P1 - Acoustique Générale Sessions I-III 2012/2013 Bases ... · PDF fileéquations locales linéarisées de la MMC pour un fluide parfait, ou un solide élastique, au repos, homogène

P1 - Acoustique Générale

Sessions I-III

2012/2013

Bases Physiques de l'Acoustique linéaire

Maury Cédric

ECOLE CENTRALE MARSEILLE 2

Table des Matières

Bases Physiques de l’Acoustique Linéaire 1.1 Introduction

1.1.1 Faits marquants de l’acoustique………………………………………....3

1.1.2 Problèmes acoustiques…………………………………………………....4

1.2 Eléments de Mécanique des Milieux Continus 1.2.1 Les lois de conservation…………………………………………………..9

1.2.2 Les lois de comportement……………………………………………….10

1.3 Acoustique élémentaire 1.3.1 Mise en équation pour un fluide non dissipatif………………………..12

1.3.2 Solution générale des équations d’onde en milieu non borné………...16

1.3.3 Energie et intensité d’une onde sonore………………………………...21

1.3.4 Interfaces……………………………………………………...................23

1.3.5 Les sources acoustiques............................................................................26

1.4 Ondes élastiques dans les solides 1.4.1 Equation de propagation des ondes élastiques………………………...29

1.4.2 Ondes de compression - ondes de cisaillement………………………...31

1.6 Références bibliographiques Enoncés des Travaux Dirigés d'Acoustique


Chapitre 1

Bases physiques de l’acoustique linéaire

L’acoustique a pour objet l’étude de la génération et de la propagation de « petites » perturbations

mécaniques au sein d’un milieu fluide (ondes acoustiques) ou solide (ondes élastiques). De fait, les

équations qui régissent les phénomènes acoustiques sont obtenues à partir de la linéarisation des

équations de la Mécanique des Milieux Continus (MMC) autour d’un état d’équilibre.

L’objet de ce chapitre est d’établir une formulation des phénomènes de propagation et de

diffraction d’ondes acoustiques (resp. élastiques) par des obstacles (resp. inclusions). Le modèle,

constitué d’une équation d’onde munie de conditions aux frontières/interfaces, sera obtenu à partir des

équations locales linéarisées de la MMC pour un fluide parfait, ou un solide élastique, au repos,

homogène. Les phénomènes de dissipation, plus complexes, font largement appel aux équations

constitutives de la thermodynamique, et seront abordées, de manière simplifiée, aux interfaces du

domaine de propagation.

1.1 Introduction

Une des préoccupations majeures de l’ingénieur acousticien est la prédiction et le contrôle (au

sens large) d’un environnement sonore dans divers contextes, d’une part liés à l’industrie (systèmes de

transports terrestres ou aériens, bruit des machines-outils dans les usines…), mais aussi au bâtiment

(transparence acoustique de parois et isolation des locaux d’habitation ou de travail…), à

l’environnement (nuisances sonores urbaines, bruit aéroportuaire, bruit des éoliennes…), à la facture

instrumentale (acoustique des instruments, synthèse sonore…), etc…

1.1.1 Faits marquants de l’acoustique

Les origines de l’acoustique, science des sons, remontent à l’antiquité grecque, au VIème

siècle av. J.-C., lorsque Pythagore proposa des règles permettant de relier la hauteur d’un son émis par

une corde vibrante à la longueur de la corde. Le concept d’onde sonore se précise avec les travaux de

Galilée (1564-1642) et de Christiaan Huygens (1629-1695) ainsi que la notion de fréquence d’un son

(Mersenne, 1588-1648). La théorie ondulatoire du son apparaît au XVIIIème siècle dans le contexte

des formalismes mathématiques de Newton (1642-1727), d’Euler (1707-1783) et de Lagrange (1736-

1813). Il faudra attendre le XIXème siècle et les travaux de Fourier (1768-1839), d’Hermann von

Helmholtz (1821-1894) et de Lord Rayleigh (1842-1899) pour que les bases physiques du son et des


vibrations soient établies à la fois sur le plan expérimental et sur le plan mathématique. L’acoustique

connaîtra au XXème siècle et jusqu’à nos jours un extraordinaire développement tant sur le plan

expérimental (avec l’apparition de techniques liées au contrôle actif du bruit, à l’holographie champ

proche et à l’antennerie pour l’identification de sources) que sur le plan de la simulation numérique

(grâce aux méthodes d’éléments finis de volume et de frontière). Depuis les années 80, les travaux

théoriques de D. G. Crighton (DAMTP, Univ. of Cambridge) ont permis d’approfondir notre

compréhension des phénomènes fondamentaux liés au rayonnement acoustique d’une structure

vibrante dans un fluide au repos ou en mouvement.

Fig. 1 -- Hermann von Helmholtz (gauche) ; Lord Rayleigh (centre) ; David G. Crighton (droite)

1.1.2 Problèmes acoustiques

En pratique, les problèmes abordés sont souvent de nature multiphysique, impliquant une

interaction forte entre l’acoustique et :

• La dynamique des fluides (aéro-acoustique, sources de bruit lié à un écoulement propre

ou à l’interaction écoulement/paroi)

Fig. 2 – Simulation numérique pour l’identification des sources de bruit aéroacoustique autour d’un véhicule

(gauche) ; bruit de soufflante amont et aval d’un turboréacteur et masquage de ce bruit par une voilure

d’empennage (droite).


• La mécanique des solides élastiques (rayonnement acoustique des structures minces

[3A/ASE/PVA], transmission vibratoire et acoustique à travers des assemblages de

structures, amortissement des structures)

Fig. 3 – Isovaleurs de la pression acoustique rayonnée à l’intérieur et à l’extérieur d’une enceinte bass reflex

composée d’un haut-parleur et d’un évent (gauche) ; Rayonnement acoustique d’un moteur Diesel en milieu

anéchoique (droite).

• Les mécanismes de dissipation visqueuse et thermique des ondes sonores dans les

matériaux poreux et micro-perforés

Fig. 4 – Traitements acoustiques de type NIDA (résonateurs nids d’abeille) doubles couches

à l’intérieur de la manche d’air d’un turboréacteur à double flux.

• La prise en compte d'un milieu de propagation de propriétés non homogènes avec

gradient de température et de pression comme dans l’atmosphère ou en fond marin

Fig. 5 – Vue d’ensemble des phénomènes liés à la propagation d’ondes acoustiques dans l’atmosphère

(incluant le phénomène de réfraction lié au gradient de température).


Fig. 6 – Chemins aquatique de l'énergie sonore : calcul par la méthode des rayons de l'énergie sonore

émise par le SONAR d'un bâtiment de surface en Atlantique. On distingue les rayons des chenaux de

convergence et les zones d'ombre.

• Le traitement du signal (analyse spectrale de signaux acoustiques, séparation de sources,

localisation de sources par antennerie, synthèse sonore, contrôle actif du bruit…)

Fig. 7 – Identification de sources acoustiques dans le domaine des transports automobiles

(cartographie spectrale du bruit de roulement : gauche ; antenne spirale de microphones utilisée pour

la localisation temps-réel des sources de bruit : droite).


Fig. 8 – Dispositif expérimental pour le contrôle actif du champ sonore dans un volume sphérique en

chambre anéchoïque (Thèse N. Epain, Dir. E. Friot, LMA Marseille)

Fig. 9 – Performances de systèmes de contrôle actif du bruit dans les transports aéronautique et automobile :

niveaux sonores avec système on/off (dans la cabine d’un avion à hélices, d’après S. J. Elliott, ISVR – Ultra

Electronics, à gauche ; dans l’habitacle d’un véhicule, d’après T. Bravo, Instituto de Acustica – Renault Nissan).

• Les sciences humaines (critère de perception et psycho-acoustique, implants cochléaires)

Fig. 10 – Courbes d’isosonie qui rendent compte du filtrage fréquentiel lié à la perception des sons

par l’oreille humaine (gauche) ; Implant cochléaire pour stimulation directe du nerf auditif (droite)


Cependant, cette liste sur la transversalité des problèmes acoustiques est loin d’être exhaustive.

Une vue d’ensemble des grands domaines de l’acoustique est représentée ci-dessous.

Fig. 11 – Vue synoptique des champs d’activité de l’acoustique

(par Michel Bruneau et Catherine Potel, LAUM Université du Mans)


1.2 Eléments de Mécanique des Milieux Continus

On considère un milieu continu dans un domaine Ω de l'espace, i.e. dont les propriétés physiques

mesurables varient de façon continue dans Ω . Soit ( )t,Mρ et ( )t,Mv les descriptions d’Euler du

champ des masses volumiques et de la vitesse du milieu matériel. Notons que ce milieu sera, par

hypothèse, soit un milieu fluide newtonien ou un solide déformable.

