polynomes_4

Chapitre 19POLYNMES

Enonc des exercices

1 Les basiques

Exercice 19.1 Montrer quen

k=0

(n

k

)3k (1X)3n2kXk = (1X3)n

Exercice 19.2 Deux polynmes U et V vrifient U (x) sinx + V (x) cosx = 0 pour tout x > 0. Montrez que U et Vsont tous deux gaux au polynme nul.

Exercice 19.3 Dterminer le degr de (X2 + 1)n 2X2n + (X2 1)n.

Exercice 19.4 (Archimde 1998). On considre lapplication de R [X] dans lui mme dfinie par

(P ) = (2X 1)P (X2 +

1

2

)P

o P dsigne le polynme driv. Dterminer le degr de (P ) en fonction du degr de P . Rsoudre (P ) = 1.

Exercice 19.5 Soit Pn(X) = (1 +X)(1 +X2)(1 +X4)...(1 +X2n

). Calculer les coefficients de Pn.

Exercice 19.6 Pour n = 0, factoriser le polynme

Pn = 1X + X(X 1)2!

...+ (1)nX(X 1)...(X n+ 1)n!

Exercice 19.7 Dterminer a et b pour que X2 aX + 1 divise X4 X + b.

Exercice 19.8 Dterminer p et q dans R pour que P = X3 + pX + q soit divisible par Q = X2 + 3X 1.

Exercice 19.9 Montrer que X2 X + 1 divise P = (X 1)n+2 +X2n+1

Exercice 19.10 Calculer, pour n 2 les restes des divisions euclidiennes de P = (X 3)2n + (X 2)n 2 para) (X 3)(X 2) b) (X 2)2(on pourra, pour b driver lexpression obtenue en crivant une division euclidienne)

Exercice 19.11 Donner une CNS (Condition ncessaire et suffisante) pour que X2+1 divise X4+X3+X2+X+2dans C [X] .

Exercice 19.12 Soit t R, n N, et Pn (X) = (sin (t)X + cos (t))n.Dterminer le reste de la division euclidienne de P par

(X2 + 1

).

1. LES BASIQUES CHAPITRE 19. POLYNMES

Exercice 19.13 Dterminer a et b dans C tels que A = X2 +X + 1 divise B = X4 + aX2 + bX + a2 + 1.

Exercice 19.14 Soit n N, montrer que le polynme Pn = 1+X+ X2

2+X3

3!+ + X

n

n!na pas de racine multiple.

Exercice 19.15 Dterminer > 0 pour que P = X3 3X + ait une racine double. Quelle est alors lautre racine ?

Exercice 19.16 Dterminer tous les polynmes P de R [X], non nuls, tels que(X2 + 1

)P 6P = 0 et P (1) = 2

Exercice 19.17 Rsoudre lquation suivante dans C [X] : X (X + 1)P + (X + 2)P P = 1

Exercice 19.18 Rsoudre lquation suivante dans C [X] : P (2X) = P (X)P (X)

Exercice 19.19 Rsoudre le systme :

x+ y + z = 2xyz = 12

1

x+

1

y+

1

z=

1

2

Exercice 19.20 Soit P = X4+12X5, factoriser P sur R et sur C, sachant quil admet deux racines dont le produitvaut 1.

Exercice 19.21 Olympiade mathmatiques du Canada 1996Si ,, sont les racines de P (X) = X3 X 1, calculer

1 +

1 +1 +

1 +1 +

1

Exercice 19.22 Factoriser le polynme P =(X2 + 1

)2+(X2 X 1)2

Exercice 19.23 Trouver trois rels x, y et z tels que

x+ y + z =1

x+

1

y+

1

z= 5

et x2 + y2 + z2 = 15

Exercice 19.24 Soit P le polynme coefficients rels dfini par P =(X2 1)23X (X2 + 1). Montrer que j = e 2i3

est racine de P .En dduire la factorisation de P dans R [X] en produits dirrductibles et les racines relles de P .

Exercice 19.25 Dterminer pour que le polynme X4 2X3 + X2 + 2X 1 ait une racine dordre 3 au moins.

Exercice 19.26 Soit P = X3 +X + 1, on note , et ses racines complexes.

1. Calculer

+ +

2 + 2 + 2

2. En utilisant P () + P () + P () que lon exprimera de deux manires diffrentes, en dduire la valeur de3 + 3 + 3.

3. Exprimer le reste de la division euclidienne de X4 par P . En dduire la valeur de 4 + 4 + 4.

Exercice 19.27 Soient , , les racines de lquation X3 5X2 + 6X 1. Dterminer la valeur exacte de

A =1

1 +1

1 +1

1

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CHAPITRE 19. POLYNMES 2. LES TECHNIQUES

Exercice 19.28 Factoriser sur R le polynme P = X6 +X3 + 1.

Exercice 19.29 Rsoudre (X + 4)P (X) = XP (X + 1) . Gnraliser (X + n)P (X) = XP (X + 1) o n N

Exercice 19.30 Soit P (X) = X4+aX3+bX2+cX+d, o a, b, c et d sont des rels. On sait que P (2i) = P (2 + i) = 0,que vaut a+ b+ c+ d ?

Exercice 19.31 Dterminer a pour que P (X) = X4 + aX + a et Q (X) = X3 + aX + a aient une racine commune,prciser cette racine.

Exercice 19.32 Soient P et Q dans K [X] tels que P Q = Q P , montrer que si lquation P (P (x)) = Q (Q (x))admet une solution, il en est de mme de lquation P (x) = Q (x).

Exercice 19.33 Soit P = aXn+1+bXn+1 C [X] , dterminer une CNS sur (a, b) pour que P ait une racine double.

Exercice 19.34 Un exercice sur la divisibilit.

1. Dterminer deux suites (an)nN et (bn)nN telle que An = anXn+1 + bnXn + 1 soit divisible par B = (X 1)2.

On choisira ainsi pour la suite de lexercice (an)nN et (bn)nN .

2. Dterminer le quotient de la division euclidienne de An par B pour n 1

3. En dduire une expression simple den

k=1

kxk si x = 1 est un complexe.

Exercice 19.35 Soient A,B,C et D quatre polynmes coefficients rels, on dfinit alors

P (x) =

x1

A (t)C (t) dt, Q (x) =

x1

A (t)D (t) dt, R (x) =

x1

B (t)C (t) dt et S (x) =

x1

B (t)D (t) dt

Montrer que (X 1)4 divise P (X)S (X)Q (X)R (X).

Exercice 19.36 Montrer que P = X3 + pX + q admet une racine double si et seulement si 4p3 + 27q2 = 0.

2 Les techniques

Exercice 19.37 Soit P un polynme tel que les restes de la division euclidienne de P par (X 1) , (X 2) et (X 3)soient 3, 7 et 13 respectivement. Dterminer le reste de la division euclidienne de P par (X 1) (X 2) (X 3) .

Exercice 19.38 Soit R et pour n N, Pn = cos ((n 1) )Xn+1 cos (n)Xn cos ()X +1. Montrer que P1divise Pn et expliciter le quotient.

Exercice 19.39 Rsoudre lquation (X 1)P +XP = 1 + X3

2.

Exercice 19.40 Rsoudre lquation 4P = (X 1)P + P .

Exercice 19.41 Dterminer les polynmes P tels que P divise P.

Exercice 19.42 Soit Pn = (1 + iX)n (1 iX)n pour n 1. Factoriser le polynme Pn et en dduire la valeur de

pk=0

tan2(

k

2p+ 1

)et de

p1k=0

tan2(k

2p

).

En dduire la valeur de tan2( 14

)+ tan2

(3

14

)+ tan2

(5

14

).

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2. LES TECHNIQUES CHAPITRE 19. POLYNMES

Exercice 19.43 Factoriser sur C le polynme P = (X + 1)n e2ina o a R , en dduiren1k=0

sin

(a+

k

n

)

Que vautn1k=0

sin

(k

n

)? Dterminer, par passage la limite, le produit

n1k=1

sin

(k

n

).

Exercice 19.44 Soit P C [X] , on suppose que x R, P (x) R. Montrer que les coefficients de P sont tous rels.

Exercice 19.45 Soit P un polynme tel que P (X) = P (1X) , montrer que P peut scrire comme un polynmeen X (1X).

Exercice 19.46 Soit P un polynme de degr 3 ayant au moins deux racines distinctes et , montrer que P (+

2

)=

0 (Alors que daprs le thorme de Rolle, il existe c ], [ tel que P (c) = 0, cela prouve que c nest jamais le milieudu segment).

Exercice 19.47 Soit P (X) un polynme de degr 3 coefficients rels ayant trois racines relles , et . Montrer

que la tangente en+

2au graphe de P en Ox coupe laxe en la troisime racine . On pourra utiliser lexercie

19.46.Plus technique : Que dire si P a une seule racine ?. En dduire la proprit suivante pour les polynmes de degr 3 :Soit P de degr 3, si (u, v) R2, on dfinit A et B de coordonnes (u, P (u)) et (v, P (v)) dans le repre canoniquede R2. Montrer que la corde (AB) et la tangente au graphe de P au point dabscisse

u+ v

2se coupent en un point du

graphe de P .

Exercice 19.48 Soit P de degr 4 tel que ses racines forment une suite arithmtique, montrez que les racines de P

forment aussi une suite arithmtique.

Exercice 19.49 Soit P (X) = X3 aX2 + bX c, dterminer une CNS pour que ses racines dans C soient enprogression arithmtique.

Exercice 19.50 Dterminer tous les polynmes P tels que

P(X2)

= X2(X2 + 1

)P (X)

P (2) = 12

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Exercice 19.51 Soit P = 2X3 6X2+7X + o C. Dterminer pour que 2 des racines soient inverses lunede lautre. Quelles sont alors les racines de P ?

Exercice 19.52 Soit P = X3 + aX2 + bX + c, on note , , ses racines. Dterminer le polynme Q unitaire ayantpour racines 2, 2, 2. Montrer que P (X) divise Q

(X2). Retrouver alors Q (X).

Exercice 19.53 Le but de cet exercice est de prsenter sur les poynmes de degr 4 la mthode Laguerre pour lalocalisation des racines.On considre donc un polynme unitaire P = X4+ aX3+ bX2+ cX + d dont on suppose quil admet 4 racines rellesnotes , , et .

1. Justifier quea2 2b 2 = 2 + 2 + 2

2. Soit u =

et v = 11

1

, justifier que(u v )2 u 2 v 2

en dduire que(a+ )2 3 (a2 2b 2)

3. Conclure que les racines de P sont dans lintervalle

I =

[a9a2 24b

4,a+9a2 24b

4

]

En particulier le rel 9a2 24b est positif ou nul.

Exercice 19.54 (Olympiade de Norvge 2007) Dterminerm > 0 tel que le polynme P (X) = X4(3m+ 2)X2+m2 ait quatre racines en progression arithmtique.

Exercice 19.55 Soit P = X3 +X + 1 et Q le polynme de degr 3 tel que Q (0) = 1 et dont les racines sont lescubes des racines de P. Calculer Q (1) .

Exercice 19.56 Soit le polynme P (X) = X3 4X2 + 6X 4.1. Dterminer les racines de P sachant que le produit de deux dentre elles est gal la troisime.

2. Rsoudre le systme (x 1) + (y 1) + (z 1) = 1

x (x 1) + y (y 1) + z (z 1) = 0x2 (x 1) + y2 (y 1) + z2 (z 1) = 0

Exercice 19.57 Soient a et b deux complexes, pour n 2, on considre le polynme P (X) = Xn + aX b.Montrer que P admet une racine double si et seulement si

(an

)n+

(b

n 1)n1

= 0.

Quelle condition retrouve-t-on si n = 2 ? Quelle condition retrouve-t-on si n = 3 et si P (X) = X3 + pX + q ?

Exercice 19.58 Soit P R [X] tel que P (0) = 0 et P (X2 + 1) = P (X)2+1. On dfinit la suite (un)nN par u0 = 0et un+1 = u

2n + 1. Montrer que n N, P (un) = un. En dduire P .

Exercice 19.59 (Mines-Ponts PSI 2008) Trouver une CNS sur (p, q) C2 pour que les trois racines a, b et c dupolynmes X3 + pX + q vrifient a2 + b2 = 1 + c2.

Exercice 19.60 (Mines-Ponts PSI 2008) Soit P = X3 + aX2 + bX + c C [X] , trouver une CNS sur (a, b, c)pour que le carr de lune des racines soit gal au produit des deux autres.

