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Universit Cheikh Anta Diop

Facult des Sciences et Technologies de l'Education et de la Formation

(FASTEF)

_____________________________________________

DEPARTEMENT DE SCIENCES PHYSIQUES

FORMATION DES PROFESSEURS DE COLLEGES

DENSEIGNEMENT MOYEN

SECTION F1C1 (Niveau Bac + 1 an)

Anne acadmique 2013 / 2014

COURS DE PHYSIQUE

MECANIQUE DU POINT MATERIEL

2

Auteur du module :

Mamadi BIAYE Formateur, Professeur Titulaire des Universits en Physique Atomique

Dpartement de Sciences Physiques Facult des Sciences et Technologies

de lEducation et de la Formation (FASTEF)

Tel. Domicile : 33 836 32 31 Portable : 77 323 74 50 Email : yalabiaye@gmail.com mamadi.biaye@ucad.edu.sn

3

1. Justification / importance du cours Ce module sinsre dans un programme de formation des enseignants. Il permet dasseoir les comptences de base acquises en mcanique dans le cycle secondaire. Il traite les mouvements des objets qui constituent une importance capitale dans la physique de lunivers. Ce module aide non seulement lapprenant mieux comprendre les lois qui rgissent tout mouvement mais aussi permet dutiliser ces lois pour la description du mouvement de tout point matriel. La description de ces mouvements constitue les travaux essentiels des physiciens pour le dveloppement de la science depuis Aristote et Galile

2. Prsentation du cours Ce module de Mcanique du point est destin aux tudiants, enseignants vacataires et contractuels de niveau 1re anne de Licence de Physique et Chimie des Facults. Il comprend deux (02) grands chapitres : cinmatique du point matriel ; dynamique du point matriel. Le premier chapitre traite les oprations sur les grandeurs vectorielles, les oprateurs vectoriels en coordonnes cartsiennes, polaires, cylindriques et sphriques. Il traite galement les vecteur-positions, les vecteur-vitesses et les vecteur-acclrations en coordonnes cartsiennes, polaires, cylindriques et sphriques. La dernire partie de ce premier chapitre est consacre ltude de quelques mouvements tels que : les mouvements rectilignes uniformes, les mouvements rectilignes uniformment varis et les mouvements circulaires uniformes. Le deuxime chapitre est consacr ltude des notions de travail, dnergie cintique, dnergie potentielle et dnergie mcanique. Ce chapitre tudie galement le moment linaire, le moment cintique ainsi que leur application dans ltude des chocs et des forces centrales. La dernire partie de ce chapitre traite les oscillateurs harmoniques une dimension. Une partie valuation regroupant plusieurs exercices se trouve la fin de ce cours.

3. Plan sommaire du cours Chapitre 1. Cinmatique du point matriel

Les grandeurs Physiques : units, symboles et quations aux dimensions

Oprations sur les grandeurs vectorielles

Les oprateurs vectoriels

Rfrentiels et repres

Expressions des vecteur-positions, vitesse et acclration

Etude de quelques mouvements

Chapitre 2. Dynamique du point matriel

Notion de forces extrieures

Les lois de Newton

Travail Energie mcanique

Quantit de mouvement ou moment linaire

4

Moment angulaire ou moment cintique

Les oscillateurs harmoniques libres une dimension

4. Les mots cls Rfrentiel, repre, oprateur vectoriel, vitesse, position, acclration, nergie potentielle, nergie cintique, nergie mcanique, moment linaire, moment cintique, force, mouvement, travail, puissance, oscillateurs harmonique, priode, frquence.

5. Dure du cours Ce cours de Mcanique du point est semestriel. Il se droule en prsentiel au premier semestre

avant le cours dOptique gomtrique. Le volume horaire est le suivant :

Chapitre 1. Cinmatique du point matriel : 40 heures

Chapitre 2. Dynamique du point matriel : 42 heures

6. Les objectifs dapprentissage

Les objectifs gnraux Lapprenant doit tre capable de :

Objectifs de connaissance - Connatre les grandeurs physiques,

- Connatre les concepts dnergie, de travail

- Connatre la relation entre nergie et travail

Objectifs de savoir faire thorique

- Comprendre les mouvements une dimension

- Comprendre les mouvements deux dimensions

- Appliquer le thorme de lnergie cintique un systme donn

- Appliquer le thorme de la conservation de lnergie mcanique un systme

- Appliquer les lois de Newton pour la rsolution des problmes

Les Objectifs Spcifiques Objectifs spcifiques de connaissance

- Rappeler la dfinition dune grandeur physique

- Citer quelques grandeurs physiques

- Citer les units de quelques grandeurs Physiques

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- rappeler la dfinition de la trajectoire dun mobile

- rappeler la dfinition de la vitesse moyenne

- rappeler les composantes du vecteur-acclration dans un repre (o, x, y, z)

- Enoncer les trois lois de Newton

- Appliquer les lois de Newton pour la rsolution des problmes

- Enoncer le thorme de lnergie cintique

Objectifs spcifiques de savoir-faire thorique :

- Distinguer une grandeur vectorielle dune grandeur scalaire

- Ecrire les quations paramtriques du mouvement.

- Calculer la vitesse moyenne dun mobile.

- Calculer la vitesse instantane dun mobile.

- Calculer lacclration moyenne dun mobile

- Calculer lacclration instantane dun mobile

- Intgrer la vitesse instantane

- Intgrer lacclration instantane

- Tracer la trajectoire du mobile

- Calculer les composantes intrinsques (locales) de lacclration

- Inventorier les forces agissant sur un corps

- Dterminer les conditions dquilibre dun solide

- en translation rectiligne

- en rotation

- Calculer le travail dune force constante

- Calculer le travail dune force variable

- Calculer lnergie potentielle de pesanteur

- Calculer lnergie cintique dun mobile

- Calculer lnergie mcanique dun systme

- Dterminer lquation diffrentielle doscillateur harmonique

- Calculer le dcrment logarithmique

-Dterminer lquation diffrentielle de loscillateur harmonique en translation

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7. Contenu du cours

CHAPITRE 1. CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

La mcanique est la partie de la physique qui tudie les mouvements des corps.

Elle comprend la cinmatique et la dynamique.

La cinmatique tudie les mouvements des corps sans inclusion des causes et des

consquences. Elle permet donc la dtermination des vecteurs position r, vitesse v et

acclration a du point matriel sur sa trajectoire.

1. Les grandeurs physiques

1.1. Dfinition

On appelle grandeur physique toute proprit de la nature qui peut tre quantifie par la mesure ou le calcul et dont les diffrentes valeurs possibles s'expriment l'aide d'un nombre gnralement accompagn d'une unit de mesure.

Exemple : la masse, la longueur, lindice de rfraction, la densit

Il existe deux types de grandeurs physiques : les grandeurs fondamentales ou de base et les grandeurs drives.

Exemples. Grandeurs physiques fondamentale: longueur, temps, masse, temprature

Grandeurs drives : volume, superficie, masse volumique, vitesse

1.2. Units, reprsentations, dimensions Grandeur physiques Symboles Units (SI) Dimensions

Grandeurs fondamentales Distance et longueur l m [L] Dure et temps t s [T] masse m kg [M] temprature K Quantit de matire n mol [n] Intensit du courant lectrique

I A [I]

7

tension U V [M][L]2[T]-3[I]-1

Intensit lumineuse, flux lumineux

lm [J]

Eclairement lumineux E lx [J] [L]-2 Grandeurs drives

superficie s M2 [L]2 volume V m3 [L]3 angle , , rad - frquence f Hz [T]-1 vitesse v m s-1 [L] [T]-1 acclration a m s-2 [L] [T]-2 Vitesse angulaire w rad s-1 [T]-1 Energie, travail E J [M] [T]-2 [L]2 Masse volumique , Kg m3 [M] [L]-3 pression P Pa [M] [L]-1 [T]-2 force F N [M] [L] [T]-2 Quantit de mouvement p N s [M] [L] [T]-1 puissance P w [M] [L]2 [T]-3 Les dimensions des grandeurs drives sont dtermines partir des quations contenant les grandeurs dont on connat dj les dimensions suivant lexemple ci-dessous :

1.3. Mesures et incertitudes de mesures

1.3.1. Prcision des mesures

Les sciences physiques sont avant tout des sciences exprimentales. Toute thorie doit

imprativement tre valide par lexprience et toute exprience doit tre explique par la

thorie. Ce va et vient impose au physicien de mesurer les grandeurs physiques quil invente.

Il se sert pour cela dappareil de mesure quil fabrique. De ce fait toute valeur de grandeur

L

TE

VE

1

2C

2

C

FK

ressortun'draideurdetetanconsxF

K

LM

cintiquenergie2

M

:Exemple

=

=

=

=

8

physique se verra entach derreurs dues la mthode et lappareillage utilis pour obtenir

cette valeur.

a) Notion dincertitude Lorsqu'on mesure une grandeur quelconque (intensit du courant ou longueur d'une table

par exemple), on ne peut jamais obtenir la valeur exacte. En effet, la valeur mesure lest

toujours par lintermdiaire dun appareil de mesure, construit par lhomme et, de ce fait,

possdant des dfauts. Le physicien, travaillant sur des mesures lors de ses expriences doit

toujours tre conscient de ce fait : la mesure est entache dincertitudes. La bonne

connaissance de linstrument de mesure et de la mthode mise en uvre permet dvaluer

lcart entre la mesure et la valeur exacte.

