Reconfiguration dynamique des systèmes manufacturiers non

RECONFIGURATION DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MANUFACTURIERS NON FIABLES

Mémoire

HOUCINE DAMMAK

Maîtrise en Sciences de l’Administration Maître ès sciences (M.Sc)

Québec, Canada

© Houcine DAMMAK, 2014

iii

RÉSUMÉ

Ce mémoire de recherche porte sur l’optimisation et le contrôle dynamique stochastique

des activités de production dans les systèmes manufacturiers reconfigurables

(Reconfigurable Manufacturing Systems, RMS). Le système considéré est composé d'une

installation industrielle conçu pour adapter sa configuration physique à des changements

prévisibles connus ou aléatoire qui peuvent survenir dans le temps. Les changements

concernent principalement l’environnement interne de l’installation (risques de pannes dus

à la non-fiabilité du système) et l’environnement externe (évolution du marché en type de

produit et volume de la demande). Les propriétés de reconfiguration du système considéré

lui procurent la capacité de produire, à l’intérieur d’une famille de produits, plusieurs types

et ce, selon plusieurs modes ou configurations. Le choix de la configuration doit être basé

sur les avantages qu’elle procure (capacité, fiabilité, coût) ainsi que les conditions actuelles

et futures espérées du système.

Étant donné le compromis important entre les coûts de reconfiguration, de production, de

stockage et de pénurie, le principal objectif de ce travail de recherche consiste à proposer

une stratégie adaptative qui permet un meilleur choix de la séquence de configurations et un

meilleur contrôle du rythme de production du système afin de minimiser le coût total

encouru sur un horizon fini de planification.

Une formulation basée sur la programmation dynamique est présentée pour ce problème.

Ensuite, un schéma numérique est adopté pour résoudre les conditions d'optimalité

obtenues. Sous la classe des politiques de seuil critique (HPP), une séquence de

configurations intégrée à une politique de contrôle des rythmes de production est proposée.

Les résultats obtenus montrent un gain significatif en termes de coûts par rapport à ceux

encourus lorsque la décision de reconfiguration est développée indépendamment de la

stratégie d’exécution de la production. Plusieurs analyses de sensibilité sont réalisées pour

illustrer la robustesse et l'efficacité de la stratégie proposée.

iv

Pour résoudre le problème dans des situations plus complexes une approche de simulation

est également proposée et mise en œuvre. L'application de cette approche nous a permis

d'étendre l’analyse pour couvrir des contextes où l'approche de résolution mathématique est

limitée. De plus, cette approche nous a permis de mener une étude pour mesurer l’avantage

des systèmes reconfigurables en comparaison aux systèmes les plus utilisés dans le

contexte sous étude soit les systèmes manufacturiers ajustables (Adjusted Manufacturing

Systems, AMS).

Mots clés : Programmation dynamique, politique de seuil critique, contrôle de la

production, systèmes manufacturier reconfigurables, simulation.

ABSTRACT

This research work focuses on the optimization and stochastic dynamic control of

production activities in Reconfigurable Manufacturing Systems (RMS). The considered

system is composed of an industrial facility designed to adapt its physical configuration to

predictable changes that may occur randomly in time. The changes mainly concern the

internal environment of the system (risk of failures due to the unreliability of the system)

and the external environment (market changes in product type and volume of demand). The

configurability properties of the system considered provide the ability to produce, within a

family of products, various types according to several modes or configurations of the

system. The choice of which configuration to adopt is based on: (1) the benefits that it

provides in terms of capacity, reliability and cost; (2) the current and the expected future

conditions of the system.

Given the important compromise between reconfiguration, production, holding and

shortage costs, the main objective of this research is to propose an adaptive strategy that

allows a better choice of the sequence of configurations and a better control of production

activites and minimizes the total cost incurred over a finite planning horizon.

A formulation based on dynamic programming is presented for this problem. Then, a

numerical scheme is adopted to solve the optimality conditions. In the class of Hedging

Point Policies (HPP), a sequence of configurations integrated to a production rate control

policy is proposed. The obtained results show a significant gain in terms of incurred costs

compared to those incurred when the reconfiguration decisions are developed

independently of the production execution strategy. Several sensitivity analyses are carried

out to illustrate the robustness and efficiency of the proposed strategy.

To address the problem in more complex reconfigurable situations a simulation based

approach is also proposed and implemented. The application of this approach allowed us to

extend the aforementioned findings to different contexts where the mathematical resolution

approach may be limited. In addition, the simulation based approach allowed us to conduct

vi

a study to measure the benefit of reconfigurable systems in comparison to the most used

systems in the context under study, namely the Adjustable Manufacturing Systems (AMS).

Keywords: Dynamic programming, hedging policies, production control, reconfigurable

manufacturing systems, simulation.

vii

TABLE DES MATIÈRES RÉSUMÉ ............................................................................................................................. iii ABSTRACT ........................................................................................................................... v TABLE DES MATIÈRES ................................................................................................. vii LISTE DES TABLEAUX .................................................................................................... ix LISTE DES FIGURES ........................................................................................................ xi DÉDICACES ..................................................................................................................... xiii REMERCIEMENT ............................................................................................................ xv CHAPITRE 1 : INTRODUCTION GÉNÉRALE & NOTIONS DE BASE .................... 1

1.1. Introduction générale .................................................................................................. 1 1.2. Notions de base ........................................................................................................... 4

1.2.1. Un système manufacturier ................................................................................... 4

1.2.2. La gestion des systèmes manufacturiers .............................................................. 6

1.2.3. Les différents types de systèmes manufacturiers ................................................. 8

1.2.4. Les systèmes manufacturiers reconfigurables ..................................................... 9

1.2.5. Comparaison par rapport aux autres types de systèmes manufacturiers ............ 13

1.2.6. La fiabilité .......................................................................................................... 16

1.2.7. Modélisation mathématique à l’aide des chaînes de Markov ............................ 17

1.3. Conclusion ................................................................................................................ 19 CHAPITRE 2 : POBLÉMATIQUE ET REVUE DE LITTÉRATURE ........................ 21

2.1. Introduction ............................................................................................................... 21 2.2. Problématique de recherche ...................................................................................... 22 2.3. Revue de littérature ................................................................................................... 24

2.3.1. Décision de reconfiguration à un niveau tactique .............................................. 24

2.3.2. Décisions de reconfiguration intégrant les niveaux tactique et opérationnel .... 27

2.4. Programmation dynamique stochastique et la théorie de contrôle ........................... 30 2.5. La simulation............................................................................................................. 33 2.6. Objectifs de la recherche ........................................................................................... 35 2.7. Méthodologie de travail ............................................................................................ 35 2.8. Contributions de la recherche ................................................................................... 38 2.9. Conclusion ................................................................................................................ 39

CHAPITRE 3 : MODELISATION MATHEMATIQUE ET APPROCHE DE RESOLUTION NUMERIQUE ......................................................................................... 41

3.1. Introduction ............................................................................................................... 41 3.2. Présentation du problème .......................................................................................... 42 3.3. Formulation mathématique ....................................................................................... 48

3.3.1. Niveau tactique .................................................................................................. 48

viii

3.3.2. Niveau opérationnel .......................................................................................... 53

3.4. Fonction objectif ....................................................................................................... 61 3.5. Résultats numériques et analyse de sensibilité ......................................................... 62

3.5.1. Exemple numérique ........................................................................................... 62

3.5.2. Analyse de sensibilité ........................................................................................ 69

3.6. Conclusion ................................................................................................................ 79 CHAPITRE 4 : APPROCHE DE RÉSOLUTION PAR SIMULATION ..................... 81

4.1. Introduction .............................................................................................................. 81 4.2. Description du modèle de simulation ....................................................................... 82 4.3. Résultats expérimentaux ........................................................................................... 96

4.3.1. Cas d’étude numérique ...................................................................................... 96

4.3.2. L’Optimisation avec OptQuest .......................................................................... 98

4.3.3. L’outil SMORE de SIMIO ................................................................................ 99

4.3.4. Technique de réduction de la variance ............................................................ 100

4.3.5. La notion du niveau de service ........................................................................ 102

4.3.6. Détermination des paramètres optimaux du modèle développé ...................... 102

4.3.7. Analyse de sensibilité ...................................................................................... 105

4.4. Étude comparative RMS - AMS............................................................................. 111 4.4.1. Cas numérique d’étude .................................................................................... 114

4.4.2. Analyse de sensibilité ...................................................................................... 116

4.5. Conclusion .............................................................................................................. 122 CONCLUSION ................................................................................................................. 123 BIBLIOGRAPHIES ......................................................................................................... 127 ANNEXE 1 ........................................................................................................................ 131 ANNEXE 2 ........................................................................................................................ 133

ix

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1:SDI pour chaque type de système adapté de Zhang et al. (2006) ........................ 13 Tableau 2: Les paramètres du système manufacturier .......................................................... 63 Tableau 3: Les probabilités de transition entre les états suivant la configuration ................ 64 Tableau 4: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [45, 40, 45] .................. 70 Tableau 5: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [48, 43, 48] .................. 70 Tableau 6: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [50, 45, 50] .................. 70 Tableau 7: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [52, 47, 52] .................. 70 Tableau 8: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [55, 50, 55] .................. 71 Tableau 9: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [57, 52, 57] .................. 71 Tableau 10: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [60, 55, 60] ................ 71 Tableau 11: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût de réduction ..................... 74 Tableau 12: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût d'expansion ...................... 77 Tableau 13: la demande du marché en type et en quantité ................................................... 97 Tableau 14: Les Quantités à livrer à la fin de chacune des sous-périodes de livraison ........ 97 Tableau 15: Les probabilités de transition entre les états pour chaque configuration .......... 98 Tableau 16: les taux de la demande pour l'horizon considéré ............................................ 102 Tableau 17: les résultats obtenus du cas numérique du RMS ............................................. 103 Tableau 18: Comparaison entre les résultats des deux scénarios pour le cas numérique ... 104 Tableau 19: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290] ........... 105 Tableau 20: les résultats des deux scénarios pour une demande de [330-290-310] ........... 105 Tableau 21: les résultats des deux scénarios pour une demande de [350-310-330] ........... 105 Tableau 22: les résultats des deux scénarios pour une demande de [370-330-350] ........... 106 Tableau 23: les résultats des deux scénarios pour une demande de [290-250-270] ........... 109 Tableau 24: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290] ........... 109 Tableau 25: les résultats des deux scénarios pour une demande de [330-290-310] ........... 109 Tableau 26: les résultats des deux scénarios pour une demande de [350-310-330] ........... 109 Tableau 27: les résultats des deux scénarios pour une demande de [370-330-350] ........... 110 Tableau 28: L'effet de la variabilité sur les décisions de reconfiguration du Scénario 2 ... 111 Tableau 29: les résultats obtenus du cas numérique du AMS ............................................ 115 Tableau 30: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270] ........... 115 Tableau 31: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270] ........... 116 Tableau 32: les résultats des deux systèmes pour une demande de [310-270-290] ........... 116 Tableau 33: les résultats des deux systèmes pour une demande de [330-290-310] ........... 117 Tableau 34: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] ........... 117 Tableau 35: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un

contexte déterministe .................................................................................................. 119 Tableau 36: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un

contexte aléatoire avec un écart type de 15 ................................................................ 119 Tableau 37: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un

contexte aléatoire avec un écart type de 25 ................................................................ 119 Tableau 38: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un

contexte aléatoire avec un écart type de 35 ................................................................ 120

x

Tableau 39: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 55 ................................................................ 120



xi

LISTE DES FIGURES

Figure 1: la vue classique d'un système manufacturier........................................................... 5 Figure 2:Structure d’un système manufacturier couplé avec un système de commande ....... 5 Figure 3: les différents aspects de reconfiguration adaptée de Mehrabi et al. (2000) .......... 11 Figure 4: les caractéristiques du RMS selon Koren .............................................................. 12 Figure 5: Processus de fonctionnement d'un RMS ............................................................... 14 Figure 6: Positionnement du RMS par rapport au DMS et FMS .......................................... 16 Figure 7: L'effet de la coopération entre la qualité et la fiabilité .......................................... 17 Figure 8: Diagramme de transition de la chaîne de Markov à deux états ............................. 18 Figure 9: Structure du système manufacturier sous-étude .................................................... 23 Figure 10: Les étapes d'un projet de simulation selon Carson (2004) .................................. 34 Figure 11: Première partie de la méthodologie de travail ..................................................... 37 Figure 12: Première stratégie d’expérimentation .................................................................. 46 Figure 13: Deuxième stratégie d’expérimentation ................................................................ 47 Figure 14: la division des périodes du niveau tactique en des sous-périodes au niveau

opérationnel .................................................................................................................. 54 Figure 15 : Diagramme fonctionnel des états du système .................................................... 57 Figure 16: Les deux scénarios d’expérimentation ................................................................ 62 Figure 17: La séquence de reconfiguration pour chaque scénario ........................................ 65 Figure 18: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 1

...................................................................................................................................... 66 Figure 19: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 2





...................................................................................................................................... 68 Figure 24: Gain du scénario 2 en variant les taux de la demande ........................................ 72 Figure 25: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 74 Figure 26: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 75 Figure 27: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 77 Figure 28: La séquence de reconfiguration des deux scenarios ............................................ 78 Figure 29: Modélisation du cas sous-étude par simulation................................................... 82 Figure 30: Diagramme expérimental du modèle développée par simulation ....................... 84 Figure 31: Diagramme général de simulation ....................................................................... 86 Figure 32: Les données d'entrée du système ......................................................................... 87 Figure 33: Diagramme des états du système sous-étude ...................................................... 92 Figure 34: L'interface développée à l'aide du simulateur ..................................................... 94

xii

Figure 35: Validation du modèle de simulation ................................................................... 95 Figure 36: Diagramme SMORE adapté de Kelton et al (2011) ......................................... 100 Figure 37: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte déterministe .. 106 Figure 38: les coûts engendrés suite à l'optimisation pour différents taux de la demande 107 Figure 39: Comparaison entre les différents coûts des deux scénarios en augmentant la

demande ..................................................................................................................... 107 Figure 40: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte aléatoire

(STD=25) ................................................................................................................... 110 Figure 41: Variation des coûts tactiques des deux systèmes en augmentant la demande .. 118 Figure 42: Récapitulatif de la comparaison entre le RMS et l'AMS .................................. 122

xiii

DÉDICACES

À mon cher père Abdelaziz

Qui n’a jamais cessé de me soutenir et m’encourager,

Qui a impatiemment attendu ce jour,

Aucun mot ne serait assez loquace pour témoigner les sentiments de reconnaissance

que j’éprouve à son égard.

À ma chère mère Emna

Pour ses sacrifices démesurés et son amour infini.

Que Dieu puisse la garder afin que ses prières me protègent et que ses regards suivent

ma destinée.

J’espère pouvoir réaliser aujourd’hui l’un de ses rêves et être toujours à la hauteur de

ses espérances.

À ma chère sœur Khadija, son mari Rochdi et leurs fils Youssef,

À ma chère sœur Imen,

À mon cher cousin Taher,

À mes chers amis Yassine, Ayoub, Wassim et Moemen,

À tous ceux qui me sont chers,

Je dédie ce projet et qu’ils trouvent dans ce modeste travail le témoignage de ma

profonde gratitude et mon infini dévouement.

Sincèrement,

Houcine

xiv

xv

REMERCIEMENT

C’est un devoir bien agréable de venir rendre hommage au terme de ce travail à ceux

sans lesquels il n’aurait pu être fait.

Tout d'abord, je tiens à remercier Dieu le Tout-Puissant qui m'a donné la force, la

volonté et la santé jusqu’à ce jour.

Je tiens à remercier sincèrement mon directeur de recherche, Monsieur Adnène

HAJJI, pour son soutien, son support et ses précieux conseils. Je tiens également à

remercier mon codirecteur, Monsieur Mustapaha NOUR EL FATH, pour son

apport à cette recherche et pour m'avoir fait profiter de son expérience et de son

expertise.

Également, je voudrais bien exprimer mes profondes reconnaissances au CIRRELT

qui m'a permis d'avoir accès à des installations de qualité et qui m'a supporté

financièrement à plusieurs occasions.

Je remercie aussi tous mes professeurs et tous les cadres enseignants de FSA ULaval

pour les efforts qu’ils ont déployés pour nous assurer une formation de qualité.

1

CHAPITRE 1

INTRODUCTION GÉNÉRALE &

NOTIONS DE BASE

1.1. Introduction générale La concurrence du marché et les exigences des consommateurs se traduisent généralement

au niveau des entreprises manufacturières par une fluctuation de la demande et une

diversité des familles de produit à fabriquer (Wang et Koren, 2012). Cette réalité rend les

systèmes de production traditionnels (Dédiées, Flexibles…) incapable de répondre à toutes

les attentes des gestionnaires (Zhang et al, 2006). Ce constat a poussé les preneurs de

décision à faire preuve de plus d’innovation en termes de méthodes de gestion et à

proposer de nouveaux paradigmes de production mieux adaptés à répondre aux exigences

du marché. Les principaux défis qui doivent être surmontés sont : produire à faible coût,

améliorer la qualité du produit et avoir la capacité de réactivité pour faire face à

l’incertitude. (Koren, 2006).

2

Récemment un nouveau paradigme de systèmes manufacturiers est apparu, il s’agit des

systèmes manufacturiers reconfigurables (Reconfigurable Manufacturing Systems, RMS en

anglais). Koren figure parmi les premiers qui ont introduit ce paradigme au début des

années 90s, il définit un SMR comme étant un système conçu dès le départ pour le

changement rapide dans sa structure, ainsi que dans ses composants matériels et logiciels,

afin d'ajuster rapidement sa capacité de production et sa fonctionnalité au sein d'une famille

de produits en réponse aux changements brusques du marché ou aux exigences

réglementaires (Koren et al. 1999).

Dès l’apparition de ce nouveau paradigme plusieurs chercheurs se sont penchés sur des

questions de conception de la meilleure structure de ce type de système afin qu’il puisse

répondre aux exigences de réactivité à des faibles coûts. Citant à titre d’exemple Bi et al.

(2008) qui ont présenté l’état de l’art sur cette branche de recherche. Plusieurs questions qui

touchent les enjeux et défis de conception des systèmes RMS ont été soulevées

(architecture de système, architecture ouverte de contrôle, modularité…).

Dans ce contexte, plusieurs contributions scientifiques avec ou sans applications

industrielles (Spicer et Carlo, 2007 ; Wang et Koren, 2012) ont démontré les avantages que

les RMS peuvent apporter dans un marché et environnement de production incertains. Ces

travaux ont ouvert la porte à plusieurs questions fondamentales sur la meilleure façon de

gérer ces systèmes une fois conçu. De ce fait, des études ont commencé à aborder la

question du développement de meilleures méthodes de gestion pour mieux opérer et

contrôler ces systèmes à plusieurs niveaux de la hiérarchie de décision.

Étant donné la nature des décisions de reconfiguration qui sont généralement prises dans un

horizon tactique, la majorité des travaux se sont concentrés sur ce niveau au détriment

d’une intégration avec le niveau opérationnel. Cependant, les récents avancées de recherche

ont permis de démontrer l’importance d’une intégration plus étroites des décisions tant au

niveau tactique qu’opérationnel.

Dans ce travail de recherche un système manufacturier reconfigurable capable de produire

plusieurs produits de la même famille est considéré. La demande du point de vue type de

produit et quantité fluctue d’une période à une autre. Le passage entre les périodes peut

exiger une reconfiguration du système. Cette reconfiguration est un processus complexe et

contient plusieurs paramètres du système (Coût, disponibilité, fiabilité, faisabilité,…). Les

3

différents paramètres pris en compte dans le modèle développée sont : (1) au niveau

tactique: le coût de production, coût de reconfiguration et le coût du manque de capacité et

(2) au niveau opérationnel : le coût de stockage, le coût de pénurie et la fiabilité du

système.

Connaissant les niveaux de la demande pour les produits sur un horizon fini, l’entreprise

veut anticiper la séquence optimale des configurations et les stratégies de production au

niveau opérationnel pour répondre à une demande échelonnée suivant des sous périodes de

livraison à l’intérieur d’une période de l’horizon global. Au niveau opérationnel le RMS est

sujet à une fluctuation aléatoire de sa capacité (panne, dégradation..). Cette capacité est

aussi fonction de la configuration en place. Dépendamment de la demande et de la

configuration déjà en place l’entreprise peut payer une pénalité pour la production de

certains produits.

En récapitulant, ce travail permet d’intégrer les deux niveaux de la hiérarchie de décision

(tactique et opérationnelle) dans un même modèle. Cette intégration rend l’entreprise plus

compétitive et l’aide à exploiter ses ressources d’une façon optimale et efficace.

Les résultats obtenus montrent que la prise en compte des paramètres opérationnels peut

changer la décision de reconfiguration. Les résultats sont sous forme d’une séquence

optimale de reconfiguration sur toutes les périodes et d’une politique optimale de contrôle

sur l’inventaire pour chaque période afin de minimiser les coûts.

Ce mémoire est organisé en quatre chapitres :

Dans ce premier chapitre, on a commencé tout d’abord par une introduction générale,

ensuite on présentera quelques notions de base qui seront utiles pour comprendre le cadre

de ce travail de recherche et les différentes méthodes qui vont être utilisés par la suite dans

le rapport. Ces notions de base comprennent tout d’abord les systèmes manufacturiers en

général puis les systèmes manufacturiers reconfigurables en particulier.

Dans le deuxième chapitre, on présentera au début les objectifs généraux de la recherche

ensuite la revue de littérature concernant les RMS, la programmation dynamique

stochastique et la simulation. Puis la méthodologie de travail sera détaillée pour finir avec

les contributions de la recherche.

4

Le troisième chapitre, sera consacré à la modélisation mathématique et la présentation de

l’approche de résolution numérique. On entamera ce chapitre par la présentation du

problème ensuite l’exposition des différents paramètres du problème afin d’aboutir aux

objectifs prédéfinis de l’étude. Pour finir avec les résultats numériques et une analyse de

sensibilité détaillée du problème sous-étude.

Le quatrième chapitre comportera une résolution basée sur la simulation. L’objectif de ce

dernier chapitre est d’étendre l’analyse à des systèmes plus complexes et de mener une

analyse comparative entre les performances d’un système RMS régit par la stratégie

développée numériquement et une autre stratégie inspirée de la littérature. De plus, nous

nous penchons sur une étude permettant de quantifier les avantages des RMS dans le

contexte de notre étude par rapport aux systèmes ajustables (Adjustable Manufacturing

Systems, AMS).

1.2. Notions de base Cette partie est dédiée principalement à la présentation des principaux termes techniques

qui vont être utilisé dans le rapport. On présentera au début une définition générale d’un

système manufacturier, ensuite on présentera quelques notions importantes reliées à la

gestion de ces systèmes. On étudiera par la suite de près les différents types de systèmes

manufacturiers. Puis on abordera en détail le nouveau paradigme sous étude, soit les RMS :

les systèmes manufacturiers reconfigurables; et ce, à travers une étude comparative avec les

systèmes traditionnels. Cette étude reflète en partie notre motivation à l’égard de ce

domaine de recherche. Pour finir, on définira la fiabilité et la modélisation mathématique à

travers les chaînes de Markov qui seront utilisés plus tard le rapport.

1.2.1. Un système manufacturier Selon Hitomi (1996), un système manufacturier est un ensemble de ressources destinées à

convertir des matières premières en produits finis (figure 1). Afin d’assurer cette fonction

de transformation de matière, ce système nécessite un pilotage adapté à travers un système

de gestion qui assure la planification et le contrôle.

5

Figure 1: la vue classique d'un système manufacturier

Dans cette définition les ressources englobent les ressources humaines, les ressources

matérielles et les espaces de travail. Par l'utilisation de ces ressources, le système de

production convertit les informations de la demande en produits destinés à être livrés afin

de répondre à la demande du marché et aux attentes des clients en termes de coût, qualité et

délai. La figure suivante (figure 2) présente qu’à chaque système manufacturier un système

de commande est associé. Ce système de commande permet de veiller à la bonne gestion du

système manufacturier afin d’être fonctionnel suivant les attentes du décideur. Il analyse les

informations provenant du système manufacturier, ensuite suivant les objectifs désirés le

système de commande aide à prendre des décisions qui permettent la mise en application de

ces objectifs.

Figure 2:Structure d’un système manufacturier couplé avec un système de commande

Matières Premières

Produits finis Système

manufacturier

Ressources

Matières Premières

Produits finis Système

manufacturier

Objectifs désirés

Système de commande

Décision Informations en rétroaction

6

1.2.2. La gestion des systèmes manufacturiers

1.2.2.1. Hiérarchie des décisions en gestion des systèmes manufacturiers Afin de mieux gérer les systèmes manufacturiers et optimiser les ressources de l’entreprise,

le processus de prise de décision est divisé en trois niveaux principaux : le niveau

stratégique, le niveau tactique et le niveau opérationnel. (Schmidt et Wilhelm, 2000)

• Concernant le niveau stratégique, il comporte les décisions qui ont un effet à long

terme, ces décisions sont généralement prises par la haute direction de la

compagnie. Parmi ces décisions, le niveau stratégique prévoit un ensemble de lieux

où les installations sont à être placées, les technologies de production qui vont être

utilisés dans chaque établissement et les politiques générales qui aident à établir la

capacité de chaque usine. Les décisions stratégiques déterminent ainsi le réseau à

travers lequel la production, l'assemblage et la distribution seront menées pour

servir le marché. Schmidt et Wilhelm (2000) considèrent qu’au niveau stratégique

l’horizon de planification peut varier entre deux et cinq ans à cause des longs délais

qui sont nécessaires pour construire des usines et installer de l'équipement de

traitement. Un niveau d'incertitude relativement élevé peut être associé à la

demande, l’environnement politique et aux taux de change sur un tel horizon de

planification long. Le délai pour la mise en œuvre des décisions peut être réduit par

l'achat ou la location d'installations déjà existantes ou en composant un réseau

virtuel à travers la sous-traitance d'autres sociétés.