Nous rappelons tout d’abord les lois de conservation de la masse et de l’impulsion, puis les lois de

comportement qui décrivent la manière dont un milieu continu se déforme lorsqu’il est soumis à un

champ de contraintes. Comme nous ne traiterons que des mouvements sans variation de température, il

n’est pas nécessaire d’introduire l’équation de conservation de l’énergie. On néglige aussi l’influence

des forces volumiques. Lorsque Ω est non borné, la conservation de l’énergie se traduit par une

condition de non-retour de l’énergie à l’infini, ou condition de Sommerfeld.

Ces lois sont définies à l'intérieur du domaine Ω ce qui se traduit par des termes source nuls au

second membre des équations de conservation. En effet, les sources rencontrées en Acoustique sont

souvent définies sur des surfaces solides que l'on supposera extérieures au domaine Ω . On montrera

en Annexe A comment introduire les sources acoustiques "au sens des distributions" dans les

équations de conservation linéarisées.

1.2.1 Les lois de conservation

On note g (resp. g ) un tenseur d’ordre 1 (resp. d’ordre 2).

• L'accroissement de masse dans le volume Ω est égal et opposé au flux de masse sortant

à travers la surface Ω∂ frontière de Ω . D'après le théorème de Green-Ostrogradsky, on

en déduit l’expression locale de la conservation de la masse dans Ω :

( ) 0div =+∂

∂vρ

ρ

t (1)

soit, en développant la divergence :

( ) 0div =+ vρρ& (2)

où g& (resp. g& ) est la dérivée particulaire de la fonction scalaire g (resp. vectorielle g ), i.e. la

dérivée par rapport au temps de g (resp. g ) lorsque l’on suit la particule dans son mouvement. Elle

est donnée par (cf II. 1. 3. 9):

vgrad ⋅+∂

∂= g

t

gg

)1(& resp. vggradg

g ⋅+∂

∂= )2(

t&

• Le principe fondamental de la dynamique (ou conservation de l’impulsion) stipule que la

variation d’impulsion vρ dans Ω pendant la durée infinitésimale td résulte :

o Du transport de quantité de mouvement vρ à travers la frontière Ω∂ de Ω :

∫ Ω∂− tnvv jji ddSρ


o Des contraintes superficielles

∫ Ω∂tn jij ddSσ

A partir du théorème de Green-Ostrogradsky pour les intégrales de frontière, on obtient l’équation

locale de conservation de l’impulsion ou équation de mouvement :

( ) ( )0=

∂

−∂+

∂

∂

j

ijjii

x

vv

t

v σρρ (3)

soit, sous forme tensorielle,

( )σdivvγ)1(== &ρρ (4)

1.2.2 Les lois de comportement

• La loi de comportement d’un solide déformable élastique

Contrairement aux fluides, les solides ont une forme propre en l’absence de sollicitations

extérieures. On peut donc définir une déformation entre l’état initial du solide et son état actuel sous

contraintes.

Dans l’hypothèse des petites déformations (classique en Acoustique), on définit le tenseur des

petites déformations d’un solide ε . Lors de la propagation d’ondes élastiques dans le solide, le

matériau reste dans sa zone d’élasticité linéaire, de sorte que le tenseur des contraintes σ et des

petites déformations ε sont reliés par la loi de Hooke :

( )εCσ :4= (5)

soit

klijklij εCσ = (6)

où ( )4C est le tenseur d’ordre 4 des constantes d’élasticité qui comporte 8134 = composantes, dont

21 composantes indépendantes (car ( )4C est symétrique).

Dans le cas d’un matériau homogène (constitué d’un seul constituant) et isotrope (les

propriétés du milieu sont les mêmes dans toutes les directions), le tenseur des constantes d’élasticité

est déterminé par 2 coefficients indépendants. Ce couple de coefficients prend plusieurs expressions :

( )µλ, les coefficients de Lamé ou ( )υ,E le module d’Young et le coefficient de Poisson du

matériau. Ils sont reliés par les relations :

( )( ) ( ),

12,

121 υµ

υυ

υλ

+=

+−=

EE (7)

et inversement :

.2

,23

µλ

λν

µλ

µλµ

+=

+

+=E (8)


Tous ces coefficients ont la dimension d’une pression, à l’exception de ν qui est

adimensionné. ν représente la faculté qu’a un corps à se contracter lors de son allongement. En

pratique, il est donc positif avec 5.00 <<ν . On privilégiera la formulation ( )υ,E dont les

coefficients sont identifiables à partir de simples essais de traction par rapport à la formulation ( )µλ, .

Dans le cas d’un solide élastique homogène et isotrope, la loi de Hooke s’écrit :

εGεσ µλ 2Tr += (9)

soit

j

i

j

illijσ εµδελ 2+= (10)

ou, en fonction de ( )υ,E ,

−+

+= Gεεσ Tr

211 υ

υ

υ

E (11)

• La loi de comportement d’un milieu fluide

Les fluides n’ont pas de formes propres et la notion de déformation n’a pas de sens. Dans ce cas, une

loi de comportement est formulée qui relie la contrainte au taux ou à la vitesse de déformation,

vgradsymε)2(dd =t , et qui s’écrit, sous l’hypothèse de déformations isentropiques (ou

adiabatiques) du milieu :

Gτσ p−= (12)

où p est la pression et τ le tenseur des contraintes visqueuses. Pour un fluide newtonien, il prend la

forme suivante :

tt d

d2

d

dTr

εGε

τ µλ += (13)

Ici, λ et µ sont des coefficients liés aux effets de viscosité.

o Dans le cas d’un fluide pour lequel les effets de la viscosité sont négligeables, le

système (12-13) se réduit à :

Gσ p−= (14)

o Dans le cas d’un fluide visqueux incompressible, la vitesse de dilatation

volumique est nulle et le tenseur des contraintes prend la forme :

Gε

devσ pt

−

=

d

d2µ (15)


où ( ) ( )Ggggdev 3Tr−= est la partie déviatorique de g .

Remarque : les lois de comportement (5) et (12) pour un solide élastique (resp. un fluide visqueux),

résultent, sous l’hypothèse de déformations isentropiques, des différentielles secondes de l’équation

d’état du milieu autour d’un point d’équilibre. En acoustique, on étudie la propagation de petites

fluctuations au sein du milieu fluide ou solide, dont l’ordre de grandeur est de (37 1010 −− − ) fois la

valeur des grandeurs statiques associées. Il est donc suffisant d’évaluer les coefficients des lois de

comportements au point statique d’équilibre du milieu.

1.3 Acoustique élémentaire

On s’intéresse ici à établir les équations qui régissent les phénomènes observés dans le domaine de

l’acoustique linéaire pour un fluide non dissipatif, supposé dans un état initial d’équilibre homogène et

au repos. La démarche, basée sur la linéarisation des équations de la MMC, révèle le caractère

ondulatoire du son.

1.3.1 Mise en équation pour un fluide non dissipatif

Nous disposons :

• D’une équation de conservation de la masse (1) :

( ) 0div =+∂

∂vρ

ρ

t (16)

• D’une équation de conservation de l’impulsion (4) :

0gradvvgradv

=+

⋅+

∂

∂p

t

)1()2(ρ (17)

où la loi de comportement (14), pour un fluide où on néglige les effets de viscosité de cisaillement, a

été substituée dans (4).

• De l’équation d’état pour un fluide homogène compressible :

( )spp ,ρ= (18)

où s est l’entropie spécifique du fluide ; ρ est la variable d’état masse volumique et p est

la pression « thermodynamique » du fluide. Elle coïncide avec la pression mécanique vu

qu’on néglige aussi l’amortissement liée à la viscosité de volume pour une propagation

acoustique sur de faibles distances.

