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PROPORTIONNALITÉjanvier 2013Arnaud Simard

IUFM de Franche Comté

Proportionnalité

Bulletin Officiel hors-série n°3 du 19 juin 2008CM1

Utiliser un tableau ou la “règle de trois” dans des situations très simples de proportionnalité.

CM2Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux

échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la “règle de trois”).

SOCLE COMMUN (fin de scol. Obl.)La proportionnalité : propriété de linéarité, représentation

graphique, tableau de proportionnalité, « produit en croix » ou « règle de 3 », pourcentage, échelle.

Plan de l’exposé

I- La proportionnalité…mathématiquement

II- Applications de la proportionnalité

III- Procédures de résolution

IV- Structures d’exercices

V- Les évaluations nationales

VI- Exemples de situations de référence


La proportionnalité…qu’est ce que c’est ?

c’est un modèle mathématique

Problème réel Problème mathtransfert

Solution math

Calculs précis

Solution réelle

interprétation

validation

Si 3 pains valent 2,46 euros, combien valent 5 pains ?

Modèle additif

2,46 + 2

4,464,46 euros


Différents cadres :- cadre des grandeurs (nombres avec unités) - cadre numérique (nombres sans unité)- cadre fonctionnel- cadre graphique (représentation de fonctions)- cadre géométrique…

De la théorie des proportions à la linéarité (cadre numérique puis cadre fonctionnel et exemples dans le cadre des grandeurs).

1- La théorie des proportions :Définition des suites proportionnelles

Deux suites de nombres qui se correspondent un à un sont proportionnelles lorsque les rapports de deux nombres correspondants sont égaux.

De manière équivalenteUne suite de nombres (x1,x2,…,xn) est proportionnelle àune suite de nombres (y1,y2,…,yn) si les rapports x1/y1,

x2/y2… sont égaux (les proportions sont conservées).

On peut passer de la première suite à la deuxième en multipliant tous les termes par un même nombre a(appelé coefficient de proportionnalité).

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Définition des suites proportionnelles

« On passe d’une ligne à l’autre en multipliant par a »

yn…….y2y1

xn…….x2x1a 1/a

Première propriété fondamentale

Si les deux suites (x1,x2,…,xn) et (y1,y2,…,yn) sont proportionnelles, alors on a :

yny1+y2y2y1

xnx1+x2x2x1

C’est la propriété additive.

Ex : Le prix de 3 pains est 2,46 euros. Prix pour 6 pains?(3 pains + 3 pains) donc 2,46 + 2,46 = 4,92 euros.

Seconde propriété fondamentale

Si les deux suites (x1,x2,…,xn) et (y1,y2,…,yn) sont proportionnelles, alors pour tout nombre k on a :

ynk × y1y2y1

xnk × x1x2x1

C’est la propriété multiplicative.

Propriété scalaire – propriété d’homogénéitéEx : Le prix de 3 pains est 2,46 euros. Prix pour 15 pains?

(5 fois 3 pains) donc 5 × 2,46 = 12,30 euros.

Ex : Le prix de 3 pains est 2,46 euros.

Prix pour 1 pain?

(1/3 de 3 pains) donc (1/3)×2,46 = 0,82 euro.

Retour à l'unité

2- La linéarité

Une fonction est un « procédé de calcul »

f(x)=yy est l’image de x par la fonction f

En termes de fonctions

Dans le cadre de deux suites proportionnelles

On peut résumer le tableau de la manière suivanteY = a X

La fonction qui résume la situation est F(X) = aXUne telle fonction est appelée fonction linéaire.Le tableau de proportionnalité est juste un tableau de valeurs de la fonction F.

yn…….y2y1

xn…….x2x1

a

3

Conclusion : A toute situation de proportionnalitéon peut faire correspondre une fonction linéaire.

Situation deproportionnalité Fonction linéaire

Exemple

Nombre de pains 1 3 15

Prix à payer 0,82 2,46 12,30

La fonction linéaire associée à cette situation de proportionnalité est

F(X) = 0,82×X

F(3) = 0,82x3 = 2,46 F(15) = 0,82x15 = 12,30

Si 3 pains valent 2,46 euros alors 15 pains valent 12,30 euros.

Le taxi roule à vitesse constante. S'il lui faut 3 minutes pour faire 2,46 km alors il lui faudra 15 minutes pour faire 12,30 km.

