RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELLdocinsa.insa-lyon.fr/these/2003/martin/04_chapitre1.pdfChapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL 10 Il est intéressant de noter que pour

Chapitre 1 :

RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE

MAXWELL

Sommaire

6

SommaireI. INTRODUCTION ......................................................................................... 7

II. RAPPEL DE LA THEORIE DE L’ELECTROMAGNETISME ................. 7 II-1. EQUATIONS DE MAXWELL ET PROPAGATION.............................................. 7

II-1-1. Equations de Maxwell....................................................................... 7 II-1-2. L’équation d’onde ............................................................................ 9 II-1-3. Propagation d’ondes planes électromagnétiques ............................ 10

II-2. RÉFLEXION ET RÉFRACTION .................................................................... 11 II-2-1. Les lois de réflexion et de réfraction de la lumière ......................... 12 II-2-2. Réflexion totale interne – Champ évanescent .................................. 13

III. MODES GUIDES D’UNE STRUCTURE DIELECTRIQUE ................. 15 III-1. STRUCTURE DIÉLECTRIQUE PLANE .......................................................... 15

III-1-1. Modèle mathématique..................................................................... 15 III-1-2. Modes TE et TM ............................................................................. 16 III-1-3. Sélection de la forme appropriée de la solution .............................. 17 III-1-4. Equation caractéristique et solutions modales ................................ 18 III-1-5. Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure......... 20

III-2. LA MÉTHODE DE L’INDICE EFFECTIF ET LA SIMULATION PAR BPM............ 23 III-2-1. La Méthode de l’indice effectif ....................................................... 23

Etape 1...................................................................................................... 24 Etape 2...................................................................................................... 24

III-2-2. La Simulation par BPM .................................................................. 25 Principe de base de la BPM. BPM scalaire et approximation paraxiale ......... 25 La solution numérique .................................................................................. 26 Avantages et inconvénients de la BPM classique; les améliorations possibles.

......................................................................................................................... 26

IV. CONCLUSION ............................................................................................ 27

I. INTRODUCTION Le but de ce chapitre est de poser les fondements de l’électromagnétisme qui

permettront la compréhension des phénomènes observés en microscopie en champ proche optique sur des structures de l’optique guidée. Les bases de l’électromagnétisme et la notion de propagation d’onde nous permettront également de mieux appréhender les calculs définissant la notion de champ proche optique présentée dans le chapitre suivant.

Nous allons, dans un premier temps, passer en revue les équations de Maxwell.

Celles-ci nous permettront d’obtenir l’équation de la propagation des ondes pour un milieu diélectrique infini. Une solution de cette équation, l’onde progressive plane, sera examinée en détail. Nous envisagerons ensuite le cas d’une discontinuité dans le milieu de propagation. Ceci nous permettra d’obtenir les lois gouvernant les phénomènes de réflexion et réfraction à l’interface entre deux milieux diélectriques. Nous décrirons le phénomène de réflexion totale et la création de champ évanescent qui en découle du point de vue de l’optique guidée.

Une fois ces concepts établis, nous nous attacherons à l’étude des modes guidés d’un guide d’onde diélectrique. Nous présenterons d’abord l’étude d’une structure diélectrique plane, un guide diélectrique symétrique à trois couches, car il présente des solutions mathématiques simples et faciles à comprendre et constitue en outre une des structures essentielles pour la technologie de l’optique intégrée. Cependant, la géométrie des guides d’ondes à laquelle nous serons confrontés par la suite ne permet pas une résolution analytique du problème de propagation. Nous terminerons donc ce chapitre par la présentation d’outils de simulation couramment utilisés en optique intégrée (la méthode de l’indice effectif et la méthode du faisceau propagé) qui permettent de contourner ce handicap.

II. RAPPEL DE LA THEORIE DE L’ELECTROMAGNETISME

II-1. Equations de Maxwell et Propagation

II-1-1. Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell sont les quatre équations fondamentales de la théorie de

l’électromagnétisme et la théorie des guides d’ondes repose sur elles. Leur forme générale est donnée dans le Tableau II-1.

Chapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL

8

∂∇× = −

∂BEt

urur ur

( -1)

∂∇× = +

∂DH Jt

urur uur r

( -2)

∇× = 0Bur ur

( -3) ρ∇× =D

ur ur ( -4)

Eur

: Champ Electrique (V/m)

Bur

: Densité du Flux Magnétique (Tesla) Dur

: Densité du Déplacement Electrique (C/m²) Huur

: Champ Magnétique (A/m) Jr

: Densité de Courant (A/m²) ρ : Densité de Charge Electrique

Tableau II-1 : Les équations de Maxwell

Nous pouvons caractériser un milieu par les relations de constitution qui permettent

d’exprimer les densités de champs urD et

urB , et la densité de courant (

rJ ) en fonction des

champs urE et

uurH . Pour un milieu homogène, isotrope et linéaire (et si le milieu obéit à la

loi d’Ohm), les équations de constitution s’écrivent :

ε

µ

σ

=

=

=

D E

B H

J E

ur ur

ur uur

r ur ( -5)

où ε , µ et σ sont des constantes tensorielles indépendantes de

urE et

uurH . Pour un

milieu diélectrique isotrope et sans perte, que nous considérerons lorsque nous étudierons les guides d’ondes, ces constantes sont définies par :

ε ε εµ µ µ µ µσ

= ===

0

0 0

/ (n : indice de réfraction du milieu)/ (pour les milieux non magnétique = )

0 (Milieu non-conducteur)

r

r

n

où εr est la permittivité relative et µr la perméabilité relative. Ainsi, pour un milieu diélectrique isotrope sans charge, sans perte et non

magnétique, que nous allons considérer dans ce qui suit, les équations de Maxwell et les relations de constitution peuvent s’écrire comme présentées dans le Tableau II-2.


9

∂∇× = −

∂BEt

urur ur

( -6)

∂∇× =

∂DHt

urur uur

( -7)

∇× = 0Dur ur

( -8) ∇× = 0B

ur ur ( -9)

µ= 0B Hur uur

( -10)

ε ε= = 0 ²D E n Eur ur ur

( -11)

Tableau II-2 : Milieux diélectriques isotropes sans charge et sans perte : équations de Maxwell et relations de constitution.

Ces équations différentielles sont celles auxquelles les champs

urE et

uurH doivent obéir

lors de la propagation dans un milieu. Les solutions particulières des ces équations sont trouvées à partir des conditions aux limites. Les conditions aux limites générales pour différentes quantités électromagnétiques sont données dans le Tableau II-3.

