Notions sur la stabilité des équilibres

L’idée est de s’intéresser à la perte de stabilité d’un système en équilibre qui peut conduire éventuellement à un comportement chaotique.On considère des systèmes dynamiques(ODE autonomes) possédant une position d’équilibre unique.

( )dxf x, t

dt

f :fonction non linéaire

=

Pas d’intervention explicite du temps

Soit la position d’équilibre du système ;on veut étudier la stabilité de cet équilibre quand un paramètre de contrôle (non explicité ici)varie.

e ex ; f (x ) 0=

Définition simple de la stabilité

Si on s’écarte de la position d’équilibre, reste-t-on dans un voisinage de celle-ci pour tout t>0 (Liapunov)?- si oui l’équilibre est stable- si non il est instableSi de plus (pour une orbite commençant dans un ouvert ΩΩΩΩ0contenant xe), l’équilibre est dit asymptotiquement stable.

ex(t) x quand t→ → ∞

Le plus grand ouvert ΩΩΩΩ0 satisfaisant cette propriété est appelébassin d’attraction de xe.

Approche locale - linéarisation d’un système non linéaire

Une approche globale de la stabilité (i.e. indépendante de la forme des perturbations) est difficile et conduit souvent à des conditions suffisantes de stabilité donnant des bornes assez éloignées de la réalité. Nous nous contenterons d’une analyse locale (i.e. se limitant à des perturbations infinitésimales), quitte à revenir sur le comportement global par des exemples (van der Pol).

xe étant position d’équilibre unique, on pose u=x-xe et on effectue un développement de Taylor pour f au voisinage de 0. Nous allons illustrer la procédure dans le cas d’une fonction de 2 variables, x=(x1,x2).

1 2 1 2 1 2

i ii 1 2 i e e 1 e e 2 e e i 1 2

1 2

i 1 2

f ff (x ,x ) f (x ,x ) u (x ,x ) u (x ,x ) g (u ,u )

x x

g (u ,u )0 quand u 0

u

∂ ∂= + + +∂ ∂

→ →

Or par hypothèse ( )1 2i e e

duf x ,x 0; d 'où Au g(u)

dt= = +

où A est la matrice Jacobienne de f évaluée au point d’équilibre x e.Le système

duAu

dt=

est appelésystème linéariséassocié au système dynamique

dxf (x)

dt=

Stabilité du système linéarisé

On considère une situation générique, dans laquelle A est supposée non singulière et àvaleurs propres distinctesAlors u=0 est le seul équilibre possible, et la solution du système linéarisé s’écrit

i ti i

i

u(t) e cλ= α∑

où les ci sont les vecteurs propres associés aux valeurs propres λλλλi; les valeurs propres sont réelles ou complexes conjuguées. Dans le cas 2D :

1 2t t1 1 2 2u(t) e c e cλ λ= α + α

L’origine est alors globalementasymptotiquement stable.

Pour des valeurs propres réelles, si λλλλ1 et λλλλ2 sont négatives et ceci

u(t) 0 quand t→ → ∞

u(0)∀

Si λλλλ1 et λλλλ2 sont positivesl’équilibre du système linéarisé est évidemment instableDans le cas λλλλ1 <0< λλλλ2, l’équilibre est généralement instable, sauf si les conditions initiales sont telles que u(0) appartienne au sous-espace « stable » associé à la valeur propre négative λλλλ1.Bien qu’on puisse s’interroger sur la « robustesse » de ce cas particulier, nous verrons qu’il joue un rôle important pour le contrôle des systèmes chaotiques.

Si λλλλ1 et λλλλ2 sont complexes conjuguées, on montre que :

( )t1 2

i

u(t) e cos t sin t

ισ

λ = σ ± ω

= ξ ω + ξ ω

Si σσσσ=Re(λλλλi)<0, u(t)0 avec une orbite de type spirale. L’origine est globalement asymptotiquement stable.

Si σσσσ>0 l’équilibre est instable

Si σσσσ=0, la solution reste bornée, les orbites sont fermées et forment des cycles autour de l’origine dont la taille dépend des C.I.On dit que la stabilité est neutre ou marginale.

