Représentation intégrale d'une série de Dirichlet

Guy LAVILLE

Université de Caen

Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme

jeudi 7 février 2013

Résumé

Nous établissons une représentation intégrale de la série de Dirichlet dont les coe�cients sont lesvaleurs de la fonction arithmétique de Liouville.

1

Sommaire

1 Introduction 3

2 Diverses fonctions associées à la fonction ζ de Riemann 4

2.1 Les fonctions ζ, ζa, ζimp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Les fonctions ζλ, ζµ, ζα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 La fonction ζβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 La fonction ζν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Représentation intégrale de la fonction ζa 11

3.1 Le noyau 1ez+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Représentation intégrale de ζa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Relations fonctionnelles 12

4.1 Relation fonctionnelle entre ζa et ζimp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Relation fonctionnelle entre ζα et ζβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Représentations intégrales 13

5.1 Représentation intégrale de ζα pour −3/2 < R(s) < −1/2 . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 La fonction méromorphe N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Dé�nition et étude de la fonction méromorpheM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Limite à l'in�ni de la fonctionM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.5 Comportement asymptotique de la dérivéeM′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.6 Peut-on trouver une meilleure majoration deM à l'in�ni ? . . . . . . . . . . . . . . . 195.7 Identité entreM et N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.8 Représentation intégrale de la fonction ζλ pour −3/2 < R(s) < −1/2 . . . . . . . . . . 21

6 Références 22

2

1 Introduction

Supposons qu'une série de Dirichlet∑∞

n=1a(n)ns soit telle que :

- elle se prolonge en fonction méromorphe à un seul pôle en s = 1- elle satisfait à une relation fonctionnelle écrite de façon informelle comme :

∞∑n=1

a(n)

ns= ϕ(s)

∞∑n=1

b(n)

n1−s

La suite (b(n)) ainsi trouvée permet d'écrire une fonction analogue à la fonction tangente ou à lafonction cotangente :

∞∑n=0

b(n)

z2 + (2n+ 1)2π2

La fonction de type tangente sera préférée ici à la fonction de type cotangente parce que cette dernièrea une singularité à l'origine, ce qui rend délicat les développements en série à l'origine.Nous pouvons espérer déduire de cette relation fonctionnelle une représentation intégrale de la sériede départ sur un certain intervalle. Le prolongement de cette représentation intégrale pourrait êtreobtenu en trouvant une suite (c(n)) qui peut donner une autre expression de cette fonction pseudo-tangente, sous la forme :

∞∑n=1

c(n)1

ez/n + 1

La représentation intégrale ainsi obtenue permet de mieux connaître la fonction donnée au départ.Par exemple pour la fonction ζ de Riemann les trois suites sont :

(a(n)) = (1, 1, 1, 1, ...) (b(n)) = (1, 1, 1, 1, ...) (c(n)) = (1, 0, 0, 0, ...)

Pour la série∑∞

n=1(−1)n−1

ns elles sont :

(a(n)) = (1,−1, 1,−1, ...) (b(n)) = (1, 0, 1, 0, ...) (c(n)) = (1, 0, 0, 0, ...)

Ce programme général est appliqué dans le cas particulier d'une série de Dirichlet égale à un facteurprès à la série de Dirichlet dont les coe�cients sont les valeurs de la fonction arithmétique de Liouville.

3

2 Diverses fonctions associées à la fonction ζ de Riemann

2.1 Les fonctions ζ, ζa, ζimp .

La fonction ζ de Riemann est bien connue :

ζ(s) =∞∑n=1

1

nspour R(s) > 1 (1)

Notons ζa la fonction alternée de Dirichlet :

ζa(s) =∞∑n=1

(−1)n−1

nspour R(s) > 1 (2)

Notons ζimp(s) la fonction des impairs :

ζimp(s) =∞∑m=0

1

(2m+ 1)spour R(s) > 1 (3)

En séparant, dans ζ, les entiers pairs des entiers impairs, nous avons :

ζ(s) =1

1− 21−s ζa(s) (4)

Par la séparation précédente, nous obtenons:

ζ(s) =1

1− 2−sζimp(s) (5)

Ces fonctions sont bien connues, cf, par exemple [6] .

2.2 Les fonctions ζλ, ζµ, ζα .

La fonction arithmétique de Liouville λ est bien connue : λ(1) = 1; pour p premier λ(p) = −1; pourtout a et b, λ(ab) = λ(a)λ(b) (i.e. λ est complètement multiplicative) .Notons ζλ la série de Dirichlet correspondante :

ζλ(s) =∞∑n=1

λ(n)

nspour R(s) > 1 (6)

En exprimant les expressions ζ(2s) et ζ(s) en produits eulériens, on a :

ζλ(s) =ζ(2s)

ζ(s)(7)

Ce quotient dé�nit la fonction ζλ comme étant méromorphe sur C .

On rappelle que la fonction de Möbius est la fonction µ : N \ {0} → {−1, 0, 1} dé�nie par :µ(1) = 1µ(n) = 0 s'il existe p premier tel que p2 divise nµ(n) = (−1)r si n = p1 · · · pr avec r > 0 pour des pi premiers distincts .

ζµ(s) =1

ζ(s)=∞∑n=1

µ(n)

nspour R(s) > 1 (8)

4

La fonction méromorphe ζµ a pour singularités les zéros de ζ : ceux de type −2k avec k entier stricte-ment positif et ceux compris dans la bande 0 ≤ R(s) ≤ 1. La fonction ζλ n'a pas de singularités endehors de la bande 0 ≤ R(s) ≤ 1 parce que pour s = −2k , ζ(s) a un zéro simple et ζ(2s) a aussi unzéro simple. Donc les singularités de ζλ sont toutes dans cette bande.

