Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

pour l’obtention du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

le 06 mars 2013

Par : Samy COLLIER

Titre: Modélisation ALM d’un portefeuille de rentes viagères

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Membres du jury de l’Institut des Actuaires

Patrick PERRET

Entreprise :

SOGECAP

Membres du jury I.S.F.A. Directeur de mémoire en entreprise :

Mme Flavia BARSOTTI Anne Laure SIRAND

M. Alexis BIENVENÜE

M. Areski COUSIN Invité :

Mme Diana DOROBANTU Marc POTISLAVOWSKI

Mme Anne EYRAUD-LOISEL

M. Nicolas LEBOISNE

M. Stéphane LOISEL Autorisation de mise en ligne sur

un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de

l’éventuel délai de confidentialité)

Mlle Esterina MASIELLO

Mme Véronique MAUME-DESCHAMPS

M. Frédéric PLANCHET

Mme

M.

Béatrice REY-FOURNIER

Pierre RIBEREAU

M. Christian-Yann ROBERT Signature du responsable entreprise

M.

M.

Didier RULLIERE

Pierre THEROND

Secrétariat Signature du candidat

Mme Marie-Claude MOUCHON

Bibliothèque :

Mme Patricia BARTOLO

50 Avenue Tony Garnier 69366 Lyon Cedex 07

Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

Résumé

Mots clés : Rentes viagères, Gestion Actif-Passif, Best Estimate, politique de revalo-risation, modélisation financière

Ce mémoire traite de la modélisation ALM d’un régime de rentes viagères ainsi quedes applications selon la réglementation à venir.

Dans un contexte de bouleversements réglementaires, les assureurs sont obligés decalculer les cash-flows des engagements et des résultats futurs sous des hypothèses demarché. Certaines études ont créé un besoin dans une modélisation stochastique desportefeuille de rentes :

– les normes IFRS imposent la réalisation du Liability Adequacy Test et introduit lanotion de fair value des engagements,

– la publication d’une Embedded Value nécessite une vision du résultat par cash-flowainsi que la valorisation des options financières,

– Solvabilité 2 contraint les assureurs à calculer des montants appelés Best Estimateet Net Asset Value sous diverses hypothèses économiques et techniques.

Avant d’aborder la question de la modélisation des flux financiers liés à un portefeuillede rentes viagères, un travail de formalisation mathématique a été effectué pour pouvoircomprendre les résultats du modèle. Cette formalisation traite à la fois de l’actif et dupassif, mais surtout des interactions qui peuvent intervenir dans le cadre des participa-tions aux bénéfices.

Les problématiques de modélisation sont ensuite détaillées, autant à l’actif qu’au pas-sif, et une politique de taux servi a été implémentée dans ce modèle afin d’optimiser d’unepart la satisfaction client, grâce à un taux de revalorisation le plus élevé possible, maisaussi la satisfaction assureur grâce à une marge financière maximisée.

Enfin les résultats des études précédemment citées sont exposés dans ce document.

2

Abstract

Keywords : Life annuities, Asset Liability Management, Best Estimate, revaluationpolicy, financial modeling

This paper deals with the ALM modeling of a life annuities portfolio and regulatory-linked studies.

In a context of regulatory upheaval, insurance companies are adopting a cash-flowapproach of liabilities and future results. Life annuities stochastic modeling is now com-pulsory to lead particular studies :

– International Financial and Reporting Standards enforce the Liability AdequacyTest and thus introduce the fair value of liabilities,

– The publication of the Embedded Value of a company needs a cash flow approachof results and the valorization of financial options,

– Solvency 2 impels insurance companies to derive amounts called Best Estimate orNet Asset Value.

Prior to get into cash flows modeling of life annuities portfolio, the mathematical des-cription has been done in order to understand the outputs of the model. This descriptiondeals with assets and liabilities, and also interactions which can appear when a partici-pation in benefits exists.

Then, modeling-related issues will be detailed for the assets and the liabilities. Arevaluation policy has been computed in this model in order to maximize the satisfactionof policyholders and shareholders. Indeed, the program tries to revaluate efficiently theannuities and maximize the insurer’s financial margin.

Eventually, studies which have been previously introduced will be presented in thispaper.

3

Table des matièresRésumé 2

Abstract 3

Introduction 6

1 Entreprise et contexte des études 81.1 Sogécap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Enjeux économiques et réglementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Liability Adequacy Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4 Embedded Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Les rentes viagères en assurance vie 182.1 Les produits de rentes viagères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 En assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Dans un fonds de pension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Le portefeuille de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Allocations d’actifs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 En assurance Vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Dans les Fonds de Pension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Expression actuarielle des rentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Table de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.3 Mortalité stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.4 Modèles financiers stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.5 Interactions actif-passif d’une rente viagère . . . . . . . . . . . . . . 312.4.6 Vision Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Construction d’un modèle de rentes viagères 403.1 Présentation du progiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1 MoSes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.2 MoSes ESG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Paramétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.2 Annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Liability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.4 Politique de taux servi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 Scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2 Titres obligataires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 Actifs indiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.4 Dérivés de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4

3.3.5 Politique financière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Utilisation du modèle en ALM 634.1 Validation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Vérification des flux non économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.2 Vérification de la cohérence de la politique de taux servi . . . . . . 65

4.2 Application du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.1 Hypothèses complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Résultats déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.3 Résultats stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Conclusion 75

Remerciements 77

Bibliographie 78

Table des figures 79

5

Introduction

L’environnement juridique et économique des sociétés d’assurance est en pleine mé-tamorphose. Les normes comptables et prudentielles prennent désormais une orientationtotalement différente du passé, et imposent aux assureurs de valoriser de manière écono-mique les risques et les engagements. Les assureurs ont donc à adopter un tout autre pointde vue sur leurs produits ainsi que sur leurs investissements. Ces changements convergentnéanmoins tous vers une vision économique des engagements et de la richesse future : ilsdoivent désormais être vus comme la valeur actuelle des cash-flows futurs aux conditionsde marché. Cela nécessite une bonne compréhension des interactions entre l’actif et lepassif, ainsi que la projection d’hypothèses dans le futur.

Ces dernières années, la modélisation a ainsi pris une importance significative dans lessociétés d’assurance et une grande partie des acteurs du marché sont déjà équipés d’unmodèle de projection stochastique. Les départements Gestion Actif Passif ont souventpour rôle de modéliser ou de superviser la modélisation grâce à leur expertise dans lagestion des flux financiers ainsi que leurs interactions.

Cependant, le marché de l’assurance Vie est largement dominé par l’épargne tradi-tionnelle dont les prestations représentent 20 fois les prestations de rentes en France 1.Les assureurs ont donc très souvent focalisé leurs efforts de modélisation sur l’épargne,réalisant des approximations pour les autres types de produits. Toutefois, le montant desengagements de rentes n’est pas négligeable et les risques inhérents à ce type de produitssont à aborder d’une manière particulière en raison de la longueur des engagements. Leurmodélisation est l’objet principal de ce mémoire.

Les rentes viagères sont des produits simples à traiter mathématiquement et l’on doitleur formalisation à Johan de Witt dès 1670. Les normes réglementaires des assureurs vieen terme de participations aux bénéfices les rendent cependant plus compliquées à aborderet la revalorisation devient obligatoire et directement reliée au rendement des actifs de lasociété. Cela a un impact significatif sur la vision par flux économique des rentes viagères.

La vision économique des flux et des résultats est un enjeu essentiel dans le cadreréglementaire actuel. Les normes IFRS imposent une approche par fair value du passif,

1. FFSA, Données clefs de l’assurance de personnes 2011

6

c’est à dire la valeur économique des engagements. De plus, ces normes exigent la réa-lisation d’un test de couverture des provisions mathématiques IFRS par les provisionséconomiques via le Liability Adequacy Test. Les normes prudentielles Solvabilité 2 im-posent également cette vision économique dans le calcul du Best Estimate et de la NetAsset Value. Enfin, la publication de la valeur de la société dans le cadre de l’EmbeddedValue nécessite une vision économique du résultat de la société.

Ce mémoire présente le contexte réglementaire dans lequel les assureurs Vie commeSogecap évoluent et propose des définitions aux concepts précédemment cités. Ensuite estprésentée une formalisation mathématique des interactions actif-passif dans le cadre d’unrégime de rentes viagères. Les conditions de la modélisation sont détaillées également.Enfin, ce document présente et justifie les résultats issus du modèle dans le cadre desétudes introduites précédemment.

7

1 Entreprise et contexte des études

Cette partie présente tout d’abord Sogécap et le cadre économique et juridique quia conduit à l’élaboration d’un modèle ALM épargne dans un premier temps, puis sonextension aux rentes.

1.1 Sogécap

Sogécap est l’entité principale de Société Générale Insurance, la ligne métier assurancedu groupe Société Générale. En France, cette ligne métier est composée de :

– Sogécap et Oradéa Vie concernant l’assurance de personnes– Sogessur et Sogécap Risques Divers concernant l’assurance de bien et de responsa-

bilités.

Figure 1 – Organigramme de Société Générale Insurance

Sogécap est un acteur majeur de l’assurance Vie en France. Il bénéficie du réseaude vente de proximité de la banque dans le cadre de la politique de bancassurance dugroupe. Sogécap est une filiale totalement intégrée au groupe et est donc consolidée augroupe en IFRS notamment. La gamme des produits de Sogécap est grande, on retrouvede l’épargne classique, des rentes, de la prévoyance individuelle et collective ainsi que dela complémentaire santé. Les encours sont cependant dominés par un produit d’épargne,Séquoia, qui représente 50% de l’encours du fonds en euros. Voici les principaux chiffresde Sogécap.

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CHIFFRES CLES (2011) Total

ASSURANCE VIEChiffre d’affaires en millions d’euros 7156Nombre de contrats en portefeuille 1 773 643Encours en milliards d’euros 73,8PREVOYANCEChiffre d’affaires en millions d’euros 316Nombre de contrats en portefeuille 7 351 051

Sogécap est également implantée à l’international à travers de nombreuses entitésnotamment en Europe mais aussi dans le Monde.

Figure 2 – Sogécap à l’international

1.2 Enjeux économiques et réglementaires

Dans cette partie sont présentées les raisons ainsi que les utilisations des modèlesALM.

1.2.1 Contexte

Les normes comptables applicables aux entreprises françaises sont en pleine métamor-phose depuis une dizaine d’années. En effet, toutes les sociétés cotées doivent à présent

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publier leurs comptes selon les normes IFRS (International Financial Reporting Stan-dards). Les bancassureurs, filiales de groupes bancaires le plus souvent cotés, sont doncsoumis à ces normes, via la consolidation. L’entrée en application de ces normes, en par-ticulier IFRS 4 a pour conséquence une évolution majeure de la façon de comptabiliserles engagements des assureurs, par conséquent les provisions mathématiques de rentes.Les engagements sont pour le moment toujours comptabilisés en normes françaises maisun test doit être réalisé pour vérifier leur adéquation avec les engagements évalués en fairvalue. Ce test est le Liability Adequacy Test (LAT).

La notion de fair value n’est pas seulement utilisée par les nouvelles normes comp-tables, mais aussi dans la réglementation sur la solvabilité des assureurs ainsi que dansla valorisation des entreprises. Le marché ne s’attend plus à une valorisation des engage-ments selon des règles fermées, mais une valorisation économique, qui prend en compteles flux financiers et des hypothèses calibrées et justifiées par les entreprises.

1.2.2 Liability Adequacy Test

Le LAT est un test obligatoire pour tous les assureurs publiant leurs comptes selonles normes IFRS.

