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Ce chapitre ne constitue pas un cours de Mathmatiques, mme s'il en a l'apparence. Le seul objectif est de prciser de faon simple certains lments pr-requis pour une bonne comprhension et application du cours de mcanique. La diminution du contenu des programmes de Mathmatiques pr-baccalaurat fait que certaines notions rappeles ici ncessiteront un approfondissement de la part de l'tudiant. 1 Equations MLT : En Mcanique, il existe 3 grandeurs physiques fondamentales : Masse, Longueur, Temps. Dans le systme international, les units sont kilogramme, mtre, seconde. Les autres grandeurs en sont drives. Ainsi, une grandeur X pourra s'crire sous la forme x y zX M L T= x, y, z sont appeles les dimensions respectivement des grandeurs M, L, T. Si toutes les dimensions sont nulles, la grandeur est sans dimension. Pour un tudiant, le premier intrt de ce qui prcde rside dans la possibilit de vrifier l'homognt des rsultats d'un calcul. Ainsi, un rsultat non homogne est coup sr faux. Malheureusement, un rsultat homogne n'est pas ncessairement vrai : on peut avoir oubli un nombre sans dimension. Quelques rsultats : Grandeur Equation Unit Remarque vitesse 1LT m/s acclration 2LT m/s force 2MLT kg.m/s ( Newton N) masse x acclration travail 2 2ML T kg.m/s = Nm ( Joule J) force x longueur puissance 2 3ML T Nm/s ( Watt W) force x vitesse pression 1 2ML T N/m ( Pascal Pa) force / surface dbit volumique 3 1L T m

3/s vitesse x surface dbit massique 1MT kg/s masse vol. x dbit vol. viscosit cinmatique 1LT m/s 1cStoke=1 mm/s viscosit dynamique 1 1ML T kg / m.s masse vol. x viscosit

cin. vitesse angulaire 1T rd/s radian sans dimension ! Il y a des correspondances entre des units spcifiques. Par exemple : 1 MPa = 1 N / mm Pour la vitesse angulaire , exprime en rd / s, sachant que 1 tour = 2 rd et que 1 min = 60 s, on obtient facilement = N / 30 ( N en t / min ) On trouve aussi d'anciennes units. Par exemple, en hydraulique, l'unit de pression : 1 bar = 1 kgforce / cm = 9,81 N / cm 1daN /cm = 10 N / 100 mm = 0,1 N / mm = 0,1 MPa Pour la culture, on se souviendra que 1 atm = 1013mbar = 1 hPa = 76 cm de Hg !

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2 Reprsentation matricielle : Il s'agit ici de mettre en vidence une notation de l'algbre linaire ( partie du programme de Mathmatiques qui sera dveloppe cette anne ) Par exemple, considrons une application linaire dans l'espace euclidien habituel ( dimension 3 ) telle que Y = ( X ), se traduisant par les relations ordonnes suivantes :

3

1 11 1 12 2 13 3 1 1j jj 1

3

2 21 1 22 2 23 3 2 2 j jj 1

3

3 31 1 32 2 33 3 3 3 j jj 1

y a x a x a x y a x

y a x a x a x y a x

y a x a x a x y a x

=

=

=

= + + =

= + + =

= + + =

On peut crire ces relations sous forme de reprsentaion matricielle :

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

y a a a xy a a a xy a a a x

=

soit sous forme symbolique ( ) ( )( )i ij jy a x= ( )iy est la matrice colonne associe Y; ( )jx la matrice colonne associe X ( )ija est la matrice de l'application linaire ( matrice des coefficients ) i est l'indice des lignes , j est l'indice des colonnes La matrice ( )iy rsulte du produit des matrices ( ) ( )ij ja et x Considrons la matrice ( )ija : - si le nombre de lignes est gal au nombre de colonnes , on dit que la matrice est carre, ce qui est le cas dans cet exemple. - si ij jia a= , la matrice est dite symtrique

4 1 21 5 32 3 6

- si ij jia a= , la matrice est dite antisymtrique

0 1 21 0 32 3 0

Concrtement voici, partir de l'exemple prcdent, comment s'effectue le produit de 2 matrices :

1

2

3

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

x x

x

a a a ya a a ya a a y

Vous aurez l'occasion de voir dans le cours de Mathmatiques bien d'autres proprits et d'oprations sur les matrices.

les coefficients de part et d'autre de la diagonale principale sont identiques

les coefficients de part et d'autre de la diagonale principale sont opposs, ceux de la diagonale principale sont nuls car iia 0=

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3 Oprations sur les Vecteurs :

