Pursey [MIL1955], dans le

cas d’une charge unique agissant perpendiculairement sur une surface circulaire du

sol, la repartition energetique des vibrations est respectivement de 6,9%, 25,8% et

67,4% pour les ondes de compression, de cisaillement et de Rayleigh. L’importance

energetique des ondes de Rayleigh a ouvert la voie a une multitude de recherches

2En contraste avec le mouvement elliptique prograde des ondes sur la surface de l’eau.

4.4. Imperfection du milieu : l’effet d’amortissement 75

surface instantanee de l’onde

direction de propagation

vitesse instantaneetrajectoire des particules

Fig. 4.14 – Onde de surface de Rayleigh (d’apres [NGU2002])

axees sur cette derniere.

4.4 Imperfection du milieu : l’effet d’amortissement

Si l’on considere un sol a comportement elastique pur, le seul facteur de

decroissance des vibrations est la distance : pour un massif homogene soumis a

une charge ponctuelle, l’amplitude des ondes P et S varie en 1/r2 (r etant la

distance source–recepteur) alors que celle de l’onde R diminue en 1/√r [GUT1976].

Cette decroissance est dite « geometrique ». Experimentalement, il a ete observe

que la decroissance etait plus rapide que celle prevue, geometriquement parlant.

Pour cette raison, les chercheurs ont ete amenes a introduire la notion d’amortis-

sement interne du sol. Nous presentons ici une rapide synthese faite a partir des

ouvrages [EWI1957,GUT1976,AMI1999].

4.4.1 Amortissement viscoelastique de Kelvin–Voigt

L’amortissement viscoelastique de Kelvin–Voigt est introduit de la meme maniere

que dans le cas d’un oscillateur mecanique simple, avec un systeme ressort–

amortisseur en parallele, pour lequel l’equation de mouvement s’ecrit sous la forme

mx(t) + c x(t) + k x(t) = P (t) (4.64)

ou m, c et k representent respectivement les termes de masse, d’amortissement et de

raideur lies au mouvement defini par le parametre x(t). Si on considere une excitation

harmonique |P | ej ω t et la reponse harmonique x ej ω t, x = x e−j φ etant son substitut


complexe associe, il vient alors[

k(

1 + jc ω

k

)

−mω2]

x = |P | . (4.65)

Tout se passe comme si la raideur du ressort du systeme non amorti etait remplacee

par une raideur complexe k∗ = k(1 + j c ω

k

)pour le systeme amorti. Le terme d’amor-

tissement fait apparaıtre des derivees premieres par rapport au temps ; par analogie,

pour le sol suppose viscoelastique, les grandeurs λ et µ sont a remplacer par des

grandeurs complexes. Ceci s’obtient facilement si on introduit des derivees premieres

dans la loi de comportement contrainte–deformation :

σkm =

[

λ+ λ′∂

∂t

]

δkm

3∑

j=1

∂uj

∂xj

+

[

µ+ µ′ ∂

∂t

](∂um

∂xk+∂uk

∂xm

)

. (4.66)

Dans le cas d’un regime harmonique permanent, cela revient a considerer par rapport

au cas elastique pur des coefficients de Lame et un module d’Young complexes :

λ∗ = λ (1 + j β ω) , µ∗ = µ (1 + j β ω) , E∗ = E (1 + j β ω) . (4.67)

Le terme d’amortissement represente par la partie imaginaire depend donc dans ce

cas de la pulsation ω. L’hypothese de viscoelasticite de type Kelvin–Voigt permet

d’expliquer l’affaiblissement plus rapide des vibrations de frequence elevee, ce qui

s’observe experimentalement pour certains types de milieux.

Pour une approche energetique, si on trace la courbe contraintes–deformations

pour ce modele, en regime cyclique, on visualise une boucle d’hysteresis elliptique

temoin d’une perte d’energie due a l’amortissement interne (Figure 4.15). On peut

alors exprimer le terme d’amortissement par

β ω =1

2π

∆E

E(4.68)

ou ∆E designe la surface de la boucle (ou l’energie dissipee pendant un cycle) et E

la surface du triangle OAH, refletant l’energie elastique maximale emmagasinee.

4.4.2 Amortissement hysteretique

Dans certains sols, la boucle d’hysteresis n’est plus elliptique et la loi d’amortisse-

ment interne n’est donc pas viscoelastique. La loi retenue classiquement est de type

hysteretique : elle est independante de la frequence et les coefficients de Lame, ainsi

que le module d’Young, s’ecrivent :

λ∗ = λ (1 + j η) , µ∗ = µ (1 + j η) , E∗ = E (1 + j η) , (4.69)


σ

εO

A

H

Fig. 4.15 – Boucle d’hysteresis

faisant introduire le coefficient d’amortissement hysteretique η. Il s’agit de l’amortis-

sement le plus frequemment rencontre dans la litterature sur la propagation d’ondes

dans les sols car il correspond de maniere plus precise aux releves experimentaux.

Cependant, cette modelisation presente l’inconvenient d’etre non causale, c’est–a–

dire que pour l’etude des phenomenes transitoires, il peut apparaıtre une reponse

avant l’instant d’excitation.

Une autre modelisation de l’amortissement hysteretique introduit le facteur

(1 + j η sign(ω)) au lieu de (1 + j η), faisant intervenir la pulsation d’excitation. Les

problemes de causalite engendres par cette modelisation sont moins importants. No-

tons que ce type d’amortissement est defini dans le domaine frequentiel et ne possede

pas d’equivalent en temporel.

4.4.3 Amortissement base sur le modele de Barkan

Pour des raisons evidentes de facilite, un modele simple et empirique a com-

munement ete admis par plusieurs chercheurs, ce modele se basant sur l’hypothese

que l’attenuation en amplitude due a un amortissement puisse etre represente sous

la forme

A(x) = A0e−αx (4.70)

ou α represente le coefficient d’absorption dependant de la frequence de la sollicita-

tion et A(x) et A0 representent respectivement les amplitudes au point considere et

au point d’excitation.

Dans une premiere etude [GUT1976], il a ete suppose que le coefficient α pouvait

etre constant dans une gamme de frequences raisonnable (10 ≤ f ≤ 30Hz). Cette


etude aboutit a des valeurs de α pour differents types de sol, qui sont donnees au

Tableau 4.2.

Tab. 4.2 – Coefficient d’absorption de differents types de sol

α(m−1)

Argile [0,04 ; 0,12]

Lœss 0,1

Sable et limon 0,04

Avec l’attenuation definie par la relation

Ad = −10 log

(A(x)

A0

)2

[dB] , (4.71)

nous pouvons combiner les deux Eq. (4.70) et (4.71), il en resulte

Ad = 8,68αx [dB] . (4.72)

Ainsi, il est possible d’obtenir des valeurs d’attenuation pour differents types de sol

comme le montre le Tableau 4.3.

Tab. 4.3 – Amortissement independant de la frequence

x 30m 45m 60m 90m

Ad argile [dB] 10,4 15,6 20,8 31,2

Ad lœss [dB] 10,4 15,6 20,8 31,2

Une autre approche est de considerer le coefficient d’absorption α lineairement

dependant de la frequence [BAR1962, GUT1976, AMI1999]. Ce coefficient est ainsi

represente par

α =πηf

ci(4.73)

ou η est le facteur de perte et ci la vitesse d’onde appropriee (P , S ou R).

L’attenuation Ad prend alors la forme suivante

Ad = 27,29 ηfx/ci . (4.74)


Pour l’onde P , qui decroıt la plus lentement par rapport aux autres ondes car elle

est la plus rapide, des valeurs de l’attenuation sont disponibles dans la litterature.

Le tableau 4.4 l’illustre pour une frequence de 4Hz.

Tab. 4.4 – Amortissement lineairement dependant de la frequence calcule pour une

onde P a 4Hz

x 30m 45m 60m 90m

Ad argile [dB] 1,1 1,7 2,2 3,3

Ad lœss [dB] 1,2 1,8 2,4 3,6

Ad sable [dB] 0,7 1,0 1,4 2,0

Une representation de l’amortissement peut aussi etre montree a la Figure 4.16

en fonction du nombre d’onde a la source. Nous pouvons donc dire que pour une

vibration a tres basse frequence, l’amortissement materiel est tres faible.

0

10

20

30

40

50

10 20 30

Att

enuati

on

Ad

[dB

]

Nombre de longeurs d’onde N = x/λ

Argile,sol argileux(η = 0.5)

Sable, limon,gravier, lœss(η = 0.1)

Roche(η = 0.01)

Fig. 4.16 – Valeurs d’attenuation materielle pour differents types de sol(d’apres [GUT1976])


4.4.4 Lien entre les differents modeles

D’apres [MET2001], le coefficient de Barkan α peut se calculer a partir de l’amor-

tissement hysteretique η par la relation

α =πηf

cR(4.75)

(dans ce cas, facteur de perte et coefficient d’amortissement hysteretique sont

identiques, d’ou l’adoption de la meme notation).

L’amortissement visqueux β et l’amortissement hysteretique η sont uniquement

lies dans le domaine frequentiel par la relation η = βω.

4.5 Charge mobile et aspect dynamique

Des les annees 60, differents auteurs [COLE1958,MILE1960,GEO1993] ont etudie

le cas d’une charge roulant a vitesse constante c en surface d’un massif, en considerant

un regime permanent. Tous s’accordent sur les differentes denominations donnees au

regime relatif a la vitesse de deplacement, introduites par Cole et Huth [COLE1958]

(Figure 4.17) :

– si la vitesse de la charge est inferieure a celle de l’onde de cisaillement, le regime

sera dit subsonique ;

– si la vitesse de la charge est comprise entre la vitesse de l’onde de cisaillement

et celle de l’onde de compression, le regime sera dit transonique ;

– si la vitesse de la charge est superieure a celle de l’onde de compression, le

regime sera dit supersonique.

A B C

cP (t− τ)cS(t− τ)

cP tcSt

(a) RegimeSubsonique

(v < cS < cP )

A B C


cP tcSt

(b) RegimeTransonique

(cS < v < cP )

A B C


cP tcSt

(c) Regime Supersonique(cS < cP < v)

Fig. 4.17 – Trois regimes d’une source mobile (d’apres [NGU2002])

4.6. Introduction des fonctions de Green en elastodynamique 81

Par ailleurs, il s’est avere qu’une pareille denomination pouvait s’appliquer par

rapport a la vitesse de Rayleigh ou la terminologie suivante est utilisee :

– pour une vitesse inferieure a la vitesse de Rayleigh, le regime est considere

comme sub–Rayleigh, avec des vitesses de charge faibles ;

– pour une vitesse superieure a la vitesse de Rayleigh, le regime sera dit

super–Rayleigh.

Ces termes viennent evidemment de l’analogie de ces phenomenes avec

l’aeroacoustique, comme par exemple l’existence du regime supersonique lorsqu’une

charge dans un fluide se deplace a une vitesse superieure a celle du son. Les notions

de nombres de Mach, relatifs a chaque onde, sont egalement introduits, se definissant

comme le rapport de la vitesse de deplacement de la charge sur la vitesse de l’onde

consideree :

Mi =c

cii = P, S ou R . (4.76)

4.6 Introduction des fonctions de Green enelastodynamique

On appelle fonction de Green en Physique ce que les mathematiciens appellent

solution elementaire par rapport a une equation differentielle lineaire a coefficients

constants ou d’une equation lineaire aux derivees partielles a coefficients constants.

Ces fonctions, qui se trouvent etre le plus souvent des fonctions generalisees, ont

ete introduites par George Green en 1828 pour les besoins de l’electromagnetisme.

Les fonctions de Green, qui seront denommees ainsi par Riemann en 1869, seront

alors abondamment utilisees, notamment par Neumann en 1877 pour sa theorie du

potentiel Newtonien dans un espace a deux dimensions, puis en 1882 par Kirchhoff

pour l’equation de propagation des ondes dans un espace a trois dimensions et enfin,

par Helmholtz en acoustique.

La denomination « fonctions de Green » est donc abondamment utilisee pour

definir une solution de l’Eq. (4.2) pour une charge impulsionnelle appliquee en un

point du domaine. Si une impulsion unitaire est appliquee en ~x = ~ξ et a l’instant t = τ ,

suivant la direction ~n, et si nous notons par ~Gn(~x, t;~ξ, τ) le vecteur deplacement

associe, l’Eq. (4.2) s’ecrit

ρ∂2 ~Gn

∂t2= (λ+ µ)~∇(~∇~Gn) + µ~∇2 ~Gn + ~nδ(~x − ~ξ)δ(t− τ) . (4.77)

~Gn(~ξ, τ) est donc le vecteur fonction de Green associe a la direction ~n et il apparaıt


clairement que ces fonctions determinent un tenseur, que l’on peut noter G si l’on

tient compte des trois directions orthonormees. Notons que les fonctions de Green

respectent le theoreme de reciprocite de Betti–Maxwell et que l’on peut donc ecrire

G(~x, t;~ξ, τ) = G(~ξ, τ ;~x, t) . (4.78)

Plusieurs approximations de cette solution existent (la plus celebre est sans doute

celle appelee « fonctions de Green approchees »), evitant ainsi la lourde resolution de

cette equation dont la solution exacte depend des conditions aux limites, au prix de

quelques hypotheses.

4.7 Fonctions de Green approchees

Dans le cas d’un sol considere comme homogene, l’usage des fonctions de Green

approchees [MEE1993,WOLF1994] paraıt seduisant parce que, d’une part, elles per-

mettent d’etudier simplement des fondations de formes arbitraires et, d’autre part,

elles ont l’avantage d’etre donnees a la surface du sol, impliquant des calculs dans

le plan horizontal seulement. L’effet cumulatif des traverses peut ainsi etre pris en

compte sans modeliser la profondeur du sol (selon z), comme il aurait ete necessaire

de le faire avec des methodes numeriques.

4.7.1 Charge ponctuelle et circulaire

Ces fonctions sont deduites a partir de raisonnements logiques sur des solutions

analytiques. Le point de depart est le cas statique d’une charge agissant sur la surface

d’un demi–espace infini. Le deplacement induit par la charge P lui est proportionnel

mais inversement proportionnel au module de cisaillement G. Pour un sol homogene,

tous les points situees sur un cercle de rayon r et centre au point d’application ont

le meme deplacement vertical w(r). A distance croissante, ce deplacement decroıt

proportionnellement a 1/rn, l’exposant n est a priori inconnu. De ces faits, la formule

fournissant le deplacement w a la forme suivante

w(r) = C1

GrnP . (4.79)

avec C une constante (qui peut dependre des parametres dynamiques du sol). Afin

que la formule soit dimensionnellement correcte, l’exposant n doit necessairement

etre egal a 1. Cette expression est derivee d’un raisonnement logique et peut etre

comparee a la solution elastique de Boussinecq [KOU2006]

w(x, y, z) =P

4πG

[

z2

√

(x2 + y2 + z2)3+

2(1 − ν)√

x2 + y2 + z2

]

. (4.80)

4.7. Fonctions de Green approchees 83

Cette solution montre que la constante C doit etre egale a (1 − ν)/(2π) pour que la

formule (4.79) soit correcte.

Pour le cas dynamique, la meme demarche est effectuee, mais en introduisant

les notions de champ proche (near field) et champ lointain (far field), dont les li-

mites sont definies a partir d’une distance rf ou les ondes de Rayleigh sont pleine-

ment developpees. A partir d’une source ponctuelle, la formule est deduite pour une

charge annulaire puis integree pour une charge circulaire. Suivant les approximations

etablies, ces fonctions donnent l’amplitude A et la phase φ de l’onde de Rayleigh a

la surface du sol pour chaque pulsation ω, en fonction du rayon r par rapport a la

source.

w = w0Ae−j φ (4.81)

Le deplacement w0 du disque de rayon r0 pose sur un sol de caracteristiques connues

(G, ν, cS) et soumis a une force d’amplitude P a la pulsation ω est donne par

l’Eq. (4.82), ou une raideur statique K et une frequence reduite a0 sont utilisees.

w0 =P

K (1 + 0,74 j a0)avec K =

4Gr01 − ν

et a0 =ω r0cS

(4.82)

Le deplacement a une distance r de ce disque peut alors etre deduit via la formule

generale (4.81), ou les facteurs d’amplitude A et de phase φ sont specifies dans le

Tableau 4.5, avec une description differente de l’onde (amortissement geometrique,

phase et vitesse) pour le champ proche et pour le champ lointain (la limite etant

le rayon du champ lointain, exprime comme une fraction de la longueur d’onde de

Rayleigh λR = 2 π cR

ω ) ; la valeur des parametres est donnee pour la valeur typique de

ν = 13 :

β ≈ 3

10, β′ ≈ 3

2, γ ≈ 12

13et ∆φ =

π

4.

Tab. 4.5 – Fonctions de Green approchees pour un disque

Champ proche Limite Champ lointain

Amplitude A = 2 r0

π r r T (rf = β λR) A = 2 r0

π√

rf r

Phase φ = ω r∗

γ cRr∗ T (r′f = β′ λR) φ = ω r∗

cR+ ∆φ

Des corrections donnees a l’Eq. (4.83) peuvent etre affectees au rayon afin de

rendre les expressions de la source ponctuelle valables pour un disque-source : d’une


part, les expressions de la phase sont ajustees en utilisant un rayon equivalent r∗ et,

d’autre part, on ajuste les expressions de l’amplitude en utilisant un rayon equivalent

r, surtout si on est tres proche du disque.

r∗ = r − 2 r0π

et r = r − (1 − 2π ) r0

( rr0

)2(4.83)

4.8 Cas de surfaces quelconques

En partant de cette description de l’onde de Rayleigh produite par un disque,

n’importe quelle fondation peut etre discretisee en sous–disques et la vibration de

la fondation meme peut etre calculee, ainsi que les vibrations a distance de celle–ci.

Dans le cas particulier du trafic ferroviaire, les traverses peuvent etre discretisees en

sous–disques de dimensions donnees qui jouent tous le role de source (Figure 4.18).

Les calculs sont faits dans le domaine frequentiel : la composante spectrale du

deplacement w0 d’une traverse est obtenue en resolvant un systeme complexe

d’equations pour chaque composante spectrale P de la force agissant sur la traverse.

x

yz

(E, ρ, ν, η)

Fig. 4.18 – Exemple de modele de sol avec les traverses discretisees comme sourcesde vibration

Le systeme a resoudre est obtenu en exprimant l’influence de chaque sous–disque

de la traverse sur les autres via les fonctions de Green approchees

...

wi

...

=

...

· · · mij · · ·...

...

Pj

...

, (4.84)

4.8. Cas de surfaces quelconques 85

avec

mij =

1K (1+0,74 j a0)

si i = j

A (rij) e−j φ

K (1+0,74 j a0)si i 6= j

, (4.85)

ensuite en exprimant le fait que les traverses sont supposees etre rigides

wi = w0 ∀1 : 1 7→ n , (4.86)

(meme deplacement pour tous les sous-disques wi) et finalement en exprimant le fait

logique que la somme des forces des sous-disques Pi doit egaler la force totale sur la

traverse P (consistance)n∑

j=1

Pj = P . (4.87)

En prenant en compte toutes ces relations, on aboutit a un systeme d’equations

modifie

......

1mi1

· · · 1 − mij

mi1· · ·

......

w0

...

Pj

...

=

...

P...

, (4.88)

La taille du systeme a resoudre correspond au nombre n de sous–disques

constituant une traverse. Une fois le systeme resolu pour chaque traverse et chaque

composante spectrale, tous les sous–disques sont alors totalement caracterises

et ils peuvent alors etre utilises pour calculer par superposition les vibrations a

distance, a l’aide de l’Eq. (4.81) et du Tableau 4.5. Apres avoir determine le spectre

du deplacement de la surface du sol, une transformation de Fourier inverse peut

eventuellement etre effectuee pour obtenir le signal temporel.

Une remarque est a formuler a ce stade : il faut faire attention a la facon dont

les traverses sont discretisees : il existe un rapport d’aspect limite de 4 pour que

l’hypothese de remplacer un sous–rectangle de traverse par un sous–disque soit li-

cite [WOLF1994] mais egalement une limite superieure a la taille d’un sous–disque

∆r :

a0 < 0,5 ⇔ ω∆r

cS< 0,5 ⇔ 2π∆r

λ< 0,5 ⇔ ∆r <

λ

4π≈ λ

12(4.89)

la cellule doit en effet etre assez petite comparee a la longueur d’onde que l’on veut

considerer.


Afin de tenir compte de l’amortissement structurel, le modele de Barkan peut etre

pris en compte, se mettant sous la forme

A(r) = Ae−αr , (4.90)

en supposant que α est independant ou lineairement dependant de la frequence par

la formule (4.75), selon le modele d’amortissement choisi. Ces fonctions sont ainsi

modifiees afin de tenir compte de ce type d’amortissement structurel.

L’ajout de cet amortissement comble une des lacunes de ces fonctions mais leur

domaine d’action reste fort limite et ce, pour plusieurs raisons :

– seule la contribution des ondes de Rayleigh est prise en compte,

– seule la composante verticale des vibrations est connue,

– les vibrations sont donnees uniquement a la surface du sol,

– ce dernier est considere comme homogene et isotrope.

4.9 Solution analytique au probleme de Lambetendu

Dans le cas d’un massif semi–infini homogene et elastique, la propagation des

vibrations est generalement etudiee en resolvant le probleme de Lamb (charge ponc-

tuelle fixe agissant sur un demi–espace infini). Plusieurs solutions existent a ce

probleme, la plus connue est sans doute la methode Cagniard–De Hoop [BED1994]

basee sur une transformation integrale et permettant d’obtenir la solution analy-

tique. Elle permet ainsi une analyse detaillee des solutions (chaque terme de la

solution analytique correspond a la contribution d’une onde) aussi bien en champ

proche qu’en champ lointain [LE1992,DeHO2002a,DeHO2002b]. Nous presentons ici

une extension a ce probleme ou la charge peut etre mobile, basee sur les travaux de

Jones [JON1997,JON1998] et de Lefeuve–Mesgouez [LEF1999,LEF2002], permettant

ainsi de comparer les resultats avec ceux des fonctions de Green approchees.

4.9.1 Position du probleme

Le modele considere est illustre a la Figure 4.19. Une bande rectangulaire, de

dimensions 2a et 2b, est alignee suivant le repere cartesien tel que le montre cette

figure. Elle repose sur un demi–espace homogene et isotrope, defini par ses proprietes

materielles E, ρ et ν. Le materiau peut, a ce stade, exprimer ses caracteristiques

d’amortissement grace soit aux Eq. (4.67) dans le cas d’un amortissement visqueux,

soit aux Eq. (4.69) pour un amortissement hysteretique. Une charge verticale P

harmonique de pulsation ω agit uniformement a l’interieur de cette surface et se

4.9. Solution analytique au probleme de Lamb etendu 87

deplace selon la direction x a une vitesse constante c.

v , y = x2

w , z = x3

u , x = x1 − ctc

c

O2a

2b

surface

demi–espace

Fig. 4.19 – Geometrie du modele

La dynamique de cet espace semi–infini est decrite par les equations

elastodynamiques de Navier. En absence de forces volumiques, elles peuvent s’ecrire

par

(λ+ µ)~∇(~∇~u) + µ~∇2~u = ρ∂2~u

∂t2. (4.91)

Les conditions aux limites du probleme sont les suivantes :

– a z = 0,

σ13 = 0 , (4.92)

σ23 = 0 , (4.93)

σ33 =

P

4 a b , pour |x1 − c t| < b , |y| < a

0 , sinon(4.94)

– a z = ∞, l’amplitude des ondes est nulle.

L’hypothese principale de cette methode reside dans le caractere de la charge P . Dans

ces conditions et vu que les equations du mouvement sont lineaires, le mouvement

est harmonique de meme frequence ω et se propage a une vitesse c dans la direction

x1 ; dans un repere local (x,y,z) lie a la charge, elle se met sous la forme

~u(x1, x2, x3, t) = ~u(x, y, z, t) = u(x, y, z) ej ω t . (4.95)

Le changement de variable, permettant de passer du repere mobile au repere fixe, est

defini par

x = x1 − c t , y = x2 , z = x3 , (4.96)


appele couramment transformee de Galilee (Figure 4.20).

x1

x2

x3

x

y

z

l’instant 0 l’instant t

repere fixe repere mobile

ct

Fig. 4.20 – Repere fixe et repere mobile

Sous ces conditions, l’Eq. (4.91) peut etre ecrite sous la forme

(λ+ µ)~∇(~∇u) + µ~∇2u + ρω2 u + 2 j ρ ω c∂u

∂x− ρ c2

∂2u

∂x2= 0 (4.97)

ou de maniere developpee

(λ+ µ)∂∆

∂x+ µ~∇2u+ ρω2 u+ 2 j ρ ω c

∂u

∂x− ρ c2

∂2u

∂x2= 0 , (4.98)

(λ+ µ)∂∆

∂y+ µ~∇2v + ρω2 v + 2 j ρ ω c

∂v

∂x− ρ c2

∂2v

∂x2= 0 , (4.99)

(λ+ µ)∂∆

∂z+ µ~∇2w + ρω2 w + 2 j ρ ω c

∂w

∂x− ρ c2

∂2w

∂x2= 0 (4.100)

avec

∆ =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z(4.101)

defini de la meme maniere que la dilatation cubique. En derivant les Eq. (4.98) a

(4.100) respectivement selon x, y et z, et en divisant par ρ, on obtient

(λ+ µ)

ρ

∂2∆

∂x2+µ

ρ

∂

∂x~∇2u+ ω2 ∂u

∂x+ 2 j ω c

∂2u

∂x2− c2

∂3u

∂x3= 0 , (4.102)

(λ+ µ)

ρ

∂2∆

∂y2+µ

ρ

∂

∂y~∇2v + ω2 ∂v

∂x+ 2 j ω c

∂

∂y

∂v

∂x− c2

∂

∂y

∂2v

∂x2= 0 , (4.103)

(λ+ µ)

ρ

∂2∆

∂z2+µ

ρ

∂

∂z~∇2w + ω2 ∂w

∂z+ 2 j ω c

∂

∂z

∂w

∂x− c2

∂

∂z

∂2w

∂x2= 0 . (4.104)


4.9.2 Methode de resolution

Deux etapes se succedent. Tout d’abord la sommation des Eq. (4.102) a (4.104)

associee a une double transformee de Fourier spatiale, definie par

F(f) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(x, y, z) e−j (β x+γ y) dxdy , (4.105)

permet d’obtenir

F(∆) = Ae−αP z (4.106)

ou

α2P = β2 + γ2 − k2

P

(

1 − β

k

)2

(4.107)

apres introduction du nombre d’onde de compression

kP =ω

cP. (4.108)

Le dynamicien averti remarquera que αP > 0 pour respecter les conditions du

domaine (pour z → +∞, F(∆) doit etre nul).

Quant a la seconde etape, elle part directement de l’Eq. (4.97). Apres double

transformation de Fourier spatiale, substitution de F(∆) a partir de l’Eq. (4.106) et

recherche de la solution generale, on obtient

F(u)

F(v)

F(w)

=

−j β−j γαP

A

k2P

(

1 − βk

)2 e−αP z +

B

C

D

e−αS z (4.109)

ou, de maniere analogue, on introduit

α2S = β2 + γ2 − k2

S

(

1 − β

k

)2

(4.110)

et

kS =ω

cS. (4.111)


Cette derniere relation comporte quatre inconnues A,B,C et D qui peuvent s’ob-

tenir en tenant compte de la solution (4.106) precedemment calculee, ainsi que des

relations adequates provenant des conditions aux limites (4.92) a (4.94) :

A = −P k2

P

(

1 − βk

)2

ab µ

sin(βb) sin(γa)

β γ

β2 + γ2 + α2S

FR(β, γ)(4.112)

B = − j P

ab µ

sin(βb) sin(γa)

β γ

2αP αS β

FR(β, γ)(4.113)

C = − j P

ab µ

sin(βb) sin(γa)

β γ

2αP αS γ

FR(β, γ)(4.114)

D =j (β B + γ C)

αS(4.115)

ou

FR(β, γ) = (β2 + γ2 + α2S)2 − 4αP αS (β2 + γ2) (4.116)

est une fonction analogue a la fonction de Rayleigh, mais adaptee au cas d’une charge

roulante. La valeur de la vitesse de l’onde de Rayleigh cR peut etre deduite de cette

fonction. En effet, cette derniere peut s’ecrire sous la forme

FR(β, γ) = (β2 + γ2)2

(

2 − k2S

β2 + γ2

(

1 − β

k

)2)

− 4

√

1 − k2P

β2 + γ2

(

1 − β

k

)2√

1 − k2S

β2 + γ2

(

1 − β

k

)2

.(4.117)

Lorsque la force est fixe dans l’espace (c = 0 et donc k → ∞), on retrouve l’expression

connue de la fonction de Rayleigh qui s’annule pour√

β2 + γ2 = kR.

L’ensemble des Eq. (4.109), (4.115), (4.112), (4.113) et (4.114), associees a une

double transformee de Fourier inverse, fournit un moyen direct de resolution du

probleme pose.

4.9.3 Analyse theorique et integration dans le plan complexe

L’integration analytique necessite une etude approfondie des deplacements trans-

formes F(u), F(v) et F(w), permettant de deduire les principales caracteristiques

physiques des reponses temporelles u, v et w. Pour une analyse des deplacements

transformes dans le plan complexe, on peut faire appel a la theorie des integrales


curvilignes pour trouver leur primitive. Pour ce faire, on localise les eventuels poles

et points de branchement des fonctions a integrer. On choisit ensuite un contour le

long duquel est effectuee l’integration de la fonction consideree. On en deduit alors

une expression analytique pour l’integrale recherchee.

Les particularites de cette fonction a integrer sont

– d’une part, que la fonction de Rayleigh FR, se trouvant au denominateur, fait

intervenir des zeros qui dependent de la vitesse et de la pulsation de la charge

mais aussi de la vitesse de Rayleigh du sol considere (l’evaluation de la contri-

bution de l’onde de Rayleigh se fait simplement par un calcul de residu),

– d’autre part, les points de branchement (zeros du numerateur), obtenus en

annulant αP et αS , sont relatifs aux ondes volumiques : leurs contributions ne

se calculent pas a partir des residus, mais par integration le long d’un contour

entourant les lignes de branchement.

L’etude des deplacements verticaux dans le domaine des nombres d’ondes permet

de deduire les principales caracteristiques de la reponse reelle (x,y). Les poles de

Rayleigh annulent, dans le cas d’un amortissement η nul, la fonction de Rayleigh,

adaptee au cas d’une charge roulante, et sont situes sur la courbe d’equation

β2 + γ2

(

1 − βk

)2 = k2R . (4.118)

On en deduit que les poles reels se situent sur une conique d’equation

γ2 + (1 −M2R)

(

β +kRMR

1 −M2R

)2

=k2

R

1 −M2R

, (4.119)

MR etant le nombre de Mach relatif a l’onde de Rayleigh. Lorsque MR < 1, les

poles reels se situent sur une ellipse, alors que pour MR > 1, ils se situent sur

une hyperbole. A cote de cela, l’introduction d’un amortissement hysteretique ou

visqueux complique fortement les calculs.

On se rend compte que cette integration est lourde et fastidieuse, surtout a l’heure

actuelle ou les outils numeriques sont de plus en plus performants. Notons neanmoins

l’effort de plusieurs auteurs [DeHO2002a,DeHO2002b, LE1992] qui se sont penches

sur le probleme bidimensionnel au prix de quelques simplifications et hypotheses (par

exemple, prise en compte uniquement de la contribution des poles de Rayleigh).

4.9.4 Integration et resultats numeriques

Le calcul des fonctions (4.109), en tenant compte des condi-

tions (4.112), (4.113), (4.114) et (4.115), peut etre effectue par l’utilisation


d’un algorithme numerique de transformee de Fourier. C’est pourquoi cette methode

sera denommee par la suite « methode semi–analytique » car elle allie a la fois

une methode analytique et un traitement numerique, par opposition a la methode

purement analytique par calcul de residus. Pour le calcul de la transformee de

Fourier rapide, nous devons fixer les deux donnees suivantes :

– une valeur pour les bornes d’integrations βmax et γmax ; de ce fait, l’integration

des expressions integrales est tronquee ;

– une valeur du nombre de points choisi pour decrire cette expression ; l’algo-

rithme de transformee de Fourier rapide FFT (ou iFFT ) est optimise si cette

valeur est une puissance de 2.

Afin de calculer l’expression (4.109) avec precision en utilisant une forme discrete, les

bornes definissant le domaine des nombres d’ondes (β,γ) doivent etre suffisamment

elevees afin d’eviter toute distorsion du signal resultant du phenomene d’aliasing. Il

faut ainsi etablir un bon compromis afin de pouvoir utiliser une description precise

des fonctions a integrer et eviter les repliements de spectre. Un choix d’un nombre

d’echantillons N de 2048 ainsi que des intervalles −16 < β,γ < 16 semblent etre un

minimum. La Figure 4.21 montre les resultats dans le cas d’une charge mobile en

regime sub–Rayleigh ou super–Rayleigh. Les resultats dans le domaine (x,y) pour le

deplacement vertical sont donnes aux Figures 4.22 a 4.24 pour differentes vitesses de

la charge. On peut egalement remarquer, dans le cas d’une vitesse nulle de la charge,

la symetrie des niveaux vibratoires par rapport au point d’application de cette charge.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-9

MR = 0MR = 0,5MR = 1MR = 1,5MR = 2

Dep

lace

men

tver

tica

l|w

/λ

R|

Distance adimensionnelle |x/λR|

Fig. 4.21 – Amplitude des deplacements verticaux le long de la ligne (y = 0 ; z = 0)pour differentes vitesses de la charge


-5

5

0

5-5 0

γ [ra

d/m

]

β [rad/m]

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10-8

0.2

0.4

0.6

0.8

(a) Niveau dans le domaine (β,γ)

−100

10

−10

0

100

2

4

6x 10

−9

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

[m

]

(b) Niveau dans le domaine spatial

Fig. 4.22 – Amplitude des deplacements verticaux au niveau du sol pour une vitessenulle

-5

5

0

5-5 0

γ [ra

d/m

]

β [rad/m]

1

0.5

x 10-8

2.5

2

1.5


−100

10

−10

0

100

2

4

6x 10

−9

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

[m

]


Fig. 4.23 – Amplitude des deplacements verticaux au niveau du sol pour une vitessec = 100m/s

A travers ces resultats, les dimensions de la charge rectangulaire sont

a = b = 0,3m et les caracteristiques dynamiques du sols sont egales a E = 269MPa,

ν = 0,257 et ρ = 1550 kg/m3, parametres relatifs a un site ferroviaire britan-

nique [JON1998]. Un facteur d’amortissement η est choisi et est pris egal a 0,1.

Les valeurs des vitesses des ondes de compression, de cisaillement et de Rayleigh

sont respectivement egales a 459m/s, 263m/s et 252m/s. La charge dynamique est

d’amplitude P = 1N a une frequence de reference de 64Hz.

Pour un amortissement non nul, les poles ne se situent plus dans le plan reel.

Cependant l’amplitude des spectres laisse entrevoir des maxima qui coıncident avec


-5

5

0

5-5 0

γ [

rad

/m]

β [rad/m]

1

0.5

x 10-8

3.5

4

2.5

1.5

2

3

4.5


−100

10

−10

0

100

2

4

6x 10

−9

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

[m

]


Fig. 4.24 – Amplitude des deplacements verticaux au niveau du sol pour une vitessec = 350m/s

les coniques d’Eq. (4.119). L’ellipse ou l’hyperbole est nettement visualisable selon

qu’on soit en regime sub–Rayleigh ou super–Rayleigh, se traduisant par un cone de

Mach dans le domaine spatial dans le second cas. Lorsque le nombre de Mach est

faible, les deplacements sont relativement concentres autour de la charge alors que,

lorsque le nombre de Mach augmente, les deplacements s’etalent de plus en plus loin

derriere la charge. Sur ces figures, la preponderance des ondes de Rayleigh se revele

clairement, a la surface du massif. La visualisation des deplacements en profondeur

permet la mise en evidence des contributions des ondes P et S (Figure 4.25). En

ce qui concerne les deplacements horizontaux suivant x et y, les niveaux sont plus

faibles mais non negligeables pour des distances proches de la source (Figure 4.26).

−1000

100

−100

0

1000

2

4x 10

−10

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

[m

]

(a) Pour une profondeur z = 2 m

−1000

100

−100

0

1000

0.5

1

1.5x 10

−10

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

[m

]

(b) Pour une profondeur z = 5 m

Fig. 4.25 – Amplitude des deplacements verticaux pour une vitesse c = 350m/s


−1000

100

−100

0

1000

1

2

3x 10

−10

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t lon

gitu

dina

l [m

]

(a) Dans la direction longitudinale x

−1000

100

−100

0

1000

2

4

6x 10

−10

x [m]y [m]

Dép

lace

men

t lat

éral

[m

]

(b) Dans la direction laterale y

Fig. 4.26 – Amplitude des deplacements horizontaux au niveau du sol pour unevitesse c = 350m/s

La decroissance en fonction de la distance et de la frequence est presentee aux Fi-

gures 4.27 et 4.28, comparant ainsi les resultats du modele semi–analytique, que nous

nommerons par la suite modele de Jones, avec ceux issus d’un modele se basant sur

les fonctions approchees de Green, dans le cas d’une charge fixe. Les deux approches

fournissent des resultats semblables, les differences proviennent du fait que

– d’une part, les charges surfaciques agissent de manieres differentes (charge rec-

tangulaire pour notre modele semi–analytique et charge circulaire equivalente

pour le modele se basant sur les fonctions de Green approchees),

– d’autre part, le premier modele reste de toute facon un modele approche a la

solution analytique : il ne tient compte que de la contribution de l’onde de

Rayleigh.

Par contre, la Figure 4.28 laisse entrevoir des differences plus marquees, a hautes

frequences, dans la zone champ lointain definie sur les fonctions de Green approchees

(il semble que, contrairement a la zone champ proche, la zone champ lointain

dans ces fonctions collerait moins bien avec le modele analytique). Il apparaıt une

decroissance du niveau vibratoire due a l’amortissement structurel. A partir de

cette figure, on peut mettre en evidence les inconvenients de l’integration numerique

qui laisse apparaıtre des oscillations d’amplitude en basses frequences dues a la

discretisation du domaine des nombres d’ondes, ce phenomene etant plus accentue

lorsqu’on diminue l’amortissement. Ces resultats sont donc a prendre avec une

certaine reserve.