Ces fonctions ζλ et ζµ sont classiques, voir, par exemple [6].

Nous pouvons faire un quotient analogue à (7), mais en prenant les fonctions ζa . Dé�nissons lafonction ζα par :

ζα(s) =ζa(2s)

ζa(s)(9)

D'après la formule (4) :

ζα(s) =(1− 21−2s)ζ(2s)

(1− 21−s)ζ(s)=

1− 21−2s

1− 21−s ζλ(s)

ou encore

ζλ(s) =1− 21−s

1− 21−2s ζα(s) (10)

Nous avons annulation pour :

1− 21−s = 0 ⇐⇒ s = 1 + k2iπ

ln(2), k ∈ Z

et singularités pour

1− 21−2s = 0 ⇐⇒ s =1

2+ k

iπ

ln(2), k ∈ Z

Nous pouvons expliciter un peu plus la fonction arithmétique α dé�nie par :

ζα(s) =∞∑n=1

α(n)

ns

Partons de la formule (10) :(1− 21−s)ζα(s) = (1− 21−2s)ζλ(s)

Les termes impairs donnent :

∞∑m=0

α(2m+ 1)

(2m+ 1)s=

∞∑m=0

λ(2m+ 1)

(2m+ 1)s

α(2m+ 1) = λ(2m+ 1)

Les termes de la forme 2(2m+ 1) donnent :

∞∑m=0

α(2(2m+ 1))

(2(2m+ 1))s−

∞∑m=0

2α(2m+ 1)

(2(2m+ 1))s=

∞∑m=0

λ(2(2m+ 1))

(2(2m+ 1))s

α(2(2m+ 1))− 2α(2m+ 1) = −λ(2m+ 1)

α(2(2m+ 1)) = λ(2m+ 1)

5

Les termes de la forme 4n donnent :∞∑n=1

α(4n)

(4n)s−∞∑n=1

2α(2n)

(4n)s=

∞∑n=1

λ(4n)

(4n)s−∞∑n=1

2λ(2n)

(4n)s

α(4n)− 2α(2n) = −λ(n)

Pour tout entier a non nul et tout entier m, les formules suivantes se véri�ent par récurrence :

α(22a(2m+ 1)) =22a − 1

3λ(2m+ 1)

α(22a+1(2m+ 1)) =22a+1 + 1

3λ(2m+ 1)

2.3 La fonction ζβ .

Dé�nissons la fonction ζβ par :

ζβ(s) =ζimp(2s− 1)

ζimp(s)(11)

Utilisons (5) :

ζβ(s) =(1− 21−2s)ζ(2s− 1)

(1− 2−s)ζ(s)(12)

Rappelons le :Théorème. Le domaine de convergence absolu du produit de deux séries de Dirichlet est l'intersectiondes deux domaines de convergence absolu de ces séries.Donc la fonction ζβ est génératrice de la fonction arithmétique β :

ζβ(s) =∞∑n=1

β(n)

nspour R(s) > 1 (13)

Étudions cette fonction arithmétique. Pour tout entier m, β(2m) = 0 d'après (13) .

Développons ζimp(s) en produit eulérien (donc sans le nombre premier 2), prenons l'inverse, puisdéveloppons le produit obtenu. Ceci nous donne :

1

ζimp(s)=∞∑n=0

µ(2n+ 1)

(2n+ 1)spour R(s) > 1

Au sujet de cette série, nous pouvons utiliser le théorême de Newman, cf [3] :Théorème. Soit (a(n)) une suite de nombres complexes tels que | a(n) | ≤ 1. Considérons la série deDirichlet

∑∞n=1

a(n)ns qui converge vers une fonction holomorphe F (s) pour R(s) > 1. Supposons de

plus que F (s) est une fonction holomorphe dans un ouvert contenant le demi-plan fermé R(s) ≥ 1.Alors la série

∑∞n=1

a(n)ns converge dans ce demi-plan fermé R(s) ≥ 1 et on a

∑∞n=1

a(n)ns = F (s) pour

R(s) ≥ 1 .Rappelons que ζ ne s'annule pas dans le demi-plan R(s) ≥ 1, cf [1], théorème 10. Donc le théorèmede Newman montre que l'on a la convergence de la série suivante et que sa valeur est nulle :

∞∑n=0

µ(2n+ 1)

2n+ 1= 0 (14)

6

D'après sa dé�nition (11), ζβ(s) = 1ζimp(s)

ζimp(2s−1) ce qui s'écrit aussi∑ µ(2n+1)

(2n+1)s

∑1

(2n+1)2s−1 doncβ s'annule sur les entiers pairs : β(2m) = 0 .

Notons 12 la fonction arithmétique, indicatrice des entiers qui sont des carrés : 12(1) = 1 et

12(n) =

{1 si n est un carré n = m2

0 sinon

ζimp(2s− 1) =∞∑n=0

2n+ 1

(2n+ 1)2s=

∞∑m=0

12(2m+ 1)√

2m+ 1

(2m+ 1)s

ζβ(s) =∞∑n=0

1

(2n+ 1)s

∑kl=2n+1

µ(k)12(l)√l

β(2n+ 1) =∑

kl=2n+1

µ(k)12(l)√l

Pour tout entier 2n+ 1, il n'existe qu'une seule décomposition en produit de deux facteurs k et l telsque k n'ait pas de facteur carré (µ(k) 6= 0) et l ait tous les facteurs carrés (12(l) 6= 0). Nous avonsdonc la décomposition unique :

2n+ 1 = kh2

β(2n+ 1) = µ(k)h| β(2n+ 1) |= h

(15)

Nous avons :

−1 <β(2n+ 1)√

2n+ 1≤ 1 (16)

L'égalité est obtenue si et seulement si 2n+ 1 est un carré .