Continuité de la composante normale du courant de déplacement électrique : − =

r ur ur2 1( ).( ) 0s D D ( -12)

Continuité de la composante tangentielle du champ électrique : × − =

r ur ur2 1( ) ( ) 0s E E ( -13)

Continuité de la composante normale de la densité de flux magnétique : − =

r ur ur2 1( ).( ) 0s B B ( -14)

Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique : × − =

r uur uur2 1( ) ( ) 0s H H ( -15)

Tableau II-3 : Continuité des composantes des champs électromagnétiques à l’interface de deux milieux d’indice n1 et n2. Le vecteur unitaire s

r est la normale à l’interface.

II-1-2. L’équation d’onde

Les équations de Maxwell décrites précédemment ne sont pas facile à résoudre car

elles forment un système d’équations couplées. Cependant, à partir de ces dernières, nous pouvons construire un nouveau système d’équations (appelées équations d’ondes) qui est plus facile à analyser car les équations sont découplées, c’est à dire que chacune d’elle ne fait intervenir qu’un champ (

urE ou

uurH ). Elles sont donc très utiles pour

résoudre des problèmes de conditions aux limites. Les équations d’ondes générales sont données, pour les champs

urE et

uurH

respectivement, par les relations suivantes :

µ ε ∂ ∇∇ − = −∇

∂

ur urur ur ur2

0 0 2

²² ² ( . )²

E nE n Et n

( -16)

et :

µ ε ∂∇ − =

∂

uuruur 2

0 0 2² ² 0HH nt

( -17)


10

Il est intéressant de noter que pour un milieu homogène, n n’est pas fonction des

coordonnées de l’espace ( = ∀( , , ) , ,n x y z n x y z ). Donc ∇ =ur

0n et la relation ( -16) devient :

µ ε ∂∇ − =

∂

urur 2

0 0 2² ² 0EE nt

( -18)

Cette équation est appelée équation d’onde homogène. Le calcul du champ électromagnétique d’un guide d’onde revient alors à résoudre

l’équation d’onde sous certaines conditions aux limites. Ainsi, dans le cas d’un guide à saut d’indice, on est amené à résoudre l’équation homogène ( -18) à la fois à l’intérieur du guide et à l’extérieur afin d’obtenir les expressions des champs. Pour les guides à gradient d’indice, on doit en principe résoudre l’équation d’onde générale ( -16).

La section suivante sera consacrée à l’étude d’une solution particulière de l’équation

d’onde homogène, l’onde plane homogène.

II-1-3. Propagation d’ondes planes électromagnétiques

Nous considérons dans ce qui suit que les champs

urE et

uurH sont des fonctions

sinusoïdales du temps et s’écrivent sous la forme suivante :

exp( )

exp( )

E j t

H j t

ω

ω

=

=

ur r

urh

ε

où et hεr r

sont les vecteurs complexes qui ne dépendent que des coordonnées spatiales. Dans ce cas particulier de champs à variation temporelle sinusoïdale, nous pouvons réécrire les équations de Maxwell sous la forme donnée dans Tableau II-4.

0 0 0j jkωµ η∇× = − = −

ur r ur urh hε ( -19)

0 00

²² njw n j kεη

∇× = =ur ur r r

h ε ε ( -20)

0 : impédance du vide (377 )η Ω

0 00

2 : nombre d'onde, avec la longueur d'onde dans le videk π λλ

=

Tableau II-4 : Equations de Maxwell pour un milieu diélectrique d’indice de réfraction n. Les champs considérés ont des variations temporelles sinusoïdales.

De manière analogue à la section précédente nous pouvons déduire les équations d’onde pour les champs et

r urhε :

² ² 0

² ² 0

k

k

∇ + =

∇ + =

r r

ur urh h

ε ε ( -21)

où le nombre d’onde k est défini par 0k n nkcω

= = , avec 0 0

1cε µ

= la vitesse de la

lumière dans le vide. Les équations ( -21), aussi appelées équations de Helmholtz, possèdent une solution élémentaire, l’onde plane uniforme :

exp( . )jk r= −r uur r r

cε ε ( -22)


11

exp( . )jk r= −ur uur r r

ch h ( -23) et hεr r

sont deux vecteurs contenus dans un plan normal à la direction de propagation lr

, et kr

est le vecteur d’onde orienté selon la direction de propagation ( .k k l=r r

). et c chεur ur

sont deux vecteurs constants, i. e. ils ne dépendent pas des variables d’espace.

L’application directe des équations de Maxwell sur cette onde nous conduit à la relation d’impédance qui relie le champ électrique au champ magnétique :

1 lη⎛ ⎞

= ×⎜ ⎟⎝ ⎠

uur r uurc ch ε ( -24)

autrement dit

µηε

= =uur

uurc

ch

ε ( -25)

0 /nη η= avec n l’indice de réfraction du milieu diélectrique.

Les équations de Maxwell nous montrent, en outre, que les vecteurs urE et

uurH sont

perpendiculaires entre eux et que la direction de propagation est donnée par la direction du vecteur résultant du produit vectoriel E H×

ur uur. La Figure II-1 illustre cette

orthogonalité. Les champs électrique et magnétique étant perpendiculaires à la direction de propagation, l’onde est aussi appelée onde transverse électromagnétique (TEM).

Figure II-1 [1]: Variation (à un instant t donné) par rapport à l’axe z des vecteurs

champ électrique et champ magnétique d’une onde plane électromagnétique se propageant selon l’axe des z. Les deux vecteurs sont en phase et perpendiculaires entre eux. La

direction de propagation de l’onde est donnée par le vecteur ur uurE H× .

En conclusion, l’onde plane uniforme est une solution très simple des équations de

Maxwell. Cette solution est cependant de toute première importance car elle est la solution élémentaire qui permet, grâce à la théorie du spectre angulaire des ondes planes, d’analyser la propagation d’un faisceau quelconque. C’est pourquoi bien souvent, en optique, la première approximation pour une solution est de poser que l’onde incidente est plane et uniforme.

II-2. Réflexion et Réfraction

Nous allons, dans cette partie, étudier les effets d’une discontinuité du milieu

diélectrique sur la propagation d’une onde plane uniforme. De telles discontinuités


12

existent partout à la frontière entre la partie guidante d’un guide d’onde (le cœur) et le milieu environnant.

II-2-1. Les lois de réflexion et de réfraction de la lumière

Soit une interface infinie et plane entre deux milieux diélectriques linéaires,

homogènes et isotropes, d’indice de réfraction n1 et n2 respectivement, comme schématisé sur la Figure II-2.

On suppose une onde incidente plane et uniforme de direction de propagation ilur

. Lorsqu’elle rencontre l’interface, une partie de l’onde va être réfléchie dans la direction

rlur

et une partie sera transmise dans le milieu 2 selon la direction tlur

, si toutefois les conditions pour qu’une telle onde existe sont satisfaites.