Si 3 cm sur la carte représentent 2,46 km dans la réalité alors 15 cm sur la carte représentent 12,30 km dans la réalité.

Une seule fonction linéaire associée à ces situations F(X) = 0,82×X

On peut traduire les propriétés fondamentales en termes fonctionnels

Propriété additive : F(X1 + X2) = F(X1) + F(X2)

Propriété multiplicative : F(kX) = kF(X)

Soit F une fonction linéaire : F(X) = a X

Lien entre la propriété additive et la propriété multiplicative

Si une fonction vérifie la propriété additive F(X1 + X2) = F(X1) + F(X2)Alors on a :

F(2X) = F(X+X) = F(X) + F(X) = 2F(X)

F(3X) = F(2X+X) = F(2X) + F(X) = 2F(X) + F(X) = 3F(X)

etc…on prouve, avec des arguments vu en 3° année de licence de mathématiques que la propriété additive implique la propriété multiplicative.

ConclusionLa propriété additive est équivalente à la propriété

multiplicative

F(X) = F(X×1) = XF(1) = F(1)X

donc F(X) = aX

Si une fonction vérifie la propriété multiplicative alors :

Ceci prouve finalement le théorème suivant (vu en licence de maths) :

4

Théorème :

Les seules fonctions (continues) qui vérifient la propriété additive F(X1 + X2) = F(X1) + F(X2) sont les fonctions linéaires.

Situation deproportionnalité

Propriété additive(et/ou multiplicative)

Fonction linéaire

Les situations suivantes sont-elles des situations de proportionnalité ?

Situations 1 :

Achat de pains à la boulangerie.

Situations 2 :

Taille et âge.

Cadre fonctionnel et cadre graphique


Prix à payer 2,46 12,30 0,82×0,82

Dans cet exemple de situation de proportionnalité, la fonction linéaire associée est :

F(X) = 0,82×XLe coefficient 0,82 est tout à la fois :

- le coefficient de proportionnalité du tableau - le rapport qui définit la proportionnalité des suites - la valeur pour 1 (prix d’un pain)- F(1)- le coefficient qui définit la fonction linéaire (coefficient

directeur : F(X) = F(1)×X = a×X)

Cadre fonctionnel et cadre graphique


Prix à payer 2,46 12,30 0,82×0,82

Nombre de pains

Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine…

1 3 15

Prix

0,82

2,46

12,30

Représentation graphiqueToute situation de proportionnalité est associée à une

fonction linéaire.

Or la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

En effet : F(X) = aX implique F(0)=0, donc la droite passe par l’origine du repère.

Représentation graphiqueToute situation de proportionnalité est associée à une

fonction linéaire.

Conclusion : Si les deux suites (x1,x2,…,xn) et (y1,y2,…,yn) sont proportionnelles, alors les points de

coordonnées (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.

5

ConclusionSoit une situation de proportionnalité associée à une

fonction linéaire F(X)=aX.

a est le coefficient

de proportionnalité

a est le coefficient

directeur de la droite

yn……y2y1

xn…...x2x1

a

O

(y=a x)

x1

y1

x2

y2

Remarque

Si 3 pains valent

2,46 euros...Si le taxi met 3 minutes

pour faire 2,46km..

1 3 15

0,82

2,46

12,30

Entiers...cadre discret Tout nombre...cadre continu

II- Applications de la proportionnalité

1- Changements d’unité

2- Pourcentages

3- Grandeurs quotients (vitesses moyennes)

4- Echelles

5- Proportionnalité en géométrie

1- Les changements d’unités

Attention : cm², dm², m²…cL, dL, L… relève plus de la numération que de la proportionnalité (le coefficient de proportionnalité est 10, 100, 1000…dans les tableaux de conversion)

Changements d’unités : - le change de monnaies (euro / dollars…)- le changement d’unités de mesure

internationales

Exemple : Un tee-shirt coûte 27 euros. La TVA est à 19,6%. Quelle est la part des taxes dans le prix ?

Chercher ce que représente « en proportion » la part des taxes, c’est chercher 19,6% de 27, c’est-à-dire résoudrele problème suivant :

2- Les pourcentages

Prix 100 27

TVA 19,6 ?

19,6

100

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Un pourcentage est un coefficient de proportionnalitéqui s’écrit comme une fraction de dénominateur 100.