Nous pouvons expliciter un peu plus la fonction arithmétique β. Montrons d'abord que la fonc-tion arithmétique β est multiplicative. Prenons d'abord m′ et m′′ deux entiers impairs et premiersentre eux . {

m′ = k′h′2

m′′ = k′′h′′2

alors k′ et k′′ sont premiers entre eux et :

β(m′m′′) = β(k′k′′(h′h′′)2) = µ(k′k′′)h′h′′ = µ(k′)h′µ(k′′)h′′ = β(m′)β(m′′)

D'autre part prenons un entier pair 2n′ et un entier quelconque n′′ :

β(2n′)β(n′′) = 0 = β(2n′n′′)

donc β est bien multiplicative .Décomposons un entier impair n en facteurs premiers :

n = pm11 · · · pmt

t pmt+1

t+1 · · · pmrr

où m1, . . . ,mt sont impairs et mt+1, . . . ,mr sont pairs . On a la décomposition :

n = p1 · · · ptpm1−11 · · · pmt−1

t pmt+1

t+1 · · · pmrr

7

donc la décomposition du type kh2 avec k sans facteur carré est :

n = p1 · · · pt(p

m1−12

1 · · · pmt−1

2t p

mt+12

t+1 · · · pmr2r

)2et avec le fait que β(n) = µ(k)h, on obtient :

β(n) = µ(p1 · · · pt)(p

m1−12

1 · · · pmt−1

2t p

mt+12

t+1 · · · pmr2r

)β(n) = (−1)t

(p

m1−12

1 · · · pmt−1

2t p

mt+12

t+1 · · · pmr2r

).

on a, pour p premier β(p2a) = pa et β(p2a+1) = −pa . D'où :

β(n) = (−1)tt∏i=1

pmi−1

2i

r∏j=t+1

pmj2j

Remarque. La série de Dirichlet :

ζβ(s+1

2) =

∞∑n=0

β(n)

ns+12

=∞∑n=1

β(n)√n

1

ns(17)

est d'après (13) convergente pour R(s) > 1/2 .Pour tout σ réel σ > 1 :

∞∑n=1

| β(n) |nσ

≤∞∑k=1

1

kσ

∞∑h=1

1

h2σ−1

En particulier pour σ = 3/2 :∞∑n=1

| β(n) |n3/2

≤∞∑k=1

1

k3/2

∞∑h=1

1

h2(18)

2.4 La fonction ζν .

Dé�nissons la fonction ζν par :

ζν(s) =1

ζimp(s+ 1)

ζimp(2s+ 2)

ζimp(s+ 3/2)=ζβ(s+ 3/2)

ζimp(s+ 1)(19)

D'après le théorème rappelé ci-dessus, cette fonction est génératrice d'une fonction arithmétiquenotée ν :

ζν(s) =∞∑n=1

ν(n)

nspour R(s) > 0 (20)

La fonction ν est nulle sur les entiers pairs: ν(2m) = 0 .D'après la dé�nition (19) :

∞∑l=1

lν(l)

ls= ζν(s− 1) =

ζβ(s+ 1/2)

ζimp(s)

ζimp(s)∞∑l=1

lν(l)

ls=∞∑n=0

β(2n+ 1)√2n+ 1

1

(2n+ 1)s

8

∑l|(2n+1)

lν(l) =β(2n+ 1)√

2n+ 1. (21)

L'utilisation de la première égalité ci-dessus (ou la formule d'inversion de Möbius) donne :

(2n+ 1)ν(2n+ 1) =∑

kl=2n+1

µ(k)β(l)√l

(22)

Notons d la fonction arithmétique d(n) = nombre de diviseurs de n. Utilisons l'inégalité (16), nousobtenons :

| (2n+ 1)ν(2n+ 1) |≤∑

kl=2n+1

1 = d(2n+ 1)

D'où, pour tout entier m non nul :

| ν(m) |≤ d(m)

m(23)

Nous pouvons expliciter un peu plus la fonction arithmétique ν.Décomposons 2n + 1 = cm2 avec c sans carré. Toutes les décompositions de c possibles sont c = abavec a et b sans facteur commun et sans carré.D'après (22) :

(2n+ 1)ν(2n+ 1) =∑ab=c

µ(a)µ(b)m

m√b

= µ(c)∑b|c

1√b

Le résultat suivant est crucial .

Théorème 1. La série de terme général ν(n) converge et sa somme est nulle .

∞∑n=1

ν(n) = 0. (24)

Démonstration .Dans cette démonstration tous les nombres entiers considérés seront impairs.D'après (18), nous pouvons dé�nir le nombre réel $ tel que :

∞∑n=1

| β(n) |n3/2

= $

Partons de la formule (22) :

N∑n=1

ν(n) =∑

1≤kl≤N

β(l)

l3/2µ(k)

k

=∑

1≤l≤N

β(l)

l3/2

∑1≤k≤N/l

µ(k)

k

Nous allons couper cette somme en deux parties. Posons :

Sµ(K ′, K ′′) =K′′∑k=K′

µ(k)

k

9

D'après (14), nous avons :

limA→∞

Sµ(1, A) = 0 ⇒ ∃U > 0 ∀K ′ ≥ 1 ∀K ′′ > K ′ | Sµ(K ′, K ′′) |≤ U

Fixons ce U et utilisons la convergence (18) :

∀ε > 0 ∃L0 ≥ 1∞∑

l=L0+1

| β(l) |l3/2

≤ ε

2U

Fixons ce L0 et utilisons à nouveau la convergence de la série des µ(k)/k :

∃M0 ≥ 1 ∀N ≥M0 supl≤L0

| Sµ(1, N/l) | ≤ ε

2$

(remarquer que ce sup est pris sur un nombre �ni de termes) .Posons N0 = max{L0,M0} .