• Les décisions prises au niveau tactique concernent l’usage et la mise en application

des décisions et ressources prises au niveau stratégique. Le niveau tactique prescrit

les politiques de gestion des flux de marchandises, y compris les niveaux de

production dans toutes les usines, la politique de l'assemblage, les niveaux de stocks

et la taille des lots. Mais il est limité par le réseau mis à disposition par les décisions

au niveau stratégique. Le niveau tactique traite un horizon à moyen terme variant

entre 6 et 24 mois et formant un pont entre les niveaux stratégiques et opérationnels.

7

• Les décisions prises au niveau opérationnel permettent quant à eux de céduler les

opérations afin d’assurer une livraison à temps des produits finis aux clients ainsi

que la coordination du réseau logistique pour répondre aux demandes des clients. La

question qui se pose au niveau opérationnel est quand effectuer une tâche de

fabrication et sur quelle installation de sorte que les dates d'échéance seront

respectées dans la mesure du possible. Le niveau opérationnel doit faire face à

l'environnement créé par les décisions prises au niveau tactique, y compris la

disponibilité des composants et les goulots qui affectent l’installation et qui

peuvent induire des temps de passage longs, provoquant une violation des dates

d'échéance. Donc les décisions du niveau opérationnel concernent principalement

l’exécution et l’ajustement des plans fixés au niveau tactique.

1.2.2.2. La réactivité des systèmes manufacturiers La réactivité d’un système peut être définit par sa capacité à réagir en temps opportun à des

changements décisionnels ou à des évènements aléatoires externe ou interne (Slack, 1987).

Les évènements aléatoires externes sont généralement liés à la demande du marché (en type

de produit, ou volume de la demande), ceux qui sont internes sont directement liés au

système physique et ses ressources (pannes, absentéismes..). Pour les besoins de réactivité

d’un système donné deux éléments sont à considérer :

• détenir un système de commande (de gestion) capable d’offrir les meilleures

décisions en réaction à un changement décisionnel ou un évènement aléatoire. les

méthodes classiques de gestion stipulent de recourir à des options de rechange

comme (heures supplémentaires, recrutement/licenciement, sous-traitance,

déplacement de la demande…) tandis que plusieurs recherches proposent de bâtir le

système de commande de sorte à ce qu’il inclut ces options dès le départ (Gershwin,

1994) pour mettre en œuvre la stratégie en rétroaction.

• détenir un système physique capable de s’ajuster au besoin. Un système rigide qui

est conçu dès le départ pour produire un seul type de produit n’est certainement pas

la solution pour offrir une gamme de produit variée sur le marché. Dans la section

suivante il sera question des types des systèmes manufacturiers et plus

8

particulièrement ceux qui offrent cette capacité de réactivité d’un point de vue

système à savoir les RMS.

1.2.3. Les différents types de systèmes manufacturiers En raison de l’écart qui peut exister entre l’offre et la demande, l'environnement de

production devient turbulent et incertain. Les entreprises manufacturières sont obligées de

réévaluer leurs modèles de production, de sorte qu'un système de fabrication peut être

conçu et exploité de manière efficace dans cet environnement qui est en évolution continue.

Cet environnement de production en mutation, caractérisé par une concurrence agressive à

l'échelle mondiale et les changements rapides de la technologie nécessite de créer des

systèmes de production qui sont eux-mêmes facilement extensible et dans lesquels de

nouvelles technologies et de nouvelles fonctions peuvent être facilement intégrés. Ces

conditions nécessitent une nouvelle approche de fabrication qui permet le lancement de

nouveaux produits et l'ajustement rapide de la capacité du système de production pour faire

face aux exigences du marché.

Selon la nature des produits et de la demande, le secteur d’activité et les exigences de

productivité, les systèmes manufacturiers ont connu une évolution marquée qui a poussé les

spécialistes du domaine à proposer une classification permettant plus de facilité à choisir le

meilleure système adapté à un besoin spécifique.

Parmi ces systèmes on peut citer les trois systèmes les plus connus (Zhang et al, 2006) :

- AMS (Adjusted Manufacturing Sustems) : les systèmes manufacturiers ajustables

ou réglables sont composés d’une série de machines réglables, qui peuvent être

utilisés dans la production d’une gamme limité de produits.

- DMS (Dedicated Manufacturing Systems) : Les systèmes manufacturiers dédiées

sont des systèmes consacrés à fabriquer un seul produit avec une grande capacité de

production (Production en masse), la possibilité de changement de produit ou

d’apporter une modification sur le système est presque impossible ou très coûteuse.

- FMS (Flexible Manufacturing Systems) : Les systèmes manufacturiers flexibles se

caractérisent principalement par leurs capacités de fabriquer une variété de produits

mais avec une capacité de production très limitée.

9

Donc les AMS sont composés d'une série de machines ajustables, qui peuvent être utilisés

pour la production d'une gamme étroite de pièces. Citant à titre d’exemple l’AMS qui a été

construit à l’usine Moscou Krasny Proletary en 1958. Il a été conçu pour la fabrication de

dix types de roues dentées cylindriques avec un diamètre extérieur allant de 80 à 220 mm et

un module de 1,5 à 5mm. Le taux de sortie est 120000 pièces par an dans des lots de 1000

pièces. Le temps nécessaire pour la commutation d'un type de travail à un autre est 3.5-4

heures. De nos jours ce type de système même s’il existe n’est efficace que dans un

contexte très particulier. Concernant les DMS, ils sont adaptés pour produire une très petite

variété de pièces à des taux de production relativement élevés et à moindre coût par pièce.

Ils ne fournissent pas beaucoup de flexibilité en termes de types de produits et de volume

de production. L'avantage principal des DMS est la rentabilité puisque le volume de

production est très élevé. Le plus grand inconvénient des DMS est qu'ils sont adaptés à la

fabrication d’une gamme de produit restreinte de façon qui le limite face à d’éventuels

changements exigés par les clients. Dans le cas où un changement majeur dans le design du

produit est nécessaire, une grande partie du système doit être changé ou même tout le

système doit être reconstruit (Zhang et al, 2006). Par contre, comme mentionné

précédemment les FMS sont adaptés pour produire une grande variété de produits.

Cependant, ce type de systèmes a des taux de production plus faibles comparativement à

ceux d’un DMS qui se traduisent par un coût plus élevé par pièce. Un FMS se compose

généralement de machines CNC (Computer Numerical Control), centres de tournage et

autres machines programmables. C’est un système de fabrication automatique avec une

grande souplesse et, par conséquent, il est adapté pour la production de plusieurs produits

aves des petites séries. Les principaux inconvénients d'un FMS sont le coût, la complexité

et les taux de production faibles (Zhang et al, 2006).

1.2.4. Les systèmes manufacturiers reconfigurables

1.2.4.1. Définition Suite aux différentes inefficiences des autres systèmes manufacturiers, les RMS

« Reconfigurable Manufacturing Systems » sont apparus. Selon Bi et al. (2008), un RMS

est un paradigme intermédiaire entre la production de masse et système de fabrication

flexible (FMS) qui peut répondre aux exigences de réactivité du marché à un coût

10

raisonnable comparativement aux systèmes traditionnelles (Koren, 2006). Selon Koren et

al. (1999): un RMS est conçu dès le départ pour un changement rapide de la structure, ainsi

que dans les composants matériels et logiciels, afin d'ajuster rapidement la capacité de

production et la fonctionnalité dans une famille de produits en réponse à des changements

soudains dans le marché ou dans les exigences réglementaires. Le RMS a combiné la

caractéristique du taux de production élevé du DMS et la caractéristique de flexibilité du

FMS.

Les deux termes qui s’associent toujours avec le RMS sont la reconfigurabilité et la

réactivité. Définissions ci-dessous ces deux termes.

D’après Merhabi et al. (2000), la reconfigurabilité d’un système manufacturier est la

possibilité de l’ajout, de la suppression ou de la modification des fonctionnalités, de la

commande, de la structure des machines ou du processus du système en réponse aux

changements de la demande du marché en produits, en volumes ou en technologies.

Quant à la réactivité (Responsiveness), elle constitue un attribut qui permet aux

systèmes de fabrication de lancer rapidement de nouveaux produits sur les systèmes

existants et de réagir rapidement et de manière rentable à l'évolution du marché, des

commandes des clients, règlements et les défaillances du système.

L'évolution du marché comprend:

- Les variations de la demande de produits

- Les changements dans les produits actuels

- Le lancement de nouveaux produits

1.2.4.2. L’applicabilité du RMS

Comme décrit précédemment le RMS est un système de fabrication réactif (responsive

manufacturing system) dont la capacité de production est réglable aux fluctuations de la

demande sur le marché et dont la fonctionnalité est adaptable à de nouveaux produits. Donc

le RMS lors de son application traite l’un des deux volets suivants (évolutivité,

fonctionnalité) ou les deux ensembles et c’est ce qu’on trouve généralement dans la

littérature.

Ces deux volets peuvent être décrits comme suit :

• L'évolutivité (Scalability) :

11

L'évolutivité (Scalability) : est une caractéristique essentielle des systèmes manufacturiers

reconfigurables. Elle permet à la capacité du système en termes de quantité produite d'être

rapidement et à moindre coût ajustée aux variations brusques de la demande du marché.

Dans quelques articles elle est appelée « Scalable RMS » (Spicer et Carlo, 2007)

• Fonctionnalité (Functionnality) :

Fonctionnalité (Functionnality) : est une autre caractéristique des systèmes manufacturiers

reconfigurables. Elle permet au système de s’ajuster aux demandes de nouveaux produits

(type) et ce, à travers le changement des configurations installées sur le système. Le

changement de la configuration va permettre ainsi au système de produire le nouveau type

de produit selon une capacité préétablie afin de s’adapter aux changements qui affectent la

demande des produits d’une période à l’autre.

1.2.4.3. Les types de reconfiguration : La figure 3 illustre les différents types de reconfiguration qui touche un RMS, ces

reconfigurations peuvent être (Mehrabi et al, 2000) :

• Dans la structure du système : réorganiser les machines suivant une configuration

série, parallèle ou hybride,

• Une reconfiguration logicielle du système,

• Une reconfiguration dans le système de contrôle associé au système,

• Une reconfiguration au sein d’une machine du système : par exemple ajouter ou

supprimer des modules, changement de quelques composants…

• Une reconfiguration dans le processus de fabrication du système.

Figure 3: les différents aspects de reconfiguration adaptée de Mehrabi et al. (2000)

Les types de reconfiguration

Système Logicielle Contrôle Machine Processus

12

1.2.4.4. Les différentes caractéristiques du RMS Pour que le système soit reconfigurable, il doit posséder des caractéristiques de base.

Donc pour permettre un haut degré de réactivité du système face aux besoins du marché, les

caractéristiques suivantes devraient être intégrées dans le système reconfigurable au stade

de la conception (Koren et al, 1999).

Figure 4: les caractéristiques du RMS selon Koren

• Modularité : tous les principaux composants doivent être modulaires. Ils

comprennent des éléments structurels, des axes, des contrôles, des logiciels et de

l’outillage. (du Preez, 2011).

• Intégrabilité : la capacité d'intégrer des modules rapidement et précisément par un

ensemble d'interfaces mécaniques, informationnelles, et de contrôle qui permettent

l'intégration et la communication.

• Diagnostabilité : la capacité de lire automatiquement l'état actuel d'un système et les

contrôles afin de détecter et de diagnostiquer les causes profondes des défauts, et

ensuite corriger les défauts opérationnels rapidement.

• Evolutivité : la possibilité de changer facilement la capacité de production existante

en réorganisant un système de production existant, et / ou en changeant la capacité

RMS

Modularité

Intégrabilité

Diagnostabilité

Évolutivité

Convertibilité

Personnalisation

13

de production de composants reconfigurables (par exemple, machines) au sein de ce

système.

• Convertibilité : la capacité de transformer facilement la fonctionnalité des systèmes

existants, des machines et des contrôles en fonction de nouvelles exigences de

production.

• Personnalisation : la capacité d'adapter la flexibilité personnalisée (non-général) des

systèmes de production et des machines pour répondre aux nouveaux besoins au

sein d'une famille de produits similaires.

1.2.5. Comparaison par rapport aux autres types de systèmes manufacturiers

Cette section présente une étude comparative des RMS par rapport aux autres types de

systèmes manufacturiers mentionnés ci-dessus. Afin d’évaluer la performance de chaque

type de système, Zhang et al (2006) ont introduit le concept de l’indicateur du degré de

satisfaction (SDI) qui est la mesure du degré de satisfaction de la performance d'un

système. Il varie entre ‘0’ et ‘1’ avec ‘0’ indiquant la pire performance du système analysé

et ‘1’ la meilleure performance. Une analyse du SDI peut nous donner l'idée de choisir le

système le plus approprié.

Les résultats de l’étude menée Zhang et al. (2006) sont présentés dans le tableau

suivant:

Tableau 1:SDI pour chaque type de système adapté de Zhang et al. (2006)

Système SDID SDIM SDIRC SDIRU SDIO SDIRM SDI DMS 0.7 0.7 0 0 1 0 0.51 AMS 1 1 0.3 0.3 0.8 0.6 0.76 FMS 0 0 1 1 0 1 0.27 RMS 0.9 0.9 0.8 0.8 0.6 1 0.87 COi 0.08 0.57 0.1 0.05 0.08 0.12

• D: coût de conception : il comprend tous les coûts engendrés par la conception du

système de fabrication: planification des processus, la conception technique, les

tests, l'évaluation et la documentation de conception.

• M: coût de mise en place : il constitue l'élément de coût le plus important dans

l'équation de coût. Dans la réalisation d'un système manufacturier, le coût est

14

composé des frais de matières, coût de main d’œuvre, coût des équipements et le

coût de gestion.

• RC: coût de reconfiguration : est le coût de reconfigurer (ou d’ajuster) le système

pour satisfaire aux exigences de la demande (en type ou volume). Il se compose du

coût de l’opération de reconfiguration.

• RU: coût du Ramp-up : est le coût engendré par la perte de performance du système

après une opération de reconfiguration. Ce coût est proportionnel au temps de

Ramp-up correspondant au temps nécessaire pour que le système arrive à un régime

de production stable égal à la capacité désirée.

• O: coût d’opération : est le coût de fonctionnement du système manufacturier, qui

comprend le coût de l'énergie, le coût de la consommation en matières, le coût de

gestion, le coût de maintenance, et ainsi de suite.

• RM: est le coût de recyclage / élimination du système après la fin du cycle de vie.

Cette analyse montre clairement que le RMS dispose du meilleure SDI avec un taux de

0.87 ce qui le classe en premier par rapport aux autres systèmes manufacturiers.

Au cours de son existence, un RMS sera reconfiguré plusieurs fois pour s'adapter au

marché en termes de volume de production (capacité) et de type de produits (modification

de la fonctionnalité). Une période de réchauffement (Ramp-up) pour rééquilibrer les

machines doit suivre chaque reconfiguration. Ci-dessous une figure qui illustre le processus

de fonctionnement d’un RMS suivant plusieurs reconfigurations permettant de s’adapter au

marché en termes de volume de production « capacité » (axe volume dans la figure) et

types de produits « fonctionnalité » (axe Time dans la figure).

Figure 5: Processus de fonctionnement d'un RMS

15

Le temps de reconfiguration est la période de temps nécessaire à la reconfiguration du

système. La reconfiguration d'un système comprend la réorganisation des équipements,

l’ajout de nouveaux modules, l’ajout ou la suppression de machines, etc.

Le temps de montée en puissance (Ramp-up) est le temps nécessaire pour que le

système de fabrication atteigne un état normal de production après une opération de

reconfiguration et ce, en terme de qualité et de vitesse de production. Le temps de montée

en puissance comprend le temps de pré-production et le temps de réglage.

Conformément à l’étude menée dans Mehrabi et al. (2000), ce nouveau paradigme

appelé système manufacturier reconfigurable, permettra la flexibilité non seulement dans la

production d'une variété de pièces, mais aussi à changer le système lui-même. Un tel

système sera créé en utilisant des modules de processus de base (soit matériels ou logiciels

ou les deux) qui seront réarrangés rapidement et de manière fiable. L’avantage principal est

que ces systèmes ne risquent pas de devenir obsolète, parce qu’ils permettront un

changement rapide des composants du système.

Ce système sera ouvert, de sorte qu'il peut:

(i) s’améliorer de façon continue par l'intégration de nouvelles technologies,

(ii) être rapidement reconfigurable pour accueillir les futurs produits et les

changements dans la demande de produits.

Les SMR ne vont pas coûter plus chère que les FMS ou même les DMS (Mehrabi et al,

2000). Contrairement aux autres types de systèmes, le RMS a pour but d'être installé avec

la capacité de production exacte et la fonctionnalité nécessaire, et peut être mis à niveau (en

termes de capacité et de fonctionnalité) dans l’avenir, en cas de besoin. L’expansion de la

fonctionnalité permet la production d'une variété de types de pièces plus complexes sur le

même système.

Comme mentionné précédemment les DMS ont une capacité très élevé mais une

fonctionnalité limitée (Koren et Ulsoy, 1997). Ils sont très rentable tant qu’on fabrique un

seul type de produit et la demande dépasse l’offre c’est-à-dire fonctionne à 100%. Mais

connaissant le marché de nos jours qui devient de plus en plus incertain et la concurrence

qui ne cesse de s’acharner, on peut avoir des situations où le DMS ne fonctionne pas à

pleine capacité ce qui crée des pertes pour l’entreprise. Concernant les FMS ils sont

caractérisé par une fonctionnalité très élevé c’est-à-dire ils peuvent fabriquer une variété

16

importante de produits. Mais leur problème figure au niveau de la capacité qui est très

limité. Les RMS offrent un compromis entre les deux avec une capacité et une

fonctionnalité variables dépendamment des configurations installées sur le système

(Mehrabi et al, 2000).

La figure suivante positionne les RMS par rapport aux deux principaux types de systèmes

manufacturiers qui existent sur le marché dans un repère qui prend en compte en même

temps la capacité de production et la fonctionnalité (variété de produit).

Figure 6: Positionnement du RMS par rapport au DMS et FMS

1.2.6. La fiabilité

Dans la littérature, la fiabilité possède plusieurs définitions; ces définitions dépendent

généralement du domaine d’application. Mais la définition commune est que ‘’la fiabilité

décrit la capacité d'un système ou d'un composant à fonctionner dans des conditions bien

déterminées pour une période de temps spécifiée’’. (Geraci et al, 1991).

On a remarqué que deux termes sont toujours associés à la fiabilité : la qualité et la

maintenance.

Concernant la qualité elle est définie comme « une mesure de confiance que le produit est

conforme aux spécifications au moment de quitter l'usine » (Li et al. 2012). Plusieurs

Capacité (pièce/année)

Fonctionnalité (variété de produit)

DMS

RMS

FMS

17

chercheurs ont établi un lien entre la panne ou la dégradation d’un système et la qualité des

produits. Une étude faite par Jin et al. (2001) a montré qu’il y a une relation très

importante entre la fiabilité et la qualité. La figure ci-dessous illustre cette relation :

Figure 7: L'effet de la coopération entre la qualité et la fiabilité

Concernant la maintenance elle est abordée suivant deux options : elle peut s’agir d’une

maintenance corrective c’est-à-dire une réparation du système qui peut être soit partielle ou

totale ou au début du fonctionnement du système comme elle peut concerner une

maintenance préventive, c’est-à-dire le fait de prévoir une non-fiabilité dans le futur et

effectuer les mesures nécessaires afin de l’éviter.

Le terme fiabilité nous concerne vu que le système que nous nous proposons d’étudier dans

ce travail de recherche est un système non fiable qui peut être sous plusieurs états. La partie

suivante expliquera un cas de non fiabilité classique avec deux états : un état de panne et un

état de fonctionnement. Ce cas classique est modélisé à l’aide des chaines de Markov.

1.2.7. Modélisation mathématique à l’aide des chaînes de Markov

« Le futur ne dépend que de l’état présent » est la propriété principale d’une chaine de

Markov. La chaîne de Markov est régit par un processus stochastique, elle a été développée

http://www.tandfonline.com.acces.bibl.ulaval.ca/action/doSearch?action=runSearch&type=advanced&searchType=journal&result=true&prevSearch=%2Bauthorsfield%3A()

18

au début par le mathématicien Andrei Markov au début du 20ème siècle, suivi par

Chapman et Kolmogorov.

Cette modélisation permet d’étudier le comportement d’un système à l’aide d’un graphe

orienté. Dans ce graphe, on possède les états que le système peut prendre, une transition

entre deux états est appelée un taux de transition lorsque le temps est continu et elle est

appelé probabilité de transition lorsque le temps est discret.

L’exemple de base est le cas d’une seule machine. Cette machine peut avoir des pannes et

réparations aléatoires. On définit α(t) une variable discrète qui présente l’état de la

machine. Supposons qu’un processus Markovien à temps continu et à espace d’état discret

fini génère l’état de la machine.

𝛼(𝑡) = �1 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑜𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑒0 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑛𝑒

Le processus markovien signifie que la durée moyenne de fonctionnement de la machine et

la durée moyenne de réparation de la machine sont des variables qui suivent une

distribution exponentielle avec un taux de panne q10 et un taux de réparation q01.

On désigne par MTTF (Mean Time To Failure) la durée moyenne de fonctionnement de la

machine et par MTTR (Mean Time To Repair) la durée moyenne de réparation de la

machine.

On présente dans la figure suivante le diagramme de transition d’une chaine de Markov à

deux états.

Figure 8: Diagramme de transition de la chaîne de Markov à deux états

19

On désigne ainsi la matrice de transition suivante :

𝑃 = �1 − 𝑞10 𝑞10𝑞01 1 − 𝑞01

� 0 < 𝑞10, 𝑞01 < 1

On réfère le lecteur à Gershwin (1994) pour plus de détails.

• Probabilités limites :

En régime stationnaire, c’est à dire lorsque t tend vers l’infini, et avec

(1 − q01 − q10 ≤ 0), on peut ressortir les relations suivantes qui nous permettent de

calculer la probabilité limite de chaque état (Gershwin, 1994) :

𝑃(0) =

𝑞10𝑞10 + 𝑞01

; 𝑃(1) = 𝑞01

𝑞01 + 𝑞10

1.3. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons décrit brièvement les principaux termes techniques qu’on aura

besoin plus tard dans ce mémoire. On a commencé par les systèmes manufacturiers en

général puis la présentation de ses différents types pour arriver à la description de la classe

des systèmes manufacturiers sous étude, notamment les RMS. Ensuite, on a décrit la

fiabilité qui occupera une place importante dans notre étude.

Dans le prochain chapitre, on abordera une revue littérature sur les systèmes manufacturiers

reconfigurables et les différentes modélisations mathématiques qui ont été faites jusqu’à ce

jour. On présentera ensuite la problématique et notre méthodologie de travail.

20

21

CHAPITRE 2

POBLÉMATIQUE ET REVUE DE

LITTÉRATURE

2.1. Introduction Après avoir présenté quelques notions de base dans le premier chapitre, le présent chapitre

abordera tout d’abord les objectifs de la recherche ensuite une revue de littérature

permettant de revenir sur les travaux existants et les contributions escomptés de ce travail

de recherche. La méthodologie proposée pour résoudre la problématique de ce travail

conclura ce chapitre.

22

2.2. Problématique de recherche La réalité des entreprises manufacturières a connu un virage marqué au cours du 20ième

siècle et plus particulièrement à la fin de ce siècle alors que la concurrence a pris une

dimension internationale. Cette réalité a eu un impact indéniable sur l’offre et la demande

et plus particulièrement sur le lancement plus fréquent de nouveaux produits et sur les

fluctuations importantes dans la demande. Afin de demeurer compétitives, les entreprises

manufacturières doivent faire appel à des systèmes qui permettent l’atteinte de trois

objectifs : produire à moindre coût, garantir une qualité supérieure et détenir les capacités

de réagir à un changement dans l’environnement en temps opportun (Koren, 2006). Les

systèmes manufacturiers reconfigurables (RMS) sont considérés comme la nouvelle

révolution des systèmes manufacturiers, un des paradigmes les plus efficaces pour répondre

à une grande partie des exigences manufacturières comparativement aux systèmes

traditionnels (i.e., systèmes : dédiés, flexibles, ajustables) (Bi et al, 2008; Zhang et al,

2006). Un système manufacturier reconfigurable est un système conçu pour changer de

structure très rapidement (système physique et informatique) dans le but d’ajuster

rapidement sa capacité de production en fonction des changements brusques de la demande

ou ceux de l’état physique du système lui-même (Koren et al, 1999, Koren, 2006).

Plusieurs études et travaux de recherche se sont penchés sur des problématiques relatives à

la conception et au pilotage des SMR pour atteindre des objectifs de productivité et de

réactivité aux changements brusques de la demande des clients. Toutefois, l’étude de cette

problématique dans le but de développer des stratégies de contrôle de ces systèmes dans un

environnement manufacturier non-fiable demeure ouverte.

