Résumé - ressources-actuarielles.net · Résumé La Banque centrale Européenne (BCE) a mis en place une politique « de taux bas » en mai2010àlasuitedeladivulgationdesmauvaiscomptespublicsdelaGrèce

Résumé

La Banque centrale Européenne (BCE) a mis en place une politique « de taux bas » enmai 2010 à la suite de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce. Pour éviter unenouvelle crise en Europe, la BCE met en place le SMP Securities Market Program permettantessentielement aux banques centrales nationales et à la BCE de racheter des montants plusimportants de la dette d’Etats. Aujourd’hui, l’objectif d’atteindre les 2 % d’inflation n’étanttoujours pas réalisé, la BCE continue sa politique ultra accommodante jusqu’au moins fin2018. La question des prochains mois est donc de savoir comment la courbe de l’inflation va secomporter et à quelle échéance la remontée des taux d’intérêt se produira.

Le but de ce mémoire est d’étudier des solutions de couverture d’un portefeuille permettantà une assurance d’honorer ces engagements futurs. Dans un premier temps, nous étudierons leportefeuille à couvrir à travers différentes mesures de sensibilités. Dans un second temps, nousnous intéresserons à différentes couvertures de taux et chercherons un modèle permettant deles valoriser. Enfin, nous étudierons l’impact de ces couvertures sur le SCR taux d’intérêts etl’impact économique de les incorporer dans le portefeuille.

Mots-clés : portefeuille, couverture, option de taux, SCR Taux d’intérêts.

Abstract

The ECB’s low interest rates policy was enforced in May 2010 after Greece’s poor publicaccounts were published. The ECB implemented the SMP Security market program in orderto avoid another European crisis. It mainly consists in enabling central banks and the ECB tobuy larger amounts of Government debt. Since the goal of an inflation rate of 2% has not beenreached yet, the ECB announced its intention to extend this accommodating policy at leastuntil the end of 2018. Thus, the stakes in the months to come are to know how the inflationtrend will be affected and when interest rates will go up again.

This thesis aims at studying portfolio hedging strategies that would enable an insurance tohonour its future commitments. First off we shall focus on the portfolio to be hedged with somerisk sensitivities. After that we will look at various interest rate hedging derivatives and modelsto value them. At this point we shall study the impact of those hedging strategies on the interestrate SCR and on the portfolio.

Keywords : Portfolio, hedge, interest rate SCR, interest rate derivative.

Note de Synthèse

Introduction

A la suite de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce, en mai 2010, la Banquecentrale Européenne (BCE) met en place une politique « de taux bas » dite ultra accommandante.Aujourd’hui, l’objectif d’atteindre les 2 % d’inflation n’étant toujours pas réalisé, la BCE continuesa politique jusqu’au moins fin 2018. La question des prochains mois est donc de savoir comment lacourbe de l’inflation va se comporter et à quelle échéance la remontée des taux d’intérêt se produira.

C’est dans ce contexte que le groupe Humanis, paritaire et mutualiste à but non lucratif,s’intéresse à l’impact d’une hausse des taux sur le portefeuille d’une de ces entités.

Etude générale du portefeuille étudié

A titre d’exemple, pour appliquer les diverses méthodes décrites dans ce mémoire, nous considé-rons un portefeuille d’une des entités d’Humanis. Ce portefeuille est constitué à l’actif d’obligationset au passif des provisions sur des contrats vie et non-vie.

Pour étudier l’impact d’une hausse des taux sur ce portefeuille, on s’intéresse à sa sensibilité vis-à-vis de la courbe des taux. On choisit arbitrairement deux indicateurs : la duration et la convexité.Pour le portefeuille étudié, la duration est égale à 0,90. Cela signifie que dans le cas d’une haussede +1 % des taux, la valeur du portefeuille diminuera approximativement de 0,90 %.

De plus, la convexité du portefeuille est égale à 19,57. Cela signifie que la valeur du portefeuilleaugmente rapidement dans le cas d’une baisse des taux et diminue lentement lors d’une hausse destaux.

On s’intéresse dans la fin de ce chapitre à l’impact de différentes courbes des taux sur la valeurdu portefeuille. On utilise, pour ce faire, un Générateur de Scénarios Economiques « monde réel ».Il nous permet de générer des courbes des taux majoritairement à la hausse et ayant des formesdifférentes au niveau de la pente et de l’aplatissement. De cette étude, on conclut que le portefeuilleétudié est bien exposé à un risque de hausse des taux. Nous allons maintenant étudier des couverturesde taux permettant de protéger ce portefeuille contre ce risque.

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Etude de couvertures de taux

Définitions des couvertures de taux étudiées

Un swap de taux est un produit financier où deux parties s’échangent leurs taux d’intérêt (untaux fixe et un taux variable). Le taux variable est observé sur le marché et le taux fixe est laquantité à déterminer à la signature du contrat. La partie qui paie le taux fixe et reçoit le tauxvariable achète un swap dit payeur et l’autre partie achète, quant à elle, un swap receveur.

Un cap est une option de taux permettant de se couvrir contre une hausse des taux. C’est unswap payeur pour lequel seuls les flux positifs pour l’acheteur du contrat sont échangés. A l’inverse,un floor est une option de taux permettant de se couvrir contre une baisse des taux. C’est un swapreceveur pour lequel seuls les flux positifs pour l’acheteur du contrat sont échangés.

Une swaption est une option permettant d’acquérir le droit de souscrire à un contrat swap àmaturité de la swaption. On déduit alors la relation de parité entre le prix de la swaption, du capet du floor :

πStP (T,N,K,M) =(πCap(M,N,K)− πFloor(M,N,K)

)+

Recherche d’un modèle de valorisation des options de taux

Le but est maintenant de trouver un modèle de valorisation de ces couvertures. Dans ce mémoire,on décide arbitrairement d’en comparer deux : le modèle de Vasicek - modèle à un facteur - et lemodèle de Hull-White à deux facteurs.

On réalise alors des calibrages « risque neutre » en minimisant l’erreur quadratique entre les prixde marché et ceux calculés sous le modèle étudié. Par absence d’opportunité d’arbitrage, et pourrespecter la relation de parité précédente, il est nécessaire de valoriser ces trois options à l’aide desmêmes paramètres. Après étude, il est nécessaire de calibrer les modèles à l’aide des prix de marchédes swaptions. Pour ce faire, on décide de comparer deux calibrages différents. L’un calculant leprix des swaptions à l’aide de la formule de parité (C1) et l’autre calculant le prix des swaptionsdirectement à l’aide des formules de valorisation (C2) (propositions 2.9.1 et 2.9.2). Nous avons alorstrouvé les résultats suivants :

Modèle Calibrage Cap Floor Swaption

Vasicek C1 0,87 % 0,82 % 1,10 %C2 0,33 % 0,76 % 0,26 %

HW2 C1 3,78 % 3,59 % 0,27 %C2 9,42 % 16,37 % 1,07 %

Erreurs moyennes par option jusqu’à une maturité de 10 ans par modèle et par calibrage

De plus, pour sélectionner un modèle particulier, on vérifie que les paramètres trouvés permettentde bien reproduire la courbe des prix des obligations zéro-coupon :

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Ecarts des prix des zéro-coupons

On constate alors que le modèle de Hull-White à deux facteurs reproduit bien les prix desswaptions et la courbe des prix des zéro-coupons. Seul le modèle C1 permet d’approcher de façonadmissible les prix des caps et des floors. Toutefois, le modèle de Vasicek est meilleur et plusparticulièrement, le modèle calibré à l’aide de la formule de valorisation des swaptions. On utiliseradonc ce modèle dans la suite ; modèle ayant les paramètres suivants :

k µ σ7,45 % 3,94 % 0,23 %

Paramètres retenus du modèle Vasicek

Pour finir ce chapitre, on s’intéresse à l’évolution des prix des options en fonction du tauxvariable (taux Euribor 6M). Nous avons constaté que plus le choc appliqué au taux Euribor 6M estimportant, plus les prix du cap et de la swaption sont élevés. A l’inverse, plus le choc est faible, plusle prix du floor est élevé.

Application des couvertures au portefeuille étudié

Ce dernier chapitre permet d’étudier l’impact d’un cap ou d’une swaption intégré(e) dans leportefeuille étudié, d’un point de vu règlementaire et économique.

Optimisation du Capital de Solvabilité requis

La règlementation Solvabilité II, entrée en vigueur le 1er janvier 2016, fixe des règles pour contrô-ler et maintenir la solvabilité des assurances de l’Union Européenne. Elle impose aux entreprisesd’assurance de justifier d’un montant requis en fonds propres appelé Solvency Capital Requirement(SCR). Dans ce mémoire, on ne s’intéresse qu’au sous-module taux d’intérêt du SCR.

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Le risque de taux d’intérêt vise à quantifier le besoin en capital nécessaire pour faire face àl’impact d’une évolution de la structure de la courbe des taux (à la hausse ou à la baisse) sur lavaleur du bilan. Il correspond à l’écart maximal absolu entre la valeur du portefeuille (Net AssetValue (NAV)) actuelle et celles dans le cas d’une hausse et d’une baisse des taux :

SCRTaux = max(max(NAV0 −NAV0,Up, 0),max(NAV0 −NAV0,Down, 0))

Les courbes des taux utilisées pour le calcul des valeurs de portefeuille sont respectivement lacourbe EIOPA (2018) et les courbes EIOPA choquées. La valeur du SCR taux pour le portefeuilleétudié est égale à 89 882 e.

Plusieurs commissaires aux comptes ont vérifié l’elligibilité des couvertures de taux étudiéesdans le calcul du SCR et ont validé leurs introductions au portefeuille sous réserve qu’elles soientde maturité supérieure à 1 an. On s’intéresse alors aux options permettant de réduire le SCR tauxde x %. Pour ce faire, on minimise l’erreur quadratique entre le SCR taux du portefeuille diminuéde x % et celui en intégrant l’option étudiée. A titre d’exemple, on s’intéresse dans la suite auxstratégies réduisant de 10% et de 50% le SCR taux.

Dans le cas d’une diminution de 10 % du SCR taux d’intérêt, les meilleures stratégies sont :

Option Strike Maturité Nominal Prix ∗ Prix de marché∗

Caps

0,85 % 1 an 19,88 % 0,55 % 0,39 %0,65 % 1 an 13,27 % 0,50 % 0,40 %0,47 % 1 an 9,72 % 0,64 % 0,46 %0,77 % 2 ans 5,40 % 4,06 % 3,25 %

Swaptions

0,75 % 1/2 ans 5,77 % 3,67 % 3,46 %0,96 % 1/3 ans 7,40 % 7,68 % 8,01 %0,12 % 1/2 ans 1,75 % 10,08 % 9,98 %1,00 % 1/4 ans 4,11 % 9,68 % 10,69 %

Options diminuant de 10% le SCR taux

Pour une diminution de 50 % du SCR, soit une diminution de 44 941 e, on dénombre parmi lesstratégies les plus intéressantes, les suivantes :

Options Strike Maturité Nominal Prix∗ Prix de marché∗

Caps

0,21 % 1 an 34,33 % 0,93 % 0,60 %1,00 % 2 ans 37,62 % 3,57 % 2,47 %-0,25 % 1 an 23,55 % 5,61 % 4,37 %0,18 % 2 ans 13,96 % 6,18 % 5,33 %

Swaptions

0,63 % 1/2 ans 19,70 % 4,01 % 3,47 %0,31 % 1/2 ans 11,09 % 6,68 % 6,07 %0,86 % 1/4 ans 11,69 % 9,11 % 9,31 %0,90 % 1/5 ans 8,17 % 11,88 % 12,99 %

Options diminuant de 50% le SCR taux

∗. Les prix sont exprimés en pourcentage du gain en SCR.

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D’un point de vu règlementaire et dans le seul objectif de réduire de 10% (ou de 50%) le SCRtaux, la meilleur stratégie est la première de chacun des tableaux. Toutefois, pour pouvoir en choisircertaines, qui sont économiquement intéressantes, on étudie, dans la suite, leurs impacts sur lavaleur du portefeuille à 1 an et à 5 ans.

Projection du portefeuille

Dans ce mémoire, nous choisissons de réaliser une projection du portefeuille élémentaire pourse concentrer sur l’impact des options de taux étudiées et éviter tout effet de compensation. Onutilise alors un Générateur de Scénarios Economiques « monde réel » pour projeter la courbe destaux zéro-coupon. La projection est réalisée sur un pas mensuel.

On commence par étudier les cas où on ajoute une option (cap ou swaption) dans le portefeuille.On choisit les caractéristiques de l’option de telle sorte à pouvoir apprécier ces effets en négligeantson prix : option de maturité 5 ans, de nominal égal à 100 % de la valeur de marché des obligationset de strike à la monnaie. On trace l’évolution de la valeur du portefeuille sous 10 ans, avec un cap(courbes rouges), une swaption (courbes oranges) ou sans option (courbes bleues) :

Evolution du portefeuille sous 10 ans

On remarque qu’ajouter un cap au portefeuille permet, à coup sûr, d’augmenter la valeurdu portfeuille au bout de 10 ans. Ce résultat est à relativiser puisqu’ici le modèle utilisé génèreuniquement des courbes des taux à la hausse. Au contraire, on constate qu’une swaption permet lesmeilleurs comme les pires rendements. La swaption est donc une option plus risquée que le cap.

On projete alors l’ensemble des options sélectionnées précédemment à 1 an et à 5 ans. Pourcomparer ces options, on s’intéresse à leurs rendements moyens en fonction, d’une part, de lavolatilité de la série des valeurs de portefeuille et, d’autre part, du quantile à 99,5 % du rendement.On remarque alors que peu de stratégies permettent, à la fois de réduire le risque du portefeuille etd’augmenter son rendement. D’ailleurs, beaucoup de caps permettent d’augmenter le rendement duportefeuille (en augmentant le risque généralement) contrairement aux swaptions. Nous avons doncconclu qu’il était plus intéressant d’acheter un cap plutôt qu’une swaption. En effet, ce mémoires’intéresse à une hausse des taux. Dans le cas où après une hausse, les taux remonteraient, le capne serait alors plus exercé et aucun flux ne s’échangerait. Au contraire, dans le cas d’une swaption,si le swap a été exercé, il pourrait faire perdre de l’argent à la compagnie qui devrait verser descoupons.

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Finalement, on cite certaines stratégies permettant de réduire le SCR, augmenter le rendementet diminuer ou limiter le risque sur 5 ans :

Reduction SCR Option Strike Maturité Nominal Coût ∗ Rdt † Volatilité10 % Cap 0,95 % 1 an 25,09 % 0,41 % +0,26 % -0,02 %10 % Cap 0,71 % 3 ans 2,83 % 16,87 % +0,22 % -0,03 %10 % Swaption 0,80 % 1/2 ans 6,82 % 3,50 % +0,16 % -0,01 %50 % Cap 0,01 % 2 ans 12,34 % 7,77 % +0,80 % +0,00 %50 % Cap 1,00 % 2 ans 37,62 % 2,47 % +1,11 % +0,13 %50 % Swaption 0,31 % 1/2 ans 11,09 % 6,07 % +0,64 % +0,02 %

Meilleures stratégies à 5 ans d’un point de vu rendement/risque

Conclusion

En conclusion, nous nous sommes intéressé dans ce mémoire à un portefeuille assurantiel spécia-lisé en prévoyance santé. Nous avons alors constaté qu’un tel portefeuille était soumis à un risquede hausse des taux.

Pour se couvrir contre une hausse des taux, il existe différentes options de taux. Ici, nousnous sommes intéressés aux caps et aux swaptions. Pour valoriser ces options, nous avons choisiarbitrairement de comparer deux modèles : le modèle de Vasicek et le modèle de Hull-White à deuxfacteurs et avons choisi de calibrer ces modèles en minimisant l’écart des prix des swaptions. Nousavons alors constaté que le modèle de Vasicek était plus performant pour ce type de calibrage. Anoter, qu’une autre manière de calibrer existe ; méthode non traitée dans ce mémoire ; qui utiliseles volatilités implicites des swaptions.

Ayant un modèle pour valoriser nos options, nous nous sommes intéressé à l’impact sur lecapital de solvabilité requis (SCR) d’intégrer une stratégie dans le portefeuille ; capital imposé parla règlementation Solvabilité II. Nous avons alors sélectionné des options réduisant d’abord de 10 %le SCR taux d’intérêt puis de 50 %. Nous avons projeté notre portefeuille avec ces options pourdéterminer lesquelles permettaient à la fois de réduire son risque et d’augmenter son rendement.Nous avons alors conclu, dans le cadre de notre étude et avec les modèles utilisés, qu’il était plusprudent d’investir dans des caps plutôt que dans des swaptions. Toutefois, notre étude ne s’estintéressée qu’à des courbes des taux à la hausse par rapport à celle de marché. Ce résultat n’estdonc pas forcément vrai dans le cas où les taux descendraient.

Pour aller plus loin, il est possible par exemple de considérer d’autres options de taux pourcouvrir ce portefeuille tels que les caps strikeless dont leur particularité est d’avoir un strike variable.

†. Le coût est exprimé en pourcentage du gain en SCR.†. Le rendement et la volatilité sont exprimés en pourcentage de gain par rapport aux valeurs du rendement et

de la volatilité du portefeuille sans option.

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Synthesis note

Introduction

After Greece’s poor public accounts were published in May 2010, the European Central Bank(ECB) enforced a “low interest rate” policy meant to be very accommodating. Today, the 2% inflationrate goal has not been reached and the ECB is extending its policy until at least the end of 2018.Thus, the stakes in the months to come are to know how the inflation trend will be affected andwhen should we expect interests rate to go up again.

In that respect, the Humanis group, a joint and not-for-profit mutualist group, is interested instudying the rise in interest rates impact on one of its entities portfolio.

Overall analysis of the portfolio

To apply the techniques used in this thesis we focus on one of the entities portfolio to Humanis.This portfolio’s assets are bonds and its liabilities are reserves for life and non-life insurancecontracts.

In order to study the impact of a rise in interest rates on this portfolio, we first have a lookat the sensitivity with respect to the Yield curve. Two sensitivity measures will be used: durationand convexity. As for our portfolio, the duration is equal to 0.90. Which means that should interestrates increase by 1%, the value of the portfolio would decrease by 0.90%.

What is more, the portfolio’s convexity is 19.57. Which means that the portfolio value increasesrapidly as interest rates go down and decreases slowly as the rates go up.

In the end of this chapter we study the impact of various yield curves. We use a Real-WorldEconomic Scenario Generator to do so. The ESG enables us to generate mainly upward curves withdifferent shapes with regards to the steepening and the flattening. We can confirm that the portfoliois exposed to an increase of interest yield curve. Consequently we want to study some interest ratehedging derivatives.

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Rates hedging strategies

Defining relevant interest rate hedging derivatives

A swap is a financial derivative in which two counter parties exchange their interest rates(usually a fixed rate and a floating rate). The floating rate is an observable market data and thefixed rate is to be determined when signing the contract. The counterpart who pays the fixed rateand receive the floating rate is buying a payer-swap while the other counterpart buys a receiver-swap.

A cap is a rate derivative that enable the buyer to hedge against a rise in interest rates. Itis a payer-swap in which only the positive cash-flows for the buyer are exchanged. A floor is theopposite: the buyer hedge against decreasing rates. It is a receiver-swap in which only the positivecash-flows for the buyer are exchanged.

A swaption is a derivative that grants its owner the right but not the obligation to enter intoan underlying swap at maturity. From the parity relation between the prices of a swaption, a capand a floor, we derive:

πStP (T,N,K,M) =(πCap(M,N,K)− πFloor(M,N,K)

)+

Looking for a model to value rate derivatives

The point is now to find a model to value those hedges. In this dissertation we decided arbitrarilyto compare two models: The Vasicek model – a one-factor model – and the two-factor Hull-Whitemodel.

We carried out risk-neutral calibrations by minimising the mean squared error between marketprices and prices calculated with the chosen models. Given the no-arbitrage condition and in order topreserve the prior parity relation, we have to value those three derivatives with the same parameters.Out study showed that it is necessary to calibrate the models with the market prices of the swaptions.To do so, we compared two different calibrations. The first one derives the price of swaptions thanksto the parity formula (C1). The second one directly computes the price of swaptions with thevaluation formulas (C2) (propositions 2.9.1 and 2.9.2). Below are the results obtained with the twomethods:

Model Calibration Cap Floor Swaption

Vasicek C1 0,87 % 0,82 % 1,10 %C2 0,33 % 0,76 % 0,26 %

HW2 C1 3,78 % 3,59 % 0,27 %C2 9,42 % 16,37 % 1,07 %

Mean squared error for each model, calibration method and option to a 10-years maturity

Furthermore, in order to choose one specific model, we check that with the parameters we found,we are able to replicate the zero-coupon bond prices:

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Deviations in zero-coupon prices

We find that the two-factor Hull White model is good at replicating swaption prices and thezero-coupon bond prices. Prices for caps and floors can only be approximated to an admissible extentwith model C1. The Vasicek model however gives better results especially with the standard formulafor swaption valuation. That is why we will consider this model with the following parametersthroughout the rest of this document :

k µ σ7,45 % 3,94 % 0,23 %

Selected parameters for the Vasicek model

Lastly, we study the evolution of option prices depending on the floating rate (6M EURIBORrate). We find that the more shocked the 6M EURIBOR rate, the higher the cap and swaptionprices. On the contrary, the lesser the shock, the higher the floor price.

Applying hedging strategies to the portfolio

In this last chapter we shall dwell on the impact of a cap or a swaption in the portfolio from aneconomic and a regulatory point of view.

Optimizing the Solvency Capital Requirement

The Solvency II Directive came into effect on 1st January 2016. It set rules to control and main-tain the solvency of insurance company within the European Union. It forces insurance businessesto hold an amount of own funds called Solvency Capital Requirement (SCR). In this thesis we focuson the interest rate SCR.

The interest rate SCR aims at assessing the needed amount of own funds to face the consequences

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of a change in the interest rate curve (be it an increase or a decrease) on the company’s balancesheet. It is the maximum of the absolute value of the difference between the current value of theportfolio (Net Asset Value (NAV)) and that of the portfolio should interest rates go up or down:

SCRinterestrate = max(max(NAV0 −NAV0,Up, 0),max(NAV0 −NAV0,Down, 0))

Yield curves used in order to derive portfolios values are respectively the EIOPA (2018) curveand the EIOPA shocked curves. The value of the interest rate SCR for that portfolio is equal to 89882 e.

Several auditors have verified that the selected hedges are eligible for reducing the SCR. Theyvalidated their inclusion in the portfolio provided that their maturity is over 1 year. Then we focuson the derivatives that would reduce the interest rate SCR by x%. To do so, we minimize the meansquared error between the interest rate SCR reduced by x% and the one of the portfolio includingthe derivative. As an example, we choose to select hedging strategies that reduce the interest rateSCR by 10% and 50%.

When it comes to reducing the interest rate SCR by 10%, the best hedging strategies are:

Options Strike Maturity Par value Price Market price

Caps

0,85 % 1 an 19,88 % 0,55 % 0,39 %0,65 % 1 an 13,27 % 0,50 % 0,40 %0,47 % 1 an 9,72 % 0,64 % 0,46 %0,77 % 2 ans 5,40 % 4,06 % 3,25 %

Swaptions

0,75 % 1/2 years 5,77 % 3,67 % 3,46 %0,96 % 1/3 years 7,40 % 7,68 % 8,01 %0,12 % 1/2 years 1,75 % 10,08 % 9,98 %1,00 % 1/4 years 4,11 % 9,68 % 10,69 %

Derivatives reducing the interest rate SCR by 10%

As for a reduction of the interest rate SCR by 50% (that is a reduction of 44 971e), the followingsare among the most interesting strategies :

Options Strike Maturity Par value Price Market price

Caps

0,21 % 1 an 34,33 % 0,93 % 0,60 %1,00 % 2 ans 37,62 % 3,57 % 2,47 %-0,25 % 1 an 23,55 % 5,61 % 4,37 %0,18 % 2 ans 13,96 % 6,18 % 5,33 %

Swaptions

0,63 % 1/2 years 19,70 % 4,01 % 3,47 %0,31 % 1/2 years 11,09 % 6,68 % 6,07 %0,86 % 1/4 years 11,69 % 9,11 % 9,31 %0,90 % 1/5 years 8,17 % 11,88 % 12,99 %

Derivatives reducing the interest rate SCR by 50%

The hedging strategies that we found have different characteristics and prices. In order to choosesome among them, we study their impact on the economic portfolio value after 1 and 5 years.

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Forecasting the portfolio

In this thesis, we choose to carry out a basic portfolio forecasting in order to focus on the impactof the rate derivatives that we have considered and avoid any compensatory effect. That is why weuse a Real World Economic Scenario Generator in order to forecast the zero-coupon yield curve.The forecasting is done with a monthly step.

Firstly we study a case where an option (cap or swaption) is added to the portfolio. We choosethe characteristics of the option so that we can assess its effect on the portfolio while neglecting itsprice: a 5 year maturity option, with a par value equal to 100% of the market value of bonds andan at-the-money strike. We then plot the course of the portfolio value up to 10 years with a cap(red curves), a swaption (orange curves) and with no option (blue curves):

Course of the portfolio up to 10 years

We find that adding a cap to the portfolio will always drive the portfolio value up after 10 years.On the contrary, a swaption will results in the worse as well as the best returns. The swaption istherefore a more risky option than the cap.

At this point, we forecast all of the previously selected options up to 1 year and 5 years. Tocompare those derivatives, we focus on their mean returns as a function of the volatility of theportfolio values on the one hand and of the 99.5% return quantile. We find that few hedgingstrategies enable simultaneously to reduce the portfolio’s risk and to increase its return. Besides,many caps enable to increase the return of the portfolio (most of the time by increasing the risk)unlike swaptions. That is why we come to the conclusion that buying a cap was more interestingthan buying a swaption. Indeed, in the thesis, we study cases of a rise in interest rates. Shouldthe rates go higher after a first rise, the cap would not be exercised and no cash-flow would beexchanged. On the contrary, should a swaption be exercised, the swap could make the company losemoney as it could have to pay coupons.

