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MP* ORAUX CONCOURS 2008

Algèbre linéaire générale

1. Petites Mines- (Mathieu Lemaire)

Soient A et B ∈Mn (R) telles que A+B = AB . Montrer que B − In est inversible et calculer son inverse. Montrer queAB = B A.

2. CCP -(Mathieu Lemaire)

Soit E un espace vectoriel de dimension n. Démontrer que dimL (E) = n2 et en déduire que tout endomorphismef de E possède un polynôme annulateur non nul. Montrer que, si P

(f) = 0 et si λ est valeur propre de f , alors

P (λ) = 0.

3. MINES -(Amira Ben Tahar)

On travaille dans E =Rn [X ]. Si a ∈R, on définit les formes linéaires sur E par

ϕk (P ) = P (k) (a)

k !pour k ∈N

et on poseψ (P ) =∫ 1

0P (t ) d t . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la famille

ϕ0,ϕ1, . . . ,ϕn−1,ψ

soit une base du dual de E .

4. Ulm (Thibault Delcroix)

Soit E un C-ev de dimension finie, et u, v ∈L (E).

(a) Montrer que, s’il existe t ∈C avec u + t v ∈GL (E), alors keru ∩ker v = 0.

(b) Etudier la réciproque quand uv = vu.

5. Ulm -(Hélène Leman)

Si a1, . . . , an sont n réels deux à deux distincts, et b1, . . . ,bn également, montrer que

det(eai b j

)i , j

6= 0

6. X -(Hélène Leman)

Déterminer la trace et le déterminant de ϕ : Mn (R) →Mn (R) définie par ϕ (A) = t A.

7. X -(Chaojun Wang)

Montrer que les fonctions fm : x 7→ cos(xm) pour m ∈N∗ forment un système libre de RR.

8. CCP -(David Denoncin)

Soit A =(

1 22 4

)et f : M2 (R) 7→M2 (R) définie par f (M) = AM . f est-elle surjective ? Donner une base de Im f et

de ker f .

9. MINES -(Jonas Hamiache)

PourK=R ou C, on définit les formes linéaires surK3 [X ] par

f (P ) = P (a) , g (P ) = P ′ (a) ,h (P ) = P (b) et k (P ) = P ′ (b)

où a,b ∈K sont distincts. Montrer que(

f , g ,h,k)

est une base du dual deK3 [X ], et déterminer la base antéduale.

10. Ulm -(Edouard Naye)

Soit M ∈GL n (C). Montrer qu’il existe T et T ′ triangulaires supérieures et Pσ matrice de permutation dans GL n (C)telles que M = T PσT ′. Etudier l’unicité de σ.

1

11. TPE -(Antoine Lestrade)

Soit A ∈Mn (C) telle que

max1Éi , jÉn

∣∣ai j∣∣< 1

n

Montrer que A est inversible.

12. CENTRALE -(Quentin Binauld)

On considère En l’ensemble des matrices réelles à coefficients dans −1,1.

(a) Déterminer cardEn .

(b) Soit A ∈ En avec ai j = 1 si j É i et ai j =−1 sinon. Calculer det A.

(c) On note Mn = maxM∈En

det M . Montrer que

∃kn ∈N∗ Mn = kn 2n−1

(d) Montrer que Mn É nMn−1.

(e) Calculer Mn pour n = 1,2,3.

(f) Montrer que M4 = 8 ou 16. Calculer M4.

13. CCP -(Valentin Clavreul)

Soit E un ev de dimension infinie et f , g ∈L (E) avec f g = i dE . Montrer que

(a) ker g f = ker f .

(b) Im g f = Im g .

(c) E = ker f ⊕ Im g .

14. MINES -(Matthieu Leclercq)

L’application A 7→ (−1)n χA (X ) est elle surjective de Mn (Z) dans l’ensemble des polynômes de Z [X ] de degré nnormalisés ?

15. X

Soient V un espace vectoriel de dimension finie n et S1, . . . ,Sk des sous-espaces de V tels que :

k∑i=1

dimSi > n(k −1)

. Montrer que l4intersection des Si nest pas réduite à 0.

Réduction des endomorphismes

1. CCP -(Jean-Victor Delemasure)

Soit E un C-ev et u ∈L (E) diagonalisable. On se donne une base B = (ei )1ÉiÉn formée de vecteurs propres de u.

(a) Sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton, montrer que χu (u) = 0.

(b) Si x ∈ E s’écrit x =n∑

i=1xi ei , calculer detB

(x,u (x) , . . . ,un−1 (x)

).

(c) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que(x,u (x) , . . . ,un−1 (x)

)soit une base de E si et seulement si les valeurs propres

de u sont toutes simples.

2

2. CENTRALE -(Jean-Victor Delemasure)

On dispose de Maple. On se donne

A =(

2 11 2

)et B =

(0 1−2 3

)∈M2 (R)

(a) Sont-elles diagonalisables ? En donner les valeurs propres et les vecteurs propres. Montrer qu’il existe deuxsuites réelles (an) et (bn) telles que

∀n ∈NB n = an I2 +bnB

Expliciter an et bn .

(b) Soit M =(

02 A−2A 3A

)∈M4 (R). M est-elle diagonalisable ? En donner les éléments propres (Maple).

(c) Soit A quelconque dans Mn (R) et M =(

0n A−2A 3A

)∈ M2n (R). Trouver une condition nécessaire et suffi-

sante pour qu’un polynôme P soit annulateur pour M . En déduire une condition nécessaire et suffisantepour que M soit diagonalisable.

3. CENTRALE -(Amira Ben Tahar)

Polynômes de Bernstein : il ne s’agit que du début de l’exercice qui, selon Mlle Ben Tahar, comportait 10 questions.On considère les applications Bn :R [X ] →R [X ] définies par

Bn (P ) =n∑

k=0

(n

k

)P

(k

n

)X k (1−X )n−k

(a) Montrer que Bn est un endomorphisme de R [X ], qui induit un endomorphisme de Rn [X ], qu’on noteraΦn .

(b) Montrer que

∀P ∈R [X ] Bn (X P ) = X Bn (P )+ 1

nX (1−X ) [Bn (P )]′

(c) On note An la matrice deΦn dans la base canonique de Rn [X ]. Calculer A2 et A3. Sont-elles diagonalisables ?En donner une base de vecteurs propres.

(d) Montrer que An est triangulaire et en donner les coefficients diagonaux.

4. CCP -(Amira Ben Tahar)

Soit An ∈Mn (R) telle que∀ i ai i =−2, ai−1,i = ai ,i+1 = 1 et ai j = 0 sinon

Déterminer, par récurrence, les valeurs propres de An .

5. Lyon (Thibault Delcroix)

Soit E =RN∗et T ∈L (E) défini par u 7→ T (u) = v avec

∀n Ê 1 vn = 1

n

n∑k=1

uk

(a) Quelles sont les valeurs propres de T ?

(b) Donner une expression simple des vecteurs propres.

(c) Déterminer ker(T −λi dE )2 pour λ ∈R.

(d) Quels sont les sous-espaces de dimension finie de E stables par T ?

6. X -(Thibault Delcroix)

Soit E un C-ev de dimension finie n, et a ∈L (E). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) ∀λ ∈ spectre(a) dimker(a −λi dE ) = 1

(ii) ∃x ∈ E(x, a (x) , . . . , an−1 (x)

)libre.

3

7. Ulm -(Hélène Leman)

Soient A,B ∈Mn (C).

(a) Si AB = B A, montrer que A et B sont cotrigonalisables.

(b) Montrer qu’il existe P et Q ∈GL n (C) telles que PAQ et PBQ soient triangulaires supérieures. Montrer qu’onpeut prendre P et Q unitaires (PP∗ =QQ∗ = In).

8. X -(Hélène Leman

Soit V un C-ev de dimension finie et f , g ∈L (V ) avec

f g − g f = f

Montrer que f et g ont un vecteur propre en commun. En déduire que f est nilpotent.

9. MINES -(Florent Vermeulen)

Soit E un C-ev de dimension finie et u, v ∈L (E) tels que

∃α,β ∈C u v − v u =αu +βv

Montrer que u et v ont un vecteur propre en commun (étudier d’abord le cas α = β = 0, puis β = 0 puis le casgénéral en posant w = uv − vu).

10. CENTRALE (Michel Kapoko)

Trouver les racines carrées d’une matrice 4x4 (”désolé Mr, je ne me souviens pas de la matrice, mais seulementque ses coefficients étaient de l’ordre de la centaine, et les valeurs propres 1,25,36,100”).

11. CENTRALE (Michel Kapoko)

Montrer que si M ∈GL n (C) et M 2 est diagonalisable, alors M est diagonalisable.

12. CENTRALE -(Clothilde Mangion)

Soit F un R-ev de dimension finie m Ê 2 et u un endomorphisme de F . On note C (u) le commutant de u.