On suppose que la perturbation acoustique induit localement une transformation

adiabatique réversible du milieu fluide, ce qui implique que l’entropie spécifique s reste

constante en tous points du milieu fluide au cours du temps (la réciproque est fausse). De fait,

on obtient à partir de (18) la relation :

( )ρpp = (19)

dont la différentielle s’écrit lors d’une transformation isentropique :


ρρχ

d1

ds

p = (20)

avec

s

1

∂

∂=

ρρχ

ps , la compressibilité isentropique du milieu fluide. Pour l’eau qui est un

milieu faiblement compressible, on a Nm105.4 210−=sχ alors que pour l’air, on a

Nm102.7 26−=sχ . On remarque que ρχ s1 a les dimensions du carré d’une vitesse

(m²/s²) et on pose

ρχρ ss

pc

12 =

∂

∂= , (21)

où c est la célérité avec laquelle se propage la perturbation dans l’hypothèse isentropique.

o Célérité du son dans un liquide non visqueux:

ρχ s

c1

= , (22)

La célérité du son dans l’eau est typiquement c = 1487 m/s. La formule (22) permet de

comprendre pourquoi la présence de micro-bulles d’air dans l’eau peut avoir un effet

dramatique sur les pales d’hélices à propulsion des navires et sous-marins. En effet, la présence

de micro-bulles d’air augmente considérablement la compressibilité du milieu diphasique air-

eau (par rapport à l’eau seule). D’après (22), ceci a pour effet d’abaisser énormément la vitesse

du son dans le mélange de sorte que les pales des hélices qui engendrent de telles bulles

deviennent localement supersoniques, ce qui crée une onde de choc provoquant l’éclatement

des micro-bulles et l’érosion de la surface du matériau constitutif des pales.

Fig. 12 – Essai d’une hélice en tunnel de cavitation. On distingue bien la sinusoïde que créent les micro-bulles d’air

dans l’eau, les phénomènes de cavitation restent ici localisés en bout de pales. Sous l’effet de l’onde de choc,

les micro-bulles d’air éclatent et creusent la matière de la pale sous forme d’impact créant des bords de fuite dentelés

ou des surfaces érodées.

o Célérité du son dans un fluide parfait. Dans le cas où le milieu de propagation est

un gaz assimilable à un fluide parfait subissant une transformation adiabatique

réversible, le modèle de Laplace conduit à la relation pression-densité :

Cte=−γρp (23)

avec VP CC=γ le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume

constants ( 4.1=γ pour un gaz diatomique). D’après (21) et (23), nous

obtenons ργ pc =2. Or on sait d’après la loi des gaz parfaits de Boyle-

Mariotte que MRTp =ρ avec R = 8.3143 J/K la constante des gaz parfaits,


T la température en degrés Kelvin et M la masse molaire du gaz. Ainsi la

vitesse du son dans un gaz parfait dépend de la température, suivant la loi :

M

RTc γ= (24)

Pour l’air, on a M = 0.029 kg/mole et 4.1=γ , soit ( ) 27305.20 +°= CTc .

A 0°C, la célérité du son est c = 331 m/s alors qu’à 27°C, on a c = 347 m/s.

Lorsqu’on réalise une campagne de mesures acoustiques, il est important de

mesurer avec précision les variations de température du milieu ambiant

pendant toute la durée de l’expérience.

Historiquement, Sir Isaac Newton supposa en 1687 une transformation isotherme, du

type Cte1 =−ρp , pour la propagation du son, ce qui conduisit à une valeur de la

vitesse du son dans l'air environ 16% inférieure à la valeur réelle qui fut mesurée pour

la première fors en 1636 par l'Abbé Marin Mersenne. Ce fût au début du 19ème siècle

en 1816 que Laplace justifia la valeur mesurée en supposant que les flux de chaleur

associés à la propagation du son dans l'air sont négligeable de sorte que la

transformation associée est adiabatique réversible et non isotherme. Il faut cependant

garder à l'esprit que l'hypothèse d'isentropie tout comme l'hypothèse d'isothermie

constituent des modèles de propagation. Une analyse rigoureuse montre que

l'hypothèse d'isentropie dans l'air est valable pour des fréquences inférieures à

Hz109, couvrant largement le domaine audible qui s'étend jusqu'à Hz10.2 4

. Au-

delà, l'hypothèse d'isothermie, associée à la prépondérance des transferts convectifs de

chaleur, prévaut mais ne correspond pas à des conditions de propagation réelles

rencontrées en pratique (même aux fréquences ultra-sonores qui restent inférieures à

Hz106).

L’intégration numérique des équations (16), (17) et (20) fournirait, pour des conditions initiales et des

conditions aux limites données, les valeurs des grandeurs ( )tp ,M , ( )t,Mρ et ( )t,Mv

pour un fluide isentropique non dissipatif. En Acoustique linéaire, on s’intéresse à la propagation de

pertubations au sein du milieu fluide. La solution va alors être calculée dans la situation d’un état

d’équilibre perturbé par de petits écarts autour de la valeur d’équilibre du milieu homogène au repos.

On pose :

+=

+=

+=

10

10

10

vvv

ρρρ

ppp

(25)

où 00 , ρp et 0v sont les grandeurs moyennes associées à la pression mécanique (par exemple

Pa105

0 =p est la pression atmosphérique de l’air), à la densité du fluide et au champ de vitesse des

particules fluides. Les quantités d’indice 1 sont les grandeurs perturbées caractérisées

par 0101 , ρρ <<<< pp et 01 vv << . Un niveau sonore très élevé de 134 dB correspond à une

surpression acoustique de 100 Pa, soit 1/1000 de la pression atmosphérique. 1p est également dénoté

pression acoustique et est communément mesurée avec un microphone (à ne pas confondre avec la

pression atmosphérique 0p qui, elle, est mesurée avec un baromètre !).

On suppose que le milieu est homogène et stationnaire, donc 0p et

0ρ sont indépendants de l’espace

et du temps. On suppose également que le milieu est initialement au repos en l’absence d’ondes


acoustiques, soit 0v =0. On reporte les développements au premier ordre (25) dans les équations de

conservation (16-17) et l’équation d’état (20). On obtient :

• A l’ordre 0, la tautologie : 0 = 0 car 0v ≡0 , 00 ≡∂

∂

t

ρ et 0grad ≡0

)1(p .

• A l’ordre 1, les équations de l’acoustique linéaire :

( )

)(

)(

)(0div

1

2

1

1

)1(10

101

ccp

bpt

at

ρ

ρ

ρρ

=

=+∂

∂

=+∂

∂

0gradv

v

(26)

où on a négligé les termes de deuxième ordre comme ( )11div vρ , t∂∂ 11 vρ et

11

)2( vvgrad ⋅ .

La pression acoustique 1p est une grandeur qui caractérise de manière usuelle un champ acoustique,

puisque la plupart des capteurs acoustiques, comme le microphone ou l’oreille humaine par exemple,

sont sensibles aux variations du champ de pression acoustique. Nous chercherons donc de prime abord

à éliminer les variables 1ρ et 1v dans (26) pour obtenir une équation en 1p . .

Tout d’abord, on substitue (c) dans (a) pour obtenir le système suivant de deux équations à deux

inconnues 1p et 1v :

)(

)(0

1

)1(10

1

)1(1

bpt

at

ps

0gradv

vgrad

=+∂

∂

=⋅+∂

∂

ρ

χ (27)

Ces équations mettent en évidence deux phénomènes essentiels sur lesquels reposent la propagation

d’une onde sonore dans un milieu fluide : ce sont d’une part la compressibilité élastique du fluide qui

permet d'équilibrer la variation temporelle de pression par une divergence et donc un flux sortant de

vitesse acoustique (Eq. 27.a), et d’autre part l’inertie du fluide qui tend à résorber, mais avec un certain

retard, la variation spatiale, i.e. le gradient de pression initiale (Eq. 27.b).

Eliminons 1v entre (27.a) et (27.b) en appliquant l’opérateur ( )t

ab

∂

∂−⋅

)(0

)1( ρgrad , ce qui

conduit à l’équation d’onde :

01

2

1

2

21 =∂

∂−∆

t

p

cp (28)

encore dénommée équation de propagation de d’Alembert. Remarquons que le champ de vitesse 1v

ainsi que la fluctuation de densité 1ρ satisfont également une équation de propagation de d’Alembert :

0v

v =∂

∂−∆

2

1

2

21

1

tc (29)

0=∂

∂−∆

2

1

2

21

1

tc

ρρ (30)


1.3.2 Solution générale de l’équation d’onde en milieu non borné (en champ libre)

On recherche les solutions de l’équation de propagation de d’Alembert en fonction de la géométrie du

problème ; par exemple, une onde sphérique pour une source ponctuelle qui rayonne dans l’espace tri-

dimensionnel, une onde cylindrique pour une source linéique axisymétrique (on se ramène à un

problème 2D), une onde plane lorsque le front d’onde est plan, etc…

A partir de (27.b), on constate qu’on peut écrire le champ des vitesses acoustiques 1v en fonction d’un

terme potentiel à rotationnel nul :

ϕ)1(

1 gradv = , (31)

en posant

tp

∂

∂−=

ϕρ01 , (32)

et

tc ∂

∂−=

ϕρρ

2

01 . (33)

Ainsi, les grandeurs acoustiques usuelles peuvent s’écrire à l’aide du seul potentiel des vitesses ϕ .

