Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants · 2009. 3. 11. · Opérations élémentaires sur les matricesOpérations élémentaires sur les matricesOpérations

Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les matrices Rang d’une matrice Systèmes d’équations linéaires Systèmes d’équations linéaires Déterminants

Opérations sur les matrices, groupe symétrique etdéterminants

(Taisez-vous ! Le maître parle)

Jean-Paul Vincent

Jean-Paul VincentOpérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants


1 Opérations élémentaires sur les matrices




1 Rang d’une matrice

1 Systèmes d’équations linéaires

1 Systèmes d’équations linéaires

1 DéterminantsGroupe symétriqueApplications multilinéaires alterenéesDéterminants



Opérations sur les matrices

Soit M = (aj,k) une matrice. Notons Ck la k-ième colonne.Appellons opération élémentaire sur les colonnes de M lesopérations de la forme :

addition d’une colonne à une autre, codage : Ck ← Ck + αCmoù m 6= kmultiplication d’une colonne par un scalaire α non nul,codage : Ck ← αCk

échange de deux colonnes, codage : Ck ↔ Cj





addition d’une colonne à une autre, codage : Ck ← Ck + αCmoù m 6= k

multiplication d’une colonne par un scalaire α non nul,codage : Ck ← αCk
















Encore

(a1 b1a2 b2

)→(a1 a1 + b1a2 a2 + b2

)

Addition d’une colonne à une autre



Encore

(a1 b1a2 b2

)→(a1 λb1a2 λb2

)

Multiplication d’une colonne par un scalaire



Encore

(a1 b1a2 b2

)→(b1 a1b2 a2

)

Échange de deux colonnes



Encore

(a1 b1a2 b2

)→(a1 λa1 + b1a2 λa2 + b2

)

En combinant un nombre quelconque d’opérations élémen-taires nous obtiendrons des transformations plus complexes.Par exemple, avec les deux premières opérations : additiond’un multiple d’une colonne à une autre.



Lignes et colonnes

Les opérations sur les lignes se font de la même façon que les opérationssur les colonnes.



Lignes et colonnes

Une opération élémentaire sur les colonnes d’une matrice s’effectue parmultiplication à droite par une matrice :(

a1 λa1 + b1a2 λa2 + b2

)=(a1 b1a2 b2

)(1 λ0 1

)



Lignes et colonnes

Une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice s’effectue parmultiplication à gauche par une matrice :(

a1 b1λa1 + a2 λb1 + b2

)=(1 Oλ 1

)(a1 b1a2 b2

)



Changements de bases

Il est donc clair que si M est la matrice d’un homomorphisme

u : source(e1,e2) → but(e′1,e′2)

des opérations élémentaires sur les colonnes correspondent à unchangement de base à la source

u(e1) u(e2) u(e1) u(λe1 + e2)(a1 b1a2 b2

)→

(a1 λa1 + b1a2 λa2 + b2

)



Changements de bases

Il est donc clair que si M est la matrice d’un homomorphisme

u : source(e1,e2) → but(e′1,e′2)

des opérations élémentaires sur les lignes correspondent à un chan-gement de base au but(

a1 b1a2 b2

)e ′1e ′2→

(a1 b1

λa1 + a2 λb1 + b2

)e ′1 + λe ′2

e ′2



Explication

Avec la notation :(u(e1) u(e2)

)=(e ′1 e ′2

) (a1 b1a2 b2

)nous

écrivons :(u(e1) u(e2)

)=(e ′1 e ′2

) ( 1 O−λ 1

)(1 Oλ 1

)(a1 b1a2 b2

)=(e ′1 e ′1 − λe ′2

) (a1 λa1 + b1a2 λa2 + b2

)La base du but est maintenant (e ′1, e ′1 − λe ′2).



Rang d’une matrice

DefinitionLe rang d’une matrice A est le rang de l’application linéaireassociée.