Principe Dans les comptes IAS, les actifs représentatifs des contrats euros sont comp-tabilisés en valeur de marché, ce qui n’est pas le cas des passifs (engagements pris auprèsdes clients).Afin de compenser les variations des actifs, les compagnies d’assurance enregistrent :

– une provision pour participation aux bénéfices différée passive pour refléter le droitdes assurés en cas de plus-value latente,

– une provision pour participation aux bénéfices différée active en cas de moins valuelatente.

L’enregistrement de ces provisions permet ainsi de neutraliser l’impact de la volatilitéde la valeur des actifs sur les capitaux propres et sur le résultat.Cependant cette compensation n’est possible que dans la limite du Liability AdequacyTest.Le test du LAT consiste à comparer la valeur des provisions constituées à la valeur éco-nomique du passif.

Si la valeur économique du passif est supérieure aux provisions constituées alors uncomplément de provision est constaté.

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Calcul du LAT La provision économique est calculée avec le progiciel de simulationstochastique MoSes. Ce logiciel permet de projeter à long terme les marges dégagées parSogécap ainsi que tous les éléments qui les composent. Les projections sont réalisées enutilisant un jeu de scénarios stochastiques risque neutre (1000 scénarios pour le LAT). Laprovision économique est calculée uniquement sur l’épargne dans MoSes (son calcul pourles rentes est un des objets de ce mémoire) et est constituée de la somme actualisée desflux suivants :

– Rachats,– Décès,– Echéances,– Arbitrages,– Flux de gestion (frais généraux et commissions),– CSG pour les mono-supports,– Provision mathématique finale,– Part de la réserve de capitalisation finale destinée à l’assuré (30%),– Part des plus values latentes finales destinées à l’assuré (90%),– Provision pour option de reversement,– Coût de la « garantie plancher » pour les contrats en unité de compte.

Le calcul de la provision économique des contrats de rentes viagère est un des objetsde ce mémoire.La marge LAT correspond à la différence entre les réserves IAS et les provisions écono-miques :

Marge LAT = (provisions mathématiques + PGG éventuelle + PPE + PB différée)

− provisions économiques

Avec :– PGG : Provision globale de gestion– PPE : Provision pour participation aux excédents– PB différée (à Sogécap) : 100% des plus ou moins values latentes de l’actif– Provision économique : correspond au passif recalculé en valeur de marché (somme

actualisée des engagements futurs de l’assureur : prestations aux assurés mais éga-lement frais généraux et commissions).

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Dans le cas d’une marge LAT négative, l’assureur doit alors passer une provision dansles comptes IFRS. Il est donc nécessaire de la calculer, et de fait, de posséder un modèlecapable de calculer la provision économique.

1.2.3 Solvabilité 2

La réforme de la réglementation européenne sur les nouvelles normes de solvabilité esttrès nettement engagée grâce à Solvabilité 2. Les études actuelles visent à mieux cernerles contours d’une formule standard d’évaluation du capital requis de solvabilité, le SCRou Solvability Capital Requierement, ainsi que la méthode de détermination des besoinsen capital minimum, les MCR ou Minimum Capital Requierement. Ces deux acronymesremplacent en quelque sorte la marge de solvabilité et la marge de solvabilité minimum,jugées désormais désuètes par les régulateurs. En effet, les éléments éligibles de l’assu-reur (en quelque sorte ses fonds propres) doivent couvrir intégralement le SCR. Il est parailleurs strictement interdit de passer sous la barre du MCR.La marge de solvabilité correspond aux fonds propres économiques, c’est-à-dire la dif-férence entre les actifs et les engagements du passif, évalués sur la base d’une visioncohérente avec les valeurs de marché.

L’idée principale de Solvabilité 2 est de définir le besoin de couverture de la solvabilitédes assureurs de telle sorte à avoir une probabilité de ruine à horizon un an de moins de0,5%.Une évolution majeure portée par cette réforme est que les provisions techniques et lesexigences de fonds propres sont calculés en prenant compte du profil de risque auquel estsoumis chaque assureur. Ce changement s’opère sous la forme de 3 piliers :

Pilier I : Il vise à définir les normes quantitatives qui permettront de mesurer l’exigencede marge de solvabilité imposée aux compagnies d’assurance. Ces règles permettentune harmonisation des provisions techniques au travers de l’utilisation des deuxniveaux de capital réglementaire : le SCR et le MCR. Ce premier correspond aucapital cible nécessaire pour absorber le choc dû à un risque majeur, le secondreprésente un niveau minimum en dessous duquel une intervention de l’ACP estautomatique.

Pilier II : Il a pour objectif de définir et d’harmoniser les activités de surveillance aussibien aux niveaux 1 et 2 (internes aux entreprise) qu’au niveau 3 (Autorité decontrôle). En outre, il fixe les normes qualitatives de suivi des risques en interneet la façon dont l’autorité de contrôle exerce ses pouvoirs de surveillance.

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Pilier III : Il concerne les éléments d’information qui doivent être publiés par les com-pagnies d’assurance. Il s’agit d’informations publiques visant les marchés ainsi queles informations à l’usage des superviseurs sous forme de dossier annuel. Les règlesde documentation des assurés y sont aussi détaillées.

Définition du Best Estimate : Le Best Estimate est défini dans les textes officielscomme la moyenne pondérée en fonction de leur probabilité des futurs flux de trésoreriecompte tenu de la valeur temporelle de l’argent, laquelle est estimée sur la base de lacourbe des taux sans risque pertinente 2.De plus, on définit la mesure de probabilité réelle P qui s’applique à la durée de vie desassurés. Q correspond à la probabilité risque neutre, qui est telle que le prix actualisé desactifs est une martingale sous cette probabilité.Le Best Estimate peut alors s’écrire mathématiquement :

Best Estimate = EP∗Q

(∑u≤1

δu.Lu

)

- δu représente le facteur d’actualisation qui s’exprime en fonction du taux sans risqueinstantané r :

δu = e−∫ u0 rtdt

- Lu est l’ensemble des flux de trésorerie à la date u. Ces derniers comprennent les primes,les rachats, les décès, les termes ainsi que tous les frais relatifs au fonctionnement ducontrat d’assurance.Le calcul du Best Estimate nécessite donc la mise en place d’un modèle de Gestion Actif-Passif qui sera décrit précisément dans la suite de ce document. Afin d’obtenir la meilleureestimation du BE, le modèle doit tenir compte de l’ensemble des aléas qui touchent lespassifs étudiés. En remarquant que seule la revalorisation des contrats dépend d’aléasfinanciers (sous la probabilité Q), les flux évalués selon la probabilité historique sont :

– les rachats à partir de lois définies par des études (rachats totaux/partiels, structu-rels/conjoncturels etc...),

– les décès à partir de tables de mortalité (internes ou officielles),– la fréquence et le coût des termes à partir de l’historique,– les frais qui doivent être modélisés.

La difficulté de l’obtention du Best Estimate réside dans le calcul des espérances. Laméthode la plus souvent utilisée est l’obtention de l’espérance par Monte-Carlo. Cette

2. Commission Européenne [2010], « QIS 5 Technical Specifications », paragraphe TS.II.A.10

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théorie se base sur la loi des grands nombres selon laquelle la moyenne empirique est unestimateur fortement convergent de l’espérance.En projetant un modèle selon un nombre conséquent de scénarios, le Best Estimate s’ob-tient par moyenne des résultats de chaque scénario.Toutefois, s’il est commun d’utiliser des modèles stochastiques à l’actif, pour obtenir lerendement d’un portefeuille en prenant en compte les options, certains acteurs utilisentaussi des modèles stochastiques de mortalité, comme PLANCHET [2006] 3, ou bien deslois de rachats dépendant des conditions de marché (on parlera alors de rachats conjonc-turels).

On remarquera que le Best Estimate dépend de l’actualisation, et est donc sensibleau jeu de scénarios de taux utilisé. De plus, lorsqu’un produit est revalorisé, il dépenddu rendement d’un portefeuille. Les interactions actif-passif sont donc à modéliser pourobtenir l’espérance sous Q des flux futurs.

Dans le cadre des produits de rente spécifiquement, le Best Estimate est surtout formédes arrérages versés aux assurés ainsi que les frais de gestion inhérents au fonctionnementde la société.

Définition du Solvency Capital Requirement : Outre la place du Best Estimatedans le bilan prudentiel que les assureurs doivent fournir aux autorités de contrôle, il entreen compte dans le calcul de la marge de solvabilité.La spécificité de Solvabilité 2 est de prendre en considération individuellement les risquesauxquels sont soumis les assureurs. Pour rappel, la marge de solvabilité était proportion-nelle aux encours de la société jusqu’à la nouvelle réglementation.

Désormais, à chaque risque est attribué un montant de capital à immobiliser. Cescapitaux sont ensuite agrégés à l’aide de matrices de corrélation pour obtenir la marge desolvabilité. Le SCR représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc provoquépar un risque majeur, qui peut concerner les marchés financiers, les comportements desclients ou bien encore la gestion. Le but de la réforme est de prendre en considération lemaximum de risques possibles, et pour cela, les organismes sont forcés d’en faire un car-tographie précise. L’organigramme suivant, bien connu des assureurs, décrit la hiérarchiedes risques pris en compte par Solvabilité 2.

3. PLANCHET F. [2006], « Pilotage technique d’un régime de rentes viagères : identification et mesuredes risques, allocation d’actif, suivi actuariel »

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Figure 3 – Hiérarchie des risques

Pour obtenir les capitaux à immobiliser pour chaque risque (nous les appellerons sous-SCR), plusieurs approches sont envisageables. Nous ne retiendrons dans ce document quel’approche dite Formule Standard dans laquelle un ensemble de chocs sont à appliquer etont été calibrés par les régulateurs pour convenir à l’exigence de non-ruine dans 99,5%des cas.On appelle Net Asset Value ou NAV la différence entre la valeur de marché des actifs et lavaleur des engagements vision Best Estimate. Le montant des sous-SCR se définit par ladifférence entre la NAV du scénario central et la NAV choquée. On se rend compte qu’unchoc à l’actif, une hausse des taux par exemple, aura un impact dans la valeur de marchédes actifs, mais aussi dans le Best Estimate via l’actualisation et les revalorisations descontrats. Pour les chocs de marché, l’impact à l’actif seul est appelé sous-SCR brut alorsque le sous-SCR égale l’impact global.À la vue de la complexité du nombre de simulations à exécuter pour obtenir le SCR, ildevient évident qu’un outil de projection puissant est nécessaire à tous les assureurs.

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1.2.4 Embedded Value

L’Embedded Value est définie comme la valeur intrinsèque d’une compagnie d’assu-rance vie sans prendre en compte la valeur des futures affaires nouvelles 4.Pour comprendre la problématique de l’Embedded Value, il est nécessaire de définir lesconcepts de Value of In-Force, Cost of Capital ainsi que l’Adjusted Net Asset Value.

Value of In-Force : C’est la valeur du stock de contrats du portefeuille à la dated’évaluation. D’après les recommandations du CFO FORUM [2009], on décompose cettevaleur comme suit 5 :

– La valeur actuelle des profits futurs (PVFP), les profits étant les flux après impôtsvenant des contrats en stock ainsi que les actifs couvrant ces engagements.

– La valeur-temps des options financières et des garanties (TVFOG), évaluées néces-sairement de façon stochastique.

– Le coût des risques non couvrables (CRR) et non-pris en compte dans la valeur-temps des options.

On notera que l’on calcule généralement la TVFOG de façon marginale : on obtientune première valeur des profits futurs en désactivant les garanties et options cachées (ra-chats conjoncturels par exemple), cette situation est parfois appelée Scénario ÉquivalentCertain, puis en les activant. La différence de ces deux valeurs donne le coût des options.La valeur temps des options et garanties financières est générée par l’asymétrie de partagedu sort entre actionnaires et assurés selon les diverses évolutions des marchés financiers.De manière schématique, une perte financière est supportée en totalité par les actionnairesalors que les profits financiers sont partagés selon les clauses réglementaires et contrac-tuelles de participation aux bénéfices. La mise en oeuvre de calculs stochastiques permet,sur base de simulations multiples, de balayer le champ des possibles en termes d’évolutiondes marchés financiers et donc de capter le coût lié aux déviations adverses des marchésselon la CNP [2012] 6.

