MQ06 – P15

TP 5 Réservoir sous pression

LEFEVRE Paul

MORIN Corentin

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Objectifs • Confrontation des résultats analytiques aux résultats E.F. • Réduction de problèmes (3D) à des problèmes de coques minces (2.5 D). • Etudes de l’effet du maillage sur les résultats du problème. • Optimisation des dimensions de la structure vis-à-vis du changement

Introduction Au cours de ce TP, nous avons utilisé le logiciel ABAQUS afin de réaliser les calculs éléments finis nous permettant d’obtenir une solution numérique du problème qui nous était posé, à savoir l’évaluation des contraintes dans la cuve d’un camion citerne soumis à la pression du fluide que cette dernière contient. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés aux résultats analytiques concernant les contraintes. Dans une seconde partie, nous avons calculé la solution numérique pour plusieurs types d’éléments. Enfin, dans une troisième et dernière partie, nous avons cherché à obtenir l’épaisseur optimale de la cuve pour une contrainte donnée.

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Table des matières Objectifs .................................................................................................................................................. 2

Introduction ............................................................................................................................................. 2

Description du problème ......................................................................................................................... 3

Etude analytique du problème ................................................................................................................ 4

Conditions aux limites du problème ................................................................................................... 4

Degrés de liberté ................................................................................................................................. 4

Expression du tenseur des contraintes ............................................................................................... 4

Expression du tenseur des déformations ............................................................................................ 6

Etude numérique du problème ............................................................................................................... 7

Eléments de type S3 ............................................................................................................................ 7

1. Eléments S3 500mm ................................................................................................................ 7

2. Eléments S3 250mm ................................................................................................................ 7

Eléments de type S4R .......................................................................................................................... 8

1. Eléments S4R 500mm .............................................................................................................. 8

2. Eléments S4R 250mm .............................................................................................................. 8

Etude sur un cylindre non soumis à un encastrement ........................................................................ 8

Comparaison de la distribution et des valeurs des contraintes max de Mises ................................... 9

Calcul de l’épaisseur idéale ................................................................................................................. 9

Conclusion ............................................................................................................................................. 10

Référence .............................................................................................................................................. 11

Annexes ................................................................................................................................................. 11

S3 500 mm ......................................................................................................................................... 11

S3 250mm .......................................................................................................................................... 12

S4R 500mm........................................................................................................................................ 13

S4R 250mm........................................................................................................................................ 14

S3 250mm sans encastrement .......................................................................................................... 15

Description du problème On considère le problème d’un réservoir ayant la forme d’une enveloppe mince de révolution et un fond de forme hémisphérique de rayon r=2m. La partie cylindrique est de longueur L=20m et d’épaisseur e=4mm. Le liquide à l’intérieur du réservoir exerce une pression interne P=0.15MPa. Le matériau du réservoir est élastique linéaire isotrope (E=210 000 MPa et ν=0.28). On s’intéresse à vérifier la bonne tenue du réservoir aux contraintes internes. On donne la contrainte admissible σC = 350MPa. La partie inférieure du réservoir est encastrée à la remorque du camion.

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Etude analytique du problème

Conditions aux limites du problème En ce qui concerne la partie analytique du problème, on considère que le cylindre est soumis à une pression uniforme, que la pression atmosphérique est négligeable et qu’aucun encastrement n’est défini.

Degrés de liberté Concernant les degrés de liberté de la cuve, la cuve est libre partout sauf à l’endroit où elle est encastrée, c'est-à-dire sur la partie basse, supposée être liée à la remorque du camion. Au niveau de cet encastrement, les déplacements sont donc nuls. Cet encastrement n’est défini que pour la solution numérique.

Expression du tenseur des contraintes Afin de déterminer l’expression du tenseur des contraintes, nous allons séparer le réservoir en deux sous ensembles. Nous avons d’un côté un cylindre soumis à la pression du fluide et de l’autre l’hémisphère refermant le réservoir et soumis à cette même pression. En réalisant l’équilibre des deux parties, nous pouvons alors déterminer les contraintes dans l’ensemble du système.

