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8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
1/309
LA
MCANIQUE
QUANTIQUE
PROBLMES
RSOLUS
TOME1
Victor
M ikhailovich
G A L IT S K Y
Boris M ikhailovich K A R N A K O V
Vladimir Il'yich K O G A N
SCIENCES
17,
avenue
duHoggar
Parcd'Activit
de Courtabuf,
B P112
91944
LesUlis
Cedex
A, France
-
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2/309
Ouvrages
Grenoble
SciencesditsparEDP Sciences
Collection
Grenoble
Sciences
Chimie. L e minimum vital savoir(J .
Le
Coarer)
- Electrochimie des solides
(C .Dportes et al.) -Thermodynamiquechimique
(M.
Oturan
&
M.
Robert)
-Chimie
organomtallique (D.
Astruc)
Introduction
la mcanique statistique (E . Belorizky & ' W. Gorecki) -
Mcanique
statistique.Exercices
et
problmes
corrigs (E .Be lorizky &W.
Gorecki)
- L asymtrie
enmathmatiques, physique et chimie ( J . Sivardire) -
L a
cavitation.
Mcanismes
physiques
et
aspects industriels
( J . P .
Franc
e t
al.) -
L a
turbulence
(M.
Lesieur)
-
Magntisme
:
1
Fondements,
I I
Matriaux
et
applications
(sous
la
direction
d'E.
du
Trmolet de Lacheisserie) -Du Soleil
laTerre.Aronomie
et
mtorologie
del'espace
(
.Lilensten
& P.L.
Blelly) -Sous
les feux
du
Soleil.
Vers
unemtorologie
de
l'espace
( J . Lilensten
& ' J .
Bornarel) -
Mcanique.
De la f o r m u l a t i o n lagrangienne
au
chaos
hamiltonien
(C .
Gignoux
& B .
Silvestre-Brac)
-Analyse statistique des donnes
exprimentales
(K .
Protassov)
Exercices
corrigs
d'analyse. Tomes1
et
2 (D.Alibert) - Introduction aux varits
diffrentielles ( J . Lafontaine) - Analyse numrique et quations
diffrentielles
( J . P .
Demailly)
-
Mathmatiques
pour
les
sciences
de
la
vie,
de
la nature
et
de
la
sant ( F . &
J . P .Bertrandias)
- Approximation
hilbertienne.
Splines, ondelettes,
fractales (M.Attia & /. Gaches) - Mathmatiques pour
l'tudiant scientifique,
Tomes1et 2
(Ph.J.
Haug)
Bactries et environnement.
Adaptations
physiologiques ( J .Pelmont) -
Enzymes.
Catalyseurs du monde vivant ( J .Pelmont) - L a plonge
sous-marine
l'air.
L'adaptation
de l'organismeet
ses
limites (Ph.Foster) -L'ergomotricit.
L e
corps,
le
travail et la sant (M. Gendrier) - Endocrinologie et
communications
cellulaires
( S .
Idelman
&
J .
Verdetti)
L'Asie,
source
desciences etde
techniques(M.
Soutif)
-
L abiologie,
desorigines
nos
jours (P .
Vignais)
-Naissance
delaphysique.De la SicilelaChine
(M.
Soutif
Minimum Competence in S c i e n t i f i c English ( J .Upjohn,
S.Blattes & V. J a n s ) -
Listening
Comprehension fo r
Scientific
English
( J .
Upjohn)
-
Speaking Skills in
ScientificEnglish
( J .
Upjohn,M.H.Fries
&
D. Amadis)
Grenoble Sciences- Rencontres Scientifiques
Radiopharmaceutiques.
Chimie
desradiotraceurs
et applicationsbiologiquesso
la
direction de M.Comet &M.
Vidal)
-Turbulence
et
dterminisme
(sous
la direction
de M.
L esieur)
-
Mthodes
ettechniquesde
la
chimie
organique (sous
la
direction de
D .
Astruc)
-
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A V A N T - P R O P O S
Ce
recueil
propose
plus de
800
problmes de
divers niveaux
se
rapportant pour
l'essentiel
la mcanique
quantique
non
relativiste. Il
est
destin aux
physiciens,
tudiants
et thsards,exprimentateurset thoriciens.
Lesproblmes illustrent suivant lescas, lesprincipesde
la
mcanique
quantique,
les
instruments mathmatiquesou les
exemples d'application
concrtes, essentiellement
en physique
atomique,
en
physique nuclaire
et en
physique des
particules.
Outres
les
problmestraditionnelsde la
mcaniquequantique, lerecueil comprend un grand
nombre
de
problmes nouveaux inspirs
par
les derniers
dveloppements de
la
mcanique quantiqueet
par
ses multiples applications
physiques. Une
telouvrage
est.
en
fait
un
complment naturel
des
manuelsde
mcaniquequantiquetels
que
ceuxde
L.D. Laundau
et
E.M. L i f c h i t z ,
de
Cl.
Cohen-Tannoudji,
B. Diu et
F.
Lale ou de
A. Messiah.
Tous
le s problmes proposs sont corrigs souvent
de
faon dtaille. Les solutions
permettent une acquisitionpratiquedesconnaissances
thoriques.
Ce livre
est
une traductionamliore
du
"Recueil de problmes
de
mcanique quan-
tique"
de
V.M.Galitsky,
B.M.
Karnakov
et
V.I. Kogan (publi
par
Nauka
enrusse),
problmes
qui
furent proposs auxtudiants
de
l'Institut
des
ingnieurs
et des
phy-
siciens de
Moscou.
Le
lecteur
dispose
pour optimiser
son
travail
la liste
des
notations
les
plus
courantes
et des valeurs
numriques
des
constantes ncessaires
larsolution
de
problmes
de
physique
de
l'atome
et
du
noyau.
Notons
que, dans ce livre, on utilise le systme
d'units
CGS qui
est mieux adapt
ce
type
de
problmes.
Une annexe fournit les
rsultats des problmes de mcanique quantique
de l'oscillateur
l i n a i r e , de
l'atome
d'hydrogne et un
complment sur
certaines
fonctions spciales
(les harmoniques
sphriques, lesfonctionsdeBessel, etc).
L'ouvragesera
particulirement
utile
auxtudiantsdephysique
de
second
et
troisme
cycle
( les
exercicescorrespondant
au
niveau
du troisme
cycle
sont
marqus
par
une
toile)
mais
galementtous ceuxqui sont concerns par la
mcanique quantique.
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8 PROBLMES
DE MCANIQUE
QUANTIQUE
d momentdipolaire
do
rayon
de
Bohr
S i
dphasage
c r
matrices
de
Paul i
w, W probabilit de
transition,
probabilit d e
t r a n s i t i o n
parunit
de temps
Z , Ze charge
du noyau
R rayon du potentiel
m, M masse,nombrequantique m a g n t i q u e
1 1
masse,
momentmagntique
A nombre
atomique
du noyau
p, P
impulsion
k
vecteur
d'onde
L J frquence
( p u l s a t i o n )
/ , L, j , J
moment
(orbital,total)
s, S
spin
Ji,(z) fonctionde Bessel
H n ( x )
polynme
d'Hermite
Ylm(8,
y) harmonique s p h r i q u e
CONSTANTES
La rsolution des
nombreux
problmes de physique
a t o m i q u e ,
de physique molcu-
laireet de
physique nu cl a i r e
ncessite descalcul n u m r i q u e s
destins
comparer le s
solutions
aux
d o n n e s exprimentales ( f i g u ra n t dans les n o n c s )
. Pour faciliter le s
calculs,
on
donne
ic i le s
valeursnumriquesdes p r i n c i p a l e s
constantes physiques
2
.
Constante
de P l a n c k
h
=
1,054 x
10~
27
erg
x s
Charge lmentaire e= 4, 80 X " l O "
1 0
unitsCGS
Masse
de
l'lectron
m ^
= .
9 ,
11
x
10~
28
g
Vitesse de la
lumire
c= 3,
00
x lO"
10
cm/s
RayondeBohr
( u n i t
de
l o n g u e u r
atomique)
n
=
0 ,53x lO"
8
cm
U n i t atomiqued'nergiem^e
4
/^
2
= 4, 36
x lO"
11
erg
27 ,2 eV
Unitatomique
de
f r q u e nce
m c
4
/h
3
=4 ,13
x
lO
1 0
s~
1
Unit atomique d'intensitduchamplectriquee/n^
=
5, 14x 10
9
V/cm
Constante
de
structure
fine
a=
e
2
/hc=
1/137
Masse d u proton m?=
1836me
= 1 , 6 7
x l O " ^
4
g
Diffrence demassesentre neutron et
proton
m,,
H p w 2,5m ^
Energie au reposde l'lectron m c
2
=
0,51
M eV
Rayon
d u
noyau
R
w
1,2
x
lO"
13
/
1
/
3
cm
1 eV
=
1,60 x 10-
12
erg
2
Ces
valeurs sont
approches ;
pourplus de prcision voir les ouvragesspcialiss.
-
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C H A P I T R E1
OPRATEURS
EN
MCANIQUE
QUANTIQUE
1.1
NOTIONS
GNRALES DE
LA
THORIE
DES OPRATEURS
LINAIRES
1.1. Soit lesoprateurs suivants
( 0 0
-
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10 PROBLMES DE MCANIQUE QUANTIQUE
1.5.
Montrer
qu'un oprateur arbitraire F
p e u t ,
tre
mis
sous la
forme F
=A - f -
i.H,
o
A
et
B
sont des oprateurs hermitiens.