(a) On suppose u nilpotent de rang m −1.

i. Montrer que, pour k É m, dimImuk = m −k.

ii. Montrer qu’il existe une base de F où la matrice de u a tous ses coefficients nuls, sauf ceux situés justeau dessus de la diagonale principale qui valent 1.

iii. En déduire C (u) et sa dimension.

(b) On suppose que le polynôme caractéristique de u est scindé dans R [X ], et que chaque sous-espace proprede u est une droite vectorielle. Déterminer la dimension de C (u) en fonction du nombre de valeurs propresde u.

13. CENTRALE -(Edouard Naye)

Si f ∈C 0 ([0,1] ,R) et x ∈ [0,1], on pose

g (x) =∫ 1

0sin(x − t ) f (t ) d t

Montrer queΦ : f 7→ g définit un endomorphisme de C 0 ([0,1] ,R), et déterminer ses éléments propres.

14. MINES -(Antoine Lestrade)

Soit E = Cn et u ∈ L (E). On suppose qu’il existe r complexes (αi )1ÉiÉr non nuls et distincts deux à deux, et rendomorphismes de E

(fi

)1ÉiÉr tels que

∀k ∈ 1, . . . ,r +1 uk =r∑

i=1αk

i fi

L’endomorphisme u est-il diagonalisable ? La formule précédente est-elle valable pour tout entier naturel k nonnul ?

4

15. CCP -(Antoine Lestrade)

Soient A,B ∈Mn (C) et L : Mn (C) →Mn (C) défini par

L (M) = AM −MB

(a) Montrer que L est un endomorphisme de Mn (C), et que

spectreL = λ−µ |λ ∈ spectre A et µ ∈ spectreB

(b) Montrer qu’il existe M non nulle avec AM = MB si et seulement si A et B ont une valeur commune.


Soient A,B ∈Mn (C). Montrer que

spectre A∩ spectreB =;⇔χA (B) ∈GL n (C)

En déduire que, s’il existe M non nulle avec AM = MB alors A et B ont une valeur commune.

17. MINES -(Benoît Brancheriau)

Soient A,B ∈Mn (R) et ϕ : Mn (R) →Mn (R) définie par

ϕ (X ) = X + trace( t AX

)B

Diagonaliser ϕ lorsque c’est possible.

18. CCP -(Bilal Zerrouki)

Si a ∈R, soit A = 1 1 a

0 2 00 0 a

. Quel est son rang ? Est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?

19. CENTRALE -(Mustapha Bou Zeid)

Soit A =

0 0 · · · 0 2

1 0. . . 0 0

0 1. . .

. . ....

.... . .

. . . 0 00 · · · 0 1 0

∈ Mn (Q). Déterminer son polynôme minimal. Déterminer ses éléments propres

dans C. Montrer que son polynôme minimal est irréductible dansQ [X ]. En déduire queQ [A] est un corps.

20. X

Soient n ∈N avec n ≥ 3, (X ,Y ) ∈ (Mn−1,1 (R))2 et

M =(

0 Yt X 0

)∈Mn (R)

Donner une condition nécessaire et suffisante sur X et Y pour que M soit diagonalisable sur R. Dans le cas où ellene l’est pas, donner son polynôme minimal.

Algèbre bilinéaire générale

1. CENTRALE -(Michael Vincent)

Déterminer les bornes de la fonction définie sur R3 − 0 par

x2 +2y2 −4z2 +2y z

x2 +2y2 +4z2

en utilisant les formes quadratiques, puis en utilisant Maple.

5

2. X -(Florent Vermeulen)

Soit E un R-ev de dimension finie et f une forme bilinéaire sur E telle que

∀x, y ∈ E f(x, y

)= 0 ⇒ f(y, x

)= 0

Montrer que f est symétrique ou antisymétrique.

3. X

Soit q une forme quadratique définie positive sur Rn . Montrer que q présente sur Zn − 0 un minimum qu’elleatteint en un point dont les coordonnées sont premières entre elles dans leur ensemble. Soit x ∈Zn , dont les co-ordonnées sont premières entre elles dans leur ensemble. Établir l’existence de M ∈ SLn(Z) dont x soit la premièrecolonne.

4. X

Soit Q une forme quadratique sur M2 (C) non identiquement nulle telle que

∀ A,B ∈M2 (C) Q (AB) =Q (A)Q (B)

Montrer que A ∈M2 (C) est inversible ssi Q (A) 6= 0. Montrer que Q = det.

5. Cachan

Soit A ∈S ∗+n (R) et v ∈Rn . Montrer l’existence et l’unicité d’un point où la fonction f :Rn →R définie par

f (x) = 1

2⟨Ax, x⟩+⟨v, x⟩

atteint son minimum.

6. CENTRALE

Si A et B sont dans S∗+n (R), comparer : det(A+B)n et det An +detB n .

7. CENTRALE

Pour k dans R, soit qk la forme quadratique définie sur R2 par

qk (x, y) = 2x2 −5x y +k y2

La forme qk est-elle définie positive ?

8. CENTRALE

On considère sur R3 la forme quadratique q : (x, y, z) 7→ x2 +2x y +2y z +4xz +4z2

(a) Montrer qu’il existe une base dans laquelle q sécrit Q(X ,Y , Z ) = X 2 −Y 2 +Z 2.

(b) En déduire les plans de R3 sur lesquels q est définie positive.

9. MINES

Soit | | une norme sur un espace vectoriel réel E . On suppose que :

∀ (x, y) ∈ E 2 |x + y |2 +|x − y |2 = 2(|x|2 +|y |2)

On désire montrer que | | dérive d’un produit scalaire et l’on pose pour cela :

∀ (x, y) ∈ E 2 f (x, y) = 1/2(|x + y |2 −|x|2 −|y |2)

(a) Montrer que f est symétrique et que f (x, x) = |x|2.

(b) On pose fy (x) = f (x, y). Montrer que fy est additive.

(c) Montrer que fy est linéaire.

(d) Conclure.

6

Espaces euclidiens et hermitiens

1. CENTRALE (Mathieu Lemaire-Math 1)

Soit E un espace euclidien muni de la norme associée au produit scalaire, et S sa sphère unité.

(a) Pour u ∈L (E) et x ∈ E , on pose

q (x) = ⟨u (x) , x⟩ et v = u +u∗

2

Que peut-on dire de v ? Déterminer l’image de S par q.

(b) Application : pour a et b ∈ S, déterminer

sup⟨a, x⟩ .⟨b, x⟩ , x ∈ S

2. MINES

On munit Rn de sa structure euclidienne canonique. Montrer qu’il existe (ei )1ÉiÉn dans Rn tels que

∀ i ‖ei‖ = 1 et ∀ i 6= j∥∥ei −e j

∥∥= 1

3. MINES -(Jean-Victor Delemasure)

Soit E un espace préhilbertien réel et (ei )1ÉiÉn une famille libre de E telle que

∀x ∈ E ‖x‖2 =n∑

i=1⟨ei , x⟩2

Montrer que (ei )1ÉiÉn est une base orthonormée de E .

4. CCP -(Dimitri Watel)

On se place dans un espace euclidien E , où F et G sont deux sous-espaces vectoriels. Montrer que (F +G)⊥ =F⊥∩G⊥ et que (F ∩G)⊥ = F⊥+G⊥.

5. MINES -(Michael Vincent)

On pose A = p q r

r p qq r p

∈ M3 (R). Montrer que A est matrice d’une rotation dans la base canonique de R3

(euclidien canonique) si et seulement si p, q,r sont racines réelles d’un polynôme de la forme X 3 −X 2 +λ.


Soit E un espace euclidien, a et b ∈ E indépendants et α, β ∈R∗. L’endomorphisme

u : x 7→α ⟨a, x⟩ a +β ⟨b, x⟩ b

est-il diagonalisable ?

7. MINES -(Chaojun Wang)

Soient f et g ∈ S O3 (R)− i dR3

vérifient f g = g f , montrer que f et g sont deux rotations de même axe, ou

deux demi-tours d’axes orthogonaux.

8. CCP -(Jonas Hamiache)

Pour A,B ∈M2 (R), on pose ϕ (A,B) = trace(

t AB).

(a) Montrer que ϕ est un produit scalaire.

(b) On pose F =(

a −bb a

)| a,b ∈R

. Montrer que F est un sev de M2 (R).

(c) Déterminer une base orthonormale de F⊥.

7

(d) Déterminer la projection orthogonale de

(1 11 1

)sur F⊥.

9. CENTRALE -(Jonas Hamiache)

R2 est muni de sa structure euclidienne canonique.

(a) Quelle sont les structures algébriques de S L 2 (R) et S O2 (R) ?

(b) Soit G un sous-groupe fini de S L 2 (R).

i. Si X ,Y ∈R2, on noteψ (X ,Y ) =

∑H∈G

⟨H X , HY ⟩

Montrer que ψ est une forme bilinéaire symétrique sur R2. Que peut-on dire de la forme quadratiqueasociée ?

ii. Montrer que G est isomorphe à un sous-groupe fini de S O2 (R).

(c) En utilisant le théorème de Lagrange, montrer que G est cyclique, et achever sa description.