On considère une entreprise manufacturière qui a conçu ses installations suivant des

propriétés qui répondent au paradigme RMS (voir chapitre 1). Ce système de production est

caractérisé par sa capacité de produire plusieurs produits de la même famille et aussi

d’ajuster sa capacité de production suivant la demande du marché. La capacité de produire

plusieurs produits et l’ajustement des installations est possible suivant des règles

préétablies. Ces règles réfèrent principalement aux différentes configurations que le

système détient. Chaque configuration se caractérise par ses propriétés intrinsèques

(fiabilité, coût de reconfiguration…) et sa capacité de produire un ensemble de type de

23

produit connu à des conditions différentes (rythme de production, coût de production,

ramp-up...). Dans ces conditions, il est clair que des compromis existent dans le sens où

dépendamment des conditions de la demande (type et volume d’une période à l’autre), la

séquence des configurations à installer sur le système aura un impact majeur sur les

performances finales en termes de capacité à répondre à la demande et le coût total

encouru. L’entreprise a des prévisions à moyen terme sur la nature de la demande du

marché du point de vue type des produits et quantités demandées à chaque période. Ces

prévisions sont considérées dans notre problème comme des commandes fermes. Cette

hypothèse sera relaxée au chapitre 4 pour étudier plus en profondeur l’impact d’une

demande aléatoire sur les décisions et le coût encouru.

La figure 11 suivante illustre les processus du système considéré. Elle met en évidence

essentiellement le flux d’information qui servira à sélectionner la configuration à installer

d’une période à l’autre. Ce flux provient du marché (type de produit et volume de la

demande) et des propriétés du système.

Figure 9: Structure du système manufacturier sous-étude

Étant donné le compromis important entre les coûts de reconfiguration, de production, de

stockage et de pénurie, le principal objectif de ce travail de recherche consiste à proposer

une stratégie adaptative qui permet un meilleur choix de la séquence de configurations et un

meilleur contrôle du rythme de production du système afin de minimiser le coût total

encouru sur un horizon fini de planification. On reviendra sur le problème à résoudre ainsi

que et ses caractéristiques d’une façon plus détaillé dans le prochain chapitre.

24

2.3. Revue de littérature Dans cette section, nous allons présenter une revue de littérature sur les études de recherche

qui ont touché de prêt ou de loin les systèmes manufacturiers reconfigurables dans un

contexte de prise de décision. On va diviser cette revue en deux grands volets : le premier

volet abordera le sujet pour les travaux qui ont traité le problème à un niveau tactique de

décision. Le deuxième volet sera consacré aux travaux qui ont commencé à aborder la

question de la prise de décision opérationnelle d’une façon dissociée ou intégrée avec le

niveau tactique. Tout au long de cette section, on s’attardera sur la contribution du travail

de recherche cité ainsi que les caractéristiques du système RMS considéré, et ce, dans un

contexte statique-déterministe ou dynamique-stochastique.

2.3.1. Décision de reconfiguration à un niveau tactique

Selon Schmidt et Wilhelm (2000), le niveau tactique concerne l’établissement des

politiques de gestion des flux de matières, y compris les niveaux de production dans toutes

les usines, la politique de l'assemblage, les niveaux de stocks et la taille des lots. Il traite les

flux des produits et composants à partir des fournisseurs, et ce, jusqu’aux clients finaux. Le

niveau tactique traite un horizon de temps variant généralement entre 6 et 24 mois.

Plusieurs articles se sont concentrés sur le niveau tactique de la hiérarchie de décision lors

de l’élaboration du modèle d’aide à la décision des RMS.

On commence tout d’abord par l’un des travaux les plus récents de Wang et Koren (2012).

Dans ce travail, les auteurs considèrent qu’ils peuvent ajouter ou supprimer des machines

pour répondre aux nouvelles exigences de capacité du système. Cette approche utilise un

processus de planification de l'évolutivité (Scalability) qui change en même temps la

configuration du système et rééquilibre le système reconfiguré. Ce système d’aide à la

décision développé permet de donner le nombre de machines à ajouter/supprimer à chaque

étage du système afin de répondre à la demande du marché d’une façon optimale. Une

approche d'optimisation basée sur un algorithme génétique est développée pour déterminer

le moyen le plus économique pour reconfigurer un système existant. L'approche proposée

est validée par une étude de cas d'un système à base de CNC pour l’usinage d’une culasse

d’une automobile. Cet article a traité la caractéristique de l’évolutivité des RMS.

25

Une autre étude a suit une logique semblable dans l’architecture du RMS. Cette étude

menée par Spicer et Carlo (2007) ne considèrent pas des machines à ajouter ou à supprimer

mais plutôt une structure de système composée de bases et de modules. Le modèle

développé permet de prendre une décision sur le nombre de bases et de modules à installer

sur le système afin de répondre à une demande déterministe du marché sur un horizon fini.

Le modèle proposée figure parmi les rares qui ont détaillé la fonction coût de

reconfiguration. Le modèle a été résolu à l’aide de la programmation dynamique (DP).

Ensuite, une heuristique qui combine la programmation en nombre entier et la

programmation dynamique (IP-DP) a été développée afin de réduire le temps de résolution.

L’étude a pris en compte le coût de main d’œuvre, le coût de manque de capacité et le coût

d’investissement/récupération dû à la reconfiguration du système et du Ramp-up dans la

fonction objectif. Dans cet article, seulement la caractéristique de l’évolutivité du RMS a

été traitée en plus plusieurs paramètres opérationnels n’ont pas été considéré (tel que les

pannes, les livraisons,..).

Kuzgunkaya et ElMaraghy (2007) considèrent aussi une structure RMS de bases et de

modules qui peuvent être installés ou supprimés afin de s’ajuster au volume de la demande

qui varient d’une période à une autre. De plus, les auteurs considèrent qu’il y a une

possibilité de sous-traitance si le système est incapable de répondre à la totalité de la

demande du marché. Dans le même ordre d’idée que l’article précédent, Du Preez (2011) a

considéré les décisions de reconfigurations sur un horizon fini. Ces configurations

comprennent le nombre de bases et de modules à installer à chaque période. Cet article

présente un modèle d'optimisation multi-objectif en nombres entiers mixte pour évaluer les

investissements dans les systèmes manufacturiers reconfigurables utilisés dans un

environnement où la demande du produit est variable. Ce travail présente aussi une

comparaison entre un FMS et un RMS dans une étude de cas afin d’évaluer la performance

de la stratégie développée et d’identifier ses limites d’application. Cette recherche n’a traité

que la caractéristique de l’évolutivité du RMS et n’a pas considéré des décisions

opérationnelles.

Deif et ElMaraghy (2006) ont résolu le problème de gestion de la capacité (Scalability)

dans les RMS en utilisant la programmation dynamique. Le modèle utilise une fonction de

26

coût qui comprend à la fois le coût de production lié à la capacité physique du système et

les coûts de reconfiguration du système. Le résultat présenté propose un plan optimal de

l'évolutivité de la capacité pour le RMS considéré. Le plan détermine les niveaux optimaux

associés aux configurations choisies sur tout l'horizon de planification. En d’autres termes,

quand mettre à jour la capacité ?, et de combien la capacité devrait être mise à l'échelle ? La

robustesse de la stratégie développée a été supportée par des analyses de sensibilité

permettant de mesurer l’effet des paramètres du coût de la reconfiguration sur les décisions

et la performance du système. Cependant, les auteurs ont négligé les incertitudes du

marché. De plus, le modèle développé couvre seulement le niveau de décision tactique et ne

considère pas la prise de décision au niveau opérationnel.

Dans la série des quatre articles de Xiaobo et al. (2000a, 2000b, 2001a, 2001b), la question

de l’architecture du RMS n’a pas été abordé ce qui correspond à la même vision des autres

travaux cité précédemment. Les auteurs ont considéré qu’on dispose de plusieurs

configurations et chaque configuration est capable de fabriquer un certain nombre de

produit. Ils étaient les pionniers à développer un modèle stochastique qui a donné un aperçu

complet de la modélisation stochastique des RMS. Leurs recherches portent notamment sur

trois importants facteurs dans la mise en œuvre d’un RMS: les configurations optimales

dans le stade de la conception, la politique de sélection optimale dans la phase d'utilisation

et la mesure des performances dans la phase de l'amélioration proposée. Dans leur premier

article, ils proposent un cadre pour un modèle stochastique d'un RMS afin de répondre aux

facteurs décrits précédemment. Un exemple est donné à titre d'illustration et des discussions

sont présentées pour faire le lien avec les trois autres articles. Dans le deuxième article,

comme il existe plusieurs configurations possibles pour chaque famille de produits, les

auteurs se sont posé la question à propos des configurations optimales pour chaque famille.

En se basant sur un modèle stochastique, un problème d’optimisation a été développé afin

de répondre à cette question. Un algorithme est proposé pour résoudre le problème

d’optimisation. Afin d’améliorer le temps de résolution, un autre algorithme est proposé

pour la résolution des problèmes à grande échelle (Xiaobo et al, 2000b). Leur troisième

article était axé sur la politique de sélection optimale (Xiaobo et al, 2001a). Le dernier était

centré sur les mesures de la performance du système à considérer afin d'optimiser le

27

nombre maximal de commandes acceptées quand il y a une forte fluctuation de la demande

du marché (Xiaobo et al, 2001b).

Contrairement à la définition de Koren (2006) où il affirme qu’un RMS est conçu pour

ajuster rapidement la capacité de production et la fonctionnalité à l'intérieur d'une famille

de produits c’est-à-dire que chaque type produit est fabriqué par une configuration, Xiaobo

et al. (2000a, 2000b, 2001a, 2001b) ont considéré le RMS comme un système de

fabrication dans lequel une variété de produits similaires requis par un client est classée

dans une famille. Chacune d’elle est un ensemble de produits qui nécessite une seule

configuration du RMS. Donc, avec une seule configuration on peut fabriquer une famille de

produits et non pas juste un seul type de produit. Ces configurations possibles possèdent

différentes vitesses de production, coûts de production et coûts de changement de

configuration. En récapitulant, dans cette série d’articles de Xiaobo et al. les auteurs ont

considéré seulement la caractéristique de l’ajustement du système avec la demande du

marché en termes de la fonctionnalité du produit et ils ont traité le système juste au niveau

tactique avec les paramètres suivants : coût de production et coût de changement de

configuration.

Ces travaux ont tous abordé le sujet des systèmes manufacturiers reconfigurables en

utilisant des paramètres tactiques. Ça parait très bien que même si les travaux cités ont

abordé le même niveau de la hiérarchie de décision avec des paramètres similaires, ces

travaux de recherche semblent être hétérogènes et chacun a son point de vue du problème et

sa manière de le modéliser. Dans la partie suivante, on abordera les travaux de recherche

qui ne se sont pas limités au niveau tactique. La prise en considération de l’évolution à

court terme du système avec les variables de décision et paramètres opérationnels permet

de couvrir une dimension permettant de s’approcher plus du contexte dynamique réel.

2.3.2. Décisions de reconfiguration intégrant les niveaux tactique et opérationnel

Au cours de la prise de décision de la reconfiguration, plusieurs paramètres entrent en jeu.

Comme mentionné dans la section précédente, plusieurs auteurs se sont concentrés sur des

variables et paramètres découlant du niveau tactique de la hiérarchie de décision vu que la

28

décision de reconfiguration doit se prendre dans un horizon moyen terme. Or, l’intégration

des paramètres du niveau opérationnel peut affiner cette prise de décision et l’améliorer. Le

niveau opérationnel concerne généralement l’exécution des opérations afin d’assurer une

livraison à temps des produits finis ainsi que le respect et l’ajustement des plans établis

(Mehrabi et al, 2000).

Abbasi et Houshmand (2011) se sont concentrés sur la phase d'utilisation d'un RMS et la

mise en place d'une méthodologie pour ajuster efficacement les capacités de production

évolutives (scalability) et les fonctionnalités du système aux exigences du marché. Ils

considèrent qu’un ensemble de configurations possibles pour chaque famille de produits

existe et ayant chacune son taux et coûts de production. Le taux d’arrivée des ordres

appartenant à chaque famille de produit est considéré aléatoire suivant une distribution de

poisson. L’objectif de ce travail est de déterminer «l’arrangement optimal» qui maximise le

profit total et qui respecte les conditions ou contraintes du système. Un «arrangement»

selon les auteurs est défini par le nombre de ses séries (une série est composée d’une

opération de production avec une même configuration), la séquence des familles de

produits sélectionnées, les configurations sélectionnées et les tailles des lots. L’approche de

résolution combine une approche de programmation non linéaire en nombre entiers mixte

et un algorithme génétique. Les auteurs considèrent le coût de stockage, de production et

de reconfiguration et aussi le temps requis pour changer la configuration du système. Ils ont

considéré que les ordres sont perdus s’ils ne sont pas satisfaits immédiatement.

Matta et al. (2008) considèrent aussi un système qui dispose d’un ensemble de

configurations et que chaque configuration est caractérisée par sa capacité de produire un

ensemble de produits bien déterminé avec des taux de production différents. Ils supposent

que la fonctionnalité du système (la configuration installée) doit être au minimum égale à la

fonctionnalité du produit, tout en considérant que le passage d’une configuration à une

autre requiert un coût de reconfiguration. Leur étude donne comme résultat la séquence

optimale de reconfiguration pour un problème multi-période tout en minimisant le coût

total. La demande considérée en termes de quantité de produit et d’exigences technologique

(type de produit) suit une distribution uniforme. C’est un problème multi-périodes sur un

horizon fini qui a été résolu par la programmation dynamique. En plus des coûts de

29

production et des coûts de changements de la configuration, ils ont considéré quelques

paramètres opérationnels tels que le coût de pénurie et le coût de production durant la

période de la montée en puissance (Ramp-up).

Asl et Ulsoy (2002) évoquent le problème de gestion de la capacité de production avec une

demande stochastique du marché sur un horizon fini. Ils considèrent que le système est

composé d’un ensemble de ‘’modules de capacités’’ qui peuvent être installés au besoin sur

le système afin de répondre à la demande du marché. Cet ensemble est appelé «Scalability

set». La politique optimale présentée est basée sur la théorie de décision markovienne. La

fonction objective considérée intègre le coût de production, de changement de la

configuration, de stockage et de pénurie. Ils intègrent aussi dans leur modèle un temps de

retard important entre le moment où le changement de capacité est planifié et le moment où

il est installé. Cet article traite seulement la caractéristique de l’évolutivité du RMS. Dans

le même ordre d’idée, les mêmes auteurs (Asl et Ulsoy, 2003) ont présenté une approche

basée sur la programmation dynamique et ont montré la connaissance de l’état du système

en rétroaction peut apporter des solutions sous-optimales au problème. Ce dernier article

porte uniquement sur la gestion de la capacité du système à travers la reconfiguration.

Dans le même contexte de la gestion de la capacité (Scalability), Renna (2009) propose une

approche basée sur la simulation pour la résolution de ce problème. Une architecture multi-

agent a été proposée pour la mise en œuvre de la politique de changement de la capacité

dans le RMS sous-étude. Le système considéré est composé de plusieurs lignes de

fabrication, chaque ligne correspond à un RMS. Les décisions considérées dans cette étude

sont : (1) Quand la capacité doit être revue (reconfiguration s’impose) (2) Quelle ligne de

fabrication doit être reconfigurée (3) Combien d’unités de capacité doivent être transférées

d’une ligne de fabrication à une autre. Dans cette étude, en plus des paramètres tactiques

classiques, l’auteur a considéré les paramètres du niveau opérationnel suivants : les pannes,

le temps de set-up et les retards.

En récapitulant, la majorité des travaux ont considéré la reconfiguration du point de vue

gestion de la capacité (Scalability) et peu de travaux ont considéré la gestion des

préférences technologiques (fonctionnalité du produit ou type) selon les exigences du

marché en même temps avec le problème de gestion de la capacité. On remarque aussi que

30

du point de vue intégration des paramètres opérationnels et tactiques dans la prise de

décision le problème reste ouvert. Parmi les éléments qui suscitent notre intérêt, figurent

l’état du système durant la phase d’exécution (en panne, en en défaillance partielle, en

fonctionnement), l’état de l’inventaire et la situation des livraisons. À notre connaissance

pratiquement aucun travail n’a abordé cette problématique. Dans ce travail, nous nous

proposons d’étudier l’intégration de ces paramètres opérationnels avec les décisions de

reconfiguration tactique. Dans une perspective d’exécution et d’ajustement des décisions à

court terme, nous cherchons à développer une stratégie de contrôle qui intègre les décisions

tactique et opérationnel et ce, en fonction des états du système dans le temps.

2.4. Programmation dynamique stochastique et la théorie de contrôle

La programmation dynamique stochastique permet de traiter les problèmes de prise de

décision dans le temps. À l’aide de cette formulation mathématique, nous pouvons aborder

des problèmes de décision dont le système évolue au cours du temps et faisant face à des

évènements et paramètres stochastiques. Cette méthode se base sur le principe de

décomposition de Bellman. Le lecteur intéressé à avoir plus de détails sur la

programmation dynamique stochastique peut se reporter à Bertsekas (1996).

Dans ce qui suit, nous présentons quelques notions de base reliées à cette approche. On

considère un système dynamique qui évolue de manière stochastique au cours du temps, et

ce, en fonction des décisions prises. La formulation en programmation dynamique

stochastique vise à détailler le processus de prise de décision à chaque période de temps et

son impact sur la fonction objectif du problème. Afin d’illustrer la formulation de cette

méthode, considérant une problème de prise de décision sur un horizon fini T. à chaque

instant nous pouvons écrire l’équation de Bellman de sorte à ce qu’une prise de décision à

un instant t doit minimiser le coût à l’instant t encourue suite à la décision prise plus le coût

futur espéré de l’instant t+1 jusqu’à T. Selon le principe d'optimalité de Bellman, la

solution obtenue en solutionnant le problème est optimale. Ceci, à condition bien sûr de

connaître avec exactitude tous les éléments du problème incluant le coût prévu de l’instant t

+ 1 à T. Le principe d'optimalité de Bellman réduit le problème de contrôle au calcul de

cette fonction.

31

La programmation dynamique stochastique est caractérisée par les éléments suivants :

• Variables d’états du système :

À l’aide des « variables d’états » on peut déterminer l’évolution future du système.

• Fonction objectif :

La « fonction objectif » constitue la finalité de ce problème d’optimisation. Sous la forme

d’un coût à minimiser, un profit à maximiser ou une autre mesure de performance à

optimiser. L’optimisation de cette fonction durant l’horizon d’étude permet de déterminer

la meilleure séquence de décision à prendre.

• Contraintes :

Ce sont les conditions requis qui doivent être satisfaites afin de déterminer la solution à un

problème d'optimisation. Il existe deux types de contraintes: les contraintes d'égalité et les

contraintes d'inégalité.

• Conditions initiales :

Ce sont les paramètres du système fixés au début qui permettent de décrire l’état initial.

• Variables de contrôle :

Par définition les « variables de contrôle » permettent de contrôler l’action par une prise de

décision dans le temps.

Rassemblons ces derniers éléments afin de fournir à un problème de commande optimale

une formulation dynamique stochastique, la formulation ci-après est inspirée de Gershwin

(1994).

𝐹𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓:

min𝐸 � 𝑔�𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)�𝑑𝑡𝑇

0

𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑡𝑒 à:

32

𝑑𝑥𝑗(𝑡)𝑑𝑡

𝑢𝑗(𝑡) − 𝑑𝑗{𝛼(𝑡), 𝑡 ≥ 0}

� 𝐷𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒

𝜏1𝑢1(𝑡) + 𝜏2𝑢2(𝑡) ≤ 𝛼(𝑡)𝑢𝑗(𝑡) ≥ 0 � 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑥(0),𝛼(0)𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 } 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑢𝑗:𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑗

𝑑𝑗:𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑗

Le problème décrit ci-haut est un problème de programmation dynamique puisque le coût

est évalué dans le temps et le choix présent de la variable u (taux de production) influence

l’état futur du système. Les éléments les plus importants de la solution d’un tel problème

sont : la politique de contrôle et la fonction valeur notée J(.) qui est la valeur de la fonction

coût quand la politique de contrôle optimale est adoptée.

Ce problème est considéré comme ‘’un problème de commande optimale stochastique’’.

Afin de le résoudre, il a été démontré que la fonction valeur J(.) doit satisfaire un ensemble

d’équations aux dérivées partielles couplées dites équations Hamilton-Jacobi-Bellman. Ces

équations définissent les conditions d’optimalité du problème et permettent, une fois

résolues, de trouver le contrôle optimal recherché. Or, ces équations dans plusieurs

contextes sont analytiquement difficiles à résoudre, d’où l’apparition de plusieurs

approches de résolution approximatives dont l’approche numérique. Cette dernière vise à

approximer la fonction valeur J dans l’espace d’état du problème. En se basant sur

l’approche de Kushner (1992), plusieurs travaux ont résolus des problèmes de commande

optimale stochastique de façon numérique (Hajji et al. (2009, 2010) et Gharbi et al. (2011)).

Cette approche numérique malgré son efficacité reste limitée face à des problèmes

complexes d’un point de vue modélisation mathématique. De plus, elle permet d’amener

une solution statique et ne peut offrir une représentation dynamique de l’évolution du

système dans le temps. Cette représentation peut s’avérer indispensable pour faire une

33

étude approfondie du système sous étude ou pour mener des études comparatives. Dans la

littérature scientifique, plusieurs auteurs ont eu recours à la simulation et aux approches

d’optimisation basées sur la simulation comme méthodologies complémentaires aux

approches analytiques. Dans ce qui suit un bref aperçu de cette approche.

2.5. La simulation La simulation est définit par Maria (1997) comme ‘’un outil pour évaluer les performances

d'un système, existant ou proposé, sous différentes configurations d'intérêt et sur de longues

périodes de temps’’. De cette définition on peut conclure que mise à part les limites des

approche purement analytique, la simulation est une approche à part entière incontournable

dans différents contextes. Dans un environnement manufacturier, plus particulièrement, la

complexité de la dynamique du système et la présence d’évènements aléatoires font en

sorte qu’un outil permettant de représenter fidèlement le système devient d’une grande

utilité. On peut penser à l’évaluation des performances du système dans son état actuel,

l’analyse de ses performances peut aboutir à des propositions de changement dans la

structure du système ou dans les méthodes de gestion qui le régissent. Ces propositions

peuvent être intégrées dans le modèle de simulation pour mener des études approfondies de

l’impact des changements proposés.

On peut appliquer la simulation dans pratiquement tous les domaines : de la production, la

finance à la santé. On trouve des simulations de files d’attente, machine de production,

aéroports, des entrepôts…etc.

En consultant les travaux de Kenné et Gharbi (2004), Gharbi et al. (2006), Pellerin et al

(2009), on constate que la combinaison de la simulation avec des approches mathématiques

et/ou des approches d’optimisation statistique a permis de résoudre des problématiques

complexes de prise de décision dans le domaine manufacturier.

L’approche élaborée par Carson (2004) énumère les différentes étapes d’un projet de

simulation, cette approche comprend quatre étapes principales et chape étape contient des

sous-étapes. La figure suivante présente ces étapes.

34

Figure 10: Les étapes d'un projet de simulation selon Carson (2004)

35

2.6. Objectifs de la recherche L'objectif principal de ce travail de recherche est de développer et d'évaluer des stratégies

de reconfiguration de systèmes manufacturiers intégrant des aspects de réactivité, de

productivité et de fiabilité et de valider leur applicabilité dans un contexte stochastique et

dynamique. Plus précisément, ce travail de recherche vise à :

1- Proposer une formulation mathématique permettant d’aborder la question de

pilotage des systèmes RMS en intégrant les niveaux tactique et opérationnel de la

hiérarchie de décision tout en intégrant des aspects de réactivité;

2- Développer une stratégie de reconfiguration dynamique qui prennent en

considération les phénomènes aléatoires reliés à la disponibilité du système ainsi que les

décisions de production à un niveau opérationnel, et ce, en proposant une politique de

contrôle de la production suivant les niveaux d’inventaire afin d’assurer le meilleur taux de

livraison à temps qui permet à l’entreprise de minimiser les coûts de retard tout en

minimisant aussi les coûts de stockage;

3- Mener une étude comparative du modèle analytique proposé qui intègre les deux

niveaux tactique et opérationnel dans la prise de décision de reconfiguration par rapport au

modèle qui ne tient pas compte des paramètres opérationnels dans la prise décision de

reconfiguration,

4- Proposer une approche par simulation pour le modèle intégré et effectuer une étude

comparative par rapport à un modèle existant afin de valider l’avantage des stratégies

développées;

2.7. Méthodologie de travail Ce travail de recherche abordera la dynamique des systèmes manufacturiers reconfigurables

dans un contexte de non-fiabilité.

Pour étudier ces systèmes, on considère deux niveaux de la hiérarchie de décision : le

niveau tactique et le niveau opérationnel. Le but est de déterminer la séquence de

reconfiguration optimale du système sous-étude sur un horizon fini, en plus de la séquence

36

de reconfiguration, nous cherchons à développer une stratégie d’exécution au niveau

opérationnel qui adapte les décisions de production en fonction de l’état du système dans le

temps. Le système considéré est non fiable pouvant fonctionner sous plusieurs états.

Notre méthodologie de travail se divise principalement en deux grandes parties :

- Premièrement, on étudiera le problème avec une approche purement mathématique.

Le problème sera ainsi modélisé par programmation dynamique pour adresser le

niveau tactique seulement. Les décisions optimales relatives à la séquence de

reconfiguration sur l’horizon d’étude sera ainsi développée. Ce modèle sera par la

suite intégré au niveau opérationnel avec une approche dynamique stochastique. La

résolution de ce dernier se fera numériquement en solutionnant les équations

d’optimalité HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman). Une comparaison sera par la suite

menée pour montrer les avantages de cette intégration. La stratégie adoptée dans

cette partie est présentée dans la figure 10. On effectuera une étude comparative

entre deux scénarios. Dans le premier scénario, la séquence de reconfiguration

optimale est donnée suite au modèle réalisé au niveau tactique (Partie A), ensuite

cette séquence de reconfiguration est introduite au niveau opérationnel afin

d’incorporer le coût opérationnel dans le coût total d’exploitation et de donner la

politique de contrôle optimale sur l’inventaire (Partie B). Par contre, pour le

deuxième scénario, la séquence de reconfiguration optimale est donnée suite à un

modèle intégré entre les paramètres tactique et opérationnel de la hiérarchie de

décision (Parties C & D).