∀ε > 0 ∃N0 ∀N ≥ N0 + 1

|N∑n=1

ν(n) | ≤∑

1≤l≤N

| β(l) |l3/2

∣∣∣ ∑1≤k≤N/l

µ(k)

k

∣∣∣≤

∑1≤l≤L0

| β(l) |l3/2

∣∣∣ ∑1≤k≤N/l

µ(k)

k

∣∣∣+∑

L0+1≤l≤N

| β(l) |l3/2

∣∣∣ ∑(L0+1)/l≤k≤N/l

µ(k)

k

∣∣∣=∑

1≤l≤L0

| β(l) |l3/2

∣∣∣Sµ(1,N

l

)∣∣∣+∑

L0+1≤l≤N

| β(l) |l3/2

∣∣∣Sµ(L0 + 1

l,N

l

)∣∣∣≤ sup

1≤l≤L0

∣∣∣Sµ(1,N

l

)∣∣∣ ∑1≤l≤L0

| β(l) |l3/2

+ supK′,K′′

| Sµ(K ′, K ′′) |∑

L0+1≤l≤N

| β(l) |l3/2

≤ ε

2$$ + U

ε

2U= ε �

10

3 Représentation intégrale de la fonction ζa

3.1 Le noyau 1ez+1 .

Le noyau 1ez+1

est plus agréable que 1ez−1 parce qu'il n'a pas de singularité à l'origine. Nous pouvons

le décomposer de plusieurs façons.

1

et + 1=∞∑n=1

(−1)n−1e−nt pour t > 0

1

ez + 1=

1

2− 2z

∞∑n=0

1

z2 + (2n+ 1)2π2(25)

1

ez + 1=∞∑n=0

Ann!zn pour | z |< π.

Les constantes An sont plus agréables que les nombres d'Euler. Calculons ces An en fonction desζimp(2k + 2). Dans la suite du calcul prenons | z |< π pour la convergence.

1

ez + 1=

1

2− 2z

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2π2

1

1 + z2

(2n+1)2π2

1

ez + 1=

1

2− 2z

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2π2

∞∑k=0

(−1)kz2k

((2n+ 1)π)2k(26)

1

ez + 1=

1

2− 2z

∞∑k=0

(−1)kz2k

π2k+2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2k+2

L'échange est justi�é par la convergence absolue.

1

ez + 1=

1

2− 2

∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+2ζimp(2k + 2) pour | z |< π (27)

3.2 Représentation intégrale de ζa .

Γ(s) =

∫ ∞0

e−xxs−1dx pour R(s) > 0

Par absolue convergence et intégrabilité pour R(s) > 1 , nous obtenons :

Γ(s)∞∑n=1

(−1)n−1

ns=

∫ ∞0

∞∑n=1

(−1)n−1e−ntts−1dt

D'où la représentation intégrale utilisant ce noyau, valable a priori pour R(s) > 1 et encore valablepour R(s) > 0 puisque, dans ce domaine l'intégrale est convergente :

Γ(s)ζa(s) =

∫ ∞0

1

et + 1ts−1dt pour R(s) > 0. (28)

On pourrait étendre cette représentation intégrale en considérant :

1

et + 1− 1

2

11

4 Relations fonctionnelles

4.1 Relation fonctionnelle entre ζa et ζimp .

Partons de la relation fonctionnelle de la fonction ζ, cf [6] .

ζ(s) = 2sπs−1 sin(π

2s)Γ(1− s)ζ(1− s) (29)

Rappelons les formules (3) et (5)

ζ(s) =ζa(s)

1− 21−s

ζ(s) =ζimp(s)

1− 2−sdonc ζ(1− s) =

ζimp(1− s)1− 2s−1

Remplaçons ζ par ζa et par ζimp et simpli�ons :

2s − 2

1− 2s−1= (−2)

1− 2s−1

1− 2s−1= −2

D'où la relation fonctionnelle entre ζa et ζimp :

ζa(s) = −2πs−1 sin(π

2s)Γ(1− s)ζimp(1− s) (30)

4.2 Relation fonctionnelle entre ζα et ζβ .

Utilisons la formule (30) :

ζa(2s)

ζa(s)=−2π2s−1 sin(πs)Γ(1− 2s)ζimp(1− 2s)

−2πs−1 sin(π2s)Γ(1− s)ζimp(1− s)

Utilisons la formule de duplication de la fonction Γ, cf [2] :

Γ(1− 2s)

Γ(1− s)=

(−2s)Γ(−2s)

(−s)Γ(−s)=

2π−1/2 2−2s−1 Γ(−s) Γ(1/2− s)Γ(−s)

Le coe�cient peut s'écrire:

πs2 sin(π2s) cos(π

2s)

sin(π2s)

2π−1/22−2s−1Γ(1

2− s)

= 21−2sπs−1/2 cos(π

2s)Γ(1

2− s)

Nous obtenons une première forme de la relation fonctionnelle entre ζα et ζβ :