10. X -(Jonas Hamiache)

Soit E un espace euclidien et u ∈L (E) tel que

∀x, y ∈ E x⊥y ⇒ u (x)⊥u(y)

Que peut-on dire de u ?

11. CENTRALE -(Antoine Lestrade)

E est un espace euclidien, L (E) est muni de la norme subordonnée à la norme euclidienne. On note

A = u ∈L (E) | u u∗ u = u

(a) Montrer que O (E) est un ouvert-fermé de A .

(b) Montrer l’équivalence des propriétés :

i. u ∈A .

ii. u u∗ est un projecteur orthogonal.

iii. u∗ u est un projecteur orthogonal.

iv. (keru)⊥ = x ∈ E | ‖x‖ = ‖u (x)‖.


Soient A,B ∈Sn (R) et f (t ) = maxspectre(A+ tB). Montrer que f est convexe sur R.

13. CENTRALE -(Matthieu Leclercq)

On travaille dans Mn (R). Pour A, M ∈Mn (R), on pose f A (M) = M A− AM .

(a) Montrer que ⟨A,B⟩ = trace t AB définit un produit scalaire sur Mn (R).

(b) Montrer que f A est un endomorphisme et déterminer son adjoint f ∗A .

(c) Pour n = 3 et A = 0 1 0

0 0 10 0 0

, déterminer (avec Maple !) Im f A .

(d) Dans le cas général, montrer queA nilpotente ⇔ A ∈ Im f A

8

14. CCP -(Simon Dely)

Soit E un espace euclidien, etA =

f ∈L (E) | f ∗ f f ∗ = f ∗Montrer que, si f ∈ L (E), f ∈ A ⇔ f ∗ f est un projecteur orthogonal. Montrer que O (E) = A ∩GL (E), et queO (E) est un ouvert de A .

15. MINES Soient (E ,⟨ , ⟩) un espace euclidien, H un hyperplan de E et

f : x ∈ E 7→ d(x, H)e−‖x‖2.

(a) Montrer que f admet un maximum global M . Déterminer en quels points il est atteint.

(b) Déterminer M et les points en lesquels il est atteint si on munit E =R3 de la norme euclidienne donnée par

‖x‖2 = x21 +x1x2 +x2

2 +3x23

si x = (x1, x2, x3), et si H est l’hyperplan d’équation 3x1 +4x2 +5x3 = 0.

16. X Soient E un espace euclidien et (x1, . . . , xp ) ∈ E p . On pose

V = u ∈ L(E) | ∀ i ∈ 1, . . . , p (u +u∗)(xi ) = 0

Montrer que V est un sous-espace de L(E) ; déterminer sa dimension.

17. X Soient E un espace euclidien et F1, . . . ,Fp des sous-espaces de E dont l’intersection est réduite à 0. Montrerqu’il existe (a,b) ∈R2 avec 0 < a < b tel que

∀x ∈ E a||x|| Ép∑

i=1d(x,Fi i ) É b||x||

Algèbre générale, arithmétique, groupes


Donner des exemples de groupes d’ordre 4. Combien y en a-t-il à isomorphisme près ?


Soit E = x + y

p2 | x, y ∈Z et x2 −2y2 = 1

. Montrer que E est un sous-groupe de (R∗,×). Montrer que, pour z =

x + yp

2 ∈ E ,z > 0 ⇔ x ∈N∗

En déduire que E ∩R∗+ est monogène.


Si N ∈N∗ se décompose en facteurs premiers N = pα11 · · ·pαn

n , résoudre dans Z/NZ l’équation X 2 = X .

4. Lyon -(Edouard Naye)

Pour n ∈N, on pose Fn = 22n −1.

(a) Montrer quen−1∏i=0

Fi = Fn +2.

(b) Montrer que n 6= m ⇒ Fn ∧Fm = 1.

(c) Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers.

5. CENTRALE -(Simon Dely)

Soit G un sous-groupe multiplicatif de C∗ tel que tout g ∈G possède un voisinage V tel que V ∩G =;. On note Ul’ensemble des complexes de module 1.

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(a) Si K est un compact de C∗, montrer que G ∩K est fini. En déduire que G ∩U est cyclique. On note g0 un deses générateurs.

(b) On suppose que G n’est pas inclus dans U . On note G ′ l’ensemble des éléments de G de module strictementsupérieur à 1. Montrer que G ′ n’est pas vide. Montrer qu’il existe dans G ′ un élément g1 de module minimal.

(c) Montrer que G est engendré par g0 et g1.

6. CENTRALE -(Chaojun Wang)

Soit p un nombre premier et (G , .) un groupe fini de cardinal n multiple de p. On considère

E =(

x1, . . . , xp) ∈Gp |

p∏i=1

xi = 1G

et on définit la relation binaire sur E(x1, . . . , xp

)R

(y1, . . . , yp

)⇔∃k ∈ 1, . . . p

(y1, . . . , yp

)= (xk , xk+1, . . . , xp , x1, . . . , xk−1

)(a) Montrer que R est une relation d’équivalence, et que chaque classe d’équivalence est de cardinal 1 ou p.

(b) Si r (resp. s) est le nombre de classe d’équivalence ayant 1 (resp. p) éléments, montrer que

r + sp = np−1

(c) En déduire que le nombre de solutions dans G de l’équation xp = 1G est un multiple de p (et donc qu’enparticulier, G contient des éléments d’ordre p).

(d) Que peut-on dire d’un groupe fini dont tous les éléments autres que le neutre sont d’ordre 2 ?

7. X

Soit p un nombre premier Ê 5. On écrit : 1+1/2+· · ·+1/(p −1

)= a/(p −1)! Montrer que p2 divise a.

8. X

Soient K un corps commutatif et a ∈ K ∗. Soient P ∈ K [X ] irréductible et Q ∈ K [X ] tels que : P divise Q et P 2 nedivise pas Q. Montrer que Y nQ(X )+a est irréductible dans K [X ,Y ].

9. X

Soit P ∈Z[X ] possédant une racine w dansQ : w = r /s avec (r, s) ∈Z×Z∗ et r ∧s = 1. Montrer que, pour tout k ∈Z,r −ks divise P (k).

10. X

Déterminer les n ∈N∗ tels que 7 divise nn −3.

11. X

Pour (k,n) ∈N∗×N∗, on note E(k,n) l’ensemble des surjections de 1, . . . ,k sur 1, . . . ,n, de cardinal s(k,n).

(a) Montrer que n! divise s(k,n).

(b) Lier le nombre des applications de 1, . . . ,k dans 1, . . . ,n aux s(k, j ).

(c) Calculer s(k,1) et s(k,2).

12. Ulm

On désigne par GLn(Z) l’ensemble des matrices à coefficients entiers dont l’inverse est à coefficients entiers.

(a) Soit (a1, . . . , an) ∈Zn une famille d’entiers de pgcd égal à 1. Montrer qu’il existe une matrice A ∈GLn(Z), dontla première ligne est (a1, . . . , an).

(b) Soit A ∈ Mp,q (Z). Montrer qu’il existe P ∈ GLp (Z) et Q ∈ GLq (Z) telles que PAQ = Diag(d1, . . . ,dr ,0, ,0) avecd1|d2| · · · |dr

10

13. U/L/C

Soit G un groupe de cardinal pq , avec p et q nombres premiers distincts. Montrer que G admet au moins unsous-groupe non trivial. Lorsque H et H ′ sont deux sous-groupes distincts de G , calculer card H ∩H ′.

14. Ulm

Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels n tels que le développement en base 10 de 2n commence parun 7.

Polynômes

1. MINES (Matthieu Lemaire)

Soit P ∈R [X ] admettant n racines réelles simples strictement supérieures à 1. On pose

Q (X ) = (1+X 2)P (X )P ′ (X )+X

(P 2 (X )+P ′2 (X )

)Montrer que Q admet au moins 2n −1 racines réelles distinctes.

2. CENTRALE -(Dimitri Watel)

Soient(x j

)0É jÉn des entiers relatifs distincts deux à deux.

(a) Si(b j

)0É jÉn sont des complexes quelconques, montrer qu’il existe un seul polynôme P ∈ C [X ] de degré É n

tel que∀ j P

(x j

)= b j

Expliciter ce polynôme à l’aide deΦ (X ) =∏nj=0

(X −x j

).

(b) Si Q ∈Z [X ] est unitaire de degré n, montrer que

∃ j∣∣Q (

x j)∣∣Ê n!

2n

(c) Soit n Ê 4. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme unitaire de degré n de Z [X ] tel que l’équation

|Q (x)| = 1

admette au moins n +1 solutions entières distinctes.

(d) Que se passe-t-il si on ne suppose plus Q unitaire ?

3. MINES -(David Denoncin)

Montrer qu’il existe une unique suite(T j

)j∈N de polynômes de R [X ] tels que

∀x ∈R T j (cos x) = cos j x

En préciser les degrés et coefficients dominants. Calculer le déterminant

det((

j −1)

xi)

1Éi , jÉn

où (xi )1ÉiÉn sont des réels quelconques.

