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Remarques sur la forme tracePhilippe Revoy aa Université Montpellier 11, Place E. Bataillon, 34060, Montpellier Cedex, France

Available online: 23 Mar 2010

To cite this article: Philippe Revoy (1981): Remarques sur la forme trace, Linear and Multilinear Algebra, 10:3, 223-233

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Llnrcrr and Multd~neur Algehrcc, 1981, Vol 10 pp 221-233 0308 1087 81 1007-0221 SO6 50 0 ( 1981 Gordon dnd Breach Sc~ence Publ~bhe~a, Inc Prmted In Great Br~tam

Remarques sur la forme trace PHlLlPPE REVOY Universite Montpellier 11, Place E. Bataillon, 34060 - Montpellier Cedex France

(Rccciced July 11, 1980)

Soit K une extension algebrique finie de Q: la trace permet d'associer a K tine forme bilinkaire symetrique sur K a valeurs rationnelles dont le discriminant est le discriminant du corps K. En tant que forme bilineaire. elle a ete etudiee par plusieurs auteurs ([3], [7] , [l I]) . Dans cet article, nous retrouvons dans un cadre plus general, certains resultats etablis par ces auteurs et nous nous interessons plus particulierement au cas de la caracteristique 2: en effet. formes bilineaires symetriques et formes quadratiques difTerent alors Egirement. Nous inlrodu~sons donc une fornie quadratiquc liee a la trace d'une extension algebrique h i e . dont l'invariant d'Arf est lie a un invariant introduit par E. Berlekamp ([I]). Nous signalons aussi le cas dcs algebres centrales simples et de leur trace reduite.

1. PUISSANCES D I V I S ~ E S ET PUISSANCES E X T ~ R I E U R E S ; TRACE

K est un anneau commutatif a element unite et E un K-module de dual E* ; E@E* apparait comme facteur direct de la deuxieme puissance exterieure A 2 ( ~ @ E * ) . Or l'algebre Af(E@E*) = @p,,A2P(E@E*) est une algebre a puissances divisees ([lo]) et un calcul facile montre que si u E EOE*, yn(ll) est dam AnE@An(E*), identifie a un facteur direct de AZn(E@E*). Soit pour tout K-module F, 7,: F@F* -+ End,(F) I'application naturelle definie par T ~ ( X @ f ) ( y ) = f ( y ) ~ , et soit in : End,(E) -+ End,(An E) donnee par )."(id)

= Anu. Le diagramme TE

E@E*-End,(L)

est commutatif (en fait, on compose r,,,:AnE@(AnE)* + End,(AnE) et l,,,@p:AnE@An(E*) + AnE@(AnE)* ou q est l'homomorphisme nature1

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de An(E*) dans (AnE)* qui est un isomorphisme si E est projectif de type fini). On peut meme definir sur ERE* une structure de K-algebre associative

par (x@ f)(x '@.fl) = f(xl)x@ f" de sorte que 7, et T,,, sont des homo- m o r p h i s m ~ ~ d'algi-brcs; i l est bien connu que E@E* est unitairc si et seule- ment si E est projectif de type fini, ce que nous supposons di-sormais. Alors (AkE)* s'identifie 2 Ak(E*); pour chaque entier k notons tr, :AkE@AkE* -+ K la forme lineaire definie par t rk(x@f) = f(x). Pour u E EOE*, considerons le polynome En yn(u)Tn: en appliquant 2 chaque yn la forme lineaire tr,, on obtient le polynome P(u) = E trn(yn(u))Tn, qui est a peu de choses pres le polynome caracteristique de u, puisque le diagramme

est commutatif. Ce qui nous interesse dans la sulte, c'est le coefficient de T2 ; on voit qu'on

obtient ainsi une forme quadratique Trd : End,(E) 4 K par compos~tion de y, = E@E* -+ A2E@A2E* et de la forme lineaire trace tr, sur A 2 ~ @ A 2 ~ * . En terme d'endomorphismes, on a Trd(u) = tr(A2u). Si u est un endomor- phisme diagonalisable d'un module libre de rang n et sl I.,, i2, . . . , A n sont ses valeurs propres tr(A2u) = El,,,,,, i , A , . Un calcul simple montre que la forme bilineaire associee est la forme: (u, c) H Tr 11. Tr 1 1 -Tr(u o L ) ) qui differe de la forme bilineaire symetrique qu'on associe habituellement a la trace: (u, c ) H Tr(u o c). Cela nous conduit $ chercher les proprletes de cette nouvelle forme bilineaire symetrique et de la forme quadratique dont elk provient.