In the end, here are some hedging strategies which enable to reduce the SCR, increase the returnand reduce the risk of the portfolio over 5 years :

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Reduction Option Strike Maturity Par value Price Performance Volatility10 % Cap 0,95 % 1 year 25,09 % 0,41 % +0,26 % -0,02 %10 % Cap 0,71 % 3 years 2,83 % 16,87 % +0,22 % -0,03 %10 % Swaption 0,80 % 1/2 years 6,82 % 3,50 % +0,16 % -0,01 %50 % Cap 0,01 % 2 years 12,34 % 7,77 % +0,80 % +0,00 %50 % Cap 1,00 % 2 years 37,62 % 2,47 % +1,11 % +0,13 %50 % Swaption 0,31 % 1/2 years 11,09 % 6,07 % +0,64 % +0,02 %

Best strategies over 5 years from a return/risk point of view

Conclusion

To conclude, in this thesis, we have studied the portfolio of an insurance company specializedin health insurance. We have found that such a portfolio is subject to a risk of rising interest rates.

In order to hedge against such a rise, various derivatives can be used. Here, we have chosen tofocus on caps and swaptions. In order to value those options, we have chosen arbitrarily to comparetwo models: the Vasicek model and the two-factor Hull-White model. We have calibrated thosemodels by minimizing the mean squared error of the swaption prices. We have observed that thatthe Vasicek model performed better for this type of calibration. It is worth noting that there isanother method to calibrate which uses the implied swaption volatilities. We did not implementthis method in this thesis.

Once we had a model to value our derivatives, we studied the impact of adding a hedge inthe portfolio on the Solvency Capital requirement (SCR) from the Solvency II regulation. Then weselected derivatives reducing the interest rate SCR by 10% at first and by 50% in a second time. Wehave forecasted the portfolio with these options in order to determine which ones enable to reducethe rate risk and increase the return simultaneously. We have come to the conclusion that it is wiserto invest in caps than swaptions. However, this study only focuses on more upward yield curve thanwhat can be observed on the market. As a consequence, this conclusion may not be true in the casewhen rates would go down.

Further investigation could consider other rate derivatives in order to hedge the portfolio. Forexample, a "strikeless" cap, a cap with a variable strike over time.

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Remerciements

Je tiens à remercier toute l’équipe Asset & Liability Management d’Humanis pour son accueil etson aide durant toute la durée de mon alternance. Je remercie tout particulièrement, mon manageret tuteur, M. Simon LE DILY pour le temps qu’il m’a accordé et tout ce qu’il m’a appris. Je remercieégalement mon tuteur universitaire M. Jean-Louis RULLIERE.

Enfin, je remercie ma famille et mes proches pour leur soutien permanent.

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Sommaire

Introduction 21

1 Etude générale du portefeuille étudié 221.1 Caractéristiques générales du portefeuille étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Etude de la sensibilité du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Etude du portefeuille dans le cas de scénarios à la hausse générés par un GSE . . . . 281.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Etude de couvertures de taux 362.1 Rappels des taux et prix caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Forward Rate Agreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Cap et Floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 Méthodes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7 Calibrage global des options à l’état initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Calibrage des caps et des floors à l’état initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9 Calibrage des swaptions à l’état initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10 Valorisation des options à l’état initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.11 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Applications des couvertures au portefeuille étudié 753.1 Optimisation du Solvency Capital Requirement (SCR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Projection du portefeuille sans couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3 Intégration de cap dans le portefeuille étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4 Intégration de swaption dans le portefeuille étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Conclusion 97

Bibliographie 98

Table des figures 100

19

SOMMAIRE

Table des tableaux 102

A Modèle de Black Scholes 103

B Modèle de Vasicek 105

C Modèle de Hull-White à deux facteurs 107

D Modèle G2++ 109

E Solvabilité II : Techniques d’atténuation du risque 114

20

Introduction

La politique « de taux bas » de la Banque centrale Européenne (BCE) a commencé en mai 2010à la suite de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce. Pour éviter une nouvelle criseen Europe, la BCE met en place le SMP Securities Market Program. Ce programme permet essen-tielement aux banques centrales nationales et à la BCE de racheter des montants plus importantsde la dette d’Etats.

En 2012, le nouveau président de la BCE, Mario Draghi, annonce « dans le cadre de son mandat,la BCE est prête à faire tout ce qui est nécessaire pour sauver l’euro. Et croyez-moi ce sera suffisant». Les taux d’intérêt, précédemment montés, redescendent immédiatement. Un risque de déflationapparaît alors, rendant irréalisable l’objectif d’une inflation européenne remontant vers 2 %.

Après différentes mesures peu efficaces, la BCE met en place un programme d’assouplissementquantitatif (quantitative easing) le 22 janvier 2015. Ce programme prévoit le rachat effectif d’unvolume mensuel de 60 milliards d’euros de dettes d’Etats à partir de mars 2015. Néanmoins, cettemesure ne suffit pas. C’est seulement en 2016 que la BCE applique une politique monétaire diteultra accommandante. En effet, la BCE ajuste le volume mensuel de rachat à 80 milliards pouvantmaintenant comprendre des rachats de dettes d’entreprises. De plus, elle baisse le taux directeur à0 %, le taux de prêt marginal à 0,25 % et le taux de dépôt à -0,4 %.

L’objectif d’atteindre les 2 % d’inflation n’étant toujours pas atteint, la BCE garde la mêmepolitique. Toutefois, la situation économique générale semble s’améliorer. En effet, par exemple,la croissance du PIB réel dans la zone euro remonte de -0,9 % en 2012 à +2,2 % en 2017. C’estpourquoi, la BCE réduit sa politique ultra accommandante en fixant à 30 milliards le volume derachats mensuels à partir de janvier 2018 jusqu’au moins fin 2018.

La question des prochains mois est donc de savoir comment la courbe de l’inflation va secomporter. L’article de WAECHTER (2018) illustre les désaccords présents chez les économistesquant à la poursuite ou non du programme : « D’un côté Peter Praet [économiste en chef dela Banque centrale européenne] pense que l’inflation n’accélèrera pas et qu’en conséquence laBCE continuera d’acheter des titres mêmes après septembre prochain et de l’autre côté BenoitCoeuré [administrateur de l’Insee et membre directoire de la Banque centrale européenne] penseque l’inflation aura une allure suffisamment conforme aux attentes de la BCE pour arrêter lesachats dès septembre prochain. ». La remontée des taux d’intérêt semble donc inévitable, mais laquestion est de savoir à quelle échéance cela se produira.

C’est dans ce contexte que le groupe Humanis, paritaire et mutualiste à but non lucratif,s’intéresse à l’impact d’une hausse des taux sur un portefeuille d’actifs d’une de ces entités. En effet,ses activités principales étant la prévoyance santé et la complémentaire retraite, il est importantd’étudier des solutions de couverture du portefeuille afin d’assurer ses engagements futurs.

21

Chapitre 1

Etude générale du portefeuille étudié

Le but de ce chapitre est de réaliser une première étude sur le portefeuille étudié, à savoir,le portefeuille d’une des entités du groupe Humanis. Il servira d’exemple pour l’application desconcepts mathématiques décrits dans la suite de ce mémoire.

Dans un premier temps, nous allons réaliser une revue des caractéristiques générales du porte-feuille et les risques qui lui sont adossés. Ensuite, nous nous intéresserons plus particulièrement aurisque de taux d’intérêt en étudiant l’impact de mouvements de la courbe des taux sur la valeur duportefeuille étudié.

1.1 Caractéristiques générales du portefeuille étudié

1.1.1 Généralités sur les spécificités d’un portefeuille assurantiel

On appelle portefeuille assurantiel l’ensemble des éléments d’une assurance à son actif et à sonpassif. Les éléments constitutifs du passif sont principalement constitués des provisions techniquescalculées par les actuaires afin de garantir les engagements futurs déjà pris. Tout cela aboutit à unéchéancier de flux de passif annuel.

Concernant l’actif du portefeuille d’une assurance, il est essentiellement constitué d’obligations,d’actions et d’immobiliers. Par exemple, les répartition des actifs en assurance retraite et en assu-rance vie (en Euros) en France sont les suivantes :

22

Figure 1.1 – Répartition des actifs en assurance retraite et assurance vie en France

On constate que la majorité de l’actif des assureurs est placée en obligations. Les obligationssont soumises à quatre principaux risques : le risque de défaut, le risque de liquidité, le risque despread et le risques de taux.

Le risque de défaut est le risque d’une perte financière causée par l’émetteur du titre enincapacité d’honorer le paiement d’un coupon ou du nominal.

Le risque de liquidité est le risque que l’obligation achetée ne soit pas revendable sur le marchéfaute d’acheteur potentiel. Cela peut être dû à une surcôte du titre ou à l’absence d’acheteur de cetitre.

Le risque de spread est la réunion du risque de défaut et du risque de liquidité. En effet,le spread d’une obligation représente la somme de l’estimation du risque de défaut de l’émetteurpendant la durée du titre et de la prime de liquidité correspondant à une estimation du coût denégociation du titre.

Le risque de taux est le risque que la courbe des taux d’intérêts baisse ou augmente impactantà la hausse ou à la baisse la valeur de l’obligation et de ces coupons sur le marché. A savoir qu’il existedeux marchés de référence des taux d’intérêts, très liquides : le marché des principaux empruntsd’Etat et le marché des swaps contre IBOR. Dans la suite, on prendra comme référence de « courbedes taux sans risque », la courbe des taux swaps observable sur le marché. Elle sert à l’actualisationdes flux (du passif et de l’actif) du portefeuille.

Dans ce mémoire, nous nous concentrons sur le risque de taux.

1.1.2 Caractéristiques générales du portefeuille étudié

Le portefeuille étudié est modélisé par un échéancier de flux annuels de passifs et un portefeuilled’actifs constitué uniquement d’obligations.

Les flux de passif sont calculés par une autre équipe d’Humanis à partir de modèles (sous MoSeS)dédiés aux activités de vies et de non-vies d’Humanis.

23

CHAPITRE 1. ETUDE GÉNÉRALE DU PORTEFEUILLE ÉTUDIÉ

Contrat vie Contrat non-vieEpargne (en euros) Santé

Décès Incapacité temporaireResponsabilité civile Invalidité

Retraite (en euros et en UC) Dépendance

Table 1.1 – Contrats présents au passif du portefeuille étudié

L’actif du portefeuille étudié n’est composé que d’obligation. Pour chaque obligation, nousconnaissons :

— le nominal,— la valeur nette comptable (VNC),— la valeur de marché (VM),— la date d’échéance,— le taux de coupon,— la notation de l’obligation (AAA, AA, A, B, BBB, ect..., unrated).

La proportion d’obligations de chaque notation est décrite dans le graphique suivant :

Figure 1.2 – Répartition des obligations en fonction de leurs notations

On observe que le portefeuille étudié est majoritairement constitué d’obligations notées BBB,A et non notées. De plus, l’échéancier de flux actif-passif associé au portefeuille est le suivant :

24

Figure 1.3 – Echéancier des flux actif-passif du portefeuille

L’échéancier du passif est régulier et décroissant alors que celui de l’actif est essentiellementconcentré sur les 9 premières années. Les flux de l’actif sont significativement plus élevés que ceuxdu passif sur la période.

De cet échéancier de flux, on peut calculer la valeur du portefeuille.

1.1.3 La Valeur Actuelle Nette

Définition 1.1.1 La valeur actuelle nette (VAN) d’un échéancier de flux (Fi)i=1,...,n est égale à lasomme des flux actualisés. C’est-à-dire,

V AN =

n∑i=1

Fi(1 + τi)i

(1.1)

où (τi)i=1,...,n est la courbe des taux actuariels.

La courbe des taux actuariels présente dans le calcul de la valeur actuelle nette du passifcorrespond à la courbe des taux sans risque.

Pour l’actif, la courbe des taux actuariels correspond à la courbe des taux sans risque additionnéeà un spread constant. PONCET & PORTAIT. (2008) expliquent que ce spread représente le risquede défaut de l’emprunteur. Il doit théoriquement être positif. Néanmoins, étant calculé à l’aide d’unecourbe des taux non exempte totalement de risque, il peut arriver qu’il soit légèrement négatif. Onretrouve le spread associé à une obligation en résolvant l’équation :

VM =

n∑i=1

Fi(1 + ri + sp)i

où VM est la valeur de marché de l’obligation et (ri)i=1,...,n est la courbe des taux sans risque.

La valeur du portefeuille se retrouve en calculant la valeur actuelle nette des flux nets, à savoirla différence entre les flux de l’actif et ceux du passif. Cette valeur représente les fonds propres

25


économiques de l’assurance et s’appelle la Net Asset Value (NAV). Pour le portefeuille étudié, ontrouve les valeurs suivantes :

Actif Passif PortefeuilleVAN 32 554 605,78 -23 810 665,52 10 312 448,94

Table 1.2 – Valeurs actuelles nettes du portefeuille

Dans notre cas, le portefeuille présente une valeur actualisée absolue de l’actif plus importanteque celle du passif.

1.2 Etude de la sensibilité du portefeuille

Le risque de taux peut se quantifier à l’aide d’indicateurs mesurant la sensibilité du portefeuille.On choisit, dans ce mémoire, d’étudier deux indicateurs particuliers : la duration et la convexité.

1.2.1 La duration

Définition 1.2.1 La duration D est définie telle que :

D =

∑ni=1

iFi(1+r)i∑n

i=1Fi

(1+r)i

=1

P

n∑i=1

iFi(1 + r)i

où P est le prix de marché du titre à l’état initial et r est le taux actuariel permettant à l’état initiald’égaliser la valeur de marché du titre avec la somme de ces flux actualisés sous ce taux.

Concrètement, la duration d’une obligation correspond à la durée de vie moyenne de ces fluxactualisés. La duration de l’actif correspond alors à la moyenne pondérée par les valeurs de marchédes durations de chaque obligation.

La duration du portefeuille, aussi appelée le gap de duration, est égale à la valeur de la durationappliquée aux flux nets, à savoir, la différence entre les flux de l’actif et ceux du passif. Pour leportefeuille étudié, on trouve les valeurs des durations suivantes :

Actif Passif PortefeuilleDuration 6,57 8,88 0,90

Table 1.3 – Valeurs des durations du portefeuille

On reprend la définition de la duration et on montre le lien entre la duration et la mesure durisque de taux instantannée :

∂P

∂r=

n∑i=1

−iFi(1 + r)i+1

= −D × P1 + r

26

⇒ ∂P

∂r∝ −D

L’évolution du prix par rapport à une variation des taux d’intérêt est donc inversement propor-tionnelle à la duration.

Cela signifie que dans le cas d’une hausse de +1 % des taux,— la valeur de l’actif du portefeuille diminuera approximativement de 6,57 %,— la valeur du passif diminuera approximativement de 8,88 %,— la valeur du portefeuille diminuera approximativement de 0,90 %.

Si on regarde les durations respectives de l’actif et du passif, on constate que la duration dupassif est supérieure à celle de l’actif. Ce qui signifie normalement que le portefeuille est soumis àun risque de baisse des taux.

Toutefois, les durations de l’actif et du passif ne prennent pas en compte les volumes. Si onregarde l’échéancier de flux (figure 1.3), on constate que le volume d’actifs est bien supérieur à celuidu passif et c’est cet effet qui change le risque global du portefeuille. On observe d’ailleurs un gapde duration égal à 0,90. La valeur de la duration du portefeuille étant positive, elle justifie bienl’exposition du portefeuille à un risque de hausse des taux.

1.2.2 La convexité

Définition 1.2.2 La convexité est définie par :

C =∂2P

∂r2=

1

P

n∑i=1

i(i+ 1)Fi(1 + τi)i+2

Concrètement, plus la convexité est importante, plus la valeur de l’obligation réagit lentementà des augmentations de taux et rapidement à des baisses de taux. Là encore, la convexité de l’actifcorrespond à la moyenne pondérée par les valeurs de marché des convexités des obligations. Onobtient la convexité nette du portefeuille en appliquant la formule précédente sur les flux nets duportefeuille. Pour le portefeuille étudié, on trouve les valeurs des convexités suivantes :

Actif Passif PortefeuilleConvexité 94,92 120,98 19,57

Table 1.4 – Valeurs des convexités du portefeuille

On constate que la convexité du passif est plus élevée que celle de l’actif. La convexité totaledu portefeuille est élevée. Cela signifie que le portefeuille réagit lentement à des hausses de tauxet rapidement à des baisses de taux. Pour mieux apprécier ce phénomène, on calcule la valeur duportefeuille pour des courbes de taux correspondant ici à une translation de la courbe des tauxde marché entre -200 % et 200 % avec un pas de 1 %. On trace alors la courbe des valeurs duportefeuille en fonction de la valeur de la variation de la courbe considérée :

27


Figure 1.4 – Convexité du portefeuille

La ligne rouge et horizontale correspond à la valeur réelle du portefeuille (calculée à l’aide de lacourbe des taux de marché).

On observe que la valeur du portefeuille est décroissante par rapport à la variation parallèleappliquée à la courbe de marché. C’est-à-dire que plus on s’intéresse à une translation au dessus dela courbe des taux, plus la valeur du portefeuille diminue. Et au contraire, plus on s’intéresse à unetranslation en dessous de la courbe des taux de marché et plus la valeur du portefeuille augmente.Le portefeuille étudié est donc bien soumis à un risque de hausse des taux.

De plus, la courbe est bien convexe. Ce caractère est très important pour un portefeuilleassurantiel puisqu’il signifie que la valeur du portefeuille augmente rapidement dans le cas d’unebaisse des taux et diminue lentement lors d’une hausse de la courbe des taux.

1.3 Etude du portefeuille dans le cas de scénarios à la hausse géné-rés par un GSE

Maintenant que l’on a vu que le portefeuille étudié est soumis à un risque de hausse parallèledes taux, on va s’intéresser à d’autres courbes des taux ayant des formes différentes (pentification etapplatissement de la courbe). Pour cela, on utilise un générateur de scénarios économiques (GSE).

1.3.1 Présentation du générateur utilisé

Un générateur de scénarios économiques (GSE) permet de projeter des actifs. Pour générer nosscénarios de hausse des taux, on utilise un GSE développé en interne. Ce GSE est un générateur« monde réel » fondé sur le modèle d’Ahlgrim. Il permet de projeter l’inflation, les taux réels,l’immobilier, les actions et des spreads.

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Ici, on ne s’interessera qu’à la courbe des taux générée à l’aide de la projection de l’inflationet des taux réels. Dans la suite, on développe les modèles utilisés par le GSE d’Humanis nouspermettant d’obtenir les courbes des taux simulées.

— Modèle sur l’inflation

L’inflation suit un modèle de Vasicek. Ce modèle permet de projeter l’inflation de telle sortequ’elle oscille autour de sa valeur moyenne. La diffusion d’un modèle de Vasicek est :

dqt = k(µ− qt)dt+ σdWt

où,- k est la vitesse de retour à la moyenne,- µ est la moyenne à long terme,- σ est la volatilité,- (Wt) est un mouvement brownien géométrique.

La discrétisation exacte associée au modèle de Vasicek est :

qt+δ = qte−kδ + µ(1− e−kδ) + σ

√1− e−kδ

2kεt (1.2)

où εt ∼ N (0, 1).

Le démonstration de la discrétisation se trouve à l’Annexe B.

Ayant projeté l’inflation, il est maintenant possible de calculer le prix de l’obligation zéro-couponassocié à l’inflation. La formule du prix dans le modèle de Vasicek est :

PV (t, T ) = AV (t, T )e−BV (t,T )qt (1.3)

où,

AV (t, T ) = exp[((T − t)−BV (t, T ))(σ2

2k2− µ)− σ2

4kBV (t, T )2]

BV (t, T ) =1− e−k(T−t)

k

La démonstration de la formule du prix se trouve à l’Annexe B.

— Modèle sur les taux réels

Les taux réels - taux à long terme et à court terme - suivent, quant à eux, un modèle de Hull-White à deux facteurs. Ce modèle reprend l’approche de retour à la moyenne du modèle de Vasicek.Cependant, un tel modèle est plus riche qu’un modèle de taux à un facteur puisque la modélisationdu taux court dépend directement de celle du taux long. Ce modèle autorise alors une gammede structures des courbes des taux réels plus large que celle du modèle de Vasicek et permet desmouvements de la courbe des taux plus variés.

La diffusion d’un modèle de Hull-White à deux facteurs est :

dlt = kl(µl − lt)dt+ σldWlt

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drt = kr(lt − rt)dt+ σrdWrt

où,- kl est la vitesse de retour à la moyenne du taux à long terme,- µl est la moyenne à long terme du taux à long terme,- σl est la volatilité du taux à long terme,- kr est la vitesse de retour à la moyenne du taux à court terme,- σr est la volatilité du taux à court terme,- (W l

t ) et (W rt ) sont des mouvements browniens géométriques.

Les discrétisations exactes des taux à long terme et à court terme associées au modèle de Hull-White à deux facteurs sont :

lt+δ = lte−klδ + µl(1− e−klδ) + σl

√1− e−klδ

2klεl,t

rt+δ = rte−krδ + lt(1− e−krδ) + σr

√1− e−krδ

2krεr,t

où εl,t, εr,t ∼ N (0, 1).

Les démonstrations des discrétisations se trouvent à l’Annexe C. A noter que la discrétisationdu taux court n’est valable que si on suppose que le taux long est constant entre deux dates.

Ayant projetés les taux réels, il est maintenant possible de calculer le prix de l’obligation zéro-coupon des taux réels. La formule du prix d’une obligation zéro-coupon dans le cas du modèle deHull-White à deux facteurs est :

PHW (t, T ) = AHW (t, T )e−Bl(t,T )lt−Br(t,T )rt (1.4)

où,

AHW (t, T ) = exp[Bl(t, T )µl + ((T − t)−Br(t, T ))(σ2r

2k2r

− µl)−σ2r

4krBr(t, T )2

+σ2l

2[T − tk2l

+1− e−2kr(T−t)

2kr(kl − kr)2

+k2r(1− e−2kl(T−t))

2k3k(kl − kr)2

− 2kr(1− e−(kr+kl)(T−t))

kl(kl − kr)2(kr + kl)

−2(Br(t, T ) +Bl(t, T ))

k2l

]]

Br(t, T ) =1− e−kr(T−t)

kr

Bl(t, T ) =kr

kr − kl[1− e−kl(T−t)

kl− 1− e−kr(T−t)

kr]

La démonstration de la formule du prix reprend la méthode décrite dans le mémoire d’ARMEL(2010) et se retrouve à l’Annexe C.

30

— Formule de la courbe des taux

Maintenant que l’on a défini les valeurs des prix des zéro-coupons de l’inflation PV et des tauxréels PHW , on déduit la courbe des taux zéro-coupon non-risqués telle que :

ZC(t, T ) =1

(PV (t, T )× PHW (t, T ))1

T−t− 1

1.3.2 Etude du portefeuille avec ces scénarios

Pour utiliser le GSE, on doit fixer les paramètres des modèles précedemment définis. On calibreles modèles à l’aide des données historiques suivantes :

— Inflation : indice IPC (source : INSEE)— Taux réel long terme : taux swap à 10 ans (source : Bloomberg Indice EUSA10 Curncy)— Taux réel court terme : taux swap à 3 mois (source : Bloomberg Indice EUR003M Index)

En calibrant les modèles par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO), on trouve lesparamètres suivants :

Paramètre k µ σ Valeur initialeInflation 70,776 % 1,260 % 1,332 % 1,169 %

Taux à long terme 92,087 % 0,494 % 1,454 % 0,205 %Taux à court terme 73,423 % - 1,355 % -1,497 %

Table 1.5 – Paramètres des modèles utilisés dans le GSE

Etudions les paramètres trouvés et pourquoi ces paramètres permettent de générer des scénariosde la courbe des taux à la hausse. A noter que cette étude est une approximation permettantd’appréhender sommairement le résultat.

En t = 0, on estime le taux nominal comme égal à la somme entre la valeur initiale de l’inflationet celle du taux réel. Le taux nominal à court terme est donc égal à 1,169 % + (- 1,497 %), soit-0,328 % et le taux nominal à long terme est égal à 1,169 % + 0,205 %, soit 1,374 %.

On estime alors les fluctuations moyennes des taux nominaux en t = 1. Les modèles ont laparticularité d’osciller autour de leur moyenne long terme. On considère alors qu’en un pas detemps, les taux évoluent en direction de leurs moyennes avec une vitesse égale à leurs vitesses deretour à la moyenne. Cela signifie que l’approximation de la valeur du taux nominal, en t = 1, secalcule par la somme de sa valeur en t = 0 et du produit de l’écart entre sa valeur en t = 0 et samoyenne long terme par sa vitesse de retour à la moyenne. Ainsi, en t = 1, la variation de l’inflationest égale à (1,260 % - 1,169 %) × 70,776 %, soit 0,064 %. La variation du taux nominal à long termeest égal à (0,494 % - 0,205 %) × 92,087 %, soit 0,266 %. Quant au taux nominal à court terme, samoyenne long terme correspond à la valeur globale du taux réel à long terme en t = 1, soit 0,205 %+ (0,494 % - 0,205 %) × 92,087 %, soit 0,471 %. Alors, la variation du taux nominal à court termeest égale à (0,471 % - -1,497 %) × 73,423 %, soit 1,445 %. La tableau suivant résume les résultatsprécédents :

31


Taux court nominal Taux long nominalt = 0 -0,328 % 1,374 %t = 1 -0,328 % 1,374 %

+ (1,260 % - 1,169 %) × 70,776 % + (1,260 % - 1,169 %) × 70,776 %+ (0,471 % - -1,497 %) × 73,423 % + (0,494 % - 0,205 %) × 92,087 %

Evolution +460 % +30 %

Table 1.6 – Etude de l’évolution des taux nominaux en t = 1

En t = 1, on constate que le taux nominal à court terme évolue en moyenne de +1,508 %, soit uneévolution absolue de +460 % en une période et celui à long terme de +0,416 % soit une évolutionabsolue de 30 %. Cela signifie que le taux nominal à court terme a une amplitude d’évolutionlargement plus grande que celle du taux long. De plus, la vitesse de retour à la moyenne du tauxlong est très élevée contrairement à celle du taux court. Cela signifie, que le taux long va très viteconverger vers sa moyenne contrairement au taux court.