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3. LES EXOTIQUES CHAPITRE 19. POLYNMES

Exercice 19.61 Soit P un polynme coefficients complexes, P (x) = anxn+ +a0, montrer quil existe un complexe

z0 tel que |z0| 1 et |P (z)| = |a0|+ |an|.Indication : Rendre unitaire P (x) en crivant

P (x)

an= xn+bn1x

n1+ +b0 et considrer Q (x) = P (x)an

b0 b0|b0|si a0 = 0, que dire du produit des racines de Q?

Exercice 19.62 (Centrale 2008) 1. Soit P (X) R [X], P (X) = X. Montrer que P (X)X divise PP (X)X(Le polynme P P (X) est par dfinition le polynme P (P (X))).

2. Trouver une racine de lquation(z2 3z 5)2 3z2 + 8z + 10 = 0.

Exercice 19.63 On considre lapplication T dfinie sur R [X] par

T (P ) = 3XP +X2P X3P

1. Montrer que T L (R [X]).2. Dterminer le degr de T (P ) en fonction de P.

3. Lendomorphisme T est-il injectif ? surjectif ?

3 Les exotiques

Exercice 19.64 Soit P R [X] unitaire. Montrer que P est scind dans R [X] si, et seulement si :

z C, |P (z)| |Im (z)|degP

Exercice 19.65 Soit P C [X] non nul vrifiant P (X2) = P (X)P (X 1)1. Montrer que P na pas de racine relle.

2. Dterminer tous les polynmes P C [X] , tels que P (X2) = P (X)P (X 1)Exercice 19.66 Soient (a, b) R2 et P = X4 4X3 4X2 + aX + b. Dterminer la valeur maximale de a + bsachant que P a deux racines relles positives x1 et x2 telles que x1 + x2 = 2x1x2 (on pourra utiliser une calculatriceou Maple).

Exercice 19.67 Soit a un rel positif et P = X3 aX2 + aX a, on note , et les racines de P , dterminer lavaleur minimale de 3 + 3 + 3 3. Que vaut alors P ?

Exercice 19.68 Soit A ={a R, P (X) = (1 + 2i)X3 + 2 (3 i)X2 + (5 4i)X + 2a2 a au moins une racine relle},

calculer S =aS

a2.

4 Les olympiques

Exercice 19.69 Dterminer n 2 pour que P = (X 1)n (Xn 1) ait une racine multiple dans C.

Exercice 19.70 (Olympiades Bulgares dhiver 1995 )Soit m un rel tel que les racines, x1 et x2 du polynme P = x2 + (m 4)x+m2 3m+ 3 soient relles.Dterminer m pour que x21 + x

22 = 6.

Exercice 19.71 (Olympiades des USA 1975 ) Soit P un polynme de degr n tel que k {0, ..., n} P (k) = kk + 1

.

Dterminer P (n+ 1)

Exercice 19.72 ( Concours Roumain (1998) quivalent au concours gnral en France)Les coefficients m, p et q sont rels. Pouvez-vous montrer que le polynme suivant : x4 +mx3 + (m2 + 1)x2 + px+ qne peut pas avoir quatre racines relles ?

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CHAPITRE 19. POLYNMES 5. LE GRENIER

Exercice 19.73 Soient P et Q deux polynmes coefficients entiers. On suppose quil existe un entier a vrifiantP (a) = P (a+ 1999) = 0, et que Q (1998) = 2000. Montrer que lquation Q(P (x)) = 1 na pas de solution dans Z.

Exercice 19.74 Soit P (X) = X3 X2 4X 1 et a, b deux racines de P. Montrer que ou bien 1 + a+ ab = 0, oubien 1 + b+ ab = 0.

Exercice 19.75 (A faire avec Maple) Soit P de degr n + 3 tel que ses racines forment une suite arithmtique,montrez quil en est de mme de la drive nime P (n) (on pourra utiliser lexercice 19.48 et faire quelques essaisavec Maple ou une calculateur formel).

Exercice 19.76 Trouver a R pour que le polynme P = (1 a)x3 + (2 + a)x2 + (a 1)x + 7 a admette uneracine complexe de module 1. Trouver les autres racines.

Exercice 19.77 Soient a1, a2, a3, b1, b2, b3 six rels deux deux distincts. On considre le tableau (la matrice) sui-vant(e) a1 + b1 a1 + b2 a1 + b3a2 + b1 a2 + b2 a2 + b3

a3 + b1 a3 + b2 a3 + b3

On suppose que le produit des lments de chaque colonne est gal 2003. Que dire du produit des lments de chaqueligne ?Par exemple voici un tel tableau o lon a remplac 2003 par 24 :

a1 = 1, a2 = 6, a3 = 1, b1 = 2, b2 = 5, b3 = 3 3 4 28 1 31 6 4

Exercice 19.78 Dterminer les polynmes P tels que

P (cos t) + P (sin t) = 1

Exercice 19.79 Soit P de degr n tel que pour i {1, , n+ 1} on ait P (i) = 1i. Dterminer P (0).

Exercice 19.80 Dterminer les polynmes de C [X] tels que P(X2 X + 1) = P (X)P (X + 1) .

5 Le grenier

Exercice 19.81 Factoriser P = 36X3 12X2 5X +1 sachant que lune des racines est la somme des deux autres.

Exercice 19.82 Soit P (X) = Xn1, factoriser P (X) . En calculant P (1) dduire la valeur du produitn

k=1

sin

(k

n

)(on pourra passer au module).Soit A0A1 An1 un polygne rgulier inscrit dans le cercle unit, que vaut A0A1A0A2 A0An1 le produitdes distances dun sommet au n 1 autres ?

Exercice 19.83 Dterminer les polynmes P non nuls et non constants tels que P (nx) = P (x)P (x)P (3) (x) P (n) (x).

Exercice 19.84 (Olympiades dEspagne 2000) Soit P = X4+aX3+ bX2+ cX+1 et Q = X4+ cX3+ bX2+aX+1avec a = c. Dterminer une CNS pour que P et Q aient deux racines communes. Dterminer alors toutes les racinesde P et de Q.Indic : P Q = .

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5. LE GRENIER CHAPITRE 19. POLYNMES

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Chapitre 8POLYNMES

Solution des exercices

1 Les basiques

Exercice 8.1 On crit que

nk=0

(n

k

)3k (1X)3n2kXk =

nk=0

(n

k

)3k[(1X)2

]nk(1X)nXk

= (1X)nn

k=0

(n

k

)(3X)k

[(1X)2

]nkAvec la formule du binme, cela donne

(1X)n((1X)2 + 3X

)= (1X)n (1 +X +X2)n=

[(1X) (1 +X +X2)]n

=(1X3)n

Exercice 8.2 On a alors pour tout n N, U (n) sin (n) + V (n) cos (n) = (1)n V (n) = 0, donc le polynmeV admet une infinit de racines (les n pour n N), on en dduit quil est nul. De mme avec x = 2 + n, onU(2 + n

)= 0, ainsi U est galement nul car il admet une infinit de racines.

Exercice 8.3 Par le binme,

(X2 + 1)n 2X2n + (X2 1)n = X2n + nX2(n1) + n(n 1)2

X2(n2) +

2X2n +X2n nX2(n1) + n(n 1)2

X2(n2) + = n(n 1)X2(n2) +

est de degr 2(n 2) si n 2, si n = 1 ou n = 0 cest facile.

si n = 1 ,(X2 + 1) 2X2 + (X2 1) = 0si n = 1 on obtient encore le polynme nul

Exercice 8.4 On note, si P = 0, n le degr de P, alors P = anXn +Q o an = 0 et degQ < n. On calcule


(P ) = (2X 1)P (X2 +

1

2

)P

= (2X 1) (anXn +Q)(X2 +

1

2

)(nanX

n1 +Q)

= (2 n) anXn+1 anXn nan2Xn1 + (2X 1)Q

(X2 +

1

2

)Q

deg

CHAPITRE 8. POLYNMES 1. LES BASIQUES

Exercice 8.7 On effectue la division euclidienne :

X4 X + b = (X2 + aX + a2 1) (X2 aX + 1)+ (a3 2a 1)X + (1 + b a2)ainsi

X2 aX + 1 | X4 X + a{

a3 2a 1 = 01 + b a2 = 0

{a {1, 12 + 125, 12 125}

b = a2 1

Exercice 8.8 On fait la division euclidienne de X3+pX+q par X2+3X1, on obtient, aprs calculs, X3+pX+q =(X 3) (X2 + 3X 1)+(10 + p)X+q3. Le polynme Q divise P si et seulement si le reste R = (10 + p)X+q3est le polynme nul. La seule solution est p = 10 et q = 3.

Exercice 8.9 Les racines de X2 X + 1 sont j et j2 = (j) o j = e 2i3 . On calcule P (j) = (j 1)n+2 +(j)2n+1. Puisque 1 + j + j2 = 0, on a P (j) = j2n+4 j2n+1 = 0 car j3 = 1. On en dduit que j est racine de P,puisque P est coefficients rels, j2 est aussi racine de P . Ainsi (X (j)) (X (j2)) = X2 X + 1 divise P.Exercice 8.10 a) On crit la division euclidienne de P par A = (X 3)(X 2), on a P (X) = (X 3)(X 2)Q (X) + X + car degA = 2. Avec X = 3 on a 3+ = P (3) = 1 et avec X = 2 on a 2+ = P (2) = 1.On en dduit que = 0 et = 1, le reste cherch est constant gal 1.b) On a lgalit P (X) = (X 2)2Q (X) + X + qui donne avec X = 2, 2 + = P (2) = 1. On drive lgalitprcdente pour obtenir P (X) = 2 (X 2)Q (X)+ (X 2)2Q (X)+ , ce qui donne avec X = 2, P (2) = 2n = .Le reste cherch est 2nX + 4n 1.

Exercice 8.11 Notons P = X4 +X3 + X2 + X + 2.On peut faire une division euclidienne, mais il y a une autre mthode.X2 + 1 divise X4 +X3 + X2 + X + 2 Q, X4 +X3 + X2 + X + 2 = (X2 + 1)Q = (X + i) (X i)Q i eti racines de P. Donc avec X = i, on a i4 + i3 + i2 + i + 2 = 1 i + i + 2 = 0 = 3 et = 1. Puis, Ptant coefficients rels P (i) = P (i). Donc P (i) = 0 P (i) = 0. La CNS est donc = 3 et = 1. On a alorsX4 +X3 + 3X2 +X + 2 =

(X2 + 1

) (X2 +X + 2

)Exercice 8.12 Ecrivons cette division, P (X) =

(X2 + 1

)Q (X) + aX + b avec a et b rels, en effet le reste est de

degr au plus 1. Avec X = i on a ai + b = eint do a = sin (nt) et b = cos (nt) (car a et b sont rels). On peutaussi utiliser X = i qui donne ai + b = eint que lon combine avec ai + b = eint. On en dduit que le reste estsin (nt)X + cos (nt).

Exercice 8.13 Deux mthodes :La premire : On effectue la division euclidienne de B par A, on obtient

x4 + ax2 + bx+ a2 + 1 =(x2 + x+ 1

) (x2 x+ a)+ (b+ 1 a)x+ a2 a+ 1

Ce reste doit tre le polynme nul. Une CNS est donc que a2 a+1 = 0 et b = a 1. Les solutions de a2 a+1 sonta1 = j et a2 = j2, qui donnent respectivement b1 = 1 j = j2 et b2 = j.

La seconde : les racines de x2 + x + 1 = 0 sont j et j2. On calcule B (j) = j + aj2 + bj + a2 + 1 qui doit trenul. Puisque a et b sont rels, on obtient avec la partie relle et la partie imaginaire :

Re (B (j)) =12

(1 + a+ b) + a2 + 1 = 0

Im(B (j)) =

3

2(1 a+ b) = 0

on termine ensuite de la mme manire.

Exercice 8.14 Par labsurde, si Pn () = Pn () alors Pn ()P n () = 0. Mais Pn ()P n () =

n

n!. Ainsi = 0,

mais = 0 nest pas racine de Pn !

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Exercice 8.15 Soit z la racine double alors P (z) = P (z) = 0. Mais P (z) = 3z2 3, les seules racines possiblessont donc z = 1 ou z = 1. Puisque P (1) = +1 3 et P (1) = 1+3+, on en dduit que = 2 ou = 2. Onne retient que = 2, valeur pour laquelle 1 est racine double.Le produit des racines tant gal 2, lautre racine est 2.