Soit R une K-algebre non necessairement associative. Pour toute forme lineaire f' : R -+ K definissons sur R la forme bilineaire B,( : R x R -r K par la formule Bf(x, y ) = f ' (xy). Si ,f est nulle sur le sous K-module engendre par les commutateurs xy - yx (par exemple, si R est commutative), B, est symetrique; si R est une algebre de Lie, Bf est alternee. Si 2 est inversible dans K et si Bf est symetrique, elk provient de la forme quadratique Qf : x -+ 4f(x2). Mais en caracteristique 2, Bf n'est pas alternee si R n'est pas de Lie. Vues les considerations du 9 1, il est nature1 de chercher a modifier Bf et pour cela soit B; la forme dkfinie par BJ(x, y) = f (x) f ( y - f(xy). En caractt.ristique 2, B; est alternee si et seulement si [,f[r)l2 = f(x2),

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c'est-a-dire si f commutte avec I'application x + .w2 (endomorphisme de Frobenius si R est commutatif). C'est le cas si R est une extension separable (commutative et associative) finie de K et si f = Tr,,, ou encore, si R est une K-algebre centrale separable et si f est la trace reduite. Ainsi supposons que R est une extension separable finie de dimension n du corps K et soient a,, o,, . . ., a, les nK-isomorphismes de R dans une clbture separable de K. La forme quadratique Q : R -+ K dkfinie par Q(x) = 1, 4 i < , 6 n ai(x)oj(.x) a pour forme bilineaire associee BiTR, K .

La non-degenerescence de la forme bilineaire symetrique BTrR est lice de faqon bien connue a la separabilite. Nous souhaitons voir sous quelles conditions la forme B;. est non degkneree. Nous supposons que R est un module projectif de type fini et qu'il possede un element unite. On a alors BJx, y ) = f(x) f ( y ) -f (xj) = Bf(- (x - f (x)l), y) = Bf(u(x), y) ou : R + R est I'application x w f ( x ) l -x. On voit alors que le discriminant de B> est le produit de celui de Bf par le determinant de u oh u est I'application ~ , ( l @ f ) - Id,. On calcule aisement le determinant de u : P,(T,(~ @ f )) =

det(z,(l@ f ) - XId,) et donc le determinant de u en la valeur du polynome caracteristique de zR(l @ f ) pour X = 1. Comme P,(z,(l@ f)) = ( - l)"[Xn - X n - tf(l)]. on a dis(B;) = ( - 1)"(1- f (I)) dis(BJ). On obtient ainsi la

PROPOSITION 1 La forme bilinkuire By est non dkgknirke si et seulement si Bf l'est et 1 - f ( I ) est inrersible dam I'rrnneriu K.

Si R est une extension separable finie de K (resp. une K-algebre centrale separable), f (1) = rg,(R) (resp. f(1) = (rg,(R))'I2) si f est la trace. Si K est une Q-algebre et si le rang de R est partout plus grand que 1, B;, cst non degknerke ; si K est de caracteristique p, B;, est non degenerke si le rang de R est non congru a 1 modulo p. La non-degknkrescence ne fait pas intervenir la caracteristique uniquement pour les extensions quadratiques et les algebres de quaternions car alors f(1) = 2. C'est le cas ou la forme quad- ratique d'ou provient B', est la norme (ou norme rkduite). I1 y a une extension naturelle aux algebres cayleyennes ( [ 2 ] A 111 p. 16) mais la norme cayleyenne n'est pas &gale a la trace de la deuxieme puissance exterieure si le rang de I'algebre dtpasse 4.