Problèmes unidimensionnels

En substituant (31) dans (29), on montre que l’équation d’onde est également satisfaite par le

potentiel des vitesses, soit (en supposant que les grandeurs ne dépendent que de x et de t ) :

01

2

2

22

2

=∂

∂−

∂

∂

tcx

ϕϕ. (34)

La solution générale de (34) est cherchée sous la forme :

( )

++

−= −+

c

xt

c

xttx ϕϕϕ , , (35)

où +ϕ et

−ϕ sont deux formes d’ondes quelconques. Les variables c

xt − et

c

xt + correspondent à

des perturbations qui se propagent respectivement dans le sens des x croissants (onde progressive) et

décroissants (onde régressive).

Démonstration : On considère le changement de variable c

xt −=ξ et

c

xt +=η . .

On note ( ) ( ) ( )ηϕξϕηξϕ −+ +=, . Après substitution dans (34), on obtient : 02

=∂∂

∂

ηξ

ϕ


Cette équation s’intègre sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ηϕξϕηηξϕηξϕηη

ϕ −++ +=+=⇒=∂

∂∫ d, FF

On retrouve la solution cherchée (35).

La pression et la vitesse acoustique, solutions de l’équation d’onde, s’écrivent à partir de (32) et (33) :

( ) ( ) ( )( )ηϕξϕρ '', 01

−+ +−=txp et ( ) ( ) ( )( ) xc

tx ev ηϕξϕ ''1

,1

−+ −−= , (36)

avec ( ) ugug dd' = . (36) peut s’écrire sous une forme similaire à (35) :

( )

++

−= −+

c

xtp

c

xtptxp ,1

et ( )

++

−= −+

c

xt

c

xttx vvv ,1

, (37)

On introduit ici la notion d’impédance acoustique comme le rapport en chaque point de l’espace de la

surpression acoustique à la vitesse acoustique normale au front d’onde (soit suivant xe dans le cas

1D) :

( )''

''0

1

1

−+

−+

−

+=

⋅=

ϕϕ

ϕϕρ c

pxZ

xev (38)

On voit immédiatement que les ondes progressives pures (avant ou arrière) ont l’impédance c0ρ± .

La quantité cZ 00 ρ= , caractéristique du milieu de propagation, est appelée l’impédance

caractéristique du milieu. Dans l’air à 273 °K et à la pression atmosphérique (510 Pascals), on a :

12

0 .skg.m424 −−=Z

Dans le cas d’une source à dépendance temporelle harmonique tωie−, de fréquence angulaire ω , la

solution progressive de l’équation d’onde (34) s’écrit, pour le potentiel des vitesses :

( ) kxtc

xt

txii

i

eee, ωω

ϕ −+

−−

++ Φ=Φ= (39)

où ck ω= est le nombre d’onde acoustique.

Ainsi, on a :

++

+ =∂

∂−= ϕωρ

ϕρ 001 i

tp et xx k

xeev +

++ =

∂

∂= ϕ

ϕi1 (40)

Problèmes tri-dimensionnels

Ondes planes. On considère des solutions du même type que celles obtenues à une dimension, i.e. des

ondes qui se propagent suivant une direction 0n (vecteur unitaire) et d’amplitude constante suivant les

directions normales à la direction de propagation. Ce sont des ondes planes puisque les fronts d’onde

(isovaleurs du champ) sont des plans. Ainsi, une onde plane progressive se propageant suivant la

direction 0n sera décrite par le potentiel :


( )

⋅−= +

ctt

OMnM 0, ϕϕ (41)

On vérifie que cette solution satisfait l’équation d’onde homogène (34). De plus, on a pour la pression

acoustique 1p et le champ des vitesses 1v :

( )

⋅−−= +

cttp

OMnM 0

01 ', ϕρ et ( )

⋅−−= +

ct

ct

OMnnMv 00

1 ', ϕ (42)

0n

M

O

xe

ye

ze

Fig. 13 – Illustration d’une onde plane se propageant dans l’espace suivant 0n .

Le front d’onde est un plan décrit par l’équation Cte0 =⋅

−c

tOMn

Ainsi

0

0

11 nv

c

p

ρ= (43)

L’équation (43) montre que la vitesse acoustique et la pression acoustique d’une onde plane sont en

phase, et que l’impédance acoustique de l’onde plane, 011 nv ⋅= pZ , est égale à l’impédance

caractéristique du milieu c0ρ . .

Une onde plane en régime harmonique à la fréquence angulaire ω s’écrit, pour le potentiel des

vitesses :

( ) OMkM ⋅−+Φ= ii ee, tt

ωϕ (44)

où ( )0nk cω= est le vecteur d’onde acoustique, dont le module correspond au nombre d’onde cω .

Ainsi, on obtient pour la solution onde plane en pression et vitesse acoustique :

=Φ=

=Φ=⋅−+

⋅−+

00

ii

1

0

ii

01

ieei

ieei

nnv OMk

OMk

ϕ

ϕωρωρω

ω

kk

pt

t

(45)


Ondes sphériques. On considère maintenant des solutions de l’équation d’onde homogène à symétrie

sphérique, ( )t,OMϕ , qui ne dépendent uniquement que de la distance OM=r à l’origine du

système de coordonnées sphériques. Ce sont des ondes sphériques solutions de l’équation :

011

2

2

2

2

2=

∂

∂−

∂

∂

∂

∂

tcrr

rr

ϕϕ. (46)

A partir du changement de fonction ( ) ( ) rtrftr ,, =ϕ , on se ramène à une équation d’onde classique

unidimensionnelle :

01

2

2

22

2

=∂

∂−

∂

∂

t

f

cx

f (47)

dont la solution générale s’écrit :

( )

++

−= −+

c

rtf

c

rtftrf , (48)

i.e. en terme du potentiel des vitesses :

( )

++

−= −+

c

rtf

rc

rtf

rtr

11,ϕ (49)

La solution (49) se décompose en une onde sphérique divergente (ou progressive suivant les r

croissants), ( )

−= ++

c

rtf

rtr

1,ϕ , et en une onde sphérique convergente (ou régressive suivant les r

décroissants), ( )

+= −−

c

rtf

rtr

1,ϕ . Dans le cas d’une propagation en milieu non borné, la

conservation de l’énergie (non-retour de l’énergie acoustique depuis l’infini) conduit à ne conserver

que la partie divergente de l’onde sphérique. Il est à noter que l’amplitude des ondes sphériques

décroît en r1 : la mesure de la décroissance de l’amplitude d’une onde acoustique émise par une

source en fonction de la distance à la source est un moyen pour évaluer l’anéchoïcité d’une salle, i.e.

l’efficacité qu’ont des traitements absorbants disposés sur les parois de la salle à reproduire des

conditions de champ libre (cf. Fig. 8 pour une chambre quasi-anéchoïque).

Pour une onde sphérique divergente émise à partir de l’origine O, la pression et la vitesse

acoustique s’écrivent :


−−

−−=

−−=

++

+

)('11

)('

021

01

bc

rtf

crc

rtf

r

ac

rtf

rp

nv

ρ

(50)

où le vecteur radial unitaire renr

=0 est normal au front d’onde sphérique. Contrairement à l’onde

plane, les équations (50-a) et (50-b) montrent que pression et vitesse acoustique d’une onde sphérique

ne sont pas en phase. Cependant, loin de la source, le premier terme de (50.b) devient négligeable par

rapport au deuxième terme et on a :

rc

rtf

crev

−−≈ +

'1

1 (51)

de sorte que

rc

pev

0

11 ρ

≈ (52)

Ainsi, en champ lointain, l’onde sphérique divergente devient localement une onde plane qui se

propage suivant le vecteur radial unitaire rer

et on retrouve loin de la source l’égalité des phases entre

pression et vitesse acoustique.

En régime harmonique, une onde sphérique divergente de fréquence angulaire ω s’écrit, pour le

potentiel des vitesses :

( ) krt

rtr

ii ee, ωϕ −+Φ

= (53)

et pour la pression et la vitesse acoustique :

−=

Φ

−=

=Φ

=

−+

−+

rr

krt

krt

rkk

rrkk

rp

eev ϕ

ϕωρωρ

ω

ω

i

11iee

i

11i

ieei

ii

1

0

ii

01

(54)

La condition champ lointain, où l’onde sphérique divergente est assimilable localement à une onde

plane, devient 1>>rk , soit une distance d’observation grande devant la longueur d’onde acoustique

πλ 2>>r où λπω 2== ck .