Exercice 8.16 Soit P = 0, et n le degr de P. Ainsi P = anXn +Q o an = 0 et degQ < n. En premier lieu, on an > 1, car sinon P = 0 et P = 0.On a P = n(n 1)anXn2 +Q et

(X2 + 1)P 6P = (n(n 1) 6) anXn +(X2 + 1

)Q 6Q = 0

(ah,ah, linaire tout cela !), donc puisque an = 0, n(n 1) 6 = 0 ce qui donne n = 2 ou n = 3. Lentier n tantpositif, le degr de P est n = 3. Puis on pose P = aX3 + bX2 + cX + d, alors

(X2 + 1)P 6P = (X2 + 1) (6aX + 2b) 6 (aX3 + bX2 + cX + d)= 4bX2 + 6(a c)X + (d+ 2b) = 0

{b = d = 0

a = c

Ce qui donne P = a(X3 +X

)et la condition P (1) = 2 impose que

P = X3 +X.

Autre mthode : Ayant dtermin degP = 3, on peut galement crire que(X2 + 1

)P = 6P = (X2 + 1) divise

P . On a donc P =(X2 + 1

)(aX + b) car degP = 3.On a donc P = aX3 + bX2 + aX + b = P = 6aX + 2b. Ainsi

(X2 + 1)P = 6P (X2 + 1) (6aX + 2b) = (X2 + 1) (6aX + 6b) = b = 0do P = aX

(X2 + 1

)puis P (1) = 2 donne a = 1.

Reamrque : Lapplication : R [X] R [X] dfinie par (P ) = (X2 + 1)P 6P est linaire. On a montr, aupassage, que son noyau est

ker = Vect(X3 +X

)est une droite

Ce noyau (cette droite) coupe lhyperplan affine H = {P R [X] , P (1) = 2} en P = X3 +X.

Exercice 8.17 On commence par dterminer le degr de P . Le polynme P = 0 nest pas solution, si P est solution,notons d le degr de P. On a donc P = adX

d +Q o deg (Q) < d et ad = 0. Alors

X (X + 1)P + (X + 2)P P = X (X + 1) [d (d 1) adXd2 +Q]+ (X + 2) [dadXd1 +Q] adXd +Q= (d (d 1) + d 1) adXd + (X (X + 1)Q + (X + 2)Q Q) = 1

Cette dernire ligne doit vous faire penser (ah,ah linaire tout cela ! !).Ainsi

X (X + 1)P + (X + 2)P P = (d2 1) adXd + (X (X + 1)Q + (X + 2)Q Q)Puisque degQ < d, on a deg ((X (X + 1)Q + (X + 2)Q Q)) < d (chaque terme tant de degr au plus d). On adonc deux cas possibles :Ou bien d = 0, et ad = 1, do P = 1.Ou bien d = 1 (pour annuler le terme de degr non constant). Dans ce cas P scit P = aX + b avec a = 0, P = a etP = 0. On remplace dans lquation pour obtenir

X (X + 1)P + (X + 2)P P = a (X + 2) (aX + b) = 2a b = 1ce qui donne a quelconque et b = 2a 1.Lensemble des solutions est

S =

P = a (X + 2)solution gnrale delquation sans second membre

+ (1)solution particulire

o a C

12/46 G Husc - E M -() 2009


La structure est une structure despace affine. En effet, lapplication : C [X] C [X] dfinie par (P ) =X (X + 1)P + (X + 2)P P est linaire. On a rsolu (P ) = 1, le noyau de est donc ker = Vect (X + 2).

Exercice 8.18 On dtermine le degr de P, P = 0 est solution, si P = 0, soit d son degr, P = adXd + .Alors P (2X) = 2dadX

d + deg


Q. Lide est dinverser la fonction y =1 + x

1 x.On a

y =1 + x

1 x x =y 1y + 1

ainsi

x racine de P (x) x3 x 1 = 0

(y 1y + 1

)3 y 1y + 1

1 = 0

y3 + 7y2 y + 1

(y + 1)3= 0

y3 + 7y2 y + 1 = 0

Ce qui prouve que a, b et c sont racines de y3 + 7y2 y + 1. Daprs les relations coefficients-racines, on a

a+ b+ c = 71= 7

Exercice 8.22 On rsout lquation P (x) = 0 (X2 + 1)2 = (i2) (X2 X 1)2 X2 + 1 = i (X2 X 1) ou X2 + 1 = i (X2 X 1).Mais X2 + 1 = i

(X2 X 1) (1 i)X2 + iX + 1 + i = 0 , le discriminant est = (i)2 4 (1 + i) (1 i) =

1 8 = 9 = (3i)2. Les solution de X2 + 1 = i (X2 X 1), sont donc 1+i2 et 1 i.Ces deux solutions ne sont pas conjugues, P est coefficients rels donc ses racines complexes sont deux deuxconjugues. Ainsi 1+ i et 1i2 sont aussi racines de P. On a quatre racines distinctes de P, ce sont toutes les racinesde P.En dfinitive, P = 2 (X 1 i) (X 1 + i) (X 1+i2 ) (X + 1i2 )=(X2 2X + 2) (X2 +X + 12)

(On utilise (X z) (X z) = X2 2Re (z)X + |z|2, et on noublie pas le coefficient dominant )

Exercice 8.23 Daprs lnonc on a 1 = x+ y + z = 5,1

x+

1

y+

1

z=yz + xz + xy

xyz=2

3= 5. Enfin

25 = 21 = (x+ y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2 (yz + xz + xy) = 15 + 22

do

2 = 5 et 3 = 1

On en dduit que x, y et z sont les racines de

X3 5X2 + 5X 1

Une racine vidente est x = 1, on en dduit alors que y + z = 5 x = 4 et xyz = yz = 1. On sait alors que y et zsont racines de

X2 4X + 1dont les solutions dont ( = 3) y = 2 +

3 et z = 23.

Exercice 8.24 On a P (j) =(j2 1)2 3j (j2 + 1). Or

j2 + 1 = j = 3j (j2 + 1) = 3j2(j2 1)2 = j4 2j2 + 1 = j j3 + 1 2j2 = 1 + j 2j2 = 3j2

14/46 G Husc - E M -() 2009


ce qui prouve que P (j) = 0.Le polynme P est coefficients rels et admet j comme racine, il admet donc aussi j2 comme racine. On peut doncle factoriser par (X j) (X j2) = (X2 +X + 1). Si on dveloppe P on obtient

P =(X2 1)2 3X (X2 + 1) = X4 3X3 2X2 3X + 1

=(X2 +X + 1

) (X2 + aX + 1

)(On met X2+X +1 en facteur, le quotient est du second degr, de coefficient dominant gal 1 car P est normalis,et de coefficient constant gal 1, ce que lon voit en faisant X = 0). Pour trouver le coefficient a, on dveloppe leproduit et on cherche le coefficient en X3. On obtient

X4 3X3 2X2 3X + 1 = X4 +X3 (a+ 1) +

donc a = 4. En dfinitiveP =

(X +X2 + 1

) (X2 4X + 1)

Le discriminant rduit de X2 4X + 1 est = 4 1 = 3, donc

X2 4X + 1 =(X 2

3)(

X 2 +3)

La factorisation sur R [X] est

P =(X +X2 + 1

) (X 2

3)(

X 2 +3)

Les racines relles de P sont 2 +3 et 23.

Exercice 8.25 Soit cette racine alors est racine de P = X4 2X3 + X2 + 2X 1, mais aussi de P et de P .Ceci conduit au systme

4 23 + 2 + 2 1 = 043 62 + 2+ 2 = 0

122 12+ 2 = 0Ce que lon peut galement crire

4 23 + 2 1 = 223 32 + 1 =

6 ( 1) = On remplace alors la valeur de trouve dans les deux premires quations

4 23 + 2 1 = 63 ( 1)23 32 + 1 = 62 ( 1)

6 ( 1) =

Et, Oh miracle, puisque 1 est racine vidente de 23 32 + 1, et de 4 23 + 2 1, on obtient(+ 1) ( 1)3 = 63 ( 1)(2+ 1) ( 1)2 = 62 ( 1)

6 ( 1) =

On constate que = 1, = 0 est une solution du systme. Le polynme X4 2X3 + X2 + 2X 1 est alors gal X4 2X3 + 2X 1 = (X + 1) (X 1)3. Est-ce la seule solution ? (Lenonc nest pas trs clair et ne demande pasexplicitement dexaminer tous les cas, mais un vrai matheux ).La seconde quation du dernier systme (2+ 1) ( 1)2 = 62 ( 1) se rsout facilement, elle conduit en effet la factorisation

(2+ 1) ( 1)2 62 ( 1) = ( 1) (42 + + 1)15/46 G Husc - E M -() 2009


dont les racines sont = 1 et = 18 1

8i15. On vrifie facilement ( ? ?) que =

1

8 1

8i15 ne sont pas solutions

de (+ 1) ( 1)363 ( 1) = ( 1) (53 + 2 + 1). En fait, la bonne mthode est la suivante. La divisioneuclidienne de 53 + 2 + 1 par 42 + + 1 donne

53 + 2 + 1 =(5

4 1

16

)(42 + + 1

) 316

1516

ce qui prouve que si est une racine commune de 53+2+1 et de 42++1 cest aussi une racine de 316 1516

ce qui est impossible. En dautres termes il ny a pas dautres solutions au problme....

Exercice 8.26 1. Daprs le cours, on a

+ + = coefficient de X2

coefficient de X3= 0

puis

(+ + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 ( + + )

+ + = +coefficient de X

coefficient de X3= 1

donc2 + 2 + 2 = 2

2. P () + P () + P () = 0 + 0 + 0 = 0 mais on a aussi

P () + P () + P () = 3 + + 1 + 3 + + 1 + 3 + + 1

= 3 + 3 + 3 + + + + 3

do3 + 3 + 3 = 3

3. On aX4 = X (X3 +X + 1)X2 X

donc

4 = (3 + + 1) 2 = 2 4 = 2 et 4 = 2

ainsi4 + 4 + 4 = (2 + 2 + 2) (+ + ) = 2

Exercice 8.27 Posons 1 = + + , 2 = + + et 3 = . Alors les relations coefficients-racinesdonnent

1 = 5, 2 = 6 et 3 = 1

Ainsi

A =1

1 +1

1 +1

1 =(1 ) (1 ) + (1 ) (1 ) + (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )3 + 2 + 2 + 2

1 + =

3 + 21 21 + 1 2 + 3 = 1

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Le numrateur vaut

(1 ) (1 ) + (1 ) (1 ) + (1 ) (1 ) = (1 + ) + (1 + ) + (1 + )= 3 21 + 2 = 3 10 + 6 = 1

Pour le dnominateur, ou bien on dveloppe pour avoir

(1 ) (1 ) (1 ) = 1 + + + = 1 1 + 2 3 = 1 5 + 6 1 = 1

Ou bien on remarque que P (X) = (X ) (X ) (X ) = P (1) = (1 ) (1 ) (1 ) = 1 5 + 6 1 = 1.Conclusion

A = 1

Exercice 8.28 On a immdiatement X6 +X3 + 1 =(X3 j) (X3 j2). Les racines de X3 = j = exp (2i3 ) sont

z1 = exp(2i9

), z2 = exp

(2i9 +

2i3

)= exp

(89 i

)et z3 = exp

(2i9 +

4i3

)= exp

(149 i

). Les racines de X3 = j2 sont

les conjugus des prcdents. Ainsi

P =

(X2 2 cos

(2

9

)X + 1

)(X2 2 cos

(8

9

)X + 1

)(X2 2 cos

(14

9

)X + 1

)Cest la rponse attendue, on ne connat pas la valeur exacte de cos

(29

), cos

(89

)et cos

(149

)!

Exercice 8.29 On a (X + 4)P (X) = XP (X + 1) ainsi avec X = 0, on a P (0) = 0 et avec X = 4, P (3) = 0,ceci prouve que 0 et 3 sont racines. On peut alors crire P sous la forme P (X) = X (X + 3)Q (X) . En remplaantdans lquation, il vient

X (X + 3) (X + 4)Q (X) = X (X + 1) (X + 4)Q (X + 1)

do (X + 3)Q (X) = (X + 1)Q (X + 1) , avec X = 1 et X = 3, on obtient Q (1) = Q (2) = 0, on peut alorscrire Q (X) = (X + 1) (X + 2)R (X) . On remplace pour avoir

(X + 3) (X + 1) (X + 2)R (X) = (X + 1) (X + 2) (X + 3)R (X + 1)

Soit R (X) = R (X + 1) . Le polynme R est donc 1priodique. Il est donc constant (car R (0) = R (n) , n N, doncR (X)R (0) a une infinit de racines, donc R (X) = R (0)). Conclusion P (X) = aX (X + 1) (X + 2) (X + 3) .Gnaralisation : Pour lquation (X + n)P (X) = XP (X + 1) , posons P (X) = X (X + 1) (X + n 1)Q (X) alors

(X + n)P (X) = X (X + 1) (X + n)Q (X)= XP (X + 1)

= X (X + 1) (X + n)Q (X + 1)

do Q (X) = Q (X + 1) = Q (X) est constant. Les solutions sont donc P (X) = aX (X + 1) (X + n 1).