4. MINES -(Florent Vermeulen)

Résoudre dans C l’équation (z +1)n = 1. En déduire l’expression de

n−1∏k=1

sinkπ

n

11

5. U/L/C -(Chaojun Wang)

Soit P ∈ R [X ] avec P (1) = P (−1). Que peut-on dire des racines de P ′ ? Donner un exemple de P ∈ C [X ] vérifiantP (1) = P (−1) tel que P ′ ne s’annule pas sur ]−1,1[. Montrer qu’il existe r ne dépendant que de n tel que

∀P ∈C [X ] degP = n et P (1) = P (−1) ⇒ P ′ possède une racine de module É r

6. X -(Edouard Naye)

Calculer

A = cos( π

13

)+cos

(3π

13

)+·· ·+cos

(9π

13

)+cos

(11π

13

)

Géométrie

1. CENTRALE

On dispose de Maple :

(a) Tracer sous Maple un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité pour n = 8,9,10.

(b) On note respectivement Pn et An le périmètre et l’aire d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercleunité. Donner un équivalent, pour n →+∞ de Pn −2π et An −π.

2. Petites Mines -(Amira Ben Tahar)

Dans un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé, on considère la surface d’équa-tion

3(x2 + y2 + z2)−2

(x y + y z + zx

)+2x +2y +2z +α= 0

Préciser sa nature et donner son équation réduite dans un repère que l’on précisera.

3. MINES -(Thibault Delcroix)

Nature de la surface d’équation (en repère orthonormé)

x2 −x y +xz +x + y +1 = 0

Equation réduite ?

4. X -(Thibault Delcroix)

On travaille dans R3 euclidien canonique. Soient A (a,0,0), B (0,b,0) et C (0,0,c) avec a,b,c > 0 et M(α,β,γ

)fixé

avec α,β,γ> 0. Déterminer a,b,c tels que M appartienne au tétraèdre O ABC et O ABC soit de volume minimal.


Un plan affine euclidien est identifié au plan complexe.

(a) Soient A et B d’affixes a et b distinctes et non nulles. Calculer l’affixe du projeté orthogonal de O sur AB .

(b) Soient A,B ,C distincts d’affixes a,b,c. Calculer l’aire du triangle ABC .

(c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que O soit intérieur à ABC .

6. CENTRALE -(Valentin Clavreul)

On considère n points distincts (Ai )1ÉiÉn du plan euclidien P , d’affixes respectives (ai )1ÉiÉn et on considère

E =

M ∈P |n∑

i=1

−−−→M Ai

M A2i

= 0

(a) On note P =n∏

i=1(X −ai ). Si M ∈P a pour affixe z, montrer que

M ∈ E ⇔ P ′ (z)

P (z)= 0

12

(b) Si E est de cardinal n −1, montrer que l’isobarycentre de E est égal à celui de (Ai )1ÉiÉn .

(c) On suppose que cardE = n −1 et que (Bi )1ÉiÉn sont des points distincts du plan tels que

∀M ∈Pn∑

i=1

−−−→M Ai

M A2i

= 0 ⇔n∑

i=1

−−−→MBi

MB 2i

= 0

Montrer que les ensembles(Ai )1ÉiÉn

et

(Bi )1ÉiÉn

sont égaux ou disjoints.

7. CENTRALE -(Benoît Brancheriau)

On a R > a > 0. L’espace de dimension 3 est euclidien rapporté à un repère orthonormé R. C est le cercle du planxOz, de centre (R,0,0) et de rayon a. On considère la surface T d’équation(

x2 + y2 + z2 +R2 −a2)2 = 4R2 (x2 + y2)

(a) Quelle est l’intersection de T et du plan xOz ?

(b) Tracer T avec Maple. Montrer que T est une surface de révolution.

(c) On considère la droite D du plan xOz d’équation z = mx. Déterminer m pour que D soit tangente à C .

(d) Pour cette valeur de m, on considère d =√

1+m2 et P le plan d’équation z = mx. On introduit le repère

R′ =(O,

−→I ,

−→J ,

−→K

)avec

−→I =−→

j ,−→J = 1

d

(−→i +m

−→k

),−→K = 1

d

(m−→i −−→

k)

Montrer que R′ est orthonormé et, en utilisant Maple, montrer que

M (X ,Y , Z )R′ ∈T ∩P ⇔ Z = 0 et(X 2 +Y 2 +R2 −a2)2 = 4R2

d 2

(Y 2 +d 2X 2)

peut se traduire par une condition plus simple, montrant que T ∩P est réunion de deux courbes remar-quables.

8. XSoit a,b et c trois complexes distincts de même module et d un complexe distinct de b tel que (|d −a|/ |d −b|)×(|c −b|/ |c −a|) soit réel. Montrer que |d | = |a|.

9. XSoit E un espace euclidien.

(a) Soit K un compact convexe de E et x un point de E −K . Montrer qu’il existe un hyperplan affine séparantstrictement x et K .

(b) Montrer que tout compact convexe de E est intersection d’une famille de boules fermées.

10. XÀ quelle condition la quadrique d’équation (en repère orthonormé)

a(x2 +2y z)+b(y2 +2zx)+ c(z2 +2x y) = 1

est-elle de révolution ?

11. XOn considère le cône C d’équation (en repère orthonormé)

ax2 +2bx y +2cxz +d y2 +2e y z + f z2 = 0

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe trois génératrices de C deux à deux orthogonales.

12. XSoient A1, . . . , An n points du plan euclidien R2, (b1, . . . ,bn) ∈ Rn et −→x un vecteur du plan. Soient U un ouvert

de R2 − A1, . . . , An et f : M ∈ U 7→n∏

i=1Ai M bi . On suppose que l’on peut définir sur U une application g : M 7→

n∑i=1

biá(−→x ,

−−−→Ai M

)(angles orientés). Montrer que les lignes de niveaux de f et g sont orthogonales.

13

Espaces normés, topologie


Soit E =C 0 ([0,1] ,R) muni de la norme de la convergence uniforme. Pour f ∈ E et x ∈ [0,1], on pose

L f (x) =∫ 1

0min(x, t ) f (t ) d t

(a) Montrer que L est un endomorphisme continu de E .

(b) Si f est vecteur propre de L pour une valeur propre non nulle, montrer que f est de classe C 1.


Soit une suite réelle telle que limn→+∞un+1−2un = 0. Cette suite est-elle nécessairement bornée ? Montrer que, si elle

est bornée, elle converge vers 0.

3. MINES -(Amira Ben Tahar)

On munit l’espace vectoriell1 =

u = (un)n∈N ∈CN |∑ |un | converge

de la norme de la convergence uniforme

‖u‖∞ = supk∈N

|uk |

On définit

F =

u ∈ l1 |+∞∑n=0

un = 1

F est-il fermé ? ouvert ? borné ? compact ?

4. CCP -(David Denoncin)

Soit N :R [X ] →R définie par N (0) = 0 et

N (P ) =degP∑k=0

∣∣P (k) (0)∣∣

k !

si P est non nul. Montrer que N est une norme sur R [X ], et étudier la continuité de P 7→ P ′ par rapport à N .


Soit A ∈Mn (R) telle que (Ap )p∈N soit bornée dans (Mn (R) ,‖ ‖∞). Montrer que

Bp = 1

p

p−1∑k=0

Ak

converge, pour p →+∞, vers P , matrice du projecteur sur ker(A− In) parallèlement à Im(A− In).

6. Lyon -(Chaojun Wang)

Soient p, q deux entiers Ê 2 et

X =(

x1, . . . , xp , y1, . . . yq) ∈Rp+q |

p∑1

x2i =

q∑1

y2i

X − 0 est-il connexe par arcs ?


Soit (Pn)n∈N une suite de polynômes réels à d variables non nuls. Montrer qu’il existe X0 ∈ Rd tel que Pn (X0) 6= 0pour tout n.

14

8. MINES -(Clothilde Mangion)

Soit K = R ou C. On munit Mn (K) d’une norme subordonnée à une norme sur Kn , et on se donne A ∈ Mn (K).Montrer que

∃λ ∈K A =λIn ⇔∃α> 0 ∀P ∈GL n (K)∥∥P−1 AP

∥∥Éα9. X -(Jonas Hamiache)

Soit E un evn complet, etΩ un ouvert borné de E . On suppose que

∀x, y ∈Ω ∃B boule ouverte

x, y⊂B ⊂Ω

Montrer queΩ est une boule ouverte.

10. Lyon -(Edouard Naye)

Une application f :Rm →Rn est dite propre si et seulement si

∀K compact de Rn f −1 (K ) est un compact de Rm

(a) Si f est propre et continue, montrer que

F = y ∈Rn | f −1 (

y) 6= ;

est un fermé de Rn .

(b) Soient (ai )0ÉiÉn des applications continues de R dans R avec ∀ y an(y) 6= 0. On définit P :R2 →R par

P(x, y

)= n∑i=0

ai(y)

xi

Montrer que f = y ∈R | ∃x ∈R P

(x, y

)= 0

est un fermé de R.

