AΠ α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ

Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν

Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν

Πτυχιακή εργασία

Εκπονητής

Χουσαΐνοβ ΑλέξανδροςΑ.Μ. 311/1997130

Σάµος, 2002

Τίτλος : Θεωρία των Θραυσµάτων (Fractals)

http://www.samos.aegean.gr/math/s97130/ptyxiaki/

Συγγραφέας: Χουσαϊνοβ Αλέξανρος

e-mail: s97130@math.aegean.gr

soviet@teivos.samos.aegean.gr

΄Ετος : 2002

Εκδοτικός Οίκος : Εκτυπωτές του Κέντρου Πληροφορικής της πανεπιστηµιακής µονάδας

Σάµου του Πανεπιστήµιου Αιγαίου

Στοιχειοθεσία : LaTEX χρησιµοποιώντας την έκδοση BibTeX

Γραµµατοσειρά: Kerkis Font Family

http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

Πανεπιστήµιο Αιγαίου

Σχολή Θετικών Επιστηµών

Τµήµα Μαθηµατικών

Καρλόβασι, Σαµος

Τκ. 83200

http://www.samos.aegean.gr/

Ευχαριστία

Θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωµοσύνη προς την τριµελή επιτροπή που εξετά-

Ϲει την πτυχιακή µου εργασία τον κ Ανούση Μιχάλη, Αναπληρωτή καθηγητή και

Πρόεδρο του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου, τον κ Τσαπόγα

Γεώργιο, Επίκουρο καθηγητή του ίδιου τµήµατος και ιδιαίτερα τον κ Τσολοµύτη

Αντώνιο «∆άσκαλο» Λέκτορα του Τµήµατος Μαθηµατικών που µου έδειχνε το «µο-

νοπάτι» όταν εγώ αδυνατούσα να το διακρίνω.

Η πτυχιακή εργασία αποτελεί για µένα το τελευταίο σκαλοπάτι στην απόκτηση

του πτυχίου και στην ουσία κλείνει ένα, ίσος το καλύτερο, κοµµάτι της Ϲωής

µου, τα ϕοιτητικά µου χρόνια. Επ΄ αυτού ϑα ήθελα να ευχαριστήσω όλους που

έχουν αναµειχθεί στην Ϲωή µου αυτά τα πέντε χρονάκια αφήνοντας είτε ευχάριστες

είτε µη, αναµνήσεις. Τέλος, να µην ευχαριστήσω και τους γονείς µου, που µε

πλήρωναν τον «µηνιαίο µισθό» επί πέντε χρόνια (πιστεύω να µην χρειαστεί άλλο,

αλλά ποτέ δεν ξέρεις).

Καρλόβασι, Οκτώβριος 2002

iii

Αφιερώνεται στις

Ϲωή,

ελπίδα,

χαρά,

ευτυχία,

αγάπη,

νίκη,

ειρήνη,

σοφία,

ελευθερία,

γυναίκες της Ϲωής µας. . .

Πρόλογος

Στην παρούσα πτυχιακή εργασία παρουσιάζουµε την ϑεωρία των ϑραυσµάτων (fra-

ctal geometry) και πως ένα µέρος από αυτήν, εφαρµόζεται στην συµπίεση της

ψηφιακής εικόνας.

Η λέξη fractal εισάχθηκαι για πρώτη ϕορά από τον Benoit Mandelbrot το 1970

και αποτελεί ένα όνοµα για µια κλάση συνόλων που ϑα ορίσουµε πιό κάτω. Πρώτα

όµως ϑα εξετάσουµε την προέλευση της και να δώσουµε µια µετάφραση. Η λέξη

fractal προέρχεται από την λατινική λέξη fractus που ϑα µπορούσε να µεταφραστεί

σαν τµήµα, κοµµάτι, ϑραυσµά ή κλάσµα και κατά κάποιο τρόπο χαρακτηρίζει τα

σύνολα που είναι fractal µε την έννοια ότι κατά µεγάλο ποσοστό τέτοια σύνολα

έχουν κλασµατική ή καλύτερα µη ακέραια διάσταση Hausdorff (όχι όµως όλα, για

παράδειγµα το σύνολο «σκόνη Cantor», σχήµα 3.2). Προσπαθώντας να ϐρούµε την

κατάλληλη µετάφραση στο όρο fractus, καταλήξαµε στην λέξη ϑραύσµα. Οπότε

fractal ϑα είναι ϑραυσµατικό σύνολο.

Ο ίδιος ο Mandelbrot αρχικά έχει ορίσει τα ϑραυσµατικά σύνολα να είναι

εκείνα τα οποία αν µεγεθύνουµε οποιοδήποτε τµήµα του συνόλου ϑα πάρουµε

ένα όµοιο σύνολο µε το αρχικό. Στην συνέχεια έβγαλε έναν πιο αυστηρό µα-

ϑηµατικό ορισµό, που έλεγε ότι τα ϑραυσµατίκα σύνολα είναι εκείνα που έχουν

την ϑραυσµατική τους διάσταση (fractal diamension) αυστηρά µικρότερη από την

τοπολογική. Λέγοντας ϑραυσµατική διάσταση εννούσε στην ουσία την διάσταση

Hausdorff, ορισµος 3.2.1. Σήµερα επικτρατεί η άποψη λοτι τα ϑραυσµατικά

σύνολα είναι αυτά που η διάσταση Hausdorff τους είναι διαφορετική από την

τοπολογική.

Το πρώτο κεφάλαιο εισάγει τους ϐασικούς ορισµούς και ϑεωρήµατα από την

µετρική τοπολογία. Στην παράγραφο 1.5 όπου µελετάται η συµπάγεια κατα-σκευάζουµε και ορίζουµε το σύνολο Cantor, που είναι και το πρώτο παράδειγµα

ενός ϑραυσαµτικού συνόλου. Το ϑεώρηµα 1.6.3 που στην τοπολογία είναι γνωστό

και ως αρχή της συσυτολής ή ϑεώρηµα σταθερού σηµείου Banach, ϑα αποτελέσει

το ϑεµέλιο λίθο στην πρακτική εφαρµογή της πτυχιακής εργασίας, την συµπίεση

της ψηφιακής εικόνας. Στην παράγραφο 1.9 ορίζουµε την µετρική Hausdorff πουεφοδιάζει το µετρικό χώρο K(X) που είναι όλα τα µη κενά συµπαγή υποσύνολατου X που πάλι είναι αναγκαία για το ϑεωρετικό µέρος της πρακτηκής εφαρµογήςτης πτυχιακής εργασίας.

Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται µε τα ϐασικά εισαγωγικά στοιχεία της ϑε-

ωρίας µέτρου. Ορίζει αυστηρά το µέτρο και το εξωτερικό µέτρο. Για καλύτερη

κατανόηση εισάγουµε ως παράδειγµα το µέτρο Lebesgue. Περιγράφεται η µέθο-

δος Καραθεοδωρή της κατασκευής του εξωτερικού µέτρου και παρουσιάζεται το

κριτήριο µετρησιµότητας κατά Καραθεοδωρή που είναι αναγαία στην κατασκευή

του s-διάστατου µέτρου Hausdorff.

vii

viii

Στο τρίτο κεφάλαιο που είναι και το κυριότερο, ορίζουµε την διάσταση Haus-

dorff ενός συνόλου. ∆ίνουµε µερικά παραδείγµατα ϑραυσµατικών συνόλων και

µερικές τεχνικές υπολογισµού της διάστασής τους. Στην παράγραφο 3.4 ασχο-λούµαστε µε ένα υποσύνολο των ϑραυσµατικών συνόλων — τα αυτοόµοια σύνολα.

Ο λόγος είναι ότι τέτοια σύνολα και η ϑεωρία τους ϐρίσκουν µέγαλο µέρος στην

πρακτική εφαρµογή. Το ϑεώρηµα 3.4.1 που είναι και το ϑεώρηµα σταθερού ση-

µείου Banach στο µετρικό χώρο K(X) εφοδιασµένο µε την µετρική Hausdorffόπως και το ϑεώρηµα 3.4.4 γνωστό και ως το ϑεώρηµα «κολάζ», είναι τα δύο κύρια

ϑεωρήµατα που χρησιµοποιεί ο αλγόριθµος της fractal συµπίεσης της ψηφιακής

εικόνας.

Τέλος στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουµε πως η ϑεωρία των ϑραυσµατικών συ-νόλων και για την ακρίβεια των αυτοόµοιων συνόλων µπορεί να εφαρµοστεί στην

πράξη και να συµπιέση µια ψηφιακή εικόνα.

Περιεχόµενα

Ευχαριστία iii

Πρόλογος vi

1 Μετρική Τοπολογία 3

1.1 Μετρικοί Χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Τοπολογία Μετρικού Χώρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Συνέχεια Συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Συνεκτικοί Χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Συµπάγεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Πλήρεις και ∆ιαχωρίσιµοι Χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1 Αρχή της Συστολής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.2 ∆ιαχωρίσιµοι Χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Οµοιόµορφη Σύγκλιση Συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Συστήµατα Αρίθµησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9 Μετρική Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Θεωρία Μέτρου 35

2.1 σ-άλγεβρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Μέτρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Μέτρο Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.2 Μετρήσιµα σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Κατασκευή Εξωτερικού Μέτρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1 Μέθοδος Καραθεοδωρή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 Πεπερασµένο Εξωτερικό Μέτρο . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 ∆ιάσταση Hausdorff 53

3.1 Μέτρο Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 ∆ιάσταση Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Τεχνική υπολογισµού της διάστασης Hausdorff . . . . . . . . . . . 61

3.4 Αυτοόµοια Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 Fractal Συµπίεση των Εικόνων 77

4.1 Θεωρητική Ιδέα της Fractal Συµπίεσης . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2 Περιγραφή του Αλγορίθµου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Βιβλιογραφία 83

1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Ευρετήριο 85

Κεφάλαιο 1

Μετρική Τοπολογία

Στο κεφάλαιο αυτό ϑα παρουσιάσουµε τα ϐασικά στοιχεία της τοπολογίας τα οποία

ϑα µας είναι χρήσιµα σχεδόν σε όλους τους τοµείς της παρούσας πτυχιακής ερ-

γασίας.

1.1 Μετρικοί Χώροι

Ορισµός 1.1.1 ΄Εστω Χ ένα σύνολο, µια συνάρτηση ρ : X × X → [0,∞] ϑαλέγεται µετρική αν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες :

1. ρ(x, x) = 0 για κάθε x ∈ X

2. ρ(x, y) = ρ(y, x) για κάθε x, y ∈ X (συµµετρία)

3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) για κάθε x, y, z ∈ X (τριγωνική ανισότητα)

΄Επιπλέον το X εφοδιασµένο µε την µετρική ρ ϑα λέγεται µετρικός χώρος και ϑατο συµβολίζουµε (X, ρ) και εφόσον δεν υπάρχει πρόβληµα στο να µπερδέψουµε τιςµετρικές ϑα γράφουµε µόνο X.

Μερικά παραδείγµατα

Παράδειγµα: Στο R η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι η

συνάρτηση:

ρ(x, y) =√

(x − y)2 = |x − y|

όπου x, y ∈ RΤο ότι η συνάρτηση ρ είναι µετρική στο R ϕαίνεται άµεσα (αφού ισχύουν και

οι τρεις συνθήκες του ορισµού).