Exercice 8.30 Le polynme P est coefficients rels, ses racines sont donc soit relles, soit complexes deux deuxconjugues. Or, on sait que 2i et 2+ i sont racines de P, ainsi 2i et 2 i (les conjugus) sont aussi racines de P. Ona donc quatre racines de P qui est de degr 4 et unitaire. On peut ainsi affirmer que

P (X) = (X 2i) (X + 2i) (X 2 i) (X 2 + i)=

(X2 + 4

) (X2 2Re (2 + i)X + |2 + i|2

)=

(X2 + 4

) (X2 4X + 5)

= X4 + aX3 + bX2 + cX + d

Or P (1) = 1 + a+ b+ c+ d = 5 2 = 10 donc

a+ b+ c+ d = 9

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Exercice 8.31 La grande ide est la suivant : Si est une racine de P et de Q, alors est racine du reste de ladivision euclidienne de P par Q. En effet, ecrivons cette division euclidienne :

P = AQ+R avec degR < degQ

AlorsP () = A ()Q () +R ()

Ainsi P () = Q () = 0 = R () = 0. On peut donc affirmer queQ et R ont une racine commune, o R est le reste de la division de P par Q

Et ventuellement recommencer ....Dans notre exemple, on a

X4 + aX + a = X (X3 + aX + a)+ a (1X2)Ainsi la racine commune est racine de a

(1X2). Deux cas se prsentent donc.

Premier cas a = 0, on a P (X) = X4 et Q (X) = X3, la racine commune est = 0.

Second cas a = 0 et ainsi = 1 ou = 1. Si = 1, alors P (1) = 0 a = 12et ainsi Q (1) = 1 + 2a = 0. Le

rel = 1 est bien racine commun. On a mme

P (X) = X4 12X 1

2=

1

2(X 1) (2X3 + 2X2 + 2X + 1)

Q (X) = X3 12X 1

2=

1

2(X 1) (2X2 + 2X + 1)

Si = 1, alors P (1) = 1 ce qui prouve que 1 nest pas racine de P , cette possibilit est donc exclure.Conclusion : On a deux cas possibles a = 0 et la racine est 0 ou a = 12 et la racine est 1.Autre mthode : Soit cette racine alors P () = 0 = 4 = a (+ 1) donc = 1 et a =

4

+ 1. De mme

Q () = 0 donc 3 = a (+ 1) = a = 3

+ 1. On a donc

4

+ 1

3

+ 1= 0 = 0 ou = 1

Ce qui donne a = 0 ou a = 12. Pour a = 0, on a P (X) = X4 et Q (X) = X3 et 0 est racine commune triple. Pour

a = 12, P et Q on 1 pour racine simple commune.

Exercice 8.32 Soit tel que a = P (P ()) = Q (Q ()), on a

P Q P () = P P Q () = Q Q Q () = Q (a)Q Q P () = P P P () = P (a)

Ainsi a est solution de P (x) = Q (x).

Exercice 8.33 Analyse : On a P = (a (n+ 1)X + bn)Xn1. Puisque 0 nest pas racine de P, si P a une racine

double, cette racine vaut = bna (n+ 1)

.

Synthse : On doit alors avoir P

( bna (n+ 1)

)= 0. Mais P = Xn (aX + b)+1. Or a+b = abn

a (n+ 1)+b =

b

n+ 1.

La CNS est donc ( bna (n+ 1)

)n1 bn+ 1

+ 1 = 0 (1)nbn+1nn

an (n+ 1)n+1+ 1 = 0

ce qui scrit (an

)n+

( bn+ 1

)n+1= 0

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Exercice 8.34 Un exercice sur la divisibilit.

1. Le polynme B divise A si et seulement si A (1) = A (1) = 0. On a donc le systme{an + bn = 1

(n+ 1) an + nbn = 0La premire ligne traduit A (1) = 0

La seconde traduit A (1) = 0

qui donne immdiatement (faire L2 nL1) an = n et bn = (n+ 1).On en dduit que

An = nXn+1 (n+ 1)Xn + 1 est divisible par B

2. Si on pose la division euclidienne

nXn+1 (n+ 1)Xn + 1 X2 2X + 1 (nXn+1 2nXn + nXn1)

(n 1)Xn nXn1 + 1 An1

nXn1

On a donc An = nXn1B+An1. Si on note Qn le quotient de la division euclidienne de An par B, on a, pour

n 2Qn = nX

n1 +Qn1

et

Q1 = 1 car A1 = B

Une rcurrence immdiate donne

Qn = 1 + 2X + 3X2 + + nXn1

Autre approche :

nXn+1 (n+ 1)Xn + 1 = nXn (X 1) (Xn 1)= (X 1) (nXn Xn1 Xn2 1)

car (Xn 1) = (X 1) (Xn1 +Xn2 + + 1)Il faut prouver que nXn Xn1 Xn2 1 est divisible par (X 1).On regarde quelques exemples (avec n = 2, 3)

2X2 X 1 = 2X2 2X2 +X 1 = (X 1) (2X + 1)3X3 X2 X 1 = 3X3 3X2 + 2X2 2X +X 1 = (X 1) (3X2 + 2X + 1)

ce qui donne lide que

nXn Xn1 Xn2 1 = nXn nXn1 + (n 1)Xn1 + + 1

nXn n

k=1

Xk1 =n

k=1

k(Xk Xk1) = n

k=1

kXk1 (X 1) = (X 1)n

k=1

kXk1

Il faut donc prouver que

nXn n1k=0

Xk =n

k=1

k(Xk Xk1)

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Mais

nk=1

k(Xk Xk1) = n

k=1

kXk n

k=1

kXk1

=n

k=1

kXk n1j=0

(j + 1)Xj avec j = k 1

=

(n

k=1

kXk n1k=0

kXk

)

n1k=0

Xk

=(nXn 0X0) n1

k=0

Xk

3. On a donc pour x = 1 dans C, Qn (x) = Pn (x)(x 1)2 , or

nk=1

kxk = x(1 + 2x+ 3x2 + + nxn1)

= xQn (x)

=x(nxn+1 (n+ 1)xn + 1)

(x 1)2

Exercice 8.35 Par dfinition mme P,Q,R et S sont des polynmes et P (1) = Q (1) = R (1) = S (1) = 0. PosonsU = PS QR, alors U (1) = 0.

U = P S + PS QRQR = U (1) = 0

U = P S + 2P S + PS QR 2QR QR= P S + PS QRQR + 2AC BD 2ADBC= P S + PS QRQR car P = AC

do U (1) = 0. Puis

U (3) = P (3)S + PS(3) Q(3)RQR(3) + P S + P S QR QR

Or

P S + P S = (AC) BD +AC (BD)= ACBD +ACBD+ACBD +ACBD = (ABCD)

QR +QR = (AD) BC + (AD) (BC)

= ADBC +ADBC +ADBC +ADBC = (ABCD)

Ainsi

U (3) = P (3)S + PS(3) Q(3)RQR(3) = U (3) (1) = 0

On en dduit que (X 1)4 divise U.

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Remarque : On a U (X) =

P (X) R (X)Q (X) S (X) , ce qui permet de calculer les drives plus autrement

U =

P RQ S+ P RQ S

U =

P RQ S+ 2 P RQ S

+ P RQ S = P RQ S

+ 2 AC BCAD BD

=0

+

P RQ S

U =

P (3) RQ(3) S+ P R(3)Q S(3)

+ P RQ S+ P RQ S

=

P (3) RQ(3) S+ P R(3)Q S(3)

+ AC +AC BCAD+AD BD+ AC BC +BCAD BD +BD

=

P (3) RQ(3) S+ P R(3)Q S(3)

+ AC BCAD BD+ AC BCAD BD

= P (3) RQ(3) S+ P R(3)Q S(3)

Exercice 8.36 On sait que P a une racine double si et seulement si P et P ont une racine commune. On appliquedonc le rsultat de lexercice type prcdent. Puisque

X3 + pX + q =(3X2 + p

) X3

+

(2p

3X + q

)

P a une racine double P (X) = 3X2 + p et R (X) = 2p3X + q ont une racine commune

Deux cas se prsentent alors :

Premier cas : p = 0, R (X) a une unique racine = 3q2p. Ainsi

P a une racine double P () = 3(3q2p

)2+ p =

4p3 + 27q2

4p2= 0 4p3 + 27q2 = 0

Second cas : p = 0, dans ce cas P = X3 + q qui a trois racines 3q, j 3

q et j2 3

q, distictes si q = 0, ainsi P a une

racine double si et seulement si q = 0, donc si et seulement si 4p3 + 27q2 = 27q2 = 0 (on est dans le cas o p = 0).Remarque : Le terme = 4p3 + 27q2 est le discriminant du polynme P . Si P (X) = aX3 + bX2 + cX + d avec

a = 0, alors P a les mmes racines que P1 (X) = X3+ baX2+

c

aX+

d

a. En posant P2 (X) = P1

(X b

3a

), on obtient

P2 (X) = X3 +

3ac b23a2

X +27a2d+ 2b3 9abc

27a3= X3 + pX + q

On peut donc, pour la dtermination des racines, se ramener un polynme du type X3 + pX + q.

2 Les techniques

Exercice 8.37 On a P (1) = 3, P (2) = 7 et P (3) = 13. Si on crit la division euclidienne, on a P = (X 1) (X 2) (X 3)Q+R o R = aX2 + bX + c (car le reste est de degr au plus 2).1 ire mthode : On a P (1) = R (1) = a+b+c = 3, P (2) = R (2) = 4a+2b+c = 7 et P (3) = R (3) = 9a+3b+c = 13,do le systme

a+ b+ c = 34a+ 2b+ c = 79a+ 3b+ c = 13

on trouve {c = 1, b = 1, a = 1}.2 ime mthode : Par les polynmes dinterpolation de Lagrange. On connat la valeur de R aux points 1, 2 et 3. Ilest facile de construire un polynme L1 tel que

L1 (1) = 1, L1 (2) = 0 et L1 (3) = 0

21/46 G Husc - E M -() 2009


Le polynme

L1 =(X 2) (X 3)(1 2) (1 3)

est solution (On le dtermine facilement car on connat deux racines de L1 !).De la mme manire

L2 =(X 1) (X 3)(2 1) (2 3) et L3 =

(X 1) (X 2)(3 1) (3 2)

sont tels queL2 (1) = 0, L2 (2) = 1 et L2 (3) = 0

L3 (1) = 0, L3 (2) = 0 et L3 (3) = 1

Le polynmeR (1)L1 +R (2)L2 +R (3)L3

est de degr 2 et prend les mmes valeurs que R en trois points deux deux distincts. Ce polynme est donc gal R. En conclusion

R = 3(X 2) (X 3)(1 2) (1 3) + 7

(X 1) (X 3)(2 1) (2 3) + 13

(X 1) (X 2)(3 1) (3 2) = X

2 +X + 1.

Exercice 8.38 Supposons n 2 et crivons le dbut de la division euclidienne de Pn par P1 = X2 2 cos ()X + 1

cos ((n 1) )Xn+1 cos (n)Xn cos ()X + 1 X2 2 cos ()X + 1 cos ((n 1) )Xn+1 2 cos () cos ((n 1) )Xn + cos ((n 1) )Xn1

(2 cos () cos ((n 1) ) cos (n))Xn cos ((n 1) )Xn1 cos ()X + 1 cos ((n 1) )Xn1

Le premier reste obtenu ressemble beaucoup Pn1,cela sera vrai si 2 cos () cos (n 1) cos (n) = cos (n 2) cequi dcoule dune formule connue de trigonomtrie. On a donc Pn = cos ((n 1) )Xn1P1 + Pn1. Par rcurrene ilvient Pn =

(nk=1 cos ((k 1) )Xk1

)P1 =

(n1k=0 cos (k)X

k)P1.