On appelle erreur la diffrence entre la valeur mesure et la valeur exacte. Mais comme on

ignore la valeur exacte, on ne peut pas connatre l'erreur commise. Le rsultat est donc

toujours incertain. On parle dincertitudes de mesure.

Les trois causes d'incertitudes sont :

l'imperfection de l'appareil de mesure.

le dfaut de la mthode de mesure.

les limites de l'homme (lecture des appareils analogiques).

Ces incertitudes proviennent de deux types derreurs que sont : les erreurs fortuites et les

erreurs systmatiques.

Les erreurs fortuites (ou accidentelles) peuvent provenir de loprateur qui se trompe

dchelle de lecture, ou qui ne positionne pas son il en face de laiguille, pour un appareil

aiguille (erreur de parallaxe). Pour viter les erreurs de parallaxe, un miroir est plac sous

laiguille. La position de lil est correcte lorsque laiguille est superpose son reflet dans

ce miroir.

Les erreurs fortuites peuvent aussi provenir dun dfaut de lappareil de mesure ou dun

dfaut sur le montage (mauvais contact, dfaut disolement etc. ).

Les erreurs systmatiques: ont pour cause le choix de la mthode de mesure (la prsence

dun appareil de mesure peut perturber le fonctionnement dun montage), le manque de

prcision de lil de loprateur ( pour les appareils aiguille ), le manque de prcision des

appareils de mesure ( classe de prcision, mauvais talonnage, mauvais rglage des zros ).

b) Incertitude absolue

9

Cest le plus grand cart qui existe entre la valeur mesure et la valeur exacte. Elle a la mme

unit que la grandeur mesure. Elle sera dtermine laide des indications fournies par le

constructeur au sujet des appareils de mesure. Il est not X

Pour les appareils analogiques: ( aiguille) lincertitude absolue X lie la classe de

lappareil est donne par la relation : XClasse Calibre

100

La classe de lappareil se lit sur lappareil.

Cette incertitude ne dpend pas de la dviation de laiguille, cest pour cela quil faut utiliser,

si possible, avec les appareils analogiques le calibre qui permet une lecture dans le dernier

tiers de la graduation.

Pour les appareils numriques : lincertitude dpend dun terme constant plus dun terme

proportionnel qui est un pourcentage de la valeur absolue de la lecture.

Par exemple : digitlectureX 1%1 (1 digit = 1 unit sur le dernier chiffre )

Les valeurs du terme constant et du terme proportionnel sont donns sur la documentation du

constructeur et dpendent du calibre. Attention, pour calculer lincertitude absolue il faut

utiliser la valeur absolue de la lecture.

Remarque : Si un instrument de mesure nindique pas lincertitude absolue dune mesure, on

considre quelle correspond la moiti de la plus petite unit quaffiche linstrument.

c) Incertitude relative Cest le quotient de lincertitude absolue par la valeur absolue de la valeur mesure. Elle na

pas dunit et peut tre exprime en pourcentage.

mesureValeurabsolueeIncertitudrelativeeIncertitud

___

ou encore : 100__%__

mesureValeurabsolueeIncertitudrelativeeIncertitud

Documentation des appareils de mesure.

1 - Multimtre TRG2200 :

Tensions continues : Intensits continues : V 400 mV 4 V 40 V 400 V 1000 V A 4 mA 40 mA 400

mA 10 A

R 10 M Prcision 0.25% lect. + 1 point 0.25%

lect+3pts

Prcision

0.5% lect. + 1 point 2% lect + 1 point

10

2 - Multimtre Metrix MX 553 :

Tensions continues : Intensits continues : Gammes Prcision Rsistance dentre Rsolution

Prcision d.d.p. Rsolution

mV 500 mV 0,1 % lect + 2 pts 10 M 10 V 5 mA 0,2 % lect +

2 pts 700 mV 1 A 5 V 0,1 % lect + 2 pts 11 M 100 V 50 mA

0,2 % lect + 2 pts 700 mV 10 A

VDC 50 V 0,1 % lect + 2 pts 10 M 1 mV 500 mA 0,2 % lect +

2 pts 1,5 V 100 A 500 V 0,2 % lect + 2 pts 10 M 10 mV 10 A

0,5 % lect + 5 pts 500 mV 10 mA

1000 V 0,3 % lect + 2 pts 10 M 100 mV

1.3.2. Ecriture dune valeur numrique : le nombre de chiffres significatifs

a) Les chiffres significatifs

Puisque les valeurs correspondant aux grandeurs tudies en physique ne sont jamais

exactes, il convient de prter attention au nombre de chiffres qui les expriment.

Toute valeur numrique provenant d'une mesure ou d'un calcul (sur des grandeurs

mesures) doit tre exprime avec un nombre de chiffres dits significatifs tenant compte des

incertitudes.

Un chiffre significatif est un chiffre ncessaire pour exprimer la valeur dune

grandeur physique mais aussi sa prcision.

Exemple :

Tous les chiffres non nuls sont significatifs : 1542,3 a 5 chiffres significatifs ;

15,423 a 5 chiffres significatifs (la virgule n'intervient pas).

Les zros placs l'intrieur dun nombre ou la fin dun nombre aprs la

virgule, sont toujours significatifs : 2005 a 4 chiffres significatifs ; 187,50 a 5

chiffres significatifs ; 187,5 a 4 chiffres significatifs. Donc 187,50 et 187,5 ne sont

pas identiques, le premier est plus prcis.

Les zros placs au dbut dun nombre ne sont jamais significatifs : 0,52 a 2

chiffres significatifs ; 0532 a 3 chiffres significatifs

Les zros placs la fin d'un nombre sans virgule peuvent tre ou ne pas tre

significatifs :

200 mA a 1 ou 2 ou 3 chiffres significatifs

11

Pour sortir de l'ambigut on peut changer d'unit et faire apparatre ainsi une virgule :

0,20 A a 2 chiffres significatifs

0,200 A a 3 chiffres significatifs

Le nombre de chiffre significatif indique la prcision avec laquelle la valeur est

connue.

b) Ecriture dune valeur numrique en notation scientifique

En mathmatiques, crire X = 11 597 g, signifie que seul le dernier chiffre, 7, est

incertain. On a donc :

11 596,5 g X 11 597,5 g.

En physique, en labsence dindication explicite sur lincertitude attache X, on

admet souvent que celle-ci est gale une demi unit du dernier chiffre exprim

(P. Fleury et J.-P. Mathieu, Mcanique physique, 4me dition, 1965, page 42).

Les critures : X = 11 597 g ou X = (11 597 0,5) g sont donc quivalentes

En revanche, si lon dsire indiquer que lincertitude X sur X est de 1 g, par exemple,

au sens o lintervalle (11 596 g, 11 598 g) a de fortes chances de contenir la vraie valeur de

X, alors il faut crire X = (11 597 1) g.

En notation scientifique, le rsultat dune mesure scrit sous la forme suivante :

a = a,

o est lestimateur et a lincertitude absolue

Dans cette criture, lincertitude a sexprime avec deux chiffres significatifs (au maximum) ;

les derniers chiffres significatifs conservs pour lestimateur sont ceux sur lesquels porte a.

Exemples : m = (98,5 1,6) g.

R = 46,8 0,3

P = (3,420 0,026) kW.

c) Oprations avec les valeurs numriques et prcision des rsultats

Le rsultat dune multiplication (ou dune division) de deux valeurs numriques ne

peut avoir plus de chiffres significatifs que la valeur numrique qui en comporte le moins. Exemple : 2,37 x 1,2 = 2,8 Donc on crit 2,8 et non 2,844 0,625 : 0,5 = 1,2 Donc on crit 1,2 et non 1,25

12

Le rsultat dune addition (ou dune soustraction) de deux valeurs numriques ne peut

tre plus prcis que la valeur numrique la moins prcise.

Exemple : soient deux longueur 94 m et 8,7 m

94 m + 107 m = 103 m

0n ncrit pas 102,7 m car la prcision de la premire longueur est le mtre et quune

meilleure prcision nest pas possible pour le rsultat.

Soient les surfaces 54,3 cm2 et 12,17 cm2

(54,3 - 12,17) cm2 = 42,1

On crit ncrit pas 42,13 cm2 mais bien 42,1 cm2

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2. Notion de matrice

2.1. Dfinition

Une matrice n m est un tableau de nombres n lignes et m colonnes :

Exemple avec n = 2, m = 3 :

n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolise par une lettre en caractres gras, par exemple A. On note Aij l'lment situ l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nomme en premier).