Adjusted Net Asset Value : Aussi appelée Actif net réévalué, l’ANAV représente lavaleur de marché des actifs ne couvrant pas les engagements. Cette valeur se sépare en leRequired Capital et le Free Surplus en fonction que les actifs adossent les fonds propres ounon. Le Capital Requis correspond à la valeur de marché des actifs en représentation desfonds propres que l’assureur doit bloquer au titre de son activité et dont la distribution aux

4. Site du CNAM, section Le coeur du métier.5. CFO FORUM [2009], « MCEV Principles and Guidance », Principle 66. CNP Assurances [2012], « Rapport Embedded Value, présentation des résultats 2011 »

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actionnaires est restreinte. Il reflète le niveau de capital que se fixe la société pour atteindreun objectif de rating et de maîtrise de ses propres risques. Le Free Surplus correspond à lavaleur de marché des actifs, hors actifs en représentation des engagements de l’assureur,déduction faite du capital requis. L’ANAV correspond donc à la valeur de marché desactifs en représentation des fonds propres après déduction des actifs incorporels, des passifssubordonnés et des autres éléments valorisés par ailleurs dans la valeur d’In-Force.

Cost of Capital : C’est le coût des impôts sur les produits financiers des fonds propres.En effet, on considère que les actionnaires attendent un revenu égalant le taux sans risque.Toutefois, la société doit payer des impôts sur les produits financiers liés à cette perfor-mance. Le coût de friction du Capital Requis intègre également la charge liée au finan-cement d’une partie de l’exigence de capital par des titres subordonnés. Cette charge estévaluée comme la différence entre la valeur économique des titres subordonnés et leurnominal.

Embedded Value : L’Embedded Value représente la valeur consolidée des intérêts desactionnaires générée par les activités d’assurance en portefeuille à la date d’évaluation.Cette valeur provient d’une part des investissements réalisés à partir de l’apport initial(Required Capital), de la richesse produite par les contrats vendus par l’assureur (VIF)ainsi que la richesse produite dans le passé (Free Surplus). À cela nous devons soustrairecertains coûts de maintenance de cette richesse (CoC) et nous avons donc :

Embedded Value = ANAV + VIF− CoC

On remarque que l’Embedded Value nécessite en fin de compte la projection de tous lescash-flows de la société pour obtenir la valeur actuelle des résultats futurs. Cette approchen’est donc pas très éloignée de celles utilisées pour obtenir le LAT ou les résultats de typeSolvabilité 2. Chez Sogécap, ces trois études sont effectuées le plus souvent en parallèle etil est plutôt rare d’avoir à reconfigurer entièrement le modèle pour lancer une autre étude.En effet, on remarque une convergence des méthodes de calculs ainsi que les hypothèsesutilisées. La vision cash-flow de la société est désormais omniprésente et sa complexitérequiert un modèle puissant et efficace. Seul le regroupement de ces flux diffère d’uneétude à une autre mais des réconciliations peuvent s’opérer (notamment entre la VIF etla NAV).L’intégration des cash-flow des rentes dans le modèle est donc une nécessité et sa mise enplace sera étudiée dans la troisième partie de ce document.

17

2 Les rentes viagères en assurance vie

Les rentes viagères sont des accords financiers très largement répandus depuis dessiècles et font l’objet d’une littérature importante.

2.1 Les produits de rentes viagères

On distingue généralement les rentes viagères dans le cas de l’assurance vie et dans lecas des institutions de retraite.

2.1.1 En assurance vie

Une annuité viagère est un contrat financier sous la forme d’un produit d’assuranceselon lequel un émetteur, le plus souvent une institution financière comme une compagnied’assurance vie, prévoit une série de paiement futurs à un client (rentier) en échange d’unpaiement immédiat d’une certaine somme d’argent en fonction du montant de l’annuité.Le paiement peut se faire également de façon régulière et périodique.

L’échéancier de paiement de l’émetteur de l’annuité au rentier a une fin de vie indé-terminée et correspond la plupart du temps à la date de décès du client. À ce moment,le contrat se termine et la somme résiduelle revient à l’assureur dans le cas où il n’y apas d’autres bénéficiaires du contrat. De cette manière, une annuité viagère est une formed’assurance contre la longévité, dans laquelle l’incertitude sur la durée de vie du rentierest transférée à l’assureur. L’assureur réduit ensuite cette incertitude en mutualisant plu-sieurs clients. Les annuités peuvent être souscrites dans le but de fournir un complémentde revenu pour la retraite ou bien constituer un revenu fixe en cas de problème de santé.

Le terme rente est utilisé exclusivement dans le cas où l’annuité est versée à l’assuré ouà un groupe de tête. Dans la suite de ce travail, nous utiliserons sans distinction annuitéet rente pour désigner la valeur actuelle probable de l’engagement correspondant, qui estnotés a lorsque les paiements sont effectués à terme échus et a lorsqu’ils interviennent endébut de période.Il convient également de tenir compte des deux caractéristiques suivantes :

1. La loi des paiements éventuels en fonction du temps s’exprime au moyen d’unepériodicité (année ou fraction d’année) et au moyen d’une relation donnant la valeuréventuelle du iième paiement. Le cas le plus fréquent est celui où tous les termes del’annuité sont égaux.

18

2. L’intervalle de temps à l’intérieur duquel l’engagement peut entrer en vigueur. Eneffet, il arrive souvent que la rente commence à l’âge de départ la retraite parexemple. Cet intervalle est déterminé par un différé et par une durée si l’engagementn’est pas illimité.

2.1.2 Dans un fonds de pension

Les fonds de pension sont un dispositif particulier du système de retraite par capita-lisation. Ils représentent un mode de financement important des retraites dans les paysanglo-saxons, et ont fait leur apparition en France, dans le cadre des systèmes de retraitesupplémentaire. Ils sont ainsi le troisième étage du financement des retraites, après lerégime de base et le régime complémentaire, reposant sur le système de retraite par ré-partition.

Ces régimes peuvent être à prestations ou cotisations définies. Les régimes à cotisationsdéfinies se rapprochent de l’assurance vie dans le sens où les droits sont revalorisés chaqueannée. La prestation versée sous forme de rente viagère au salarié dépend du rendementnet obtenu de la capitalisation des primes versées. Il peut s’agir d’un contrat d’épargnebloquée, dans le cadre duquel les cotisations versées, en principe constitué d’un tauxappliqué directement sur le salaire ou sur certaines tranches seulement, sont bloquées surun compte ouvert pour chaque salarié bénéficiaire, et font l’objet de placements, jusqu’audépart en retraite du bénéficiaire. Il peut s’agir également d’un contrat de rente viagèredifférée, consistant en l’acquisition par le salarié de points de droits de retraite, que lesalarié ne pourra liquider qu’au moment de son départ en retraite.Ces régimes sont régis par l’article 83 du Code Général des Impôts.

2.2 Le portefeuille de l’étude

Dans ce travail de modélisation, nous avons utilisé un portefeuille de rentes de Sogécapafin de comparer les flux projetés dans MoSes avec des études précédemment réalisées.Ce portefeuille est constitué de plusieurs produits de rentes viagères dont seules certainescaractéristiques tarifaires mineures (taux technique, taux de frais etc...) diffèrent.Les Provisions Mathématiques sur ce portefeuille s’élèvent à 151,042 millions d’euros àla fin de l’année 2010 pour 3087 contrats. La PM moyenne est de 46,7 milliers d’eurospour un arrérage moyen de 4,7 milliers d’euros. L’âge moyen est de 75 ans et le tauxtechnique moyen 2,55%. Le modèle décrit ensuite dans ce document donne l’échéancierde prestations suivant :

19

Figure 4 – Échéancier des arrérages sur 30 ans

2.3 Allocations d’actifs classiques

En fonction de l’institution gérant les contrats de rentes, la politique financière varietrès largement. Nous allons traiter deux cas rencontrés lors de la rédaction de ce document.

2.3.1 En assurance Vie

Le marché de l’assurance Vie représente environ 1500 milliards d’euros en France pourl’année 2010 et représente 56% du patrimoine financier des français. Les assureurs à quiles français ont confié leur argent ont pour mission de revaloriser l’épargne des clients.Ils participent grandement à l’économie par leurs investissements dans les entreprises, ladette publique ainsi que l’immobilier.

La duration des passifs d’assurance Vie avoisine généralement les 10 ans et les assureursont la responsabilité de l’argent des clients. Ils n’ont pas le droit de perdre du capitald’une part, et d’autre part, les contrats leur imposent généralement une revalorisationminimum. Les investissements d’un assureur doivent être performants mais sûrs à la fois.Cette dualité est une problématique essentielle pour les assureurs.Les contraintes sont donc :

– la garantie du capital des assurés, qui est un contrainte forte en épargne mais aussipour les rentes, les rentiers ayant payé pour leurs arrérages,

– la revalorisation minimum du capital, qui est une contraire supplémentaire à laprécédente. En épargne, les contrats sont souscrits généralement avec un taux mini-

20

mum garanti de revalorisation. Pour les rentes, la ou les primes initialement définiestiennent compte d’un taux technique, c’est à dire d’un rendement financier minimumafin que l’engagement de l’assureur soit viable dans le futur.

– un minimum de liquidité doit être détenu par les assureurs. En effet, les assurés ontle droit de racheter leur contrat en épargne et les rentiers touchent des arrérages.Ces deux cas de figure montrent qu’un assureur doit toujours être en mesure depayer les assurés. L’incertitude est néanmoins plus forte sur les contrats d’épargne.

Pour répondre à ces contraintes, les assureurs en France se sont investis comme suit 7 :

Figure 5 – Allocation d’actifs chez les assureurs vie

On observe que les assureurs privilégient les actifs obligataires à hauteur de 72,2%.En effet, cette classe d’actif présente l’avantage d’avoir une garantie en capital. Seulela banqueroute de l’établissement émetteur explique un non-remboursement du capitalcédé et cet événement est plutôt rare. Parmi les obligations, les assureurs ont une légèrepréférence pour les obligations d’entreprises qui généralement ont un rendement supé-rieur aux obligations d’Etats. Toutefois, ce rendement supérieur se traduit par un risqueplus élevé également. En effet, les faillites d’entreprises interviennent plus souvent que lesfaillites des Etats. On introduit la notion de spread qui représente l’écart entre le tauxd’un investissement sans risque (généralement une obligation souveraine sûre) et le tauxde l’obligation en question. Ce spread est calculé en fonction du risque de défaut d’une

7. Statistiques de la FFSA, 2011

21

entité.Les actions et l’immobilier représentent environ 17% des actifs détenus par les assureurs.Cette classe est réputée pour ses rendements long terme dividendes inclus élevés qui per-mettent souvent aux assureurs de servir des taux plus élevés que les taux contractuels outechniques. Néanmoins cette classe d’actif n’a pas de garantie du capital investi. En effet,en cas de baisse des cours de marché, la valeur des actifs peut être inférieure à l’inves-tissement initial. De plus, contrairement aux obligations, qui quoiqu’il en soit versent lecoupon qui a été défini (une perte peut être constatée en cas de vente) les actions peuventne plus verser de dividende.

Les normes prudentielles à venir incitent désormais les assureurs à s’investir sur desactifs les moins risqués possibles. En effet, comme cité précédemment, Solvabilité 2 im-pose un capital à immobiliser au titre du risque de taux, qui nous le verrons ensuite peutêtre absorbé par le passif, mais aussi un risque de spread, ce qui limite les investissementen obligations corporate, et pour finir le risque de marché action qui est très sévère parrapport aux investissements en parts de société.