Nous allons maintenant résoudre le problème posé par les conditions aux limites afin de trouver les paramètres des ondes réfléchie et transmise. Cela revient, à trouver la relation liant les champs électriques de ses trois ondes entre eux.

D’une manière générale, une onde peut-être décomposée selon deux polarisations

distinctes appelées polarisation TE (ou s) et polarisation TM (ou p) respectivement. La polarisation TE correspond à une orientation du champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence (voir Figure II-2). Un champ électrique orienté parallèlement au plan d’incidence donnera une polarisation TM. Schématiquement, il suffit d’inverser les champ E et H sur la Figure II-2

Figure II-2 : Plans de l’onde incidente (bleue), réfléchie (verte) et transmise (rouge)

pour une onde incidente polarisée TE. Les vecteurs d’ondes , et uur uur uur

i r tk k k pointent dans la direction de propagation. Les angles θ θ θ, et i r t sont respectivement l’angle d’incidence,

de réflexion et de transmission. Le vecteur rs est la normale à la surface.

D’après l’équation ( -22) les champs électriques respectifs de l’onde incidente,

réfléchie et transmise s’écrivent, en coordonnées cartésiennes : 1( . ( .sin .cos ))

0 e i ij k x zi iE E θ θ− +=

uur uuur ( -26)

1( . ( .sin .cos ))0 e r rj k x z

r rE E θ θ− −=uur uuur

( -27)

2( . ( .sin .cos ))0 e i tj k x z

t tE E θ θ− +=uur uuur

( -28)


13

L’application des relations de continuité ( -13) et ( -15), et la résolution des équations qui en découlent nous conduisent alors à l’obtention des équations de Fresnel, telles que reportées dans le Tableau II-5, qui expriment les taux de réflexion et de transmission de l’onde incidente à l’interface.

θ θθ θ−

= =+

0 1 2

0 1 2

.cos .cos

.cos .cosr i t

TEi i t

E n nRE n n

( -29)

θθ θ

= =+

0 1

0 1 2

2 .cos ..cos .cos

t iTE

i i t

E nTE n n

( -30)

θ θθ θ

− += =

+0 2 1

0 2 1

.cos .cos.cos .cos

r i tTM

i i t

E n nRE n n

( -31)

θθ θ

= =+

0 1

0 2 1

2 .cos ..cos .cos

t iTE

i i t

E nTE n n

( -32)

Tableau II-5 : Equations de Fresnel pour une onde polarisée TE et TM respectivement.

Ces équations et la loi de Snell-Descartes nous permettent de déterminer les relations

existant entre l’onde incidente et les ondes réfléchie et transmise à l’interface de deux diélectriques pour tous types de polarisation du champ électrique incident.

II-2-2. Réflexion totale interne – Champ évanescent

Nous allons maintenant détailler les calculs de l’électromagnétisme nous permettant

de définir les propriétés de l’onde transmise lorsque l’on est en régime de réflexion totale interne dans le milieu d’indice n1.

Commençons par examiner le champ transmis au fur et à mesure que l’angle

d’incidence (θi) se rapproche de l’angle critique (θc) de la réflexion totale. Ce dernier, rappelons-le, étant défini par la relation : 2 1sin /c n nθ = .

L’expression du champ transmis est donnée par l’équation ( -28). En utilisant la relation :

2

1

2

cos 1 sin ²t inn

θ θ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

dans l’équation ( -28), nous obtenons l’expression du champ transmis en fonction de θi seul :

21

22

2. . sin . 1 sin ²1

0 ei i

nnj k x zn n

t tE Eθ θ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=uur uuur

( -33) Tant que θi varie entre 0 et θc , le champ transmis se propage dans le milieu 2 avec

une composante positive selon l’axe zr

et une composante positive selon l’axe xur

.

Lorsque i cθ θ= , 22 1sin ² ( / )c n nθ = et le terme 2

1 21 ( / ) sin ² in n θ− s’annule. L’équation ( -33) devient alors :

2. .0 e j k x

t tE E −=uur uuur

( -34) c’est à dire que le champ se propage parallèlement à l’interface (x positifs).


14

Lorsque devient supérieur à i cθ θ , alors la quantité 21 21 ( / ) sin ² in n θ− devient

imaginaire et nous pouvons écrire le champ transmis sous la forme : . .

0 e ez j xt tE E α β−= ( -35)

avec

2

12 1 0

2

sin ² 1 sin ² sin ²i i cnk n kn

α θ θ θ⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( -36)

et

2 11 0

2

sin sini ik n n kn

β θ θ= = ( -37)

Ainsi, lorsque i cθ θ> , c’est à dire en régime de réflexion totale, l’onde transmise

(équation ( -35)) a un comportement particulier. Elle se propage parallèlement à l’interface1 avec une constante de propagation β et elle s’atténue exponentiellement dans la direction perpendiculaire à la surface, d’où son nom d’onde évanescente, avec une constante d’atténuation α.

Il est également important de noter que pour i cθ θ≥ , le flux moyen d’énergie dans le milieu 2 est nul. Cela signifie que malgré la présence de l’onde évanescente, il n’y a pas de transfert d’énergie dans le milieu 2. Autrement dit, l’onde évanescente est non-propagative.

La Figure II-3 schématise le phénomène de réflexion totale pour une onde incidente plane polarisée TE.

Rappelons que cette onde dite évanescente est de toute première importance lorsque nous utilisons un microscope à champ proche optique, car c’est elle que nous venons collecter et qui nous fournit les informations relatives aux ondes guidées.

a b

Figure II-3 [2]: Réflexion et réfraction de la lumière pour une onde polarisée TE. a) i cθ θ< . L’ onde incidente donne une onde réfléchie et une onde transmise se propageant

dans le milieu 2. b) i cθ θ> . La condition de réflexion totale est remplie et l’onde transmise devient évanescente dans le milieu 2 et se propage parallèlement à l’interface.

1

C’est pourquoi cette onde est aussi appelée onde de surface.


15

III. MODES GUIDES D’UNE STRUCTURE DIELECTRIQUE

Nous allons, dans cette partie, nous intéresser à l’étude des modes guidés de

structures diélectriques. L’analyse d’un guide diélectrique est un problème de conditions aux limites. En effet, pour obtenir les expressions complètes des modes de propagation, on résout l’équation d’onde sujette à des conditions aux frontières du guide. L’une de ces conditions fixe l’amplitude relative des champs à l’intérieur et à l’extérieur du guide ; l’autre résulte en une équation aux valeurs propres permettant le calcul de la constante de propagation du (ou des) mode(s) guidé(s).

Afin de simplifier notre analyse, nous allons séparer les modes guidés en mode TE et TM pairs et impairs. Après avoir trouvé les expressions des constantes de propagation des modes, nous ferons un parallèle entre modes et ondes planes et nous verrons que la coupure d’un mode correspond à la perte de réflexion totale interne des ondes planes se propageant dans le guide.