1.6. Montrer que si les
oprateurs
A et. B sont hermitiens, les oprateurs
AB
+
HA
et i(AB
B
A) le
sont galement.
1.7.
Soit
un
oprateur F nonhermitien,
dans
quelcasl'oprateur
F
2
est-ilhermitien?
1.8. Montrer que lesoprations algbriques sur les
commutateurs
possdent la pro-
pritde
distributivit,
autrement
dit
que lecommutateur de
lasommeest
gale .
la
somme
des c o m m u t a t e u r s
:
EES
L
;:
k J i,k
1.9.
Soit
trois
oprateurs
A, B
et C. Exprimer
lecommutateurdu
produit
AB
et C'
au moyen
des
commutateurs
[A ,
C]
et
[B,
C}.
1.10. Dmontrer l'identit de Jacobi pour les commutateurs des
oprateurs A , B
et
C
:
[A,[,C]]
+
[B,[C,A]]
+
[C,[,
B]]
=
0.
1.11. Est-ce que deux matrices P, Q de
rang
f i n i
N peuvent
satisfaire
la
relation
de commutation [P,
Q ]
=
il
?
1.12. Soit
F ( z )
unefonctionde la ,
variable
z
qu'on dveloppe
sous
forme de
srie
Py\
V(,
7
r
Vl~
c
"
^
'
n
et
un
oprateur/.
On d f i n i t
l'oprateur F,
par
:
F= r.
n
En utilisant
cette
dfinition,
donner l'expression des
oprateurssuivants
:
a) exp ( T r T )
;
) =pJa)
(l'oprateur Rest
dfini dans 1.1).
Eu
rapport avec ce
problme,
voir aussi le
pro-
blme 1.5 1 .
1.13. En supposant
petit, trouver le dveloppement
de l'oprateur
(A X B )
s u i v a n t le s puissancesde A .
-
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1-OPRATEURS
EN
MCANIQUE QUANTIQUE
11
1.14. Dmontrer la
relation
suivante
:
e
Be-
=
B
+
[A,
B}+J,
[A ,
[,
B}}+...
1.15.
Dans
le
cas
gnral, l'oprateur linaire L peut tre associ
un oprateur
intgral
l inaire,c'est--dire
)=(0=fLX
o L( ^,')
est appel lenoyau de l'oprateur L (^ tant
l'ensemble
desvariables de
la
reprsentation utilise).
Comment le s noyaux des oprateurs L*, L, L ' sont-ils relis
au
noyau
L^,^') de
l'oprateur L ? Chercher le s
noyaux
des oprateurs
R,
Me,Ta, x
=
x,
p=
i h d / d x .
Les
oprateurs
R,Me,
Ta sont
df inisdans
1.1.
1.16. Si lenoyau L(x, x') de l'oprateur hermitien
L
est
unefonctionde la
forme
:
a) L
= f ( x
+x') ;
b) L=f ( x-x') ;
c)
L = f ( x ) g { x ' ) ,
quelles restrictions sont imposesaux fonctions /(a;) et g ( x )
du fait de l'hermiticit
de l'oprateur L ?
1.17. Quelleforme prend le noyau L ( x , x ' ) de
l'oprateur
L si ce dernier
commute
avec l'oprateur
a)
coordonne
x= x ,
b )
impulsion
p=
ihd/dx
?
1.18.
Montrer que l'oprateur
F
quicommute
avec lesoprateurs
x
et
p (cas unidi-
mensionnel)
est multiple
de l'oprateur unitaire,c'est--dire F
=
Fol.
1.2 FONCTIONS PROPRES,
VALEURS PROPRES, MOYENNES
1.19. Dansl'tat
dcrit
par lafonction
d'onde
de laforme
,T, _^_ \
i
Po
x
(
x
-
E
o )
2
]
\S (x}
=
C
exp
ri 2a
2
o poet
a - o
sont desparamtres rels, chercher ladistributionde
probabilit
de
la
co-
ordonne
x.
Dterminer
le svaleursmoyennes etles fluctuations (cartsquadratiques
moyens)dela
coordonne
et de
l'impulsion
de
laparticule.
-
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12
PROBLMES DE MCANIQUE QUANTIQUE
1.20. Lafonction d ' o n d e
d'une
particuleest donnepar laforme
^(x )=
C
exp
( i p o x / h ) y ( x ) ,
y ( x )tant
une
f o n c t i o nrelle.
Montrer que ] > ( ,
est
l'impulsion m o y e n n edelaparticule
dansl'tat considr.
1.21. Montrer quelavaleurmoyennedu
moment
dipolaired'un systmede particules
chargesdans
un
tat
ayant u n e
parit
dtermine vaut
z r o .
1.22. Montrer que
les valeurs
moyennes des oprateurs hermitiens
L^L
et
LL^
(Ltant
un oprateur l i n a i r e ) sont
positives
ou nulles.
1.23. Montrer
que
lesvaleurspropresdel'oprateurcarrdetoute g r a n d e u
rphysique
sont positives
ou nulles.
1.24. Soit n n oprateur hermitien/
satisfaisant
la
r e l a t i o n
f
2
=
c f ,
o
r
esl, u n
nombrerel. Quelles sont lesvaleurspropresde cet oprateur ?
1.25.
D t e r m i n e rles
fonctionspropres et lesvaleurspropresd'unegrandeur
p h y s i q u e
forme
par
u n e
combinaison
linaire
des
composantes
d ' i m p u l s i o n
et de
coordonne
dansune mmedirection
:
f = a p + f t x .
Montrer
que
les f o n c t i o n s propres o b t e n u e s
sont orthogonales et
les
normaliser.
Etudier les deux cas limites
:
Q
^
0et
f i
> 0.
1.26.
D t e r m i n e r
lesfonctionspropreset
les valeurs
propresde l'oprateurhermitien
F dont lenoyau est
de
la
forme
F ( x ,x ' ) = .
f ( x ) f * ( x ' ) .
Quelleest la
multiplicit
des
valeurs
propres decet oprateur ?
1.27. L'oprateur h e r m i t i e n (la matrice)/possde N valeurs
propres d i f f r e n t e s .
Montrer
que l'oprateur /
N
s'exprime
linairement
en Fonct ion des oprateurs sui-
vants
: / , / , . . . ,/
Ar-1
.
En guised'exemple t u d i e r l'oprateur
r f l e xi on
R.
1.28.
Soit
u n oprateur hermitien
/ ( A )
dpendant
d'unparamtre
et
possdant u n
spectre
discret de v a l e u r s propres. Montrer la
relation
:
OfnW (V(A)
9\
~ ~
\
'
o
l ' i n d i c e n
numrote les v a l e u r s propres de/et o
la
m o y e n n e dans
le
second
membredel'galit
est prise
dans l'tat
propre^n
(A ;
q).
2
1 Gnralement, quand
le
spectre des
valeurs propres
f ( \ ) est
compos cl
parties discrte
et
continue, l'assertionduproblme
reste
valable
pour
la
partie
discrtedu spectre.
-
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1-OPRATEURS EN MCANIQUE QUANTIQUE 13
1.29.
Les
oprateurs hermitiens A ,
B,L ont les
commutateurs
suivants :
[A ,
1}
=0 , [B,L}=0 mais [A ,B}-^
0 .
Montrer que parmi les valeurs propres de
l'oprateur
L
il
y a
obligatoirement
des
valeurs
propres
dgnres.
1.30. Soit deuxoprateurs dedeuxgrandeurs physiques Aet
Bdont
lecommutateur
est de la
forme [-4,5]
=
iC
(C
tant un oprateur hermitien).
J u s t i f i e r
la relation
d'incertitude
(A-
A)
2
(B-B)
2
>G
2
,
o
toutes les valeurs moyennes dans l'expression correspondent un
mmetat du
systme.
Etudier,en particulier, les
oprateurs
x et p et
chercher pour ce
caslaforme
explicite
des fonctions
d'onde
de
la
particule pour laquelle le produit des incertitudes prend
u n e valeurminimale.
Etudiergalementlarelationd'incertitudepour lesoprateurs
l^=i9/yety=
y.
1.31.
Soitun systmedansun
tat
dcrit
par la
fonction
d'onde^A o
la
grandeur
physique A a.une valeur
dtermine.
Est-ce
que
dans
cet
tat la grandeur
B
prend
aussiunevaleur
dtermine
dans lecas
o
les
oprateurs
A et,
B :
a)
ne
commutentpas :
b) commutent ?
1.32. Montrerque lesoprateurs descomposantesdu rayonvecteurret
del'impulsion
p d'une particule anticommutent avec l'oprateur rflexion R
tandis que les
opra-
teursdes composantesdumoment cintiqueLcommutentavec R.
1.33. Dans l'tat dcrit
par la
fonction
d'onde 'Sab, les
grandeurs physiques
A
et
B
possdent des valeurs dtermines.
Que
peut-on dire des valeurs
propres
a,b
de ces grandeurs dans le
cas
o
les oprateurs
A et
B
anticommutent,
? En guise
d'illustration,tudier le s oprateurs x et R.
1.34.