En résuméL’équilibre de

est (globalement) asymptotiquement stable si et seulement si les parties réelles des valeurs propres de A sont négatives.S’il existe une VP de partie réelle positive, l’équilibre est instableSi les VP ont leur partie réelle nulle, l’équilibre est marginalement stable.

duAu

dt=

Une formulation plus condensée peut être donnée dans le cas plan (2D), en fonction de la trace ττττ et du déterminant ∆∆∆∆ de la matrice A (rappelons que λλλλ1+λλλλ2=ττττ et λλλλ1λλλλ2=∆∆∆∆).Re(λλλλi) <0 (i=1,2) est équivalent à∆∆∆∆=det(A)>0 et ττττ=tr(A)<0λλλλ1<0<λλλλ2 si et seulement si det(A)<0Les VP sont imaginaires pures si et seulement si tr(A)=0

Retour sur le cas « dégénéré » 2D, lorsque les 2 VP (réelles) sont égales; termes « séculaires »

Ce cas se produit lorsque ττττ2-4∆∆∆∆=0 (ττττ somme des racines=tr(A); ∆∆∆∆ det(A) produit des racines); cette condition s’écrit aussi

( )211 22 12 21a a 4a a 0− + =

En général la matrice A n’est pas diagonalisableet il existe une seule direction propre (sauf si elle est proportionnelle à l’identité, auquel cas tout vecteur du plan est vecteur propre, cf. fig. 2.7.b).Il est cependant possible de mettre l’opérateur linéaire sous forme canonique de Jordandans une base adéquate (cette forme se généralise à n dimensions)

A0

λ 1 = λ et le système différentiel à résoudre est alors :

1 1 2

0 t2 2 2 2

X X X

X X X (t) X e λ

= λ +

= λ ⇒ =

ɺ

ɺ

D’où 0 t1 1 2X X X eλ− λ =ɺ qui apparaît comme la réponse d’un oscillateur du 1er ordre

forcé par un terme résonnantévoluant au même taux que le membre de gauche

L’intégration de cette équation (variation de la constante) conduit à :

( )0 0 t1 1 2X (t) X X .t eλ= +

O ù le second terme de la parenthèse est appeléterme séculaireLe portrait de phase est intermédiaire entre spirales et nœuds (fig. 2.7.a)

Remarque :l’existence de termes séculaires associés à des seconds membres « résonnants »est un avatar classique des méthodes de perturbations « naïves » en séries de puissances qui conduisent à des approximations non uniformes en temps (ie qui ne sont valables que pour les temps courts). Des techniques spécifiques doivent être utilisées pour résoudre cette difficulté, méthode de Poincaré-Lindstedt, de moyennage, ou plus généralement méthode des échelles multiples.Un exemple élémentaire mais instructif (Manneville p. 46 et suivantes) consiste à chercher la solution du problème perturbé

X (1 )X 0 ou X+X= X+ −ε = εɺɺ ɺɺ sous la forme d’un développement en série de εεεε2

0 1 2X X X X ...= + ε + ε ce qui conduit à

1X cost tsint ...

2= + ε + approximation qui tombe en défaut aux temps longs (εεεεt>1)

aussi petit que soit εεεε!On se reportera à l’ouvrage cité pour différentes techniques de correction; le problème est ici clairement dû à « l’horloge » dont la fréquence a été conservée égale à 1, au lieu de l’évident 1− ε

Stabilité du système non linéaire

Dans certains cas, l’étude du système linéarisé permet de conclure quant à la stabilité du système non linéaire

Soit xe est un point d’équilibre isolé; si les VP du système linéarisé ont leurs parties réelles strictement négatives, alors xe est asymptotiquement stable(localement)S’il existe une VP de partie réelle positive, l’équilibre est instableS’il existe des VP de partie réelle nulle, l’étude du système linéarisé ne permet pas de conclure et il faut avoir recours à des techniques spécifiques(fonctions de Liapunov par ex.)

Points fixes hyperboliques et théorème de Hartman-Grobman

Le portrait de phase local au voisinage d’un point fixe hyperbolique est « topologiquementéquivalent » (i.e. est une version distordue) au portrait de phase du flot linéarisé;(point fixe hyperbolique si )iRe( ) 0, iλ ≠ ∀Les points fixes hyperboliques illustrent le concept de stabilité structurelle : une faible perturbation du champ de vecteurs ne change pas la topologie du portrait de phase

Par contre un centre est structurellement instable : un apport infinitésimal d’amor-tissement convertit le centre en une spirale.

Cycles limites

Lorsque l’équilibre du système non linéaire est instable, on peut se demander si x s’éloigne indéfiniment de xe ou non.