Soit u un homomorphisme de E , muni de la base (e), à valeursdans F , muni de la base (f ). Alors

rang (u) = rangM(e),(f )(u)



DécompositionL’homomorphisme u de E dans F , muni de leurs bases respectives(e) et (f ), a pour matrice Me,f . Nous savons qu’il existe des bases(e ′) de E et (f ′) de F telles que Me′,f ′ soit diagonale avec des 1sur la diagonale. Soit r le rang de u, c’est aussi le rang desmatrices Me,f et Me′,f ′ :

Me′,f ′ =(Ir 00 0

)Nous appellerons cette matrice Jr .

Soient V = Mf ′,f (idF ) et U = Me,e′(idE ), alors :

Me,f = VJrU



DécompositionL’homomorphisme u de E dans F , muni de leurs bases respectives(e) et (f ), a pour matrice Me,f . Nous savons qu’il existe des bases(e ′) de E et (f ′) de F telles que Me′,f ′ soit diagonale avec des 1sur la diagonale. Soit r le rang de u, c’est aussi le rang desmatrices Me,f et Me′,f ′ :

Me′,f ′ =(Ir 00 0

)Nous appellerons cette matrice Jr .Soient V = Mf ′,f (idF ) et U = Me,e′(idE ), alors :

Me,f = VJrU



Rang de la transposée

Puisque Me,f = VJrU, nous avons aussi tMe,f =

tUJrtV . Par

conséquent une matrice et sa transposée ont le même rang. Nousen déduisons que nous pouvons calculer le rang d’une matrice eneffectuant des opérations sur ses colonnes et ses lignes.




Puisque Me,f = VJrU, nous avons aussi tMe,f =tUJrtV . Par

conséquent une matrice et sa transposée ont le même rang.

Nousen déduisons que nous pouvons calculer le rang d’une matrice eneffectuant des opérations sur ses colonnes et ses lignes.




Puisque Me,f = VJrU, nous avons aussi tMe,f =tUJrtV . Par

conséquent une matrice et sa transposée ont le même rang. Nousen déduisons que nous pouvons calculer le rang d’une matrice eneffectuant des opérations sur ses colonnes et ses lignes.



Systèmes d’équations linéaires

Soient E et F deux K-espaces vectoriels, u une application linéairede E dans F , b un vecteur de F , l’équation :

u(x) = b

est dite équation linéaire associée à (u, b).Lorsque b = 0, on parle d’équation homogène.

L’ensemble des solutions de u(x) = 0 est le noyau de u, ilcontient au moins le vecteur nul, appelé solution triviale.Si b 6= 0 et s’il existe une solution particulière a, l’ensembledes solutions de u(x) = b est S = a + ker(u).

Nous disons que S est un espace affine de direction ker(u).



Systèmes d’équations linéaires

Soient E et F deux K-espaces vectoriels, u une application linéairede E dans F , b un vecteur de F , l’équation :

u(x) = b

est dite équation linéaire associée à (u, b).Lorsque b = 0, on parle d’équation homogène.

L’ensemble des solutions de u(x) = 0 est le noyau de u, ilcontient au moins le vecteur nul, appelé solution triviale.Si b 6= 0 et s’il existe une solution particulière a, l’ensembledes solutions de u(x) = b est S = a + ker(u).

Nous disons que S est un espace affine de direction ker(u).Jean-Paul VincentOpérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants


Équations linéaires

Cas des espaces Km : c’est le cas où l’on utilise des bases pourrésoudre un système. Soient E = Km et F = Kn munis de leursbases canoniques.Soit uj l’application qui à x associe la j-ième coordonnées de u(x).Alors :

u(x) = b ⇔

u1(x) = b1

...un(x) = bn

Si uj 6= 0, l’ensemble Sj des solutions de uj(x) = bj est unhyperplan affine, S apparaît comme étant l’intersection d’unnombre fini d’hyperplans affines.



Équations linéaires

Le rang d’un système linéaire u(x) = b est le rang de u.Le théorème du rang montre que si S = {x ∈ E/u(x) = b} n’estpas vide, le rang r du sytème u(x) = 0 et la dimension d del’espace S des solutions vérifient : r + d = dimE .

Le système u(x) = b est appelé système de Cramer si n = m = r .