Commeon le
sait, les oprateurs hermitiens
(plus prcisment,
auto-adjoints)
possdent lesproprits suivantes:les valeurs
propres
decesoprateurs
sont,
des
nom-
bres
rels ; les fonctionspropres correspondant aux diffrentes valeurs
propres
sont
orthogonales
et constituent
u n
systme complet. Mais
si
l'oprateur
l i n a i r e
n'est
pas
h e r m i t i e n , ses valeurs propres et ses fonctions
propres
peuvent
avoir des proprits
diffrentes . Pour illustrer ceci, r e c h e r c h e r
les
valeurs propres et
les fonctions
propres
des oprateurs suivants, puistablir leurs
proprits
:
a) x d / d x ;
h ) x+ d / d x
;
-
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14
PROBLMES
DE M C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
c)a=
d=
1
i
0
0
0
1
0 0
1.35. L'oprateur
P { f z )
projetant
sur les
tats
v a l e u r dtermine /,: delagrandeur
physique
/
est appele projecteur. Son action sur la fonction^ est
la.suivante :
w^=< /.={ '
;
M o n t r e r
que
l'oprateur
P ( f i )possde les
proprits suivantes
:
a
) ^ ( f i )
es
^
un
oprateur hermitien ;
b) P '
( f , ) = P ( f , ) .
On peut
galement,
parler de projecteurs
P ( { f } ) projetant s u r
des tats
o
lagran-
deur physique
/possde
nonpasune
valeurdtermine/,
maisprend unedesvaleurs
d'un
certain
ensemble{/}
=
{.f,,/,^, . .
.}. Dans cecas,
lesproprits
desprojecteurs
mentionnes plus haut se conservent.
En p a r t i c u l i e r , l'oprateur
P =
/
P ( f , ) est
aussi
un projecteur. Sur q u e l stats
cet,
oprateur projette-t-il ?
Notons
que la
notion de projecteur peut videmmenttre
gnralise
dans
lecas
o
le
rle de
/;
est
tenu
par certaines
grandeurs
physiques
constituant
une
partie de
l'ensemble complet.
1.36. Quelest
le
sens
physique
de
la
v a l e u rmoyenne du projecteur
P ( f i )
dansl'tat
dcrit
par la fonctiond'onde \I' ?
1.37.
Chercher l'oprateur
projetant sur lestats
dans
lesquels la.coordonne de la
particule vrifie
x 0.
1.38.
Chercher
les projecteurs P - \ -
et
/-'_ projetant sur les tats reprsents par des
fonctionsrespectivement
paires
et
impaires
par
rapport l'inversiondes
coordonnes
de la particule.
1.39. Montrer q u e l'oprateur
hermitien F t u d i dans le
problme
I.26
peut, une
fois multiplipar
une
grandeur
constante c, se
transformer en
projecteur : P=cF.
Sur quel tat
l'oprateur P projette-t-il ?
1.40.
L'oprateur
hermitien
/
prend N valeurs propres d i f f r e n t e s . Trouver la
forme
du projecteur P ( f i )
sur
lestats ayant
des
valeurs
/, fixes de la
grandeur
/.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
12/309
1-OPRATEURS EN
MCANIQUE
QUANTIQUE
15
1.3
ELMENTS DE THORIE DES REPRSENTATIONS.
TRANSFORMATIONS
UNITAIRES
1.41.
Ecrire les
fonctionspropresdu rayonvecteur
'Sro
e
^del'impulsion py normes
de faon adquateen reprsentation
r et
p.
1.42.
Chercher
en
reprsentation plafonctiond'onde
de
l'tatdela
particule
tudi
dans
1.19.
1.43. A
partir
de la
fonction
d'onde
^ ( x ,y ,z ) ,
calculer
la
probabilitdeprsence de
la
particule
telle
que z et
py
v r i f i e n t
z\
00et
U ( x ) d x
/ a
2
) ~
v
(
et
v tant
lesparamtresvariationnels),pour
q u e l
choix
de
ces
paramtres le
calcul
variationnel
permettra-t-ild'obtenir lameilleure
approximation?
2.28. En utilisant
les
fonctions d'essai mentionnes
dans le problme
prcdent,
chercher par
la
mthode
v a r i a t i o n n e l l el'nergie
del'tat
fondamental
d'uneparticule
clans
un
potentiel
U ( x )
=
a S ( x ) .
Comparer
la
solution
exacte
( v o i r
2.11).
2.29. Pour
une particule se trouvant dansun
potentiel
U ( x )
dela
forme
... , f kx ,
x > 0 ,
(k>
0 ) ,
L\ x
'~{
oo, , r < 0 ,
chercher
l'nergie
de l'tat fondamental par la mthode variationnelle
en
se servant
des
fonctions
d'essai de
la
forme (x ,>0) :
a) ^ ( x ) =
Ax ,
cxp (ax)
;
b)
'I'(.r)
=
Br
exp
(-a.i,-
2
/^).
(crtant, le paramtrevariationnel). Comparer la
v a l e u r
exacte ( v o i r 2.15).
2.30.
Obtenir
la
valeur approche de l'nergie du premier tat excit
d'une
par-
ticule dans un puits
de
potentiel
de
profondeur
inf inie
et
de
largeur
a (0
0)
:
a) ^ ( x )
=Ax
exp (nx) ;
b)
*r(a;)
= Bx exp
( - K X ^ / ) .
Comparer
les
rsultats
obtenus
la
solution exacte.
2.33.
Quelle
est,
en
reprsentation
p, la
forme
de l'quationde Schrdinger station-
nairepour une particule setrouvant dans
le
potentiel
U ( x ) .
2.34.
Chercher le
niveau d'nergie
et la
fonction
d'onde norme de l'tat li dans
le champ
U ( x )
=
rx6(x) partir de la solution de
l'quation
de
Schrdinger
en
reprsentation
p.
Comparer
au rsultat
du problme
2.11.
2.35. C ' h e r c h e r le spectre
d'nergie
et
les fonctions d'onde
normes des tats sta-
tionnaires
d'unoscillateur
harmoniqueen
reprsentation
p
partir de lasolutionde
l'quation deSchrdinger dans lammereprsentation.
2.36.
Chercher
la
fonctiondeGreen
G E ( X ,x')
de
l'quation
de Schrdinger pour u n e
particule libre
avec E
-
8/11/2019 Problmes de
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22/309
PROBLMES DE MCANIQUE QUANTIQUE
2.38.
En se
servant,
du
rsultat
obtenu
dans
2 . 3 6 ,
montrer q u e le svaleursdes n i v e a u x
d'nergie
En
du spectre discret d'une particule
soumise
un potentiel [/(a;)
^
0
( U ( x )
?
0
p o u r
a'
-
00)
satisfont
la
condition
r /-c^
-i2
m
\E,,\ ;
Jo
2m
est une condition
ncessaire
a l'existence d'tats
lisdans u n p o t e n t i e l U(x)de
la
forme (fig. 9 ) .
Figure
9
A p p l i q u e r c e rsultat
au
cas
o
(x)
=
Comparerlacondition
exacte.
U(r\-[
o(x)
-
r>0
-
\x
'~{
oo, a:
-
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23/309
II-MOUVEMENT
U N I D I M E N S I O N N E L 27
2.42.
Etudier
les
diffrents
puitsde potentielo
U ( x )
satisfait auxconditions:
y
00
U(x)
00
;
/
U(x)dx
=
a
=
cte.
J
oo
Pour quelle
forme
du
puits
:
a) laprofondeur du niveau
fondamental
\E(]\aune valeurmaximale ;
b)
lenombre
d'tats lis
est maximal
?
2.2 ETATS DU
SPECTRE
CONTINU. PNTRATION
TRAVERS
DES
BARRIRES
DE
POTENTIEL
2.43.
Pourune
particule
libre
dont le
mouvementest limitparunebarrireimpn-
trable,c'est--dire soumise u n potentiel de la,
forme
, r
o o ,
x < o ,
u
'
ci
-[
0, .00
chercher
les fonctions
d'ondedes
tatsstationnaires.Normez-les avecla
fonction
S en
nergie.
Montrer
que
le systme de
fonctions
obtenu
sur
l'intervalle
x
> 0constitue
un
systme complet.
2.44.
Chercher les
fonctions d'onde des
tats
stationnairesd'uneparticuledans lepotentiel
(fig.
10 )
U(x}
U(x)=
0,
xQ(Uo>(} ) ,
Un
dans lecas o
l'nergie
de
laparticule E
est
in-
f r i e u r e
lahauteurde la barrire depotentiel
[/o.
Montrer que les fonctions obtenues sont
orthogonales et les
nonner
avec la fonction S
en nergie.
L es
fonctions
obtenues
forment-
elles
un systme
complet
?
0
a -
Figure 10
2.45.
A
partir de
la
solution de
l'quation
de Schrdinger en
reprsentation
p,
chercher
les
fonctions d'onde des
tats
stationnaires
d'une
particule
dans le poten-
tiel homogne U(x)
=
F y x . Normer
ces
fonctions avec la fonction S en nergie
et,
montrerque
le
systme
de
fonctions obtenu est complet.
2.46. Dterminer
le
coefficient
de
rflexion
des
particulessur labarrire
de potentiel
du problme
2.44
pour des particules d'nergie
E
> [/o-
Etudier les
cas
limites
E
oo
et
E >
I I y .
-
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28
PROBLMES
DE M C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
2.47. Dterminer
les
coefficients de transmission
et de
rflexion
des particules
pour
un potentiel
de la
forme U ( x )=a S ( x ) (f ig. 1 1 ) .
Etudier les
cas
limites
E
/ ce.et
E
)
0.
Discuter les
proprits
analytiques
des
amplitudes
(assimiles
des
fonctions
de
la
variablecomplexe
') de rf l exion
A(E)
et
de transmission
B ( E )
desparticules.