Exercice 8.39 On dtermine le degr, si P = 0 et deg (P ) = n, P = anXn +Q avec degQ < n,alors

(X 1)P +XP = nanXn+1 + deg


Seconde mthode : (Utilise la formule de Taylor, Hors programme en PCSI). Avec X = 1, on a P (1) = 32 , puis on

drive la relation pour obtenir (X 1)P + (X + 1)P + P = 3X22 . Avec X = 1,on a 2P (1) = 0. On re-derive pourobtenir (X 1)P + (X + 2)P + 2P = 3X do 3P (1) + 2P (1) = 3.Par Taylor ; P = P (1)+(X 1)P (1)+ (X 1)

2

2P (1) =

3

2+(X 1)2

2=X2

2X+2. Rciproquement, le polynme

trouv est bien solution.

Exercice 8.40 Si P est de degr n, on a P = anXn+Q avec an = 0 et degQ < n, on remplace dans lquation pour

obtenir4anXn + 4Q (X 1)

(nanX

n1 +Q) n (n 1) anXn2 Q = 0

do(4 n) anXn +

deg


Do (1 1

n

)P () = 0

Si n = 1, alors P = an (X ) , sinon, on a P () = 0. On drive donc la relation (R) k fois avec Leibniz pourobtenir

P (k) =1

n(X )P (k+1) + k

nP (k) =

(1 k

n

)P (k) () = 0 = P (k) () = 0 si 0 k n 1

Conclusion, est racine dordre n etP = an (X )n

Exercice 8.42 Pn (x) = 0 (1 + ix)n = (1 ix)n (1ix1+ix

)n= 1 car x = i nest pas racine. Ainsi

Pn (x) = 0 k {0, ..., n 1} , 1 ix1 + ix

= e2ikn

k {0, ..., n 1} , 1 ix = e2ikn (1 + ix) k {0, ..., n 1} , ix

(1 + e

2ikn

)=

(1 e2ikn

)on a Pn = (1 (1)n) inXn+n

(1 + (1)n1

)in1Xn1 , lorsque n est pair le degr de Pn est n 1, on retrouve

bien que le cas k = n2 est exclure.On a donc

Pn (x) = 0 k {0, ..., n 1} \{n2

}, x =

(1 e2ikn

)i

(1 + e

2ikn

) = tan(kn

)

En dfinitive,

si n = 2p+ 1 est impair Pn = 2 (1)p i2pk=0

(X tan

(k

2p+ 1

))

si n = 2p pair Pn = 2n (1)p i2p1k=0k =p

(X tan

(k

2p

))

Pour n = 2p+1, on remarque que tan((2p+1k)

2p+1

)= tan

( k2p+1

)= tan

(k

2p+1

)et pour k = 0, tan

(k

2p+1

)= 0.

Le polynme Pn est impair et

Pn = (1 + iX)n (1 iX)n

= 2 (1)p iXp

k=1

(X2 tan2

(k

2p+ 1

))= 2 (1)p iX2p+1 +

(1 + (1)2p1

)i2p1C22p+1X

2p1 +

On peut donc crire Pn (X) = XRn(X2)et les tan2

(k

2p+1

)savrent tre les racines de Rn.

Rn = 2 (1)p iXp +(1 + (1)2p1

)i2p1C22p+1X

p1 + = 2 (1)p ip

k=1

(X tan2

(k

2p+ 1

))

Donc, daprs les relations entre coefficients et racines :

pk=1

tan2(

k

2p+ 1

)=

(1 + (1)2p1

)i2p1C22p+1

2 (1)p i = p (2p+ 1)

24/46 G Husc - E M -() 2009


Remarque : on a galement

pk=0

1

cos2(

k

2p+ 1

) = 2p (p+ 1) + 1Le mme genre de raisonnement donne pour n = 2p pair

Pn = 2n (1)p iXp1k=1

(X2 tan2

(k

2p

))Pn = (1 + iX)

2p (1 iX)2p = (iX + 1)2p (iX 1)2p

= 2p (iX)2p1

+ 22p (iX)2p2

+ 32p (iX)2p2

+ (2p (iX)2p1 + 22p (iX)2p2 32p (iX)2p3 +

)= 4p (iX)2p1 + 232p (iX)

2p2 +

= 4p (iX)2p1

+ 22p (2p 1) (2p 2)

6(iX)2p3 +

= 4pi (1)pX2p1 4ip (2p 1) (2p 2)6

(1)p1X2p3 + = XRn

(X2)

Rn = 2n (1)p ip1k=1

(X tan2

(k

2p

))= 4pi (1)pXp1 4ip (2p 1) (2p 2)

6(1)p1Xp2 +

dop1k=0

tan2(k

2p

)=

(2p 1) (2p 2)6

En particulier cela permet de prouver que

tan2( 14

)+ tan2

(3

14

)+ tan2

(5

14

)= 5

Exercice 8.43 Les racines nimes de e2ina sont les zk = ei(2a+ 2kn ) pour k = 0, , n 1. Les racines de P sont

donc les k = zk 1 = ei(2a+ 2kn ) 1 = 2i sin(a+ k

n

)ei(a+

kn ). On en dduit que

P =n1k=0

(X 2i sin

(a+

k

n

)ei(a+

kn ))

Daprs les relations coefficients-racines, on an1k=0

k = (1)n a0an

= (1)n P (0)an

= (1n) (1 e2ina) don1k=0

2i sin

(a+

k

n

)ei(a+

kn ) = (2i)n

(n1k=0

sin

(a+

k

n

)) n1k=0

ei(a+kn ) = (1n) (1 e2ina)

maisn1k=0

ei(a+kn ) = e

n1k=0 i(a+kn ) et

n1k=0 i

(a+ k

n

)= ina +

i

n

n1k=0 k = ina +

in (n 1)2n

= ina + i(n 1)

2

25/46 G Husc - E M -() 2009


don1k=0

ei(a+kn ) = eina

(ei

2

)n1= in1eina

2ni2n1einan1k=0

sin

(a+

k

n

)= (1n) (1 e2ina) = (1n) (2i sin (na) eina)

2n (1)n i1einan1k=0

sin

(a+

k

n

)= (1n) (2i sin (na) eina)

n1k=0

sin

(a+

k

n

)=

sinna

2n1

Avec a = 0, on an1k=0

sin

(k

n

)= 0. Enfin si a = 0,

n1k=1

sin(a+ k

n

)=

sinna

2n1 sinadonne en passant la limite quand

a tend vers 0n1k=1

sin

(k

n

)=

n

2n1

Remarque :Puisque sin( k

n

)= sin

((n k)

n

), on peut regrouper les sinus deux par deux. Ainsi, si n est impair,

n = 2p+ 1, on ap

k=1

sin

(k

2p+ 1

)=

2p+ 1

2p

et si n = 2p est pairp

k=1

sin

(k

2p

)=

p

2p1

Exercice 8.44 Si P =n

k=0 akXk, on dfinit P =

nk=0 akX

k le polynme conjugu de P. On a si z C,P (z) = P (z). Daprs les hypothses, pour x R, P (x) = P (x) = P (x) = P (x). Les polynmes P et P concidentsur R qui est infini, ils sont donc gaux. Ceci se traduit par k, ak = ak i.e. P R [X].

Exercice 8.45 La condition P (X) = P (1X) traduit la symtrie par rapport X = 12. Posons alors Q (X) =

P

(X +

1

2

), on a Q (X) = P

(X + 1

2

)= P

(1

(X + 1

2

))= P

(X +

1

2

). Le polynme Q est donc pair, il

peut ainsi scrire

Q (X) =d

n=0

anX2n

do

P (X) = Q

(X 1

2

)=

dn=0

an

(X 1

2

)2n

Mais on a

(X 1

2

)2= X2 X + 1

4= X (1X) + 1

4do

(X 1

2

)2n=

[(X 1

2

)2]n=

[X (1X) + 1

4

]n

est un polynme en X (1X) , on en dduit que dn=0 an(X 12)2n

aussi.

26/46 G Husc - E M -() 2009


Exercice 8.46 Soient , et les racines de P alors P = a (X ) (X ) (X ) o a est le coefficient dominant.On a alors

P (X) = a (X ) (X ) + a (X ) (X ) + a (X ) (X )

do

P (+

2

)= a

( 2

)( 2

)+ a

( 2

)( 2

)+ a

( 2

)( 2

)

=0

= a4( )2

Exercice 8.47 Il y a un cas vident, celui o il y a une racine double = . Dans ce cas, la tangente est horizontale

et "coupe" laxe Ox en . On va donc supposer que = . Daprs lexo 19.46, la tangente en + 2

nest pas

horizontale donc coupe laxe Ox. Son quation est

Y P(+

2

)= P

(+

2

)(X +

2

)

Elle coupe donc laxe des abscisses en

X =+

2

P(+2

)P (+2

)

On va sinspirer de lexercice 19.46. On a

P (X) = a (X ) (X ) (X )

donc

P(+2

)= a

(+2

)(+2

)(+2

)= 1

4a ( )2

(+2

)P (+2

)= a

(+2

)(+2

)+ a

(+2

)(+2

)+ a

(+2

)(+2

)

=0

= 14a ( )2

Ainsi

X =+

214a ( )2

(+2

)14a ( )2

=

27/46 G Husc - E M -() 2009


Remarque : On peut galement procder ainsi.Lquation dune droite D passant par le point de coordonnes (, 0) est du type y = m (x ). Cette droite coupe legraphe de P en x solution de lquation

P (x) =m (x ) a (x ) (x ) (x ) = m (x ) a (x ) (x )m = 0

La droite D est tangente au graphe de P si et seulement si x est racine double de cette quation, ce qui se traduit pard

dx(a (x ) (x )m) = a (x ) + a (x ) = 0

soit

x =+

2

En dautres termes, il nexiste quune seule tangente au graphe de P, passant par (, 0) : celle issue du point dabscisse+

2.

Dans cette mthode, au lieu de montrer que la tangente issue de+

2passe par (, 0) , on regarde les tangentes

passant par ce point, on a pris le problme lenvers !Remarque : On peut galement aborder le problme dune troisime manire (moins lgante, mon avis)

Un calcul simple donne, si P = aX3 + bX2 + cX + d

x P (x)P (x)

= x ax3 + bx2 + cx+ d

3ax2 + 2bx+ c=

2ax3 + bx2 d3ax2 + 2bx+ c

On sait que la somme des racines de P vaut badonc

+

2= b

2a

2o est la troisime racine de P. On a donc

X =

2a

( b2a

2

)3+ b

( b2a

2

)2 d

3a

( b2a

2

)2+ 2b

( b2a

2

)+ c

28/46 G Husc - E M -() 2009


En dveloppant avec le binme, on obtient (et javoue que Maple ou une bonne calculatrice formelle est bien utile)

X = a23 + 2ab2 + b2 + 4ad

3a22 + 2ab + 4ac b2

Mais on sait que P () = 0 doncd = a3 b2 c

do

X = a23 + 2ab2 + b2 + 4a

(a3 b2 c)3a22 + 2ab + 4ac b2 =

ce qui prouve le rsultat !Plus technique : Si P a une seule racine , alors le calcul prcdent est encore valable mais = do

+

2= 2Re (). Si on factorise P sous la forme P (X) = a (X ) (X2 2bX + c) alors la tangente issue du point

dabscisse b passe par (, 0).Montrons maintenant la proprit des cordes. Une quation de la corde passant par A : (u, P (u)) et B (v, P (v)) est

y = P (u) +P (v) P (u)

v u (x u), une autre est y = P (v) +P (v) P (u)

v u (x v) , en sommant les deux, on obtientlquation plus symtrique

y =P (u) + P (v)

2+P (v) P (u)

v u(x u+ v

2

)(corde)

On considre alors le polynme Q (X) = P (X) (P (u) + P (v)

2+P (v) P (u)

v u(x u+ v

2

))qui admet pour

racine u, v et donc une troisime racine w (distinctes de u et v en gnral, ce qui prouve que la corde recoupe le graphede P en un troisime point). Le rel w vrifie donc

P (w) =

(P (u) + P (v)

2+P (v) P (u)

v u(w u+ v

2

))(PW)

On vient de prouver que la tangente enu+ v

2 Q passe par (w, 0). Lquation de cette tangente est

y = Q

(u+ v

2

)+Q

(u+ v

2

)(x u+ v

2

)Mais

Q

(u+ v

2

)= P

(u+ v

2

) P (u) + P (v)

2

Q(u+ v

2

)= P

(u+ v

2

) P (v) P (u)

v uOn a donc

P

(u+ v

2

) P (u) + P (v)

2+

(P (u+ v

2

) P (v) P (u)

v u)(

w u+ v2

)= 0 (E1)

Or lquation de la tangente au graphe de P enu+ v

2est

y = P

(u+ v

2

)+ P

(u+ v

2

)(x u+ v

2

)(tangente)

Si lon fait la diffrence entre les quations de la corde et de la tangente, on obtient (E1) , le point dintersection de la

corde et de la tangente a donc pour abscisse w. Son ordonne vaut alorsP (u) + P (v)

2+P (v) P (u)

v u(w u+ v

2

)(on remplace x par w dans lquation de la corde) i.e. P (w) daprs (PW). On a bien prouv le rsultat demand.