11. MINES -(Antoine Lestrade)

Soit E = f ∈C 1 ([−1,1] ,R) | f (0) = 0

.

(a) Montrer que N(

f)= sup

[−1,1]

∣∣ f ′∣∣ définit une norme sur E .

(b) Pour f ∈ E et x réel convenable, on pose

T f (x) =∫ x

0

f (t )

td t

Montrer que cela permet de définir un endomorphisme de E . Déterminer ses éléments propres.

(c) T est-il continu pour N ?

12. X

On se place dans le plan R2 muni de sa structure euclidienne affine canonique et on note E l’ensemble des réelsde ]0,π/2] qui mesurent un angle d’un triangle à sommets dans Z2.

(a) Montrer que E est dense dans ]0,π/2].

(b) Montrer que si x et y sont dans E et si x + y ∈]0,π/2] alors x + y ∈ E .

(c) Établir l’existence dun sous-groupe de (R,+) qui rencontre ]0,π/2] selon E .

15

Fonctions d’une variable réelle

1. CCP -(Matthieu Lemaire)

Etudier la dérivabilité de f : [0,1] →R définie par f (x) = arcsin(1−x3

).

2. CCP -(Amira Ben Tahar)

Démonstration de la formule de Leibniz. Calculer la dérivée d’ordre n de f (x) = e2x

1+x.


Soit f : I → (E ,‖ ‖) et g : I →R deux fonctions dérivables sur un intervalle I . On suppose que

∀ t ∈ I∥∥ f ′ (t )

∥∥É g ′ (t )

Montrer que, pour a É b dans I , on a ∥∥ f (b)− f (a)∥∥É g (b)− g (a)


Trouver toutes les f :R→R vérifiant

x 6= y ⇒ min(

f (x) , f(y))É f

(y)− f (x)

y −xÉ max

(f (x) , f

(y))

5. CENTRALE -(Florent Vermeulen)

Pour n ∈N∗, on pose

Pn =n∑

k=0

X k

k !

(a) Montrer que P2n+1 admet une unique racine réelle, qu’on notera xn .

(b) Si a > 0, donner un équivalent de

In =∫ 1

0eant t 2n+1 d t

pour n →+∞.

(c) Montrer que la suite tn =− xn

2n +1converge vers un réel > 0.

6. U/L/C -(Chaojun Wang)

Soit f : [0,1] → [0,1] continue. On suppose qu’il existe a,b ∈ [0,1] tels que

f (b) É a < b É f (a)

Montrer qu’il existe c ∈ [0,1] tel que f (c) 6= c et f f (c) = c.

7. X -(Jonas Hamiache)

Déterminer toutes les fonctions f :R→R telles que

∀x, y, z ∈R ∣∣y −x∣∣É |z −x|⇒ ∣∣ f

(y)− f (x)

∣∣É ∣∣ f (z)− f (x)∣∣

8. U/L/C -(Edouard Naye)

Soit x0 un réel non nul et la suite (xn)n∈N définie par

xn+1 = 1

2

(xn + 1

xn

)Etudier la convergence de cette suite. On se donne une suite (an)n∈N ∈ ]0,1]N avec lim

n→+∞an = 1 et la suite (xn)n∈Ndéfinie par x0 6= 0 et

xn+1 = an

2

(xn + 1

xn

)Etudier la convergence de cette suite.

16

9. Cachan -(Edouard Naye)

Soit f : [0,1] → [0,1] 1-lipschitzienne et la suite (xn)n∈N définie par x0 ∈ [0,1] et

xn+1 = 1

2

(xn + f (xn)

)Etudier cette suite.

10. Ulm -(Edouard Naye)

Soient (ai )1ÉiÉn et (ωi )1ÉiÉn des réels avec ∀ i ωi 6= 0. Montrer que f :R→R définie par

f (x) =n∑

i=1ai cosωi x

s’annule une infinité de fois.

11. Cachan -(Edouard Naye)

Soit f : [0,1] → [0,1] 1-lipschitzienne et la suite (xn)n∈N définie par x0 ∈ [0,1] et

xn+1 = 1

2

(xn + f (xn)

)Etudier cette suite.

12. Ulm

Soit f une fonction réelle positive de classe C 2 sur R. Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pourque

√f soit de classe C 1 sur R.

13. U/L/C

Soit x un réel.

(a) Montrer que l’ensemble des couples (p, q) ∈Z×N∗ tels que

∣∣∣∣x − p

q

∣∣∣∣É 1

q2 est infini.

(b) Montrer que la suite

(1

n sinn

)est divergente.

Suites et séries (numériques et/ou de fonctions)

1. X (Jean-Victor Delemasure)

On considère l’espace E =C 0 ([0,1] ,R) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕ l’application définiesur E par ϕ

(f)= g avec

∀x ∈ [0,1] g (x) = 2∫ x

0

√∣∣ f (t )∣∣d t

On définit une suite(

fn)

n∈N de E par f0 = 1[0,1] et fn+1 =ϕ(

fn). Etudier la convergence (simple et uniforme) de la

suite(

fn).

2. CENTRALE (Amira Ben Tahar)-

Pour x ∈R∗+, on pose S (x) =+∞∑n=1

1

n2x +n. Définition de S, continuité, caractère C 1 ? Trouver un équivalent simple

de S (x) pour x → 0+ et x →+∞. Calculer S (1) et S(p

)pour p ∈N.

3. MINES -(Thibault Delcroix)

On pose vn (x) = e−xp

n . Convergence de la série de terme général vn (x) ? Equivalent de la somme pour x → 0+.

4. MINES -(Dimitri Watel)

Soit A ∈Mn (R). Montrer que B =+∞∑k=0

A2k

(2k)!existe et que detB Ê 0.

17

5. MINES -(Michael Vincent)

Domaine de définition et équivalent en 0 de

f (x) =+∞∑n=1

x

n(1+n2x2

)6. MINES -(Florent Vermeulen)

On pose, x étant une variable réelle,

f (x) =+∞∑n=1

(1

n

)x

Définition, continuité, limites et équivalents aux bornes ?


Pour n ∈N, on définit

un :R∗+ →R un (x) = 1

n!

∫ x

1(ln t )n d t

Convergence et somme de+∞∑n=0

un (x).

8. Cachan -(Chaojun Wang)

Soit f : [0,1] →R de classe C 2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la série de terme général

un =∫ 1

0f (t ) d t − 1

n

n∑i=1

f

(i

n

)converge.

9. Cachan -(Jonas Hamiache)

Soit f :R→R telle que, pour toute suite (an)n∈N réelle∑an converge ⇒∑

f (an) converge

Montrer que f est affine au voisinage de 0. On pourra montrer que f est impaire, continue en 0 et additive auvoisinage de 0.

10. Lyon -(Jonas Hamiache)

Soit E =CN et T ∈L (E) défini par T (u) = v avec

∀n ∈N vn = (n +1) un+1

(a) Quels sont les éléments propres de T ?

(b) Si λ ∈C, déterminer ker(T −λ i dE )2.

(c) Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par T , montrer que

∀u ∈ F∑

un converge absolument

11. CCP -(Jonas Hamiache)

Domaine de définition, continuité et dérivabilité de

S (x) =+∞∑n=0

e−nx

1+n2


Calculer1

3×5+ 1

7×9+ 1

11×13+·· ·

18

13. MINES -(Edouard Naye)

Soit f : [0,1] → R continue avec f (1) = 0. Pour n ∈ N et x ∈ [0,1], on pose fn (x) = xn f (x). Montrer que la suite(fn

)converge uniformément sur [0,1]. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que

∑fn converge

uniformément.


Nature de la série de terme général1

(lnn)lnn(n Ê 2)

15. CENTRALE -(Benoît Brancheriau)

Montrer que

∀x ∈ [0,1[ x É ln(1−x) É x

1−x

Déterminer limn→+∞

n∑k=1

(k

n

)n

.

16. CCP -(Simon Dely)

On pose fn (x) = e−x

1+n2x2 . Montrer que cette suite de fonction converge simplement sur R. Y a-t-il convergence

uniforme ? Déterminer

limn→+∞

∫ 1

0fn (x) d x


Discuter en fonction de α la nature de la série de terme général

un = n1

nα − (n +1)1

nα+1

18. X

Soit u une suite réelle décroissante telle que la série de terme général un converge. On suppose en outre que, pourtout n,

+∞∑k=n+1

uk É un

On pose S =+∞∑k=0

uk . Soit x ∈]0,S]. Montrer quil existe une fonction f strictement croissante deN dansN telle que

x =+∞∑n=0

u f (n)

19. X

Soit (an)nÊ1 une suite réelle. On suppose que la série de terme général an/n converge. Étudier la convergence de

la suite de terme général1

n

n∑k=1

ak .

20. X

Soient a ∈R et (un)nÊ0 ∈RN tels que

u0 = a et ∀n ∈N un+1 = 1/2(un +u2

n

)On suppose que la suite (un) converge.