Toutefois, PLANCHET et THEROND [2004] 8 ont montré que l’allocation d’actif op-timale pour maximiser les fonds propres économiques d’un portefeuille de rentier estd’environ 10% d’actifs risqués. On remarque que les assureurs prennent un peu plus derisque mais n’ont pas un comportement fondamentalement différent de l’optimisationmathématique.

2.3.2 Dans les Fonds de Pension

Les fonds de pension représentent des organismes différents en fonction des pays. Onretiendra la définition d’un régime de retraite par capitalisation où il y a mutualisationde la mortalité parmi les rentiers. Les fonds de pension sont souvent les seuls organismesà gérer les retraites des citoyens dans certains pays anglophones. En France, cet exposétraitera des institutions de prévoyance, gérant les retraites supplémentaires des salariésd’entreprises.

Le marché mondial des fonds de pension a atteint en 2011 28 000 milliards de dollars 9

ce qui représente plus de 100% du Produit Intérieur Brut des pays concernés : 107 % pour

8. PLANCHET F. et THEROND P. [2004], « Allocation d’actifs d’un régime de rentes en cours deservice »

9. Statistique de Towers Watson, 2012

22

les États-Unis et 101% pour le Royaume-Uni. Ces fonds de pension ont une allocationd’actifs généralement très riche en actions qui représente 41% des portefeuilles des P7 10.Les actifs obligataires forment 37% du total des actifs dans ces pays. Toutefois, sur lesdix dernières années, la part de ces deux classes d’actifs a grandement diminué, au profitdes actifs immobiliers et alternatifs. La raison est la sensibilité plus grande au risque dedéfaut souverain ainsi que la grande volatilité des marchés actions ces dernières années.De plus, en raison des réformes comptables et prudentielles, les acteurs du marchés sontplus attentifs à la gestion de leurs risques financiers mais la prise de risque reste encoredisparate en fonction des pays 11 :

Figure 6 – Allocation d’actifs dans les fonds de pension

La grande part en action des fonds de pension s’explique par la duration du passif.En effet, celle-ci s’élève le plus souvent autour de 30 ans. Le portefeuille de l’étude estconstitué de rentes viagères immédiates ainsi que d’autres produits dont la sortie s’esteffectuée en rentes. Les fonds de pension gèrent des engagements bien plus long, puisqu’il

10. La notion de « P7 »renvoie aux 7 plus grands marchés de fonds de pension11. Statistiques de l’OCDE, 2012

23

faut considérer dans ce cas le cycle complet des rentes : constitution par des primespériodiques puis liquidation en rente. Les liquidités à investir arrivent donc au fil du temps,et il faudra en moyenne verser des prestations jusqu’à l’espérance de vie au départ à laretraite (20,6 ans pour les hommes et 25,7 ans pour les femmes) 12. À ces durées, l’étudedes cours des marchés actions montrent que cette classe d’actifs est la plus rentable, mêmeen prenant en compte l’inflation comme le montre cette étude 13 :

Figure 7 – Performance des actifs en considérant l’inflation

La duration particulièrement longue des engagements de retraite incite les fonds depension à investir dans des actions qui sont, certes performantes à long terme, mais aussitrès risquées. On pourrait s’attendre à une pénalisation très importante de cette allocationd’actifs du point de vue prudentiel, néanmoins, les fonds de pension, sous Solvabilité 2 sontpour la plupart éligibles à un choc moindre sur les actions (22% contre 39%) lorsqu’ilssont en mesure de justifier d’un portefeuille à longue duration, non rachetable et nontransférable.On notera que les régimes de retraite d’entreprise sont soumis à Solvabilité 2 pour lemoment alors que les fonds de pension anglais sont soumis à la directive IORP, plussouple.Toutefois, les fonds de pension ont souvent pour objectif une revalorisation à l’inflationdes arrérages, afin de protéger le pouvoir d’achat des rentiers dans le futur. Les actifs

12. Insee, 201113. Le Cercle Les Échos, 2012

24

de couverture de l’inflation ne sont néanmoins pas extrêmement présents dans les bilansdes fonds de pension. La raison principale est que ces produits sont relativement rares etnouveaux sur les marchés financiers 14, l’inflation étant une variable difficile à anticiper.

2.4 Expression actuarielle des rentes

Nous allons décrire dans cette partie les modèles les plus couramment utilisés à titrede préambule et de justification de la modélisation suivante.

2.4.1 Notations

Ce paragraphe définit toutes les notations actuarielles qui seront utilisées dans cedocument. Les notations financières seront définies par ailleurs. Commençons par définirles notations dans un cadre discret :

Cadre discret– lx est le nombre de personnes survivantes à l’âge x,– l1960x est le nombre de personnes nées en 1960 survivantes à l’âge x. Nous avons choisi

d’utiliser la table TGH-TGF 2005 pour cette étude et effectuerons généralement lasimplification de notation suivante : lx remplace l1960x ,

– qx =lx − lx+1

lxest la probabilité pour une personne d’âge x de décéder dans l’année,

– tqx =lx − lx+t

lxest la probabilité pour une personne d’âge x de décéder entre l’âge

x et x+ t. On note tpx = 1−t qx la probabilité opposée,– i est le taux d’intérêt technique,

– v =1

1 + iest le facteur d’escompte technique,

– Dx = vxlx est une commutation commune,

– Nx =∞∑k=0

Dk est une commutation commune,

– ax =Nx+1

Dx

=∞∑k=1

vx kpx15 est la valeur actuelle probable d’une rente viagère à terme

échu pour une personne d’âge x,

– ax =Nx

Dx

=∞∑k=0

vx kpx = 1 + ax est la valeur actuelle probable d’une rente viagère à

terme à échoir pour une personne d’âge x.

14. Le marché français des OATi est de 200 milliards d’euros15. La démonstration est rapide en remplaçant Nx+1 et Dx par leur expression

25

Cadre continu Dans un cadre continu, nous nous intéressons à la variable aléatoireT , qui représente la durée de vie d’un individu donné. Nous définissons les variablesTx représentant la durée de vie résiduelle d’un individu sachant qu’il est vivant à l’âgex 16. En reprenant la notation précédente de la probabilité de survie, on a alors : tpx =

P (Tx > t) = P (T > t+ x | T > x).On définit de la même façon : tqx = 1−t px = P (Tx < t) = P (T < t+ x | T > x).

On définit ensuite S la fonction de survie associées à T , on peut alors écrire tpx =S(x+ t)

S(x).

F. Planchet nous fait remarquer dans son support que l’on peut écrire lx = S(x), enramenant les proportions à un individu.On définit par ailleurs la fonction de hasard ou taux instantané de mortalité µx telle que

µx+t =1

tpx.∂

∂ttqx = − ∂

∂tln (tpx)

En inversant cette formule, on obtient : tpx = exp

(−∫ t

0

µx+sds

)En approximant l’intégrale par la méthode des rectangles, on peut écrire : px ≈ exp (−µx).Ou bien encore µx ≈ − ln (1− qx). L’égalité devient exacte dans le cas discret où µ estconstante par année.

Notations prospectives Dans le cadre de l’utilisation de tables prospectives ou sto-chastique, ou bien de surface de taux, nous avons besoin de définir des notations dépendantd’un facteur temps.Nous noterons qxt (resp. pxt) la probabilité, pour un individu d’âge x, à un moment tdonné, de décéder (resp. survivre) dans l’année.Le taux instantané de mortalité s’écrit dans ce cas µxt = ln (pxt). On écrira alors lavaleur actuelle probable d’une rente viagère à la date t pour un individu d’âge x :

ax(t) =∞∑k=1

vx kpxt

2.4.2 Table de mortalité

Cette section présente la table de mortalité utilisée et justifie son usage plutôt qu’uneautre table.

La table TGH-TGF 2005 : C’est une table prospective de mortalité pour les porte-feuille de rentiers. Elle est basée sur une table prospective de l’INSEE construite sur desdonnées de 1962 à 2000. Ensuite, une calibration a été effectuée sur les données de 19

16. Les notations ont été repris de PLANCHET F. [2011], « Support de cours de modèle de durée »

26

portefeuille de rentiers (soit 700 000 rentes) d’après PLANCHET et SERANT [2006] 17.On obtient alors les taux de décès pour les générations de 1900 à 2005. On remarqueune tendance à la baisse pour les taux de mortalité expliquée par les progrès médicauxnotamment.

Valorisation du portefeuille : En utilisant cette table, nous obtenons un engage-ment de 151 millions d’euros. Voici un tableau récapitulant l’engagement obtenu à partird’autres tables de mortalité.

Table Engagement en millions d’euros Prospective Par sexe Par génération

TPRV standard 153,74 Oui Non NonTH-TF 2002 133,31 Non Oui NonTPG 93 141,26 Oui Non OuiTGH-TGF 2005 151,042 Oui Oui Oui

La table TPRV-93 (table prospective de rente viagère) a été réalisée par l’INSEE parextrapolation de la mortalité pour les générations entre 1887 et 1993 d’après FACTO-RIELLES [2006] 18. Cette table est basée sur la mortalité des femmes et a été la tablede référence pour la tarification et le provisionnement des rentes viagères pendant unedizaine d’année. La table TPG 93 est son équivalent par génération. La table TH-TF 02est une table publiée par l’INSEE.

On remarque donc une disparité importante de la valeur des engagements selon latable de mortalité utilisée. La figure suivante montre par ailleurs les écarts sur la valeuractuelle probable d’une rente viagère pour un homme de 65 ans et un taux technique de2%.

17. PLANCHET F. & SERANT D. [2006], « Tables de mortalité d’expérience pour les rentes »18. FACTORIELLES [2006], « La lettre de factorielles n°25 »

27

Figure 8 – Comparaison d’une VAP en fonction de la table de mortalité

Cette figure présente les écarts relatifs par rapport à la table TGH-TGF 2005. L’utili-sation de cette table indique donc des valeurs moyennes par rapport aux tables disponiblestout en étant assez prudente. Cette table apparait néanmoins la plus rigoureuse, étant pargénération, prospective et non mixte. Nous avons donc choisi de la retenir plutôt qu’uneautre table, d’autant plus que c’est actuellement la table réglementaire.

2.4.3 Mortalité stochastique

Le modèle de Lee-Carter est une méthode d’extrapolation des tendances passées et aété développé sur des données américaines. Ce modèle est devenu rapidement un standardpour la modélisation de la mortalité stochastique 19.Dans ce modèle, le taux instantané de mortalité se modélise de la façon suivante :

ln(µxt) = αx + βxkt + εxt avec les variables aléatoires εxt iid.

A la lecture de la formule, il s’agit donc d’ajuster à la série des logarithmes des tauxinstantanés de mortalité une composante paramétrique à laquelle s’ajoute une compo-sante aléatoire. Le critère d’optimisation va consister à maximiser la variance expliquéepar le modèle, ce qui revient à minimiser la variance des erreurs.

19. PLANCHET F. [2006], « Modèles prospectifs de mortalité avec dérive constante »

28

Le paramètre αx s’interprète comme la valeur moyenne des µxt au cours du temps.Le paramètre βx traduit la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapportà l’évolution générale des kt. Le modèle de Lee-Carter a la particularité de supposer laconstance au cours du temps de cette sensibilité.Afin de rendre le modèle identifiable, des contraintes sont imposées sur les paramètres(non décrites ici). Les paramètres sont estimés par un critère des moindres carrés.

La surface de mortalité est ainsi ajustée sur les données passées. Il reste à modéliser lasérie (kt) pour extrapoler les taux futurs ; pour cela, on utilise en général une modélisationtrès simple sur la base d’une régression linéaire en supposant une tendance affine (lamodélisation à l’aide d’une série temporelle de type ARIMA est couramment utiliséeaussi) :

k∗t = at+ b+ γt avec γt un bruit blanc.