Concernant la courbe des taux reconstituée à l’aide des taux nominaux, on s’attend donc à avoirdes fortes variations d’une courbe à l’autre à court terme. La partie à long terme devrait être assezstable autour de la moyenne à long terme. Ainsi, avec un nombre de simulations de la courbe destaux assez élevé, on aura avec ce jeu de paramètres, des courbes à la hausse et d’autres à la baisseconvergeant vers la moyenne long terme. Cette moyenne étant plus élevée que celle actuelle, ons’attend à avoir un nombre significatif de scénarios à la hausse.

Pour vérifier cette assertion, on commence par étudier le nombre de scénarios nécessaires pourque la moyenne des valeurs du portefeuille soit stable. On trace le graphique suivant :

Figure 1.5 – Convergence de la valeur du portefeuille en fonction du nombre de simulations

On constate qu’à partir de 50 000 simulations, la valeur du portefeuille reste stable. On génèredonc 50 000 scénarios et on calcule pour chaque scénario (chaque courbe des taux simulée) la valeur

32

du portefeuille. On trace alors la distribution des valeurs de portefeuille trouvées à l’aide des 50 000scénarios différents de la courbe des taux.

Figure 1.6 – Densité simulée des valeurs du portefeuille

La ligne bleue et verticale correspond à la valeur réelle du portefeuille et les lignes rouges lesvaleurs des quantiles à 99,5 % (quantile à gauche de la distribution) et à 0,5 % (quantile à droitede la distribution). On observe que la majorité des scénarios générés sont défavorables par rapportà la courbe des taux de marché. Cela signifie que la majorité des projections de la courbe des tauxsimulée aboutissent à une courbe des taux à la hausse et donc à une valeur du portefeuille plusfaible que celle de marché.

La valeur du portefeuille réelle correspond au quantile à 12,19 %. On peut alors s’intéresser auscénario correspondant à ce quantile pour le comparer à celui de marché :

Figure 1.7 – Scénario du quantile à 12,19 % et courbe des taux de marché

La courbe bleue correspond au scénario du quantile à 12,19 % et la courbe rouge à la courbe

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des taux de marché. On observe que le scénario est au dessus de la courbe réelle sauf à la dernièrematurité. On s’attend alors à ce que la valeur du portefeuille soit significativment plus élevée quecelle réelle. Pour comprendre, on regarde les valeurs de l’actif et du passif pour ce taux :

Actif Passif PortefeuilleVAN reelle 32 554 605,78 -23 810 665,52 10 312 449,94

VAN quantile à 12,19 % 31 398 460,96 -22 549 794,73 10 312 507,41Variations -3,55 % -5,30 % 0,001 %

Table 1.7 – Valeurs du portefeuille réelle et du scénario médian

On s’aperçoit que le passif diminue plus que l’actif et que la diminution de l’actif et du passifentraine une stabilité de la valeur du portefeuille.

On en déduit que même en générant une majorité de scénarios au dessus de la courbe des tauxde marché, il faut que cette hausse soit significative pour impacter négativement le portefeuille.On s’intéresse alors à ces scénarios impactant significativement négativement et positivement leportefeuille ; aux projections de la courbe des taux aboutissant à +/- 1 % des quantiles à 99,5 % età 0,5 % des valeurs de portefeuille. On trace ces courbes sur le graphique suivant.

Figure 1.8 – Scénarios à +/- 1 % des quantiles à 0,5 % et 99,5 % de la valeur du portefeuille

Les courbes rouges représentent la courbe des taux de marché. Si on croise les deux graphiques,on peut observer les phénomènes décrits précédement. En effet, à court terme (jusque 2026), onobserve une forte amplitude d’environ 5 % entre les scénarios autour du quantile à 99,5 % et ceuxà 0,5 %. Cet effet décrit bien la volatilité du taux court. A l’inverse, à long terme, les courbes seresserrent et se stabilisent illustrant bien la forte vitesse de retour à la moyenne du taux à longterme.

De plus, on observe que les scénarios ayant une tendance croissante proche de la courbe des tauxde marché se trouvent autour du quantile à 0,5 %. Les scénarios aplatis ou décroissants au dessusou proche de la droite horizontale y = 0,018 % se retrouvent, quant à eux, autour du quantile à99,5 %. On remarque d’ailleurs que ces scénarios sont caractérisés par une inversion de la courbedes taux. On peut alors s’interroger sur la possibilité que ces scénarios se réalisent. Et justement,

34

la courbe des taux américaine est en train de s’aplanir et donc d’approcher cette inversion. Il estdonc légitime de s’intéresser à ce phénomène.

1.4 Conclusion

Dans un premier temps, nous avons étudié les caractéristiques du portefeuille étudié. Ce porte-feuille est constitué de passif vie et non-vie et d’un portefeuille obligataire. En calculant la durationet la convexité du portefeuille, nous avons conclu que le portefeuille est sensible à la hausse des tauxet est très convexe.

Dans un second temps, nous nous sommes intéressés à l’évolution de la valeur du portefeuilleen t = 0 pour différentes courbes des taux ; d’abord pour des augmentations ou des diminutionsparallèles à la courbe des taux de marché puis pour des courbes des taux générées par un Générateurde Scénarios Economiques (GSE). Ces études ont conclu que le portefeuille étudié était bien exposéà un risque de hausse des taux et que les courbes des taux inversées ou aplaties par rapport àcelle de marché sont les plus dangereuses pour ce portefeuille. Maintenant nous allons étudier descouvertures de taux permettant de protéger le portefeuille contre ce risque.

35

Chapitre 2

Etude de couvertures de taux

Ce chapitre présente de manière générale les différentes options étudiées pour protéger le porte-feuille d’Humanis contre une hausse des taux. Il est nécessaire de commencer par rappeler quelquesformules de taux et de prix caractéristiques. Ensuite, on définit les options de taux de base et cellescouvrant une hausse des taux (généralement combinaisons d’options de base).

Ayant défini ces options, on s’intéressera alors à deux modèles particuliers permettant de valoriserces options à l’instant initial t = 0. Le but étant de comparer un modèle à un facteur et un àdeux facteurs. Les deux modèles étudiés sont le modèle de Vasicek et le modèle de Hull-White àdeux facteurs. Pour les comparer, on calibrera les deux modèles, c’est-à-dire, qu’on déterminera lesparamètres des modèles permettant d’approcher les prix du titre extraits de la plateforme Bloombergà ceux du modèle choisi.

2.1 Rappels des taux et prix caractéristiques

Cette partie a pour vocation de rappeler une liste non-exhaustive de définitions des taux et desprix utilisés dans la suite de ce mémoire.

Définition 2.1.1 On définit le prix de l’obligation zéro-coupon à la date t et de maturité T, notéP(t,T), le prix d’un contrat garantissant le versement de 1 e à la maturité T (P(T,T) = 1). Enl’absence d’opportunité d’arbitrage,

P (t, T ) = E[e−∫ Tt rsds | Ft]

Définition 2.1.2 On définit le taux d’intérêt simplement composé à la date t et de maturité T telque

L(t, T ) =1− P (t, T )

P (t, T )(T − t)

A noter que le taux Euribor et le taux Libor sont définis de la sorte.

36

Définition 2.1.3 On définit le taux forward à la date t < T < S, expirant en T et de maturité Stel que

L(t, T, S) =1

S − T[P (t, T )

P (t, S)− 1]

Définition 2.1.4 On définit le taux forward instantané à la date t < T et de maturité T tel que

f(t, T ) = −∂lnP (t, T )

∂T⇔ P (t, T ) = exp{−

∫ T

tf(t, u)du}

2.2 Forward Rate Agreement

Un forward rate agreement (FRA) est un contrat, fixé en T, donnant à l’acheteur un versementen S au taux fixe K pour la période [T,S] contre un paiement de sa part à la date S au taux d’interêtsimplement composé L(T,S).

Le payoff d’un FRA acheteur en t = S est alors :

πFRA(S;T, S) = N(S − T )[K − L(S, T )]

= N(S − T )[K − 1− P (S, T )

P (S, T )(T − S)]

= N [(S − T )K + 1− 1

P (S, T )]

Pour connaître la valeur du payoff en t < T < S d’un FRA, on cherche alors la valeur de l’actifen t égale à πFRA(S;T, S) en S. On déduit que le payoff d’un FRA acheteur à la date t < T < Sest :

πFRA(t;T, S) = N [((S − T )K + 1)P (t, S)− P (t, T )]

2.3 Swap

Un swap est un produit financier où deux parties s’échangent des taux d’intérêt (un taux fixeet un taux variable). Le taux variable est observé sur le marché et le taux fixe est la quantité àdéterminer à la signature du contrat.

37

CHAPITRE 2. ETUDE DE COUVERTURES DE TAUX

Figure 2.1 – Schéma de FAIVRE (2002) sur le fonctionement d’un swap

La partie qui paie le taux fixe et reçoit le taux variable achète un swap dit payeur et l’autrepartie achète, quant à elle, un swap receveur. Il y a donc complémentarité des payoffs des swapsreceveur et payeur :

πSP (t ;N,K) = −πSR(t ;N,K)

Dans la suite, on considère que les flux fixes et les flux variables sont versés aux mêmes échéances.En reprenant la définition d’un swap payeur, on écrit la valeur du ie flux du swap tel que :

(ti − ti−1)P (t, ti)(L(t, ti−1, ti)−K)

On remarque alors qu’un swap payeur peut s’écrire comme la somme de M contrats FRA receveursde même strike K et de même nominal N :

πSP (t ;M,N,K) =M∑i=1

−πFRA(t ; ti−1, ti) = NM∑i=1

[P (t, ti−1)− ((ti − ti−1)K + 1)P (t, ti)]

De plus, les deux parties contractant un swap se mettent d’accord sur la valeur du taux fixe, letaux swap, à la signature du contrat. Ils fixent sa valeur telle que le payoff du swap soit nul lorsqu’ildémarre à t < T0 :

RSwap =

∑Mi=1 P (t, ti−1)− P (t, ti)∑Mi=1(ti − ti−1)P (t, ti)

=P (t, t0)− P (t, tM )∑Mi=1(ti − ti−1)P (t, ti)

Le swap permet donc à deux parties de s’échanger leurs taux. Cela leur permet d’échanger leursrisques : l’un « fixe » son risque en échangeant son taux variable contre un taux fixe et l’autre rendson risque variable. Chacune des parties peut donc perdre comme gagner de la valeur avec le contratswap. Pour éviter ces risques de perte, il existe des couvertures permettant à l’acheteur d’exercerson droit uniquement dans le cas d’un gain. Ces couvertures sont les caps et les floors.

2.4 Cap et Floor

Un cap est une option de taux permettant de se couvrir contre une hausse des taux. C’est unswap payeur pour lequel seuls les flux positifs pour l’acheteur du contrat sont échangés. En effet, uncap de strike K rembourse la différence entre le taux variable et le strike si le taux évolue au-dessusdu strike fixé.

38

Figure 2.2 – Schéma de FAIVRE (2002) sur le fonctionement d’un cap

A l’inverse, un floor est une option de taux permettant de se couvrir contre une baisse des taux.C’est un swap receveur pour lequel seuls les flux positifs pour l’acheteur du contrat sont échangés.En effet, un floor de strike K rembourse la différence entre le taux variable et le strike si le tauxévolue en-dessous du strike fixé.

On décompose alors le cap (resp. le floor) comme une somme de n caplets (resp. n floorlets) auxdates t1 < t2 < . . . < tn = T. Le payoff du ie caplet (resp. ie floorlet) est égal à :

πCapleti = N(ti − ti−1)(L(ti−1, ti)−K)+(resp. πFloorleti = N(ti − ti−1)(K − L(ti−1, ti))+

)

Figure 2.3 – Exemple de payoff d’un caplet et d’un floorlet

Les payoffs d’un cap et d’un floor de nominal N et de strike K décomposés en M flux sont :

πcap(M,N,K) =M∑i=1

πCapleti =M∑i=1

N(ti − ti−1)(L(ti−1, ti)−K)+

πfloor(M,N,K) =M∑i=1

πFloorleti =M∑i=1

N(ti − ti−1)(K − L(ti−1, ti))+

39


En remarquant que (L(ti−1, ti) − K)+ − (K − L(ti−1, ti))+ = (L(ti−1, ti) − K), on peut alorsdéduire la formule de parité Cap-Floor :

πSP (t;M,N,K) = πCap(M,N,K)− πFloor(M,N,K) (2.1)

Comme dans le cas d’un swap, le strike K d’un cap ou d’un floor est à déterminer à la signaturedu contrat.

Définition 2.4.1 On considère un cap (resp. un floor) de nominal N, de strike K et ayant M flux.On dira que :

— le cap (resp. le floor) est à la monnaie (at-the-money, ATM) si son strike K est égal autaux swap :

KATM =P (0, t0)− P (0, tM )∑Mi=1(ti − ti−1)P (0, ti)

— le cap (resp. le floor) est dans la monnaie (in-the-money, ITM) si son strike K est inférieur(resp. supérieur) au taux swap.

— le cap (resp. le floor) est hors de la monnaie (out-of-the-money, OTM) si son strike K estsupérieur (resp. inférieur) au taux swap.

2.5 Swaption

Une swaption est une option permettant d’acquérir le droit de souscrire un contrat swap àmaturité de la swaption. On différencie tout comme les swaps, les swaptions receveuses des swaptionspayeuses.

Figure 2.4 – Schéma de FAIVRE (2002) sur le fonctionement d’une swaption

Une swaption payeuse est une option permettant d’entrer à la maturité T = t0 dans un swappayeur de nominal N, de strike K et pour la période [1,M]. Le payoff de cette swaption payeuse estdonc :

πStP (T,N,K,M) = (NM∑i=1

P (t, ti−1)− ((ti − ti−1)K + 1)P (t, ti))+

Le taux swap associé, à la date T = t0, est Rswap(t0) = KATM = 1−P (t0,tM )∑Mi=1(ti−ti−1)P (t0,ti)

. On en déduitque si le strike K est supérieur au taux swap, alors il n’est pas intéressant d’entrer dans la swaption.

40

A la maturité de la swaption payeuse (en T = t0), le payoff devient :

N((Rswap −K)

M∑i=1

P (t0, ti)(ti − ti−1))+

De plus, à l’aide de l’inégalité suivante :

N

n∑i=1

(ti − ti−1)(L(ti−1, ti)−K)+ ≥ N

(n∑i=1

(ti − ti−1)(L(ti−1, ti)−K)

)+

on déduit que la valeur d’une swaption payeuse sera toujours inférieure ou égale à la valeur d’uncap de mêmes paramètres.

A l’aide de la formule de parité Cap-Floor (2.4), on déduit par absence d’opportunité d’arbitrage,la relation suivante :

πStP (T,N,K,M) = (πCap(M,N,K)− πFloor(M,N,K))+ (2.2)

2.6 Méthodes d’optimisation

Dans la suite du chapitre, on souhaite minimiser une fonction cible. Pour ce faire, on utiliseun algorithme d’optimisation. Après plusieurs tests, nous avons décidé d’utiliser un algorithmegénétique pour sa rapidité et parce qu’il recherche un optimum global. Celui-ci fait partie du packagergenoud sous .

Un algorithme génétique permet de déterminer le minimum (ou maximum) d’une fonction souscontraintes, qu’elle soit ou non inversible et continue. Le principe de cet algorithme se fonde sur lathéorie de l’évolution.

La première phase est une phase d’initialisation. L’algorithme commence par créer un certainnombre de points, appelés individus, formant ensemble la population. Chaque individu est donccaractérisé par la valeur des paramètres et la valeur de la fonction à optimiser qui résulte de cesparamètres.

La seconde phase est une boucle réalisée autant de fois que nécessaire pour que la populationconverge vers l’optimum. Chacune de ces boucles s’appelle une génération et se déroule en troisétapes successives :

1. Etape d’évaluation,

2. Etape de sélection,

3. Etape de mutation et de croisement.

41


La phase d’évaluation consiste à comparer les valeurs de la fonction à optimiser de la population.Si la fonction à optimiser retourne un vecteur de plusieurs valeurs, on dit qu’un individu domine unautre lorsque toutes les valeurs de sa fonction cible sont inférieures à celles de l’autre. Cette étapepermet de classer les individus pour sélectionner les meilleurs individus dans la phase de sélection.Ensuite, les phases de mutation et croisement consistent à faire évoluer aléatoirement les individusentre eux et à créer d’autres individus issus des précédents. L’algorithme trouve l’optimum lorsqueles gradients de chacun des paramètres sont inférieurs à 10−3.

De plus, l’algorithme génétique choisit possède une dernière particularité. Il utilise une méthodequasi-Newtonienne ; la méthode de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). A chaque généra-tion, pendant la phase de sélection, l’algorithme détermine un optimum local (si possible) selon laméthode BFGS en l’initialisant avec le meilleur individu. Le résultat trouvé permet d’orienter lacréation des nouveaux individus et ainsi d’être plus efficace.

A noter que la méthode de BFGS ne fonctionne que si la fonction optimiser est deux foisdérivables. En effet, cette méthode consiste à approximer la matrice heissienne d’un point à l’aidede celle du point précédent. Dans le cas où la fonction n’est pas deux fois dérivables, l’algorithmegénétique utilisé fonctionne sans l’optimisation sous la méthode BFGS.

On choisit arbitrairement les paramètres d’initialisation de la fonction genoud suivants :

— Taille de la population : 500,— Maximum de génération : 100.

2.7 Calibrage global des options à l’état initial

Dans cette partie, on s’intéresse à un calibrage global des modèles en approchant la courbe destaux zéro-coupon. Le but étant de montrer l’intérêt de confronter un modèle à un facteur d’unmodèle à deux facteurs.

Pour ce faire, on commence par reconstituer la courbe des prix (et des taux) zéro-coupon demarché. En effet, ces valeurs ne sont pas observables directement sur le marché. On doit doncreconstituer les courbes. Ensuite, on compare les courbes entre elles.

2.7.1 Reconstitution de la courbe des prix des obligations zéro-coupon

On observe la courbe des taux swap, taux assimilables aux taux sans risque. La plateformeBloomberg nous donne la valeur des taux swap selon certaines maturités. On réalise alors unlissage par Nelson-Siegel-Svensson comme le décrivent GILLI, GROBE & SCHUMANN (2010).Cette méthode consiste à estimer les six paramètres du modèle à l’aide des points disponibles puisde reconstituer la courbe à l’aide de la formule :

y(τ) = β1 + β21− e−τ/λ1τ/λ1

+ β3[1− e−τ/λ1τ/λ1

− e−τ/λ1 ] + β4[1− e−τ/λ2τ/λ2

− e−τ/λ2 ] (2.3)

où β1, β2, β3, λ1, λ2 sont les paramètres estimés du modèle NSS et représentent :

42

— β1 représente le rendement à long terme.— β2 est estimé à l’aide d’une fonction dépendant de la maturité qui décroît exponentiellement

vers 0 plus τ augmente. Il caractérise la courbure de la première partie (partie à court terme)de la courbe.

— β3 est estimé par une fonction de τ . Il caractérise la seconde courbure.— λ1 et λ2 estiment, quant à eux, les positions des courbures.

On représente la courbe des taux swap extraite du marché et celle lissée sur le graphique ci-dessous.

Figure 2.5 – Courbes des taux swap au 11 juin 2018

Ayant reconstitué l’intégralité de la courbe des taux swap, l’article de QUITTARD-PINON(1996) nous donne le prix d’un swap constitué de M flux (t0, ..., tM ) = (0, τ, 2τ, ..., (M)τ) de périodeconstante τ en fonction du taux swap (noté sw) :

Pswap(0, tfixe, tvar) =M−1∑k=0

[eτφ(0,tk,tk+1) − 1]P (0, tk+1)− τsw(0, tM )P (0, tk+1)

où φ(0, tk, tk+1) = 1τ ln( P (0,tk)

P (0,tk+1)) et P (0, tk) est le prix de l’obligation zéro-coupon non-risquée en 0de maturité tk.

On sait qu’à l’instant t = 0, le contrat swap vaut 0. On remplace φ par son expression et onobtient :

M−1∑k=0

[P (0, tk)− P (0, tk+1)]− τsw(0, tM )P (0, tk+1) = 0

⇔ 1− P (0, tM )− τsw(0, tM )

M−1∑k=0

P (0, tk+1) = 0

On peut alors définir une formule de récurrence entre le prix du zéro-coupon et le taux swap.

— Supposons que M = 1, alors tM = t1 = τ . L’équation précédente devient :

43


P (0, τ)(1 + τsw(0, τ)) = 1⇔ P (0, τ) =1

(1 + τsw(0, τ))

— Supposons que M = 2, alors l’expression devient :

1− P (0, 2τ) = τsw(0, 2τ)(P (0, 2τ) + P (0, τ))⇔ P (0, 2τ) =1− τsw(0, 2τ)P (0, τ)

1 + τsw(0, 2τ)

— Supposons que M ≥ 2, on trouve alors l’expression du prix de l’obligation zéro-coupon enfonction du taux swap :

P (0, tn) =1− τsw(0, tn)

∑n−1k=1 P (0, tk)

1 + τsw(0, tn)

On obtient alors avec la courbe des prix des obligations zéro-coupon sur un pas mensuel les tauxzéro-coupon en appliquant la transformation suivante :

Y (t, T ) = − 1

T − tln(P (t, T ))

2.7.2 Calibrage global des options

Maintenant que l’on a reconstitué la courbe des taux de marché, on minimise l’erreur quadratiqueentre les taux zéro-coupon de marché et ceux calculés à l’aide du modèle de Vasicek puis à l’aide dumodèle de Hull-White à deux facteurs. On trace alors les courbes des prix et des taux zéro-coupontrouvés avec les paramètres calibrés :

Figure 2.6 – Courbes des prix et des taux zéro-coupons

On observe que les deux modèles reproduisent bien les courbes. Pour confirmer cette observation,on vérifie que les écarts des prix des obligations zéro-coupon entre les modèles et ceux de marchésont entre -2 % et 2 %. Si le modèle admet des écarts supérieurs à 5%, il ne peut pas être validé.Le graphique suivant présente donc ces écarts :

44

Figure 2.7 – Courbes des écarts de prix des zéro-coupons

Les écarts de prix des deux modèles oscillent autour de 0 %. On peut valider, sur ce critère, lesdeux modèles. La deuxième étape est alors d’observer comment ces paramètre reproduisent les prixdes options. Le tableau suivant indique les erreurs moyennes par options jusqu’à une maturité de10 ans :

Erreur moyenne Cap Floor SwaptionVasicek 0,84 % 2,00 % 0,47 %

Hull-White à deux facteurs 2,12 % 1,85 % 0,42 %

Table 2.1 – Erreurs moyennes par option jusqu’à une maturité de 10 ans

Nous cherchons à reproduire les prix des options pour des maturités allant jusque 10 ans. Onconstate que dans ce cas, les modèles reproduisent assez bien les prix : le modèle de Vasicek étantle meilleur. De plus, on constate que les paramètres globaux, selon les deux modèles, reproduisentcorrectement les swaptions mais moins bien les caps et les floors. Ce résultat est compréhensible auvu du lien de la courbe des taux avec les taux swap et les prix des swaptions avec les taux swap.

Maintenant que l’on a vu qu’un calibrage global sur la courbe des taux permet de reproduireles prix des options, on calibre les options une par une en vérifiant que les calibrages sont biencohérents avec la courbe des taux zéro-coupon. On cherche à déterminer le meilleur modèle etcalibrage possible.

2.8 Calibrage des caps et des floors à l’état initial

Dans cette partie, on s’intéresse aux valeurs des paramètres du modèle de Vasicek et de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation de caps et de floors.

45


A noter que l’on a vu qu’il existait une relation de parité entre le prix d’une swaption et ceuxd’un cap et d’un floor. On devine alors que calibrer chacune des options séparemment ne permettrapas de respecter l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage.

2.8.1 Formules de valorisation des caps et des floors

Sous le modèle de Vasicek

Le modèle a été développé à la partie 1.3.1. On garde les mêmes notations. Si on regarde lesformules des payoffs des caps et des floors, on peut faire le lien entre le caplet et le put et le floorletet le call.

En effet, on réecrit le prix d’une obligation zéro-coupon en ti−1 de maturité ti tel que :

P (ti, ti−1) = EQ(β(ti−1)

β(ti)| Fti−1)

où β(t) = e∫ t0 rsds est le facteur d’actualisation.

Alors, pour tout t ∈ [ti−1, ti],

Capleti(t) = NEQ[β(t)

β(ti)(L(ti−1, ti)−K)+(ti − ti−1) | Ft]

= NEQ[EQ[β(t)β(ti−1)

β(ti−1)β(ti)(

1

P (ti−1, ti)− 1−K(ti − ti−1))+ | Fti ] | Ft]

= NEQ[β(t)

β(ti−1)(

1

P (ti−1, ti)− 1−K(ti − ti−1))+EQ[

β(ti−1)

β(ti)| Fti ] | Ft]

= NEQ[β(t)

β(ti−1)(

1

P (ti−1, ti)− 1−K(ti − ti−1))+P (ti−1, ti) | Ft]

= NEQ[β(t)

β(ti−1)(1− P (ti−1, ti)(1 +K(ti − ti−1)))+ | Ft]

= N(1 +K(ti − ti−1))EQ[β(t)

β(ti−1)(

1

(1 +K(ti − ti−1))− P (ti−1, ti))+ | Ft]

On a donc la relation suivante :

Capleti(t) = N(1 +K(ti − ti−1))Put(t, ti−1, ti,1

(1 +K(ti − ti−1)))

De même, on peut montrer que :

Floorleti(t) = N(1 +K(ti − ti−1))Call(t, ti−1, ti,1

(1 +K(ti − ti−1)))

Théorème 2.8.1 Le prix d’un call d’échéance T, de strike K sur un zéro-coupon d’échéance S etde nominal 1 à l’instant t sous le modèle de Vasicek est tel que le décrivent BRIGO & MERCURIO

46

(2006) :Call(t, T, S,K) = PV (t, S)N (h)−KPV (t, T )N (h− σp)

où,

h =1

σpln(

PV (t, S)

PV (t, T )K) +

σp2

σp = σ(1− e−k(S−T ))

k

√1− e−2kT

2k

et PV le prix d’une obligation zéro-coupon sous le modèle de Vasicek (équation (1.3)).