Montrer que les points E =
0
et E =
oo sont
des
points
de branchement de
ces fonctions. En faisant
dans
le
plan
de
la variable
complexeE une
c o u p u r e
a
partir du point
E
= -0
suivant
ledemi-axe
rel E
>
0 ,
chercher
lessingularits
des
fonctions \(1'^)
et R(E)
sur
lepremier f e u i l l e t ,dit
physique, ainsi
que
sur
les
autres
f e u i l l e t s
de
l e u r s u r f a c ede
Riemann
(lefeuillet
physique est fixpar
la
condition que
la
partie ima-
g i n a i r e
de
l ' n e r g i e
E surledemi-axe
rel
E
>
0tend
vers zro en restant toujours p o s i t i v e ) . Montrer que
ces
singularits correspondent
aux
ples
et
tablir
le l ien entre
la .
position des ples
et
les niveaux du
spectre discret.
U(x)
Figure
11
2.48. Chercher le
coefficient
de t r a n s m i s s i o n des
particules
;i travers une barrire
(L'o
> 0 )
de
potentiel rectangulaire
( f ig . f 2)
1.r(,
0,
,r
a,
Uv ,, 0
< .T
Vo) ;
b)barrire
de
faible
transparence (^o A ' ))
2
/ / ;
2
1
;
c) E -)
0 (de
fait E
1et des particulesrapideska 3>
1
;
d)
une
barrire
de faibletransparence et | - E ' Uo < ^ . Uo
;
e)
une
barrire
de
faible
transparence
et
E
>
0
;
f) une barrire (ou un puits) de
dimension
quelconqueet E
>
oc'.
Cette
analyse
dtaille
des diffrentscas limitesest
propose
pour
illustrer
l'applica-
tion
des mthodes
approches
(calcul
des perturbations
et
mthode
quasi c l a s s i q u e )
et
des rsultats
gnraux de la thorie
delatransmission
des particules
travers
une
barrire de potentiel.
2.53*. Chercher lecoeff i ci entde transmissiondes
particules
travers une
barrire
de potentiel de
laforme (fig. 15)
0, x0,
(U o > 0 ,
a
>
0 ) . Discuter,
e n p a r t i c u l i e r , le
cas
d'unebarrirede f a i b l e transparence :
= ( 2 m f f
2
^ 7 o / ? ^
2
)
l
/
3
1
pour des
nergies
des particules remplissant
la
condition \E-Uo\/Uo1.
Figure 15
2.54*.
Montrer
que
la
relation R(E)
+D(E)
=1,o
R
est le coefficient de rf lexion,
D le
c oef f ic ien t
de transmission
des particules
est satisfaite quelle
que
soit,
la
forme
de la. barrirede
potentiel.
-
8/11/2019 Problmes de
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26/309
30 PROBLMES DE
MCANIQUE QUANTIQUE
2.55*. M o n t r e r qu e . p o u rune
barrire de formeq u e l c o n q u e
le coefficient,de transmis-
sion (et
de
rflexion) des
particules
d'nergie
E donne est
indpendant, du
sens de
parcoursdes particules.
2.56*.
Le
potentiel U ( x )
ala
formed'un seuil depotentiel, c'est--dire que U( x ) > 0
pour
x
> oc,et
U(x)
>
Uo> 0
pour x
>
oo. Chercher
ladpendance
en nergiedu
coeff ic ient de
transmission
des particules pour E >
l'o
( le
rsultat
peut
tre i l l u s t r
par les problmes 2 . 4 6 ,2.51,
2.53).
2.57*.
Chercher les
fonctions deGreen
Gg ( x , x ' )
de l'quation deSchrdinger
pour
une
particule
libre
d'nergie
E
>0. Les indices ()
des f o n c t i o n sde Green
s i g n i f i e n t
q u ' e l l e
se comportent
comme
pour
x , x,'\ / oo.
En
se
servant du
rsultat obtenu,
reprsenter
l'quation de Schrdinger
sous forme
d'une quation
intgrale
dont les solutions dcrivent le
processus
de rflexion et de
transmissionde p a r t i c u l e s , d'impulsionp ,dans le p o t
e n t i e l
U{r,)
satisfaisant auxcon-
ditions
: U ( x )
> 0
pour
x
>
00.
2.58*. En u t i l i s a n t le rsultat du problme prcdent, c h e
r c h e r le s coeff ic ients de
transmission
et de
rflexiondes
particules
dansle
potentiel
U(x)=
o d' (a ' ) . Comparer
la solutionde 2.47.
2.59*. Sur la base du rsultat du problme 2 . 5 7 , trouver
lesexpressions des coeffi-
cients
de transmissionet derflexiondes particules
dans
le
potentiel
U
( x )
s'annulant.
pour
x >
00,
en
f o n c t i o n
de
la
f o n c t i o n
d'onde
rf l chie
^p^x)
des
particules
d'impulsion
p dans ledomained'action du potentiel.
-
8/11/2019 Problmes de
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C H A P I T R E
3
MOMENT
CINTIQUE
1
3.1 PROPRITS
GNRALES
DU MOMENT CINTIQUE
3.1. L'oprateur rotation R(vo) dcrit , la transformation de
lafonction d'oncle
d'un
systme de
N
particules
par la.
rotation
du systme
de coordonnes d'un angle yo
par rapport al'axe
dont
ladirection clansl'espace est d f i n i e par le
vecteur
unitaire
nn.
Exprimer
cet oprateur
en utilisant,
l'oprateur moment cintique
du
systme.
L'oprateur
R(vo)est-il :
a ) liermitien ?
b)
unitaire
?
3.2.
Donner
une interprtation simplede
la
commutativitdesoprateurs des com-
posantes de
l'impulsion
et de
la
non-commutativit
des
oprateurs
des composantes
du moment
c i n t i q u e , grce aux relations de
ces
oprateurs
avec
les
translations
et
les rotations infinitsimales.
3.3. Montrer
que l'galit
L
2
= / ( /
+
1) s'obtient par
des formules lmentaires de
la thorie
des probabilits, en s'appuyant
sur le
fait
que les projections
du moment
cintique
sur u n
axe
arbitrairesont
gales
m
(m
= / ,
/ +
1,
. . . ,/ ) ,que
toutes
ces
valeurs
sont
quiprobables
et
qu'il
n'yapasd'axeprivilgi.
3.4.
Chercher les
commutateurs
suivants
:
a)
[Zr
3
],[.,p
2
],[,: ,(p.r)],[L(p.)
2
];
1 ) )
[ L . ,
(p
.
r)a,
[L,,
(p
.
r)r],
[,,(a
+
bp)}
;
C) [- i.fe.CiL i.PkP],[f'i,kP\,
ou
r , p, L sont
lesoprateurs
rayon vecteur,
impulsion
et
moment cintique
d'une
particule
et
o
aet bsontdes constantes.
1 Lesphasesdesharmoniques sphriques sont arbitraires.
LadfinitionadoptepourlesY[ (0, )
est donnedansl'appendice et peuttrediffrentede
celle
adopte
dans d'autresouvrages.
-
8/11/2019 Problmes de
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32 P R O B L M E S
D E M C A N I Q U E
Q U A N T I Q U E
3.5. Chercher
lecommutateur\L{,L'A,
o L
et
L/
sont les
oprateurs
momentcin-
t i q u e
d'une
particulepar rapport deuxcentres setrouvant unedistancea l ' u
nde
l'autre.
3.6.
En
u t i l i s a n t
les r e l a t i o n s
de
commutation de l'oprateur moment
cintique,
chercher
Tr
L,, o L,
est
lamatrice
de
composante
i
du momentL.
3.7.
Reprsenter l'oprateur
moment
c i n t i q u e d u systme de
d e u x
particules sous
forme d'unesommede
d e u x
termes, dcrivant
lemoment de
laparticule
dans le
sys-
tme du centre d'inertie (moment
du
mouvement
r e l a t i f ) et
le moment du centre
d ' i n e r t i e
d u
systme.
3.8.
Montrerque lemomentcintiqueLd'unsystmede
deux
particulespar
rapport
leurcentre
d'inertieest
tel que
L - r
= 0 ,
rtant levecteur
J o i g n a n t
lesdeux
particules.
3.9.
Chercher
lesfonctionsd'onde^
. , ; . ; . ,
normes
de faon
c o n v e n a b l e , q u i
dcrivent
l'tat dela
particule
se trouvant ladistance 'odel'originedes coordonnes et ayant
un
moment
/ dont la
projection
sur
l'axe
2 est m.
3.10.
Chercher
les
fonctions propresdel'oprateur
carr
d u
m o m e n t
de
la
particuleet
de la.composantede cedernier
s u r
l ' a x e
z en reprsentation
p
par lesdeux
mthodes
suivantes :
a) directement partir
de
la
solution
du problme
a u x
fonctions propres
et
aux
v a l e u r s
propres des
oprateurs
l
2
et
lz en reprsentation p ;
b) en
utilisant la
relation
liant
les
f o n c t i o n s
d'ondeen
reprsentationsret p.
La
forme
des
fonctions
propres
V ;m
(0,y)
en
reprsentationrestsupposeconnue
(voir
Appendice).
3.11. M o n t r e r
que les
f o n c t i o n s obtenues par l'action
des oprateurs
/ /,,.
il y
sur les fonctions
propres ^m , de
l'oprateur composante d u moment sur l'axe
z
(l^m= rii^m
)
sont
galement
f o n c t i o n s propres de l'oprateur /; correspondant
aux valeurspropresm+1dans
le
casde l - \ - etm
1
dans lecas / _ .