Exemple :Prendre 14% de 65 euros, ou 14% de 861 personnes, ou 14% de 71,2m…c’est étudier :

100 65 861 71,2

14 ? ? ?14

100

Ou encore, c’est étudier la fonction F(X) = 0,14×X

• Prendre a%d’une quantitéQ c’est multiplier Q par :

100a

1001 a+

• Augmenter de a%une quantitéQ c’est multiplier Q par :

1001 a−

• Diminuer de a%une quantitéQ c’est multiplier Q par :

Les calculs de pourcentages

Une grandeur quotient s’exprime comme le quotient de deux unités.

Exemples : - km/h ou m/s pour les vitesses moyennes- m³/s pour les débits de rivière- kg/m³ pour les masses volumiques- €/kg pour les prix au kilo…

3- Les grandeurs quotients

Exemple : Un train roule à 120km/h pendant 2h30, quelle distance a-t-il parcouru ?

« temps » (heure) 1 2,5

Distance (km) 120 ?120

120 km en une heure, 60 km en une demi heure donc 120 + 120 + 60 = 300 km en deux heures et demie.

Solution plus simple…basée sur les propriétés additive et multiplicative de la situation de proportionnalité !

La vitesse moyenne est obtenue par la formule

tdv =

Il y a plusieurs types d’échelles sur les cartes et plansmais tous donnent une relation de proportionnalité entre les distances réelles et les distances représentées.

4- Les échelles

Distance sur le planEchelle =

Distance réelle

Les distances sont exprimées dans la même

unité!

Il y a plusieurs types d’échelles sur les cartes et plansmais tous donnent une relation de proportionnalité entre les distances réelles et les distances représentées.

4- Les échelles

Distance sur le planEchelle =

Distance réelle

Distance sur le plan 1 …

Distance réelle 25000 …

1

25000×25000

Une échelle est une grandeur quotient de deux mêmes unités! Donc une échelle n’a pas d’unité!

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Obstacles principaux de l’étude des échelles

- C’est un coefficient sans unité.- Dans les problèmes d’agrandissement et de réduction les objets sont généralement de tailles comparables (« petites échelles » du type ½ ou 2/1…)Lors de la réalisation de plans et de cartes ce n’est plus le cas. (Passage du macro-espace au micro-espace)

4- Les échelles

Plusieurs types d’échelles sur les cartes et plans

4- Les échelles

Type 1 : 1/25000Type 2 : « 1cm représente 250m »

Type 3 :1 km

Agrandissement - réduction

A

B

C

B’

A’C’

On agrandit un triangle ABC tracé sur feuille blanche dans une photocopieuse avec coefficient d’agrandissement choisi. On peut montrer que les angles correspondent (triangles semblables)…les côtés sont proportionnels.



A

B

C

B’

AC’

AB AC BC

A’B’ A’C’ B’C’



A

B

C

B’

AC’

AB AC BC

AB’ AC’ B’C’= =

THALES


BB’ B’B’’ BB’’

CC’ C’C’’ CC’’= =

A

B

CA

C’ C’’

B’

B’’

Des parallèles définissent sur des sécantes des segments proportionnels !


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Des parallèles définissent sur des sécantes des segments proportionnels !

Application : le guide – âne

Il s’agit d’un réseau de parallèles équidistantes tracées sur papier calque (généralement utilisépour écrire droit sur papier uni).


D’autres applications …

- Périmètre d’un cercle en fonction du rayon du cercle….2π- Longueur de la diagonale d’un carré en fonction de la longueur du côté… 2- Vecteurs colinéaires- Homothéties- Algèbre linéaire- La « divine proportion » : le Nombre d’Or

5- Proportionnalité en géométrie III- Procédures de résolution d’exercices de proportionnalité

1- Choix d’une situation de proportionnalité

2- Variables didactiques

3- Procédures de résolution

4- Erreurs classiques

Mathématiques concrètes…

- Prix à payer en fonction du nombre d’entrées au cinéma…


Cinéma Marché Beaux - Arts Besançon

Prix :Abonnement 29.50 € (Carnet de 5 places valable 6 semaines (+ 0.5 frais annexes)) - Plein tarif 8.50 € - Tarif réduit 6.80 € (Etudiants, séniors, -16 ans, demandeurs d'emploi) - Tarif réduit -12 ans 5.90 € - Tarif spécial 5.90 € (A la séance de 11h)

Est-ce réellement une situation de proportionnalité ?