2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−9

Distance par rapport à la source [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]

8 Hz16 Hz32 Hz64 Hz

(a) Resultats issus du modele de Jones

2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−9

Distance par rapport à la source [m]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]

8 Hz16 Hz32 Hz64 Hz

(b) Resultats issus des fonctions approcheesde Green

Fig. 4.27 – Amplitude des deplacements verticaux a la surface du sol le long de laligne (y = 0 ; z = 0) en fonction de la distance de la source (charge fixe)

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

6

7x 10

−10

Fréquence [Hz]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]

2 m5 m10 m15 m

(a) Resultats issus du modele de Jones

0 20 40 60 80 1000

1

2

3

4

5

6

7x 10

−10

Fréquence [Hz]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]

2 m5 m10 m15 m

(b) Resultats issus des fonctions approcheesde Green

Fig. 4.28 – Amplitude des deplacements verticaux a la surface du sol le long de laligne (y = 0 ; z = 0) en fonction de la frequence (charge fixe)

4.10 Milieu stratifie

La methode presentee precedemment peut etre etendue a un sol stratifie, dont les

differentes couches sont horizontales. Lorsque le sol est stratifie, les interfaces entre

4.11. Conclusion 97

plusieurs couches successives de proprietes differentes generent des ondes refractees

et reflechies. Une resolution analytique reste possible [LEF1999] en introduisant une

matrice de rigidite, notee Tn, relative a chaque couche n constituant un sol mais

Picoux [PIC2002a] a montre que ces matrices etaient mal conditionnees, en plus

d’avoir un modele plus gourmand en ressources informatiques que son homologue

homogene. Il reste donc plus difficile d’obtenir des resultats avec un modele plus

complexe.

Neanmoins un tel modele permet de mettre en evidence les modes naturels de

vibration d’un sol multicouche, obtenus en annulant le determinant relatif a la matrice

de rigidite

detTn = 0 . (4.120)

Pour une frequence donnee et pour un massif stratifie libre, l’equation issue de la

continuite des deplacements aux interfaces du massif donne une relation de dispersion

sous la forme d’un determinant de la matrice de rigidite egal a zero. Les frequences

de resonance naturelles de la couche i concernee sont donnees par la formule approxi-

mative [PIC2002a]

fk,n = (2n− 1)ck4hi

(4.121)

ou hi est la hauteur de la couche consideree, l’indice k nous renseignant sur l’onde

consideree (P ou S). Inversement l’existence d’une frequence de resonance renseigne

sur les caracteristiques du sol constituant la structure.

Dans le cas des ondes de surfaces, on peut montrer que l’Eq. (4.120) permet d’ob-

tenir les modes dits de Rayleigh, definissant ainsi les courbes de dispersion relatives

a la vitesse de phase, dependant ici de la frequence (Figure 4.29). Dans le cas ou le

sol est homogene, l’equation se reduit a l’equation de Rayleigh (4.59) et la vitesse

de phase n’est autre que la vitesse de Rayleigh cR, independante de la frequence. La

solution aux valeurs propres (4.120) est egalement une etape indispensable dans la

methode de l’analyse spectrale des ondes de surfaces SASW , largement decrite en

Annexe B.

4.11 Conclusion

Ce chapitre est necessaire a la comprehension et a la maıtrise du phenomene vi-

bratoire dans un sol et une approche detaillee de la dynamique des sols a ete preferee.

Le probleme n’est pas simple a la base et l’introduction des potentiels d’Helmholtz


z

x

uu ww

basse haute

frequencefrequence

Fig. 4.29 – Ondes de surface dans un milieu stratifie

ainsi que des ondes volumiques et de surface est apparue indispensable. Le cas de

la reflection d’ondes volumiques a ete aborde, au meme titre que la refraction afin

de mettre en evidence l’apparition des ondes de Rayleigh, fort importantes dans les

vibrations a la surface libre d’un sol. Les differents modeles d’amortissement ont ete

revus avec une comparaison entre eux. Deux modeles analytiques ont ete presentes,

qui serviront de base a la validation de notre modele numerique. Le chapitre suivant

s’interessera donc a la modelisation numerique des sols et plus particulierement a

l’utilisation de la methode aux elements finis dans ce genre de probleme.

CHAPITRE 5

Sur l’utilisation des elements semi–infinis dans la modelisation

numerique de sols

Beaucoup de personnes cherchent a se representer l’infini.Imaginez deux glaces ayant les memes formes et dimensions,

posees en face l’une de l’autre :l’infini est le reflet qu’elles se renvoient

FRANCIS PICABIAextrait de la revue Litterature (septembre 1922)

Nous avons vu au chapitre precedent la theorie necessaire a la comprehension des

phenomenes vibratoires dans milieu elastique infini, qui montre ainsi une ap-

proche differente de celle utilisee en mecanique structurelle : le contexte ondulatoire

du phenomene est ainsi mis en avant et les vibrations que l’on percoit proviennent

de l’interaction des ondes volumiques avec la surface libre du milieu. Deux modeles

analytiques ont ete presentes, montrant d’emblee leur limitation dans la modelisation

d’un sol alors que l’on reste de toute facon dans des cas simples. La voie numerique

semble des lors inevitable et nous presentons dans ce chapitre la methodologie adoptee

dans l’utilisation du code de calcul commercial ABAQUS ainsi que la phase de vali-

dation conduite afin de disposer d’un modele de sol performant pour son utilisation

dans un modele de prediction complet des vibrations induites par le trafic ferroviaire.

99

100 5. SUR L’UTILISATION DES ELEMENTS SEMI–INFINIS . . .

5.1 Methode aux elements frontieres ou methodeaux elements finis ?

5.1.1 Concept

Le concept de modelisation de milieux infinis n’est pas recent. Dans le domaine

de la mecanique, on retrouve des premiers travaux dans le livre II des Principia de

Newton, proposant un calcul de la resistance de traınee d’un objet mobile dans un

fluide. Notons qu’a cette epoque fut introduit par le mathematicien anglais Wallis

notre symbole actuel ∞ designant l’infini.

C’est a partir du 19e siecle qu’un bon nombre de problemes incluant des domaines

infinis sont resolus par des mathematiciens. Le premier fut l’anglais George Green

(1793–1841) qui developpa simultanement les celebres theoremes de Green et fonc-

tions de Green. A partir de ces idees, une multitude de developpements ont vu le

jour, permettant de trouver les solutions a des problemes incluant espace ou demi–

espace (general ou plan) cartesien sans limites, pour des fluides ideaux, visqueux ou

des solides elastiques. Green avait introduit deux idees qui sont, a l’heure actuelle,

les bases des solutions de problemes continus lineaires.

5.1.2 Fonctions de Green

Le theoreme de Green, que l’on designe egalement par theoreme d’Ostrogradski1,

donne la relation entre une integrale curviligne autour d’une courbe simple fermee C

et l’integrale double sur la region du plan D delimitee par C

∮

C

(Pdx+Qdy) =

∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dx dy (5.1)

ou P et Q sont deux fonctions continues definies dans le plan x–y. Ce theoreme est a

la base de nombreuses resolutions du probleme d’une charge ponctuelle agissant sur

un espace semi–infini (par exemple, la methode de Cagniard–De Hoop [BED1994]),

permettant ainsi de definir la fonction de Green pour ce probleme.

Le chapitre precedent a, en effet, introduit le concept de fonction de Green en

elastodynamique, par l’intermediaire de l’Eq. (4.77). De maniere plus generale, une

fonction de Green decrit essentiellement l’effet d’une charge ponctuelle pour divers

problemes et divers domaines, finis ou infinis (probleme de Laplace, Helmholtz,. . .).

D’un point de vue numerique, l’idee d’utiliser les solutions de la fonction de Green

1Les deux mathematiciens avaient trouve ce theoreme pendant la meme periode et de maniere,semblerait–t–il, independante.

5.1. Methode aux elements frontieres ou methode aux elements finis ? 101

couplees a une procedure numerique, dans le contexte de l’elasticite, date des annees

1920. Cette methode a ete developpee intensivement depuis et elle est mieux connue

aujourd’hui sous le nom de methode aux elements frontieres, ou sous son acronyme

anglosaxon BEM (pour Boundary Element Method).

5.1.3 La methode aux elements frontieres

La methode aux elements frontieres est une technique numerique datant du debut

des annees soixante qui permet la resolution des equations issues des methodes

integrales. L’idee de base de ces methodes consiste a reformuler un probleme regi

sous la forme d’equations aux derivees partielles lineaires, par une representation

integrale dont les supports geometriques coıncident avec la frontiere du domaine.

Dans le cas d’un probleme tridimensionnel, ce dernier est regi de maniere generale

par le systeme d’equations

D~u +~fV = 0 (5.2)

dans un domaine V avec, a sa surface S,

R~u = ~fS~u = ~uS .

(5.3)

~uS , ~fS et ~fV sont des donnees du probleme (conditions aux limites, forces surfaciques

et forces volumiques), D et R etant respectivement des operateurs aux derivees par-

tielles du second et du premier ordre, lies par la relation de Stokes∫

V

D~u dV =

∫

S

R~u dS . (5.4)

La methode est basee sur la recherche d’une solution particuliere, en l’occurrence

une fonction de Green, repondant a l’equation locale

D ~G(~x,~ξ) + δ(~x − ~ξ) = 0 (5.5)

dans un domaine Ω, tel que ~x /∈ S et ~ξ ∈ Ω, ou agit une impulsion unitaire representee

par un Dirac δ(~x−~ξ). La combinaison de cette derniere relation par l’equation locale

du probleme (5.2), avec la prise en compte de la forme integrale (5.4) permet d’obtenir

la formule dite de representation integrale

~u(~x) δx,Ω =

∫

V

~fV (~ξ) ~G(~x,~ξ) dV +

∫

S

~G(~x,~ξ)R~u(~ξ) dS −∫

S

~u(~ξ)R~G(~x,~ξ) dS (5.6)

ou δx,Ω = 1 dans le domaine de validite de ~x et δx,Ω = 0 sinon. En cas d’absence

de forces volumiques, la solution n’est traitee que sur des integrales de surface :


la methode integrale permet ainsi une inversion du probleme en reformulant la

resolution initiale du probleme dans V en une resolution sur sa frontiere S. La

difficulte a ce stade est de determiner la fonction de Green associee au probleme

etudie. Dans bien des cas, elle passe inevitablement par une transformation de

Fourier (temporelle et/ou spatiale), ce qui impose une reponse dans le domaine

associe. Les cas d’etude restent malheureusement simples mais le plus souvent

suffisants dans la dynamique des sols (sol homogene ou stratifie).

La methode aux elements frontieres travaille sur la discretisation du support

geometrique des equations integrales. En ceci, elle est tout a fait similaire a la

methode des elements finis si ce n’est que la discretisation ne porte que sur la

frontiere du domaine. L’interpolation des inconnues du probleme est par ailleurs

basee sur une transformation isoparametrique. On peut souligner que cette methode

s’est posee en alternative a la methode aux elements finis lorsque le domaine d’etude

se presentait comme infini. Les elements frontieres ne travaillent que sur la surface de

la frontiere qui doit etre discretisee. Il n’est donc pas necessaire de mailler l’entierete

du domaine d’etude contrairement a la methode aux elements finis. L’inconvenient

de la methode reside en quelque sorte dans sa particularite : les geometries complexes

et les non–homogeneites dans un domaine sont difficilement prises en compte. De

plus, des problemes de singularite peuvent se presenter, notamment dans l’evaluation

numerique des integrales. Pour plus de precisions, on peut se reporter aux ouvrages

de reference de Brebbia [BRE1978,BRE1980] et de Do Rego Silva [DoRE1994].

5.1.4 La methode aux elements finis

Les premieres applications de la methode sont issues de l’analyse structurelle.

Le but de ce paragraphe n’est pas de decrire de maniere detaillee la methode aux

elements finis mais plutot de rappeler son fondement a travers un resume.

Comme son nom le suggere, le domaine est divise en petits elements. Dans chacun

de ceux–ci, certaines quantites interessantes, souvent un champ de deplacement ~u,

sont approximees par des fonctions de forme N et quelques parametres selectionnes,

les valeurs de deplacement ~ae aux nœuds le plus souvent,

~u = N ~ae . (5.7)

On choisit les fonctions de forme de maniere a definir univoquement le champ de

deplacement a l’interieur de chaque element en fonction des deplacements de ces

nœuds.

5.1. Methode aux elements frontieres ou methode aux elements finis ? 103

Ces fonctions de deplacement permettent de calculer les deformations a l’interieur

d’un element en fonction des seuls deplacements nodaux. En tenant compte du

comportement du materiau, ces deformations, jointes a d’eventuelles deformations

initiales, definissent l’etat de contraintes en tout point de l’element et, par voie de

consequence, sur ses frontieres.

On determine par la suite un systeme de forces (et de moments) concentres aux

nœuds qui equilibrent les contraintes s’exercant sur les frontieres et d’eventuelles

forces reparties. Le procede de resolution peut alors se poursuivre de la maniere

classique en ecrivant les equations d’equilibre des nœuds puis en introduisant les

conditions aux contours avant de resoudre le systeme d’equations obtenues sous la

forme suivante

[M]~q + ~Q(~q, ~q, t) = ~f (5.8)

ou l’on a rassemble les degres de liberte de tous les nœuds dans le vecteur des pa-

rametres de configuration ~q. Le vecteur~f represente tous les efforts exterieurs agissant

aux nœuds. Lorsque le systeme est lineaire, ce qui est souvent le cas en elasticite, le

systeme a resoudre devient

[M]~q + [C]~q + [K]~q = ~f (5.9)

faisant apparaıtre explicitement une matrice masse M, une matrice de raideur K et

eventuellement une matrice d’amortissement C.

Il est evident que le procede decrit ci–dessus introduit un certain nombre

d’approximations. En premier lieu, il n’est pas toujours facile de faire en sorte que les

fonctions de forme choisies satisfassent aux conditions de continuite des deplacements

entre elements adjacents. Il se peut que cette condition de compatibilite aux limites

soit violee. D’autre part, en concentrant aux nœuds les forces equivalentes, les

conditions d’equilibre ne sont satisfaites que globalement. Il se presentera couram-

ment des violations locales des conditions d’equilibre a l’interieur de chaque element

et a ses frontieres. Pour chaque cas particulier, le choix de la forme de l’element

et des fonctions de forme est laisse a l’intuition et a l’habilite de l’utilisateur : la

precision de l’approximation depend evidemment de maniere importante de ces choix !

Une difficulte de comprehension de la methode des elements finis reside dans

le formalisme mathematique necessaire a sa mise en œuvre, moins intuitive que ce

que nous venons de presenter. En effet, compte tenu de la complexite des modeles

mathematiques, il a ete necessaire de s’appuyer sur des resultats d’analyse fonc-

tionnelle, elabores pour formuler cette methode d’approximation. L’approche varia-


tionnelle est une methode d’approximation des solutions d’equations aux derivees

partielles qui est construite a partir d’une formulation equivalente du probleme a

resoudre. Rappelons egalement qu’il existe une autre approche [LAM1999,LAM2000],

tout aussi generale, pour presenter la methode aux elements finis. Elle est basee sur

une approche des residus ponderes en introduisant deux residus,

– l’un lie aux equations differentielles representant le systeme physique etudie

R(~u) = D~u +~fV = 0 , (5.10)

avec D(~u) la contribution des forces internes et d’inertie et ~fV celle des forces

exterieures volumiques,

– l’autre lie aux conditions aux frontieres

B(~u) = R~u −~fS = 0 , (5.11)

ou R(~u) represente la contribution des contraintes aux frontieres et ~fS les forces

surfaciques de contact,

et les faisant intervenir dans une forme integrale ou ils apparaissent de maniere

ponderee

W(~u) =

∫

V

ΨT R(~u)dV +

∫

S

Ψ′T B(~u)dS = 0 . (5.12)

Lorsque les fonctions de ponderation ΨT et Ψ′T sont egales aux fonctions de forme,

le procede prend le nom de methode de Galerkin qui conduit souvent a une matrice

de raideur [K] symetrique [LAM1999]. Cette propriete explique pourquoi la methode

de Galerkin est majoritairement la seule utilisee dans les calculs par elements finis2.

5.2 Classification des elements semi–infinis

Il existe un grand nombre d’elements semi–infinis suivant les applications et les

analyses. On en retrouve enormement dans le domaine de l’acoustique ; la plupart des

bons logiciels d’elements finis proposent ces types d’elements dans leur bibliotheque.

De maniere tout a fait generale, ces elements peuvent etre definis de deux facons

differentes [BET1992].

5.2.1 Fonction de decroissance (« Decay function »)

L’idee de base consiste a retenir les fonctions de forme de l’element fini corres-

pondant Pi et de l’etendre vers la ou les directions infinies voulues en les multipliant

2On peut mentionner que la methode bien connue des differences finies est basee sur cette ap-proche des residus ponderes mais via l’intermediaire de la methode de collocation par points ou lesfonctions de ponderation sont des impulsions de Dirac.

5.2. Classification des elements semi–infinis 105

par une fonction de decroissance fi, definissant dans cet element fini la propagation

evanescente des ondes suivant la direction de l’infini

Ni(ξ, η) = Pi(ξ, η) fi(ξ, η) (5.13)

ou ξ et η sont les coordonnees locales de l’element (Figure 5.1), en 2–D dans ce cas–ci.

La fonction de decroissance doit necessairement etre unitaire aux nœuds de l’element

fi(ξi, ηi) = 1 . (5.14)

η

ξ

1 2

3 4

Fig. 5.1 – Element infini avec fonction de decroissance (ξ → ∞)

De cette facon, la fonction Ni tient compte du comportement infini de la structure

tout en etant bornee. Le role de cette fonction est d’assurer le comportement de

l’element a l’infini de facon a ce qu’il reflete ce qui se passe physiquement. Autrement

dit, la variable du milieu doit tendre vers la valeur du champ lointain. Le domaine de

reference est etendu jusqu’a l’infini. La variable locale caracterisant la geometrie tend

egalement vers l’infini. Il n’y a par contre aucune contrainte sur la valeur de cette

fonction en d’autres points. Quelle que soit la fonction fi, les derivees necessaires de

la fonction de forme peuvent facilement etre obtenues par derivation par partie

∂Ni

∂ξ=∂Pi

∂ξfi + Pi

∂fi

∂ξet

∂Ni

∂η=∂Pi

∂ηfi , (5.15)

pour une decroissance suivant la direction ξ, et

∂Ni

∂ξ=∂Pi

∂ξfi + Pi

∂fi

∂ξet

∂Ni

∂η=∂Pi

∂ηfi + Pi

∂fi

∂η(5.16)

pour une decroissance suivant les deux directions ξ et η. La fonction de decroissance

doit necessairement etre derivable. Les memes considerations peuvent etre ap-

pliquees au cas tridimensionnel tout en n’omettant pas que des derivees secondes

sont necessaires pour que l’extension tridimensionnelle soit triviale. La coor-

donnee ξ est souvent dirigee suivant la direction radiale et est simplement une


constante multipliee par la coordonnee radiale r. Il est des lors simple d’associer ξ a

une forme en 1/r ou a toute autre forme de decroissance (exponentielle par exemple).

En plus du choix reflechi des fonctions de decroissance, ce type d’element pose des

problemes lors du calcul des matrices masse et de raideur [LAG1996]. L’integration

analytique n’est possible que si la geometrie de l’element est simple. Si la geometrie

est complexe, il faut avoir recours a des techniques d’integration telles que celles de

Gauss–Laguerre (decroissance exponentielle) ou de Gauss–Legendre (decroissance en

1/rn).

5.2.2 Transformation parametrique (« Mapping »)

Pour contourner la difficulte de se representer l’infini dans une methode aux

elements finis, on peut transformer le systeme de coordonnees des elements semi–

infinis (coordonnees globales) vers un systeme de coordonnees locales bornees.

Dans ce cas, on effectue une transformation du domaine initial vers un domaine

de reference qui reste fini et ou la variable locale est comprise entre −1 et 1. La

geometrie reelle jusqu’a l’infini est decrite a partir des fonctions de forme de l’element

fini correspondant. On transforme ainsi l’element de reference en un element tel

qu’un ou plusieurs nœuds soient rejetes a l’infini (Figure 5.2).

aar

1

1

2

2

3

3

r0 r1 r2 r3

ξ = −1 ξ = 0 ξ = +1

∞

Fig. 5.2 – Element infini « mapped » (−1 ≤ ξ ≤ +1)

Le comportement des elements semi–infinis est etabli en calculant l’evolution

de la variable de deplacement u en fonction de la distance r mesuree a partir d’un

pole de coordonnee r0 de telle sorte que u tende vers 0 quand r tend vers l’infini et

inversement que u tende vers l’infini quand r tend vers 0. L’interpolation fournit des

termes d’ordre 1/r, 1/r2 voire, dans certains cas particuliers, 1/r3.

5.2. Classification des elements semi–infinis 107

Cette modelisation est realisee en utilisant, apres transformation parametrique,

une interpolation quadratique ou cubique standard pour u(ξ) avec −1 ≤ ξ ≤ 1 ou ξ

est la nouvelle coordonnee locale (Figure 5.2). Celle–ci est determinee de telle sorte

que l’evolution de la distance r(ξ) implique que r tende vers l’infini quand ξ tend

vers 1. Nous obtenons enfin des modeles bidimensionnels et tridimensionnels qui

modelisent l’infini en combinant sous la forme d’un produit cette interpolation dans

la direction ξ avec des interpolations lineaires ou quadratiques standard dans les

directions orthogonales de l’espace mapping.

Comme illustre a la Figure 5.2, le concept unidimensionnel est de cette facon

base sur deux nœuds : un nœud (nœud 1) situe sur l’interface entre elements finis et

infinis a une distance r1 = a du pole (situe en r = 0) et en ξ = −1 dans la coordonnee

mapped et un nœud (nœud 2) situe a une distance r2 = 2a du pole et en ξ = 0 dans la

coordonnee mapped. La fonction permettant de passer des coordonnees geometriques

reelles aux coordonnees de l’espace mapped est la suivante :

r(ξ) =−2ξ

1 − ξr1 +

1 + ξ

1 − ξr2 (5.17)

de telle sorte que

r(ξ) =2a

1 − ξ(5.18)

qui s’inverse pour donner

ξ(r) = 1 − 2a

r. (5.19)

La Figure 5.3 nous montre que la transformation des nœuds de definition est bien

respectee.

A partir des coordonnees globales (x, y, z) et locales (ξ, η, ζ) et compte tenu des

regles classiques de derivation partielle, on peut obtenir

∂Ni

∂ξ∂Ni

∂η∂Ni

∂ζ

=

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂z∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

∂z∂η

∂x∂ζ

∂y∂ζ

∂z∂ζ

∂Ni

∂x∂Ni

∂y∂Ni

∂z

= [J]

∂Ni

∂x∂Ni

∂y∂Ni

∂z

(5.20)

faisant intervenir le Jacobien J de cette transformation. Dans cette expression, le

membre de gauche peut etre calcule puisque les fonctions Ni sont exprimees en coor-

donnees locales. Pour obtenir les derivees globales, il suffit d’inverser J ; pour trans-

former les variables et le domaine sur lequel l’integration est effectuee, on utilise la


ξ

Coordonnee r

Coord

onnee

20 40 60 80 100−1

−0.5

0

1

0.5

Fig. 5.3 – Transformation parametrique r ↔ ξ (a = 1)

procedure classique faisant intervenir le determinant de J. Un element de volume,

par exemple, peut s’ecrire

dx dy dz = det(J) dξ dη dζ , (5.21)

ce qui implique que, pour que la transformation soit valable, la jacobien J doit etre

inversible, comme toute transformation parametrique par ailleurs.

L’avantage de ce type d’elements est que le calcul des termes des matrices de

masse et de raideur est effectue par des methodes classiques telles que la quadrature

de Gauss.

5.3 Elements semi–infinis en analyse de contraintes

En analyse de contraintes par elements finis, on peut etre confronte a des

problemes definis pour des domaines non–bornes ou des problemes ou les regions

concernees sont petites comparees aux milieux definis. Les domaines non–bornes

peuvent ainsi etre approches par des elements semi–infinis, la ou l’influence du milieu

environnant est consideree comme faible. Une distinction peut etre faite selon que

l’on soit en analyse statique ou dynamique. ABAQUS suit cette regle en proposant

deux approches differentes pour definir des elements semi–infinis.

5.3. Elements semi–infinis en analyse de contraintes 109

5.3.1 Analyse statique et dynamique : elements semi–infinis« mapped »

L’hypothese de base utilisee en analyse statique est l’elasticite lineaire en champ

lointain. De ce fait, elle n’impose aucune contrainte dans notre cas : en eloignant

au maximum des efforts exterieurs agissant sur le sol par rapport aux frontieres

et meme si on lui considere un comportement non lineaire, les deformations aux

voisinages de cette frontiere restent faibles et le champ lointain peut etre considere

comme elastique lineaire.

Lors de l’utilisation d’elements semi–infinis pour des analyses statiques, le pole

doit etre situe de telle maniere a fournir une solution raisonnablement precise du

champ a l’infini pour le probleme considere. Dans ABAQUS, les elements infinis sont

definis par deux groupes de nœuds (Figure 5.4). Il y a tout d’abord des nœuds sur

l’interface entre les elements finis et infinis. Ensuite, sur chacun des cotes de l’element

infini, un nœud est defini dans la direction de l’infini. La position de ce nœud doit

etre telle que la ligne droite reliant ce nœud au nœud correspondant sur l’interface

passe par le pole et que la distance entre le nœud dans la direction de l’infini et le

nœud a l’interface soit egale a celle entre le pole et le nœud a l’interface.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

pole

nœuds surl’interface

nœuds « a l’infini »

element fini

element semi–infini

a

a

Fig. 5.4 – Position des nœuds des elements semi–infinis

Quand le comportement de l’element doit etre une fonction en 1/r et 1/r2, ce

mapping geometrique est combine avec une interpolation quadratique standard de u

par rapport a ξ, ecrit en termes de ses valeurs aux nœud 1 (u1) et au nœud 2 (u2)

u(ξ) =1

2ξ (ξ − 1)u1 +

(1 − ξ2

)u2 . (5.22)

Nous verifions que u tend bien vers 0 si ξ tend vers 1 c’est–a–dire si r tend vers


l’infini. De plus, en injectant l’expression (5.19) dans cette equation, on obtient le

comportement en 1/r et 1/r2 attendu

u(r) = (−u1 + 4u2)a

r+ (2u1 − 4u2)

(a

r

)2

. (5.23)

5.3.2 Analyse dynamique : elements dits « a frontiere vis-queuse »

Dans le cas d’une analyse dynamique, en plus des elements semi–infinis, la

simulation de la propagation des ondes dans le sol pour un champ lointain se base

sur les travaux de Lysmer et Kuhlemeyer [LYS1969, LYS1972]. Cette technique

utilise des conditions aux limites particulieres appliquees a un domaine d’etudes fini.

Ces conditions aux limites doivent absorber toute l’energie contenue dans les ondes

incidentes sur la frontiere du domaine fini.

La Figure 5.5 presente un exemple de milieu infini. Supposons que toutes les ex-

citations et les irregularites geometriques puissent etre enfermees dans une frontiere

convexe imaginaire. La propagation des ondes doit ainsi se faire de l’interieur du

domaine ferme vers l’exterieur. Toute l’energie contenue dans les ondes arrivant a

la frontiere est transmise au milieu exterieur. La frontiere se comporte donc comme

un milieu qui absorbe toute l’energie des ondes incidentes. Une analyse dynamique

du systeme peut des lors etre realisee a partir d’un modele aux elements finis

constituant la zone interieure et des conditions aux limites adaptees pour que la

frontiere du domaine d’etude fini soit une frontiere absorbante, ne laissant ainsi

aucune reflexion agir dans la region concernee.

Dans leurs travaux, Lysmer et Kuhlemeyer ont determine les meilleures expres-

sions possibles pour definir ces conditions aux limites, pour en retenir la suivante :

σ = aρcP w (5.24)

τ = bρcS u , (5.25)

mettant en avant les contraintes normales σ et tangentielles τ a appliquer le long de

la frontiere dependant respectivement des vitesses normales u et tangentielles w de

cette derniere. Les parametres adimensionnels a et b sont ajustes de telle maniere

a ce que la frontiere soit la plus absorbante possible. Cette condition de frontiere

correspond a la situation ou la frontiere convexe est supportee par une infinite

d’amortisseurs travaillant en compression et en cisaillement.


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

region

regioninterieure

exterieure fron

tier

eco

nve

xezone

sollicitee

Fig. 5.5 – Exemple d’un systeme infini [LYS1969]

Afin de determiner au mieux les parametres a et b, Lysmer et Kuhlemeyer ont

etudie la reflexion des differentes ondes sur la frontiere imaginaire. Ce phenomene

est analogue a celui de la reflexion et la refraction d’ondes elastiques sur une inter-

face entre deux milieux, decrit dans le chapitre precedent. Comme precedemment,

differents cas peuvent etre envisages suivant la nature de l’onde incidente.

Reflexion d’un onde P incidente

La Figure 5.6 illustre une onde I de compression se propageant dans un milieu

elastique. Celle–ci se reflechit sur une frontiere visqueuse symbolisee par l’axe x1,

l’angle d’incidence etant θP . Cette reflexion donne naissance a une onde S et a une

onde P dont les amplitudes sont etablies a partir de l’equilibre dynamique, de maniere

analogue aux Eq. (4.47) et (4.48),

(P/I) +

[sin 2θS + a cos θP

1 − 2(cS/cP )2 cos2 θP + a sin θP

]

(S/I)

=2(cS/cP )2 cos2 θP − 1 + a sin θP

1 − 2(cS/cP )2 cos2 θP + a sin θP(5.26)

(P/I) +

[cos 2θS − b sin θS

(cS/cP )2 sin 2θP + b cos θS

]

(S/I)

=(cS/cP )2 sin 2θP − b cos θS

(cS/cP )2 sin 2θP + b cos θS. (5.27)


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

w , x3

u , x1

σ = aρcP w

τ = bρcS u

domaine fini

onde I

onde P

onde S

θP

θP

θS

Fig. 5.6 – Onde P incidente sur une frontiere visqueuse

Les amplitudes dependent de l’angle d’incidence θP mais egalement des parametres

a et b, issus des conditions aux limites imposees a la frontiere.

A partir des expressions des amplitudes P et S, on peut aisement verifier les qua-

lites d’absorption de la frontiere visqueuse en considerant le rapport energetique defini

comme le rapport entre l’energie des ondes reflechies Er et l’energie de l’onde incidente

Ei. Les expressions proposees par Lysmer et Kuhlemeyer comportent neanmoins des

erreurs typographiques dans l’expression de ce rapport. L’energie cinetique par unite

de volume est egale a [EWI1957]

WP =1

2

ρ

cPω4P 2 (5.28)

pour le cas d’une onde P ,

WS =1

2

ρ

cSω4S2 (5.29)

pour une onde S. Les surfaces par unite de longueur des fronts d’onde devant etre

multipliees respectivement par sin θP et sin θS pour ces deux types d’onde, le flux

d’energie incidente est donc

Ei =1

2

ρ

cPω4I2 sin θP (5.30)


pour le cas d’une onde P . De maniere similaire, le flux d’energie reflechie est

Er =1

2

ρ

cPω4P 2 sin θP +

1

2ρcSω

2S2 sin θS . (5.31)

Le rapport energetique devient ainsi, apres quelques simplifications,

Er

Ei=P 2

I2+

tan θS

tan θP

S2

I2. (5.32)

Pour un choix donne des parametres a et b (intervenant dans les expressions de

P et de S), ce rapport ne depend que de l’angle d’incidence θP et du nombre de

Poisson ν. La Figure 5.7 montre l’evolution de ce rapport selon l’angle d’incidence,

pour diverses valeurs des parametres a et b et pour un nombre de Poisson impose

a 0,25. D’autres valeurs de ce coefficient donnent des resultats similaires. On peut

Angle d’incidence θP [ ]

Rapport

d’e

ner

gie

Er/E

i

a = b = 0 (frontiere libre)a = b = 0.5a = b = 1a = b = 1.5a = b = 10a = b = 100 (frontiere rigide)

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig. 5.7 – Rapport d’energie pour une onde P incidente (ν = 0,25)

remarquer que, dans le cas d’une frontiere libre (a = b = 0), il y a parfaite reflexion

puisque le rapport energetique est constant et egal a l’unite. Dans le cas de conditions

presque rigides au niveau de cette frontiere, la reflexion reste presque parfaite (plus

de 95%). Pour d’autres valeurs des parametres, une forte absorption est observee,

bien qu’elle ne soit pas parfaite pour toutes les valeurs de l’angle d’incidence. Il

apparaıt neanmoins que la frontiere visqueuse correspondant au choix a = b = 1

donne le maximum d’absorption, avec une zone quasi–parfaite si l’angle d’incidence


est superieur a 30 . L’energie incidente sur une surface unitaire n’a pas le meme

impact selon l’angle d’incidence : plus un angle d’incidence est faible, plus la surface

de reflexion est importante. Il est donc plus judicieux de travailler avec le produitEr

Eisin θP afin de verifier les qualites de ce type de frontiere. La Figure 5.8 montre bien

l’efficacite de cette frontiere pour les parametres optimaux (a = b = 1) ou l’aborption

des ondes P incidente atteint les 98,5%.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Angle d’incidence θP [ ]

Rapport

d’e

ner

gie

effec

tifE

r/E

isi

nθ P

a = b = 1 a = b = 0.5

a = b = 0 ou a = b = ∞

La zone hachureerepresente 1.5% dela zone totale dugraphique

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig. 5.8 – Rapport d’energie effectif pour une onde P incidente (ν = 0,25)

Reflexion d’une onde S incidente

Le cas d’une onde incidente de cisaillement est semblable au cas precedent :

la reflexion d’une onde de cisaillement I incidente donne naissance a deux ondes

reflechies P et S, de compression et de cisaillement. Les amplitudes resultantes se

determinent par le systeme d’equations[(cS/cP )2 sin 2θP + b cos θS

cos 2θS − b sin θS

]

(P/I) + (S/I) =− cos 2θS − b sin θS

cos 2θS − b sin θS(5.33)

[− cos 2θS + a sin θP

sin 2θS + a cos θP

]

(P/I) + (S/I) =sin 2θS − a cos θP

sin 2θS + a cos θP(5.34)

Le seul point different est la prise en compte de la limite inferieure θc de l’angle

d’incidence θS , defini par

cos θc =cScP

(5.35)


en dessous de laquelle il n’y a pas d’onde P reflechie (cf. Eq. (4.50)). Dans ce cas, on

a

cos θP =cos θS

cS/cP> 1 (5.36)

sin θP = −j√

cos2 θS − 1 (5.37)

qui se substituent dans les Eq. (5.33) et (5.34), introduisant ainsi deux solutions

complexes P = P1 + jP2 et S = S1 + jS2 pour les amplitudes des ondes reflechies.

La signification physique d’une amplitude complexe de l’onde P reflechie n’existe

pas mais mais trouve son lien avec les ondes de Rayleigh (voir chapitre precedent).

D’un point de vue energetique, le cas d’une onde S incidente est tout a fait

similaire. Les equations energetiques sont

Ei =1

2

ρ

cSω4I2 sin θS (5.38)

Er =1

2

ρ

cPω4P 2 sin θP +

1

2

ρ

cSω2S2 sin θS (5.39)

et le rapport energetique devient

Er

Ei=S2

I2+

tan θP

tan θS

P 2

I2(5.40)

valable seulement dans le cas ou θS > θc. Dans le cas inverse, l’Eq. (5.39) doit etre

remplacee par

Er =1

2

ρ

cSω4(S2

1 + S22) sin θS , (5.41)

puisqu’on ne tient compte que des ondes reflechies (l’onde de Rayleigh n’est pas

consideree comme une onde reflechie). Le rapport energetique devient dans ce cas

Er

Ei= (S2

1 + S22) (si θS < θc) . (5.42)

L’evolution du rapport d’energie effectif en fonction de l’angle d’incidence est

illustree a la Figure 5.9. Ces courbes sont tout a fait similaires a celles de la

Figure 5.8. On peut ainsi montrer que les ondes de cisaillement sont absorbees a

raison de 95% de leur energie effective, dans le cas optimum, a savoir a = b = 1.

En resume, le choix optimal des parametres a et b est l’unite, ce qui implique la

forme suivante pour la frontiere visqueuse

σ = ρcP w , (5.43)

τ = ρcS u (5.44)


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Angle d’incidence θS [ ]

Rapport

d’e

ner

gie

effec

tifE

r/E

isi

nθ S

a = b = 1 a = b = 0.5

a = b = 0 ou a = b = ∞

La zone hachureerepresente 5% dela zone totale dugraphique

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig. 5.9 – Rapport d’energie effectif pour une onde S incidente (ν = 0,25)

tel que cela est defini dans le logiciel ABAQUS. Il faut cependant remarquer que

l’onde de frontiere (onde de Rayleigh) n’a pas ete consideree. Des erreurs peuvent

donc provenir de l’existence de cette onde. Selon une etude plus detaillee [LYS1969,

KOU2007], l’effet relatif de cette onde de frontiere decroıt lorsque la frequence ou

la longueur de la frontiere augmente, les parametres a et b dependent ainsi de la

profondeur par rapport a la frontiere.

5.3.3 Implementation des elements semi–infinis dans unmodele dynamique

Le logiciel ABAQUS propose ainsi dans sa bibliotheque des elements semi–infinis

dedies a l’analyse dynamique. Chose etrange, son interface graphique, utile essentiel-

lement pour la definition de la geometrie et du maillage, ne permet pas de travailler

avec ce genre d’elements. Au vu des attentes, un mailleur simple a ete developpe sous

Matlab afin de pallier ce manque tout en profitant du mailleur d’ABAQUS/CAE. Le

principe est le suivant3 :

– Creation d’une « enveloppe » (partie exterieure) sur laquelle seront greffes les

elements semi–infinis (maillage effectue a ce niveau).

– Exportation de l’information vers un fichier script .inp.

3Pour un modele axisymetrique, le principe est equivalent.


– Modification de ce fichier pour y inclure les elements semi–infinis.

– Importation du fichier modifie vers le CAE.

– Creation au sein du meme modele d’un part (partie interieure) modelisant le

sol, qui sera assemble a l’enveloppe modifiee.

L’enveloppe a la forme d’une demi–sphere, ce qui permet de definir plus facilement

les elements semi–infinis, ou le pole de chaque element correspondra au centre de

la surface spherique, que nous qualifierons de frontiere (Figure 5.10), et connectes

aux elements finis initiaux. Celle–ci etant convexe, le croisement des connections

« infinies » de chaque element est impossible. Qui plus est, la forme spherique permet

egalement une meilleure localisation de cette frontiere lors de l’utilisation de MatLab

pour le maillage externe, par l’intermediaire de coordonnees spheriques.