On note [Aij] la matrice d'lment gnral Aij. On a donc : A = [Aij] Si m = 1, la matrice est appele vecteur (plus prcisment vecteur-colonne) :

Si n = m, la matrice est appele matrice carre.

2.2. Exemples de matrices

Cas o n = 4

Matrice unit

Parfois note In n est la dimension de la matrice (soit I4 dans cet exemple)

Matrice diagonale

note diag(Dii)

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Matrice triangulaire suprieure U

Matrice triangulaire infrieure L

Une matrice carre A est dite symtrique si : Aji = Aij

pour tout i diffrent de j

2.3. Opration sur les matrices

a) Addition et soustraction

L'addition et la soustraction des matrices se font terme terme. Les matrices doivent avoir les mmes dimensions :

b) Multiplication par un nombre

Chaque terme de la matrice est multipli par le nombre :

c) Transposition La transpose AT (aussi note A') d'une matrice A est la matrice obtenue en changeant les lignes et les colonnes de A :

15

La transpose d'un vecteur-colonne est un vecteur-ligne :

d) Multiplication des matrices

Dfinissons tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y :

Ce produit est appel produit scalaire des vecteurs x et y, not x y. Les vecteurs doivent avoir la mme dimension. Le produit matriciel s'en dduit : le produit de la matrice A (n m) par la matrice B (m p) est la matrice C (n p) telle que l'lment Cij est gal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B.

Exemple :

On a en effet, en effectuant les produits ligne par colonne :

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e) Proprits des matrices Le produit matriciel est :

o associatif : ABC = (AB)C = A(BC) o distributif par rapport l'addition : A(B + C) = AB + AC o non commutatif : AB n'est pas gal BA en gnral.

La matrice unit I est lment neutre pour la multiplication : AIm = InA = A, si la matrice A est de dimensions n m.

Transpose d'un produit : (AB)T = BTAT (Attention au changement d'ordre !). f) Matrice inverse

Une matrice carre A est dite inversible ou rgulire s'il existe une matrice carre A-1 (appele matrice inverse) telle que :

A A-1 = A-1 A = I Si A-1 n'existe pas, la matrice A est dite singulire Proprits :

(A-1)-1 = A (AT)-1 = (A-1)T (AB)-1 = B-1A-1 (Attention au changement d'ordre !) La matrice A est dite orthogonale si A-1 = AT

g) Dterminant dune matrice carre

Pour une matrice 2 2, on montre que la matrice inverse est donne par :

Le nombre ad - bc est appel dterminant de la matrice A, not :

La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est diffrent de zro. La matrice A est singulire si det A = 0, rgulire dans le cas contraire. Ce rsultat se gnralise une matrice de dimension quelconque. Remarque. On peut dterminer linverse des matrices carres An dordre gal ou suprieur 3 partir de la matrice cofacteurs :

)(det( )11 AcoAA n

t

n

n

Avec CoAn : la comatrice de An

Exemple : Soit la matrice

ifchebgda

An

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La comatrice de An est

ebda

hbga

hegd

fcda

icga

ifgd

fceb

ichb

ifhe

Co An

Proprits des dterminants :

det(AT) = det(A) det(AB) = det(A) det(B) Le dterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est gal au produit des

lments diagonaux. En particulier, det(I) = 1 (si I est la matrice unit)

Remarque. Pour le calcul des dterminants, on peut utiliser la rgle de Sarrus. Mais cette rgle nest valable que pour les matrices carres dordre 3.

2.4. Applications aux systmes dquations linaires

a) Formulation matricielle

Un systme de n quations linaires n inconnues est de la forme : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ....................................................

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn o les aij sont les coefficients du systme, les xi les inconnues et les bi les termes constants.

Un tel systme peut s'crire sous forme matricielle : Ax = b avec :

b) Exemple Soit le systme de 2 quations 2 inconnues : 2x1 + 3x2 = 9 x1 - x2 = 2

On a successivement :

18

Soit : x1 = 3, x2 = 1.

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3. Rfrentiels et repres Un rfrentiel est un corps de rfrence par rapport auquel se fait le mouvement d'un autre

corps. C'est un tre physique . Il permet de situer qualitativement la position du mobile au

cours de son mouvement.

Pour dterminer la position prcise du mobile, on associe au rfrentiel un repre. Selon la

nature du mouvement, on peut associer avantageusement au rfrentiel, tel ou tel autre repre.

Exemple1: Repres cartsiens ),,,(;),,(;),( kjiOjiOiO

Repre cartsien ),( iO

(Etude du mouvement rectiligne) O i M x y M Repre cartsien ),,( jiO

(tude du mouvement plan) O x Repre cartsien ),,,( kjiO

(tude du mouvement dans l'espace)

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Exemple 2: Repre de Frenet. Il est constitu de 2 ou de 3 vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux suivant que le

mouvement se passe dans le plan ou dans l'espace comme dans le repre cartsien. Il est

adapt l'tude de mouvement curviligne. Ce repre est en gnral entran dans le

mouvement du mobile.

- Dans un mouvement plan , ce repre utilise les coordonnes polaires.

- Dans un mouvement cylindrique, ce repre utilise les coordonnes cylindriques.

- Dans un mouvement spatiale , ce repre utilise les coordonnes sphriques.

Il existe deux types de repre: Repres absolus et repres mobiles.

a) Repres absolus Ce sont des repres supposs fixes: pas de mouvement de translation, ni de rotation. On

les appelle quelques fois des repres fixes:

- Repre de Copernic

- Repre gocentrique

- Repre terrestre

Ces repres sont dits galilens. Seuls le premier est rigoureusement galilen. Les deux

derniers le sont galement, lorsque l'on tient compte de certaines hypothses.

b) Repres mobiles

- Repres galilens. Tout repre en mouvement de translation uniforme, sans rotation par

rapport un repre absolu, est dit galilen.

Un repre en mouvement de translation uniforme par rapport un autre repre galilen est

aussi galilen.

Exemple : repre galilen cartsien.

- Repres non galilens. Tout repre non galilen peut tre ramen un repre en

translation non uniforme et / ou en rotation

Exemples: Repre de Frenet: En coordonnes polaires

En coordonnes cylindriques

En coordonnes sphriques

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4. Expressions des vecteurs position, vitesse et acclration 4.1. En coordonnes cartsiennes (repre fixe)

M Soit le rayon vecteur kzjyixrMO

- expression de la vitesse

kzjyixrV

- expression de l'acclration kzjyixra

22

4.2 En coordonnes polaires r et sont les coordonnes polaires M Le rayon vecteur est dfini par O x e rrr

Avec e r

vecteur unitaire non constant

a) Expression de la vitesse

gentielletanoucomposanter

radialecomposanter

rrrV

laireperpendicuestdonc0.et

1.or

cosjsinid

d

d)(sind

jd

)(cosdi

dd

sinjcosietd

d

dtd

dd

dtd

or

rrrV

eV

eV

ee

eeee

cossinee

ee

e

eeeee

ee

rr

r

rr

22

r

r

rrrr

r

rr

=

=

+==

=

=+=

=+=

+=

+====

+==

23

b) Expression de l'acclration

Remarque 1 Pour un mouvement circulaire : 0 rr car r = cst

ea rr r

2 et ea r

Pour mouvement circulaire uniforme, on a :

cstcar 0

ea rr ra

2

normalecomposanterr

radialecomposanterr

rrrrra

rrrrrra

dd

quedduitenon

dd

ji

jior

rrrrrVa

rrVorVra

ea

ea

ee

eeeee

ee

eee

e

eeeee

ee

rr

r

rr

r

r

rr

r

)2(

)(

)2()(

:

)sincos(

cossin

2

2

2

24

Remarque 2: autre expression de V

4.3. En coordonnes cylindriques Les coordonnes cylindriques sont aussi dfinies dans le repre de Frenet :

M O y N x Ce sont : la distance du point mobile l'axe des z

l'angle dfini par le plan (ox, oz) et le plan (, oz) Le vecteur-position est : MNNOMO

kzMO e

On reprend les mmes calculs quen coordonnes polaires o et e jouent le mme rle que r et e r

respectivement. On obtient :

kzV ee

kza ee

)2()(

2

),,( kee

rrrV

krrV

korrrrV

devientpolairesscoordonneenvitesseladeressionexp'L

k

:rotationdetantaninsvecteurledfiniOn

)k,,(:FrenetdemobilerepreletconsidranEn

e

ee

eeee

ee

r

rr

rr

r

+==

+=

=+==

=

)k,e,e(

25

5. Oprations sur les grandeurs vectoriels

5.1. Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des modules par le cosinus de l'angle form

par les deux vecteurs.

Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.