III-1. Structure Diélectrique Plane

Nous considérons ici un guide à trois couches, bidimensionnel selon les directions x

et z, et infini selon la direction y comme schématisé sur la Figure III-1. Afin de simplifier l’analyse, on considère que l’indice de réfraction de la couche supérieure est égal à celui du substrat.

Figure III-1 : Géométrie d’un guide diélectrique à trois couches avec n1>n2.

Le but de notre étude est maintenant de trouver les modes de propagation possibles dans une telle structure, c’est à dire de déterminer les composantes des champs électrique et magnétique et d’évaluer leurs constantes de propagation. Nous progresserons dans cette étude à travers quatre étapes :

1 – Modèle mathématique du guide plan à saut d’indice en utilisant les équations de Maxwell et d’onde en coordonnées cartésiennes.

2 – Identification des deux familles de modes TE et TM. 3 – Sélection de la forme appropriée de la solution de l’équation d’onde dans les

régions n1 et n2 à partir des considérations physiques de guidages. 4 – Applications des conditions aux limites à l’interface n1/n2 et obtention de

l’équation caractéristique et des solutions modales correspondantes. Nous procèderons ensuite à l’analyse des modes obtenus et de leurs conditions de

coupure.

III-1-1. Modèle mathématique

Nous considérons les champs électrique et magnétique sous la forme suivante :


16

0 ( ) ( )( )e ej z j tE E x β ω−=uurur

( -38)

0 ( ) ( )( )e ej z j tH H x β ω−=uuuruur

( -39) c’est à dire des champs à variation temporelle sinusoïdale, se propageant dans la

direction des z positifs et qui ne sont pas fonction de la variable d’espace y (leur amplitude est constante selon cette direction). Les équations de Maxwell ( -19) et ( -20) nous permettent d’expliciter chacune des composantes des champs E

ur et H

uur. Nous

pouvons alors remarquer qu’il est possible d’écrire toutes les composantes transverses des champs (Ex, Ey, Hx, Hy) en fonction des composantes longitudinales Ez et Hz. Ainsi, on peut montrer que Ex et Hy ne sont fonction que du champ Ez et que Ey et Hx ne dépendent que de Hz

D’autre part, nous savons que chacune des composantes des champs doit obéir à l’équation d’onde ( -21). Nous les écrivons ici, naturellement, seulement pour les composantes longitudinales des champs :

0

0²² 0

²z

z

d EE

dxγ+ = ( -40)

0

0²² 0

²z

z

d HH

dxγ+ = ( -41)

Ainsi, la solution des modes du guide est maintenant ramenée à la solution de ces équations d’onde (( -40) et ( -41)) qui permettront par la suite le calcul des composantes transverses des champs dans les deux régions d’indices n1 et n2.

Il est à noter que nous avons introduit dans les équations précédentes une nouvelle constante γ, définie par :

0² ² ² ²n kγ β= − ( -42) afin d’alléger la notation. Cette constante est la différence des carrés de la constante

de propagation d’une onde plane dans le milieu d’indice n et de la constante de propagation de l’onde guidée. On la nomme constante de propagation transverse.

III-1-2. Modes TE et TM

La solution de l’équation d’onde ( -40) amènera pour le champ zE

uur deux constantes

arbitraires d’intégration, l’une reliée à l’amplitude dans la région 1, l’autre à l’amplitude du champ dans la région 2. De même, la solution pour le champ zH

uuur donnera deux autres

constantes. L’application des conditions aux limites sur les champs à l’interface reliera les 4 constantes ( , et , )y y z zE H E H sous la forme de 4 équations. Or, du fait que Ex et Hy puissent être reliés à Ez, et Ey et Hx à Hz, ce système de 4 équations à 4 inconnues sera formé de deux groupes de 2 équations à 2 inconnues parfaitement indépendants. Nous allons donc étudier ces deux groupes en considérant les modes guidés selon deux familles. La première est constituée des modes que l’on qualifie TE, c’est à dire que le champ électrique est perpendiculaire au plan d’incidence ( 0)x zE E= = . Les composantes des champs pour cette famille sont données dans le Tableau III-1.


17

TE 0

0

00 0 0

0

0

²

z

x

zy

E

E

dHkE jdx

ηγ

=

=

=

où 0² ² ² ²n kγ β= − 1

0 : solution de zH ( -41)

00

0

²0

zx

y

dHH j

dxH

βγ

= −

=

Tableau III-1 : Composantes des champs pour le mode TE.

La seconde famille est celle des modes TM où, cette fois ci, le champ électrique est contenu dans le plan d’incidence ( 0)yE = . Le Tableau III-2 donne les composantes des champs pour cette famille.

TM

0 : solution de zE ( -40)

00

0

²0

zx

y

dEE j

dxE

βγ

= −

=

où 0² ² ² ²n kγ β= − 1

0

0

00 0

0

0

0

²²

z

x

zy

H

H

dEn kH jdxη γ

=

=

=

Tableau III-2 : Composantes des champs pour le mode TM.

Il suffit maintenant de trouver les solutions des équations d’onde ( -40) et ( -41), pour le champ longitudinal dans les deux milieux pour ensuite, au moyen des deux tableaux ci-dessus (Tableau III-1 et Tableau III-2), calculer explicitement les diverses composantes des modes TE et TM. Cependant, nous savons déjà que l’équation d’onde possède plusieurs types de solutions (onde progressive, stationnaire, évanescente…). Il est donc important de bien choisir le type de solution pour rapidement identifier les solutions guidées.

III-1-3. Sélection de la forme appropriée de la solution

Nous cherchons maintenant une forme mathématique qui soit la solution des

équations d’onde modifiées (( -40) et ( -41)) qui sera caractéristique d’une onde qui se propage dans le centre de la structure du guide d’indice n1 et qui y soit contenu. Notre connaissance des équations différentielles ainsi que les notions de l’électromagnétisme nous amènent à choisir, pour le milieu extérieur (indice n2), des champs qui décroissent exponentiellement en s’éloignant de l’interface ( )x →±∞ . Sous ces conditions, nous aurons une composante 0

zE pour les modes TM ou une composante 0zH pour les modes

TE de la forme :

1

n = n1 dans le milieu 1 (partie guidante) et n = n2 dans le milieu 2 (extérieur du guide).