Td

frontiere

elements finis

elements semi–finis

Fig. 5.10 – Un modele elements finis/elements semi–infini

La methodologie adoptee permet un traitement rapide de l’enveloppe, tout en uti-

lisant au maximum les possibilites de l’interface utilisateur d’ABAQUS (l’elaboration

des formes complexes peut etre envisagee). Une attention toute particuliere a la

definition du maillage semi–infini doit etre prise en compte, notamment sur leur orien-

tation (Figure 5.11(a)) par rapport aux elements finis connexes (Figure 5.11(b)), au

risque de disposer au final d’un modele non–conforme. Le choix de l’element de base

a ete motive par des elements tetraedriques et nous avons remarque que l’element


lineaire C3D4 a 4 nœuds fournit de meilleurs resultats que son homologue C3D10 a

10 nœuds (a fonction de forme quadratique), pour le meme nombre d’elements. Pour

l’enveloppe, on retrouve des elements briques C3D8R a 8 nœuds couples aux elements

semi-infinis CIN3D8R correspondants.

12

34

5 6

78

(a) Element infinia 8 nœuds CIN3D8R

12

34

5 6

78

face 1

face 2

face 3

face 4

face 5

face 6

(b) Element classique a 8nœuds C3D8R

Fig. 5.11 – Ordre des nœuds dans les elements briques a 8 nœuds

5.3.4 Regles de modelisation

Dans les problemes de propagation des ondes, la notion de dimension geometrique

ne peut avoir un sens significatif que si elle est comparee a une longueur d’onde

de reference. Ainsi, ceci s’applique pour un outil numerique tel que la methode

des elements finis qui necessite un maillage du domaine d’etude. Pour cela, une

etude preliminaire doit etre entreprise dans le but de determiner le nombre optimal

d’elements necessaires par longueur d’onde. On peut ainsi reduire les erreurs de

l’approximation adoptee et en meme temps approcher au mieux les phenomenes de

propagation d’ondes. Generalement, la longueur d’onde prise comme reference est

celle de Rayleigh, notee λR. Sa valeur est la plus faible comparee a celles des ondes

de compression et de cisaillement.

Laghrouche propose, dans son modele de frontieres absorbantes [LAG1996], le

choix de 10 elements par longueur d’onde sur base d’une erreur relative n’excedant

pas 5% pour une analyse harmonique4. Pour assurer le bon fonctionnement de

ces frontieres fictives, un domaine d’une longueur egale au moins a 3λR est necessaire.

4Cette condition est largement connue par les utilisateurs des elements finis.

5.4. Definition de l’amortissement 119

Dans le cas d’un modele valide dans une large gamme de frequences, les deux

conditions combinees peuvent impliquer un nombre assez important d’elements pour

un modele de sol.

5.4 Definition de l’amortissement

La prise en compte de l’amortissement est un point important dans la definition

du modele puisqu’il influence fortement les niveaux vibratoires que l’on cherche a

determiner. Au chapitre precedent, nous y presentions les differents modeles existants

et utilises pour definir l’amortissement interne d’un sol. Dans ABAQUS, la definition

de l’amortissement est differente selon que l’analyse s’effectue dans le domaine tem-

porel ou dans le domaine frequentiel.

5.4.1 Domaine temporel

L’amortissement le plus couramment utilise en analyse structurelle, de par sa

simplicite de mise en œuvre, reste l’amortissement proportionnel visqueux, seul defini

sous ABAQUS. Le cas particulier d’un amortissement proportionnel correspond a un

amortissement de Rayleigh dans lequel les proprietes d’amortissement sont reparties

de facon similaire aux proprietes de masse et/ou de raideur, de facon a ce que la

matrice d’amortissement [C] puisse s’exprimer par

[C] = α[M] + β[K] , (5.45)

α et β etant constants. Dans le cas ou α = 0, on retrouve la definition de l’amor-

tissement viscoelastique de Kelvin–Voigt ou l’on considere le module d’Young de la

forme

E∗ = E + jβωE

dependant de la pulsation d’excitation ω.

Cette definition de l’amortissement proportionnel visqueux trouve son lien avec

le degre d’amortissement reduit ξ, couramment utilise en analyse modale, et permet

ainsi de faire le lien avec les deux parametres de cet amortissement proportionnel

2ξ =α

ω+ βω (5.46)

et montre que ξ depend de la frequence. On peut introduire l’amortissement

hysteretique, ou facteur de perte, η par la formule η = 2ξ, valable uniquement lors-

qu’on est proche d’une resonance. On remarque donc qu’il est difficile de permettre


une correspondance entre cet amortissement hysteretique et les parametres de l’amor-

tissement proportionnel visqueux. Au mieux, et dans le cas ou l’on peut associer degre

d’amortissement et facteur de perte, nous pouvons approcher une valeur constante

au detriment des basses frequences (Figure 5.12). Un compromis sera de rigueur si

l’on decide de travailler dans le domaine temporel avec un amortissement defini de

maniere structurelle.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fact

eur

de

per

teη

[−]

Frequence [Hz]

α = 0 et β = 1.5 104

α = 16 et β = 1.3 104

Fig. 5.12 – Evolution de l’amortissement η en fonction des valeurs donnees auxparametres α et β

5.4.2 Domaine frequentiel

Le choix est plus riche dans le domaine frequentiel, ne serait–ce que par l’existence

de l’amortissement hysteretique

E∗ = E + jηE

qui ne trouve pas d’equivalent dans le domaine temporel. Afin d’etre le plus glo-

bal dans le type d’amortissement, ABAQUS propose une definition particuliere de

l’amortissement sous forme de six constantes [ABAQUStheory] :

Re(g∗1) , Im(g∗1) , a , Re(k∗1) , Im(k∗1) , b

ou a et b sont deux parametres qui definissent le type d’amortissement5. Les

constantes g∗1 et k∗1 sont, quant a elles, deux constantes complexes (definis par leur

partie reelle et leur partie imaginaire) qui interviennent lorsque le materiau est

5A ne pas confondre avec les parametres a et b, vus precedemment, definis pour la frontierevisqueuse.

5.4. Definition de l’amortissement 121

compressible. Dans le cas de l’elasticite lineaire, ces deux parametres sont identiques

et refletent respectivement le module de cisaillement G et de compressibilite6 K.

Le lien avec les modeles d’amortissement lies aux sols peut etre facilement etabli.

Si on considere le cas d’un cisaillement pur γ(t) dont l’evolution harmonique est

definie par

γ(t) = γ0 ejωt , (5.47)

en regime, la contrainte de cisaillement associee est exprimee par

τ(t) = G∗(ω)γ0 ejωt (5.48)

ou G∗(ω) est le module de cisaillement complexe, pouvant dependre de la frequence

et qui peut etre decompose de la maniere suivante

G∗(ω) = Gs(ω) + jGl(ω) (5.49)

dans laquelle

– Gs(ω) est le module de cisaillement reel lie a l’elasticite du sol,

– Gl(ω) est le module de cisaillement imaginaire lie a l’amortissement du sol.

Un nombre adimensionnel g(t) peut etre defini de la maniere suivante

g(t) =GR(t)

G− 1 (5.50)

ou GR(t) est la forme de relaxation du module de cisaillement et G le module de

cisaillement tel qu’il est defini en elasticite lineaire. Le lien avec l’Eq. (5.49) est etabli

par la transformee de Fourier de g(t), introduisant ainsi g∗(ω) [ABAQUStheory],

Gs(ω) = G (1 − ωℑm(g∗)) (5.51)

Gl(ω) = G (ωℜe(g∗)) (5.52)

En injectant les expressions (5.51) et (5.52) dans l’equation (5.49), on obtient :

G∗(ω) = G (1 − ωℑm(g∗)) + j G (ωℜe(g∗)) (5.53)

Pour un amortissement hysteretique, le module de cisaillement a la meme forme que

le module d’Young 4.69 :

G∗ = G (1 + jη) (5.54)

6Dans ce cas, K = E3(1−2ν)

et G = E2(1+ν)

ne dependent que du module d’Young complexe.


En egalant les parties reelle et imaginaire de G∗ definies par ces deux dernieres

equations, il en ressort les deux conditions suivantes

ωℜe(g∗) = η (5.55)

ωℑm(g∗) = 0 (5.56)

Dans le cas d’un amortissement visqueux defini par G∗ = G (1 + jβω), les conditions

sont

ℜe(g∗) = β (5.57)

ωℑm(g∗) = 0 (5.58)

On en deduit, dans les deux cas, que ℑm(g∗) = 0. Le meme raisonnement peut etre

effectue avec le module de compressibilite K et son parametre associe k∗.

Une dependance frequentielle peut etre definie de la maniere suivante [ABAQU-

Sanalysis]

g∗(ω) = g∗1 f−a k∗(ω) = k∗1 f

−b (5.59)

ou apparaissent les fameux parametres a et b ainsi que la frequence f . Les liens entre

les amortissements conventionnels deviennent ainsi plus explicites :

a = b = 1

ℜe(g∗1) = ℜe(k∗1) = η2π

ℑm(g∗1) = ℑm(k∗1) = 0

pour un amortissement hysteretique (5.60)

et

a = b = 0

ℜe(g∗1) = ℜe(k∗1) = β

ℑm(g∗1) = ℑm(k∗1) = 0

pour un amortissement visqueux (5.61)

Les deux definitions habituellement utilisees en dynamique des sols sont ainsi bien

representees sous ABAQUS.

5.5 Validation par l’intermediaire d’un modele axi-symetrique

Lorsqu’on se base directement sur un modele tridimensionnel du sol, on se

rend compte de la taille immense qu’aurait le modele si l’on se referait aux

recommandations donnees au §.5.3.4, a savoir au moins 10 elements par longueur

5.5. Validation par l’intermediaire d’un modele axisymetrique 123

d’onde λR pour un domaine de dimension superieure a 3λR : dans le cadre d’une

analyse dans une gamme frequentielle allant de 1 a 100Hz et pour des valeurs

usuelles des parametres de sols (E = 250MN/m2, ν = 0,3, ρ = 1500 kg/m3),

on depasse allegrement le milliard d’elements7 ! Il est donc peu raisonnable, avec

nos moyens de calcul actuels, de pouvoir respecter ces conditions dans un modele

tridimensionnel. Par contre, dans le cas d’un modele bidimensionnel, les contraintes

sur la taille du modele ne vont pas a l’encontre des possibilites materielles disponibles.

Le but d’un modele bidimensionnel est donc de pouvoir valider l’approche par

elements finis/elements semi–infinis d’un modele de sol. Dans l’affirmative, plusieurs

essais peuvent alors etre envisages afin d’optimiser la taille du modele de telle maniere

a pouvoir effectuer une analyse tridimensionnelle dans des conditions liees aux res-

sources informatiques sans sacrifier la qualite des resultats attendus. De par une plus

faible taille par rapport au cas tridimensionnel, cette optimisation ne sera que plus

efficace.

5.5.1 Resultats sur une analyse frequentielle

Le cas test est le suivant : une charge normale unitaire agit sur une surface cir-

culaire de rayon egal a 0,34m, le sol etant homogene de caracteristiques dynamiques

E = 269MN/m, ν = 0,257, ρ = 1550 kg/m3 et η = 0,1. Les valeurs des vitesses

des ondes de compression, de cisaillement et de Rayleigh sont respectivement egales

a 459m/s, 263m/s et 252m/s. Cette configuration n’a pas ete choisie au hasard :

a travers celle–ci, une validation peut etre menee puisque ce cas est une sorte de

benchmark pour les vibrations dans un sol pour lequel nous possedons des resultats

issus des deux modeles semi–analytiques presentes auparavant.

Le Tableau 5.1 reprend, pour une gamme de frequences [1 ; 100Hz], les conditions

a respecter telles que nous les avons presentees au Chapitre 2. Sur une analyse

unique, la taille des elements doit etre de 0,25m pour un rayon de 750m pour le quart

de cercle definissant le domaine. Meme dans le cas axisymetrique, ces contraintes

impliquent un nombre d’elements Ne depassant allegrement les 8 millions, ce qui

n’est pas acceptable en pratique. Parmi ces deux contraintes (taille des elements

Te et taille du domaine Td), la plus contraignante est sans doute la taille des elements.

Plusieurs simulations ont ete faites, soit en changeant les dimensions du modele

soit en changeant la taille des elements. Les Figures 5.13 a 5.15 reprennent l’evolution

7Avec un PC personnel equipe d’un processeur PIV cadence a 3GHz avec 2Go de memoire vive,un analyse frequentielle peut etre realisee sous ABAQUS avec un maximum de 500.000 elements.


Tab. 5.1 – Conditions requises pour une analyse frequentielle, en fonction de la

longueur d’onde

f λR taille des elements Te taille du domaine Td

1Hz 252m 25,22m 756m

2Hz 126m 12,61m 378m

3Hz 84m 8,41m 252m

4Hz 63m 6,30m 189m

5Hz 50m 5,04m 151m

10Hz 25m 2,52m 76m

15Hz 17m 1,68m 50m

20Hz 13m 1,26m 38m

25Hz 10m 1,01m 30m

30Hz 8m 0,84m 25m

35Hz 7m 0,72m 22m

40Hz 6m 0,63m 19m

45Hz 6m 0,56m 17m

50Hz 5m 0,50m 15m

60Hz 4m 0,42m 13m

70Hz 4m 0,36m 11m

80Hz 3m 0,32m 9m

90Hz 3m 0,28m 8m

100Hz 3m 0,25m 8m

de l’amplitude de la reponse a chaque frequence, se differentiant entre eux sur le

nombre d’elements. Les resultats issus des fonctions approchees de Green et du

modele de Jones etudie precedemment y sont inseres. La Figure 5.13 est le cas de

reference qui permet de comparer les resultats du modele ABAQUS par rapports aux

autres. Des constatations peuvent etre amenees sur les simulations ou l’on diminue

la taille du modele Td ou on augmente la taille des elements Te :

– Le respect de la taille des elements Te est la contrainte la plus critique.

Lorsqu’on depasse une taille d’element Te de 0,50m, les resultats varient

enormement, surtout en moyennes et hautes frequences (Figure 5.14). Cette

constatation peut etre egalement faite pour un modele elements finis classique

puisque le non–respect de la taille critique des elements entraıne un phenomene


proche de celui de l’aliasing.

– Les dimensions du modele peuvent facilement etre reduites jusqu’a Td = 250m

(1× la longueur d’onde λR). En dessous de cette valeur, des oscillations appa-

raissent en basses frequences (Figure 5.15) et sont d’autant plus importantes

que la taille du modele est petite (la dimension Td = 100m semble etre un bon

compromis).

– A travers le modele optimum avec Te = 0,25m et Td = 100m, on remarque

que les resultats collent assez bien avec le modele semi–analytique : le modele

base sur les fonctions approchees de Green est moins fidele en champ lointain.

L’analyse frequentielle etablie revele que la taille des elements finis doit etre egale

a λR

10 . Par contre on peut diminuer la taille du domaine au–dela de la limite preconisee

par Laghrouche [LAG1996], jusqu’a une distance de λR voire moins. Dans le cas ou

l’on se trouve en dessous de cette limite, une analyse frequentielle serait peut-etre

moins appropriee qu’une analyse temporelle. En effet, dans ce cas, la propagation

des ondes est de nature transitoire et pourrait etre prise en compte de maniere plus

realiste dans le domaine temporel.

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10−10

Fréquence [Hz]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]

5 m (modèle de Jones)10 m (modèle de Jones)15 m (modèle de Jones)5 m (modèle de Green)10 m (modèle de Green)15 m (modèle de Green)5 m (modèle ABAQUS)10 m (modèle ABAQUS)15 m (modèle ABAQUS)

Fig. 5.13 – Resultats issus d’une analyse frequentielle pour un modele axisymetrique(Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000)


0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10−10

Fréquence [Hz]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]


Fig. 5.14 – Resultats issus d’une analyse frequentielle pour un modele axisymetrique(Te = 1m, Td = 250m, Ne = 60.000) : effet de la taille d’elements Te

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10−10

Fréquence [Hz]

Dép

lace

men

t ver

tical

|w|

[m]


Fig. 5.15 – Resultats issus d’une analyse frequentielle pour un modele axisymetrique(Te = 0,25m, Td = 20m, Ne = 6.000) : effet de la dimension du modele Td


5.5.2 Resultats sur une analyse temporelle

D’un point de vue physique, une simulation frequentielle s’apparente a une exci-

tation sinusoıdale agissant sur la surface du sol : la decroissance des ondes due au

milieu peut ne pas etre prise totalement en compte si la frontiere n’est pas parfaite-

ment opaque a ces ondes. Dans le cas d’une simulation temporelle, si on considere une

charge de type impact agissant sur le sol, la notion de decroissance peut etre mieux

apprehendee. C’est pourquoi le cas test suivant a ete applique : une charge impulsive

P de 1N agissant sur une surface circulaire de rayon egal a 0,34m. Les caracteristiques

de sol de l’analyse precedente ont ete conservees, hormis pour l’amortissement que

l’on considere comme visqueux (amortissement global dependant de la frequence)

avec le parametre β = 0,0002. Le cas de charge est defini par la fonction decay

a =

A0 si t < t0A0 +Ae[−(t−t0)/td] si t ≥ t0

(5.62)

avec A0 = 0, A = 1N, t0 = 0,05 s, td = 0,001 s comme choix de valeurs de maniere a

faire correspondre cette fonction au mieux a une impulsion (Figure 5.16). De cette

maniere, la gamme de frequences jusqu’a 100Hz est prise en compte de la meme

facon que dans l’analyse frequentielle.

De la meme maniere que precedemment, plusieurs simulations ont ete faites, en

changeant essentiellement la taille du modele, puisque peu de libertes sont permises

sur la taille des elements. La Figure 5.17 reprend divers resultats issus d’une analyse

temporelle, en faisant varier le nombre d’elements. Les resultats issus des fonctions

approchees de Green y sont egalement inseres8, apres passage dans le domaine

temporel. Les deux modeles fournissent des resultats fort comparables tant sur

le niveau que sur la forme, les parametres Te = 0,25m et Td = 100m ayant ete

utilises pour le modele (modele optimum en analyse frequentielle). Des oscillations

sont plus visibles dans le modele elements finis, l’amortissement visqueux y etant

vraisemblablement mieux pris en compte.

Dans une analyse de propagation d’ondes (vibratoires), il est plus logique de

travailler dans le domaine temporel avec une charge qui permet de se rendre compte,

dans notre cas, de ces propagations. L’analyse frequentielle, associee a une analyse en

regime, ne permet pas de les mettre en avant. Le fait de travailler directement dans

le domaine temporel permet de reduire les dimensions du modele jusqu’a des valeurs

plus faibles sans nuire a la qualite des resultats obtenus. Dans le cas d’une simulation

dynamique, il suffit de verifier que, pour une dimension donnee du modele de sol, la

8Nous avons constate un probleme de phase avec le modele de Jones lors du passage frequentiel–temporel, qui impliquait des resultats fort eloignes des deux autres methodes.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

Temps [s]

Am

plitu

de [

−]

0 20 40 60 80 1000

0.005

0.01

0.015

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

−]

Fig. 5.16 – Cas de charge pour l’analyse temporelle sous ABAQUS(A0 = 0, A = 1N, t0 = 0,05 s, td = 0,001 s)

reflexion des ondes sur la frontiere reste negligeable. Le Tableau 5.2 reprend, pour

chaque dimension etudiee, l’erreur commise, calculee comme etant le rapport entre

l’aire sous la courbe de deplacement u(t) a la surface du sol, par les ondes reflechies

et celle de l’onde directe, pour chaque point etudie

σr =Ar

Ad=

∫

∆tru2(t)dt

∫

∆tdu2(t)dt

, (5.63)

un peu comme un critere d’efficacite [LeHOU1980] mais en tenant compte du

signal sur le point de vue energetique. ∆td et ∆tr representent respectivement les

intervalles de temps sous lesquels on trouve les signaux directs et reflechis. Dans

ce meme tableau, on y mentionne egalement le rapport rmax entre le maximum

des signaux reflechis et directs. Le point le plus critique pour la comparaison est

celui le plus eloigne de la source, a savoir celui situe a 15m du point d’impact. On

remarque que, jusqu’a une dimension de 20m, les signaux restent tout a fait valides,

la reflexion des ondes sur les frontieres visqueuses n’ont qu’une tres faible influence

(le rapport σr est inferieur a 10%) sur l’ensemble des signaux. Le cas extreme

envisage, a savoir le point de mesure juste sur la frontiere absorbante, fournit pour

ce point un niveau vibratoire acceptable.


0 0.05 0.1 0.15 0.2

-2

0

2

4

6

8

10

12

x 10-11

Temps [s]

Dépla

cem

ent vert

ical w

[m

]

10 m (modèle de Green)

10 m (FEM avec Td = 100 m)




10 m (FEM with Td = 20 m)






5 m (FEM with Td = 20 m)

Fig. 5.17 – Resultats issus d’une analyse temporelle pour un modele axisymetrique(Te = 0,25m, Td = 50m, Ne = 40.000)

Tab. 5.2 – Efficacite d’un modele axisymetrique, avec frontiere visqueuse, selon ses

dimensions

Dimensions du modelea 5m a 10 m a 15m

σr rmax σr rmax σr rmax

Te = 0,25 m, Td = 100 m, Ne = 150.000 0,0 % 0,0% 0,0 % 0,0% 0,0 % 0,0%

Te = 0,25 m, Td = 50 m, Ne = 40.000 0,1 % 0,8% 0,4 % 1,8% 0,6 % 2,5%

Te = 0,25 m, Td = 25 m, Ne = 10.000 0,9 % 3,0% 2,2 % 4,7% 4,2 % 6,3%

Te = 0,25 m, Td = 20 m, Ne = 6.000 1,8 % 4,2% 5,0 % 6,2% 9,6 % 7,9%

Te = 0,25 m, Td = 15 m, Ne = 3.500 † 5,9% † 9,8% † 9,2%

† Pour cette configuration, la differentiation du signal direct et reflechi devient difficile.


Il en ressort au final que les dimensions du modele peuvent sans probleme etre

diminuees a des valeurs plus raisonnables d’un point de vue temps de calcul, sans

compromettre la qualite des resultats, au vu meme de resultats issus d’autres modeles.

Cette constatation n’est valable que dans le cas d’une simulation temporelle et en

tenant compte de l’amortissement du sol qui avantage cette diminution de taille

de domaine. Dans le cadre de cette recherche appliquee au trafic, la generation et

la propagation des vibrations dans le sol restent fondamentalement un phenomene

transitoire.

5.5.3 Apports des frontieres absorbantes par rapport a desconditions aux limites « classiques »

Afin de verifier l’apport des elements semi–infinis comme conditions aux limites,

une comparaison a ete envisagee avec deux conditions aux limites « classiques » : des

frontieres libres (Figure 5.18(a)) ou fixes (Figure 5.18(b)). Les conditions pour cette

frontiere libre

(a) Conditions libres a la frontiere

frontiere fixe

(b) Conditions d’encastrement ala frontiere

Fig. 5.18 – Conditions aux limites classiques etudiees

comparaison sont les suivantes : Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000 puisque ces

parametres fournissaient des resultats sans reflexion dans le cas ou les conditions

aux limites etaient definies pas des elements semi–infinis. Les Figures 5.19 et 5.20

nous montrent les resultats apres simulation. On remarque de maniere tres distincte

les ondes directes et reflechies. Parmi ces dernieres, la distinction entre ondes de

compression et ondes de cisaillement/de Rayleigh est tres claire, de par des vitesses

de propagation tres differentes : 459m/s pour les ondes P , 252m/s pour les ondes

R.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4

6

8

10

x 10-11

Temps [s]

Dé

pla

cem

en

t [

m]

5 m

10 m

15 m

12

réflexion desondes P

réflexion desondes R et S

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-11

Temps [s]

Dé

pla

ce

me

nt

[m

]

5 m

10 m

15 m

Fig. 5.19 – Resultats issus d’une analyse temporelle pour un modele axisymetrique(Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000) avec des conditions d’encastrement a lafrontiere

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4

6

8

10

x 10-11

Temps [s]

Dé

pla

cem

en

t [

m]

5 m

10 m

15 m

12

réflexion desondes P

réflexion desondes R et S

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-11

Temps [s]

Dé

pla

ce

me

nt

[m

]

5 m

10 m

15 m

Fig. 5.20 – Resultats issus d’une analyse temporelle pour un modele axisymetrique(Te = 0,25m, Td = 100m, Ne = 150.000) avec des conditions libres a la frontiere


Le phenomene de propagation d’ondes prend tout son sens a travers ces resultats

et les resultats precedents. Quelques constats interessants peuvent etre faits a partir

de la. Les signaux directs issus de ces simulations restent logiquement identiques

entre eux mais egalement avec ceux issus du modele avec elements semi–infinis. La

difference se fait sentir au niveau de la reflexion sur la frontiere. Les ondes reflechies

ne sont pas dans ce cas negligeables, representant, en terme d’amplitude, 20% du

signal direct (alors que l’amplitude reflechie est nulle avec des elements semi–infinis,

pour la meme dimension du modele). On peut egalement remarquer que, pour les

deux types de conditions, ces ondes reflechies sont identiques en terme de niveau

mais en opposition de phase.

Cette constatation rejoint la theorie de la reflexion et transmission a une inter-

face, presentee dans le chapitre precedent. Ce phenomene de reflexion s’accentue

lorsqu’on diminue la taille du modele ou, dans le cas extreme ou Td = 20m, les ni-

veaux reflechis avoisinent jusqu’a 75% par rapport aux niveaux incidents. On peut

donc tirer comme conclusion qu’un modele avec elements semi–infinis aux frontieres

permet ainsi de limiter cette reflexion non–voulue a son maximum. De plus, dans une

analyse temporelle, les dimensions du modele n’ont que tres peu d’influence sur les

resultats, ceci compare a une analyse frequentielle. A titre d’exemple, un modele axi-

symetrique constitue d’un quart de disque de rayon Td = 20m (Ne = 6.000) fournit

des resultats tout a fait acceptables avec un temps CPU d’environ 10min, pour une

simulation de duree 0,5 s avec un pas de temps ∆t = 0,001 s.

5.6 Modele tridimensionnel optimise

La section precedente a permis de faire une analyse parametrique sur le modele

et il en ressort qu’une analyse temporelle est plus apte a mettre en avant les vibra-

tions de sol que l’on associe a un phenomene de propagation d’ondes. Lors d’une

analyse frequentielle, si la dimension de modele n’est pas suffisante, des oscillations

apparaissent en basses frequences et tendent a etre de plus en plus importantes lors-

qu’on diminue la taille du modele. Le but de cette analyse etait de trouver un modele

sous ABAQUS suffisamment precis tout en ayant la possibilite de l’utiliser avec les

ressources informatiques actuelles. En procedant de cette maniere, un modele dyna-

mique de sol pourra etre developpe par elements finis sans que les dimensions du

modele viennent ralentir ce developpement. Remarquons d’emblee que cette consta-

tation n’est valable que dans le cas qui nous occupe, a savoir la dynamique des sols,

et que cette dimension optimisee s’est basee sur les parametres de sol classiques, dont

un amortissement non nul.

5.6. Modele tridimensionnel optimise 133

5.6.1 Resultats sur une analyse temporelle

Le cas test est le meme que precedemment : une charge normale agissant sur une

surface circulaire de rayon egal a 0,34m, le sol etant homogene de caracteristiques

dynamiques E = 269MN/m, ν = 0,257, ρ = 1550 kg/m3 et β = 0,0002. La charge

est de type impact comme defini precedemment (A0 = 0, A = 1N, t0 = 0,05 s,

td = 0,001 s). Globalement les memes resultats sont obtenus, compares aux resultats

du modele axisymetrique. La Figure 5.21 presente ainsi des captures d’animation

successives mettant en avant la propagation des ondes vibratoires dans le sol et

egalement les proprietes des ondes (vitesse et energie) et les qualites d’absorption des

elements semi–infinis.

(a) t = 0,05 s (b) t = 0,06 s

(c) t = 0,07 s (d) t = 0,08 s

(e) t = 0,09 s (f) t = 0,10 s

(g) t = 0,11 s (h) t = 0,12 s

(i) t = 0,13 s (j) t = 0,14 s

Fig. 5.21 – Propagation des ondes vibratoires (composante verticale) a la surface dusol, pour un modele tridimensionnel


5.6.2 Confrontation avec des resultats experimentaux

Une autre verification interessante est celle avec des valeurs experimentales. Le

cas test choisi est celui relatif au site de Watermael (site dit « de l’Elan ») qui avait

ete choisi pour des mesures vibratoires lors de passages de train et pour des mesures

de transmissibilite de sol [KOU2005c]. Ce sont ces dernieres qui vont etre mises en

avant en comparant les reponses a celle d’un modele elements finis. Les Figures 5.22

et 5.23 presentent respectivement la nature du sol et la disposition des capteurs de

mesure sur le site.

Site de l’ElanRegion deBruxelles-Capitale

Remblais

Alm

B

Yd

LEGENDE

Remblais

GROUPE QUATERNAIRE

Alluvions

Alluvions modernes des vallees

EOCENE MOYEN

Sable blanc Bruxellien

EOCENE INFERIEUR

Ypresien superieur

Argiles sableuses

Talus en deblais

Fig. 5.22 – Coupe geophysique du site de Watermael (site de l’Elan)

L’examen de ce site a montre qu’il est caracterise par une faible couche de rem-

blais, surmontant une couche de sable bruxellien, puis d’une couche d’argile. Pour

les besoins du modele, le remblais est integre au sable, les parametres dynamiques

etant fort proches. L’epaisseur h de la couche de sable se situe entre 2 et 3m sur une

distance de 30m ; au niveau du point d’impact, elle est de 2m (donnees obtenues

par refraction sismique). Les differentes investigations sur la caracterisation des

parametres de sol sont resumees sur la meme figure.

La force d’impact (Figure 5.24), determinee a partir de l’acceleration mesuree

sur la masse d’impact (~F = m~a), a ete reprise sur ABAQUS directement a partir du


Couche 1 2

Module d’Young E 120 MN/m2 704 MN/m2

Masse volumique ρ 1600 kg/m3 3500 kg/m3

Nombre de Poisson ν 0,3 0,3Vitesse cP 320 m/s 520 m/sVitesse cS 171 m/s 278 m/sVitesse cR 165 m/s 268 m/sAmortissement β 0,0004 0,0004

ρ1, E1, ν1, β1

ρ2, E2, ν2, β2

(2m

)

(4m

)(6

m)

(8m

)(1

0m

)(1

2m

)

(16m

)

h : de 2a 3m

xy z

impact a 12mde la voie

Fig. 5.23 – Caracteristiques dynamiques du sol et disposition des capteursgeophysiques et de l’impact lors des essais dynamiques au site de l’Elan

fichier experimental, en definissant ce dernier comme agissant sur une surface carree

de cote egal a 0,3m. L’impact n’etant pas parfaitement rigide, une deceleration peut

etre observee, ce qui differencie la chute de masse d’un impact ideal tel qu’on le

concoit en theorie. Le peu d’informations a ce sujet ne permet d’aller plus loin.

De la meme maniere que precedemment, une simulation sous ABAQUS a ete

faite afin de valider l’approche tridimensionnelle (Figure 5.25). La Figure 5.26

compare ainsi les resultats numeriques et experimentaux sur base des signaux

temporels, en terme de vitesses verticales, filtres de facon a eliminer les composantes

au–dela de 50Hz pour une meilleure comparaison. L’allure des courbes numeriques

correspond plus ou moins a celle des courbes experimentales ainsi que la plupart des

niveaux vibratoires. Les niveaux numeriques sont, en moyenne, fort proches de leurs

equivalents experimentaux, en les comparant en terme de vitesses particulaires PPV

(Figure 5.26(g)). Il serait ici utopique de croire a une parfaite correspondance entre

les deux types de courbes. Les courbes experimentales sont inevitablement entachees

d’erreurs liees a la mesure et une certaine imprecision regne sur les parametres

dynamiques de sol inclus dans le modele numerique.


(a) Masse d’impact

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Temps [s]

For

ce [

N]

(b) Evolution de l’effort agissant sur le sol

Fig. 5.24 – Excitation sur le sol

(a) t = 0 s (b) t = 0,05 s

(c) t = 0,1 s (d) t = 0,15 s

Fig. 5.25 – Propagation des ondes vibratoires a la surface du sol (composante verti-cale), pour un impact sur le site de l’Elan


0 0.2 0.4−10

0

10

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

(a) vz(x = 2 m)numerique

0 0.2 0.4

−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

(b) vz(x = 8 m)numerique

0 0.5−1

0

1

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

(c) vz(x = 12 m)numerique

0 0.2 0.4−10

0

10

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

(d) vz(x = 2 m)experimental

0 0.2 0.4

−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

(e) vz(x = 8 m)experimental

0 0.5−1

0

1

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

(f) vz(x = 12 m)experimental

0 5 10 1510

−2

10−1

100

101

Distance de l’impact [m]

Vite

sse

part

icul

aire

PP

V [

mm

/s]

ExpérimentalNumérique

(g) Evolution de la vitesse particulaire PPV verticale enfonction de la distance de l’impact

Fig. 5.26 – Comparaison numerique – experimentale pour un impact sur le site del’Elan


5.7 Remarque sur l’utilisation du solveur ABA-QUS/Explicit dans le cadre du modele

Le qualificatif d’implicite ou d’explicite se rapporte au schema d’integration par

rapport au temps t. Il est connu que les methodes implicites sont plus precises et

surtout plus stables que leurs homologues explicites.

Pour les methodes de resolution implicites, on cherche a chaque pas de temps

∆t une solution en deplacement, en vitesse et en acceleration verifiant les equations

differentielles du mouvement. La presence de non–linearites dans le probleme oblige a

une recherche iterative de cette solution (methode de Newton). Le cout de la recherche

de la solution a chaque pas de temps depend notamment :

– des non–linearites presentes dans le domaine, qui peuvent rendre impossible la

convergence de l’algorithme,

– de la taille du pas de temps : plus le pas de temps est long, plus la convergence

est difficile,

– de la taille de la matrice d’iteration, qui doit en general etre inversee a chaque

iteration.

La procedure implicite (via ABAQUS/Standard) est basee sur les formules de New-

mark

~qt+∆t = ~qt + ∆t ~qt + (0.5 − β)∆t2~qt + β∆t2~qt+∆t (5.64)

~qt+∆t = ~qt + (1 − γ)∆t ~qt + γ∆t ~qt+∆t (5.65)

avec ~q l’ensemble des parametres de configuration du modele (β et γ sont choisis en

fonction des applications9).

Les methodes de resolution s’appuyant sur un schema d’integration explicite en

temps expriment l’acceleration a la fin du pas de temps en fonction de la solution

(deplacements, vitesses et accelerations) au pas de temps precedent. La determination

9Dans le cas d’une simulation sous ABAQUS, les valeurs de β et γ sont imposees respectivement a14

et 12, correspondant a une acceleration constante entre le temps t et t+∆t, egal a la valeur moyenne

de ~qt et ~qt+∆t. Lorsqu’un amortissement numerique doit etre utilise, La methode de Newmark laisseplace a la methode de Hilbert, Hughes, and Taylor (HHT ) qui n’est qu’une methode de Newmarkamelioree ou l’ajout volontaire d’un amortissement α est effectue a travers les parametres β et γ :

β =1

4(1 − α)2

γ =1

2− α

avec 13≤ α ≤ 0 (l’utilisateur impose cette valeur dans la definition de l’analyse dynamique). De plus,

les equations du mouvement sont modifiees en introduisant une dissipation numerique (methode–α).

5.7. Remarque sur l’utilisation du solveur ABAQUS/Explicit dans le cadre du modele 139

de la solution a la fin du pas de temps repose donc sur la resolution de l’equation

lineaire determinant cette acceleration. Cette resolution est rendue tres rapide par

la diagonalisation de la matrice de masse. Avec ces methodes, il n’y a donc pas de

recherche d’equilibre, et donc pas d’iterations necessaires pour obtenir cet equilibre.

La solution a chaque pas de temps est obtenue directement suite a l’inversion de la

matrice de masse diagonalisee. Les desequilibres mecaniques sont corriges a posteriori

d’un pas de temps a l’autre. La procedure explicite (sous ABAQUS/Explicit) via la

methode des differences centrees est la plus connue :

~q(i+1) = ~q(i) + ∆t(i+1)~q(i+ 12 ) (5.66)

~q(i+ 12 ) = ~q(i− 1

2 ) +∆t(i+1) + ∆t(i)

2~q(i) , (5.67)

utilisant des valeurs semi–incrementales. La stabilite de ces methodes explicites est

garantie si le pas de temps est plus petit que le temps necessaire a une onde de

compression pour traverser le plus petit element fini de la structure [ABAQUStheory]

∆t ≈ Te

cP

ou Te est la plus petite dimension du maillage. Cette condition se traduit egalement

en terme de contenu frequentiel

∆t ≤ 2

ωmax(5.68)

ou ωmax peut etre considere comme la plus haute valeur propre du systeme et

definissant ainsi la limite de stabilite ∆tmin de l’operation au point milieu. Dans

ABAQUS/Explicit, un leger amortissement peut etre introduit afin de controler les

oscillations a hautes frequences. En tenant compte de cet amortissement, le pas de

temps induit une integration stable si

∆t ≤ 2

ωmax(√

1 − ξ2 − ξ) (5.69)

ou ξ est le degre d’amortissement relatif au modele. Contrairement a ce que l’on

pourrait croire, l’introduction d’un amortissement dans la solution reduit le pas de

temps stable ∆tmin. Un coefficient de viscosite volumique (bulk viscosity), defini par

l’utilisateur, introduit cet amortissement associe a une deformation volumique. Son

but est d’ameliorer le comportement du modele a hautes frequences.

Jusqu’a present, la plupart des simulations ont ete etablies sur base d’un schema

d’integration implicite (ABAQUS/Standard). Dans le cas presente precedemment, une


simulation 3–D de 0 a 0,5 s avec un pas de temps ∆t = 0,002 s necessitait 48 h, sur

un PC personnel equipe d’un processeur PIV cadence a 3GHz avec 2Go de memoire

vive. Sur base d’un schema explicite (ABAQUS/Explicit), la meme simulation ne

necessite plus que 6 h, avec neanmoins un ajustement du pas de temps a ∆t = 10−5 s

afin d’obtenir une precision suffisante. Puisqu’un amortissement visqueux est intro-

duit dans le modele et que les resultats dependent de cet amortissement, l’utilisation

d’un amortissement numerique devient superflu.