L'objectif est de voir de faon lmentaire certaines oprations sur les vecteurs. (on pourra consulter le Ncessaire mathmatique du polycopi pour les dfinitions mathmatiques)

3.1. Produit scalaire :

Par dfinition, le produit scalaire de 2 vecteurs U et V not U.V est gal U V cos(U, V)

. ( cette forme est de peu d'intrt en Mcanique ) C'est un nombre rel. On en dduit que 2 vecteurs perpendiculaires ont un produit scalaire nul. Le produit scalaire d'un vecteur par lui-mme est gal au carr du module de ce vecteur. (carr scalaire) On en dduit aussi les proprits de commutativit, de distributivit par rapport un rel et par rapport l'addition vectorielle. Expression analytique : Cette expression permet de faire une remarque intressante :

Supposons que U et V soient unitaires et appelons ( ) ( )a U,i b= V,i= On a = b a x1= cos a y1= sin a x2= cos b y2= sin b Alors U.V = cos = cos (b-a) = cos a cos b + sin a sin b ce qui est une faon trs commode de retrouver une relation trigonomtrique. De mme, soit le triangle ABC suivant :

U.V V.U= symtrie (U.V) ( U).V U.( V) = = rel U.(V W) U.V U.W

(U V).W U.W V.W

+ = +

+ = + distributivit

Dans une base orthonorme 1 2 3(e ,e ,e ) , on a i j ije .e = o le symbole de Kronecker ij 1 si i=j et 0 si i j =

( R ) ( R )

x1 x2U.V . x1x2 y1y2

y1 y2= = +

Si l'on associe un vecteur chaque cot du triangle, on peut crire BC AC AB= , puis en effectuant le "carr scalaire", on obtient a = b + c - 2 bc cos On retrouve la trs connue relation dans les triangles quelconques.

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3.2. Produit Vectoriel :

Dfinition Par dfinition, le produit vectoriel de 2 vecteurs U et V not U V est le vecteur W tel que : - sa direction est perpendiculaire au plan form par U et V . - son sens est celui de la rotation de U vers V ( sens du tire-bouchon ) - sa norme est l'aire du paralllogramme construit partir de U et V Proprits U V V U = antisymtrie ( car le sens est chang ) U U 0 =

U V (U V) = ( car seule la norme est change )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )X Y Z X Y X Z

X Y Z X Z Y Z

+ = +

+ = + distributivit gauche et droite par rapport l'addition

Expression analytique : Soit la base orthonorme habituelle (i, j, k) , on tablit facilement que : i i 0 j j 0 k k 0

i j k j k i k i j

= = =

= = =

Soit 2 vecteurs exprims dans la mme base orthonorme 1 1 1 2 2 2U(x , y , z ) V(x , y , z ) Le calcul en ligne est fastidieux et se dduit des rsultats prcdents :

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

W U V x i y j z k x i y j z k

W y z y z i z x z x j x y x y k

= = + + + +

= + +

On prfrera la notation symbolique suivante : ( dterminant symbolique)

1 1 1 1 1 11 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2

i j ky z x z x y

W U V x y z i j ky z x z x y

x y z= = = + = rsultat prcdent

W U V sin (U, V)=

Mthode pratique : on crit 2 fois la base, le sens est donn par l'ordre d'criture i j k j i k = =

on remarque que chaque composante se dduit de la prcdente par permutation circulaire

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3.3. Produit mixte :

Dfinition Le produit mixte de 3 vecteurs U V W est le nombre rel U.(V W) =(U, V, W) gal au volume (affect d'un signe) du paralllpipde form par ces vecteurs.

En effet, ( )U. V W V W U cos = V W h =

Proprits Conservation par permutation circulaire (U, V, W) (V, W, U) (W,V, U)= = Changement de signe par permutation impaire (U, V, W) (V, U, W) (U, W, V)= = Invariance par permutation des oprateurs U.(V W) =(U V).W Expression analytique :

Le calcul classique est fastidieux. On prfrera l'expression du dterminant de la matrice associe aux 3 vecteurs.

( )1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2 1 1 1

3 3 3 3 3 33 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

x y zy z x z x y

U, V, W x y z x y zy z x z x y

x y zx y z x z y y x z y z x z x y z y x

= = +

= + +

3.4. Double Produit vectoriel :

Cette relation est particulirement utile dans certaines dmonstrations si 2 des vecteurs sont orthogonaux. Le double produit vectoriel n'est pas associatif dans le cas gnral.

si aigu cos > 0 si obtus cos < 0

( ) ( ) ( )U V W U.W V V.U W =

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4 Applications :

4.1. Cosinus directeurs :

4.2. Changement de base :

Soit , en reprsentation matricielle symbolique:

0

0

0

i icos sin 0j sin cos 0 j

0 0 1k k

=

La matrice des coefficients est la matrice de changement de base ( rotation dans le plan ) Soit maintenant le vecteur 0 0 0 0U xi y j x i y j= + = + On cherche exprimer x et y en fonction des coordonnes de la base 0. Mthode retenir : On utilise la proprit d'orthogonalit des vecteurs de base.

