L3 et Magistere de physique fondamentale Mecanique quantique 2014-2015

Devoir 1A rendre en TD au plus tard la semaine du 6 octobre 2014

Preambule : Le pic de Dirac

La distribution de Dirac δ(x) represente une singularite a l’origine de l’axe des abscisses :

δ(x) =

{0 si x = 0,

+∞ si x = 0.

Ce n’est pas une fonction au sens habituel et l’etude complete de cet objet sera faite enMaths cette annee. La “fonction” δ(x) peut-etre percue comme la limite d’une famillede fonctions δϵ(x) quand ϵ → 0, avec, par exemple, δϵ(x) = fonction creneau de largeur ϵet de hauteur 1/ϵ, comme representee sur la figure ci-dessous.

x0

ε −> 0

0

1/ε

εx

Figure 1: La distribution de Dirac comme limite de fonctions creneaux

La propriete remarquable de δ(x) (la seule utile ici) est que :∫ +∞

−∞δ(x− x0)f(x)dx =

∫ +ξ

−ξ

δ(x− x0)f(x)dx = f(x0), (1)

pour tout ξ = 0 et pour toute fonction f(x) reguliere en x0.

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Etat lie du puits de Dirac

On considere une particule sans spin de massem plongee dans le potentiel V (x) = −αδ(x)avec α constante reelle positive (probleme a une dimension). On recherche dans cettepartie le ou les etats lies (donc d’energie <0) existant pour ce potentiel. On notera ϕ(x)la fonction d’onde associee a un etat lie stationnaire.

1) Quelle est la dimension de la constante α ?

2) Comme il existe une discontinuite infinie de potentiel en x = 0, la fonction d’ondeϕ(x) est continue en x = 0 mais sa derivee est discontinue. En integrant l’equationde Schrodinger stationnaire que verifie ϕ(x) de part et d’autre de la singularite (sur unintervalle [−ϵ,+ϵ]), en utilisant la relation (1), puis en faisant tendre ϵ vers 0, demontrerque les derivees a droite et a gauche sont liees a la valeur de la fonction d’onde en 0 par :

dϕ

dx(0+)− dϕ

dx(0−) = −2mα

~2ϕ(0). (2)

3) Ecrire puis resoudre l’equation de Schrodinger stationnaire que verifie ϕ(x) dans cha-

cune des deux regions : −∞ < x < 0 et 0 < x < +∞. On posera ρ =√−2mE/~2.

Qu’impose le fait que ϕ(x) est necessairement bornee ?

4) Ecrire la relation decoulant de la continuite de ϕ(x) en x = 0, et en deduire que lafonction d’onde (si elle existe) s’ecrit necessairement :

ϕ(x) = Ae−ρ|x|.

Determiner A en imposant que ϕ(x) est normee. Representer graphiquement l’allure deϕ(x).

5) En utilisant la relation (2), montrer qu’il existe finalement un seul etat lie dont onprecisera l’energie ED en fonction de α, m et ~. Dans la suite on notera aussi ρD =√−2mED/~2; preciser l’expression de ρD en fonction de α, m et ~.

6) Determiner la largeur ∆x de la fonction d’onde ϕ(x).

7) Montrer que la fonction d’onde dans l’espace des impulsions associee a ϕ(x) s’ecrit :

ϕ(p) =1√2πp0

2p20p20 + p2

,

ou p0 = ~ρD.8) En deduire la largeur ∆p de la fonction d’onde dans l’espace des impulsions ϕ(p).

9) Calculer que le produit ∆x∆p et commenter le resultat.

Rappels

Lien entre ϕ(x) et ϕ(p) :

ϕ(p) =1√2π~

∫ +∞

−∞ϕ(x)e

−ipx~ dx.

2

Ecartements en x et p :

∆x =√

⟨x2⟩ − ⟨x⟩2 et ∆p =√

⟨p2⟩ − ⟨p⟩2.

Valeurs moyennes :

⟨f(x)⟩ =∫ +∞

−∞f(x)|ϕ(x)|2dx et ⟨g(p)⟩ =

∫ +∞

−∞g(p)|ϕ(p)|2dp.

Exercice : Visualisation d’une fonction d’onde ; etat electronique 2pz de l’atome d’hydrogene

L’etat electronique 2pz de l’atome d’hydrogene est decrit par la fonction d’onde :

Ψ(r, θ, ϕ) =1√32πa30

r

a0e− r

2a0 cosθ (3)

1. Donner l’expression de la densite de probabilite de presence D(r, θ, ϕ) de l’electron.

2. Completer le tableau ci-dessous et representer sur un graphe 32πa30D(r, θ, ϕ) enfonction de r, a differents θ.

3. A l’aide du graphe precedent, tracer les courbes d’isodensite electronique dansl’espace (r, θ, ϕ). On pourra par exemple tracer differentes courbes D = constantedans le plan (y, z). Quelle est la signification physique de ces courbes ?

4. La surface orbitale atomique est definie comme l’evolution angulaire de D(r, θ, ϕ) ar fixe (en coordonnes polaires). La tracer. Commentaire ?

θ cosθ cos2θ r 32πa30D(r, θ, ϕ) pour θ=00 a030 2a045 3a060 4a0

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