Au vu des ces constatations, il semble logique d’accorder notre confiance au

schema d’integration implicite. Ce dernier necessite malheureusement trop de temps

de calcul avec les moyens informatiques actuels. Dans le cadre d’analyses semblables,

un bon compromis que l’on peut envisager serait de travailler, pour un cas donne

et si cela reste possible, suivant les deux schemas d’integration afin de verifier la

concordance des resultats ; dans l’affirmative, les autres cas ne pourraient ainsi etre

traites qu’avec ABAQUS/Explicit. Dans le cas ou l’utilisation du schema implicite

devient prohibitif, la limite de stabilite ne peut etre seule un gage de securite sur la

convergence de la simulation. A ce stade, ABAQUS dispose de plusieurs options avec

son schema explicite :

– L’utilisation d’artifices tels l’introduction d’un amortissement numerique ou la

mise a l’echelle de la matrice masse (mass scaling) est seduisante mais ils sont

a proscrire dans notre cas.

– L’utilisateur peut se baser sur des « gardes–fous » tels que la vitesse de

deformation dont on peut definir les limites (par defaut, 0,3 et 1 respective-

ment pour les warning et les error).

– Dans le meme esprit, le suivi de l’evolution de l’energie cinetique est un moyen

plus accessible pour l’utilisateur ; il permet, en temps reel, de verifier le bon

deroulement de la simulation : en analyse quasi–statique, la valeur de l’energie

cinetique ne depasse generalement qu’une faible fraction (souvent 10%) de

l’energie de deformation totale, comme l’illustre la Figure 5.27 sur un exemple

concret.

5.8 Conclusion

La majorite des modeles numeriques se basent sur la methode aux elements

frontieres, avec comme inconvenient, le fait de travailler presque exclusivement dans

le domaine frequentiel et d’etre limite a certains cas d’etudes (sols homogenes ou

stratifies a couches horizontales). La methode des elements finis semble etre une

alternative interessante aux methodes basees sur les transformations integrales,

lorsqu’on greffe des elements semi–infinis a la frontiere du domaine fini, definissant

5.8. Conclusion 141

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

Temps [s]

Ener

gie

[J]

energie totaleenergie cinetique

10%

(a) Simulation stable

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

Temps [s]

Ener

gie

[J]

energie totaleenergie cinetique

10%

(b) Simulation instable

Fig. 5.27 – Exemple de stabilite du schema explicite sur base du critere energetique

ainsi des conditions aux limites realistes. En analyse frequentielle, certains auteurs

ont demontre que la taille du domaine se devait d’etre d’au moins trois fois plus

grande que la longueur d’onde λR caracteristique du sol pour avoir une qualite de

resultats suffisante. L’approche offerte par le logiciel ABAQUS propose l’utilisation

d’une frontiere visqueuse, en plus des elements semi–infinis. Nous avons par ailleurs

montre que les conditions sur la taille du domaine pourraient se ramener a une fois

la longueur d’onde λR.

Il est donc possible d’utiliser la methode aux elements finis afin de couvrir nos be-

soins mais les moyens et les temps de calcul peuvent rebuter ce genre d’analyse. Des

comparaisons ont ete menees, confrontant ainsi les resultats obtenus avec des valeurs

de reference, afin de valider le modele developpe mais surtout d’alleger les regles de

bonne pratique. Diverse validations ont ainsi ete menees, sur base de modeles ana-

lytiques (fonctions approchees de Green et modele de Jones) et sur base de resultats

experimentaux : il en ressort que, contrairement a une analyse frequentielle, les dimen-

sions du modele dedie a une analyse temporelle sont sujettes a moins de contraintes,

permettant ainsi de travailler sur des modeles plus compacts et donc moins gour-

mands en ressources informatiques : les dimensions du modele peuvent ainsi etre

reduites a la zone d’interet de l’analyse dynamique. Par ailleurs, une analyse tempo-

relle est mieux adaptee au phenomene de propagation d’ondes, en plus d’etre mieux

compatibles aux signaux provenant du sous–systeme vehicule/voie, presente au Cha-

pitre 3 et egalement simule dans le domaine temporel. Les Figures 5.28 et 5.29 rap-

pellent le moyen de proceder et synthetisent l’aspect logiciel dans la simulation dy-

namique du sol.


definition d’une enveloppe (region exterieure)

ajout des elements semi–infinis sur l’enveloppe

definition de la region interieure ou agissent les efforts

assemblage de la region interieure et de la region exterieure

xyz

~fs

elements semi–infinis

elements semi–infinis

region

interieure

Fig. 5.28 – Differentes phases de modelisation du sol en vue de predire les effetsvibratoires du trafic ferroviaire

5.8. Conclusion 143

100010110

100010110

Simulation du sous–systeme vehicule/voie (cf. Fig.3.18)

evolution temporelle

*.res

*.odb

resultatsDonnees sol

exportation du modele

exportation du modele

exportation du modele complet

(enveloppe)

(enveloppe maillee)

(region exterieure)

(region exterieure)

verification du sens deselements et permutation

creation des elementssemi–infinis

creation des nœuds pourelements semi–infinis

lecture du fichier

lecture du fichier

maillage par elements

maillage par elementsC3D8R

definition ducomportement

dynamique (materiaux& amortissement)

creation d’une coque

definition des effortssurfaciques

definition de la zoned’interet

(region interieure)

tetraedriques C3D4

assemblage(region interieure et region exterieure)

Choix du schema d’integration

implicite explicite

ABAQUSABAQUS

standard explicit

solveur

fichier *inpfichier *inp

fichie

r*inp

Fig. 5.29 – Mise en œuvre de la simulation temporelle dans la partie sol


Un modele peut etre etabli de cette maniere et peut egalement etre utilise dans

la simulation des vibrations induites par le trafic ferroviaire, en y faisant intervenir

les resultats issus du sous–systeme vehicule/voie. Les chapitres suivants s’efforceront

de valider l’approche adoptee a travers plusieurs cas d’etude, presentant chacune

certaines particularites.

CHAPITRE 6

Cas d’etude : le tram T2000 de Bruxelles

R’satchez vos longs pidsEl’tram va les spotchi. . .

Hors des rails, hors des rails,Hors des rails, v’la l’tram qui passe

extrait d’un chant estudiantin montois

Le premier cas d’etude est celui du tram T2000 LRV de Bruxelles (Figure 6.1).

Cette etude avait ete initiee en 1996 par la STIB (Societe des Transports Inter-

communaux de Bruxelles) qui avait observe des nuisances vibratoires assez impor-

tantes provoquees chez les riverains par le nouveau tram, dont sa particularite est

d’avoir un plancher de niveau assez bas et des roues independantes entre elles. Cette

conception, differente par rapport aux trams classiques, impliquait le fait que chaque

moteur est directement monte sur les roues motrices, augmentant ainsi la masse non–

suspendue du vehicule. Par le passe, deux projets avaient ete menes plus ou moins

de maniere parallele :

– Le projet VLIM (du departement de genie civil de la KUL, de 1994 a 1996) s’est

surtout interesse au recepteur qu’est le sol en etudiant, entre autres, les possi-

bilites d’ecran en polystyrene a travers des mesures avant et apres placement

dudit ecran, permettant de verifier les attenuations qu’il engendre [DEG1996].

– le projet TRANSDYN (du service de Mecanique Rationnelle, Dynamique et

Vibrations de la FPMs, de 1996 a 1998) s’est surtout focalise sur la source

145

146 6. CAS D’ETUDE : LE TRAM T2000 DE BRUXELLES

vibratoire en etudiant la dynamique du vehicule et de la voie et son impact

sur le sol en verifiant l’apport de roues resilientes sur la reduction des vibra-

tions [TRANSDYN].

Ces projets, menes de maniere independante, ont permis de caracteriser de maniere

assez complete le site d’investigation, a savoir la voie ferroviaire d’essai de la STIB,

a Haren.

Fig. 6.1 – Tram T2000 de Bruxelles

Ce chapitre s’interessera notamment a la presentation de la phase identification

des parametres du site qui a fait objet de longues investigations et qui a, par ailleurs,

permis d’etablir une methodologie fiable sur l’identification des parametres de voie

et de sol. Les resultats de simulation seront ensuite presentes, en les comparant avec

leurs equivalents issus de campagnes de mesures. La confrontation permettra surtout

de valider notre approche et notre modele dans le cas de faibles vitesses du vehicule.

6.1 Modele du tram

La Figure 6.2 presente la configuration du tram etudie, compose de trois caisses

(avant, centrale et arriere), equipees de roues independantes. Les bogies des caisses a

l’extremite sont articules et comportent une paire de roues motrices et une paire de

roues independantes. Les roues du bogie de la caisse centrale sont toutes motrices.

Les dimensions sont egalement fournies sur cette figure ainsi que la charge a chaque

essieu (la charge totale est ainsi de 32 tonnes).

Dans le cas des caisses aux extremites (Figure 6.3), elles se composent d’une

masse suspendue (mc), liee a un bogie (masse mb, moment d’inertie Ib) au moyen

d’une suspension secondaire (raideur k2, constante d’amortissement d2). Le modele

6.1. Modele du tram 147

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

3600

5701130 850 850

7800 36007800

5701130

8,3

0T

8,3

0T

3,4

5T

3,4

5T

4,2

5T

4,2

5T

Fig. 6.2 – Configuration du tram T2000

du bogie inclut deux roues : une roue motrice (masse mm) reliee au bogie par une

suspension primaire (km, dm) situee a une distance Lm de la suspension secondaire et

une roue independante (masse md) reliee au bogie par une autre suspension primaire

(kd, dd) situee a une distance Ld de la suspension secondaire. Les roues motrices sont

equipees d’un bandage en acier de masse mt, relie a la roue par une matiere elastique

q0

q1 q2

q3

q4q5

mc

mm

mb,Ib

md mtkt

kdkm

k2

dt

dddm

d2

F1,cF2,c

LmLd

kp

kb

dp

db

m

E,I,Ar ,ρr

Fig. 6.3 – Modelisation du vehicule (caisse avant)


(kt, dt), ce qui les qualifie de roues resilientes si la raideur kt est suffisamment faible.

Le tangage de la caisse n’est pas pris en compte, vu sa longueur importante. Les

degres de liberte sont ainsi au nombre de 6, decrivant le mouvement vertical de la

caisse (q0), du bogie (q1), de la roue motorisee (q3) et de son bandage (q4) ainsi que

de la roue independante (q5). Le mouvement de tangage du bogie est decrit par le

parametre q2. Des lors, les equations du mouvement de la caisse avant se mettent

ainsi sous la forme linearisee :

mc q0 + d2 (q0 − q1) + k2 (q0 − q1) +mc g = 0 (6.1)

mb q1 + d2 (q1 − q0) + k2 (q1 − q0)

+dm (q1 + Lm q2 − q3) + km (q1 + Lm q2 − q3)

+dd (q1 − Ld q2 − q5) + kd (q1 − Ld q2 − q5) +mb g = 0 (6.2)

Ib q2 + dm Lm (q1 + Lm q2 − q3)

+km Lm (q1 + Lm q2 − q3) − dd Ld (q1 − Ld q2 − q5)

−kd Ld (q1 − Ld q2 − q5) = 0 (6.3)

mm q3 + dm (q3 − q1 − Lm q2) + km (q3 − q1 − Lm q2)

+dt (q3 − q4) + kt (q3 − q4) +mc g = 0 (6.4)

mt q4 + dt (q4 − q3) + kt (q4 − q3) − F1,c +mt g = 0 (6.5)

md q5 + dd (q5 − q1 + Ld q2) + kd (q5 − q1 + Ld q2) − F2,c +md g = 0 . (6.6)

Les efforts de contact F1,c et F2,c sont definis par la theorie de Hertz, vue a la

Section 3.1. Le meme formalisme est adopte pour la caisse centrale (les memes sus-

pensions sont considerees avec une masse mh pour la caisse). Les differentes valeurs

geometriques et dynamiques du vehicule sont fournies plus loin, au Tableau 6.2. Pour

un vehicule complet, le nombre de ddl s’eleve au final a 18 (6 pour chaque caisse).

6.2 Receptance de la voie

Le site investigue est celui de Haren, a la voie d’essai de la STIB. Celle–ci se

compose d’un rail vignole de type EB50T, supporte par les traverses en bois de

masse m = 90,84 kg. La particularite de ce site est qu’il a fait l’objet de nombreux

tests afin de determiner sa transmittance, a travers :

– des essais d’impact avec marteau instrumente (Figure 6.4(a)) pour une analyse

modale classique,

– des essais harmoniques a travers une excitation par moteur dequililibre (Fi-

gure 6.4(b)), ideal pour la caracterisation en basses frequences (la ou les essais

au marteau deviennent imprecis),

6.2. Receptance de la voie 149

– des essais statiques au moyen d’une machine d’enfoncement (Figure 6.4(c))

appliquant une force controlable sur la voie,

sans oublier les analyses effectuees par le departement de genie civil de la

KUL [VDB1995].

(a) Marteau instrumente (b) Moteur a balourd

(c) Chargement de la voie

Fig. 6.4 – Moyens de caracterisation de la voie du site de Haren

L’identification des parametres de voie (semelle et ballast) passe inevitablement

par un recalage entre les differentes mesures et un modele elements finis identique a

celui du modele de voie (Figure 6.5) a partir des courbes de receptances H(ω). Les

differentes courbes experimentales presentent une dispersion notable mais restent de

toute facon assez proches afin de tirer une courbe numerique

H(ω) =1

−ω2Mt + Kt + jωCt(6.7)

ou Mt, Ct et Kt sont respectivement les matrices de masse, d’amortissement et de

raideur de la voie. Le recalage permet de mettre en evidence les modes T1 et T2,

respectivement a 88 et 341Hz. Le troisieme mode identifie comme le mode P–P est


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Rec

epta

nce

[m/N

]

Frequence [Hz]

marteau instrumente

moteur dequilibre

model EF

mesures KUL

10 100 1000

10−7

10−8

10−9

10−10

Fig. 6.5 – Identification des parametres de voie du site de Haren

aux alentours de 875Hz. Les valeurs suivantes sont ainsi etablies pour les parametres

de voie :

kp = 90MN/m kb = 25,5MN/m dp = 30 kNs/m db = 40 kNs/m

et une raideur statique de l’ordre de 60MN/m peut etre deduite, en bonne concor-

dance avec les essais statiques.

6.3 Investigation du sol

Des essais de sol ont ete effectues durant la periode du projet TRANSDYN en

procedant a des tests d’impact sur le sol afin de determiner les temps d’arrivee des

ondes volumiques et de surface (voir Annexe B pour un descriptif de la methode). La

Figure 6.6(a) reprend les accelerations verticales normees (et filtrees entre 5 et 150Hz)

pour les differentes stations de mesures. Un picking a ainsi ete effectue afin de dis-

poser des temps d’arrivee des ondes P et R. Les Figures 6.6(b) et 6.6(c) confirment

que l’onde prise pour l’identification de la vitesse cR est bien une onde de Ray-

leigh, et ce grace a des mesures selon la direction verticale et selon la direction

radiale (axe source–recepteur). Nous pouvons ainsi apercevoir simultanement dans

ces cas un mouvement elliptique retrograde, caracteristique de l’onde de Rayleigh. Le

faible nombre de capteurs mis en jeu ne permet pas d’utiliser avec precision d’autres

methodes telles que la refraction sismique ou la SASW qui offrent la possibilite de

caracteriser le sol avec sa profondeur. Le sol est des lors considere comme homogene,

6.4. Modele adopte pour le sol 151

faute d’investigations supplementaires, et la masse volumique est prise egale a la va-

leur moyenne de 2000 kg/m3. Le Tableau 6.1 resume ainsi les parametres dynamiques

de sol.

Numero des capteurs

Tem

ps

[ms]

0

50

100

150

200

250

300

350

400

12345678

(a) Temps d’arrivee

−2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2

Acc

élér

atio

n ve

rtic

ale

[m/s

2 ]

Accélération radiale [m/s2]

StartEnd

(b) Mouvement particulaire a5 m

−0.5 0 0.5−0.5

0

0.5

Acc

élér

atio

n ve

rtic

ale

[m/s

2 ]

Accélération radiale [m/s2]

StartEnd

(c) Mouvement particulaire a10m

Fig. 6.6 – Analyse selon une levee des temps d’arrivee directe au site de Haren

Tab. 6.1 – Resultats issus de la prospection geophysique sur le site de Haren

cP cR ρ ν

305m/s 156m/s 2000 kg/m3 0,28

6.4 Modele adopte pour le sol

Le modele elements finis/elements semi–infinis adopte pour le sol comporte un

nombre de ddl assez important : au total 386.000 elements pour 320.000 ddl. Les simu-

lations ont ete etablies suivant un schema d’integration explicite (ABAQUS/Explicit).


Le lien avec le modele vehicule/voie est etabli a travers l’Eq. (3.40) ou une surface

de sol est dedie a chaque traverse, avec, bien evidemment, le maillage adapte. Dans

un premier temps, seule la premiere caisse est simulee (caisse avant). Une simulation

dynamique de 0 a 0,75 s avec un pas de temps ∆t = 10−5 s necessite environ 20 h de

calcul. Dans le cas d’une simulation par un schema implicite, un temps de calcul de

plus de 3 jours est necessaire, malgre un pas de temps 100 fois plus grand. A titre

de comparaison, le modele vehicule/voie sous EasyDyn necessite seulement 12 h pour

une simulation avec un pas de temps ∆t = 5.10−5s (avec un nombre de ddl total

de 84). Si on tient compte d’un calcul sur une machine equipee d’un processeur a

deux cœurs, le temps se reduit considerablement comme le montre la Figure 6.7, dont

les valeurs sont relatives a une simulation dynamique de 0,75 s uniquement pour la

caisse en extremite. Bien evidemment, le temps de simulation adopte depend de la

0

50

100

150

Tem

ps d

e ca

lcul

[he

ures

]

20 min

Simulation véhicule/voie Simulation voie/sol (implicite 1−CPU) Simulation voie/sol (explicite 1−CPU) Simulation voie/sol (explicite 4−CPU)

Fig. 6.7 – Temps de calcul dedies a la simulation du tram T2000

vitesse du vehicule mais egalement de sa longueur, afin de tenir compte du passage

de chaque essieu sur la « portion de sol » qui lui est dediee. Pour le vehicule complet,

les temps sont plus importants (5 h pour le modele vehicule/voie et 4 jours pour le

modele voie/sol en mode explicite mono–processeur).

6.5 Resultats lors du passage sur une cale

Une identification complete du site de Haren, couplee aux parametres du vehicule

permet de proceder a des simulations des vibrations generees, a travers les deux

sous–systemes vehicule/voie et voie/sol. Les donnees sont reprises au Tableau 6.2.

Aucune information sur la qualite de la voie n’a pu etre fournie et une classe 3 (qua-

lite moyenne) a ete choisie, en concertation avec les informations obtenues de la STIB.

6.5. Resultats lors du passage sur une cale 153

Tab. 6.2 – Proprietes utilisees dans la simulation du modele complet au site de Haren

parametres du vehicule parametres de la voie parametres du sol

d2 56,25 kNs/m Ar 0,00638 m2 cP 305 m/s

dd 6 kNs/m db 40e3 Ns/m cR 156 m/s

dm 18 kNs/m dp 30e3 Ns/m cS 169 m/s

dt 3 kNs/m Er 210 GN/m2 E 146 MN/m2

Ib 300 kgm2 Ir 1988 cm4 β 0,0003

k2 960 kN/m kb 25.5 MN/m ν 0,28

kd 5,876 MN/m kp 90 MN/m ρ 2000 kg/m3

km 44 MN/m L 0.72 m

kt 145 MN/m ρr 7850 kg/m3

Ld -1,13 m KHz 92,9 GNm2/3

Lm 0,57 m A 0,53 µm

m 45,42 kg φ1 0,0233 cycles/m

mb 1800 kg φ2 0,13 cycles/m

mc 7580 kg

mh 2600 kg

md 160 kg

mm 1890 kg

mt 80 kg

L’etude menee dans le projet TRANSDYN s’est essentiellement faite sur des

defauts locaux, allant meme jusqu’a creer artificiellement un defaut de type « cale »

(Figure 6.8) et a mesurer les vibrations induites par le passage d’un tram sur ce

dernier et ce, a differentes vitesses. Ce defaut a un impact analogue aux joints de

rail ou a un aiguillage mais a l’avantage d’etre plus facilement modelise en tenant

meme compte de la courbure de la roue. Le defaut vu par le vehicule est a ajouter

aux irregularites de voie et peut ainsi se mettre sous la forme

hdefaut(x) =√

R2roue − (x− x0 − l0)2 + ∆h−Rroue (6.8)

avec

l0 =√

∆h (2Rroue − ∆h)


dans laquelle Rroue est egal a 0,340m et x la position de la roue, la cale ayant une

hauteur ∆h et se situant a une coordonnee x0+l0. Cette expression n’est evidemment

valable que lors de la montee sur cale (x0 ≤ x ≤ x0 + l0). Il faut bien sur prendre

hdefaut(x) = 0 avant la montee et hdefaut(x) = ∆h apres jusqu’au moment de la

descente ou le meme phenomene se repete mais dans l’autre sens. Lors des essais, une

cale de hauteur ∆h = 1mm et de longueur l = 5mm a ete fixee sur le champignon du

rail, au droit des capteurs de sol servant a la mesure. La longueur reste suffisamment

faible pour eviter au maximum toute correlation entre les frequences de passage du

defaut et les frequences propres de corps flexibles du vehicule. Le spectre du defaut

s’etend au plus sa longueur est importante, etalant ainsi l’energie spectrale et dimi-

nuant de ce fait son amplitude dans les zones d’excitation de corps flexible de la caisse.

o

o′

A

P

P ′Q

v0

x0 l0 l

Rroue

R ∆hcale placee sur lechampignon du rail

Fig. 6.8 – Modelisation du passage sur cale

Les Figures 6.9 a 6.11 comparent ainsi les resultats numeriques avec leurs

equivalents experimentaux, aussi bien au niveau du vehicule (acceleration de la

roue motrice) qu’au niveau de la surface du sol, pour une vitesse du vehicule de

30 km/h. A cause de cette faible vitesse, l’impact de chaque caisse peut etre analyse

de maniere separee, sans qu’il y ait influence entre les vibrations induites entre

elles : les vibrations sont essentiellement dues au passage de chaque roue au droit

du defaut local et celles dues au premier essieu sont totalement attenuees quand

debutent celles du second essieu. La deflexion statique de la voie a des lors un impact

negligeable sur le mouvement du sol. Afin de mettre en evidence l’interet d’un

modele complet pour le vehicule, on compare egalement les resultats numeriques a

partir d’un modele simplifie (simple essieu charge) comme nous l’avons presente a

la Section 3.5, relatif aux roues motrices. Aussi bien au niveau du vehicule que du


sol, on remarque directement qu’un modele complet du vehicule donne des resultats

qui tendent a etre proches des conditions experimentales, tant au niveau de la

forme que de la grandeur du signal. Un modele simplifie pour le vehicule fournit

des resultats fort eloignes de la realite, tant au niveau du vehicule qu’au niveau du sol.

0 0.1 0.2 0.3 0.4−50

0

50

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

(a) A partir d’un modelesimplifie

0 0.1 0.2 0.3 0.4−50

0

50

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

(b) A partir d’un modelecomplet d’une caisse

0 0.1 0.2 0.3 0.4−50

0

50

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

(c) Mesuree

Fig. 6.9 – Acceleration verticale de la roue motrice

0 0.1 0.2 0.3 0.4−10

−5

0

5

10

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =4.16 mm/s


0 0.1 0.2 0.3 0.4−10

−5

0

5

10

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =4.98 mm/s


0 0.1 0.2 0.3 0.4−10

−5

0

5

10

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =5.02 mm/s

(c) Mesuree

Fig. 6.10 – Vitesse verticale a la surface du sol, a 2m de la voie

Ces derniers sont d’ailleurs mis en avant grace a la vitesse particulaire

PPV = max(v(t)) (6.9)

telle que la definit la norme DIN4150-3 [DIN4150p3]. Nous avons eu aussi l’oc-

casion de mener une analyse frequentielle [KOU2009] qui a permis de mettre en

evidence que les vibrations sont dominees essentiellement par le mode de tangage

(26,5Hz) et, dans une moindre mesure, par le mode de pompage (1,7Hz) du vehicule.


0 0.1 0.2 0.3 0.4−2

−1

0

1

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =0.60 mm/s


0 0.1 0.2 0.3 0.4−2

−1

0

1

2

Temps [s]V

itess

e [m

m/s

]

← PPV =0.86 mm/s


0 0.1 0.2 0.3 0.4−2

−1

0

1

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] ← PPV =1.09 mm/s

(c) Mesuree

Fig. 6.11 – Vitesse verticale a la surface du sol, a 8m de la voie

Le contact roue/rail a ete modelise par une approche non lineaire du phenomene

bien que la valeur de la raideur de Hertz avait ete determinee experimentalement.

Lors des investigations menees sur le site, des mesures de contraintes sur l’ame du

rail ont ete faites lors du passage du vehicule sur la cale, permettant ainsi d’avoir une

image de l’effort de contact entre la roue et le rail. Une raideur linearisee de contact

kHz = 1GN/m avait ete determinee. L’interet de travailler exclusivement avec des

linearites reside essentiellement dans une approche frequentielle du probleme et,

moyennant un temps de calcul legerement plus long, il est preferable de travailler

avec le modele non lineaire en simulation temporelle. La Figure 6.12 montre qu’il

0 0.1 0.2 0.3 0.4−10

−5

0

5

10

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] contact non−linéaire

contact linéaire

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.5

1

Temps [s]

Diff

éren

ce [

mm

/s]

(a) Vitesse verticale a 2m de la voie

0 0.1 0.2 0.3 0.4−2

−1

0

1

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] contact non−linéaire

contact linéaire

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.02

0.04

0.06

Temps [s]

Diff

éren

ce [

mm

/s]

(b) Vitesse verticale a 8m de la voie

Fig. 6.12 – Comparaison des resultats au niveau du sol dans le type de contact adoptepour la paire roue/rail


existe une tres legere difference (allant jusque 10%) entre les deux approches dans le

cas que nous etudions mais qui pourrait etre plus importante dans d’autres simula-

tions. Nous continuerons donc a travailler par la suite avec le modele de Hertz general.

La Figure 6.13 illustre, a travers differents instants d’une animation, l’impact

de chaque contact roue/rail sur la propagation des ondes vibratoires dans le sol et

montre bien que leur influence peut etre separee, en mettant en evidence les instants

ou le debut et la fin de contact de chaque roue sur la cale.

(a) t = 0,050 s (b) t = 0,103 s(debut du 1er

contact roue/rail)

(c) t = 0,109 s (findu 1er contact

roue/rail)

(d) t = 0,15 s (e) t = 0,20 s (f) t = 0,307 s(debut du 2e

contact roue/rail)

(g) t = 0,313 s (findu 2e contact

roue/rail)

(h) t = 0,35 s (i) t = 0,40 s

Fig. 6.13 – Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas d’unvehicule T2000 circulant a une vitesse de 30 km/h, en concordance avec le mouvementdu vehicule


Les resultats que nous venons de traiter sont relatifs a un tram equipe de roues

motrices normales (variante du tram appelee T2008) ou des niveaux importants

sont generes par rapport a ceux issus de la roue libre puisque, a priori, la charge

axiale est plus importante au niveau de la roue motrice. Une deuxieme confrontation

numerique/experimental permet de mettre en evidence l’influence de la raideur

kt sur les niveaux. Les Figures 6.14 a 6.16 presentent les memes resultats que

precedemment mais dans le cas de la variante T2032 du tram, equipee de roues

resilientes dont le bandage a une raideur nettement plus faible (kt passe de 145 a

13MN/m). On remarque ainsi que les niveaux vibratoires sont diminues d’environ

70% par rapport au cas nominal alors que la charge a l’essieu reste identique. Dans

ce cas–ci egalement, le modele represente fidelement le comportement vibratoire

du sol. On remarque neanmoins des oscillations hautes frequences de faible niveau

(entre 40 et 60Hz) dans les resultats experimentaux que l’on retrouve dans tout le

signal, dues vraisemblablement a une perturbation exterieure.

0 0.05 0.1 0.15 0.2−20

−10

0

10

20

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

(a) Modele complet

0 0.05 0.1 0.15 0.2−20

−10

0

10

20

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

(b) Mesuree

Fig. 6.14 – Acceleration verticale de la roue motrice, pour une roue resiliente(kt = 13MN/m)

Sachant que les normes d’evaluation aux nuisances vibratoires ISO2631 et

DIN4150 font intervenir les trois directions dans le calcul de la severite vibratoire,

soit par la prise en compte de la plus importante [DIN4150p3, DIN4150p2], soit

par un indicateur relatif aux trois directions [ISO2631p2], il est interessant de

se pencher en plus sur les vibrations suivant les directions longitudinale (x) et

laterale (y). La Figure 6.17 montre, a travers des resultats numeriques et quelques

resultats experimentaux (suivant z), les niveaux vibratoires en terme de PPV et on

remarque que les niveaux horizontaux ne sont pas negligeables ; dans certains cas, ils

depassent meme leurs homologues verticaux (pour les vibrations selon la direction

y, perpendiculaire a la voie). Un modele simplifie du sol, base par exemple sur les

fonctions approchees de Green [KOU2005b], ne peut mettre ce constat en evidence.


0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1

0

1

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =1.59 mm/s

(a) Modele complet

0 0.05 0.1 0.15 0.2−2

−1

0

1

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =1.24 mm/s

(b) Mesuree

Fig. 6.15 – Vitesse verticale a la surface du sol, a 2m de la voie, pour une roueresiliente (kt = 13MN/m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2−1

−0.5

0

0.5

1

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =0.24 mm/s

(a) Modele complet

0 0.05 0.1 0.15 0.2−1

−0.5

0

0.5

1

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s]

← PPV =0.38 mm/s

(b) Mesuree

Fig. 6.16 – Vitesse verticale a la surface du sol, a 8m de la voie, pour une roueresiliente (kt = 13MN/m)

Par ailleurs, on observe une assez bonne concordance entre les resultats numeriques

et experimentaux, mis a part peut–etre ceux relatifs au tram T2032 a une distance

de 2m de la voie mais le faible nombre de points de mesures ne nous permet pas

d’aller plus loin.

Jusqu’a present, nous avons considere les vibrations induites par une caisse,

puisque les phenomenes induits par chacune des caisses etaient dissociables. En

simulant le vehicule complet, il est plus aise de se rendre compte de l’impact du

defaut local ainsi que de la roue resiliente. La Figure 6.18 reprend ainsi les resultats

issus d’une simulation sur le vehicule complet a une vitesse de 50 km/h, montrant

ainsi de maniere globale l’influence du type de configuration du vehicule, lors

d’un passage de ce dernier sur une cale. Meme en absence de cale, on remarque

une difference selon le vehicule (Figure 6.19) soulignant encore l’interet d’une

modelisation fine du vehicule. Pour ce qui est la qualite de voie, son influence ne se


0 5 100

2

4

6

8

10

Distance [m]

PP

V [

mm

/s]

direction x (simulation)direction y (simulation)direction z (simulation)direction z (mesure)

(a) Tram T2008 a une vitesse dev = 30 km/h

0 5 100

1

2

3

4

5

Distance [m]

PP

V [

mm

/s]


(b) Tram T2032 a une vitessede v = 30 km/h

0 5 100

2

4

6

8

10

Distance [m]

PP

V [

mm

/s]


(c) Tram T2008 a une vitesse dev = 20 km/h

0 5 100

1

2

3

4

5

Distance [m]

PP

V [

mm

/s]


(d) Tram T2032 a une vitessede v = 20 km/h

0 5 100

2

4

6

8

10

Distance [m]

PP

V [

mm

/s]


(e) Tram T2008 a une vitesse dev = 10 km/h

0 5 100

1

2

3

4

5

Distance [m]

PP

V [

mm

/s]


(f) Tram T2032 a une vitessede v = 10 km/h

Fig. 6.17 – Vitesses particulaires PPV en fonction de la distance par rapport a lavoie, pour des roues motrices nominales (T2008) et resiliente (T2032) et suivant lestrois directions x, y et z

fait que moyennement sentir par rapport au defaut local (rapport de niveau allant

de 2 a 3 entre une voie ideale et une voie en mauvais etat). Nous soulignerons par


0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] avec cale

sans cale

(a) Vitesse verticale a 5 m de lavoie pour un tram T2008

0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] avec cale

sans cale

(b) Vitesse verticale a 5 m de lavoie pour un tram T2032

0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] avec cale

sans cale

(c) Vitesse verticale a 10m de lavoie pour un tram T2008

0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] avec cale

sans cale

(d) Vitesse verticale a 10 m de lavoie pour un tram T2032

0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] avec cale

sans cale

(e) Vitesse verticale a 15m de lavoie pour un tram T2008

0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] avec cale

sans cale

(f) Vitesse verticale a 15 m de lavoie pour un tram T2032

Fig. 6.18 – Comparaison des resultats au niveau du sol avec ou sans cale sur la voie,pour un tram, avec ou sans roue resiliente, circulant a une vitesse de 50 km/h

le prochain cas d’etude que les differences sont plus notables lorsque la vitesse du

vehicule devient plus importante.


0 1 2 3 4−2

0

2

Temps [s]V

itess

e [m

m/s

] T2008T2032

Fig. 6.19 – Comparaison des resultats au niveau du sol a 2m de la voie, sans cale,selon le vehicule, circulant a une vitesse de 50 km/h (defaut de classe 3)

0 1 2 3 4 5−2

0

2

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] classe 3

voie parfaite

(a) Evolution temporelle (a 2mde la voie)

0 0.5 1 1.5

voie parfaite

classe 6

classe 5

classe 4

classe 3

classe 2

classe 1

défaut cale

Vitesse particulaire PPV [mm/s]

à 5 m de la voie à 10 m de la voie à 15 m de la voie

(b) Vitesse particulaire

Fig. 6.20 – Influence de la qualite de voie sur les niveaux vibratoires, pour un tramT2008 circulant a une vitesse de 50 km/h

6.6. Conclusion 163

6.6 Conclusion

Ce cas d’etude souligne la qualite de notre approche dans le cas de vehicules

circulant a faible vitesse sur des defauts locaux, modelises dans notre cas par une

cale fixee sur la surface de roulement du rail. Il montre d’emblee l’interet d’une

modelisation detaillee du vehicule alors que certains auteurs s’accordent sur la

suffisance d’une charge axiale par modeliser l’impact d’un essieu. L’interet de roues

resilientes est ainsi mis en avant lorsque la masse de cette derniere est importante

(moteur directement sur la roue). Dans le cas nominal, l’impact vibratoire de la roue

motrice est deux fois plus eleve que celui de la roue independante, alors que c’est

sur cette derniere qu’agit un effort axial plus important sur le rail.

Lorsqu’on compare les resultats issus de nos simulations avec des valeurs

experimentales, une bonne correlation apparaıt, malgre la simplicite accordee a

la modelisation du sol, due en grande partie au manque d’information issu de sa

caracterisation. Par contre, la voie a ete analysee statiquement et dynamiquement,

permettant ainsi de determiner de maniere detaillee ses parametres intervenant dans

le modele.

Le postulat du decouplage entre les sous–systemes vehicule/voie et voie/sol est

ainsi valide a travers d’une comparaison numerique/experimentale puisque, dans ce

cas, la raideur de sol est suffisamment elevee par rapport a celle du ballast.

CHAPITRE 7

Cas d’etude : la ligne a grande vitesse de Mevergnies

Du tortillard au TGV,en passant par le corail et l’omnibus,

les trains changent, la vache reste !VINCENT ROCA

extrait de la chronique « Les vaches pensent »

Le cas des TGV est fort interessant puisque plusieurs recherches sont presentees

dans la litterature (par exemple, [KRY2001, MET2001, KRY1996, LOM2008])

dans le but de modeliser et de comprendre les vibrations induites par des vehicules

circulant a vitesse elevee. Le modele le plus connu est sans doute celui de Krylov

que nous avons presente succinctement au Chapitre 2. Ce modele a d’ailleurs ete

implemente par nos soins sous MatLab [LUS2003, KOU2003], ses resultats ont par

ailleurs ete compares avec les mesures effectuees sur le site de Mevergnies [GOB2004],

sur lequel nous nous baserons dans ce chapitre.

Le but de cette etude est de pouvoir definir le degre de validation de notre

modele qui, rappelons–le, considere des modeles complets du vehicule, de la voie

et du sol mais avec un decouplage entre ces deux derniers. Le cas des grandes

vitesses est interessant afin de montrer que les elements semi–infinis sont tout a fait

capables d’etre utilises dans ce cas precis mais egalement de verifier la legitimite du

decouplage voie–sol a hautes vitesses. Pour ce faire, au cours de l’annee 2004, des

165

166 7. CAS D’ETUDE : LA LIGNE A GRANDE VITESSE DE MEVERGNIES

vibrations en champ libre ont ete mesurees sur le site de Mevergnies (dans la region

d’Ath), pendant le passage de trains a grande vitesse, a savoir Thalys et Eurostar,

pour differentes vitesses variant entre 250 km/h et 305 km/h. Des investigations du

sol ont egalement ete menees. Le rapport interne [KOU2005a] reprend toutes les

donnees experimentales issues de cette campagne de mesures. A partir des donnees,

issues de ces mesures et des constructeurs de materiel roulant, les modeles de

vehicule, de voie et de sol peuvent etre etablis, suivant la meme methodologie que

precedemment. Les resultats issus du modele pourront ainsi etre compares a ceux

fournis par la campagne experimentale.

7.1 Les vehicules

Bien que les deux types de trains a grande vitesse envisages dans ce rapport

sont similaires (ils se basent tous sur le TGV atlantique), des differences existent au

niveau des dimensions et des parametres dynamiques. Nous nous attarderons donc a

les decrire.

7.1.1 TGV Thalys PBKA

Thalys1 est le train a grande vitesse effectuant la liaison entre Paris, Bruxelles,

Amsterdam et Koln, d’ou la denomination de TGV PBKA que l’on lui assigne. Ces

TGV sont en fait des TGV Reseau de la seconde generation (serie 4500) appartenant

a la SCNF (Figure 7.1).

Fig. 7.1 – Train a grande vitesse Thalys

1Le nom n’a aucune signification particuliere et ses initiales ne representent rien. Il a simplementete adopte parce qu’il sonne bien et qu’il est facile a memoriser, tant en francais qu’en neerlandaisou en allemand.

7.1. Les vehicules 167

La Figure 7.2 nous montre la configuration du train Thalys, se composant de

deux locomotives et de huit caisses ; la longueur totale de ce train est de 200,19m.