Théorème 2.8.2 A l’aide de la relation de parité Call-Put, on peut écrire le prix d’un put, d’échéanceT, de strike K sur une obligation zéro-coupon d’échéance S et de nominal 1 à l’instant t sous le modèlede Vasicek tel que le décrivent BRIGO & MERCURIO (2006) :

Put(t, T, S,K) = KPV (t, T )N (−h+ σp)− PV (t, S)N (−h)

avec les mêmes notations de précedemment.

On déduit alors des résultats précédents, la valeur en t du cap et du floor de nominal N, destrike K et admettant M flux.

Proposition 2.8.1 Le prix d’un cap en t de nominal N, de strike K et admettant M flux, sous lemodèle de Vasicek est égale à :

CapV asicek(t,N,K) = N

M∑i=1

(PV (t, ti−1)N (−hi + σip)− (1 +K(ti − ti−1))PV (t, ti)N (−hi)

)(2.4)

où,

hi =1

σipln((1 +K(ti − ti−1))

PV (t, ti)

PV (t, ti−1)) +

σip2

σip = σ(1− e−k(ti−ti−1))

k

√1− e−2kti−1

2k


Proposition 2.8.2 Le prix d’un floor en t de nominal N, de strike K et admettant M flux, sous lemodèle de Vasicek est égal à :

FloorV asicek(t,N,K) = NM∑i=1

((1 +K(ti − ti−1))PV (t, ti)N (hi)− PV (t, ti−1)N (hi − σip)

)(2.5)

avec les mêmes notations que précedemment.

47


Sous le modèle de Hull-White à deux facteurs

On s’intéresse maintenant à un modèle à deux facteurs. Le modèle de Hull-White à deux facteursest un cas particulier du modèle G2++ décrit par BLANCHARD (2012). Le lien entre le modèleG2++ et le modèle de Hull-White à deux facteurs est démontré à l’annexe D. On rappelle lesdiffusions d’un modèle de Hull-White à deux facteurs en gardant les même notations que celles dela partie 1.3.1 :



< dW lt , dW

rt >= 0

En appliquant la formule d’un cap d’un modèle G2++, précisée par BRIGO & MERCURIO(2006) (Annexe D), avec les paramètres particuliers du modèle de Hull-White à deux facteurs, ondéduit l’expression du prix du cap et du floor à l’instant t.

Proposition 2.8.3 Le prix d’un cap à l’instant t, de nominal N, de strike K et admettant M flux,sous le modèle de Hull-White à deux facteurs est égal à :

CapHW (t,N,K) = N

M∑i=1

[−(1 +K(ti − ti−1))PHW (t, ti)N

ln( PHW (t,ti−1)(1+K(ti−ti−1))PHW (t,ti)

)

Σ(t, ti−1, ti)− 1

2Σ(t, ti−1, ti)

+ PHW (t, ti−1)N

ln( PHW (t,ti−1)(1+K(ti−ti−1))PHW (t,ti)

)

Σ(t, ti−1, ti)+

1

2Σ(t, ti−1, ti)

]

où,

Σ(t, T, S)2 =σ2

2k3r

[1− e−kr(S−T )]2 [1− e−2kr(T−t)]

+ν2

2k3l

[1− e−kl(S−T )]2 [1− e−2kl(T−t)]

+ 2ρσν

krkl(kr + kl)[1− e−kr(S−T )][1− e−kl(S−T )][1− e−(kr+kl)(T−t)]

σ =

√σ2r +

k2rσ

2l

(kr − kl)2

ν =krσlkr − kl

ρ = − krσl√σ2r (kr − kl)2 + k2

rσ2l

N la fonction de répartition d’une loi normale centrée et réduite et PHW la fonction du prix del’obligation zéro-coupon d’un modèle de Hull-White à deux facteurs (équation (1.4)).

48

Proposition 2.8.4 Le prix d’un floor à l’instant t, de nominal N, de strike K et admettant M flux,sous le modèle de Hull-White à deux facteurs est égal à :

FloorHW (t,N,K) = NM∑i=1

[(1 +K(ti − ti−1))PHW (t, ti)N

ln( (1+K(ti−ti−1))PHW (t,ti)PHW (t,ti−1) )

Σ(t, ti−1, ti)+

1

2Σ(t, ti−1, ti)

− PHW (t, ti−1)N

ln( (1+K(ti−ti−1))PHW (t,ti)PHW (t,ti−1) )

Σ(t, ti−1, ti)− 1

2Σ(t, ti−1, ti)

]

avec les mêmes notations que précédemment.

2.8.2 Extraction des prix de marché des caps et des floors

Les prix de marché ont été extraits sur la plateforme Bloomberg. On trace alors les valeurs ducap et du floor en fonction de la maturité (de 1 an à 25 ans) et pour des strikes égaux à -0,5 %,-0,25 %, 0,25 %, 0,5 %, 1 %, 1,5 %, 2 %, 2,5 % et 3 % (courbes du bleu au rouge).

Figure 2.8 – Prix de marché des caps et des floors

On observe que plus le strike augmente, plus le prix du cap décroît. Ce résultat est cohérentpuisque le plus petit strike considéré est déjà au dessus du taux Euribor 6M (égal à -0.27 %aujourd’hui). Plus la barrière est proche du taux actuel, plus le vendeur a de chance de verserun coupon à l’acheteur. Il vend donc son titre plus cher par rapport à un autre titre de strike plusélevé. A l’inverse, dans le cas d’un floor, le prix de l’option augmente avec le strike.

De plus, on observe qu’à un strike fixé, le prix du cap augmente avec la maturité. Là encore,ce résultat est cohérent puisque plus le cap est de maturité élevée plus l’acheteur a de chance quele taux Euribor 6M dépasse la barrière fixée. Le vendeur prend plus de risque pour des caps dematurités élevées, il vend donc son titre plus cher. Ce résultat reste vrai dans le cas d’un floor.Puisque le titre aura toujours plus de chance de dépasser comme de passer en dessous de la barrièreplus le temps passe.

49


2.8.3 Calibrage des caps à l’état initial

On souhaite, dans cette sous-partie, déterminer les paramètres du modèle de Vasicek et dumodèle de Hull-White à deux facteurs se rapprochant au mieux des prix des caps de marché touten reproduisant correctement la courbe des prix des obligations zéro-coupon. Nous allons voir quevalider les deux conditions précédentes n’est pas possible.

Quelque soit le modèle, on décide de considérer deux calibrages différents. Le premier consisteà minimiser l’erreur quadratique entre le prix de marché du cap et celui selon le modèle considéréjusqu’à une maturité de 10 ans :

min(k,µ,σ)

10∑T=1

∑K

(CapModele(0,K, T )− CapMarche(0,K, T ))2

Le second, quant à lui, minimise aussi l’erreur quadratique sous la condition que l’erreur absoluemoyenne entre le prix de l’obligation zéro-coupon sous le modèle considéré et celui de marché soitinférieure à 2 % :

min(k,µ,σ)

10∑T=1

∑K

(CapModele(0,K, T )− CapMarche(0,K, T ))2

Avec,1

20

20∑T=1

| PModele(0, T )− PMarche(0, T ) |< 2 %

Calibrage des caps à l’état initial sous le modèle Vasicek

On utilise l’algorithme génétique de la fonction genoud sous pour déterminer les paramètresrésolvant les deux méthodes de calibrage précédentes. Ces paramètres sont les suivants :

k µ σ Erreur quadratique Ecart maximalC1 5,00 % 4,70 % 0,82 % 9, 41× 10−4 0,77 %C2 15,85 % 2,18 % 1,00 % 3, 24× 10−3 1,39 %

Table 2.2 – Paramètres initiaux du modèle de Vasicek pour la valorisation des caps

On constate que le modèle 2 reproduit moins bien les prix des caps que le modèle 1. Ce résultatest intuitif puisqu’en ajoutant une condition, on s’attends à moins bien reproduire les prix descaps. Pour vérifier la cohérence des paramètres calibrés, on regarde les écarts de prix pour certainesmaturités et certains strikes :

Strike Maturité Prix de marché Ecart C1 Ecart C2-0,5 % 2 ans 0,59 % 0,10 % 0,23 %-0,5 % 5 ans 3,72 % 0,39 % 1,03 %

50

Strike Maturité Prix de marché Ecart C1 Ecart C2-0,5 % 10 ans 13,45 % -0,65 % 0,26 %-0,25 % 2 ans 0,12 % 0,39 % 0,51 %-0,25 % 5 ans 2,61 % 0,76 % 1,36 %-0,25 % 10 ans 11,32 % -0,21 % 0,60 %0,25 % 2 ans 0,01 % 0,23 % 0,32 %0,25 % 5 ans 1,48 % 0,67 % 1,15 %0,25 % 10 ans 8,30 % -0,16 % 0,41 %0,5 % 2 ans 0,01 % 0,14 % 0,22 %0,5 % 5 ans 1,12 % 0,55 % 0,96 %0,5 % 10 ans 7,08 % -0,21 % 0,23 %1 % 2 ans 0,001 % 0,05 % 0,09 %1 % 5 ans 0,66 % 0,30 % 0,57 %1 % 10 ans 5,12 % -0,34 % 0,15 %1,5 % 2 ans 0,000 % 0,01 % 0.03 %1,5 % 5 ans 0,40 % 0,11 % 0,28 %1,5 % 10 ans 3,67 % -0,46 % -0,45 %2 % 2 ans 0,00 % 0 % 0,01 %2 % 5 ans 0,26 % 0 % 0,09 %2 % 10 ans 2,63 % -0,54 % 0,65 %2,5 % 2 ans 0,00 % 0 % 0 %2,5 % 5 ans 0,17 % -0,05 % 0 %2,5 % 10 ans 1,90 % -0,59 % -0,75 %3 % 2 ans 0,00 % 0 % 0 %3 % 5 ans 0,12 % -0,07 % -0,05 %3 % 10 ans 1,40 % -0,61 % -0,77 %

Table 2.3 – Comparaison des prix de marché des caps avec ceux du modèle de Vasicek

Comme précédemment, on observe que le calibrage 1 reproduit mieux les prix des caps que lecalibrage 2.

Pour valider les modèles, on vérifie que les paramètres calibrés permettent de reproduire lacourbe des prix des obligations zéro-coupon. On trace le graphique des écarts entre les prix dumodèle de Vasicek selon les deux calibrages et les prix de marché :

51


Figure 2.9 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des caps du modèle deVasicek

On constate que le modèle 2 reproduit mieux la courbe des prix que le modèle 1. On accepteune erreur de 2% pour valider un modèle. Ainsi, on peut valider le modèle 1 (resp. le modèle 2)pour des options de maturités inférieures à 8 ans (resp. 11 ans).

Calibrage des caps à l’état initial sous le modèle de Hull-White à deux facteurs

Comme pour le modèle de Vasicek, on utilise l’algorithme génétique de la fonction genoud souspour déterminer les paramètres minimisant les deux méthodes de calibrage. On trouve alors les

paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des caps suivants :

kl µl σl kr σr Erreur quadratique Ecart maximalC1 42,72 % 18,31 % 0,10 % 1,88 % 0,75 % 2, 69× 10−4 0,42 %C2 49,44 % 13,71 % 0,11 % 2,41 % 0,75 % 2, 87× 10−4 0,39 %

Table 2.4 – Paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des caps

On observe, comme dans le cas du modèle de Vasicek, que le calibrage sans condition reproduitmieux les prix des caps que celui avec condition. De plus, on constate que les deux calibrages sontmeilleurs que ceux du modèle de Vasicek. Le modèle de Hull-WHite à deux facteurs reproduit mieuxles prix des caps que le modèle de Vasicek.

De plus, on compare les valeurs des prix reproduits par le modèle de Hull-White à deux facteursavec les prix de marché.

Strike Maturité Prix de marché Ecart C1 Ecart C2-0,5 % 2 ans 0,59 % -0,06 % -0,05 %-0,5 % 5 ans 3,72 % -0,18 % -0,12 %-0,5 % 10 ans 13,45 % -0,23 % -0,22 %

52

Strike Maturité Prix de marché Ecart C1 Ecart C2-0,25 % 2 ans 0,12 % 0,25 % 0,25 %-0,25 % 5 ans 2,61 % 0,24 % 0,29 %-0,25 % 10 ans 11,32 % 0,22 % 0,22 %0,25 % 2 ans 0,01 % 0,14 % 0,14 %0,25 % 5 ans 1,48 % 0,26 % 0,29 %0,25 % 10 ans 8,30 % 0,31 % 0,27 %0,5 % 2 ans 0,01 % 0,07 % 0,08 %0,5 % 5 ans 1,12 % 0,21 % 0,23 %0,5 % 10 ans 7,08 % 0,28 % 0,23 %1 % 2 ans 0,001 % 0,02 % 0,09 %1 % 5 ans 0,66 % 0,08 % 0,09 %1 % 10 ans 5,12 % 0,16 % 0,09 %1,5 % 2 ans 0,00 % 0 % 0 %1,5 % 5 ans 0,40 % -0,02 % -0,01 %1,5 % 10 ans 3,67 % 0,03 % -0,06 %2 % 2 ans 0,00 % 0 % 0 %2 % 5 ans 0,26 % 0,07 % 0,07 %2 % 10 ans 2,63 % -0,11 % -0,19 %2,5 % 2 ans 0,00 % 0 % 0 %2,5 % 5 ans 0,17 % -0,08 % -0,08 %2,5 % 10 ans 1,90 % -0,22 % -0,30 %3 % 2 ans 0,00 % 0 % 0 %3 % 5 ans 0,12 % -0,08 % -0,08 %3 % 10 ans 1,40 % -0,33 % -0,39 %

Table 2.5 – Comparaison des prix de marché des caps avec ceux du modèle de Hull-White à deuxfacteurs

Les deux modèles reproduisent bien les prix de marché. Plus précisemment, le modèle 1 estmeilleur essentielement à moyen terme alors que le modèle 2 l’est à court terme et à long terme.

Là encore, on remarque que les écarts de prix selon les deux calibrages sont bien meilleurs queceux calculés à l’aide du modèle de Vasicek. Ce résultat se retrouve d’ailleurs en comparant lesécarts moyens par options égaux à 0,14 % et 0,15 % sous le modèle de Hull-White à deux facteurscontre 0,26 % et 0,49 % sous le modèle de Vasicek.

Pour finir, on regarde si les modèles calibrés sous le modèle de Hull-White à deux facteursreproduisent bien la courbe des prix des obligations zéro-coupon :

53


Figure 2.10 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés avec les paramètres des caps du modèle àdeux facteurs

On remarque que le modèle 2 reproduit mieux la courbe des prix des zéro-coupons. Toutefois,l’écart entre les deux modèles est non significatif. Contrairement au modèle de Vasicek, on conclutque l’ajout d’une condition sur l’écart des prix n’est pas nécessaire mais qu’aucun des deux modèlesne reproduit suffisament bien la courbe des prix des obligations zéro-coupon.

2.8.4 Calibrage des floors à l’état initial

On souhaite, dans cette sous-partie, déterminer les paramètres du modèle de Vasicek et dumodèle de Hull-White à deux facteurs se rapprochant au mieux des prix des floors de marché touten reproduisant correctement la courbe des prix des obligations zéro-coupon.

Quelque soit le modèle, on décide de considérer deux calibrages différents. Le premier consisteà minimiser l’erreur quadratique entre le prix de marché du floor et celui selon le modèle considéréjusqu’à une maturité de 10 ans :

min(k,µ,σ)

10∑T=1

∑K

(FloorModele(0,K, T )− FloorMarche(0,K, T ))2

Le second, quant à lui, minimise aussi l’erreur quadratique sous la condition que l’erreur absoluemoyenne entre le prix de l’obligation zéro-coupon sous le modèle considéré et celui de marché soitinférieure à 2 % :

min(k,µ,σ)

10∑T=1

∑K

(FloorModele(0,K, T )− FloorMarche(0,K, T ))2

Avec,1

20

20∑T=1

| PModele(0, T )− PMarche(0, T ) |< 2 %

54

Calibrage des floors à l’état initial sous le modèle Vasicek

On utilise la fonction genoud sous pour résoudre les deux calibrages. On trouve les paramètresdu modèle de Vasicek pour la valorisation des floors suivants :

k µ σ Erreur quadratique Ecart moyen Ecart maximalC1 1,02 % 9,59 % 0,35 % 1, 09× 10−2 0,78 % 3,41 %C2 3,25 % 7,84 % 1,01 % 3, 00× 10−2 1,58 % 3,89 %

Table 2.6 – Paramètres initiaux du modèle de Vasicek pour la valorisation des floors

En regardant les écarts moyens, on constate que les modèles ne repoduisent pas assez bien lesprix des floors. Le modèle de Vasicek ne semble pas adapté pour reproduire les courbes concavesdes prix des floors. Regardons tout de même les écarts des prix des zéro-coupons entre le modèlede Vasicek et ceux de marché :

Figure 2.11 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des floors du modèlede Vasicek

On observe que même en ajoutant une condition sur les écarts des prix, le modèle ne permetpas de reproduire correctement la courbe des prix des zéro-coupons. On conclut donc que le modèlede Vasicek, avec cette méthode de calibrage, ne permet pas de reproduire les prix des floors.

Calibrage des floors à l’état initial sous le modèle de Hull-White à deux facteurs

Comme précedemment, on trouve les paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pourla valorisation des floors suivants :

55


kl µl σl kr σr Erreur quadratiqueC1 87,04 % 15,62 % 20,00 % 0,81 % 0,26 % 9, 52× 10−3

C2 15,01 % 3,05 % 1,00 % 22,43 % 1,64 % 3, 01× 10−2

Table 2.7 – Paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des floors

On remarque que les erreurs quadratiques sont élevées, ce qui implique que le modèle ne reproduitpas bien les prix des floors. On s’intéresse alors aux écarts moyens et maximaux par floor des deuxcalibrages considérés :

Ecart moyen Ecart maximalModèle 1 1,26 % 3,93 %Modèle 2 1,63 % 3,32 %

Table 2.8 – Ecarts du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des floors

Là encore, les écarts moyens par floor sont trop élevés pour pouvoir retenir l’un des deux modèles.Ce résultat se confirme en regardant les écarts de prix des zéro-coupons :

Figure 2.12 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés à partir des paramètres des floors sous lemodèle à deux facteurs

On observe que même en ajoutant une condition sur les écarts des prix, le modèle ne permetpas de reproduire correctement la courbe des prix des zéro-coupons. On conclut donc que le modèlede Hull-White à deux facteurs, avec cette méthode de calibrage, ne permet pas, lui non plus, dereproduire les prix des floors.

2.8.5 Conclusion

On vient d’essayer de calibrer les modèles de Vasicek et de Hull-White à deux facteurs à l’aidedes prix des caps ou des floors. Toutefois, les paramètres calibrés ne permettent pas de repoduire la

56

courbe des prix des obligations zéro-coupon avec une erreur absolue inférieure à 2 %. Cette méthodede calibrage sur les prix des caps et des floors n’est donc pas performante pour ces modèles.

Ces difficultés à approcher les deux conditions peuvent s’expliquer par le lien indirect entre lesprix des caps (ou des floors) et les prix des zéro-coupons. C’est d’ailleurs pour cela, que dans la suite,on ne s’intéresse qu’aux paramètres des modèles calibrés à l’aide des swaptions. En effet, les prix deszéro-coupons étant déduit des prix de marché des swaps, le lien avec les swaptions est immédiat. Deplus, pour respecter l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage à travers la relation de paritécap-floor (équation (2.4)), il est nécessaire d’utiliser les mêmes paramètres pour valoriser les caps,les floors et les swaptions. Il semble alors légitime d’utiliser ceux calibrés à l’aide des swaptions.

2.9 Calibrage des swaptions à l’état initial

Dans cette partie, on commence par ennoncer les formules de valorisation d’une swaption dansle cas du modèle de Vasicek et celui de Hull-White à deux facteurs. Ensuite, nous compareronsdeux méthodes de calibrage des swaptions ; l’une par la relation (2.4)) de parité cap-floor et l’autredirectement par la formule de valorisation.

2.9.1 Formules de valorisation d’une swaption

Sous le modèle de Vasicek

On s’intéresse ici à la valorisation d’une swaption payeuse dans le cas d’un modèle de Vasicek.Comme dans le cas d’un cap, en suivant la méthode décrite par BRIGO & MERCURIO (2006), onva décomposer la swaption comme une somme de puts.

On peut considérer la swaption comme une option sur une obligation à coupon (coupon-bearingbond). En effet, on décompose la swaption payeuse de strike K, de maturité T = t0 et de nominalN en M fractions ci telles que ci = K(ti − ti−1) pour i < n et cn = 1 + K(tn − tn−1). De plus, onévalue le taux spot r∗ en T comme la solution de l’équation suivante :

M∑i=1

ciAV (T, ti)e−BV (T,ti)r

∗= 1

où AV , BV sont les fonctions définies lors du calcul du prix de l’obligation zéro-coupon sous unmodèle de Vasicek (équation (1.3)).

Proposition 2.9.1 Le prix d’une swaption payeuse à l’instant t, de maturité T, de nominal N etsur un swap payeur admettant M flux est :

SP V asicek(t, T,M,N,K) = N

M∑i=1

ciPut(t, T, ti, Xi) (2.6)

57


où,

Xi = AV (T, ti)e−BV (T,ti)r

∗

Put(t, T, ti, Xi) = XiPV (t, T )N (−h+ σp)− PV (t, ti)N (−h)

h =1

σpln(

PV (t, ti)

PV (t, T )Xi) +

σp2

σp = σ(1− e−k(ti−T ))

k

√1− e−2kT

2k


Sous le modèle de Hull-White à deux facteurs

Pour appliquer la formule du prix d’une swaption d’un modèle G2++ (Annexe D) avec lesparamètres particuliers du modèle de Hull-White à deux facteurs (Partie 1.3.1), il est nécessaired’écrire la formule du prix de l’obligation zéro-coupon sous la même forme que celle écrite dans lemodèle G2++. Le prix d’une obligation zéro-coupon à l’instant t et de maturité T vaut :

P (t, T ) = A(t, T ) exp{−B(kr, t, T )x(t)−B(kl, t, T )y(t)} (2.7)

où,

A(t, T ) = exp(−∫ T

tφ(u)du+

1

2V (t, T )) = exp(−krµl

2(T 2 − t2) +

1

2V (t, T ))

B(k, t, T ) =1− e−k(T−t)

k

V (t, T ) =σ2

k2r

[T − t+2

kre−kr(T−t) − 1

2kre−2kr(T−t) − 3

2kr]

+ν2

k2l

[T − t+2

kle−kl(T−t) − 1

2kle−2kl(T−t) − 3

2kl]

− 2ν2

krkl[T − t+

e−kr(T−t) − 1

kr+e−kl(T−t) − 1

kl− e−(kr+kl)(T−t) − 1

kr + kl]

x(t) = rt +1

kr − kl(lt − µl)− φ(t) = rt +

1

kr − kl(lt − µl)− krµlt

y(t) =kr

kr − kl(lt − µl)

φ(t) = krµlt

σ =

√σ2r +

k2rσ

2l

(kr + kl)2

ν =krσlkr − kl

Proposition 2.9.2 Le prix d’une swaption à l’instant t = 0, de nominal N, de strike K et sur unswap admettant M flux, sous le modèle de Hull-White à 2 facteurs est égal à :

SHW (0,K,N, ω) = NωPHW (0, T )

∫ +∞

−∞

e−12

(x−µxσx

)2

σx√

2π[N (−ωh1(x))−

M∑i=1

λi(x)eκi(x)N (−ωh2(x))]dx

58

où ω = 1 (resp. ω = −1) pour une swaption payeuse (resp. receveuse),

h1(x) =y − µy

σy√

1− ρ2xy

− ρxy(x− µx)

σx√

1− ρ2xy

h2(x) = h1(x) +B(kl, T, ti)σy

√1− ρ2

xy

λi(x) = K(ti − ti−1)A(T, ti)eB(kr,T,ti)x

κi(x) = −B(kl, T, ti)[µy −1

2(1− ρ2

xy)σ2yB(kl, T, ti) + ρxyσy

x− µxσx

]

y = y(x) est définie telle que∑M

i=1 λi(x)e−B(kl,T,ti)y = 1 où les fonctions A et B sont celles définiesdans l’équation (2.7) du prix de l’obligation zéro-coupon d’un modèle de Hull-White à deux facteurs,

µx = −(σ2

k2r

+ ρσν

krkl)[1− e−krT ] +

σ2

2k2r

[1− e−2krT ] +ρσν

kl(kr + kl)[1− e−(kr+kl)T ]

µy = −(ν2

k2l

+ ρσν

krkl)[1− e−klT ] +

ν2

2k2l

[1− e−2klT ] +ρσν

kr(kr + kl)[1− e−(kr+kl)T ]

σx = σ

√1− e−2krT

2kr

σy = ν

√1− e−2klT

2kl

ρxy =ρνσ

(kr + kl)σxσy[1− e−(kr+kl)T ]

σ =

√σ2r +

k2rσ

2l

(kr + kl)2

ν =krσlkr − kl

ρ = − krσl√σ2r (kr − kl)2 + k2

rσ2l

2.9.2 Calibrage des swaptions à l’état initial

Dans cette partie, on s’intéresse au calibrage des swaptions d’expiration égale à 1 an. Touteschoses étant égales par ailleurs, il est possible de calibrer les swaptions à l’aide de la relation deparité (2.5) ou par les formules de valorisation directement.