29/46 G Husc - E M -() 2009


Exercice 8.48 Notons , + r, + 2r et + 3r les racines de P (o r est la raison de la suite arithmtique de lasuite des racines de P), on a alors

P (X) = a (X ) (X r) (X 2r) (X 3r)

Puisque les racines sont rgulirement espaces, on va "recentrer" le tout en plaant lorigine du repre en + r+r

2,

on pose donc X = Y + +3r

2alors

P (X) = a

(Y +

3r

2

)(Y +

r

2

)(Y r

2

)(Y 3r

2

)= a

(Y 2 r

2

4

)(Y 2 9r

2

4

)do

P (X) = 2aY

(Y 2 9r

2

4

)+ 2aY

(Y 2 r

2

4

)= aY

(4Y 2 5r2)

cardY

dX= 1, ainsi

P (X) = 4a

(X 3r

2

)((X 3r

2

)2 5r

2

4

)Les racines de P sont donc

+3r

25r

2, +

3r

2, +

3r

2+

5r

2

elles forment une suite arithmtique de raison

5

2r.

Exercice 8.49 Si les racines de P sont en progression arithmtique, on peut les noter r, , +r o r est la raisonde la progression. On a alors

P (X) = (X r) (X ) (X + r)= X3 3X2 + (32 r2)X + (r2 2)

do a = 3

b = 32 r2c =

(2 r2)

en particulier =a

3(est racine de P ), et la raison est telle que

r2 =a2

3 b

do la condition ncessaire (qui traduit aussi le fait que P(a3

)= 0)

c =a

3

(a2

9 a

2

3+ b

)=a

3

(b 2

9a2)

Rciproquement, si c =a

3

(b 2

9a2), alors

P (X) = X3 aX2 + bX a3

(b 2

9a2)

30/46 G Husc - E M -() 2009


cette condition exprime que P(a3

)= 0, on peut ainsi mettre

(X a

3

)en facteur pour obtenir

P (X) =(X a

3

)(X2 2aX

3+ b 2a

2

9

)Les racines de P sont alors

1

3a 1

3,

1

3a,

1

3a+

1

3 o 2 = 3a2 9b

elles forment bien une progression arithmtique de raison r telle que r2 =3a2 9b

9=a2

3 b.

Exercice 8.50 On a P(02)= 02 (02 + 1)P (0) = 0, de mme P (i2) = P (1) = i2 (i2 + 1)P (i) = 0 donc 0 et

1 sont racines. Puisque P (12) = 0, P nest pas nul. Si degP = n 0, on a

degP(X2)= 2n = degP

(X2)= X2

(X2 + 1

)P (X) = 4 + n

do

degP = 4

Posons P (X) = aX (X + 1) (X ) (X ) alors

P(X2)

= aX2(X2 + 1

) (X2 ) (X2 )

= X2(X2 + 1

)P (X)

= aX2(X2 + 1

)X (X + 1) (X ) (X )

Ainsi

a(X2 ) (X2 ) aX (X + 1) (X ) (X ) = 0

En dveloppant on obtient

a (+ 1)X3 aX2 aX + a = 0do

+ = 1

= 0

On en dduit que = 0, = 1 et avec P (2) = a 2 (2 + 1) 2 (2 1) = 12a cela donne

P (X) = X2(X2 1)

Exercice 8.51 Soient , , ses racines. Supposons que = 1, on a a alors

+ + =6

2= 3

+ + =7

2

= 2

ce qui se simpifie en

+ + = 3 (8.1)

(+ ) =5

2(8.2)

= 2

31/46 G Husc - E M -() 2009


On a donc + = 73 puis avec (8.2) il vient

(3 ) = 522 + 3 5

2= 0

On rsout cette quation qui donne deux solutions

=3

2+i

2ou =

3

2 i

2

Puis = 3 i ou = 3 + i

Dans ce cas on a alors + = 3 = 32 i2 ou 32 + i2 , ainsi et sont racines de

X2 (3

2 i

2

)X + 1 = 0 si =

3

2+i

2 = 1 i, = 1

1 i =1 + i

2

X2 (3

2+i

2

)X + 1 = 0 si =

3

2 i

2 = 1 + i, = 1

1 + i=

1 i2

Remarque : On peut envisager une autre mthode. Quand on a trouv que = 2 , on sait alors que P(2 ) =

0 = 2 (2 )36 (2 )2+7 (2 )+ = 14 (2 + 6+ 10) = 0. On obtient trois solutions. Pour = 0, le polynmeP est alors gal 2X3 6X2 +7X = X (2X2 6X + 7) qui nadmet (clairement) pas deux racines inverses lune delautre (les racines sont 0, et le produit des deux autres vaut 72). On examine alors les deux autres possibilits !

Exercice 8.52 On a + + = a, + + = b et = c do(+ + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 ( + + ) = a2

= 2 + 2 + 2 = a2 2b

( + + )2 = 22 + 22 + 22 + 2(2 + 2 + 2

)= 22 + 22 + 22 + 2 (+ + )

do22 + 22 + 22 = b2 2ac

enfin222 = c2

ce qui donneQ (X) = X3 (a2 2b)X2 + (b2 2ac)X c2

Puis Q(X2)=(X2 2) (X2 2) (X2 2) = (X ) (X ) (X ) (X + ) (X + ) (X + ) = P (X)R (X)

o R (X) = (X + ) (X + ) (X + ). Le poynme R (X) a pour racines ,, donc R (X) = X3( )X2+( + + )X = X3 aX2 + bX c.On a donc

Q(X2)

=(X3 + aX2 + bX + c

) (X3 aX2 + bX c)

= X6 (a2 2b)X4 + (b2 2ac)X2 c2ce qui permet de retrouver Q (X).

Exercice 8.53

1. Daprs les relations coefficients-racines, on a

a = + + + b = + + + + +

do le rsultat

32/46 G Husc - E M -() 2009


2. On a u v = u v cos(u ,v ) or un cosinus est compris entre 1 et 1, do le rsultat (qui porte le nom

dingalit de Cauchy-Schwarz). On a donc

( + + )2 3 (2 + 2 + 2)

ce qui est le rsultat demand car (a )2 = (a+ )2.3. On a donc

(a+ )2 3 (a2 2b 2) (a+ )2 3 (a2 2b 2) 0

ce qui en dveloppant donne

42 + 2a 2a2 + 6b 0 2 + 12a+

3

2b 1

2a2 0

Le trinme du second degr X2+1

2aX+

3

2b 1

2a2 admet donc deux racines relles et le rel est entre ces deux

rels. On en dduit que son dicriminant =a2

4 4

(3

2b 1

2a2)=

9a2 24b4

est positif et que

I =[a9a2 24b

4,a+9a2 24b

4

]

Remarque : Si P a 4 racines relles, par application du thorme de Rolle, P a deux racines (Si les racinessont distinctes cest un rsultat facile tablir, sinon cest un peu plus subtil ). Or P = 12x2 + 6ax+ 2b apour discriminant = 36a2 8 12b = 16 9a

2 24b4

.

Exercice 8.54 Dterminer m > 0 tel que le polynme P (X) = X4 (3m+ 2)X2 + m2 ait quatre racines enprogression arithmtique.Le coefficient de X3 est nul et il est gal la somme des quatre racines de P, donc ces racines se rpartissentsymtriquement autour de 0 (ce qui est logique puisque P est pair, ses racines sont donc symtriques par rapport 0).

Si r est la raison de la progression, les racines sont donc r2, 3r

2,r

2, 3

r

2. En posant a =

r

2, on a donc les quatre

racines 3a,a, a et 3a. On a ainsi

P (X) =(X2 9a2) (X2 a2)

= X4 10a2X2 + 9a4

ainsi

9a4 = m2 =m3

= a2

et 3m+ 2 = 10a2

do

3m+ 2 = 103m =m = 6 ou m = 6

19

Le polynme est donc soit

P (X) = X4 20X2 + 36et les racines sont 32,2,2, 32 en progression de raison 22 et correspond m = 6.

Exercice 8.55 Soient a, b et c les racines de P, on a

Q = k(X a3) (X b3) (X c3)

33/46 G Husc - E M -() 2009


o k est le coefficient dominant de Q (ne pas loublier !). On sait galement que

a+ b+ c = 0

ab+ bc+ ca = 1

abc = 1donc Q (0) = ka3b3c3 = k = k = 1. Puisque a, b et c sont racines de P,

a3 = a 1 = a = 1 a3b3 = b 1 = b = 1 b3c3 = c 1 = c = 1 c3

OrQ (1) = (1) (1 a3) (1 b3) (1 c3) = abc = 1

Remarque :

a3b3c3 = 1a3 + b3 + c3 = (a+ b+ c) 3 = 3

et

a3b3 + b3c3 + c3a3 = (a+ 1) (b+ 1) + (b+ 1) (c+ 1) + (c+ 1) (a+ 1)

= 2 (a+ b+ c) + ab+ ac+ bc+ 3

= 4

on en dduit les fonctions symtriques des racines de Q et ainsi

Q (X) = (X3 + 3X2 + 4X + 1)et ainsi on retrouve Q (1) = 1.

Exercice 8.56

1. Soient , et les racines de P, supposons que = , alors = 4 donc 2 = 4. Ainsi = 2 ou = 2.On vrifie facilement que cest 2 (car sinon on a une somme de nombres < 0, cela ne risque pas de faire 0). Ona ensuite 2 = + + = + (+ ) = + 2 (+ ) = 6 et = 2 do

= 2 et + = 2

Ainsi et sont racines de X2 2X + 2 = 0 do = 1+ i et = 1 i.2. Soient 1, 2 et 3 les fonctions symtriques lmentaires de x, y et z. On peut reformuler lnonc en

x+ y + z = 4x2 + y2 + z2 = 4x3 + y3 + z3 = 4

Ainsi, daprs lnonc 1 = 4. Puis

21 = x2 + y2 + z2 + 22 = 2 = 6

Enfin, on sait que x, y et z sont racines de X3 1X2 + 2X 3 ainsix3 1x2 + 2x 3y3 1y2 + 2y 3z3 1z2 + 2z 3

En sommant, on obtient4 16 + 24 33 = 0

do3 = 4

Ainsi x, y et z sont racines de P.

34/46 G Husc - E M -() 2009


Exercice 8.57 Si est racine double alors P () = P () = 0, ainsi

n + a b = 0nn1 + a = 0

La seconde condition fournit nn + a = 0 soit n = an. On reporte le rsultat dans P () = 0 pour obtenir

a

(1 1

n

) = b = = nb

a (n 1)Montrons que la condition donne est bien une CNS.Sens = : Si P a une racine double , alors en remplaant par la valeur trouve dans P () = 0

n

(nb

a (n 1))n1

+ a = 0

soitnn

an1(

b

n 1)n1

+ a = 0, ce qui scrit, en multipliant paran1

nn

(an

)n+

(b

n 1)n1

= 0

Sens = : rciproquement, si(an

)n+

(b

n 1)n1

= 0 alors posons =nb

a (n 1) , on a bien

P () = 0

et

n + a b = (n1 + a) b=

nb

a (n 1) (an+ a

) b car P () = nn1 + a = 0

= 0

Pour n = 2, on retrouve(a2

)2+ b = 0 soit a2+4b = 0, cest dire le discriminant. Si n = 3, on retrouve la condition

de lexercice 1, savoir (p3

)3+

(q2

)2=

1

108

(4p3 + 27q2

)= 0

soit 4p3 + 27q2 = 0.

Exercice 8.58 On a par rcurrence P (un) = un, cest vrai si n = 0, supposons que P (un) = un, alors

P (un+1) = P(u2n + 1

)par dfinition de un+1

= P (un)2+ 1 relation fonctionnelle vrifie par P

= u2n + 1 hypothse de rcurrence

= un+1 par dfinition de un+1

La suite (un)nN est strictement croissante car un+1 un = u2n un + 1 0 (le polynme X2 X + 1 a deuxracines complexes et un coefficient dominant positif). Elle prend donc une infinit de valeurs diffrentes. Le polynmeP (X)X a donc une infinit de racines (les un), ainsi

P (X) = X

On peut vrifier que cest bien solution !

