ofdm_3

7/23/2019 ofdm_3

http://slidepdf.com/reader/full/ofdm3 1/37

Introduction à l’OFDM

Philippe Ciblat

École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France

7/23/2019 ofdm_3


Introduction Principe Modem Préfixe Performances

Système mono-porteuse

Modulation linéaire :.

Canal

Physique

e2iπf 0t

e−2iπf 0t

Bruit

sk

Organe de

décision

T sFiltre adapté

sk

Mise en forme ga(t)

k∈Z skga(t − kT s)

ra(t)

ma(t) = ℜ[xa(t)e2iπf 0t]

(suite iid)

débit 1/T s

k∈Z sk(ca ⋆ ga

ha

)(t − kT s) + ba(t)

xa(t)

ya(t)

ca(t)

.

Philippe Ciblat Introduction à l’OFDM 2 / 37

7/23/2019 ofdm_3



Interférence entre symboles (IES)

Soient

z a (t ) = h a (−t ) ⋆ y a (t ) et h a (t ) = h a (−t ) ⋆ h a (t ).

Au niveau de l’organe de décision, on a

z (n ) = z a (nT s ) =

Lh k =0

h k s n −k + b (n )

où h n = h a (nT s ) et b (n ) = b a (nT s ).

Canal c a (t ) = δ (t ) ⇒ h a (t ) différent de Nyquist


7/23/2019 ofdm_3



Egalisation

Pour combattre l’IES, étape d’égalisation nécessaire

Maximum de vraisemblance ⇒ Algorithme de Viterbi

Egaliseur à retour de décison (DFE)

Egaliseur de WienerEgaliseur de forçage à zéro

Etape soit complexe, soit aux performances mitigées

But

s’affranchir de cette étape


7/23/2019 ofdm_3



Le canal c a (t ) (1/2)

Canal multi-trajets : c a (t ) = Lc

l =1 λl δ (t − τ l ).

.

0000000011111111

Bcoh

|C (f )|

f

.

B c : bande de cohérence du canal.


é

7/23/2019 ofdm_3



Le canal c a (t ) (2/2)

Soit B la bande du signal émis :

B < B c : seulement atténuation et déphasage.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

|C (f )|

f

|X (f )|

f 0

Y (f ) ≈ C (f 0)X (f ) ⇒ ya(t) ≈ C (f 0)xa(t)

.

B > B c : IES dû au canal physique c a (t )..

0000000

0

1111111

1

|C (f )|

f

|X (f )|

Y (f ) = C (f )X (f ) ⇒ ya(t) = ca(t) ⋆ xa(t)

.

Comment se retrouver dans une configuration B < B c ?


I t d ti P i i M d P éfi P f

7/23/2019 ofdm_3



Principe du multi-porteuses

Rappel : B requise = Débit-symbole (1/T s )

Idée naïve : Diviser la suite des symboles en N sous-suites desymboles (de période T = NT s ) telles que

1T < B c .

Chaque sous-suite n étant émise sur une sous-bande différenteassociée à une sous-porteuse f n .

Intérêt : Pour chaque sous-bande, pas d’IES.



7/23/2019 ofdm_3



Schéma récapitulatif

.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

|C (f )|

f

· · · · · ·

|X 0(f )| |X n(f )| |X N −1(f )|

f n

f 1f 0 f N −1

.



7/23/2019 ofdm_3



Ecriture formelle

Soit s (n )k = s kN +n une sous-suite, le signal émis vaut

x a (t ) =

N −1n =0

k ∈Z

s (n )k g a (t − kT )e 2i πf n t .

Notations :

T s : période des symboles

N : nombre de porteusesN −1n =0 s (n )

k e 2i πf n t : symbole OFDM

T = NT s : période des symboles OFDM



7/23/2019 ofdm_3



Equation d’orthogonalité

On a

x a (t ) =k ∈Z

N −1n =0

s (n )k Φn ,k (t )

avec

Φn ,k (t ) = g a (t − kT )e

2i πf n t

.

Porteuses orthogonales ⇔ R

Φn ,k (t )Φn ′,k ′(t )dt = δ n ,n ′δ k ,k ′

{Φn ,k (t )}n ,k base orthonormale de l’espace des signaux



7/23/2019 ofdm_3



Vérification de l’orthogonalité

.

Sans chevauchement Avec chevauchement

f f

(ii)(i)

.