1.3.3 Energie et intensité d’une onde sonore Energie acoustique

L’énergie acoustique est définie comme la variation d’énergie produite par le passage d’une

perturbation acoustique au sein d’un milieu fluide parfait, homogène et au repos. La densité totale

d’énergie acoustique, wδ , obtenue comme la valeur moyenne de la perturbation de la densité

d’énergie wδ , est donnée par :

110

2

12

0 2

1

2

1vv ⋅+= ρ

ρδ p

cw (55)

Elle est constituée par la somme d’un terme d’énergie potentielle (lié aux effets de compressibilité du

milieu fluide) et d’un terme d’énergie cinétique (lié à la vitesse des particules fluides autour de leur

position d’équilibre lors du passage de la perturbation).

Démonstration : Soit ( )2vv ⋅+= mew ρ la densité d’énergie acoustique,

me l'énergie interne massique et wδ la

perturbation de la densité d’énergie développée à l’ordre 2.

Comme ( ) ( )vv ,,, ρρ wsw = (isentropie de la perturbation acoustique), alors on a :

[ ] vgradgradvvgradvgrad vvvv δδρδδρ

ρδρ

δρδρ

δ ⋅⋅+⋅

∂

∂+

∂

∂+⋅+

∂

∂= w

www

ww

)1()2(T)1(2

2

2)1(

2

1

Or i

i

vv

wρ=

∂

∂, ji

vv

w

ji

≠=∂∂

∂si0

2

et ρ=∂

∂2

2

iv

w.

Donc, pour un fluide au repos ( 0,0 =iv ), on obtient :

vv δδρρδρ

ρρ

ρδρ

ρδ ⋅+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+= T2

2

2

2

12

2

1

s

m

s

m

s

mm eee

ew

La différentielle première de l’équation d’état fournit la relation :

( ) 212

1

ρρρρ

pee

s

m

s

m

=

∂

∂−=

∂

∂−

On obtient alors : 32

2

3222

2 221

ρρρρρρρρ

pcpppe

sss

m

−=−

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

En substituant dans le développement à l’ordre 2 de la perturbation d’énergie acoustique, on a :

vv δδρρδρ

ρδρ

δ ⋅++

+= T22

2

1

2

1 cpew

m

Soit avec les notations 2

11 cp== ρρδ et 1vv =δ : :


110

2

12

0

2

1

0

00

2

11

2

1vv ⋅++

+= ρρρ

δ pcc

ppew

m

La valeur moyenne de la surpression acoustique est généralement nulle, la densité totale d’énergie acoustique s’écrit alors :

110

2

12

0 2

1

2

1vv ⋅+= ρ

ρδ p

cw

ce qui démontre l'équation (55).

Exemple important : Dans le cas de la propagation d’une onde plane ou d’une onde sphérique

divergente en champ lointain, on a montré en 1.3.2 que :

0

0

11 nv

c

p

ρ=

où 0n est le vecteur normal unitaire perpendiculaire au front d’onde. Après substitution dans (55), la

valeur moyenne dans le temps de la densité d’énergie d’une onde plane vaut :

110

2

12

0

1vv ⋅== ρ

ρδ p

cw (56)

On a équipartition de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, représentative du caractère

propagatif de l’onde sonore.

Intensité acoustique

L’intensité acoustique est une grandeur vectorielle, analogue en Electromagnétisme au vecteur de

Poynting, dont le flux à travers une surface correspond à la puissance acoustique rayonnée. Pour un

fluide parfait, l’intensité acoustique est définie par :

11 vI p= (57)

D’après (27.b), on a : t

p∂

∂−= 1

0

)1( vgrad ρ

Et d’après (26.a) et (26.c), on a : ( )t

p

ct ∂

∂−=

∂

∂−= 1

2

0

1

0

1

11div

ρ

ρ

ρv

D’où : ( )

+⋅

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂⋅−= 2

12

0

1101

12

0

11011

1

2

1

2

11div p

ctt

pp

ctp

ρρ

ρρ vv

vvv

On obtient alors une équation de conservation de l’énergie en dehors des sources :

( ) ( )wt

δ∂

∂−=Idiv (58)

qui traduit le fait que la variation temporelle de la densité d'énergie totale contenue dans un domaine

fluide est équilibrée par le flux d'énergie acoustique sortant du volume considéré et associé localement

à la divergence du vecteur intensité acoustique I .


En intégrant l'expression (58) sur un volume fermé par une surface Σ de normale unitaire n , on

remarque, d’après le théorème d’Ostrogradsky, que le flux de la composante suivant n du vecteur

intensité acoustique est égal à la variation de l’énergie acoustique totale contenue dans le volume

délimité par Σ , i.e. à la résultante de la puissance acoustique W des sources (ou des puits) à l’intérieur de Σ , soit :

SVwt

23 ddW ∫∫∫∫∫ΣΩ

⋅=∂

∂−= nIδ (59)

La présence de sources à l’extérieur de Σ a un bilan net d’énergie égal à 0. En pratique, la mesure par

balayage de l’intensité acoustique émise par une source sur une surface entourant cette source permet

d’obtenir dans le domaine fréquentiel le spectre de la puissance acoustique rayonnée par la source.

Fig. 14 - Sonde intensimétrique (détail des deux microphones placés têtes bêche, à gauche) et

positionnement de la sonde pour mesurer l’intensité acoustique transmise puis, par balayage et

intégration de (59) sur la surface de la vitre, la puissance acoustique rayonnée par une vitre

séparant deux locaux (à droite).

1.3.4 Interfaces

En pratique, les milieux continus ne sont homogènes que sur des portions limitées de l’espace, sont

souvent bornés ou contiennent des inclusions, obstacles…Il est alors nécessaire de formuler des

conditions aux interfaces. On distinguera deux types d’interfaces : l’interface entre deux milieux

propagatifs, et l’interface avec un milieu non propagatif.

La dérivation des équations locales de conservation de la masse (16) et de l’impulsion (17) à partir de

leur formulation intégrale en présence de discontinuités du milieu fait apparaître des conditions de saut

des grandeurs physiques de part et d’autre des discontinuités qui peuvent représenter des interfaces,

mais aussi des ondes de choc.

xeA

Micro

B

Micro

21

BA ppp

+≈•

xAB

x

ppev

−≈•

δωρ0

1i

1


Détail : Les formulations intégrales s'obtiennent à partir de la notion de dérivée d'une intégrale de volume où Σ désigne la

surface de discontinuité (animée d'une vitesse V et munie en tout point d'un vecteur unitaire n normal à la surface) et où

[ ]ΣΦ désigne le saut de la grandeur Φ à la traversée de Σ :

• Conservation de la masse :

( )( ) ( )[ ] Ω∀=Σ⋅−−Ω+=Ω ∫∫∫∫∫∫∫∫Σ

Σ

ΩΩ

,0dddivd 233 nVvv ρρρρ &dt

d (60)

L'annulation de l'intégrale de volume conduit à la forme locale (16) de l'équation de conservation de la masse.

L'annulation de l'intégrale de surface conduit à une première condition d'interface :

( )[ ] 0=⋅− ΣnVvρ (61)

• Conservation de la quantité de mouvement :

( ) Ω∀Ω=Ω ∫∫∫∫∫∫ΩΩ

,dd 3)1(3σdivvρ

dt

d (62)

soit

( )( ) ( )( )[ ] Ω∀=Σ⋅−−⊗−Ω− ∫∫∫∫∫Σ

Σ

Ω

,dd 23)1( 0nσVvvσdivv ρρ & (63)

L'annulation de l'intégrale de volume conduit à la forme locale (17) de l'équation de conservation de l'impulsion.

L'annulation de l'intégrale de surface conduit à une deuxième condition d'interface:

( )( )[ ] 0nσVvv =⋅−−⊗ Σρ (64)

Interface entre deux milieux propagatifs non miscibles

Il n'y a pas de transfert de matière au travers de l'interface, donc on a de manière générale

nVnv ⋅=⋅ de part et d'autre d'une interface avec glissement, et Vv = de part et d'autre d'une

interface sans glissement. Dans les deux cas, la condition d'interface (61) est satisfaite et la condition

d'interface (64) se réduit à [ ] 0nσ =⋅ Σ .