On obtient ainsi des estimateurs a et b qui permettent de construire des surfacesprojetées en utilisant simplement k∗t = at + b. L’estimation des taux bruts de mortalitén’est en général possible que jusqu’à un âge limite relativement éloigné de l’âge maximumde survie. En pratique, les valeurs brutes estimées présentent une grande instabilité auxâges élevés du fait du faible effectif disponible. On dispose ainsi rarement de donnéesde bonne qualité au-delà de 90-95 ans. Par conséquent, on a recours à une méthode defermeture permettant de compléter la table avant d’effectuer l’ajustement.

2.4.4 Modèles financiers stochastiques

Sont définis ici les principaux modèles financiers qui seront utilisés dans les projections.

Le modèle de Hull & White à un facteur Ce modèle est régi par l’équation diffé-rentielle stochastique suivante :

drt = (θt − αtrt) dt+ σ(t)dWt (1)

où :– rt est le taux court– θt et αt sont deux paramètres déterministes– Wt est un mouvement brownien– σ(t) est la volatilité définie constante par morceaux

29

Ce modèle est donc du type retour à la moyenne. En effet, on peut caractériser αt comme

une vitesse de retour autour de la moyenneθtαt

.

Dans le cas où α est constant, on a pour solution :

rt = r0e−αt +

∫ t

0

e−α(t−s)θsds+

∫ t

0

e−α(t−s)σsdWs (2)

Le modèle action Dans ce modèle, l’indice suit la dynamique :

dSt = St [(rt − δ) dt+ η(t)dWt] (3)

où :– St est l’indice projeté– rt est le taux court stochastique– Wt est un mouvement brownien– σ(t) est la volatilité définie constante par morceaux

Ce modèle est un prolongement du modèle de Black & Scholes où le taux sans risque eststochastique et la volatilité est définie par terme, ce qui permet de mieux modéliser lesmile de volatilité par terme que l’on observe.

Inflation stochastique Il existe un certain nombre de modèles pour obtenir une infla-tion de façon stochastique. Sogécap utilise actuellement un modèle marginal, c’est-à-direque l’inflation est obtenue par différence entre les taux nominaux et les taux réels. Unmodèle complet de projection est actuellement en développement.

Le modèle marginal est simplement une différence entre les taux nominaux et lestaux réels. Soient rit, rrt , rnt , respectivement l’inflation, le taux réel et le taux nominal àun instant t. Le générateur de scénarios utilisé est Moses ESG et permet la calibrationautomatique des paramètres d’un modèle de Hull & White à un facteur. Il suffit d’entrerun certain nombre d’hypothèse comme la courbe des taux initiale, ainsi que les prix deswaptions sur cette courbe. Pour les taux nominaux, ces hypothèses sont directementdisponibles sur les marchés. Nous obtenons ensuite la courbe des taux réels en ôtant auxtaux nominaux l’inflation prospective des marchés. On obtient les deux surfaces de tauxsuivantes :

rnt = rn0 e−αnt +

∫ t

0

e−αn(t−s)θns ds+

∫ t

0

e−αn(t−s)σns dW

ns

rnt = rr0e−αrt +

∫ t

0

e−αr(t−s)θrsds+

∫ t

0

e−αr(t−s)σrsdW

rs

30

On a alors :

rit = rnt − rrt

=

(rn0 e−αnt +

∫ t

0

e−αn(t−s)θns ds+

∫ t

0

e−αn(t−s)σns dW

ns

)−(rr0e−αrt +

∫ t

0

e−αr(t−s)θrsds+

∫ t

0

e−αr(t−s)σrsdW

rs

)Un autre modèle actuellement envisagé par Sogécap est de générer une trajectoire

propre à l’inflation, à la manière d’une modélisation d’un indice des prix à la consomma-tion (CPI). Le modèle étudié se base sur l’équation différentielle suivante :

drit = (rnt − rrt ) dt+ σitdWit

2.4.5 Interactions actif-passif d’une rente viagère

Dans cette partie, nous allons essayer de poser les problématiques ALM pour les rentes.Sous la forme d’un modèle simple et illustré va apparaitre ce qu’on appelle les optionscachées, pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée. Soit un portefeuille composéd’une proportion ω1 de produits de taux (OPCVM rapportant rt en t) et d’une proportionω2 de produits indiciels. En appelant Rt le rendement du portefeuille, la simplificationsuivante est effectuée :

Rt = ω1rt + ω2StSt−1

On remarquera qu’à chaque fin de période, un achat-vente est effectué pour obtenir lerendement sur la période des actifs indiciels. De plus nous supposons que les dividendessont réinvestis.

A t = 0, l’assureur touche une prime pure exactement égale à la provision mathéma-tique. Autrement dit, l’assureur ne sera pas impacté par un résultat de gestion. De plus,nous supposons que la mortalité réelle est la même que celle utilisée dans la tarification.Enfin la norme comptable utilisée est ce que pourrait être la norme IFRS 4 phase 2, c’est-à-dire que les actifs sont en valeur de marché et la revalorisation impacte immédiatementla valeur de l’engagement. Les résultats financiers de l’assureur seront donc mis en valeurdans cette partie en fonction de plusieurs méthodes de revalorisation. Le bilan en t = 0

peut alors s’écrire de la façon suivante :

31

bilan à t = 0Actif Passifax ax

Arrérages non revalorisés Il peut arriver que la rente d’un assuré ne soit pas reva-lorisée. Commercialement parlant, cela donne généralement un mauvais produit mais quis’avère être très intéressant pour l’assureur. Le bilan simplifié à t = 1 est le suivant :

bilan à t = 1

Actif Passifévolution des encours ax × (1 +R1) px × ax+1

arrérages et revalorisation −1× px

Les arrérages ne sont versés qu’aux personnes vivantes à la fin de la période. De plus,la mortalité correspond exactement à la table utilisée dans le calcul des provisions, il n’ya pas d’écart technique sur la mortalité.On peut alors écrire le résultat de l’assureur de cette façon :

résultat = ax (1 +R1)− 1× px − pxax+1

= ax (1 +R1)− 1× px − px(axv px− 1

)= −px + px + ax (1 +R1)− ax (1 + i)

= ax (R1 − i)

Le résultat financier de l’assureur est donc l’écart (positif ou négatif) entre le rende-ment des actifs et le taux d’intérêt technique. En effet, ce dernier taux est calibré commeun taux d’actualisation, représentant le coût de l’argent. Simplement, si les actifs ont unrendement inférieur à ce qu’ils doivent rapporter par hypothèse, l’assureur est en perte,dans le cas contraire, la marge représente le gain de l’assureur.

Revalorisation à un taux discrétionnaire Dans le cas où les arrérages ne sont pasrevalorisés automatiquement il peut arriver que l’assureur décide de revaloriser les arré-rages dans un but commercial. Le bilan devient alors :

32

bilan à t = 1

Actif Passifévolution des encours ax × (1 +R1) px × ax+1

arrérages et revalorisation −1× px × (1 + r)

La revalorisation a lieu sur le montant investit, c’est-à-dire qu’elle ne concerne pas laprovision unitaire. La revalorisation des arrérages se fait à partir de t = 2. Le résultat del’assureur s’écrit alors :

résultat = ax (1 +R1)− 1× px − pxax+1 (1 + r)

= ax (1 +R1)− 1× px − px(axv px− 1

)(1 + r)

= −px + px (1 + r) + ax (1 +R1)− ax (1 + i) (1 + r)

= ax (R1 − (i+ r)− ir) + pxr

Le résultat se décompose ici en plusieurs éléments. Trois éléments concernent les gainset les coûts de la revalorisation des prestations futures et donc des provisions mathéma-tiques. Un dernier élément concerne le gain de la non revalorisation des arrérages à lapremière période :

– le premier terme représente les produits financiers de l’actif,– le second terme représente le coût de la revalorisation des provisions (i pour la partie

déjà tarifée, r pour le bonus),– le troisième terme représente le coût des intérêts croisés,– le dernier terme représente le bénéfice de la non revalorisation des arrérages pour la

première période.

Si le premier arrérage avait été revalorisé, on voit facilement que le dernier terme dis-paraitrait et ce qui entrainerait une diminution du résultat. Généralement, les termes iret pxr sont négligeables par rapport aux autres montants, d’autant plus que la revalorisa-tion est le plus souvent simultanée. Le résultat est bien approché par : ax (R1 − (i+ r)).Il coûte donc à l’assureur i pour la revalorisation technique et r pour la revalorisationsupplémentaire.

Lorsque la revalorisation à un taux fixe est contractuelle, elle est généralement tariféecomme suit :

33

fax =∞∑k=0

(1 + r)k vk kpx

=∞∑k=0

(1 + r

1 + i

)kkpx

=∞∑k=0

kpx

(1 + i′)k

Ce qui revient à considérer une rente viagère au taux technique i′ =1 + i

1 + r− 1 lorsque

i′ > 0. Le résultat de l’assureur s’écrit finalement dans ce cas :

résultat = fax (R1 − i′)

= fax

(R1 −

1 + i

1 + r+ 1

)Clause de participation aux bénéfices Dans la plupart des contrats d’assurancesvie, une clause contractuelle impose à l’assureur de reverser au moins une proportion τdu rendement. Il est alors possible d’écrire Rt = τRt + (1− τ)Rt où τRt représente lapart de richesse cédée à l’assuré et (1− τ)Rt la part de richesse conservée par l’assureur.Il est ensuite possible d’établir un bilan simplifié pour l’assureur.

bilan à t = 1

Actif Passifévolution des encours ax × (1 +R1) px × ax+1

arrérages et revalorisation −1× px ×(1 + (τR1 − i)+

)Le résultat est ensuite calculé par différence entre l’actif et le passif. Dans ce bilan

très simplifié sont présents quatre éléments :– les actifs revalorisés,– diminués du règlement des rentes pour la période sous forme de trésorerie négative,– des nouvelles provisions mathématiques qui tiennent compte de la revalorisation au

taux technique, des décès ainsi que des arrérages versés sur la période,– la revalorisation au-delà du taux technique.

La richesse obtenue par l’assureur peut alors s’écrire de la même façon qu’une revalo-risation discrétionnaire au taux (τR1 − i)+ :

34

résultat = ax(R1 −

(i+ (τR1 − i)+

)− i (τR1 − i)+

)+ px (τR1 − i)+

Ce résultat peut être écrit différemment selon le taux de distribution de la richesse :

résultat =

ax (R1 (1− τ)− i (τR1 − i)) + px (τR1 − i) si τR1 − i > 0

ax (R1 − i) sinon

Le résultat est donc composé de la part de richesse attribuée à l’assureur diminuéedes intérêts croisés de la revalorisation et augmentée des intérêts non distribués de l’ar-rérage versé cette période. Dans le cas où la richesse distribuée à l’assuré est inférieureaux intérêts techniques, il n’y a pas de revalorisation. En simplifiant les termes négli-geables, on retrouve la marge théorique de l’assureur soumis au partage des richesse :ax (1− τ)R1. Dans ce cas, les marges de l’assureurs deviennent directement proportion-nelle aux produits financiers alors que sans revalorisation on ôtait simplement i% desproduits financiers.

Ces différentes manières de revaloriser un contrat de rente permettent de comprendreles relations entre l’actif et le passif ainsi que de percevoir l’impact de la revalorisationsur le résultat. Bien entendu, la réalité est bien plus complexe pour un assureur. Parexemple, concernant le portefeuille de notre étude, la revalorisation n’est contrainte quepar la clause de participation aux bénéfices ajustée de l’impact d’une partie du résultattechnique. Toutefois, il est dans l’intérêt de la société de satisfaire les clients, le plussouvent retraités, et donc de revaloriser leurs arrérages à l’inflation. De plus, le rendementde l’actif peut être piloté grâce à la réalisation de plus ou moins value.