Theoremu(x) = b est un système de Cramer si et seulement si u est unisomorphisme. Un système de Cramer admet une unique solution.



Permutation et groupe symétrique

DefinitionSoit n un entier supérieur à 1. Le groupe des permutations deJ1, nK est noté : Sn.

Un élément σ de Sn est noté :(1 . . . n

σ(1) . . . σ(n)

)ExampleExemple Par exemple, pour n = 3 et σ1(1) = 2, σ1(2) = 3 etσ1(3) = 1 :

σ1 =(1 2 32 3 1

)Jean-Paul VincentOpérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants


DefinitionSoient σ ∈ Sn et k ∈ J1, nK. L’orbite de k est : {σj(k)/j ≥ 0}.

Example

σ2 =(1 2 3 42 3 1 4

)L’orbite de 1 est {1, 2, 3}, qui est aussi l’orbite de 2 et 3. L’orbitede 4 est {4}.



TheoremSoit σ ∈ Sn. Deux orbites sont disjointes ou égales. k ∈ J1, nK estla réunion disjointe des orbites de σ.

DefinitionUn cycle est une permutation qui n’a qu’une seule orbite ayant 2éléments ou plus, le nombre d’éléments de cette orbite est lalongueur du cycle. Un cycle de longueur 2 est une transposition.

Un cycle de longueur m est noté(k σ(k) . . . σm−1(k)

).



ExampleExemple σ1 et σ2 sont des cycles. Le cycle (2 4) est unetransposition.

DefinitionAppelons support d’une permutation σ, l’ensemblesupp σ = {k ∈ J1, nK/σ(k) 6= k}.

ExerciceDeux permutations de supports disjoints commutent.



TheoremLe groupe Sn est engendré par les transpositions.




Preuve.Raisonnons par récurrence sur le cardinal du support. Le support d’unepermutation distincte de l’identité contient au moins deux éléments.Posons m = card(supp σ). Si m < 2, σ est l’identité qui est produit dezéro transposition. Supposons m ≥ 2. Soit i dans supp σ, ainsiσ(i) 6= i . Posons

j = σ−1(i)

Nous avons aussi σ(j) 6= j car le support est stable par σ. Lecomplémentaire du support est l’ensemble des points fixes.




Preuve.Soit τ = (i j) et σ′ = τσ. Si ` est point fixe de σ, il est différent de i etj donc : σ′(`) = `. De plus σ′(i) = i . Donc le support de σ′ eststrictement plus petit que le support de σ, d’après l’hypothèse derécurrence σ′ est un produit de transpositions, il suit que σ = τσ′ estaussi égal à un produit de transpositions, ce qui achève ladémonstration.



DefinitionLa signature d’une permutation σ est le nombre ε(σ) défini par :

ε(σ) = ∏j<k

σ(j)− σ(k)j − k

La permutation σ induit une permutation de l’ensemble descouples C = {{j , k}/(j , k) ∈ J1, nK2 ∧ (j < k)} (C = P2(J1, nK)est l’ensemble des parties à deux éléments de J1, nK), donc :ε(σ) = ±1 et, plus précisément, ε(σ) = (−1)m où m est lenombre d’inversions de σ, c’est-à-dire le nombre de couples (j , k)tels que j < k et σ(j) > σ(k).



Calcul pratique : soit σ =(1 2 3 4 5 6 7 8 96 2 5 1 9 7 3 8 4

). On

dresse un tableau où la première ligne contient 1, . . . , 9 et ladeuxième ligne contient, sous chaque j , le nombre d’entiers placésavant j et plus grands que j dans la seconde ligne de l’expressionde σ sous forme matricielle :

1 2 3 4 5 6 7 8 93 1 4 5 1 0 1 1 0

Le nombre d’inversions est la somme des nombres de la secondeligne, soit 15, donc ε(σ) = (−1)16 = 1.



TheoremLa signature ε définit un homomorphisme du groupe Sn sur legroupe multiplicatif {−1, 1}.