Ici, on choisit de réaliser les deux calibrages et de comparer les résultats trouvés.

59


A l’aide de la relation de parité

On rappelle que la relation de parité entre une swaption, un cap et un floor de mêmes caracté-ristiques s’écrit telle que :

PStP (t, T,N,K) = (PCap(t,N,K)− PFloor(t,N,K))+

Pour calibrer le modèle, on décide de minimiser l’erreur quadratique entre les prix de marché desswaptions et les prix calculés à l’aide de la relation de parité. On choisit de réaliser trois calibragesdifférents :

* Calibrage 1 : fondé sur les prix des swaptions de maturités entre 1 et 8 ans.* Calibrage 2 : fondé sur les prix des swaptions de maturités entre 1 et 10 ans.* Calibrage 3 : fondé sur les prix des swaptions de maturités entre 1 et 25 ans.

On reprend les formules des prix des caps et des floors décrites à la partie 2.8.1. A noter, queles maturités précédentes correspondent aux maturités du swap excercé (ou non) à l’expiration dela swaption ; expiration égale à 1 an. Dans la suite, on notera « 1/x ans » une swaption d’expiration1 an et dont le swap sous-jacent est de maturité x ans.

— Sous le modèle de Vasicek

Les paramètres calibrés selon les trois modèles sont les suivants :

k µ σ Erreur quadratique Ecart maximalModèle 1 20,74 % 2,27 % 1,00 % 9, 57× 10−4 6,16 %Modèle 2 19,28 % 2,40 % 1,00 % 9, 43× 10−4 6,03 %Modèle 3 7,26 % 6,58 % 2,33 % 9, 48× 10−4 6,17 %

Table 2.9 – Paramètres initiaux du modèle de Vasicek pour la valorisation des swaptions

A noter que pour pouvoir comparer les trois modèles, les erreurs quadratiques et les écartsmaximaux précédents correspondent aux erreurs sous 10 ans. Il est alors logique que le modèle 2,calibré sur les prix de 1 à 10 ans, soit le meilleur au sens de ces erreurs.

Pour valider ces modèles, on commence par comparer les prix calculés sous le modèle de Vasicekavec ceux de marché. Le tableau suivant en illustre quelques uns ; seuls les écarts entre les prix demarché et ceux selon les calibrages (C1, C2 et C3) sont affichés.

Strike Maturités Prix de marché Ecart C1 Ecart C2 Ecart C3-1 % 1/2 ans 2,30 % 0,95 % 0,96 % 1,08 %-1 % 1/5 ans 7,92 % 0,82 % 0,85 % 1,31 %-1 % 1/10 ans 20,34 % 1,09 % 1,01 % 2,08 %

-0,5 % 1/2 ans 1,30 % 0,45 % 0,46 % 0,51 %-0,5 % 1/5 ans 5,46 % 0,31 % 0,34 % 0,56 %

60

Strike Maturité Prix de marché Ecart C1 Ecart C2 Ecart C3-0,5 % 1/10 ans 15,63 % 0,64 % 0,54 % 1,06 %-0,25 % 1/2 ans 0,81 % 0,32 % 0,33 % 0,40 %-0,25 % 1/5 ans 4,24 % 0,40 % 0,43 % 0,76 %-0,25 % 1/10 ans 13,28 % 0,93 % 0,85 % 1,75 %0,25 % 1/2 ans 0,15 % 0,15 % 0,15 % 0,15 %0,25 % 1/5 ans 1,95 % 1,95 % 1,95 % 1,95 %0,25 % 1/10 ans 8,59 % 4,09 % 3,99 % 4,80 %0,5 % 1/2 ans 0,06 % 0,06 % 0,06 % 0,06 %0,5 % 1/5 ans 1,09 % 1,09 % 1,09 % 1,09 %0,5 % 1/10 ans 6,30 % 6,17 % 6,03 % 6,17 %1 % 1/2 ans 0,01 % 0,01 % 0,01 % 0,01 %1 % 1/5 ans 0,26 % 0,26 % 0,26 % 0,26 %1 % 1/10 ans 2,47 % 2,47 % 2,47 % 2,47 %

Table 2.10 – Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Vasicek

On observe que le modèle 3 reproduit mieux les options de courtes et moyennes maturités alorsque le modèle 1 reproduit mieux les options de longues maturités. On note toutefois que les troismodèles sont très proches les uns des autres et que cette méthode ne permet pas de reproduire lesprix des swaptions hors de la monnaie.

On s’intéresse alors à la reproduction de la courbe des prix des zéro-coupons par les modèles.On trace les écarts de prix dans le graphique suivant.

Figure 2.13 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des swaptions du modèlede Vasicek

On constate que les trois calibrages reproduisent très bien la courbe des prix des zéro-couponssur 20 ans.

Dans la suite, on s’interessera à des options proches de la monnaie. Pour sélectionner un modèle,

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on s’intéresse alors à l’écart moyen par cap (et par floor) pour des options entre -2 % et +2,5 % dutaux Euribor 6M actuel et de maturité entre 1 an et 10 ans :

Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3Ecarts moyens des caps 0,87 % 0,88 % 2,67 %Ecarts moyens des floors 0,82 % 0,80 % 1,35 %

Table 2.11 – Ecarts moyens des caps et des floors

On constate que les 3 modèles reproduisent mieux les prix des floors que ceux des caps. Lemodèle 3 admet les écarts moyens les plus élevés.

— Sous le modèle de Hull-White à deux facteurs

Les paramètres calibrés sont les suivants :

kl µl σl kr σr Erreur quadratique Ecart maximalC1 72,57 % 9,38 % 0,31 % 49,46 % 19,33 % 1, 05× 10−3 1,10 %C2 83,22 % 15,77 % 7,29 % 53,59 % 27,96 % 9, 64× 10−4 0,85 %C3 86,44 % 12,21 % 10,24 % 86,94 % 38,18 % 2, 22× 10−3 1,54 %

Table 2.12 – Paramètres initiaux du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisationdes swaptions

En regardant les écarts maximaux, on constate que le modèle de Hull-White à deux facteursest meilleur que le modèle de Vasicek. Selon ces écarts, le deuxième modèle est le meilleur. Pourvalider ces modèles, on commence par comparer les prix calculés sous le modèle de Hull-White àdeux facteurs avec ceux de marché. Le tableau suivant en illustre quelques uns ; seuls les écarts entreles prix de marché et ceux selon les calibrages (C1, C2 et C3) sont affichés.

Strike Maturités Prix de marché Ecart C1 Ecart C2 Ecart C3-1 % 1/2 ans 2,30 % 0,75 % 0,81 % 1,29 %-1 % 1/5 ans 7,92 % 0,73 % 0,78 % 1,24 %-1 % 1/10 ans 20,34 % 1,10 % 0,85 % 0,34 %-0,5 % 1/2 ans 1,30 % 0,25 % 0,31 % 0,79 %-0,5 % 1/5 ans 5,46 % 0,24 % 0,29 % 0,77 %-0,5 % 1/10 ans 15,63 % 0,68 % 0,43 % -0,05 %-0,25 % 1/2 ans 0,81 % -0,01 % 0,06 % 0,38 %-0,25 % 1/5 ans 4,24 % 0 % 0,04 % 0,53 %-0,25 % 1/10 ans 13,28 % 0,48 % 0,23 % -0,25 %0,25 % 1/2 ans 0,15 % 0 % 0 % 0 %0,25 % 1/5 ans 1,95 % -0,47 % -0,42 % 0,09 %0,25 % 1/10 ans 8,59 % 0,07 % -0,19 % -0,64 %0,5 % 1/2 ans 0,06 % 0 % 0 % 0 %0,5 % 1/5 ans 1,09 % -0,12 % -0,07 % 0,09 %0,5 % 1/10 ans 6,30 % -0,14 % -0,39 % -0,84 %

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Strike Maturité Prix de marché Ecart C1 Ecart C2 Ecart C31 % 1/2 ans 0,01 % 0 % 0 % 0 %1 % 1/5 ans 0,26 % 0 % 0 % 0 %1 % 1/10 ans 2,47 % 0,05 % -0,21 % -0,64 %

Table 2.13 – Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Hull-Whiteà deux facteurs

On observe que les trois calibrages reproduisent bien les prix des swaptions. Le modèle 1 estmeilleur pour les options à court et moyen termes alors que le modèle 3 reproduit mieux les optionsà long terme. Le modèle 2 est entre les deux autres modèles. A ce stade, les trois calibrages sontadmissibles. On s’intéresse alors aux écarts entre les courbes des prix des zéro-coupons. On affichesur le graphique suivant ces écarts :

Figure 2.14 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés à partir des paramètres des swaptions dumodèle à deux facteurs

On observe que le modèle 3 est le meilleur. Les deux autres modèles sont admissibles jusqu’àune maturité de 12 ans. On compare alors les écarts moyens des prix des caps et des floors de strikesentre -2 % et +2,5 % du taux Euribor 6M actuel et de maturité entre 1 an et 10 ans :

Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3Ecarts moyens des caps 3,78 % 7,16 % 5,50 %Ecarts moyens des floors 3,59 % 6,97 % 5,45 %


On constate que les paramètres calibrés sous le modèle de Hull-White à deux facteurs nepermettent pas de reproduire les prix des caps et des floors. On ne peut donc pas valider un descalibrages du modèle à deux facteurs.

Ainsi, on vient de calibrer les deux modèles à l’aide de la fomule de parité cap-floor sur les prix

63


des swaptions. Nous avons pû constater que ce calibrage permet de reproduire la courbe des prixdes zéro-coupons. De plus, nous avons conclu que le modèle de Vasicek, calibré à l’aide de 10 ansde prix des swaptions, est un bon modèle de valorisation des options taux. Alors qu’à l’inverse, avecce calibrage, le modèle de Hull-White à deux facteurs reproduit bien les prix des swaptions mais nepermet pas d’approcher les prix de marché des caps et des floors.

De plus, nous avons constaté qu’un calibrage sur 25 ans d’historique de prix n’est pas nécessairepour nos besoin ; à savoir, reproduire les prix des options sur 10 ans. Nous allons maintenant calibrerles modèles à l’aide des formules de valorisation des swaptions.

A l’aide des formules de valorisation

Dans cette sous-partie, on réalise les calibrages du modèle de Vasicek et de celui de Hull-Whiteà deux facteurs à l’aide des méthodes suivantes :

* Calibrage 1 : minimisation des écarts des prix des swaptions de maturités entre 1 et 8 ans.* Calibrage 2 : minimisation des écarts des prix des swaptions de maturités entre 1 et 10 ans.

A noter, que les maturités précédentes correspondent aux maturités du swap excercé (ou non)à l’expiration de la swaption ; expiration égale à 1 an. Dans la suite, on notera « 1/x ans » uneswaption d’expiration 1 an et dont le swap sous-jacent est de maturité x ans.

— Sous le modèle de Vasicek

Les paramètres du modèle de Vasicek pour la valorisation des swaptions trouvés sont les suivants :

k µ σ Erreur quadratique Ecart maximalCalibrage 1 3,91 % 7,09 % 0,21 % 1, 05× 10−3 0,95 %Calibrage 2 7,45 % 3,94 % 0,23 % 8, 57× 10−4 0,83 %

Table 2.15 – Paramètres du modèle Vasicek pour la valorisation des swaptions

A noter que les erreurs quadratiques et les écarts maximaux correspondent à ceux pour uneprojection de prix de 1 à 10 ans. On constate alors, au regard de ces deux grandeurs, que lecalibrage 2 est le meilleur. Pour valider les modèles, on compare les écarts de prix entre ceux demarché et ceux calculés à l’aide du modèle de Vasicek :

Strike Maturités Prix de marché Ecarts C1 Ecarts C2-1 % 1/2 ans 2,30 % 0,74 % 0,69 %-1 % 1/5 ans 7,92 % 0,75 % 0,68 %-1 % 1/10 ans 20,34 % 0,26 % 0,68 %-0,5 % 1/2 ans 1,30 % 0,24 % 0,19 %-0,5 % 1/5 ans 5,46 % 0,26 % 0,18 %

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Strike Maturités Prix de marché Ecarts C1 Ecarts C2-0,5 % 1/10 ans 15,63 % -0,17 % 0,24 %-0,25 % 1/2 ans 0,81 % 0,00 % -0,05 %-0,25 % 1/5 ans 4,24 % 0,02 % -0,06 %-0,25 % 1/10 ans 13,28 % -0,39 % 0,03 %0,25 % 1/2 ans 0,15 % -0,21 % -0,25 %0,25 % 1/5 ans 1,95 % -0,31 % -0,39 %0,25 % 1/10 ans 8,59 % -0,80 % -0,39 %0,5 % 1/2 ans 0,06 % -0,13 % -0,17 %0,5 % 1/5 ans 1,09 % -0,21 % -0,29 %0,5 % 1/10 ans 6,30 % -0,95 % -0,53 %1 % 1/2 ans 0,01 % -0,01 % -0,02 %1 % 1/5 ans 0,26 % 0,14 % 0,12 %1 % 1/10 ans 2,47 % -0,53 % -0,11 %

Table 2.16 – Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Vasicek

On observe que les prix sont bien reproduit par les modèles. Le modèle 2 est globalementmeilleur par rapport au modèle 1. Toutefois, les résultats des deux calibrages sont très similaires.On s’intéresse alors à leurs reproductions de la courbe des prix zéro-coupons. On affiche sur legraphique suivant les écarts entre ces courbes :

Figure 2.15 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés à partir des paramètres des swaptions dumodèle de Vasicek

Là encore, on observe que le modèle 2 est le meilleur. Les deux modèles sont admissibles jusqu’àune maturité respective de 16 et 19 ans. On compare alors les écarts moyens des prix des caps etdes floors de strikes entre -2 % et +2,5 % du taux Euribor 6M actuel et de maturité entre 1 an et10 ans :

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Modèle 1 Modèle 2Ecarts moyens des caps 0,35 % 0,33 %Ecarts moyens des floors 0,78 % 0,76 %


On constate que les paramètres calibrés sous le modèle de Vasicek, selon les deux méthodes,reproduisent bien les caps et les floors. Si on les compare à ceux calibrés à l’aide de la formule deparité cap-floor, on observe que ce calibrage reproduit mieux les caps et les floors. Globalement, lemodèle 2 est le meilleur. On décide donc, dans la suite du mémoire, d’utiliser les paramètres de cecalibrage pour le modèle de Vasicek.

— Sous le modèle de Hull-White à deux facteurs

L’expression du prix d’une swaptions payeuse sous le modèle de Hull-White à deux facteurs estproportionnelle à l’intégrale suivante :∫ +∞

−∞

e−12

(x−µxσx

)2

σx√

2π[N (−ωh1(x))−

M∑i=1


Pour pouvoir approximer cette intégrale, on s’intéresse dans un premier temps à la forme de lafonction intégrée. Le graphique suivant présente cette fonction pour plusieurs jeux de paramètresaléatoires.

Figure 2.16 – Allures de la fonction intégrée

On observe que la fonction intégrée a une forme de cloche quelque soit les paramètres considérés,de valeurs nulles de part et d’autre de la cloche. On décide donc de restreindre le calcul de l’intégraleà l’intervalle [-4 ;4]. On utilise la fonction gauss kronrod sous pour résoudre cette intégrale.

On optimise alors le modèle de Hull-White à deux facteurs selon les deux calibrages présentésen début de cette sous partie. On choisit les paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurspour la valorisation des swaptions suivants :

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kl µl σl kr σr Erreur quadratique Ecart maximalC1 0,10 % 1,82 % 2,48 % 63,12 % 23,71 % 4, 85× 10−2 14,96 %C2 0,11 % 0,53 % 2,49 % 96,88 % 23,40 % 1, 16× 10−2 3,78 %

Table 2.18 – Paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation desswaptions

Pour valider le modèle, on regarde les écarts de prix entre ceux de marché et ceux calculés àl’aide du modèle de Hull-White à deux facteurs :

Strike Maturités Prix de marché Ecarts C1 Ecarts C2-1 % 1/2 ans 2,30 % -1,87 % 1,20 %-1 % 1/5 ans 7,92 % 0,77 % -0,84 %-1 % 1/10 ans 20,34 % -14,96 % -3,78 %-0,5 % 1/2 ans 1,30 % -1,90 % -1,34 %-0,5 % 1/5 ans 5,46 % 1,00 % -0,07 %-0,5 % 1/10 ans 15,63 % -7,61 % 0,95 %-0,25 % 1/2 ans 0,81 % -1,99 % -1,48 %-0,25 % 1/5 ans 4,24 % 0,72 % -0,12 %-0,25 % 1/10 ans 13,28 % -5,01 % 2,12 %0,25 % 1/2 ans 0,15 % -1,67 % -1,28 %0,25 % 1/5 ans 1,95 % -0,45 % -0,92 %0,25 % 1/10 ans 8,59 % -2,14 % 2,33 %0,5 % 1/2 ans 0,06 % -1,38 % -1,04 %0,5 % 1/5 ans 1,09 % -0,69 % -1,03 %0,5 % 1/10 ans 6,30 % -1,81 % 1,53 %1 % 1/2 ans 0,01 % -0,92 % -0,67 %1 % 1/5 ans 0,26 % -0,32 % -0,48 %1 % 1/10 ans 2,47 % -2,40 % -0,74 %

Table 2.19 – Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Hull-Whiteà deux facteurs

On observe que les prix ne sont pas très bien reproduit par les modèles. Le modèle 2 sembletoutefois le meilleur. On s’intéresse alors à leurs reproductions de la courbe des prix des zéro-coupons.On affiche sur le graphique suivant les écarts entre ces courbes :

67


Figure 2.17 – Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des swaptions du modèleà deux facteurs

On observe que les modèles sont admissibles jusqu’à une maturité de 16 ans. On compare alorsles écarts moyens des prix des caps et des floors de strike entre -2 % et +2,5 % du taux Euribor 6Mactuel et de maturité entre 1 an et 10 ans :

Modèle 1 Modèle 2Ecarts moyens des caps 12,11 % 9,42 %Ecarts moyens des floors 27,46 % 16,37 %


On constate que les paramètres calibrés sous le modèle de Hull-White à deux facteurs, selon lesdeux modèles, ne permettent pas de reproduire les prix des caps et des floors. On ne peut donc pasvalider les modèles.

Conclusion

Ainsi, nous venons de calibrer les modèles de Vasicek et de Hull-White à deux facteurs à l’aidedes prix des swaptions. Nous avons, pour ce faire, appliqué deux méthodes : l’une utilisant la formulede parité cap-floor et l’autre utilisant les formules de valorisation des swaptions. Nous avons constatéque ces calibrages permettaient de bien reproduire la courbe des prix des zéro-coupons et ainsi devalider le lien entre les prix des zéro-coupons et les prix des swaptions.

De plus, les différents calibrages du modèle de Hull-White à deux facteurs n’ont pas donné derésultats concluant en ce qui concerne la reproduction des prix à la fois des swaptions, des caps etdes floors. On décide donc dans le suite de ne s’intéresser qu’au modèle de Vasicek. Les paramètresdu modèle de Vasicek utilisés sont ceux trouvés à l’aide du calibrage par la formule de valorisationsur les prix de swaptions entre 1 an et 10 ans.

68

2.10 Valorisation des options à l’état initial

Maintenant que l’on a calibré le modèle de Vasicek et exclu le modèle de Hull-White à deuxfacteurs, on utilise la formule de valorisation et les paramètres précédents pour déterminer les prixde nos caps, de nos floors et de nos swaptions. Le but est d’étudier le comportement du modèle devalorisation dans le cas où le strike, la maturité et le taux variable varient.

2.10.1 Valorisation des caps à l’état initial

On récupère la valeur du taux Euribor 6 mois (2018) ; égal à -0,27 %. On décide alors de nes’intéresser qu’au cas où le strike est entre -2 % et +2 % du taux Euribor 6M actuel. On calculealors le prix du cap sous le modèle de Vasicek pour les strikes précédents et pour une maturité entre1 an et 8 ans. Le tableau suivant présente une partie de ces prix.

Strikes / Maturités 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 8 ans

r0 − 2 %Marché 2,03 % 4,23 % 6,70 % 9,47 % 12,49 % 22,76 %Vasicek 1,64 % 4,09 % 6,79 % 9,72 % 12,85 % 23,18 %

r0 −1, 5 %

Marché 1,53 % 3,21 % 5,17 % 7,44 % 9,96 % 18,78 %Vasicek 1,27 % 3,21 % 5,41 % 7,85 % 10,49 % 19,39 %

r0 − 1 %Marché 1,02 % 2,19 % 3,65 % 5,41 % 7,45 % 14,87 %Vasicek 0,89 % 2,34 % 4,04 % 5,98 % 8,13 % 15,60 %

r0 −0, 5 %

Marché 0,51 % 1,17 % 2,13 % 3,40 % 4,97 % 11,03 %Vasicek 0,52 % 1,46 % 2,67 % 4,12 % 5,78 % 11,82 %

r0Marché 0,00 % 0,16 % 0,66 % 1,49 % 2,62 % 7,41 %Vasicek 0,14 % 0,59 % 1,30 % 2,25 % 3,42 % 8,03 %

r0 +0, 5 %

Marché 0,00 % 0,02 % 0,22 % 0,70 % 1,46 % 5,11 %Vasicek 0,00 % 0,06 % 0,31 % 0,78 % 1,47 % 4,65 %

r0 + 1 %Marché 0,00 % 0,00 % 0,09 % 0,35 % 0,84 % 3,52 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,02 % 0,14 % 0,41 % 2,21 %

r0 +1, 5 %

Marché 0,00 % 0,00 % 0,04 % 0,19 % 0,50 % 2,41 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,01 % 0,05 % 0,76 %

r0 + 2 %Marché 0,00 % 0,00 % 0,02 % 0,11 % 0,31 % 1,66 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,03 % 0,16 %

Table 2.21 – Prix des caps

Le modèle génère une erreur moyenne de 0,35 % par option et un écart maximal de 1,66 %. Lemodèle de Vasicek reproduit donc bien les prix des caps.

On s’intéresse maintenant à l’évolution des prix, dans le cas où le taux variable est à la baisseou à la hausse. Pour ce faire, on calcule les prix des caps dans le cas de chocs entre -5 % et +5 % dutaux Euribor 6M. Les graphiques suivants présentent les prix des caps (courbes du bleu au rougepour une maturité de 1 an à 15 ans) pour un strike à la monnaie.

On observe que les prix des caps augmentent plus le taux Euribor 6M subit un choc positif

69


Figure 2.18 – Prix choqués des caps

important. Ce résultat est cohérent puisqu’en augmentant le taux de référence, celui-ci se rapproche(ou dépasse) la barrière fixée. Le vendeur vend donc ce cap plus cher puisqu’il a plus de chance deverser des coupons à l’acheteur.

De plus, on constate que l’augmentation subie par le prix par rapport au choc sur le taux estde plus en plus faible, plus la maturité de l’option est grande. En effet, les courbes de différentesmaturités sont de plus en plus « serrées ».

2.10.2 Valorisation des floors à l’état initial

On calcule, de la même manière que précedemment, le prix du floor pour des strikes entre -2 % et+2 % du taux Euribor 6M actuel et avec une maturité de 1 an à 8 ans. Le tableau suivant présenteune partie de ces prix.


r0 − 2 %Marché 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,01 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

r0 −1, 5 %

Marché 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,01 % 0,04 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

r0 − 1 %Marché 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,01 % 0,02 % 0,12 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

r0 −0, 5 %

Marché 0,00 % 0,00 % 0,01 % 0,03 % 0,08 % 0,28 %Strikes / Maturités 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 8 ans

Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

r0Marché 0,00 % 0,02 % 0,07 % 0,15 % 0,26 % 0,66 %Vasicek 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

r0 +0, 5 %

Marché 0,50 % 0,89 % 1,15 % 1,38 % 1,63 % 2,36 %

70

Vasicek 0,24 % 0,35 % 0,39 % 0,40 % 0,40 % 0,41 %

r0 + 1 %Marché 1,01 % 1,90 % 2,55 % 3,07 % 3,54 % 4,76 %Vasicek 0,61 % 1,16 % 1,47 % 1,63 % 1,70 % 1,75 %

r0 +1, 5 %

Marché 1,52 % 2,92 % 4,03 % 4,94 % 5,73 % 7,66 %Vasicek 0,98 % 2,04 % 2,82 % 3,36 % 3,70 % 4,09 %

r0 + 2 %Marché 2,03 % 3,94 % 5,53 % 6,89 % 8,07 % 10,90 %Vasicek 1,36 % 2,91 % 4,20 % 5,22 % 6,00 % 7,28 %

Table 2.22 – Prix des floors

Le modèle de Vasicek génère une erreur moyenne de 0,78 % et un écart maximal de 3,62 %. Ilreproduit approximativement les prix des floors. On constate d’ailleurs qu’il sous estime le prix desfloors à long terme. On note que pour des strikes dans la monnaie le prix de marché est presque nulalors que celui calculé sous le modèle de Vasicek est nul. Ce modèle étant à un facteur, il ne peutpas à la fois reproduire l’effet concave des prix sur les courtes maturité et l’effet convexe des prixsur les grandes maturités (figure 2.8).

On s’intéresse alors à l’évolution du prix du floor en fonction de la valeur du taux Euribor 6M.Pour ce faire, on calcule les prix des floors dans le cas de chocs entre -5 % et +5 % du taux Euribor6M actuel et de maturités entre 1 et 15 ans (courbes du bleu au rouge). Le graphique suivantprésente ces prix pour un strike à la monnaie.