)scalairegrandeur(aB.A

D.AC.AB.A)DCB(.A

A.BB.Aet)A,B(cos)B,A(cosAvec

)B,A(cosBAB.A

:vecteursdeuxlesBetASoient

=

++=++

==

=

26

5.2 Produit vectoriel

Lorsquon change de place deux vecteurs unitaires du tridre direct ( ),, kji

, ce tridre

devient indirect Exemples : ),,(;),,(;),,( ijkjkikij

Avec ijkjkikij

;;

)()(BAB.A

)B,A(cos

1k.kj.ji.iet

0k.jk.ij.icar

B.A

)kji(.)ji(B.A

kjiB

kjiASoient

zyxzyxzzyyxx

zzyyxx

zyxzyx

zyx

zyx

22

2

2

2

221

2

1

2

1

212121

212121

222111

222

111

++++

++=

=

===

===

++=

++++=

++=

++=

jik;ikj;kji

0kkjjii

:aOn.ordrecetdansdirecttridreuntconstituen,)k,j,i(

unutairesvecteursles,)k,j,i,O(cartsienrepreleDans

===

===

27

Soient A

et B

deux vecteurs

),(sin BABABA

CBA

Le produit vectoriel de deux vecteurs est aussi un vecteur.

jiB

jiA

yxyx

22

11

jj

ijjiji

jiiBA

yy

xyyxxx

yxyx

21

212121

2211)()(

k

kkBA

xyyx

xyyx

)( 2121

2121

Or

yxyx

yxyxxyyx

BA22

11

22

112121

_

28

6. Les oprateurs vectoriels 6.1. Dfinitions dans le cas gnral Soient les lments de longueurs diffrentiels suivants : dxldxldxl 332211 ;; Dfinissons, les oprateurs vectoriels suivants dans un repre quelconque (cas gnral) de

coordonnes xxx et 321 , . 6.1.1. Loprateur gradient

Loprateur gradient dune fonction scalaire f , not )( ffdgra

est dfini par :

wvudgraxf

lxf

lxf

lff

332211

111

Loprateur gradient a donc pour expression :

zyxzyx

xyyx

zxxzyzzy

zyxzyx

zyx

zyx

kji

BA

k

jiBA

obtientonarrangeantenettdveloppanEn

kjiBA

kjiB

kjiA

espaceldespodessontBetAoCas

222

111

2121

21212121

222111

222

111

)(

)()-(

:,

)()(

'int

29

wvudgraxlxlxl

332211

111

O wetvu

, sont des vecteurs unitaires Le gradient dune fonction scalaire est une grandeur vectorielle. 6.1.2. Loprateur divergence

Loprateur divergence dune grandeur vectoriel wvu AAAA

321

est dfini par :

wvuvu AAAxlxlxlAAdiv

321

332211

111

xA

lxA

lxA

l

3

3

32

2

21

1

1

111

La divergence dune grandeur vectorielle est une grandeur scalaire. 6.1.3. Loprateur rotationnel

Loprateur rotationnel dune grandeur vectorielle wvu AAAA

321 Est dfini par :

wvuwvu AAAxlxlxlAtro

321

332211

111

Atro

AAAxlxlxldt

wvu

321

332211

111

wvuxA

lxA

lxA

lxA

lxA

lxA

lAtro

2

1

21

2

11

3

13

1

33

2

32

3

2

111111

30

Le rotationnel dune grandeur vectorielle est aussi une grandeur vectorielle. 6.1.4. Loprateur Laplacien

Loprateur Laplacien dune grandeur scalaire f est dfini par : fdgradivff

xf

lxlxf

lxlxf

lxl 333322221111111111

Le Laplacien dune grandeur scalaire est aussi une grandeur scalaire 6.2. Expressions des oprateurs en coordonnes cartsiennes

Les coordonnes cartsiennes sont : zyx et, ; En coordonnes cartsiennes, dans lexpression des oprateurs vectoriels, on a :

1321 lll ;

Les lments de longueur diffrentiels sont alors : zdydxd ;; 6.3. Expressions des oprateurs en coordonnes cylindriques Les coordonnes cylindriques sont : zr ,; ; En coordonnes cylindriques, dans lexpression des oprateurs vectoriels, on a :

ret lll 231 1

Les lments de longueur diffrentiels sont : zddrrd ;; 6.4. Expressions des oprateurs en coordonnes sphriques Les coordonnes sphriques sont : ;;r ; En coordonnes cylindriques, dans lexpression des oprateurs vectoriels, on a :

sin1 321 ; rlll etr

31

7. Etude de quelques mouvements

7.1.Mouvement rectiligne

Si la particule M est tout instant t sur une droite, on aura : Le vecteur-position est dfini par : uxrMO

Le vecteur-vitesse est dfini par :

udtdx

dtrd

deMOdV

)(

Avec u

vecteur unitaire constant

a) cas du mouvement rectiligne uniforme Vecteur-acclration : 0

a

Vecteur-vitesse : tcsV

Equation horaire : xtVx 0 avec x0 : abscisse lorigine des temps

b) cas du mouvement rectiligne uniformment vari Vecteur-acclration : tcsa

Equation de la vitesse VtaV 0 , avec V0 : vitesse lorigine des temps

Equation horaire : xVt tax 00221

Remarques: - le mouvement rectiligne est dit uniformment acclr si la norme de V augmente

- le mouvement rectiligne est dit uniformment dclr si la norme de V dcroit.

32

7.2. Mouvement circulaire Une particule M est anim d'un mouvement circulaire, si tout instant, elle est situ sur un cercle de rayon R et de centre O

Le vecteur- position est dfini dans un mouvement circulaire par : e rRrMO

Le vecteur-vitesse a pour expression :

ee Rdtd

Rdt

MOdV r

)(

Le vecteur-acclration est dfini par :

ee

e

rRR

dtRd

dtVda

2

)(

Or pour un mouvement circulaire uniforme, on a cste

e rRa

2

Le vecteur-acclration est centripte durant tout le mouvement 8. Le rayon de courbure

8.1. Dfinition

Dans le repre local de Frenet le vecteur acclration a est dfini par :

)()( Tsdtdv

dtd

dtvda

O s est labscisse curviligne T

est un vecteur unitaire appartenant au tridre de Serret Frenet : ),,( BNT

)()()( TdtdsTsT

dtdss

dtdTa

MOdeunitairevecteurunet;)j,i,O(cartsienrepreleSoit e r

33

En effectuant un changement de variable pour la drive du vecteur tangent, on a :

sNdtds

dsTdT

dtd

.)(

O est le rayon de courbure

Le vecteur acclration scrit alors : NTsa s

2

Avec NTa aa NT

saT composante tangentielle de lacclration

saN

2

composante normale de lacclration

8.2. Dtermination pratique A laide de la dfinition prcdente, on a :

N

dtTd

dsTd

1

Dans la plupart des cas on part de :

NTsa s

2

et Tsv

Bav s

3

av

v

3

On pourra ainsi dterminer lexpression du rayon de courbure partir des quations

paramtriques et de lquation de la trajectoire.

a) Cas dune courbe plane en coordonnes cartsiennes

Expression du rayon de courbure partir des quations paramtriques

Soient x(t) et y (t) les quations paramtriques

)()()()(

22 )()(2/3

tytxtytxtytx

34

Expression du rayon de courbure partir de lquation de la trajectoire

Soient )(xyy ; dxdyy ' ;

dxd yy 2

2

''

''

2'12/3

yy

b) Cas dune courbe plane en coordonnes polaires

Expression du rayon de courbure partir des quations paramtriques

Soient )(tr et )(t les quations paramtriques

)()()()()()()()()(2

222

322

2/3

)()()(ttttrtrttrtt rr

ttrtr

Expression du rayon de courbure partir de lquation de la trajectoire

Soient )(rr ; d

drr ' ; d

d rr 22

''

rrrrrr 2

2

2/3

''2

22

''

35

CHAPITRE II : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL

La dynamique est l'tude des mouvements des corps incluant les causes et les consquences

des mouvements.

1. Les forces On peut srier les forces en deux catgories :

Les forces distances : les forces de gravitation, les forces de Lorentz (forces

lectriques et magntiques), forces faibles et forces fortes

Les forces de contact : elles reprsentent le rsultat macroscopique des quatre (04)

forces distances (force de Laplace, force de frottement, pousse dArchimde .)

1.1. Les forces distance La physique utilise actuellement quatre forces pour dcrire les interactions entre particule.

Leur point commun est de dcroitre lorsque la distance augmente

1.1.1. La force gravitationnelle Elle a t nonce par Newton en 1650. Deux corps ponctuels de masses m1 et m2 sattirent en

exerant lun sur lautre des forces de mme module, de mme direction, de sens oppos,

proportionnelle leur masse et inversement proportionnelle au carr de leur distance

u m2

urmmKFF G

2

211/22/1

F

1/2

F

2/1

m1

KG : constante de gravitation universelle et r est la distance entre les deux corps

Ces forces dinteraction gravitationnelles sont normes lorsquil sagit des interaction entre

les plantes du systme solaire et le soleil, mais aussi entre les plante et leurs satellites. Elles

sont par contre trs faibles pour des corps de petites masses en interaction sur la terre et pour

les interactions entre particules charges.

36

1.1.2. Les forces de Lorentz Elles interviennent lorsque les particules sont charges et sont bien plus importantes que les

forces gravitationnelles entre particules charges. Ce sont les forces lectriques ou

coulombiennes qui sappliquent des particules au repos et les forces magntiques qui

sajoutent aux forces lectriques lorsque les particules sont en mouvement.