Παράδειγµα: Στο R2 η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι

η συνάρτηση:

ρ(x, y) =

√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

όπου x, y ∈ R2, δηλαδή x = (x1, x2) και y = (y1, y2) µε x1, x2, y1, y2 ∈ R.

3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Παράδειγµα: Στο Rn η συνήθης ή Ευκλείδεια µετρική ορίζεται να είναι

η συνάρτηση:

ρ(x, y) =

(

n∑

i=1

(xi − yi)2)1/2

όπου x, y ∈ Rn

Παράδειγµα: Αν X είναι τυχόν µη κενό σύνολο, η συνάρτηση ρ : X × X → Rµε τύπο

ρ(x, y) =

{

1, αν x 6= y0, αν x = y

είναι µετρική στο R και λέγεται διακριτή µετρική

Απόδειξη: Οι δύο πρώτες ιδιότητες της µετρικής προκύπτουν άµεσα από τον

ορισµό της ρ. ΄Ετσι αρκεί να δείξουµε ότι για τυχόντα στοιχεία x, y και z του Xισχύει

ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (1.1)

Επειδή οι τιµές των αποστάσεων ρ(x, y), ρ(x, z) και ρ(z, y) είναι 0 ή 1, η µόνηπερίπτωση όπου δεν ϑα ίσχυε η σχέση 1.1, ϑα ήταν η περίπτωση όπου ρ(x, y) = 1και ρ(x, z) = ρ(z, y) = 0. Αλλά τότε, από τον ορισµό της ρ, ϑα είχαµε

ρ(x, y) = 1 ⇔ x 6= y

και ταυτόχρονα

ρ(x, z) = ρ(z, y) = 0 ⇔ x = z = y

που είναι άτοπο. �

Μπορούµε να γενικεύσουµε την τριγωνική ανισότητα. ΄Εστω x1, x2, . . . , xn ∈X όπου (X, ρ) µετρικός χώρος και n ≥ 2 τότε ρ(x1, xn) ≤ ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) +· · · + ρ(xn−1, xn).

Απόδειξη: Για n = 2, ο ισχυρισµός ισχύει από τον ορισµό. ΄Εστω ότιισχύει για n = k, δηλαδή ρ(x1, xk) ≤ ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) + · · · + ρ(xk−1, xk).Βάσει µαθηµατικής επαγωγής αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει για n = k + 1.Κάτι που ισχύει αφού ρ(x1, xk + 1) ≤ ρ(x1, xk) + ρ(xk, xk+1) ≤ ρ(x1, xn) ≤ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) + · · · + ρ(xk−1, xk) + ρ(xk, xk+1). �

1.1.1 Τοπολογία Μετρικού Χώρου

Ορισµός 1.1.2 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Μια ανοιχτή µπάλα µε ακτίνα r > 0και κέντρο το στοιχείο a ∈ X είναι το σύνολο

B(a, r) = {x ώστε ρ(a, x) < r, x ∈ X}

Ορισµός 1.1.3 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Μια κλειστή µπάλα µε ακτίνα r > 0και κέντρο το στοιχείο a ∈ X είναι το σύνολο

C(a, r) = {x ώστε ρ(a, x) ≤ r, x ∈ X}

1.1. ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5

Προφανώς B(a, r) ⊂ C(a, r). Μερικά παραδείγµατα:Παράδειγµα: Στο R, µε την συνήθη µετρική, η ανοιχτή µπάλα εµφανίζεται σαν

ανοιχτό διάστηµα (δηλαδή διάστηµα της µορφής (−x, x) ).

B(a, r) = {x ∈ R ώστε |x − a| < r}

Ενώ η κλειστή µπάλα εµφανίζεται σαν κλειστό διάστηµα.

C(a, r) = {x ∈ R ώστε |x − a| ≤ r}

Παράδειγµα: Στο R2 µε την συνήθη µετρική η ανοιχτή µπάλα είναι ο ανοιχτός

δίσκος µε κέντρο a και ακτίνα r (δηλαδή ο δίσκος χωρίς τον κύκλο (x1 − a)2 +(x2 − a)2 = r2).

B(a, r) = {x ∈ R2 ώστε ρ(x − a) < r}= {x ∈ R2 ώστε

√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r}

Ενώ η κλειστή µπάλα εµφανίζεται σαν τον δίσκο ακτίνας r και µε κέντρο a.

C(a, r) = {x ∈ R2 ώστε ρ(x − a) ≤ r}= {x ∈ R2 ώστε

√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 ≤ r}

Παράδειγµα: Στο R3 µε την συνήθη µετρική η ανοιχτή µπάλα είναι το πε-

ϱιεχόµενο της σφαίρας που το κέντρο της είναι a και ακτίνα r.

B(a, r) = {x ∈ R3 ώστε√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + (x3 − a3)2 < r}

Η κλειστή µπάλα είναι ολόκληρη σφαίρα µε κέντρο a και ακτίνα r.

Ορισµός 1.1.4 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. ΄Ενα υποσύνολο G ⊂ X λέγεταιανοιχτό σύνολο (ως προς την µετρική ρ) αν για κάθε x ∈ G υπάρχει εx > 0 ώστε ηανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα εx να είναι υποσύνολο του G.

Παράδειγµα: Το κενό σύνολο είναι ανοιχτό. Το R µε συνήθη µετρική είναι

ανοιχτό.

Παράδειγµα: Το σύνολο A = [0, 1) δεν είναι ανοιχτό στο µετρικό χώρο (R, ρ), ό-που ρ είναι συνήθης µετρική, γιατί για ε > 0 πρέπει να έχω B(0, ε) = (−ε, ε) ⊂ Aόµως −ε/2 ∈ (−ε, ε) και −ε/2 /∈ A.

Πρόταση 1.1.1 Σε κάθε µετρικό χώρο (X, ρ), κάθε ανοιχτή µπάλα B(x, r) είναιανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη: ΄Εστω y ∈ B(x, r). Τότε ρ(x, y) < r. Οπότε ε = r−ρ(x, y) > 0. Αρκείνα δείξουµε ότι B(y, ε) ⊂ B(x, r). ΄Εστω z ∈ B(y, ε), τότε ρ(y, z) < ε όµως από τηνιδιότητα (3) της µετρικής (ορισµός 1.1.1) έχουµε ότι ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) <r − ε + ε = r δηλαδή z ∈ B(x, r), άρα δείξαµε οτι B(y, ε) ⊂ B(x, r). �

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Πρόταση 1.1.2 Κάθε ανοιχτό σύνολο G του µετρικού χώρου (X, ρ) είναι µια ένωσηανοιχτών µπαλών.

Απόδειξη: Για κάθε x ∈ G υπάρχει εx > 0 ώστε B(x, εx) ⊂ G, τότε όµως∪x∈GB(x, εx) = G �΄Εστω x ∈ Rn, ορίζουµε την συνήθη νόρµα στο Rn (ή l2 νόρµα) να είναι

||x|| = (x21 + x22 + · · · + x2n)12 =

√

√

√

√

n∑

i=1

x2i

Πρόταση 1.1.3 Το πλήθος των στοιχείων µιας µπάλας B(x, ε) του Rn, µε τη συ-νήθη µετρική, είναι υπεραριθµήσιµο.

Απόδειξη: Για κάθε 0 ≤ λ < ε το σηµείο x + λx/||x|| ∈ B(x, ε) δηλαδή

ρ(x, x +λx

||x|| ) =∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

λx

||x||

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= |λ| ||x||||x|| < ε

και επιπλέον το σηµείο x + λx/||x|| ορίζεται αµφιµονοσήµαντα σε σχέση µε το λ,οπότε το πλήθος των σηµείων της µπάλας B(x, ε) είναι τουλάχιστον ο πληθικόςαριθµός του διαστήµατος [0, ε), δηλαδή υπεραριθµήσιµο. �

Μερικές ϐασικές ιδιότητες ανοιχτών υποσυνόλων του µετρικού χώρου (X, ρ)

1. ∅ και X είναι ανοιχτά.

2. Αν G1, G2, . . . , Gn είναι ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότεκαι η τοµή τους, ∩ni=1Gi, είναι ανοιχτό σύνολο.

3. Αν Gi, όπου i ∈ J ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε καιη ένωσή τους, ∪i∈JGi, είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη: Η πρώτη ιδιότητα είναι τετριµµένη. Την δεύτερη ιδιότητα ϑα την

δείξουµε µε επαγωγή. Θα δείξουµε πρώτα ότι ισχύει για n = 2 δηλαδή G1 ∩ G2είναι ανοιχτό σύνολο. ΄Εστω x ∈ G1∩G2 τότε x ∈ G1 και x ∈ G2. Αφού G1 και G2είναι ανοιχτά σύνολα, υπάρχουν ε1, ε2 > 0 ώστε B(x, ε1) ⊂ G1 και B(x, ε2) ⊂ G2.Θέτουµε ε = min{ε1, ε2} τότε ε ≤ ε1 και ε ≤ ε2.

B(x, ε) ⊂ G1B(x, ε) ⊂ G2

}

⇒ B(x, ε) ⊂ G1 ∩ G2

΄Αρα G1 ∩ G2 είναι ανοιχτό σύνολο. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n = k, µένει ναδείξουµε ότι ισχύει και για n = k + 1, κάτι που ϕαίνεται εύκολα.

Τέλος όσο αφορά την τρίτη ιδιότητα έχουµε· έστω x ∈ ∪i∈JGi, ϑα υπάρ-χει i0 ∈ J ώστε x ∈ Gi0 . Αφού το Gi0 είναι ανοιχτό, υπάρχει ε > 0 ώστεB(x, ε) ⊂ Gi0 ⊂ ∪i∈JGi άρα ∪i∈JGi είναι ανοιχτό σύνολο. �

Στην ιδιότητα δύο µιλάµε για πεπερασµένη τοµή (σε αντίθεση µε την τρίτη,

όπου οι ένωση είναι πάνω σε άπειρα ανοιχτά υποσύνολα). Το επόµενο παράδειγµα

δείχνει οτι η ιδιότητα (2) δεν ισχύει για άπειρη τοµή.

Παράδειγµα: Στο µετρικό χώρο (X, ρ) τα υποσύνολα (−1/n, 1/n) για n ∈ N

1.1. ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 7

είναι όλα ανοιχτά, όµως η τοµή τους ∩∞n=1(−1/n, 1/n) = {0} δεν είναι ανοιχτόυποσύνολο του µετρικού µας χώρου.

Νόµοι του De Morgan ΄Εστω X, L σύνολα και για κάθε λ ∈ L, το Xλ είναικαι αυτό σύνολο. Τότε

1. X \⋃λ∈L Xλ =⋂

λ∈L(X \ Xλ)

2. X \⋂λ∈L Xλ =⋃

λ∈L(X \ Xλ)

Απόδειξη: (1) ΄Εστω x ∈ X\⋃λ∈L Xλ αυτό σηµαίνει ότι x ∈ X και x /∈⋃

λ∈L Xλ,δηλαδή για κάθε λ ∈ L x /∈ Xλ. Ισοδύναµα x ∈ X \ Xλ, για κάθε λ ∈ L άραx ∈ ⋂λ∈L(X \ Xλ)

(2) x ∈ X \⋂λ∈L Xλ ⇔ x ∈ X και x /∈⋂

λ∈L Xλ ⇔ x ∈ X για κάποιο λ ∈L και x /∈ Xλ ⇔ x ∈ X \ Xλ για κάποιο λ ∈ L ⇔ x ∈

⋃

λ∈L(X \ Xλ) �

Ορισµός 1.1.5 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. ΄Ενα υποσύνολο G ⊂ X λέγεταικλειστό σύνολο (ως προς την µετρική ρ) αν το συµπλήρωµα του Gc = X \ G είναιανοιχτό σύνολο.

