ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/1 Imprimé le 9 février 2006

Répétition 1 : Théorème de Thévenin et Norton

1 Rappels et définitions

1.1 Dipôle et théorème de superposition Un dipôle électrique est un élément à deux bornes, caractérisé par le courant i qui le traverse et par la tension v apparaissant à ses bornes :

Le dipôle électrique est dit linéaire si la relation i-v est une relation linéaire c'est à dire,

si 1ii = pour une tension 1v et

2ii = pour une tension 2v , alors 21 biaii += pour une tension 21 bvavv += .

Exemples de composants linéaires :

• La résistance : R, Rv

i =

• L'inductance : L, dt

diLv =

• La capacité : C, dtdv

Ci =

Un dipôle peut être lui-même composé d'un ensemble de dipôles interconnectés.

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Exemple :

Si la relation i-v est linéaire, on parle alors d'un circuit linéaire. Remarques : dans le circuit précédent, on a introduit les sources suivantes :

La source de tension continue, vV = .

La source de courant continu, iI = .

Les circuits linéaires satisfont le théorème de superposition. La réponse du circuit à un ensemble de sources indépendantes est donnée par la somme des réponses à chaque source individuelle.

1.2 Application Calculer la réponse du circuit ( v ) ci-dessous lorsqu'il n'est pas connecté à une résistance de charge, c'est à dire lorsque 0=i en sortie du circuit.

Suggestion : La réponse se calcule en 3 étapes successives. Toutes les sources étant indépendantes, on calculera individuellement les contributions de chacune des trois sources. Lorsque l'on s'intéressera à l'une des sources, les sources de courant seront remplacées par un circuit ouvert et les sources de tension par un court-circuit. Ensuite on sommera toutes les contributions.

On trouve alors pour 0=i en sortie du circuit. : 21

21121

21

2 )(RR

RRIVV

RRR

v+

+++

= .

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2 Théorème de Thévenin On considère un circuit linéaire, composé d'éléments résistifs, de sources de tension continues, et éventuellement de sources dépendantes linéaires, par exemples :

• Source de courant :

où 1gvi = , avec 1v qui est une tension apparaissant aux bornes d'un autre élément du circuit. Exemple d'une source commandée par une tension 1v :

• Source de tension :

où 1Avv = , avec 1v qui est une tension apparaissant aux bornes d'un autre élément du circuit. Exemple d'une source commandée par une tension 1v :

Ces sources commandées apparaissent dans des modèles de certains éléments d'électronique (diodes, transistors,…) que l'on abordera ultérieurement. Si l'on considère l'un de ces circuits. Sa caractéristique i-v étant linéaire, on a de façon générale la relation suivante : BAvi += où A et B sont des constantes. On suppose 0≠A et

0<A .

La droite i-v est appelée "droite de charge du circuit". Prenons un exemple de circuit simple :

Le système nous donne : iRVv THTH −= ,

et donc TH

TH

TH RV

Rv

i +−= ou encore THR

A1

−= et TH

TH

RV

B =

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Vu de l'extérieur, le circuit sous forme de boite noire ne peut être différencié du circuit

représenté dans sa forme complète, si l'on choisi THR

A1

−= et TH

TH

RV

B = .

Le théorème de Thévenin établit que tout circuit linéaire peut-être remplacé par le circuit simplifié qui reproduit sa droite de charge, c'est à dire :

Pour THR

A1

−= et TH

TH

RV

B = ,

≡ Ce théorème est très utile pour simplifier un circuit complexe en sous-circuits de Thévenin. Calcul des paramètres du modèle équivalent de Thévenin : Soit le circuit suivant :

Trois méthodes :

• Identification directe :

THV : tension apparaissant aux bornes du dipôle (de gauche) quand le circuit est ouvert que l'on déduit par les lois de Kirchhoff.

THR : c'est la résistance équivalente du dipôle lorsque les sources de tension sont mises à zéros.

• Par le calcul du courant CCI :

On détermine THR comme dans la première méthode, mais au lieu de chercher VTH, on calcule le courant CCIi = qui traverse le dipôle si celui-ci est mis en court-circuit :

On a alors : TH

THCC R

VI = soit : THCCTH RIV = .

• Méthode Vtest-Itest. On impose un courant Itest et on calcule la tension aux bornes du dipôle, avec toutes les sources continues mises à zéro. Cela nous permet de déterminer RTH. On peut ensuite regarder le circuit ouvert pour déterminer VTH (I test=0) ou déterminer

CCI en court-circuitant le circuit (Vtest =0)

On trouve : VRR

RVTH

21

2

+= et

21

21

RRRR

RTH += . Pour le calcul de THR les sources de courant

continues seront remplacées par un circuit ouvert et les sources de tension continues par un court-circuit. Les sources commandées seront discutées en détail ultérieurement.

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Remarques : • Les trois méthodes sont équivalentes. Le choix de l'une par rapport à l'autre vient de la

pratique. • Le théorème de Thévenin peut-être démontré (ici, nous n'avons fait que de montrer sa

validité avec quelques exemples). Il peut également être généralisé aux impédances

complexes ( LjZ ω= ou Cj

Zω1

= ).

3 Théorème de Norton Comparons maintenant le circuit linéaire (le dipôle) au circuit équivalent suivant :

≡

Ce dernier à la droite de charge suivante, avec NN

IRv

i +−= et iRIRv NNN −= .

Le modèle équivalent de Norton n'est qu'une autre représentation du modèle équivalent de

Thévenin pour lequel on avait la droite de charge iRVv THTH −= , TH

TH

TH RV

Rv

i +−=

Le passage de l'une à l'autre des représentations se fait donc en identifiant IN à ICC et RNIN à

VTH et donc on trouve : TH

THN R

VI = et THN RR =

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4 Diviseur potentiométrique Calculer la différence de potentiel v dans le cas de l'absence de charge ainsi que lorsqu'elle est présente. v sera exprimé comme une fraction de la tension V que l'on peut ajuster en fonction de R1, R2 et RL. Penser à utiliser le théorème de Thévenin.

Si l'on veut concevoir un circuit qui délivre une tension de 2V à une résistance RL = 1 k Ω et que l'on dispose d'une source de 10V, que peut-on choisir comme résistance R1 et R2 ?

5 Diviseur de courant Très utile à garder en mémoire.

Solutions : IRR

RI

21

21 +

= et IRR

RI

21

12 .

6 Exercice Un modèle de transistor donne le circuit suivant :

Déterminer le circuit équivalent de Thévenin. Données : 100=β , V1 = 0,5V et V2 = 1,5V ; R1 = 10 k Ω et R2 = 1 k Ω Suggestion : déterminer THV en utilisant le principe de superposition en mettant successivement V1 et V2 à zéro. La source commandée 1iβ n'est mise à zéro que si i1 est égal à zéro dans les circuits obtenus.