- Deuxièmement, on étudiera le problème avec une approche expérimentale en

utilisant la simulation, au cours de cette partie on développera un modèle de

simulation complet qui intégrera tous les paramètres du système sous étude. Ce

modèle est conçu pour intégrer les deux niveaux de la hiérarchie de décision (niveau

opérationnel et tactique). A travers ce modèle on montrera les avantages de la

politique de contrôle optimale développée mathématiquement dans différents

contextes (demande aléatoire et sensibilité sur les principaux paramètres du

système). De plus, une étude approfondie visant à montrer les avantages des

37

systèmes manufacturiers reconfigurables en comparaison avec les systèmes

ajustables est menée. Cette approche de simulation est proposée afin de compléter le

travail fait dans la partie analytique et l’enrichir.

Figure 11: Première partie de la méthodologie de travail

A

B

C

D

38

2.8. Contributions de la recherche

Ce travail apporte des contributions très importantes pour l’avancement des connaissances

dans le contexte du contrôle et la gestion des systèmes manufacturiers reconfigurables.

Nous pouvons résumer ces contributions dans les points qui suivent :

• La formulation mathématique d’un modèle d’aide à la décision qui intègre deux

niveaux de la hiérarchie de décision. Comme mentionné dans la revue de la

littérature, la grande majorité des travaux ont considéré les décisions de

reconfiguration des RMS à un niveau tactique sans prise en considération de la

dynamique opérationnelle de ces systèmes. Le modèle développé, en plus de cette

intégration, considère la reconfiguration du point de vue gestion de la capacité

(Scalability) et des préférences technologiques (fonctionnalité du produit ou type).

La prise en considération de la fiabilité du système à un niveau de décision

opérationnelle complète cette vision afin d’étudier le processus décisionnel dans un

contexte le plus proche de la réalité.

• La résolution du modèle formulé nous a permis de développer une stratégie sous

optimale qui intègre les décisions de reconfiguration et de contrôle du rythme de

production. Dans ce contexte, nous avons pu montrer que les stratégies à seuil

critique (HPP) combinées à une séquence de configuration sur l’horizon de

planification donnent d’excellents résultats en comparaison à des décisions

dissociées (détermination de la séquence de configuration puis optimisation des

rythmes de production). À notre connaissance, aucun travail n’a abordé la question

du contrôle dynamique stochastique des RMS ce qui fait de cette formulation un

plus dans ce domaine.

• Dans la littérature plusieurs travaux ont abordé la question des avantages que les

RMS apportent en comparaison aux systèmes de production classique. Nous avons

rapporté ces aspects dans la section 1.2.5 du chapitre 1. Cependant, la majorité de

ces études se sont basées sur des études empiriques. Dans le cadre du chapitre 4 de

39

ce travail, l’analyse du système sous étude avec l’approche de la simulation nous a

permis d’étendre l’analyse de l’approche mathématique et de mener une étude

comparative supportée par des comparaisons statistiques pour montrer les avantages

des RMS pour entres autres absorber la variabilité de la demande et ce, en

comparaison avec les systèmes ajustables (AMS, voir section 4.4). De plus, les

avantages de la stratégie développée numériquement seront étudiés plus en

profondeur dans différents contextes.

2.9. Conclusion Ce chapitre a été consacré essentiellement aux travaux de recherche les plus pertinents qui

ont un rapport soit avec les systèmes manufacturiers reconfigurables ou le processus de

prise de décision pour piloter ces systèmes. Ensuite on a présenté la méthodologie qui a été

adopté durant notre travail de recherche pour finir avec les contributions les plus

importantes de ce projet.

Dans le prochain chapitre, on présentera la première partie de ce travail de recherche, soit la

modélisation mathématique du problème et l’approche de résolution numérique.

40

41

CHAPITRE 3

MODELISATION MATHEMATIQUE ET

APPROCHE DE RESOLUTION

NUMERIQUE

3.1. Introduction Dans ce chapitre, on va commencer tout d’abord par présenter le problème, ensuite une

formulation mathématique sera détaillée. Cette formulation est développée pour permettre

la résolution du problème à un niveau tactique de la hiérarchie de décision d’une façon

dissociée du niveau opérationnel ou d’une façon intégrée avec ce dernier. Une résolution

numérique de ces modèles permettra de trouver des stratégies sous optimales pour piloter le

système sous étude. De plus, plusieurs études de cas et des analyses de sensibilité nous

42

permettrons d’étudier la robustesse de nos résultats et les avantages qu’elles amènent pour

piloter la classe des RMS sous étude.

3.2. Présentation du problème En se basant sur la problématique de recherche du chapitre précédent, on présentera dans

cette section le problème et les différentes stratégies d’expérimentation qui ont été suivies

pour la résolution.

La première décision à prendre dans notre problème consiste à trouver la séquence optimale

de configuration qui doit être installée sur le système durant l’horizon global, et ceci, afin

de répondre aux demandes du marché et minimiser le coût de production total. Ceci en

considérant que le système n’est capable de fabriquer qu’un seul produit pendant une

période. Ces demandes sont considérées déterministes dans un premier temps et sont une

donnée du problème en assumant des prévisions fiables faites par l’entreprise pour les

périodes futures. Du point de vue hiérarchie de décision, à ce niveau, on se place au niveau

tactique et cela est dû au fait que ces décisions sont prises sur des périodes relativement

longues qui varient entre six mois et une année. Lors du passage d’une période à une autre,

la demande du marché peut varier soit au niveau du type du produit à fabriquer, la quantité

de la commande ou les deux caractéristiques ensembles. Ce passage nécessite dans certains

cas une reconfiguration du système manufacturier. La reconfiguration est un processus

complexe qui intègre plusieurs paramètres du système et qui a pour objectif principal de

s’ajuster avec la demande du marché tout en minimisant les coûts encours. Elle consiste à

installer, supprimer ou changer des modules dans le système. Le processus de déroulement

de l’opération de la reconfiguration et le matériel requis dépend de plusieurs paramètres tel

que : la nature du système de production, le champ d’activité… L’étude de ce processus n’a

pas été considérée dans notre étude. Dans le cadre de notre problème, on possède plusieurs

configurations qui peuvent être mise en place sur le système de production. Chaque

configuration est capable de fabriquer un nombre bien défini de produits avec des

conditions différentes (coût, fiabilité..) faisant en sorte qu’il y a des configurations plus

performantes que d’autres. A chaque fois qu’on passe à une configuration plus performante

(plus fiable avec un taux de production plus élevé), on est capable de produire un nombre

plus élevé de produit et ce passage on l’appelle une expansion de la configuration. D’autre

43

part lorsqu’on fait un passage à une configuration moins performante, le système est

capable de produire un nombre moins élevé de produits et ce passage est appelé une

réduction de la configuration.

Bien évidemment, la question qui se pose ici est : pourquoi on n’installe pas la

configuration la plus performante? Puisque avec cette configuration on est capable de

produire la totalité des produits de la famille. Et on se demande aussi: c’est quoi l’intérêt de

faire une reconfiguration à chaque période?

Le choix d’installer dans une période donnée la configuration la plus performante, et ce, en

fonction du type de produit et le volume de la demande coûte certainement plus cher pour

l’entreprise que si le choix était de fabriquer chaque produit avec exactement la

configuration correspondante à son type pour ne pas payer un surplus sur le coût de

production (on l’appelle plus tard une pénalité sur le coût de production). Donc, ici l’idée

qui vient directement est d’ajuster à chaque période les configurations du système afin de

produire juste avec la configuration correspondante à la demande et non pas avec une

configuration plus performante. Or ce passage d’une configuration à une autre occasionne

des coûts aussi et qui risquent d’être élevés (ce coût est appelé plus tard le coût de

reconfiguration qui peut être un coût d’expansion ou de réduction de la configuration).

Donc, l’entreprise est face à une décision très difficile et doit trouver un compris sur la

meilleure séquence de configuration à installer étant donnée tous les coûts qui peuvent être

encourus. De plus, les caractéristiques d’une configuration pour un type de produit en

particulier peuvent faire en sorte que la capacité de production associée ne permet pas de

répondre au volume de la demande pour la période en question. Dans ce cas, soit qu’on

n’accepte pas la totalité de la commande du client et on aura un manque à gagner, soit des

coûts de ventes perdues seront occasionnés. De ce fait, le choix d’une configuration plus

performante peut se justifier si les compromis de coût le permettent.

Notre objectif est de fournir un système d’aide à la décision qui permet de donner la

séquence optimale de reconfiguration sur un horizon fini. Donc, pour la modélisation de

problème on intègre le coût de production, le coût d’expansion de la configuration, le coût

de réduction de la configuration et le coût du manque à gagner.

44

Au niveau du plancher d’usine (niveau opérationnel de décision), les paramètres décrits

ci-dessus semblent être insuffisants puisque tout système de production est sujet à des

pannes aléatoires, d’où la nécessité de prendre en compte des périodes de pannes afin de

déterminer la disponibilité du système. On considère que le système sous-étude peut avoir

trois états : un état de fonctionnement à capacité maximale, un état de fonctionnement à

capacité dégradé et un état de panne. La particularité de notre problème est que les

commandes fermes reçues au niveau tactique sont divisées en des sous-périodes de

livraison. Cela est inspiré de l’industrie automobile lorsqu’une grosse marque d’automobile

signe un contrat avec un sous-traitant. Tout d’abord, les deux compagnies se mettent

d’accord sur la quantité totale du contrat à fabriquer puis sur les dates de livraison en des

petits lots. On considère dans notre étude que les quantités à livrer dans les sous périodes de

livraison sont toujours égaux. Or, à cause des périodes d’indisponibilités du système qui

sont dues aux pannes ou à la production à un faible rythme, il semble être profitable pour

l’entreprise de prendre en compte ces paramètres dans son système d’aide à la décision qui

permet de déterminer la séquence optimale de reconfiguration.

À ce niveau de décision, et à partir du moment où le décideur doit planifier sa production

en fonction de période de livraison à l’intérieur de l’horizon plus large, on adresse la

question de la stratégie à adopter pour assurer des livraisons à temps. Dans un contexte

dynamique stochastique on cherche la meilleure stratégie de contrôle qui minimise les

coûts encourus à ce niveau et qui sont : les coûts de stockage et des retards de livraison.

Dans ce chapitre, le problème sera modélisé mathématiquement dans l’objectif de : (1)

déterminer pour différents cas d’étude la séquence optimale des configurations à installer

d’une période à l’autre et (2) la stratégie de production à appliquer pour chaque période de

l’horizon de planification. L’étude sera aussi étendue pour montre l’intérêt à intégrer les

décisions des deux niveaux de la hiérarchie de décision. Pour ce faire, nous allons résoudre

le problème d’optimisation selon deux stratégies d’expérimentation. La première stratégie

d’expérimentation (figure 12) détermine la séquence optimale à travers les paramètres du

niveau tactique seulement puis intègre cette décision au niveau opérationnel afin de

déterminer le coût total de production. La deuxième stratégie d’expérimentation (figure 13)

intègre les paramètres des deux niveaux de la hiérarchie de décision ensemble (tactique et

45

opérationnel) et nous donne la séquence de reconfiguration optimale et le coût total de

production. En comparant les deux stratégies d’expérimentation, on peut déterminer

l’intérêt de l’intégration du niveau opérationnel avec le niveau tactique dans le même

modèle mathématique. Le modèle développé permet aussi de donner la stratégie de contrôle

optimale de l’inventaire afin de répondre aux livraisons dans les meilleurs délais et

optimiser les ressources de l’entreprise.

46

Figure 12: Première stratégie d’expérimentation

47

Figure 13: Deuxième stratégie d’expérimentation

48

Il s’agit donc d’un problème d’optimisation dans un contexte dynamique et stochastique sur

un horizon fini associé à un problème de détermination de la séquence de reconfiguration

optimale conjointement avec une stratégie de contrôle de la production. D’un point de vue

mathématique, ce type de problème d’optimisation peut être abordé en recourant à la

programmation dynamique stochastique et des notions de la théorie du contrôle optimal.

3.3. Formulation mathématique

Comme décrit précédemment, le problème sous-étude peut être divisé en deux niveaux

suivant la hiérarchie de décision. Le niveau tactique qui adresse principalement la prise de

décision sur des périodes relativement longues (six mois à une année), cette décision se

manifeste par le choix de la meilleure configuration à installer pour chacune des périodes

considérées de l’horizon globale. Le niveau opérationnel adresse les décisions de

production et de livraison à l’intérieure de chacune des périodes de l’horizon tactique, et ce,

en considérant les événements aléatoires de panne et d’état dégradé et des sous-périodes

prédéfinies pour les livraisons.

3.3.1. Niveau tactique

3.3.1.1. Notations et coûts instantanés

Les notations suivantes sont considérées pour la suite du rapport :

i: Indice de la période, i=1,.., I.

𝐶𝑘 : L’ensemble des configurations du système, k=1,.., K.

𝑆𝐹𝑖: La fonctionnalité du système représente la configuration à installer (𝐶𝑘) sur le système

à la période i, (pour des fins de simplifications, on ne considère pas le type de la

configuration dans l’indice mais que la période).

𝑃𝐹𝑖: La fonctionnalité du produit représente la demande du marché en termes de type de

produit à la période i.

49

A(i):L’ensemble des décisions admissibles à la période i. Il faut que 𝑆𝐹𝑖 ≥ 𝑃𝐹𝑖, c’est-à-dire

qu’un type de produit bien déterminé ne peut être fabriqué qu’avec la fonctionnalité (ou la

configuration) du système qui lui correspond directement ou une meilleure.

H : Fonction de Heaviside

∀ 𝑥 ∈ 𝑅,𝐻(𝑥) = �0 𝑠𝑖 𝑥 < 01 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝐷𝑖 : La quantité de la demande requise par le marché à la période i,

Capacité du système

La capacité du système à la période i est adoptée à partir de Matta et al. (2008) et exprimée

par la formule la suivante (3.1) :

𝐶𝑎𝑝𝑖 =𝑇𝑖 ∗ 𝜇𝑃𝐹𝑖

𝑠𝑖 𝑆𝐹𝑖 ≥ 𝑃𝐹𝑖 ; 𝐶𝑎𝑝𝑖 = 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 (3.1)

𝐶𝑎𝑝𝑖: Capacité de production du produit demandé à la période i

𝜇 : Facteur de vitesse (une caractéristique du système de production).

𝑇𝑖 : Durée de la période i.

On remarque que dans la formule proposée par Matta et al. (2008) la capacité dépend

directement de la durée de la période et du produit demandé. Dans cette formule, le facteur

de vitesse est considéré constant et ne reflète pas une des caractéristiques des RMS qui

permet d’avoir assez de flexibilité dans l’justement de la capacité du système. Dans Matta

et al. (2008), la configuration en place (la fonctionnalité du système) intervient seulement

pour déterminer si le système est capable de produire ce type de produit ou non donc elle

joue le rôle d’une contrainte.

50

On propose alors d’intégrer la configuration en place directement dans la formule de la

capacité de production du système. Cela permet à la capacité d’être non seulement

dépendante du type du produit mais aussi de la configuration en place.

Afin d’être plus réaliste on propose aussi de prendre en compte la période de Ramp-up à

chaque période dans le formule de la capacité ce qui nous permettra de considérer la

période où le système est en régime transitoire avant d’atteindre son plein régime de

production. La durée de Ramp-up est considérée dépendante de la configuration et qui se

définit selon Clark (1991) comme ‘’la période pendant laquelle un processus de fabrication

passe par une transition ascendante pour arriver à un rythme de production maximal selon

des niveaux de coût et de qualité ciblés’’

On considère aussi une fonction « g » qui bonifie la capacité du système suivant la

différence entre la configuration installée et le type du produit demandé durant une période.

Cette fonction permet de bonifier la capacité du système lorsqu’on fabrique le produit

demandé avec une configuration plus performante.

La formule de la capacité proposée est donnée par l’équation (3.2) :

𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)

= �(𝑇𝑖 − 𝑇𝑟𝑢𝑝𝑖) ∗ 𝜇 + (𝑇𝑟𝑢𝑝𝑖 ∗ 𝜇𝑅)

𝑃𝐹𝑖∗ 𝑔(𝑆𝐹𝑖,𝑃𝐹𝑖) si 𝑆𝐹𝑖 ≥ 𝑃𝐹𝑖

0 si 𝑆𝐹𝑖 < 𝑃𝐹𝑖 (3.2)

g (.) : une fonction qui bonifie la capacité du système suivant la différence entre

configuration installée et le type du produit demandé durant une période,

Trupi : Durée du Ramp-up au cours de la période i,

Trupi = f(SFi − SFi−1) = �α si SFi ≠ SFi−1 0 si SFi = SFi−1

(3.3)

α : une constante

𝜇𝑅 : Facteur de vitesse durant le Ramp-up

51

Manque à gagner sur le marché

Le manque à gagner sur le marché représente le montant d'argent que l'entreprise pourrait

gagner si elle avait la capacité suffisante pour répondre à la quantité de la demande du

marché. Ce montant est calculé en multipliant un coût unitaire par la différence entre la

quantité de la demande et la capacité du système de fabrication.

𝑀𝐺𝑀𝑖(𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)) = 𝑀𝐺 ∗ �𝐷𝑖 − 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)� ∗ 𝐻�𝐷𝑖 − 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)� (3.4)

MG : Coût unitaire du manque de capacité du système,

Coût de production:

Ce coût 𝑂𝑃𝑖(𝑆𝐹𝑖) représente le coût de production total au cours de la période i. Il est

calculé en multipliant un coût de production unitaire par la quantité produite. Ce coût

dépend également de la configuration installée sur le système de fabrication, alors on

intègre une fonction dans la formule afin de pénaliser ou bonifier le coût de production

lorsque le produit est fabriqué par une configuration qui est plus performante que la

fonctionnalité requise.

𝑂𝑃𝑖(𝑆𝐹𝑖) = � 𝑃𝑜𝑝 ∗ 𝐷𝑖 ∗ 𝑡(𝑆𝐹𝑖,𝑃𝐹𝑖) 𝑠𝑖 𝐷𝑖 ≤ 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖)

𝑃𝑜𝑝 ∗ 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖) ∗ 𝑡(𝑆𝐹𝑖,𝑃𝐹𝑖) 𝑠𝑖 𝐷𝑖 > 𝐶𝑎𝑝𝑖(𝑆𝐹𝑖) (3.5)

Pop: Coût de production unitaire,

t(.) : une fonction qui a pour but soit de pénaliser ou de bonifier le coût de

production lors de la fabrication avec une configuration qui est plus performante

que la fonctionnalité du produit demandé.

Coût d’expansion de la configuration

Le coût d'expansion 𝑃𝑒𝑥𝑝�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� représente le coût de la modification de la

configuration installée sur le système de fabrication entre deux périodes j et m (m>j).

L’expansion est considérée lorsque le système doit passer d'une configuration moins

efficace à une autre plus efficace.

52

𝑃𝑒𝑥𝑝�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� = 𝐸 ∗ �𝑆𝐹𝑚 − 𝑆𝐹𝑗� ∗ 𝐻�𝑆𝐹𝑚 − 𝑆𝐹𝑗� (3.6)

E : Coût variable d’expansion d’une configuration du système,

Coût de réduction de la configuration

Le coût de réduction 𝑃𝑟𝑒𝑑�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� représente le coût de la modification de la

configuration installé sur le système de fabrication entre deux périodes j et m (m>j). Dans

ce coût, la configuration installée sur le système passe d'une configuration plus efficace à

une autre moins efficace.

𝑃𝑟𝑒𝑑�𝑆𝐹𝑗 , 𝑆𝐹𝑚� = 𝑅 ∗ �𝑆𝐹𝑗 − 𝑆𝐹𝑚� ∗ 𝐻�𝑆𝐹𝑗 − 𝑆𝐹𝑚� (3.7)

R : Coût variable de réduction d’une configuration du système

3.3.1.2. Variable de décision et d’état La variable de décision au niveau tactique est définie par la configuration qui sera installée

à la période i.

Ui : La configuration à installer à la période i,

𝑈𝑖 = 𝑆𝐹𝑖

La fonctionnalité du système SFi-1 déjà en place au début de la période, sa capacité

correspondante Capi-1 et la demande du produit en quantité 𝐷𝑖 et en type 𝑃𝐹𝑖 définissent

l’état du système à chaque période.

Soit 𝑋𝑖 = (𝑆𝐹𝑖−1,𝑃𝐹𝑖,𝐷𝑖 ,𝐶𝐴𝑃𝑖) : L’état du système à chaque période.

3.3.1.3. Formulation du modèle mathématique au niveau tactique

Sur un horizon fini de planification définit par les périodes i=1,.., I, on cherche la séquence

de configuration du système à installer à chacune de ces périodes qui minimise le coût total

encouru. Le problème est modélisé par programmation dynamique, sujet aux contraintes

(3.1) à (3.7) soit :

53

𝑓𝑖(𝑋𝑖): Le coût total minimum encouru de la période i à la fin de l’horizon si la demande au

début de la période est [𝑃𝐹𝑖 ,𝐷𝑖] et la configuration déja en place est 𝑆𝐹𝑖−1.

Alors, l’équation dynamique de Bellman est la suivante :

𝒇𝒊(𝑿𝒊)

= 𝐦𝐢𝐧𝑼𝒊∈ 𝑨(𝒊)

�𝑶𝑷𝒊(𝑼𝒊) + 𝑴𝑮𝑴𝒊(𝑪𝒂𝒑𝒊(𝑼𝒊)�+𝑷𝒆𝒙𝒑𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊)+𝑷𝒓𝒆𝒅𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊) + 𝒇𝒊+𝟏(𝑿𝒊+𝟏)}

(3.8)

On cherche 𝑓1(𝑋1); les conditions aux bornes sont : 𝑓4(𝑋4) = 0.

3.3.2. Niveau opérationnel

Le système sous étude comporte un système de production qui fabrique plusieurs produits

appartenant à la même famille. Au niveau tactique, la reconfiguration du système a été

abordée d’un point de vu adaptabilité à la demande du marché à chaque période. La

formulation du problème a considéré les paramètres de coût et les contraintes à ce niveau

de la hiérarchie de décision. Comme mentionné dans la revue de littérature et notre

motivation à cette problématique, il est clair que ce qui se passe au niveau opérationnel

considérant l’évolution dynamique du système et la présence d’éventuels événements

aléatoires peut grandement influencer les décisions. Au niveau tactique, chacune des

périodes de l’horizon est considérée relativement longue. Il est clair que l’échelle de temps

à considérer au niveau opérationnel doit être plus petite. Ceci nous a amené à diviser cette

période en plusieurs sous-périodes pour la livraison du produit. L’objectif est de fournir un

modèle intégré qui permet de déterminer la meilleure décision à prendre en ce qui à trait

aux configurations à installer à chaque période et aussi de déterminer un rythme de

production à chaque période qui permet de minimiser le coût total encouru (tactique et

opérationnel).

Afin de résoudre cette problématique, nous avons considéré la programmation dynamique

en temps discret au niveau tactique et la programmation dynamique stochastique (chapitre

2.4) en temps continu au niveau opérationnel. Ce choix a été pris pour deux raisons

principales : la première est la grande complexité des approches de résolution des

54

problèmes dynamique stochastique en temps discret et la deuxième est la longueur de

l’horizon, au niveau tactique. En effet, il est plausible d’assumer qu’à l’intérieur de cet

horizon le système a le temps de passer par un régime transitoire (étant donné les

évènements aléatoires et le ramp-up en cas de reconfiguration) et atteindre un régime

stationnaire avant la fin de l’horizon. De plus, lors de l’établissement des paramètres du

système, les taux d’occurrence des évènements aléatoires seront choisis de sorte à atteindre

une probabilité stationnaire de ces évènements avant la fin de l’horizon globale (période de

l’horizon tactique).

Donc, chaque période de l’horizon de planification va être divisée en des sous-périodes

comme le montre la figure suivante.

Figure 14: la division des périodes du niveau tactique en des sous-périodes au niveau opérationnel

3.3.2.1. Notation

La notation suivante sera utilisée pour la suite de ce chapitre :

Ti : Nombre des sous périodes associées à la période i.

Pj : Produit de type j, j=1,.., J.

xi(t): Niveaux d’inventaire/ pénurie du produit associé à la période i au temps t,

ui(t): Taux de production à la période i au temps t,

αk(t) : Processus de Markov en temps continu et état fini pour la Configuration Ck,

55

qαβk : Taux de transition du mode α au mode β pour la Configuration Ck,

c+ : Coût unitaire d’inventaire,

c− : Coût unitaire de pénurie,

ρ : Taux d’actualisation du coût,

g(.) : Fonction coût instantané,

J(.) : Fonction coût total,

v(.) : Fonction valeur

Demande et capacité de production maximale dans une sous-période de

livraison :

𝑑𝑖: taux de la demande à la période i,

𝑈𝑚𝑖: Capacité de Production maximale dans une sous-période de la période i,

Si 𝐷𝑖 > 𝐶𝑎𝑝𝑖 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 �𝑑𝑖 = 𝐶𝑎𝑝𝑖

𝑇𝑖

𝑈𝑚𝑖 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑇𝑖

(3.9)

Si 𝐷𝑖 < 𝐶𝑎𝑝𝑖 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 �𝑑𝑖 = 𝐷𝑖

𝑇𝑖

𝑈𝑚𝑖 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑇𝑖

(3.10)

3.3.2.2. Variables d’état

L’évolution du système à un niveau opérationnel de décision peut être décrite par les deux

variables d’états suivantes :

• Une variable continue xi(t) qui décrit le niveau de stock à chaque instant de la

période i. Elle peut être soit positive dans le cas du stockage ou négative dans le cas

d’une pénurie. Dans un cas ou l’autre, des coûts unitaires de stockage ou de pénurie

(retard de livraison) seront appliqués.