Παράδειγµα: Το υποσύνολο A = [a, b] του R είναι κλειστό στο µετρικό χώρο(R, ρ), αφού το συµπλήρωµά του είναι (−∞, a)∪(b,∞) ανοιχτό σύνολο, ως ένωσηανοιχτών συνόλων.

Μερικές ϐασικές ιδιότητες κλειστών συνόλων του µετρικού χώρου (X, ρ):

1. ∅ και X είναι κλειστά υποσύνολα

2. Αν F1, F2, . . . , Fn είναι ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότεκαι η ένωσή τους, ∪ni=1Fi, είναι ανοιχτό σύνολο.

3. Αν Fi, όπου i ∈ J ανοιχτά υποσύνολα του µετρικού χώρου (X, ρ) τότε καιη τοµή τους, ∩i∈JFi, είναι ανοιχτό σύνολο.

Απόδειξη: Από την στιγµή που το κενό σύνολο είναι συµπλήρωµα του X στοµετρικό χωρο (X, ρ) και αντίστροφα το X είναι συµπλήρωµα του κενού, µαζί µετην πρώτη ιδιότητα των ανοιχτών συνόλων, έπεται ότι είναι κλειστά σύνολα.

Τα σύνολα X \F1, X \F2, . . . , X \Fn, είναι ανοιχτά, άρα η τοµή τους ∩ni=1Fiείναι ανοιχτό σύνολο. Οπότε έχουµε

n⋂

i=1

(X \ Fi) = X \n⋃

i=1

Fi

άρα ∪ni=1Fi είναι κλειστό σύνολο. Οµοίως αποδεικνύεται η ιδιότητα τρία �

Ορισµός 1.1.6 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X.Η ένωση όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του X που περιέχονται στο σύνολο A ϑαλέγεται το εσωτερικό ή ο πυρήνας του A και ϑα συµβολίζεται µε A◦. ∆ηλαδή

A◦ = ∪{G όπου G είναι ανοιχτό υποσύνολο του X ώστε G ⊂ A}

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

΄Αµεση ερµηνεία του ορισµού και µερικά συµπεράσµατα που µπορούµε να

ϐγάλουµε είναι ότι το εσωτερικό ενός συνόλου A είναι πάντα ανοιχτό σύνολο. ∆ενυπερβαίνει ποτέ το ίδιο το σύνολο, δηλαδή είναι πάντα υποσύνολο του A (αν καιµπορεί να ισούται µε το ίδιο το A). Είναι το µεγαλύτερο ανοιχτό υποσύνολό τουκαι όλα τα ανοιχτά υποσύνολα του A περιέχονται στο A◦.Παράδειγµα: R◦ = R, (a, b]◦ = (a, b), (a, b)◦ = (a, b), N◦ = ∅, Q◦ = ∅

Παράδειγµα: Οποιοδήποτε αριθµήσιµο ή πεπερασµένου πλήθους στοιχείων

υποσύνολο A του R έχει κενό εσωτερικό σύνολο.

Ορισµός 1.1.7 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X. Ητοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων του X που περιέχουν το σύνολο A ϑα λέγεταικλειστότητα του συνόλου A και ϑα συµβολίζεται µε A. ∆ηλαδή

A = ∩{F όπου F κλειστό υποσύνολο του X ώστε A ⊂ F}

΄Οπως και στην περίπτωση του εσωτερικού συνόλου έτσι και εδώ µπορούµε να

ϐγάλουµε κάποια χρήσιµα συµπεράσµατα. Η κλειστότητα ενός συνόλου A είναικλειστό σύνολο που πάντα περιέχει το A. Η κλειστότητα είναι το µικρότερο κλειστόσύνολο που περιέχει το A. Το A είναι κλειστό σύνολο αν και µόνο αν είναι ίσο µετην κλειστότητα του, A = A.

Παράδειγµα: Η κλειστότητα των ϱητών αριθµών είναι όλο το R, Q = R.

Θεώρηµα 1.1.1 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A, B υποσύνολα του X.Τότε ισχύουν τα παρακάτω:

1. (A◦)◦ = A◦ και (A) = A

2. A ⊂ B ⇒ A◦ ⊂ B◦ και A ⊂ B3. (A ∪ B)◦ = A◦ ∪ B◦ και A ∩ B = A ∩ B

Η πρόταση (3) ισχύει και για πεπερασµένες τοµές και ενώσεις αντίστοιχα.

Ορισµός 1.1.8 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X.΄Ενα σηµείο a του A λέγεται µεµονωµένο σηµείο του A αν για κάποιο ε > 0 η τοµήτης ανοιχτής µπάλας µε κέντρο a και ακτίνα ε µαζί µε το A είναι το µονοσύνολο{a}. ∆ηλαδή αν ισχύει

B(a, ε) ∩ A = {a}

Ορισµός 1.1.9 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο του X.Το σύνολο των σηµείων που ανήκουν στην κλειστότητα του A αλλά δε ανήκουν στοεσωτερικό του, ϑα λέγεται το σύνορο του A και ϑα συµβολίζεται µε ∂A. ∆ηλαδή

∂A = A \ A◦

Ορισµός 1.1.10 ΄Εστω (X, ρ) είναι ένας µετρικός χώρος και A ένα υποσύνολο τουX. ΄Ενα σηµείο x του X λέγεται σηµείο συσσώρευσης του A αν για κάθε ε > 0 ητοµή της ανοιχτής µπάλας µε κέντρο x και ακτίνα ε µε το σύνολο A χωρίς το ίδιο τοx (αν είναι µέσα στην τοµή) δεν είναι κενή. ∆ηλαδή αν ισχύει

B(x, ε) ∩ A \ {x} 6= ∅

1.2. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9

Το παράγωγο σύνολο του συνόλου A είναι το σύνολο όλων των σηµείων συσσώρευ-σης του A και συµβολίζεται µε A′, ∆ηλαδή

A′ = {x ∈ X όπου x είναι σηµείο συσσώρευσης του A}

Θεώρηµα 1.1.2 ΄Εστω (X, ρ) ένας µετρικός χώρος και A, B ένα υποσύνολο τουX. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα

1. Αν A ⊂ B τότε A′ ⊂ B′

2. A ∪ A′ = A

3. (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′

Η πρόταση (3) ισχύει και για πεπερασµένες ενώσεις

Ορισµός 1.1.11 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Ορίζουµε την απόσταση µεταξύ δύουποσυνόλων του X, A και B να είναι

dist(A, B) = inf{ρ(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

Ορισµός 1.1.12 ΄Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ). Θα λέµεότι το σύνολο A είναι πυκνό υποσύνολο του X αν για κάθε ε > 0 ισχύει ότι για κάθεx ∈ X υπάρχει y ∈ A ώστε ρ(x, y) < ε

Πρόταση 1.1.4 ΄Ενα υποσύνολο A ενός µετρικού χώρου (X, ρ) είναι πυκνό υπο-σύνολο του X αν και µόνο αν

A = X

Απόδειξη: Αρχικά ϑεωρούµε ότι το σύνολο A είναι πυκνό υποσύνολο τουX. Τότε για τυχόν x ∈ X έχουµε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει y ∈ A ώστερ(x, y) < ε ⇔ y ∈ B(x, ε) ⇔ B(x, ε) ∩ A 6= ∅. Αυτό σηµαίνει ότι αν x 6∈ A τότεx ∈ A′ άρα x ∈ A ∪ A′ δηλαδή x ∈ A. ΄Αρα X ⊆ A, δηλαδή X = A.

Αντίστροφα, έστω ότι ισχύει X = A. Θεωρούµε τυχόν x ∈ X και τυχόν ε > 0.Αν x ∈ A τότε υπάρχει y = x ∈ A ώστε ρ(x, y) = 0 < ε, οπότε υποθέτουµε ότιx 6∈ A (αλλά x ∈ A). Θέλουµε να δείξουµε ότι υπάρχει y ∈ A ώστε ρ(x, y) < ε.΄Εστω ότι δεν υπάρχει (για να καταλήξουµε σε άτοπο) τέτοιο y, αυτό σηµαίνει ότιυπάρχει r > 0 ώστε η ανοιχτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα r δεν τέµνει καθόλουτο A (B(x, r) ∩ A = ∅), άρα X \ B(x, r) είναι κλειστό υπερσύνολο του A, τότεόµως A ⊂ X \ B(x, r), άτοπο αφού A = X.

΄Αρα A είναι πυκνό σύνολο του X �

1.2 Συνέχεια Συναρτήσεων

Ορισµός 1.2.1 ΄Εστω (X, ρ1) (Y, ρ2) µετρικοί χώροι και µια συνάρτηση f : X →Y . Η f λέγεται συνεχής συνάρτηση αν για κάθε x0 ∈ X και κάθε ε > 0 υπάρχει δ =δ(x0, ε) > 0 ώστε για κάθε x ∈ X µε ρ1(x, x0) < δ έχουµε ότι ρ2(f(x), f(x0)) < ε.

Θα ορίσουµε τώρα την συνάρτηση οµοιότητας (similarity)

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Ορισµός 1.2.2 Μια συνάρτηση f : X → Y από µετρικό χώρο (X, ρ1) σε (Y, ρ2),ϑα λέγεται οµοιότητα αν και µόνο αν υπάρχει r > 0 ώστε

ρ2(f(x), f(y)) = rρ1(x, y)

για όλα τα x, y ∈ S. Ο αριθµός r καλείται λόγος της f . ∆ύο µετρικοί χώροι είναιόµοιοι αν και µόνο αν υπάρχει µια συνάρτηση οµοιότητας από τον έναν στον άλλο.

Παράδειγµα: Η ταυτοτική συνάρτηση f : X → X είναι συνεχής.

Παράδειγµα: Κάθε συνάρτηση οµοιότητας είναι συνεχής.

Απόδειξη: Αρκεί να πάρουµε δ = ε/r. Μάλιστα ισχύει κάτι πιο ισχυρό, κάθεσυνάρτηση οµοιότητας είναι οµοιόµορφα συνεχής. �

Ορισµός 1.2.3 Οµοιόµορφη Συνέχια΄Εστω (X, ρ1), (Y, ρ2) µετρικοί χώροι και f : X → Y µια συνάρτηση. Η f λέγεταιοµοιόµορφα συνεχής αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ = δ(ε) > 0 ώστε

ρ1(x, y) < δ ⇒ ρ2(f(x), f(y)) < ε

για όλα τα x, y ∈ X.