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- Recette de cuisine…


Pâte à crêpes (marmiton.org)

Liste des ingrédients pour 8 à 10 personnes250g de farine

4 oeufsun demi-litre de lait

1 pincée de sel 50 grammes de beurre

1 sachet de sucre vanillé1 cuillère à soupe de rhum

Pb 1 : 8 à 10 personnes…Pb 2 : nombre d’œufs pour 3 personnes ?Pb 3 : quantité de rhum pour 3 personnes ?



- Recette de cuisine…

ATTENTION aux implicites des situations dites « concrètes ». Lorsque l’on fait des maths, on se place généralement dans un cadre idéal que l’on

doit expliciter !


Sachant que 4 stylos valent 2,42 euros, combien valent 14 stylos?

Quels sont les implicites?

- les stylos sont tous les mêmes

- ils sont tous vendus au même prix

- on ne les achète pas par lot

- on ne peut pas avoir de réduction…


Beaucoup d’énoncés sur ce format dans les manuels…

A priori rien ne nous permet d’intuiter le modèle proportionnel !


Une aide à la modélisation : intervention d’un troisième couple de données

Sachant que 4 stylos valent 2,42 euros et que 6 stylos valent 3,63 euros. Combien valent 14 stylos ?

Ceci permet à l’élève de :

- repérer des régularités

- tester des hypothèses de modèle

- multiplier les procédures

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Une variable didactique est une donnée du problème à résoudre que l’enseignant peut faire varier et dont la variation influe sur la procédure de résolution de l’élève.

2- Variables didactiques des situations de proportionnalité


- Type de nombres mis en jeu (entiers, décimaux, fractions…)

- Rapports entre ces nombres

- Intervention ou non d’un troisième couple de données

- Utilisation d’un brouillon

- Utilisation de la calculette

Sachant que 4 stylos valent 2 euros, combien valent 8 stylos?

Sachant que 4 stylos valent 2 euros, combien valent 14 stylos?



Utilisation du coefficient de proportionnalité

Utilisation des propriétés de linéarité


3- Procédures de résolution d’exercices de proportionnalité

Utilisation des relations de linéarité (propriétéadditive et multiplicative)


Si 4 stylos valent 2,42 euros,alors 2 stylos valent 1,21 euros,

donc 14 stylos valent 7x1,21 = 8,47 euros.

Si on note F la fonction qui associe le prix au nombre de stylos, on a utilisé, en acte, les propriétés suivantes :F(2) = F(½x4) = ½F(4) = ½x2,42 = 1,21F(14) = F(7x2) = 7F(2) = 7x1,21 = 8,47

Autre façon de procéder : F(14) = F(4 + 4 + 4 + 2) = 3F(4) + F(2)

Passage à l’unité : la règle de trois « nouvelle »


Si 4 stylos valent 2,42 euros,alors 1 stylo vaut 2,42/4 = 0,605 euros,

donc 14 stylos valent 14 x 0,605 = 8,47 euros.

NB : dans le « passage à l’unité » on commence par la division pour obtenir « la valeur de 1 ». Dans l’ancienne « règle de trois »on ne donne pas le résultat de la division, on travaille avec des fractions et on commence par la multiplication…

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la règle de trois « ancienne »

2,42

4


Si 4 stylos valent 2,42 euros,

alors 1 stylo vaut quatre fois moins soit euros,

donc 14 stylos valent 14 fois plus soit x 14 =

2,42

4

PB : Si on ne fait pas les calculs intermédiaires, les fractions utilisées ont-elles un sens au niveau d’enseignement traité ?

2,42 ×14

4

2,42euros

1414nombre de stylos

×

On divise par 4

On divise par 4

0,605

On multiplie par 14

On multiplie par 14

8,47

AttentionExemple : Si 4 stylos valent 3 euros, combien valent 9 stylos?

« Passage à l’unité »1 stylo vaut 4/3 1,33 euros, et 9 stylos valent 9×1,33 = 1,97 euros

« Ancienne règle de trois »1 stylo vaut trois fois moins soit 4/3 d’euros9 stylos valent 9 fois plus soit (4x9)/3 = 12 euros

Remarque sur la règle de trois

Soit une situation de proportionnalité associée àune fonction linéaire F(X)=aX.

La règle de trois revient à chercher F(1).

Or F(1) = F(X1/X1) = F(X1)/X1 = Y1/X1 = a

F(1) est exactement le coefficient de proportionnalité…donc utiliser la règle de trois c’est utiliser le coefficient de proportionnalité sans le dire !

yn…….y2y1

xn…….x2x1

a


Nombre de stylos 4 14

Prix à payer 2,42 ?