56

• Une variable discrète 𝛼𝑘(𝑡) qui décrit l’état du système sous la configuration Ck.

On suppose que :

𝛼𝑘(𝑡) = �1 si le système est opérationnel sous la configuration Ck,

2 si le système est en panne sous la configuration Ck,3 si le système est opérationnel (état dégradé) sous Ck.

L’espace d’état du système (système, stocks) est donné par : 𝑥 ∈ 𝑅𝑛,𝛼 ∈ M= {1, 2, 3}.

Dynamique des variables d’état

Dynamique de la variable continue

La dynamique des stocks est donnée par l’équation différentielle suivante :

�̇�𝐢(𝐭) = 𝒖𝒊(𝐭) − 𝐝𝐢 , 𝐱𝐢(𝟎) = 𝐱𝟎 = 𝟎

𝑥0 : exprime le niveau de stock initial au début de chaque période i,

𝑑𝑖: taux de la demande à la période i,

xi(t): Niveaux d’inventaire/ pénurie du produit associé à la période i au temps t,

ui(t): Taux de production à la période i au temps t,

Dynamique de la variable discrète

Le système de production sous-étude peut avoir des pannes aléatoires. Il est composé de

trois états : un état de défaillance totale où la machine est en panne, un état dégradé ou de

défaillance partielle où la machine fonctionne à une capacité limité et un état normal où la

machine fonctionne à sa capacité maximale. Ces trois états communiquent entre eux à

travers des taux de transition qui dépendent de la configuration installée sur le système dans

la période considérée. Ci-dessous le diagramme fonctionnel du système considéré :

57

Figure 15 : Diagramme fonctionnel des états du système

Les durées de fonctionnement et de réparation sont distribuées exponentiellement avec des

taux q. En effet, la machine est associée à un processus Markovien.

Ces hypothèses permettent de décrire la dynamique de l’état de la machine 𝛼𝑘(𝑡) pour

chaque configuration Ck par un processus de saut {𝜉𝑘(𝑡), 𝑡 ≥ 0} qui correspond à l’état

discret de la machine sous la configuration Ck. Cet état discret est généré par un processus

markovien à temps continu et à état discret, défini par la variable discrète 𝛼𝑘(𝑡) .

Les probabilités de transition du mode α au mode β sont décrites comme suivant :

𝑝𝑟𝑜𝑏 �𝜉𝑘(𝑡 + 𝛿𝑡) =𝛽

𝜉𝑘(𝑡)= 𝛼� = �

𝑞𝛼𝛽𝑘 𝛿𝑡 + 𝜊(𝛿𝑡)𝑠𝑖 𝛼 ≠ 𝛽

1 + 𝑞𝛼𝛽𝑘 𝛿𝑡 + 𝜊(𝛿𝑡) 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

(3.11)

Avec 𝑞𝛼𝛽𝑘 ≥ 0, 𝑞𝛼𝛼𝑘 = −∑ 𝑞𝛼𝛽

𝑘𝛽≠𝛼 sachant que 𝛼,𝛽 ∈ 𝑀

𝑞𝛼𝛽𝑘 : représente le taux de transition de l’état 𝛼 à l’état 𝛽 sous la configuration Ck. Elle est

définie à la date t par :

𝑞𝛼𝛽𝑘 = lim

𝛿𝑡→0[𝑝𝑟𝑜𝑏(𝜉𝑘(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝛽 / 𝜉𝑘(𝑡) = 𝛼)/𝛿𝑡] (3.12)

Sachant que lim𝛿𝑡→0𝜊(𝛿𝑡)𝛿𝑡

= 0

Le processus peut être décrit par la matrice des taux de transition 𝑄𝑘 = (𝑞𝛼𝛽𝑘 ). Cette

matrice dépend de la configuration choisie. On considère comme mentionné ci-haut que

58

‘’1’’ est l’état de fonctionnement à capacité maximale ou normal, ‘2’ présente l’état de

panne et ‘3’ est l’état de fonctionnement dégradé (à moitié capacité).

𝑄𝑘 = �−𝑞12𝑘 − 𝑞13𝑘 𝑞12𝑘 𝑞13𝑘

𝑞21𝑘 −𝑞21𝑘 − 𝑞23𝑘 𝑞23𝑘

𝑞31𝑘 𝑞32𝑘 −𝑞31𝑘 − 𝑞32𝑘�

Pour le processus markovien considéré et afin de déterminer les probabilités limites des 3

états dans lesquels le système peut se retrouver sur un horizon infini, nous pouvons

résoudre le système d’équations suivant (Ross, 2006) :

⎩⎨

⎧−𝑃(3) ∗ (𝑞32 + 𝑞31) + 𝑃(2) ∗ 𝑞23 + 𝑃(1) ∗ 𝑞13 = 0𝑃(3) ∗ 𝑞32 − 𝑃(2) ∗ (𝑞23 + 𝑞21) + 𝑃(1) ∗ 𝑞12 = 0𝑃(3) ∗ 𝑞31 + 𝑃(2) ∗ 𝑞21 − 𝑃(1) ∗ (𝑞13 + 𝑞12) = 0

𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) = 1

La résolution de ce système d’équation aboutit aux probabilités limites suivantes :

𝑃(1)

=𝑞31𝑞23 + 𝑞31𝑞21 + 𝑞32𝑞21

𝑞31𝑞23 + 𝑞31𝑞21 + 𝑞32𝑞21 + 𝑞12𝑞23 + 𝑞12𝑞31 + 𝑞12𝑞32 + 𝑞13𝑞23 + 𝑞13𝑞21 + 𝑞13𝑞32(3.13)

𝑃(2)

=𝑞13𝑞32 + 𝑞12𝑞31 + 𝑞12𝑞32


𝑃(3)

=𝑞13𝑞23 + 𝑞13𝑞21 + 𝑞12𝑞23


Ces probabilités limites serviront pour calculer la fonction coût total sur un horizon assez

long (période planification tactique).

59

3.3.2.3. Critères et variable de décision

Le problème de prise de décision à un niveau opérationnel se présente de la même façon

que celui à un niveau tactique en ce qui à trait à la mesure de performance à optimiser. Il

s’agit d’une mesure du coût total encouru. Le coût total consiste en la somme actualisée de

tous les coûts encouru à chaque instant de l’horizon, ces derniers sont définis par les

équations (3.16) et (3.17). Notre variable de décision est le taux de production ui(t) pour

chacune des périodes i. L’ensemble des décisions admissibles Ai’ est définit par l’ensemble

des décisions à la période i qui respectent les contraintes (3.9) et (3.10).

Fonction coût instantanée:

𝒈𝒊(𝒙𝒊(𝐭)) = 𝒄+𝐱𝐢+(𝐭) + 𝒄−𝐱𝐢−(𝐭) (3.16)

Où :

𝑥𝑖+ = max (0,𝒙𝒊) et 𝑥𝑖− = max (-𝒙𝒊, 0); c+ et c+ sont les constants positives qui représentent

le coût de stockage et le coût de pénurie.

Fonction cout total :

𝑱𝒊(𝛂,𝒙𝒊) = 𝑬𝒊 �� 𝐞−𝛒𝐭 𝐠(𝐱𝐢).𝐝𝐭𝐓

𝟎� (3.17)

Avec :

Ei : espérance mathématique conditionnelle au processus stochastique associé à la période i.

ρ: Taux d’actualisation.

Fonction valeur :

𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝛂) = 𝐦𝐢𝐧�𝐮𝐢∈𝑨𝒊

′� 𝑱𝒊(𝛂,𝒙𝒊) ,∀ 𝜶 ∈ 𝑴 (3.18)

60

Approches de résolution

Les équations HJB associées à la fonction de valeur sont un système hyperbolique

d’équations aux dérivées partielles. Ces équations décrivent la stratégie de contrôle optimal

de planification de production du problème sous-étude pour une seule période.

D’après Sethi et Zhang (1994), la fonction valeur décrite ci-dessus est localement Lipschitz

et l’unique solution visqueuse des équations HJB est la suivante :

𝝆.𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝛂) = 𝐦𝐢𝐧�𝐮𝐢∈𝑨𝒊

′�

⎩⎨

⎧(𝒖𝒊 − 𝒅𝒊)𝝏𝝏𝒙

𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝛂) + 𝒈𝒊(𝒙𝒊)

+ � 𝒒𝜶𝜷𝒗𝒊 (𝒙𝒊,𝜷)𝟐

𝜷=𝟏 ⎭⎬

⎫ (3.19)

En appliquant l'approximation numérique de Kushner (1992), les fonctions valeur pour

chaque état sont présentées ci-dessous. h étant le pas de discrétisation du l’état continu x.

�𝑣ℎ(𝑥, 1)�𝑛

= min𝑢∈𝑨𝒊

′��𝜌 + 𝑞12 + 𝑞13 +

|𝑢1 − 𝑑|ℎ1

�−1

∗ �|𝑢1 − 𝑑|ℎ1

��𝑣ℎ(𝑥 + ℎ, 1)�𝑛−1�𝐾𝑗+ + ��𝑣ℎ(𝑥 − ℎ, 1)�𝑛−1�𝐾𝑗−�

+𝑔(𝑥) + 𝑞12�𝑣ℎ(𝑥, 2)�𝑛−1 + +𝑞13�𝑣ℎ(𝑥, 3)�𝑛−1� (3.20)

�𝑣ℎ(𝑥, 2)�𝑛


′

⎩⎨

⎧�𝜌 + 𝑞21 + 𝑞23 +𝑑ℎ1�−1

∗ �𝑑ℎ1��𝑣ℎ(𝑥 + ℎ, 2)�

𝑛−1�𝐾𝑗+ + ��𝑣ℎ(𝑥 − ℎ, 2)�

𝑛−1�𝐾𝑗−�

+𝑔(𝑥) + 𝑞21 �𝑣ℎ(𝑥, 1)�𝑛−1

+ 𝑞23 �𝑣ℎ(𝑥, 3)�𝑛−1

⎭⎬

⎫(3.21)

�𝑣ℎ(𝑥, 3)�𝑛


′��𝜌 + 𝑞31 + 𝑞32 +

|𝑢3 − 𝑑|ℎ1

�−1

∗ �|𝑢3 − 𝑑|ℎ1

��𝑣ℎ(𝑥 + ℎ, 3)�𝑛−1�𝐾𝑗+ + ��𝑣ℎ(𝑥 − ℎ, 3)�𝑛−1�𝐾𝑗−�

+𝑔(𝑥) + 𝑞31�𝑣ℎ(𝑥, 1)�𝑛−1 + 𝑞32�𝑣ℎ(𝑥, 2)�𝑛−1� (3.22)

Nous référons le lecteur à Feki (2013) pour plus de détails sur le développement de ces

équations et l’approche de résolution numérique de Kushner.

61

3.4. Fonction objectif L’application de l’algorithme d’approximation successive pour résoudre le système

d’équation HJB associé à une période i permet de trouver le rythme de production avec

lequel le système doit opérer pour minimiser le coût total encouru, et ce, fonction des états

du système. Sur l’horizon de résolution, on aura aussi comme résultat la fonction valeur du

problème à chaque état 𝜶 ∈ 𝑴. La pondération de ces fonctions valeurs par les probabilités

limites de ces états données par les équations (3.13) à (3.15) permet de calculer le coût total

espéré. De ce fait, en associant ce coût au modèle d’optimisation au niveau tactique donné

par l’équation (3.8), le modèle qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de décision sera

donné par l’équation (3.23). Cette formulation dynamique est utilisée pour toutes les

périodes de l’horizon sous-étude. Cette approche permet de donner, en plus de la

configuration optimale, la politique de contrôle des rythmes de production fonction des

états du système au niveau opérationnel.

𝒇𝒊(𝑿𝒊)

= 𝐦𝐢𝐧𝑼𝒊∈ 𝑨(𝒊)

�𝑶𝑷𝒊(𝑼𝒊) + 𝑴𝑮𝑴𝒊(𝑪𝒂𝒑𝒊(𝑼𝒊)�+𝑷𝒆𝒙𝒑𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊) + 𝑷𝒓𝒆𝒅𝒊(𝑼𝒊−𝟏,𝑼𝒊)+

𝑷(𝟏) ∗ 𝝂 (𝒙,𝟏) + 𝑷(𝟐) ∗ 𝝂 (𝒙,𝟐) + 𝑷(𝟑) ∗ 𝝂 (𝒙,𝟑) + 𝒇𝒊+𝟏(𝑿𝒊+𝟏)} (3.23)

On cherche 𝑓1(𝑋1); les conditions aux bornes sont : 𝑓4(𝑋4) = 0.

Dans le processus d’aide à la décision pour la reconfiguration du système de production

sous-étude, on a décrit le coût tactique qui comporte le coût de pénalité sur la production, le

coût du manque de capacité à gagner sur le marché et le coût d’expansion ou de réduction

de la configuration d’une période à une autre. Ensuite, l’idée était d’intégrer un coût

opérationnel dans la prise de décision de reconfiguration pour étudier plus en profondeur

son impact sur les décisions de reconfiguration et de production. Dans l’intégration du coût

opérationnel, on a supposé que : (1) la période de fabrication d’un produit est répartie en

des sous-périodes de livraisons, (2) le centre de production est sujet à des pannes aléatoires

et à un état de fonctionnement dégradé. On présentera par la suite les résultats obtenus en

solutionnant les modèles d’une façon dissociée ou intégrée.

62

3.5. Résultats numériques et analyse de sensibilité Les résultats numériques fournis dans cette section visent à illustrer pour différents cas

d’étude la séquence de reconfiguration optimale d'un système manufacturier reconfigurable

non fiable sur un horizon fini. En plus de cette séquence, une politique de contrôle optimale

des rythmes de production en fonction des états du système, et pour chaque période, sera

présentée. Afin de bien illustrer les résultats obtenus, cette section va être présentée en deux

étapes. Une étude de cas de base est d’abord présentée et analysée. Ensuite, une analyse de

sensibilité est menée pour montrer la robustesse des résultats trouvés.

3.5.1. Exemple numérique

L’étude de cas qui a été mené est constituée de deux scénarios. Dans le premier scénario, le

modèle tactique (équation (3.8)) est résolu et son résultat (la séquence de configuration) est

considéré pour résoudre le modèle du niveau opérationnel (équations (3.20) à (3.22)). Le

deuxième scénario intègre les deux modèles dans la même approche de résolution (équation

(3.23) qui intègre les fonctions valeurs issus de la résolution de (3.20) à (3.22)). Les

résultats ont montré que le deuxième scénario est meilleur et que l'intégration des deux

niveaux permet un gain considérable dans le coût total d'exploitation.

Figure 16: Les deux scénarios d’expérimentation

Les paramètres qui ont été pris au niveau tactique sont les suivants:

63

Trois périodes ont été considérées dans l’horizon de planification (i=3), chaque période

représente une année. Aussi, le système possède 11 configurations qui peuvent être

installées sur le système manufacturier dépendamment de la demande du marché et les

décisions qui vont être prises plus tard.

Tableau 2: Les paramètres du système manufacturier

Paramètres µ 𝛍𝐑 𝐓𝐢 𝐓𝐫𝐮𝐩𝐢 MG Pop

Valeurs 50 25 12 0,6 10 750

La demande est considérée déterministe (hypothèse qui sera relaxée au chapitre 4) et elle

est égale à 55, 50 et 55 respectivement pour les trois périodes. La demande en terme de

type de produit est comme suit : 8, 10, 9. La configuration initiale est considérée égale

à SF0 = 8.

g (.) : est considérée dans ce premier cas d’étude comme une fonction linéaire qui bonifie la

capacité de production du système manufacturier dépendamment de la différence entre la

configuration qui va être installée et le type du produit demandée par le marché dans cette

même période. Cette bonification est égale à 10% à chaque fois qu’on fabrique avec une

configuration plus performante. Cette fonction est donnée par l’équation suivante :

g(SFi,PFi)=0.1 * (SFi - PFi)

t (.) : est considérée comme une fonction qui pénalise le coût de production dépendamment

de la différence entre la configuration qui va être installée et le type du produit demandée

par le marché durant cette même période. Il s’agit d’une pénalité de 20% à chaque fois

qu’on fabrique avec une configuration plus performante. Cette fonction est donnée par

l’équation suivante :

t(SFi,PFi)=0.2 * (SFi - PFi)

Les coûts de l'expansion et de la réduction seront donnés plus loin. Au niveau opérationnel,

les paramètres suivants ont été considérés:

64

Pour la mise en œuvre de la technique d'approximations successives, la grille de

discrétisation appelée Gh est donnée comme suit :

Gh = {x; −10 ≤ x ≤ 50, h = 0,1}

A chaque période de l'horizon de planification globale, 12 sous-périodes de livraison sont

considérées. Par conséquent, la demande de chaque sous-période est égale à la demande

globale divisée par le nombre de sous-période. Le taux d'actualisation est égal à 0,01. Le

coût du stockage est considéré comme une constante pour tous les produits C+ = 30 et le

coût de pénurie aussi C− = 100.

Les probabilités de transition entre les différents états ainsi que les probabilités limites

dépendent de la configuration installée sur le système. Celles-ci sont présentées dans le

tableau ci-dessous:

Tableau 3: Les probabilités de transition entre les états suivant la configuration

Config 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

𝒒𝟐𝟏 0,7 0,725 0,75 0,775 0,8 0,825 0,85 0,875 0,9 0,925 0,95

𝒒𝟏𝟐 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

𝒒𝟐𝟑 0,19 0,175 0,16 0,145 0,13 0,115 0,1 0,085 0,07 0,055 0,04

𝒒𝟑𝟐 0,5 0,475 0,45 0,425 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1

𝒒𝟑𝟏 0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

𝒒𝟏𝟑 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02

P(1) 0,48 0,51 0,54 0,57 0,61 0,64 0,7 0,75 0,81 0,87 0,93

P(2) 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,07 0,05 0,03 0,014

P(3) 0,29 0,28 0,27 0,25 0,238 0,229 0,2 0,167 0,13 0,09 0,048

q21 est le taux de réparation totale (de l’état de panne vers l’état de fonctionnement

normal), q12 est le taux de défaillance totale (du fonctionnement normal vers l’état de

panne), q23 est le taux de réparation partielle (de l’état de panne vers l’état de

fonctionnement dégradé), q32 est le taux de défaillance partielle (du fonctionnement

dégradé vers l’état de panne), q31 est le taux de réparation partielle (du fonctionnement

65

dégradé vers l’état de fonctionnement normal) et q13 est le taux de défaillance partielle (du

fonctionnement normal vers l’état de fonctionnement dégradé). Les taux sont considérés de

façon qu'à chaque fois qu'une configuration plus efficace est installée, les taux de réparation

augmentent et les taux de défaillances diminuent.

Lorsque le coût de réduction est égal à R = 1000 et le coût d'expansion est égal à E = 1000,

la séquence optimale de la reconfiguration obtenue sur l'horizon de trois périodes est: [10-

11-11]. En comparant le coût total entre les deux scénarios, un gain de 12,288% est obtenu

avec le scénario 2 qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de décision. Par contre, pour

le Scénario 1, on a obtenu une séquence de reconfiguration de [8-10-9]. Le graphique

suivant présente la séquence de reconfiguration obtenue pour chacun des deux scénarios

décrits ci-dessus.

Figure 17: La séquence de reconfiguration pour chaque scénario

On abordera maintenant la deuxième partie des résultats obtenus. On présentera dans ce qui

suit les différentes politiques de contrôle sur l’inventaire pour chaque période et chaque état

pour les deux scénarios considérés.

Les figures suivqntes (Figures (18) et (19)) les taux de production fonction des niveaux de

stock pour les deux états à la période 1 pour le scénario 1 [8-10-9] et le scénario 2 [10-11-

11].

5

6

7

8

9

10

11

12

-2 -1 0 1 2 3 4

Conf

igur

atio

n in

stal

lée

Horizon de planification

La séquence de reconfiguration pour chaque scénario

SCENARIO 1

SCENARIO 2

66

Figure 18: les taux de production pour les modes 1, 2 et 3 à la période 1 pour le Scénario 1


Les deux figures montrent clairement que dans le premier scénario le système de

production a tendance à stocker plus par rapport au scénario 2, ce qui engendre un coût de

stockage moindre lors de cette première période pour le scénario 2, et par conséquent, un

coût opérationnel inférieur. On tient à rappeler que pour la période 1, les résultats montrent

que le premier scénario doit fonctionner avec la configuration 8 alors que le deuxième

fonctionne avec la configuration 10 ayant une meilleure capacité de production; ce qui

explique les résultats obtenus.

On présentera ci-dessous les taux de production obtenus pour les deux scénarios à la

deuxième période (Figures (20) et (21)).

67



Pour la deuxième période, on constate aussi la même tendance que la première période. La

reconfiguration exigée par le scénario a permis d’améliorer la capacité du système et par la

suite diminuer les coûts opérationnels dus au stockage et au retard. Pour la politique de

contrôle, il est clair que l’augmentation du taux de production permet de diminuer les seuils

de contrôle des niveaux d’inventaire pour les deux états 1 et 3.

Finalement pour la troisième période les taux de production pour les deux scénarios sont

donnés par les Figures (22) et (23).

68



Dans cet exemple numérique, on a remarqué que la configuration installée sur le système

influe directement sur la politique de contrôle du rythme de production en fonction des

états du système et des inventaires. Cette influence rend l’intégration des deux niveaux

tactique et opérationnel importante dans la mesure où elle peut occasionner des gains

importants. En effet, pour ce premier cas d’étude, on a observé un gain de 12.288 %.

En récapitulant, l’intégration des décisions a permis au système d’anticiper plutôt que de

réagir à une décision déjà prise au niveau tactique. Pour ce premier cas d’étude, cette

anticipation a permis au système de choisir des configurations meilleures permettant ainsi

d’améliorer la capacité du système afin de minimiser les coûts de retard et de stockage. Le

69

gain des coûts au niveau opérationnel s’est avéré plus élevé que les coûts additionnels de

reconfiguration et de production. Ces résultats concernent un seul cas d’étude et doivent

être supportés par des analyses de sensibilité pour mesurer l’impact des différents

paramètres impliqués sur les décisions et le coût encouru. Cette étude est présentée dans la

section suivante.

3.5.2. Analyse de sensibilité

Dans cette analyse de sensibilité, certains paramètres de l'étude de cas présentée ci-dessus

seront variés afin d’étudier leurs impacts sur les décisions et le gain total entre les deux

scénarios de test décrits ci-dessus. Les paramètres qui seront pris en considération sont le

taux de demande, le coût de la réduction et le coût d’expansion. Il est à noter que beaucoup

de tests préliminaires dans lesquels nous avons fait varié la grande majorité des paramètres

du système tant du niveau tactique que de l’opérationnel ont été fait. Le choix d’un

paramètre qui reflète l’environnement externe (le marché via la demande) et les principaux

paramètres de coûts qui caractérisent un RMS nous semble logique dans ce contexte. Ce

choix reflète la grande majorité des résultats de toutes les analyses de sensibilité effectuées.

• Variation des taux de la demande

On commercera par faire varier des taux de la demande en exécutant des tests sur une série

de demande afin de voir l’impact de la variation de la demande du marché au niveau

tactique sur les décisions de reconfiguration et la politique de production ainsi que le gain

décrit précédemment.

On considère la demande en type de produit est [8, 10, 9] et que la configuration déjà

installé sur le système est ‘’8’’. Les coûts de réduction et d’expansion sont fixés à 1000.

Concernant le coût de stockage, il est égal à 30 et le coût de pénurie est égal à 100.

On présentera dans ce qui suit les tableaux des résultats pour chaque test avec des taux de la

demande différents et un graphique récapitulatif des gains entre les deux scénarios en

augmentant la demande.

70

Tableau 4: Les résultats des deux scénarios pour une demande de [45, 40, 45]

Demande [45, 40,

45]

Séquence reconfiguration

optimale

Politique de contrôle sur

l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Scénario 1 8 10 9 1 6 0 6 1 8 Scénario 2 9 10 10 0 4 0 6 0 5

Gain du Scénario 2 par rapport au Scénario 1 = 1,62%


Demande [48, 43,

48]


optimale


l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3




Demande [50, 45,

50]


optimale


l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3




Demande [52, 47,

52]


optimale


l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3



71


Demande [55, 50,

55]


optimale


l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3




Demande [57, 52,

57]


optimale


l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3




Demande [60, 55,

60]


optimale


l’inventaire P1


l’inventaire P2


l’inventaire P3

P1 P2 P3 Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3

Z état 1

Z état 3



72

Figure 24: Gain du scénario 2 en variant les taux de la demande

L’analyse des résultats issus de ces expérimentations nous ont permis de ressortir les

observations suivantes :

1- Au niveau du scénario 1, on remarque que la séquence des configurations s’est

maintenue et le système a compensé au niveau de la politique de production en

fixant des stocks de sécurité (seuil critique) beaucoup plus élevé que ceux du

scénario 2.

2- Les seuils critiques pour les deux scénarios augmentent quand la demande

augmente pour éviter les risques de pénurie.

3- Au niveau du scénario 2, deux résultats intéressants sont observés : le premier

concerne les décisions de reconfiguration qui sont plus réactives à l’augmentation

de la demande. De ce fait, le système trouve un meilleur compromis entre les

configurations fixées et les seuils critiques. Le deuxième concerne la différence des

décisions par rapport au scénario 1 : le système a fixé des configurations plus

performantes tout en diminuant les stocks de sécurité au niveau opérationnel.