La force lectrique scrit :

urqq

FF

221

01/22/1 4

1

u q2

F

1/2

F

2/1

q1

q1 et q2 sont des charge exprimes en coulomb, r est la distance entre les deux charges. Les

forces sont attractives ou rpulsive suivant les signes des charges q1 et q2. Dans le schma ci-

dessus, les forces sont attractives, donc les charges sont de signes opposs.

La force magntique apparat lorsque la particule est en mouvement. Elle sajoute la force

lectrique. Elle se dduit de la force lectrique par application des transformations relativistes

et scrit pour la charge q2 :

BVqF

22

O B

est le champ magntique exprim en Tesla, V

la vitesse de la charge.

En rassemblant la force lectrique et la force magntique, on obtient :

F

BVEqF

2

B

1.1.3. Les forces faibles V

Elle agit courte distance, lchelle atomique. Elle rgit les interactions entre matire et

neutrinos et les modes de dsintgration des noyaux instables.

Elle permet la conversion de lhydrogne en hlium qui est la source dnergie principale des

toiles, donc de notre soleil.

37

1.1.4. Les forces fortes De trs courte porte, elle assure par exemple la cohsion du noyau, sinon il serait instable

sous leffet des forces coulombiennes rpulsives, car les charges sont toutes positives

(protons).

1.2. Les forces de contact

Ces forces ne sont pas de nouvelles forces. Lorsquil y a contact de deux corps, ces forces

sont la manifestation macroscopique des quatre forces fondamentales (les forces distance).

Ce sont : les forces de Laplace, les forces de frottement solide, le forces de frottement

visqueux, la pousse dArchimde, les forces de tension (fils, ressort, etc ..)

1.2.1. La force de Laplace

Tout conducteur lectrique de longueur l, plac dans un champ magntique uniforme B

et

parcouru par un courant lectrique dintensit I, subit une force :

BlIF

Cette force est aussi appele force lectromagntique. Elle reprsente au plan macroscopique

la rsultante des forces de Lorentz appliques aux diffrentes charges traversant le

conducteur.

1.2.2. Les forces de frottement solide Deux cas peuvent se prsenter : solides immobiles lun par rapport lautre et solides en

mouvement relatif ;

a) Solides immobiles lun par rapport lautre (solides sans glissement relatif)

Le contact dun solide de masse m susceptibles de bouger avec un autre corps, se manifeste

par la raction R

. On peut dcomposer cette raction en deux composantes : RN

raction

normale et RT

raction tangentielle encore appele force de frottement. Le sens de cette force

de frottement est priori inconnu.

Les lois du frottement nous apprennent que labsence de glissement (mouvement relatif) nest

possible que si le rapport de la composante tangentielle RT la composante normale RN ne

dpasse pas une certaine valeur appele coefficient de frottement statique ks.

38

R

RN

RRR NT

RkRkRR

NsTsN

T RT

gmP

Lorsque le rapport RT / RN augmente, le systme ne prsente aucun glissement relatif tant

quil est infrieur ks. La valeur ks est donc la valeur maximum de ce rapport. Lorsque ce

rapport atteint (puis dpasse) ks, le systme prsente un glissement (relatif).

b) Solides en mouvement relatif (glissement lun par rapport lautre)

Lorsquil y a glissement dun solide de masse m sur un corps ou un support immobile, on

dfinit un coefficient de frottement dynamique kd. On a alors : RN

R

RkRkRR

NdTdN

T

RT

En projetant suivant la verticale, on a : mgmgP kRR dTN

gmP

Dans cas, le sens de la force de frottement RT

est toujours oppos celui du mouvement de du solide de masse m. Ce coefficient dynamique est gnralement infrieur au coefficient statique

1.2.3. Les forces de frottement visqueux

Ce frottement sapplique un solide se dplaant dans un milieu liquide ou gazeux, donc dans

un fluide. Le problme est identique pour un objet fixe dans un fluide en mouvement et pour

un objet mobile dans un fluide en mouvement. C'est la vitesse relative V

que lon prend en

compte. La force exerce par le fluide a toujours une composante oppose la vitesse qui

s'appelle la trane. Si le corps qui se dplace ne prsente pas, dans la direction de la vitesse,

39

un aspect symtrique, une composante perpendiculaire la vitesse apparat. Cette vitesse

s'appelle la portance. Elle permet entre autres aux voiliers d'avancer et aux avions de voler.

Dans cette partie de ce cours nous ne parlerons que de la trane.

La force exerce par le milieu sur la masse m a toujours mme direction que la vitesse, mais

elle est toujours de sens oppos : VbF f

. A faible vitesse, le coefficient b peut tre

considr comme constant, mais ce nest plus vrai lorsque la vitesse dpasse un certain seuil.

a) Vitesse faible (rgime laminaire)

VkF f

o est la viscosit du milieu (Pascal.seconde ou Poiseuille), indpendante de la vitesse

k nest pas fonction de la vitesse, mais de la gomtrie du systme, et sa dimension est une

longueur.

La force est donc proportionnelle la vitesse (rgime linaire).

Exemple : dans le cas dune sphre de rayon R, k = 6R

VRF f

6

b) Vitesse leve (rgime turbulent)

uS VCF f 2

21

C est le coefficient de pntration dans lair ou coefficient de trane, S la surface apparente

du mobile dans le plan perpendiculaire au mouvement, et la masse volumique du fluide.

u est un vecteur unitaire.

La force varie donc comme le carr de la vitesse (rgime quadratique).

1.2.4. La pousse dArchimde

Tout corps plong dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis une force verticale, dirige vers

le haut, gale au poids du liquide dplac :

ugVF Ar

est la masse volumique du fluide, V est le volume du liquide dplac et g est lintensit de

la pesanteur. u est un vecteur unitaire dirig vers le haut suivant la verticale.

Remarque : le solide doit avoir un volume petit pour que gsoit constant

40

1.2.5. Les forces de tension

Un fil lastique, un ressort, une lame que lon plie exercent une force. Cette force est en

premire approximation proportionnelle leur allongement, ou lamplitude de leur

dformation.

Dans cette approximation linaire, un fil lastique ou un ressort exerce une force :

uk llF o

k est la constante de raideur du ressort, lo est sa longueur au repos c'est--dire lorsquaucune

force n'est exerce par le ressort, l la longueur aprs allongement ; u est un vecteur unitaire

dans la direction du ressort, orient de son point de fixation vers le point o il exerce la force.

Une lame exerce une force de tension proportionnelle lamplitude de la dformation.

Un fil inextensible exerce une force de tension dont la norme peut tre mesurer avec un

dynamomtre.

1.2.6. Les forces pressantes

Une force pressante est une force F

qui modlise laction mcanique de contact quexerce un

solide ou un fluide sur la surface S dun corps.

SPF . avec P pression du fluide ou du solide

La force F

est perpendiculaire la surface S.

1.3. Les forces intrieures et extrieures

Pour tudier tout systme donn, il convient de srier les forces de contact et distance en

forces intrieures et extrieures. Etant donn que seules les forces extrieures dterminent le

mouvement du point matriel, il sera fait un bilan de toutes les forces extrieures dans

l'application des lois.

41

Exemple: le pendule conique (fig. 7)

Systme { S } Forces ext. : T, P Forces int. : nant Systme { S + terre } Forces ext. : T Forces int. : P Une force intrieure est une force qui s'exerce l'intrieure du systme; c'est aussi une force

que le systme exerce sur l'extrieure, cest aussi une force quune partie du systme exerce

sur un autre partie du systme.

Une force extrieure est une force que l'extrieure exerce sur le systme.

2. Les lois de la dynamique

2.1. Le principe fondamental de la dynamique

Enonc : Dans un rfrentiel galilen, la somme vectorielle de toutes les forces extrieures appliques

un systme est gale la drive par rapport au temps de sa quantit de mouvement.

Formulation mathmatique:

2.2. Le principe des actions rciproques

Enonc :

Lorsque un corps A exerce une force F BA

/ sur un corps B, ce dernier ragit son tour en

exerant sur A une force F AB

/ de mme norme, mme direction et de sens oppos F BA

/

.

dtPd

F exti

42

Formulation mathmatique:

2.3. Les trois lois de Newton

Les trois lois de Newton napportent rien de plus que les deux lois prcdentes et sont mme

plus restrictives. Cependant elles ont eu une grande importance historique puisquelles ont

rgit la mcanique de Newton jusquau 20e sicle. Les lois de Newton ne sont valables que

pour des corps dont la masse est constante.

a) La 1re loi : le principe d'inertie

Enonc : Dans un rfrentiel galilen, le centre d'inertie d'un systme est soit: - immobile ( 0

V )

- anim d'un mouvement rectiligne et uniforme ( ectV

) Formulation mathmatique:

(II.1)

b) La 2e loi : (ancienne loi fondamentale de la dynamique) Enonc : Dans un rfrentiel galilen, la somme vectorielle de toutes les forces extrieures appliques

un systme est gale au produit de sa masse m par lacclration aG de sont centre de

masse.

