Prospection géophysique et certitude d'interpretation de ses données

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    10-Jul-2016

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<ul><li><p>PROSPECTION GEOPHYSIQUE ET CERTITUDE D'INTERPRETATION DE SES DONNEES </p><p>par M. MATSCrlINSKI (*) </p><p>Summary- In Chapter I th~ outlines of the problem of the interpretation in geophysics are given, followed by an example of the linear interpretation: seismic mirror. The author differentiates between the algebric interpretation and the statis- tical one. Example s of application of the method of the least squares are mentioned too. </p><p>Chapter I I contains the ciassification of the problems of the interpretation in geophysics: the author points Out that there are four fundamental problems. The first one consists in choosing the hypothetical geologic structure and in describing it in mathematical forms having various parameters. The second problem is the de- termination of the numerical values of these parameters. Usually an engineer looks for the most probable numerical values; but these values are not the only possible ones. Therefore the third problem consists in determining the likelihood of all pos- sible values. This is to determine the likelihood of this or other geological structures entering in the outlines of the assumed hypothesis. The fourth and last problem is the determination of the likelihood of the hypothesis itselfl </p><p>In Chapter I l I the author investigates the certitude of the geophysical calcula- tions, he indicates that it is necessary to accept some limitations for the variations of the parameters; the likelihood can correspond only to a group of these variations. He gives a detailed scheme for the numerical computation of the likelihood of the assumed geological structure. </p><p>Chapter IV contains the application of the general theory to the determination of a fault from the gravimetric observations. This more complicated computation completes the simple examples from the seismic survey given in the preceding chapters. </p><p>NOTE IMPORTA31TE: Pour avoir une id6e g6n6ra]e de ce qui est d6velopp6 dans le pr6sent essai, il suffit de life les w167 1 et 3 du Chapitre Ie t w167 1, 2 et 3 du Chapitre I I I . </p><p>(*) Prof. Dr. ~/~ATTHIAS ~r Centre National de la Recherche Scientl- s Paris. </p></li><li><p>- - 36 - - </p><p>CnAe~T~ I. </p><p>Introduction. Aper~u des probl~mes de l'interpr~tat~on. Exemple le plus simple: interprdtation par une ligne droite; miroir sismique. </p><p>1. Interpretation alg~bri~ue et interpr6tation statistique en g~ophysique - - Supposons qu'une s6rie de donn6es num6riques nous est fournie par la prospection g6ophysique: des mesures du champ de gravitation ou magn~tique, des ondes sismiques, etc. On a l 'habitude de consid6rer la t~che de l ' interpr6tation g6ologique de cas donn6es comme une t~che purement alg~brique, c'est-h-dire comme un probl~me d'interpolation. On imagine une s6rie de structures g6ologiques plus on moins vraisemblables, on les d@rit par des fonctions plus ou moins compliqu~es et on cherche enfin, ~ l 'aide de l'une ou de Fautre m6thode, h choisir parmi ces fonctions celle dont l 'existence hypoth6tique co~nciderait le mieux possible avec les donn6es fournies par la prospection. </p><p>Mais, comme on l 'a dit, on n'exige pas (et, d'apr~s la nature des choses, on ne peut pas l'exiger) que la coincidence des donn6es num6riques de la prospection avec la fonction repr~sentant la structure admise, soit compl~te. Pour des raisons tr~s nombrcuses et tr~s ~videntes, impr6cision des mesures, d6termination toujours un peu vague de la structure g6ologique, h6t6rog6n6it6 des roches, etc., dans le d6tail desquelles nous n'entrons pas, les d6viations doivent exister et elles existent en fair toujours et partout entre les courbes th6oriques de la structure g~ologique et les donn6es num6riques d'observation. On