2.4.6 Vision Best Estimate

Les paragraphes précédents traitent du résultat « social »d’une compagnie. Néanmoins,les normes comptables et prudentielles à venir ont plutôt tendance à privilégier la visionBest Estimate du passif d’une entreprise ainsi que la valeur de marché des actifs.

Préliminaires Les flux financiers du BE ainsi que la valeur de marché des actifs né-cessitent un paramétrage d’actualisation. Soit (r1, . . . , r∞) la courbe des taux observéeà l’instant initial. L’assureur investit dans une obligation perpétuelle versant un coupon

35

annuel c. D’autre part, les contrats proposés par l’assureur sont des rentes viagères sansrevalorisation. On peut donc écrire la valeur de marché de l’obligation sous la forme :

A =∞∑i=1

c

(1 + ri)i (4)

D’autre part, le BE de l’assuré s’écrit :

BE =∞∑i=1

ipx

(1 + ri)i (5)

La Net Asset Value ou NAV se définit par différence A-BE. De cette façon, la NAV estle montant d’actif libre de tout engagement, en d’autres termes, c’est l’argent réellementpossédé par l’assureur. On remarque aussi que la NAV représente la valeur actuelle desmarges futures de l’assureur lorsqu’on l’écrit sous la forme :

NAV =∞∑i=1

c

(1 + ri)i −

∞∑i=1

ipx

(1 + ri)i

=∞∑i=1

c−i px(1 + ri)

i

Les marges se définissent facilement comme l’écart entre les coupons et les arréragesversés. Dans ce cas très simple, l’actif et le passif varient de la même façon aux variationsde taux, il n’y a aucun risque de perte pour l’assureur ayant des marges positives initia-lement. La NAV va simplement augmenter en cas de baisse des taux, et diminuer en casde hausse.

De plus, rappelons que la provision mathématique d’une rente viagère à terme échu estla valeur actuelle probable des arrérages futurs. L’actualisation des arrérages probablesse fait à un taux technique i. La condition du test d’adéquation du passif (LAT) est quela provision mathématique ainsi que la provision pour participation aux bénéfices différéeactive, qui égalent la valeur de marché des actifs, couvrent intégralement la provisionéconomique lorsque :

36

NAV > 0⇔ VM > BE

⇔∞∑k=1

c

(1 + rk)k>∞∑k=1

kpx

(1 + rk)k

⇐ ∀k, c >k px

Une condition suffisante est que chaque coupon soit supérieur à l’arrérage, c’est à direavoir une marge positive à chaque période. Cette condition n’est toutefois pas nécessaire,cette vision permet donc de considérer la possibilité que l’assureur ait un résultat négatifune année, sans que cela mette en péril le versement des arrérages futurs.

Participation aux bénéfices Le rôle de l’ALM face aux changements de réglemen-tation consiste dans une certaine mesure à modéliser les interactions actif-passif au seind’une compagnie d’assurance. Dans le cas précédent, il n’y avait pas d’interaction, ce quiarrive très rarement dans le cas de l’assurance vie moderne. Dans le cas présenté ci-après,l’actif reste inchangé, toutefois la clause de participation aux bénéfices est présente. Dansce cas, l’assureur doit verser à l’assuré le maximum entre un pourcentage τ de sa richesseexcédentaire et ce qui est garanti. Le BE de l’assuré s’écrit alors :

BEpb =∞∑i=1

ipx + (τc−i px)+(1 + ri)

i

Dans ce cas là, l’assureur voit sa part de richesse diminuer de la partie cédée à l’as-suré. Lorsque le premier coupon permet de régler l’arrérage, les marges de l’assureurreprésentent une proportion 1− τ de sa richesse initiale, comme vu dans la partie 2.4.5 :

NAVpb =∞∑i=1

c

(1 + ri)i −

∞∑i=1

ipx + (τc−i px)+(1 + ri)

i

=∞∑i=1

(1− τ)c

(1 + ri)i si τc > 1

= (1− τ)A si τc > 1

Dans le cas contraire, on peut trouver un instant t tel que τc > tpx et si le tauxd’actualisation est constant, on obtient :

37

NAVpb =∞∑i=1

c

(1 + r)i−∞∑i=1

ipx + (τc−i px)+(1 + r)i

=t∑i=1

c−i px(1 + r)i

+∞∑

i=t+1

(1− τ)c

(1 + r)i

= NAV<t + (1− τ)A

(1 + r)t

Les marges futures sont donc constituées des marges sans revalorisation jusqu’à l’ins-tant t et d’une proportion 1− τ de l’actif restant à l’instant t.

Sensibilité de l’actif et du passif aux variations de taux La valeur de marché de

l’actif choisi s’écrit A =∞∑i=1

c

(1 + ri)i . L’actualisation se fait à partir de la courbe des taux

à l’instant initial. Dans le cas d’une hausse instantanée de la courbe des taux, la valeur

de marché devient : Aup =∞∑i=1

c

(1 + rupi )i

< A. L’actif perd donc de la valeur dans le cas

d’une hausse des taux et réciproquement dans le cas d’une baisse.Le Best Estimate évolue dans le même sens du fait de l’actualisation, qu’il y ait ou nonde la participation aux bénéfices.

Néanmoins, les variations deviennent beaucoup plus complexes lorsque l’actif est com-posé de produits dont le rendement est aussi sensible aux taux. Supposons une obligation,toujours perpétuelle mais dont le coupon dépend de la courbe des taux (typiquement,une obligation à taux variable). On peut écrire la valeur de marché de l’obligation sous la

forme : A =∞∑i=1

f (r1, . . . , r∞)

(1 + ri)i . La sensibilité de l’actif à une variation des taux est alors

beaucoup plus délicate à obtenir et dépend grandement de la fonction f utilisée. Par laparticipation aux bénéfices, le BE est soumis à la même problématique.

Cet aspect, non développé précédemment, prend une place essentielle dans la politiqued’un assureur. En effet, le taux de rendement ne prenait en compte que les produitsfinanciers des actifs déjà en portefeuille. Or, la vente et l’achat de titres dynamiquementdans le temps est une source importante de revenu pour les compagnie d’assurance. Sansentrer dans la spéculation, il peut être plus rentable de vendre un titre à un instant donnéplutôt que continuer à toucher des coupons ou des dividendes. De plus, les actifs financiersont quasiment toujours une durée de vie limitée et l’assureur se doit de constamment

38

réinvestir les liquidités de son portefeuille, au moins pour satisfaire les contraintes detaux technique comme cela a été abordé précédemment. Par ailleurs, le paiement desprestations d’assurance requiert d’avoir des liquidités et l’assureur peut être amené àvendre des titres pour payer les assurés. La problématique de sensibilité aux variations detaux prend alors toute son importance. Un modèle efficace et réaliste se doit de prendreen compte tous ces paramètres.

39

3 Construction d’un modèle de rentes viagères

3.1 Présentation du progiciel

Les projections stochastiques d’un modèle ALM nécessitent des ressources informa-tiques puissantes ainsi qu’une plateforme de modélisation. Sogécap a choisi d’utiliser laplateforme MoSes pour réaliser les simulations et bénéficier d’une interface graphiqueainsi que MoSes ESG pour construire les tables de scénarios.

3.1.1 MoSes

Ce progiciel permet l’élaboration d’applications qui sont compilées puis exécutées surun ordinateur ou une plateforme. Ces applications peuvent être achetées à Towers Watsonou bien développées en interne. C’est ce second choix qui a été retenu par Sogécap. Lesapplications sont regroupées dans un arbre qui les exécute dans l’ordre souhaité. Ellessont par ailleurs codées en C++. De plus MoSes permet l’exécution de scénarios stochas-tiques sur une plateforme HPC (Microsoft). Lorsque de nombreux moteurs de calculs sontdisponibles, il est possible d’exécuter un scénario par moteur, la plateforme les agrégeantensuite.

Une des particularités de ce progiciel est l’exécution des calculs sur des bases de don-nées. En effet, au sein du code C++ existent des fonctions de gestion de base de données,ainsi, on peut rapidement exécuter des calculs du Model Point, agréger par une simplecommande « sm_ »pour avoir les résultats par produits et agréger tous les produits parfonds, puis par compagnie.

MoSes bénéficie d’une interface graphique et de la gestion de profils utilisateurs, cequi en fait une plateforme à la fois pratique et fiable. On peut en effet gérer différentsprofils en administrant les droits utilisateurs et développeurs.Pour comprendre la complexité d’un modèle ALM le schéma suivant va être détaillé afinde comprendre quelles modifications sont nécessaires lors de l’intégration des produits derentes.

40

Figure 9 – Organigramme d’un modèle ALM

Les applications sont exécutées selon une hiérarchie bien précise. L’actif est géré parl’application Asset qui comprend les sous-applications Equity, Bond, Option et IRD quicalculent les valeurs de marché et comptables des actions, obligations, options et dérivésde taux respectivement. Ces actifs sont calibrés à partir des données du générateur descénarios.

Le passif est calculé par branche de produit. A l’issue de ce travail, l’application Lia-bility comprend deux sous-applications savings et annuity qui calculent les engagementsd’épargne et de rente. On peut toutefois envisager l’ajout à ce niveau d’autres produitscomme de l’assurance des emprunteurs ou des produits mixtes.

Afin de prendre en compte les interactions entre l’actif et le passif d’une compagnie,la partie ALM proprement dite est gérée par l’application fund qui fonctionne comme unfonds cantonné pour un assureur. En effet, c’est à ce niveau que les flux de l’actif et dupassif sont regroupés, analysés et répartis grâce aux modules Investment et Crediting. Lepremier gère la réalisation de vente et d’achat de titres tandis que le second permet larevalorisation des contrats au passif via une politique de taux servis.

Les flux par fonds sont ensuite cumulés dans l’application Company qui permet alorsde calculer le résultat de la société.

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3.1.2 MoSes ESG

Moses ESG est le générateur de scénarios économiques commercialisé par Towers Wat-son. C’est un générateur risque neutre permettant de modéliser de nombreux indicateurstels que :

– la courbe des taux,– des indices actions,– des spreads,– l’inflation,

Les différents modèles disponibles pour les taux sont :– les modèles gaussiens type Heath-Jarrow-Morton,– le modèle de Hull & White à volatilité constante ou par terme,– le modèle de Cox-Ingersoll-Ross,

Les différents modèles disponibles pour les indices sont :– des mouvements browniens géométriques à taux d’intérêt stochastique et volatilité

constante,– à volatilité par terme,– modèle géométrique à sauts,

Les spreads sont projetés à l’aide d’un modèle CIR++, et l’inflation est déduite de ladifférence taux réel-taux nominal.On utilisera ici un modèle de Hull & White à un facteur avec volatilité par terme pourles taux, un mouvement brownien géométrique à volatilité par terme pour les indices .

3.2 Passif

Le modèle ALM comprend deux applications qui concernent les rentes, la premièregénère les flux des annuités alors que la seconde les cumule par produit.

3.2.1 Paramétrage

L’application Annuity projette les Model Points individuellement sur toute la duréede la projection et nécessite un certain nombre d’informations.

Model Points Tout modèle actuariel repose sur l’utilisation de Model Points que l’ap-plication Annuity va projeter un à un. APPERCEL [2009] 20 donne la définition suivante

20. Site du CNAM, section Le coeur du métier.

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du Model Point :

Un model point est un sous portefeuille homogène. Le portefeuille global estsegmenté par l’âge x, la durée du contrat n, la durée de présence dans lecontrat t ou le capital C.Un model point est un quadriplet (x, n, t, C).