Cas (ii) : f n régulièrement espacé ⇒ f n = n ∆f .

g a (t ) fonction porte de support [0, T ].orthogonalité ssi ∆f = 1/T = 1/NT s

OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)

g a (t ) un racine de cosinus surélevé.orthogonalité ssi ∆f = 2/T = 2/NT s

OFDM filtrée avec modulations décalées (OQAM)



7/23/2019 ofdm_3


p

Historique

Fin-50 : Concept multi-porteuses

Fin-60 : Multiporteuses orthogonales (OFDM)

Début-70 : Utilisation de la TFD

Mi-80 : Projet européen Eurêka pour le DAB⋆ Notion d’intervalle de garde⋆ Association de l’OFDM et du codage

Début 90 : Normalisation du DAB

Fin 90 : Développement de l’ADSL, du DVB-T, du Wifi . . .



7/23/2019 ofdm_3


Applications

Sans fil :

Radio numérique (DAB)

Réseaux locaux sans fil (WLAN) : Wifi (802.11agn)

Boucle locale radio (BLR/WLL) : Wimax (802.16de)

Télévision numérique : TNT/DVBT... 3GPP/LTE

Avec fil :

ADSLVDSL

... CPL



7/23/2019 ofdm_3


Modem OFDM

Hypothèse : Cas d’école (pas de canal c a (t )).

Constellation s k quelconque.

Filtre de mise en forme : fonction porte.

Bande occupée :

B tot = NB sp

≈N

1

T

= N 1

NT s

= 1

T s

Quasiment occupation spectrale du mono-porteuse



7/23/2019 ofdm_3


Emetteur analogique

.

sk

s(0)k

s(N −1)k

xa(t)

Φ0,k(t)

ΦN −1,k(t)

S

/

P

+

.

Batterie de filtres analogiques ⇒ coûteux.

Appliquer des traitements numériques suivis d’un CNA..

skCNABoîte noire

x(k) xa(t)

.



7/23/2019 ofdm_3


Récepteur analogique

Projection sur la base des signaux :

z (n )k =< y a (t )|Φn ,k (t ) >=

R

y a (t )Φn ,k (t )dt

.

ya(t)

z (0)k

z (N −1)k

z k sk

P

S

/

< .|Φ0,k(t) >

< .|ΦN −1,k(t) >

.



7/23/2019 ofdm_3


Emetteur numérique (1/2)

On pose T e = T s = T /N .

x (m )k = x a (kT + mT s )

avec

k : numéro du bloc OFDM

m ∈ {0, · · · ,N − 1} : emplacement dans le bloc

x

(m )

k =

1

√ N

N −1

n =0 s

(n )

k e

2i πnm /N

TFD inverse



7/23/2019 ofdm_3


Emetteur numérique (2/2)

.

xa(t)CNA

x(0)k

x(N −1)k

Débit 1/T

sk

s(0)k

s(N −1)k

S

/

P

Débit 1/T s Débit 1/T

IFFT

.

Rq : x dans le domaine temporel. m indice de temps.s dans le domaine fréquentiel. n indice de fréquence.



7/23/2019 ofdm_3


Récepteur numérique (1/2)

z (n )k =

R

y a (t )Φn ,k (t )dt

=

1√ T

(k +1)T

kT y a (t )e −2i πnt /T

dt (OFDM classique)

= T s √

T

N −1m =0

y a (kT + mT s )e −2i πnmT s /T (Poisson)

=

√ T s

√ N

N −1m =0

y a (kT + mT s )e −2i πnm /N



7/23/2019 ofdm_3


Récepteur numérique (2/2)

.

FFT

z (0)k

z (N −1)k

P / S

ya(kT + (N − 1)T s)

ya(kT )

z k skya(t)

T s

.

Récepteur simple (dual de l’émetteur).



7/23/2019 ofdm_3


Insertion du canal

y a (t ) = c a (t ) ⋆ x a (t )

= k ∈Z

N −1

n =0

s (n )k Ψn ,k (t )

avec Ψn ,k (t ) = c a (t ) ⋆ Φn ,k (t ).

Constat : Ψn ,k (t ) n’est plus une base orthonormale.

Idée : Attendre que l’étalement du symbole OFDM ’k’ soit finie pourémettre le symbole OFDM ’k+1’.



I ll d d (1/2)

7/23/2019 ofdm_3


Intervalle de garde (1/2)

Le canal c a (t ) étale le signal d’un temps ∆ = LT s = LT /N .