Formulation mathmatique:

Remarque : A ne pas confondre centre de masse G dun corps et centre de gravit. Ce sont

deux points diffrents. Ils ne sont confondus que si le champ de pesanteur gest constant en

module, direction et sens. Si le champ de pesanteur g nest pas constant, le centre de gravit

dpend de la position et de lorientation du solide.

0F exti

=

amF Gexti

FF ABBA

//

43

c) La 3e loi : principe des actions rciproques

Enonc :

Lorsque un corps A exerce une force F BA

/ sur un corps B, ce dernier ragit son tour en

exerant sur A une force F AB

/ de mme norme, mme direction et de sens oppos F BA

/

.

Formulation mathmatique:

(II.3)

3.Travail Puissance - nergie cintique

3.1 Notion de travail

Tout comme la notion de force, la notion de travail est dorigine physiologique. Elle est lie

la notion deffet utile des forces sur des corps en mouvement. Il est intuitif que, pour soulever

un corps, il faut fournir un travail dautant plus grand que le corps est plus lourd et que lon

slve davantage. La grandeur appele travail dpend donc de lintensit de la force et du

dplacement de son point dapplication.

Mais la direction du dplacement peut tre diffrente de celle de la force. Et lexprience

montre quune force normale un dplacement rectiligne est pratiquement sans action sur

celle-ci. Le travail dpend aussi de langle entre les directions de la force et du dplacement.

Ces constatations ont conduit la dfinition suivante :

Soit F

une force agissant sur une particule M (fig. 8), par dfinition, le travail lmentaire

dW de la force F

(en mathmatique : circulation du vecteur F

) au cours dun

dplacement infinitsimal 'MMMd

de la particule, est gale au produit scalaire

MdFdW

Le travail W : de la force F

le long de la trajectoire de A vers B, est :

MdFW BA

FF ABBA

//

44

Deux cas peuvent se prsenter :

Le vecteur force nest pas constant. Elle dpend donc des coordonns du mobile

M . Il rsulte que si Fx, Fy, Fz sont les projections de la force F

sur les axes Ox,

Oy, Oz respectivement et dx, dy, dz celles du dplacement Md

que subit le point

dapplication M (x, y , z ), le travail lmentaire a pour expression analytique :

dzdydx FFFdW zyx

dzdydxB

Az

B

Ay

B

AxAB FFFW

Exemple : Cas dun ressort :

xxxFW ABB

AxAB kkddxxkdx

222

21

21

Avec xA et xB les allongements ou raccourcissements du ressort aux points A et B

respectivement

Le vecteur force est constant. On a :

BAFMdFB

AABW

F

A B o cosABFW AB (II.4) on en dduit que : le travail est positif ou moteur si langle est aigu ; il est ngatif ou

rsistant si est obtu. Il est nul dans les trois cas suivants :

- la force est nulle : 0F - la particule est fixe : 0dM

- les directions de la force et du dplacement sont perpendiculaires : 2

Lorsque le point dapplication de la force a lieu sur un contour ferm, on note :

MdFW BA

(II.7)

45

3.2. Puissance Lexpression de la puissance dune force F

sexerant sur un corps en mouvement de

translation est :

VFdtldF

dtldF

dtWdP

Avec V

, vecteur vitesse du corps soumis la force F

Pour un corps soumis un mouvement de rotation, on a :

dtudl

dtMOd

dtld

o u est un vecteur unitaire et l la longueur de O M

nndtd

dtud

, o n est un vecteur unitaire orthogonal uet la

vitesse angulaire )(FMlnFP

Avec )(FM

moment de la Force F

3.3. Energie cintique Soient une particule de masse m se dplaant sous laction de forces de rsultante F

, M sa

position linstant t et Md

le dplacement de cette particule pendant le temps dt :

dtVMd

Le travail de la force F

pendant le temps dt est :

VdVmdtVdtVdmMdFdW

(II. 9)

Mais )21()

21( 2VmdVVmdVdVm

(II. 10)

Par suite : )21( 2VmdMdFdW

(II. 11)

On appelle nergie cintique de la particule, la quantit :

VE mC 221

(II. 12)

La relation prcdente montre que cette grandeur reprsente une forme dnergie mcanique

caractristique des corps en mouvement.

46

Evaluons le travail de la force F

au cours dun dplacement amenant la particule dun point

A un point B. Soient VA et VB la vitesse de la particule en ces points. On a :

)21( 2VW mVV dMdFBABA

B

A

(II. 13)

Soit : EEVVW ACBCABBA mm 22 21

21

(II. 14)

E AC et E BC dsignant respectivement lnergie cintique de la particule aux points A et B. Les relations (II. 13) et (II. 14) traduisent le thorme de lnergie cintique que lon nonce

ainsi :

La variation de lnergie cintique dune particule au cours dun dplacement quelconque est

gale au travail de la rsultante des forces appliques la particule.

On appelle force vive dune particule, le produit mv2 de sa masse par le carr de sa vitesse.

Do le nom de thorme des forces vives que lon donne souvent lnonc prcdent.

Certains auteurs appelle abusivement force vive la quantit Vm 221

, cest--dire lnergie

cintique. Il vaut mieux employer cette dernire expression qui vite toute confusion.

4. Energie potentielle et nergie mcanique

4.1. Forces conservatives Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indpendant du

chemin suivi par son point dapplication. Si ce nest pas le cas elle est alors non-conservative

Exemples de forces conservatives :

la force lectrique qui drive du potentiel lectrique

la force gravitationnelle (exemple du poids dun corps) qui drive dun potentiel de

gravitation

la force lastique qui drive du potentiel lastique

Exemples de forces non-conservatives

La force de Lorentz qui ne travaille pas

Les forces de frottement

Les forces de pression

47

Les forces conservatives possdent trois proprits remarquables : 4.1.1. Le travail ne dpend pas du chemin suivi Soit un corps sur lequel sur lequel sexerce une force F

en le dplaant dun point A vers un

point B :

A

1 2C C

ldFldFW

C1 C2 B

Ainsi pour deux trajectoire C1 et C2 reliant le point A au point B, la force fournit le mme

travail. On en dduit que le long dun circuit ferm, le travail dune force conservative est nul.

4.1.2. Existence dun potentiel de la force conservative On considre une force conservative qui est une fonction des coordonnes de la position de

son point dapplication :

0),,( ldzyxFW

C

On voit que son travail est nul suivant la trajectoire ferme C. On en dduit daprs le

thorme de Stokes que :

0

F Cette dernire relation implique lexistence dun champ scalaire ),,( zyxU tel que : UdgaUF

Le champ U est appel potentiel de la force et est homogne une nergie. Elle est dfinie

une constante additive prs.

48

4.1.3. Conservation de lnergie mcanique Les forces conservatives sont appeles ainsi parce que lnergie mcanique dun systme

soumis laction de forces conservatives est constante : lnergie mcanique du systme se

conserve.

Or B

A

B

A

B

A

BUAUdUldUldFW )()(

Daprs le thorme de lnergie cintique, on a : WEE AB CC )()( En combinant les deux quations prcdentes, on a : )()()()( AABB UEUE CC On remarque donc que la somme de lnergie cintique et du potentiel se conserve. Cette

quantit est appele nergie mcanique du systme. Lexpression ci-dessus montre clairement

que lnergie totale se rpartit entre lnergie cintique et le potentiel, et peut donc passer

successivement de lune lautre. Cest pourquoi le potentiel U est aussi appel nergie

potentiel : cest de lnergie qui peut potentiellement se transformer en nergie cintique.

4.2. Energie potentielle Supposons que la force F qui sexerce sur une particule ne dpende que de la position de M

de cette particule.

A chaque point M correspond donc un vecteur force, ce qui constitue un champ de forces.

Dans le cas gnral, le travail effectu par la force F lorsque la particule se dplace

dun point O un point M dpend de la trajectoire suivie pour aller de O en M. Cependant, dans certains cas particuliers importants, le travail de est indpendant du chemin suivi et

ne dpend que de la position initiale O et de la position finale M. On peut donc associer

chacun de ces points un nombre Ep(O) et Ep(M) tel que :

)()( MOMdF EEW PPOMOM

(II.15) Supposons le point O fixe et prenons ce point comme origine des dplacements. On peut alors poser :

49

OM OMP WE MdFM

)( (II.16) une constante additive prs gale Ep(O).

La relation (II.16) dfinit une fonction Ep du point, dpendant uniquement de la

position de lextrmit M, lorigine O tant fixe.

Ep est appele fonction nergie potentielle.