Approche « géométrique » (pour R2)

Définition : un ensemble ΩΩΩΩ est dit invariant si toute orbite entrant dans ΩΩΩΩ ne peut plus en sortir

Théorème de Poincaré-Bendixon(forme faible d’application courante)Soit xe un équilibre isolé instable; xe appartenant à un ensemble invariant ΩΩΩΩ bornéAlors ΩΩΩΩ contient un cycle limite.

Ce théorème est uniquement valable sur R2, car la démonstration utilise le fait qu’un cycle divise le plan en un intérieur et un extérieur. Le théorème d’unicité ne permet pas à une trajectoire de couper le cycle et de passer d’une région à l’autre. Cette contrainte n’existe pas pour des dimensions plus élevées

Approche « algébrique », théorème de Hopf

Soit le système

( )dxf x,

dt= µ où on a fait apparaître explicitement le paramètre de contrôle µµµµ dont

l’évolution peut faire changer la nature de l’équilibre

xe(µµµµ) est un équilibre isolé; soit A(µµµµ) la Jacobienne du système linéarisé, et ses VP

( ) ( ) i ( )ιλ µ = α µ ± β µ

On suppose quexe(µµµµ) est asymptotiquement stable pour µµµµ<0; instable pour µµµµ>0 et αααα(0)=0. Si

d(0) 0 et (0) 0, alorspour assezpetit ilexisteuncyclelimitepour 0ou 0

d

αβ ≠ > µ µ > µ <µ

Si de plus xe(0) est asymptotiquement stable, alors il existe un cycle limite Γ(µ)Γ(µ)Γ(µ)Γ(µ) stable, pour µµµµ>0 assez petit et le rayon ρρρρ de ΓΓΓΓ est

ρ µ∼ cf. van der Pol!C’est cette partie du théorème qui est délicate!La stabilitéasymptotiquene peut être obtenue que par l’analyse du système non linéaire

Le théorème est donné pour R2, mais s’étend par ex. àR3, la 3èmeVP étant réelle et négative en 0

Illustration du théorème de Hopf

Stabilité des points fixes d’applications

( )n 1 nx M x+ =

Soit xe un point fixe isolé, i.e.

( )e ex M x= et l’application linéarisée autour de xe

( )n 1 nx A x+ = où A est la matrice Jacobienne évaluée en xe

La stabilité de l’application linéarisée dépend là aussi des valeurs propres de A(supposées distinctes et non nulles)

xe est asymptotiquement stablesi et seulement si le module de toutes les VP de A est strictement inférieur à 1xe est instable si une des VP est de module supérieur à 1xe est marginalement stablesi les VP sont de module inférieur ou égal à 1

Pour s’en assurer on peut considérer la diagonalisation de A

1 n n 1A S S A S S− −= Λ ⇒ = Λn 1 n n

n 1 0 1 1 1 k k kx S S x c ... c−+ = Λ = α λ + + α λ

Les ααααi étant déterminés par la condition initiale

10 1 1 k k 0 0x c ... c ; S x ou S x−= α + + α α = α =

Comme dans le cas des flots, on peut conclure quant à la stabilité de l’application non linéaire si aucune valeur propre n’est de module unité.

Comparaison des cas discret et continu

Rem :dans le cas 1D (application logistique, …), la condition de stabilité porte simplement sur la valeur absolue de la dérivéede l’application au point fixe (intersection de la courbe représentative de l’application avec la 1ère bissectrice)

Illustration d’itérations linéarisées

Illustration d’itérations linéariséesune VP égale à -1

Comportement « sous-harmonique »

Bifurcations

On considère un système dynamique fonction de paramètres de contrôle; un point de bifurcation est un point de l’espace de contrôle pour lequel le portrait de phase change de façon qualitative. Une bifurcation correspond à une perte de stabilité structurelle du système. On se limite ici à des bifurcations localesdans lesquels le portrait de phase est modifié au voisinage d’ensembles limites particuliers; par exemple la bifurcation d’un nœud vers un col quand une valeur propre réelle passe par zéro et change de signe.

Nous considérons dans la suite qu’un seul paramètre de contrôleest responsable du changement qualitatif du portrait de phase; les bifurcations correspondantes sont appelées bifurcations de co-dimension 1et peuvent se ramener àquelques archétypesrelativement simples. On peut montrer qu’une seule variable de phase est suffisante pour traiter le problème (ce qui était loin d’être évident).Grâce à un ensemble de transformations non linéaires les équations prennent localement des formes normalesclassiques. Nous décrivons dans la suite quelques unes des formes les plus fréquentes.