ζα(s) = 21−2s πs−1/2 cos(π

2s)

Γ(1

2− s)ζβ(1− s) (31)

Remarquons que, d'après (13) :

ζβ(1− s) =∞∑m=0

β(2m+ 1)

(2m+ 1)1−s=

∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1

1

(2m+ 1)1/2−spour R(s) < 0

Nous pouvons écrire la relation fonctionnelle entre ζα et ζβ sous la forme :

ζα(s) = 21−2s cos(π

2s)

Γ(1

2− s) ∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1

1

(π(2m+ 1)1/2−spour R(s) < 0 (32)

12

5 Représentations intégrales

5.1 Représentation intégrale de ζα pour −3/2 < R(s) < −1/2 .

Un calcul par résidu, donne :∫ ∞0

xa

x2 + v2dx =

π

2 cos(π2a)va−1 pour − 1 < R(a) < 1 et pour v > 0

Prenons a = s+ 1/2, v = πn :

1

(πn)1/2−s=

2

πcos(π

2(s+ 1/2)

) ∫ ∞0

xs+1/2

x2 + π2n2dx pour − 3/2 < R(s) < 1/2

La relation fonctionnelle (32) donne une représentation intégrale de ζα pour −3/2 < R(s) < 0 :

ζα(s) = 21−2s cos(π

2s)Γ(1

2− s) 2

πcos(π

2s+

π

4

) ∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1

∫ ∞0

xs+1/2

x2 + π2(2m+ 1)2dx

Nous allons commuter la série et l'intégrale. Pour justi�er cette transformation, montrons que nousavons convergence et intégrabilité absolue pour −3/2 < R(s) < −1/2 . Ceci nous permettra d'utiliserle théorème de convergence dominée .Posons σ = R(s) et utilisons l'inégalité (16)∫ ∞

0

2xN∑m=0

∣∣∣∣ β(2m+ 1)√2m+ 1(x2 + π2(2m+ 1)2)

∣∣∣∣ | xs−1/2 | dx ≤ ∫ ∞0

2xN∑n=1

1

(x2 + π2n2)xσ−1/2dx

Utilisons (25) :

≤∫ ∞0

(1

2− 1

ex + 1

)xσ−1/2dx

La convergence en ∞ est assurée par σ < −1/2 .Pour la convergence en 0, utilisons un développement limité :

1

2− 1

ex + 1=

1

2− 1

2 + x+ o(x)=

1

2− 1

2(1− x

2+ o(x)) =

x

4+ o(x).

Nous avons convergence pour σ > −3/2 .

D'où la représentation intégrale de ζα valable pour −3/2 < R(s) < −1/2 :

ζα(s) =21−2s

πcos(π

2s)

cos(π

2s+

π

4

)Γ(1

2− s) ∫ ∞

0

2x∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1(x2 + π2(2m+ 1)2)

xs−1/2dx (33)

Posons :

ϕ(s) =21−2s

πcos(π

2s)

cos(π

2s+

π

4

)Γ(1

2− s)

N (x) = 2x∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1 (x2 + π2(2m+ 1)2)

L'égalité (33) s'écrit :

ζα(s) = ϕ(s)

∫ ∞0

N (x)xs−1/2dx pour − 3/2 < R(s) < −1/2 (34)

Nous allons étendre à droite l'intervalle de validité de cette représentation intégrale en étudiant lenoyau N (x) .

13

5.2 La fonction méromorphe N .

Montrons que :

N (z) = 2z∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1(z2 + π2(2m+ 1)2)

(35)

dé�nit une fonction méromorphe dans C .Considérons le disque fermé de centre O et de rayon R :

∃M0 > 0 ∀m ≥M0 2m+ 1 ≥√

2R

π

Nous allons montrer que la série étudiée, prise à partir du rang M0, est normalement convergentesur ce disque.

Prenons z dans ce disque | z |≤ R et m ≥M0 .

| z |2

π2(2m+ 1)2≤ 1

2donc

∣∣∣∣1 +z2

π2(2m+ 1)2

∣∣∣∣ ≥ 1

2

| z2 + π2(2m+ 1)2 | = π2(2m+ 1)2∣∣∣∣1 +

z2

π2(2m+ 1)2

∣∣∣∣ ≥ 1

2π2(2m+ 1)2

Nous avons donc la majoration suivante pour M ≥M0 :

M∑m=M0

∣∣∣∣ β(2m+ 1)√2m+ 1 (z2 + π2(2m+ 1)2)

∣∣∣∣ ≤ M∑m=M0

2

π2(2m+ 1)2

la fonction N est bien méromorphe dans C .

Il est facile de trouver les singularités de N .Les pôles sont les iπ(2m+ 1) pour m ∈ Z, ils sont tous simples, les résidus correspondant sont :

β(2m+ 1)√2m+ 1

La fonction N est régulière au voisinage de 0, ses premières singularités sont en ±iπ, donc N estdéveloppable en série de puissances dans le disque ouvert de centre O et de rayon π.Pour | z |< π, nous avons :

N (z) = 2∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1 π2(2m+ 1)2

∞∑k=0

(−1)kz2k+1

(π2(2m+ 1)2)k

Par convergence absolue :

N (z) = 2∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+2

∞∑m=0

β(2m+ 1)

(2m+ 1)2k+5/2

N (z) = 2∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+2ζβ

(2k +

5

2

)pour | z |< π (36)

14

5.3 Dé�nition et étude de la fonction méromorphe M .

Montrons que :