3.12. Montrer
quedans
l'tat
$,,i
proprede
/; (lz'S,n= n^m)
on
a
:
a)
4
=y=0 ;
b)
Uy=_-yi
=im/2
;
c)/|=.
3.13. Dans l'tat 'I';,,, o le systme a u n e
valeur donne
du moment / et de sa pro-
jection msur l'axe z ,chercher
les
valeursmoyennes / ^ , /-.
-
8/11/2019 Problmes de
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I I I
-
MOMENT
CINTIQUE 33
3.14.
Dans
l'tat
'Sim o le
systme a
une
valeur
donne
du
moment / et de sa
projectionm sur l'axe
z,
chercher
la
valeur moyenne et
la
fluctuation
quadratique
moyenne
de laprojection du
moment
sur
l'axe
z formant l'angle
c e
avec
l'axe
2 .
3.15. Dansl'tatd'une particule d f i n i par une fonction
d'onde
dont
la
partie
angu-
laire est
de
la
forme 'I'
=
Acos"
y
(y
tant
l'anglede
rotation
autour d'un axe z
et
n un entier), chercher les probabilits des
diffrentes
valeurs
m de la
projection du
moment sur l'axe z.
3.16.
Dans
l'tat d'une particuledont
la
partie angulairede
la
fonctiond'onde a
la
forme 'S =
A e x p ( 2 < y )
(y tant l'angle de
rotation
autour
d'un axe z) , chercher les
probabilits des
diffrentes
valeurs
/
du momentde laparticule.
3.17. Pour lesharmoniques sphriquesYi,n{0,y),dmontrer
la
relation
E i
2
-
m=l
3.18. Chercher
l'expression
du
projecteur P ( M ) ,projetant les tats
ayant
un
mo-
ment
L
donn
sur
le
sous-espace des
tats
ayant
une
composante
donne
du moment
M
sur l'axe
z.
3.19. En
reprsentation
l,, chercher la
loi de transformation
par
une
rotation du
systme de
coordonnesd'un angle i f o (voir 3.f)
de
lafonctiond'onde
de
l'tat
d'une
particuleayant
une valeurdtermine
du moment /.
3.20.
Soit
/un
oprateur
qui
commuteavecles
composantes
L,dumoment
cintique
du
systme
:
[ L , , f ]
=
0.
Montrer
que
les
lments
matriciels
{ n , L , M ' \ f \ n , L , M }
(on est l'ensemble des nombres quantiques qui, avec L et
M ,
forment un systme
complet)
ne
sont diffrents
de
zro que pour M=M'
et ne dpendent
pas
de
M .
3.21. Chercher la
loi de transformation de
la
fonction d'onde d'une particule
en
reprsentation
/ /^ dans le cas d'une rflexion, c'est--dire dans
la
transformation
de
la
forme :
R
r
=
r .
3.2
M O M E N T L
=1
3.22. Soit
une
particule de moment /
=
1. On
dsigne par^ =0(8, ) la
fonction
d'onde
de
l'tat
pour lequel
lz a
la
valeurbien
dtermine
m=
0 (z
est
l'axe
de
quan-
tification
d'un
systme de coordones
Oxyz ;
0,y
sont les coordonnes sphriques
d'une direction
quelconque).
Exprimer
la
fonction
d'onde
\
^
fn o{0,i f ) de
l'tat
de
la
-
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8/11/2019 Problmes de
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I I I
-
MOMENT
CINTIQUE
35
3.31.
En utilisant
le rsultat,
du problme prcdent,
chercher
la.
partie
angulaire
de la fonction d'onde
^^^0(0,f ) d'une
particule de moment
/=
1
et de
projection
m
=0
sur
l'axe?
dont la
direction est dfinie par les
angles
a , / 3 . Comparer avec le
problme3.22.
3.32.
Dans
l'espace
des tats
d'une
particule de
moment
l = =
1,
chercher
les pro-
jecteurs
P(m) (m
=0, 1)
sur
lestats ayant une valeur dterminedu
momentm
sur l'axe z.
3.33.
Gnraliser
le
rsultat,
obtenu
dans
le
problme
prcdent
pour
un
axe
z
de
direction
quelconque.
En utilisant laformeobtenue pour les
oprateurs P{n),
chercher (en reprsentation
l ^ ) lafonction
d'ondedont
la
projection du
moment sur l'axe z
est
m
=
0.
Chercher, par le mme procd, la fonction d'onde 'S'fh=o(0,f )
de
la particule
de
moment1=1.
Comparer
aux rsultats des
problmes
3.22
et 3.31.
3.3
ADDITION
DES
MOMENTS
3.34. Les momentsl\ et,
ly
de
deux
systmes sans interaction s'additionnent
en
un
moment total
L.
Montrer quedans de tels
tats
(avec une valeur dtermine de
L)
lesproduitsscalaires
li
l^ ,
li
L,
ly
L ,possdent galementdesvaleursdtermines.
3.35.
Quelest
le
spectre d'unegrandeur physique forme
partir
du
carrdu
produit
vectoriel
de deux
moments / i
et
ly
?
3.36. Chercher les commutateurs
suivants
:
a)
[L,:,
(i .2)], [,,(n .p 2 ) L[ (n rs)] ;
b) [^,, I A . ] , [ L i , g ^ k ] ,o
g=i
A2 ;
c)
[Li,xikX-2i},
[Li,xikp2i.},
o li
et
la sont les
oprateurs
moments
de deux particules, L=
li
+
la
l'oprateur
moment total.
3.37.
On
a
deux systmes
1
et
2
sans
interaction dont
les
tats
sont
caractriss
par
les
nombresquantiques ( / i ,
mi)
et
( l y ,m^)
du
moment
et desa projection
sur l'axe
z.
I n d i q u e r lesvaleurs
possibles
du moment
total
/;
du systme
total
(1
+
2) et
calculer
les
valeurs
moyennes L ,
L
2
dans l'tat,considr.
Chercher la valeur
moyenne
de
L
2
dans
le
cas o les diffrentes valeurs
de
m\
et
ma sont quiprobables
et
comparer le
rsultat
, la valeur moyenne
correspondante
obtenue aprs unetudeclassique.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
32/309
36 PROBLMES DE MCANIQUE Q U A N T I Q U E
3.38. Dans les
conditions du problme prcdent, c a l c u l e r
les
probabilits des dif-
frentes valeurs
du
moment
total
L
dans
le
cas
p a r t i c u l i e r
o
les
projections
mi
et.
m-
sont
gales
m
i
=
/i , m-^= /g
1.
3.39.
Les moments
de
deux systmes sans
interaction et de grandeurs gales ( / i =
/2 = 0
sont
additionns en u n moment total
J .
Montrer q u e la fonction
d'onde
'i.(iiti,m's} d'tat du systme ayant
une
valeur dtermine de la g r a n d e u r
L
en
reprsentation / i ; / 2 z
estdoue
d'unesymtrie
dtermine
par rapportlapermutation
des variables
2
ii et
mi. Quelle relation
lie
la symtrie
de
la
fonction
d'onde la
valeur de la grandeur L ?
3.40. En utilisant le
rsultat
du problme prcdent, dterminer les
probabilits
des di ffrentes valeurs
du
moment
total
L
dans
un tat compos de d e u x systmes
ayant des moments / identiqueset des projections dtermines des
composantes des
moments
sur l'axe
z
gales m =
/
et T I ' _ ) =
/
1. Comparer avec le rsultat du
problme 3.38.
3.41. Deux systmes de
moments
/
identiques
sont
dans u n tat
ayant
u n e valeur
dtermine
,
du
moment
totalgal :
a)
L
=
' 1 1
;
b)
L=21
-1
et
une projection
dumomenttotalsur
l'axe
;gale M ^ = ' 2 l
1(danslesdeuxcas).
Dterminer les
probabilits des d i f f r e n t e s v a l e u r s des
projections
des
moments
des
deux
systmes sur l'axe z.
3.42. En
utilisant
les rsultats desproblmes
3.37
et 3.39, chercher les probabilits
des dif frentes
v a l e u r s
du
moment
total
dans
u n
tat
compos
dedeuxsystmesayant
desmomentsgaux a
l'unit dont-
les
projections
sur l'axe;sont gales
zro .
Gnraliser lersultatobtenu pourdesvaleursdes
moments
/
quelconques
(mais
iden-
tiques) dechacun
des
systmes
et desprojectionsdes
moments
desdeuxsystmessur
l'axe
;; gales mi=
m a
=l
1.
3.43. Mme
question
quedans le
problme prcdent, mais
pour
le
cas /i = l-i 1
et
m\=
1,m2
=
f .
Gnraliser
ce rsultat
pour des
valeursquelconques des
moments
l\=
ly
=l
et des
projections
des
moments s u r l'axe
z
g a l e s
m\=
/ , 2
=l~
2 .
2
Pour viter
des malentendus,soulignons ledoublesens de la
lettre
m.
savoir :
m
reprsentant
la
valeur
proprede l'oprateur lz et
m, variableen reprsentation lz (d'ailleurscette
remarque
concernegalement toutegrandeur
physique
/).
Rappelons,
ce
propos,
que
l'on
utilisel'criture
de la
fonction
propre
l
f ( q }
dans laquelle
q est
la
variable
de la
reprsentation
utilise,
tandis
que/indiquelavaleur
propre
correspondante.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
33/309
I I I-
MOMENT
CINTIQUE 37
3.44. En utilisant le rsultat
obtenu
dans
\e .
problme3.39,montrer q u e , pourdeux
systmessans
interactiondans
les
tats
ayant
des moments
/ identiques
et
ayant une
valeur dtermine
L
du moment
total
et de
sa
projection
M
sur
l'axe
z ,
les
pro-
babilits
des v a l e u r s des projections
sur l'axe
z ,m^ \=
met ^1(2)
=
M
msont
identiques.