Point fixe 2x

0 pas de solution

0 x 0

0 x

= µµ <µ = ⇒ =

µ > ⇒ = ± µ

( )( )la branche eststable f ' 2x 2 0

la branche est instable

+ µ µ = − = − µ <

− µ

Le point de bifurcation

Bifurcation nœud-col (ou pli en théorie des catastrophes)

ou transcritique

( )( )

2x x

x 0 stable pour 0, instable pour 0 f ' 2x

x instable pour 0,stable pour 0 f ' 2x

µ == µ < µ > = µ − = µ

= µ µ < µ > = µ − = −µ

( )( )

3

2

x x

x 0 stable pour 0;instable pour 0 f ' 3x

x stable pour 0 f ' 2

µ =

= µ < µ > = µ − = µ

= ± µ µ > = − µ

3x rx x H= − +ɺ bifurcation « imparfaite »« brisure de symétrie »

(H=0.05)

La bifurcation de Hopf correspond à l’apparition d’oscillations temporelles. Pour se développer elles nécessitent un espace des phases à2 dimensions; il est commode d’introduire une variable de phase complexe z=x+iy =ρρρρeiθθθθ

( ) ( )( )

2 3

3

z i z z z i i

0 0 et pour 0

= µ + γ − ⇔ ρ + θρ = µ + γ ρ − ρ

ρ = µρ − ρ = ⇔ ρ = ρ = µ µ >

θ = γ

ɺɺɺ

ɺ

ɺ

Point fixe stable pour µµµµ<0, instable pour µµµµ>0Cycle stable pour µµµµ>0 décrit avec une vitesse de rotation constante γ γ γ γ (pulsation)

à titre d’exercice calculer la Jacobienne (utiliser la représentation cartésienne) et conclure quant à la stabilité

Rem : dans ce modèle la pulsation est indépendante de ρ; ρ; ρ; ρ; il suffit d’introduire un coefficient complexe devant le terme cubique pour inclure cette possibilité de variation.

Bifurcations sous-critiques ou inverses

Les bifurcations précédentes correspondent à des situations dites supercritiques, dans lesquelles les non linéarités ont tendance à« saturer » l’effet de l’instabilité linéaire.Rien n’empêche cependant que le terme non linéaire d’ordre le plus bas ait lui aussi un caractère déstabilisantpour la solution (il faudra cependant adjoindre un terme saturant d’ordre plus élevé pour éviter l’explosion de la solution). On parle alors de bifurcation sous-critique ou inverse.

Sauts et hystérésis

A titre d’exercice il est intéressant d’étudier le diagramme de bifurcation d’une singularité« quintique », résultant de la saturation à forte amplitude d’une bifurcation sous-critique

3 5x rx x x= + −ɺ

Le diagramme montre l’existence de branches de grande amplitude stables(trait continu) qui peuvent coexister avec un point d’équilibre stable (en x=0) pour une plage de valeurs de r s<r<0. L’existence de ces états stables différents conduit à la possibilité de sauts (quand r croît légèrement à partir de 0) et d’hystérésis. Les branches stables sont décrites différemment suivant les conditions initiales sur r comme le montre le 2èmediagramme.

Réduction à la forme normale (approche heuristique; voir Manneville)

Si on considère un milieu continu, il n’est pas évident qu’on puisse ramener son étude (au voisinage d’un point de bifurcation) à celle d’un système possédant très peu (voire un seul!) degrés de liberté.On va essayer d’en expliquer la raison de façon heuristique, un exemple étant suggéré en exercice.

Commençons par le problème linéaire, et supposons la solution représentée dans la base des modes propres

n nn

X c= α∑

les amplitudes An étant régies par n n nα = λ αɺ

Il s’agit de trouver les équations qui vont gouverner les An qui généralisent la dynamique linéaire ci-dessus. Le problème initial peut s’écrire formellement

X AX N(X)= + ɺ où N représente la partie non linéaire des interactions et est au moins

quadratique en X.

Admettons qu’une technique de projection permette d’arriver à un système dynamique gouvernant les amplitudes ααααn

n n n n,mp m pm,p

g ... (1)α = λ α + α α +∑ɺ où gn,mp désigne la contribution de l’interaction (quadratique) entre Xm et Xp à la dynamique du mode Xn.