Ορισµός 1.2.4 ΄Εστω f : X → Y συνάρτηση και A ⊆ X, B ⊆ Y .Εικόνα του A µέσω της f είναι

f [A] = {f(x) ώστε x ∈ A}

Αντίστροφη εικόνα του B µέσω της f είναι

f−1[B] = {x ∈ X ώστε f(x) ∈ B}

Θεώρηµα 1.2.1 ΄Εστω f : X → Y είναι µια συνάρτηση. ΄Εστω επίσης ότι για κάθελ ∈ L, έχουµε ότι Xλ ⊆ X, Yλ ⊆ Y τότε

1. f [⋃

λ∈LXλ] =

⋃

λ∈Lf [Xλ]

2. f−1[⋃

λ∈LYλ] =

⋃

λ∈Lf−1[Yλ]

3. f−1[⋂

λ∈LYλ] =

⋂

λ∈Lf−1[Yλ]

Απόδειξη: ΄Εστω y ∈ f [∪λ∈LXλ] δηλαδή υπάρχει x ∈ ∪λ∈LXλ µε f(x) = y.΄Εχουµε x ∈ Xλ0 για κάποιο λ0 ∈ L και f(x) = y συνεπάγεται y ∈ f [Xλ0 ] ⇒ y ∈∪λ∈Lf [Xλ].

Τώρα y ∈ ∪λ∈Lf [Xλ] ⇒ y ∈ f [Xλ0 ] για κάποιο λ0 ∈ L, άρα y = f(x) γιακάποιο x ∈ Xλ0 ⊆ ∪λ∈LXλ ⇒ y ∈ f [∪λ∈LXλ] �

Θεώρηµα 1.2.2 ΄Εστω f : X → Y µια συνάρτηση µεταξύ µετρικών χώρων (X, ρ1)και (Y, ρ2). Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα.

1.3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 11

1. Η f είναι συνεχής συνάρτηση.

2. Για κάθε ανοιχτό υποσύνολο G του Y , η αντίστροφη εικόνα του G, f−1[G]είναι ανοιχτό σύνολο στο µετρικό χώρο X.

3. Για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Y , η αντίστροφη εικόνα του F , f−1[F ]είναι κλειστό σύνολο στο µετρικό χώρο X.

Απόδειξη: 1 ⇒ 2. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση και G ανοιχτόσύνολο στο µετρικό χώρο (Y, ρ2). ΄Εστω x0 ∈ f−1[G] ⇒ f(x0) ∈ G. Αφού τοG είναι ανοιχτό σύνολο, τότε υπάρχει ε > 0 ώστε Bρ2(f(x0), ε) ⊂ G. Από τηνσυνέχεια της f , υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε ρ1(x0, x) < δ για κάθε x ∈ f−1[G],δηλαδή Bρ1(x0, δ) ⊆ f−1[G]. ΄Αρα F−1[G] είναι ανοιχτό σύνολο στο X.

2 ⇒ 1. Αντίστροφα, έστω για κάθε ανοιχτό σύνολο G η f−1[G] είναι ανοιχτόκαι αυτό. Θέλουµε να δείξουµε ότι η f είναι συνεχής. ΄Εστω x0 ∈ X τότε για ε > 0η µπάλα Bρ2(f(x0), ε) είναι ανοιχτή στο Y , άρα το σύνολο f

−1[Bρ2(f(x0, ε)] είναιανοιχτό στο X, δηλαδή υπάρχει δ > 0 ώστε Bρ1(x0, δ) ⊂ f−1[Bρ2(f(x0), ε)] ⇒ρ1(x0, x) < δ και αφού Bρ2(f(x0), ε) έχουµε ότι ρ2(f(x0), f(x)). ΄Αρα η f είναισυνεχής συνάρτηση.

Τώρα 2 ⇔ 3 ισχύει γιατί το συµπλήρωµα του F είναι ανοιχτό σύνολο καιf−1[F c] = (f1[F ])c. �

Ορισµός 1.2.5 ΄Εστω συνάρτηση f : X → Y από µετρικό χώρο (X, ρ1) στο µετρι-κό χώρο (Y, ρ2) και g : Y → Z συναρτήση από το µετρικό χώρο (Y, ρ2) στο Z, ρ3.Ορίσουµε την σύνθεση συναρτήσεων να είναι η καινούργια συνάρτηση g◦f : X → Zκαι (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Παρατηρούµε ότι για A ⊆ Z, η αντίστροφη εικόνα (g◦f)−1[A] = f−1[g−1[A]].

Θεώρηµα 1.2.3 ΄Εστω X, Y, Z είναι µετρικοί χώροι και f : X → Y, g : Y → Zείναι δύο συνεχείς συναρτήσεις. Τότε η σύνθεση g ◦ f είναι και αυτή συνεχήςσυνάρτηση.

Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε ανοιχτό υποσύνολο A του Z το σύνολο(g◦f)−1[A] είναι ανοιχτό σύνολο στο X. Από το ϑεώρηµα 1.2.2 έχουµε ότι g−1[A]είναι ανοιχτό στο Y και πάλι από το ϑέωρηµα 1.2.2 το f−1[g−1[A]] είναι ανοιχτόσύνολο στο X. �

Θεώρηµα 1.2.4 ΄Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ1), (Y, ρ2) και (Z, ρ3). ΄Εστω f : X →Y και g : Y → Z δύο οµοιότητες µε λόγους rf και rg αντίστοιχα. Τότε η σύνθεσητους g ◦ f είναι οµοιότητα µε λόγο rgrf .

Απόδειξη: ρ3(g(f(x)), g(f(y))) = rgρ2(f(x), f(y)) = rgrf (x, y) �

1.3 Ακολουθίες

Ορισµός 1.3.1 Μια συνάρτηση a : N → X που έχει ως πεδίο ορισµού το σύνολοτων ϕυσικών αριθµών, λέγεται ακολουθία στο X και συµβολίζεται µε an ή {an} ή{an}∞n=1. Επιπλέον συνηθίζουµε να γράφουµε an για a(n).

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

΄Εστω ότι έχουµε µετρικό χώρο (X, ρ) Λέµε ότι η ακολουθία {xn} συγκλίνει σεσηµείο x του X αν για κάθε ε > 0, υπάρχει m ∈ N ώστε για κάθε n ≥ m

ρ(x, xn) < ε ή xn ∈ B(x, ε).

Συµβολίζουµε την σύγκλιση µε xn → x.

Θεώρηµα 1.3.1 Το όριο µιας ακολουθίας {xn} αν υπάρχει είναι µοναδικό.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι η ακολουθία µας {xn} συγκλίνει και έχει δύο διαφορετικάόρια l1 και l2. Τότε έχουµε ότι για ε > 0, υπάρχει m1 ∈ N ώστε για n ≥ m1να ισχύει ρ(l1, xn) < ε/2 και υπάρχει m2 ∈ N ώστε για n ≥ m2 να ισχύειρ(l2, xn) < ε/2.

Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε

ρ(l1, l2) ≤ ρ(l1, xn) + ρ(xn, l2)

για m = max{m1, m2} η ανισότητα γίνεται

ρ(l1, l2) ≤ε

2+

ε

2= ε (1.2)

΄Οµως η σχέση 1.2 ισχύει για κάθε ϑετικό ε άρα ρ(l1, l2) = 0 και l1 = l2, άτοπο,δηλαδή το όριο είναι µοναδικό. �

Θεώρηµα 1.3.2 ΄Εστω µετρικοί χώροι (X, ρ1) και (Y, ρ2) και µια συνάρτηση f :X → Y . Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

1. η f είναι συνεχής συνάρτηση.

2. αν xn → x τότε f(xn) → x

Απόδειξη: (1) ⇒ (2). Υποθέτουµε πρώτα ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση καιότι xn → x, ϑέλουµε να δείξουµε ότι f(xn) → f(x).

΄Εστω ε > 0 τότε, αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση, ισχύει ότι υπάρχειδ > 0 ώστε ρ1(x, y) < δ, τότε ρ2(f(x), f(y)) < ε για κάθε y ∈ X. Τώρα αφούxn → x υπάρχει m ∈ N ώστε για κάθε n ≥ m έχουµε ότι ρ1(xn, x) < δ άραρ2(f(xn), f(x)) < ε. ΄Ετσι f(xn) → f(x).

(2) ⇒ (1). Για x ∈ X και ε > 0, ϑα πρέπει να ϐρούµε δ > 0 τέτοιο ώ-στε ρ1(x, y) < δ ⇒ ρ2(f(x), f(y)) < ε. Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει τέτοιο δ(για να καταλήξουµε σε άτοπο), αυτό σηµαίνει ότι για κάθε n ∈ N δεν ισχύειγια δ = 1/n ώστε ρ1(x, y) < 1/n ⇒ ρ2(f(x), f(y)). ∆ηλαδή υπάρχει xn ∈ Xτέτοιο ώστε ρ1(xn, x) < 1/n ενώ ρ2(f(xn), f(x)) > ε. Εξετάζουµε την ακολου-ϑία {xn} του X. ΄Εχουµε ότι xn → x όµως ρ2(f(xn), f(x)) > ε άρα f(xn) δενσυγκλίνει, άτοπο αφού υποθέσαµε ότι f(xn) → f(x), άρα υπάρχει δ > 0 ώστερ1(x, y) ⇒ ρ2(f(x), f(y)) < ε και η f είναι συνεχής συνάρτηση. �

Θεώρηµα 1.3.3 Η ακολουθία {an} = (xn, yn) το R2 συγκλίνει στο σηµείο a =(x, y) ∈ R2 αν και µόνο αν xn → x και yn → y στο R.

Θεώρηµα 1.3.4 ΄Εστω {xn} µια ακολουθία του υποσυνόλου A µετρικού χώρουX. ΄Εστω ότι xn → x, τότε x ∈ A.

1.4. ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 13

Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι x 6∈ A. Τότε G = X \ A είναι ανοιχτό υποσύνολοστο X και x ∈ G. ΄Εχουµε ότι A ∩ G = ∅ αφού A ⊂ A, άρα xn 6∈ G για όλα ταn ∈ N. Αφού το G είναι ανοιχτό σύνολο έχουµε ότι για x ∈ G υπάρχει ε > 0 µεB(x, ε) ⊂ G. Τώρα έχουµε ότι xn → x που σηµαίνει ότι υπάρχει m ∈ N ώστε γιαn ≥ m να ισχύει ρ(xn, x) < ε, δηλαδή από κάποιο m και µετά όλα τα στοιχείατης ακολουθίας ϐρίσκονται στην µπάλα B(x, ε), άτοπο. ΄Αρα x ∈ A. �

Ορισµός 1.3.2 ΄Εστω {xn} ακολουθία σηµείων του µετρικού χώρου (X, ρ). ΄Εστω1 ≤ n1 < n2 < · · · < nk < · · · όπου nk ∈ N, τότε τα σηµεία xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .λέγεται ότι αποτελούν υπακολουθία της xn και γράφεται {xnk}∞k=1 ή {xnk} ή απλάxnk .

Θεώρηµα 1.3.5 ΄Εστω {xn} είναι µια ακολουθία µετρικού χώρου (X, ρ) και έστωη ακολουθία {xn} συγκλίνει στο x. ΄Εστω {xnk}∞k=1 υπακολουθία της {xn}. Τότεη xnk → x.