M(z) =∞∑m=0

ν(2m+ 1)(1

2− 1

ez/(2m+1) + 1

)(37)

dé�nit une fonction méromorphe dans C .Considérons le rectangle des z = x+ iy dans C, tels que | x |≤ A et | y |≤ B. Il existe un entier N0

tel queA

ln (2)≤ N0 et B ≤ π

3N0

Nous allons montrer que la série étudiée, prise à partir du rang N0 est normalement convergente surce rectangle .Pour tout n ≥ N0 et tout z = x+ iy dans ce rectangle :

A

ln (2)≤ n ⇒ A

n≤ ln (2) ⇒ 1/2 ≤ e−A/n ≤ ex/n ≤ eA/n ≤ 2

−B ≤ y ≤ B ⇒ −π/3 n ≤ y ≤ π/3 n ⇒ 1/2 ≤ cos (y/n) ≤ 1

1/2 =| ez/n |= ex/n ≤ eA/n ≤ 2

| 1 + ez/n |2 ≥ 1 + 2ex/n cos(y/n) + e2x/n ≥ 1

Utilisons un procédé de sommation par parties. (On rappelle que ν est nulle sur les entiers pairs).Posons :

Sn = ν(1) + ν(2) + ...+ ν(n)

N∑n=1

ν(n)(1

2− 1

ez/n + 1

)=(1

2− 1

ez + 1

)S1 +

N∑n=1

(1

2− 1

ez/n + 1

)(Sn − Sn−1)

=N−1∑n=1

( 1

ez/(n+1) + 1− 1

ez/n + 1

)Sn +

(1

2− 1

ez/N + 1

)SN

Majorons :∣∣∣ e−z/n − e−z/(n+1)

(1 + e−z/(n+1))(1 + e−z/n)

∣∣∣ ≤| e−z/(n+1) || e−z(1/n−1/(n+1)) − 1 |≤ 2 | e−z(1/(n(n+1)) − 1 |

Nous aurons comme série majorante, à partir du rang N0 :

2 supk∈N∗| Sk |

N∑n=N0

| e−z(1

n(n+1)) − 1 |

Cette borne supérieure existe puisque, d'après le théorème 1, par (24) :

limn→∞

Sn =∞∑n=1

ν(n) = 0

15

D'où la majoration :

2 supk∈N∗| Sk |

N∑n=N0

∞∑k=1

| z |k

k!nk(n+ 1)k≤ 2 sup

k∈N∗| Sk |

N∑n=N0

∞∑k=1

(√A2 +B2)k

k!

1

n(n+ 1)

≤ 2 supk∈N∗| Sk |

N∑n=N0

1

n(n+ 1)e√A2+B2

Majorons le reste, sachant que N ≥ N0 :∣∣∣12− 1

ez/N + 1

∣∣∣ | SN | ≤ (1

2+

1

ez/N + 1

)| SN |

≤ 3

2| SN |

limN→∞

∣∣∣12− 1

ez/N + 1

∣∣∣ | SN |= 0

Ce qui montre �nalement queM est bien une fonction méromorphe dans C .

Étudions les pôles et les résidus deM .

ez/(2l+1) = −1 = eiπ+k2iπ pour k ∈ Zz = (2l + 1)iπ + k(2l + 1)2iπ

Les pôles sont donc i(2l+ 1)π pour l ∈ Z . Le résidu de 12− 1

ez/(2m+1)+1en i(2l+ 1)π est, à condition

que 2m+ 1 soit un diviseur de 2l + 1 :

− 1

d/dz(ez/(2m+1) + 1)pris en z = (2l + 1)iπ

= −(2m+ 1)ei(2l+1)π/(2m+1) = 2m+ 1

d'où le résidu deM en (2l + 1)iπ :∑(2m+1)|(2l+1)

(2m+ 1)ν(2m+ 1) =β(2l + 1)√

2l + 1

ceci d'après (21). On trouve les mêmes pôles et les mêmes résidus que pour la fonction méromorpheN . Évidemment, ceci ne su�t pas pour montrer l'égalité entre N etM.

D'après l'égalité (24) et la dé�nition (37) deM :

M(z) = −∞∑m=0

ν(2m+ 1)1

ez/(2m+1) + 1(38)

5.4 Limite à l'in�ni de la fonction M .

Étudions le comportement deM quand x réel tend vers l'in�ni. Posons :

an(x) =1

2− 1

ex/n + 1

Utilisons un procédé de sommation par parties. Posons :

Sn = ν(1) + ν(2) + ...+ ν(n)16

a1(x)ν(1) + a2(x)ν(2) + ...+ an(x)ν(n) = a1(x)S1 + a2(x)(S2 − S1) + ...+ an(x)(Sn − Sn−1)= (a1(x)− a2(x))S1 + (a2(x)− a3(x))S2 + ...+ (an−1(x)− an(x))Sn−1 + an(x)Sn

Les séries étant convergentes, nous pouvons écrire :

M(x) =N∑n=1

(an(x)− an+1(x))Sn +∞∑

n=N+1

(an(x)− an+1(x))Sn

D'après le théorème 1, formule (24) nous avons:

∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N | Sn |≤ ε

ce N étant �xé, nous avons :lim

X→+∞e−X/(N+1) = 0

donc, il existe X tel que :e−X/(N+1) ≤ ε

2 supk∈N∗ | Sk |Remarquons que an(x) > an+1(x).La première somme à évaluer se majore en valeurs absolues par :

N∑n=1

(an(x)− an+1(x)) | Sn | =N∑n=1

( 1

ex/(n+1) + 1− 1

ex/n + 1

)| Sn |

=N∑n=1

( e−x/(n+1)

1 + e−x/(n+1)− e−x/n

1 + e−x/n

)| Sn |

≤ supk∈N∗| Sk |

N∑n=1

e−x/(n+1) − e−x/n

(1 + e−x/n)(1 + e−x/(n+1))

≤ supk∈N∗| Sk |

N∑n=1

(e−x/(n+1) − e−x/n)

= supk∈N∗| Sk | (e−x/(N+1) − e−x)

≤ supk∈N∗| Sk | e−x/(N+1)

≤ supk∈N∗| Sk | e−X/(N+1)

≤ ε/2

Cette majoration est vraie pour tout x ≥ X .