tente, naturellement, d' interpr6ter les donn6es de la prospection de racoon que ces d~viations soient minimes; mais il est impossible de les supprimer. </p><p>Du fait de la pr6sence in6vitable de ces d6viations on peut en profiter pour juger de la r6ussite ou de la non-r6ussite de l ' interpr6tation faite : les d~,viations 6rant grandes, on juge l ' interpr6tation comme incomplete et imprecise, parfois m~me non satisfaisante ; au contraire, d 'autant moindres sont les d6viations, d 'a~tant on juge l ' interpr6tation plus pr6cise et plus satisfaisante. </p><p>Tout ceci est clair et ne n6cessite pas de longues explications. Mais sans diffi- cult6s math6matiques et logiques, on peut aller beaucoup plus loin et approfondir cette m6thode d'est imation h premiere -cue, en d6veloppant les m6thodes stati- stiques les plus sfinples possible pour estimer le degr6 de r6ussite de l ' interpr6tation propos$e, ce qu'on peut appeler le degr6 de certitude de l ' interpr6tation dont nous venons de parler. Et le but de cet essai est de d6velopper les m6thodes statistiques qui compl~teront chaque m6thode d' interpr6tation classique - - interpr6tation interpolative et alg6brique (*) - - ~tant donn~ que ces derni~res sont d~jh suffi- samment d6velopp6es dans routes les branches de la g6ophysique. </p><p>(*) Qnand nous parlons des m6thodes ~ alg6briques ~, nous employons ce mot, parce que routes les m~thocles d'interpolation sont en princlpe alg6briques. I1 n'est rien ehang~ du fait ciue pour 6tablir les expr6ssions math6matiques, on a eonsid6r~ d'autres parties de math~matiques par exemple en appliquant les ~quations diff6ren- </p></li><li><p>- - 3 7 m </p><p>Nous ne commen~ous pas par un expos6 des m6thodes g~n~rales d'estimation des r6sultats g6ophy-siques. Pour la clart6 il est pr6ferable d'expliquer les principes de l 'estimation h l'aide d'un exemple le plus simple d'interpr6tation g~ophysique. Pour cela nous choisirons l'exemple d'un ~( miroir sismique ~, c'est-h-dire le cas de la d6termination d'une couche inclin~e, suppos6e plane, en partant des donn~es enregistr6es par les sismographes. </p><p>Cet exemple repr~sente, du point de rue math~matique, le eas le plus simple: les structures hypoth~tiques donn6es par un syst~me de lignes droites (voir Fig. 1). I1 ne nous reste iei qu'h ehereher les valeurs num6riques des deux eonstantes d6ter- minant une ligne. Nous esp6rons que toute la diversit6 des questions alg6briques et statistiques li6es en prospeetion g6ophysique, pourrait ~tre expliqu~e iei facile- </p><p>8urFoce SurP@ce </p><p>,Cur/'mce surt'~ce </p><p>Fig. 1 </p><p>ment ainsi que diff~rentes possibilit~s d'estimation et diff@ents stades du proc~d6, menant au calcul du degr6 de certitude. Cependant nous ne nous bornerons pas </p><p>la consid6ration de ce seul exemple; darts le Chapitre. IV nous consid6rons un exemple beaucoup plus compliqu6, oh les donn6cs d'observation seront interpr6t6es par une fonction tr~s compliqu~e mais non par une lignc droite, comme ce sera fait dans le paragraph6 auquel nous allons passer. </p><p>2. Exemple de rinterpr~tation par la ligne droite: miroir sismique. Applica- tion de la mgthode des moindres carr~s - Pour concr~tiser routes les considerations. g6n~rales concernant les diff~rents cas particuliers du pr~bl~me d'interpr6tation,. examinons d'une fa~on aussi d6taill6e que possible un exemple particulier, suffi- samment simple, et eu m~me temps pr6sentant un int6r~t pratique: d6termination </p><p>tielles du magn6tisme et de la gravitation. ~VIais ce n'est qu'une cluestion de termino- logie. On peut, si l'on veut, nommer ce que nous avons appel6 ici ~&lt; alg6briques ~, (&lt; alg6- ~ritiues diff6rentielles ~ ou c&lt; alg6briciues int6grales ~. Cela ne change rien de l'essen- tiel, du fair que deux types de probl~mes existent: probl~me de l'interpolation et proM~me de i'estimation de l'interpolation faite. </p></li><li><p>- - 3 8 m </p><p>de la profondeur