Néanmoins une version plus complète a été utilisée pour ce modèle de rente. La définitiondu Model Point est la suivante :

Model Point = (j, p, s, x, d,m, n,K, i)

avec les paramètres suivants :– j est l’identifiant du Model Point, c’est grâce à cet identifiant que le modèle boucle

sur les différents Model Point et écrit des sorties par ligne. Ce paramètre est unentier,

– p est le code produit, c’est un identifiant qui relie le Model Point à une base produitdans laquelle les caractéristiques de ceux-ci sont regroupées. Ce paramètre est unechaîne de caractère,

– s est le sexe de l’assuré. Il est nécessaire du fait de l’utilisation des tables pargénération TGH-TGF 2005. Ce paramètre est une chaine de caractère,

– x est l’âge de l’assuré à la date de projection. Il est nécessaire pour calculer lesprovisions ainsi que les décès. Ce paramètre est un entier,

– d est la date de signature du contrat. Cette date a été prévue dans l’optique d’im-plémenter les rentes différées avec déclenchement à 65 ans. Ce paramètre est unedate,

– m est la date de maturité du contrat. Cette date a été prévue dans l’optique d’im-plémenter les rentes temporaires. Ce paramètre est une date,

– n est le nombre d’assurés regroupés dans le Model Point. Il rentre en compte dansle calcul des frais généraux qui sont en coût unitaire. Ce paramètre est un entier,

– c est le montant du prochain arrérage, qui est utilisé pour calculer les provisionsinitiales ainsi que les arrérages. Ce paramètre est un flottant,

– i est le taux technique de l’assuré. Il est utile pour calculer le montant des engage-ments. Ce paramètre est un flottant.

Sur le portefeuille étudié, les Model Points ont été construits à partir d’une base de3087 contrats répartis sur 11 produits différents. Afin de limiter le nombre de lignes deModel Points - le temps de projection étant proportionnel au nombre de lignes - une étudea été menée pour agréger certaines lignes tout en limitant la perte d’informations.

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Les critères d’agrégation retenus sont les suivants :– agrégation par âge pour que les décès évoluent de la même façon pour une ligne

donnée,– agrégation par taux technique : cumulé avec le critère précédant, deux lignes agré-

gées auront la même provision unitaire ax,– et agrégation par produit afin d’être cohérent en ce qui concerne les frais ainsi que

la quote-part, spécifiques aux produits.

On obtient des données agrégées sans aucun manque d’information par rapport à la baseinitiale comme le montre le tableau suivant :

Information Base Model PointsNombre de lignes 3087 1066Nombre d’assurés 3087 3087Arrérages totaux 14 648 332 e 14 648 332 e

Taux technique moyen 21 2,71 % 2,71 %Age moyen 75,48 ans 75,48 ans

Afin d’améliorer le temps de calcul, il est envisageable de modifier les critères d’agré-gation mais au détriment de l’information.Voici un aperçu d’un Model Point avant qu’il soit importé dans le modèle :

Figure 10 – Première ligne du Model Point

Les Model Points sont ensuite convertis en fichier .csv afin d’être importés dansMoSes.

Hypothèses En plus, des Model Points, le modèle requiert un certain nombre d’hypo-thèses complémentaires afin de réaliser les projections :

1. La table TGH-TGF 2005 est entrée intégralement en hypothèse et le modèle estcapable de lire en fonction d’un âge et d’une année de naissance le lx correspondant.

2. La table des rendements bruts de l’actif peut être lue dans le cas où l’on choisit desimplement donner (τRt − i)+ au lieu d’utiliser une politique de taux servis.

3. La table Product contient toutes les informations relatives aux produits :– on entre en donnée le montant de la provision pour excédent pour le produit,

ainsi qu’un booléen indiquant s’il y est soumis,

21. Taux technique moyen pondéré par les montants d’arrérages

44

– Un booléen indiquant si le produit est « phare » ou non. Cet aspect sera détailléplus loin dans ce document. Si le booléen est négatif, il est nécessaire de fournirle nom de son produit « phare ».

– De nombreux paramètres sont à remplir afin d’exécuter la politique de taux servis.Ils seront détaillés par la suite et concernent notamment les taux servis minimumset cibles, les marges minimum et cible ainsi que les paramètres déterminant letaux concurrentiel.

– Les frais généraux par produit sont également déclarés dans ce fichier. Ils sont detrois natures : fixes, proportionnels et unitaires.

– Un abattement sur la table de mortalité peut être entré dans cette table. Celui-ci n’est appliqué que sur les décès et non sur le provisionnement ce qui induitnécessairement une variation technique.

– Les taux de revalorisation des deux années précédentes doivent aussi être rensei-gnés dans cette table car la politique de taux servis en a besoin.

– La quote part τ ainsi que les chargements sur encours et arrérages sont disponiblesdans cette table.

4. Des informations complémentaires doivent être renseignées sur le fonds relatif auxrentes.

3.2.2 Annuity

La modélisation des flux des rentes a nécessité le développement d’un certain nombrede fonctions, qui seront détaillées dans cette partie.

Variables actuarielles Certaines variables actuarielles ont été implémentées dans lemodèle. Le modèle lit la table de mortalité en fonction de l’âge et de l’année de naissanceet une fonction renvoie le lx correspondant. Les Dx sont déduits de cette fonction ainsique de l’âge et du taux technique. Les Nx sont calculés à partir de la somme des Dx

et ainsi le modèle est capable de calculer la valeur actuelle probable, assimilable à uneprovision unitaire, de la rente viagère ax.

Gestion des provisions Les provisions font l’objet d’un certain nombre de fonctionsqui seront abordées dans le même ordre que dans le modèle. Il faut en premier lieu souli-gner que les provisions sont calculées de manière unitaire puis globale. En effet, les ModelPoints contiennent des informations relatives à un individu ainsi qu’un nombre d’assurés.De plus, l’explication simplifiée des interactions actif-passif de la partie précédente faitapparaitre le facteur px devant la provision unitaire ax+1 à la fin de la première période.

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Ce facteur, multiplié par le nombre d’assuré j peut être interprété comme le nombre desurvivants à la date donnée.

Il convient de calculer ax+t−1 la provision unitaire non probabilisée pour un individud’âge x en début de projection et au début de la période t. La provision unitaire proba-

bilisée au début de la période t s’écrit alors ax+t−1t−1∏k=0

px+k.

L’hypothèse est faite que l’individu atteint l’âge x+ t durant cette période.

À la fin de période, ces provisions s’écrivent respectivement : ax+t et ax+tt∏

k=0

px+k.

On dira par ailleurs que cette provision est unitaire, après mortalité et non revaloriséeau delà du taux technique. Pour obtenir les provisions globales, le principe est de multi-plier les provisions unitaires par le montant des droits.Ces droits correspondent au prochain arrérage qui sera versé à l’assuré. La provision glo-bale en début de période s’écrit donc PM(t− 1), la provision en fin de période est PM(t).Cette dernière correspond à la somme de la provision globale non revalorisée au delà dutaux technique et des intérêts crédités (revalorisation).La provision globale non revalorisée est donc un calcul intermédiaire indispensable. Elle secompose de la provision unitaire probabilisée non revalorisée multipliée par les arrérages.Un ajustement est fait sur la probabilité car les deux termes sont probabilisés. On noteraaussi que la provision non revalorisée au taux technique est aussi disponible. Elle est calcu-lée à partir de la provision non revalorisée au delà du taux technique et est divisée par 1+i.

La gestion des provisions dans le modèle est assez complexe, il faut tenir compte dela provision réglementaire, de la revalorisation au delà du taux technique, de la mortalitéainsi que des droits des assurés. Cela explique le nombre de fonctions différentes quiexistent au sein du modèle.

Taux et revalorisations Plusieurs taux vont être utilisés dans les paragraphes suivantsà des fins de revalorisation :

– i est le taux technique,– Rt est le taux servi,– (Rt − i)+ est le taux de revalorisation au delà du taux technique– Rbrut

t est le taux de rendement brut de l’actif : c’est l’ensemble des produits financiersde l’actif divisé par le montant des provisions mathématiques au passif.

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Les intérêts dits techniques correspondent à l’argent à provisionner en plus afin d’assurerle règlement des engagements futurs. Ils sont donc égaux à (PM(t− 1)− arrérage) × i.Les intérêts crédités s’écrivent comme le produit de la provision globale non revaloriséeet du taux de revalorisation au delà du taux technique.

Gestion des arrérages Les arrérages ont une modélisation similaire aux provisions.La complexité est néanmoins moindre car il n’y a pas de problématique de réglementationni de taux technique.

– Les arrérages sont d’abord calculés de manière unitaire. Initialement, on considèreque l’arrérage est celui donné par le Model Point. Il est ensuite probabilisé de ma-nière à verser les arrérages uniquement aux personnes encore en vie à la date t. Deplus, les arrérages sont revalorisés au taux déterminé par la politique de taux servi.

On a alors un arrérage unitaire s’écrivant sous la formet−1∏k=0

1 + (Rk − i)+t∏

k=0

préelx+k.

Conformément à ce qui a été défini dans la partie précédente, le taux de revalo-risation est défini à la fin de la période précédente. La mortalité appliquée ici estune mortalité réelle, c’est à dire constatée historiquement dans le portefeuille. Pourcela, on applique un abattement de la table de mortalité pour essayer de projeterau plus proche de la réalité conformément aux préconisations des normes IFRS ouSolvabilité 2. On a alors préel

x = abattement× px.

– Les arrérages versés à la fin de la période t s’écrivent doncKt−1∏k=0

1+(Rk − i)+t∏

k=0

préelx+k

Cash Flows Les provisions ainsi que les arrérages ont été modélisés, il convient à présentd’inventorier les cash flows, nécessaires à l’obtention du Best Estimate par exemple. Lesflux que l’assureur doit aux clients sont les arrérages moins les frais prélevés. Les fraissur arrérages sont prélevés au moment du versement et sont calculés à partir d’un tauxdisponible dans la table des hypothèses par produit. Ce sont les seuls cash-flows par ModelPoints.Les frais généraux viendront s’ajouter au niveau produit, dans l’application Liability. Àpartir de ces flux, on peut déduire le montant des engagements en vision économique parcontrat.

Résultats Le résultat au niveau Model Point se décompose en résultat financier etrésultat technique.

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résultat financier = produits financiers

− intérêts techniques

− intérêts crédités

+ frais sur arrérages

Le résultat se compose donc des flux entrants : les produits financiers de l’actif et lesfrais sur arrérages ainsi que les flux sortants c’est à dire les intérêts crédités à l’assuré.

résultat technique = PM(t− 1)

− provision non revalorisée

− arrérage versé

+ intérêts techniques

Dans le cas où les intérêts techniques sont versés intégralement par l’assureur et la mor-talité égale la table de mortalité, le résultat technique est nul. Une plus grande mortalitéa pour impact une diminution de l’arrérage versé, donc un résultat technique positif etinversement. De plus, si l’assureur ne peut pas verser l’intégralité des intérêts techniques,alors le résultat technique est négatif.

3.2.3 Liability

Cette application exécute des calculs au niveau produit. Là où Annuity bouclait sur1066 lignes, Liability boucle sur seulement 11 lignes, qui correspondent à l’agrégation desModel Points par produit. Ce module permet toutefois l’appel de toutes les fonctionsd’Annuity, les résultats sont par défaut sommés par produit.

Frais généraux De plus, les frais généraux entrent en considération dans le calcul desengagements. Ils sont calculés par produit, et de trois manières différentes :

– les coûts fixes sont des sommes nécessaires au fonctionnement de la commercialisa-tion de n’importe quel produit. Ce montant est ajouté tel quel à la somme finale,

– les coûts proportionnels sont des frais qui dépendent du montant des encours. Ilssont généralement relatifs aux montants géré à l’actif et sont toutefois calculésproportionnellement aux provisions mathématiques,

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– les coûts unitaires sont des frais qui dépendent du nombre de contrats gérés. Ilsreprésentent le coût de gestion des contrats (souscription, versements etc . . .) etdépendent du nombre de contrats correspondant à ce produit. Ils sont calculés enfonction du nombre d’assurés survivant à la date t.