.

0000

0000

1111

1111

00000

00000

11111

11111

∆ T

Intervalle de garde

tBloc sans interférence

.

En réception, on filtre par Φn ,k (t ).

Intervalle de garde élimine interférence inter-blocs.

Rétablissement de l’orthogonalité temporelle.



I t ll d d (2/2)

7/23/2019 ofdm_3


Intervalle de garde (2/2)

Chaque bloc OFDM contient :

x (0)k , · · · , x (L−1)k , Intervalle de garde

x (0)k , · · · , x (N −1)k sortie de TFDI

.

On reçoit :

y (N −1)k = c 0x (N −1)

k + c 1x (N −2)k + · · · + c Lx (N −L−1)

k ...

y (0)k = c 0x

(0)k + c 1x

(L−1)k + · · · + c Lx

(0)k

Y (k ) =

y (N −1)k , · · · , y

(0)k

T

= T 1X (k ) + T 2X (k )

avec T 1 et T 2 deux matrices de Toeplitz de taille N × N et N × Lrespectivement.



P éfi li t i i l t

7/23/2019 ofdm_3


Préfixe cyclique : matrice circulante

Si X (k ) = [x (N −1)k , · · · , x

(N −L)k ]T, alors

Y (k ) = CX (k )

avec C une matrice circulante.

Or

C =

F −1D

F avec F matrice de TFD et D = diag(c (1), · · · , c (e 2i π N −1

N )).

Z (k ) = F Y (k ) = D F X (k ) = DS (k ) ⇒ z (n )k = c (e 2i πn /N )s

(n )k ∀n

Absence d’interférence entre porteuses.

Passage d’une convolution à une simple multiplication.

Rétablissement de l’orthogonalité fréquentielle.



Préfi e c cliq e con ol tion circ laire

7/23/2019 ofdm_3


Préfixe cyclique : convolution circulaire

Grâce au préfixe cyclique, on reçoit :

y (N −1)k = c 0x (N −1)k + c 1x (N −2)k + · · · + c Lx (N −L−1)k ...

y (0)k = c 0x

(0)k + c 1

x (L−1)k x

(N −1)k + · · · + c L

x (0)k x

(N −L)k

y (n )k =

Lℓ=0

c ℓx (n −ℓ)k

Pr .Cyclique =⇒ y

(n )k =

Lℓ=0

c ℓx (n −ℓ mod N )k

Transformation d’une convolution en une convolution circulaire

DoncZ (k ) = F Y (k ) = D F X (k )

d’oùZ (k ) = DS (k ) =⇒ z

(n )k = c (e 2i πn /N )s

(n )k ∀n



Préfixe cyclique : récapitulatif

7/23/2019 ofdm_3


Préfixe cyclique : récapitulatif

.

Canal hAdd CPFFT−1 FFT

Convolution

Toeplitz matrix

RXTX

s y

Circular convolution / Circulant matrix

Remove CP∝ sFreq EQ.

(typ. ZF)

x z

.


7/23/2019 ofdm_3



Bilan d’efficacité spectrale (2/2)

7/23/2019 ofdm_3


Bilan d efficacité spectrale (2/2)

Si B constant, alorsaugmenter N ne fait pas augmenter le débit, car

B = N ∆f = N /T = 1/T s

mais espacement entre porteuse ( ∆f) diminue

Si ∆f constant (c.f. VDSL),

augmenter N fait augmenter le débit mais aussi B

Efficacité spectrale invariante / N (au préfixe cyclique près)



Egalisation

7/23/2019 ofdm_3


Egalisation

Il faut égaliser un filtre-cœfficientDémodulation cohérente

Filtre adapté : c ∗(e 2i πn /N )Forçage à zéro : 1/c (e 2i πn /N )Wiener : c ∗(e 2i πn /N )/(|c (e 2i πn /N )|2 + σ2

n )

Démodulation non-cohérenteModulation différentielle : absence de traitement

ConclusionEgalisation très simple



Canal inconnu à l’émetteur

7/23/2019 ofdm_3


Canal inconnu à l émetteur

Contexte radio-mobileSur chaque porteuse, on a un canal de Rayleigh

⇒ Si évanouissement fréquentiel, détection peu fiable.

Adaptation du système :CodageEntrelacement

⋆ fréquentiel⋆ temporel

On parle alors de COFDM.