35/46 G Husc - E M -() 2009


Exercice 8.59 Premire mthode : On a a+ b+ c = 0

ab+ bc+ ca = pabc = q

On commence par la condition ncessaire phase danalyse).

Puisque a + b + c = 0, on en dduit que c (a+ b)2 = c (c)2 = c3, mais c (a+ b)2 = c (a2 + b2 + 2ab) =c(1 + c2

)+ 2abc = c+ c3 2q. On en dduit que

c3 = c+ c3 2q = c = 2q

Mais alors a2 + b2 + c2 = (a+ b+ c)2 2 (ab+ bc+ ca) = 2p = 1 + 2c2 = 1 + 8q2. La CN est donc

1 + 2p+ 8q2 = 0

On vrifie quil sagit bien dun CS (phase de synthse).On suppose donc que lon a 1 + 2p+ 8q2 = 0. On vrifie que c = 2q est racine car

8q3 + 2pq + q = q(1 + 2p+ 8q2

)= 0

Mais alors a+ b = c = 2q et abc = q. Si q = 0, on en dduit que ab = 12, do a2 + b2 = (a+ b)

2 2ab = 1+ c2.Si q = 0, on a c = 0, a + b = 0, 1 + 2p = 0 = p = 1

2et ab + bc + ca = ab = p = 1

2. On termine de la mme

manire car a2 + b2 = (a+ b)2 2ab = 1 + c2.Conclusion, la CNS est

1 + 2p+ 8q2 = 0

Seconde mthode : On commence de ma mme manire pour avoir 1+ 2c2 = 2p. Cela signifie que la CNS est que Pet le polynme Q = 2X2+2p+1 ont une racine commune (qui est c). La division euclidienne de P par Q scrit alors

X3 + pX + q =(2X2 + 2p+ 1

)(12X

)+

(12X + q

)

Puisque c est racine de P et de Q, la CNS est que c est racine de Q et de R = 12X+q (on retrouve donc que c = 2q).

On crit de nouveau la division euclidienne

2X2 + 2p+ 1 =

(12X + q

) (4X 8q) + 16q2 + 4p+ 2

Puisque c est racine de Q et de R, la CNS est 16q2 + 4p+ 2 = 0.

Exercice 8.60 Soient , et les racines de P , on a+ + = a + + = b

= c

Analyse (Condition ncessaire) : On suppose que 2 = . On a alors 3 = c et

( + ) + = ( + ) + 2 = (+ + ) = a = b = a+ b = 0

Si a = 0, alors b = 0, les racines sont les racines troisimes de c. Si est lune delles, les deux autres sont = j et

= j2. Puisque j j2 = 1, on a bien = . Si a = 0, alors = baet 3 = c = b3 a3c = 0 (condition encore

valable si a = 0). La CN est doncb3 = a3c

36/46 G Husc - E M -() 2009


Synthse : On suppose que b3 = a3c.Si a = 0, on a b = 0 et on a vu que lon a bien une racine dont le carr est le produit des deux autres.

Si a = 0, on a = baracine de P car

( ba

)3+ a

( ba

)2+ b

( ba

)+ c =

a3c b3a3

= 0

Mais puisque = c = b3

a3= b

a( ba

)2, on en dduit que = 2 (car = 0).

Conclusion, la CNS est bienb3 = a3c

Exercice 8.61 Si a0 = 0, on pose P (x)an

= xn + bn1xn1 + + b0 et Q (x) = P (x)

an b0 b0|b0|donc Q (x) =

P (x)

an b0 b0|b0| = x

n + + a1a0x b0|b0| . Le produit z1 zn des racines de Q est gal (1)

n+1 b0

|b0| , en particulieron a

|z1 zn| = 1Il existe donc au moins une racine de module infrieur ou gal 1 (par labsurde), soit z0 cette racine. On a alors

Q (z0) =P (z0)

an b0 b0|b0| = 0 =

P (z0)

an= b0

(1 +

1

|b0|)

= |P (z0)||an| = |b0|(1 +

1

|b0|)= 1 + |b0| = |P (z0)| = |an|+ |a0| car b0 = a0

an

Si maintenant a0 = 0 et donc b0 = 0, on pose alors Q (x) =P (x)

an 1 = xn+ + a1

a0x 1 dont le produit des racines

vaut, en module, toujours 1. Il existe donc encore une racine de Q, note z0, telle que |z0| 1 Mais

Q (z0) = 0 = P (z0)an

= 1 = |P (z0)| = |an| = |an|+ |a0|

Exercice 8.62

1. Si P (X) =n

k=0

akXk, alors

P (P (X)) P (X) =n

k=0

ak

(P (X)k Xk

)=

nk=1

ak

(P (X)k Xk

)car P (X)0 = X0 = 1

Or dans un anneau commutatif, on a

ak bk = (a b)(

ki=0

aibk1

)

ainsiP (X)X divise

(P (X)

k Xk)

donc divise P P (X) P (X)Mais alors

P (X)X divise P P (X) P (X) + P (X)X = P P (X)X2. Soit P (X) = X2 3X 5, alors

P (P (X))X = (X2 3X 5)2 3 (X2 3X 5) 5X=

(X2 3X 5)2 3X2 + 8X + 10

37/46 G Husc - E M -() 2009


On en dduit queP (P (X))X = (P (X)X)Q (X)

Or z2 3z 5 z = (z + 1) (z 5) , ce qui donne deux racines de (z2 3z 5)2 3z2 + 8z + 10 = 0 qui sont1 et 5.Remarque : On a (

z2 3z 5)2 3z2 + 8z + 10 = (z 5) (z + 1) (z2 2z 7)Les deux autres racines sont donc 1 + 2

2 et 1 + 2

2.

Exercice 8.63 On considre lapplication T dfinie sur R [X] par

T (P ) = 3XP +X2P X3P

1. Facile, si (P,Q) R [X]2 et R alors

T (P +Q) = 3X (P +Q) +X2 (P +Q) X3 (P +Q)=

[3XP +X2P X3P ]

+3XQ+X2Q X3Q= T (P ) + T (Q)

Ainsi T est linaire, valeurs dans R [X], cest un endomorphisme de R [X].

2. Si P = 0, P = anXn +Q o an = 0, n = degP et degQ < n alors

T (P ) = anT (Xn) + T (Q)

= an[3Xn+1 + nXn+1 n (n 1)Xn+1]+ T (Q)

= (n+ 1) (n 3) anXn+1 + 3XQ+X2Q X3Q deg

CHAPITRE 8. POLYNMES 3. LES EXOTIQUES

Exercice 8.65 1. Soit un racine relle de P. Alors (+ 1)2 est aussi racine de P . On peut donc dfinir une suite

de racines ainsi u0 = et un+1 = (un + 1)2. La suite est strictement croissante car un+1un = (un + 1)2un =

u2n + un + 1 =(un +

12

)2+ 34 34 . On a donc une suite infinie de racine de P et P = 0.

2. Si P est constant alors P = 0 ou P = 1. Sinon, soit C une racine de P alors a2 est aussi racine,a4, a8, ..., a2

n

, ...sont aussi racines. On ne peut avoir une suite infinie de racine donc a = 0 ou il existe deuxindices p et q tels que a2

p

= a2q

. Dans le dernier cas, on obtient |a| = 1. Or (a+ 1)2 est aussi racine donc oubien a = 1 ou bien |a+ 1| = 1. En fin de compte a = j ou j2 daprs a).On en dduit que P = (X j)p (X j2)q , alors P (X)P (X 1) = (X j)p (X j2)q (X + j2)p (X + j)q etP(X2)=(X2 j4)p (X2 j2)q donc (X j2)p (X + j2)p (X j)q (X + j)q = (X j)p (X j2)q (X + j2)p (X + j)q

ce qui impose p = q.En conclusion

P =(X2 +X + 1

)n

Exercice 8.66 Soient x3 et x4 les deux autres racines de P dans C. On pose s = x1x2, ainsi x1 + x2 = 2s, on as > 0 car les deux racines sont relles positives (donc leur produit et leur somme aussi). On sait aussi que x1 et x2sont racines de X2 2sX + s = 0, ces racines sont positives et distinctes si et seulement si = s2 1 > 0. On doitainsi avoir s > 1. On a

x1 + x2 + x3 + x4 = 4

x1x2 + (x1 + x2) (x3 + x4) + x3x4 = 4x1x2 (x3 + x4) + (x1 + x2)x3x4 = a

x1x2x3x4 = b

Donc

x3 + x4 = 4 2ss+ 2s (4 2s) + b

s= 4

s (4 2s) + 2s bs

= a

x3x4 =b

s

On en dduit que b = 4s3 9s2 4s puis que a = 8s3 + 20s2 + 4s ainsi

a+ b = f (s) = 4s3 + 11s2

On a f (s) = 12s2 + 22s = 2s (6s 11) do les variations de f sur [1,+[

39/46 G Husc - E M -() 2009


1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

x

y

On a donc un maximum en s =11

6> 1. On a alors a =

682

27et b = 1397

108, do la valeur maximale de a+ b qui est

682

27 1397

108=

1331

108

le polynme P est alors

P = X4 4X3 4X2 + 68227

X +1397108

qui a pour racines1155

6,11 +

55

6,1 +

255

6,1255

6

Exercice 8.67 On a 1 = + + = a, 3 = = a et 2 = + + = a. Or , et sont racines de Pdonc

3 = a2 a+ a = a (2 + 1)3 = a

(2 + 1)

3 = a(2 + 1)

do 3 + 3 + 3 3 = a (2 + 2 + 2 1 + 3) 3a. Or21 =

2 + 2 + 2 + 22

ainsi3 + 3 + 3 3 = a (a2 3a+ 3) 3a = a3 3a2

On tudie alors le minimum de f (a) = a3 3a2 sur [0,+[ , f est drivable sur [0,+[ avec f (a) = 3a2 6a =3a (a 2). On a donc un minimum en a = 2 qui vaut 4.La valeur minimale de 3 + 3 + 3 3 est 4, obtenue pour a = 2, soit

P = X3 2X2 + 2X 2

Exercice 8.68 Soit x une racine relle dun polynme de la forme (1 + 2i)X3 2 (3 + i)X2+(5 4i)X+2a2, alorsles parties relles et imaginaires sont nulles donc, puique a est lui mme rel :

x3 + 6x2 + 5x+ 2a2 = 0

2x3 2x2 4x = 0

40/46 G Husc - E M -() 2009

CHAPITRE 8. POLYNMES 4. LES OLYMPIQUES

ce qui donne

a2 = 12

(x3 + 6x2 + 5x

)x (x+ 1) (x 2) = 0

On a donc trois valeurs pour x, ce qui donne trois valeurs pour a2, donc priori 6 valeurs de a. On a donc, pour rsumer

a2 = 0, ou a2 = 12(1 + 6 5) = 0 (oh, le vilain pige, deux valeurs de a2 nulle...), ou a2 = 1

2(8 + 24 + 10) =

21 qui ne donne aucune valeur relle ! AinsiS = 0

4 Les olympiques

Exercice 8.69 Si z est racine multiple de P alors P (z) = P (z) = 0. Or P (z) = n((z 1)n1 zn1

), ainsi z

est racine multiple si elle est solution du systme{(z 1)n = (zn 1)(z 1)n1 = zn1

{(z 1) (z 1)n1 = (zn 1)

(z 1)n1 = zn1 {

(z 1) (z)n1 = (zn 1)(z 1)n1 = zn1

{

zn1 = 1

(z 1)n1 = zn1 {

zn1 = 1

(z 1)n1 = 1On passe ensuite aux modules afine de localiser z, zn1 = 1 = |z| = 1 et (z 1)n1 = |z 1| = 1. Le point daffixez est lintersection des cercles de rayon 1 centr lorigine et en A daffixe 1.

11

1

B

O A

On en dduit (triangles quilatral) que z = ei3 = j2 o z = e i3 = j. Puisque P R [X] , si j2 est racine

multiple de P, j aussi. On va donc dterminer n pour que e i3 soit racine multiple. On a e i(n1)3 = 1 n1 = 6ko k N et dans ce cas (z 1)n1 = (j2 1)n1 = jn1 = (j3)2k = 1.Le polynme P a deux racines multiples si et seulement si n = 6k + 1 o k N.

Exercice 8.70 On a (x1 + x2) = 4 m et x1x2 = m2 3m + 3. Or (x1 + x2)2 2x1x2 = x21 + x22 = (4m)2 2(m2 3m+ 3)

= 10 2mm2. Ainsi x21 + x22 = 6 10 2mm2 = 6, m = 1 +5 ou m = 15.