Απόδειξη: ΄Εστω ε > 0. Από την σύγκλιση της xn έχουµε ότι υπάρχει m ∈ Nώστε ρ(x, xn) < ε για όλα τα n ≥ m. ΄Αρα για κάθε k ≥ m έχουµε ότι nk > k ≥ mκαι ρ(x, xnk) < ε, άρα xnk → x. �

1.4 Συνεκτικοί Χώροι

Ορισµός 1.4.1 ΄Ενας µετρικός χώρος X λέγεται µη συνεκτικός αν υπάρχουν ανοι-χτά υποσύνολα G και U του X τέτοια ώστε

1. G 6= ∅ και U 6= ∅

2. G ∩ U = ∅

3. G ∪ U = X

Αν δεν υπάρχουν τέτοια υποσύνολα του X, τότε ο X λέγεται συνεκτικός

Παράδειγµα: Ο µετρικός χώρος (N, ρ), όπου ρ η συνήθης µετρική, είναι µησυνεκτικός, αφού αν πάρουµε G = {1} και U = {2, 3, . . .}, είναι ανοιχτά στο(N, ρ) και ικανοποιούνται οι τρεις προϋποθέσεις του ορισµού 1.4.1

Μια απλή παρατήρηση: ένας µη συνεκτικός χώρος πρέπει να περιέχει τουλά-

χιστον δύο σηµεία.

Παράδειγµα: Το κενό σύνολο όπως και τα µονοσύνολα είναι συνεκτικοί χώροι.

Λήµµα 1.4.1 ΄Εστω I ⊂ R ώστε για όλα x, y ∈ I και x < y να ισχύει [x, y] ⊂ Iτότε το I είναι διάστηµα.

Απόδειξη: Θα εξετάσουµε την περίπτωση που το I έχει άνω και κάτω πέρας(ϕράγµα) και δεν είναι κενό ούτε µονοσύνολο. ΄Εστω a = inf I και b = inf I τότεa < b. ΄Εστω a < x < b, τότε υπάρχει y ∈ I µε a ≤ y < x (αφού a = inf I), οµοίως

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

υπάρχει z ∈ I µε x < z ≤ b (αφού b = inf I). Από την υπόθεση [x, y] ⊂ I, άραx ∈ I.

΄Εχουµε δείξει ότι για οποιοδήποτε x ∈ (a, b) το x ∈ I, άρα (a, b) ⊂ I.Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις συνόλων µε a = inf I και b = inf I που να

περιέχουν το (a, b): I = (a, b), I = (a, b], I = [a, b) και I = [a, b]. ΄Ολες είναιδιαστήµατα. �

Θεώρηµα 1.4.1 ΄Εστω I υπόχωρος του R. Το I είναι συνεκτικός υπόχωρος αν καιµόνο αν το I είναι διάστηµα.

Απόδειξη: Θεωρούµε πρώτα ότι I είναι διάστηµα, ϑα δείξουµε ότι είναι συνεκτι-κός υπόχωρος του R.

Υποθέτουµε ότι I δεν είναι κενό και δεν είναι µονοσύνολο, γιατί αν ήταν, ϑαήταν συνεκτικός, οπότε ϑα τελείωνε η απόδειξη. ΄Εστω λοιπόν a, b ∈ I µε a < b.Τότε, αφού I είναι διάστηµα έχουµε ότι [a, b] ⊂ I.

Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν ανοιχτά G, U ⊂ I ώστε

G 6= ∅ και U 6= ∅ (1.3)

G ∩ U = ∅ (1.4)Αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε τέτοια δυάδα συνόλων δεν ισχύει η προϋπόθεση

(3) του ορισµού 1.4.1. Από την σχέση 1.3 έχουµε ότι υπάρχουν a ∈ G, b ∈ U καιχωρίς ϐλάβη της γενικότητας, έστω a < b. Επειδή I είναι διάστηµα [a, b] ⊂ I.

Το G είναι ανοιχτό στο I άρα αφού a ∈ G, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ε1 > 0ώστε BI(a, ε1) ⊂ G ⇒ [a, a + ε1) ⊂ G. Ανάλογα το U είναι ανοιχτό στο I, b ∈ Uυπάρχει ε2 > 0 µε BI(b, ε2) ⊂ U ⇒ (b − ε2, b] ⊂ U . Θέτω

A = {x ∈ R ώστε [a, x] ⊂ G}

∆ηλαδή a < a + ε1/2 ∈ A. Επειδή b − ε2/2 ∈ U είναι άνω ϕράγµα του G(b − ε2/2 /∈ G αφού G ∩ U = ∅). ΄Αρα υπάρχει c = sup A ∈ R. ΄Εχουµεc ≥ a + ε1/2 και c ≤ b − ε2/2 ⇒ a < c < b άρα c ∈ I.

Αρκεί να δείξουµε ότι c /∈ G και c /∈ U τότε ϑα έχουµε G ∪ U 6= I.Υποθέτουµε c ∈ G. Από την στιγµή που το G είναι ανοιχτό στο I, υπάρχει

ε > 0 ώστε BI(c, ε) ⊂ G. Υποθέτουµε ε < max{c− a, b− c} ⇒ (c− ε, c+ ε) ⊂ G.Εφόσον (c − ε, c + ε) ⊂ G, [a, c + ε/2] ⊂ G ⇒ c + ε/2 ∈ A που είναι άτοπο αφούc είναι άνω πέρας για το A άρα c /∈ G.

΄Εστω τώρα c ∈ U . Αφού U είναι ανοιχτό στο I, υπάρχει ε > 0 ώστε BI(c, ε) ⊂U . Μπόρουµε να υποθέσουµε ότι ε = max{c − a, b − c} ⇒ (c − ε, c + ε) ⊂ U .Αφού c = sup A υπάρχει x ∈ A ώστε x > c − ε, δηλαδή x ∈ (c − ε, c) ⇒ x ∈ Uκαι x ∈ G, άτοπο από την σχέση 1.4 άρα c /∈ U .

΄Εµεινε να δείξουµε ότι αν ο I ειναι συνεκτικός τότε είναι διάστηµα. ΄Εστω ο Iδεν είναι διάστηµα αρκεί να δείξουµε ότι ο I είναι µη συνεκτικός. Από το λήµµα1.4.1 ⇒ υπάρχουν a, b ∈ I ώστε (a, b) 6⊂ I, οπότε υπάρχει c /∈ I µε a < c < b.Θέτω G = (−∞, c) ∩ I και U = (c,∞) ∩ I ανοιχτά σύνολα στο (I, ρ).

΄Εχουµε a ∈ G άρα G 6= ∅ όπως και b ∈ U άρα U 6= ∅. G ∩ U = ∅ καιG ∪ U = ((−∞, c) ∩ I) ∪ ((c,∞) ∩ I) = I ∩ R \ {c} = I αφού c /∈ I. ΄Αρα ο I µησυνεκτικός. �

1.4. ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 15

Θεώρηµα 1.4.2 ΄Εστω f : X → Y συνεχής συνάρτηση επί του Y . Αν ο X είναισυνεκτικός χωρος τότε και ο Y είναι συνεκτικός.

Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι ο Y είναι µη συνεκτικός, αρκεί να δείξουµε ότι ο Xδεν είναι συνεκτικός. Υπάρχουν ανοιχτά υποσύνολα G, U του Y ώστε

1. G 6= ∅, U 6= ∅2. G ∩ U = ∅3. G ∪ U = Y

Αφού η f είναι συνεχής συνάρτηση έχουµε ότι f−1[G], f−1[U ] είναι ανοιχτά υπο-σύνολα του X, από το ϑεώρηµα 1.2.2. Αφού G∪U = Y και η f είναι επί, έχουµεX = f−1[Y ] = f−1[G ∪ U ] = f−1[G] ∪ f−1[U ], δηλαδή

X = f−1[G] ∪ f−1[U ] (1.5)

Επίσης αφού G ∩ H = ∅ έχουµε ∅ = f−1[∅] = f−1[G ∩ U ] δηλαδή

f−1[G] ∩ f−1[U ] = ∅ (1.6)

Τέλος αφού G 6= ∅ υπάρχει y ∈ G και αφού η f είναι επί y = f(x) για κάποιοx ∈ X, µα τότε x ∈ f−1[G] άρα f−1 6= ∅. Οµοίως f−1[U ] 6= ∅. δηλαδή

f−1[G] 6= ∅, f−1[U ] 6= ∅ (1.7)

Οι 1.5, 1.6, 1.7 και το γεγονός ότι οι εικόνες f−1[G] και f−1[U ] είναι ανοιχτάυποσύνολα του X, δείχνουν ότι ο X είναι µη συνεκτικός χώρος. �

Παράδειγµα: ΄Εστω f : R → N συνεχής συνάρτηση µε τύπο f(x) = 1. ΤοR είναι συνέκτικος, αλλά το N δεν είναι. Το παράδειγµα αυτό δείχνει την αναγ-

καιότητα η συνάρτηση f να είναι «επί».

Πόρισµα 1.4.1 ΄Εστω f : X → Y µια συνεχής συνάρτηση. ΄Εστω ο X είναισυνεκτικός χώρος. Τότε η εικόνα f [X] ως υπόχωρος του Y είναι συνεκτικός χώρος.

Πόρισµα 1.4.2 Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής΄Εστω f : X → R µια συνεχής συνάρτηση και ο X συνεκτικός χώρος. ΄Εστω

x, y ∈ X µε f(x) < f(y). ΄Εστω τώρα a ∈ R µε f(x) < a < f(y). Τότε υπάρχειz ∈ X ώστε f(z) = a.

Απόδειξη: Από το πόρισµα 1.4.1 η εικόνα f [X] είναι συνεκτικός υπόχωροςτου R, άρα από το ϑεώρηµα 1.4.1 είναι διάστηµα. Τώρα f(x), f(y) ∈ f [X] ⇒[f(x), f(y)] ⊂ f [X] ⇒ a ∈ f [X] υπάρχει z ∈ X µε f(z) = a �

Ορισµός 1.4.2 Αν A είναι υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ), ϑα λέµε ότιτο A είναι συνεκτικό σύνολο αν το A, ως υπόχωρος του µετρικού χώρου X είναισυνεκτικός.

Ορισµός 1.4.3 ΄Ενας υπόχωρος X του Rn λέγεται κυρτός αν για x0, x1 ∈ X,ισχύει ότι [x0, x1] ⊂ X. ΄Οπου [xo, x1] είναι το ευθύγραµµο τµήµα από το x0 προςτο x1 δηλαδή το σύνολο που αποτελείται από όλα τα σηµεία x0 + (x1 − x0)t, όπουt ∈ [0, 1].

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Παράδειγµα: Ο R είναι κυρτός

Πρόταση 1.4.1 Κάθε ανοιχτή µπάλα B(a, r) του Rn είναι κυρτό σύνολο

Απόδειξη: ΄Εστω x0, x1 ∈ B(a, r) και t ∈ [0, 1]. Θέλουµε να δείξουµε ότιx = x0 + (x1 − x0)t ∈ B(a, r). Τώρα

ρ(x, a) = ||x − a|| = ||x0(1 − t) + x1t − a||= ||(x0 − a)(1 − t) + (x1 − a)t||≤ ||(x0 − a)(1 − t)|| + ||(x1 − a)|t|||= ||x0 − a|||1 − t| + ||x1 − a|||t|< r(1 − t) + rt = r

΄Αρα ρ(x, a) < r, δηλαδή x ∈ B(a, r), οπότε B(a, r) είναι κυρτό σύνολο. �

1.5 Συµπάγεια

Ορισµός 1.5.1 Μια κάλυψη (ένα κάλυµµα) K ενός συνόλου X είναι µια συλλογήσυνόλων K ώστε X ⊆ ⋃K.

Ορισµός 1.5.2 ΄Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου X. Μια κάλυψη Kτου A ονοµάζεται ανοιχτή ή κλειστή στον X αν καθε στοιχείο B ∈ K είναι ανοιχτόή κλειστό αντίστοιχα υποσύνολα του X.