Fig. 7.2 – Configuration du train a grande vitesse Thalys

Chaque locomotive est supportee par deux bogies et comporte donc quatre essieux.

Les caisses juxtaposees aux locomotives sont legerement differentes des autres

caisses : elles comportent chacune deux bogies, dont un mis en commun avec la

caisse voisine alors que les six autres caisses mettent en commun leurs deux bogies

de part et d’autre. Le nombre total de bogies s’eleve a 13 et, de ce fait, le nombre

d’essieux est de 26. Une autre configuration existe et consiste en la mise en serie de

deux Thalys. Les differents parametres associes au Thalys, a savoir la longueur de

caisse Lt, la distance inter–bogie Lb et l’empattement de chaque bogie La sont repris

au Tableau 7.1. On y retrouve egalement la masse totale Mt de chaque remorque.

Le nombre de bogies moteurs est de 4, repartis sur chacune des deux locomotives.

La charge a vide en ordre de marche avoisine 386T (contre 439T en charge nominale).

Tab. 7.1 – Caracteristiques geometriques et dynamiques du TGV Thalys

# # Lt Lb La Mt

caisses essieux [m] [m] [m] [kg]

Locomotives 2 4 22,15 14,00 3,00 68.000

Caisses laterales 2 3 21,85 18,70 3,00 49.600

Caisses centrales 6 2 18,70 18,70 3,00 34.000

Les types de bogies utilises sur ce type de vehicule sont au nombre de trois :

les bogies Y230A equipant les caisses motrices, les bogies Y237 en tant que bogie

porteur, declines en deux versions : modele A pour les caisses centrales et modele B

pour les caisses en extremite. Ces bogies ont un chassis en H avec liaison caisse–bogie

par pivot. Le moteur electrique etant fixe sous caisse, la transmission de l’effort de

traction s’effectue par transmission coulissante tripode, avec le pont moteur cale sur


l’essieu. Le diametre des roues varie de 920mm (roue neuve) a 850mm (roue usee).

Le choix des suspensions varie en fonction du modele :

– Pour le modele Y230A, la suspension primaire est constituee de blocs sandwich

acier–caoutchouc tandis que des ressorts helicoıdaux jouent le role de suspension

secondaire.

– Au contraire, pour les modeles Y237, la suspension primaire est constituee par

des ressorts helicoıdaux et la suspension secondaire est pneumatique, a grande

flexibilite transversale et verticale.

Dans les deux cas, l’amortissement est assure par des amortisseurs anti–galop (sus-

pension primaire) et anti–lacet (suspension secondaire). Des barres anti–roulis sont

en plus installees sur les Y237. Une detection d’instabilite est assuree par des capteurs

sur longeron. Les caracteristiques dynamiques des suspensions, ainsi que les valeurs

des masses suspendues et non–suspendues, sont donnees au Tableau 7.2, en fonction

du bogie.

Tab. 7.2 – Caracteristiques dynamiques des suspensions des bogies (Thalys) —

charge a vide

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

m2

m1

m0m0

k′

k′′

d′

d′′

Bogie Bogie Bogie

Y230A Y237A Y237B

masse de demi–caisse m2 [kg] 26.721 14.250 20.426

masse du bogie m1 [kg] 3.261 1.400 8.156

masse non–suspendue m0 [kg] 2.009 2.050 2.009

raideur primaire k′ [MN/m] 2,09 1,63 2,09

amortissement primaire d′ [kNs/m] 40 40 40

raideur secondaire k′′ [MN/m] 2,45 0,93 2,45

amortissement secondaire d′′ [kNs/m] 40 40 40

7.1.2 TGV Eurostar Transmanche

La rame TransManche Super Train — egalement denommee Eurostar — est

un materiel specifiquement construit pour les liaisons Paris–Londres et Bruxelles–

Londres via le Tunnel sous la Manche (Figure 7.3). La rame comporte un certain

nombre de particularites liees a la circulation dans le Tunnel, notamment la possibi-

lite de pouvoir etre scindee en deux demi–rames afin de pouvoir evacuer les voyageurs

dans une demi–rame en cas d’incendie dans l’autre demi–rame (abandonnee sur

place). Les deux demi–rames constituant le train sont donc totalement symetriques

et identiques : chacune d’elle comporte neuf remorques et une locomotive comme

l’illustre la Figure 7.4 (locomotive – 18 remorques – locomotive).

7.1. Les vehicules 169

Fig. 7.3 – Train a grande vitesse Eurostar

R1-R18 R2-R17 R3-R16 R4-R15

R9-R10R5-R14 R6-R13 R7-R12 R8-R11

M1-M2

Fig. 7.4 – Configuration du train a grande vitesse Eurostar

Mises a part ces quelques particularites, la disposition des bogies est assimilable

au train Thalys : chaque locomotive est supportee par deux bogies motorises et

comporte quatre essieux. Les caisses d’extremite (R1 et R18) comportent un bogie

motorise et un bogie porteur mis en commun avec la caisse voisine. Les caisses de

secabilite (R9 et R10) comportent egalement trois essieux mais porteurs. Les 14

autres caisses mettent en commun leurs deux bogies porteurs. Le nombre de bogies

moteurs est donc de 6 et celui des bogies porteurs de 18. La longueur totale de la rame

est de 393,73m. Le Tableau 7.3 reprend les differentes caracteristiques generales.

La charge a vide en ordre de marche est de 717,5T (contre 772T en charge nominale).

Les bogies Y230A sont utilises pour les caisses motrices. Les remorques centrales

sont posees sur des bogies classiques Y237A alors que les remorques d’extremite (R1

et R18) et de secabilite (R9 et R10) sont posees sur des bogies Y237B. Un frotteur 3e

rail est place au niveau des deux bogies moteurs de chaque locomotive. Par ailleurs, le

gabarit du train est adapte au gabarit du reseau britannique, ce qui explique la forme

particuliere des bas de caisse. Le diametre des roues est identique a celui des roues

du Thalys. Les caracteristiques dynamiques des suspensions, ainsi que les valeurs des


Tab. 7.3 – Caracteristiques geometriques et dynamiques du TGV Eurostar

# # Lt Lb La Mt

caisses essieux [m] [m] [m] [kg]

Motrices M1 et M2 2 4 22,15 14,00 3,00 68.500

Remorques R1 et R18 2 3 21,85 18,70 3,00 50.612

Remorques R2 et R17 2 2 18,70 18,70 3,00 33.632

Remorques R3 et R16 2 2 18,70 18,70 3,00 33.780

Remorques R4 et R15 2 2 18,70 18,70 3,00 33.690

Remorques R5 et R14 2 2 18,70 18,70 3,00 30.545

Remorques R6 et R13 2 2 18,70 18,70 3,00 30.185

Remorques R7 et R12 2 2 18,70 18,70 3,00 32.678

Remorques R8 et R11 2 2 18,70 18,70 3,00 31.764

Remorques R9 et R10 2 3 21,85 18,70 3,00 40.760

masses suspendues et non–suspendues, sont donnees au Tableau 7.4, en fonction du

bogie.

Tab. 7.4 – Caracteristiques dynamiques des suspensions des bogies (Eurostar) —

charge a vide

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

m2

m1

m0m0

k′

k′′

d′

d′′

Bogie Bogie Bogie

Y230A Y237A Y237B

masse de demi–caisse m2 [kg] 27.083 10.802 17.842

masse du bogie m1 [kg] 3.075 2.363 9.580

masse non–suspendue m0 [kg] 2.046 2.046 2.046

raideur primaire k′ [MN/m] 2,63 2,07 2,20

amortissement primaire d′ [kNs/m] 12 12 12

raideur secondaire k′′ [MN/m] 3,26 0,61 0,91

amortissement secondaire d′′ [kNs/m] 90 4 2

7.2. Caracterisation du site de Mevergnies 171

7.2 Caracterisation du site de Mevergnies

7.2.1 Les caracteristiques de la voie

La voie grande vitesse entre Bruxelles et Paris est une voie typique ballastee

(Figure 7.5). Elle se constitue de rails UIC 60 continus dont la masse par unite de lon-

gueur est de 60 kg/m et le moment d’inertie geometrique Ir est de 0,3055 × 10−4 m4

dans le plan vertical. Ces derniers sont fixes par des fixations Pandrol E2039 sur

des traverses monobloc en beton precontraint de longueur l = 2,5m, de largeur

b = 0,285m, de hauteur 0,205m (sous le rail) et de masse de 300 kg. Elles sont

espacees de 0,60m. Les semelles flexibles constituant la voie ont une epaisseur

t = 0,01m et une raideur statique d’environ 100MN/m, sous des charges comprises

entre 15 kN et 90 kN [DEG2000a]. La Figure 7.6 complete les informations sur la

voie. Durant les tests, l’acces a la ligne fut limite a l’installation des capteurs.

Aucune mesure statique ou dynamique n’a donc pu etre effectuee afin de determiner

la reponse en frequence de la voie.

Fig. 7.5 – LGV entre Bruxelles et Paris

Kogut et al., dans un article recent [KOG2003a], presentent les caracteristiques

dynamiques de la ligne L2 Bruxelles–Liege. Cette ligne est identique a celle de

Mevergnies, en terme de fixations de rail, de traverse et normalement de ballast.

Une analyse dynamique de la voie aurait permis de verifier la dynamique du bal-

last. Selon Kogut, la semelle de rail a une raideur kp = 120MN/m et un coefficient

d’amortissement dp = 4kNs/m. Les valeurs de kb = 33MN/m et db = 49 kNs/m

representent respectivement la raideur et le coefficient d’amortissement du ballast.


voie A

voie B

3m

1,5m

1,5m

x

y

Bruxelles Paris

Fig. 7.6 – Schema de la voie investiguee

7.2.2 Caracteristiques du sol

La connaissance du sol, d’un point de vue constitution et caracterisation

dynamique, est un element important puisque ce dernier conditionne tres fortement

sa reponse a des vibrations forcees. Une recherche approfondie a ete menee en ce

sens afin de mettre en evidence la constitution du sol. A premiere vue, le sol serait

constitue d’une couche de limon de faible epaisseur, d’une couche d’argile sableuse

d’environ 5m et d’une couche de sable sur 10m sur un massif semi-infini. Ces in-

formations restent neanmoins legeres pour caracteriser le comportement dynamique

du sol a travers des constantes telles que le module d’Young E, la masse volumique

ρ ou les vitesses des ondes dans le sol. Afin de pallier ce probleme, des essais de

prospection geophysique ont ete effectues le jour des tests2. Par souci de temps et de

moyens materiels, des methodes de caracterisation in situ et non–destructives ont

ete preferees, permettant ainsi d’estimer la variation de raideur et d’amortissement

dynamiques des differentes couches constituant le sol [FOT2000].

Une analyse spectrale des ondes de surface (SASW ) a ete effectuee pour

determiner les proprietes dynamiques du sol du site de mesure [KOU2004]. Une exci-

tation de type impact a ainsi ete appliquee sur une fondation carree (0,3m × 0,3m)

en bois grace a une masse de 50 kg en chute libre d’une hauteur d’environ 1m (Fi-

2En realite, les sols ont des caracteristiques speciales qui permettent de les differentier de cellesissues de solides ideaux. En effet le vide existant dans les sols peut ainsi etre comble par de l’air, del’eau ou un melange de fluides. Cette porosite peut avoir une influence significative sur la dynamiquedes sols [RIC1970]. C’est pour se liberer de cette contrainte que les essais de sol et des mesures devibration ont ete effectues le meme jour.


gure 7.7). Un element en elastomere fut fixe sur cette masse afin de filtrer le contenu

frequentiel de l’excitation jusqu’a une centaine de Hz et de limiter au maximum

le rebond de la masse. Les reponses verticales ont ete mesurees sur dix points de

mesure a la surface, pour trois lieux d’impact differents et pour des distances allant

de 7 a 43m de la source (Figure 7.8). Des geophones Geospace GS–20DM et Sensor

SM–6, respectivement de sensibilite egale a 17,7V/m/s et 28V/m/s, furent utilises

pour les mesures a la surface du sol. De plus, un accelerometre Dytran 3010A8 (sen-

sibilite : 10mV/g) dedie aux chocs fut fixe sur la masse et utilise lors des essais de sol.

Fig. 7.7 – Systeme d’impact par chute de masse

Des essais ont permis de determiner l’evolution de la vitesse de phase en fonction

de la frequence, appelee courbe de dispersion (Figure 7.9(a)). Une procedure d’inver-

sion, basee sur la methode d’Haskell–Thomson [NAZ1984,DEW1997], a ete effectuee

en minimisant par moindres carres la difference entre les courbes de dispersion

experimentale et theorique (methode SASW — voir Annexe B), comme l’illustre la

Figure 7.9(b). La derniere correspond a un sol stratifie avec une couche superieure

d’epaisseur d = 2,7m et de vitesse de cisaillement cS = 177m/s, une couche in-

termediaire (d = 3,9m, cS = 209m/s) et un substratum semi–infini (cS = 356m/s).

Ces resultats restent en bonne concordance avec ceux obtenus par des essais de

refractions sismiques effectues par la meme occasion. Le Tableau 7.5 reprend toutes

les caracteristiques dynamiques du sol en question, en termes de vitesses d’onde,

de modules d’Young, de nombres de Poisson et de masses volumiques. Le rapport

scientifique [KOU2004] reprend de maniere plus detaillee les resultats ainsi que des

conclusions sur la caracterisation dynamique de ce site.

Les caracteristiques d’amortissement ne sont pas fournies par les methodes clas-

siques d’investigation de sol (SASW, refraction sismique,. . .). Une estimation de

l’amortissement materiel peut etre faite en supposant qu’il ne varie pas avec la pro-

fondeur. Si tel est le cas, l’expression classique du modele de Barkan pour un sol


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

y

55 m

9 (43 m)

8 (35 m)

7 (27 m)

6 (23 m)

5 (19 m)

4 (15 m)

3 (9m)2 (7m)4 m

58

58

59

Fig. 7.8 – Disposition des points d’impact et des points de mesure pour ladetermination des caracteristiques dynamiques de sol

Vit

ess

ede

phase

[m/s]

Frequence [Hz]

Longueur d’onde λR [m]

0

00 5

10

10 15

20

20 25

30

30

40 50 60 70 80 90

100

100

200

200

300

300

400

400

500

500

(a) Courbe experimentale

Vit

ess

ede

phase

[m/s]

Frequence [Hz]

10 20 30 40 50 60 70 80100

150

200

250

300

350

400

450courbe experimentalecourbe minimisee (mode fondamental)

courbe minimisee (2e mode)

courbe minimisee (3e mode)

500

(b) Courbe theorique

Fig. 7.9 – Courbes de dispersion relatives a la methode SASW

homogene peut etre utilisee, comme Degrande le propose dans [DEG2000a]. La vi-

tesse verticale vz(r, ω) a une distance r d’une source vibratoire (= l’impact) peut


Tab. 7.5 – Resultats obtenus lors des methodes d’investigation du sol du site

couche d E ρ ν cP cS cR

1 2,7 m 129MPa 1600 kg/m3 0,3 330 m/s 177 m/s 170 m/s

2 3,9 m 227MPa 2000 kg/m3 0,3 391 m/s 209 m/s 201 m/s

3 ∞ 659MPa 2000 kg/m3 0,3 666 m/s 356 m/s 343 m/s

s’exprimer a partir d’une vitesse vz(r1, ω) a une distance de reference r1

vz(r, ω) = vz(r1, ω)

(r

r1

)−n

exp [−α(r − r1)] (7.1)

ou l’exposant n represente l’amortissement geometrique du sol et ou le coefficient de

Barkan α peut s’exprimer en fonction de l’amortissement viscoelastique β

α =2π2βf2

cR. (7.2)

La comparaison peut etre etablie avec des donnees experimentales, en imposant la

valeur de n a 0,5 correspondant a l’attenuation geometrique des ondes de Rayleigh

(Figure 7.10). Une tres faible correspondance existe, qui ne peut etre imputee

uniquement a l’amortissement β mais egalement a l’heterogeneite du sol et a la

simplicite du modele de Barkan.

Afin de mieux cerner ce parametre, une comparaison a ete menee directement

sur un modele elements finis. La Figure 7.11 montre les resultats obtenus de maniere

numerique sur base d’un modele axisymetrique sous ABAQUS, dans le cas de l’ex-

citation par impact. Ce modele permet de verifier, en terme de niveau et de forme,

la concordance entre les resultats numeriques et experimentaux pour β = 0,0004,

afin de valider les parametres dynamiques issus des prospections geophysiques : la

forme des signaux est sensiblement analogue entre les deux series et les maxima sont

presque retrouves (sauf pour les deux premiers points ou une legere difference ap-

paraıt, pouvant s’expliquer par la non–homogeneite locale du sol aux endroits proches

de l’impact, pres des fondations de la voie). Par ailleurs, la difference observee est de

meme ordre de grandeur que les eventuelles differences entre essais experimentaux

et ne depend que tres peu du parametre β. Cette derniere analyse permet ainsi de

se rassurer sur tous les parametres dynamiques. Cette analyse ouvre par ailleurs une

voie vers le recalage des parametres de sol directement sur le modele elements finis

et dans le domaine temporel.


10−2

100

10210

−2

100

102

Distance adimensionnelle [−]

Vite

sse

adim

ensi

onnn

elle

[−

]

expérimentalmodèle de Barkan

(a) 5Hz

10−2

100

10210

−2

100

102


Vite

sse

adim

ensi

onnn

elle

[−

]


(b) 10Hz

10−2

100

10210

−2

100

102


Vite

sse

adim

ensi

onnn

elle

[−

]


(c) 20 Hz

10−2

100

10210

−2

100

102


Vite

sse

adim

ensi

onnn

elle

[−

]


(d) 30Hz

Fig. 7.10 – Representation adimensionnelle de la decroissance geometrique etmaterielle pour le site de Mevergnies (β = 0,0004)

7.3 Modele numerique

A partir des differentes donnees collectees, un modele numerique a pu etre etabli.

Pour le vehicule (Figure 7.12), chaque charge axiale par essieu a ete modelisee par un

systeme a 3 ddl, definissant ainsi un quart de vehicule ou un demi–vehicule, selon que

l’on considere les locomotives et l’avant des caisses laterales ou les caisses centrales :

mc,i qc,i + d2,i (qc,i − qb,i) + k2,i (qc,i − qb,i) +mc,i g = 0 , (7.3)

mb,i qb,i + d2,i (qb,i − qc,i) + k2,i (qb,i − qc,i)

+ d1,i (qb,i − qw,i) + k1,i (qb,i − qw,i) +mb,i g = 0 , (7.4)

mw,i qw,i + d1,i (qw,i − qb,i) + k1,i (qw,i − qb,i) +mw,i g − Frail/roue,i = 0 , (7.5)

ou l’indice i est relatif a chaque contribution des essieux. Les Tableaux 7.6 et

7.7 reprennent leurs differentes donnees, en tenant compte d’un train a vide et

7.3. Modele numerique 177

0 0.1 0.2 0.3−5

0

5

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] expérimental

simulation

(a) vz a 3m

0 0.1 0.2 0.3−5

0

5

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] expérimental

simulation

(b) vz a 5m

0 0.1 0.2 0.3−5

0

5

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] expérimental

simulation

(c) vz a 11m

0 0.1 0.2 0.3−5

0

5

Temps [s]

Vite

sse

[mm

/s] expérimental

simulation

(d) vz a 15 m

0 0.1 0.2 0.3−5

0

5

Temps [s]V

itess

e [m

m/s

] expérimentalsimulation

(e) vz a 19 m

Fig. 7.11 – Resultats experimentaux et numeriques pour un impact au niveau du soldu site de Mevergnies

charge de maniere nominale, pour le Thalys et l’Eurostar. Remarquons que ces

donnees tiennent deja compte de la modelisation 2–D du systeme vehicule–voie. Ces

donnees sont presentees pour des vehicules a vide, avec la charge supplementaire

au niveau de la caisse, pour un cas nominal. Pour notre cas d’etude, puisque

aucune information ne fut trouvee a ce sujet, une charge a 50% a ete choisie, ce qui

correspond en moyenne au cas courant (et normalement au cas d’etude experimental).

xxxxxxxxxxxxxxxx

mc,i

mw,i

mb,i

qc,i

qw,i

qb,ik1,i

k2,i

d1,i

d2,i

xz

v0

Fig. 7.12 – Modele multicorps de vehicule adopte pour le TGV

Pour le vehicule, les frequences propres de pompage sont de l’ordre de 1Hz pour

le mode de caisse et de 3Hz a 7Hz pour le mode de bogie.

178 7. CAS D’ETUDE : LA LIGNE A GRANDE VITESSE DE MEVERGNIESTab.7.

6–

Don

nee

sdynam

iques

pou

rle

model

ede

veh

icule

Thal

ys

axes

1–

4/

23

–26

5–

6/

21

–22

7/

20

8–

11

12

–13

14

–19

mc

[kg]

6.6

80

5.1

06

3.5

62

3.5

62

3.5

62

3.6

52

Contr

.pass

ager

s-

(+487)

(+974)

(+926)

(+523)

(+1.3

30)

(100%

rem

pliss

age

)

mb

[kg]

815

2.0

39

3.9

13

3.9

13

3.9

13

3.9

13

mw

[kg]

1.0

05

1.0

05

1.0

25

1.0

25

1.0

25

1.0

25

k2

[MN/m

]0,6

10,6

10,2

30,2

30,2

30,2

3

d2

[kN

s/m

]10

10

10

10

10

10

k1

[MN/m

]1,0

51,0

50,8

20,8

20,8

20,8

2

d1

[kN

s/m

]20

20

20

20

20

20

Tab.7.

7–

Don

nee

sdynam

iques

pou

rle

model

ede

veh

icule

Euro

star

axes

1–

45

–6

/23

–24

7–

8/

21

–22

9–

10

11

–12

13

–14

15

–16

17

–18

19

–20

45

–48

43

–44

/25–

26

41

–42

/27

–28

39

–40

37

–38

35

–36

33

–34

31

–32

29

–30

mc

[kg]

6.7

71

4.4

60

5.5

36

5.3

94

5.4

20

5.3

49

3.8

74

6.5

70

5.5

93

Contr

.pass

ager

s-

(+618)

(+1.2

36)

(+1.4

25)

(+1.4

25)

(+1.4

25)

(+725)

(+475)

(+926)

(100%

rem

pliss

age

)

mb

[kg]

769

2.3

95

591

591

591

591

591

591

591

mw

[kg]

1.0

23

1.0

23

1.0

23

1.0

23

1.0

23

1.0

23

1.0

23

1.0

23

1.0

23

k2

[MN/m

]0,8

20,2

30,1

50,1

50,1

50,1

50,1

50,1

50,1

5

d2

[kN

s/m

]23

510

10

10

10

10

10

10

k1

[MN/m

]1,3

11,1

01,0

41,0

41,0

41,0

41,0

41,0

41,0

4

d1

[kN

s/m

]6

66

66

66

66


Pour la voie, une analyse modale numerique permet d’affirmer que le mode

T1 est a 67Hz (ξ = 31%), le mode T2 a 325Hz (ξ = 5%) et le mode P–P a

1191Hz. La Figure 7.13 montre l’allure de la receptance directe de la voie, pour

un point du rail au droit d’une traverse. Contrairement au site de Haren etudie

precedemment, le degre d’amortissement du deuxieme mode du rail est faible. Ces

caracteristiques dynamiques correspondent neanmoins a des valeurs typiques issues

de la litterature [ESV2001].

0 100 200 300 400 500 600 700 800−180

−170

−160

−150

−140

Fréquence [Hz]

Réc

epta

nce

[dB

]

0 100 200 300 400 500 600 700 800−200

−150

−100

−50

0

Frequence [Hz]

Pha

se [°

]

1kp

+ 1kb

Fig. 7.13 – Receptance directe du rail au droit d’une traverse (modele a 2 ddl)

Au niveau de l’irregularite de voie, aucune donnee n’a pu etre fournie quant a ce

parametre. Il semble neanmoins qu’il s’agit d’un facteur important pour les lignes a

grande vitesse [ESV2001] et que le choix d’une tres bonne qualite de voie (classe 6)

est realiste et donc acceptable (le TGV est reconnu pour son confort dans l’habitacle

du essentiellement a la qualite de la pose des lignes ferroviaires correspondantes).

Afin de permettre un modele suffisamment grand pour limiter au maximum

les effets de distance de la voie et pour visualiser les vibrations pour les grandes

distances, le sol est modelise par un quart d’espace infini, en tenant compte d’un

plan de symetrie vertical et parallele a la voie (les cas de charges sont verticaux


et les interfaces de chaque couche du sol sont paralleles a sa surface libre). Des

conditions aux limites sont imposees a ce plan, en terme de deplacement qui lui est

perpendiculaire (uy = 0). La Figure 7.14 nous montre le modele cree, identique pour

tous les cas de simulations envisages. Le modele comporte 675.000 elements (finis

et semi–infinis compris), soit un nombre de degres de liberte de 480.000, pour une

taille du modele Td de 25m. Le schema d’integration envisage est de type explicite,

avec un pas de temps ∆t fixe et egal a 10−5 s, avec toujours a l’esprit la verification

de la stabilite du schema.

(a) Maillage (b) Conditions aux limites

Fig. 7.14 – Modele ABAQUS du site de Mevergnies

Le modele vehicule–voie, sous EasyDyn, comporte 100 traverses, soit 498 ddl pour

la voie, et 3 × ne ddl pour le vehicule, ou ne est le nombre d’essieux entrant en jeu :

26 (52) pour le (double) Thalys et 48 pour l’Eurostar. Pour le contact roue/voie, le

modele non lineaire et une irregularite de voie de classe 6 (tres bonne) selon Garg et

Dukkipati [GAR1984] ont ete utilises.

Le temps de calcul est un parametre important : alors que pour le modele de tram

a basse vitesse, quelques degres de libertes etaient necessaires pour le vehicule et la

voie, ces simulations en necessitent un grand nombre. Les temps de calculs sont donc

plus importants ; pour un PC equipe d’un processeur double cœurs cadence a 3GHz

avec une memoire RAM de 2Go, les temps de calcul sont :

– de 35 h environ3 pour une simulation du sous–systeme vehicule/voie sous Easy-

Dyn, dans le cas d’un Thalys simple,

– de 10 jours ( !) toujours pour une simulation du systeme vehicule–voie sous

EasyDyn, mais dans le cas d’un Thalys double ou d’un Eurostar,

– de 5 jours de simulation ABAQUS pour le sol dans le cas d’un Thalys simple

(calcul en mono–processeur).

3La duree exacte depend de la vitesse du vehicule consideree.


Ces temps de calcul restent fort importants, notamment sous EasyDyn qui n’est pas

optimise pour ce type de probleme : une absence de gestion des zeros de la matrice

d’iteration et l’ecriture par derivation numerique de la matrice entraınent des lors

des temps de calcul plus longs.

Nous presentons de prime abord les resultats pour le Thalys circulant a une

vitesse de 300 km/h. La Figure 7.15 presente les resultats cote vehicule, en terme

d’acceleration de la caisse, ou l’on remarque des niveaux assez faibles. Le contenu

du signal depend essentiellement des modes du vehicule, plus ou moins amplifie par

la qualite de voie. Cote voie, la Figure 7.16 montre la deflexion de celle–ci, sous le

passage des differentes charges. Son contenu frequentiel est riche et laisse entrevoir des

pics dont les frequences (et leurs harmoniques) dependent, pour une vitesse constante

v0 du vehicule, des differents mecanismes periodiques excitateurs a savoir

– la frequence fondamentale de passage des bogies :

fb =v0Lb

(7.6)

– la frequence fondamentale de passage des essieux :

fa1 =v0La1

, (7.7)

(ou fa2 ou fa3 selon la distance inter–essieux adoptee — cf. Figure 7.17),

– la frequence d’excitation des traverses :

fs =v0d. (7.8)

Tous ces phenomenes, sauf pour la frequence d’excitation des traverses (qui n’est

pas visible sur la deflexion du rail), sont assez bien representes, comme le resume le

Tableau 7.8, sur base du spectre calcule a partir des forces injectees par les traverses

sur la surface du sol.

Les simulations au niveau du sol sont comparees avec des resultats experimentaux

a la section suivante, afin de valider l’approche. On peut neanmoins a ce stade

mettre en avant l’influence de la geometrie du vehicule comme nous le montre la

Figure 7.18(a), comparant les spectres respectifs de l’effet induit par un essieu si-

mule et par un vehicule complet. On remarque l’emergence de pics a des frequences

bien precises dus au passage periodique des bogies et des essieux, ainsi que leurs

harmoniques correspondants. La periodicite des traverses n’est pas mise en evidence,

essentiellement a cause de sa haute frequence, fortement amortie par le sol. Les modes

du vehicule ne sont que tres peu visibles, noyes en partie dans ces pics relatifs a la


0 1 2 3 4 5−0.5

0

0.5

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

LocomotiveCaisse latéraleCaisse centrale

(a) Analyse temporelle

100

101

10210

−4

10−3

10−2

10−1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m/s

2 ]

LocomotiveCaisse latéraleCaisse centrale

(b) Analyse en bandes de tiers d’octave

Fig. 7.15 – Acceleration verticale des caisses, pour le passage d’un Thalys a 300 km/h

0 0.5 1 1.5 2 2.5−15

−10

−5

0

5x 10−4

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]


0 20 40 60 80 1000

1

x 10−4

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m]

(b) Analyse du spectre

Fig. 7.16 – Deflexion du rail, pour le passage d’un Thalys a 300 km/h

geometrie du vehicule. On remarque par contre l’emergence de pics aux alentours de

30Hz due a la resonance du sol (fres = cP

4h ou h est la hauteur de la premiere couche —

voir Section 4.10). La Figure 7.18(b) montre les resultats obtenus a partir du modele

de Krylov [KRY1996] qui, rappelons–le, est base sur un modele de voie uniformement

supportee par une raideur modelisant semelles de rail et ballast. Le modele de Krylov

tient compte, comme les fonctions approchees de Green, uniquement de la contribu-

tion des ondes de Rayleigh pour un sol considere comme homogene. On remarque

ainsi l’emergence de pics aux memes frequences mais leurs niveaux sont completement


N N + 1

dLa1

Lb

La2La3

Fig. 7.17 – Parametres geometriques principaux de la voie et du train

Tab. 7.8 – Frequences d’excitation relevees a partir des forces injectees par les tra-

verses sur la surface du sol, pour le passage d’un Thalys a 300 km/h

Origine Frequence fondamentale

Passage des bogies (Lb) fb1 = 3,8Hz

Passage des essieux (La1) fa1 = 27,8Hz

Excitation des traverses (d) fs = 138,9Hz

differents, revelant la frequence d’excitation des bogies, a defaut des autres modes

excitation. Le succes de ce modele a ete essentiellement du a la mise en evidence de

ces pics mais peu de validations ont finalement ete etablies [KRY1998,LOM2000a].

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−] pour un essieu

pour véhicule complet

(a) Modele developpe

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−] pour véhicule complet

(b) Modele de Krylov

Fig. 7.18 – Comparaison du contenu frequentiel des vitesses verticales, a 10m de lavoie, calculees au passage d’un vehicule Thalys a 300 km/h


7.4 Passages de train — comparaison simulation etmesures

Durant les essais, douze passages de Thalys et d’Eurostar ont ete enregistres

pour des vitesses de train allant de 250 a 305 km/h et sont resumes au Tableau 7.9.

Chaque passage est denomme en fonction du type de train, du sens de la voie et

de l’ordre correspondant. Les passages sont ainsi ordonnes selon l’ordre d’arrivee.

Les mesures se presentent sur une large gamme de vitesses comparee a la vitesse

nominale de 300 km/h.

Tab. 7.9 – Detail des passages de TGV enregistres

Nom no Type de Voie Vitesse #

train train [km/h] Voitures

ThalysB1 9327 Thalys B 305 8

ThalysA1 9326 Thalys A 295 8



ThalysA3 9960 Thalys A 270 2 × 8

EurostarA1 9133 EuroStar A 280 18




EurostarB1 9124 EuroStar B 290 18

ThalysB5 9333 Thalys B 295 2 × 8


Dans le seul souci d’etre concis, seulement quelques resultats sont presentes de

maniere detaillee. Les Figures 7.19 a 7.30 (pages 186 a 197) presentent ainsi les

resultats obtenus en terme de vitesses dans les domaines temporel et frequentiel,

en les confrontant a leurs homologues mesures. Les differentes courbes, a savoir les

evolutions temporelles, les spectres frequentiels, les evolutions de l’indicateur KBF

et les spectrogrammes sont comparees afin de souligner la bonne concordance des

resultats numeriques face aux resultats mesures. On remarque que, comme dans le

cas du tram, les vitesses selon des directions horizontales ne sont pas negligeables :

bien qu’en deca des vitesses verticales, elles restent du meme ordre de grandeur. Pour

la direction longitudinale, notre modele surestime legerement les niveaux. Nous pou-

vons par ailleurs remarquer la legere augmentation des niveaux vibratoires lorsque le

7.4. Passages de train — comparaison simulation et mesures 185

nombre de voitures augmente (18 pour les Eurostar et 2×8 pour les doubles Thalys).

Les signaux temporels mesures et simules semblent coherents entre eux, mais

sur base de ces seuls signaux, il est fort difficile de juger de la qualite du modele.

Par contre le contenu frequentiel permet de mettre en evidence des frequences

dominantes des signaux, qui se retrouvent aussi bien dans les resultats simules

que dans les mesures, globalement avec la meme importance. La moyenne mobile

ponderee de chaque signal est egalement comparee, ce qui permet de mieux mettre

en evidence les phenomenes temporels sur une base de temps plus large. Enfin, les

spectogrammes permettent de mieux cerner le contenu frequentiel au cours du temps

et on remarque une certaine stationnarite du signal utile mais egalement la presence

de bruit de fond dans les signaux mesures, ce qui peut expliquer certaines hautes

frequences dans les signaux mesures que l’on ne retrouve pas dans leurs homologues

sous ABAQUS.

Comme pour le cas du tram T2000, l’utilisation d’indicateurs plus simples peut

s’averer utile. En plus de la vitesse particulaire PPV deja utilisee precedemment,

l’indicateur KBF,max est utilise. Il se definit [DIN4150p2] comme le maximum durant

la duree du signal de la moyenne mobile

KBF (t) =

√

1

τ

∫ t

0

KB2(ξ) e−t−ξ

τ dξ (τ = 0,125 s) (7.9)

du signal KB(t) qui n’est rien d’autre que le signal de vitesse v(t) pondere par le

filtre

HKB(f) =1

√

1 + (5,6/f)2. (7.10)

Ce choix paraıt d’autant plus opportun que les normes les plus usuelles sur

l’evaluation des vibrations sur l’environnement se basent sur ces deux parametres.

Les Figures 7.31 et 7.32 (pages 198 et 199) montrent l’evolution des indicateurs PPV

et KBF,max en fonction de la distance, pour les differentes simulations, en les compa-

rant a leurs homologues experimentaux. On remarque de maniere generale que, pour

ces parametres, une assez bonne correlation apparaıt entre les resultats, aussi bien

pour les trains Thalys que pour les trains Eurostar.


