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-I- Cinématique -1- Introduction En cinématique, on étudie le mouvement des systèmes matériels. On assimilera les systèmes de petites dimensions à un point. Pour étudier le mouvement d'un objet (le système), on définit : - le référentiel d'étude auquel on associe une horloge pour le repérage du temps. Un référentiel d'étude est composé d'un solide par rapport auquel on étudie le mouvement du système matériel. Un repère est lié au référentiel. - sa trajectoire qui correspond à l'ensemble de ses positions successives au cours du temps. - son vecteur vitesse en chaque instant - son vecteur accélération en chaque instant

-2-Vecteur position

On repère la position d’un point M dans le repère (O, , , ) à l’aide du vecteur position

tel que

€

OM→

= x i + y j + z k , où x,y,z sont les coordonnées du vecteur position (ou

du point M).

-3-Vecteur vitesse -a- vitesse moyenne d'un point

La valeur de la vitesse moyenne du point sur la proportion de la trajectoire A1A2 est :

€

v12 =A1A2t2 − t1

-b- vecteur vitesse d'un point

Soit un mobile de centre de gravité G se déplaçant de M1 vers M2. A la date t1, la position de G est le point M1. A la date t2, la position de G est le point M2. A la date t3, la position de G est le point M3.

P5: cinématique et dynamique newtonienne

x y z

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A la date t2, le vecteur vitesse moyenne du centre de gravité G est :

Donc en un point M de la trajectoire , le vecteur vitesse moyenne se calcule par la formule:

, où Δt est un petit intervalle de temps.

Afin de calculer le vecteur vitesse instantanée, faisons tendre Δt vers 0 :

Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse du centre d’inertie G d’un solide à un instant

donné t est la dérivée par rapport au temps du vecteur position à cet instant :

€

v G =dOM

→

dt

€

v G =dOM

→

dt

dxdt

= x•

dydt

= y•

dzdt

= z•

-c- caractéristiques du vecteur vitesse

A la date t, le vecteur vitesse a pour : Point d’application: position du point à la date t Direction : la tangente à la trajectoire à cette date Sens : celui du déplacement sur la trajectoire. Valeur : la valeur de la vitesse instantanée à cette date

-4- Vecteur accélération A la date t2, le vecteur accélération moyenne d'un point M est le rapport de la variation du vecteur vitesse et de la durée:

€

a G (t2) = v G (t3) −

v G (t1)t3 − t1

=Δ v GΔt

Afin de calculer le vecteur accélération instantanée, faisons tendre Δt vers 0 :

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Le vecteur accélération du centre d’inertie G d’un solide à un instant donné t est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse à cet instant :

L’accélération s’exprime en m.s-2. Si la trajectoire est curviligne l’accélération n’est pas tangente à la trajectoire, son orientation est dirigée vers l’intérieur de la trajectoire. Exemples Si , le mouvement est accéléré Si , le mouvement est

décéléré ( ou ralenti )

-5- Vecteur quantité de mouvement Le vecteur quantité de mouvement

€

p d'un point matériel est égal au produit de sa masse m par son vecteur vitesse:

€

p = m v . Le vecteur quantité de mouvement dépend du référentiel. Il est colinéaire et de même sens que le vecteur vitesse. Unité légale : m en kg, v en m.s-1, p en kg.m.s-1. Les caractéristiques du vecteur quantité de mouvement du point M sont : point d'application : le point M direction : celle du vecteur vitesse sens : celui du vecteur vitesse(ou celui du mouvement) valeur : p=mv

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-II- Mouvements rectilignes et circulaires -1- Un point particulier Il existe un point qui a un mouvement plus simple que les autres :c’est le centre d'inertie.

-2-Mouvement rectiligne

Au cours d'un mouvement rectiligne, la trajectoire d'un point M est une droite

-a- Mouvement rectiligne uniforme

Dans un référentiel donné, le mouvement d'un point M est rectiligne uniforme si et seulement si à tout instant son vecteur vitesse est constant

€

v = cst→

:

Le vecteur accélération instantanée est alors nul quelque soit t car :

€

a = d v dt

=dcst

→

dt= 0

-b- Mouvement rectiligne uniformément accéléré (varié)

Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est rectiligne uniformément accéléré si et seulement si en chaque instant son vecteur accélération est constant et que sa trajectoire est une droite.

-c-Mouvement rectiligne quelconque Dans un référentiel donné le mouvement d'un point M est rectiligne uniformément accéléré si en chaque instant son vecteur accélération et sont vecteur vitesse sont quelconques et que sa trajectoire est une droite.

-3-Mouvement circulaire

-a-Repère de Frenet Dans le cas des mouvements circulaires on utilisera le repère de Frénet pour exprimer les vecteurs vitesse et accélération. Ce repère est constitué d'un point M où se trouve le mobile à l'instant t et de deux vecteurs orthonormés

€

u N (normale à la trajectoire) et

€

u T (tangent à la trajectoire). expression du vecteur vitesse dans le repère de Frenet:

expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet:

où est appelé accélération tangentielle et est l’accélération normale, R représente le rayon de courbure de la trajectoire.

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-b- Mouvement circulaire uniforme

Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, v=cste,

€

dvdt

= 0 et donc

€

a = vR N ,

l’accélération est normale. Le vecteur accélération est centripète (dirigé selon le rayon ). -III- Les 3 lois de Newton -1- Référentiel galiléen Les 3 lois de Newton ne sont vérifiées que dans un référentiel galiléen. Exemples de référentiel Galiléen: - référentiel terrestre, lié à la surface de la Terre, (table, quai d'un train etc.) utilisé pour étudier les mouvements des solides au voisinage proche de la Terre - référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, utilisé pour étudier les mouvements des satellites de la Terre ainsi que celui de la Lune. - référentiel héliocentrique, lié au centre de la Terre, pour étudier les mouvements des planètes autour du soleil.

-2- 1ère loi de Newton ou principe d'inertie Lorsqu'un système matériel est pseudo isolé (soumis à des forces qui se compensent) ou isolé (soumis à aucune force) par rapport à un référentiel galiléen alors soit : - il est au repos - le mouvement de son centre d'inertie est rectiligne uniforme. Son vecteur vitesse est alors constant. La réciproque est vraie.

-3- 2ème loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique (PFD) Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquée à un système matériel est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement:

€

F ext =

d p dt

=d(m v )

dt∑

Cas d'un système de masse constante

€

F ext =

d p dt

=d(m v )

dt∑ = m d v dt

= m a

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2ème loi de Newton dans le cas d'un système matériel de masse constante. Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l’accélération de son centre d’inertie G :

€

F ext =∑ m ×

a G

-4- 3ème loi de Newton : principe des actions réciproques Lorsqu’un système {A} exerce une force sur un système {B}, le système {B} exerce

au même instant une force sur {A}

Ces deux forces ont même droite d’action et vérifient la relation :

€

F A→B = −

F B→A