Réduction au pôle = Passage de quelconque à0)ˆ,ˆ( fm zfm ˆˆˆ 11

)sgn(2

kiffk

kfkfif xz

D

yyxxzf

zkfmm ekmC 2

)log('.21

.)(23

rmCr

mCrV mD

mD

VfrT .ˆ)(

zkmm emC 2TF

)sgn(2

kimmk

kmkmim xz

D

yyxxzm

où

H/m104

70

mC

Expression de l’opérateur de réduction au pôle, en domaine spectral

Expression de la réduction au pôle

0000

111

fmfm

fm)k(RPTF

Dérivée seconde en z

Intégrations en m0 et en f0

Rappel fin du cours précédent (16 avril) :Réduction des champs de potentiel (pole, équateur ou autre latitude)Aujourd’hui :Signaux Analytiques et Pseudo-Gravité

Rappel fin du cours précédent (16 avril) : la Réduction au Pôle est une combinaison de dérivation/intégration

Intégration oblique puis dérivation verticale

Masses à z=z0

Dérivation

2zG

0zG

z2=z0+h

z0

Dipôles à z=z0

Prolongement vers le haut

Expression de la réduction au pôle

0000

111

fmfm

fm)k(RPTF

Dérivée seconde en z

Intégrations en m0 et en f0

21222 )( ),( vuavecevuP h

hz

)(2),( iviuvuODV

)ˆˆˆ( zyxVpour

2

)(

yx kkik

k

où ),,(ˆˆ 00 fm

Simplification classique

• La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure.

• La réduction permet de transformer n’importe anomalie pour peu qu’on connaisse l’inclinaison -> figure suivante

Propriété de la réduction au pôle des anomalies magnétiques du champ total

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0°

15°

30°

45°

60°

75°

90°

2

)(

yx kkik

k

Anomalie à l’équateur (I=0°)

Anomalie au pôle (I=90°)

où ),,(ˆˆ 00 fm

Propriété de la réduction au pôle des anomalies magnétiques du champ total

• La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure.• Le signal analytique aussi, et permet en plus de localiser les sommets de la structure

(pour des sources de grande largeur devant leur profondeur).

Si on ne connait pas l’inclinaison (eg. cas d’inclinaison rémanente) : transformation en signal analytique

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Qu’est-ce que le signal analytique d’une anomalie magnétique ?

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Enveloppe du Signal analytique sans dérivation

Enveloppe du Signal analytique avec dérivation

TiHa 10 TiHODa x 11

)()sgn()]([ kFkixfH Rappel de la TF de la transformé e de Hilbert :

Cas d’étude : Calculs du profil d’une ligne de dipôles (sources 2D)

44

22 22

r

xzb

r

zxaCm

)log()log(2)( 22 zxrrU

22)log(2)(

r

zr

zrg z

2

'.2)log('.2)(

r

rmCrmCrV mm

2

'..ˆ2.ˆ)(

r

rmfCVfrT m

z x

X=0

y

222 zxr

)mfmf(b

)mfmf(a

xzzx

zzxx

ici

)r(T)IIsin()r(T)IIcos(Isin

Isin

Isin

IsinmC)r(T '

f'm

'f

'm'

f

f

'm

mm

21

2izx

)II(iexp

Isin

Isin

Isin

IsinmC)r(T

'f

'm

'f

f

'm

mm Re

Fonction paire

Fonction impaire

44

22 22

r

xzb

r

zxaCm

z x

X=0

y

2

'..ˆ2.ˆ)(

r

rmfCVfrT m

)r(T)IIsin()r(T)IIcos(Isin

Isin

Isin

IsinmC)r(T '

f'm

'f

'm'

f

f

'm

mm

21

2izx

)II(iexp

Isin

Isin

Isin

IsinmC)r(T

'f

'm

'f

f

'm

mm Re

Fonction paire

Fonction impaire

Signaux analytique de profils magnétiques

TiH

izx

)II(iexp

Isin

Isin

Isin

IsinmCa

'f

'm

'f

f

'm

mm

120

T

ziT

xT

xiH

izx

)II(iexp

Isin

Isin

Isin

IsinmC

)izx(

aa

'f

'm

'f

f

'm

mm

12 30

1

)()( 0 rarT

Re

2/3221 )()(zx

KrarA

(…)

Le module du signal analytique d’une ligne de dipôles est paire

Cas d’étude : Calculs du profil d’une ligne de dipôles (sources 2D)

Signaux analytiques de profils magnétiques

3)(

1

1''

izxKea fm IIi

Cas d’étude : profil de l’anomalie d’autres sources 2D

TiHa 10

2/3221 )()(zx

KrarA

0)(

0

''

aea fm IIipole

(…)

Le module du signal analytique d’une ligne de dipôles est paire

izx

iKea fm IIi

)(

1

''

2/1221 )()(zx

KrarA

z x

X=0

+

z x

X=0

12

12)(1

''

izxizx

zzKea fm IIi

21

222

21 )()(zxzx

KhrarA

X=0

z1 x

z2=z1+h

NB: Réduction au pôle via signaux analytiques

polepole aT 0Re

Evaluation numérique des signaux analytiques Comment calculer ce signal analytique ? = à partir de dérivations dans le domaine de Fourier ou dans le domaine

spatial :    

      

zkfmm ekmC 2

rmfCrT m

1..ˆ)( TF

Signal analytique = Dérivation et ajout d’une partie imaginaire utilisant la transformée de Hilbert

Signal Analytique

zrTyrTxrTrT zyx ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

zrTiyrTxrTrTa zyxD

ˆ)(ˆ)(ˆ)()(3

)()()(2

rTirTrTa zxD

zk

fmm ekmC 2 )sgn(1 kki

k

ykxkzki yx ˆˆˆ

On en prend le Module (en domaine spatial) )()()( 22

2rTrTrTA zx

D

)()()()( 222

3rTrTrTrTA zyx

D

• La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure.• Le signal analytique aussi, et permet en plus de localiser les sommets de la structure

(pour des sources de grande largeur devant leur profondeur).

• Quand on connait l’inclinaison, on peut aussi réduire en “pseudo-gravité”

Si on ne connait pas l’inclinaison (eg. cas d’inclinaison rémanente) : transformation en signal analytique

Notion de pseudo-gravité : cf. anomalie d’une ligne de dipôles

)log()log(2)( 22 zxrrU

22)log(2)(

r

zr

zrg z

2

'.2)log('.2)(

r

rmCrmCrV mm

2

'..ˆ2.ˆ)(

r

rmfCVfrT m

z x

X=0

y

222 zxr k

e zk

2

zke2TF

zkfmm ekmC 2

zkmm emC 2 OPG

kmCkOPG

fmm

11)(

• Un facteur d’intensité (sans réel sens physique ou pétrophysique)• Une dérivation verticale et deux intégrations obliques

B) Exercice permettant de définir des opérateurs de couche équivalenteOn considère les expressions de l’anomalie (U, gz, V, dT) d’une ligne de sources.Par intégration verticale de z1 à z2, déterminez les expressions correspondantes pour une lame verticale de densité constante.

z x

X=0 X=0

z1 x

z2=z1+h

A préparer pour le cours suivant 5 mai) :