On a donc remplacé les équations aux dérivées partiellesde départ (PDE) par un système d’ODE d’ordre infini . Pour progresser réellement il faut tronquer le système d’ODEet ceci peut se faire en définissant des modes maîtres et des modes esclaves, ces derniers étant ensuite éliminés (principe d’élimination adiabatique des modes esclaves).

Il est légitime de penser que les modes instables ou neutres de la théorie linéaire vont jouer un rôle actif, tandis que les modes stables ne feront que suivre une dynamique imposée.Considérons un système sur le point de bifurquerou venant de bifurquer. Parmi tous les modes on isole un groupe de modes dangereux(presque neutres, stables ou instables). La partie réelle σσσσ de leur taux de croissance est positive ou négative mais petite. Ces modesdits centraux (indice ‘c’, au nombre de nc) sont les modes maîtres qui pilotent la dynamique près du point de bifurcation. Au contraire les modes stables (indice ‘s’) sont supposés loin de leur point de bifurcation, ce qui se traduit par σσσσs<0 avec Il y a donc un large fossé entre modes maîtres et modes stables (cf. figure ci-dessous).

c sσ << σ

On suppose pour simplifier que le problème est de dimension finie d; il y a donc ns=d-ncmodes stables.(la procédure s’étend au cas infini, caractéristique de la stabilité des milieux continus).

On sépare explicitement dans le développement (1) les modes maîtres et les modes esclaves :

c c c c c s

s s s s c s

A N ( , ) (2)

A N ( , ) (3)

α = α + α α

α = α + α α

ɺ

ɺ

Ac (resp. As) est la restriction de l’opérateur linéarisé A àl’espace engendré par les ααααc (resp.ααααc); Nc (resp. Ns) décrit les interactions non linéaires entre modes maîtres et modes esclaves.

L’idée est de résoudre le système (3) pour les modes stables considérés comme soumis à un forçage extérieur lentement fonction du temps à travers l’amplitude des modes centraux; puis de reporter les expressions obtenues dans le système (2) pour aboutir à un système dynamique effectif ne faisant intervenir que les modes centraux.

Toujours pour simplifier l’exposition, supposons que les σσσσs sont réelles et non dégénérées et que Ns ne fait apparaître que les ααααc. Dans une base diagonalisant la partie stable du spectre, (3) s’écrit :

( )s s s s cN (t) (4)α + σ α = α ɺ

La solution de ce problème linéaire inhomogène s’écrit :

( ) ( )( ) ( )t

s s s s s c0

(t) (0)exp - t exp - t t ' N (t ') dt 'α = α σ + σ − α∫

Compte tenu de l’hypothèse de séparation spectrale des modes stables et instables, dans cette expression-le premier terme est un transitoirequi s’éteint rapidement-le noyauexponentiel de l’intégrale est « à courte portée », i.e. son action est non nulle au voisinage immédiat de t’=t; on peut l’assimiler à un Dirac en t=t’, ce qui implique une action des modes centraux limitée à t’=t.On a donc de façon approchée :

( )s c cs

1(t) N (t)α ≈ α

σ

Ces ns relations définissent dans l’espace des phases de dimension d une variété de dimension nc, paramétrée par les amplitudes des modes centraux.Par report dans l’équation d’évolution des ααααc, on arrive à :

( )( ) ( )c c c c c s c c c eff cA N ,N A N (6)α = α + α α = α + α ɺ qui définit une dynamique effective sur cette variété.

Illustration de la réduction à la variété centrale

Ces résultats peuvent être mis sous une forme rigoureuse (théorie de la réduction à la variétécentrale).D’autre part une procédure systématique de changements de variables non linéaires permet de ramener les expressions souvent compliquées issus de (6) à des formes normalestelles que celles décrites précédemment.

Stabilité des cycles limites. Théorie de FloquetUn scénario typique lors de l’évolution d’un paramètre de contrôle est le suivant :Point fixe stablecycle limite stable par une bifurcation de Hopf.La question suivante est :est-ce que ce cycle limite peut à son tour perdre sa stabilité?et si oui qu’arrive-t-il ensuite?