Il faut résoudre 4xa = 2,42 pour trouver le coefficient de

proportionnalité…On trouve a = 0,605.


a




Prix à payer 2,42 8,47×0,605

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Utilisation du produit en croix


Prix à payer 2,42 8,47

Le résultat cherché est 14 x 2,42

4= 8,47

Remarque sur le produit en croix

Soit une situation de proportionnalité

Y2

X2

Dans ce tableau, les rapports sont égaux

Y1

X1

Yn

Xn= = …. = = a

yn…….y2y1

xn…….x2x1

a

Remarque sur le produit en croix

Soit une situation de proportionnalité

?X2

Y1

X1= implique Y1X2 = ?X1

donc X2 Y1

X1? =

yn…….?y1

xn…….x2x1

a


Utilisation de la représentation graphique de la fonction linéaire associée

euros

stylos4

2,42

14

8,47

1

F(1) = 0,605

Exemples en CM1 / CM2

Propriété additive de la linéarité


Propriété additive de la linéarité

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Propriété additive / multiplicative de la linéarité


Propriété multiplicative de la linéarité

Exemples en 6°

Les procédures « expertes » ne sont pas toujours les plus « efficaces » !

Retour à l’unité

Exemples en 6°

Règle de trois ou utilisation du coefficient de proportionnalité ou produit en croix…

Quelles sont les difficultés classiques des élèves ?


- Savoir identifier la situation proposée comme une situation de proportionnalité.

- Savoir identifier les grandeurs qui sont en relation dans une situation de proportionnalité.

- Choisir une procédure de résolutionpertinente en fonction des nombres en jeu.

- Utilisation du signe « = » en tant qu’équivalence et pas en tant que « résultat ».

Persistance du modèle additif


Pour 4 baguettes de PLUS on paye 4 euros de PLUS !

-> Introduction d’un troisième couple de données.

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Non prise en compte du passage à l’unité

4- Erreurs classiquesChoix de la procédure


Attention à ne pas « formaliser » trop tôt !

Non reconnaissance du modèle proportionnel

4- Erreurs classiquesMauvaise utilisation du signe « = »


Ici s’ajoute une erreur de calcul (multiplicatif à gauche et additif à droite) !

Difficulté à travailler avec les décimaux


On retombe « vite » sur le modèle additif dès que la nature des nombres utilisés se complique !

Effet de contrat didactique…sur les énoncés typés « proportionnalité »


Une situation de proportionnalité est reconnue par confrontation à des

situations de non-proportionnalité !

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4- Erreurs classiquesUn tableau ne fait pas la proportionnalité.

4- Erreurs classiquesUn tableau ne fait pas la proportionnalité.

IV- Structure d’exercices de proportionnalité

1- Reconnaissance d’une situation de proportionnalité

2- Multiplication / division

3- Quatrième proportionnelle

4- Partages équitables

5- Proportionnalité simple composée et proportionnalité double

6- Comparaison de proportions

Reconnaître une situation de proportionnalité et le justifier est déjà tout un problème…il est plus facile de justifier qu’une situation n’est pas de proportionnalité !

On reconnait des situations de proportionnalitépar confrontation à des situations de non-proportionnalité.

1- Reconnaissance de situations de proportionnalité

Si la situation était proportionnelle quelle serait la taille de Théo à sa naissance (0 an) ?



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Les sous-situations « enfants » et « adultes »sont des situations de proportionnalité…


• La multiplication

Exemple 7 x 13.

Nombre de parts 1 7

valeur 13 ?

« 1 paquet contient 13 bonbons, combien de bonbons dans 7 paquets? »

2- Multiplications et divisions

• Les divisions

Exemple 15 : 9.

Nombre de parts 1 9

valeur ? 15

« 9 tartelettes valent 15 euros, combien vaut une tartelette? »

(division – partition : recherche de la valeur d’une part)


• Les divisions

Exemple 15 : 9.

Nombre de parts ? 1

valeur 15 9

« 1 kg de figues vaut 9 euros, quelle masse de figues pour 15 euros ? »

(division – quotition : recherche du nombre de parts)


Les divisions (partition et quotition) dépendent du contexte de l’exercice proposé.

Les divisions partition sont généralement mieux réussies que les divisions quotition.