De plus le discriminant de P est = (m 4)2 4 (m2 3m+ 3) = 6 2 (m2 3m+ 3) = 2m (m 3) a pourracine 0 et 3. P a donc des racines relles si et seulement si > 0 m [0, 3]. La seule valeur convenable estm = 1 +5.

Exercice 8.71 Soit Q = (X + 1)P X alors Q (k) = 0 pour k {0, ..., n}. Or Q est de degr n + 1 ainsi Q =aX (X 1) ... (X n). Reste dterminer a, mais Q (1) = 1 = a (1)n (n 1)! do P (n+ 1) = 1 pour n pair etP (n+ 1) = n

n+2 pour n impair.

41/46 G Husc - E M -() 2009

4. LES OLYMPIQUES CHAPITRE 8. POLYNMES

Exercice 8.72 Puisque le coefficient constant et celui de x ninterviennent pas (p et q quelconques), on peut envisagerdutiliser les relations coefficients-racines.Supposons que a, b, c et d soient les quatre racines de P (x) = x4 +mx3 + (m2 + 1)x2 + px+ q.Alors 1 = a+ b+ c+ d = m et 2 = ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd =m2 + 1. Donc 21 + 1 = m2 + 1 = 2Or 21 = a

2 + b2 + c2 + d2 + 22.On en dduit que a2 + b2 + c2 + d2 + 1 + 2 = 0, soit

a2 + b2 + c2 + d2 +m2 + 2 = 0

ce qui est impossible si a, b, c, d et m sont rels.

Exercice 8.73 On exploite les hypothses ainsi :P (a) = P (a+ 1999) = 0, nous indique que lon peut crire 0 de deux faons 0 = P (a) et 0 = P (a+ 1999) .Q (1998) = 2000, sinterprte ainsi, si Q (x) = b0 + b1x + ...., alors Q (1998) = 2000 est pair donc b0 aussi. Maisb0 = Q(0). Voila comment rintgrer P !On sait donc que Q(P (a)) = Q (P (a+ 1999)) = b0 est pairMaintenant lastuce :Proposition : Soit A un polynme coefficients entiers alors A (x)A (y) est divisible par x yPreuve : Si A (X) = a0+a1X+ ... =

nk=0 akX

k, A (x)A (y) = a1 (x y)+a2(x2 y2)+ ... =nk=1 ak (x y)k ,

mais (x y)k = (x y) (xk1 + yxk2 + ...+ yk1) est divisible par x y Supposons quil existe x tel que Q (P (x)) = 1. Daprs la proposition, b0 1 = Q (P (a))Q (P (x)) est divisible para x (prendre A = Q P ) et aussi par a x+ 1999 car P (a) = P (a+ 1999) = 0. Puisque a x divise b0 1 quiest impair, a x est impair. Mais a x+ 1999 est pair et divise aussi b0 1 qui, lui, est impair.

Exercice 8.74 Notons c la troisime racine de P, alors abc = 1. Aucune des racines nest donc nulle et 1+ a+ ab =abc+ a+ ab = a (1 + b+ bc), de mme 1 + b+ bc = abc+ b+ bc = b (1 + c+ ca). Ainsi

(1 + a+ ab) + (1 + b+ bc) + (1 + c+ ca) = 3 + (a+ b+ c) + (ab+ bc+ ca)

= (1 + a+ ab)

(1 +

1

a+

1

ab

)=

(1 + a+ ab) (1 + b+ ab)

ab

Daprs les relations coefficients-racines, on a

3 + (a+ b+ c) + (ab+ bc+ ca) = 3 + 1 4 = 0do le rsultat.

Exercice 8.75 On va prouver le rsultat par rcurrence sur n, soit a, et r trois complexes, on dfinit Pn (X) =

a

n+2k=0

(X kr). Le polynme Pn a n + 3 racines qui forment une suite arithmtique de raison r. On va prouverque

P (n)n (X) = a(n+ 3)!

3!

(X (n+ 2) r

2n+ 4r

2

)(X (n+ 2) r

2

)(X (n+ 2) r

2+

n+ 4r

2

)

Pour simplifier lcriture du rsultat, on pose n = +(n+ 2) r

2et n =

n+ 4r

2, ainsi on dsire montrer que

P (n)n (X) = a (X n n) (X n) (X n + n)Cest vrai pour n = 0 et n = 1,(cf 19.48). Puis

Pn+1 (X) = Pn (X) (X (n+ 3) r)= Pn (X) (X (n+ 3) r)

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do (formule de Leibniz)

P(n+1)n+1 (X) = P

(n+1)n (X) (X (n+ 3) r) + (n+ 1)P (n)n (X)

=(P (n)n (X)

) (X (n+ 3) r) + (n+ 1)P (n)n (X)

Il suffit alors de vrifier avec Maple que(P (n)n (X)

) (X (n+ 3) r) + (n+ 1)P (n)n (X)

= a(n+ 4)!

3!

(X (n+ 3) r

2n+ 5r

2

)(X (n+ 3) r

2

)(X (n+ 3) r

2+

n+ 5r

2

)

Exercice 8.76 Trouver a R pour que le polynme (1 a)x3 + (2 + a)x2 + (a 1)x + 7 a admette une racinecomplexe de module 1. Trouver les autres racines.

Si z est racine de P et est de module 1, alors P (z) = 0 = P (z) = 0.Mais puisque a R, on a P (z) = P (z) = P(1

z

)car z est de module 1. Ainsi

(1 a) + (2 + a) z + (a 1) z2 + (7 a) z2z3

= 0

do [(1 a) z3 + (2 + a) z2 + (a 1) z + (7 a)] [(1 a) + (2 + a) z + (a 1) z2 + (7 a) z3]

= 6z3 + 3z2 3z + 6 = 3 (z 1) (2z2 + z + 2) = 0On en dduit que z = 1 ou z = 1

4 1

4i15. Puisque P (1) = 9, la solution z = 1 est exclure. Pour les deux autres

solutions, on a

z2 = z2 1 = z3 = z

2

2 z =

(z2 1

)2

z = 34z +

1

2

ainsi

P (z) = (1 a) z3 + (2 + a) z2 + (a 1) z + (7 a)= (1 a)

(34z +

1

2

)+ (2 + a)

(z2 1

)+ (a 1) z + (7 a)

=1

4(5a 11) (z 2) = 0 a = 11

5

La seule valeur est donc a =11

5

Dans ce cas, on sait que les racines sont z = 14 1

4i15 (car sil y a une racine complexe, il y a sa conjugue, P

tant coefficients rels) qui sont toutes deux de module 1, le produit des racines tant gal

7 a1 a =

7 115

1 115

= 4

La troisime racine vaut 4. On a alors

P =

(1 11

5

)(x 4)

(x

(1

4 1

4i15

))(x

(1

4+

1

4i15

))= 6

5(x 4)

(x2 1

2x+ 1

)

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Exercice 8.77 2003 ou 24, cela semble la mme chose (dailleurs 6 lments ou 2n, cest sans doute identique).Reste comprendre comment faire. On considre le polynme

P (x) = (x+ a1) (x+ a2) (x+ a3)

alors P (b1) est gal au produit des lments de la premire colonne, savoir 2003. De mme P (b2) = P (b3) = 2003.On en dduit que le polynme P (X) 2003 est nul en b1, b2 et b3, puisquil est de degr 3, on a

P (x) = (x b1) (x b2) (x b3) + 2003De la on dduit que

P (a1) = 0 = (a1 + b1) (a1 + b2) (a1 + b3) + 2003soit

(a1 + b1) (a1 + b2) (a1 + b3) = 2003

i.e. le produit des lments de la premire ligne vaut 2003. Le mme raisonnement avec P (a2) et P (a3) permet deconclure.Remarque : Si on prend 2n lments a1, , an, b1, , bn le produit des lignes est constant mais il y a changementde signe si n est pair.

Exercice 8.78 Analyse : Soit P un tel polynme, alors y [1, 1] , pour x = arcsin y, on aP (y) = P ( sinx) = P (sin (x)) = 1 P (cos (x))

= 1 P (cosx) = P (sinx) = P (y)Ainsi le polynme P est un polynme pair (car [1, 1] est une partie infinie) Il existe donc un polynme Q tel queP (X) = Q

(X2). On a alors

P (sinx) + P (cosx) = Q(sin2 x

)+Q

(cos2 x

)= Q

(sin2 x

)+Q

(1 sin2 x) = 1

Sur lintervalle [0, 1] , on a donc Q (y) + Q (1 y) = 1 (il suffit de poser y = sin2 x, ou bien x = arcsiny poury [0, 1]). Donc puisque [0, 1] est une partie infinie, on a

Q (X) +Q (1X) = 1

Ceci signifie que le point

(1

2,1

2

)est un centre de symtrie du graphe de Q (en effet si on a M (x,Q (x)) et

M (1 x,Q (1 x)), alors le milieu de [M,M ] a pour coordonnesx+ 1 x

2=

1

2= x

Q (x) +Q (1 x)2

=1

2= y

Donc si on change lorigine pour la mettre en , on aura un polynme impair. On considre donc le polynme

R (X) = Q

(X +

1

2

) 1

2

Alors

R (X) = Q(X 1

2

) 1

2= Q

(1

(X +

1

2

)) 1

2

= 1Q(X +

1

2

) 1

2=

1

2(X +

1

2

)= R (X)

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Le polynme R est impair, il scrit donc de la forme

XU(X2)

et ainsi

Q

(X +

1

2

) 1

2= XU

(X2)= Q (X) =

(X 1

2

)U

((X 1

2

)2)+

1

2

et P (X) =

(X2 1

2

)U

((X2 1

2

)2)+

1

2

Rciproquement, puisque

(cos2 t 1

2

)[(cos2 t 1

2

)2]k=

1

22k+1(2 cos2 t 1)2k+1 = cos2k+1 2t

22k+1(sin2 t 1

2

)[(sin2 t 1

2

)2]k=

1

22k+1(2 sin2 t 1)2k+1 = ( cos 2t)2k+1

22k+1

Si P (X) =

(X2 1

2

)U

((X2 1

2

)2)+

1

2alors P (cos t) + P (sin t) = 1.

Exercice 8.79 Soit Q (X) = XP (X) 1, alors Q (i) = 0 pour i {1, , n+ 1}. On a donc les n + 1 racines deQ qui est de degr n+ 1. Ainsi Q (X) = a

n+1k=1

(X k). Or Q (0) = 1 donc Q (0) = an+1k=1

(k) = (1)n+1 (n+ 1)! =

1 = a = (1)n

n!do

XP (X) =(1)nn!

n+1k=1

(X k) + 1

Le polynme de droite admet 0 comme racine, il scrit sous la forme X + + (1)n

n!Xn+1. En divisant par X,

et en prenant la valeur en 0, on a = P (0). On dtermine donc le coefficient en X de(1)nn!

n+1k=1

(X k) qui est

(1)nn!

n+1k=1

(1)n+1 (n+ 1)!k = (n+ 1)

n+1k=1

1

k. On a donc

P (0) = (n+ 1)n+1k=1

1

k= (n+ 1)Hn+1

Exercice 8.80 Soit P un tel polynme non constant (les polynomes constants sont 0 et 1), de degr n. Soit Z ={z1, , zn} ses racines, si z est racines de P alors

P (z)P (z + 1) = P(z2 z + 1) = 0

P (z 1)P (z) = P((z 1)2 (z 1) + 1

)= P

(z2 3z + 3) = 0

Ainsi z Z ={

z2 z + 1 Zz2 3z + 3 Z . Soit u la racine la plus loign de 1, pour tre prcis, lensemble

U = {|z 1| , z Z}

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est fini donc admet un maximum M atteint pour une racine, quitte les rordonner, par exemple pour u = z1. On adonc

u2 u+ 1 Z = u2 u+ 1 1 |u 1| par maximalit de uu2 3u+ 3 Z = u2 3u+ 3 1 |u 1|

Donc u2 u+ 1 1 = |u| |u 1| |u 1| = |u| 1 ou u = 1|u 1| |u 2| |u 1| = |u 2| 1 ou u = 1

Supposons que u = 1 alors|u| 1 et |u 2| 1

Le point M daffixe u est donc dans le cercle unit et dans le cercle de centre A daffixe 2 et de rayon 1, donc (faireun dessin) u = 1. Ainsi u = 1 et maxU = 0. Conclusion P a une unique racine z = 1 ! Donc

P = (X 1)n

On remplace pour avoir = 1.... Conclusion, les solutions sont les polynmes de la forme

(X 1)n o {0, 1} et n N

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