Considérons une solution périodique d’un flot non linéaire autonome

x(t T) x(t)+ =

Pour savoir si cette solution est stable, on s’écarte de du cycle limite et on observe comment cet écart évolue.En linéarisant autour de la trajectoire périodique on trouve qu’au bout d’une période

xδ

0 0x x x M x+ δ → + δ

M est appelée matrice de Floquet, et la stabilité dépend du module des valeurs propres de M

Remarque: dans un plan de coupe (section de Poincaré), perpendiculairement à la trajectoire, la question est équivalente à l’étude de la stabilité des points fixes d’applications du plan. Le long de la trajectoire, un écart se retrouve inchangé au bout d’une période; il s’ensuit qu’une des valeurs propres de la matrice de Floquet doit être égale à l’unité.

xδ

Lorsqu’un paramètre de contrôle varie la perte de stabilité du cycle limitese produit donc lorsque les VP de Mou multiplicateurs de Floquet(associées à la coupe) traversent le cercle unité.

Il existe 3 types génériquesde croisement du cercle unité- par +1 (nœud-col ou « fold »)- par –1 (sous-harmonique ou « flip » )- par 2 VP conjuguées (Neimark ou Hopf secondaire)iα ± β

Ces différents types de croisement conduisent - éventuellement - à des comportements différents de l’évolution ultérieure du système vers le chaos, respectivement :- intermittencede type I- cascade sous-harmonique, inter-mittence de type III- quasi-périodicité, intermittence de type II

Attracteurs (systèmes dissipatifs)

Dans les exemples précédents nous avons vu que des systèmes pouvaient présenter une stabilité asymptotique qui amenait les trajectoires à « converger » vers un point, ou vers un cycle. Il s’agit de 2 exemples d’ensembles appelés attracteurs.

Définition : un attracteur A est un ensemble fermé possédant les propriétés suivantes :- A est un ensemble invariant(toute trajectoire commençant dans A reste dans A)- A « attire » un ensemble ouvert de conditions initiales.

U∃ tel que si la distance de x(t) à A tend vers 0 quand t tend vers l’infinix(0) U∈

Le plus grand U est le bassin d’attractionde A- A est minimal (aucun sous-espace de A ne répond aux 2 premières conditions)

Quelques remarques

- il n’y a pas d’attracteurs pour les systèmes conservatifs (l’attraction impose la contraction des volumes)- la dimension de l’attracteur est inférieure à celle de l’espace des phases et le « volume »de l’attracteur est nul (cf. point fixe, cycle limite stable)-il existe des attracteurs plus compliqués associés aux systèmes chaotiques, les attracteurs étranges, dont la dimension est fractale (non entière).

Retour sur les sections de Poincaré

Quelques sections de Poincaré d’attracteurs sont décrites ci-dessous; la plus élémentaire, celle d’un cycle simple donne un point unique(il peut exister des cycles « en boucle »).

Plus intéressante est la section d’un attracteur bi-périodique (oscillateur forcé par exemple)Les trajectoires s’enroulent sur un tore(T2); les fréquences de base f1 et f2 sont associées respectivement à un mouvement de révolution le long de la plus grande dimension ou de rotation autour de « l’axe » du cylindre formant le tore.

Les points d’intersection d’une trajectoire avec un plan de coupes’inscrivent sur une courbe (pas nécessairement simple); ils apparaissent à des intervalles de temps réguliers égaux à la période du premier mouvement (T1=1/f1).

Si le rapport f1/f2 est rationnel* (=n1/n2), la section est formée d’un ensemble fini de points: après avoir effectué n1 tours et n2 rotations, la trajectoire se referme en effet sur elle-même. On a affaire à une solution périodique de période T=n1T1=n1/f1=n2T2=n2/f2 ; la section de Poincaré comporte seulement n1 points.

5/3 par ex.

Si le rapport des fréquences est irrationnel , la courbe est continue (mais pas parcourue continûment lors des intersections successives de la trajectoire avec le plan de coupe)

L’utilisation des sections de Poincaréest une méthode puissante pour justement déterminer si un rapport de fréquences est rationnel ou non.

* On parle dans ce cas d’accrochage de fréquences

Trajectoires sur un tore T2 et impossibilité du chaos

Représentation des trajectoires sur un espace des phases plan

Quels « degrés de liberté »possède-t-on pour tracer les trajectoires?

Lorsque le rapport des fréquences est rationnel

Est-il possible que les trajectoires divergent? Ce qui est une condition d’existence du chaos : des trajectoires initialement voisines doivent s’écarter sensiblement au cours du temps, c’est la SCI, Sensibilité aux Conditions Initiales

Pour le tore T2, c’est impossible!