3.45. E n sebasant sur lesrsultats obtenus dans
lesproblmes3.37et3.39,
chercher
lesvaleurs
minimaleet
maximale
des
probabilits
des
valeurs
possibles L
du
moment
total de deux systmes sans interaction
possdant
des
moment
gaux /i= /2= 2et
dont lesprojectionssur
l'axe
z sont
gales
mi = rn y = 0.
3.46. Lesmomentsde deuxsystmes sont gaux ( / i = = ly
=
l) ;unefoisadditionns,
ilsdonnent un momenttotal
L
nul
:
L=0.
Chercher la fonction d'onde
de
cet tat en
reprsentation
l\^l'iz ainsi que la pro-
babilit
des diffrentes
valeurs
desprojections des
moments
desdeux
systmes
sur un
axe.
Pour rsoudre le problme, utiliser lesoprateurs L.
3.47. L es momentsde
d e u x
particules valent /i = l^
=
1. Construire les fonctions
d'onde ^LM des tats
ayant
des v a l e u r s dtermines
L du
moment
total
et de sa
projection M
sur l'axe z.
Discuter
en
particulier ladpendance angulaire de l'tat L
=
0.
Chercher, pour les tats considrs 'LM, la
probabilit
des
diffrentes valeurs
des
projections
des
moments
de chacun des
deux
systmes
sur l'axe
z .
On
invi te le lecteur rsoudre leproblme
en
s'inspirantdes rsultats
obtenus
dans
lesproblmes
3.39
et 3.46.
3.48. Classer les tats possibles d'un systmecompos de trois
sous-systmes sans
interactionpossdant
des
moments/i
= =
/2=1
et
ly,=lsuivant lesvaleursdu moment
total L du systme.
3.49. Dans
l'espace des
tats
des
moments
l\
et
(3de deux
systmes sansinteraction,
chercher les projecteurs
P(L)
sur les
tats
ayant une
valeur
L du moment total.
3.50.Dans l'espacedestatsdes moments / i et /2dedeuxsystmes
sans
interaction,
chercher lesprojecteurs
P(L,
M )sur lestats
ayant
unevaleur L dumomenttotalet
M
de
sa projection sur
l'axe z .
3.51. Les
moments de deux
systmes
sans
interaction
valentl\
=
l-i= 1. En uti-
lisant
lesprojecteurs, chercher (en reprsentation l i z l - ^ z ) la
fonction d'onde L= O de
l'tat
ayant
u n e
valeur
L=0dumoment
total.
Comparer au rsultat obtenudans le
problme
3.47.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
34/309
38 PROBLMES DE MCANIQUE QUANTIQUE
3.52.
Apartirdes relationsdecommutation
[L,,
f k \ = = i i k l f l ,liant
les
oprateurs des
composantes
du
moment
L,
et
une
grandeur
vectorielle arbitraire
//;,
q u i
caractrise
un certain
systme,
montrer que
:
a) leslments
matriciels
non
diagonauxde l'oprateur
f ^
sont
nuls :
(n,L,M\f,\n,L,
M')
=0,
M
M',
icin reprsente l'ensembledes
nombres
quantiques,
q u i avec Let M
constituent
un systme
complet
;
b)
les
lments
matricielsdiagonaux
f z sont de
laforme
(n,
L,
M
\f,
n,L,
M)
=
o,(n,
L)M,
o a ( ? i ,
L)
est
un nombre
ne dpendant quedes nombresquantiquesnet L (mais
pasde
M) .
Ainsi
de a) et, b)
on
a
"
l'galit
"
/,=a(n,L)'L,,
o
lesymbole d'galit=signifiequeles
lmentsmatriciels
desdeuxmembres de
l'quation
entredestats ayant lesmmes valeursdenet L (et pour des
valeurs
de M, M' quelconques) sont gaux.
c) Gnraliser lesrsultats de a) et b) pour les composantes x et y
de l'oprateur
f
et tablir 1"' galit
"
f=a(ii.,L)L,
d)
Montrer
que
la
grandeur
a(n,L)
vaut
{n,L,M\-L\n,L,M)
L ( L + 1 ) '
Comme
l'oprateur
(f
L)
est
un
oprateur
scalaire
q u i
commute
avec
L ,
les
lments
matricielsdiagonauxde
cet
oprateur
sont indpendants
de M (voir 3.20).
3.53.
En u t i l i s a n t
le rsultat
obtenu dans
le problme prcdent,
chercher
les
l-
ments matriciels de l'oprateur de la
grandeur
physique f = li A ^ > entre des tats
a y a n t , u n e
valeur dtermine L du moment
total
(L
=
li+
l a ) -
3.54.
Chercher le s
valeursmoyennes
des
composantes d'une
grandeur physique
vec-
torielle f t=g\\\+
g'Ai
pourdes
tats
ayant une valeur
dtermine du moment,total
(L
=li+ l a ) et de
saprojection
M sur l'axe z.
Dterminer li et 1s dansces tats.
3.55*. I l est connu
q u e le
problmed'addition des momentsde
deux systmes
/i et
/2 en
un
moment total L
se
rsout au moyende
la
relation suivante
:
iTr
/-~
-
8/11/2019 Problmes de
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-
8/11/2019 Problmes de
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40
PROBLMES
DE MCANIQUE Q U A N T I Q U E
3.62. En accord
avec
le
rsultat
obtenu dans le problme 3.57, la relation la plus
gnrale donnant la dpendance angulaire
de la.
fonction
d'onde d'une
particule
de
moment
/
= 1
est dela forme
^
=
(t
n) ,
o
t
est
u n
v e c t e u r
complexe
arbitraire.
Quelles
conditionsdoitsatisfairecevecteurpourqu'on
puisse
dterminer
dans l'espace
un
axe
sur
lequel la
projection
dumoment
a u n e valeurdtermine
gale .
a)
m=
0 ;
b)
m
=
1?
3.63.
Montrer
que
pour
un
tat arbitraire
d'une
particule
de moment / = - 1onpeut
trouver
dans l'espace
un
axe z sur lequel
la
probabilitde
la projection
du moment
m=0est nulle.
3.64.
La dpendance angulaire de
la fonction d'onde d'une
particule de moment
/= 1est de la
forme
1=1=
(t
n),
ot
un
vecteur complexe arbitraire. Chercher
les
probabilits
(les
d i f f r e n t e s valeursde laprojectiondu
moment
sur u n axe
z
dont,
la
direction
est
dfi ni e
par levecteur
unitaire H Q .
3.65.
Chercher les
valeursmoyennesdes composantes dutenseur
n,.
n^
pour unepar-
ticule
de moment / = 1
dans
l'tat le plus gnral.
L a.
dpendance angulaire
de la
fonctiond'onde d'un teltat
est, selon
le problme 3 . 5 7 ,de la forme^;=i = =
(t
n) .
3.66*.
Chercher les
valeurs moyennesdes composantes du moment1
pour
une
par-
t i c u l edemoment /= 1dans l'tat le p l u s
gnral
( la f o r m ede
la
fonction
d'onde
de
cet tat est donne dans le problmeprcdent).
3.67. Selon le problme 3.57, ladpendance angulaire de la
fonction
d'onde d'une
particule de
moment l=
1est de la forme
^t^^ = = (a
n) , autrement d i t , elle est
compltement dfinie par le vecteur
complexe
a. Aussi,
pour les
tats de moment
/
=
1,
peut-on
passer
la.
reprsentation (dite
vectorie l le)
dans
laquelle
la fonction
d'ondeest
reprsente
parl'ensemble des composantes du vecteur a/ ; , c'est--dire
que
^k=0k(k=1,2,3).
Chercher la
forme
explicite des oprateurs composantes du moment en reprsenta-
tion vectorielle. Etablir
la
correspondance entre
la reprsentation vector i el le
et, la
reprsentation
l z .
3.68.
Pour un systmecompos de
deux
particules ayant des moments / i = . l^=1,
chercher :
a)
la
forme
la
plus gnrale
de
la
dpendanceangulairede
la
fonction
d'onde
;
b) la
forme
la plus gnrale de la dpendance
angulaire
des fonctions
d'onde
dcrivant les tats du systme v a l e u r dtermine
L (L=
0 , 1 , 2 ) d u
moment
total
;
c) ladpendanceangulairedes fonctionsd'oncle 'SLM dcrivant
lestatsdu systme
v a l e u r
dtermine
L
du
moment totalet desa projection M
sur
l'axe z .
Utiliser les rsultats
obtenus dans
les
problmes
3.57
et 3.60.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
37/309
C H A P I T R E 4
MOUVEMENT
DANS UN
CHAMP
CENTRAL
4.1 SYSTMES
SYMTRIE
AXIALE
4.1. Chercher
les
fonctions
d'onde
des
tats stationnaires
et
les niveaux
d'nergie
d'un rotateur
1
plan de momentd'inertie/.
Q u e l l e
est la m u l t i p l i c i t des niveaux?
4.2. L'tat d'un rotateur
plan
est dcrit
par
une
fonction d'onde
'P
=
Ccos"
1
ip
(n tant un e n t i e r ) .
Chercher
les
fonctions
de distribution
du
rotateur en nergie et
en projection
du moment,
a i n s ique lesvaleursmoyennesde cesgrandeursdansl'tat
co ns i d r .