Une explication : Dans la division partition on cherche une grandeur quotient (ex : prix par tartelette)…alors que dans la division quotition on cherche un scalaire (nombre sans unité) (ex : on divise des euros par des euros pour trouver une masse de figues) ceci est plus difficile à re-contextualiser.


Pas de référence à l’unité !

Nombre de parts 4 14

valeur 2,42 ?

« 4 stylos valent 2,42 euros, combien valent 14 stylos ? »

3- Recherche de quatrième proportionnelle

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Exemple : Le montant des charges pour un immeuble est de 610 Euros. Les locataires décident de se répartir les charges en fonction de la surface de leur appartement.

Studio A : 24 m². Appartement B : 36 m². Appartement C : 60 m². Que doivent payer les locataires de A, B et C ?

610 euros pour (24+36+60)=120 m²

4- Partages équitables

Exemple : Avec 100 kg de blé on fait 75 kg de farine. Avec 25 kg de farine on fait 30 kg de pain.

Quelle est la masse de blé nécessaire pour obtenir 450 kg de pain?

• La proportionnalité simple composée

X25Farine

45030Pain

puis?100blé

X75farine

Deux recherches de quatrième proportionnelle consécutives.


• La proportionnalité double

Exemple : Si 12 bœufs mangent 30 bottes de foin en 15 jours, combien faut-il de bœufs pour manger 50 bottes de foin en 10 jours ?

A nombre de bœufs fixé, les variables « nombre de jours »et « nombre de bottes de foin » sont intuitivement proportionnelles…si on multiplie par 2 le nombre de jours, il faut multiplier par 2 le nombre de bottes de foin…on se réfère à la propriété multiplicative pour décider si cette situation « concrète » est de proportionnalité ! Attention : A nombre de bottes de foin fixé, les variables « bœufs » et « jours » ne sont pas proportionnelles !




Boeufs Foin Jour

12 30 15




Boeufs Foin Jour

12 30 15

12 20 10

30 50 10


Exemple : « Pierre a mélangé 2 litres d’eau et 25 grammes de sucre. Paul a mélangé 4,5 litres d’eau et 55 grammes de sucre. Quelle est l’eau la plus sucrée? »

- Se ramener à la même quantité d’eau (18 litres) (18 = 9 × 2 = 4 × 4,5)

- Se ramener à la même quantité de sucre (275g) (275 = 11 × 25 = 5 × 55)

- Se ramener à 1 litre ou à 1g de sucre

- Comparer les proportions 25/2 et 55/4,5 (en g/L grandeur quotient)

6- Comparaisons de proportions

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V- Les évaluations nationales

1- Les items 2011

2- Quelques réflexions sur la réussite à ces items

3- Les items 2010 et 2009

Les items88]

A/ Le directeur doit acheter des cahiers et des livres pour l’école. 6 livres coûtent 150 €. Combien coûtent 9 livres ?

89]

B/ 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ?

La notationCode 1 : résultat et formulation corrects (avec les

unités)

Code 3 : résultat exact mais unité oubliée

Code 4 : raisonnement correct mais erreur de calcul

Ce sont strictement les mêmes structures d’énoncés (recherche d’une quatrième proportionnelle).

Comment expliquer les différences de réussite ?- La place dans les évaluations n’est pas la même (effet de redondance)

- Les « habillages des énoncés » différent.

(88) des livres.

(89) des « objets ». Représentation mentale moins claire.

- Les valeurs numériques différent.

(88) on reste avec des entiers (1 livre coûte 25 €).

(89) on peut travailler avec des décimaux (1 objet coûte 2,2 €).

- Les relations entre les valeurs numériques ne sont pas du même ordre.

(88) le nombre d’objets est « petit », leur valeur est « grande »…on ne mélange pas.

(89) les ordres de grandeur sont les mêmes (10, 15, 22).

- Les procédures induites peuvent différer :

(88) Retour au prix unitaire (ou utilisation des moitiés).

(89) Utilisation des moitiés (réponse « trop » rapide).

Item évaluation 2010Exercice 19

Pour faire une mousse au chocolat, Louis a trouvé une recette qui permet de faire quatre coupes. Il faut :

2 oeufs

100 g de chocolat

30 g de sucre

Calcule les quantités de chacun des ingrédients (oeufs, chocolat, sucre) pour faire 10 coupes.