Figure 2.19 – Prix choqués des floors

On observe que le prix du floor diminue plus le taux Euribor 6M augmente. Ce résultat est encohérence avec la définition de l’option, qui permet de prémunir l’acheteur d’une baisse des taux. Ilest donc normal que le vendeur affiche son floor plus cher plus le taux initial est bas pour un strikefixé.

De plus, on observe que plus la maturité augmente et plus l’écart entre deux courbes diminue.Cela signifie que la variation du prix par rapport à une variation du taux donnée en fonction de lamaturité est une fonction concave et croissante.

71


2.10.3 Valorisation des swaptions à l’état initial

De la même manière que les sous-parties précédentes, on calcule le prix des swaptions pour desstrikes entre -2 % et +1,5 % du taux Euribor 6M actuel et avec une maturité de 1 an à 8 ans sousle modèle de Vasicek et sous le modèle de Hull-White à deux facteurs. Le tableau suivant présenteune partie des prix trouvés :


r0 − 2 %Marché 2,27 % 4,84 % 7,72 % 10,84 % 14,17 % 24,95 %Vasicek 1,87 % 4,57 % 7,50 % 10,63 % 13,94 % 24,65 %

r0 −1, 5 %

Marché 1,77 % 3,84 % 6,22 % 8,86 % 11,71 % 21,11 %Vasicek 1,50 % 3,70 % 6,14 % 8,78 % 11,60 % 20,90 %

r0 − 1 %Marché 1,27 % 2,84 % 4,73 % 6,88 % 9,25 % 17,27 %Vasicek 1,13 % 2,83 % 4,77 % 6,92 % 9,26 % 17,15 %

r0 −0, 5 %

Marché 0,76 % 1,84 % 3,23 % 4,90 % 6,79 % 13,43 %Vasicek 0,75 % 1,96 % 3,40 % 5,07 % 6,92 % 13,39 %

r0Marché 0,26 % 0,85 % 1,75 % 2,92 % 4,34 % 9,60 %Vasicek 0,38 % 1,09 % 2,04 % 3,21 % 4,58 % 9,64 %

r0 +0, 5 %

Marché 0,02 % 0,16 % 0,52 % 1,14 % 2,03 % 5,79 %Vasicek 0,08 % 0,29 % 0,71 % 1,36 % 2,24 % 5,89 %

r0 + 1 %Marché 0,00 % 0,03 % 0,10 % 0,26 % 0,58 % 2,45 %Vasicek 0,00 % 0,01 % 0,03 % 0,11 % 0,31 % 2,17 %

Table 2.23 – Prix des swaptions

Le modèle génère une erreur moyenne par option de 0,15 % avc un écart maximal de 0,61 %.Les prix calculés sous le modèle de Vasicek reproduisent donc bien les prix de marché.

On s’intéresse à l’évolution des prix des swaptions pour une baisse ou une hausse du taux Euribor6M et un strike à la monnaie. On trace alors le graphique suivant :

72

Figure 2.20 – Prix choqués des swaptions

On observe qu’en choquant à la baisse le taux variable le prix de la swaption est nul. Ce résultatest cohérent puisqu’une swaption payeuse échange le strike, ici à la monnaie, contre le taux variable.Cela signifie, que si le taux variable baisse et passe significativement au dessous du strike, l’acheteurversera pratiquement le strike et donc le vendeur est à coup sûr gagnant. Il vend donc son titregratuitement. Au contraire, plus le taux Euribor augmente et plus le vendeur cèdera son titre cherpuisque le strike est, ici, à la monnaie.

2.11 Conclusion

Dans ce chapitre, nous nous sommes intéréssés à trois couvertures de taux : le cap, le floor et laswaption. Nous avons vu qu’il existait une relation de parité entre ces troix options. Pour que cetterelation soit toujours valable, nous devons valoriser ces options à l’aide des mêmes paramètres : ceuxcalibrés à l’aide des swaptions. En effet, en calibrant les modèles à l’aide des caps ou des floors, nousavons constaté que les paramètres trouvés ne permettaient pas de reproduire la courbe des prix deszéro-coupons, contrairement aux paramètres calibrés sur les prix des swaptions. Ce résultat étantcohérent avec le fait que les prix des swaptions de marché sont déterminés à l’aide des swaps ; cesmême swaps permettant de reconstituer la courbe des prix des obligations zéro-coupon.

Lors du calibrage sur les prix des swaptions, nous avons remarqué qu’il était difficile d’avoir unmodèle cohérent à très long terme. C’est pourquoi, le modèle validé ici n’est valable que pour desmaturités d’options inférieures à 15 ans. Pour déterminer les paramètres des modèles, nous avonsutilisés deux méthodes pour calibrer les swaptions : par la relation de parité et par la formule devalorisation.

Dans le cas du modèle de Vasicek, nous avons conclu que le calibrage par la méthode devalorisation était la plus performante et nous avons retenu les paramètres suivants :

73


k µ σ7,45 % 3,94 % 0,23 %

Table 2.24 – Paramètres retenus du modèle Vasicek

Dans le cas du modèle de Hull-White à deux facteurs, seul le modèle calibré à l’aide de la formulede parité est admissible. Toutefois, les paramètres ne reproduisent que sommairement les prix descaps et des floors. Nous avons donc conclu, qu’avec ces méthodes de calibrage, un modèle à deuxfacteurs n’est pas satisfaisant. Nous gardons donc dans la suite uniquement le modèle de Vasicekpour la valorisation de nos options. A noter qu’il existe d’autres méthodes de calibrage des optionsde taux fondées sur les volatilités implicites. Ces méthodes ne sont pas traitées dans ce mémoiremais on peut s’attendre à avoir des conclusions différentes.

Dans un second temps, nous avons étudié l’évolution des prix des options de taux en fonctionde la maturité, du strike et d’une variation du taux Euribor 6M.

74

Chapitre 3

Applications des couvertures auportefeuille étudié

Maintenant que le modèle de valorisation est calibré, nous pouvons intégrer ces couverturesà notre portefeuille. Dans un premier temps, nous allons chercher les stratégies de couverturespermettant de réduire le coût en SCR (Solvency Capital Requirement) du portefeuille étudié. Dansun second temps, nous observerons les impacts de chaque stratégie sur la valeur du portefeuille afind’identifier les stratégies susceptibles d’être ajoutées au portefeuille.

3.1 Optimisation du Solvency Capital Requirement (SCR)

3.1.1 Définition du SCR

La règlementation Solvabilité II, entrée en vigueur le 1er janvier 2016, fixe des règles pourcontrôler et maintenir la solvabilité des assurances de l’Union Européenne. L’ACPR (2016) secharge du contrôle de la bonne application et du respect de ces règles par les assurances. Cetterèglementation impose un contrôle des risques extrêmes par une exigence de niveau en fonds propresminimum. En effet, les entreprises d’assurance doivent justifier d’un montant minimal et d’unmontant requis en fonds propres appelés Minimum Capital Requirement (MCR) et Solvency CapitalRequirement (SCR).

Dans la suite, on s’intéresse au SCR. Le SCR est défini comme le montant minimum que doitposséder une assurance pour limiter sa probabilité de ruine en dessous de 0,5 % à 1 an. Il est calculéen agrégeant le Basic Solvency Capital Requirement (BSCR) avec les risques opérationnels et unajustement. Le BSCR correspond à une provision agrégeant les risques de base, c’est-à-dire :

— le risque de marché,— le risque intangible,— le risque santé,— le risque de contrepartie,

75

CHAPITRE 3. APPLICATIONS DES COUVERTURES

— le risque vie,— le risque non-vie.

Les risques de base sont ensuite décomposés en sous-risques, agrégés eux-mêmes par des matricesde corrélation propres à chaque risque. La pyramide ci-dessous résume les différents risques et sous-risques pris en compte dans le calcul du SCR :

Figure 3.1 – Pyramide descriptive du SCR

Dans ce mémoire, on ne s’intéresse qu’au risque de marché. Il est décomposé selon les risques detaux d’intérêt, action, immobilier, de crédit, de change et de concentration. Ici, nous nous concen-trons exclusivement sur le risque de taux d’intérêt ; seul module du SCR impacté par l’introductionde couvertures de taux dans le portefeuille.

Le risque de taux d’intérêt vise à quantifier le besoin en capital nécessaire pour faire face àl’impact d’une évolution de la structure de la courbe des taux (à la hausse ou à la baisse) sur lavaleur du bilan. Il correspond à l’écart maximal absolu entre la valeur du portefeuille (Net AssetValue (NAV)) actuelle et celles dans le cas d’une hausse et d’une baisse des taux :

SCRTaux = max(max(NAV0 −NAV0,Up, 0),max(NAV0 −NAV0,Down, 0))

Les courbes des taux utilisées pour le calcul des valeurs de portefeuille sont respectivement lacourbe EIOPA (2018) et les courbes EIOPA choquées selon la maturité du flux. Le tableau ci-dessous

76

présente les chocs up et down considérés selon la maturité précisés par le Règlement délégué (UE)2015/35 de la comission du 10 octobre 2014 (2014) :

Echéance Choc up Choc down1 an 70 % 75 %2 ans 70 % 65 %3 ans 64 % 56 %4 ans 59 % 50 %5 ans 55 % 46 %6 ans 52 % 42 %7 ans 49 % 39 %8 ans 47 % 36 %9 ans 44 % 33 %10 ans 42 % 31 %11 ans 39 % 30 %12 ans 37 % 29 %13 ans 35 % 28 %14 ans 34 % 28 %15 ans 33 % 27 %16 ans 31 % 28 %17 ans 30 % 28 %18 ans 29 % 28 %19 ans 27 % 29 %20 ans 26 % 29 %90 ans 20 % 20 %

Table 3.1 – Valeurs des chocs up et down sur la courbe des taux sans risques

En interpolant les chocs précédents, on peut reconstituer l’intégralité des courbes choquées :

Figure 3.2 – Courbe de l’EIOPA et courbes de l’EIOPA choquées

De plus, la règlementation actuelle ne prend pas en compte les taux à la baisse puisqu’un tauxnégatif est considéré comme nul dans le calcul du SCR Taux d’intérêt. Le calcul actuel minimisedonc la valeur du SCR taux d’intérêt down.

77


A noter que ces valeurs de chocs vont être révisées par la règlementation Solvabilité II. HADJADJ-GOMES (2018), responsable adjointe de la Recherche chez CPR Asset Management, explique cetterévision en précisant que les chocs actuels ne sont pas adaptés à la situation actuelle de taux bas. Elleprésente alors le graphique suivant illustrant les courbes de l’EIOPA (2018), de l’EIOPA choquée àla hausse et à la baisse et les propositions de changement.

La révision ne sera pas effective avant 2020 mais l’impact de ce changement de méthodologieétant très significatif, l’EIOPA propose une implémentation graduelle sur 3 ans, par interpolationlinéaire entre le choc à la baisse actuel et le choc à la baisse cible.

3.1.2 Calcul du SCR taux du portefeuille

Dans cette partie, on souhaite calculer le SCR taux du portefeuille étudié sans couverture. Lavaleur du portefeuille correspond à l’actualisation des flux nets (différence entre les flux de l’actif etceux du passif) par les différentes courbes (EIOPA et EIOPA choqueés). On trouve les valeurs duportefeuille suivantes :

Initiale Choquée Down Choquée UpValeur de l’actif 33 568 029 34 121 314 31 576 719Valeur du passif -23 279 378 -23 848 666 -21 377 950

Valeur du portefeuille 10 288 651 10 272 647 10 198 770

Table 3.2 – Valeurs règlementaires du portefeuille

On déduit alors la valeur du SCR taux égale à :

SCRtaux = max(max(NAV0 −NAV0,Up, 0),max(NAV0 −NAV0,Down, 0))

= max(89 882 ; 16 004)

= 89 882

On remarque que le SCR taux down est plus petit que le SCR taux up. Ce résultat est cohérentet s’explique par le fait que la courbe des taux choquée à la baisse est égale à 0 pour tous les tauxà court terme (car taux négatifs). La règlementation favorise donc la courbe des taux choquée à lahausse ; point en adéquation avec l’étude de ce mémoire.

Maintenant que l’on a calculé le SCR taux pour le portefeuille sans couverture, on s’intéresseaux couvertures de taux permettant de réduire ce capital requis.

3.1.3 Optimisation du SCR

Dans cette partie, on souhaite déterminer les caps et les swaptions permettant de réduire le SCRtaux d’intérêt tout en ayant un prix d’achat raisonnable. A noter que l’on n’étudie pas les swaps detaux puisque l’on ne souhaite pas exposer le portefeuille à un risque de baisse des taux.

78

Elligibilité des options de taux utilisées

Dans un premier temps, nous devons vérifier que nos options de taux sont bien elligibles selonla règlementation Solvabilité II pour l’atténuation du risque de taux.

La règlementation Solvabilité II définit, dans son Règlement délégué (UE) 2015/35 de la comis-sion du 10 octobre 2014 (2014) au chapitre V, section 10, articles 209 à 212, les critères qu’un contratou qu’un instrument financier doit posséder pour être pris en compte dans le calcul du capital desolvabilité requis. Dans notre cas, seuls les articles 209.1, 209.2, 210 et 212 nous intéressent. Onrappele ces articles à l’annexe E.

Après étude des articles et des options par des commissaires aux comptes, il a été jugé que lesproduits de couverture proposés sont bien alignés avec les instruments à couvrir. Nos stratégies decouvertures de taux, à savoir les caps, les floors et les swaptions sont donc bien des instrumentsfinanciers s’inscrivant dans le cadre décrit aux articles 209 et 210. Toutefois, il est nécessaire que cesoptions soient de maturités supérieures à 1 an. On peut considérer ces couvertures dans le calculdu capital de solvabilité requis.

Recherche de stratégies de couvertures intéréssantes

Maintenant que l’on peut intégrer les options de taux étudiées dans le calcul du SCR taux, onsouhaite déterminer les stratégies permettant de réduire le SCR taux de x %. Pour ce faire, on cherchele triplet de paramètres (Strike, Maturité, Nominal) permettant d’aboutir à un SCR diminué dex %. Le nominal est exprimé en pourcentage de la valeur de marché totale des obligations présentesdans le portefeuille. On borne les paramètres de la manière suivante :

-1,25 % ≤ Strike ≤ 1,00 %1 an ≤ Maturité ≤ 10 ans0 % ≤ Nominal ≤ 100 %

A noter que, dans le cas des swaptions, l’encadrement de la maturité précédente correspond àla maturité du swap exercé (ou non) à l’échéance de la swaption. La maturité de la swaption estquant à elle égale à 1 an. On rappelle que l’on note « 1/x ans » une swaption d’expiration 1 an etdont le swap sous-jacent, s’il est exercé, est de maturité x ans.

Pour valoriser les options dans le calcul du SCR taux, on utilise les taux EONIA à 1 an nonchoqué et choqués et les paramètres calibrés à l’aide des swaptions (tableaux 2.24 sous le modèlede Vasicek). On cherche alors à approcher la réduction du SCR taux à +/-5 e et dont le prix dela stratégie ne dépasse pas le gain en SCR réalisé. On utilise alors la fonction optimx sous et onréalise n sélections parallèles de telle sorte que l’on trouve 50 options différentes vérifiant le problèmeprécédent. Dans la suite, nous allons illustrer ce qui précède pour des réductions de 10 % et de 50 %du SCR taux.

79


— Stratégies diminuant de 10 % le SCR taux d’intérêt

Dans le cas d’une diminution de 10 % du SCR taux d’intérêt, soit une diminution de 8 988,20 e,parmi les stratégies sélectionnées on dénombre les suivantes. A noter que les prix sont exprimés enpourcentage du gain en SCR réalisé.

Option Strike Maturité Nominal Prix 1 Prix de marché1

Caps

0,85 % 1 an 19,88 % 0,39 % 0,39 %0,65 % 1 an 13,27 % 0,50 % 0,40 %0,47 % 1 an 9,72 % 0,64 % 0,46 %0,77 % 2 ans 5,40 % 4,06 % 3,25 %

Option Strike Maturité Nominal Prix 2 Prix de marché1

Caps

0,30 % 2 ans 3,11 % 5,61 % 5,59 %1,00 % 3 ans 3,92 % 14,49 % 15,49 %0,71 % 3 ans 2,83 % 16,33 % 16,87 %0,81 % 4 ans 2,15 % 34,33 % 36,43 %1,00 % 5 ans 1,92 % 56,90 % 58,73 %1,00 % 6 ans 1,54 % 85,63 % 87,74 %

Swaptions

0,75 % 1/2 ans 5,77 % 3,67 % 3,46 %0,96 % 1/3 ans 7,40 % 7,68 % 8,01 %0,12 % 1/2 ans 1,75 % 10,08 % 9,98 %1,00 % 1/4 ans 4,11 % 9,68 % 10,69 %1,00 % 1/6 ans 1,42 % 14,02 % 15,10 %-0,28 % 1/2 ans 1,50 % 36,12 % 35,41 %0,63 % 1/3 ans 30,86 % 93,79 % 94,22 %0,60 % 1/9 ans 0,85 % 96,99 % 99,31 %-1,25 % 1/2 ans 1,07 % 99,53 % 99,75 %0,50 % 1/3 ans 21,11 % 99,80 % 99,87 %

Table 3.3 – Options diminuant de 10% le SCR taux

Les stratégies sélectionnées sont principalement à court et moyen termes. De plus, les prix desoptions calculés par le modèle choisi précédement reproduisent bien ceux de marché. D’un point devu règlementaire, c’est-à-dire dont l’objectif est de diminuer le SCR Taux de 10 %, les meilleuresstratégies sont les moins chères ; à savoir, le cap coûtant 0,39% du gain en SCR, soit 35,05 e et laswaption coûtant 3,67 % du gain en SCR, soit 329,87 e. On s’intéresse alors aux distributions desstrikes et du coût de chaque option :

2. Prix exprimés en pourcentage du gain en SCR réalisé.

80

Figure 3.3 – Répartitions des strikes et des coûts des stratégies diminuant de 10 % le SCR taux

On constate que les stratégies, que ce soit les caps (histogrammes rouges) ou les swaptions(histogrammes oranges), ont des strikes essentiellement positifs et hors de la monnaie. Concernantla répartition des prix, on observe que les caps coûtent essentiellement moins de 20 % du gain enSCR. La majorité des swaptions, quant à elles, coûtent moins de 20 % ou plus de 80 % du gain enSCR réalisé.

— Stratégies diminuant de 50 % le SCR taux d’intérêt

Pour une diminution de 50 % du SCR, soit une diminution de 44 941 e, on dénombre parmi lesstratégies sélectionnées les suivantes. A noter que les prix sont exprimés en pourcentage du gain enSCR réalisé.

Options Strike Maturité Nominal Prix 1 Prix de marché1

Caps

0,21 % 1 an 34,33 % 0,93 % 0,60 %1,00 % 2 ans 37,62 % 3,57 % 2,47 %-0,25 % 1 an 23,55 % 5,61 % 4,37 %0,18 % 2 ans 13,96 % 6,18 % 5,33 %0,04 % 2 ans 12,60 % 8,32 % 7,24 %0,90 % 3 ans 17,38 % 12,08 % 12,51 %-0,42 % 1 an 21,77 % 21,66 % 20,93 %-0,32 % 2 ans 10,35 % 22,55 % 21,45 %1,00 % 4 ans 12,92 % 33,46 % 34,93 %-0,15 % 3 ans 7,41 % 39,17 % 39,46 %

Swaptions

0,63 % 1/2 ans 19,70 % 4,01 % 3,47 %0,31 % 1/2 ans 11,09 % 6,68 % 6,07 %0,86 % 1/4 ans 11,69 % 9,11 % 9,31 %0,90 % 1/5 ans 8,17 % 11,88 % 12,99 %0,41 % 1/2 ans 38,30 % 14,74 % 14,46 %0,84 % 1/6 ans 4,88 % 16,76 % 16,83 %0,82 % 1/4 ans 30,77 % 27,21 % 27,73 %

81


Options Strike Maturité Nominal Prix 1 Prix de marché1

0,32 % 1/3 ans 19,58 % 33,05 % 34,53 %0,53 % 1/9 ans 2,28 % 60,53 % 61,15 %-0,20 % 1/8 ans 1,74 % 96,15 % 99,71 %

Table 3.4 – Options diminuant de 50% le SCR taux

Les prix des options calculés par le modèle choisi précédement reproduisent bien ceux de marché.De plus, l’objectif, ici, étant de diminuer le SCR Taux de 50 %, les meilleures stratégies sont lesmoins chères, c’est-à-dire, le cap coûtant 0,93% du gain en SCR, soit 417,95 e et la swaptioncoûtant 4,01 %, soit 1 802,13 e. On s’intéresse alors aux distributions des strikes et du coût dechaque option :

Figure 3.4 – Répartitions des strikes et des coûts des stratégies diminuant de 50 % le SCR taux

On constate que les stratégies, que ce soit les caps (histogrammes rouges) ou les swaptions(histogrammes oranges), ont des strikes essentiellement positifs et hors de la monnaie ou dans lamonnaie. Concernant la répartition des prix, on observe que les caps coûtent essentiellement moinsde 40 % du gain en SCR alors que la majorité des swaptions coûtent moins de 20 % ou plus de 80 %du gain en SCR réalisé.

3.2 Projection du portefeuille sans couverture

Dans cette partie, on définit les principes et simplifications faites pour la projection du porte-feuille. Le but étant seulement d’étudier les effets des options de taux sur la valeur du portefeuille,on utilise sciemment un processus très simple pour projeter le portefeuille.

« Projeter le portefeuille » signifie projeter la courbe des taux zéro-coupon permettant d’actua-liser les flux de passif et les obligations. D’après le graphique 1.5, à chaque projection, on simule 50

1. Prix exprimés en pourcentage du gain en SCR réalisé.

82

000 fois la courbe des taux zéro-coupon et on étudie le comportement de la valeur du portefeuilleen moyenne. La projection est réalisée sur un pas mensuel.

On considère qu’une obligation arrivée à échéance n’est pas réinvestie. Elle est stockée sousla forme de liquidité à la banque sans rendement. Nous mettons de côté le cas où la valeur duportefeuille est négative. Le flux de passif annuel est mensualisé. Lorsque les flux de passif arriventà échéance, ils sont soustrait de la poche de liquidité. Le graphique suivant résume les étapes réaliséeschaque mois lors de la projection :

Figure 3.5 – Résumé des étapes de projection

Le but est d’observer le comportement du portefeuille, sans option, jusqu’à une maturité de 10ans. Le graphique ci-dessous représente la moyenne, le quantile à 0,5 % et celui à 99,5 % de la valeurdu portefeuille projeté.

83


Figure 3.6 – Evolution moyenne du portefeuille projeté sur 10 ans

On observe que la valeur du portefeuille augmente pendant les 5 premières années puis diminue.Cela s’explique à l’aide de l’échéancier de flux (figure 1.3) qui montre des flux d’actif très élevéspendant 5 ans puis des flux de passifs plus importants que ceux de l’actif. D’où l’augmentation puisla diminution de la valeur du portefeuille. On peut observer ce résultat en s’intéressant à la valeurdu portefeuille sans la poche de liquidité :

Figure 3.7 – Evolution moyenne du portefeuille (sans les liquidités) projeté sur 10 ans

On observe alors que la valeur de l’actif et du passif est tendantiellement décroissante au coursdu temps. Plus particulièrement, la poche sans liquidité décroît rapidement les 5 premières annéespuis reste assez stable pendant 3 ans avant d’augmenter légèrement jusqu’à 10 ans. Ces tendancesse retouvent de manière symétrique dans l’évolution des liquidités placées en banque :

Figure 3.8 – Evolution des liquidités sur 10 ans

En effet, on remarque que la liquidité augmente rapidement jusqu’à 5 ans puis stagne jusqu’à8 ans et demi avant de diminuer. Ces tendances s’expliquent facilement à l’aide de l’échéancier de

84

flux (figure 1.3) : on voit que la majorité des obligations sont de maturités inférieures à 5 ans. Dèsqu’une obligation arrive à échéance, sa valeur est placée dans la poche de liquidité et sortie de lapoche obligataire. Elle vient donc augmenter la liquidité. De plus, on voit sur l’échéancier que lesflux des obligations sont bien supérieurs à ceux du passif. Ainsi, la liquidité générée par la sortie desobligations est supérieure au coût des engagements à payer. La poche de liquidité est donc toujourspositive. Au bout de 8 ans et demi et jusque 10 ans, aucune obligation n’arrive à échéance. Lescoupons des obligations ne compensant pas les flux de passif mensuel, la liquidité diminue.

De plus, si on croise les trois graphiques, on observe que jusqu’à une maturité de 4 ans, la liquiditépermet de compenser largement la décroissance des flux obligataires et de passif. En effet, la valeurmoyenne du portefeuille augmente. Ensuite, la valeur diminue ce qui implique que la liquidité n’estplus assez importante pour compenser les flux des obligations et du passif. On déduit donc qu’aubout de 10 ans, une hausse des taux a eu un effet très négatif sur le portefeuille actuel ; à savoir,dans les pires scénarios, une diminution de 5,57 % de la valeur du portefeuille.

Pour la suite, on note le rendement moyen, le quantile à 99,5 % du rendement et la volatilité dela valeur du portefeuille projeté à 1 an et à 5 ans :

Horizon de projection Rendement moyen Q99,5% du rendement Volatilité1 an 2,14 % -0,73 % 1,14 %5 ans 0,01 % -2,60 % 1,04 %

Table 3.5 – Quantiles à 99,5 % et moyenne du rendement et volatilité du portefeuille sans option

3.3 Intégration de cap dans le portefeuille étudié

Maintenant que l’on a étudié l’évolution du portefeuille sans option de taux et constaté quela valeur du portefeuille sans la liquidité diminue au cours du temps, on s’intéresse à l’impact del’ajout d’un cap dans le portefeuille. Ensuite, nous nous focaliserons sur les caps, diminuant le SCRtaux, sélectionnés précédemment. Le but sera de les classer selon une mesure de rendement et deuxmesures de risque pour déterminer les plus intéressantes.