En pratique, code convolutif.



Canal connu à l’émetteur

7/23/2019 ofdm_3


Canal connu à l émetteur

Contexte filaireVoie de retour nécessaire (canal lentement variable).

Maximiser le débit à probabilité d’erreur identique sur chaqueporteuse

⇒Adapter les constellations M -MAQ pour chaque

porteuse.Si RSB élevé sur la porteuse k , alors M grand.Si RSB faible sur la porteuse k , alors M petit.

P e = N min Q s 3E b log2(M )

N 0(M − 1)!

Puissance totale constante ⇒ attribution intelligente despuissances par porteuse augmente la capacité (« waterfilling »).



Facteur de crête

7/23/2019 ofdm_3


Facteur de crête

Soit x (t ) un signal, on a R = maxt |x (t )|2

E[|x (t )|2] .

Si R ր, on sort de la plage linéaire des amplificateurs.

Signal OFDM ⇒ x (m )k =

1√ N

N −1n =0

s (n )k e 2i πmn /N

⇒ R = N (Modulations MDP : R = 1).⇒ x

(m )k tend vers un signal gaussien (si N → ∞)

Rq : Seules quelques séquences de s produisent un fort R .

Solutions"Clipping" : modification intelligente de quelques porteuses

Choix pertinent du codage correcteur d’erreur



Synchronisation

7/23/2019 ofdm_3


Synchronisation

Soity a (t ) = (c a ⋆ x a )(t − τ )e 2i πδφt .

L’OFDM admet une sensiblité plus grande aux erreurs :Temps de retard (sauf si inclus dans l’intervalle de garde)Résidu de fréquence porteuse et/ou fréquence d’échantillonnage

Y = ∆C

X avec ∆ = diag(1,e 2i πδφT s ,· · ·

,e 2i πδφT s (N −1))

Exemple

Si canal plat (D = Id)

Z OFDM = F ∆F −1

S Z mono = ∆S

Pas d’IEP/ ICI en mono100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10−3

10−2

10−1

100

N

B E

R

BER avec Doppler post−compensé pour différentes vitesses v en km/h (SNR=5dB)

v=0

v=50

v=100

v=300

v=1000

⇒estimation avec quelques symboles pilotes

+porteuses pilotes.



Principe de dimensionnement

7/23/2019 ofdm_3


Principe de dimensionnement

N doit être suffisamment grand

L ≪ N ⇒ LT s ≪ NT s ⇒ T d ≪ NT s

∆f ≪ B c

N doit être suffisamment petit

(L + N )T s ≪ T c ⇒ NT s ≪ T c

B d ≪ ∆f

car aussi− Désynchronisation des VCO (qq dizaines de ppm)− Complexité de la FFT (en N log(N ))− Temps de latence



Exemple de dimensionnement : DAB

7/23/2019 ofdm_3


Exemple de dimensionnement : DAB

Radio-numérique (1990)

MDP-4 et Code convolutif de rendement 1/

2

Fréquence 900 MHz

Bande 2 MHz

Temps d’échantillonnage 0.5 µs

Longueur filtre 30 à 60 µsDegré filtre 60 à 120Préfixe cyclique 128Perte efficacité spectrale 20%Nb de porteuses 512

Durée symbole OFDM 320 µsEcart entre porteuses 3.9 kHz

Bande de cohérence 16.6 kHz

Bande Doppler (50km/h) 110 Hz

Débit : 1,6 Mb/s - Efficacité spectrale : 0,8 b/s/Hz.Philippe Ciblat Introduction à l’OFDM 35 / 37


Performances (DAB)

7/23/2019 ofdm_3


Performances (DAB)

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

100

Eb/No

T E S

MDP−4 / Canal BBGA − non codéMDP−4 / Canal BBGA − codéOFDM / Canal DAB − non codéOFDM / Canal DAB− codé



Conclusion

7/23/2019 ofdm_3


Avantages :

Bonne gestion du multi-trajetAllocation dynamique des ressources

Robuste aux brouilleurs bande étroite

Inconvénients :

Très sensible à la désynchronisationFacteur de crête

Gestion de la diversité

Bibliographie :

R. van Nee et R. Prasad, « OFDM for wireless multimedia communications », 2000.

A. Burr, « Modulation and coding for wireless communication », 2001.

A. Molisch, « Wideband wireless digital communication », 2001.


Documents

ofdm_3