3. SIGNATURES

3.1. Nous supposons quc K est le corps des rationnels et que R est un corps de nombres de rang fini ti > 1 sur Q. Pour les differentes formes bilineaires symetriques definies sur R a I'aide de la trace, il est intkressant de regarder les signatures. Dans [ l l ] , 0 . Taussky a determine la signature de la forme yuadratique Q, : x + Tr, ,(x2). Nous allons en deduire la signature de la

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forme Q2 :x + Tr,,,(AZp,), p, designant la multiplication par x consideree comme application Q-lineaire de R dans R. Soit alors V' = Ker TrRiQ; il est clair que pour Q, comme pour Q,, on a la decomposition orthogonale R = V' I QIR (on a BQ, = BT, et BQ2 = B;,). De plus sur Ql,, Q, et Q, sont de meme signe positif; sur V', par contre, Q, et Q, sont opposes. Soit alors r, le nombre de conjugues reels de R et 2r2 le nombre de conjugues complexes de R, r , + 2r2 = n. La signature de Q, est (r, + r,, r,); le raisonne- ment ci-dessus montre que

PROPOSITION 2 LU signuture de la forme qucldrutique x -+ Tr(A2p,) est (n - r, r) ou r = r, + r2 - 1 esf le rung du groupe des unites de R.

3.2. Supposons maintenant que R est une 02-algebre centrale simple et considerons sur R la forme Q-quadratique x + Trd(x2). La signature de cette forme quadratique se calcule aiskment: on considere R@,R qui est isomorphe Li M,(R) ou bien a M,(W) - M,(R)@,H, W corps des quaternions reels. La forme quadratique associte a la trace reduite sur un produit ten- soriel E Q F d'algebres centrales simples est le produit tensoriel des traces. I1 suffit donc de rechercher la signature de Trd sur M,(R) et sur W. Pour M,(R), T r d ( ~ ' ) ou A = (a,,) est &gale a Cia; + ~ i , j a i j a i i ; donc la signature est

Pour W, un calcul direct donne la signature (1, 3), au lieu de (3, 1 ) pour M ,(R) : la signature de Trd pour M,(W) est donc (p(2p- I), p(2p+ 1)) au lieu de ( P ( ~ P + I), p(2p - 1)) pour M 2 p ) .

Considerons maintenant la forme quadratique Q2 :x 4 + [ ( T r d ~ ) ~ -Trd.u2]. La meme demonstration que pour la proposition 2 fournit la

pour M,(R) et (n(2n + 1 ) + 1, n(2n - 1 ) - 1 ) pour M,(W). E n pcirticulier Q, cJst

I~yperbolique sur M,(R) et (7 pour siqwture (4, 0) pour W : c'est lo nornze de\ qurrfernion~.

3.3. Rewzcrrques 1-) Si R est une extension quadratique, ou une algebre de quaternions sur K, la forme quadratique Q2 est la norme de I'extension R (norme reduite dans le cas non commutatif) et determine I'algebre R a isomorphisme pres, si K est un corps ou un anneau local.

2") Un autre exemple de trace existe dans les algebres de groupes K[G]

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avec la formule Tr(Ca,g) = a, ([9]). Si G est fini et K c R, la signature de la forme quadratique x + Tr(x2) donne le nombre d'tlements d'ordre 2 de G.

4. SUR DES RESULTATS DE MAURER ET GALLAGHER

4.1. Divers auteurs ([3], [8]) ont etabli plusieurs resultats sur la question suivante : Q, est-elle Q-rationnellement equivalente a une somme de carres? Leurs resultats sont etablis a l'aide du theoreme de Hasse-Minkowski. En fait, nous allons les retrouver en utilisant les proprietes de l'anneau de Witt d'un corps ([5], [6]).

PROPOSITION 4 Soit L 2 K une extension galoisiennefinie de degrh impair, car K # 2. La forme quadratique x + TrLIK(x2) est K4quivalente a une somme de carres.