(a) Que dire de a ?

(b) Étudier la convergence de la suite de terme général 2nun .

(c) Donner un développement asymptotique à deux termes de un .

19

Séries entières, séries de Fourier

1. CENTRALE (Mathieu Lemaire-Math 2)

On note C2π l’espace des fonctions continues de R dans R 2π-périodiques.

(a) Calculer les coefficients de Fourier de t 7→∣∣∣∣sin

t

2

∣∣∣∣.(b) Pour f ∈C2π, on définit g =ϕ(

f)

par

g (x) = 1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣∣sinx − t

2

∣∣∣∣ f (t ) d t

Montrer que ϕ est un endomorphisme de C2π, et exprimer ϕ(

f)

à l’aide des coefficients de Fourier de f .

(c) Déterminer les éléments propres de ϕ.

2. CCP -(Jean-Victor Delemasure)

Soit un =∫ n3

n2

d t

1+ t 2 . Montrer que un ∼ 1

n2 pour n → +∞. Déterminer le domaine de convergence de la série

entière∑

un xn .

3. Cachan -(Hélène Leman)

Soit f : R→ R 2π-périodique vérifiant f (−π) = f (0) = 0, f (x) = 1 sur ]0,π[, et f (x) = −1 sur ]−π,0[. Calculer lescoefficients de Fourier de f . On note Sn f la somme partielle d’ordre n de cette série. Déterminer ses extrema

locaux. Quel est le maximum absolu sur [0,π] ? Déterminer limn→+∞Sn f

( π2n

).


Déterminer la série de Fourier de x 7→ arctan(tan x). En déduire la valeur de+∞∑n=1

sinnx

n.

5. CCP -(Dimitri Watel)

Ecrire x (π−x) comme somme d’une série de cosinus sur [0,π]. En déduire les valeurs de

+∞∑n=1

1

n2 et+∞∑n=1

1

n4

6. CCP -(Michael Vincent)

Justifier que x 7→ 1p1−x2

est développable en série entière sur ]−1,1[. Domaine de définition de

F (t ) = 2

π

∫ π2

0

dθ√1− t 2 sin2θ

Montrer que F est développable en série entière en 0 et expliciter son développement.


Si pn est le nombre de partitions de 1, . . . ,n, déterminer

f (x) =+∞∑n=0

pn

n!xn

8. CENTRALE -(Michael Vincent)

On pose

f (x) =∫ π

2

0cos(x sin t ) d t

(a) Montrer que f ∈C ∞ (R,R).

20

(b) Montrer que f est développable en série entière en 0 et expliciter ce développement.

(c) Montrer que f s’annule une seule fois dans]π

2,π

[.

9. MINES -(David Denoncin)

Soit g (z) =+∞∑n=0

an zn de rayon de convergence R et z ∈C.

(a) Exprimer, pour |z| < R,+∞∑n=0

a2n z2n en utilisant g .

(b) Même question avec+∞∑n=0

a3n z3n . Calculer notamment, pour x ∈R,

+∞∑n=0

x3n

(3n)!

10. CENTRALE (Clothilde Mangion)

Soit (an)n∈N une suite complexe. On pose

Sn = a0 +·· ·+an et Tn = S0 +·· ·+Sn

n +1

(a) On suppose que le rayon de convergence de∑

an zn vaut 1. Que peut-on dire des rayons de convergence desséries

∑Sn zn et

∑Tn zn .

(b) On suppose an Ê 0 et∑

an divergente, avec

limn→+∞

an

Sn= 0

Déterminer les rayons de convergence de∑

an zn et∑

Sn zn .

(c) On suppose que le rayon de convergence de∑

an zn vaut R > 0, et pour r ∈ ]0,R[, on pose

M (r ) = supz∈C,|z|=r

∣∣ f (z)∣∣

Montrer que|an |r n É M (r )

11. MINES -(Clothilde Mangion)

Si α ∈ ]−1,1[, trouver f ∈C 0 (R,R) 2π-périodique telle que

∀n Ê 1 an(

f)= (n +1)αn

Trouver g ∈C 0m (R,R) 2π-périodique telle que

∀n Ê 1 bn(

f)= 1p

n

12. CCP -(Antoine Lestrade)

Soit (an) et (bn) deux suites complexes avec |an | ∼ |bn | pour n →+∞. Montrer que les séries entières correspon-

dantes ont même rayon de convergence. Déterminer le rayon de convergence de+∞∑n=0

j nn3

n3 +1zn où j = e

2iπ3 .

13. CENTRALE -(Matthieu Leclercq)

Si f :R→C est continue par morceaux intégrable et g :R→C est continue 2π-périodique, on pose, pour x ∈R

F (x) =∫R

f (x −u) g (u) du

21

(a) Définition, période, continuité ?

(b) Montrer que

∀n ∈Z cn (F ) = cn(g)∫R

f (t ) e−i nt d t

(c) Montrer que, pour n →±∞, cn (F ) = o(cn

(g))

.

(d) Donner des conditions suffisantes sur f et g pour que F soit de classe C 1 sur R.

14. MINES -(Benoît Brancheriau)

Soit f : ]−b,b[ →R de classe C ∞ telle que

∀ t ∈ ]−b,b[ ∀n ∈N f (n) (t ) Ê 0

On pose

Sn (t ) =n∑

k=0

f (k) (0)

k !t k et ρn (t ) =

∫ t

0

(t −x)n

n!f (n+1) (x) d x

(a) On suppose t ∈ [0,b[. Montrer que la suite (Sn (t ))n∈N est convergente. Montrer que la suite(ρn (t )

)n∈N est

convergente. Déterminer sa limite.

(b) Montrer que f est, dans ]−b,b[, somme d’une série entière.

(c) Application à la fonction tan sur]−π

2,π

2

[.

15. CENTRALE -(Mustapha Bou Zeid)

Soit α ∈ ]0,π[. Quel est le rayon de convergence R de la série entière+∞∑n=1

sinnα

nxn ? Calculer la somme de cette

série pour x ∈ ]−R,R[. Etudier la convergence de la série en ±R (on pourra faire intervenir la fonction impaire

2π-périodique valantπ−x

2pour x ∈ ]0,π[).

Intégration


Montrer que+∞∑n=0

∫ 1

0t n sin(πt ) d t =

∫ 1

0

sin(πt )

1− td t


Soit f ∈C 0 (R,R) strictement croissante avec f (0) = 0. Calculer, pour x ∈R,∫ x

0f (t ) d t +

∫ f (x)

0g (t ) d t

En déduire que, si u, v ∈R,

uv É∫ u

0f (t ) d t +

∫ v

0g (t ) d t

lorsque cela a un sens.


Soit f :R→R définie par f (θ) = max(cosθ,0).

(a) Que peut-on dire de la série de Fourier de f ?

22

(b) On se donne n complexes non nuls(zk = rk e iθk

)1ÉkÉn . Montrer qu’il existe θ ∈R tel que

n∑k=1

rk f (θ−θk ) Ê 1

π

n∑k=1

rk

(Indication : intégrer g : θ 7→n∑

k=1rk f (θ−θk ) sur un intervalle convenable).

(c) En déduire qu’il existe I ⊂ 1, . . . ,n telle que ∣∣∣∣∣∑k∈I

zk

∣∣∣∣∣Ê 1

π

n∑k=1

|zk |

(d) Réciproquement, si on se donne C > 0 tel que pour tout n ∈N et tous complexes non nuls (zk )1ÉkÉn , il existeI partie de 1, . . . ,n avec ∣∣∣∣∣∑

k∈Izk

∣∣∣∣∣ÊCn∑

k=1

|zk |

que peut-on dire de C ?

4. X (Jean-Victor Delemasure)

Si f :R+ →R est continue, on pose

F (t ) =∫ t

0

f (x)pt −x

d x

Définition et continuité de F ? Existe-t-il f telle que F (t ) = 1+ t + t 2 ?

5. Petites Mines -(Amira Ben Tahar)

Pour x Ê 0, on pose

S (x) =+∞∑n=1

sin(x) e−nx

(a) Démontrer la convergence de cette série. Y a-t-il convergence uniforme sur R+ ?

(b) Montrer que ∫ +∞

0S (x) d x =

+∞∑n=1

1

n2 +1

6. MINES -(Dimitri Watel)

Soit R une fraction rationnelle à coefficients complexes, intégrable sur R.

(a) Montrer que R n’a pas de pôle réel et que son degré est inférieur ou égal à -2.