Ορισµός 1.5.3 Αν K είναι κάλυψη του µετρικού χώρου X, το υποσύνολο C του Kλέγεται υποκάλυψη, αν η ένωση των στοιχείων της είναι ίση µε τον X, δηλαδή αντο C αποτελεί από µόνο του κάλυψη του X

Ορισµός 1.5.4 ΄Ενας µετρικός χώρος X λέγεται συµπαγής µετρικός χώρος ανκάθε ανοιχτή κάλυψη του έχει πεπερασµένη υποκάλυψη

Ορισµός 1.5.5 ΄Εστω A ένα υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, ρ). Η διάµετροςτου A, diam(A), ορίζουµε να είναι

diam(A) = sup{ρ(x, y) ώστε (x, y) ∈ A × A}

Θεώρηµα 1.5.1 Για a, b ∈ R, ο υπόχωρος Y = [a, b] του R συµπαγής.

Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι a < b (σε αντίθετη περίπτωση Y = ∅ ή Y = a οπότεο Y συµπαγής ως πεπερασµένος).

Θεωρώ ένα ανοιχτό κάλυµµα K του Y . Υπάρχει ένα G0 ∈ K µε a ∈ G0. Τώρατο G0 είναι ανοιχτό σύνολο του Y , δηλαδή υπάρχει ε0 > 0 ώστε BY (a, ε0) ⊂ G0.Ισχύει ότι

[a, a + ε0) ⊂ BY (a, ε0) ⊂ G0 (1.8)

Θέτω A = {x ∈ [a, b] ώστε [a, x] να περιέχεται στην ένωση µιας πεπερασµένηςυποοικογένειας του K} = {x ∈ [a, b] ώστε υπάρχουν G1, G2, . . . , Gk ∈ K για k ∈N τέτοια ώστε [a, x] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · ·Gk}

1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 17

Από την (1.8) ⇒ a+ ε0/2 ∈ A και το A έχει το b ως άνω ϕράγµα. ΄Αρα υπάρχειc = sup A, µάλιστα a < a + ε0/2 ≤ c ≤ b

Εφόσον c ∈ Y , υπάρχει Gµ ∈ K ώστε c ∈ Gµ. Αφού όµως το Gµ είναι ανοιχτόσύνολο, υπάρχει δ > 0 ώστε

BY (c, δ) ⊂ Gµ (1.9)

Μπορούµε να πάρουµε δ < c − a. Ας υποθέσουµε ότι c < b, τότε υποθέτουµε ότιδ ≤ min{b − c, c − a}.

Από την (1.9) ⇒ (c − δ, c + δ) ⊂ Gµ. Αφού c = sup A υπάρχει x ∈ A µεc − δ < x ≤ c. ΄Οµως x ∈ A ⇒ υπάρχουν G1, G2, . . . , Gn ∈ K ώστε [a, x] ⊂G1 ∪ G2 ∪ · · ·Gn ⇒ [a, c + δ/2] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · ·Gn ∪ Gµ ⇒ c + δ/2 ∈ A, άτοποαφού c + δ/2 > c = sup A. Συµπέρασµα c = b.

Υπάρχει δηλαδή x ∈ A µε b − δ < x < b (αφού b = sup A). ΄Αρα υπάρχειένας πεπερασµένος αριθµός µελών του K, έστω G1, G2, . . . , Gm έτσι ώστε [a, x] ⊂G1 ∪ G2 ∪ · · ·Gm.

Από την (1.9)⇒ (b − δ, b) ⊂ Gµ άρα Y = [a, b] ⊂ G1 ∪ G2 ∪ · · ·Gm ∪ Gµ ⇒Y ⊆ G1 ∪ G2 ∪ · · ·Gµ, άρα ο Y είναι συµπαγής. �

Ορισµός 1.5.6 ΄Ενας µετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται ϕραγµένος αν υπάρχει ϑετι-κό a ∈ R+ ώστε ρ(x, y) ≤ a για κάθε x, y ∈ X

Παράδειγµα: ΄Ενας πεπερασµένος µετρικός χώρος X = {x1, . . . , xn} είναιϕραγµένος µε το ϕράγµα να είναι a = max{ρ(xi, xj) όπου 1 ≤ i, j ≤ n}. ΄Ενω οµετρικός χώρος (R, ρ), όπου ρ είναι συνήθης µετρική, δεν είναι ϕραγµένος.

Πρόταση 1.5.1 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και x0 ∈ X.Τότε ο X είναι ϕραγµέ-νος µετρικός χώρος αν και µόνο αν X ⊂ B(x0, b) για κάποιο b > 0.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι ο X είναι ϕραγµένος, δηλαδή υπάρχει a > 0 ώστε ρ(x, y) ≤a για κάθε x, y ∈ X. Ισχύει ρ(x, x0) ≤ a, ενώ εµείς ϑέλουµε ρ(x, x0) < b. Ανπάρουµε b = a + 1, έχουµε το Ϲητούµενο x ∈ X ⇒ ρ(x, x0) ≤ a < b ⇒ x ∈B(x0, b). ∆ηλαδή X ⊂ B(x0, b).

΄Εστω ότι X ⊂ B(x0, b) αυτό σηµαίνει ότι για x, y ∈ X ⇒ x, y ∈ B(x0, b) ⇒ρ(x0, x) < b και ρ(x0, y) από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(x, y) ≤ ρ(x, x0) +ρ(x0, y) < 2b για όλα x, y ∈ X άρα ο X ϕραγµένος. �

Θεώρηµα 1.5.2 ΄Ενας συµπαγής χώρος (X, ρ) είναι ϕραγµένος.

Απόδειξη: Αν X = ∅ τότε είναι ήδη ϕραγµένος, οπότε υποθέτουµε ότι X δενείναι κενός, δηλαδή υπάρχει ένα x0 ∈ X. Τώρα ∪n∈NB(x0, n) = X. ΄Εστω x ∈ X,τώρα ρ(x, x0) ∈ R, άρα υπάρχει m ∈ N µε ρ(x, x0) < m ⇒ x ∈ B(x0, m) ⇒ x ∈∪n∈NB(x0, n). Το αντίστροφο είναι προφανές (γιατί κάθε µπάλα είναι υποσύνολοτου X)

΄Εστω {B(x0, n) ώστε n ∈ N} είναι ανοιχτό κάλυµµα του X. Αφού X εί-ναι συµπαγής υπάρχουν n1, n2, . . . , nk ∈ N ώστε X = B(x0, n1) ∪ B(x0, n2) ∪· · ·B(x0, nk) ⊂ B(x0, a) όπου a = min{n1, n2, . . . , nk}. ΄Αρα ο X είναι ϕραγµέ-νος. �

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Θεώρηµα 1.5.3 ΄Ενας κλειστός υπόχωρος Y ενός συµπαγή χώρου X είναι συµ-παγής.

Απόδειξη: Θεωρώ ανοιχτό κάλυµµα K = {Hλ ώστε λ ∈ J} του Y . Για κάθελ ∈ J , Hλ είναι ανοιχτό σύνολο του Y άρα Hλ = Gλ ∩ Y για κάποιο ανοι-χτό Gλ του X. K κάλυµµα του Y ⇒ ∪λ∈Jhλ = Y ⇒ Y ⊂ ∪λ∈JGλ. ΤώραG = X \ Y είναι ανοιχτό του X και G µαζί µε όλα τα Gλ αποτελούν ανοιχτόκάλυµµα του X ο οποίος είναι συµπαγής. ΄Αρα υπάρχουν λ1, λ2, . . . , λk ∈ Jώστε X ⊂ G ∪ Gλ1 ∪ · · ·Gλk . Τέµνοντας στην συνέχεια το Y έχουµε Y =(Y ∩G)∪ (Y ∩Gλ1)∪ · · · (Y ∩Gλk) = Hλ1 ∪Hλ2 ∪ · · ·Hλk ⇒ Y είναι συµπαγήςµετρικός χώρος. �

Παράδειγµα: Y = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .} είναι κλειστό του X = [0, 1] άρα Y είναισυµπαγής υπόχωρος του συµπάγη χώρου X του µετρικού χώρου (R, ρ), όπου ρσυνήθης µετρική.

Θεώρηµα 1.5.4 ΄Εστω Y συµπαγής υπόχωρος του X. Τότε το Y είναι κλειστόυποσύνολο του X.

Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι ο Z = X \ Y είναι ανοιχτός στον X. ΄Εστωz ∈ Z. Αρκεί να ϐρω ε > 0 ώστε B(z, ε) ⊂ Z. Για κάθε y ∈ Y το ρ(y, z) > 0 αφούy 6= z. Θέτω εy = 1/2ρ(y, z) > 0 τότε

B(z, εy) ∩ B(y, εy) = ∅. (1.10)

BY (y, n) = Y ∩ B(y, n) ⇒ ∪y∈Y BY (y, εy) = Y άρα {BY (y, εy) ώστε y ∈ Y }αποτελούν ανοιχτό κάλυµµα του συµπαγή χώρου Y .

Αρά υπάρχουν y1, y2, . . . , yk ∈ Y ώστε Y = BY (y, εy1)∪BY (y, εy2)∪BY (y, εyk) ⇒

Y ⊂ B(y, εy1) ∪ B(y, εy2) ∪ B(y, εyk) (1.11)

Θέτουµε ε = min{εy1 , εy2 , . . . , εyk} B(z, ε)∩B(y1, εy1) ⊂ B(z, εy1)∩B(y1, εy1) =∅ από την (1.10). Τέµνουµε την (1.10) µε B(z, ε) και έχουµε B(z, ε) ∩ Y ⊂(B(z, ε)∩B(y1, εy1))∪(B(z, ε)∩B(y2, εy2))∪· · · (B(z, ε)∩B(yk, εyk)) = ∅∪∅∪· · · ∅άρα B(z, ε) ∩ Y = ∅ ⇒ B(z, ε) ⊂ Z = X \ Y . �

Βάσει της άρνησης ισχύει το παρακάτω πόρισµα.

Πόρισµα 1.5.1 ΄Ενα σύνολο Y που δεν είναι κλειστό στο X ⇒ το Y δεν είναισυµπαγής.

Παράδειγµα: Τα σύνολα (µετρικοί χώροι) (0, 1), {1, 1/2, 1/3, . . .}, (−1, 0], [3, 10)δεν είναι κλειστά στο R άρα δεν είναι συµπαγείς υπόχωροι (του R). Παρατηρούµε

ότι το δεύτερο σύνολο γίνεται συµπαγής αν προστεθεί το στοιχείο µηδέν.

Θεώρηµα 1.5.5 ΄Εστω Y κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R. Τότε κάθεανοιχτή κάλυψη του Y έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, δηλαδή το Y είναι συµπαγής.

1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 19

� �� � � �� � � � � � � �

����� ������ � �����

� � � � � � � � � � �

�������

�������

��������

�����

Σχήµα 1.1: Κατασκευή του συνόλου Cantor µε λόγο λ = 14 .