- Contexte « recette » (permet beaucoup de procédures)- possibilité de travailler sans les décimaux (4+4+2)- 3 problèmes en un avec le même système de résolution

Moins efficace pour « évaluer » les élèves

Exercice 19Pour faire des crêpes pour 6 personnes, il faut :

- 250 g de farine

- 1 litre de lait

- 4 oeufs

- 1 cuillerée à soupe d’huile

- 2 pincées de sel

Calcule la quantité de chacun des ingrédients nécessaire pour faire des crêpes pour 9 personnes :

Tu peux faire tes calculs à droite du tableau.

…………g de farine

…………litre(s) de lait

…………oeufs

…………cuillerée(s) à soupe d’huile

…………pincées de sel

Item évaluation 2009

- Contexte « recette » (permet beaucoup de procédures)- travail avec les décimaux (moitié…1,5 L lait…1,5 cuillère)- 5 problèmes en un avec le même système de résolution

Moins efficace pour « évaluer » les élèves

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VI- Exemples de situations de références pour l’apprentissage de

la proportionnalité1- Les bandes colorées ERMEL

2- Le jeu du banquier

3- Le puzzle de Brousseau

4- Le poids des billes

1- Les bandes colorées ERMEL

- Niveau CE2/CM1

- Objectifs : - Se familiariser avec une situation de

proportionnalité- Mise en lumière des procédures additives,

multiplicatives

- Valider mentalement et/ou expérimentalement des procédures

Matériel : un stock de petites bandes bleues, un stock de petites bandes rouges

Deux bandes blanches de même longueur

On colle bout à bout des petites bandes bleues pour remplir une bande blanche…idem avec des bandes rouges

10 B

4 R

Variable didactique de la situation :

- rapport 10 pour 4

- nombres pairs (recours aux moitiés)

- pas d’instruments de mesure

- présentation du rapport sur des bandes blanches :

4 rouges valent 10 bleuesUtilisation des propriétés de linéarité

1 rouge vaut 2 bleues et la moitié d’une bleueUtilisation du coefficient de proportionnalité

Le maître montre une bande réalisée avec 25 bandes bleues (puis il la cache).

« Combien de bandes rouges faut-il pour faire une bande de la même longueur ? »

- différentes procédures possibles sans recours à la manipulation (linéarité avec ou sans dessin)

- erreurs attendues « modèle additif » (+15 ou -6) ou « affine » (25 = 2×10+5 donc 2×4+5)

- recours à la manipulation pour validation

Prolongements :

- Même question avec 15 B, 40 B, 75 B, 240 B, 395 B…

- Questions dans « l’autre sens » : équivalence en bandes bleues de 16 bandes rouges, 30 R…

- Critique de procédures d’élèves fictifs pour confrontation aux erreurs classiques

2- Le jeu du banquier

- Niveau CM1/CM2

- Séquence de 3 ou 4 séances

- Objectifs : - Se familiariser avec une situation de

proportionnalité- Mise en lumière des procédures additives,

multiplicatives et passage à l’unité

- Introduction du tableau de proportionnalité

20

125 $ = 100 €

Variables didactiques

- rapport 125 pour 100

- calculatrices autorisées

- progressivité dans les contre-valeurs demandées

125 $ = 100 €

Les étiquettes sont les suivantes :

100 € 200 € 300 € 20 €

250 $ 25 $ 125 $ 375 $

Attentes du prof…

200 € 100 € 100 €+=

125 $ 125 $+ = 250 $

« 300 € c’est 3 fois 100 € donc ça correspond à 3 fois 125 $ donc c’est aussi 375 $».

Progression dans le jeu…- Proposer d’autres étiquettes avec ou sans les

étiquettes correspondantes…ce qui permet de confronter à des erreurs classiques (on provoque les erreurs anticipées)

- le plus grand prix en euros correspond au plus grand prix en dollars…

- ou alors 105 euros et 130 dollars…

- Demander de créer des étiquettes correspondantes qui manquent…(que ce soit en euros ou en dollars)

- Demander la contre-valeur de 1 euro.

- Coller les étiquettes correspondantes les unes en face des autres…

100 €

200 €

360 €

20 €

1 €

112 €

125 $

250 $

450 $

25 $

1,25 $

140 $

EUROS DOLLARS

: 5: 5

Exemple de feuille en fin de séquence

21

A B

CD

} 4 cm

Par groupe de 4 élèves,chacun a une pièce du puzzle à agrandir, pour que le côté de la pièce B mesure 6 cm.