18

−= =

0

0

e z

w x ste

z

E

A A C

H

( -43)

Pour que cette forme soit solution des équations d’onde modifiées, il faut que 2 2 2 2 2

2 0w n kγ β= − = − ( -44) dans le milieu d’indice n2. Notons au passage que ce choix d’une exponentielle

décroissante nous renvoi à la notion d’onde évanescente à l’extérieur du guide. Dans le cœur de la structure (partie guidante d’indice n1), les solutions des équations

d’onde peuvent être des exponentielles complexes (ondes progressives). Cependant, nous anticipons que ces ondes progressives seront réfléchies aux interfaces entre les deux milieux. La symétrie de la structure laisse entrevoir que, selon la direction de l’axe x, ces ondes formeront un patron d’ondes stationnaires. Nous choisissons donc pour solution, dans le milieu d’indice n1, des fonctions trigonométriques afin de simplifier au maximum notre analyse. Ainsi, les composantes des champs dans le milieu 1 s’écrivent :

= + =

0

0

cos( ) sin( ) et Cz

ste

z

E

B ux C ux B C

H

( -45)

Pour que cette forme soit solution des équations d’ondes modifiées dans le milieu 1, il faut que

2 2 21 0² ²u n kγ β= = − ( -46)

En résumé, nous avons choisi une forme mathématique d’onde évanescente dans le milieu d’indice n2 et une forme d’onde stationnaire selon la direction de l’axe x dans le milieu n1 afin de pouvoir discuter simplement des modes guidés dans le cœur de cette structure planaire. Nous verrons par la suite, en trouvant des solutions réelles pour les constantes de propagation des modes (i.e. il existe des modes effectivement guidés dans la structure), que notre choix est judicieux. Il est à noter que nous avons introduit deux nouveaux paramètres w ( -44) et u ( -46) afin d’éviter la confusion avec le paramètre γ du milieu 1 et 2. Cependant, seule la constante de propagation β est l’inconnue que nous cherchons à déterminer ici et les paramètres w et u ne sont que des intermédiaires qui cachent cette constante de propagation.

III-1-4. Equation caractéristique et solutions modales

Dans cette section, nous allons calculer la constante de propagation β en appliquant

les conditions aux limites, c’est à dire que les composantes tangentielles des champs (en y et en z) doivent être continues aux interfaces n1/n2 ( )x a= ± . Afin de simplifier notre analyse, nous étudierons séparément les modes TE et TM car leurs constantes de propagation sont différentes. De plus, nous distinguerons les modes pairs (composante axiale en cos(ua)) des modes impairs (composante axiale en sin(ua)), pour chacune des familles TE ou TM car, ici encore, le calcul mène à des solutions différentes pour β. Il est à noter que cette analyse peut se faire sans poser à priori cette décomposition, mais elle est alors plus longue à compléter et elle conduit de toute façon à identifier ces quatre familles de modes [3].

Nous considérons donc maintenant le mode TE pair. Les composantes de ce mode, calculées à partir des équations du Tableau III-1, pour les deux milieux d’indice n1


19

(cœur du guide) et n2 (extérieur du guide) sont répertoriées dans le Tableau III-3 et le Tableau III-4, respectivement.

TE : pair, Milieu d’indice n1

0

0

0 0 0

0

0

cos( )

z

x

y

E

Ek CE j uxu

η

=

=

=

où 21 0² ² ²u n k β= −

0

0

0

sin( )

cos( )

0

z

x

y

H C uxCH j uxu

H

β

=

= −

=

Tableau III-3 : Composantes des champs pour le mode TE pair dans le milieu d’indice n1.

TE : pair, Milieu d’indice n2 0

0

0 0 0

0

0

e

z

x

w xy

E

EkE j Aw

η −

=

=

=

où 2 2 22 0²w n kβ= −

0

0

0

e

e

0

w xz

w xx

y

H A

H j Aw

H

β

−

−

=

= −

=

Tableau III-4 : Composantes des champs pour le mode TE pair dans le milieu d’indice n2.

La relation de continuité des champs à l’interface (x = a ou x = -a) nous conduit alors au couple d’équation suivant :

sin( ) e 0waC ua A −− = ( -47)

cos( ) e 0wauC ua Aw

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

( -48)

que l’on peut réduire à la forme :

tan( ) wuau

= ( -49)

Cette équation est l’équation caractéristique des modes TE pairs. Elle nous permet alors de calculer les constantes de propagation des modes guidés en fonction des paramètres de la structure (n1, n2 et a). En effet, en réécrivant l’équation ( -49) sous sa forme explicite :

2 2 2

2 2 2 2 01 0 2 2 2

1 0

tan( ) n ka n kn kββ

β−

− =−

nous nous apercevons alors que la seule inconnu restante est β. Nous analyserons les solutions de l’équation caractéristique dans la prochaine section.

Le calcul des modes TE impairs et des modes TM pairs et impairs s’effectue de manière analogue. Les équations caractéristiques de chacun de ces groupes sont données dans le Tableau III-5.


20

2

1

2

2

2

1

tan( ) TE : PAIR

utan(ua)=- TE : IMPAIRw

tan( ) TM : PAIR

tan( ) TM : PAIR

wuau

n wuan u

n uuan w

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tableau III-5 : Equations caractéristiques des modes TE et TM (pairs et impairs).

Pour compléter la solution du système formé des deux équations ( -47) et ( -48), il convient de calculer les constantes A et C. Nous ne détaillerons pas ces calculs ici mais il est à noter que la constante C fixe l’amplitude maximale du champ au centre de la structure (x = 0). On la détermine en considérant la puissance totale transportée dans la structure, cette dernière étant donnée par l’intégrale du vecteur de Poynting sur la section du guide. On exprime ainsi la puissance en fonction de la constante C. Il s’ensuit que, connaissant la puissance totale injectée dans le guide, on détermine C. Les relations de continuité ( -47) et ( -48) nous permettent alors de calculer A.

III-1-5. Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure.

Nous avons donc vu qu’il existe des formes mathématiques qui sont solutions des

équations de Maxwell et qui satisfont les conditions aux limites du guide planaire. La possibilité que ces solutions puissent être excitées dans un tel guide dépend de la possibilité de trouver une constante de propagation β réelle, en considérant les paramètres imposés par le guide (n1, n2, a) et par la source d’excitation (λ0). Il nous faut donc maintenant résoudre les équations caractéristiques du Tableau III-5. Ce type d’équations se résout de manière graphique (nous en présentons ici un exemple pour les modes TE).

On défini tout d’abord, les variables :

X uaY wa

==

( -50)

Les deux équations caractéristiques des modes TE s’écrivent alors :

tan TE : PAIR

cot TE : IMPAIRY X XY X X== −

( -51)

Ces équations sont tracées à la Figure III-2.


21

Figure III-2 : Graphique des équations caractéristiques des modes TE pairs et impairs,

d’un guide diélectrique symétrique à trois couches (le cercle correspond aux paramètres suivants : λ0 = 1.55 µm, n1 = 1.49, n2 = 1.50 et a = 12 µm).