Απόδειξη: ΄Εστω Y κλειστό και ϕραγµένο σύνολο στο R. Αν Y = ∅ τότε είναισυµπαγής. Μπορούµε εποµένως να υποθέσουµε ότι υπάρχει y0 ∈ Y . Αφού τοY είναι ϕραγµένο, ισχύει Y ⊂ CY (y0, ε) για κάποιο ε > 0, όµως CY (y0, ε) ⊆[y0−ε, y0 +ε]. Τώρα X = [y0−ε, y0 +ε] είναι συµπαγές σύνολο, από το ϑεώρηµα1.5.1. Τέλος από το ϑεώρηµα 1.5.3 ο Y είναι κλειστός υπόχωρος συµπαγούςχώρου X ⇒ Y είναι συµπαγής.

΄Εστω ότι ο χώρος Y είναι συµπαγής. Τότε από το ϑεώρηµα 1.5.2, είναι ϕραγ-µένος. Επίσης από το ϑεώρηµα 1.5.4, είναι και κλειστός. �

Στην συνέχεια ϑα ορίσουµε σύνολα Cantor στο R, τα όποια ϑα τα χρησιµο-

ποιούµε σε πολλά παραδείγµατα στο κεφάλαιο 3. ΄Οπως ϑα δούµε αργότερα, τα

σύνολα Cantor είναι σύνολα κλασµατικής διάστασης.

΄Εστω 0 < λ < 1/2. Ορίζουµε I0,1 = [0, 1] και έστω I1,1 = [0, λ] και I1,2 =[1−λ, 1]. Συνεχίζουµε την διαδικασία διαλέγοντας υποδιαστήµατα από κάθε διά-στηµα που έχουµε ήδη ϕτιάξει. Για παράδειγµα, αν έχουµε ορίσει τα διαστήµατα

Ik−1,1, Ik−1,2, . . . , Ik−1,2k−1 , τότε στο επόµενο ϐήµα ορίζουµε Ik,1, Ik,2, . . . , Ik,2k ,διαγράφοντας από την µέση κάθε διαστήµατος Ik−1,j ένα διάστηµα µήκους (1 −2λ) diam Ik−1,j = (1 − 2λ)λk−1. ΄Ετσι κάθε διάστηµα Ik,j που παράγεται έχειµήκος λk, ϐλέπε σχήµα 1.1.

Ορισµός 1.5.7 Η οριακή κατάσταση της παραπάνω κατασκευής είναι το σύνολοCantor µε λόγο λ

C(λ) =∞⋂

k=0

2k⋃

j=1

Ik,j

Το περισσότερο διαδεδοµένο σύνολο Cantor είναι το τριαδικό, C(1/3)

Παράδειγµα: Κάθε σύνολο Cantor µε λόγο 0 < λ < 1/2 είναι συµπαγές.Απόδειξη: Το σύνολο Cantor είναι ϕραγµένο από 0 και 1. Είναι επίσης καικλειστό ως άπειρη τοµή κλειστών συνόλων. Από το ϑεώρηµα 1.5.5 έπεται ότι το

σύνολο Cantor είναι συµπαγές. �

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Οι συνεχείς συναρτήσεις µεταφέρουν την συµπάγεια, όπως συµβαίνει και µε

την συνεκτικότητα. Η συµπάγεια είναι τοπολογική ιδιότητα.

Θεώρηµα 1.5.6 ΄Εστω f : X → Y συνεχής συνάρτηση. ΄Εστω ότι η f είναι επίτου X και ο X είναι συµπαγής. Τότε ο Y είναι συµπαγής.

Απόδειξη: ΄Εστω K = {Gλ όπου λ ∈ L} είναι ανοιχτή κάλυψη του Y . Γιακάθε λ ∈ L το σύνολο Hλ = f−1[Gλ] είναι ανοιχτό του X, αφού η f είναισυνεχής. Επίσης ∪λ∈LGλ = Y . ΄Αρα X = f−1[Y ] = ∪λ∈Lf−1[Gλ]. ΄Ετσι το{Hλόπου λ ∈ L} είναι ανοιχτή κάλυψη του X. Ο X όµως είναι συµπαγής, άραυπάρχουν λ1, . . . , λk ∈ L µε X = Hλ1∪· · ·∪Hλk ⇒ f [X] = f [Hλ1 ]∪· · ·∪f [Hλk ].Τώρα, αφού η f είναι επί του Y ισχύει f [X] = Y , άρα έχουµε Y = f−1[Hλ1 ] ∪· · · ∪ f−1[Hλk ] = f [f−1[Gλ1 ]] ∪ · · · ∪ f [f−1[Gλk ]] = G ∪ · · · ∪ G.

΄Αρα ο Y είναι συµπαγής. �

Πόρισµα 1.5.2 ΄Εστω f : X → Y είναι συνεχής συνάρτηση, όπου X είναι συµπα-γής µετρικός χώρος. Τότε ο υπόχωρος f [X] του Y είναι συµπαγής

Πόρισµα 1.5.3 ΄Εστω ο X συµπαγής, µη κενός µετρικός χώρος. ΄Εστω η f : X →R µια συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι ϕραγµένη και λαµβάνει ελάχιστη καιµέγιστη τιµή.

Απόδειξη: Το σύνολο f [X] είναι συµπαγής υπόχωρος του R, από το πόρισµα1.5.2. ΄Αρα το f [X] είναι κλειστό και ϕραγµένο σύνολο. Εφόσον το X είναι µηκενό, ϑα έχει άνω και κάτω ϕράγµα, δηλαδή ϑα υπάρχει a = inf{f [X]} καιb = sup{f [X]} όπου a, b ∈ R. Τώρα για κάθε n ∈ N έχουµε a < a + 1/nσυνεπάγεται ότι υπάρχει yn ∈ f [X] µε a < yn < a + 1/n (ορισµός του κάτωπέρατος). Τότε yn → a. Επειδή yn ∈ f [X] έχουµε a ∈ f [X], αφού το f [X] είναικλειστό. ΄Αρα για κάποιο x1 ∈ X έχουµε f(x1) = a. Τώρα για κάθε x ∈ X έχουµεf(x) ∈ f [X]). ∆ηλαδή f(x1) ≤ f(x2) για κάθε x ∈ X, άρα η f έχει ελάχιστη τιµήf(x1)

Οµοίως αποδεικνύουµε για µέγιστή τιµή. �

Ορισµός 1.5.8 ΄Εστω X µετρικός χώρος. Ο X λέγεται ακολουθιακά συµπαγήςαν κάθε ακολουθία του έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

Ορισµός 1.5.9 ΄Εστω X µετρικός χώρος. Ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weier-strass αν κάθε άπειρο υποσύνολο A του X έχει τουλάχιστον ένα σηµείο συσσώ-ϱευσης, ή ισοδύναµα αν το παράγωγο σύνολο του A είναι µη κενό (A′ 6= ∅)

Θεώρηµα 1.5.7 Θεώρηµα Lebesgue΄Εστω (X, ρ) ακολουθιακά συµπαγής µετρικός χώρος. ΄Εστω K είναι µια ανοιχτήκάλυψη του X. Τότε υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε x ∈ X, η ανοιχτή µπάλα B(x, ε)να περιέχεται σε κάποιο από τα στοιχεία της K.

Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει τέτοιο ε (για να καταλήξουµε σε άτοπο).Τότε για κάθε n ∈ N το 1/n δεν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή υπάρχειxn ∈ X ώστε B(xn, 1/n) δεν περιέχεται σε κανένα από τα στοιχεία της K.

Αφού ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής, υπάρχει µια υπακολουθία xnk τηςxn η οποία συγκλίνει σε κάποιο σηµείο x0 ∈ X. Εφόσον η K είναι ανοιχτή

1.5. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 21

κάλυψη, υπάρχει G0 ∈ K ώστε x0 ∈ G0. Αφού G0 ανοιχτό, υπάρχει ε > 0 ώστεB(x0, ε) ⊂ G0. Επιπλέον x0 είναι όριο της ακολουθίας xnk , άρα από κάποιο mκαι µετά όλα τα στοιχεία της xnk ϑα ϐρίσκονται στην ανοιχτή µπάλα B(x0, ε/2),δηλαδή

xnm , xnm+1 , . . . ∈ B(x0, ε/2)΄Αρα υπάρχει κάποιο k > m (πολύ µεγάλο) µε 1/nk < ε/2 και xnk ∈ B(x0, ε/2).Τώρα x ∈ B(xnk , 1/nk) ⇒ ρ(x, xnk) < 1/nk < ε/2 και από τριγωνική ανισότηταρ(x, x0) ≤ ρ(x, x0) + ρ(xnk , x0) < ε δηλαδή B(xnk , 1/nk) ⊂ B(x0, ε) ⊂ G0 ∈ Kπου είναι άτοπο. �

Θεώρηµα 1.5.8 ΄Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

1. ο X είναι συµπαγής

2. ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass

3. ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής

Απόδειξη: (1) ⇒ (2). ΄Εστω A άπειρο υποσύνολο του X. Αρκεί να δείξουµε ότιA′ 6= ∅. Υποθέτουµε ότι A′ = ∅ (για να καταλήξουµε σε άτοπο). Αφού το A είναιάπειρο, το A περιέχει διακεκριµένα σηµεία x1, x2, . . .. Τώρα B = {x1, x2, . . .} ⊂A, άρα B′ ⊂ A′ = ∅, δηλαδή το παράγωγο του B είναι κενό, συµπεραίνουµεεπίσης ότι το B είναι κλειστό αφού B = B′ ∪B. Επίσης από την υπόθεση έχουµεότι ο X είναι συµπαγής. Από το ϑεώρηµα 1.5.3 ο B είναι και αυτός συµπαγήςυπόχωρος του X.

Τώρα κάθε µονοσύνολο {x1}, {x2}, . . . ∈ B είναι ανοιχτό υποσύνολο του Bκαι {{x1}, {x2}, . . .} είναι ανοιχτή κάλυψη του B, η οποία δεν έχει πεπερασµένηανοιχτή υποκάλυψη, γιατι τα ∩{xi} = ∅, άρα ο B δεν είναι συµπαγής, που είναιάτοπο, άρα A′ 6= ∅ και ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weierstrass.

(2) ⇒ (3) ΄Εστω τώρα ότι ο X έχει την ιδιότητα Bolzano - Weirstrass. Θεω-ϱούµε την ακολουθία xn ∈ X, ϑέλουµε να δείξουµε ότι η xn έχει συγκλίνουσαυπακολουθία.

Ας εξετάσουµε το σύνολο

A = {x1, x2, . . .}.

Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, είτε το A είναι πεπερασµένο, είτε αριθµήσιµο άπειρο.Αν το A έχει πεπερασµένο το πλήθος στοιχείων, δηλαδή A = {y1, . . . , yk}.

Θέτουµε Ni = {n ∈ N ώστε xn = yi} τότε ∪ki=1Ni = N. Τουλάχιστον ένα από ταN1, . . . , Nk είναι αριθµήσιµα άπειρο. Υποθέτουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότηταςότι Ni έχει άπειρα στοιχεία Ni = {n1, n2, . . .} όπου 1 ≤ n1 < n2 < . . .. Για κάθεnk ∈ Ni, xnk = yi, άρα xnk → yi. Οπότε υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία τηςxn που έχει όριο στο X.

Αν τώρα A έχει αριθµήσιµο άπειρο το πλήθος στοιχείων, από τον ορισµό τηςιδιότητας Bolzano - Weierstrass, έχουµε ότι A′ 6= ∅. ΄Αρα υπάρχει x ∈ A′.Κατασκευάζουµε στην συνέχεια την υπακολουθία µας

B(x, 1) ∪ A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα xn1 ∈ B(x, 1)

B(x,1

2) ∪ A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα xn2 ∈ B(x,

1

2)

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

...