0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(a) vNz (xR = 12, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(b) vEz (xR = 12, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(c) vNx (xR = 20, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(d) vEx (xR = 20, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(e) vNy (xR = 20, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(f) vEy (xR = 20, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(g) vNz (xR = 20, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(h) vEz (xR = 20, t)

Fig. 7.19 – Evolution temporelle des vitesses verticales (z), longitudinales (x) ettransversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’un Thalysa 275 km/h


0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(a) vNz (xR = 12, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(b) vEz (xR = 12, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(c) vNx (xR = 20, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(d) vEx (xR = 20, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(e) vNy (xR = 20, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(f) vEy (xR = 20, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(g) vNz (xR = 20, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(h) vEz (xR = 20, f)

Fig. 7.20 – Contenu frequentiel des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et trans-versales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’un Thalys a275 km/h


0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(a) KBNF,z(x

R = 12, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(b) KBEF,z(x

R = 12, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(c) KBNF,x(xR = 20, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(d) KBEF,x(xR = 20, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(e) KBNF,y(xR = 20, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(f) KBEF,y(xR = 20, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(g) KBNF,z(x

R = 20, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(h) KBEF,z(x

R = 20, t)

Fig. 7.21 – Moyenne mobile ponderee des vitesses verticales (z), longitudinales (x)et transversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’unThalys a 275 km/h


Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(a) vNz (xR = 12, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(b) vEz (xR = 12, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(c) vNx (xR = 20, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(d) vEx (xR = 20, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(e) vNy (xR = 20, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(f) vEy (xR = 20, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(g) vNz (xR = 20, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(h) vEz (xR = 20, t, f)

Fig. 7.22 – Spectrogramme des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et trans-versales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’un Thalys a275 km/h


0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(a) vNz (xR = 9, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(b) vEz (xR = 9, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(c) vNx (xR = 15, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(d) vEx (xR = 15, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(e) vNy (xR = 15, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(f) vEy (xR = 15, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(g) vNz (xR = 15, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(h) vEz (xR = 15, t)

Fig. 7.23 – Evolution temporelle des vitesses verticales (z), longitudinales (x) ettransversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’un doubleThalys a 295 km/h


0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(a) vNz (xR = 9, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(b) vEz (xR = 9, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(c) vNx (xR = 15, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(d) vEx (xR = 15, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(e) vNy (xR = 15, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(f) vEy (xR = 15, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(g) vNz (xR = 15, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(h) vEz (xR = 15, f)

Fig. 7.24 – Contenu frequentiel des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et trans-versales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’un doubleThalys a 295 km/h


0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(a) KBNF,z(x

R = 9, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(b) KBEF,z(x

R = 9, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(c) KBNF,x(xR = 15, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(d) KBEF,x(xR = 15, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(e) KBNF,y(xR = 15, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(f) KBEF,y(xR = 15, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(g) KBNF,z(x

R = 15, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(h) KBEF,z(x

R = 15, t)

Fig. 7.25 – Moyenne mobile ponderee des vitesses verticales (z), longitudinales (x)et transversales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’undouble Thalys a 295 km/h


Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(a) vNz (xR = 9, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(b) vEz (xR = 9, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(c) vNx (xR = 15, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(d) vEx (xR = 15, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(e) vNy (xR = 15, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(f) vEy (xR = 15, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(g) vNz (xR = 15, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(h) vEz (xR = 15, t, f)

Fig. 7.26 – Spectrogramme des vitesses verticales (z), longitudinales (x) et transver-sales (y) calculees (gauche) et experimentales (droite) au passage d’un double Thalysa 295 km/h


0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(a) vNz (xR = 8, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(b) vEz (xR = 8, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(c) vNz (xR = 12, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(d) vEz (xR = 12, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(e) vNz (xR = 14, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(f) vEz (xR = 14, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(g) vNz (xR = 24, t)

0 5 10−2

−1

0

1

2x 10−3

Temps [s]

Vite

sse

[m/s

]

(h) vEz (xR = 24, t)

Fig. 7.27 – Evolution temporelle des vitesses verticales calculees (gauche) etexperimentales (droite) au passage d’un Eurostar a 280 km/h


0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(a) vNz (xR = 8, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(b) vEz (xR = 8, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(c) vNz (xR = 12, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(d) vEz (xR = 12, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(e) vNz (xR = 14, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(f) vEz (xR = 14, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(g) vNz (xR = 24, f)

0 100 2000

0.5

1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de n

orm

alis

ée [

−]

(h) vEz (xR = 24, f)

Fig. 7.28 – Contenu frequentiel des vitesses verticales calculees (gauche) etexperimentales (droite) au passage d’un Eurostar a 280 km/h


0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(a) KBNF,z(x

R = 8, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(b) KBEF,z(x

R = 8, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(c) KBNF,z(x

R = 12, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(d) KBEF,z(x

R = 12, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(e) KBNF,z(x

R = 14, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(f) KBEF,z(x

R = 14, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(g) KBNF,z(x

R = 24, t)

0 5 100

0.5

1

Temps [s]

KB

F [

mm

/s]

(h) KBEF,z(x

R = 24, t)

Fig. 7.29 – Moyenne mobile ponderee des vitesses verticales (z) calculees (gauche)et experimentales (droite) au passage d’un Eurostar a 280 km/h


Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(a) vNz (xR = 8, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(b) vEz (xR = 8, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(c) vNz (xR = 12, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(d) vEz (xR = 12, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(e) vNz (xR = 14, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(f) vEz (xR = 14, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(g) vNz (xR = 24, t, f)

Temps [s]

Fré

quen

ce [

Hz]

0 5 100

50

100

150

200

−90

−80

−70

−60

(h) vEz (xR = 24, t, f)

Fig. 7.30 – Spectrogramme des vitesses verticales (z) calculees (gauche) etexperimentales (droite) au passage d’un Eurostar a 280 km/h


5 10 15 20 250

2

4

6

Distance de la voie [m]

PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(a) Thalys a 250 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6

Distance de la voie [m]P

PV

[m

m/s

]

ModèleMesures

(b) Thalys a 260 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(c) Thalys a 265 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(d) Thalys a 275 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(e) Thalys a 285 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(f) Thalys a 295 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(g) Thalys a 300 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(h) Thalys a 305 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(i) Double Thalys a270 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(j) Double Thalys a295 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(k) Eurostar a 280 km/h

5 10 15 20 250

2

4

6


PP

V [

mm

/s]

ModèleMesures

(l) Eurostar a 290 km/h

Fig. 7.31 – comparaison numerique–experimentale, sur base de la vitesse particulairePPV verticale, sur le site de Mevergnies


5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(a) Thalys a 250 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(b) Thalys a 260 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(c) Thalys a 265 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(d) Thalys a 275 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(e) Thalys a 285 km/h

5 10 15 20 250

1

2

3


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(f) Thalys a 295 km/h

5 10 15 20 250

1

2

3


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(g) Thalys a 300 km/h

5 10 15 20 250

1

2

3


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(h) Thalys a 305 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(i) Double Thalys a270 km/h

5 10 15 20 250

1

2

3


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(j) Double Thalys a295 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(k) Eurostar a 280 km/h

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2


KB

F,m

ax [

mm

/s] Modèle

Mesures

(l) Eurostar a 290 km/h

Fig. 7.32 – comparaison numerique–experimentale, sur base de l’indicateur KBF,max

vertical, sur le site de Mevergnies


La Figure 7.33 reprend l’animation temporelle a differents instants pour un

vehicule Thalys circulant a 300 km/h. Cette figure montre ainsi le caractere complexe

des vibrations induites par le vehicule, compare au cas simple presente pour le tram

T2000.

(a) t = 0 s (b) t = 0,35 s

(c) t = 0,70 s (d) t = 1,05 s

(e) t = 1,40 s (f) t = 1,75 s

(g) t = 2,10 s (h) t = 2,45 s

(i) t = 2,80 s (j) t = 3,15 s

Fig. 7.33 – Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas d’unThalys, circulant a une vitesse de 300 km/h


La Figure 7.34 compare finalement les differentes courbes numeriques entre elles

afin de mettre en evidence l’influence de la vitesse. Comme pour les resultats

experimentaux [KOU2005a], il reste difficile de lier une difference de niveau notable

a la vitesse du vehicule. On compare egalement les niveaux aux seuils imposes par les

normes en vigueur4 dans le souci de qualifier les niveaux par rapport a une reference.

On remarque ainsi, dans le cas des effets sur les habitations (zone residentielle), que

les niveaux sont en deca des seuils imposes, a partir de 3m de la voie. Pour les ef-

fets sur les individus, le nombre de passages est un facteur determinant puisque les

signaux se trouvent entre les deux seuils extremes.

0 10 20 30

100


Vite

sse

part

icul

aire

PP

V [

mm

/s]

limite DIN 4150−3limite SN640312a 250 km/h

260 km/h265 km/h275 km/h285 km/h295 km/h300 km/h305 km/h

(a) PPV numerique

0 10 20 3010

−1

100


Indi

cate

ur K

BF

,max

[m

m/s

]

DIN 4150−2 − limite inf. (Au = 0.15)

DIN 4150−2 − limite sup. (Ao = 3) 250 km/h

260 km/h265 km/h275 km/h285 km/h295 km/h300 km/h305 km/h

(b) KBF,max numerique

Fig. 7.34 – Influence de la vitesse du Thalys pour differentes distances de la voie

La Figure 7.35 nous montre l’influence de la configuration du type de train

(simple Thalys, double Thalys et Eurostar) sur les niveaux vibratoires. On remarque

que le double Thalys a des niveaux plus eleves au fur et a mesure que l’on s’eloigne

de la voie. La meme remarque est a formuler pour l’Eurostar lorqu’on le compare au

simple Thalys.

L’influence de l’irregularite de voie est egalement mise en evidence a travers la

Figure 7.36 ou l’on remarque une tres forte influence de celle–ci, plus importante

que celle observee lors de l’analyse du tram (a faible vitesse) : la sensibilite de ce

parametre est fort dependante de la vitesse du vehicule (les niveaux pour une voie

de qualite mauvaise atteignent jusqu’a quatre fois ceux pour une voie ideale).

4Les normes DIN 4150 et SN640 312a ont le domaine d’application dans les batiments alors queles valeurs refletent le cas de mesures en champ libre. On peut neanmoins utiliser ces normes commereference afin de juger de l’intensite des niveaux vibratoires, sans se soucier de l’effet propre del’habitation (celle–ci induira, au pire des cas, des amplifications a certaines frequences, proches deces resonances).


0 5 10 15 20 25 30

100


Vite

sse

part

icul

aire

PP

V [

mm

/s]

limite DIN 4150−3limite SN 640 312a Simple Thalys

Double ThalysEurostar

(a) PPV numerique

0 5 10 15 20 25 3010

−1

100


Indi

cate

ur K

BF

,max

[m

m/s

]

DIN 4150−2 − limite inf. (Au = 0.15)

DIN 4150−2 − limite sup. (Ao = 3) Simple Thalys

Double ThalysEurostar

(b) KBF,max numerique

Fig. 7.35 – Influence du type de train pour differentes distances de la voie(v = 295 km/h)

7.5 Conclusions

Ce chapitre a presente les resultats de notre modele applique a des trains a

grande vitesse Thalys et Eurostar. Les resultats numeriques issus du modele sont

confrontes a des mesures effectuees sur le site de Mevergnies. Il en ressort une

tres bonne concordance entre les niveaux verticaux, ce qui valide le modele et son

approche pour des grandes vitesses. Une confrontation entre notre modele et celui

de Krylov a pu etre menee, soulignant que ce dernier fournissait des resultats fort

limites. Par ailleurs, les niveaux horizontaux ont pu egalement etre compares a des

mesures et, la aussi, une bonne correspondance s’est fait remarquer, hormis le cas

de la direction longitudinale ou les niveaux mesurees reste parfois en–deca de leur

homologues numeriques.

Alors que plusieurs auteurs [SHE2006, AUE2006a] s’accordent sur l’importance

de l’interaction voie–sol, nous avons pu demontrer a travers des resultats, qu’elle

peut etre negligeable, face a d’autres phenomenes mis en avant par le contact

roue–rail. De plus, un modele decouple vehicule/voie et voie/sol peut etre licite,

meme a grande vitesse, si la raideur du sol est importante, ce qui est le cas dans

notre application.

7.5. Conclusions 203

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

0

2x 10

−3

Temps [s]Vite

sse

vert

ical

e [m

/s]

classe 2classe 4classe 6

(a) vNz (xR = 5, t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

0

2x 10

−3

Temps [s]Vite

sse

vert

ical

e [m

/s]


(b) vNz (xR = 10, t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

0

2x 10

−3

Temps [s]Vite

sse

vert

ical

e [m

/s]


(c) vNz (xR = 15, t)

5 10 15 20 250

2

4

6

8


Vite

sse

part

icai

re P

PV

[m

m/s

]

classe 0classe 6classe 4classe 2

(d) PPV numerique

Fig. 7.36 – Influence de l’irregularite de voie sur les niveaux vibratoires (Eurostar av = 280 km/h)

CHAPITRE 8

Analyse parametrique

Les influences qu’on n’arrive pas a discernersont les plus puissantes.

GUSTAV MEYRINKExtrait de « Les quatre freres de la lune »

Dans notre problematique, l’interet d’un modele numerique reside dans sa capa-

cite a reproduire fidelement le comportement dynamique du systeme mecanique

qu’il decrit. La verification des resultats se fait dans la phase de validation du

modele. Il ne faut neanmoins pas oublier que la finalite du modele est de fournir

une aide a la conception des constituants du systeme mecanique en question en

permettant de verifier la sensibilite d’un element du modele sur les performances

globales.

Ce chapitre presente donc une analyse parametrique de notre modele complet sur

base d’un vehicule, circulant a une vitesse constante v0, simplifie a une caisse, un

bogie et un essieu, avec bien evidemment les elements d’interconnection entre eux

(Figure 8.1), representant un quart d’un vehicule ferroviaire classique. Le choix de ce

modele simple permet de mieux mettre en evidence les parametres principaux d’un

vehicule sans tenir compte d’effets secondaires ou particuliers tels que la periodicite

de la charge, deja mise en evidence dans le chapitre precedent. Les equations regissant

205

206 8. ANALYSE PARAMETRIQUE

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxmc

mw

mb

k1

k2

d1

d2

Frail/roue

−Frail/roue

kp

kb

dp

db

m

v0

Fig. 8.1 – Modele de base pour l’etude parametrique

le comportement dynamique du vehicule s’ecrivent :

mc 0 0

0 mb 0

0 0 mw

qcqbqw

+

d2 −d2 0

−d2 d1 + d2 −d1

0 −d1 d1

qcqbqw

+

k2 −k2 0

−k2 k1 + k2 −k1

0 −k1 k1

qcqbqw

=

−mcg

−mbg

Frail/roue −mwg

(8.1)

ou les indices c, b et w sont relatifs respectivement a la caisse, au bogie et a

l’essieu. Les suspensions primaire (1) et secondaire (2) sont modelisees par une paire

ressort–amortisseur (ki,di). La voie est telle qu’elle a ete modelisee auparavant,

c’est–a–dire par, rappelons–le, une poutre d’Euler–Bernoulli (module d’Young Er,

section Ar, masse volumique ρr et moment d’inertie geometrique Ir) reposant de

maniere discrete sur les traverses de masse m. Les semelles (indice p) et le ballast

(b) sont decrits egalement par une raideur et un amortissement en parallele. L’effort

de contact Frail/roue etablit le lien ente le vehicule et la voie et est considere de

maniere generale comme non lineaire. Le sol est modelise, comme precedemment,

par elements finis sous ABAQUS, grace a l’utilisation des elements semi–infinis a la

frontiere du domaine.

La Section 8.1 fournit les valeurs de base de ces parametres ainsi que leur intervalle

d’existence, permettant ainsi une analyse de l’influence des parametres du vehicule

(Section 8.2), de la voie (Section 8.3) et du sol (Section 8.4).

8.1. Cas de reference 207

8.1 Cas de reference

Le Tableau 8.1 presente les parametres du modele complet ainsi que leurs

valeurs, issues du modele du tram de Bruxelles. La valeur de chaque parametre

du vehicule est exprimee a partir du modele presente precedemment, relatif a

un quart du vehicule. La vitesse de reference est de 100 km/h. Une recherche

bibliographique a egalement ete menee afin de disposer d’autres valeurs en vue de

l’analyse parametrique. Le but etant de connaıtre l’etendue de la gamme de chaque

parametre, afin de presenter des resultats sur base de modeles realistes, sans trop

s’eloigner des valeurs d’usage.

Certains composants sont mieux detailles que d’autres, par exemple les rai-

deurs de semelle ou de ballast, ceci etant du a la disparite des valeurs voire

parfois a une certaine meconnaissance de leur comportement. Pour le vehicule,

les etudes de stabilite et de confort menees durant ce dernier siecle ont permis

de mieux en comprendre la dynamique, si bien que les parametres de masse et

des suspensions varient dans une moindre gamme. Pour le rail lui–meme, une

multitude de profiles existent, suivant l’utilisation et les pays d’origine, nous ne

nous baserons que sur certains d’entre eux. Pour le sol, une analyse parametrique

a deja ete effectuee par le passe [KOU2007] sur base de reponses impulsionnelles,

afin de verifier l’influence de ces parametres, arrivant a la meme conclusion que

d’autres auteurs [FOT2000, YAN2003] : l’influence de la masse volumique ρ et

du nombre de Poisson ν est faible face aux autres parametres. Nous nous efforce-

rons ici de verifier si les memes constatations sont de mise pour une source ferroviaire.

La comparaison des resultats ne peut se faire qu’a partir d’indicateurs perti-

nents. Un des objectifs de cette etude est de pouvoir associer la dynamique d’un

systeme vehicule/voie a son environnement, il est donc necessaire de faire intervenir

les parametres influencant l’effet des vibrations sur ce dernier. Il semble opportun

de s’inspirer, comme dans les cas d’etude, des normes d’evaluation dont les criteres

ont ete etudies et approuves par la majorite des organismes travaillant dans ce do-

maine1. Nous nous baserons par la suite sur la vitesse particulaire et l’indicateur

KBF comme indicateurs pour les vibrations a la surface du sol, pour differentes dis-

tances par rapport a la source ferroviaire. Afin de ne pas perdre de vue le caractere

global du probleme, nous comparerons egalement l’acceleration verticale au niveau

de la caisse (confort des passagers) et la deflexion du rail en un point entre deux

traverses (stabilite de la voie).

1En Belgique, les normes DIN 4150 partie 2 et 3 font office de references dans ce domaine, suitea un programme d’appui scientifique a la reglementation, etabli par le CSCT et le SECO.

208 8. ANALYSE PARAMETRIQUETab.8.

1–

Par

amet

res

du

cas

de

refe

rence

Com

posant

Param

etre

Vale

ur

de

refe

rence

Etendue

de

lagam

me

Tra

inm

ass

ede

lacais

se(1 4)

mc

4000

kg

6000kg

[YO

U2003],

12420kg

[ZH

A1999],

13000kg

[ESV

2001],

17500kg

[KIS

1991]

(1 4

de

vehic

ule

)m

ass

edu

bogie

(1 2)

mb

900

kg

800kg

[KIS

1991],

1400kg

[ESV

2001],

5000kg

[ZH

A1999,Y

OU

2003]

mass

ede

l’ess

ieu

mw

320

kg

1200kg

[ZH

A1999,

YO

U2003],

1400kg

[KIS

1991],

2027kg

[ESV

2001]

susp

ensi

on

pri

mair

ek1

6M

N/m

1,1

2M

N/m

[AN

D1999],

2M

N/m

[YO

U2003],

2,2

8M

N/m

[KIS

1991]

d1

6kN

s/m

12kN

s/m

[AN

D1999],

15kN

s/m

[YO

U2003],

23,3

kN

s/m

[KIS

1991]

susp

ensi

on

secondair

ek2

0,5

MN

/m

0,6

MN

/m

[ESV

2001],

4M

N/m

[YO

U2003]

d2

30

kN

s/m

4kN

s/m

[ESV

2001],

30kN

s/m

[YO

U2003]

vit

ess

ed’a

vancem

ent

v0

100

km

/h

gam

me

allant

de

10km

/h

a300km

/h

Rail

secti

on

Ar

63,8

cm

2

rail

UIC

60,U

IC50

et

autr

es

(EB

50T

)m

om

ent

d’inert

iegeom

etr

ique

Ir

1987

cm

4

module

d’Y

oung

Er

210

GPa

mass

evolu

miq

ue

ρr

7850

kg/m

3

irre

gula

rite

de

voie

h(x

)cla

sse

2[G

AR

1984]

cla

sses

1(m

auvais

)a

6(t

res

bon)

Sem

elle

raid

eur

kp

90

MN

/m

6M

N/m

[DO

C2005],

60M

N/m

[YO

U2003],

100M

N/m

[DEG

2000a],

180M

N/m

[ZH

A1999],

237M

N/m

[CH

A2003],

280M

N/m

[GR

A1982]

am

ort

isse

ment

dp

30

kN

s/m

5kN

s/m

[KO

G2003b],

28kN

s/m

[ZH

A1999],

52kN

s/m

[YO

U2003],

63kN

s/m

[GR

A1982]

Tra

ver

sem

ass

em

90,8

4kg

52kg

[ZH

A1999],

110kg

[GR

A1982],

125kg

[AN

D1999],

200kg

[CH

A2003],

290kg

[KN

O1998]

esp

acem

ent

L0,7

2m

0,6

0m

[CH

A2003],

0,6

98m

[GR

A1982]

Ballast

raid

eur

kb

25,5

MN

/m

12M

N/m

[YO

U2003],

40M

N/m

[KO

G2003a],

120M

N/m

[ZH

A1999],

180M

N/m

[GR

A1982],

190M

N/m

[AN

D1999]

am

ort

isse

ment

db

40

kN

s/m

12kN

s/m

[YO

U2003],

50kN

s/m

[KO

G2003a],

82kN

s/m

[GR

A1982],

100kN

s/m

[AN

D1999]

Sol

module

d’Y

oung

E146

MPa

autr

es

sols

,hom

ogenes

ou

stra

tifies

(hom

ogene)

mass

evolu

miq

ue

ρ2000

kg/m

3

nom

bre

de

Pois

son

ν0,2

8−

am

ort

isse

ment

β0,3

.10−

3s

8.2. Influence du vehicule 209

Les vibrations dans le sol sont du meme ordre de grandeur suivant les trois direc-

tions x, y et z, comme il a ete montre dans les deux cas d’etudes precedents. Dans

un seul souci de concision, seule la direction z a ete prise en compte et est presentee.

8.2 Influence du vehicule

Nous analyserons dans cette section la sensibilite des nuisances vibratoires par

rapport aux parametres du vehicule, essentiellement ses caracteristiques dynamiques

et sa vitesse. Nous presenterons prealablement l’influence de la nature du contact

roue/rail sur les resultats obtenus.

8.2.1 Influence du contact roue/rail

Ce cas a deja ete traite auparavant mais il semble logique de verifier son in-

fluence dans le cas qui nous occupe. Avec les valeurs de reference du Tableau 8.1

et pour des rayons de cylindres modelisant la roue et le rail respectivement egaux a

Rroue = 340mm et Rrail = 300mm, on trouve, selon l’Eq. (3.7) et en tenant compte

des masses de la caisse, du bogie et de l’essieu, la valeur de kHz = 109 N/m. Dans le

cas d’un contact non lineaire, l’Eq. (3.5) est de mise, avec KHz = 9,29.1010Nm2/3.

La simulation des deux modeles fournit les memes resultats, la force de contact

Frail/roue etant pratiquement la meme (Figure 8.2(a)) et ce, malgre la presence

d’une irregularite de voie importante (classe 2). Les efforts appliques au sol sont

donc identiques et l’apport d’une non–linearite au niveau de contact n’apporte pas

de modifications notables sur les niveaux vibratoires a la surface du sol.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 120

22

24

26

28

30

Temps [s]

Effo

rt [

kN]

Contact linéariséContact non linéaire

(a) Pour une simulation sur voieflexible

0 0.2 0.4 0.6 0.8 120

22

24

26

28

30

Temps [s]

Effo

rt [

kN]

Contact linéariséContact non linéaire

(b) Pour une simulation sur voieridige

Fig. 8.2 – Evolution de la force de contact Frail/roue


On peut neanmoins remarquer que, lorsqu’on simule le comportement dynamique

du vehicule sur une voie rigide (cas classique), l’evolution de la force de contact

est legerement differente, avec des composantes hautes frequences plus marquees (Fi-

gure 8.2(b)). De plus, lorsqu’on a affaire a des mouvements transitoires, des differences

deviennent visibles, notamment dans le cas pratique d’un defaut de voie local (le pas-

sage du tram T2000 sur une cale fixee sur le chemin de roulement a ete etudie dans

cette optique avec, rappelons–le, un contact non lineaire).

8.2.2 Influence des caracteristiques du vehicule

Pour le vehicule, la problematique du confort des passagers est tres largement

connue et les suspensions primaires et secondaires sont en general concues de facon

a ce que les modes en corps rigide du bogie et de la caisse apparaissent en dessous de

10Hz. Cette contrainte implique egalement une reduction des charges dynamiques

sur l’interface roue/rail : a basses frequences, la flexibilite de la voie reste constante.

Afin de presenter des resultats realistes, nous nous baserons sur differents types

de vehicules, avec leurs propres caracteristiques, comme le resume le Tableau 8.2.

Le vehicule 1 est le vehicule de reference, a savoir un modele base sur le tram

T2000. Le vehicule 2 est un vehicule passager qui, comparativement au vehicule

de reference, a des suspensions primaires moins raides mais plus amortissantes.

Le vehicule 3 a des masses suspendues plus elevees et equivalentes entre elles.

Le vehicule 4 a une masse de caisse beaucoup plus importante. Le vehicule 5 est

typique d’un vehicule de marchandise. Les charges axiales sont croissantes, suivant

le vehicule (de faible pour le tram a tres elevee pour le fret). Les frequences des

deux modes de pompage sont inferieures a 10Hz (aux alentours de 2Hz et de 8Hz),

sauf pour les seconds modes du tram et du train fret, respectivement a 18,2 et 38,7Hz.

Les Figures 8.3 et 8.4 presentent les resultats cote vehicule et cote voie. On re-

marque que le train de type Thalys a les niveaux les plus faibles cote vehicule, ce qui

semble logique puisque les caracteristiques des suspensions ont ete concues pour cela.

Les niveaux les plus eleves sont obtenus pour le corail et suivent ceux du train fret.

Pour ce dernier, on remarque clairement l’influence des deux modes de pompage. Au

niveau de la voie, au plus la charge axiale est importante, au plus la deflexion de la

voie est grande : les trains Thalys et fret impliquent les niveaux les plus importants.

On remarque egalement que le contenu spectral est different pour les grandes charges,

ou une resonance apparaıt aux alentours de 40Hz.


Tab.8.

2–

Don

nee

sdes

diff

eren

tsveh

icule

suti

lise

eslo

rsde

lasi

mula

tion

Para

metr

es

Vehic

ule

1V

ehic

ule

2V

ehic

ule

3V

ehic

ule

4V

ehic

ule

5

(tra

mT

2000

)(I

CE

alle

man

d)

(Cor

ail)

(TG

VT

hal

ys)

(tra

infr

et)

mc

4000

kg

3750

kg

6000

kg

1300

0kg

1750

0kg

mb

900kg

1250

kg

5000

kg

1400

kg

800kg

mw

320kg

500kg

1200

kg

2027

kg

1400

kg

k1

6M

N/m

0,72

MN/m

2M

N/m

1,15

MN/m

22,8

MN/m

k2

0,5M

N/m

1,8M

N/m

4M

N/m

0,6M

N/m

4M

N/m

d1

6kN

s/m

40kN

s/m

15kN

s/m

2,5kN

s/m

2,33

kN

s/m

d2

30kN

s/m

30kN

s/m

30kN

s/m

4kN

s/m

60kN

s/m

Mod

ede

laca

isse

1,7H

z2,2

Hz

2,6

Hz

0,9

Hz

2,2

Hz

Mod

edu

bogi

e18,2

Hz

4,3

Hz

7,1

Hz

7,3

Hz

38,7

Hz

Charg

eaxi

ale

52kN

55kN

100kN

164kN

197kN


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5

1

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

Tram belgeICE allemandCorailTGV ThalysTrain fret


0 20 40 60 80 10010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m/s

2 ]



Fig. 8.3 – Influence du type de vehicule dans le modele sur l’acceleration de sa caisse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10−3

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]



0 20 40 60 80 10010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m]



Fig. 8.4 – Influence du type de vehicule dans le modele sur la deflexion du rail

On pourrait s’attendre aux memes conclusions pour les niveaux vibratoires du sol

mais il n’en est rien : le train Thalys implique le plus de vibrations (Figure 8.5). Par

contre, chose curieuse, le train fret, bien que le plus lourd, ne genere pas les niveaux

attendus. Ceux–ci sont en deca de ceux issus du Thalys, et meme du train corail.

Lorsqu’on se penche sur les courbes de ces derniers, on remarque que les signaux sont

domines par une composante encore a 40Hz (plus particulierement a 38,6Hz) qu’on

ne retrouve pas chez le train fret. Il s’agit en fait de la frequence d’excitation des

traverses, definie par

fs =v0d

(8.2)


et dependante de la vitesse de passage v0. Dans le cas du train fret, cette frequence est

fort proche d’une des frequences propres du vehicule, a savoir le mode du bogie, qui

joue ici le role inattendu d’absorbeur dynamique : les vibrations de la voie, induites

par le passage du vehicule a une vitesse v0 precise, sont amorties grace au vehicule

meme, dont une des frequences propres est identique a cette frequence de passage.

On remarque au passage que le pic d’amplitude relatif a la frequence d’excitation

des traverses, se transforme en deux pics d’amplitude moindre2 (Figure 8.4(b)). A

des distances plus elevees, l’attenuation plus importante de cette haute frequence

prend le dessus et les niveaux de corail deviennent legerement moins importants que

ceux issus du train fret (Figure 8.5(a)).

Tram belge ICE allemand Corail TGV Thalys Train fret

2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5


PP

V [

mm

/s]


(a) PPV

2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1


KB

F,m

ax [

mm

/s]


(b) KBF,max

Fig. 8.5 – Influence du type de vehicule sur les indicateurs PPV et KBF,max

On peut constater que les vibrations induites au niveau du sol dependent direc-

tement de la charge axiale du vehicule mais egalement de ses caracteristiques dyna-

miques, ce qui montre la reelle utilite de considerer un modele detaille du vehicule

dans ce type de simulation, alors que la plupart des modeles relatifs a ce sujet

reduisent le vehicule a sa plus simple expression, a savoir une charge constante en

2La difference est encore plus marquee lorsqu’on considere l’absence d’amortissement au niveaude la voie.


mouvement.

8.2.3 Influence de la vitesse

Le decouplage entre le modele vehicule–voie et sol a ete valide en basse vitesse

(Chapitre 6) et a plus haute vitesse (Chapitre 7). Quelques auteurs s’accordent a

dire que le couplage devient necessaire a plus grande vitesse [RIP1991] ou lorsque

les differentes rigidites des sous–systemes sont similaires [LOM2001], mais aucun

n’affirme explicitement ou se situe la limite. Toutefois, a ce stade de l’analyse, il

apparaıt important de verifier la sensibilite a la vitesse des niveaux vibratoires

en faisant varier cette vitesse entre 50 et 300 km/h, ce qui represente la gamme

d’exploitation allant de la vitesse d’un tram jusqu’a celle d’un TGV (Tableau 8.3).

Nous etudierons egalement le cas particulier et peu realiste ou la vitesse serait de

600 km/h (167m/s), ce qui correspond a une vitesse super–critique d’un point de

vue du sol, au sens de la vitesse des ondes de Rayleigh (qui est, dans ce cas–ci, de

156m/s). Il est utile ici de rappeler le nombre de Mach MR = v0

cRrelatif aux ondes

de Rayleigh et de regime sub– et super–Rayleigh.

Tab. 8.3 – Differentes vitesses simulees

Vitesse 50 km/h 100 km/h 150 km/h 200 km/h 300 km/h 600 km/h

MR 0,09 0,18 0,27 0,36 0,53 1,07

Les Figures 8.6 et 8.7 presentent les resultats. Pour le vehicule, il est clair que

les niveaux augmentent avec la vitesse3, de maniere proportionnelle. Au niveau de

la voie, la deflexion du rail (et egalement l’effort transmis au sol) ne presente pas de

differences flagrantes au niveau du maximum mais au niveau du contenu frequentiel

qui s’elargit avec la vitesse et tend ainsi vers une impulsion temporelle breve lorsque

la vitesse est tres elevee, tout en maintenant plus ou moins la meme energie spectrale.

Une difference plus marquee se fait sentir sur les niveaux vibratoires a la

surface du sol (Figure 8.8) ou une evolution lineaire se fait sentir avec la vitesse,

tout au moins jusque 300 km/h. Pour la vitesse super–Rayleigh, on observe une

augmentation plus soutenue du niveau vibratoire avec une forme completement

3On peut d’ailleurs se poser la question du reel interet de faire rouler a haute vitesse un vehiculedont les caracteristiques ont ete etudiees pour les basses vitesses. Le comportement d’un vehicule telque le Thalys serait plus de mise. On s’interesse surtout ici a la comparaison des niveaux vibrations,cote vehicule, cote rail et cote sol independamment.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−3

−2

−1

0

1

2

3

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

50 km/h100 km/h150 km/h200 km/h300 km/h600 km/h


0 20 40 60 80 10010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m/s

2 ]



Fig. 8.6 – Influence de la vitesse du vehicule dans le modele sur l’acceleration de sacaisse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−8

−6

−4

−2

0

2x 10−4

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]



0 20 40 60 80 10010

−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m]



Fig. 8.7 – Influence de la vitesse du vehicule dans le modele sur la deflexion du rail

differente de la forme du signal, analogue a un bang supersonique en mecanique des

fluides. Cette constatation avait ete soulignee par Kaynia et al. dans leur modele

numerique [KAY2000].

La Figure 8.10 presente, vis–a–vis du cas de reference (Figure 8.9), l’evolution du

mouvement dans le sol, ou l’on remarque tres nettement la forme du front d’onde par

rapport au cas de reference ou le phenomene est sub–Rayleigh, avec des niveaux plus

eleves (l’echelle est differente d’une animation a l’autre). Ce phenomene est analogue


50 km/h 100 km/h 150 km/h 200 km/h 300 km/h 600 km/h

0 100 200 300 400 500 6000

5

10

15

20

Vitesse du véhicule [km/h]

PP

V [

mm

/s]

↓ distance croissante

(a) PPV

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

Vitesse du véhicule [km/h]

KB

F,m

ax [

mm

/s]

↓ distance croissante

(b) KBF,max

Fig. 8.8 – Influence de la vitesse du vehicule sur les indicateurs PPV et KBF,max,pour differentes distances de la voie

a celui de l’aeroacoustique. Neanmoins la vitesse d’avancement est super–critique

pour l’onde de Rayleigh mais pas pour les ondes volumiques : on reste toujours en

regime subsonique (v0 < cs), a la limite du regime transsonique puisque la vitesse

des ondes de cisaillement est de cS = 169m/s, fort proche de celle du vehicule

(Figure 8.11(a)).

On peut egalement remarquer que le front d’onde n’est pas droit mais courbe, du

en grande partie a l’attenuation materielle du sol. Le front d’onde apparaissant est

donc relatif a l’onde de Rayleigh et n’est pas au droit du contact entre le vehicule et

la voie (le phenomene est plus complexe que dans le cas theorique, puisque le contact

se fait via les traverses voisines au contact). L’angle de ce front d’onde, appele angle

de Mach et calcule a partir de

αM = arcsin1

MR= arcsin

cRv0

, (8.3)

et vaut, dans ce cas, 69,2 et s’apercoit dans la simulation (Figure 8.11(b)).


(a) t = 0 s (debut) (b) t = 0,25 s(contact entre la 8e et

9e traverse)

(c) t = 0,35 s(contact entre la 12e

et 13e traverse)

(d) t = 0,45 s(contact sur la 16e

traverse)

(e) t = 0,55 s(contact entre la 19e

et 20e traverse)

(f) t = 0,65 s(contact entre la 23e

et 24e traverse)

(g) t = 0,75 s(contact entre la 27e

et 28e traverse)

(h) t = 0,85 s(contact entre la 31e

et 32e traverse)

(i) t = 0,95 s(contact entre la 35e

et 36e traverse)

(j) t = 1,05 s(contact entre la 39e

et 40e traverse)

Fig. 8.9 – Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas dereference (vitesse d’avancement v0 = 100 km/h)


(a) t = 0 s (debut) (b) t = 0,042 s(contact entre la 8e et

9e traverse)

(c) t = 0,058 s(contact entre la 12e

et 13e traverse)

(d) t = 0,075 s(contact sur la 16e

traverse)

(e) t = 0,092 s(contact entre la 19e

et 20e traverse)

(f) t = 0,108 s(contact entre la 23e

et 24e traverse)

(g) t = 0,125 s(contact entre la 27e

et 28e traverse)

(h) t = 0,142 s(contact entre la 31e

et 32e traverse)

(i) t = 0,158 s(contact entre la 35e

et 36e traverse)

(j) t = 0,175 s(contact entre la 39e

et 40e traverse)

Fig. 8.10 – Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas d’unevitesse d’avancement de v0 = 600 km/h

8.3. Influence de la voie 219

A B C

cP (t − τ)

cS(t − τ)

cR(t − τ)

cP tcSt cRt

front d’onde

(a) Fronts d’onde theoriques

front d’onde

(b) Mouvement a la surface du solpar simulation

Fig. 8.11 – Regime subsonique et super–Rayleigh pour une source mobile

8.3 Influence de la voie

La voie est le deuxieme composant, et non des moindres, que nous nous permet-

tons d’etudier. Nous etudierons essentiellement le type de rail, la qualite de la voie,

les raideurs des semelles et du ballast ainsi que la masse et l’espacement des traverses.

8.3.1 Influence de l’irregularite de voie

L’influence de l’irregularite de la voie a deja ete etablie dans les deux cas d’etudes

precedents. L’analyse que l’on peut etablir dans ce cas d’etude n’apporte pas de

constats supplementaires et les memes conclusions sont mises en avant :

– Cote vehicule, les niveaux augmentent de maniere proportionnelle a la qualite

de voie.

– Cote voie, les niveaux augmentent essentiellement a hautes frequentes, ce qui

peut avoir une influence notable sur la deflexion maximale, surtout lorsque le

vehicule circule a vitesse elevee.

– Cote sol, les niveaux restent en tres forte correlation avec la vitesse du vehicule,

de par le constat sur la deflexion de la voie.

8.3.2 Influence du type de rail

Il existe une multitude de rails, se differenciant essentiellement par leur forme,

leur poids et. . . la nature de la voie. Dans le cadre de cette analyse, nous analyserons


uniquement une voie ballastee et de ce fait, uniquement les rails s’y rapportant. Le

Tableau 8.4 presente les differents rails pris en compte dans cette analyse, dont les

parametres interessants sont la masse par unite de longueur mr et la flexibilite ErIr.

On considere toujours de l’acier (module d’Young : 210GPa et masse volumique :

7850 kg/m3).

Tab. 8.4 – Donnees des differents types de rail utilisees lors de la simulation

Type moment d’inertie Section Flexibilite Masse

de rail Ir Ar ErIr mr

UIC 50 1940 cm4 63,92 cm2 4,07MNm2 50 kg/m

UIC 54 2127 cm4 69,34 cm2 4,47MNm2 54 kg/m

UIC 60 3055 cm4 76,87 cm2 6,42MNm2 60 kg/m

EB50T 1988 cm4 63,82 cm2 4,17MNm2 50 kg/m

† BS113 A 2349 cm4 71,83 cm2 4,93MNm2 56 kg/m

†† SMR29 624 cm4 37,94 cm2 1,31MNm2 30 kg/m

NP4aM 3535 cm4 79,45 cm2 7,42MNm2 62 kg/m

† Rail anglais (repris dans [GRA1982] ) †† Rail allemand (fort leger) Rail pour site franchissable

Les Figures 8.12 et 8.13 fournissent les resultats cote vehicule et cote voie. On ne

remarque tres peu de differences significatives, mis a part

– pour le rail EB50T ou les niveaux cote vehicule sont legerement en deca des

autres,

– pour le rail SMR29 (plus flexible et moins lourd) sur la deflexion du rail (maxi-

mum plus important et contenu frequentiel plus etale).

Cote sol (Figure 8.14), peu de differences apparaissent sauf pour le rail allemand

SMR29 ou les niveaux produits sont plus importants, dus au contenu frequentiel


plus important des forces issues de traverses, ce qui implique une interaction

plus forte avec la frequence d’excitation fs des traverses. Remarquons que les

modes propres du rail varient mais n’ont aucune influence sur les niveaux vibratoires

du sol (le mode T1 varie de 83Hz pour le rail le plus lourd a 98Hz pour le plus leger).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

UIC 50UIC 54UIC 60EB50TBS 113 ASMR 29

NP4aM


0 20 40 60 80 10010

−4

10−3

10−2

10−1

Fréquence [Hz]A

mpl

itude

[m

/s2 ]


NP4aM


Fig. 8.12 – Influence du type de rail dans le modele sur l’acceleration de sa caisse

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−8

−6

−4

−2

0

2x 10−4

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]


NP4aM


0 20 40 60 80 10010

−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m]


NP4aM


Fig. 8.13 – Influence du type de rail dans le modele sur la deflexion du rail


2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


PP

V [

mm

/s]


NP4aM

(a) PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2


KB

F,m

ax [m

m/s

]


NP4aM

(b) KBF,max

Fig. 8.14 – Influence du type de rail sur les indicateurs PPV et KBF,max, pourdifferentes distances de la voie

8.3.3 Influence du type de semelle

Differentes semelles de rail ont ete etudiees, sur base de leur raideur et, dans une

moindre mesure, leur amortissement. Le Tableau 8.5 presente les differents cas de

simulation, allant de semelles tres souples jusqu’a des semelles fort rigides. Contrai-

rement au cas du rail lui–meme, les caracteristiques de la semelle ont une plus grande

influence sur les modes de la voie :

– Une semelle tres souple induit des modes T1 et T2 a plus basse frequence.