Preuve.Soient deux permutations σ et σ′ :

ε(σ′ ◦σ) = ∏{j,k}∈C

σ′(σ(j))− σ′(σ(k))j − k = ∏

{j,k}∈C

σ′(σ(j))− σ′(σ(k))σ(j)− σ(k) ∏

{j,k}∈C

σ(j)− σ(k)j − k

Mais σ(C ) = C donc :

∏{j,k}∈C

σ′(σ(j))− σ′(σ(k))σ(j)− σ(k)

= ∏{σ(j),σ(k)}∈σ(C)

σ′(σ(j))− σ′(σ(k))σ(j)− σ(k)



(suite).

d’où :

∏{σ(j),σ(k)}∈σ(C)

σ′(σ(j))− σ′(σ(k))σ(j)− σ(k)

= ∏{j,k}∈C

σ′(j)− σ′(k)j − k

Finalement :ε(σ′ ◦ σ) = ε(σ′)ε(σ)



DefinitionLe noyau de ε, An = {σ ∈ Sn/ε(σ) = 1} est appelé groupealterné.



Applications partielles

DefinitionSoit ϕ une application définie sur un produit de p ensembles,E1 × · · · × Ep, supposons que p − 1 constantes a2, . . . , ap aient étéaffectées à p − 1 variables x2, . . . , xp. L’application

x 7→ ϕ(x , a2, . . . , ap)

est appelée application partielle.De même, pour toute permutation des indices. Il y a p tellesapplications partielles.



Applications multilinéaires alternées

DefinitionSoient E1, . . . ,Ep, p K-espaces vectoriels, une application ϕ deE1 × · · · × Ep dans K.

1 ϕ est dite p-linéaire si ses p applications partielles sontlinéaires.On dit linéaire si p = 1, bilinéaire si p = 2 et trilinéaire sip = 3.

2 ϕ est dite alternée si :

(j 6= k) ∧ (xj = xk)⇒ ϕ(x1, . . . , xp) = 0

On parle de forme p-linéaire et de forme alternée lorsque lesvaleurs de ϕ sont scalaires.



Applications multilinéaires : exemples

ExampleSoient x , y , z dans K.

1 (x , y , z) 7→ x + y + 2z est

linéaire (ou 1-linéaire) sur R3.

2 ((x , y , z), (x ′, y ′, z ′)) 7→ zx ′ + xy ′ + 2yz ′ est bilinéaire surR3.

3 (x , y , z) 7→ 2xyz est trilinéaire sur R.





1 (x , y , z) 7→ x + y + 2z est linéaire (ou 1-linéaire) sur R3.2 ((x , y , z), (x ′, y ′, z ′)) 7→ zx ′ + xy ′ + 2yz ′ est

bilinéaire surR3.

3 (x , y , z) 7→ 2xyz est trilinéaire sur R.





1 (x , y , z) 7→ x + y + 2z est linéaire (ou 1-linéaire) sur R3.2 ((x , y , z), (x ′, y ′, z ′)) 7→ zx ′ + xy ′ + 2yz ′ est bilinéaire sur

R3.3 (x , y , z) 7→ 2xyz est

trilinéaire sur R.





1 (x , y , z) 7→ x + y + 2z est linéaire (ou 1-linéaire) sur R3.2 ((x , y , z), (x ′, y ′, z ′)) 7→ zx ′ + xy ′ + 2yz ′ est bilinéaire sur

R3.3 (x , y , z) 7→ 2xyz est trilinéaire sur R.



p-linéaire alternée sur Kp

TheoremL’ensemble des formes p-linéaires alternées sur Kp est unespace vectoriel de dimension 1.