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Nous allons tout d’abord considérer le cylindre soumis à une pression interne uniforme q.

Le tenseur des contraintes est alors sous la forme :

Parallèlement au cylindre, les deux hémisphères refermant le réservoir sont également soumis à une pression interne uniforme q. On les modélise par une sphère de rayon R (R2 sur le schéma).

Le tenseur des contraintes s’exprime alors sous la forme :

Lorsqu’on assemble ces deux éléments entre eux, on remarque que la contrainte interne de la sphère se traduit par une contrainte identique dans l’axe du cylindre.

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Le tenseur complet au niveau du cylindre s’exprime donc sous la forme :

Soit selon les données de l’énoncé :

Le critère de Von Mises donne quand à lui :

Expression du tenseur des déformations On utilise le tenseur des déformations et la loi de Hooke suivante :

On obtient alors le tenseur des déformations suivant :

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Etude numérique du problème Afin d’étudier ce problème de manière numérique, nous avons récupéré la géométrie de la cuve disponible en .igs sur le site moodle. Nous avons ensuite utilisé l’option shell du logiciel ABAQUS afin d’appliquer les approximations du modèle des coques. L’épaisseur correspond à la surface moyenne de la CAO de la cuve. On travaille ainsi non pas en « 2D » ni en « 3D » mais en « 2,5D ». De plus, il nous a fallu modéliser l’encastrement de la cuve sur la remorque du camion. Pour ce faire, nous avons tout d’abord partitionné notre cylindre en trois grâce à deux plans distant chacun de 1m du centre de la cuve. Cela nous permet de définir un encastrement long de 2m.

Eléments de type S3 On utilise dans cette partie des éléments de type triangulaires à 3 nœuds de taille variable. Ainsi, nous avons utilisé deux tailles d’éléments de manière à observer les effets de ce changement sur les résultats obtenus.

1. Eléments S3 500mm Nous avons dans un premier temps utilisé une taille de 500mm. Nous avons obtenus les résultats suivants :

S3 500

Mises S11 S22

72,79 37,22 75,14

2. Eléments S3 250mm Nous avons ensuite utilisé une taille de 250mm. Nous avons obtenus les résultats suivants :

S3 250

Mises S11 S22

75,15 35,31 84,34

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Eléments de type S4R On utilise dans cette seconde partie des éléments de type quadrangulaire à 4 nœuds de taille variable. Nous avons là encore utilisé deux tailles d’éléments de manière à observer les effets de ce changement sur les résultats obtenus. Ainsi, nous pourrions étudier les effets de la taille mais également du type d’élément.

1. Eléments S4R 500mm Nous avons dans un premier temps utilisé une taille de 500mm. Nous avons obtenus les résultats suivants :

S4R 500

Mises S11 S22

73,45 36,72 75,88

2. Eléments S4R 250mm Après avoir utilisé une taille de 250mm, nous avons obtenus les résultats suivants :

S4R 250

Mises S11 S22

78,31 39,95 77,4

Etude sur un cylindre non soumis à un encastrement Nous constatons de manière générale que les contraintes de Von Mises sont plus élevées sur notre modèle que sur les résultats analytiques. Nous émettons l’hypothèse que cette contrainte plus élevée provient de l’encastrement sous la cuve. Afin de vérifier cette hypothèse, nous avons réalisé une simulation sans encastrement.

S4R 250 non encastré

Mises S11 S22

67,5 37,8 77,6

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Comparaison de la distribution et des valeurs des contraintes max de Mises Du point de vue de la répartition des contraintes max de Mises, elle diffère peu selon le maillage. Ce sont toujours les mêmes zones qui sont les plus contraintes, seules les valeurs changent. Cela nous montre une cohérence dans les résultats obtenus. Là où la cuve est encastrée, on n’a pas ou très peu de contraintes. En revanche, à l’opposé et sur les côtés, les contraintes sont maximales. Ainsi, si l’on observe la configuration déformée avec un coefficient multiplicateur, on voit que la cuve s’écrase pour s’étendre sur les côtés (voir annexe).