0

5

10

15

20

25

30

35

Gain en augmentant les taux de la demande

Gainen %

73

D’un point de vue coût, il est clair que l’intégration des deux niveaux de décisions tactique

et opérationnel permet un gain substantiel. Ce gain se manifeste d’avantage dans des

contextes de forte demande. En effet, plus la demande augmente, plus la capacité du

système devient un enjeu important et le système doit trouver le meilleur compromis entre

les décisions de reconfigurations et de contrôle de la production au niveau opérationnel. Ce

compromis est plus facile à obtenir quand les deux modèles d’optimisation sont intégrés.

• Variation du coût de réduction de la configuration

On abordera par la suite la deuxième partie de l’analyse de sensibilité en variant le coût de

réduction.

La demande de produit considéré en termes de type est [8-10-9] et en termes de quantité est

[55-50-55]. La configuration initiale installée sur le système est considérée égale à 8.

Une série de tests a été menée dans laquelle le coût d'expansion est fixé à 1000, le coût des

stocks à 30 et le coût de pénurie à 100 tout en faisant varier le coût de réduction. Pour

chaque coût de réduction, deux séquences de reconfiguration optimales sont obtenues pour

chacun des deux scénarios décrits ci-dessus. Aussi, le gain en termes de coûts entre les

deux scénarios est également obtenu. La politique de contrôle sur l’inventaire sera aussi

affichée dans les résultats obtenus. Le tableau suivant résume les résultats obtenus.

74

Tableau 11: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût de réduction

Les résultats du tableau ci-dessus peuvent être divisés en deux parties principales. Le

graphique suivant présentera les deux séquences de reconfiguration de la première partie

lorsque le coût de la réduction varie entre 100 et 8000.

Figure 25: La séquence de reconfiguration des deux scenarios

Le deuxième graphique présente la deuxième partie des résultats lorsque le coût de la

réduction varie entre 9000 et 15000.

55 50 55 8 10 9Prix de Réd gain 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3

100 11,97 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 7500 12,11 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71000 12,28 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71500 12,45 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 72000 12,62 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 73000 12,96 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 74000 13,3 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 75000 13,63 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 76000 13,96 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 77000 14,29 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 78000 14,62 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 79000 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 7

10000 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 712500 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 715000 7,64 8 10 10 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 7

HPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3Demande (55-50-55) et (8-10-9); Config Initiale=8; coût stockage=30; coût de pénurie= 100

Premier Scénario Deuxième ScénarioHPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3

5

6

7

8

9

10

11

12

-2 -1 0 1 2 3 4

Conf

igur

atio

n in

stal

lée


Les décisions obtenues suite à la variation du prix de réduction de 100 à 8000

Scénario 2

Scénario 1

75


La courbe ci-dessous présente l’évolution du gain du deuxième scénario en augmentant le

coût de réduction.

Tous ces graphiques montrent que le modèle intégré provoque un changement dans la

séquence de reconfiguration optimale et gain intéressant par rapport au modèle dissocié. On

remarque que le deuxième scénario a tendance toujours à fonctionner avec des

configurations plus performantes malgré leurs coûts de production plus importants. Cette

décision prise d’une façon intégrée avec les décisions de contrôle de la production a permis

de minimiser les coûts de stockage et de pénurie (seuil critique plus bas, une configuration

plus performante réduisant les risques de manque de capacité).

5

6

7

8

9

10

11

12

-2 -1 0 1 2 3 4

Conf

igur

atio

n in

stal

lée


Les décisions obtenues suite à la variation du prix de réduction de 8000 à 15000

Scénario 2

Scénario 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5000 10000 15000 20000

Gain entre les deux scénarios en augmentant le coût de réduction

Gain en %

76

Comme le montre les graphiques, lorsque le coût de la réduction augmente entre 100 et

8000, le gain du scénario 2 augmentent, cela est dû au fait que dans la séquence de

reconfiguration optimale du scénario 1 il y a une réduction de la configuration installée au

niveau du passage entre la période 2 et période 3 (109). Ce qui explique une

augmentation du coût tactique de ce dernier scénario et par conséquent, son coût total

d’exploitation. Or, pour la séquence optimale de reconfiguration du scénario 2, il n’existe

aucune réduction, ce qui l’avantage.

À partir d’un coût de réduction de 9000 jusqu’à 15000, on remarque que le pourcentage du

gain reste stable. Cela est dû au fait que la séquence optimale de reconfiguration du

scénario 1 (8-10-10) ne compte plus de réduction. Donc, l’avantage du scénario 2 est dû

principalement à l’intégration du niveau opérationnel dans la prise de décision.

• Variation du coût d’expansion de la configuration

Pour cette partie, la demande de produit considéré en termes de type est [8-10-9] et en

termes de quantité est [55-50-55]. La configuration initiale installée sur le système est

considérée égale à 8.

Une série de tests a été menée dans laquelle le coût de réduction est fixé à 1000, le coût des

stocks à 30 et le coût de pénurie à 100 et en faisant varier le coût d’expansion. Pour chaque

coût d’expansion, deux séquences de reconfiguration optimales sont obtenues pour chacun

des deux scénarios décrits ci-dessus. Aussi, le gain en termes de coûts entre les deux

scénarios est également obtenu. La politique de contrôle sur l’inventaire sera aussi affichée

dans les résultats obtenus

77

Tableau 12: l'ensemble des résultats suite à la variation du coût d'expansion

De la même façon que l’analyse précédente, les résultats du tableau ci-dessus peuvent être

divisés en deux parties principales. Le graphique suivant présentera les deux séquences de

reconfiguration de la première partie lorsque le coût d’expansion varie entre 100 et 10000.


Le deuxième graphique suivant présente les résultats de la deuxième partie lorsque le coût

d’expansion varie entre 12500 et 25000.

55 50 55 8 10 9Prix d'exp gain 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 1ere periode 2eme periode 3eme periode Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3 Z état 1 Z état 3

100 12,729 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 7500 12,53 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71000 12,288 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 71500 12,046 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 72000 11,8 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 73000 11,33 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 74000 10,86 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 75000 10,4 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 76000 9,949 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 77000 9,5 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 78000 9,06 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 11 11 0 6 0 9 0 79000 8,627 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 7

10000 8,2 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 11 11 0 6 0 9 0 712500 7,588 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 10 10 0 6 3 14 1 1115000 7,455 8 10 9 6 14 3 14 1 11 10 10 10 0 6 3 14 1 1120000 7,2 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 10 10 0 6 3 14 1 1125000 6,96 8 10 9 6 14 3 14 8 18 10 10 10 0 6 3 14 1 11

HPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3Demande (55-50-55) et (8-10-9); Config Initiale=8; coût stockage=30; coût de pénurie= 100

Premier Scénario Deuxième ScénarioHPP Periode 1 HPP Periode 2 HPP Periode 3

56789

101112

-2 -1 0 1 2 3 4

Conf

igur

atio

n in

stal

lée


Les décisions obtenues suite à la variation du prix d'expansion de 100 à 10000

Scénario 2

Scénario 1

78


La courbe ci-dessous présente l’évolution du gain du deuxième scénario en augmentant le

coût d’expansion.

Tous ces graphiques montrent aussi l’avantage de l’intégration des décisions. Dans ce

contexte, le deuxième scénario a toujours tendance à fonctionner avec des configurations

plus performantes malgré leurs coûts de production plus importants.

Comme le montre les graphiques, lorsque le coût de l’expansion augmente entre 100 et

10000, le gain du scénario 2 diminue, cela est dû au fait que dans la séquence de

reconfiguration optimale du scénario 1 [8-10-9] possède une expansion et la séquence

5

6

7

8

9

10

11

-2 -1 0 1 2 3 4

Conf

igur

atio

n in

stal

lée


Les décisions obtenues suite à la variation du prix d'expansion de 12500 à 25000

Scénario 2

Scénario 1

02468

101214

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Gain entre les deux scénarios en augmentant le coût d'expansion

Gain en %

79

optimale de reconfiguration du scénario 2 [10-11-11] possède deux expansions. Donc, une

augmentation du coût d’expansion affectera directement le coût total du scénario 2. Par

conséquent, le gain enregistré diminue à chaque fois que le coût d’expansion augmente.

À partir d’un coût d’expansion de 12500, les deux scénarios sont à égalité en termes de

nombre d’expansion Ils possèdent les deux une expansion, donc ici la pente de dépréciation

du gain diminue. Dans ce cas, le résultat intéressant observé réside dans le fait que le

scénario 2 a compensé ce changement par une politique de production ayant des seuils

critiques plus élevés, alors que le scénario 1 n’a pas changé sa politique.

Cette analyse a permis de montrer que nos résultats sont logiques et reflète bien la variation

des paramètres considérés. De plus, on voit très bien que l’intégration des deux niveaux de

décisions peut mener à des gains importants.

3.6. Conclusion Dans ce chapitre, le problème de prise de décision d'un système manufacturier

reconfigurable non-fiables a été modélisé et résolu à l’aide d’une approche numérique. La

formulation a été présentée sur deux niveaux de la hiérarchie de décision : le niveau

tactique et le niveau opérationnel. Les résultats ont montré que l’intégration du niveau

opérationnel dans la prise de décision est très importante et permet à l’entreprise de faire

des économies considérables sur le coût d’exploitation total.

Comme décrit ci-dessus le problème a été résolu à l’aide d’une approche numérique. Dans

le chapitre 4 on abordera le problème sous un autre angle de vue. On s’intéressera en

particulier à un contexte de demande aléatoire et à une comparaison du système RMS sous

étude avec le système existant le plus proche de notre contexte d’étude, notamment les

AMS (voir chapitre 2). Une approche de modélisation et d’optimisation basée sur la

simulation sera présentée.

80

81

CHAPITRE 4

APPROCHE DE RÉSOLUTION PAR

SIMULATION

4.1. Introduction

L’étude du problème au chapitre 3 avec une approche mathématique nous a permis de

ressortir des conclusions intéressantes en lien avec la planification et l’exécution intégrées

des RMS. Dans ce chapitre, on se propose d’étendre l’analyse pour couvrir des contextes

plus complexes. La prise en considération d’un contexte aléatoire de demande s’impose et

est en harmonie avec nos objectifs principaux de ce mémoire. En effet, par définition, les

caractéristiques d’un RMS font en sorte qu’il est capable d’absorber la variabilité (interne

ou externe). Le chapitre 3 a mis en évidence la présence d’une variabilité au niveau de la

capacité (panne et état d’opération dégradé). Ce chapitre se penchera d’avantage sur le

contexte de la variabilité de la demande et étendra l’analyse pour mesurer cet avantage en

comparaison avec un système classique de production, notamment les AMS (voir chapitre 2

pour la définition). Comme mentionné précédemment (chapitre 1 et 2), nous nous

proposons d’attaquer cette partie avec une approche d’optimisation basée sur la simulation.

82

4.2. Description du modèle de simulation

Notre premier souci lors de l’élaboration du modèle de simulation était de développer un

modèle qui reflète très bien le système à modéliser. De plus, il fallait se placer du côté de

l’utilisateur avec un but principal de faciliter au maximum la manipulation du modèle pour

un utilisateur qui ne connait pas le logiciel SIMIO mais qui veut profiter au maximum des

résultats et des analyses de ce dernier.

La figure suivante illustre une description des processus du modèle de simulation

développé. Ce diagramme comporte tous les processus implantés dans le logiciel de

simulation SIMIO. On présentera plus tard dans le rapport le diagramme général de

simulation qui a permis la mise en place du problème sous-étude.

Figure 29: Modélisation du cas sous-étude par simulation

Avant de commencer à décrire les principales étapes suivies lors de l’élaboration du modèle

de simulation, on mentionnera qu’on a eu recours à plusieurs hypothèses afin de simplifier

l’étude.

83

Les principales hypothèses prises lors de la modélisation du cas sous-étude sont les

suivantes :

- L’approvisionnement des entrepôts se fait au fur et à mesure qu’un produit sort du

centre de production ;

- Le temps de transport entre le centre de production et l’entrepôt est considéré

négligeable ;

- Le centre de production est capable de fabriquer juste un seul type de produit dans

une période ;

- Les quantités de la demande (ou commandes) reçues par les clients seront divisées

en des sous-périodes de livraison ;

- Ces demandes sont servies à la fin de chaque sous-période de livraison ;

- Les arrérages sont permis entre les sous-périodes de livraison.

Avant d’expliquer la démarche suivie lors de l’élaboration du modèle de simulation, on doit

définir tout d’abord quelques notions importantes :

Une entité : dans la simulation, une entité est considérée comme une unité de produit dans

le contexte manufacturier (dans les services elle peut représenter un client). Cette unité,

dans le cas normal, doit être générée par une source, puis passe par un serveur afin d’être

traitée pour arriver finalement à la destination qui représente généralement soit le client ou

l’entrepôt.

Propriétés : ce sont les paramètres qu’on fixe au début de la simulation, généralement elles

caractérisent le système manufacturier. Ces paramètres ne changent pas de valeur au cours

du déroulement de la simulation. Parmi ces paramètres, on peut citer la probabilité de

transition d’un état à un autre pour une configuration bien définie.

États : Les états (ou states en anglais) sont tout d’abord des paramètres qui ne se fixent pas

dès le début comme les propriétés. Ils changent au cours du temps en suivant le

déroulement de la simulation. Parmi ces paramètres, on peut citer par exemple le nombre

d’unités produites qui varient au cours du déroulement de la simulation, aussi l’état du

système.

84

Processus : ils présentent des actions qui influencent les états et aussi le comportement du

modèle au cours du temps.

De plus, comme le montre la figure 29, on distingue deux processus d’optimisation dans

l’étude. Une optimisation de la séquence de reconfiguration qui va être installée sur le

système durant son fonctionnement. Cette optimisation s’avère nécessaire dans notre étude

afin de minimiser le coût total d’exploitation. Une deuxième optimisation est associée à la

politique de contrôle sur l’inventaire. Cette étape permet au système de suspendre la

fabrication lorsque le niveau de stock atteint un seuil bien déterminé. L’objectif de

l’approche développée est de fournir la séquence optimale de reconfiguration au cours de

l’horizon sous-étude, et en même temps, les niveaux de stocks optimaux que le système

doit garder entre les sous-périodes. C’est-à-dire le système doit fabriquer à chaque sous-

période une quantité qui est supérieur ou égale à la demande, et ce, afin de garder un stock

de sécurité qui permet de faire face à d’éventuelles pénuries qui peuvent affecter le système

dans le futur. Ces pénuries sont dues à la caractéristique de non-fiabilité du système où il

peut être en état de panne ou dans un état dégradé avec une capacité inférieure à la capacité

maximale. Ce modèle permet de déterminer les paramètres optimaux qui minimisent la

fonction coût total.

Figure 30: Diagramme expérimental du modèle développée par simulation

Il s’agit alors d’optimiser six paramètres en même temps. Trois d’entre eux qui considèrent

les configurations qui doivent être installées (la séquence de reconfiguration au cours de

Z1, Z2 et Z3

85

l’horizon sous-étude) et les trois autres sont les paramètres (Z1, Z2, Z3) qui représentent les

seuils optimaux à chaque période de l’horizon que le système doit cibler pour mieux

couvrir les demandes durant les périodes de manque de capacité.

Afin d’aboutir à cet objectif et de déterminer la solution optimale, nous avons décidé

d’utiliser l’optimisateur «OptQuest» de SIMIO qui a fait ses preuves et a permis d’arriver à

d’excellent résultats dans d’autres contextes d’étude (Feki, 2013).

On présentera dans la figure ci-dessous le diagramme général de la simulation. Ce

diagramme peut être divisé en six blocs principaux qui suivent la logique adoptée lors du

développement du modèle sur SIMIO. Les six blocs principaux sont les suivants :

- Définir les conditions initiales ;

- Génération des séquences de reconfiguration ;

- Le calcul des besoins nets ;

- La politique de contrôle sur l’inventaire ;

- La production et la livraison ;

- Le calcul des coûts.

Notations :

T : nombre de périodes dans l’horizon de planification sous-étude,

t : indice de la période en cours,

i : indice de la sous-période de livraison de la période t.

86

Figure 31: Diagramme général de simulation

87

Ci-dessous, on va expliquer les étapes du développement du modèle de simulation.

a- Le premier bloc : La définition des conditions initiales

Dans ce bloc, l’idée était de minimiser les champs que l’utilisateur est amené à changer à

chaque fois où il veut avoir des résultats d’une étude de cas bien déterminé.

C’est pourquoi l’intervention de l’utilisateur est limitée en deux étapes principales :

- La première est de faire rentrer ses données du système (demande du marché,

livraison…), et ce, à travers un tableau simple et clair. La figure ci-dessous donne

un aperçu de ce tableau :

Figure 32: Les données d'entrée du système

- La deuxième est de démarrer la simulation puis faire ressortir les résultats afin de

mieux les exploiter dans le processus de prise décision pour l’entreprise.

Comme décrit précédemment, le problème consiste à étudier le fonctionnement d’un

système manufacturier reconfigurable sur un horizon équivalent à trois ans d’activités

divisé en trois périodes.

L’utilisateur doit aussi effectuer d’autres manipulations dans le modèle de simulation, tel

que les paramètres par défauts du système manufacturier (taux de panne, capacité de

production, nombre de sous-période de livraison, coût de stockage, coût de pénurie, coût de

réduction, coût d’expansion…).

Dans ce bloc, on a aussi le calcul de la capacité du système (CapaciteP1) à travers la

formule suivante (déjà mentionnée dans le chapitre précédent) :

88

Capi(SFi) = �(Ti − Trupi) ∗ µ + (Trupi ∗ µR)

PFi∗ g(SFi − PFi) si SFi ≥ PFi

0 si SFi < PFi

Cette capacité du système dépend entres autres de la demande du marché en termes de type

de produit et de la configuration en place.

L’étude va aborder les deux contextes de demande : connue et aléatoire. Dans les deux cas,

les paramètres de la demande seront fixés (niveau de la demande ou moyenne et écart type).

La configuration installée sur le système est obtenu à partir du bloc 2 qui va être expliqué

par la suite.

Les autres paramètres, tel que le facteur de vitesse « µ », le temps de ramp-up « Trupi » et

la durée de chaque période « Ti », sont considérées comme des caractéristiques du système.

Ce bloc est alors dédié à l’initialisation des paramètres du système. Cette initialisation se

fait tout d’abord à travers la lecture du tableau de données saisi par l’utilisateur (les entrées)

et de quelques paramètres qui sont déjà inscrits dans le simulateur par le programmeur. Ces

différents paramètres sont :

- La demande en type de produit pour la période courante (PFPeriod1) ;

- La demande en quantité de produit pour la période courante (DemandPeriod1) ;

- La quantité qui doit être livrée à chaque sous-période de livraison pour la période

courante (DeliveryQuantitySub1) ;

- La configuration qui va être installée au cours de cette période (on considère que

cette valeur est inscrite par défaut dans le simulateur et qui correspond à la

meilleure configuration possible pour le moment. Par la suite, cette valeur va être

modifiée par l’optimisateur afin de trouver la configuration optimale à installer pour

la période en question) ;

- La configuration déjà installée sur le système (de la période précédente). Cette

information sert à savoir s’il s’agit d’une expansion de la configuration (passage à

une configuration plus performante), d’une réduction de la configuration (passage à

une configuration moins performante) ou le maintien de la même configuration.

89

Il est à noter que lorsqu’il s’agit d’une expansion ou d’une réduction de la configuration, on

considère que lors du changement de la configuration, il existe un temps de réchauffement

(Ramp-up). Ce temps est égale à 5% de la durée de la période en question et on considère

aussi qu’au cours de ce lapse de temps le facteur de vitesse (Mu) est divisé par deux. Dans

le cas d’un maintien de la même configuration installée entre deux périodes consécutives,

on n’aura pas de coût de reconfiguration ni de temps de ramp-up.

La partie précédente a été dédiée à l’explication du bloc 1 dans le modèle général de la

simulation. Une fois tous les paramètres fixés, on commence l’étude de l’évolution du

système dans le temps. Juste au moment du lancement de la simulation, la source crée une

entité qui correspond aux paramètres définis par l’utilisateur. Cette entité va passer au

centre de production (bloc 5 du modèle général). Mais avant d’entamer la description de ce

bloc, on expliquera d’autres blocs et paramètres qui servent directement au fonctionnement

du bloc 5 (Production & livraison).

b- Le deuxième bloc : la génération des séquences de reconfiguration

Ce bloc est conçu pour la séquence de reconfiguration qui va être installée sur le système.

En fait, comme mentionné précédemment, le système manufacturier sous-étude est un

système reconfigurable, c’est-à-dire plusieurs configurations peuvent être installées sur le

système afin de s’adapter au marché et améliorer ses performances. Cela est dans l’objectif

de minimiser les coûts d’exploitation totaux et d’optimiser les ressources de l’entreprise.

Or, le système est régit par des contraintes faisant en sorte qu’au moment de la prise de

décision, on ne peut pas installer n’importe quel configuration. Ceci dépend tout d’abord de

la demande du marché en termes de type produit. En effet, comme déjà mentionné

précédemment (cela est indiqué dans la formule de capacité), un type de produit ne peut

être fabriqué que par la configuration correspondante ou une meilleure.

Donc, suivant la demande du marché, on a un ensemble de configurations admissibles qui

peuvent être installées. Sachant que la demande en termes de type de produit est connue

précédemment pour chaque période, les configurations qui vont être installées sur le

système peuvent être présentées sous la forme d’une séquence. Cette séquence comporte la

configuration pour chaque période.

90

Comme le système possède plusieurs configurations qui peuvent être installées et

connaissant la demande du marché, on aboutit alors à un grand nombre de séquences qui

peuvent installées sur le système à chaque période de l’horizon considéré. Donc, le rôle

principal de ce bloc est de générer les séquences de reconfiguration admissibles, chaque

séquence considère un scénario de test.

Vu que le nombre de séquence de reconfiguration possibles est considéré comme grand, on

utilisera lors de la résolution du problème l’optimisateur OptQuest du logiciel SIMIO. Cet

optimisateur va permettre de diminuer le nombre de scénarios à traiter. On parlera

davantage de cet optimisateur dans la partie résultat.

Plusieurs processus et paramètres ont été développés dans le simulateur afin que le modèle

conçu s’adapte à chaque séquence de reconfiguration et effectue toutes les modifications

nécessaires.

c- Le troisième bloc : le calcul des besoins nets

La demande du marché sous ses deux formes ‘’type de produit et quantité’’ est intégré dans

le modèle de simulation à travers le premier bloc. Cette demande est considéré du point de

vue hiérarchie de décision comme une demande tactique. Concernant le volume de cette

demande, on s’est mis dans un contexte plausible et reflète des pratiques existantes. En

effet, les grandes compagnies qui optent pour la sous-traitance se mettent d’accord au début

sur la quantité totale du contrat qui peut s’étaler sur un intervalle entre six mois et un an.

Habituellement, après l’accord sur la quantité totale, les deux parties considérées décident

de diviser la quantité totale inscrite dans le contrat en des quantités moins importantes pour

la livraison. On appelle le moment de ces livraisons ‘’des sous-périodes de livraison’’.

Cette politique présente plusieurs avantages pour les deux parties concernées. Elle permet à

la compagnie qui a demandé la sous-traitance à commencer à utiliser les produits (les

vendre ou les inclure dans la fabrication d’autres produits) sans attendre la fin du contrat et

elle permet aussi au sous-traitant de minimiser les stocks dans son usine, et par conséquent,

les coûts.

Le rôle principal de ce bloc est de calculer la quantité de la demande à chaque sous-période

de livraison au niveau opérationnel à partir de la demande du niveau tactique obtenu du

91

premier bloc. Ensuite, dépendamment de la quantité déjà en stock qui reste de la sous-

période précédente, on identifie le besoin net de la sous-période courante. Ce besoin net est

transféré au processus de production.

d- Le quatrième bloc : La politique de contrôle du rythme de production et des inventaires

Comme décrit dès le début de ce mémoire, parmi les contributions principales de notre

travail on cite le développement d’une politique de contrôle au niveau opérationnel qui

régit la production en fonction des états du système.

L’objectif de la modélisation de ce bloc se résume principalement dans la génération des

plusieurs niveaux (ou seuils) pour l’inventaire à chaque sous-période de livraison. Lorsque

qu’on arrive à ce seuil, la production est suspendue dans cette sous-période et on attend la

prochaine livraison afin de relancer la production de nouveau. À travers cette modélisation,

on arrive à minimiser la quantité dans l’inventaire, et par la suite, le coût de stockage mais

tout en gardant un stock de sécurité dans le cas où le système se trouve dans un état de

panne ou dans un état dégradé. L’avantage d’avoir un stock de sécurité est d’anticiper des

perturbations dans la cadence de production qui peuvent causer des pénuries ou des retards

de livraison.

Comme décrit ci-dessus à l’aide de ce bloc, on conçoit la politique de contrôle sur

l’inventaire qui agit par la suite directement sur les quantités produites par le système sous-

étude.

e- Le cinquième bloc : La production et la livraison

Ce bloc contient principalement le centre de production et les entrepôts. Il est responsable

de la production des produits et de leurs stockage dans les entrepôts afin d’être livrés.

Le système de production sous-étude est un système non-fiable. Il peut avoir trois états : un

état de fonctionnement normal, un état dégradé et un état de panne. Comme décrit ci-

dessous :

un état Normal : fabrication à capacité maximale,

un état Dégradé : fabrication à moitié de capacité,

92

un état de panne : défaillance totale.

Figure 33: Diagramme des états du système sous-étude

L’affectation de ces trois états au centre de production se fait à travers principalement trois

processus qui ont été développés dans le simulateur.