En résumé, les conditions générales de continuité à l’interface Σ entre deux milieux s'écrivent :

• Pour une interface sans glissement (par exemple, solide – solide collés, fluide visqueux –

solide, fluide visqueux – fluide visqueux) :

o continuité des vitesses normales et tangentielles : [ ] 0=Σv (65)

o continuité des composantes normales et tangentielles du vecteur contrainte

nσC ⋅= : [ ] 0T =⋅⋅ Σnσn et [ ] 0T =⋅⋅ Σnσt (66)

• Pour une interface avec glissement (par exemple, solide – solide glissants, fluide parfait –

solide, fluide parfait – fluide visqueux, fluide parfait – fluide parfait) :

o continuité des vitesses normales : [ ] 0=⋅ Σnv (67)


o continuité des composantes normales et tangentielles du vecteur contrainte :

[ ] 0T =⋅⋅ Σnσn et [ ] 0T =⋅⋅ Σnσt (68)

En Acoustique des fluides parfaits (non visqueux, donc pas de composante tangentielle), on s’intéresse

en général aux interfaces avec glissement. Après linéarisation selon (25) des conditions de continuité

(67-68), on obtient les conditions de continuité acoustique :

o Continuité des vitesses acoustiques normales : [ ] 01 =⋅Σ

nv (69)

o Continuité des contraintes acoustiques normales : [ ] 01

T =⋅⋅Σ

nσn (70)

Exemple : La condition de continuité de la composante normale du vecteur contraintes (68) à

l’interface entre un fluide parfait (non-visqueux) [noté (2)] et un solide élastique [noté (1)] s’écrit :

( ) ( ) nσn ⋅⋅=− 2

1

T1

1p (71)

Les conditions générales de continuité aux interfaces entre deux fluides parfaits s’écrivent :

• Continuité des vitesses acoustiques normales : [ ] 01 =⋅Σ

nv (72)

• Continuité des pressions acoustiques : [ ] 01 =Σ

p (73)

soit en fonction du potentiel des vitesses :

[ ] 0)1( =⋅ Σngrad ϕ et [ ] 00 =Σ

ϕρ (74)

ou de la pression acoustique :

01

1

)1(

0

=

⋅

Σ

ngrad pρ

et [ ] 01 =Σ

p (75)

Interface avec un milieu non-propagatif

Ce cas de figure est fréquemment rencontré en Acoustique des Salles (traitement absorbant des

parois), en Acoustique des Nacelles dans le domaine de l’Aéronautique (Liners des turboréacteurs),

etc…La surface du matériau absorbant (de type matériau poreux, tôle perforée, nid d’abeille…) est

souvent assimilée à une surface à réaction localisée, i.e. une surface telle que le champ acoustique en

un point donné de la surface ne dépend que des propriétés de cette surface en ce point.

Ces propriétés sont représentées par l’impédance acoustique (38) de la surface ou impédance

acoustique normale définie comme le rapport entre la pression acoustique et la vitesse acoustique

normale en un point de la surface Σ considérée :

Σ⋅

=nv1

1pZ n (76)

Cas d’une onde plane harmonique de fréquence angulaire ω . D’après l’équation de conservation de

l’impulsion (26-b) substituée dans (76), on obtient :


Σ∂

−=1

10i

p

pZ n

n

ρω où 1

)1(

1 pp gradnn ⋅=∂

soit la condition aux limites pour une interface avec un matériau à réaction localisée :

011 =+∂ΣΣ

pik

pnξ

n (77)

où 0ZZnn =ξ est l’impédance normale spécifique du matériau. Des modèles empiriques ou

théoriques qui décrivent la variation de l’impédance normale spécifique d’un matériau en fonction de

la fréquence ont été établis pour divers types de matériaux (Delany & Bazley : laine de roche, sol

herbeux… ; Maa : micro-perforés…).

1.3.5 Les sources acoustiques

Les sections (1.3.1) et (1.3.2) ont été consacrées à l'établissement de l'équation de propagation des

ondes acoustiques (28) et à la recherche de sa solution dans un volume Ω du domaine fluide supposé

ne contenir aucune source acoustique. Cependant, en l'absence de sources acoustiques, aucune onde

sonore ne serait créée ! On considèrera alors que les équations de l'acoustique linéaire (26-a) et (26-b)

sont satisfaites dans un domaine de propagation situé à l'extérieur des surfaces qui contiennent les

sources. En effet, comme nous allons le voir, la plupart des sources acoustiques sont surfaciques et

dues à l'action (cinématique ou dynamique) de corps solides sur le fluide environnant.

La surface d'un corps solide générateur de bruit (membrane d'un haut-parleur, aube de compresseur,...)

peut être paramétrée par l'équation ( ) 0, =tS M avec 0>S dans le domaine de propagation et 0<S

dans le corps solide. Les équations (26-a) et (26-b) peuvent alors s'écrire :

( ) ( )

( ) )(H

)(0divH

1

)1(10

101

bpt

S

at

S

0gradv

v

=

+

∂

∂

=

+

∂

∂

ρ

ρρ

(78)

où ( )SH est la fonction de Heaviside égale à 0 dans le corps solide ( 0<S ) et égale à 1 dans le

domaine de propagation ( 0>S ). Recherchons les équations satisfaites par les grandeurs 1H p , 1Hρ

et 1Hv définies partout. Les seconds membres de ces équations vont nécessairement faire apparaître

des termes sources liés à la discontinuité des grandeurs physiques de part et d'autre de la surface

solide. On obtient alors :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )(δHHH

)(δdivHHdivH

)1(

110

0

1

)1(101

)1(10

)1(

101

0

101

101

bSSpt

Sp

tSp

t

aSSt

S

tS

t

+

∂

∂+

+

∂

∂=+

∂

∂

⋅+

∂

∂+

+

∂

∂=+

∂

∂

=

=

gradvgradv

gradv

gradvvv

ρρρ

ρρρρ

ρρ

4444 34444 21

4444 34444 21

(78)

où on a utilisé les propriétés suivantes :


( )t

SS

t

S

St ∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂δ

HH et ( ) SSS

S

)1()1()1(δ

HH gradgradgrad =

∂

∂=

avec ( )Sδ la distribution de Dirac ( ( ) 0δ =S si 0≠S et ( ) ∞→Sδ si 0=S ) [7].

Les équations non homogènes (79-a) et (79-b) ci-dessous sont satisfaites en tout point de l'espace et

généralisent les équations (26-a) et (26-b) en faisant apparaître les termes sources définis uniquement

sur la surface du corps solide où ( ) 0δ ≠S :

( ) ( )

( ) ( ) )(δHH

)(δHdivH

1

)1(10

101

bSpt

aSqt

fgradv

v

=+∂

∂

=+∂

∂

ρ

ρρ

(79)

avec Sq)1(

10 gradv ⋅= ρ et Sp)1(

1 gradf = si la surface du corps solide est fixe ( 0=∂∂ tS ).

Clairement, q est une densité surfacique de débit massique et f est associé localement à une densité

surfacique de force. Eliminons 1v entre (79.a) et (79.b) en appliquant l’opérateur

( )t

ab

∂

∂−⋅

)()1(grad , conduisant à l’équation d’onde généralisée satisfaite en tout point de l'espace :

( ) ( )St

q

t

p

cp δdiv

H1H

2

1

2

21

+

∂

∂−=

∂

∂−∆ f (80)

Intéressons-nous aux sources acoustiques de l’équation (80). Le premier terme source

Stt

q )1(10 grad

v⋅

∂

∂−=

∂

∂− ρ est lié aux fluctuations non-stationnaires de vitesse de la surface d'un

corps solide (vibrations en piston d'une membrane de haut-parleur bafflé, jet d'air intermittent d'une

sirène). C'est le caractère non-stationnaire des fluctuations de vitesse (et donc de débit masse) générées

par de telles sources dans le milieu fluide qui crée d'après (79-a) une divergence du flux de vitesse

acoustique. Grâce à la compressibilité du milieu fluide, cette divergence est équilibrée par une

variation temporelle de la pression, d'où la génération d'une onde acoustique de compression qui se

propage de proche en proche dans le milieu fluide. Ces sources volumétriques (ou cinématiques) sont

dites de type monopolaires car elles peuvent être modélisées par le rayonnement omnidirectionnel de

sphères pulsantes de débit masse donné.


Fig. 15 - Rayonnement acoustique d'un haut-parleur bafflé en basse fréquence (gauche)

et rayonnement acoustique d'un monopôle (droite).