Preuve.On vérifie facilement que l’ensemble des formes p-linéairesalternées sur Kp est un sous espace vectoriel de l’espaceF (Kp, K). Soient f une forme p-linéaire alternée sur Kp,muni de sa base canonique (e) = (e1, . . . , ep) et(x1, . . . , xp), p vecteurs de Kp :

∀k ∈ J1, pK : xk = ∑1≤j≤p

xj,kej

Alors :

f (x1, . . . , xp) = f(

∑1≤j1≤p

xj1,1ej1 , . . . , ∑1≤jn≤p

xjp ,pejp

)

(à suivre)




(suite).

d’où :

f (x1, . . . , xp) = ∑1≤j1≤p

...1≤jn≤p

xj1,1 . . . xjp ,pf (ej1 , . . . , ejp )

Toute application (1, . . . , p) 7→ (j1, . . . , jp) définit unepermutation σ d’où :

f (x1, . . . , xp) = ∑σ∈Gp

xσ(1),1 . . . xσ(p),pf (eσ(1), . . . , eσ(p))

(à suivre)




(suite).

f étant alternée : f (eσ(1), . . . , eσ(p)) = ε(σ)f (e1, . . . , ep),donc :

f (x1, . . . , xp) = ∑σ∈Gp

xσ(1),1 . . . xσ(p),pε(σ)f (e1, . . . , ep)

Donc f est colinéaire à la forme p-linéaire alternée :

(x1, . . . , xp) 7→ ∑σ∈Gp

ε(σ)xσ(1),1 . . . xσ(p),p



Déterminants

DefinitionSoit E , muni d’une base ordonnée B.

On appelle déterminant sur E , l’unique forme m-linéairealternée égale à 1 sur la base B.Le déterminant des vecteurs (x1, . . . , xm) de E dans la base Best noté :

detB(x1, . . . , xm)

ou det(x1, . . . , xm) s’il n’y a pas risque de confusion.



TheoremSoient (e) et (f ) deux bases de E. Alors pour tout m-uplet x devecteurs de E :

det(e)

(x) = det(f )

(x) det(e)

(f )

Démonstration.Par définition, il existe un scalaire λ tel que, pour tout m-uplet xde vecteurs : det(e)(x) = λ det(f )(x). On obtient la valeur de λavec x = f car alors : λ = det(e)(f ).



Déterminants et opérations élémentaires

TheoremSoit ϕ(x), le m-uplet transformé de x par opération élémentaire.

xj ← xj + xk , j 6= k : det(ϕ(x)) = det(x).τ : xj ↔ xk (transposition τ) : det(ϕ(x)) = ε(τ) det(x).xj ← αxj , α 6= 0 : det(ϕ(x)) = α det(x).

(voir le cas général d’une application linéaire plus loin)



Notations

Soient (x1, . . . , xm) tels que, dans B = (e), pour tout k :

xk = ∑1≤j≤m

xj,kej

Alors

det(x1, . . . , xm) =

∣∣∣∣∣∣∣x1,1 · · · x1,m... . . . ...

xm,1 · · · xm,m

∣∣∣∣∣∣∣Jean-Paul VincentOpérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants


Indépendance et déterminants

TheoremSoient (e) = (e1, . . . , em) une base (ordonnée) de l’espace vectoriel Eet (f ) = (f1, . . . , fm) un m-uplet de vecteurs de E. Alors (f ) est unebase de E si et seulement si det(e)(f1, . . . , fm) 6= 0.



Indépendance et déterminants

Démonstration.Si (f1, . . . , fm) est une base (f ), det(f ) est colinéaire à det(e), doncdet(f )(f1, . . . , fm), qui est égal à 1, est un multiple de det(e)(f1, . . . , fm),qui est donc non nul. Si (f1, . . . , fm) est liée, par opérationsélémentaires on peut se ramener à une famille de la forme (0, . . . , f ′m).Or det(f )(f1, . . . , fm) est nul si et seulement si det(f )(0, . . . , f ′m) est nul,donc : det

(f )(f1, . . . , fm) = 0.



Déterminants d’homomorphismes

DefinitionSoient E et F deux espaces vectoriels de même dimension m,munis respectivement des bases (e) et (f ). Posons, pour u dansL (E ,F ) :

det(e),(f )

(u) = det(f )

(u(e1), . . . , u(em))

Theoremu dans L (E ,F ) est un isomorphisme si et seulement sidet(e),(f )(u) 6= 0.