Le premier processus s’appelle : ‘’Etat_N_Process’’. Il est responsable de l’état normal du

système. On considère que par défaut l’état initial du système est l’état Normal puis à

travers cet état on peut passer aux autres états (Dégradé ou panne). Ce processus est basé

sur les paramètres prédéfinis du système (i.e., probabilités de transition). Le passage à un

état déterminé fait en sorte que les paramètres d’exécution de la production changent.

Le deuxième processus est appelé : ‘’Etat_D_Process’’. Il est dédié à l’exécution de l’état

Dégradé du système. Il s’alimente aussi des paramètres prédéfinis du système. Il fonctionne

avec le même principe que l’état normal. Le passage à cet état fait en sorte que le taux de

production est fixé à la moitié du taux de production de l’état normal.

Concernant le troisième processus, il est dédié à l’état de panne du système est appelé

‘’FailureProcess’’. Au cours de ce processus, le taux de production est nul.

En récapitulant, la partie production de ce bloc est dédiée principalement aux états que le

centre de production peut avoir. Le passage entre ces états est modélisé par une chaîne de

Markov. Bien évidemment comme expliqué précédemment le comportement du système

93

dépend essentiellement de la configuration installée sur le système et la demande du

marché.

À part les trois états du système qui gèrent le taux de production du système, un autre

facteur intervient dans notre étude qui permet lui aussi de contrôler la production. Ce

facteur est géré par le quatrième bloc expliqué précédemment. En fait, ce dernier génère des

niveaux d’inventaires que les entrepôts doivent respectés. Suite à ces niveaux reçus, la

production est suspendue dès qu’elle dépasse un seuil bien déterminé. De ce fait, le centre

de production est contrôlé par les trois états du système (la non-fiabilité) et la politique de

contrôle des inventaires.

Une fois les produits arrivent dans l’entrepôt, ils attendent la prochaine sous-période de

livraison tel que convenu dans le contrat suivant la demande (bloc 1) qui est calculée à

travers les besoins nets (bloc 3). Deux cas de figure se présentent ici :

- Si la quantité stockée dans l’entrepôt est supérieur à la demande de la sous-période

de livraison en question, alors on aura un stock positif après la livraison et par la

suite, cela engendre un coût de stockage.

- Si la quantité stockée dans l’entrepôt est inférieur à la demande de la sous-période

de livraison en question, alors on aura un stock négatif après la livraison et par la

suite, on aura un coût d’arriérage.

f- Le sixième bloc : Le calcul des coûts

Ce bloc est le plus important du point de vue optimisation parce que l’objectif principal de

l’entreprise est de minimiser les coûts d’exploitation. Ainsi, tous les processus développés

dans le simulateur communiquent avec ce bloc afin de faire la mise à jour de la fonction

coût au fur et à mesure du déroulement de la simulation.

La fonction coût comprend le coût de reconfiguration, le coût de production, le coût de

stockage, le coût d’arriérage et le coût de manque à gagner sur le marché. Cette fonction

n’est que la fonction objectif du problème qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de

décision (tactique et opérationnel). L’optimisation considère les paramètres d’entrées

(séquence de configuration et seuils critique) comme variable de décision.

94

Interface développée à l’aide du simulateur

Donc comme expliqué ci-dessus, tous les processus qui régissent la dynamique du système

ont été développés dans une perspective d’optimisation (paramètres, variables de décision

et fonction objectif) dans la plate-forme de simulation SIMIO. De plus, des interfaces et des

graphiques permettant le suivi de l’évolution du système en temps réel ont été développés

pour faciliter la validation et les expérimentations qu’on est amené à faire.

En guise d’illustration, l’allure finale du modèle développé est présentée dans le graphique

ci-dessous.

Figure 34: L'interface développée à l'aide du simulateur

On remarque dans ce graphique plusieurs indicateurs qui présentent les différents

paramètres du système en temps réel. Parmi ces paramètres : la quantité produite pour

chaque type de produit et à chaque période, les quantités livrés, les demandes du marché,

l’état du système en temps réel.

95

- Validation du modèle de simulation :

La validation du modèle de simulation développée s’est déroulée sur plusieurs étapes.

Premièrement, des tests individuels sur chaque processus développé ont été menés. Ces

tests visent à s’assurer que le processus exécute la requête programmée convenablement

à l’égard des paramètres d’entrées et sorties. Deuxièmement, des graphiques comme

celui présenté par la figure suivante viennent retracés l’évolution de la dynamique du

système dans le temps pour s’assurer que les processus de contrôle sont bien exécutés.

Ces processus concernent les changements de configuration, les livraisons, la

production en respectant les seuils critiques ainsi que la réaction de la production face

aux événements aléatoires (pannes et état dégradé). Tous les tests effectués ont

démontré que notre modèle reflète fidèlement le système et sa dynamique.

Figure 35: Validation du modèle de simulation

96

4.3. Résultats expérimentaux

4.3.1. Cas d’étude numérique

Comme décrit précédemment, on dispose d’un centre de production reconfigurable capable

de fabriquer plusieurs produits de la même famille. Ce centre est sujet à des pannes

aléatoires et à des périodes de fabrication en régime dégradé.

Notre objectif principal est de minimiser le coût d’exploitation de ce centre de production,

et ce, à travers l’identification de la séquence optimale de reconfiguration sur l’horizon

sous-étude et la politique optimale de contrôle sur l’inventaire durant chaque période de

l’horizon en question.

Le modèle de simulation décrit requiert beaucoup de paramètres qui vont être décrits dans

la suite. Ces paramètres peuvent être divisés en deux niveaux : le niveau tactique et le

niveau opérationnel. Il est à noter le modèle de simulation développé a été basé sur

l’intégration de ces deux niveaux de la hiérarchie de décision.

Commençons tout d’abord par le niveau tactique On considère que l’horizon de

planification s’étale sur trois ans, donc trois périodes chacune dure une année. Cinq

configurations peuvent être installées sur le système. Le type de ces configurations varie

entre 7 et 11. L’installation de ces configurations dépend bien sûr comme mentionné

précédemment de la demande du marché et de plusieurs autres facteurs.

Le choix des paramètres a été basé sur la revue de la littérature afin de s’approcher le plus

possible d’un contexte réaliste. On considère le facteur de rapidité égal à µ = 0,4, et lors de

la période réchauffement (Ramp-up) égal à µRup = 0,2, c’est-à-dire 50% du

fonctionnement normal. On considère que l’entreprise fonctionne 24 heures par jour sur

toute l’année, ce qui équivaut à une durée égale à Ti = 8760 h et la durée du Ramp-up est

considéré égale à 5% de la période globale TRup = 438 h. La demande du marché est

considérée comme suit :

97

Tableau 13: la demande du marché en type et en quantité

Demande Type Quantité Première année 8 350 Deuxième année

10 310

Troisième année

9 330

On considère que la configuration initiale déjà installée sur le système est égale à SF0 = 9.

Concernant le coût de réduction et le coût d’expansion de la configuration, ils sont fixés à

R=5 000 et E=5 000 respectivement. Le coût de production est égal à 200 par unité

produite.

Abordons maintenant le niveau opérationnel du modèle de simulation. Comme décrit

précédemment, chaque période possède 12 sous-périodes de livraison au niveau tactique,

l’objectif est donc de livrer le produit à temps en minimisant le coût de stockage et le coût

de pénurie. On considère que ces périodes de livraison sont égales et possèdent des

quantités à livrer égales aussi. Les coûts de stockage et de pénurie sont respectivement fixés

à C+ = 50 et C− = 250.

Les quantités à livrer à la fin de chacune des sous-périodes de livraison sont données dans

le tableau suivant. Ces valeurs sont obtenues par la division de la quantité de la demande de

chaque période par le nombre de ses sous-périodes de livraison. Il est à noter que cette

hypothèse concerne le cas déterministe de demande. Dans le cas aléatoire, les demandes

seront générées suivant une distribution de probabilité détaillée plus loin dans le rapport.

Tableau 14: Les Quantités à livrer à la fin de chacune des sous-périodes de livraison

Les Quantités à livrer à la fin de chaque sous-période de livraison

Première année 29 Deuxième année 26 Troisième année 27

Le système de production est sujet à des pannes aléatoires et à des périodes de production à

capacité dégradée. Cet aspect multi-états du système est modélisé par une chaine de

Markov (distribution de probabilité exponentielle ayant pour moyenne l’inverse des taux de

98

transition). Les probabilités de transition entre ces états dépendent de la configuration

installée sur le système. Le tableau récapitulatif suivant présente les probabilités de

transition considérées pour chacune des configurations possibles :

Tableau 15: Les probabilités de transition entre les états pour chaque configuration

7 8 9 10 11 Transition de l’état P à l’état N 0.85 0.875 0.9 0.925 0.95 Transition de l’état N à l’état P 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 Transition de l’état P à l’état D 0.1 0.085 0.07 0.055 0.04 Transition de l’état D à l’état P 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 Transition de l’état D à l’état N 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Transition de l’état N à l’état D 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

P (État Normal) 0.7 0.757 0.816 0.876 0.937 P (État de Panne) 0.1 0.075 0.052 0.031 0.014 P (État Dégradé) 0.2 0.167 0.131 0.091 0.048

L’état N désigne l’état Normal, c’est-à-dire à capacité maximale. L’état D désigne l’état

Dégradé, c’est-à-dire à moitié capacité. L’état P désigne l’état de Panne, c’est-à-dire à

capacité nulle.

4.3.2. L’Optimisation avec OptQuest

Le module d’optimisation «OptQuest» est un outil qui peut être couplé avec le modèle de

simulation SIMIO afin d’identifier la meilleure combinaison des paramètres qui permettent

d’atteindre l’objectif de l’étude. «OptQuest» intègre une combinaison de métaheuristiques

(la recherche tabou, l’algorithme génétique) et les réseaux neurones afin de prendre la

meilleure solution lors de la prise de décision.

Afin d’utiliser OptQuest, l’utilisateur doit spécifier les entrées du système (les paramètres

de contrôles) à optimiser et la sortie du système qui est généralement une fonction objectif

à minimiser ou à maximiser. D’autres éléments doivent être définis aussi qui seront décrit

ci-dessous :

- Une limite inférieure et une limite supérieure pour le nombre de réplications qui

doivent être exécutées à chaque scénario,

99

- Le nombre maximum de scénarios à tester lors du processus d’optimisation,

- Le niveau de confiance,

- Le pourcentage d’erreur de la moyenne de l’échantillon,

- Le warm-up (le temps requis pour atteindre le régime permanent),

- La limite inférieure et supérieure pour chaque paramètre à optimiser (domaine

expérimental).

Après la spécification de chacun des éléments précédents, «OptQuest» peut être lancé afin

de déterminer la meilleure solution du problème.

4.3.3. L’outil SMORE de SIMIO Comme la simulation est une méthode approchée qui permet d’obtenir des solutions à

travers des paramètres d’entrées prédéfinies, plusieurs réplications doivent être testées pour

chaque scénario. Un outil appelé SMORE est intégré dans SIMIO, cet outil est un

évaluateur de risque et de l’erreur statistique de Simio (a Simio Measure Of Risk & Error).

Il permet la représentation graphique du maximum d’information d’un échantillon d’une

population. Cet échantillon est le résultat des réplications exécutées pour chaque scénario

(Kelton et al, 2011).

Le diagramme SMORE présente le minimum, le maximum, la moyenne et la médiane des

valeurs observées pour chaque scénario ainsi que les quartiles inférieurs et supérieurs

suivant un degré de confiance défini par l’utilisateur dès le départ. (Figure 36).

100

Figure 36: Diagramme SMORE adapté de Kelton et al (2011)

4.3.4. Technique de réduction de la variance Dans le cadre de notre étude, nous sommes amenés à comparer les résultats de deux

modèles de simulation correspondants à deux systèmes manufacturiers différents,

notamment un RMS et un AMS. Dans ce contexte, on vise à comparer les coûts totaux de

chaque modèle. Pour faire en sorte que l’exécution de ces deux modèles se fasse dans les

mêmes conditions d’opération, nous devons porter une attention particulière à la génération

des nombres aléatoires servant à reproduire les évènements aléatoires. En plus de

l’exécution de plusieurs réplications afin de réduire l’intervalle de confiance des résultats, il

faut rouler les deux modèles avec les mêmes séries de nombre aléatoire. La technique de

réduction de la variance est une procédure utilisée pour augmenter la précision des

estimations qui peuvent être obtenues pour un nombre donné de réplications, et cela, afin

d’effectuer une simulation statistiquement efficace.

La «Common Random Number» (CRN) est considérée parmi les techniques efficaces de

réduction de la variance. La variabilité dans notre problème figure principalement dans le

101

cas de la demande aléatoire qui suit une loi normale et dans le cas de la transition entre les

états qui suit une loi exponentielle.

Afin d’appliquer la CRN, il est nécessaire de synchroniser la séquence de nombres

aléatoire. Entre autre, une séquence de nombre aléatoire utilisé dans un scénario bien

déterminé d’un modèle, cette même séquence doit être utilisé dans l’autres modèle à

comparer.

Les étapes pour l’application du CRN : (on désigne par ‘1’ le premier modèle et ‘2’ le

deuxième modèle)

1. Calculer pour chaque réplication n la différence Zn = Y1n — Y2n des deux mesures de coûts Y1 et Y2.

2. Calculer la moyenne �̅� = 1𝑛

∑ 𝑍𝑛𝑛𝑛=1

3. Calculer la variance 𝑆𝑛2 = 1𝑛−1

∑ (𝑍𝑛 − �̅�)2𝑛𝑛=1

4. Déterminer l’intervalle de confiance : 𝐼𝐶 = 𝑡(𝛼2 ,𝜗)�𝑆𝑛2

𝑛

Avec 𝜗 = 𝑛 − 1 représente le nombre de degrés de liberté tel que n est le nombre de réplications, α est le niveau de signifiance, Ensuite, trois cas se présente pour décider lequel des modèles est meilleur :

- 1er cas : si l’intervalle de confiance est complétement à gauche de zéro, on peut

conclure que la différence Y1-Y2 est négative et par la suite on aura Y1<Y2,

- 2ème cas : si l’intervalle de confiance est complétement à droite de zéro, on peut

conclure que la différence Y1-Y2 est positive et par la suite on aura Y1>Y2,

- 3ème cas : si l’intervalle de confiance contient zéro, on ne peut pas affirmer quel

modèle est meilleur par rapport à l’autre, dans ce cas, il faut opter pour plus de

réplications. Sinon on conclura qu’il n’y a pas de différence significative entre les

modèles.

102

4.3.5. La notion du niveau de service

En plus du calcul des coûts encourus, nous allons afficher une autre mesure pour avoir une

idée plus précise sur la performance du système en ce qui à trait des livraisons. Cette

mesure concerne le niveau de service qu’on a considéré en se basant sur la définition de

Sheffi et Caplice (2003) comme étant la somme des rapports des quantités livrées à temps à

chaque sous-période de livraison divisée par la demande des sous-périodes de livraison. Ce

niveau donne une idée sur la qualité de service du fabricant, soit sa capacité à assumer ses

engagements de livraison à temps. Ce niveau est un pourcentage. Plus il est élevé et

s’approche de 100%, plus le scénario est meilleur tout en considérant bien sûr l’aspect du

coût total d’exploitation.

4.3.6. Détermination des paramètres optimaux du modèle développé

On abordera dans cette partie la détermination des paramètres optimaux du modèle

développé expliqué dans la partie 4.2.

L’objectif est d’avoir un stock de sécurité capable de combler une éventuelle pénurie dans

le futur. Vu que le comportement du système est aléatoire (trois états qui sont régis par une

modélisation markovienne), cette expérience est faite à l’aide de l’optimisateur «OptQuest»

afin d’identifier les seuils Z qui contrôlent la production durant chaque période. Ces seuils

Z permettent d’avoir un niveau suffisant dans le stock qui couvre des possibles pénuries

futures. L’optimisation des configurations à installer dans chacune des périodes fait aussi

partie du processus afin de garantir une utilisation optimale des ressources matérielles de

l’entreprise. Dans un premier temps, les taux de la demande sont considérés déterministes,

et comme mentionné ci-dessus ils prennent les valeurs suivantes à chaque période.

Tableau 16: les taux de la demande pour l'horizon considéré

Période 1 2 3 Taux de la demande 350 310 330

Dans cette étude de cas et avec les données mentionnées précédemment, on obtient les

résultats suivants :

103

Tableau 17: les résultats obtenus du cas numérique du RMS

Période 1

Période 2

Période 3

Séquence Optimale de reconfiguration

9 10 9

Seuils critiques de production à chaque sous-

période (un mois)

31 32 31

Niveau de service global (%)

99,8 97,9 90,4

Coût Total d’exploitation CoutRMS =227 086

Dans ce cas, on a considéré que la demande du marché en termes de taux de la demande est

déterministe et que le modèle de simulation exécuté se base sur l’intégration des deux

niveaux de la hiérarchie de décision «tactique-opérationnelle» dans la prise de décision. Les

résultats ci-dessus montrent que l’optimisation a donné une séquence de reconfiguration sur

l’horizon sous-étude de [9-10-9] et des seuils critiques de production qui favorisent un

niveau de stockage confortable (les seuils sont supérieurs aux demandes des sous-périodes).

Ces résultats considèrent une intégration des deux niveaux de la hiérarchie de décision

«tactique-opérationnelle».

De la même façon qu’on a procédé dans le chapitre 3, on s’intéresse à la validation des

résultats obtenus et qui montrent le gain entre un modèle intégré versus dissocié. La

motivation derrière cette validation s’explique par le fait qu’avec l’approche basée sur la

simulation on a : (1) une meilleure idée sur la génération des évènements aléatoires et (2) la

possibilité de faire des comparaisons statistiques basée sur des intervalles de confiance.

Ceci nous semble plus rassurant avant de mener une étude comparative dans un contexte de

demande aléatoire.

La validation va considérer la même stratégie suivie au cours du chapitre précédent, c’est-à-

dire en comparant les décisions obtenues en considérant le niveau tactique et les décisions

obtenues en considérant un modèle intégré.

Cette validation, comme montré dans le chapitre précédent, se divise principalement en

deux étapes principales. La première étape consiste à exécuter l’optimisateur «OptQuest»

104

en minimisant juste le coût tactique, ce qui nous ramène à obtenir une séquence de

reconfiguration optimale. Cette décision s’insère alors dans le niveau opérationnel afin

d’obtenir les seuils critiques de production, ce qui aboutit à un coût total d’exploitation (on

l’appelle plus tard ‘’Scénario 1’’). Au cours de la deuxième étape, on considère que le

système est conçu dès le départ sur l’intégration des deux niveaux de la hiérarchie de

décision «tactique-opérationnel». Suite à l’exécution de l’optimisateur «OptQuest», on

obtient une séquence de reconfiguration optimale et des seuils critiques de production avec

un coût total d’exploitation comme montré précédemment (on l’appelle plus tard ‘’Scénario

2’’deuxième modèle). Cette validation consiste principalement à la comparaison entre les

coûts de ces deux scénarios. Comme les résultats du ‘’Scénario 2’’ étape sont déjà donnés

ci-dessus, il ne reste que les résultats du ‘’Scénario 1’’.

Présentons dans le tableau suivant les résultats obtenus :

Tableau 18: Comparaison entre les résultats des deux scénarios pour le cas numérique

Demande [350-310-330]

Scénario 1 Scénario 2 Période 1 Période 2 Période 3 Période 1 Période 2 Période 3

Séquence de reconfiguration

optimale 8 10 9 9 10 9

Seuils critiques de production 29 26 27 31 32 31

Taux de services (%) 80,5 97,3 78 99,8 97,9 90,4

Coût total 248 048 227 086 Écart 8,4%

On remarque que la séquence de reconfiguration ainsi que les seuils critiques ont changé

entre les deux scénarios, ce qui a engendré une variation du coût total. Grâce à cette

variation, le modèle qui intègre les deux niveaux de la hiérarchie de décision permet à

l’entreprise de gagner 8,4% dans le coût total d’exploitation avec un niveau de confiance de

95% (pour exemple d’application de la «CRN» voir Annexe 2). On constate aussi que les

niveaux de service augmentent dans le cas d’un modèle intégré, ce qui est logique comme

le présagent les avantages de l’application du scénario 2.

105

4.3.7. Analyse de sensibilité

a- Variation des taux de la demande

Deux cas de figures de la demande du marché vont être testés, un premier cas où le taux de

la demande du marché est considéré déterministe et pour le deuxième cas le taux de la

demande est aléatoire qui suit une loi normale.

i. Contexte déterministe

Tableau 19: les résultats des deux scénarios pour une demande de [310-270-290]

[310-270-290]


Seuils de Production (Z)

Les niveaux de services (%) Les coûts engendrés

Gain*

P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 C-Oper C-Tact C-total

Scénario 1 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 189308 192198 0%

Scénario 2 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 189308 192198

* Avec un intervalle de confiance de 95%


[330-290-310]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 27 24 26 90,2 97 91,6 12985 200272 213257 2,4%

Scénario 2 8 10 9 29 26 26 90,7 99,3 91,1 6315 201836 208151


[350-310-330]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 29 26 27 80,5 97,3 78 39800 208248 248048 8,4%

Scénario 2 9 10 9 31 32 31 99,8 97,9 90,4 8630 218456 227086

106


[370-330-350]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 33 27 29 85,4 78,7 69,7 68110 215632 283742 10,18%

Scénario 2 9 10 10 35 29 29 99,9 87 90,4 17430 237416 254846

On constate que le gain augmente d’une façon remarquable en augmentant la demande, ce

gain est issu principalement des gains au niveau opérationnel. De plus, on remarque que le

scénario 2 a gardé des niveaux de service élevés qui avoisine parfois les 100%

comparativement au scénario 1 qui perd sa performance quand la demande augmente. Ce

résultat est rassurant étant donné que l’optimisation du niveau de service ne faisait pas

partie de l’optimisation globale. Donc en optimisant juste le coût total les résultats obtenus

démontrent que le choix de configurations performantes pour faire face aux aléas du niveau

opérationnel aboutit automatiquement à un niveau de service intéressant.

Figure 37: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte déterministe

0

2

4

6

8

10

12

[310-270-290] [330-290-310] [350-310-330] [370-330-350]

Gain en augmentant les taux de la demande dans un contexte déterministe

Gainen %

107

On remarque aussi que dans le scénario 2, à chaque fois que la demande augmente la

séquence de reconfiguration change. Ce changement permet de passer à des configurations

plus performantes ce qui diminue le coût opérationnel (surtout le coût de pénurie) mais en

contrepartie ce passage influe négativement sur le coût tactique. Ci-dessous, on expliquera

le phénomène étudié avec plus de détails à travers des graphiques.

Coût [310-270-290]

[330-290-310]

[350-310-330]

[370-330-350]

Scénario 1 Tactique 189308 200272 208248 215632

Opérationnel 2890 12985 39800 68110 total 192198 213257 248048 283742

Scénario 2 Tactique 189308 201836 218456 237416

Opérationnel 2890 6315 8630 17430 total 192198 208151 227086 254846

Figure 38: les coûts engendrés suite à l'optimisation pour différents taux de la demande

Figure 39: Comparaison entre les différents coûts des deux scénarios en augmentant la demande

Dans le graphique ci-dessus, les courbes en pointillées représentent les coûts du Scénario 1

et les courbes continues représentent les coûts associés au scénario 2. On rappelle que le

coût opérationnel est composé du coût de stockage et du coût de pénurie. Et concernant le

coût tactique il est composé principalement du coût de production et du coût de

reconfiguration.

Comme on a trouvé à travers les résultats et les tableaux présentés précédemment que le

Scénario 2 est meilleure que le Scénario 1 donc nécessairement la courbe qui représente le

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

[310-270-290] [330-290-310] [350-310-330] [370-330-350]

Tactique S1

Operat S1

Total S1

Tactique S2

Operat S2

Total S2

108

coût total du scénario 2 (Courbe continue en vert) doit être sous la courbe du coût total du

scénario1 (courbe verte en pointillée).

On a remarqué aussi que le scénario 2 tend à se reconfigurer plus rapidement lorsqu’on

augmente la demande, cette reconfiguration pénalise le coût tactique du système et ce, à

travers un coût supplémentaire pour la passage à configuration plus performante et en plus

à travers le coût de production qui augmente lorsqu’on décide de fabriquer avec une

configuration qui a une fonctionnalité supérieur à la fonctionnalité du type de la demande.

Ce qui explique le fait d’avoir le coût tactique du scénario 2 (courbe continue en rouge)

supérieur au coût tactique du scénario 1 (courbe rouge en pointillée).

En ce qui concerne le coût opérationnel, lorsque le système se reconfigure, on gagne en

termes de capacité et par la suite on aura assez de capacité afin de répondre à la demande et

afin de faire face à des pénuries futures ce qui engendre une diminution du coût

opérationnel. Ce qui est montré dans le graphique précédent à travers le fait d’avoir la

courbe du coût opérationnel du scénario 2 (courbe continue en bleue) sous la courbe du

cout opérationnel du scénario 1 (courbe bleue en pointillée).

En récapitulant, ce compromis a permis d’avantager le scénario 2 qui intègre les paramètres

opérationnels dans le processus de prise de décision.

ii. Contexte aléatoire

Dans cette partie, on considère un contexte aléatoire de la demande. La motivation de

mener cette étude tire ses origines des avantages attendues du paradigme des RMS qui

performe mieux dans un contexte de forte variabilité. On considère que les demandes suit

une loi de probabilité normale. Plusieurs expériences ont été réalisées avec des écarts types

différents. Tous les résultats confirment nos attentes dans le sens où en augmentant la

demande le gain du scénario 2 augmente. Ces résultats sont présentés dans les tableaux

suivants.

109

On présentera ci-dessous les résultats obtenus avec un écart type de 25 (STD=25). Les

moyennes des demandes sont présentées dans le titre de chaque tableau.