– Lorsque la raideur est suffisante, la frequence du mode T1 ne varie pas, seul

celle du mode T2 augmente, allant a des valeurs tres elevees pour le cas rigide.

– Bien evidemment, le mode P–P reste inchange puisqu’il depend uniquement

du rail et de sa disposition spatiale.

La Figure 8.15 montre qu’il n’y a que tres peu de differences au niveau du

vehicule, a part peut–etre pour la semelle tres souple (cas 2) ou une legere augmen-

tation de niveau apparaıt. Dans le cas de la voie (Figure 8.16), les choses sont plus

evidentes : au plus la semelle est flexible, au plus la deflexion est grande mais avec

une gamme frequentielle plus etroite. Au niveau du sol (Figure 8.17), les vibrations

induites par une voie equipee de semelles tres souples sont moindres que dans le

cas ou une rigidite importante est de mise. On serait ainsi tente de diminuer au

maximum la raideur des semelles mais cela va a l’encontre d’autres imperatifs, tels

que la stabilite du vehicule sur la voie ou une deflexion maximale doit etre imposee.

On peut remarquer qu’en plus d’une deflexion plus marquee induite par une se-


Tab. 8.5 – Donnees des differentes semelles de rail utilisees lors de la simulation

cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 cas 5 cas 6

(reference) (tres souple) (rigide) (tres rigide)

kp 90 MN/m 6MN/m 60 MN/m 180 MN/m 1GN/m 1TN/m

dp 30 kNs/m 5kNs/m 52 kNs/m 28kNs/m 63 kNs/m 63 kNs/m

fT1 88 Hz 57 Hz 86 Hz 89 Hz 89 Hz 89 Hz

ξT1 41% 18% 40% 42% 44% 44%

fT2 341 Hz 135 Hz 285 Hz 479 Hz 1124 Hz ∞

ξT2 45% 59% 85% 30% 25% –

melle souple, celle–ci implique egalement une etendue de cette deformation, sur pres

de 10m (une vingtaine de traverses) contre moins de 5m pour des semelles classiques.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

cas 1 (référence)cas 2 (très souple)cas 3cas 4cas 5cas 6 (très rigide)


0 20 40 60 80 10010

−4

10−3

10−2

10−1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m/s

2 ]



Fig. 8.15 – Influence du type de semelle dans le modele sur l’acceleration de sa caisse

Des solutions anti–vibratoires peuvent ainsi etre etudiees a ce stade : une solution

interessante et proposee par de nombreux developpeurs de solutions ferroviaires est

d’alterner des semelles de rail traditionnelles avec des semelles tres souples afin de

trouver un compromis. Une simulation d’un tel systeme est tout a fait possible en

temporel. La Figure 8.18 presente les resultats au niveau de la deflexion : alternance


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−20

−15

−10

−5

0

5x 10−4

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]



0 20 40 60 80 10010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m]



Fig. 8.16 – Influence du type de semelle dans le modele sur la deflexion du rail

2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


PP

V [

mm

/s]


(a) PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2


KB

F,m

ax [

mm

/s]


(b) KBF,max

Fig. 8.17 – Influence du type de semelle sur les indicateurs PPV et KBF,max, pourdifferentes distances de la voie

de semelles de type 1 (90MN/m) et de type 2 (6MN/m) ou l’on remarque bien

evidemment l’apport des semelles alternees. Cette solution presente un effet benefique

sur les vibrations induites a la surface du sol, visualisables a travers la Figure 8.19,

en tout cas pour notre cas de figure. Pour ce qui est de l’efficacite, les imperatifs

economiques rentrent en jeu, necessitant, a ce stade, des analyses plus poussees.


-1.5

-1

-0.5

0

x 10-3

Distance de la voie

Dé

fle

xio

n v

ert

ica

le

[m]

semelles classiques

semelles souples

semelles alternées

0.72 m

deflexion maximale a 5.6 10−4



Fig. 8.18 – Deflexion de la voie dans le cas de semelles alternees

2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


PP

V [

mm

/s]

semelles classiquessemelles souplessemelles alternées

(a) PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2


KB

F,m

ax [

mm

/s]

semelles classiquessemelles souplessemelles alternées

(b) KBF,max

Fig. 8.19 – Influence de semelles alternees sur les indicateurs PPV et KBF,max, pourdifferentes distances de la voie

8.3.4 Influence des traverses (masse et disposition)

La traverse est un autre element constitutif de la voie et tout aussi important.

Une analyse de sensibilite lui est accordee sur base de sa masse et de son espacement

sur la voie mais, a la difference des semelles de rail, peu de variantes existent. Dans

le cas de la masse, nous nous sommes bases sur la nature de la traverse (Tableau 8.6).

Pour ce qui est de l’espacement, elle est usuellement de 0,60m mais pour les

voies peu chargees constituees de rames de longs rails soudes (« Continuous Welded


Tab. 8.6 – Masse des traverses etudiees lors de la simulation

cas 1 cas 2 cas 3 cas 4

(reference) (en bois) (bi–bloc) (monobloc)

masse m 90,84 kg 52 kg 200 kg 290 kg

fT1 88 Hz 100 Hz 68 Hz 59 Hz

ξT1 41% 45% 33% 29%

fT2 341Hz 395 Hz 296 Hz 282 Hz

ξT2 45% 60% 34% 31%

Rail » ou CWR), cette valeur peut augmenter jusqu’a 0,72m. Nous etudierons deux

cas, repris dans le Tableau 8.7. Comme pour les semelles de rail, le choix de la masse

et de l’espacement des traverses a une influence sur les modes T1 et T2 du rail (de

plus, pour l’espacement, la frequence du mode P–P change).

Tab. 8.7 – Espacement des traverses etudiees lors de la simulation

cas 1 cas 5

(reference) (le plus repandu)

espacement L 0,72 m 0,60 m

fT1 88 Hz 92Hz

ξT1 41% 43%

fT2 341 Hz 395Hz

ξT2 45% 45%

fP–P 875 Hz 1260Hz

L’influence de ces parametres sur le mouvement vertical de la caisse est

negligeable, aucune difference notable n’est a souligner. Il semblerait qu’au plus on

s’eloigne du vehicule au niveau de la modelisation en terme de composant, au moins

ce dernier a une influence sur les vibrations du vehicule. Au niveau de la voie, seul

le cas de l’espacement des traverses est a souligner : avec un espacement plus grand,

le rail devient evidemment plus flexible mais egalement plus lourd entre deux tra-


verses. La deflexion du rail est, de ce fait, plus importante. Au niveau de sol, les

memes constats sont de mise tant sur les niveaux maximaux (Figure 8.20) que sur

leur forme. La seule difference perceptible est la sensibilite de l’espacement des tra-

verses ou un espacement plus grand implique des niveaux plus importants au niveau

du sol.

2 4 6 8 10 12 140.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


PP

V [

mm

/s]

cas 1 (m = 90.84 kg ; L = 0.72 m)cas 2 (m = 52 kg ; L = 0.72 m)cas 3 (m = 200 kg ; L = 0.72 m)cas 4 (m = 290 kg ; L = 0.72 m)cas 5 (m = 90.84 kg ; L = 0.60 m)

(a) PPV

5 10 150.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Distance de la voie [m]K

BF

,max

[m

m/s

]

cas 1 (m = 90.84 kg ; L = 0.72 m)cas 2 (m = 52 kg ; L = 0.72 m)cas 3 (m = 200 kg ; L = 0.72 m)cas 4 (m = 290 kg ; L = 0.72 m)cas 5 (m = 90.84 kg ; L = 0.60 m)

(b) KBF,max

Fig. 8.20 – Influence des traverses (masse et espacement) sur les indicateurs PPVet KBF,max, pour differentes distances de la voie

8.3.5 Influence de la nature du ballast

Le role du ballast est de transmettre les efforts engendres par le passage des

trains au sol, sans que celui-ci ne se deforme par tassement. Comme pour la semelle

de rail, nous etudierons son l’influence a travers sa raideur et son amortissement en

considerant cinq cas allant du ballast tres flexible au ballast tres rigide (Tableau 8.8).

Les frequences propres des modes T1 et T2 de la voie changent en fonction de la

raideur mais, contrairement au cas de la semelle de rail, les deux modes sont touches

de la meme maniere et dans les memes proportions.

On constate les memes phenomenes que pour l’analyse de sensibilite de la semelle :

– Il n’y a que tres peu de differences au niveau du vehicule (Figure 8.21).

– Au niveau de la voie, au plus le ballast est flexible, au plus la deflexion est

grande (Figure 8.22).

– Pour les vibrations induites a la surface du sol, plus le ballast est souple plus les

niveaux diminuent (Figure 8.23). On peut noter egalement qu’un compromis

est necessaire entre une limitation de la deflexion du rail et une diminution des


Tab. 8.8 – Donnees relatives au ballast et utilisees lors de la simulation

Parametrescas 1 cas 2 cas 3 cas 4 cas 5

(reference) (souple) - (raide) (tres raide)

kb 25,5 MN/m 12 MN/m 40MN/m 120 MN/m 190 MN/m

db 40 kNs/m 12 kNs/m 40kNs/m 40 kNs/m 100 kNs/m

fT1 88 Hz 60Hz 108 Hz 167 Hz 193Hz

ξT1 41% 19% 31% 17% 26%

fT2 341 Hz 341Hz 349 Hz 391 Hz 424Hz

ξT2 45% 38% 44% 41% 58%

niveaux vibratoires du sol.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Temps [s]

Acc

élér

atio

n [m

/s2 ]

cas 1 (référence)cas 2 (très souple)cas 3cas 4cas 5 (très rigide)


0 20 40 60 80 10010

−4

10−3

10−2

10−1

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m/s

2 ]



Fig. 8.21 – Influence du ballast dans le modele sur l’acceleration de sa caisse

8.4 Influence du substrat

Comme nous l’avons signale en debut de chapitre, une analyse parametrique avait

deja ete effectuee afin de mettre en evidence les parametres influencant la dynamique

des sols [KOU2007]. Il en ressortait que le module d’Young E et l’amortissement β

definissant un sol homogene etaient des facteurs importants sur les vibrations generees

8.4. Influence du substrat 229

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−15

−10

−5

0

x 10−4

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]



0 20 40 60 80 10010

−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

Fréquence [Hz]

Am

plitu

de [

m]



Fig. 8.22 – Influence du ballast dans le modele sur la deflexion du rail

2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


PP

V [

mm

/s]


(a) PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2


KB

F,m

ax [

mm

/s]


(b) KBF,max

Fig. 8.23 – Influence du ballast sur les indicateurs PPV et KBF,max, pour differentesdistances de la voie

au niveau du sol, la masse volumique ρ et surtout le nombre de Poisson ν n’ayant

qu’une tres faible influence sur les resultats. Dans le cas d’un sol stratifie (heterogene),

le meme constat est fait avec, en plus, l’influence de la difference de rigidite entre

couches. Nous allons essayer ici de trouver les memes constats lorsqu’on a affaire a

une charge ferroviaire mobile. Une premiere partie est consacree a un sol homogene,

la seconde a un sol stratifie a couches horizontales.


8.4.1 Cas d’un sol homogene

Les Tableaux 8.9 et 8.10 presentent les donnees utilisees dans cette analyse, sur

base respectivement du module d’Young E et du coefficient d’amortissement β.

Contrairement aux parametres du vehicule et de la voie, les parametres de sol varient

dans une large gamme. Dans le cas du module d’Young, les cas presentes vont d’un sol

mou vers un sol tres dur, couvrant ainsi une large variete de sols, uniquement sur ce

parametre (la masse volumique reste constante). Les vitesses des ondes varient avec

ce parametre et influenceront indirectement les resultats puisqu’on peut remarquer

un cas de regime transonique (cas 2 — v0 = cR). Pour l’amortissement materiel, on

couvre egalement une large gamme, allant du faiblement amorti au fortement amorti.

Tab. 8.9 – Donnees relatives au module d’Young du sol E et utilisees lors de la

simulation


(reference) (sol mou) - (sol dur) (sol tres dur)

E 146MPa 5 MPa 100 MPa 400 MPa 1 GPa

ρ 2000 kg/m3 2000 kg/m3 2000 kg/m3 2000 kg/m3 2000 kg/m3

ν 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

β 0,0003 s 0,0003 s 0,0003 s 0,0003 s 0,0003 s

cP 305 m/s 57 m/s 253 m/s 506 m/s 800 m/s

cS 169 m/s 31 m/s 140 m/s 280 m/s 442 m/s

cR 156 m/s 28 m/s 130 m/s 258 m/s 425 m/s

Nous avons explique au Chapitre 2 qu’une difference de raideur suffisante entre

le sol et le ballast etait un gage d’applicabilite de notre approche. Afin de rester

coherent, nous supposons des lors que la valeur de ballast tient compte de l’effet

du substrat et est donc modifiee en consequence dans le modele vehicule/voie.

Les resultats presentes sont uniquement relatifs au sol puisque nous avons mis en

evidence l’effet du ballast a la section precedente. Les Figures 8.24 et 8.25 nous

montrent l’evolution avec la distance des maxima PPV et KBF,max. On remarque

tres nettement que les niveaux diminuent lorsque le module d’Young E et le

coefficient d’amortissement β augmentent. Le phenomene de Rayleigh (MR = 1)

est observe pour la valeur E = 5MPa ou les niveaux sont clairement au–dessus de


Tab. 8.10 – Donnees relatives a l’amortissement du sol β et utilisees lors de la simu-

lation


(reference) (peu amorti) — — (fort amorti)

E 146MPa 146 MPa 146 MPa 146 MPa 146MPa

ρ 2000 kg/m3 2000 kg/m3 2000 kg/m3 2000 kg/m3 2000 kg/m3

ν 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

β 0,0003 s 0,00003 s 0,001 s 0,003 s 0,01 s

ceux relatifs aux autres valeurs. Ce cas avait ete observe precedemment en faisant

varier la vitesse du vehicule mais, contrairement a ce cas, le phenomene present est

particulier puisque la vitesse d’avancement v0 est identique a la vitesse des ondes

de Rayleigh. Qui plus est, les conditions de decouplage voie/sol ne sont que peu

respectees ce qui n’est pas le cas pour les phenomenes induits par des vitesses de

vehicules elevees. Pour le cas d’un coefficient d’amortissement β, une diminution des

vibratoires est ressentie lorsque la valeur de ce parametre augmente.

2 4 6 8 10 12 1410

−4

10−2

100

102

104


PP

V [

mm

/s]

E = 146 MPa (référence)E = 5 MPaE = 100 MPaE = 400 MPaE = 1 GPa

(a) PPV

5 10 1510

−4

10−2

100

102

104


KB

F,m

ax [

mm

/s]

E = 146 MPa (référence)E = 5 MPaE = 100 MPaE = 400 MPaE = 1 GPa

(b) KBF,max

Fig. 8.24 – Influence du module d’Young sur les indicateurs PPV et KBF,max, pourdifferentes distances de la voie


2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


PP

V [

mm

/s]

β = 0.0003 (référence)β = 0.00003β = 0.001β = 0.003β = 0.01

(a) PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2


KB

F,m

ax [

mm

/s]

β = 0.0003 (référence)β = 0.00003β = 0.001β = 0.003β = 0.01

(b) KBF,max

Fig. 8.25 – Influence de l’amortissement β sur les indicateurs PPV et KBF,max,pour differentes distances de la voie

8.4.2 Cas d’un sol stratifie

Ce cas est plus realiste que le precedent, puisque le sol est par nature non–

homogene et est souvent defini, a l’echelle macroscopique, par un ensemble de

couches superposees dont les caracteristiques dynamiques sont plus ou moins uni-

formes. L’interet d’un modele elements finis de sol est de pouvoir tenir compte de ces

heterogeneites et nous etudierons deux cas de figure :

– Le cas classique d’une couche sur un substratum nettement plus rigide ou l’on

regarde l’influence de la hauteur de la couche (Figure 8.26). Ce cas permet

de voir l’influence de la sous–couche et de la presence d’un reflecteur sur les

niveaux vibratoires.

– Le cas d’un sol constitue de plusieurs couches differentes (dont la rigidite des

couches augmente avec la profondeur) ou l’on considere successivement l’in-

fluence progressive de chaque couche (Figure 8.27). Ce cas correspond au cas

pratique d’une investigation peu ou fort poussee du sol.

Pour les deux cas, nous considerons des couches horizontales.

Seuls des resultats au niveaux du sol sont mis en avant (decouplage vehicule/voie

et sol oblige, bien qu’il soit difficile a ce stade de definir une raideur equivalente de

fondation pour un sol stratifie). La Figure 8.28 donne les niveaux maxima pour le cas

d’etude ou la hauteur de la couche varie (de 1m a ∞). On remarque directement que,

pour les faibles hauteurs de couches, les niveaux sont fort faibles ; la forme des signaux

est, par ailleurs, fort differente selon la hauteur de la couche. Une analyse detaillee


lœss

substratum

1m

(a) Cas 2

lœss

substratum

2 m

(b) Cas 3

lœss

substratum

5m

(c) Cas 4

lœss

(d) Cas 1

Fig. 8.26 – Cas d’etude pour un sol a deux couches (hauteur variable)

lœss

(a) Cas 1

lœss

sable

3 m

(b) Cas 2

lœss

sable

argile

3m

3m

(c) Cas 3

lœss

substratum

sable

argile3 m

3 m

3 m

(d) Cas 4

Fig. 8.27 – Cas d’etude pour un sol a plusieurs couches (nombre de couches variable)

Tab. 8.11 – Differents type de sol — cas pratique

Type de sol E ρ ν β cP cS cR

lœss 146 MPa 2000 kg/m3 0,28 0,0003 305 m/s 169 m/s 156 m/s

sable 300 MPa 2000 kg/m3 0,3 0,0003 438 m/s 242 m/s 233 m/s

argile 500 MPa 2000 kg/m3 0,3 0,0003 565 m/s 313 m/s 301 m/s

substratum 4 GPa 3000 kg/m3 0,3 0,0003 1306 m/s 722 m/s 694 m/s

permet de mettre en evidence l’explication de ce phenomene via la contribution de

l’onde de Rayleigh. Cette derniere etant la plus energetique, elle vehicule donc le

maximum de l’energie vibratoire a la surface du sol et sur une profondeur d’environ 3


fois sa longueur d’onde λR = cR/f . Dans le cas d’un sol a deux couches, la hauteur

Tab. 8.12 – Frequence de resonance de la premiere couche dans le cas d’un sol a deux

couches (hauteur variable)

Hauteur de la couche h = 1m h = 2 m h = 5m

fP,1 76 Hz 25Hz 15 Hz

h = 1 m h = 2 m h = 5 m h = ∞

2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


PP

V [

mm

/s]

h = 1 mh = 2 mh = 5 mh = ∞

(a) Indicateur PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2


KB

F,m

ax [

mm

/s]

h = 1 mh = 2 mh = 5 mh = ∞

(b) Indicateur KBF,max

Fig. 8.28 – Influence de la hauteur d’une couche d’un sol sur les vibrations a lasurface du sol

de cette derniere a une influence sur les caracteristiques de l’onde :

– a hautes frequences, la longueur d’onde λR est petite et la profondeur d’action

de l’onde de Rayleigh est faible et ses caracteristiques sont basees sur la premiere

couche, dont la rigidite est faible ;

– a faibles frequences, la longueur d’onde λR est plus importante et la profondeur

d’action est plus grande, s’etalant jusqu’a plusieurs metres. Si la hauteur de la


couche est trop faible, la majorite de l’energie vibratoire est vehiculee dans le

substratum. Ce dernier etant tres rigide, les vibrations deviennent nettement

plus faibles (l’analyse precedente a confirme ce fait).

La hauteur de la couche a donc de l’importance et la prise en compte des couches

adjacentes peut devenir une necessite.

Un autre phenomene est a mettre en evidence lorsqu’on compare la forme

des signaux vibratoires (Figure 8.28). Une resonance apparaıt lorsqu’on considere

une couche sur un substratum4 dont la frequence peut etre calculee a partir de

l’Eq. (4.121)

fk,n = (2n− 1)ck4h

.

Comme dans le cas du site de Mevergnies, c’est l’onde de compression qui est mise

en evidence et les frequences propres sont donnees au Tableau 8.12. De plus, pour

une hauteur de couche de 5m, les niveaux tendent a etre plus importants que dans le

cas homogene avec des oscillations importantes. Ce premier cas d’etude a pu mettre

en evidence l’importance que peut avoir la prise en compte des differentes couches

dans la modelisation du sol lorsque les differences dans les parametres dynamiques

sont marquees.

La Figure 8.29 presente differentes vues, issues de l’animation dynamique du

modele, ou l’on remarque tres clairement que l’energie vibratoire est concentree dans

la premiere couche, due essentiellement aux reflexions des ondes sur l’interface des

deux couches et a la rigidite plus elevee du substratum.

Les resultats du second cas d’etude sont montres a la Figure 8.30. Les differences

sont moins marquees que pour le cas precedent ; la progression « continue » des pa-

rametres dynamiques avec la profondeur doit y etre pour quelque chose ! Neanmoins,

lorsqu’on tient compte d’au moins deux couches, la forme des signaux change

completement avec une oscillation qui apparaıt a une frequence de 38Hz, pouvant etre

definie egalement par la formule (4.121) ou les parametres sont relatifs a la premiere

couche (cP = 305m/s et h = 3m). On remarque egalement la faible difference entre

un modele a 2 couches et un a 3 couches. Par contre, des que l’on tient compte de la

4e couche (plus rigide que les trois autres), des differences notables apparaissent a la

surface du sol bien qu’elle se situe a une certaine distance de la voie.

4Le meme phenomene peut egalement etre mis en evidence pour un sol multicouche.


(a) t = 0 s (debut) (b) t = 0,25 s

(c) t = 0,35 s (d) t = 0,45 s

(e) t = 0,55 s (f) t = 0,65 s

(g) t = 0,75 s (h) t = 0,85 s

(i) t = 0,95 s (j) t = 1,05 s

Fig. 8.29 – Propagation des vibrations verticales en champ libre vz dans le cas d’un sola deux couches (h = 5m ; cas 4) — visualisation de la reflexion des ondes vibratoires

8.5. Recapitulatif 237

sol homogène sol 2 couches sol 3 couches sol 4 couches

2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


PP

V [

mm

/s]

sol homogènesol 2 couchessol 3 couchessol 4 couches

(a) Indicateur PPV

5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

Distance de la voie [m]K

BF

,max

[m

m/s

]

sol homogènesol 2 couchessol 3 couchessol 4 couches

(b) Indicateur KBF,max

Fig. 8.30 – Influence du nombre de couche d’un sol sur les vibrations a la surface dusol

8.5 Recapitulatif

Les resultats obtenus apparaissent fort interessants pour ce type d’analyse et

certains concordent de maniere qualitative avec ceux que l’on peut trouver dans la

litterature, tout en mettant en avant certaines situations assez interessantes. En effet,

nous avons pu verifier la sensibilite de certains parametres sur les niveaux vibratoires

et egalement l’importance d’un modele complet pour ce type de probleme, meme au

niveau du vehicule. Les effets de periodicite des essieux, des bogies et des caisses

n’ont pas ete investigues mais avaient deja fait l’objet d’une analyse dans le chapitre

precedent. Les Tableaux 8.13 et 8.14 resument les constatations mises en evidence,

basees sur les trois sous–systemes du modele.

Au travers de ces resultats, on peut avancer l’apport benefique de la modelisation

complete du vehicule sur la comprehension de certains phenomenes. Il est a noter

que le Tableau 8.13 signale les raideurs des semelles et de ballast de la voie alors

que les amortissements ont ete investigues parallelement. En effet, les parametres


Tab. 8.13 – Resume de l’analyse parametrique

Sous–systeme Parametre EtendueIndicateurs

avz urail

z vsolz

Train charge axiale N 50 – 200 kN ≖ vitesse d’avancement v 50 – 600 km/h ∼

Voie flexibilite du rail ErIr 1,3 – 7,4 MNm2 ≖ ↓

masse du rail ρrAr 30 – 62 kg/m ≖ ↓

irregularite de voie h(x) 6 – 1 selon [GAR1984] ≖ raideur kp de la semelle 6 – 106 MN/m ≖ masse des traverses m 50 – 290 kg/m ≖ ≖ ≖espacement des traverses L 0,6 ou 0,72 m ≖ ↑

raideur kb du ballast 12 – 190 MN/m ≖ Sol module d’Young E 5 – 103 MPa ≖ ↓

amortissement β 3 – 1000 10−5 s − − legende

: grande augmentation lorsque le parametre augmente

↑ : legere augmentation lorsque le parametre augmente

≖ : peu d’influence du parametre

∼ : peu d’influence du parametre mais la forme du signal change

− : pas d’influence du parametre constatee

↓ : legere diminution lorsque le parametre augmente

: forte diminution lorsque le parametre augmente

Tab. 8.14 – Autres constats importants de l’analyse parametrique sur les niveaux

vibratoires du sol

Composant Parametres Constat

Train caracteristiques dynamiques peut avoir une grande influence selon

les cas

Train contact roue/rail peu d’influence de la non–linearite du

contact sur les cas etudiees

Rail irregularite de voie un defaut important peut induire des

grandes vibrations cote sol

Sol hauteur de la premiere couche h1 grande influence suivant la nature du

substratum

nombre de couches ns grande influence suivant la nature des

sous–couches adjacentes

de raideur et d’amortissement de ces composants sont le plus souvent definis par

8.5. Recapitulatif 239

paire et il est donc difficile de pouvoir les dissocier. Outre sa charge axiale et sa

vitesse d’avancement, le vehicule peut avoir un role plus ou moins important sur les

niveaux vibratoires sur le sol et l’interet d’un tel modele ne peut qu’etre renforce. Il

est neanmoins difficile d’etablir des regles de bonne conduite sur le choix de certains

parametres puisque des choix combines risquent de ne pas avoir globalement l’effet

escompte. De plus, des compromis s’imposent lorsque plusieurs criteres entrent en

jeu (par exemple, stabilite de la voie et confort des riverains).

Les indicateurs pertinents au niveau du sol se sont bases sur la vitesse verticale.

Les vitesses horizontales, bien que du meme ordre de grandeur, ont volontairement

ete omises afin de ne pas alourdir l’analyse, deja fort complete. Il reste clair que

les constatations issues des niveaux verticaux sont applicables avec leur homologues

horizontaux.

CHAPITRE 9

Conclusion et perspectives

Tous les mouvements que nous observons dans la nature, celui d’une pierre lancee en l’air,celui d’un navire voguant sur la mer, celui d’un chariot avancant le long d’une rue, sont en

realite tres compliques. Pour comprendre ces phenomenes, il est sage de commencer par les casles plus simples possible et de passer graduellement aux plus compliques.

ALBERT EINSTEINExtrait de « L’evolution des idees en physique »

Si la simulation du comportement dynamique des vehicules est maintenant

devenue incontournable dans l’industrie ferroviaire, il est plus rare d’integrer

des le stade de la conception l’interaction avec la voie et la propagation des

vibrations dans le sol. Un des objectifs de cette these fut donc de realiser un modele

vehicule/voie/sol permettant de predire les effets vibratoires du transport ferroviaire

sur l’environnement.

Dans un premier temps, nous nous sommes concentres sur la problematique de

l’interaction voie/sol et il en ressort qu’il est possible de separer la dynamique du

vehicule et de la voie de celle du sol, pour autant que la rigidite de ce dernier reste

suffisante face a celle de la voie, en l’occurrence celle du ballast. L’implementation

de sous–systemes est de ce fait plus accessible et la dynamique du sous–systeme

vehicule/voie peut etre ainsi determinee, en tenant compte neanmoins de la flexibilite

directe du sol par l’intermediaire d’une fondation de Winkler, englobee dans celle

241

242 9. CONCLUSION ET PERSPECTIVES

du ballast. Les efforts agissant au sol sont ainsi calcules et injectes dans le second

sous–systeme qu’est le sol. L’erreur de modelisation due a une prise en compte

partielle du couplage avec le sol reste de toute facon du meme ordre de grandeur, si

pas moins, que les erreurs commises sur l’identification des parametres de voie.

Pour le sol, deux modeles semi–analytiques ont ete analyses, montrant d’emblee

leurs limites. Afin de pouvoir developper des modeles numeriques detailles du sol

(sol a couches inclinees, irregularite geometrique locale,. . .), nous nous sommes

penches sur la methode aux elements finis et plus particulierement a l’utilisation des

elements semi–infinis aux frontieres du domaine. Le logiciel ABAQUS a ete mis a

contribution, de par sa possibilite d’utiliser ce genre d’elements, disponibles dans sa

bibliotheque. Neanmoins la definition du modele a necessite la creation d’un mailleur

sous MatLab permettant ainsi de greffer de maniere correcte les elements semi–infinis

a la frontiere d’un modele classique, decrivant la zone d’interet. Nous avons essaye de

presenter dans cet ouvrage une analyse aussi complete que possible sur l’utilisation

de la methode aux elements finis/elements semi–infinis dans la modelisation des sols.

Des evaluations preliminaires sur des problemes axisymetriques dans une approche

frequentielle ont permis de verifier l’importance d’une taille minimale du modele. Le

mecanisme de propagation d’ondes etant un phenomene transitoire, il a clairement

ete mis en avant qu’une analyse dans le domaine temporel etait plus realiste. Nous

avons demontre qu’une telle analyse fournit des resultats satisfaisants avec des

dimensions de modeles plus reduites, ce qui replace l’utilisation des elements finis au

meme pied d’egalite que les elements frontieres avec, comme avantage indeniable, la

possibilite de travailler avec des geometries complexes ou des non–linearites dans des

simulations temporelles. Afin de reduire ces temps de calcul, le schema d’integration

explicite, couple a un garde–fou, a ete utilise. Bien que son equivalent implicite soit

plus fiable quant aux resultats fournis, le schema d’integration explicite est moins

gourmand (une reduction de temps allant jusqu’a 75% peut etre atteinte).

L’efficacite de notre approche a ete demontree sur plusieurs exemples. Le cas du

trafic urbain a ete etudie par l’intermediaire du tram T2000 sur le site de Haren,

validant ainsi notre approche dans les cas des basses vitesses et pour une interaction

forte entre la roue et le rail, provoquee par un defaut local de type cale. Une vali-

dation supplementaire du modele a egalement ete faite, sur base des investigations

experimentales menees sur les lignes a grandes vitesses : les passages de TGV Thalys

et Eurostar ont ete etudies a travers des mesures sur site, en meme temps qu’une

caracterisation du site. Nous avons compare ces resultats a ceux issus du modele

correspondant. Un couplage voie/sol est considere dans ce cas par certains auteurs

comme une necessite pour les charges circulant a grande vitesse. Neanmoins les

243

resultats issus de modeles vehicule/voie et voie/sol decouples s’accordent de maniere

tres satisfaisante avec nos resultats experimentaux, ce qui corrobore notre approche

du probleme. Une analyse parametrique a ensuite pu etre menee afin de verifier

la sensibilite de chaque parametre du modele sur le comportement vibratoire du

sol. Au–dela des constatations particulieres a chaque parametre, la comprehension

du probleme a ete mise en evidence afin de mieux cerner certains phenomenes, en

verifiant notamment qu’un modele complet devient, dans la plupart des cas, une

necessite. Le cas interessant est la prise en compte d’un modele detaille du vehicule

pour expliquer l’attenuation des niveaux vibratoires a la surface du sol : l’interaction

vehicule/voie est plus importante que le couplage voie/sol.

A notre connaissance, la simulation de la dynamique des sols dans le domaine

temporel presente l’originalite majeure de cette recherche. Elle permet d’utiliser

la methode aux elements finis pour modeliser le sol avec l’utilisation des elements

semi–infinis, pour definir des conditions aux limites optimales tout en travaillant

avec des modeles plus compacts et moins gourmands en ressources informatiques.

Nous avons pu egalement mener des recherches sur la caracterisation des proprietes

de sol utiles dans un modele numerique. Les methodes SASW et de refraction

sismique sont les plus repandues mais n’offrent aucune information sur un parametre

important qu’est l’amortissement structurel du sol. Nous avons montre l’efficacite

d’un recalage de ce parametre directement sur un modele elements finis/ elements

semi–infinis en temporel. Le fait de travailler en deux phases (vehicule/voie et sol) a

permis de se concentrer sur chaque sous–systeme sans mettre de cote les composants

du vehicule : la prise en compte systematique du vehicule dans la modelisation des

effets vibratoires permet ainsi de se demarquer des autres recherches. Au final, nous

pouvons affirmer que notre contribution sur la simulation des vibrations induites

par le transport ferroviaire est manifeste. A travers un modele complet tenant

compte des differents sous–systemes et travaillant dans le domaine temporel (afin de

tenir compte des non–linearites), des resultats tout a fait interessants peuvent etre

obtenus. Un tel outil peut etre utilise a la fois par les fabricants du materiel roulant

afin d’adapter les desiderata issus d’un cahier des charges a un materiel existant ou

par un operateur desireux d’evaluer l’efficacite de diverses solutions comme les dalles

flottantes, les tranchees ou les absorbeurs dynamiques.

Les perspectives pour la suite restent nombreuses, avec bien evidemment le cou-

plage entre ces deux systemes, dont il faut tenir compte des qu’une difference de rai-

deur notable est constatee entre les deux systemes. L’approche temporelle des deux

sous–systemes offre une possibilite directe de couplage. La co–simulation semble etre

une voie prometteuse. Les algorithmes de type gluing, bases sur l’echange d’un mini-

244 9. CONCLUSION ET PERSPECTIVES

mum de variables cinematiques et dynamiques, permettent a chaque intervenant de

developper son propre sous–systeme (vehicule/voie ou vehicule pour le fabriquant et

sol ou voie/sol pour l’operateur). Moyennant une interface commune, chaque sous–

systeme peut des lors interagir sans une quelconque modification profonde du code

de calcul. Afin de gagner en temps de calcul, la possibilite de synthese modale devrait

permettre de reduire le sol a son strict minimum et de le definir comme une sous–

structure associee au modele multicorps vehicule/voie, offrant ainsi la possibilite de

considerer dans une meme simulation les modeles de vehicule/voie et de voie/sol.

ANNEXE A

Determination de la frequence pinned–pinned via la methode

du quotient de Rayleigh

At the ”pinned–pinned” resonance, the wavelength of the travelling wave in an Euler beam isequal to twice the sleeper spacing. The motion is therefore part standing wave, with the rail

effectively pinned at the sleepers, and part travelling wave.S. L. GRASSIE [GRA1982]

La recherche du mode de pincement d’un rail (appele mode pinned–pinned ou

P–P) se fait en deux etapes :

– l’etablissement de l’equation du mouvement du rail, que l’on assimilera a une

poutre d’Euler–Bernoulli afin d’utiliser la theorie ad hoc,

– la recherche de la premiere frequence propre via la methode du Quotient de

Rayleigh.

A.1 Principe d’etablissement de l’equationd’Euler–Bernoulli

Deux parametres de configuration suffisent pour decrire le mouvement de la

poutre : son deplacement vertical y = y(x, t) et sa pente θ = θ(x, t) en un point

x et a l’instant t (Figure A.1(a)).

245

246 A. DETERMINATION DE LA FREQUENCE PINNED–PINNED . . .

x

y

y

θ

(a) Parametres adoptes

x+ ∆x

T (x+ ∆x)M(x+ ∆x)

T (x)M(x)

x

x

y

z

(b) Efforts a prendre en compte

Fig. A.1 – Flexion simple

Isolons un troncon de la poutre (Figure A.1(b)). L’equilibre dynamique de trans-

lation du troncon suivant l’axe x s’ecrit

T (x+ ∆x) − T (x) = ∆x ρr Ar∂2y∂t2

T (x+∆x)−T (x)∆x = ρr Ar

∂2y∂t2 .

(A.1)

Si on fait tendre ∆x→ 0,

∂T

∂x= ρr Ar

∂2y

∂t2, (A.2)

et l’equilibre dynamique de rotation du troncon autour de l’axe z nous donne

M(x+ ∆x) −M(x) + T (x+ ∆x)∆x = JE∂2θ

∂t2(A.3)

ou JE designe le moment d’inertie mecanique equatorial du troncon. Si on neglige les

effets d’inertie dus a la rotation, c’est–a–dire JE∂2 θ∂ t2 = 0,

M(x+ ∆x) −M(x)

∆x+ T (x+ ∆x) = 0 , (A.4)

et en faisant tendre ∆x→ 0 :

∂M(x)

∂x+ T (x) = 0 . (A.5)

L’equation d’equilibre de translation (A.2) s’ecrit ainsi :

− ∂2M

∂x2= ρr Ar

∂2y

∂t2. (A.6)

Or la loi de base d’une poutre en flexion simple est donnee par :

M = Er Ir∂2y

∂x2, (A.7)

A.2. Utilisation du quotient de Rayleigh 247

par consequent,

−∂2(

E I ∂2y∂x2

)

∂x2= ρr Ar

∂2y

∂t2. (A.8)

Comme on suppose que le module d’elasticite d’Young Er et le moment d’inertie

geometrique Ir sont constants en tous points de la poutre, alors l’equation de com-

portement se met donc sous la forme generale suivante :

ρr Ar∂2y

∂t2+ Er Ir

∂4y

∂x4= 0 (A.9)

ou

– ρr Ar represente les caracteristiques inertielles de la poutre,

– Er Ir represente les caracteristiques de flexibilite de la poutre.

A.2 Utilisation du quotient de Rayleigh

Quatre conditions aux limites sont definies, a partir des conditions aux extremites

que l’on peut assimiler a des rotules. Le quotient de Rayleigh R( ~ψq) est defini par :

R(

~ψq

)

=2Vmax

2Tmax/ω2=

Vmax

Tmax/ω2(A.10)

connaissant la forme de l’energie potentielle V et cinetique T , seul un polynome

d’ordre 4 peut etre adopte1.

La recherche des caracteristiques modales nous permet de poser

y(x, t) = Y (x) cosω t (A.11)

avec, dans notre cas,

Y (x) = C4x4 + C3x

3 + C2x2 + C1x

1 + C0 (A.12)

Pour une barre bi–appuyee, les conditions aux limites se definissent comme

Y (x = 0) = 0 ⇒ C0 = 0 (A.13)

M(x = 0) = 0 ⇒ C2 = 0 (A.14)

Y (x = L) = 0 ⇒ C4L4 + C3L

3 + C2L2 = 0 (A.15)

M(x = L) = 0 ⇒ 12C4L2 + 6C3L = 0 (A.16)

1les ordres inferieurs pour un polynome conduisent a une indetermination au niveau des condi-tions aux limites.