PROPOSITION 5 Soit L 2 K une extension separablejinie, composee directe d'extensions Li de K. Alors la forme quadratique TrLIK est produit tensoriel des formes quadratiques Tr,,,,. Si r des extensions L, sont de degre pair, la classe de TrLIK dans l'anneau de Wit t W(K) est dans la puissance rieme de l'ideal maximal I W des formes de rang pair.

La proposition 5 est evidente et, en un sens, connue. La proposition 4 se demontre en remarquant que TrLlKOKL est L-equivalente a une somme de carres puisque

De plus l'homomorphisme d'extension W(K) + W(L) est injectif d'apres le thitoreme de Springer ([5], [6]), ce qui donne le rksultat annonce. Les resultats de Maurer et Pierce en sont le cas particulier ou K = Q. Ce resultat est encore valable si le souscorps T engendre par les conjugues de L dans une clature separable de K est de degrk impair sur K. La proposition 5 est intkressante quand on connait les puissances de I W Or on sait que si K est un corps local, 13 W = 0 et que si K est un corps de nombres algitbriques, 13 W(K) est l'espace des fonctions continues de l'espace topologique R, des ordres de K , dans Z ([4]). Ainsi, si K est un corps totalement imaginaire, 13W(K) = 0: alors Tr,,, est une forme hyperbolique si L est composee direct d'au moins 3 extensions de degre pair. Si K = Q, R a un seul element : si L est composke directe d'au moins trois extensions de degrit pair et si L est totalement reel, TrL/, est une somme de carres; si L n'est pas totalement reel, TrLIQ est somme algebrique de carres.

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4.2. La technique precedente donne des resultats pour les algebres centrales simples. Designons par n(1) la forme quadratique Q(x,, . . .. x,) = Cx? en supposant K de caracteristique differente de 2. On a :

PROPOSITION 6 Soit A une K-algibre centrule simple de rang impair n2. La forme quadratique x + Trdx2 a pour classe dans W(K), la classe de n(1).

On sait que A possede un corps neutralisant L de rang n, donc impair. Comme W(K) -+ W(L) est injectif et que A@,L - M,(L), il suffit de regarder la trace reduite pour une algebre de matrices. La situation est tres differente en rang pair; pour les algebres de rang 4, la forme quadratique norme suffit a les classer, a isomorphisme pres et cette forme a pour discriminant 1.

5. DEUX FORMES QUADRATIQUES

Nous etudions ici deux formes quadratiques obtenues de la faqon suivante: soit dans M,(K) le sous-module V forme des matrices diagonales et V' le sous-module de V forme des matrices de trace nulle. On appelle Q, : V K la forrne quadratique TrA2 et -Qi- la restriction de Q, a V'. On a donc dans des bases convenables

n

Q,(x,, . . ., x,) = xix j i < j

Le calcul des discriminants des formes bilineaires symetriques associees est facile : on obtient d(Q1) = n + 1 et d(Q,) = ( - 1)"- '(n - 1) de sorte que Q, (resp. Qh) est non dCgCnCrCe si et seulement si n - 1 (resp. n + 1) est inversible dans Q. Supposons que K contient Q : alors Q, et Q: sont non degeneres, sauf Q, qui est 0. On a Q; = QL-, I (a,) oh a, se calcule a l'aide des dis- criminants :

pour Q,, on a Q, = Q,-, I (b,), n > 2, avec

et Q2 est la forme neutre de rang 2. Un calcul facile, valable en toute carac-

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teristique, montre que Q, = Q2 I (-Qk-,). Nous nous intkessons desor- mais au cas oh la caracteristique est 2. Les decompositions orthogonales seront des decompositions en somme orthogonale de plans ; Q, et Qh sont non degenerees si n est pair. Elles sont de plus definies sur le corps premier 2/(2) qui possede deux types de formes quadratiques de rang pair fixe et donc deux types de plans: H le plan hyperbolique et N ,, la norme de 5, exten- sion quadratique de F,, qu'on notera N ; on a Q, - H et Q; 1. N. On voit alors aisement que :

Q,, - Qk,, N nH I nN

Q,,, - ( n + l )H I nN

Comme de plus 2N - 2H, on obtient le resultat suivant: Q,,, Q,,,,, Qk,, Qk,, , sont hyperboliques ; Q,,,,, Q,,,, , Qk,, , , Qk,,, sent somme d'une forme hyperbolique et de N .