Le deuxième terme source ( )Sp)1(

1div grad résulte des variations spatiales des efforts exercés par le

corps solide sur le milieu fluide environnant. D'après (79-b), cette non-uniformité des pressions à la

surface du corps solide va être résorbée, mais avec un certain retard lié à l'inertie du fluide, ce qui va

conduire à la propagation d'une onde sonore dans le milieu fluide. On trouve dans cette catégorie les

sources dynamiques de type dipolaires qui peuvent être modélisées par le rayonnement directif ("en

8") de deux monopoles en opposition de phase, moins efficace que les sources monopolaires. La

plupart des sources surfaciques aéroacoustiques liées à la non-uniformité des efforts aérodynamiques

exercés par un corps rigide en mouvement sur le milieu fluide environnant (bruit de charge des pâles

de ventilateurs, bruit de soufflante des ailettes de compresseurs d’un turboréacteur) sont des sources de

bruit de nature dipolaires. Citons également le bruit émis par l'oscillation (et les fluctuations de

pression générées) de part et d'autre d'une lame de carillon, ou d'une branche d'un diapason. Comme

un diapason possède deux branches, son rayonnement lorsqu'il répond sur sa fréquence de résonance à

440 Hz (note A) est modélisable par deux dipôles alignés dans le plan des branches (quadripôle

longitudinal). Lorsqu'on le fait pivoter, on perçoit clairement deux maxima de niveaux de pression

dans l'axe du diapason et deux zones de silence dans le plan perpendiculaire aux branches, comme

illustré par la simulation de la figure ci-dessous.

Fig. 16 - Accordeur diapason (gauche) et son rayonnement acoustique "en 8" à 440 Hz (droite).


1.4 Ondes élastiques dans les solides

On étudie la propagation isentropique d’ondes dans un solide homogène élastique isotrope non

dissipatif. Dans un milieu fluide, seule une onde acoustique longitudinale de compression se propage,

liée aux mouvement des particules fluides suivant la direction de propagation. Dans un solide

élastique, comme nous allons le montrer, une onde transversale de cisaillement se propage en plus et

indépendamment de l’onde de compression. Le mouvement des particules associé à cette onde

s’effectue alors dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation. Le couplage entre ces

deux types d’ondes s’effectue au niveau des sources ou des interfaces.

1.4.1 Equation de propagation des ondes élastiques

On linéarise à l’ordre 1 les équations de conservation de la masse (1) et de l’impulsion (4) données

par :

( ) 0div =+∂

∂vρ

ρ

t

( ) 0σdivvvgradv

=−

⋅+

∂

∂ )1()2(

tρ

On obtient après linéarisation :

( ) 0div 101 =+

∂

∂vρ

ρ

t (81)

( ) 0σdivv

=−∂

∂1

)1(10

tρ (82)

La loi de comportement (9) dans un solide élastique homogène isotrope s’écrit :

111 2Tr εGεσ µλ += (83)

Si on choisit comme variable le déplacement 1u d’un point du solide élastique par rapport à sa

position d’équilibre lors du passage de l’onde, alors on a :

• pour le champ de vitesse : t∂

∂= 1

1

uv

• pour le tenseur des déformations : ( )1

T)2(

1

)2(

12

1ugradugradε +=

qui est une approximation à l’ordre 1 du tenseur de Green-Lagrange.

• pour la trace du tenseur des déformations :

( ) ll

l

l

x

uε=

∂

∂==⋅= 11

)1(

1 divTr uugradε


On omet dans la suite l’indice « 1 » pour alléger les écritures. Les composantes du vecteur divergence

dans (82) s’écrivent :

( )[ ]j

ij

ix∂

∂=

σσdiv )1(

soit, en fonction du tenseur des déformations :

j

ij

i

ll

j

ij

j

ijll

j

ij

xxxxx ∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ εµ

ελ

εµ

δελ

σ22

Or,

∂

∂+

∂

∂=

i

j

j

iij

x

u

x

u

2

1ε

D’où :

( )2

222

2

22

j

i

ji

j

ji

j

j

i

li

l

j

ij

x

u

xx

u

xx

u

x

u

xx

u

x ∂

∂+

∂∂

∂+=

∂∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂=

∂

∂µµλµλ

σ

c’est-à-dire sous forme vectorielle :

( ) ( ) ( )[ ] uugradσdiv ∆++= µµλ div)1()1(

On obtient l’équation linéarisée de propagation des ondes élastiques dans un milieu solide :

( ) ( )[ ] 0uugradu

=∆−+−∂

∂µµλρ div)1(

2

2

0t

(84)

Exemple : Cherchons une solution de l’équation homogène sous forme d’onde plane progressive se propageant dans la

direction des x croissants dans un repère cartésien. Les composantes du vecteur déplacement, solutions de (84) ne

dépendent pas de y et de z . L’équation de propagation (84) se réduit à :

suivant x : ( )

( )( ) 2

2

2

2

0121

1

x

uE

t

u xx

∂

∂

+−

−=

∂

∂

υυ

υρ

suivant y : ( ) 2

2

2

2

012 x

uE

t

u yy

∂

∂

+=

∂

∂

υρ

suivant z : ( ) 2

2

2

2

012 x

uE

t

u zz

∂

∂

+=

∂

∂

υρ

On remarque que chacune des équations est une équation de propagation du type (28) faisant intervenir deux vitesses de

propagation, l’une pour la composante longitudinale du déplacement, xu , et l’autre pour les composantes transversales yu

et zu . On va démontrer dans le cas général que toute onde de déformation se propageant dans un solide peut être

décomposée en une onde longitudinale et une onde transversale.


alelongitudin

ncompressio de Onde xe

u

Lu

Tu

xe

liquide)ou (gaz fluideun dans sacoustique ondesd'n Propagatio solideun dans élastiques ondesd'n Propagatio

ondel' de passage

au lié molécules

desMouvement

letransversa

ntcisailleme de Onde

Fig. 16 - Propagation d'ondes acoustiques dans un fluide (gauche)

et d'ondes élastiques dans un solide (droite).

1.4.2 Ondes de compression et ondes de cisaillement

Sans restrictions, on peut décomposer le champ de déplacement en un terme potentiel dont le

rotationnel est nul et un terme rotationnel dont la divergence est nulle.

Posons : TL uuu += avec ϕ)1(gradu =L et ψrotu )1(=T ,

de sorte que 0urot =L

)1( et ( ) 0div =Tu .

ϕ et ψ sont les potentiels scalaires et vecteurs du champ de déplacement.

Reportons cette décomposition dans l’équation homogène de propagation (84) :

( ) ( )[ ]

( ) 0ψrotgrad

ψrotgradgradψ

rotgrad

=+∆−

++−

∂

∂+

∂

∂

)1()1(

)1()1()1(

2

2)1(

2

2)1(

0 div

ϕµ

ϕµλϕ

ρtt

A partir des propriétés de commutativité des opérateurs ∆ – grad et ∆ – rot et sachant que

( ))1(div grad=∆ et ( ) 0div )1( =rot , on en déduit :

( ) ( ) 0ψrotψ

rotgradgrad =

∆−∂

∂+

∆+−∂

∂ )1(

2

2)1(

0

)1(

2

2)1(

0 2 µρϕµλϕ

ρtt

ou encore :

( ) 0ψψ

rotgrad =

∆−∂

∂+

∆+−∂

∂µρϕµλ

ϕρ

2

2

0

)1(

2

2

0

)1(2

tt

Il est nécessaire et suffisant que les champs scalaires et vectoriels soient nuls pour que cette équation

soit satisfaite.


On obtient donc :

( )

=∆−∂

∂

=∆+−∂

∂

0ψψ

µρ

ϕµλϕ

ρ

2

2

0

2

2

0 02

t

t (85)

Ces deux équations découplées sont des équations d’onde de la forme :

=∂

∂−∆

=∂

∂−∆

0ψ

ψ2

2

2

2

2

2

1

01

tc

tc

T

L

ϕϕ

(86)

qui régissent la propagation de deux types d’onde dans le solide :

• Une onde longitudinale, ϕ)1(gradu =L , qui oscille le long de la direction de propagation et

qui se propage avec une célérité :

( )( )( )υυρ

υ

ρ

µλ

211

12

00 −+

−=

+=

EcL (87)

• Une onde transversale, ψrotu )1(=T , à divergence nulle (donc associée à aucun effet de

compression-dilatation, contrairement aux ondes longitudinales), qui oscille dans une direction

perpendiculaire à Lu et qui se propage avec une célérité :

( )υρρ

µ

+==

12 00

EcT (88)

On remarque que les ondes longitudinales sont toujours plus rapides que les ondes transversales. En

effet, on a :

( )( ) µ

λ

υ

υ+=

−

−= 2

21

12

T

L

c

c

de sorte que : TL cc 2≥ puisque les coefficients de Lamé sont toujours positifs.

Par exemple, pour l’aluminium, on a 1m.s6361 −=Lc et

1m.s3132 −=Tc . Le rapport entre les deux

vitesses est donc égal à : 03.2=TL cc .