et de l'inclinaison de la couche r6fl6chissant les ondes sismiques ((~ miroir ~)). Soit une ligne ADD'D ' . . . . . (Fig. 2) repr6sentant la surface du sol, on produit une explosion au point x0; les sismographes sont plac6s aux points x~, x 2, x 3 . . . . . . . x_ j ,x_2 , x_ ~ ...... la ligne BCC'C ' . . . . . donne la surface du miroir (voir aussi w 2 du Chapitre II). Si nous connaissons, d'apr~s les mesures effectu6es sur les bandes (fihns) des sismographes, les temps n6cessaires pour parcourir les di- stances (1) ABCD, A 'B 'C 'D ' , A"B"C"D" etc. </p><p>on peut passer h l'interpr6tation. Le premier problbme consiste alors h exprimer math6matiquement l'hypothbse </p><p>admise d'un miroir plan, horizontal ou inclin6. Examinons la Fig. 2: Dans le plan vertical, d6fini par la ligne des points d'emplacement des sismographes sur la sur- face du sol, nne telle structure g6ologique simple aura naturellement comme expres- sion math6matique une ligne droite caract6ris6e par deux param~tres non encore d6finis : y-angle d'inclinaison du miroir par rapport h l'horizontale (voir Fig. 2) ; di- </p><p>/1' .4 O 9 O" </p><p>Fis. 2 </p><p>stance de la surface du sol d'un point quelconque on, pour fixer les id6es, le para- m~tre AE-longueur de la perpendiculaire abaiss4e du point d'explosion sur la surface du miroir. Bien entendu, ces param~tres peuvent 6tre choisis de plusieurs autres faqons. Ainsi, par exemple, on peut prendre comme parambtre la grandeur A'B'-profondeur de la couche de la ligne correspondant h x = 0 (voir Fig. 2), ou d'autres grandeurs g6om6triques quelconques. Mais il est bien 6vident que, si l 'on adopte l'hypothbse de la couche plane, les param6tres peuvent ~tre d6termin6s d'une fa~on simple lorsqu'an connait deux quelconques d'entre eux. </p><p>Soient donc les grandeurs A et [3 les param~tres par lesquels nous allons carae- t6riser la structure g6otogique. </p><p>I1 est h peine n6cessaire de souligner que les temps: </p><p>(2) Yl, Y2, Y3 . . . . . . </p><p>mesur4s sur les films des sismographes, et qui correspondent h l'ensemble des distances (1), doivent 6tre tels que l'hypoth~se de la ligne droite (couche plane) horizontale ou inclin6e ne soit pas absurde, c'est-h-dire que soient satisfaites diverges conditions 6videntes, telles que (3) y, &lt; y~ &lt; y~ &lt; ..... </p><p>et d'autres analogues; nous ne nous y arr6tons pas non plus, la question 6tant universellement connue. </p><p>Passons au deuxibme probl~me de l'interpr6tation math4matique, c'est-h-dire </p></li><li><p>- - 39 - - </p><p>la d6termination des valeurs num~riques des param~tres A et ~ caract~risant la structure g~ologique (dans le cadre de l 'hypoth~se du miroir plan) qui, comme on le dit souvent, correspondent le mieux aux donn~es exp~rimentales (1) ou, ce qui nous senlble plus correct, qui d6terminent la structure g~ologique la plus probable. Pour d6finir cette structure la plus probable (ou, ce qui revient au m~me, pour d~termiuer les parambtres A et ~ les pills probables), appliquons la m6thode des moindres carr6s. Nous y avons recours, non pas parcc qu'elle est th6oriquement irr6prochabie (du po in t de rue th6orique, on pourrait employer la m~thode des moindres degr6s quatri~mes, sixi~mes, ou g6n6ralement des degr6s d'ordre pair), mais pour des raisons de pratique et d'exp6rience, et prineipalement pour les deux raisons suivantes : Premi~rement, pour la simplicit6 des calculs exig~s par l 'applica- tion de la m6thode; en effet, seule la m~thode des moindres carr~s ne fait intervenir que des 6quations lin~aires, tandis que routes les autres m~thodes exigent des calculs beaucoup plus compliqu6s. 15euxibmement, la raison la plus importante est que la m6thode des moindres carr6s est justifi~e par son application safisfai- saute depuis prbs de 150 ans, dans les sciences les plus diverses, en commen~ant par la g~od6sie et jusqu'h la biom6trie. Darts l'6norme majorit6 des cas, son ap- plication donne