D'autre part, le deuxième terme à évaluer se majore aussi par les valeurs absolues :

∞∑n=N+1

(an(x)− an+1(x)) | Sn | ≤ ε

∞∑n=N+1

(an(x)− an+1(x))

= ε aN+1(x) = ε(1

2− 1

ex/(N+1) + 1

)≤ ε/2.

17

Finalement :∀ε > 0 ∃X > 0 ∀x ≥ X | M(x) | ≤ ε

Nous avons donc :lim

x→+∞M(x) = 0 (39)

Une autre méthode consiste à utiliser l'intégration par parties de l'intégrale de Stieltjes. Posons :

S(y) =∑

1≤n≤y

ν(n)

ϕ(t) =1

ex/t + 1

D'où :

ϕ′(t) =e−x/t

(1 + e−x/t)2x

t2∑1≤n≤y

ν(n)1

ex/n + 1= S(y)

1

ex/y + 1−∫ y

1

S(t)e−x/t

(1 + e−x/t)2x

t2dt

E�ectuons le changement de varaible u = x/t , puis le passage à la limite y →∞ qui donne S(y)→ 0et 1

ex/y+1→ 1

2:

∞∑n=1

ν(n)1

ex/n + 1= −

∫ x

0

S(xu

) e−u

(1 + e−u)2du

Comme nous avons :limx→∞

S(xu

)= 0

Nous pouvons utiliser le théorème de Lebesgue de convergence dominée :

limx→∞

∫ ∞0

1[0,x](u)S(xu

) e−u

(1 + e−u)2du =

∫ ∞0

limx→∞

1[0,x](u)S(xu

) e−u

(1 + e−u)2du

Ce qui nous redonne bien le résultat (39) .

5.5 Comportement asymptotique de la dérivée M′ .

Nous pouvons dériver terme à terme la série dé�nissantM(z). D'après (38), nous avons donc :

M′(z) =∞∑m=0

ν(2m+ 1)

2m+ 1

ez/(2m+1)

(ez/(2m+1) + 1)2(40)

Prenons cette expression pour x réel positif (on rappelle que ν est nul sur les entiers pairs) .

M′(x) =∞∑n=1

ν(n)

n

ex/n

(ex/n + 1)2

=∞∑n=1

ν(n)e−x/n

n(1 + e−x/n)2

Nous allons encore utiliser l'intégration par parties dans l'intégrale de Stieltjes .Posons :

f(t, x) =e−x/t

t(1 + e−x/t)218

Dérivée :∂f(t, x)

∂t=

e−x/t

x(1 + e−x/t)3

((xt− 1)−(xt

+ 1)e−x/t

) xt2

Intégration par parties :∑1≤n≤y

ν(n)e−x/n

n(1 + e−x/n)2= S(y)f(y, x)− 1

x

∫ y

1

S(t)e−x/t

x(1 + e−x/t)3

((xt− 1)−(xt

+ 1)e−x/t

) xt2dt

E�ectuons le changement de variable u = x/t , puis le passage à la limite y →∞ :

x

∞∑n=1

ν(n)e−x/n

n(1 + e−x/n)2= −

∫ ∞0

S(xu

) e−u

(1 + e−u)3((u− 1)− (u+ 1)e−u)du

Nous pouvons utiliser le théorème de Lebesgue de convergence dominée :

limx→∞

x

∞∑n=1

ν(n)e−x/n

n(1 + e−x/n)2= −

∫ ∞0

limx→∞

1[0,x](u)S(xu

) e−u

(1 + e−u)3((u− 1)− (u+ 1)e−u)du

Finalement :limx→∞

xM′(x) = 0 (41)

5.6 Peut-on trouver une meilleure majoration de M à l'in�ni ?

L'inégalité suivante est-elle vraie pour x assez grand :

| M(x) |≤ C

x? (42)

5.7 Identité entre M et N .

Nous allons montrer que, pour tout z au voisinage de 0, on a :

M(z) = N (z)

ou encore :

∞∑n=0

ν(2n+ 1)(1

2− 1

ez/(2n+1) + 1

)= 2z

∞∑m=0

β(2m+ 1)√2m+ 1 (z2 + π2(2m+ 1)2)

Partons de la formule (27) :

1

2− 1

ez/(2n+1) + 1= 2

∞∑k=0

(−1)k

π2k+2ζimp(2k + 2)

z2k+1

(2n+ 1)2k+1

∞∑n=0

ν(2n+ 1)(1

2− 1

ez/(2n+1) + 1

)= 2

∞∑n=0

ν(2n+ 1)∞∑k=0

(−1)k

π2k+2ζimp(2k + 2)

z2k+1

(2n+ 1)2k+1

Pour justi�er la commutation des sommations, montrons la convergence absolue de la série triple :

∞∑n=0

ν(2n+ 1)∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+2(2n+ 1)2k+1

∞∑l=0

1

(2l + 1)2k+2

19

D'après (23), nous avons :

| ν(2n+ 1) |≤ d(2n+ 1)