On remarque ensuite que les variables X et Y sont reliées aux paramètres physiques du guide (n1, n2 et a) et de la source (λ0) par la relation :

2 2 2 2 2 21 2 0( )X Y n n k a+ = + ( -52)

On définit alors une fréquence normalisée V : 2 2

1 2 0( )V n n k a= + ( -53) et l’équation ( -52) devient : 2 2 2X Y V+ = Les variables X et Y sont donc reliés sous forme d’un cercle de rayon V tel que tracé

sur la Figure III-2. Les solutions des équations caractéristiques sont donc données par les intersections de ce cercle avec les équations ( -51). Ces intersections nous donnent une valeur pour ua qui nous permet alors de calculer la constante de propagation β au moyen de

2 2 2 21 0n k uβ = − ( -54)

pour des valeurs réelles de X et Y, il existe toujours au moins une intersection entre le cercle de rayon V et les courbes tangentes. Nous pouvons donc conclure qu’il existe toujours au moins un mode guidé dans ce type de structures (i.e. la fréquence de coupure est nulle pour ce mode). Avec l’augmentation du rayon V apparaissent de nouvelles intersections, c’est à dire de nouveaux modes, que l’on numérote selon leur ordre d’apparition (TEi avec i +∈¥ ). Nous pouvons également remarquer l’apparition, en alternance des modes pairs et impairs.

Le nombre de modes guidés possibles dans un guide dépend de la fréquence normalisée V. Pour / 2V π< , il n’existe qu’un seul mode de propagation, soit le mode TE0 (graphiquement (voir Figure III-2), le cercle n’intercepte que la première branche de l’équation X tanX). Nous pouvons par ailleurs nous apercevoir qu’il n’existe pas de fréquence de coupure pour le mode fondamental TE0. C’est à dire que quelque soient les paramètres de la structure et de la source excitatrice, le mode TE0 est toujours présent.

Nous pouvons également statuer qu’un guide aura plusieurs modes si 2V π≥ . En d’autres termes, une structure multimode devra avoir une dimension telle que :

2 21 2/a n nλ>> − .


22

Pour les modes TM, on procède de la même manière en partant des équations suivantes :

2

2

1

2

2

1

tan TM :PAIR

cot TM : IMPAIR

nY X Xn

nY X Xn

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( -55)

On remarque alors que la constante β ne pourra plus être obtenue en spécifiant uniquement la fréquence normalisée V mais qu’on devra également fixer un rapport n2/n1. Ce rapport étant plus petit que 1, la courbe des modes TM sera toujours sous celle des modes TE. Il est néanmoins possible d’avoir une structure strictement monomode en choisissant d’abord une fréquence normalisée V<π/2 et en fixant la polarisation de la source de manière à n’exciter que le mode TE ou le mode TM.

La fréquence de coupure est définie comme la fréquence pour laquelle le mode cesse d’être guidé. Elle est simplement donné, à la fois pour les modes TE et TM, par

π += ∈, est l'ordre du mode2cV m m ¥ ( -56)

A cette fréquence Vc , la constante de propagation devient égale à celle d’une onde plane dans le milieu d’indice n2, c’est à dire à l’extérieur du guide :

2 0c n kβ = ( -57) L’onde cesse alors d’être guidée et se retrouve rapidement à l’extérieur du guide

sous forme d’une onde plane progressive selon une direction du plan xz (comme défini à la Figure III-1). On dit alors que le mode est radiatif. Il est à noter, que la condition de radiation (équation ( -57)) implique, d’après l’équation ( -44), que le paramètre w soit nul. Autrement dit, lorsque l’on atteint la fréquence de coupure Vc , le mode cesse d’être évanescent à l’extérieur du guide, en d’autres mots, il y a perte de réflexion totale interne des ondes planes se propageant dans le guide.

L’ensemble fini des modes TE et TM que nous venons d’obtenir constitue un ensemble des modes guidés d’un diélectrique symétrique à trois couches. L’ensemble complet de modes comprendrait, en plus des modes guidés, un nombre infini de modes radiatifs. La Figure III-3 donne, à titre d’exemple, l’allure des modes TE pour une structure de guide plan symétrique avec les paramètres suivants : λ0 = 1.55 µm, n1 = 1.49, n2 = 1.50 et a = 12 µm.

Figure III-3 : Allure des modes TE pour un guide plan symétrique ayant les

paramètres suivants : λ0 = 1.55 µm, n1 = 1.49, n2 = 1.50 et a = 12 µm. Trois modes existent pour cette structure, deux sont symétriques (TE1 et TE3), un est anti-symétrique (TE2).


23

Nous avons donc montré, dans cette partie, qu’un guide diélectrique à trois couches à

saut d’indice présentent des solutions exactes aux équations de Maxwell, desquelles nous pouvons déduire l’expression des modes guidés et de leur constante de propagation. Mais si cet exemple nous permet de manière simple de calculer ces paramètres, il est à noter qu’il n’existe en réalité que très peu de structures pour lesquelles des solutions exactes des équations de Maxwell peuvent être calculées. Il s’avère, que seuls les guides planaires (comme celui que nous venons d’étudier) et les guides à symétrie circulaire ou elliptique (comme les fibres optiques) présentent des solutions exactes. Le lecteur se reportera à l’ouvrage d’Allan W. Snyder et John D. Love [4] pour une étude approfondie des modes de telles structures. Tout autre type de guide présente des conditions aux limites non-résolubles analytiquement.

III-2. La Méthode de l’indice effectif et la simulation par BPM

L’étude de la propagation dans des structures n’ayant pas de solutions analytiques

exactes des équations de Maxwell requièrent alors l’emploi de méthodes numériques et/ou de méthodes semi-analytique permettant de contourner le problème des conditions aux limites non-résolubles. Ainsi, diverses techniques d’analyse ont été développées [5]. Nous présentons ici deux méthodes, parmi les différentes possibles, à savoir la méthode de l’indice effectif qui permet de transformer une structure à 3 dimensions (ex : un guide canal) en une structure à 2 dimensions (type guide planaire) qui peut alors être traitée analytiquement, et la méthode des faisceaux propagés (Beam Propagation Method (BPM) en anglais) qui est une méthode numérique de simulation de la propagation. Le choix de ces deux méthodes a été motivé par le fait que ces méthodes sont devenues courantes dans le domaine de l’optique intégrée ([6], [7] [8], et [9] [10] [11]) mais aussi pour leur facilité de mise en œuvre (le laboratoire possédant un logiciel de simulation par BPM).

III-2-1. La Méthode de l’indice effectif

Le principe de cette méthode est le suivant : les constantes de propagation dans un

guide à profil d’indice bidimensionnel n(x,y) sont calculées en résolvant séparément des problèmes à une dimension dans les deux directions x et y. Autrement dit, nous réduisons l’équation d’onde à deux dimensions, pour laquelle il n’existe pas de solution analytique, à deux équations à une dimension que nous pouvons traiter par la méthode présentée dans les paragraphes précédents. Ceci est basé sur l’approximation fondamentale de la séparation des variables d’espace du champ propagé (i.e.