248 A. DETERMINATION DE LA FREQUENCE PINNED–PINNED . . .

et donc la polynome a la forme2

y(x) = C1

(x4

L3− 2x3

L2+ x

)

. (A.17)

Le calcul se resume comme suit :

1. calcul de Vmax

∂2y(x, t)

∂x2= C1

(12x2

L3− 12x

L2

)

cos(ωt)

(∂2y(x, t)

∂x2

)2

= 144 C21

(x4

L6+x2

L4− 2x3

L5

)

cos2(ωt)

et

Vmax =1

2ErIr

∫ L

0

(∂2y(x, t)

∂x2

)2

dx =1

2C2

1

24

5LErIr . (A.18)

2. calcul de Tmax

∂y(x, t)

∂t= −C1ω

(x4

L3− 2x3

L2+ x

)

sin(ωt)

(∂y(x, t)

∂t

)2

= C21

(x8

L6− 4x7

L5+

4x6

L4+

2x5

L3− 4x4

L2+ x2

)

ω2 sin2(ωt)

et

Tmax =1

2ρS

∫ L

0

(∂y(x, t)

∂t

)2

dx =1

2C2

1ω2 3

61ρrArL

3r . (A.19)

On a donc finalement l’expression

fP–P ≈ 1

2π

√

97,6ErIrmrL4

(A.20)

pour la frequence du mode P–P (plus exactement une borne superieure de cette

frequence).

2La constante C1 n’implique pas une indetermination puisqu’une simplification de cette dernierese fera au final.

ANNEXE B

Caracterisation dynamique des proprietes de sols par des essais

in situ

Rien n’est plus difficile pour chacun d’entre nousque de situer ce qu’il a fait

et de se situer soi-meme a sa juste mesure.JEAN D’ORMESSON

Extrait de « C’etait bien »

Le processus d’obtention de valeurs representatives des proprietes de systemes

physiques est probablement la partie la plus ardue dans l’etude de ces memes

systemes. Les methodes pour caracteriser un sol sont tres utiles aux ingenieurs, que

ce soit pour le geologue dans le genie civil ou pour le dynamicien afin de juger de

l’impact d’une source de pollution vibratoire sur les batiments ou sur les personnes.

Beaucoup d’etudes de sol en geologie se font a l’aide de mesures dites destructives

telles que, par exemple, les sondages. Des methodes plus douces et aussi moins

couteuses peuvent etre utilisees, a savoir les essais non destructifs. D’autre part, une

autre distinction peut se faire entre les essais in situ et les essais en laboratoires ou

des tests biens specifiques existent dans les deux cas.

Le choix du type d’essai est finalement important et conditionne le type

de materiel a mettre en œuvre. L’essai doit permettre d’etre assez precis pour

249

250 B. CARACTERISATION DYNAMIQUE DES PROPRIETES DE SOLS. . .

l’application souhaitee et remplir les contraintes inherentes aux lieux investigues.

Le Tableau B.1 resume les principales techniques non destructives permettant de

determiner certains parametres de sol. Les methodes sismiques sont particulierement

interessantes dans le cadre d’etudes dynamiques.

Tab. B.1 – Principales methodes de caracterisation de sol utilisees en geophysique

MethodeGrandeur Parametre Origine du champ

mesuree attendu physique

GravimetrieChamp de

Masse volumique Naturellepesanteur

SismiqueChamp Vitesse d’ondes

Provoqueevibratoire mecaniques

Electrique PotentielResistivite Provoquee

par courant injecte electrique

MagnetiqueChamp Susceptibilite

Naturellemagnetique magnetique

Tantot considere comme un milieu homogene isotrope, tantot comme un ensemble

de couches elementaires representant un sol stratifie, le sol, de par la connaissance

de ses proprietes dynamiques, a une importance considerable dans le domaine des

nuisances vibratoires. Ces methodes non destructives, ainsi que les methodes en

laboratoires, sont ainsi utilisees pour determiner la stratification des sols et les

caracteristiques dynamiques de leurs couches. Ces differentes methodes ont vu le

jour afin de permettre de combler une imprecision lors de ces etudes, en fournissant

des valeurs aux parametres dynamiques tels que le module d’Young E, les vitesses

des ondes de compression cP et de cisaillement cS ainsi que des valeurs sur l’amor-

tissement (viscoelastique ou hysteretique par l’intermediaire respectivement des

coefficients β ou η). Toutes ces proprietes sont des parametres cles dans la prediction

d’une reponse d’un sol soumis a une charge dynamique.

Certaines methodes, non destructives et in situ, ont ainsi ete retenues dans le cadre

de cette these, essentiellement pour leur faible moyen technique necessaire, et sont

donc decrites dans cette annexe : il s’agit de la methode de levee des temps d’arrivee

directe, de la refraction sismique et de l’analyse spectrale des ondes de surfaces, plus

B.1. Levee des temps d’arrivee directe 251

communement appelee SASW.

B.1 Levee des temps d’arrivee directe

Cette methode, appelee sous sa denomination anglo–saxonne Direct–Arrival

Survey , est consideree comme une des premieres methodes in situ permettant de

determiner les vitesses des ondes de volume et de surface. Elle fut d’ailleurs la

premiere methode utilisee dans le Service de Mecanique Rationnelle, Dynamique et

Vibration dans le cadre du projet de recherche Transdyn [TRANSDYN,DeSA1998a]

pour caracteriser les proprietes dynamiques d’un sol considere comme homogene.

A la surface d’un sol, il est facile de determiner la densite de ce dernier s’il est

considere comme isotrope, mais d’autres parametres doivent egalement etre connus.

Cette technique sismique permet de determiner, en plus de la vitesse des ondes de

compressions, la vitesse des ondes de cisaillement ou celle des ondes de Rayleigh, qui

sont souvent tres proches.

La methode est illustree a la Figure B.1 ou les differentes ondes sont generees

par une source impulsive en surface d’un demi–espace ideal. Trois arrivees distinctes

xxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

SR1 R2 R3

onde P

onde S

onde R

1/cP

1/cS

1/cR

tem

ps

distance

Fig. B.1 – Courbes des temps d’arrivee issues d’une excitation a un point donne


peuvent etre determinees sur base des caracteristiques des ondes generees et mesurees

en differents endroits de la surface. L’onde de compression est la premiere a arriver

de par sa grande vitesse par rapport aux autres ondes, malgre une faible energie

qui lui est liee, contrairement a l’onde de Rayleigh, porteuse d’une grande energie

mais la plus lente des trois ondes. Sur un graphique distance–temps, les temps de

levee de chaque type d’ondes identifiees determinent des droites dont les pentes

correspondent a l’inverse des vitesses de l’onde consideree.

Bien que le concept induit par cette technique est relativement simple de

comprehension, il ne reste pas complique pour l’appliquer sur des mesures reelles,

la principale difficulte reside dans la faible distinction existante entre les differentes

ondes generees, notamment pour les ondes de cisaillement et de surface. Pour cette

derniere, la visualisation du mouvement vibratoire elliptique retrograde en surface

est un gage du choix du type d’onde a considerer. Ce mouvement est mesurable des

lors par deux capteurs, un vertical et un horizontal, places selon l’axe source–capteur.

Neanmoins, les ondes de surface ayant une vitesse dependante de la frequence, avec

des ondes volumiques dependant du milieu, l’analyse des sols stratifies reste impos-

sible.

B.2 Refraction sismique

La refraction sismique est une methode utilisee aussi bien pour investiguer les pro-

prietes dynamiques des sols que pour l’ingenierie sismique. La profondeur d’investiga-

tion depend de la longueur du deploiement des dispositifs de mesure (distances source

– recepteurs) mis en œuvre. Cette methode est ainsi utilisee pour la determination

des vitesses des premieres ondes elastiques d’un profil de sol en couches a partir

egalement d’une levee des temps d’arrivee. Contrairement a la methode precedente,

elle tient compte d’un sol stratifie dont les interfaces ne seraient pas forcement ho-

rizontales. Dans le cas qui nous occupe, nous nous attarderons essentiellement sur

le cas de couches horizontales ; le lecteur interesse trouvera les renseignements sur le

cas des couches inclinees dans [RIC1970].

B.2.1 Refractions critiques

Considerons les deux premieres couches isotropes d’un semi–espace stratifie, si

la vitesse des ondes de compression cP,1 de la premiere couche est inferieure a celle

de la seconde couche cP,2, un angle critique d’incidence existe lorsque une onde de

compression P1 issue d’une source surfacique frappe l’intersection des deux couches

(Fig. B.2). L’onde refractee P2 se propage parallelement a l’interface dans le second

B.2. Refraction sismique 253

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

SR1 R2 R3

cP,1

cP,2

icic

(ρ1, cP,1)

(ρ2, cP,2)

Fig. B.2 – Refraction critique d’une onde de compression incidente

milieu. Selon la theorie de l’elasticite, cette onde cree une perturbation a l’interface,

produisant une onde dans le premier milieu. Un front d’onde est ainsi cree et se

propage a la vitesse cP,1 du milieu suivant une direction inclinee de (90 − ic) par

rapport a l’interface, avec ic l’angle critique d’incidence du milieu 1 (Figure B.3).

Ces ondes atteindront finalement la surface du semi–espace apres un certain temps,

dependant des propagations dans les deux milieux. Le meme raisonnement peut

ainsi etre effectue pour les couches suivantes definissant le milieu stratifie.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

front d’onde

cP,1

cP,2

ic

icicic

ic

(ρ1, cP,1)

(ρ2, cP,2)

Fig. B.3 – Front d’onde genere par une onde P critique refractee

B.2.2 Determination des vitesses des ondes de compression

En pratique, on dispose le long d’un axe comprenant le point d’excitation une

serie de capteurs (geophones ou accelerometres) permettant d’enregistrer les signaux

produits par l’arrivee des differentes ondes en differents points. Tous les capteurs

places a une distance egale ou superieure a 2h tan ic, h etant l’epaisseur de la

premiere couche, peuvent enregistrer ce front d’onde genere, comme l’illustre la


Figure B.4. Pour ces capteurs, l’onde directe arrive avant ces ondes reflechies sauf

pour ceux assez eloignes (Rn par exemple) de la source ou c’est l’onde reflechie qui

est la plus rapide, puisque nous avons fait comme hypothese que cP,1 < cP,2 : l’onde

est ainsi composee de l’onde P initiale du point S vers le point A, de l’onde critique

de A a B et de l’onde generee de B jusque Rn.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxx



xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


S R1 R2 Rn

A B

h

x1 = 2 h tan icx2

xn

cP,1

cP,2

icicic

(ρ1, cP,1)

(ρ2, cP,2)

cP,2 > cP,1

Fig. B.4 – Chemin de rayons des ondes directes et refractees

Les equations relatives au temps d’arrivee des ondes directes et refractees peuvent

etre ainsi etablies. Pour l’onde directe, le temps d’arrivee est simplement egale a

td =x

cP,1(B.1)

avec x la distance entre le capteur concerne et la source d’excitation. En utilisant les

notations definies a la Figure B.5(a), le temps d’arrivee de l’onde reflechie peut se

mettre sous la forme

th =h

cP,1 cos ic+

1

cP,2(x− 2h tan ic) +

h

cP,1 cos ic(B.2)

B.2. Refraction sismique 255

ou

th =x

cP,2+ 2h

(1

cP,1 cos ic− tan ic

cP,2

)

. (B.3)

En utilisant les relations bien connues

sin ic =cP,1

cP,2et cos ic =

√

1 −c2P,1

c2P,2

,

l’Equation (B.3) peut se reduire a

th =x

cP,2+

2h cos iccP,1

=x

cP,2+ 2h

√

1

c2P,1

− 1

c2P,2

(B.4)

representant l’equation d’une droite dans le plan (x− t) dont la pente est egale a 1cP,2

et dont l’intersection avec l’ordonnee est 2 h cos ic

cP,1, comme l’indique la Figure B.5(b) ;

ce diagramme porte le nom de dromochronique de refraction.

La distance xc entre la source et le recepteur ou l’onde directe et reflechie arrivent

en meme temps est appele point de croisement (a x = xc, td = th). En substituant

x par xc dans les Eq. (B.1) et (B.4) et en les egalant, l’expression de xc peut etre

trouvee :

xc = 2h

√

cP,2 + cP,1

cP,2 − cP,1. (B.5)

Cette equation peut etre rearrangee pour mettre en avant la profondeur h de la couche

concernee

h =xc

2

√

cP,2 − cP,1

cP,2 + cP,1. (B.6)

Ce raisonnement est valable pour les autres couches : les vitesses cP,i de chaque

couche sont determinees a partir de la pente de chaque droite decrite dans la dromo-

chronique et leur epaisseur a partir de

hi =xc,i

2

√

cP,i+1 − cP,i

cP,i+1 + cP,i+

i∑

j=2

√1

c2P,j−1

− 1c2

P,i

−√

1c2

P,j−1− 1

c2P,i+1

√1

c2P,i

− 1c2

P,i+1

, (B.7)


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx




xxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx xxxxx

S Rn

x

hx − 2 h tan ic

icic

(ρ1, cP,1)

(ρ2, cP,2)cP,2 > cP,1

cP,1

(a) Chemin de rayons pour une onde directe et une onderefractee

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

t

x

2h cos ic

cP,1

xc

onde directe

onde reflechie1

cP,1

1cP,2

(b) Dromochronique de refraction correspondante

Fig. B.5 – Determination des vitesses d’onde P de chaque couche

xc,i etant le point de croisement entre la droite actuelle avec sa precedente, dont

l’equation generale s’ecrit

th =xc,i

cP,i+

i∑

j=2

2hj−1

√

1

c2P,j−1

− 1

c2P,i

. (B.8)

La refraction sismique permet ainsi de determiner deux parametres a priori incon-

nus de chaque couche : son epaisseur et la vitesse des ondes de compression. La dromo-

chronique de refraction est construite finalement de facon simple. On realise la levee

B.3. Analyse spectrale des ondes de surfaces 257

des premiers temps d’arrivee (« picking ») des ondes de compression et on reporte

dans un graphique ces temps d’arrivee en fonction du temps. Plusieurs precautions

doivent etre prises lors de son utilisation :

– les vitesses sismiques dans les couches geologiques doivent necessairement aug-

menter avec la profondeur pour permettre de differencier les differentes pentes ;

– le contraste entre les couches doit etre suffisant pour trouver l’interface et donc

permettre la refraction ;

– la geometrie dans la disposition des geophones doit permettre la detection des

fines couches.

La collecte des informations peut etre ardue et de longues zones pour le placement

des recepteurs sont generalement necessaires. Il faut une distance entre la source et

les recepteurs d’au moins cinq fois la profondeur que l’on prospecte. Finalement la

seule limitation que l’on ne puisse maıtriser est la croissance positive de la vitesse

des couches avec la profondeur.

B.3 Analyse spectrale des ondes de surfaces

La methode Spectral Analysis of Surface Waves — ou SASW — [NAZ1984,

NAZ1993,YUA1993] est une methode relativement recente developpee dans les annees

80 permettant de determiner le profil de vitesses de cisaillement d’un site sur base

de la caracteristique dispersive des ondes de Rayleigh. Cette methode considere

un modele de sol stratifie, c’est-a-dire constitue de couches paralleles homogenes

et elastiques, chaque couche ayant des proprietes dynamiques distinctes. La SASW

comprend trois etapes essentielles :

– la collecte des donnees sur le terrain,

– la determination d’une courbe experimentale de dispersion,

– la determination d’un profil de raideur, ou profil de sol, par une procedure

d’inversion.

B.3.1 Essais in situ

Le principe de la collecte des donnees est relativement facile quant a sa mise en

œuvre et est illustre a la Figure B.6 :

– Un impact vertical est genere sur la surface du sol dans une large bande de

frequence (e.g. tir a l’aide d’une chute d’une masse, un coup de marteau, un

signal mono ou multi–sinusoıdal,. . .).

– L’enregistrement du signal, compose essentiellement d’ondes de Rayleigh (cR),

s’effectue a l’aide de deux recepteurs verticaux places sur une ligne, a une

certaine distance D de l’impact et espace d’une distance X.


X/2X/2

XD

Analyseur de signaux

Ch. i Ch. j

Source impulsive CapteurCapteursismiquesismique

(variable)

Fig. B.6 – Configuration du materiel utilise lors d’un test SASW

Theoriquement, seuls deux recepteurs et une source sont utiles pour effectuer un

essai SASW. En pratique les effets d’attenuation et de champs proches obligent

l’utilisateur a utiliser plusieurs espacements de recepteurs et parfois meme plusieurs

sources. Plusieurs auteurs ont etudie les configurations possibles pour en tirer l’opti-

mum [HUN1998,FOT2000,NAZ1984]. De ce fait, il est preferable de travailler suivant

deux techniques :

– en source commune fixe (« common source array ») ou seule la position des

recepteurs est changee (Figure B.7(a)),

– en interposition commune des recepteurs (« receiver midpoint array ») ou les

recepteurs ainsi que la source excitatrice autour d’un point commun situe a

mi–distance des deux capteurs (Figure B.7(b)).

La distance entre le recepteur i et la source doit etre egale a deux fois celle entre

le recepteur j et la source. Ce choix n’est pas obligatoire mais est le resultat

d’une optimisation de l’influence de differents facteurs, testes par simulations

numeriques [FOT2000].

Lorsqu’on doit mesurer un signal a tres grande distance, la source d’energie doit

etre assez importante puisque les ondes s’attenuent dans le sol. Il faut aussi noter

que la configuration des recepteurs se fait en fonction des possibilites du site de pros-

pection. Objectivement le choix de la distance entre recepteurs est lie a la frequence

d’impact :


(a) Common source array (b) Receiver midpointarray avec inversion de la

position de la source

Fig. B.7 – Configurations preconisees pour la methode SASW (d’apres [FOT2000])

– petits espaces (0,5 a 5m) et faible source d’energie correspondent essentielle-

ment aux hautes frequences (un petit marteau comme excitation est suffisant) ;

– les grandes distances (plus de 60m) et une source d’energie importante sont

axes plutot basses frequences (chute d’un gros cube de beton ou mouvement

d’un bulldozer).

B.3.2 Courbe de dispersion experimentale

La deuxieme phase, la plus essentielle, est la construction de la courbe de

dispersion experimentale a partir des resultats enregistres lors des essais in situ.

L’information importante decoule de la phase du spectre croise (« cross–power

spectrum ») et de la fonction de coherence, determinees pour chaque paire de signaux

enregistres. Elles permettent d’etablir la vitesse de phase cR(f) des ondes de surface

comme une fonction de la frequence. Pour chaque frequence, le saut de phase φ(f)

peut ainsi etre estime1 a partir de

φ(f) = tan−1 ℑm [Gij(f)]

ℜe [Gij(f)](B.9)

ou Gij(f) represente le spectre croise entre les signaux i et j

Gij(f) = Yi(f)Y ∗j (f) , (B.10)

Yk(f) designant la transformee de Fourier du signal k considere, moyenne ou pas.

1Un deploiement de cette derniere est bien evidemment necessaire.


La vitesse de phase est obtenue par

cR(f) =2πX f

φ(f)(B.11)

avec X la distance entre les recepteurs i et j. La fonction de coherence γ2ij(f) joue le

role d’indicateur de qualite des valeurs mesurees et est definit par

γ2ij(f) =

|Gij(f)|2Gii(f)Gjj(f)

. (B.12)

La fonction de coherence prenant ses valeurs entre 0 et 1, une limite est souvent

imposee sous forme d’un minimum γ2ij,min

: les points a mauvaises coherences sont

systematiquement ecartes. Qui plus est, un critere, sous forme de filtre, est souvent

utilise, definissant ainsi un intervalle pour les longueurs d’ondes de Rayleigh λR = cR

f

determine par

λmin

R ≤ λR ≤ λmax

R . (B.13)

On elimine donc les courtes longueurs d’ondes car leurs amplitudes peuvent etre tres

reduites et etre dominees par le bruit ambiant. On elimine aussi les grandes longueurs

d’ondes car elles peuvent ne pas etre completement developpees ou contaminees par

d’autres ondes (ondes volumiques) lorsqu’elles arrivent aux recepteurs. Differentes

valeurs de λmin

R et λmax

R sont suggerees dans la litterature [DEW1997,FOT2000], celles

qui sont couramment adoptees sont

λmin

R = X3

λmax

R = 2X

. (B.14)

Pour une paire de recepteurs i et j et a une frequence fi donnee, une courbe de

dispersion experimentale, notee ceR(fi), est ainsi creee pour chaque frequence fi. Ainsi

en utilisant tous les mesures effectuees, respectant de ce fait les differents criteres et

conditions, une serie de n points definissent la courbe de dispersion experimentale ceRqui peut, selon les attentes, etre interpolee avant inversion.

B.3.3 Courbe de dispersion theorique

La courbe de dispersion theorique est obtenue en utilisant la theorie de pro-

pagation d’ondes dans un milieu stratifie et est notee ctR. Chaque couche est

caracterisee par 4 parametres : les deux vitesses d’onde volumique (cP et cS),

la densite et l’epaisseur h. Il existe plusieurs theories permettant de calculer la

courbe de dispersion theorique d’un milieu. Nous presentons ici celle qui a ete


adoptee pour l’implementation de la methode, definie comme la theorie d’Haskell–

Thomson [NAZ1984].

Considerons un sol, constitue de N − 1 couches reposant sur un demi-espace

infini elastique, l’analyse etant realisee dans le domaine plan xz (Fig. B.8). L’espace

d’etude pour la propagation des ondes de Rayleigh est divise en couches d’epaisseurs

differentes hn. Chaque couche possede des proprietes homogenes cP,n, cS,n, ρn.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

z

massif semi–infini

hn

(En−1, ρn−1, νn−1)

(En, ρn, νn)

(En+1, ρn+1, νn+1)

zn−1

zn

Fig. B.8 – Modele de sol pour la theorie de Haskell–Thomson

Si on considere la ne couche, les deplacements un et wn s’effectuent respec-

tivement dans les directions x et z, la direction y n’etant pas utilisee puisque

perpendiculaire au plan. Les contraintes σznet τxzn

sont les contraintes normales et

de cisaillement en un point de coordonnee zn du demi-espace.

En tenant compte de cette hypothese, l’equation elastodynamique de Navier

s’ecrit, pour chaque couche n,

∇2φ− 1

c2P,n

∂2φ

∂t2= 0 (B.15)

∇2Ψ − 1

c2S,n

∂2Ψ

∂t2= 0 (B.16)

faisant intervenir les potentiels d’Helmholtz definissant les deplacements, en utilisant


leurs composantes 2 φn et ψn

un =∂φn

∂x− ∂ψn

∂z(B.17)

wn =∂φn

∂z+∂ψn

∂x(B.18)

ou un est le deplacement dans la direction x et wn dans la direction z pour la couche

n. L’operateur laplacien ∇2 ne depend pas de y et vaut donc

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂z2. (B.19)

L’analyse etant realisee dans le domaine frequentiel, il est utile de determiner une

solution pour une excitation de type sinusoıdal. Le meme raisonnement se tient pour

la direction x. Utilisons par consequent les substituts complexes pour determiner ces

potentiels

φn = φn ejωt e−jkx (B.20)

ψn = ψn ejωt e−jkx . (B.21)

Si on remplace φn et ψn definis ci-dessus dans les Eq. (B.15) et (B.16), on obtient

∂2φn

∂z2= φn

(

k2 − ω2

c2P,n

)

(B.22)

∂2ψn

∂z2= ψn

(

k2 − ω2

c2S,n

)

. (B.23)

En definissant kP,n et kS,n par

k2P,n =

ω2

c2P,n

(B.24)

k2S,n =

ω2

c2S,n

(B.25)

ainsi que rn et sn

r2n = k2 − k2P,n (B.26)

s2n = k2 − k2S,n , (B.27)

les Equations (B.22) et (B.23) peuvent s’ecrire de facon formelle

(D2 − α2)Y = 0 , (B.28)

2On note ψn la composante selon y du vecteur Ψ par pure commodite.


D etant l’operateur de derivation selon z et Y etant φn ou ψn. La solution de cette

equation peut s’ecrire sous la forme suivante

Y = C1 eαz + C2 e

−αz . (B.29)

On deduit donc que les Equations (B.22) et (B.23) prennent les formes

φn = Up,n ern (z−zn−1) +Dp,n e

−rn (z−zn−1) (B.30)

ψn = Us,n esn (z−zn−1) +Ds,n e

−sn (z−zn−1) , (B.31)

zn indiquant la position de l’interface inferieure de la couche n.

On peut ainsi decomposer les potentiels φn et ψn en deux parties, l’une relative

aux ondes se propageant vers le haut du milieu (coefficients Ui,n) et l’autre aux

ondes voyageant vers le bas du milieu (coefficients Di,n), l’indice i designant le type

de potentiel :

φn = φUn+ φDn

(B.32)

ψn = ψUn+ ψDn

. (B.33)

Finalement on definit le vecteur Φn(z)

Φn(z) = φUn(z) ψUn

(z) φDn(z) ψDn

(z)T. (B.34)

D’autre part, les contraintes σznet τxzn

pour chaque couche sont etablies par les

relations suivantes

σzn= (λn + 2µn)

∂wn

∂z+ λn

∂un

∂x(B.35)

τxzn= µn

(∂un

∂z+∂wn

∂x

)

. (B.36)

Si on remplace dans ces deux equations les definitions de un et wn donnees par (B.17)

et (B.18), on trouve que

σzn= λn

(∂2φn

∂x2+∂2φn

∂z2

)

+ 2µn

(∂2φn

∂z2+∂2ψn

∂x∂z

)

(B.37)

τxzn= 2µn

(∂2φn

∂x∂z− ∂2ψn

∂z2+∂2ψn

∂x2

)

. (B.38)


De la meme facon dont nous avons utilise les substituts complexes pour les potentiels

de Helmholtz φn et ψn, definissons les substituts complexes des deplacements un, wn

et des contraintes σzn, τxzn

un = un ejωt e−jkx , (B.39)

wn = wn ejωt e−jkx , (B.40)

σzn= σzn

ejωt e−jkx , (B.41)

τxzn= τxzn

ejωt. e−jkx . (B.42)

et de la meme maniere, nous rassemblons ces donnees autour du vecteur Sn(z)

Sn(z) = un(z) wn(z) σzn(z) τxzn

(z)T . (B.43)

Le lien entre Φn(z) et Sn(z) est donc simplement une matrice (4 × 4), definie

comme la matrice de raideur Tn :

Sn(z) = Tn Φn(z) (B.44)

ou plus precisemment

un(z)

wn(z)

σzn(z)

τxzn(z)

=

−jk −sn −jk sn

rn −jk −rn −jkan −bn an bn−cn dn cn dn

φU (z)

ψU (z)

φD(z)

ψD(z)

(B.45)

avec

an = λn (r2n − k2) + 2µn r2n , (B.46)

bn = 2 j µn k sn , (B.47)

cn = 2 j µn k rn , (B.48)

dn = −µn (k2 + s2n) (B.49)

et surtout

k =ω

cR(B.50)

faisant apparaıtre a ce stade la vitesse de phase.


Cette matrice est donc definie comme la matrice de raideur Tn de la ne couche du

demi-espace de sol. Par consequent en n’importe quel point de la ne couche, Sn(z)

et Φn(z) sont lies par cette derniere relation ou par

Φn(z) = T−1n Sn(z) . (B.51)

La relation qui lie les potentiels au sommet et a la base de chaque couche n est definie

par

Φn(zn) = En Φn(zn−1) (B.52)

avec

En =

ern hn 0 0 0

0 esn hn 0 0

0 0 e−rn hn 0

0 0 0 e−sn hn

(B.53)

ou

hn = zn − zn−1 (B.54)

est l’epaisseur de la ne couche.

A chaque interface, les contraintes et les deplacements doivent etre egaux afin

d’assurer la continuite. Les deplacements et contraintes au sommet de la n + 1e

couche doivent etre les memes qu’a la base de la ne couche. On peut donc ecrire

Sn+1(zn) = Sn(zn) . (B.55)

En remplacant dans cette derniere Sn(zn) par l’Eq. (B.44), on obtient

Sn+1(zn) = Tn φn(zn) (B.56)

De l’Equation (B.52), cette derniere devient

Sn+1(zn) = TnEn φn(zn−1) (B.57)

ou, en la remplacant par (B.51)

Sn+1(zn) = TnEn T−1n .Sn(zn−1) (B.58)

Cette equation peut se reecrire d’une facon plus compacte

Sn+1(zn) = Qn Sn(zn−1) (B.59)


avec

Qn = TnEn T−1n . (B.60)

On concoit qu’il est possible de lier les contraintes et deplacements a une profon-

deur quelconque a ceux a la surface en appliquant au membre de droite de (B.60) le

processus a partir de (B.55). On obtient ainsi

SN (zN−1) = QN−1QN−2 . . . Q2Q1 S1(0) (B.61)

avec

Qi = TiEi T−1i . (B.62)

En l’associant a l’Equation (B.56), on obtient finalement la relation qui lie les poten-

tiels a la profondeur zN−1, situe a l’interface de la derniere couche et du substratum

semi–infini et les contraintes et deplacements au niveau du sol

φN (zN−1) = T−1N

1∏

i=N−1

Qi S1(0) . (B.63)

Si on excite le sol au niveau de sa surface, a la profondeur zN−1, les ondes ne peuvent

se transmettre que vers le bas. D’autre part, a l’air libre, a la profondeur z = 0,

les mouvements sont libres de contraintes. On tire donc de ces deux considerations

que σz0, τz0

, φUN (zN−1) et ψUN (zN−1) sont tous nuls. La derniere equation voit

finalement sa forme devenir

0

0

φDN (ZN−1)

ψDN (ZN−1)

=

r11 r12 r13 r14r21 r22 r23 r24r31 r32 r33 r34r41 r42 r43 r44

︸︷︷︸

R

u0(0)

w0(0)

0

0

(B.64)

avec R une matrice (4 × 4) qui vaut

R = T−1N

1∏

i=N−1

Qi . (B.65)

Nous pouvons definir la matrice R par des matrices blocs

0

A

=

[R11 R12

R21 R22

]B

0

. (B.66)


Finalement, on obtient donc deux equations

R11B +R12 0 = 0 (B.67)

et

R21B +R22 0 = A . (B.68)

Pour ne pas obtenir une solution triviale, le determinant de la matrice R11 doit

necessairement s’annuler, fournissant l’equation qui comporte comme inconnues la

frequence et la vitesse de phase.

Les modes de Rayleigh sont les modes naturels du systeme considere et peuvent

etre determines en etablissant la solution de l’equation caracteristique

det(R11) = 0 . (B.69)

L’algorithme de Van Wijngaarden–Dekker–Brent a ete choisi pour resoudre ce

probleme [PRE1997].

La Figure B.9 illustre les differents modes obtenus de maniere analytique pour

un sol a 3 couches. Le premier mode est le mode fondamental intervenant dans la

definition de la courbe de dispersion theorique.

0 50 100 150300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

400

Fréquence [Hz]

Vite

sse

de p

hase

[m

/s]

1er mode (mode fondamental)2ème mode3ème mode

Fig. B.9 – Courbe de dispersion analytique pour un sol a 3 couches


Cas d’un semi–espace homogene et isotrope

Dans le cas d’un milieu homogene, la vitesse de phase est constante et est simple-

ment egale a la vitesse de Rayleigh du milieu, definit comme la solution de l’equation

caracteristique de Rayleigh

χ6 − 8χ4 + (24 − 16γ)χ2 − 16(1 − γ) = 0 (B.70)

avec

χ =

(cRcS

)2

(B.71)

et

γ =1 − 2ν

2(1 − ν). (B.72)

La courbe de dispersion theorique pour un espace demi–infini isotrope est donc

independante de la frequence.

B.3.4 Processus d’inversion

L’etape la plus critique dans la methode SASW est sans aucun doute le processus

d’inversion, le but etant de determiner le profil des vitesses de cisaillement du site

en question a partir de la courbe de dispersion experimentale en minimisant l’ecart

entre ceR et ctR au sens des moindres carres

min1

2

∣∣ctR − ceR

∣∣2

=1

2

∑

i

[ctR(fi) − ceR(fi)

]2. (B.73)

Le point de depart est un profil initial d’un semi–espace de l couches sur un

substratum elastique. Le systeme est ainsi defini par des valeurs initiales de 4 l + 3

parametres. Ce nombre est usuellement inferieur a cette valeur en fixant certains

parametres lors de la minimisation afin d’obtenir des temps raisonnables de cette

derniere. Sur un jugement ingenieux, il est raisonnable de fixer les valeurs de la

densite et du nombre de Poisson. Par ailleurs, il a ete demontre que ces parametres

n’influencaient que tres faiblement les resultats [KOU2007]. La Figure B.10 fournit

pour ce fait les gammes de densite de differents sols.


1500

1000

2500

2000

3500

3000

4500

4000

5500

5000

6500

6000

7500

7000

Pétr

ole

Eau

Gla

ce (

gla

cie

rs)

Sol

Loess

Allu

vio

ns

Silt

Arg

ile

Gra

vie

rs

Sable

Charb

on

Cra

ie

Grè

s

Shale

Marn

es

Calc

aire

Halit

e

Quart

zite

Gneis

s

Schis

tes

Gra

nite

Basalt

Gabbro

Chro

mite

Pyrr

hotite

Pyrite

Hém

atite

Magnétite

Galè

ne

Fig

.B

.10

–M

asse

volu

miq

ue

des

diff

eren

tes

form

atio

ns,

min

eral

isat

ions

etfluid

es[k

g/m

3]


Finalement le nombre de parametres libres se reduit a 2 l + 1. L’algorithme de

Gauss–Newton peut etre utilise pour des problemes de resolution d’equations non

lineaires et convient parfaitement dans le cas d’une inversion3.

Les conditions initiales ayant une grande importante dans le processus d’inversion,

il est possible de pouvoir en donner une bonne approximation de par l’utilisation de

la procedure d’inversion definie pour une autre methode, la SSRM [RIC1970]. Cette

procedure d’inversion est simple en soi puisqu’elle part du principe que la longueur

d’onde de Rayleigh est directement liee a la profondeur d du sol par

d ∼= λR

3(B.74)

et que la vitesse de phase est proche de celle des ondes de cisaillement

cS ∼= 1,1 cR (B.75)

comme l’illustre la Figure B.11. La phase critique dans la methode reste le processus

.

.

cR

c∗R

cS

λRλ∗

Rλ∗

R

3

1,1 c∗R

Pro

fondeu

r

Fig. B.11 – Procede d’inversion simple

d’inversion, base sur des algorithmes numeriques, auxquels tout sens physique est

mis en arriere–plan, qui peut forunir dans certains cas des resultats differents de

ceux attendus mais respectant la minimisation recherchee.

3Au fil du temps, d’autres methodes se sont vues aider le processus d’inversion en optimisant larecherche de la solution reelle soit par l’utilisation d’algorithmes genetiques [HUN1998] ou par dessimulations de Monte–Carlo [LAI1998].

B.4. Autres methodes non destructives existantes 271

B.4 Autres methodes non destructives existantes

Bien evidemment d’autres methodes de prospection geophysique existent. Citons

le reflexion sismique, la Steady–State Rayleigh Method (SSRM ) ou les methodes dites

destructives (cross–hole ou borehole). Le Tableau B.2 dresse ainsi une comparaison

entre les differentes methodes non destructives.

Au vu de ces differences, la refraction sismique ainsi que la SASW semblent etre

des methodes d’investigation privilegiees pour obtenir les parametres dynamiques

d’un sol, y compris pour leur mises en œuvre.

Tab. B.2 – Synthese des methodes sismiques non destructives

Methode Avantages InconvenientsFacilite

d’implementation

Levee des temps d’arrivee rapideconsidere

simpleune seule couche

Reflexion sismiquedeploiement au sol interpretation

tres difficilerestreint des resultats

Refraction sismique rapidedeploiement au sol moyennement

tres grand difficile

SSRM simplelong et pas

tres simpleassez general

SASWprecise et deploiement au sol moyennement

multicouche assez grand difficile

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Index

amortissement proportionnel visqueux,

119

amortissement structurel

de Barkan, 77

de Kelvin–Voigt, 75

hysteretique, 76

angle critique, 69

bibliotheque EasyDyn, 36

champ lointain, 83

champ proche, 83

code de calcul commercial ABAQUS, 99,

116

contact roue/rail, 4, 29

decomposition d’Helmholtz, 56

deflexion de voie, 47

equation de Rayleigh, 72, 90

equations elastodynamiques de Navier,

15, 55

Eurostar, 5, 168

fixation Pandrol, 11, 171

fonction de Green, 81

fonctions de Green approchees, 82

fondation de Winkler, 14

frequence fondamentale de passage, 181

impedance acoustique, 61

indicateur (KB), 185

interaction vehicule/voie, 4

interaction voie/sol, 20

irregularites de voie, 4, 32

selon Gard et Dukkipati, 33

methode aux elements finis, 15, 102

elements a frontiere visqueuse, 110

elements semi–infinis, 4, 104

critere d’efficacite, 128

fonction de decroissance, 105

taille des elements, 123

taille du domaine, 118, 123

transformation parametrique, 106

methode aux elements frontieres, 15, 101

methode d’Haskell–Thomson, 173, 261

nombre de Mach, 81, 214

ondes de cisaillement, 60

ondes de compression, 59

ondes de Rayleigh, 72

probleme de Lamb, 15, 86

projet TRANSDYN, 17, 145

285

286 Index

receptance de voie, 45

refraction sismique, 150, 252

regime

sub–Rayleigh, 81

subsonique, 80

super–Rayleigh, 81, 214

supersonique, 80

transsonique, 80

raideur de Hertz, 32

rail

flexibilite, 220

modele d’Euler–Bernoulli, 12, 39

modele de Timoshenko, 13

mode T1, 43

mode T2, 43

mode pinned–pinned, 44, 245

semelle de, 11

type Broca, 10, 220

type Vignole, 220

type vignole, 10

rapport d’energie effectif, 114

roue resiliente, 148, 158

SASW , 97, 257

schema d’integration explicite, 139

schema d’integration implicite, de New-

mark, 36, 138

sol

courbe de dispersion, 97, 259

frequences de resonance naturelles,

97

temps d’arrivee des ondes, 150, 251

theorie de Hertz, 29

Thalys, 5, 166

tram T2000, 5, 146

transformee de Galilee, 88

vitesse particulaire (PPV ), 135, 155

Documents

Modélisation des effets vibratoires du trafic ferroviaire sur l