(b) Si a est un pôle de R, on note R (a,R) le résidu de f en a, c’est à dire le coefficient de1

x −adans la décom-

position en éléments simples de R. Montrer que∑a pôle de R

R (a,R) = 0

(c) Montrer que ∫R

R (t ) d t = 2iπ∑

a pôle de R, Im a>0R (a,R)

23

7. U/L/C -(Florent Vermeulen)

Soit f :R→R de classe C 1 et 2π-périodique, et γ ∈R−Q. Montrer que

limn→+∞

1

n

n∑k=1

f(2kπγ

)= 1

2π

∫ 2π

0f (t ) d t

Si x ∈R, on note x = x − [x] la partie fractionnaire de x. Montrer que, si [a,b] ⊂ [0,1[, on a

limn→+∞

cardk ∈ 1, . . . ,n | kγ

∈ [a,b]

n= b −a

8. CENTRALE -(Michel Kapoko)

On considère la fonction définie par

g (x) =∫ +∞

0

cos(t x)

1+ t 2 d t

(a) Montrer que g est définie et continue sur R.

(b) Pour x > 0, on pose G (x) = g (x)

x. Montrer que G ∈C 2 (]0,+∞[ ,R), et en déduire que, pour x > 0,

g ′′ (x) = 1

x

∫ +∞

0

2t sin(xt )(1+ t 2

)2 d t

(c) Trouver une équation différentielle vérifiée par g et en déduire la valeur de g .

9. CCP -(Clothilde Mangion)

Pour x > 0, on pose

F (x) =∫ +∞

0

e−t x sin t

td t

Définition, dérivabilité, valeurs de F ′ (x) et F (x).


Calculer ∫ +∞

0

d x

1+x4

11. CENTRALE -(Antoine Lestrade)

On dispose de Maple.

(a) Calculer I (x) =∫ +∞

0

sin(xt )

te−t d t .

(b) Si a > 0, calculer J (x) =∫ +∞

0e i xt t a−1e−t d t .


Soit f ∈C 1 (R,R) intégrable telle que f ′ soit de carré intégrable.

(a) Montrer que

∀x ∈R f (x) =∫ x

x−1f (t ) d t +

∫ x

x−1(t −x +1) f ′ (t ) d t

(b) En déduire que

∀x ∈R ∣∣ f (x)∣∣É ∫ x

x−1

∣∣ f (t )∣∣ d t + 1p

3

[∫ x

x−1

∣∣ f ′ (t )∣∣2 d t

] 12

(c) Que peut-on en déduire sur le comportement de f en ±∞ ?

24

13. MINES -(Valentin Clavreul)

Existence de I =∫ +∞

0

x

ex −1d x. Exprimer I comme somme d’une série.Déterminer a et b ∈R tels que

∀n ∈N∗∫ π

0

(at +bt 2)cosnt d t = 1

n2

En déduire la valeur de I .

14. MINES -(Valentin Clavreul)

Existence et valeur de

In =∫ +∞

0

sin2n+1 x

xd x

15. CENTRALE -(Valentin Clavreul)

On pose

f (x) =∫ 1

0t x ln t ln(1− t ) d t

Domaine de définition, continuité, monotonie et limite en +∞. Calculer f (i ) pour i = 1..10 (Maple). Exprimer fsous forme d’une série de fractions rationnelles et en donner un équivalent en +∞.

16. MINES -(Matthieu Leclercq)

On considère l’espace E des fonctions continues 2π-périodiques de R dans C, muni de la norme

N1(

f)= 1

2π

∫ 2π

0

∣∣ f (t )∣∣ d t

et, pour f ∈ E , on définit g =G(

f)

par

∀x ∈R g (x) =∫ +∞

0e−t f (x + t ) d t

(a) Montrer que G est continue de E dans E pour N1.

(b) G est-elle injective ? surjective ?

(c) Déterminer les éléments propres de G .

Equations différentielles

1. U/L/C (Thibault Delcroix et Jonas Hamiache)

Soit A :R→M2 (R) de classe C 1 et X :R→M2 (R) solution de l’équation différentielle

X ′ = AX −X A

Montrer que pour k ∈ N∗ t 7→ trace[X (t )]k est constante. Montrer que les valeurs propres complexes de X (t ) nedépendent pas de t . Montrer que X (t ) est semblable à X (0). Peut-on trouver une matrice de passage fonction C 1

de t ?

2. CENTRALE -(Dimitri Watel)

Soit p ∈N∗ et g : [0,1] →R continue. On considère l’équation différentielle sur [0,1]

(Lp

): y ′′− 1

p2 y = g

(a) Résoudre(Lp

).

(b) Montrer qu’il y a unicité d’une solution yp vérifiant yp (0) = y ′p (0) = 0.

25

(c) A l’aide de Maple, expliciter cette solution pour g (t ) = t (1− t ). Tracer yp pour p variant de 1 à 6. Qu’observe-t-on ?

(d) Dans le cas général, étudier la convergence simple et uniforme de(yp

)p∈N∗ .


Soit A ∈Mn (R) antisymétrique. Montrer que les solutions de X ′ = AX sont bornées. Que peut-on dire de exp(t A)pour t ∈R ?

4. Ulm -(Jonas Hamiache)

Soit f :R+ →R deux fois dérivable et g :R+ → [c,+∞[ avec c > 0 quelconque. On suppose que f ′′+g f = 0. Montrerque f s’annule une infinité de fois

5. CENTRALE (Jonas Hamiache)

Soit q :R+ → [m,+∞[ continue, avec m > 0. On s’intéresse à l’équation différentielle

(H ) y ′′+q y = 0

(a) Dans le cas où q (t ) = 1+ t 2, tracer avec Maple la solution pour t = 0..20, pour la condition initiale y (0) = 4 ety ′ (0) = 0. Montrer que dans ce cas, y est paire. Conjecture ?

(b) Dans le cas général, on considère une solution non nulle de (H ). Montrer qu’on peut trouver ρ ∈C 1(R+,R∗+)

et θ ∈C 1(R+,R

)avec

y = ρ cosθ et y ′ = ρ sinθ

Exprimer θ′ en fonction de θ et q .

(c) En déduire que y s’annule une infinité de fois sur R+.

6. CCP -(Valentin Clavreul)

On considère l’équation différentiellex (x +2) y ′+ (x +1) y −1 = 0

(a) Résoudre sur ]−2,0[ et ]0,+∞[.

(b) Existe-t-il des solutions sur ]−2,+∞[ ?

(c) Développement en série entière de cette solution, et rayon de convergence.


Trouver toutes les fonctions f ∈C 0 (R,R) telles que

∀x ∈R f (x)+∫ x

0(x − t ) f (t ) d t = 1

8. X

Chercher les fonctions x réelles de classe C 1 sur R vérifiant (1− t 2)x ′− t x = 2

9. Ulm

Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E). On suppose que les valeurs propres complexes de font toutes une partie réelle strictement positive. Montrer qu’il existe un produit scalaire sur E tel que, pour tout xnon nul,

⟨f (x) , x

⟩> 0.

10. U/L/C

On munit Rn de sa structure euclidienne canonique. On considère K ∈R∗+ et f :Rn →Rn de classe C 1 telle que

∀ (x, y) ∈Rn ×Rn ⟨f (x)− f (y), x − y

⟩Ê K∥∥x − y

∥∥2

On considère le système autonome (E) : y ′ =− f(y)

.

26

(a) Soient (I1, y1) et (I2, y2) deux solutions maximales de (E) avec 0 ∈ I1∩ I2. Montrer que pour tout t ∈R+∩ I1∩ I2

on a :∥∥y2(t )− y1 (t )

∥∥2 É e−2K t∥∥y2(0)− y1(0)

∥∥2.

(b) Soit (I , y) une solution maximale de (E) avec 0 ∈ I .

i. Montrer :∀ t ∈ I ∩R+,∥∥y ′(t )

∥∥É e−K t∥∥y ′ (0)

∥∥.

ii. Montrer que R+ ⊂ I .

(c) Montrer que f est un homéomorphisme de Rn sur lui-même

11. MINES :

On considère l’équation différentielley ′ = t 3 + y3

et on note f la solution maximale définie sur un intervalle I pour la condition initiale y (0) = a > 0. On note b =sup I . Montrer que

b É 1

2a2 et limx→b− f (x) =+∞

12. MINES :

Déterminer les solutions dey y ′′ = 1+ y ′2

13. MINES

Soient a et b dans R+∗. Trouver les fonctions y de R dans R+ de classe C 1 telles que y ′ = ay −by2.

CENTRALE

(a) Résoudre sur]−π

2,π

2

[l’équation différentielle

y"+ y = 2

cos3 x

On note y0 la solution qui vérifie : y0(0) = y ′0(0) = 0.

(b) )Soit f ∈C 2(]−π

2,π

2

[,R

)telle que : f (0) = f ′(0) = 0 et

∀x ∈]−π

2,π

2

[f ′′(x)+ f (x) Ê 2

cos3 x

Montrer que

∀x ∈]−π

2,π

2

[y0 (x) É f (x)

14. CENTRALE

On pose, pour x réel,

J (x) =∫ π

2

0cos(x sin t )d t

(a) Montrer que J est de classe C ∞ et solution d’une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

(b) On considère

(E) y ′′+ y ′

x+ y = 0

pour x > 0. À l’aide du changement de variable y = xbu(x) où b est à choisir convenablement, montrer que(E) se ramène à une équation du type : u′′+K (x)u = 0 ; préciser K (x).