( , ) ( ). ( )=E x y F x G y ). Cette réduction s’effectue en deux étapes que nous détaillons ici pour un guide de

type ruban (rib) comme schématisé sur la Figure III-4.


24

Figure III-4 : Géométrie d’un guide ruban pour l’application de la méthode de l’indice

effectif.

Cette méthode à été premièrement utilisée pour résoudre des problèmes de

propagation dans des guides homogènes, bien souvent de section rectangulaire. Mais à la fin des années 80, Karl Van de Velde [12] a montré que la méthode de l’indice effectif pouvait s’étendre à des guides de formes quelconques et des profils d’indices arbitraires. Cette méthode est alors devenu une des plus utilisées dans le domaine de l’optique intégrée.

Figure III-5 : Méthode de l’indice effectif, étape 1. Calcul des indices effectifs dans chacune des régions I

et II en considérant des guides planaires.

Etape 1 La première étape consiste à

calculer les indices effectifs des régions I et II ainsi que leurs distributions de champ correspondantes en considérant des guides plans infinis pour chacune des régions (voir Figure III-5). Cela revient à résoudre l’équation d’onde pour le champ G(y) dans les deux régions.

Figure III-6 : Méthode de l’indice effectif, étape 2.

Calcul de l’indice effectif neff équivalent à la structure de guide ruban.

Etape 2

On utilise maintenant les

indices neff,I et neff,II obtenus précédemment afin de calculer l’indice effectif et la distribution de champ d’un guide plan infini dans la direction perpendiculaire et de largeur W (voir Figure III-6). On obtient ainsi la solution de l’équation d’onde pour la fonction F(x) et l’indice effectif neff (donc la constante de propagation) équivalent à la structure de guide ruban.


25

Pour une étude mathématique approfondie du calcul des indices effectifs et des distributions de champ par la méthode de l’indice effectif, le lecteur pourra se référer à l’ouvrage de Charles Vassalo [13].

III-2-2. La Simulation par BPM

Nous allons dans cette section présenter les concepts de bases de la méthode des

faisceaux propagés (BPM) pour la simulation de la propagation des ondes dans des structures d’optique intégrée. Plusieurs raisons sont à la base de la popularité de cette technique. La première étant sûrement que la BPM est facile à implémenter et qu’il n’est pas besoin d’être expert en méthode numérique pour l’utiliser et comprendre les résultats issus des simulations. De plus, la BPM est dans la plupart des cas très efficace (nous en verrons les principales limitations plus loin) et ne demande qu’un effort restreint du point de vue du calcul numérique : bien souvent un nombre de points de maillage faible suffit. Une autre caractéristique de la BPM est qu’elle peut s’appliquer à des géométries complexes et qu’elle inclut automatiquement les effets dus aux champs guidés et radiatifs ainsi que les problèmes liés au couplage entre modes. Enfin, la BPM est une technique très flexible et extensible, permettant l’inclusion de divers paramètres tels que la polarisation ou les effets non-linéaires.

Principe de base de la BPM. BPM scalaire et approximation paraxiale

L’algorithme de base de la BPM est fondé sur deux approximations :

l’approximation scalaire (on ne tient pas compte des effets dus à la polarisation) et l’approximation paraxiale (la propagation est restreinte à de faibles angles).

La première de ces approximations nous permet d’écrire l’équation d’onde sous la forme simple d’équation de Helmholtz (( -21)) :

2 2 2

22 2 2 ( , , ) 0ε ε ε ε∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂k x y z

x y z ( -58)

Le champ électrique scalaire s’écrit sous la forme ( )( , , , ) ( , , )e ωε −= i tE x y z t x y z , et nous avons introduit la notation pour le vecteur d’onde : 0( , , ) ( , , )=k x y z k n x y z . Ainsi, la géométrie du problème est entièrement définie par le profil d’indice n(x,y,z).

Le champ ε(x,y,z) peut alors être écrit sous la forme : ( , , ) ( , , ) eε = ikzx y z u x y z ( -59) ou u(x,y,z) est un terme d’amplitude qui varie lentement selon l’axe z (l’axe de

propagation) et eikz un terme de phase qui, lui, varie rapidement. k est un nombre constant choisi pour représenter la variation moyenne de phase du champ ε, il est appelée nombre d’onde de référence.

En utilisant la décomposition ( -59) dans l’équation ( -58) nous obtenons :

2 2 2 22

2 2 22 ( ) 0∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − =

∂ ∂ ∂ ∂u u u uik k k u

z z x y ( -60)

En considérant maintenant que u varie très lentement par rapport à z, nous pouvons négliger le premier terme de l’équation ci-dessus (approximation de l’enveloppe à variation lente). Ce faisant, nous utilisons la deuxième approximation : l’approximation paraxiale. L’équation ( -60) se réduit alors à

2 2 22

2 2 ( )2

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

u i u u k k uz x yk

( -61)


26

L’équation ( -61) est l’équation de la BPM basique à 3 dimensions. La simplification à deux dimensions (que nous utiliserons par la suite) s’effectue simplement en omettant les termes dépendant de y. Ainsi, connaissant un profil de champ en z = 0 (u(x,y,z=0)), l’équation ( -61) détermine l’évolution du champ pour z>0.

La solution numérique

Il nous reste maintenant à résoudre l’équation précédente. L’algorithme utilisé par

notre logiciel est basé sur les différences finies (et plus particulièrement sur la méthode de Crank-Nicholson [14]). Dans cette approche, le champ est représenté dans le plan transverse (xy) sur des points discrets d’une grille, et selon des plans discrets le long de la direction de propagation (z). Le but est donc, connaissant le champ discrétisé dans un plan z donné, de calculer le champ sur le plan z suivant. Cette opération est alors répétée et l’on détermine ainsi le champ tout au long de la structure. Cette approche, que nous ne détaillerons pas plus ici, est illustrée par Scarmozzino et al. [14].

Avantages et inconvénients de la BPM classique; les améliorations possibles.

Le premier avantage de la BPM classique est que la factorisation par le terme de

phase eikz nous permet de représenter le terme à variation lente u(x,y,z) de manière discrète (numérique) selon l’axe z avec des pas de discrétisation pouvant être assez grand sans pertes majeures d’information pour de nombreux problèmes. Un autre avantage lié à cette technique est l’élimination du terme de dérivée seconde en z qui réduit le problème d’une équation du second ordre qui requiert un traitement lourd (nombreuses itérations) à une équation du premier ordre qui peut être plus simplement résolue. Ce dernier point est également un facteur déterminant dans le choix de la BPM par rapport à des méthodes numériques plus complète car il implique un gain de temps de calcul non-négligeable.