3.3.1 Etude générale de l’intégration d’un cap dans le portefeuille

Dans cette sous partie, on s’intéresse à l’impact d’un cap sur le portefeuille étudié. Pour observerces effets, on choisit de prendre à titre d’exemple un cap dont les composantes amplifient les effets etaboutissent inévitablement à un titre trop onéreux pour être intégré réellement dans le portefeuille.Ses caractéristiques sont les suivantes :

— Maturité : 5 ans.— Nominal : 100 % de la valeur de marché des obligations.— Strike : à la monnaie.

En intégrant ce cap dans le portefeuille étudié, on constate l’évolution de la valeur du portefeuillesuivante :

85


Figure 3.9 – Evolution du portefeuille avec l’intégration du cap étudié

Les courbes rouges (resp. bleues) correspondent à l’évolution du portefeuille avec le cap (resp.sans le cap). On observe qu’au bout de 10 ans, la valeur du portefeuille est plus élevée avec le capque sans. Le quantile à 99,5 % avec cap est même au dessus du quantile à 0,5 % du portefeuille sanscap. Ici, il faut bien prendre en considération l’effet du modèle utilisé qui induit principalement descourbes des taux à la hausse.

De plus, à court terme, on voit que, dans les pires scénarios, la valeur du portefeuille estnettement inférieure à celle sans cap. En fonction du scénario, la valeur du portefeuille après 1an, peut diminuer de 4 % comme augmenter de 42 %. Il y a donc une grande volatilité avec l’ajoutd’un cap dans le portefeuille. Cela s’explique par le coût élevé du cap. En effet, dans les cas d’unebaisse des taux, le cap n’est jamais exercé et le prix payé n’est jamais remboursé par les coupons.Au contraire, dans le cas d’une hausse des taux, le cap est exercé et permet d’augmenter la valeurdu portefeuille.

Pour observer ce phénomène, on regarde l’évolution du portefeuille sans la poche de liquidité :

Figure 3.10 – Evolution du portefeuille sans la liquidité avec l’intégration du cap

On observe que la poche obligataire est plus importante avec l’ajout du cap. Ce résultat estévident puisque la valeur du cap est positive. En rajoutant le prix à la valeur de la poche obligataireon augmente donc forcément sa valeur. Il est alors normal qu’au bout de 5 ans (maturité du cap),la poche obligataire du portefeuille avec un cap soit égale à celle sans le cap.

86

C’est la poche de liquidité qui montre le mieux l’effet du cap :

Figure 3.11 – Evolution de la liquidité sur 10 ans avec l’intégration d’un cap à 5 ans

On observe qu’en ajoutant le cap, la poche de liquidité est d’abord inférieure à celle sans cap.Cela traduit bien le coût d’achat du cap. Ensuite, les deux courbes sont croissantes avec une penteplus élevée dans le cas du cap. Cela signifie qu’en moyenne on a exercé le cap et qu’il nous a versédes coupons ; supérieurs à la simple compensation du prix d’achat du cap. D’ailleurs, on voit qu’àmaturité du cap, la poche de liquidité du portefeuille est supérieure à celle sans le cap. Au bout de5 ans, les deux courbes sont parallèles puisque le cap est arrivé à maturité et donc, ne produit plusde coupon supplémentaire. Les flux sont donc les mêmes que le portefeuille sans option.

3.3.2 Etude des caps réduisant le SCR taux d’intérêt

Maintenant que l’on a constaté les effets positifs d’un cap sur le portefeuille étudié, on s’intéresseaux caps permettant de diminuer de 10 % et de 50 % le SCR taux d’intérêt.

Pour ce faire, on projette le portefeuille avec chacune de ces couvertures à 1 an et à 5 ans surun pas mensuel. Ayant 50 000 valeurs du portefeuille en t = 1 pour chaque couverture, on calculela moyenne et le quantile à 99,5 % du rendement et la volatilité de chacune des séries. Pour chaquestratégie, on a donc une mesure de rendement et deux mesures de risque (quantile à 99,5 % etvolatilité). On trace alors les nuages de points rendement/risque en numerotant nos stratégies selonle classement réalisé à la partie 3.1.3.

— Caps diminuant de 10 % le SCR taux d’intérêt

87


Figure 3.12 – Graphique rendement/risque des caps réduisant de 10 % le SCR taux

Les points noirs correspondent aux mesures rendement/risque du portefeuille sans couverture.Les meilleures stratégies sont donc celles qui minimisent la volatilité et maximisent le rendementmoyen et son quantile à 99,5 %. Cela revient à considérer les stratégies dans les rectangles en hautà gauche (pour le graphique du haut) et en haut à droite (pour le graphique du bas) délimités parles points noirs.

Après 1 an, la majorité des stratégies sont meilleures que la situation sans option. Les capsaugmentent le rendement moyen entre +0,11 % et +0,23 % au bout d’une année par rapport à lasituation sans option. De plus, on observe que les caps sélectionnés sont peu volatiles (de 0,98 % à1,16 %) et permettent un gain de rendement au quantile à 99,5 % entre +0,19 % et +0,27 % en uneannée. Les stratégies maximisant le rendement moyen sont la 13, la 33 et la 19. Celles maximisantle quantile à 99,5 % du rendement sont les stratégies 18, 22 et 33 et celles minimisant la volatilitésont les 18, 33 et 37.

Pour observer davantage les différences en terme de rendement/risque entre les caps, on trace lemême graphique que précédemment mais après une projection du portefeuille à 5 ans.

88

Figure 3.13 – Graphique rendement/risque des caps réduisant de 10 % le SCR taux projetés sur5 ans

Après 5 ans, toutes les stratégies augmentent encore le rendement moyen du portefeuille. Tou-tefois, il ne reste plus qu’une bonne moitié des stratégies qui minimisent les risques. On constated’ailleurs que les meilleures stratégies sous 1 an ne le sont plus après 5 ans. Parmi les meilleures,on cite les stratégies 8, 19 et 25 qui permettent d’améliorer le rendement et de réduire les risques.Leurs composantes sont les suivantes :

N◦ Strike Maturité Nominal Coût 1 Rdt moyen Q99,5 % Volatilité8 0,95 % 1 an 25,09 % 0,41 % +0,26 % +0,22 % -0,02 %19 0,71 % 3 ans 2,83 % 16,87 % +0,22 % +0,18 % -0,03 %25 0,81 % 4 ans 2,17 % 36,43 % +0,20 % +0,31 % -0,03 %

Table 3.6 – Meilleurs caps à 5 ans réduisant de 10 % le SCR taux

On exprime les rendements et la volatilité en écart par rapport à ceux du portefeuille sans option.Les prix sont ceux de marché. On constate que les stratégies ont la même volatilité. En fonction desobjectifs voulus, le choix de la meilleure stratégie différera. Toutefois, si l’on combine les objectifséconomiques avec l’objectif règlementaire, la meilleure stratégie ici est la moins chère, c’est-à-direla stratégie 8.

1. Les coûts sont exprimés en pourcentage du gain en SCR.

89


— Caps diminuant de 50 % le SCR taux d’intérêt

Figure 3.14 – Graphique rendement/risque des caps réduisant de 50 % le SCR taux

Là encore, les caps permettent d’augmenter le rendement moyen du portefeuille et la majoritéd’entre eux permettent de réduire les risques du portefeuille. Les stratégies maximisant le rendementmoyen sont la 2, la 16 et la 17. Celles maximisant le quantile à 99,5 % du rendement sont les stratégies16, 2 et 30 et celles minimisant la volatilité sont les 38, 30 et 16.

Pour observer davantage les différences en terme de rendement/risque entre les caps, on trace lemême graphique que précédemment mais après une projection du portefeuille de 5 ans.

90

Figure 3.15 – Graphique rendement/risque des caps réduisant de 50 % le SCR taux projetés sur5 ans

Après 5 ans, on constate que seules deux stratégies les 37 et 43 diminuent la volatilité duportefeuille. Or, ces deux stratégies coûtent respectivement 57,55 % du gain en SCR, soit 25865,47 eet 65,32 % soit 29 114,67 e. Ces prix étant trop élevés, on conclut que pour réduire leSCR taux de 50 %, il est nécessaire d’augmenter la volatilité du portefeuille. De plus, on observeque l’ensemble des stratégies permettent d’augmenter la valeur du quantile à 99,5 %. Parmi lesmeilleures, on cite les stratégies 2, 13 et 23 qui permettent d’améliorer le rendement et de limiterles risques. Leurs composantes sont les suivantes :

N◦ Strike Maturité Nominal Coût 1 Rdt moyen Q99,5 % Volatilité2 1,00 % 2 ans 37,62 % 2,47 % +1,11 % +0,68 % +0,13 %13 0,01 % 2 ans 12,34 % 7,77 % +0,80 % +0,74 % +0,00 %23 0,73 % 3 ans 14,54 % 16,66 % +0,94 % +0,88 % +0,02 %

Table 3.7 – Meilleurs caps à 5 ans d’un point de vu rendement/risque

La stratégie 2 est celle qui maximise le rendement moyen. On constate qu’elle est égalementcelle qui augmente le plus la volatilité. En fonction des objectifs voulus, la meilleure stratégie nesera pas la même. En assemblant les objectifs règlementaire et économique, la meilleure stratégieest la stratégie 13 coûtant 7,77 % du gain en SCR soit 3 493,49 e.

1. Le coût est exprimé en pourcentage du gain en SCR.

91


3.4 Intégration de swaption dans le portefeuille étudié

De la même manière que l’étude précédente, on s’intéresse à l’impact de l’ajout d’une swaptiondans le portefeuille ; d’abord d’une swaption de caractéristiques remarquables puis des stratégiessélectionnées précédemment et faisant diminuer le SCR taux.

3.4.1 Etude générale de l’intégration d’une swaption dans le portefeuille

Dans cette sous partie, on s’intéresse à l’impact de l’ajout d’une swaption sur le portefeuilleétudié. Pour observer ses effets, on choisit, comme précédemment, les composantes de la swaptionsuivantes :

— Expiration de la swaption : 1 an.— Maturité du swap : 5 ans.— Nominal : 100 % de la valeur de marché des obligations.— Strike : à la monnaie.

En intégrant cette swaption dans le portefeuille étudié, on constate l’évolution de la valeur duportefeuille suivante :

Figure 3.16 – Evolution du portefeuille sur 10 ans avec et sans l’intégration de la swaption étudiée

Les courbes rouges (resp. bleues) correspondent à l’évolution du portefeuille avec la swaption(resp. sans la swaption). On observe qu’au bout de 10 ans, la valeur du portefeuille est en moyenneplus élevée avec la swaption que sans. Néanmoins, le quantile à 99,5 % du portefeuille avec laswaption est en dessous du quantile à 99,5 % de celui sans option. Cela signifie, que dans le casd’une baisse des taux, cette swaption diminue la valeur du portefeuille en dessous des pires scénariosde hausse des taux du portefeuille sans option. La swaption rend donc le portefeuille très volatiled’un scénario à l’autre de la courbe des taux.

De plus, on observe que la valeur du portefeuille augmente rapidement la première année. Cettetendance est due à la valeur de la swaption, présente dans le portefeuille, qui donne lieu à lasouscription (ou non) d’un swap au bout de 1 an. En effet, la première année, la valeur de laswaption est évaluée à l’aide des valeurs des scénarios de la courbe des taux à 6 mois ; ces valeursétant assimilées à la valeur du taux Euribor 6M. Etudions les valeurs du taux au bout d’un mois :

92

Mininimum 1er Quantile Médiane Moyenne 3e Quantile Maximum1,95 % -0,21 % 0,18 % 0,19 % 0,61 % 2,40 %

Table 3.8 – Statistiques des valeurs à 1 mois du taux Euribor 6M

On constate que la majorité des valeurs du taux Euribor 6M, au bout d’un mois, sont au dessusdu taux actuel. Le taux variable étant plus élevé, s’il dépasse le strike, il sera alors intéressantd’exercer le droit d’entrer dans un swap payeur. Il est donc logique que le prix de la swaptionaugmente dans ce cas. De plus, le prix de la swaption est proportionnel au nominal. Le nominalétant très élevé dans cet exemple, il implique une forte augmentation de la valeur de la swaptiondans les meilleurs cas.

Pour observer les effets du swap (dans le cas où il est exercé), on s’intéresse à la valeur de lapoche de liquidité :

Figure 3.17 – Evolution de la liquidité sur 10 ans avec l’intégration d’une swaption à 5 ans

On observe qu’en ajoutant la swaption, la poche de liquidité est d’abord inférieure à celle sansoption. Cela traduit bien le coût d’achat de la swaption. Après un an, on commence à voir lesdifférences de valeurs de la liquidité en fonction de l’exercice du swap. Dans le cas où le swap n’estpas exercé, la valeur de la liquidité évolue parallèlement et en dessous de la valeur de la liquiditésans option. Dans le cas où le swap est exercé, on observe que dans les meilleurs scénarios (quantileà 0,5 %) et même en moyenne, le swap génère suffisamment de coupons pour dépasser la valeurmoyenne de la liquidité sans option. Au bout de 5 ans, les courbes sont parallèles puisque le swapest arrivé à maturité et donc, ne produit plus de coupon supplémentaire. Les flux sont donc lesmêmes que le portefeuille sans option.

Ainsi, on constate qu’ajouter une swaption dans le portefeuille augmente significativement lesrisques en comparaison à l’ajout d’un cap. Toutefois, à caractéristiques égales, c’est la swaption quipourra offrir le meilleur rendement. Ces résultats étant à relativiser au vu du modèle utilisé. Eneffet, les projections réalisées sont fondées sur des courbes des taux à la hausse par rapport à cellede marché.

3.4.2 Etude des swaptions réduisant le SCR taux d’intérêt

Maintenant que l’on a constaté les effets positifs et négatifs d’une swaption sur le portefeuilleétudié, on s’intéresse aux swaptions permettant de diminuer de 10 % et de 50 % le SCR taux

93


d’intérêt. Les swaptions sélectionnées étant d’expiration égale à 1 an, on projette directement leportefeuille à 5 ans.

— Swaptions diminuant de 10 % le SCR taux d’intérêt

Figure 3.18 – Graphiques rendement/risque des swaptions réduisant de 10 % le SCR taux projetéessur 5 ans

Globalement, on observe que l’intégralité des swaptions augmentent le rendement moyen duportefeuille au bout de 5 ans. La moitié d’entre elles permettent d’augmenter son quantile à 99,5 %et seulement 6 stratégies diminuent sa volatilité.

La stratégie maximisant le rendement moyen et le quantile à 99,5 % est la 21 et celle quiminimise la volatilité est la 29. Seules 3 stratégies permettent d’augmenter le rendement et deréduire les risques ; les stratégies 2, 17 et 29 :

N◦ Strike Maturités Nominal Coût 1 Rdt moyen Q99,5 % Volatilité2 0,80 % 1/2 ans 6,82 % 3,50 % +0,16 % +0,14 % -0,01 %17 -0,28 % 1/2 ans 1,50 % 35,41 % +0,16 % +0,01 % -0,01 %29 -1,25 % 1/2 ans 1,07 % 99,75 % +0,18 % +0,14 % -0,03 %21 0,39 % 1/2 ans 47,36 % 96,19 % +2,28 % +0,63 % +0,87 %

Table 3.9 – Meilleures swaptions diminuant le SCR de 10 %

94

On constate que ces stratégies ont des caractérisques différentes bien qu’elles admettent unematurité égale à 2 ans. On remarque qu’augmenter significativement le rendement moyen signifieaugmenter la volatilité (stratégie 21). En fonction des objectifs voulus, la meilleure stratégie ne serapas la même. Toutefois, les prix des stratégies 21 et 29 sont trop élevés pour envisager d’acquérirune de ces deux swaptions. En combinant les objectifs règlementaire et économique, la meilleurestratégie est la stratégie 2 coûtant 3,50 % du gain en SCR soit 314,74 e.

— Swaptions diminuant de 50 % le SCR taux d’intérêt

Figure 3.19 – Graphique rendement/risque des swaptions réduisant de 50 % le SCR taux projetéessur 5 ans

Globalement, au bout de 5 ans, on observe que l’ensemble des swaptions permettent un meilleurrendement moyen et la majorité augmente le quantile à 99,5 %. Seule la stratégie 25 diminue lavolatilité du portefeuille.

La stratégie maximisant le rendement moyen est la 17, celle maximisant le quantile à 99,5 %est la 22 et celle qui minimise la volatilité est la 25. C’est d’ailleurs la seule stratégie permettantd’augmenter le rendement et de réduire les risques. On peut tout de même citer les stratégies 7 et29 limitant la volatilité et augmentant le rendement. Les caractéristiques de ces swaptions sont lessuivantes ;

1. Le coût est exprimé en pourcentage du gain en SCR.

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N◦ Strike Maturités Nominal Coût Rdt moyen Q99,5 % Volatilité7 0,31 % 1/2 ans 11,09 % 6,07 % +0,64 % +0,40 % +0,02 %17 0,82 % 1/4 ans 30,77 % 27,73 % +2,63 % +0,55 % +1,11 %22 -0,55 % 1/2 ans 11,23 % 95,35 % +1,36 % +1,30 % +0,06 %25 -1,25 % 1/4 ans 2,16 % 98,33 % +0,87 % +0,43 % -0,01 %29 -0,58 % 1/4 ans 3,79 % 99,32 % +1,08 % +0,95 % +0,02 %

Table 3.10 – Meilleures swaptions diminuant le SCR de 50 %

On constate que ces stratégies ont des caractérisques différentes. On remarque qu’augmentersignificativement le rendement moyen signifie augmenter la volatilité. Toutefois les stratégies 22,25 et 29 ont des coûts d’achat trop élevés pour envisager de les acquérir. En fonction des objectifsvoulus, la meilleure stratégie ne sera pas la même. En combinant les objectifs règlementaire etéconomique, la meilleure stratégie est la stratégie 7 coûtant 6,07 % du gain en SCR soit 2 728,06 e.

De plus, on remarque qu’ajouter une swaption dans le portefeuille permet d’augmenter lerendement significativement contrairement à l’ajout d’un cap. Cependant, la volatilité et le coûtde ces swaptions intéressantes sont beaucoup plus élevés que ceux des caps.

3.5 Conclusion

Nous avons défini le capital de solvabilité requis par la règlementation Solvabilité II et avonsappris que les couvertures de taux étudiées dans ce mémoire pouvaient réduire le SCR taux d’intérêt.Nous avons alors extrait les stratégies, caps ou swaptions, permettant de réduire ce capital de 10 %et de 50 %. Beaucoup étant de moindre coût, nous nous sommes intéressés à leurs impacts sur leportefeuille.

Dans ce mémoire, nous avons choisi de réaliser une projection du portefeuille élémentaire pourse concentrer sur l’impact des couvertures de taux et éviter tout effet de compensation comme parexemple par la vente d’obligation. En projetant le portefeuille à 1 an et à 5 ans, nous avons constatéque beaucoup de stratégies permettaient de réduire le SCR tout en augmentant le rendement duportefeuille mais augmentait par la même occasion le risque. C’est en définissant l’appétence aurisque d’Humanis qu’il est alors possible de faire un choix.

On peut toutefois citer certaines stratégies permettant de réduire le SCR, augmenter le rende-ment et diminuer ou limiter le risque sur 5 ans :

Reduction SCR Option Strike Maturité Nominal Coût Rdt Volatilité10 % Cap 0,95 % 1 an 25,09 % 0,41 % +0,26 % -0,02 %10 % Cap 0,71 % 3 ans 2,83 % 16,87 % +0,22 % -0,03 %10 % Swaption 0,80 % 1/2 ans 6,82 % 3,50 % +0,16 % -0,01 %50 % Cap 0,01 % 2 ans 12,34 % 7,77 % +0,80 % +0,00 %50 % Cap 1,00 % 2 ans 37,62 % 2,47 % +1,11 % +0,13 %50 % Swaption 0,31 % 1/2 ans 11,09 % 6,07 % +0,64 % +0,02 %

Table 3.11 – Meilleures stratégies à 5 ans d’un point de vu rendement/risque

96

Conclusion

En conclusion, nous nous sommes intéressés dans ce mémoire à un portefeuille assurantielspécialisé en prévoyance santé. Nous avons alors constaté que le portefeuille étudié était soumisà un risque de hausse des taux.

Pour se couvrir contre une hausse des taux, il existe différentes options de taux. Ici, nous nousintéressons aux caps et aux swaptions. Pour valoriser ces options, nous avons choisi arbitrairementde comparer deux modèles l’un à un facteur et l’autre à deux : le modèle de Vasicek et le modèlede Hull-White à deux facteurs. Nous avons également choisi de calibrer ces modèles en minimisantl’écart des prix du modèle avec ceux de marché. Nous avons alors constaté que le modèle de Vasicekétait plus performant pour ce type de calibrage et qu’il était nécessaire de calibrer sur les prix desswaptions pour bien reproduire la courbe des prix des obligations zéro-coupon. Une autre manièrede calibrer aurait été de considérer les volatilités implicites des swaptions.

Ayant un modèle pour valoriser nos options, nous nous sommes intéressés à l’impact sur le capitalde solvabilité requis (SCR) d’intégrer une stratégie dans le portefeuille, et plus particulièrement, surle module taux d’intérêt. Nous avons alors sélectionné 50 caps et 50 swaptions réduisant d’abord de10 % le SCR taux d’intérêt puis de 50 %. Ces stratégies ayant des composantes bien différentes etdes prix différents, nous avons projeté notre portefeuille avec ces options pour déterminer lesquellespermettaient à la fois de réduire le risque et d’augmenter le rendement du portefeuille. Nous avonsalors conclu qu’il était plus prudent d’investir dans des caps plutôt que dans des swaptions. Toutefois,ces résultats sont à relativiser puisque le modèle utilisé génère essentiellement des courbes des tauxà la hausse par rapport à celle de marché. Ce résultat n’est donc pas forcément vrai dans le cas oùles taux descendraient significativement.

Pour aller plus loin, il est possible de considérer d’autres options de taux pour couvrir ceportefeuille telles que les caps strikeless dont leur particularité est d’avoir un strike variable.

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Table des figures

1.1 Répartition des actifs en assurance retraite et assurance vie en France . . . . . . . . 231.2 Répartition des obligations en fonction de leurs notations . . . . . . . . . . . . . . . 241.3 Echéancier des flux actif-passif du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 Convexité du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Convergence de la valeur du portefeuille en fonction du nombre de simulations . . . . 321.6 Densité simulée des valeurs du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 Scénario du quantile à 12,19 % et courbe des taux de marché . . . . . . . . . . . . . 331.8 Scénarios à +/- 1 % des quantiles à 0,5 % et 99,5 % de la valeur du portefeuille . . . 34

2.1 Schéma de FAIVRE (2002) sur le fonctionement d’un swap . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Schéma de FAIVRE (2002) sur le fonctionement d’un cap . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Exemple de payoff d’un caplet et d’un floorlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Schéma de FAIVRE (2002) sur le fonctionement d’une swaption . . . . . . . . . . . . 402.5 Courbes des taux swap au 11 juin 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Courbes des prix et des taux zéro-coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Courbes des écarts de prix des zéro-coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.8 Prix de marché des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des caps sous Vasicek . 522.10 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des caps sous HW2 . . . 542.11 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des floors sous Vasicek . 552.12 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés à partir des paramètres des floors sous HW2 562.13 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des swaptions sous Vasicek 612.14 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés à partir des paramètres des swaptions sous

HW2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.15 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés à partir des paramètres des swaptions sous

Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.16 Allures de la fonction intégrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.17 Ecarts des prix des zéro-coupons calculés par les paramètres des swaptions sous HW2 682.18 Prix choqués des caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.19 Prix choqués des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.20 Prix choqués des swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1 Pyramide descriptive du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Courbe de l’EIOPA et courbes de l’EIOPA choquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3 Répartitions des strikes et des coûts des stratégies diminuant de 10 % le SCR taux . 81

99

TABLE DES FIGURES

3.4 Répartitions des strikes et des coûts des stratégies diminuant de 50 % le SCR taux . 823.5 Résumé des étapes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.6 Evolution moyenne du portefeuille projeté sur 10 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.7 Evolution moyenne du portefeuille (sans les liquidités) projeté sur 10 ans . . . . . . . 843.8 Evolution des liquidités sur 10 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.9 Evolution du portefeuille avec l’intégration du cap étudié . . . . . . . . . . . . . . . . 863.10 Evolution du portefeuille sans la liquidité avec l’intégration du cap . . . . . . . . . . 863.11 Evolution de la liquidité sur 10 ans avec l’intégration d’un cap à 5 ans . . . . . . . . 873.12 Graphique rendement/risque des caps réduisant de 10 % le SCR taux . . . . . . . . . 883.13 Graphique rendement/risque des caps réduisant de 10 % le SCR taux projetés sur 5

ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.14 Graphique rendement/risque des caps réduisant de 50 % le SCR taux . . . . . . . . . 903.15 Graphique rendement/risque des caps réduisant de 50 % le SCR taux projetés sur 5

ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.16 Evolution du portefeuille sur 10 ans avec et sans l’intégration de la swaption étudiée 923.17 Evolution de la liquidité sur 10 ans avec l’intégration d’une swaption à 5 ans . . . . . 933.18 Graphiques rendement/risque des swaptions réduisant de 10 % le SCR taux projetées

sur 5 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.19 Graphique rendement/risque des swaptions réduisant de 50 % le SCR taux projetées

sur 5 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

100

Liste des tableaux

1.1 Contrats présents au passif du portefeuille étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2 Valeurs actuelles nettes du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Valeurs des durations du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Valeurs des convexités du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Paramètres des modèles utilisés dans le GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6 Etude de l’évolution des taux nominaux en t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7 Valeurs du portefeuille réelle et du scénario médian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1 Erreurs moyennes par option jusqu’à une maturité de 10 ans . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Paramètres initiaux du modèle de Vasicek pour la valorisation des caps . . . . . . . . 502.3 Comparaison des prix de marché des caps avec ceux du modèle de Vasicek . . . . . . 512.4 Paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des caps . 522.5 Comparaison des prix de marché des caps avec ceux du modèle de Hull-White à deux

facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Paramètres initiaux du modèle de Vasicek pour la valorisation des floors . . . . . . . 552.7 Paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des floors . 562.8 Ecarts du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des floors . . . 562.9 Paramètres initiaux du modèle de Vasicek pour la valorisation des swaptions . . . . . 602.10 Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Vasicek . . . 612.11 Ecarts moyens des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12 Paramètres initiaux du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation

des swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.13 Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Hull-White

à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.14 Ecarts moyens des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.15 Paramètres du modèle Vasicek pour la valorisation des swaptions . . . . . . . . . . . 642.16 Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Vasicek . . . 652.17 Ecarts moyens des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.18 Paramètres du modèle de Hull-White à deux facteurs pour la valorisation des swaptions 672.19 Comparaison des prix de marché des swaptions avec ceux du modèle de Hull-White

à deux facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.20 Ecarts moyens des caps et des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.21 Prix des caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.22 Prix des floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.23 Prix des swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

101

LISTE DES TABLEAUX

2.24 Paramètres retenus du modèle Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1 Valeurs des chocs up et down sur la courbe des taux sans risques . . . . . . . . . . . 773.2 Valeurs règlementaires du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3 Options diminuant de 10% le SCR taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4 Options diminuant de 50% le SCR taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Quantiles à 99,5 % et moyenne du rendement et volatilité du portefeuille sans option 853.6 Meilleurs caps à 5 ans réduisant de 10 % le SCR taux . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7 Meilleurs caps à 5 ans d’un point de vu rendement/risque . . . . . . . . . . . . . . . 913.8 Statistiques des valeurs à 1 mois du taux Euribor 6M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.9 Meilleures swaptions diminuant le SCR de 10 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.10 Meilleures swaptions diminuant le SCR de 50 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.11 Meilleures stratégies à 5 ans d’un point de vu rendement/risque . . . . . . . . . . . . 96

102

Annexe A

Modèle de Black Scholes

Cette annexe a pour but de rappeler les hypothèses du modèle de Black Scholes et quelquespropriétés du modèle utilisées dans ce mémoire.