Résultats (MPa) (MPa) (MPa)

Résultat analytique 65 37,5 75

Elément fini / S3 500mm / Encastré 72,79 37,22 75,14

Elément fini / S3 250mm / Encastré 75,15 35,31 84,34

Elément fini / S4R 500mm / Encastré 73,45 36,72 75,88

Elément fini / S4R 250mm / Encastré 78,31 39,95 77,4

Elément fini / S3 250mm / Libre 67,5 37,8 77,6

Les valeurs obtenues entre la solution analytique et la méthode des éléments finis et la solution analytique sont assez proches. Toutefois, certains éléments donnent des résultats plus précis que les autres. En effet, le maillage le plus précis est donc celui avec des éléments triangulaires de taille 250mm. Le moins précis est celui avec des éléments quadrangulaires à 4 nœuds de taille 250mm. On remarque que la différence de contraintes entre les deux modèles est belle et bien issue de l’encastrement. La théorie ne prenant pas en compte cette condition aux limites, il faut considérer les résultats obtenus comme un ordre de grandeur de la contrainte réelle. En effet, en ne prenant pas en compte l’encastrement, le calcul analytique sous estime les contraintes réelles. Il faut donc en tenir compte lors du dimensionnement de la cuve pour éviter une rupture de celle-ci.

Calcul de l’épaisseur idéale Dans cette partie, nous avons cherché à calculer de manière analytique et informatique l’épaisseur optimale de la cuve pour que celle-ci résiste à une pression interne maximum de l’ordre de 1 Mpa sans dépasser les 15T. Analytiquement, nous allons utiliser la formule de contrainte maximale de Von Mises afin de déterminer l’épaisseur en fonction de la contrainte, le rayon de la cuve et la pression :

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Le calcul du volume est réalisé à partir de la formule suivante :

La simulation des contraintes au sein de réservoir pour différentes épaisseurs donne le tableau suivant :

Ce tableau nous donne donc une épaisseur optimale de 5,8 mm pour une contrainte de 346 MPa inférieure à la contrainte critique. Cette épaisseur valide également la condition de la masse maximum avec un total de 13,64 tonnes. Toutefois, afin d’augmenter la fiabilité de la cuve, on peut choisir une épaisseur de 6 mm qui permet une marge de sécurité plus importante de 16 MPa tout en restant dans la condition de masse maximale imposée. Comme précédemment, on remarque que la contrainte est plus élevée lorsque la citerne est encastrée. Cela signifie que le calcul analytique devrait prendre en compte cette condition aux limites afin d’être plus proche de la réalité.

Conclusion On peut donc conclure qu’avoir un maillage très précis permet d’avoir des résultats plus fiables. Cependant, un nombre plus importants de nœuds sur un modèle se traduit par un temps d’exécution de la simulation beaucoup plus important. Cela signifie que plus la pièce est complexe et plus le maillage sera précis, plus le coût en calcul sera élevé. Ainsi, une des solutions serait de combiner des maillages précis autour des zones d’intérêt avec des maillages beaucoup plus larges aux autres endroits. Cela permet d’accroitre la fiabilité du résultat tout en offrant un temps d’exécution de la simulation acceptable. Aussi, l’utilisation d’un calcul analytique simplifié permet de donner un ordre de grandeur de la solution réelle et ainsi de valider notre modèle. Il faut cependant faire attention aux écarts que ces simplifications peuvent engendrer, notamment de part leur sous estimation des contraintes réelles.

e (mm) m(tonnes) contrainte max (Mpa)

4 9,41 501

4,5 10,58 445

5 11,76 400

5,5 12,94 364

5,6 13,17 357

5,7 13,41 352

5,8 13,64 346

5,9 13,88 340

6 14,11 334

6,5 15,29 309

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Référence YOUNG, Warren. Roark’s Formulas for Stress and Strain. Seventh Edition. McGraw-Hill, 2002, 852p. ISBN 0-07-072542-X.

Annexes

S3 500 mm

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S3 250mm

Page 13

S4R 500mm

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S4R 250mm

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S3 250mm sans encastrement

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