- CM2 / 6°- Objectifs :

- Agrandissement de figure (changement de cadre)- Utilisation de la proportionnalité

- Variables didactiques :- Forme du puzzle- Rapport d’agrandissement- Mesures données

- Erreurs et validation- Modèle additif- Validation par le milieu (reconstitution du puzzle)


Exemples en 6°

Figure donnée :

puzzle à 6 pièces

Consigne :

« Le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre production »

Matériel : papier blanc, quadrillé, ciseaux, crayon, gomme, brouillon, équerre, règle.

Exemples en 6°

Erreurs attendues :

modèle additif

modèle affine

Exemples en 6°

Utilisation du coefficient de proportionnalité. Tableau de correspondances.

- CM2 / 6° (en groupes de 4 ou 5 élèves)- Objectifs :

- Traiter une situation de proportionnalité par différentes procédures (linéarité, retour àl’unité…)

- Trouver la procédure la moins « coûteuse »(la plus efficace)

4- Le poids des billes

22

Nous souhaitons savoir la masse de prix Choix (mettre

une croix)

14 billes 3 €

24 billes 4 €

32 billes 2 €

33 billes 2 €

40 billes 10 €

47 billes 4 €

48 billes 4 €

79 billes 1 €

Bon de Commande

« Vous devez trouver la masse de 80 billes en dépensant le moins d’argent possible. Chaque groupe dispose de 15 €.»

Déroulement :- Les élèves discutent de leur commande - Ils « achètent » à l’enseignant- Ils résolvent le problème- Synthèse sur les procédures et leur coût…

Variables didactiques :- Les nombres de billes proposés, évidemment la

masse d’une bille n’est pas en vente !- Le nombre de billes total (décompositions…)- Les prix fixés (« plus c’est cher, plus c’est

simple »)

ConclusionLa proportionnalité est une notion mathématique centrale pour l’élève de primaire et du collège. Sa maîtrise est indispensable à la compréhension de la société dans laquelle nous évoluons. L’apprentissage des techniques de la proportionnalité (tableau, règle de trois, produit en croix…) n’a de sens que si l’élève sait reconnaître, au moins intuitivement les situations de proportionnalité. En effet, tout élève peut être très compétent techniquement mais ne pas savoir quand utiliser ces techniques ou alors les utiliser à mauvais escient. Ainsi, parallèlement à l’apprentissage de techniques, le rôle de l’enseignant est de faire acquérir le sens de la proportionnalitéaux élèves, pour cela un conseil :

- Multiplier les contextes- Faire discuter les élèves entre eux- Utiliser un troisième couple de données- Jouer sur les variables didactiques- Impliquer les élèves (vie de tous les jours)

Bibliographie succincte- Ressource pour les classes du collège, proportionnalité, Eduscol, 2005.

- ERMEL, Apprentissages numériques CM1 et CM2, Hatier Pédagogie.

- Bonnet N. (2011), La proportionnalité sans problème, SCEREN.

- Levain JP, Le Borgne P, Simard A, Territoires et conceptualisation de la proportionnalité, L’orientation scolaire et professionnelle, 2009.

- Levain JP, Le Borgne P, Simard A, Apprentissage de schémas et résolution de problèmes en SEGPA, Revue Française de Pédagogie, 2006.

- Boisnard D, Houdebine J, Julo J, Kerboeuf MP, Merri M, La proportionnalité et ses problèmes, Hachette Education, 1994.

- Comin E, Des graines et des souris, Grand N, n°72, 2003.

- Hersant M, La proportionnalité dans l'enseignement obligatoire en France, d'hier à aujourd'hui, Repère – IREM, n°59, 2005.

- René de Cotret S, Étude de l'influence des variables indice de proportionnalité du thème et nombre de couples de données sur la reconnaissance, le traitement et la compréhension de problèmes de proportionnalité chez des élèves de 13-14 ans, Thèse, 1991.

- Simard A., Reconnaissance de situations de proportionnalité, Grand N, n°90, 2012.

- Simard A., Fondements mathématiques de la proportionnalité dans la perspective d’un usage didactique, Petit x, n° 89, 2012.

- Simard A., Proportionnalité en CM2 – 6°, Petit x, n° 90, 2012

Documents

Proportionnalité - Mission Maths 76missionmaths76.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/powerpoint_A_SIMARD.pdf · CM1 Utiliser un tableau ou la “règle de trois” dans des situations très