2n+ 1

Nous pouvons donc majorer en valeurs absolues par :

| z |∞∑n=0

∞∑k=0

∞∑l=0

| z |2k d(2n+ 1)

π2k+2(2n+ 1)2k+2(2l + 1)2k+2

Soit m tel que 2m+ 1 = (2n+ 1)(2l + 1), on trouve :

| z |∞∑m=0

∞∑k=0

| z |2k

(π(2m+ 1))2k+2

∑(2n+1)|(2m+1)

d(2n+ 1)

Fixons ε > 0 quelconque. Il est bien connu, cf [5], que :

d(n) = O(nε)

Donc, il existe N tel que pour tout n ≥ N :

d(n) ≤ K(ε)nε∑(2n+1)|(2m+1)

d(2n+ 1) ≤ K(ε)∑

(2n+1)|(2m+1)

(2n+ 1)ε

≤ K(ε) (2m+ 1)ε∑

(2n+1)|(2m+1)

1

≤ K(ε)(2m+ 1)εK(ε)(2m+ 1)ε

≤ K(ε)2(2m+ 1)2ε

La quantité étudiée a donc comme série majorante à coe�cients positifs :

K(ε)2 | z |∞∑m=0

(2m+ 1)2ε

(2m+ 1)2π2

∞∑k=0

| z |2k

(π(2m+ 1))2k

= K(ε)2 | z |∞∑m=0

(2m+ 1)2ε

(2m+ 1)2π2

1

1− |z|2(π(2m+1))2

= K(ε)2 | z |∞∑m=0

(2m+ 1)2ε

(2m+ 1)2π2− | z |2

Si l'on prend ε > 0 assez petit, cette série est convergente .

Nous pouvons donc commuter les sommations. Pour | z |< π :

∞∑n=0

ν(2n+ 1)(1

2− 1

ez/(2n+1) + 1

)= 2

∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+2ζimp(2k + 2)

∞∑n=0

ν(2n+ 1)

(2n+ 1)2k+1

= 2∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+2ζimp(2k + 2)ζν(2k + 1)

20

Rappellons la formule (19) sous la forme particulière :

ζν(2k + 1) =ζβ(2k + 5/2)

ζimp(2k + 2)

Nous avons donc le développement en série de puissance de N à l'origine :

M(z) = 2∞∑k=0

(−1)kz2k+1

π2k+1ζβ(2k + 5/2) pour | z |< π

Nous retrouvons bien la formule (36) et nous avons bien établi queM et N sont deux expressionsde la même fonction .

5.8 Représentation intégrale de la fonction ζλ pour −3/2 < R(s) < −1/2 .

Rappelons la formule (34) :

ζα(s) = ϕ(s)

∫ ∞0

N (x)xs−1/2dx pour − 3/2 < R(s) < −1/2

Théorème 2. Pour −3/2 < R(s) < −1/2, nous avons la représentation intégrale :

ζλ(s) =1− 21−s

1− 21−2s ϕ(s)

∫ ∞0

N (x)xs−1/2dx (43)

Détaillons les valeurs de ϕ, de N et deM. Pour −3/2 < R(s) < −1/2, nous avons :

ζλ(s) =1− 21−s

(22s−1 − 1)πcos(π

2s)

cos(π

2s+

π

4

)Γ(1

2− s) ∫ ∞

0

∞∑m=0

2x β(2m+ 1)√2m+ 1(x2 + π2(2m+ 1)2)

xs−1/2dx

(44)

ζλ(s) =21−s − 1

(22s−1 − 1)πcos(π

2s)

cos(π

2s+

π

4

)Γ(1

2− s) ∫ ∞

0

∞∑m=0

ν(2m+ 1)

ex/(2m+1) + 1xs−1/2dx (45)

Remarque sur le coe�cient intervenant dans ces formules :Annulation du numérateur :

21−s − 1 = 0 ⇐⇒ s = 1 + k2iπ

ln 2

cos(π

2s)⇐⇒ s = 2k + 1

cos(π

2s+

π

4

)⇐⇒ s =

1

2+ 2k

Tout ceci pour k ∈ Z. Annulation du dénominateur :

22s−1 − 1 = 0 ⇐⇒ s =1

2+ k

iπ

ln 2

aussi pour k ∈ Z .

21

6 Références

[1] A.E. Ingham. The distribution of prime numbers. Stechert-Hafner service agency, 1964.[2] W. Magnus, F. Oberhettinger, R.P. Soni. Formulas and theorems for special functions of Mathe-

matical Physics. Springer-Verlag, 1966.[3] D.J. Newman. Simple analytic proof of the prime number theorem. Amer.Math.Monthly, 87(9)p.693-696, 1980 ou Analytic Number theory. Springer-Verlag, 1991.[4] B. Riemann. Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Monatsberichte derBerliner Akademie (1859), 671-680. Traduction française par L. Laugel: ×uvres Mathématiques de

Riemann. p.165-176 (1898). Réed. Blanchard.[5] G. Tenenbaum. Introduction à la théorie analytique et probabililiste des nombres. Cours spécial-isés. Société Mahtématique de France, 1995.[6] E.C. Titchmarsh. The theory of the Riemann zeta-function. Oxford Science publication, secondedition, 1986.

Remerciements

Je remercie Michel Paugam pour ses remarques fructueuses et sa con�ance dans mon travail ainsi queClaude Longuemare pour tout ce qu'il m'a appris à travers les divers sujets que nous avons abordés.

22