Le travail de la force F au cours dun dplacement MM quelconque peut scrire :

OM OMOMOMMM MdFMdFWWW '''

(II.17) Soit en tenant compte de ( II.16 ) :

EWWW PMMMM )'()(' (II.18) Ep dsignant la variation de la fonction Ep

En particulier, pour un dplacement infinitsimal : MdMM

'

On a :

EdMdFdW P

(II.19) Le travail lmentaire est une diffrentielle totale. On en dduit, par dfinition du vecteur gradient : EE PP dgradgraF

)( (II.20)

Lgalit (II.20) tant vrifie en tout point M de lespace, on dit que la force F

drive dune fonction nergie potentielle Ep ou que le champ de force F est conservatif.

Rciproquement, si la force F qui sexerce sur une particule en chaque point M de

lespace drive dune fonction nergie potentielle, le travail lmentaire MdF

de cette

force au cours dun dplacement infinitsimal Md

est une diffrentielle totale. Le travail de

F au cours dun dplacement fini allant dun point A un point B ne dpend alors que de ces

points :

)()( BAMdF EEdEW PPAB AB PAB

(II.21) Daprs (II.16), la quantit Ep(M) est gale au travail de la force F applique la

particule le long du trajet allant de lorigine O au point M. La quantit Ep(M) reprsente donc

lnergie dpense par la force -F (force quilibrant chaque instant F ) pour amener la

particule de lorigine O au point M. Il sagit l dune forme dnergie mcanique dpendant

50

de la position de la particule, et qui est potentiellement disponible, car si on laisse la particule revenir de M en O, on rcuprera une quantit dnergie gale Ep(M). On lappelle nergie

potentielle de la particule au point M.

Notons que lnergie potentielle en un point M dune particule nest compltement dfinie que moyennant le choix dune origine. Ce choix qui est arbitraire, se traduit par une

constante additive dpendant de lorigine adopte pour lnergie potentielle. Ainsi, si au lieu

de O, nous prenons comme origine un autre point O de la trajectoire, nous aurons en

dsignant par Ep(M) la nouvelle nergie potentielle de la particule au point M :

)(' MEW PMO en vertu de (II.16) (II.22) Mais :

)(''' MEWWWW POOOMOOMO (II.23) Ce qui scrit encore : )()( '' MM EWE POOP (II.24) O

)()()( '' McteMM EEWE PPOOP (II.25)

La nouvelle nergie potentielle Ep(M) est donc gale lancienne Ep(M) une

constante additive prs.

4.3. Energie mcanique Supposons quune particule de masse m en mouvement, soit soumise une force F (M)

drivant dune fonction nergie potentielle Ep. Le travail lmentaire de cette force au cours

dun dplacement infinitsimal dM est :

dEPMdF

(II.26) Mais daprs le thorme de lnergie cintique :

)21( 2vmdMdF

(II.27)

Par suite on a :

dEv Pmd )21( 2 (II.28)

On en dduit par intgration :

51

teconsm Ev P tan21 2

(II.29)

La quantit :

EEEv PCPmE 221

(II.30)

Reprsente lnergie mcanique totale de la particule.

La relation (II.29) signifie que pour une particule soumise uniquement une force

drivant dune fonction nergie potentielle, lnergie mcanique totale de cette particule est

une constante du mouvement, cest--dire quelle se conserve.

Il y a donc seulement transformation de la forme cintique la forme potentielle et vis

versa, la somme restant constante.

Dans le cas de la force de pesanteur, on a : mghEP La relation (II.29) exprimant la conservation de lnergie mcanique totale scrit :

ctemgzm v 221

(II.31)

Soit, pour un parcours fini allant de A en B :

zgmvzgmv AABB mm 22

21

21

(II.32)

Supposons maintenant quen plus de la force F drivant de lnergie potentielle Ep, la

particule soit soumise dautres forces effectuant un travail W. Lapplication du thorme de

lnergie cintique donne, pour un dplacement infinitsimal de la particule :

')21( 2 dWmd dEv P (II.33)

Soit, pour un dplacement fini amenant la particule dun point A un point B :

')()(21

21 22 WEEvv ABPPAB BAmm (II.34) On en dduit :

)()()(21)(

21 22' AEBEAmBm EvEvW PAPBAB

(II.35)

52

Le travail des forces autres que celles drivant de lnergie potentielle Ep est donc

gal la variation de lnergie mcanique totale de la particule.

5. Moments linaire et chocs 5.1 Dfinitions On appelle quantit de mouvement ou moment linaire la grandeur vectorielle p

qui est le

produit de la masse et du vecteur-vitesse V

de la particule.

Vmp

(II.36)

En drivant cette relation par rapport au temps t, on a :

dtdmVdt

Vdmdtpd

(II.37)

o la masse m tant une constante en mcanique classique

dtVdmdt

pd (II.38)

Lexpression prcdente traduit le principe fondamental de la dynamique. On peut lcrire

ainsi :

dtVmd

dtpdF )(

(II.39)

On appelle impulsion, lintgrale de la force pendant la dure daction de cette force. Elle est note I

.

2

1

)(t

t

dttFI

PPddtdt

tPddttFIt

t

t

t

t

tpp

2

112

2

1

2

1

.)()(

Limpulsion dune force se dfinit aussi comme la variation de la quantit de mouvement engendre par cette force. 5.2. La loi de conservation de la quantit de mouvement Lorsque deux particules A et B de quantits de mouvement p

1 et p

2 ne sont soumise

quaux forces quelles exercent lune sur lautre, elles forment un systme isol. La loi

53

fondamentale rgissant le mouvement de ces systmes isols est la conservation de la

quantit de mouvement totale, soit

teconspp tan21

(II.40)

donc 021 dtdtpdpd (II.41)

dtpd1 est par dfinition la force f

1 que B exerce sur A, de mme que

dtpd2 est la force

f

2que A exerce sur B ; donc :

021

ff (II.42)

Le principe de conservation de la quantit de mouvement est identique au principe de

lgalit de laction et de la raction.

Si les quantits de mouvement sont p

1 et p

2 avant le choc, '1p

et '2p

aprs le choc,

on a la relation fondamentale :

'' 2121 pppp

(II.43)

soit aussi '' 2211 pppp

(II.44)

Le choc de deux billes ou le passage de deux particules au voisinage lune de lautre

saccompagne dun change de quantit de mouvement.

La loi de conservation de la quantit de mouvement est extrmement gnrale et valable

aussi bien lorsque les particules sont les mmes aprs et avant le choc :

'' 22112211 VmVmVmVm

(II.45)

ou lorsque leur choc donne naissance deux nouvelles particules de masses '1m et '2m : '''' 22112211 VmVmVmVm

(II.47)

5.3. Applications aux collisions

5.3.1. Conservation de lnergie

Dsignons respectivement par Ec1 et Ec2, lnergie cintique des particules M1 et M2

et appliquons ces particules le thorme des forces vives :

54

dtd vFvmdEC

112

2

111 )21( (II.48)

dtd vFvmdEc

221

2

222 )21( (II.49)

Soient Ec = Ec1 +Ec2 lnergie cintique totale avant le choc et Ec lnergie

cintique totale du systme aprs le choc.

Si linteraction des deux particules est nulle avant le choc (instant t1) et de

nouveau nulle aprs le choc (instant t2), le travail dinteraction au cours de la collision

est :

EEdEvFvFW ccct

tdt

t

t '

2

1

2

1

)( 221112

(II.50)

Deux cas sont thoriquement possibles suivant la valeur de W:

i) W = 0 : le travail des forces dinteraction est nul ; le choc est dit lastique.

On a daprs (II.50)

'EE cc (II.51)

'' 222211222211 21

21

21

21 vmvmvmvm (II.52) Lnergie cintique totale du systme est la mme avant et aprs le choc :

ii) W 0 .Le travail des forces dinteraction nest pas nul ; lnergie cintique

totale nest plus conserve aprs le choc.

Dans ce dernier cas, linteraction tant nulle aprs le choc, on peut se

demander ce quest devenue lnergie W. Le systme tant isol, par

dfinition, il nchange aucune sorte dnergie avec le milieu extrieur,

lnergie West donc ncessairement stocke dans les particules elle-mme.

Il en rsulte quun choc inlastique nest possible quentre des corps

susceptibles dabsorber ou de fournir de lnergie. Lnergie W est donc

transforme en nergie interne des particules aprs la collision. Le plus

souvent, cette nergie se manifeste par la dformation des corps qui se

heurtent. Le choc est dit mou ou inlastique

55

5.3.2. Chocs parfaitement lastiques Les lois de conservation de la quantit de mouvement et de lnergie sappliquent :

'' 22112211 VmVmVmVm

(II.53)

'' 222211222211 21

21

21

21 vmvmvmvm (II.54) On a donc deux quations permettant de dterminer, dans chaque cas concret, les

vitesses '1v

et '2v

.

Dans le rfrentiel de laboratoire (fixe), on a :

Le centre de masse dun systme de points matriels Mi de masse constante mi est

dfinit par :

01

MGm i

n

ii

Pour un systme de deux particules, lquation devient :

GOmmMOmMOmMGmMGm

2122112211;0

'' 2211212211 VmVmVmmVmVm G

mm

VmVmmm

VmVmV G21

2211

21

2211 ''

Dans le rfrentiel de Laboratoire qui est galilen, les particules en interaction ne sont

soumises aucune force extrieure. Le mouvement du centre de masse (centre dinertie)

est donc rectiligne et uniforme. On comprend donc pourquoi la vitesse du centre de

masse G du systme est la mme avant et aprs le choc.