B(x,1

k) ∪ A είναι άπειρο, άρα υπάρχει ένα xnk ∈ B(x,

1

k)

Τώρα xnk είναι υπακολουθία της xn και ρ(x, xnk) < 1/k, άρα xnk → x.(3) ⇒ (1) ΄Εστω τώρα X ακολουθιακά συµπαγής, ϑέλουµε να δείξουµε ότι

είναι συµπαγής. Θεωρούµε ανοιχτή κάληψη K του X. Υποθέτουµε ότι η K δενέχει πεπερασµένη υποκάλυψη (για να καταλήξουµε σε άτοπο).

Από το ϑεώρηµα 1.5.7 υπάρχει ε > 0 ώστε B(x, ε) να περιέχεται σε κάποιοµέλος της K για κάθε x ∈ X. Οπότε υπάρχει x1 ∈ X και G1 ∈ K µε B(x1, ε1) ⊂G1, υπάρχει επίσης x2 ∈ X \ G1 και G2 ∈ K ώστε B(x2, ε2) ⊂ G2. Τώρα έχουµεϑεωρήσει πως K δεν έχει πεπερασµένη υπόκαλυψη, άρα G1 ∪ G2 6= X. ΄Αραυπάρχει x3 ∈ X \ G1 ∪ G2 και G3 ∈ K µε B(x3, ε3) ⊂ G3. Συνεχίζουµε έτσικαι κατασκευάζουµε την ακολουθία x1, x2, . . ., µε xn 6∈ G1 ∪ · · · ∪ Gn−1και ναυπάρχει σύνολο Gn ∈ K ώστε B(xn, εn) ⊂ Gn.

΄Ετσι για τυχόντα m 6= n ισχύει

ρ(xm, xn) > ε (1.12)

Εφόσον ο χώρος X είναι ακολουθιακά συµπαγής υπάρχει υπακολουθία xnk τηςxn που συγκλίνει σε σηµείο x0 ∈ X. Αφού xnk → x0 µπορούµε να συµπεραί-νουµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο υπακολουθίες xnk1 και xnk2 µε ρ(xnk1 , x0) <ε/2 και ρ(xnk2 , x0) < ε/2. Τότε από τριγωνική ανισότητα έχουµε ρ(xnk1 , xnk2 ) ≤ε/2 + ε/2 = ε που αντιφάσκει µε την 1.12. ΄Ατοπο. �

Θεώρηµα 1.5.9 ΄Εστω (X, ρ1) και (Y, ρ2) είναι µετρικοί χώροι. ΄Εστω ότι ο Xείναι συµπαγής χώρος. Τότε κάθε συνεχής συνάρτηση f : X → Y είναι οµοιόµορφασυνεχής.

Απόδειξη: ΄Εστω ε > 0 ϑέλουµε δ > 0 ώστε ρ1(x, y) < δ ⇒ ρ2(f(x), f(y)) < ε.Θεωρούµε όλες τις µπάλες B(y, ε/2) του Y, y ∈ Y . Τότε f−1[B(y, ε/2)] είναιανοιχτό του X, γιατί η f είναι συνεχής συνάρτηση.

Τώρα K = {f−1[B(y, ε/2)] όπου y ∈ Y } είναι ανοιχτή κάλυψη του συµ-παγούς X. Από το ϑεώρηµα 1.5.7 υπάρχει δ > 0 ώστε για κάθε x ∈ X ηµπάλα B(x, δ) να περιέχεται σε κάποιο στοιχείο της K. ΄Εστω ότι ρ1(x1, x2) < δ,τότε x2 ∈ B(x1, δ) ⇒ B(x1, δ) ⊂ f−1[B(y, ε/2)] για κάποιο y ∈ Y . Αφούx1, x2 ∈ B(x1, δ) ⇒ f(x1), f(x2) ∈ B(y, ε/2) και από τριγωνική ανισότηταρ1(f(x1), f(x2)) ≤ ρ2(f(x1), y)+ρ2(f(x2), y) < ε/2+ε/2 = ε. ΄Αρα αν ρ1(x1, x2) <δ ⇒ ρ2(f(x1), f(x2)) < ε.

΄Αρα η f είναι οµοιόµορφα συνεχής. �

Θεώρηµα 1.5.10 ΄Εστω X υπόχωρος του Rn τότε ο X είναι συµπαγής αν και µόνοαν ο X είναι κλειστός και ϕραγµένος στο Rn.

Απόδειξη: Αν ο X συµπαγής υπόχωρος του Rn, τότε από το ϑεώρηµα 1.5.2είναι ϕραγµένος και από το ϑεώρηµα 1.5.4 είναι κλειστός.

Τώρα αν ο X είναι κλειστός και ϕραγµένος υπόχωρος του Rn ϑέλουµε ναδείξουµε ότι ο X είναι συµπαγής. Αρκεί να δείξουµε ότι είναι ακολουθιακά συµ-παγής. Θα το δείξουµε για n = 2, δηλαδή R2, αφού η απόδειξη για οποιοδήποτεn είναι παρόµοια (αλλά ίσως πιο πολύπλοκη).

1.6. ΠΛΗΡΕΙΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΧΩΡΙΣΙΜΟΙ ΧΩΡΟΙ 23

Εξετάζω την ακολουθία {xn, yn}∞n=1 του X. Αφού ο X είναι ϕραγµένος, υπάρ-χει κάποιο a > 0 ώστε ||z|| ≤ a για όλα τα z = (x, y) ∈ X ⇒ |x|, |y| ≤ a. ΄Ετσι γιακάθε n ∈ R2 έχουµε xn, yn ∈ [−a, a], οπότε xn, yn είναι ακολουθίες στο συµπαγές[−a, a]. ΄Αρα υπάρχει υπακολουθία xnk της xn που να συγκλίνει σε σηµείο x0 του[−a, a]. Τώρα για το ίδιο λόγο η ακολουθία yn έχει συγκλίνουσα υπακολουθίαynk , όριο της οποίας είναι y0 ∈ [−a, a].

Τώρα έχουµε xnkm → x0 και ynkm → y0, από το ϑεώρηµα 1.3.3{xnkm , ynkm } −→ (x0, y0)

Επειδή (x0, y0) ∈ X = X, έχουµε ότι η υπακολουθία {xnkm , ynkm } της{xn, yn} συγκλίνει σε σηµείο του X, άρα ο X είναι ακολουθιακά συµπαγής.�

Θεώρηµα 1.5.11 Αν A είναι κλείστο σύνολο, B είναι συµπαγής και A ∩ B = ∅,τότε dist(A, B) > 0.

Απόδειξη: ΄Εστω dist(A, B) = 0. Τότε υπάρχει σηµείο xn ∈ A και yn ∈ Bµε ρ(xn, yn) < 1/n. Τώρα ο B είναι συµπαγης, άρα (αντικαθιστώντας την ακο-λουθίες µε υπακολουθίες) µπορούµε να υποθέσουµε ότι {yn} συγκλίνει. ΄Εστωyn → y ∈ B. Τότε xn → y επίσης. ΄Οµως το A είναι κλειστό σύνολο, άρα y ∈ A.Οπότε A ∩ B 6= ∅. �

1.6 Πλήρεις και ∆ιαχωρίσιµοι Χώροι

Ορισµός 1.6.1 Μια ακολουθία xn ένος µετρικού χώρου (X, ρ) λέγεται Cauchyή ϐασική ακολουθία αν για κάθε ε > 0 υπάρχει k = k(ε) ∈ N τέτοιο ώστε για κάθεn, m ≥ k να ισχύει

ρ(xn, xm) < ε

Θεώρηµα 1.6.1 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι η ακολουθία xn συγκλίνει σε x στο µετρικό χώρο (X, ρ).΄Εστω ε > 0 τότε υπάρχει k = k(ε) ∈ N ώστε για κάθε n ≥ k ισχύει ρ(xn, x) < ε.Τώρα για κάθε n, m > k και από τριγωνική ανισότητα έχουµε

ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, x) + ρ(x, xm) <ε

2+

ε

2< ε

΄Αρα η xn είναι ακολουθία Cauchy. �

∆είξαµε προηγουµένως ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cau-

chy. Το αντίθετο δεν ισχύει εν γένει, όταν ισχύει όµως έχουµε τον ορισµό του

πλήρη χώρου.

Ορισµός 1.6.2 ΄Εστω X µετρικός χώρος. ΄Οταν κάθε ακολουθία Cauchy στο Xσυγκλίνει (σε σηµείο του X ), τότε ο X λέγεται πλήρης χώρος.

Παράδειγµα: Ο υπόχωρος X = (0, 1) του R δεν είναι πλήρης αφού η ακολου-ϑία xn = 1/n, n ∈ N είναι στο X και είναι Cauchy αλλά δεν συγκλίνει στο X,(0 6∈ X ).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ

Πρόταση 1.6.1 Μια ακολουθία Cauchy που έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, συγ-

κλίνει και η ίδια. Μάλιστα συγκλίνει στο ίδιο σηµείο που συγκλίνει η υπακολουθία.

Απόδειξη: ΄Εστω xn ακολουθία Cauchy µετρικού χώρου (X, ρ). ΄Εστω xnkυπακολουθία µε xnk → x ∈ X. ΄Εστω ε > 0 τότε από τον ορισµό της ακολουθίαςCauchy υπάρχει M1 ∈ N ώστε για κάθε n, m ≥ M1 να ισχύει ρ(xn, xm) < ε/2.Τώρα επειδή xnk → x, υπάρχει M2 ∈ N ώστε για κάθε k ≥ M2 ισχύει ρ(xnk , x) <ε/2. ∆ιαλέγουµε M = max{M1, M2}, τότε για κάθε n ≥ M και από την τριγωνικήανισότητα

ρ(xn, x) ≤ ρ(xn, xnk) + ρ(xnk , x) <ε

2+

ε

2= ε

�

Θεώρηµα 1.6.2 Κάθε συµπαγής µετρικός χώρος X είναι πλήρης.

Απόδειξη: ΄Εστω µια ακολουθία Cauchy xn του µετρικού χώρου X. Εφόσονο X είναι συµπαγής, είναι και ακολουθιακά συµπαγής, δηλαδή κάθε ακολουθίαxn έχει συγκλίνουσα υπακολουθία xnk σε σηµείο του X. Από την προηγούµενηπρόταση 1.6.1, ϐγάζουµε το συµπέρασµα ότι κάθε ακολουθία Cauchy στο X είναισυγκλίνουσα. ∆ηλαδή ο X είναι πλήρης. �

Παράδειγµα: Κάθε κλειστό και ϕραγµένο διάστηµα [a, b] του R είναι πλή-ϱης υπόχωρος του R.

Παράδειγµα: Ο Rm είναι πλήρης.

Απόδειξη: ΄Εστω xn είναι ακολουθία Cauchy στο X. Από τον ορισµό της ακο-λουθίας Cauchy για ε = 1 υπάρχει k ∈ N ώστε για κάθε n, m ≥ k ισχύει ότιρ(xn, xm) < 1, δηλαδή από κάποιο k και µετά όλα τα στοιχεία της ακολουθίας xnϐρίσκονται σε µια µπάλα B(xk, 1).