6. INVARIANT D'ARF ET FORME TRACE

Desormais K est un corps de caracteristique 2.

6.1. Soit L une extension separable finie de rang n. Si n est pair, TrAZ : L -, K est une forme quadratique non degeneree. Si n est impair, TrA2 est de rang n - 1 ; son radical est le sous-espace K1 de L. La restriction de cette forme quadratique a tout supplementaire de K. 1 est non dkgtneree ; il y a cependant un supplementaire privilegie, le noyau de la forme lineaire trace. On appellera donc forme quadratique trace, la forme TrA2 si L est de rang pair et la restriction de TrA2 a L1 = Ker Tr : L + K dans le cas contraire. On obtient ainsi une forme quadratique non degeneree canoniquement associee a une extension separable de corps de caracteristique 2. Cela permet d'associer a LIK un invariant, qui remplace le discriminant dans le cas de caracteris- tique # 2, l'invariant d'Arf ([4] App. 1 par exemple), c'est un Clement de K, modulo un element du sous-grnupe additif P(K) forme des elements x + x2.

6.2. Dans [ I ] , E. Berlekamp definit en caracteristique 2 un analogue du discriminant en caracteristique diffkrente de 2 pour une extension separable et finie. De faqon precise, si 2 f 0, et L = K [ x ] est une extension separable finie de degre n notons x,, :.., x, les n conjugues de x dans une clature separable K de K. Alors

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est solution de l'kquation 6' = D oh D est le discriminant de la forme bi- lineaire trace de l'extension. Alors J E K est une condition nkcessaire et suffisante pour que le groupe de Galois des permutations de xi soit un sous- groupe du groupe alternk A,. Pour obtenir un analogue quand 2 = 0, E. Berlekamp introduit l'klkment b de R dCfini par

On a alors

oh C est un element de K car il est invariant par toutes les permutations des x i . La condition analogue a celle du cas 2 # 0 est que C E P(K), c'est-a-dire que b E K .

Le but du reste de ce travail est de chercher les relations entre C et l'invariant d'Arf de la forme trace vue en 6.1. I1 n'y a pas coincidence en general ; remar- quons qu'en caractkristique differente de 2, il y a plusieurs definitions possibles du discriminant ([6] p. 17 par exemple). Celle qui correspond le mieux a l'invariant d'Arf en caracteristique 2 n'est pas celle qui est adoptbe pour dkfinir le discriminant d'une extension separable de corps, ce qui explique la divergence que nous allons voir.

6.3. Pfaffien de B',, Comme B',, est une forme alternee, elle a un pfaffien. Si L est de dimension paire, BT, et B',, ont m&me determinant ; comme dtt(Tr(eie,)) = [det(ui(ei))12, le pfaffien de B',, est det(ai(ej))elA.. . Ae, oh el, . . ., en est une base de L sur K, d'apres le theoreme de Cayley, det cp = (Pf cp),. Si le rang de L est impair, B;, est dkgenerke, son pfaffien est 0, mais la restriction de B',, a L, =

Ker Tr est non dCgCneree; soit {el, . . ., e,,) une base de L , et posons e, = 1 ; la matrice Tr(ei ej), 0 d i , j < 2n est de la forme

et son determinant est I Tr(ei ej)I <, .<,. Mais les termes diagonaux ~ r ( e f ) = [Tr(ei)12 sont nuls et cette matrice

est alternee. Le pfaffien de B',,, restreint a L,, est donc encore le determinant des ai(ej), 0 < i , j < n.