Dans le rfrentiel du centre de masse (RG), la loi de composition des vitesses

donne :

vvvvvv rGrG

2211 ; (II.55) O vG

est la vitesse constante du centre de masse. La loi de conservation de la quantit

de mouvement devient :

56

pvmvm rrr

2211 (II.56)

O pr

est le vecteur-quantit de mouvement relative. En introduisant ce vecteur, lavant dernire relation devient :

mp

vvmp

vv rGrG2

21

1

(II.57)

Lnergie cintique totale du systme est donc :

)()(2

21

121

21

21

2

2

2

1

2

22

2

11

mp

vmmp

vmvmvmE rGrGc

pmmvmm rG2

21

2

21 )11(

21)(

21

(II.58)

Ou simplement :

2)(

21

2

2

21

pvmmE rGc

(II.59)

En posant :

mm 21111

(II.60)

La quantit ainsi dfinie est appele masse rduite du systme. Puisque vG

est constant, la conservation de lnergie cintique totale exige que le

module de pr

soit constant.

'p r tant le module du vecteur quantit de mouvement relative aprs le choc :

''' 2211 vmvmp rrr

(II.61)

Par suite, au cours dun choc parfaitement lastique, le vecteur quantit de mouvement

relative au cours du choc dans (RG) peut prendre une direction quelconque, mais son

module reste constante. Il en est aussi de la vitesse relative des deux particules, puisque

daprs les relations prcdentes, on a :

ppmmvvr

r

)11(21

21 (II.61)

Remarques :

57

Le centre dinertie G dun corps encore appel centre de masse, correspond au

barycentre des particules qui composent ce corps, chaque particule tant pondre par

sa masse propre. Cest donc le point par rapport auquel la masse est uniformment

rpartie. Le centre dinertie ne dpend pas de la masse volumique mais de la forme du

corps. Une proprit tonnante du centre dinertie est que son mouvement est

parfaitement dtermin par les lois du mouvement, quoi quil arrive ses composants

aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mmes de force nouvelle.

Le centre de gravit dun corps correspond au barycentre des particules qui

composent ce corps, chaque particule tant pondre par son poids propre. Le centre

de gravit est fondamentalement li au champ de gravit g dans lequel le corps est

plong. Dans une situation thorique o le champ de gravit serait absent, on ne

pourrait donc pas le dfinir. Dans le cas o le poids serait ngligeable devant dautres

forces, la notion de centre de gravit nest pas pertinente.

Comme on le remarque le centre dinertie et le centre de gravit sont deux points distincts.

Toute fois ils sont confondus si le vecteur champ de gravit g est constant. Si le vecteur

champ de gravit nest pas constant, le centre de gravit dpend de la position et de

lorientation du corps.

Exemple : Choc direct de deux sphres parfaitement lastiques

Soient deux sphres S1 et S2 de masse m1 et m2, dont les centres G1 et G2 dcrivent

un axe xx, chacune delles tant anime dun mouvement de translation. Les deux sphres se

heurtent et possdent immdiatement avant le choc des vitesses v1 et v2

Proposons-nous de chercher les vitesses v1 et v2 de chaque sphre aprs le choc, en fonction

de m1, m2, v1, v2.

La quantit de mouvement se conserve. On a :

'''' 22112211 VmVmVmVm

(II.62) Et puisque le choc est parfaitement lastique, on a aussi :

58

'' 222211222211 21

21

21

21 vmvmvmvm (II.63)

Pour rsoudre ces deux quations, par rapport v1 et v2, il est commode de les crire

sous la forme suivante :

)()( 222

22

2

1

2

11 '' vvmvvm

(II.64)

)()( 222111 '' vvmvvm

(II.65) En divisant membre membre, il vient :

vvvv 2211 '' (II.66) Cette nouvelle quation du premier degr peut remplacer lquation du second degr

du systme prcdent. Finalement on est amen rsoudre le systme :

)()( 222111 '' vvmvvm

(II.67)

vvvv 2211 '' (II.68 Ce faisant, on trouve :

mmvmvmmv

21

221211

2)('

(II.69)

mm

vmvmmv21

112122

2)('

(II.70)

Etude dun cas particulier Supposons que ce soit la sphre S1 de masse m1 qui vient heurter la sphre S2 de masse m2,

suppose initialement immobile. Les formules (II. 69 et II. 70) dans lesquelles nous faisons

v2 = 0, deviennent :

mmvmmv

21

1211

)('

(II.71)

mmvmv

21

112

2'

(II.72)

Trois cas sont distinguer suivant les valeurs respectives des deux masses m1 et m2.Pour plus

de clart, reprsentons la plus lourde des deux sphres comme tant en mme temps la plus

grosse. Considrons de plus v1 comme positif, de sorte que les signes de v1 et v2 nous

renseigneront sur le sens des vitesses finales compar celui de la sphre S1.

59

i) m1 > m2 La sphre percutante est la plus lourde. Daprs les formules (II.71 et 72), on a :

V1 >0 ; v1 v1

Do la sphre percutant continue son chemin aprs le choc, son mouvement tant

seulement ralenti. La sphre percut est lance en avant avec une vitesse suprieure celle

qavait la sphre percutante en arrivant sur elle.

ii) m1 < m2 La sphre percutante est plus lgre. Daprs les formules (II.71 et 72 ), on a :

v1 < 0 ;v1 < v1 ; v2 > 0 : v2 < v1 La sphre percutante revient en arrire. En valeur absolue sa vitesse est diminue.

La sphre percute est lance en avant avec une vitesse infrieure celle quavait la

sphre percutante avant le choc.

iii) m1 = m2 Les deux sphres sont identiques de mme masse : cest le cas des boules de ptanque ou

de billard. Alors les formules (II.69 et II.70) donnent :

v1 = 0 ; v2 = v1 La sphre percutante simmobilise. Lautre est lance avec la vitesse quavait la premire

larrive.

5.3.3. Chocs parfaitement inlastiques

La loi de conservation de la quantit de mouvement est toujours valable :

'''' 22112211 VmVmVmVm

Or, dans le cas actuel, nous savons que les deux corps saccompagnent aprs le choc.

On a donc :

vvv '' 21 O v est la vitesse commune aprs le choc. Nous en dduisons :

mmvmvmv

21

2211

(II.73)

60

v nest autre chose que la vitesse V G

du centre de masse du systme des deux corps.

Dans le cas concret de lexemple cit plus haut des deux sphres supposs maintenant totalement inlastique, on a , suivant laxe xx :

mmvmvmv

21

2211

Remarques : 1) Les valeurs v1 et v2 des vitesses suivant xx sont des valeurs algbriques. En

particulier, si les deux sphres arrivent en sens inverses ( v1 et v2 de signes contraires) et si les

vitesses sont, en valeur absolue, inversement proportionnelles aux masses de sorte que :

m1v1 +m2v2 = 0,

Alors, on a v = 0.

Les deux sphres simmobilisent aprs le choc

2) On calcule aisment lnergie cintique perdue au cours du choc :

W = Ec - Ec (II.74) Cette nergie se retrouve dans lnergie de dformation des deux sphres.

3) Le coefficient de restitution nergtique

Les deux situations dcrites ci-dessus reprsentent des cas extrme : parfaitement lastique et

parfaitement inlastique. Il existe un panel dexpriences intermdiaires quun nouveau

paramtre va dcrire. Ce paramtre est associ lnergie cintique. On lappelle coefficient

de restitution nergtique ou degr dlasticit dune collision et not .

Cest le rapport entre la somme des nergies cintiques finales (aprs la collision) et les

nergies cintiques initiales (avant la collision) des deux corps lors dune collision.

VmVm

VmVmEE

Ci

Cf

2

22

2

1

2

22

2

11

21

121

21

21

''

Le coefficient de restitution met en vidence lexistence de perte dnergie cintique lors

dune collision. En gnral, on a :

10

= 0, le choc est parfaitement inlastique ou choc mou

61

= 1, le choc est parfaitement lastique : la dure dimpact des corps est considre

comme nulle

0 < < 1, le choc est inlastique

Le coefficient de restitution dpend du matriau dont est le corps, de s vitesse et de sa surface dimpact.

6. Moment cintique et forces centrales 6.1. Moment cintique par rapport un point On appelle moment cintique ou moment angulaire par rapport un point O quelconque

dune particule en mouvement, le moment de la quantit de mouvement par rapport ce point.

Nous le dsignerons par L

. On a donc L

V

VmMOL

O M 6.2. Moment cintique par rapport un axe Considrons un axe et un vecteur unitaire u

port par cet axe (fig. ). Soit O un point

quelconque de cet axe, on appelle moment cintique par rapport laxe de la particule en

mouvement, le nombre algbrique L qui mesure la projection sur cet axe du