4.3. Chercher les
fonctions
d'onde des tats
stationnaires
et les niveaux
d'nergie
d'un rotateur
spatial
de
momentd'inertie
/.
Quelle
est
la
m u l t i p l i c i t
des
n i v e a u x
?
4.4.L'tat
d'un
rotateur
spatial
estdcrit par
une
fonctiond'ondede
la
forme
:
a) ^=Ccos
2
0,
b) 'I'
=
Ce^'f.
Pour
ces
tats, chercher lesfonctionsde distributionde
l'nergie,
ducarrdu moment
et desa projection sur
l'axe
z ,
ainsi
que
le s
valeursmoyennesde cesgrandeurs.
4.5.
Chercher
les
niveaux
d'nergie
et
le s
fonctions
d'onde
des
tats
stationnaires
d'unoscillateur harmonique p l a n .
D t e r m i n e r l amultiplicitdes niveaux d'nergie.
1 On appellerotateurou rotateurrigideunsystmeen
rotation
(dans unplanoudansl'espace) de
deux particules rigidement lies l'une
l'autre.
Le moment
d'inertie
du rotateur vaut 1=/M
2
,
o il est.
la
masse
rduitedesparticule, a
ladistance
qui
les spare.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
38/309
42
PROBLMES
DE
M C A N I Q U E
QUANTIQUE
4.6. Dans
l'tat
stationnaire^n
d'un
oscillateur
plan
(voir s o l u t i o n d u problme
4 . 5 ) ,
ch e r ch e r le s
probabilitsdes dif frentesvaleurs de
la
projection
du
moment
s u r
l'axe
perpendiculaire au
plan
des oscillations.
4.7.
U n eparticule se trouvedans u n p o t e n t i e l
s y m t r i e
a x i a l e U ( p ) .
Dans
le cas gnral (c'est--dire en
l'absence
de dgnrescence accidentel le) , quelle
estlamultiplicitdes niveaux
d'nergie
duspectrediscretdumouvement
"transversal"
de
la
particule
(c'est--dire du
mouvement s ' e f f e ct u a nt dans le
plan
perpendiculaire
l'axe desymtrie
du
potentiel)
?
La
m u l t i p l i c i t
de
dgnrescence du
premierniveau
excit
du mouvement "transver-
sal" p e u t - e l l etre gale
3,4?
4.8.
Chercher les n i v e a u x d ' n e r g i e et
les
fonctions d'onde des
tats
stationnaires
d'une p a r t i c u l e
dans
un puits de
potentiel
bidimensionnel de profondeur infinie
m f 0, pa.
4.9*.
Chercher
le s
niveaux d ' n e r g i e d u
spectre
discret (des
tats
l is) d ' u n eparticule
dans
un
puits
de
potentiel bidimensionnel
de U [ p ) de
la
forme
i r t\ f
-Vu, p
a ,
qui
correspondent
la v a l e u r m
=
0de la projection du momentde laparticulesur
la
direction
perpendiculaire au plandu mouvement.
D i s c u t e r en
p ar t ic u l ie r
le
cas
d'un puits peu profond iia^Uo/h - 1 ; comparer au
casd'un
mouvement unidimensionnel.
4.10*. Mmequestion quedans leproblmeprcdent, maispour le
cas
m ^ f - 0.
Obtenir la c o n d i t i o n d ' e x i s t e n c e des tats lis
ayant u n e projection non nu l l emdu
moment.
4.1l*. Pour u n e
p a r t i c u l e
s e t r o u v a n t dans u n potentiel b i d i m e ns i o nne l
d e laforme
U ( p )=a6(p
a ) ,
chercher les n i v e a u x
d ' n e r g i e
d u
spectre discret
projection
nulledu m o m e n t , :m
=
0.
Discuter en particulier
le s
cas
l i m i t e s
des
puits peu profond
p a a / h
2
1
et
profond
ticva/ti
1
~ S >
1. Comparer au
cas
d'unmouvement
u n id imc n sio n i ie l .
4.12*.
M m e
q u e s t i o n quedans le
problme
prcdent, maispour le
casm
~ ^ - 0 .
Obtenir la
condition
d'existence des tats
lis
ayant
une
valeur non nulle de lapro-
j e c t io n
d u m o m e n t ,m.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
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IV-MOUVEMENT D A N S U N CHAMP CENTRAL
43
4.13. Chercher les
niveaux d'nergie du spectre discret d'une particule dans
un
potentiel
bidimensionnel
U ( p )=
a / p .
Dterminer
la
multiplicit des
niveaux.
Compareravec
le
cas
d'un
champcoulombien
( troisdimensions)
U
( r )
= a / r .
4.14. Pour une particule se trouvant
dans
u n puits de potentiel bidimensionnel
de profondeur infinie et dont la forme est donne dans
le
problme 4.8, chercher
de faon approche l'nergie de
l'tat fondamental
par lamthode variationnelle en
approxiniantla
fonctiond'onde pardes
expressions
de
la
forme
(p
oo.
4.18*. Dans
le
cas bidimensionnel, chercher
la
fonction de
Green
G'
\p ,p ' )
de
l'quation de
Schrdinger
pour une
particule libre d'nergie
E
> 0 .
Les indices ()
indiquent
lanature
deson comportementasymptotiquepour p > oo
:
G~exp
[V2/ /1.
4.19*. Chercher la
fonction
de
GreenGE , )
d'un rotateur plan
(voir
problme
4.1).
En assimilantlafonctionde
Green
GE
une fonction
analytiquede lavariable
complexe E, montrer
qu'elle
possde des
points singuliers,
des ples
et
tablir la
correspondance entre
les
positions
de
ces
ples
dans
le
plan
E
et
les
niveaux d'nergie
du rotateur.
-
8/11/2019 Problmes de
Mcanique_quantique_-_Kalitzky-Karnakov.pdf
40/309
44 PROBLMES
DE
MCANIQUE QUANTIQUE
4.2 ETATS
DU
SPECTRE
DISCRET
DANS
DES
CHAMPS CENTRAUX
4.20. Commentvarientlesvaleurs
En^i
desniveaux d'nergie
du
spectrediscretd'une
particule
:
a) pour une
valeur
fixe de /
et lorsque
n.r augmente
;
b) pour une valeur f ixe
de
n,.ci lorsque /
augmente
?
4.21.
Pour u n e
particule
se
trouvant
dans u n champ
central
a) existe-t-il
des
niveaux
doublement
dgnrs ?
b) quelle multiplicit
peut
acqurir
le
premier niveau d'excitation
?
c)
que
peut-on diredesnombresquantiquesd'unniveau sisamultiplicit
de
dgnres-
cence vaut 7?
9
?
4.22.
Notons E]^ l'nergie
du A """niveau
du spectre
discret
d'une
particuledansun
champ
central (lesniveauxsontnumrots
par
ordre croissantdel'nergie ;
l'tat,
fon-
damental
correspond
N
=1).
I n d i q u e r les limites imposes aux valeursmaximales
possibles
:
a)
du
moment de
la
particule
dans
les
tats
d'nergie
E^ ,
b)
de
la
multiplicit
de
ce niveau.
4.23. Chercher les niveauxd'nergie
et
lesfonctionsd'ondenormes
des
tats
statiou-
nairesd'un oscillateur sphrique U(r)=kr
2
/ ' 2en utilisant
la mthode desparation
des
variablesdansl'quation
de
Schrdingeren
coordonnes
cartsiennes. Dterminer
la
multiplicitdes niveaux.
4.24. Pour
unoscillateur sphrique,
trouver
lesvaleurs
des
nombres
quantiques
n,.,l
correspondant
aux quatre niveaux
d'nergie les
plus bas
en utilisant uniquement
la
multiplicit
des
niveaux
(voir
problme
prcdent).
Quelle
combinaisondes
fonctions
d'onde 'S'n^n^n:.,
correspond
l'tat d'un
oscillateur
demoment /=
0
pour ;V=ni
-+ - n - ^+
ri s
= 2
?
4.25*.
Chercher les niveaux
d'nergie
et
les fonctions propres
\
t 'n . , . ;m(
r
l Q,f ) de
l'hamiltonien
d'un
oscillateur sphriquepartir
de
lasolution
de
l'quation
de
Schr-
dinger en
coordonnes
sphriques. Classer
les
tats
de l'oscillateur
correspondant
au
N'""'
niveau d'nergie suivant lesnombresquantiques n,r,l
et donner
leur parit.
Quelle
est
la
multiplicit
de
ces niveaux?
4.26*. Montrer que pour
un
oscillateur troisdimensionsles oprateurs
Ttk
=Wkl'P
+
k-i-k
commutent avec l'hamiltonien
H=p
2
/ +kl'l.
-
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IV-
MOUVEMENT
DANS UN CHAMP
CENTRAL
45
En montrantque lecommutateurdes oprateursl
2
etTu est d i f f r e n t de z r o ,
expli-
quer ladgnrescence "accidentelle"des
niveauxd'nergie
del'oscillateur.
4.27*. En mcanique
classique,
dans un potentiel coulombien U[r) =
c t / r , le
vecteur
A
=p
A
M//^
a r / r
est une intgrale du mouvement. Donner
la
forme de
l'oprateur
hermitien
A quipeut
tre
assimillagrandeur vectorielleclassique A.
Calculer
les
commutateurs [7,yl,-] et [ l ^ A g ] et
expliquer
la nature
"accidentelle"
de
ladgnrescence des
niveaux
d'nergied'une
particule qui
se
trouvedansun
champ
coulombien.