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7. INVARIANT D'ARF ET INVARIANT DE BERLEKAMP

7.1. Extensions de rang impair

Soit L une extension cubique de K : L = K [ x ] avec x3 + bx + c = 0 ; l'invari- ant de Berlekamp est 1 + b3c-2 modulo p(K). La forme trace se calcule aise- ment TrA2y(a + p x + yx2) = a2 + bp2 +cay + b2y2 . Les elements de trace nulle sont donnes par cr = 0, si bien que I'invariant d'Arf de la restriction de cette forme a L, = Ker Tr,,, est b 3 C 2 . On a donc la

PROPOSITION 7 L'invariant d'Arf de la forme trace d'une extension cubique L et l'invariant de Berlekamp different de 1 (l'invariant d'Arf de la norme N de 5, sur 5,); L est cyclique ssi sa forme trace est N .

Notons que si b = 0, la forme trace est hyperbolique; si b # 0, la forme trace reprksente 1 car elle represente b2. Nous pouvons encore determiner la forme trace dans le cas suivant :

PROPOSITION 8 Soit L une extension separable de K de degrt 2n + 1 dont la clbture galoisienne L! est de rang impair sur K . Alors la forme trace est K-isomorphe a la forme Q;,.

C'est une consequence du fait que le theoreme de Springer est vrai en caractkristique 2.

LEMME Soit K' une extension de degre impair d'un corps K de caracttristique 2 : l'homomorphisme nature1 iK,,,W(K) -' W ( K ' ) est surjectif:

Soit Q : V + K une forme quadratique non degeneree et Q,, : V O K K f -+ K' son extension ; soit Tr : K' + K la forme trace. Tr . Q,, est une forme quad- ratique sur le K-espace vectoriel V O K K 1 qu'on notera Tr Q et on a la suite d'homomorphismes de groupes : W(K)% W ( K 1 ) ? + W ( K ) . I1 suffit de montrer que Tr . i,,,, en l'identite de W ( K ) . On a qTrQ(xOA, y O p ) = qQ(x , y)Tr,.,,(Ay); la decomposition de K ' en KlOKer Tr en tant que K-espace vectoriel donne la dkcomposition de Kr@,V en K l @ V @ ( K e r T r O V ) et la formule precedente montre que cette decomposition est ortho- gonale. De plus Tr Q restreinte a K1@ V s'identifie A Q ; la restriction de Tr Q a VOKer Tr est hyperbolique car Tr Q est le produit tensoriel de Q et de la forme bilineaire Tr, alternee une fois restreinte au noyau de la trace. On obtient donc dans W ( K ) , Tr . iK,,J = 1,(,, ce qui demontre le lemme.

La proposition 8 decoule du lemme comme pour la proposition 4: LO,,? - .L! x . . . x L, et Tr A2@,L! est la forme Q,,,, ; sa restriction au noyau de la tiace (i.e. le sou!-espace forme des x , , 1 < i d 2"+ 1, avec Z x , = 0) est la forme Q;, d'apres 5.

On sait d'apres [ l ] que dans les hypotheses de la proposition 8 I'invariant

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de Berlekamp est 0; la proposition 8 et les rtsultats du paragraphe 5 per- mettent de calculer l'invariant d'Arf de la forme trace. On a donc

COROLLARY Dans les hypothtses de la proposition 8, les invariants de Berlekamp et d'Arfcoincident si le rang de L est de la forme Sn f 1 ; ils dgirent de 1 si le rang de L est de la forme Sn f 3.

7.2. Extensions e t compositions

Si K est un corps de caractkristique diffkrente de 2 et si L, et L, sont deux extensions separables finies, le discriminant d(L,@,L,) se calcule a partir de d(L,) et d(L,) et des rangs des extensions, car Tr(L,@L,) est le produit tensoriel de Tr L, et de Tr L, . Si L, et L, sont de rang pair, d(L, @ L,) = 1 ; si L, est de rang pair et L, de rang impair d(L, @L,) = d(L,) et d(Ll OL,) =

d(L,)d(L,) dans le dernier cas. L'objet de ce paragraphe est de regarder ce qui se passe en caractkristique 2.