[290-250-270]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 24 21 22 91,4 90,4 80,6 32510 173086 205596 5,57%

Scénario 2 8 10 9 30 27 28 99,6 99,7 91,6 10680 183448 194128


[310-270-290]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 26 22 24 91,7 87,8 82,5 36403 184066 220469 6,8%

Scénario 2 9 10 9 30 26 28 100 98,1 91,5 8680 196600 205280


[330-290-310]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 27 24 26 87,3 89,4 85,2 38470 195821 234291 6,9%

Scénario 2 9 10 9 31 30 30 100 99,8 89,4 9970 208156 218126


[350-310-330]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 29 26 27 83,2 89 78,5 54744 206133 260877 7,93%

Scénario 2 9 10 9 33 30 33 99,9 93,7 85,6 20505 219684 240189

110


[370-330-350]




Gain*


Scénario 1 8 10 9 31 27 29 75,8 77,6 73,7 92235 214123 306357 11,21%

Scénario 2 9 10 9 37 31 33 99,6 80,7 91,3 32335 239664 271999

En testant les deux scénarios dans un contexte aléatoire, on constate que la tendance du

gain reste la même, en augmentant la demande le gain augmente. Ce gain est beaucoup plus

élevé que celui enregistré dans un contexte déterministe. Cette observation confirme que

l’intégration des deux niveaux de décision est d’autant plus importante dans un contexte de

forte variabilité.

Figure 40: Variation du gain en augmentant la demande dans un contexte aléatoire (STD=25)

0

2

4

6

8

10

12

Gain en augmentant les taux de la demande dans un contexte aléatoire (STD=25)

Gainen %

111

b- La variabilité de la demande et son effet sur les décisions

Dans cette section nous allons mener une étude de sensibilité sur le niveau de variabilité de

la demande pour tester son impact sur les décisions. Pour ce faire, on va se concentrer sur le

meilleur scénario (scénario 2 : prise de décision intégré) tout en faisant varier les écarts

types des demandes. Quatre niveaux de variabilité pour une seule séquence de demande ont

été considérés pour illustrer cet aspect.

Tableau 28: L'effet de la variabilité sur les décisions de reconfiguration du Scénario 2

[310-270-290]



Les niveaux de services (%)

P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3

Scénario 2 (STD=0) 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7

Scénario 2 (STD=15) 8 10 9 28 26 26 98,3 99,7 91,6

Scénario 2 (STD=25) 9 10 9 30 26 28 100 98,1 91,5

Scénario 2 (STD=35) 9 10 9 30 28 28 100 97,8 91

On remarque dans cette analyse que pour une demande donnée et en augmentant la

variabilité, le scénario 2 change sa séquence optimale de reconfiguration et aussi ses seuils

de production. Ce changement est expliqué par le fait que le système s’adapte à la

variabilité. Il est reconfigurable d’une façon qu’il essaye de se protéger de la variabilité par

le passage à une séquence de reconfiguration plus performante.

Malgré la variabilité importante, le passage à une séquence de reconfiguration plus

performante a permis de garder des niveaux de services intéressants.

4.4. Étude comparative RMS - AMS

Dans cette section, on se propose de mener une étude pour mesurer l’avantage du système

RMS considéré en comparaison avec un système de production classique adapté au

contexte manufacturier considéré. À partir de la revue de littérature menée, nous avons opté

112

pour une comparaison avec les systèmes AMS (Système manufacturier ajustable). Ce

système permet un ajustement suivant la demande afin de produire le type de produit

demandé avec la configuration correspondante. L’objectif de cette étude concerne deux

aspects importants à savoir : (1) mesurer les performances de deux types de système (2)

mesurer l’avantage de système RMS en termes d’adaptation dans un contexte de variabilité

élevé. Au cours de cette étude on vise aussi à dresser un portrait des limites de chaque type

du système manufacturière (AMS et RMS) et ce à travers une étude sur la variabilité de la

demande.

On tient à rappeler que les systèmes manufacturiers ajustables ou réglables (AMS) sont

composés d’une série de machines réglables, qui peuvent être utilisés dans la production

d’une gamme limité de produits. Ils sont caractérisés par leur comportement semblable au

DMS une fois ajustés c’est-à-dire avec un coût de production pas très élevé et une

production de masse.

En récapitulant au cours de cette étude de l’AMS, on ne parle plus d’une optimisation de la

séquence de reconfiguration optimale qui va être installée sur le système mais on parle juste

d’une optimisation des seuils critiques de production à chaque période. Donc on considère

que le système s’ajuste à chaque période afin de correspondre à la fonctionnalité du type de

la demande du produit. L’optimisateur «OptQuest» est utilisé aussi dans cette étude afin de

déterminer les seuils critiques optimaux pour chaque période et le coût total minimum.

En se référant au tableau 1 adapté de Zhang et al (2006) du chapitre 1 qui présente les SDI

pour chaque type de système, on constate que trois paramètres qui figurent dans notre étude

du RMS doivent être modifié afin de correspondre au profil de l’AMS. Ces trois paramètres

sont les suivant :

- Le coût de reconfiguration : Zhang et al (2006) attribuent un SDI de ‘0.8’ pour le

coût de reconfiguration du RMS et un SDI de ‘0.3’ pour le coût de reconfiguration

de l’AMS (on appelle ce coût plus tard ‘coût de setup’ afin de ne pas le confondre

avec le coût de reconfiguration du RMS). Donc comme on a un coût de

reconfiguration de ‘5000’ pour le RMS, on a décidé d’attribuer un coût de setup de

’20 000’ pour l’AMS sous étude.

113

- Le coût de production ou comme appelé par l’étude de Zhang et al (2006) ‘’ coût

d’opération’’, ce coût a un SDI de ‘0.3’ pour le RMS et un SDI de ‘0.8’ pour

l’AMS. C’est-à-dire le coût de production de l’AMS doit être inférieur par rapport

au coût de production du RMS. Le coût de production qui a été attribué au RMS

précédemment dans le chapitre est de ‘200’ mais ce coût est variable puisqu’à

chaque fois qu’on décide de fabriquer avec une configuration plus performante

(juste la configuration supérieure) il se pénalise de 20% et ainsi de suite. Donc on a

décidé d’attribuer un coût de production pour l’AMS égal à ‘150’. Ceci peut être

changé si on décide de changer le pourcentage de pénalité du coût de production du

RMS.

- Le coût de Ramp-up : Zhang et al. (2006) attribuent un SDI de ‘0.8’ pour le coût de

Ramp-up du RMS et un SDI de ‘0.3’ pour le coût de Ramp-up de l’AMS’. C’est-à-

dire normalement le coût de Ramp-up du RMS doit être inférieur par rapport à celui

de l’AMS. Comme dès le début de l’étude, le Ramp-up a été considéré

implicitement dans la formule de la capacité du système et ce à travers 5% de la

période où le taux de production est à moitié capacité, on a décidé de ne pas tenir en

compte de ce paramètre et de garder la même formule de capacité pour les deux

modèles.

Après l’identification des paramètres qui doivent être modifiés lors de l’étude de l’AMS, un

test de faisabilité s’avère important puisque différemment à un RMS, le AMS ne peut pas

se reconfigurer c’est-à-dire il ne peut pas avoir plus de capacité. En fait, l’AMS s’ajuste

juste avec le type de la demande du marché. Or le RMS quand il se reconfigure avec des

configurations plus performantes, il aura plus de capacité ce qui va lui permettre de

répondre à plus de demande.

- Test de faisabilité :

La demande du marché qui va être considérée dans l’étude de l’AMS est prise de telle

façon que le système malgré sa non-fiabilité aura assez de capacité pour répondre à la

demande globale de la période. Cette capacité est considérée lorsqu’on a une fonctionnalité

de la configuration installée sur le système qui correspond la fonctionnalité du type de la

demande de période en question.

114

Période1 : Type de produit = 8 :

Suivant la formule de capacité on obtient une capacité de la première période égale à

‘427,05’. Or, le système est sujet à des pannes aléatoires et à des périodes de production à

moitié capacité. Pour un type ‘8’, la probabilité de l’état normal est égale à ‘0.75’ et la

probabilité de l’état dégradé est égale à ‘0.167’. Ce qui nous donne une capacité réelle

(CapR) de :

CapR(P1)=355,94


On procédant de la même façon avec les paramètres d’un type de produit =10 et d’une

configuration installée =10, on obtient une capacité réelle à la deuxième période de :

CapR(P2)=314,82


On procédant de la même façon avec les paramètres d’un type de produit =9 et d’une

configuration installée =9, on obtient une capacité réelle à la deuxième période de :

CapR(P3)=334,61

La demande de produit considérée ne doit pas dépasser les valeurs de la capacité réelle

mentionnées ci-dessus à chaque période. Puisque comme expliqué puisque l’AMS n’est pas

un système reconfigurable, il s’ajuste juste avec le type de la demande et il ne peut pas

avoir de capacité supplémentaire comme le RMS.

4.4.1. Cas numérique d’étude

En considérant une demande de 290 pour la première période, 250 pour la deuxième

période et de 270 pour la troisième période, on démarre l’optimisateur afin d’avoir les

seuils de production optimales pour l’AMS. On tient à noter qu’on est dans un contexte

d’ « assez de capacité ».

115

Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Tableau 29: les résultats obtenus du cas numérique du AMS

Période 1

Période 2

Période 3

Séquence des configurations de l’AMS=

Demande en type

8 10 9

Seuils critiques de production à chaque

sous-période (un mois)

24 21 22

Niveau de service global (%)

95,6 99,8 90,6

Coût Total d’exploitation CoutAMS =202 577

Une comparaison par rapport au RMS s’avère intéressante pour comparer les décisions et

les coûts.

Dans le tableau suivant, on présentera les résultats des deux systèmes manufacturiers

ensemble.

Tableau 30: les résultats des deux systèmes pour une demande de [290-250-270]

[290-250-270]




Gain*


AMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 197567 202577 10,27%

RMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 176796 181766

Suite aux résultats obtenus, on remarque que les décisions des systèmes manufacturiers

sont identiques. Pour le coût opérationnel aussi, il est identique. Ce qui logique puisque les

seuils de productions sont les mêmes donc du point de vue opérationnel (stockage et

pénurie). Les deux systèmes se sont donc comportés de la même façon. Mais malgré ça, le

RMS présente un gain par rapport à l’AMS. Ce gain en fait provient de la différence entre

les coûts tactiques des modèles. Comme mentionné précédemment, l’AMS a un cout de

setup supérieur au cout de reconfiguration du RMS mais un cout de production inférieur.

On constate que l’AMS n’a pas assez produit pour rentabiliser les investissements dépensés

116

dans les couts de setup. Cela se confirme par le fait qu’on est dans un contexte d’assez de

capacité (demande << capacité).

Ces observations nous encouragent à étudier plus en profondeur la comparaison entre ces

deux systèmes, et ce, à travers une analyse de sensibilité.

4.4.2. Analyse de sensibilité Cette analyse se divise en deux grandes parties : la première partie est consacrée à la

variation des taux de la demande dans un contexte déterministe et la deuxième partie est

consacrée à la variabilité des taux de la demande.

a- Variation des taux de la demande dans un contexte déterministe

Suite aux résultats précédents qui ont montré dans un contexte où le système possède assez

de capacité pour répondre à la demande le RMS est plus avantageux, on a décidé de

pousser plus l’étude et d’analyser d’autres taux de la demande.

Dans les tableaux suivants, on présentera les résultats obtenus suite à la variation des taux

de la demande dans un contexte déterministe.


[290-250-270]




Gain*


AMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 197567 202577 10,27%

RMS 8 10 9 24 21 22 95,6 99,8 90,6 5010 176796 181766


[310-270-290]




Gain*


AMS 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 206981 209871 8,42%

RMS 8 10 9 26 22 24 98,3 99,7 90,7 2890 189308 192198

117


[330-290-310]




Gain*


AMS 8 10 9 29 26 26 96,7 99,2 91,1 6315 216377 222692 6,52%

RMS 8 10 9 29 26 26 96,7 99,2 91,1 6315 201836 208151


[350-310-330]




Gain*


AMS 8 10 9 31 26 31 90,5 98,3 91 14415 224555 238970 4,9%

RMS 9 10 9 31 32 31 99,8 97,9 90,4 8630 218456 227086

On remarque que comme prévu, l’AMS est entrain de rentabiliser son coût de mise en

course (setup) quand les niveaux de demande augmentent. On constate aussi que dans un

contexte déterministe, lorsque la demande du marché approche la capacité réelle du

système, l’écart entre l’AMS et le RMS diminue. Dans notre cas, le gain diminue de

10,27% à 4,9%, ce qui n’est pas négligeable en termes de coût total.

On remarque que le coût opérationnel entre les deux scénarios est resté pratiquement

inchangé, ce qui implique que le coût tactique est celui qui a le plus de poids pour changer

les niveaux des gains. Le graphique suivant illustre cette observation.

118

Figure 41: Variation des coûts tactiques des deux systèmes en augmentant la demande

À partir de ce graphique, on remarque que l’écart entre le coût tactique du RMS et le coût

tactique de l’AMS est entrain de diminuer ce qui explique la diminution du gain. Ceci est

expliqué par le fait que dans un contexte d’une demande qui avoisine la demande réelle du

marché, l’AMS à travers son coût de production plus faible arrive à rentabiliser une bonne

partie de son investissement dans le coût de mise en course (setup).

Ce constat nous encourage à étudier la variabilité du système pour cette demande

particulière (qui avoisine la capacité) afin de comprendre plus les limites de chaque

système et de ressortir des analyses pertinentes.

b- Variabilité du taux de la demande

Les résultats précédents montrent que lorsque la demande du marché avoisine la capacité

du système, le système RMS perd d’efficacité devant le système AMS. Cette perte de

performance a été expliquée par le fait que l’AMS fabrique une quantité assez importante

qui le permet de rentabiliser son coût de setup.

160000

170000

180000

190000

200000

210000

220000

230000

[290-250-270] [310-270-290] [330-290-310] [350-310-330]

Tactique AMS

Tactique RMS

119

Au cours de cette partie, on vérifiera si ce constat reste valable en augmentant la variabilité

de cette demande particulière.

Plusieurs valeurs de l’écart type de la demande ont été testées. Les résultats obtenus sont

illustrés dans les tableaux suivants :

Tableau 35: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte déterministe

[350-310-330]

Déterministe




Gain*


AMS 8 10 9 31 26 31 90,5 98,3 91 14415 224555 238970 4,9%

RMS 9 10 9 31 32 31 99,8 97,9 90,4 8630 218456 227086

Tableau 36: les résultats des deux systèmes pour une demande de [350-310-330] dans un contexte aléatoire avec un écart type de 15

[350-310-330]

STD = 15




Gain*


AMS 8 10 9 35 28 31 95,4 91,2 87,4 23645 225620 249265 7,35%

RMS 9 10 9 31 30 31 100 93,1 89,8 11980 218956 230936


[350-310-330]

STD=25




Gain*


AMS 8 10 9 33 32 31 92,1 88,2 84,7 34615 225385 260004 7,6%

RMS 9 10 9 33 30 33 99,9 93,7 85,6 20505 219684 240189

120


[350-310-330]

STD=35




Gain*


AMS 8 10 9 37 30 33 92,7 88,6 85,3 39875 222410 262285 7,4%

RMS 9 10 9 33 30 33 98,1 99,4 83,2 29845 213089 242934


[350-310-330]

STD=55




Gain*


AMS 8 10 9 37 28 31 86,7 90,8 80,2 67747 216210 283957 8,7%

RMS 9 10 10 33 29 35 96,6 88 89,5 36797 222415 259212


[350-310-330]

STD=75




Gain*


AMS 8 10 9 35 28 31 84,1 86,2 77,3 101837 213953 315790 13,23%

RMS 9 10 10 35 31 35 92,1 87,9 86,3 59033 214974 274007

En analysant les résultats obtenus, on remarque que l’écart entre les coûts totaux de l’AMS

et du RMS ne cesse d’augmenter en augmentant la variabilité. Ce qui implique un gain

important pour le RMS par rapport à l’AMS dans un contexte de grande variabilité. Ce gain

est expliqué par le fait qu’en augmentant la variabilité de la demande l’écart entre le coût

opérationnel du RMS et du AMS augmente.

Cet écart augmente grâce à la caractéristique de reconfigurabilité du RMS. En fait, lorsque

la variabilité augmente, on remarque que la séquence de reconfiguration optimale du RMS

121

change et passe à une séquence plus performante et ce, afin de se protéger et garder un coût

opérationnel inférieur. Cette observation confirme les avantages des RMS dans un contexte

aléatoire.

Ce constat nous ramène à tester la résistance de l’AMS dans un contexte d’assez de

capacité avec une grande variabilité afin d’étudier les différentes limites de la comparaison

entre ces deux systèmes.

Les résultats obtenus pour une demande de [290-250-270] avec un écart type de ‘75’ sont

illustrés dans le tableau suivant :


[290-250-270]

STD=75




Gain*


AMS 8 10 9 30 27 30 94,7 94,3 89,7 31342 196934 228276 10,03%

RMS 9 10 9 31 28 32 97,7 95,7 89,3 26566 178803 205369

Dans un contexte d’assez de capacité avec une grande variabilité, on remarque aussi que

l’AMS n’est pas performant face au RMS. C’est-à-dire la capacité du RMS à absorber la

variabilité de la demande est plus importante que la capacité de l’AMS. Cette capacité est

due comme expliqué précédemment au changement de la séquence de reconfiguration

optimale.

Les résultats obtenus lors de cette comparaison nous amène à dresser le graphique suivant :

122

Figure 42: Récapitulatif de la comparaison entre le RMS et l'AMS

Cette analyse de sensibilité montre les avantages du système RMS et surtout sa capacité à

absorber une grande variabilité des taux de la demande.

L’étude des RMS s’avère très intéressante et montre que ces systèmes ont une grande

capacité pour faire face aux changements qui peuvent affecter le marché. Cette étude

confirme une partie de la définition de Koren.

4.5. Conclusion Dans ce chapitre, le système RMS sous étude a été étudié par une approche de simulation.

Suite à cette étude, on a pu étudier plusieurs aspects qui n’ont pas été traité avec l’approche

mathématique. On a pu confirmer l’avantage de l’intégration des décisions dans un

contexte de demande déterministe et aléatoire. De plus, nous avons mesuré dans différent

contexte les avantages d’un RMS d’un point de vue coût et sa capacité à être réactif face à

une grande variabilité de la demande. Une étude comparative avec un système AMS a

démontré les limites de chaque système. Les résultats ont montré que le système RMS fait

partie d’une nouvelle génération de systèmes manufacturiers prometteurs ayant des

propriétés de réactivité face aux évènements aléatoires interne (e.g., pannes..) et surtout

ceux qui sont externes comme la demande du marché qui peut présenter un haut niveau de

variabilité.

123

CONCLUSION

Le présent mémoire aborde une étude approfondie d’un nouveau paradigme manufacturier

apparu à l’université de Michigan au début des années 90 appelé RMS. Les RMS sont

conçus dans l’objectif d’avoir plusieurs avantages de réactivité et de productivité par

rapport aux systèmes manufacturiers traditionnels.

L'objectif principal de ce travail de recherche est de développer et d'évaluer des stratégies

de reconfiguration de systèmes manufacturiers intégrant des aspects de réactivité, de

productivité et de fiabilité et de valider leur applicabilité dans un contexte stochastique et

dynamique. Deux approches ont été proposées afin de résoudre ce problème; la première

est une approche mathématique et la deuxième est une approche basée sur la simulation.

La première approche a été développée avec une vision permettant d’amener l’étude à sortir

du cadre classique des travaux de recherche des RMS qui aborde la conception et/ou la

planification dans ce contexte à un niveau tactique de la hiérarchie de décision. Notre

première contribution a permis de proposer une modélisation mathématique et une

approche numérique de résolution permettant une intégration entre les deux niveaux de la

hiérarchie de décision (le niveau tactique et le niveau opérationnel). Le niveau tactique a

124

été consacré principalement à l’identification de la séquence optimale de reconfiguration au

cours de l’horizon sous-étude. Le niveau opérationnel, quant à lui, intègre des aspects

d’exécution manufacturière en contrôlant le rythme de production du système tout en

faisant face à des évènements pouvant survenir d’une façon aléatoire. La combinaison de

l’optimisation de la séquence de reconfiguration et les seuils critiques régissant la

production a démontré un gain considérable en termes de coût total encouru. Les résultats

obtenus suite à cette approche ont été concluants et ont permis de montrer l’efficacité de

l’intégration tactique-opérationnel dans le processus de prise de décision en comparaison à

une approche dissociée d’optimisation.

La deuxième approche est une approche de résolution par simulation permettant de pousser

plus l’étude afin de traiter d’autres aspects qui n’ont pas été considérés dans la première

approche. On a commencé tout d’abord par la validation de la première approche. Ensuite

l’étude a été menée dans un contexte de demande aléatoire où on a pu voir l’effet de la

variabilité sur le système sous-étude. Dans ce contexte, le système RMS a démontré une

grande capacité à absorber la variabilité en maintenant des gains en termes de coût plus

importants que ceux obtenus dans un contexte déterministe. L’étude a été par la suite

étendue pour mener une étude comparative avec un système manufacturier ajustable

(AMS). Cette étude a été menée dans les deux contextes de demande déterministe et

aléatoire. Les résultats obtenus ont permis de montrer que les propriétés de reconfiguration

d’un RMS font de lui un système mieux adapté à faire face à la variabilité tant interne

qu’externe.

Il est clair que ce mémoire n’apporte que des réponses partielles à un sujet qui ne cesse de

susciter de l’intérêt dans la communauté scientifique. Il serait donc intéressant d’envisager

d’étudier d’autres aspects des RMS. On peut citer à titre d’exemple l’importance d’étudier

l’intégration d’autres aspects manufacturiers comme le contrôle de la qualité et

l’approvisionnement en matière première. De plus, une étude approfondie sur l’impact du

temps de Ramp-up sur les décisions s’avère importante pour mieux comprendre le

comportement du système durant cette période et envisager des actions opportunistes pour

augmenter l’efficacité du système. Une autre question aussi importante consiste à étudier

125

l’éventuel virage d’un système traditionnel à un RMS et se mettre dans un cadre industriel

réel d’application.

En conclusion, dans le cadre de ce mémoire, notre intérêt principal s’est situé dans le

processus d’aide à la décision qui permet d’identifier la séquence de reconfiguration

optimale sur l’horizon sous-étude et la meilleure politique d’exécution de la production à

mette en place. Nous avons prouvé que dans les contextes considérés, les stratégies

développées vont permettre aux décideurs d’optimiser les ressources de l’entreprise, de

minimiser les coûts et de garder une bonne image de marque à travers l’accomplissement

des engagements de livraison. Il est à noter qu’un article de conférence a été accepté pour

publication dans une conférence internationale avec comité de lecture (voir annexe 1).

L’extension de cet article est en cours pour une soumission à une revue avec comité de

lecture.

126

127

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131

ANNEXE 1

ARTICLE CONFERENCE IEEE

GOL’14, 5-7 Juin 2014

Rabat, Maroc

132

133

ANNEXE 2

EXEMPLE D’APPLICATION DE LA

TECHNIQUE «CRN»

134

Les détails de la simulation :

Chaque optimisation a été exécutée à l’aide d’OptQuest avec une limite de 1000 Scénarios,

un intervalle de confiance de 95% et une erreur relative de 0,1.

On considère l’exemple avec une demande de [290-250-270] lors de la comparaison entre

les deux scénarios expliqué dans la partie 4.3.6. Le contexte considéré dans cette demande

est un contexte aléatoire avec un écart type de 25.

Les intervalles de confiance obtenus pour les coûts des deux scénarios se chevauchent donc

l’application de la technique du CRN s’avère nécessaire. On exécutera 14 réplications pour

chaque scénario avec les mêmes nombres aléatoires.

Donc, suivant les résultats obtenus de SIMIO pour chaque réplication, on applique la

technique du CRN :

Réplication Scénario 1 (Y1) Scénario 2 (Y2) Zn = Y1n — Y2n 𝒁𝒏 − 𝒁� (𝒁𝒏 − 𝒁�)𝟐

1 250750 199980 50770 37129,2857 1378583858

2 183130 194060 -10930 -24570,7143 603720000,5

3 176540 188620 -12080 -25720,7143 661555143,4

4 188980 188080 900 -12740,7143 162325800,5

5 210440 194240 16200 2559,28571 6549943,367

6 199960 192920 7040 -6600,71429 43569429,08

7 274100 202120 71980 58339,2857 3403472258

8 211650 187050 24600 10959,2857 120105943,4

9 198400 190520 7880 -5760,71429 33185829,08

10 268260 203690 64570 50929,2857 2593792143

135

11 167680 181630 -13950 -27590,7143 761247514,8

12 172400 184070 -11670 -25310,7143 640632257,7

13 179120 188980 -9860 -23500,7143 552283571,9

14 196940 191420 5520 -8120,71429 65946000,51

�̅� = 1𝑛

∑ 𝑍𝑛𝑛𝑛=1 Donc �̅� = 13640,7143

𝑺𝟐 848228438

𝑺 29124,3616

𝒕(𝟎.𝟎𝟐𝟓;𝟏𝟑) 0,98043465

𝑺 ∗ 𝒕(𝟎.𝟎𝟐𝟓;𝟏𝟑)

√𝟏𝟒

7631,51999

Borne inférieur 6009,1943

Borne supérieur 21272,2343

Nous obtenons ainsi 6009,1943 < Y1-Y2 < 21272,2343. D’où, le coût total entraîné par le

scénario 1 est strictement supérieur à celui du scénario 2. Ce qui implique que le scénario 2

est meilleur que le scénario 1.

Documents

Reconfiguration dynamique des systèmes manufacturiers non