Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

La fonction valeur absolue est strictementdécroissante sur ]−∞ ; 0] et strictementcroissante sur [0 ; +∞[.

y = |x|

0 1

1

PREUVE La fonction x "→ −x est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et la fonctionx "→ x est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

MÉTHODE 3 Étudier et représenter une fonction avec des valeurs absolues Ex. 30 p. 46

Pour écrire l’expression |A(x)| sans barre de valeur absolue, on cherche le signe de A (x).Lorsque l’expression A (x) est positive, alors |A(x)| = A (x).Lorsque l’expression A (x) est négative, alors |A(x)| = −A (x).

Exercice d’application

Écrire sans valeur absolue :f (x) = |x − 3|+ |−2x + 1|.Puis représenter f .

Correction

x

|x − 3|

| − 2x + 1|

f (x)

−∞12

3 +∞

−x + 3 −x + 3 x − 3

−2x + 1 2x − 1 2x − 1

−3x + 4 x + 2 3x − 4+

+

1

1

0

C fy = x + 2

y = 3x + 4

y = −3x + 4

5. Fonctions u + k et ku

DÉFINITION : Fonction u + k

Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel.La fonction notée u + k est la fonction définie sur D par (u + k) (x) = u (x) + k.

PROPRIÉTÉ

Dans un plan muni d’un repère, la courbe Cu+k est l’image de la courbe Cu par la translationde vecteur k

−→j .

Chapitre A2. Fonctions de référence 41

Méthodes CH6

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

La fonction valeur absolue est strictementdécroissante sur ]−∞ ; 0] et strictementcroissante sur [0 ; +∞[.

y = |x|

0 1

1

PREUVE La fonction x "→ −x est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et la fonctionx "→ x est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

MÉTHODE 3 Étudier et représenter une fonction avec des valeurs absolues Ex. 30 p. 46

Pour écrire l’expression |A(x)| sans barre de valeur absolue, on cherche le signe de A (x).Lorsque l’expression A (x) est positive, alors |A(x)| = A (x).Lorsque l’expression A (x) est négative, alors |A(x)| = −A (x).

Exercice d’application

Écrire sans valeur absolue :f (x) = |x − 3|+ |−2x + 1|.Puis représenter f .

Correction

x

|x − 3|

| − 2x + 1|

f (x)

−∞12

3 +∞

−x + 3 −x + 3 x − 3

−2x + 1 2x − 1 2x − 1

−3x + 4 x + 2 3x − 4+

+

1

1

0

C fy = x + 2

y = 3x + 4

y = −3x + 4

5. Fonctions u + k et ku

DÉFINITION : Fonction u + k

Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel.La fonction notée u + k est la fonction définie sur D par (u + k) (x) = u (x) + k.

PROPRIÉTÉ

Dans un plan muni d’un repère, la courbe Cu+k est l’image de la courbe Cu par la translationde vecteur k

−→j .

Chapitre A2. Fonctions de référence 41

2

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

3) Fonction inverse

Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur ! \{ }0 par f (x) =

1x

.

Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle

−∞;0⎤⎦ ⎡⎣ et

strictement décroissante sur l’intervalle

0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ .

Remarques : - La courbe de la fonction inverse est appelée une hyperbole de centre O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère.

Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/TWbjEeiZXnw Démontrer que la fonction f définie sur ! par f (x) = x2 − 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .

Soit a et b deux nombres réels tels que : 4 ≤ a < b .

f (a) − f (b) = a2 − 8a + 3− b2 + 8b − 3= a2 − b2 − 8a + 8b= a − b( ) a + b( ) − 8 a − b( )= a − b( ) a + b − 8( )

Comme a < b , on a : a − b < 0 . Comme a ≥ 4 et b > 4 , on a : a + b > 8 , soit : a + b−8 > 0 On en déduit que : f (a) − f (b) < 0 et donc : f (a) < f (b) . La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .

2

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

3) Fonction inverse

Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur ! \{ }0 par f (x) =

1x

.

Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle

−∞;0⎤⎦ ⎡⎣ et

strictement décroissante sur l’intervalle

0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ .

Remarques : - La courbe de la fonction inverse est appelée une hyperbole de centre O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère.

Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/TWbjEeiZXnw Démontrer que la fonction f définie sur ! par f (x) = x2 − 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .

Soit a et b deux nombres réels tels que : 4 ≤ a < b .

f (a) − f (b) = a2 − 8a + 3− b2 + 8b − 3= a2 − b2 − 8a + 8b= a − b( ) a + b( ) − 8 a − b( )= a − b( ) a + b − 8( )

Comme a < b , on a : a − b < 0 . Comme a ≥ 4 et b > 4 , on a : a + b > 8 , soit : a + b−8 > 0 On en déduit que : f (a) − f (b) < 0 et donc : f (a) < f (b) . La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .

2

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

3) Fonction inverse

Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur ! \{ }0 par f (x) =

1x

.

Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle

−∞;0⎤⎦ ⎡⎣ et

strictement décroissante sur l’intervalle

0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ .

Remarques : - La courbe de la fonction inverse est appelée une hyperbole de centre O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère.

Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/TWbjEeiZXnw Démontrer que la fonction f définie sur ! par f (x) = x2 − 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .

Soit a et b deux nombres réels tels que : 4 ≤ a < b .

f (a) − f (b) = a2 − 8a + 3− b2 + 8b − 3= a2 − b2 − 8a + 8b= a − b( ) a + b( ) − 8 a − b( )= a − b( ) a + b − 8( )

Comme a < b , on a : a − b < 0 . Comme a ≥ 4 et b > 4 , on a : a + b > 8 , soit : a + b−8 > 0 On en déduit que : f (a) − f (b) < 0 et donc : f (a) < f (b) . La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞⎡⎣ ⎡⎣ .

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

La fonction valeur absolue est strictementdécroissante sur ]−∞ ; 0] et strictementcroissante sur [0 ; +∞[.

y = |x|

0 1

1

PREUVE La fonction x "→ −x est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et la fonctionx "→ x est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

MÉTHODE 3 Étudier et représenter une fonction avec des valeurs absolues Ex. 30 p. 46

Pour écrire l’expression |A(x)| sans barre de valeur absolue, on cherche le signe de A (x).Lorsque l’expression A (x) est positive, alors |A(x)| = A (x).Lorsque l’expression A (x) est négative, alors |A(x)| = −A (x).

Exercice d’application

Écrire sans valeur absolue :f (x) = |x − 3|+ |−2x + 1|.Puis représenter f .

Correction

x

|x − 3|

| − 2x + 1|

f (x)

−∞12

3 +∞

−x + 3 −x + 3 x − 3

−2x + 1 2x − 1 2x − 1

−3x + 4 x + 2 3x − 4+

+

1

1

0

C fy = x + 2

y = 3x + 4

y = −3x + 4

5. Fonctions u + k et ku

DÉFINITION : Fonction u + k

Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel.La fonction notée u + k est la fonction définie sur D par (u + k) (x) = u (x) + k.

PROPRIÉTÉ

Dans un plan muni d’un repère, la courbe Cu+k est l’image de la courbe Cu par la translationde vecteur k

−→j .

Chapitre A2. Fonctions de référence 41