On voit immkdiatement que si ui E End,(Li), i = 1,2, on a Tr(A2(u, OU,)) = 2 Tr A2ul Tr A2 U, +Tr A2 u , Tr ui +Tr A2u2 Tr u:. Cela donne pour les formes quadratiques associkes a L, et L,, Q L l B L 2 ( ~ 1 @ ~ 2 ) = [ T ~ , , ( X ~ ) ] ~ QL2(x2)+ [TrLZ(x,)]ZQL1(xl). Supposons par exemple que L, et L, sont de rang impair: soit el, . . ., e,, une base de Ker Tr,, et f,, . . ., f,, une base de Ker Tr L, . Une base de Ker TrLIOL2 est formCe des produits eiQfj, I,, Of, et eiQ lL2. On voit immediatement que QLl, ,, est hyperbolique sur le sous- espace engendre par les e@&; QL16L2(1@~2) = QL2(x2) et QLIOL2(x1 0 1) =

QL1(xl), si bien que QL1,,, est somme orthogonale de QLl, QL2 et d'une forme hyperbolique de rang 4np. On a donc pour les invariants d'Arf A(Li 0 ~ 5 2 ) = A(Li)+A(LJ.

Si L, est de rang pair et L, de rang impair, L, - K1 OKer TrL2 et L, @ L, se decompose en L, @ K1@ L, @Ker TrL2. La dt.composition est orthogonale et il est clair que Q,,,,, est egale ci QLl sur le premier facteur et est hyper- bolique sur le second. Ainsi Q,,,,, est somme orthogonale de Q,, et d'une forme hyperbolique. Reste le cas ou L, et L, sont toutes deux de rang pair; on fait le m&me calcul a l'aide de Li = K1 OKer Tr,, et on trouve le resultat suivant : si rgL, @L, = 0 (S), Q,,, ,, est hyperbolique ; si rgL, QL, = 4 (S), Q,, ,,, est somme d'une forme hyperbolique et de la norme N de 5, sur 5,.

De la m&me faqon, on peut regarder le comportement de l'invariant de Berlekamp d'une extension composke L,QL,. Soit pour cela x,, . . ., x, les n conjuguks d'un gknerateur x de L,, y,, . . ., y, les p conjuguks d'un gknerateur y de L, . Alors l'invariant de Berlekamp A1(L1 QL,) est la classe dans K/P(K) de

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SUR LA FORME TRACE 233

sommation Ctudue aux couples (i, j), (k, I) tels que i < k ou bien i = k et j < 1 (ordre lexicographique). Cette somme se decompose en 3 parties: ~ 1 0 u i = k e t j < 1 , ~ 2 0 u i < k e t j = 1 e t ~ 3 0 u i < k e t j # 1 . 0 n a x1 = nA1(L2), 2, = pAt(L,) et 1, est trivial modulo p(K). On obtient ainsi la

PROPOSITION 9 L'invariant de Berlekamp A1(L, @ L,) est la somme A1(L1) + Af(L2) si L, et L, sont de rang impair ; il est Pgal h Af(L1) si Ll est de rang pair et L, de rang impair et il est nu1 si les deux extensions sont de rang pair.

Cette proposition est un cas particulier du rksultat suivant (transithiti. des invariants de Berlekamp) dont la dkmonstration est analogue.

PROPOSITION 10 L'invariant de Berlekamp d'une extenskon composie K c L c M est donne par A1(M/K) = Tr,,K(A'(M/L)) + dim, M . A1(L/K).

Par exemple si M est de rang pair et si Af(M/L) est trivial, A1(M/K l'est aussi.

7.3. Les rksultats de 7.1 et de 7.2 montrent qu'on peut conjecturer le resultat suivant :

(C): Les invariants de Berlekamp et d'Arf d'une extension separable finie L coincident si le rang de L est congru a O,1,2 ou 7 modulu 8 ; ils different de 1 dans les autres cas. La conjecture est vraie si L est de rang 2 ou 3 (proposition 7), si la cl6ture galoisienne de L est de rang impair (proposition 8). Elle est vraie pour une extension cyclique d'apres la proposition 10 et donc pour une extension abelienne d'apres 7.2.

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