15. CENTRALE

Soit (E) l’équation différentielle :t y ′′(t )+ y ′(t )− t y(t ) =−1

27

(a) a) Montrer que

v : t 7→∫ π

2

0e−t sin(u)du

est solution de (E) sur R.

(b) En utilisant les parties paire et impaire de v , intégrer (E) sur R+∗ et R−∗.

(c) Intégrer (E) sur R.

16. CENTRALE

Soit q : R → R continue, 2π-périodique, de valeur moyenne nulle. Pour n ∈ N∗, soit yn : R → R la solution duproblème de Cauchy :

y ′′+ (1−q(nt ))y = 0, y(0) = 1 et y ′(0) = 0

. Soit Xn : t 7→ (yn(t ), y ′n(t )). On munit R2 de son produit scalaire canonique.

(a) Montrer que ∀ t ∈R :⟨

Xn(t ), X ′n(t )

⟩É 12 |qn(t )|×‖Xn(t )‖2

(b) Soit T > 0. Montrer que yn et y ′n sont bornées sur [0,T ] par une constante indépendante de n.

(c) Montrer que (yn) converge uniformément sur [0,T ].

17. CENTRALE

Soit

(E) : y ′ = 1(1+x2 + y12

)(a) Montrer que (E) admet des solutions et que celles-ci sont définies sur R.

(b) (Maple) Tracer la solution telle que y(0) = 1. Tracer la solution telle que y(0) = 0 ; conjecturer puis démontrerune propriété concernant cette application.

(c) Soit y une solution maximale de (E). Donner un développement asymptotique à deux termes de y en +∞.

18. CENTRALE

Soient A ∈ Mn(R) antisymétrique et B : R+ → Mn(R) continue intégrable. Soit X : R+ → Rn de classe C 1 et solu-tion du système différentiel X ′ = (A+B(t )) X . On munit Rn du produit scalaire canonique. On note ‖ ‖ la normeeuclidienne de Rn et ||| ||| la norme d’opérateur sur Mn(R) associée à ‖ ‖.

(a) Montrer qu’il existe C > 0 tel que : ∀ t ∈R+ ⟨X (t ), X ′(t )

⟩ÉC |||B(t )|||×‖X (t )‖2

(b) Montrer que t 7→ X (t ) est bornée.

(c) Montrer que t 7→ e−t A X (t ) converge quand t →+∞.

Calcul différentiel

1. Cachan -(Chaojun Wang)

Soit J :Rn →R différentiable. Montrer que J est convexe si et seulement si

∀X ,Y ∈Rn J (Y ) Ê J (X )+⟨grad J (X ) ,Y −X

⟩2. CENTRALE -(Edouard Naye)

On cherche les fonctions F ∈C 2(R2,R

)vérifiant

(E)(y −x

)[∂2F

∂x2 −2∂2F

∂x∂y+ ∂2F

∂y2

]+2

[∂F

∂x− ∂F

∂y

]= 0

(a) Montrer que, si f et g ∈C 2 (R,R), la fonction G :(x, y

) 7→ x y f(x + y

)+ g(x + y

)est solution de (E).

28

(b) Etudier la transformation de R2 définie par(x, y

) 7→ (u = x y, v = x + y

).

(c) Résoudre (E).


SoitΩ= (x, y, z

) ∈R3 | x < y < z.

(a) Montrer queΩ est un ouvert de R3.

(b) Montrer que(x, y, z

) 7→ (a,b,c) tels que

(X −x)(X − y

)(X − z) = X 3 +aX 2 +bX + c

définit un C 1 difféomorphisme deΩ dans un ouvertΩ′ de R3.

(c) Même question en dimension 4 :(x, y, z, t

) 7→ (a,b,c,d) tels que...

(d) Soit(x, y, z, t

) ∈Ω et P = (X −x)(X − y

)(X − z) (X − t ). Pour h ∈ R, on note Ph = P +hX 3. Montrer qu’il existe

α> 0 tel que, sur ]−α,α[, on puisse définir une application ϕ de classe C 1à valeurs réelles, telle que

|h| <α⇒ϕ (h) est la plus petite racine de Ph

(e) Montrer que ϕ admet un développement limité d’ordre 1 en 0

ϕ (h) = x + Ah +o (h)

et préciser A (NDLR : j’espère qu’on dispose de Maple).

4. X

Soit f :R→R telle que∀x ∈R f (x +2π)− f (x) ∈ 2πZ.

Soit F :R2 →R2 telle que

∀ (r, q

) ∈R+×R F(r cos q,r sin q

)= (r cos f

(q)

,r sin f(q))

. À quelle condition nécessaire la fonction F est-elle différentiable en (0,0) ?

5. X

Soit f ∈C 3 (Rn ,R) telle que f (0) = 0 et d f0 = 0. Montrer qu’il existe h :Rn →Sn (R), de classe C 1 telle que

∀x ∈Rn f (x) = ⟨h (x) , x⟩

6. MINES Soit f :R2 →R telle que f (x, y) = (x2 − y2) ln(x2 + y2) si (x, y) 6= (0,0) et f (0,0) = 0.

(a) La fonction f est-elle continue ?

(b) Montrer que∂ f

∂y(x, y) =−∂ f

∂x(y, x) pour (x, y) 6= (0,0).

(c) Calculer∂ f

∂x

(x, y

).

(d) Montrer que f est de classe C 1.

7. MINES

Soit a ∈R. Déterminer les extrema de g : (x, y) 7→ x2 y2 +x2 + y2 −ax y .

8. MINES

Déterminer les extrema de f : (x, y) ∈R2 7→ x4 + y4 −2(x − y)2.

9. CENTRALE (Maple)

29

(a) On pose f (x, y) = x y/(x + y −x y

)lorsque (x, y) ∈ [0,1]22 et (x, y) 6= (0,0). Montrer qu’il existe une unique

fonction continue sur [0,1]2 qui prolonge f . Tracer le graphe de f à l’aide d’un logiciel. Conjecturer et déter-miner la position des extremums locaux.

(b) On pose g (x, y, z) = [x y z(1−x)(1− y)(1− z)

]/[1− (1−x y)z

]lorsque (x, y, z) ∈ [0,1]23 et (x y, z) 6= (0,1). Mon-

trer quil existe une unique fonction continue sur [0,1]3 qui prolonge f . Déterminer la position des extremumslocaux à l’aide d’un logiciel.

10. CENTRALE

SoientKn =

(x1, ..., xn) ∈ (R+)n | x1 +· · ·+xn = 1

etfn : (x1, . . . , xn) ∈ Kn 7→ ∑

1Éi , jÉnxi x j

(xi +x j

)2

et Mn le maximum, s’il existe, de fn sur Kn .

(a) Montrer que Mn est bien défini.

(b) Calculer M2.

(c) On suppose que Mn est réalisé en un point x0 = (x01 , . . . , x0

n) tel que :

∀ i ∈ 1, . . . ,n x0i 6= 0

. Montrer que grad f (x0) est colinéaire à (1, . . . ,1).

(d) Proposer une méthode pour calculer Mn .

Intégrales multiples et curvilignes

1. MINES -(Jonas Hamiache)

On définit

f(x, y

)= 1(1+x2

)(1+ y2

)Montrer que f est intégrable sur R+×R+ et en déduire les valeurs de∫ π

2

0

ln(tanθ)

cos(2θ)dθ et

∫ +∞

0

lnθ

1−θ2 dθ

2. MINES -(Edouard Naye)

Pour z ∈C avec Re z > 0, on pose

Γ (z) =∫ +∞

0e−t t z−1 d t

et, pour Re p et Re q > 0

B(p, q

)= ∫ 1

0t p−1 (1− t )q−1 d t

Montrer que

B(p, q

)= Γ(p

)Γ

(q)

Γ(p +q

)3. CCP -(Bilal Zerrouki)

On considère D = (x, y

) ∈R2 | 0 É x, 1 É x y É 2 et 1 É x2 − y2 É 4

et on pose

I =Ï

D

x y(x2 + y2

)x2 − y2 d xd y

30

(a) On définit ϕ : R2 → R2 par ϕ(x, y

)= (x y, x2 − y2

). Montrer que ϕ|]0,+∞[2 est un C 1-difféomorphisme dont on

précisera l’image.

(b) Déterminer ϕ (D) et dessiner D .

(c) Calculer I .

4. MINES Soit D = (x, y) ∈R2 | 0 É x <π et 0 É y < 1

. CalculerÏ

D

d xd y

1+ ycosx

5. MINES Soient a > 0 et D = (x, y) ∈R2 | y Ê 0 et x2 + y2 É ax

.CalculerÏ

D

√a2 −x2 − y2d xd y.

31

Documents

MP* ORAUXCONCOURS2008 - Les-Mathematiques.net MP* ORAUXCONCOURS2008 Algèbrelinéairegénérale 1. PetitesMines- (Mathieu Lemaire) Soient A etB ∈Mn (R)tellesque A+B = AB.MontrerqueB−In