Déterminant d’une composée

TheoremConsidèrons trois espaces vectoriels E , F et G, respectivement munisdes bases (e), (f ) et (g). Soient u dans L (E ,F ) et v dans L (E ,F ) :

det(e),(g)

(v ◦ u) = det(f ),(g)

(v) det(e),(f )

(u)

CorollarySoient u et v deux endomorphismes de E, muni de la bases (e) :

det(v ◦ u) = det(v) det(v)



Déterminant d’une composée

Preuve du théorème.Soit x un m-uplet de vecteurs, par définition :

det(e),(g)

(v ◦ u)(x) = det(f ),(g)

(v) det(e),(f )

(u)(x)

d’où :det

(e),(g)(v ◦ u) det

(e)(x) = det

(f ),(g)(v) det

(e),(f )(u) det

(e)(x)



Invariance du déterminant

TheoremSoient u dans LK(E ) et (e) une base (ordonnée) de E. Le nombredet(e)

(u(e1), . . . , u(em)

)ne dépend pas de la base (e), il est noté

det(u).

Definitiondet(u) est appelé déterminant de u.

CorollaryL’endomorphisme u de E est un automorphisme si et seulement sidet(u) 6= 0.




PreuveSoient B = (e1, . . . , en) et B ′ = (e ′1, . . . , e ′n) deux bases de E . L’unicitédu déterminant relativement à une base implique l’existence d’uneconstante non nulle λ telle que, pour tous vecteurs x1, . . . , xn :

detB

(x1, . . . , xn) = λ detB′

(x1, . . . , xn)

donc λ = detB(e1, . . . , en). On obtient donc :

detB

(u(x1), . . . , u(xn)) = detB

(e1, . . . , en) detB′

(u(x1), . . . , u(xn))




(suite).

d’où :

detB

(u) detB

(x1, . . . , xn) = detB

(e1, . . . , en) detB′

(u) detB′

(x1, . . . , xn)

En remplaçant (x1, . . . , xn) par (e1, . . . , en) on trouve :

detB

(u) = detB′

(u)



Déterminants de matrices

DefinitionLe déterminant d’une matrice carrée m×m est le déterminant deses vecteurs colonnes, comme éléments de Km muni de la basecanonique.

Theorem

Soient A et B des matrices carrées m×m, on a :1 det(tA) = det(A) ;2 det(AB) = det(A) det(B).

A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.




PreuveSoit A = (aj,k)1≤j≤m

1≤k≤m, alors :

det(A) = ∑σ∈Gm

ε(σ)xσ(1),1 . . . aσ(m),m

Comme σ définit une bĳection sur l’ensemble des couples (j , k), on a :

det(A) = ∑σ∈Gm

ε(σ)xσ(1),σ(σ−1(1)) . . . aσ(m),σ(σ−1(m))

det(A) = ∑σ∈Gm

ε(σ)x1,σ−1(1) . . . am,σ−1(m)




(suite)

Enfin σ 7→ σ−1 est une permutation de Gm et ε(σ) = ε(σ−1), donc :

det(A) = ∑σ−1∈Gm

ε(σ−1)xσ(1),σ(σ−1(1)) . . . aσ(m),σ(σ−1(m))

det(A) = ∑σ∈Gm

ε(σ)x1,σ(1) . . . am,σ(m)

d’où : det(tA) = det(A).




(suite).

Considérant A et B comme les matrices d’endomorphismes u et v :det(AB) = det(u ◦ v) = det(u) det(v) = det(A) det(B).Enfin A est la matrice d’un endomorphisme si et seulement sidet(A) = det(u) 6= 0. La relation précédente montre que :det(A−1) = det(A)−1.



Comatrice

DefinitionSoit A une matrice m×m de vecteurs-colonnes (a1, . . . , am). Onconsidère l’endomorphisme κ de Km qui à tout vecteur x de Km

associe :(det(x , a2, . . . , am) det(a1, x , . . . , am) · · · det(a1, a2, . . . , x)

)La transposée de la matrice de cet endomorphisme est appeléecomatrice de A et est notée : comat(A).