Pour le verre, on a 1m.s5800 −=Lc et

1m.s3400 −=Tc . Le rapport entre les deux vitesses est donc

égal à : 71.1=TL cc .

En sismique, les ondes de compression dans le sol sont également appelées ondes primaires (ondes-P)

du fait qu’elles précèdent toujours les ondes transversales de cisaillement, également appelées ondes

secondaires (ondes S).

Fig. 17 - Variations du rapport TL cc en fonction du coefficient de Poisson du solide.

La courbe de la Fig. 17 permet de confirmer le fait que TL cc 2≥ . De plus, la célérité des ondes

transverses tend vers zéro lorsque le coefficient de Poisson tend vers 0.5. Dans ce type de matériau

(PVC), les ondes transverses sont très lentes et surtout plus atténuées que les ondes de

compression de sorte qu'on observe essentiellement la propagation d’ondes longitudinales.

Remarquons que le système d’équations d’onde (86) est également satisfait par les composantes

longitudinales et transversales du champ de déplacement, représentées Fig. 18 :

=∂

∂−∆

=∂

∂−∆

0u

u

uu

2

2

2

2

2

2

1

01

tc

tc

T

T

T

L

L

L

(89)


Fig. 18 - Ondes de volume Primaires et Secondaires qui se propagent dans un milieu solide.

1.5 Références bibliographiques [1] Filippi P., Habault D., Lefebvre J.-P. and Bergassoli A. (1999) Acoustics: Basic Physics, Theory

and Methods, Academic Press.

[2] Pierce A. D. (1994) Acoustics : An Introduction to its Physical Principles and its Applications,

American Institute of Physics.

[3] Bies D. A. & Hansen C. H. (1996) Engineering Noise Control : Theory and Practice, Spon

Press.

[4] Fahy F. (2001) Foundations of Engineering Acoustics, Academic Press.

[5] TUTORIAL EN ACOUSTIQUE (C. Maury et al.)

http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/StartCD.htm


Travaux Dirigés

de P1 - Acoustique


13 LE RESONATEUR DE HELMHOLTZ Ce type de résonateur, représenté figure 1, est constitué d’un tube de section S , de longueur L , fermé

en 0=x et Lx = . La paroi supérieure en Lx = est percée en son centre d’un petit trou de section s

auquel on raccorde un col de longueur l . Ses dimensions sont supposées très petites par rapport à la

longueur d’onde acoustique.

Figure 1 – Schéma d’un résonateur de Helmholtz.

On suppose que le tube et le col sont parcourus par des ondes planes harmoniques progressives

(suivant les x-croissants) et régressives (suivant les x-décroissants). Pour chaque élément (tube ou col),

la pression acoustique est donc de la forme :

( ) ( ) tkxkxBAtxp

ω-iii eee; −+=

1. Donner les expressions de la pression et de la vitesse acoustique pour chaque élément du

résonateur, faisant apparaître 4 amplitudes inconnues.

2. Ecrire les conditions aux limites :

• Tube rigide fermé en 0=x ;

• Continuité des pressions et du débit acoustique (flux du vecteur vitesse

acoustique) en Lx = ;

• Tube ouvert en lLx += ;

3. En déduire l’équation satisfaite par le nombre d’onde acoustique pour lequel le système

homogène obtenu en 2 admet une solution non triviale. Les nombres d’ondes associés

conduisent aux fréquences propres du résonateur de Helmholtz.

4. En déduire la première fréquence propre du résonateur (dite fréquence de Helmholtz du

résonateur) dans l’approximation λ<<lL, .

5. Retrouver la fréquence de Helmholtz 0f par une analogie masse – ressort : l’air dans le

col est supposé incompressible (masse) alors que l’air dans le tube est supposé

compressible (ressort).

x

s

S

L

l

O


6. Montrer à l’aide du graphe de la figure 3 que les fréquences propres d’ordre supérieur

tendent rapidement vers les fréquences de résonance (fréquences de cavité) du tube fermé

à ses deux extrémités.

Figure 2 – Résolution graphique de l’équation aux fréquences propres d’un résonateur de Helmholtz

( cLx ω= , 1.0=== SsLlε )

(trait plein : tube fermé ; pointillés : résonateur de Helmholtz)

7. Calculer et comparer à 27°C la fréquence de Helmholtz et les fréquences de cavité d’une

bouteille de volume V = 750 cm3, de hauteur L = 20 cm, de section carrée de 6.12 cm de

coté, et dont le goulot a une longueur de 5.5 cm et un rayon de 1 cm.

Suivant les dimensions et les caractéristiques du col et de la cavité, le rôle du résonateur peut être très différent :

amplification ou atténuation du son aux fréquences propres du résonateur. En tant qu’amplificateur, un exemple simple est la

résonance du son créé (typiquement vers 150 Hz) lorsqu’on souffle dans le haut d’une bouteille vide. Citons également les

cavités sphériques résonantes de Helmholtz présentées figure 4 (premier analyseur de spectre des sons, créé en 1850 par

Helmholtz). Elles permettent une analyse fréquentielle des sons : on place successivement dans l’oreille les divers résonateurs

(via l’appendice creux) et on repère ceux qui donnent une sensation de renforcement considérable du son complexe émis par

une source externe lorsque l’une des fréquences émises

coïncide avec la première fréquence propre du résonateur.

En tant qu’atténuateur, le résonateur de Helmholtz est

utilisé sous la forme de silencieux dans les lignes

d’échappement d’automobile ainsi qu’en cellules

d’absorption intégrées dans des parpaings creux à fentes qui

composent les parois d’une salle.

Figure 3 – Cavités sphériques résonantes de Helmholtz

0f cav.,1f cav.,2f .cav,3f cav.,4f


14 INSTRUMENTS A VENTS – PROPAGATION

ACOUSTIQUE DANS LES TUYAUX SONORES Les gammes de fréquence émises par les instruments à vent (à biseau ou à anche) sont liées aux états

de résonance du volume d’air contenu dans le conduit de l’instrument. Les fréquences auxquelles

apparaissent ces résonances (ou fréquences propres du tuyau sonore) dépendent de la longueur efficace

du tuyau et du nombre de trous que l’on peut ouvrir ou boucher. Nous allons étudier les modes

acoustiques d’un conduit en fonction de sa forme et de l’état ouvert ou fermé de ses extrémités.

On considère une onde plane harmonique qui se propage dans un tube de longueur finie L . On

observe la propagation unidimensionnelle d’ondes sonores progressives et régressives (liées à

l’excitation et aux réflexions aux extrémités) dont la superposition donne lieu à régime d’ondes

stationnaires décrit par :

( ) ( ) tkxptxp

ωϕ i

0 esin; −−=

où ϕ est un terme de phase dont le choix est lié à celui d’une origine pour la propagation.

1. En déduire les expressions de la vitesse et de l’impédance acoustique pour un tuyau.

2. Tout instrument à vent impliquant des tuyaux sonores nécessite une ouverture à

l’extrémité Lx = où la pression totale est égale à la pression atmosphérique. Calculer

dans ce cas le terme de phase et donner les expressions correspondantes pour la pression,

la vitesse et l’impédance acoustique.

3. Calculer les fréquences propres (ou harmoniques) d’un tuyau sonore ouvert à ses deux

extrémités 0=x et Lx = . Les flûtes traversières et les flûtes à bec sont des instruments de ce type.

4. Calculer les harmoniques d’un tuyau sonore fermé en 0=x et ouvert en Lx = . La

clarinette est un instrument de ce type. Elle a la faculté (tout comme le didgeridoo) de basculer directement de

la fréquence fondamentale vers une fréquence triple du fondamental : c’est ce qu’on appelle le quintoiement.

On considère un tube conique fermé à son sommet et ouvert à sa base, représentatif d’instruments de

type hautbois et saxophones. On observe la propagation d’ondes sphériques unidimensionnelles de la

forme :

( ) ( ) t

kx

kxptxp

ωϕ i

0 esin

; −−=

Figure 1 – Tuyau sonore conique.

5. Calculer les expressions de la vitesse et de l’impédance acoustique pour ce tuyau.

6. On suppose le cône ouvert en Lx = dans sa partie évasée et fermé au sommet ( 01 =Z

en 0=x ). En déduire les harmoniques du tuyau conique. Comparer aux harmoniques de la

flûte et de la clarinette.

0=x Lx = x

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P1 - Acoustique Générale Sessions I-III 2012/2013 Bases ... · PDF fileéquations locales linéarisées de la MMC pour un fluide parfait, ou un solide élastique, au repos, homogène