0 0 0 0x(i.i) y(i.j) x (i.i ) y (i.j )+ = + et 0 0 0 0x( j.i) y( j.j) x ( j.i ) y ( j.j )+ = + ce qui donne :

0 0

0 0

x x cos y siny x sin y cos= + = +

et sous forme matricielle 0

0

x cos sin 0 xy sin cos 0 y0 0 0 1 0

=

On retrouve la matrice de rotation prcdente. On pouvait donc se dispenser du calcul car, pour exprimer les nouvelles composantes en fonction des anciennes, il suffit de multiplier la matrice colonne associe aux anciennes composantes par la matrice de rotation. 4.3. Drivation :

Reprenons 0 0

0 0

i cos i sin j

j sin i cos j

= +

= + et drivons par rapport

On a : 0 0

0 0

d i -sin i cos j jdd j cos i sin j id

= + =

= =

n tant unitaire, on appelle cosinus directeurs de n ses composantes dans le repre orthonorm.

cos an = cos b

= cos c

=

et l'on a videmment ++=1

0 0

0 0

0

i cos i sin j

j sin i cos j

k k

= +

= +

=

La drive d'un vecteur unitaire est gal au vecteur unitaire dduit par rotation de /2 dans le plan.

a, b, c sont les angles de n avec les axes du repre.

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5 Systmes de Coordonnes :

5.1. Coordonnes polaires :

5.2. Coordonnes cylindriques :

5.3. Coordonnes sphriques : 6 Nombres complexes : Dans le plan complexe , on crit iz e cos i sin= = + o est le module et est l'argument du nombre complexe z. 2 nombres complexes inverses ont leurs modules inverses et leurs arguments opposs. Formule de Moivre : n n in n n nz e (cos isin ) (cos n i sin n )= = + = + Cette formule est particulirement importante pour retrouver certaines relations trigonomtriques.

M( , ) x = cos dx = d cos - sin d y = sin dy = d sin + cos d = x + y tan = y / x mtrique ds = dx + dy = d + d

M( , , z ) x = cos dx = d cos - sin d y = sin dy = d sin + cos d = x + y tan = y / x ds = dx + dy + dz = d + d + dz Sur un cylindre = R constant

M( , , ) x = cos cos y = cos sin z = sin dx = d cos cos - cos sin d - cos sin d dy = d cos sin + cos cos d - sin sin d dz = d sin + cos d ds = dx + dy + dz = d + cos d + d

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Par exemple, pour trouver la relation entre cos3 et les puissances trois de sin et de cos 3(cos3 isin 3 ) (cos isin )+ = +

On dveloppe le membre de droite en ordonnant et en utilisant le triangle de Pascal

puissances coeff 1(a b)+ 1 1

(a b)+ 1 2 1 3(a b)+ 1 3 3 1 4(a b)+ 1 4 6 4 1

En dveloppant le membre droit, on obtient : 3 3 3cos 3i cos sin 3i cos sin i sin+ + + = 3 3cos 3i cos sin 3cos sin i sin+

En identifiant les parties relles, puis les parties imaginaires, on a : 3 3cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos = =

3 3sin 3 3cos sin sin 3sin 4sin = = Ces relations sont trs utiles pour le calcul d'intgrales o apparaissent des puissances de fonctions trigonomtriques. Formules d'Euler : De la premire expression d'un nombre complexe z, on dduit les formules importantes suivantes : Remarque : On trouve partir des formules prcdentes, la relation entre les fonctions trigonomtriques et les fonctions hyperboliques dont on rappelle les dfintions cos ch i ; sin = -i sh i = 7 Bibliographie :

La Mcanique utilise beaucoup les Mathmatiques et il n'tait pas question de rappeler dans ce chapitre toutes les notions utiles. La gomtrie occupe une place importante et il serait trs judicieux de consulter les ouvrages traitant des courbes planes ( coniques, cyclodes, ) pour des applications de Cinmatique par exemple. Citons des ouvrages gnraux : * Outils et Modles mathmatiques Tome 2 calcul vectoriel, gomtrie analytique Florent / Lauton Vuibert * Cours et applications de mcanique gnrale et analytique

Talpaert Ellipses

i i i ie e e ecos sin =2 2i

+ =

e e e ec h sh =2 2

+ =