Comatrices et inverses

TheoremA étant une matrice carrée : tcomat(A)A = det(A)Im.

CorollarySi A est inversible : A−1 = (det(A)−1 tcomat(A).



Comatrices et inverses

En effet, on vérifie que la matrice K de l’endomorphisme κ vérifie

KA = det(A)Im

car κ(ak) = (0, . . . , det(a1, . . . , am), . . . , 0), toutes les coordonnées sontnulles sauf la ke qui vaut det(A) ; autrement dit : la je ligne de KA =tcomat(A)ak est : 0 si j 6= k et det(A) si j = k.



Mineurs et comatriceExpression de la comatrice. Soit (e1, . . . , em) la base canonique et cal-culons le coefficient κj(ek) : κj(ek) = det(a1, . . . , ek , . . . , am). où ek està la je position :

κj(ek) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 · · · a1,j−1 0 a1,j+1 · · · a1,m...

......

......

......

ak−1,1 · · · ak−1,j−1 0 ak−1,j+1 · · · ak−1,mak,1 · · · ak,j−1 1 ak,j+1 · · · ak,mak+1,1 · · · ak+1,j−1 0 ak+1,j+1 · · · ak+1,m

......

......

......

...am,1 · · · am,j−1 0 am,j+1 · · · am,m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Jean-Paul VincentOpérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants


Mineurs et comatriceEffectuons les opérations suivantes :

Plaçons ek en première position (j − 1 inversions).Pour tout q, q 6= j : Lq ← Lq − ak,qLj . Le déterminant estinchangé.Plaçons la ke colonne en première position (k − 1 inversions).



Mineurs et comatrice

κj(ek) = (−1)j+k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 · · · 0 0 · · · 00 a1,1 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1,m...

......

......

......

0 ak−1,1 · · · ak−1,j−1 ak−1,j+1 · · · ak−1,m0 ak+1,1 · · · ak+1,j−1 ak+1,j+1 · · · ak+1,m

0...

......

......

...0 am,1 · · · am,j−1 am,j+1 · · · am,m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



Mineurs et comatriceOn appelle mineur de ak,j le déterminant obtenu en supprimant la ke

ligne et la je colonne de A, il est noté : Mk,j . Alors

κj(ek) = (−1)j+k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1,m...

......

......

...ak−1,1 · · · ak−1,j−1 ak−1,j+1 · · · ak−1,mak+1,1 · · · ak+1,j−1 ak+1,j+1 · · · ak+1,m

......

......

......

am,1 · · · am,j−1 am,j+1 · · · am,m

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)j+kMk,j



Mineurs et comatriceLe cofacteur de ak,j est : Ak,j = (−1)j+kMk,j , de sorte que la comatricede A est :

comat(A) = (Aj,k)1≤j≤m1≤k≤m

L’égalité : (tcomat(A)A)j,j = ∑1≤k≤m Aj,kaj,k = det(A) (et l’égalitéanalogue avec tA) justifie la définition suivante.

DefinitionLe développement de det(A) suivant la je ligne est :

det(A) = ∑1≤k≤m

Aj,kaj,k

(respectivement ke colonne et det(A) = ∑1≤j≤m Aj,kaj,k .Jean-Paul VincentOpérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants


Déterminants par blocks

TheoremSoient A1,A2,B1 et B2 des matrices :

det(A1 B10 A2

)= det

(A1 0B2 A2

)= det(A1) det(A2)



Formules de Cramer

Soit AX = B un système de Cramer, i.e. la matrice A est inversiblede type n× n, X est la matrice colonne de (x1, . . . , xn) et B lamatrice de (b1, . . . , bn). Alors xj est égal à la fraction dont ledénominateur est le déterminant de A et le numérateur est ledéterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans A la jecolonne par B. En effet :

AX = B tcomat(A)AX = det(A)X = tcomat(A)B

d’où :X =

1det(A)

tcomat(A)B


Documents

Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants · 2009. 3. 11. · Opérations élémentaires sur les matricesOpérations élémentaires sur les matricesOpérations