4.28.
Pour
l'lectron,
dans
l'tat
fondamental
d'un
atome (d'un
ion)
hydrognode,
dterminer
r"
.
4.29.
Dterminer
le
potentiel effectif (moyen)y(r)agissantsur uneparticulecharge
qui passeproximitd'unatomed'hydrognenon
excit
(enngligeantlapolarisation
de ce dernier). Obtenir les valeurs limites
y(r}
pour le sgrandes et
petites
distances
de l'atome.
4.30*. Dterminer le champ lectrique moyen
cre
par
un
atome
d'hydrogne
dans
l'tat
2p
avec une valeur
dtermine
m=
0
de la
projection
du
moment
de
l'lectron
sur l'axe z ,
de grandes
distances
de l'atome.
4.31. Dterminer
lechamp
lectriquemoyen ainsiquesafluctuation
(fluctuation
des
composantesdu
champ)
grande distance d'un atome
d'hydrogne
se trouvant
dans
l'tat
fondamental.
Noter lanature
de
ladcroissancedes
grandeurs
obtenues
lorsque
la
distance
augmente.
4.32*. L'tat stationnaire
d'un lectron dans
l'atome d'hydrogne est
caractris
par les nombres quantiques "paraboliques"
n\=
l,n-j
=
0 et le nombre quantique
magntique
m .
=
0.
Calculer
la
distribution des probabilits de
la
coordonne de l'lectron
z
et de son
moment
/
dans
cet
tat (z est l'axede la
quantification
parabolique). Dterminer le
momentdipolaire
moyen
de
l'atome
dans
l'tat
mentionn.
4.33.
Dterminer les niveauxd'nergie En,.i et les fonctionsd'onde
'S'nrim des tats
stationnairesd'une
particule
dansunpuits
sphrique
de profondeur infinie
U(r)=
0,
r
a.
4.34*.
Dterminer les niveauxd'nergie
d'une
particule
dans le
potentiel
U(r)=a6(r a).
Quelleest lacondition d'existence d'tats lisde
moment
/
?
-
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46 PROBLMES DE
M G A N I Q U E
QUANTIQUE
4.35.
Dterminer les niveaux
d'nergie des
tats lis
associs
aux fonctions
d'onde s
d'uneparticule
dans
le
potentielV
( r )
=
l / o e \ p ( r / a ) .
Obtenir la
condition
d'existence de ces
tats.
Q u e l l e
est laconditiond'apparitiondenouveauxtats .s
lies l o r s q u e
l a -
profondeurdu
puitsaugmente ? Discuter, en
particulier,
lecas
d ' u n puits profond
^a''L''o//(
2
^>
1.
4.36.
Chercher lacorrespondance entre d'une
part, les
n i v e a u x d'nergie
En^o
e
1
e3
fonctionsd'ondenormes
\
Sn,.oo(r)
des
tats
sstationnaires (/= 0 )du
spectre
discret
d'une particule dans un champ central
U(r)
et,
d'autre part, les niveaux ' et les
fonctions
normes
^^(a')
dans
un champunidimensionnel
U
( x )
de
la
forme
. r .), . , - > o ,
L\/-
[
oo, x < 0 .
Grce
la
correspondancetablie, chercher
la
condition
d'existenced'tats
lisdans
lepotentiel
U(r)-
[
-?/0
'
'
0
est
le
module
de la
charge
de l'lectron), r sa
charge.
-
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C H A P I T R E 6
MOUVEMENT
DANS
UN
CHAMP
M A G N T I Q U E
6.1
PARTICULE
CHARGE
SANS
SPIN
DANS UN CHAMP MAGNTIQUE
6.1.
Montrerqu'avecunchoixdejaugeparticulierdu
potentielvecteur,
l'haniiltonien
d'une particule
charge dansun champ
magntique
1
H=p
e
-Ar)\
2/i
\
c
peut
prendre la
forme
Dmontrer
l'hermiticit
de l'hamiltonien.
6.2. Donner l'expression de l'oprateur vitesse v
d'une
particule charge dans un
champ magntique. Etablir les
relations
de commutation entre les
diffrentes com-
posantes de cet oprateur
[.,,^.],
ainsique [ T ' , , X f : ] -
6.3.
Chercher,
pour
une
particule charge
se
trouvant dans
un
champmagntique
homogne,
les
oprateurs des coordonnes
du
centre de
l'orbite
pg du mouvement
transversal (perpendiculaire
au champ
magntique),
du carr
du rayon vecteur de
ce
centre
pg et du carrdu rayonde
l'orbite p ^ o r .
Etablir les
relationsde commutation
entre
ces
oprateurs
et
l'hamiltonien.
1 On utilisedans lesproblmes
de
ce chapitrela reprsentation r,de
sorte
queA(r , t )
=
A(r , t ) .
Rappelonsgalement,que, dans ce livre,
on utilise
les units C'GS.Dans le SI,
cet hamiltonien
s'critcomme
H
=
1
(p-eA(r))
2
2
-
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60
PROBLMES DE M C A N I Q U E
Q U A N T I Q U E
6.4.
Chercher les
f 'onctions d'onde
n o r m e s
des tats
stationnaires et les
niveaux
d'nergie
d'une particule
charge sans spin
dans un
champ
magntique homogne
pour
les
choix
de
jauge
suivants du
potentiel
vecteur
:
a)
.'1,,
=0, /1y
-
Box,A, = -
0
;
b)
.4.,
=
-Boy,
A y=
0,
A,=0.
6.5*. Dans
le
problmeprcdent, onaobtenu deux systmescompletsde fonctions
^ n p y p .
et
^ n p ^ p .
d c r i v a n t - des
tats s t a t i o n n a i r e s
aires
d'une p a r t i c u l e
charge dans u n
champ magntique homogne Bo, pour
deux
choix deJauge d i f f r e n t s du potentiel
vecteur.
h e r c h e r
la relation entre ces f o n c t i o n sd'onde.
6.6*.
Chercher les fonctions
d'onde
des
tals
stationnaires,
a i n s i
que
les
n i v e a u x
d'nergie
d ' u n e p a r t i c u l e
charge
sans s p i n dans
un
champ
magntique
homogne
pour lechoix
de
jauge
suivant
du potentiel
vecteur
: A
= ^Bo A
r.
Quelle est la multiplicitdes n i v e a u x d'nergie
du
mouvement
transversa]
de
la par-
t i c u l e
? Peut-on normer
l'unit les fonctions d'onde des tats stationnaires du
mouvement t r a n s v e r s a l ?
6.7*.
Chercher le
spectre des valeurs propres des oprateurs
carr
du
rayon
vecteur
Po
du
c e n t r e
de
l'orbite
du
mouvement transversal
et.
du
carr du rayon
de l'orbite
p d'une particuledans
u n
champmagntique
homogne
( v o i r problme
6 . 3 ) .
M o n t r e r que
les fonctions
d'onde^nmp des tats stationnaires de
la
particule dans
un
champ
magntique homogne,
obtenues
dansleproblmeprcdent,sont fonctions
propres
de
ces
oprateurs.
6.8*. Caractriser
1a
distribution spatiale transversale
pour
u n e
particule
charge
dans un champ magntique homogne dans un
tat
stationnaire ^t^;; - ( v o i r pro-
blme
6.6)
dans lecaso ri t
=
ri.
Discuter
en
p a r t i c u l i e r l e
cas 1 1
3> 1et e f f e c t u e r
le
passage
-
la .
l i m i t e
de
la
mcanique
classique.
6.9*. M m e question q u e
dans
le problme prcdent, mais pour
v
=U .
Discuter
en
p a r t i c u l i e r le
cas
m| :$> 1.
6.10*. Dans
les
problmes 6.4 et
6 . 6 ,on
a ,montrque
le
spectred'nergiedu mouve-
ment
transversal
d'une particule
charge
dans un champ magntique homogne est
discret. De
p l u s ,
les fonctionspropres de l ' h a m i l t o n i e n ,correspondant
ces
niveaux
.possdent une
proprit
intressante,
q u i
est,
sel on
6.4,
de
n e
pas
p o u v o i r
tre nor-
malises (donc, elles nedcrivent pas uneparticule localise
dans
un
domaine l i m i t
de l'espace). Or, selon
6 . 6 , il existe
des tats stationnaires dans lesquels l a p a r t i c u l e
est localise
dans
un
domaine
limit
de l'espace.
Interprter l a propritsuivantedesfonctionspropres : leur
possibilitd'tre ou
non
des fonctions
normes
l'unit. Comparer au
cas
destats stationnaires
du spectre
discret, d'une particuledans u n puits
de
potentiel U(r).
-
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VI-
MOUVEMENT D A N S
UN CHAMP MAGNTIQUE 61
6.11. Chercher
les
niveaux d'nergie et
les
fonctions d'onde normes des tats sta-
tionnaires
d'une
particule charge
sansspinse trouvantdansdeschamps
magntique
et
lectrique
homognes
et
de
direction
perpendiculaire l'un
par
rapport
l'autre.
6.12. Chercher les niveaux d'nergie et les fonctions
d'onde
normes des tats sta-
tionnaires d'unoscillateursphriquecharg
(particulechargedansun
champ
central
? 7 ( r )=
k r
2
/ ^ ) ,
placdans
un
champmagntiquehomogne.
Dans
le cas
d'un champmagntique faible,
chercher lasusceptibilit
magntiquede
l'oscillateur
dans
l'tat fondamental.
6.13.
Mme
question
que
dans
le
problme
prcdent,
mais