des r6sultats raisonnables et admissibles pour les exp~rimentateurs. </p><p>Pour appliquer la m6thode des moindres carr~s, nous devons connaltre, outre les grandeurs (2), ~) les grandeurs </p><p>(4) xj, x~ . . . . . . etc. </p><p>distances entre les sismographes et le lieu d'explosion, et ~) la grandeur </p><p>(5) </p><p>vitesse de propagatio n des ondes sismiques, dont nous ne connaissons pas les valeurs num6riques directement, mais qui peut ~tre d6termin6e par de nombreux proc~d~s bas6s taut sur l'exp~rience que sur des calculs indirects. Nous consid~rons ces m~thodes comme connues, et nous ne nous y arr~terons pas. </p><p>Admettons doric que les grandeurs (1), (4) et (5) soient connues le probl~me se pose de la fagon suivante: Sur le graphique ~ distances des sismographes d'un point f ix6, - - ~ temps de parcours ~ on a l'ensemble des points co:'ncidant plus ou moins avec une ligne droite. Trouver la pente la plus probable (en g6n~ral, trouver la projection de la pente: voir w 2 du Chapitre I I ) . </p><p>On suppose que le miroir dont les r6flexions sont exprim~es par les points dh graphique, est exactemeut plan et que toutes les d~viations sont provoqu6es par les causes sensiblement fortuites. Si, au contraire, les causes de d~viations ne sont pas fortuites, mais syst6matiques, le probl~me ne se pose pas: aucune pente proba- ble n'existe, mais seule la pente ~oyenne. Cette derni~re peut fitre calcul6e comme la moyenne arithm~tique ou, h plus forte raison, comme la moyenne quadrat ique des valeurs r~elles correspondant h chaque paire des valeurs de temps et de distances. </p><p>En supposant, comme nous l 'avons d6jh dit, que les d6viations sont fortuites, on applique la m6thode des moindres carr6s (voir Fig. 3). En supprimant le calcul interm~diaire, tr~s connu (voir aussi l 'appendice Ie t w 2 du Chapitre : I I ) , 'on tro- uve la formule g6n6rale </p><p>(6) b = 2 r162 Yk 1 </p><p>oh sont: b -- tg ~ - - tangente de l'angle de la dromochronique correspondant h la pente la plus probable (tg~ = v tg ~ v), y~. - - temps de parcours correspondant </p></li><li><p>- - 40 - - </p><p>au s ismograpbe avec le num~ro k, x~ - - distance de ce s ismographe d 'un point fixe O, enfin ~t~ - - coefficients: </p><p>n Xk- ~ xi 1 (7) ~k = </p><p>n Z x "~-+ (Z x~) ~ 1 1 </p><p>Pour les eas plus d6tail lds la formule (6) peut ~tre ramen6e aux formes plus facites h calculer. </p><p>~ ,)'- temps </p><p>f '~" I j ; -~( , , i l i l </p><p>So~,+,,+T Ii t! ',',[I;":1 </p><p>1 ) </p><p>i i i i i ! i i </p><p>t i J i I I t I </p><p>Fig. 4 </p><p>Fig. 3. </p><p>t j / 9 temp~ </p><p>lgse </p><p>Fig. 5. </p><p>I) Sismographes dquidistants (voir Fig. 4). Ic i on obt ient pour les coefficients s;k l 'expression plus simple: </p><p>12k- - 6n - - 6 (8 ) ~k = , </p><p>Ax. n (n 2 - 1) </p><p>Pour les cas de 2, 4, 6 et 12 sismographes on a, par exemple, ]es expressions suivantes pour la pente la 2plus probable: </p><p>1 1 (9) n=2, b= Ax (Y2- -Y , )= ~- (Y2- -Y~) </p><p>(10) n = 4 , </p><p>(11) </p><p>n~6~ </p><p>1 b= </p><p>1 b = ~ [0.3000 (Y4 ~ Y~) -4- 0.1000 (y~-- Y2)] = </p><p>1 -- [0.9000 (Y4-- Y~) + O.3O00 (y~-- Y2)] ; </p><p>L </p><p>, [0.1429 (Y6- Yl) + 0.0857 (y~ - - Y2) + ~.0286 (ya - Y3)] = </p><p>L=Ax i </p><p>L = 3Ax i </p><p>1 [0.7143 (y~ - - Yl) q- 0.4286 (y~ Y2) + 0.1429 (Y4-- Y3) ]; L = 5Ax L </p></li><li><p>. . . . I [ - - - </p><p>I (12) n = 12, [ L = l lAx </p><p>1 / .I b = [0.0385 (y~e- y~) -k 0.0315 (y~- y2) -- 0.0245 (Ylo-- Yz) -k </p><p>~x + 0.0175 (Yg-- Y,) + 0.0105 (y~- - y~) + 0.0035 (y~- - y~)] = </p><p>1 - [0.4231 (y~, ~ y~) + 0.3462 (y~ - - y~) -k 0.2692 (Y~o - - Yz) A- </p><p>L -k 0.1923 (y~ y~) -k 0.1154 (Ys--- Y~) -t- 0.0385 (Y7 - - Y~)] ; </p><p>I I) Deux groupes de six slsmographes (voir F ig . 5). </p><p>Pour les s ismographes situ~s sym6tr iquement des deux cSt~s d 'un po int fix~, on t rouve, eu g~n~ral...</p></li></ul>

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