Hypothèses du modèle

Le modèle de Black Scholes est le premier modèle permettant de palier les problèmes denégativité des taux. En effet, le modèle rend les actifs risqués log-normaux. En plus de cettehypothèse essentielle de lognormalité des rendements, on se place dans un marché vérifiant leshypothèses suivantes :→ Les actifs sont divisibles à l’infini.→ Le marché est liquide : on peut acheter ou vendre à tout moment.→ On autorise les ventes à découvert.→ Les échanges se font sans coût de transaction.→ On autorise les emprunts et les prêts à tous les agents présents sur le marché au taux sans-

risque r.→ Le marché fonctionne en continue.

Définition du modèle de Black Scholes

La dynamique d’un sous-jacent (St) sous le modèle de Black Scholes est :

dStSt

= µdt+ σdBt (A.1)

où µ et σ sont deux constante et Bt un mouvement bownien géométrique.

L’EDP (A.1) admet une unique solution sous P :

St = S0e(µ−σ

2

2)t+σWt

103

ANNEXE A. MODÈLE DE BLACK SCHOLES

Formule de Black Scholes

Théorème A.0.1 (Formule de Black Scholes) La valeur Ct d’une option d’achat européenne,sur le sous-jacent St est

Ct = StN (d1)−Ke−r(T−t)N (d2)

où d1 =ln(

StK

)+(r+σ2

2)(T−t)

σ√T−t , d2 = d1 − σ

√T − t et N la fonction de répartition d’une loi normale

centrée réduite.

En utilisant la relation de parité Call-Put, on retrouve la valeur d’un Put à l’instant t sur lesous-jacent St :

Pt = −StN (−d1) +Ke−r(T−t)N (−d2)

104

Annexe B

Modèle de Vasicek

Le modèle de Vasicek permet de projeter un indice en le faisant osciller autour de sa valeurmoyenne. La diffusion d’un modèle de Vasicek est :


où,- k est la vitesse de retour à la moyenne,- µ est la moyenne à long terme,- σ est la volatilité,- (Wt) est un mouvement brownien géométrique.

On commence par réécrire la diffusion du modèle :


⇔ dqt + kqtdt = kµdt+ σdWt

⇔ ekt(dqt + kqtdt) = ekt(kµdt+ σdWt)

⇔ d(ektqt) = ekt(kµdt+ σdWt)

On intègre alors l’expression entre t et t+ δ,

ek(t+δ)qt+δ − ektqt = kµ

∫ t+δ

tekudu+ σ

∫ t+δ

tekudWu

⇔ qt+δ = e−kδqt + e−k(t+δ)µ(ek(t+δ) − ekt) + e−k(t+δ)σ

∫ t+δ

tekudWu

⇔ qt+δ = e−kδqt + µ(1− e−kδ) + e−k(t+δ)σ

∫ t+δ

tekudWu

De plus, en appliquant les propriétés de l’intégrale d’une fonction déterministe par rapport àun mouvement Brownien, on trouve :

∫ t+δt ekudWu =

∑n0

∫ ti+1ti

ekidWi ∼ N (0, 1−e−2kt

2k ).

Donc,∫ t+δt ekudWu =

√1−e−2kδ

2k εt où εt ∼ N (0, 1).

105

ANNEXE B. MODÈLE DE VASICEK

Ainsi, la discrétisation exacte associée au modèle de Vasicek est :

qt+δ = qte−kδ + µ(1− e−kδ) + σ

√1− e−kδ

2kεt

où εt ∼ N (0, 1).

Il est maintenant possible de calculer le prix de l’obligation zéro-coupon associé à ce modèle. Onsait que BV (t, T ) = E[e−

∫ Tt qsds | Ft]. On cherche donc dans un premier temps à isoler l’expression

de∫ Tt qsds. On repart alors de la diffusion du modèle et on l’intègre entre t et T :

qT − qt = kµ(T − t)− k∫ T

tqudu+ σ(WT −Wt)

⇔∫ T

tqudu = −1

kqT +

1

kqt + µ(T − t) +

σ

k(WT −Wt)

De plus, on injecte à l’équation précédente la discrétisation appliquée entre t et T de qT . Onse retrouve alors avec :∫ T

tqudu =

1− e−k(T−t)

k(qT − µ) + µ(T − t) +

σ

k

∫ T

t(1− e−k(T−u))dWu

Donc∫ Tt qudu ∼ N (m(t, T ), σ(t, T )) où

m(t, T ) = E[

∫ T

tqudu | Ft] =

1− e−k(T−t)

k(qT − µ) + µ(T − t)

σ(t, T ) = V[

∫ T

tqudu | Ft] =

σ

k

∫ T

t(1− e−k(T−u))2du

=σ2

k2[(T − t)− 1− e−k(T−t)

k]− σ2

2k3(1− e−k(T−t))2

Ainsi, en écrivant BV (t, T ) = e−m(t,T )+ 12σ(t,T )2 , on déduit la formule du prix dans le cas du

modèle de Vasicek :PV (t, T ) = AV (t, T )e−BV (t,T )qt

où,

AV (t, T ) = exp[((T − t)−BV (t, T ))(σ2

2k2− µ)− σ2

4kBV (t, T )2]

BV (t, T ) =1− e−k(T−t)

k

A noter que la valorisation d’options de taux à l’aide du modèle de Vasicek est traitée directe-ment dans le mémoire dans les parties 2.8.1 et 2.9.1.

106

Annexe C

Modèle de Hull-White à deux facteurs

Le modèle de Hull-White à deux facteurs est aussi un modèle oscillant autour de sa moyennelong terme. Cependant, ce modèle est plus riche qu’un modèle de taux à un facteur puisque le tauxcourt dépend directement du taux long. Ce modèle autorise une structure de volatilité plus large etpermet des mouvements de la courbe des taux plus variés.

La diffusion d’un modèle de Hull-White à deux facteurs est :



où,- kl est la vitesse de retour à la moyenne du taux à long terme,- µl est la moyenne à long terme du taux à long terme,- σl est la volatilité du taux à long terme,- kr est la vitesse de retour à la moyenne du taux à court terme,- σr est la volatilité du taux à court terme,- (W l

t ) et (W rt ) sont des mouvements browniens géométriques.

On remarque que le taux à long terme suit un modèle de Vasicek. Il admet donc une discré-tisation comme vue à l’annexe B. De plus, si on suppose qu’entre t et t + δ le taux à long termeest constant, alors la diffusion du taux court se ramène lui aussi à un modèle de Vasicek. Lesdiscrétisations exactes des taux à long terme et à court terme associées au modèle de Hull-White à2 facteurs sont donc :

lt+δ = lte−klδ + µl(1− e−klδ) + σl

√1− e−klδ

2klεl,t

rt+δ = rte−krδ + lt(1− e−krδ) + σr

√1− e−krδ

2krεr,t

où εl,t, εr,t ∼ N (0, 1).

Il est maintenant possible de calculer le prix de l’obligation zéro-coupon des taux réels. Ladémonstration étant lourde, nous avons décider de lister les grandes étapes du calcul. La preuvedétaillée est toutefois disponible en annexe du mémoire de ARMEL (2010).

107

ANNEXE C. MODÈLE DE HULL-WHITE À DEUX FACTEURS

1. On intègre la diffusion du taux court entre t et T,

2. Pour déterminer rT , on détermine la loi du processus x(t) = rt+kr

kl−kr (lt−µl). Pour cela, onutilise la même méthode quand dans le cas du modèle de Vasicek : on différencie le processusx, on retrouve alors l’expression de d(ekrtx(t)) puis on l’intègre entre t et T.

3. Dans l’expression trouvée de xT , on remplace lT par sa discrétisation exacte.

4. On retrouve alors le taux court en T en remarquant que rt = xt − krkl−kr (lt − µl) pour tout

t ≤ T .5. On calcule ensuite

∫ Tt ludu comme dans le calcul du prix de l’obligation zero-coupon d’un

modèle de Vasicek.

6. On injecte alors l’expression trouvée précedement dans l’expression de rT .

7. On isole alors∫ Tt rudu et on remarque que l’intégrale suit un loi normale de moyenne M(t,T)

et de variance Σ(t, T )2.

8. On fait alors l’hypothèse que les mouvements Browniens Wr et Wl sont indépen-dants : on peut noter indifférement W = Wr = Wl. On simplifie la variance de l’intégraleprécédente.

9. On calcule enfin le prix PHW (t, T ) = e−M(t,T )+ 12

Σ(t,T )2 .

La formule du prix dans le cas du modèle de Hull White à deux facteurs est :

PHW (t, T ) = AHW (t, T )e−Bl(t,T )lt−Br(t,T )rt

où,

AHW (t, T ) = exp[Bl(t, T )µl + ((T − t)−Br(t, T ))(σ2r

2k2r

− µl)−σ2r

4krBr(t, T )2

+σ2l

2[T − tk2l

+1− e−2kr(T−t)

2kr(kl − kr)2

+k2r(1− e−2kl(T−t))

2k3k(kl − kr)2

− 2kr(1− e−(kr+kl)(T−t))

kl(kl − kr)2 − kr + kl)

−2(Br(t, T ) +Bl(t, T ))

k2l

]]

Br(t, T ) =1− e−kr(T−t)

kr

Bl(t, T ) =kr

kr − kl[1− e−kl(T−t)

kl− 1− e−kr(T−t)

kr]

A noter que ce modèle est un cas particulier du modèle G2++. On détaille dans l’annexe Dles formules de valorisation d’options de taux sous un modèle G2++ et le lien entre ce modèle et lemodèle de Hull-White à deux facteurs. Les formules des options de taux sous le modèle de Hull-Whiteà deux facteurs, sont, quant à elles, directement développées dans le corp de ce mémoire (parties2.8.1 et 2.9.1).

108

Annexe D

Modèle G2++

Le modèle G2++ est un modèle de taux permettant de modéliser le taux d’intérêt instantannépar la somme de deux processus Gaussiens corrélés et d’une fonction déterministe. Ce modèle estintéressant puisqu’il admet des formules explicites pour l’évaluation de beaucoup d’options vanilles,des taux spot et des taux forward.

Dans cette annexe, nous nous intéressons à rappeller les formules générales du modèle G2++.Nous ne développerons pas les démonstrations relatives à ses propriétés. Elles sont toutefois dispo-nible dans l’ouvrage de BRIGO & MERCURIO (2006).

Définition du modèle G2++

Définition D.0.1 La diffusion du taux instantanné sous la probabilité risque-neutre Q est donnéepar

r(t) = x(t) + y(t) + φ(t), r(0) = r0

où x et y sont deux processus satisfaisant les équations :

dx(t) = −ax(t)dt+ σdW1(t), x(0) = 0

dy(t) = −by(t)dt+ νdW2(t), y(0) = 0

où W1 et W2 sont deux mouvements Browniens de corrélation égale à ρ, r0, a, b, σ, ν sont desconstantes positives, −1 ≤ ρ ≤ 1 et φ est une fonction déterministe définie sur [0, T ], où T estl’horizon de projection, et telle que φ(0) = r0.

Prix d’une obligation zero-coupon

Théorème D.0.1 Le prix d’une obligation zéro-coupon à l’instant t et de maturité T vaut

P (t, T ) = exp{−∫ T

tφ(u)du− 1− e−a(T−t)

ax(t)− 1− e−b(T−t)

by(t) +

1

2V (t, T )}

109

ANNEXE D. MODÈLE G2++

où,

V (t, T ) =σ2

a2[T − t+

2

ae−a(T−t) − 1

2ae−2a(T−t) − 3

2a]

+ν2

b2[T − t+

2

be−b(T−t) − 1

2be−2b(T−t) − 3

2b]

+ 2ρσν

ab[T − t+

e−a(T−t) − 1

a+e−b(T−t) − 1

b− e−(a+b)(T−t) − 1

a+ b]

La démonstration est disponible dans l’ouvrage de BRIGO & MERCURIO (2006) p145-169.

Formules de valorisation d’un cap et d’un floor

Théorème D.0.2 Le prix d’un cap à l’instant t, de strike K, de nominal N et composé de M flux(t1, ..., tM ) vaut

CapG2++(t,N,K) = N

M∑i=1

[−(1 +K(ti − ti−1))P (t, ti)N (ln( P (t,ti−1)

(1+K(ti−ti−1))P (t,ti))

Σ(t, ti−1, ti)− 1

2Σ(t, ti−1, ti))

+ P (t, ti−1)N (ln( P (t,ti−1)

(1+K(ti−ti−1))P (t,ti))

Σ(t, ti−1, ti)+

1

2Σ(t, ti−1, ti))]

où,

Σ(t, T, S)2 =σ2

2a3[1− e−a(S−T )]2[1− e−2a(T−t)]

+ν2

2b3[1− e−b(S−T )]2[1− e−2b(T−t)]

+ 2ρσν

ab(a+ b)[1− e−a(S−T )][1− e−b(S−T )][1− e−(a+b)(T−t)]

et N la fonction de répartition d’une loi normale centrée et réduite.

La démonstration est disponible dans l’ouvrage de BRIGO & MERCURIO (2006) p156-157.

Théorème D.0.3 Le prix d’un floor à l’instant t, de strike K, de nominal N et composé de M flux(t1, ..., tM ) vaut

FloorG2++(t,N,K) = NM∑i=1

[(1 +K(ti − ti−1))P (t, ti)N (ln( (1+K(ti−ti−1))P (t,ti)

P (t,ti−1) )

Σ(t, ti−1, ti)+

1

2Σ(t, ti−1, ti))

− P (t, ti−1)N (ln( (1+K(ti−ti−1))P (t,ti)

P (t,ti−1) )

Σ(t, ti−1, ti)− 1

2Σ(t, ti−1, ti))]

110

où,

Σ(t, T, S)2 =σ2

2a3[1− e−a(S−T )]2[1− e−2a(T−t)]

+ν2

2b3[1− e−b(S−T )]2[1− e−2b(T−t)]

+ 2ρσν

ab(a+ b)[1− e−a(S−T )][1− e−b(S−T )][1− e−(a+b)(T−t)]

et N la fonction de répartition d’une loi normale centrée et réduite.

La démonstration est disponible dans l’ouvrage de BRIGO & MERCURIO (2006) p158.

Formule de valorisation d’une swaption

Théorème D.0.4 Le prix d’une swaption à l’instant t = 0, de strike K, de nominal N et composéede M flux est égale à

SG2++(0,K,N, ω) = NωP (0, T )

∫ +∞

−∞

e−12

(x−µxσx

)2

σx√

2π[N (−ωh1(x))−

M∑i=1


où ω = 1 (resp. ω = −1) pour une swaption payeuse (resp. receveuse),

h1(x) =y − µy

σy√

1− ρ2xy

− ρxy(x− µx)

σx√

1− ρ2xy

h2(x) = h1(x) +B(b, T, ti)σy

√1− ρ2

xy

λi(x) = K(ti − ti−1)A(T, ti)eB(a,T,ti)x

κi(x) = −B(b, T, ti)[µy −1

2(1− ρ2

xy)σ2yB(b, T, ti) + ρxyσy

x− µxσx

]

y = y(x) est définie telle que∑M

i=1 λi(x)e−B(b,T,ti)y = 1

µx = −(σ2

a2+ ρ

σν

ab)[1− e−aT ] +

σ2

2a2[1− e−2aT ] +

ρσν

b(a+ b)[1− e−(a+b)T ]

µy = −(ν2

b2+ ρ

σν

ab)[1− e−bT ] +

ν2

2b2[1− e−2bT ] +

ρσν

a(a+ b)[1− e−(a+b)T ]

σx = σ

√1− e−2aT

2a

σy = ν

√1− e−2bT

2b

ρxy =ρνσ

(a+ b)σxσy[1− e−(a+b)T ]

La démonstration est disponible dans l’ouvrage de BRIGO & MERCURIO (2006) p173.

111

ANNEXE D. MODÈLE G2++

Lien avec le modèle de Hull-White à 2 facteurs

Maintenant que l’on a rappelé les formules d’un cap et d’une swaption sous le modèle G2++,d’après l’article de BLANCHARD (2012), on va démontrer le lien entre ce modèle et le modèle deHull-White à 2 facteurs (modèle étudié dans ce mémoire).

On rappelle la forme de la diffusion considérée dans ce mémoire, d’un modèle de Hull-White àdeux facteurs :

dr(t) = kr(l(t)− r(t))dt+ σrdWr(t)

dl(t) = kl(µl − l(t))dt+ σldWl(t)

ρ =< dWl(t), dWr(t) >= 0

A noter que dans notre cas, on suppose que les mouvements Browniens du taux à court termeet à long terme sont indépendants. Le but est maintenant de montrer que le taux court peut s’écrirecomme la somme de 2 processus corrélés entre eux et d’une fonction déterministe.

Pour ce faire, on pose u(t) = kr(l(t)− µl).

On a alors,du(t) = −klu(t)dt+ krσldWl(t)

On réécrit alors les diffusions d’un modèle de Hull-White à deux facteurs comme telles :

dr(t) = (krµl + u(t)− krr(t))dt+ σrdWr(t)

du(t) = −klu(t)dt+ krσldWl(t)

On pose δ = 1kl−kr et on s’intéresse au processus χ(t) = r(t) + δu(t). On différencie alors ce

processus :

dχ(t) = dr(t) + δdu(t)

= (krµl + u(t)− krr(t)− δklu(t))dt+ σrdWr(t) + δkrσldWl(t)

= (krµl − krχ(t))dt+ σ3dW3(t)

où, σ3 =

√σ2r +

σ2l k

2r

(kr−kl)2+ 2ρ σrσlkr

(kl−kr) =

√σ2r +

σ2l k

2r

(kr−kl)2et dW3(t) = 1

σ3(σrdWr(t)− σl

kr−kldWl(t)).

On s’interesse maintenant au processus ψ(t) = −δu(t). De même que pour le processus pré-cedent, on différencie ψ :

dψ(t) = −δdu(t)

= − klkr − kl

u(t)dt+krσlkr − kl

dWl(t)

= −klψ(t)dt+ σ4dWl(t)

où, σ4 = krσlkr−kl .

112

On vient donc d’écrire le taux court tel que r(t) = χ(t) + ψ(t). En décomposant l’équationdifférencielle de χ, on déduit :

r(t) = ¯χ(t) + ψ(t) + φ(t)

avec,

dχ(t) = −krχ(t)dt+ σ3dW3(t)

dψ(t) = −klψ(t)dt+ σ4dWl(t)

φ(t) = krµlt

où < dW3, dW4 >= −σ4σ3

= − krσl√σ2r(kr−kl)2+k2rσ

2l

.

On a donc écrit le modèle de Hull-White à 2 facteurs comme un cas particulier du modèleG2++.

113

Annexe E

Solvabilité II : Techniques d’atténuationdu risque

Dans cette Annexe, on rappelle les articles du Règlement délégué (UE) 2015/35 de la comissiondu 10 octobre 2014 (2014) du chapitre V, section 10, décrivant les techniques d’atténuation durisque.

Article 209

Critères qualitatifs

1. Lors du calcul du capital de solvabilité requis de base, les entreprises d’assurance ou de réassurancene tiennent compte des techniques d’atténuation du risque visées à l’article 101, paragraphe 5, de ladirective 2009/138/CE que lorsque l’ensemble des critères qualitatifs suivants sont satisfaits :

(a) les arrangements contractuels et le transfert de risque sont juridiquement valides et exécu-toires dans le ressort de tous les territoires concernés ;

(b) l’entreprise d’assurance ou de réassurance a pris toute mesure appropriée pour assurer l’ef-ficacité de l’arrangement et traiter les risques liés à cet arrangement ;

(c) l’entreprise d’assurance ou de réassurance est en mesure de suivre en continu la bonneapplication de l’arrangement et des risques qui y sont liés ;

(d) l’entreprise d’assurance ou de réassurance ne détient pas de créance directe sur la contrepartieen cas de défaut, d’insolvabilité ou de défaillance de celle-ci ou de survenance d’un autreévénement de crédit prévu dans la documentation de transaction de l’arrangement ;

(e) il n’y a pas de double comptage des effets d’atténuation du risque dans les fonds propres etdans le calcul du capital de solvabilité requis, ni au sein du calcul du capital de solvabilitérequis.

2. Seules les techniques d’atténuation du risque qui sont en vigueur pendant les 12 mois à venir aumoins et qui satisfont aux critères qualitatifs énoncés dans la présente section sont pleinement prisesen compte dans le capital de solvabilité requis de base. Dans tous les autres cas, l’effet d’atténuationdu risque des techniques d’atténuation du risque qui sont en vigueur pour une période inférieure à12 mois et qui satisfont aux critères qualitatifs énoncés dans la présente section sont pris en compte

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dans le capital de solvabilité requis de base à proportion soit de la durée totale de l’exposition aurisque, soit de la durée pendant laquelle la technique d’atténuation du risque est en vigueur, selonque l’une ou l’autre durée est la plus courte. [...]

Article 210

Transfert effectif des risques

1. Les arrangements contractuels régissant la technique d’atténuation du risque garantissent quel’étendue de la couverture de la technique d’atténuation du risque ainsi que transfert de risque sontclairement définis et incontestables.

2. L’arrangement contractuel ne doit pas créer de risque de base significatif ou d’autres risques, saufsi le calcul du capital de solvabilité requis en tient compte.

3. Le risque de base est important s’il conduit à une inexactitude de la déclaration de l’effet d’at-ténuation du risque sur le capital de solvabilité requis de base de l’entreprise d’assurance ou deréassurance, susceptibles d’influer sur la prise de décision ou le jugement des utilisateurs attendusde ces informations, y compris les autorités de contrôle.

4. La détermination du fait que les arrangements contractuels et le transfert de risque sont juri-diquement valides et exécutoires dans le ressort de tous les territoires concernés conformément àl’article 209, paragraphe 1, point a), est fondée sur :

(a) le fait que l’arrangement contractuel prévoie ou non des conditions pouvant limiter le trans-fert effectif des risques, la réalisation de ces conditions échappant au contrôle direct del’entreprise d’assurance ou de réassurance ;

(b) le fait qu’il existe ou non des opérations liées qui pourraient compromettre le transfert effectifdes risques.

Article 212

Techniques financières d’atténuation du risque

1. Lorsque les entreprises d’assurance ou de réassurance transfèrent des risques, afin que la techniqued’atténuation du risque puisse être prise en compte dans le capital de solvabilité requis de base,autrement que dans les cas visés à l’article 211, y compris par l’achat ou l’émission d’instrumentsfinanciers, les critères qualitatifs énoncés aux paragraphes 2 à 5 doivent être respectés, outre ceuxénoncés aux articles 209 et 210.

2. La technique d’atténuation du risque est cohérente avec les politiques écrites de l’entreprised’assurance ou de réassurance en matière de gestion des risques visées à l’article 44, paragraphe2, de la directive 2009/138/CE.

3. L’entreprise d’assurance ou de réassurance est en mesure d’évaluer les actifs et les passifs surlesquels porte la technique d’atténuation du risque et, lorsque la technique d’atténuation du risque

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ANNEXE E. TECHNIQUES D’ATTÉNUATION DU RISQUE

fait appel à des instruments financiers, les instruments financiers, de façon fiable conformément àl’article 75 de la directive 2009/138/CE.

4. Lorsque la technique d’atténuation du risque fait appel à des instruments financiers, ceux-ciont une qualité de crédit à laquelle a été affecté un échelon de qualité de crédit 3 ou supérieurconformément au chapitre I, section 2, du présent titre.

5. Lorsque la technique d’atténuation du risque n’est pas un instrument financier, les contrepartiesde la technique d’atténuation du risque ont une qualité de crédit à laquelle a été affecté un échelonde qualité de crédit 3 ou supérieur conformément au chapitre I, section 2, du présent titre.

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