Mais les approximations faites ne vont pas sans certains inconvénients. Premièrement, l’approximation paraxiale, comme son nom l’indique, réduit l’utilisation de la BPM classique à de faibles angles. Cet inconvénient peut être contourné par l’utilisation de la BPM ‘grand angle’ [15] [16]. Un second inconvénient vient du fait que la suppression du terme de dérivé seconde interdit la possibilité d’une onde se propageant en sens contraire (-z), ce qui peut être le cas pour des composants fortement réfléchissant. La technique de BPM bi-directionnelle [9] permet alors de contourner ce handicap. Les deux inconvénients précédemment cités ne nous touches pas directement. En effet, les structures sur lesquelles nous serons amener à utiliser la BPM fonctionnent en régime de faible guidage [4]. L’approximation paraxiale est alors remplie car seul les modes à incidence rasante peuvent se propager dans ces structures.

Un dernier point, plus crucial à notre égard, est que nous ne tenons pas compte des effets dus à la polarisation. Il a été montré qu’en régime de faible guidage, les modes guidés sont peu sensibles à la polarisation, voir pas du tout dans certains cas précis [4]. Cependant, dans le cas général d’un profil d’indice bi-dimensionnel quelconque, la biréfringence induite par la structure perturbe la polarisation du faisceau propagé et les modes guidés ne sont plus des solutions exactes de l’équation d’onde scalaire ( -58). Il faut alors résoudre l’équation d’onde vectorielle. La méthode de BPM vectorielle remplie cette fonction [17] [18]. C’est la méthode que nous avons utilisé au cours de notre travail.


27

IV. CONCLUSION Ce chapitre nous a amené à comprendre comment évolue la propagation d’ondes

électromagnétiques à l’intérieur d’un guide d’onde et nous avons mis en évidence les paramètres définissant un mode guidé et les calculs nécessaires à leur obtention. Nous avons également introduit les méthodes de l’indice effectif et des faisceaux propagés qui permettent la description de la propagation lorsqu’elle ne peut se faire analytiquement.

En outre, nous avons vu à travers notre étude de la propagation que le phénomène de réflexion totale est à la base de la création d’un champ dit évanescent confiné à l’interface entre deux milieux diélectriques. L’étude des modes guidées d’une structure plane diélectrique nous a permis de voir que ce champ évanescent est solution des équations de propagation à l’extérieur de la zone guidante.

Le chapitre suivant est consacré à l’établissement des concepts de base de la microscopie en champ proche optique. Dans un premier temps sans rapport direct avec ce que nous venons d’établir, nous verrons néanmoins, en revenant sur le phénomène de réflexion totale, qu’il est possible de venir collecter ce champ évanescent et ainsi accéder aux information relatives aux propriétés des modes guidés.


28

Références du Chapitre 1 : [1] OLYMPUS AMERICA INC. Olympus microscopy resource center, Interactive java tutorials,

Electromagnetic radiation [en ligne]. Disponible sur : http://www.olympusmicro.com/primer/java/electromagnetic/index.html. (01/08/2003).

[2] OLYMPUS AMERICA INC. Olympus microscopy resource center, Total Internal Reflection Fluorescence Microscopy Interactive Java Tutorials, Evanescent Field Polarization and Intensity Profiles [en ligne]. Disponible sur : http://www.olympusmicro.com/primer/java/tirf/evaintensity/index.html (01/08/2003)

[3] PETIT Roger. Ondes électromagnétiques en radioélectricité et en optique. Paris : Masson, 1988, 350 p. (Enseignement de la Physique)

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[5] SCARMOZZINO R., GOPINATH A., PREGLA R., HELFERT S. Numerical techniques for modelling guided-wave photonic devices. IEEE journal of selected topics in quantum electronics, 2000, vol. 6, n° 1, pp. 150-162.

[6] CHAKRABORTY R., GANGULY P., BISWAS J.C., LAHIRI S.K. Modal profiles in Ti:LiNbO3 two-waveguide and three-waveguide couplers by effective-index-based matrix method. Optics Communications, 2001, vol. 187, n° 1-3, pp. 155-163.

[7] QIU M. Effective index method for heterostructure-slab-waveguide-based two-dimensional photonic crystals. Applied physics letters, 2002, vol. 81, n° 7, pp. 1163-1165.

[8] KWAN C.H., CHIANG K.S. Study of polarization-dependent coupling in optical waveguide directional couplers by the effective-index method with built-in perturbation correction. Journal of lightwave technology, 2002, vol. 20, n° 6, pp.1018-1026.

[9] HO P.L., LU Y.Y., A bidirectional beam propagation method for periodic waveguides. IEEE Photonics technology letters, 2002, vol. 14, n° 3, pp. 325-327.

[10] FUJISAWA T., KOSHIBA M. Full-vector finite-element beam propagation method for three-dimensional nonlinear optical waveguides. IEEE Journal of lightwave technology, 2002, vol. 20, n° 10, pp.1876-1884.

[11] SONG W.J., SONG G.H., AHN B.H., KANG M. Scalar BPM analyses of TE and TM polarized fields in bent waveguides. IEEE Transaction on antennas and propagation, 2002, vol. 51, n° 6, pp. 1185-1198.

[12] VAN DE VELDE K., THIENPONT H., VAN GEEN R. Exyending the effective index method for arbitrarily shaped inhomogeneous optical waveguides. Journal of lightwave technology, 1988, vol. 6, n° 6, pp. 1153-1159.

[13] VASSALO C. Théorie des guides d’ondes électromagnétiques. Tome 2. Paris, France : Eyrolles et CENT-ENST, 1985, 686 p. (Collection technique et scientifique des télécommunications).

[14] YEVICK D., HERMANSON B. Efficient beam propagation techniques. Journal of quantum electronics, 1990, vol. 26, pp. 109-112.

[15] HOEKSTRA H.J.K.M., KRIJNEN G.J.M., LAMBECK P.V. New formulations of the beam propagation method based on the slowly varying envelope approximation. Optics communications, 1993, vol. 97, n° 5-6, pp. 301-303.

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[17] YASUI T., KOSHIBA M. Three-dimensional vector beam-propagation method for second harmonic generation analysis. Journal of lightwave technology, 2001, vol. 19, n° 5, pp.780-785.

[18] SAITOH K., KOSHIBA M. Full-vector finite element beam propagation method with perfectly matched layers for anisotropic optical waveguides. Journal of lightwave technology, 2001, vol. 19, n° 3, pp. 405-413.

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RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELLdocinsa.insa-lyon.fr/these/2003/martin/04_chapitre1.pdfChapitre 1 :RAPPELS SUR LES EQUATIONS DE MAXWELL 10 Il est intéressant de noter que pour