Provision pour participation aux excédents Les assureurs ont généralement pourcontrainte de verser chaque année un pourcentage des produits financiers aux assurés.Toutefois, ces produits financiers doivent être distribués aux assurés, par une revalorisa-tion, selon une durée variable. Les assureurs disposent donc d’une provision particulière,la provision pour participation aux excédents ou PPE, qui peut être dotée en cas desurplus de produits financiers par rapport au taux de revalorisation défini par l’assureur.Réciproquement, si les produits financiers sont insuffisants pour financer le taux de reva-lorisation, plutôt que d’avoir à vendre des titres pour augmenter les produits financiers,l’assureur peut à ce moment reprendre de la PPE pour augmenter la revalorisation.

Cette provision permet donc aux assureurs de lisser la revalorisation des contrats etde provisionner de la richesse qui sera distribuée en temps de crise. Au bilan cette pro-vision est une dette de l’assureur vis à vis de l’assuré, au même titre que les provisionsmathématiques. Elle n’a pas d’impact direct sur le résultat, la richesse passant toujoursde l’assureur à l’assuré en cas de dotation. En cas de reprise, la PPE évite la vente (etéventuellement la réalisation de moins-value) de titres, et augmente la satisfaction clientpar un mouvement uniquement au passif, sans impact sur le résultat. En revanche, lesassureurs ne peuvent pas financer des taux minimums ou des taux techniques à l’aide decette provision.

La modélisation de la PPE respecte toutes les règles définies précédemment et fonc-tionne par produit. Le mécanisme de dotation et reprise de cette provision seront toutefoisabordés dans la partie concernant la politique de revalorisation des contrats.

3.2.4 Politique de taux servi

La politique de taux servi implémentée dans le modèle est transverse à diverses ap-plications, bien que le taux servi finalement est calculé dans Liability. Cette politiquea été certainement la partie la plus complexe de ce travail et est inspirée de la poli-tique appliquée à l’épargne chez Sogécap. En effet, on peut assimiler la rémunération desprovisions mathématiques de rente à celle appliquée à des provisions d’épargne. Un taux

49

technique augmente les provisions de rente de la même façon qu’un taux minimum garantien épargne. Ce qui est au-dessus du taux technique n’est pas fondamentalement différentque ce soit des rentes ou de l’épargne. L’algorithme présenté prend aussi en compte lesmarges financières de l’assureur. C’est donc un double objectif de satisfaction assurés etassureurs que ce programme essaie d’optimiser.

Notions Un certain nombre de paramètres sont à définir avant de pouvoir détaillerl’algorithme de taux servi :

1. Le taux technique est le taux de rendement du capital promis à l’assuré par l’assu-reur pour être en mesure de lui verser des arrérages déterminés. Il ne peut être servique par le rendement de l’actif, aucune reprise de PPE n’est admise pour l’atteindre.

2. Le taux de participation aux bénéfices est défini par produit et correspond au pour-centage de produits financiers redistribué aux assurés. En France, il ne peut pas êtreinférieur à 85%.

3. Le taux concurrentiel est le taux supposé servi par la concurrence, il est actuellementfonction du taux long (10 ans) ainsi que du taux court (1 an). Les paramètressont calculés à partir des données du marché et mis à jour annuellement. Le tauxconcurrentiel s’écrit comme le maximum entre une fonction linéaire du taux courtet du taux long ainsi qu’une fonction linéaire de la moyenne mobile sur 2 ans detaux long :

taux concurrentiel = max

a× taux court + b× taux long + d

e×MA2ans (taux long) + f

4. Le taux cible correspond au taux que l’assureur souhaite servir aux assurés. Il estdéterminé en fonction du taux servi l’année précédente et de la conjoncture écono-mique.

taux cible(n) = taux servi(n− 1) + ∆(n)

On souhaite que le taux cible suive la moyenne mobile du taux servi sur 2 ans avecun coefficient V% qui représente en quelque sorte une vitesse de convergence, leparamètre ∆ s’écrit alors :

∆(n) = V%×(MA2ans(taux concurrentiel)− taux servi(n− 1)

)Le taux cible peut alors s’écrire comme une moyenne pondérée du taux servi del’année précédente et du taux de la concurrence, le paramètre V% peut être assimilé

50

à la volonté de l’assureur de converger ou non vers la concurrence :

taux cible(n) = (1− V%) taux servi(n− 1) + V%×MA2ans(taux concurrentiel)

5. Le taux minimum est le taux de rémunération du produit en dessous duquel l’assu-reur ne veut pas descendre. Il est supérieur ou égal au taux technique.

6. La marge cible est la marge que l’assureur souhaite dégager, elle est supérieure auxfrais généraux et est souvent corrélée aux objectifs du budget. Elle s’exprime ici enpourcentage des produits financiers disponibles.

7. La marge minimum est le montant de marge qui permet de couvrir les frais générauxsans bénéfice.

8. Le taux brut est le taux de rendement de l’actif à l’année n.

D’autres paramètres sont entrés dans le modèle pour affiner la politique de taux servi.En effet, on définit un pourcentage maximum de plus ou moins values à réaliser et unpourcentage maximum de reprise de PPE.

Algorithme L’algorithme fonctionne par étape, à chaque étape, un taux servi est cal-culé, s’il est suffisant, il y a une sortie, sinon il passe à l’étape suivante :

1. Le modèle calcule un taux servi initial égal au taux brut réduit de la marge cible. Sice taux est supérieur au taux cible, alors le taux finalement servi est le taux cible,le résultat est la différence entre le taux brut et le taux servi initial et l’on dote àla PPE la différence entre le taux servi initial et le taux cible. On peut décomposerle taux brut en :

taux brut = (marges cibles) + (taux cible) + (taux brut−marge cible− taux cible)

La première partie revient à l’assureur, la seconde à l’assuré directement et la troi-sième à l’assuré via la PPE.

2. Dans le cas où le taux servi initial est inférieur au taux cible, il y a réalisation deplus ou moins values jusqu’à l’obtention du taux cible. Si le montant de plus oumoins values réalisé est inférieur au maximum autorisé, alors le taux servi est letaux cible et le taux brut peut s’écrire :

taux brut2 = (marges cibles) + (taux cible)

51

Ce taux brut recalculé après la vente de titres et se répartit entre résultat et reva-lorisation.

3. Si (taux brut2 −marge cible) est toujours inférieur au taux cible lorsqu’on atteintle maximum de réalisation de PMVL, on reprend de la PPE dans la mesure dupossible pour augmenter le taux servi. S’il atteint le taux cible, le taux brut peutalors s’écrire :

taux brut2 = (marges cibles) + (taux brut2 −marges cibles + reprise PPE)

− (reprise PPE)

4. Si (taux brut2 −marges cibles + reprise PPE) < taux cible alors l’assureur décidede servir le taux minimum définit précédemment. Plusieurs cas de figures se pré-sentent, si les marges sont supérieures aux marges minimum, alors une répartitionde la richesse est faite selon un pondération pré-définie entre assuré et assureur.Sinon, l’assureur sert le taux minimum et réduit au maximum ses marges.

3.3 Actif

3.3.1 Scénarios

Le générateur de scénarios nous donne une surface des taux (une courbe des taux pourchaque période de projection) ainsi que divers indices tels que le CAC ou l’évolution del’immobilier.Toutefois, la courbe des taux obtenue ne contient que 10 maturités, donc le modèle procèdeà une interpolation spline cubique pour utiliser des maturités différentes. Le principe estsimple : il consiste à faire une interpolation polynômiale de degré 3 par morceaux. Ensuitele modèle calcule les différents taux, taux forward et prix.

Notations Tout d’abord, on distinguera les taux nominaux des taux réels au sens del’inflation. De plus, les problématiques de projection en univers risque neutre ou univershistorique nous ont amenés à prendre en compte une marge de risque (spread en anglais).Les spreads sont définis dans une table d’hypothèses et sont mis à zéro en projectionrisque neutre. MICHELIN [2012] a récemment développé dans le modèle des spreadsstochastiques 22 qui seront toutefois désactivés dans l’étude. Les notations suivantes serontutilisées par la suite :

22. MICHELIN O. [2012], « Risque de crédit : implémentation dans un modèle ALM, allocationsoptimales sous Solvabilité 2 », Mémoire d’actuariat

52

– la période de projection t, en mois contrairement aux rentes, comptabilisées annuel-lement,

– la maturité du taux en question M ,– le différentiel pour les taux forward d,– le spread zRW ,– la fréquence des coupons f .

Interpolation spline cubique de la courbe des taux Afin d’optimiser les temps dechargements des courbes des taux spot à chaque période de projection, certains points(maturités) constituant la courbe des taux ne sont pas lus dans le fichier de scénarioséconomiques, mais obtenus par interpolation spline cubique. Cette interpolation permetla courbure entre les points, contrairement à une interpolation linéaire.

On définit un interpolateur polynômial passant par les points (xk, τk) pour k = {0 ... 9}et avec (xk)k = {1; 3; 6; 12; 36; 60; 120; 180; 240; 360} exprimés en mois et les τk les tauxcorrespondant. L’interpolateur σ qui lie les points (xk+1, τk+1) est de forme polynômialedu troisième ordre sur l’intervalle [x0, x9] :

σk(x) = σk,0 + σk,1 × (x− τk) + σk,2 × (x− τk)2 + σk,3 × (x− τk)3, x ∈ [xk;xk+1] (6)

Et est soumis à ces contraintes :

σk(xk) = τk

σk(xk+1) = σk+1(xk+1)

σ′k(xk+1) = σ′k+1(xk+1)

σ′′k(xk+1) = σ′′k+1(xk+1)

(7)

On comprend la première condition comme l’interpolation de (xk, τk), les autres condi-tions expriment la continuité de l’interpolateur et de ses dérivées première et seconde. Ilfaut noter que pour chaque spline σk(x) sauf la dernière, il y a quatre équations et quatreinconnues. Pour la dernière, on impose des conditions aux derniers points. La constructionde cette interpolation ne sera pas traitée dans ce document 23.

On obtient alors une surface des taux bien plus complète. La figure suivante montre

23. La démonstration est disponible sur le site de Nicolat Daget

53

un scénario dit « critique »avec des inversions de la courbe des taux, qui parfois atteintdes valeurs extrêmes :

Figure 11 – Surface des taux obtenue par interpolation spline cubique

Le modèle utilise ensuite un certain nombre de paramètres économiques qui serontdécrits ci-après :

Taux zéro coupon : la fonction get_zcr (zero coupon rate) sert uniquement à vérifierque lorsqu’on projette dans l’univers réel, on ajoute bien le spread, l’interpolation étantvérifiée par la fonction précédente, on a alors, pour une date de projection et une maturitédonnée :

zcr(t,M, zRW) = zcrinterpolé(t,M) + zRW

Prix d’une obligation zéro coupon : la fonction get_dbp (discounted bond price) calculele prix d’une obligation ne versant pas de coupon en fonction d’une maturité et d’unedate de projection, c’est en d’autre terme un facteur d’actualisation :

dbp(t,M, zRW) =1

(1 + zcr(t,M, zRW))M12

54

Taux zéro coupon forward : la fonction get_zcfr (zero coupon forward rate) calcule lestaux forward à partir de la courbe des taux et en fonction d’une date de projection,d’évaluation et une maturité. La formule est la suivante :

zcfr(t, d,M, zRW) =

(dbp(t, d, zRW)

dbp(t, d+M, zRW

) 12M

− 1

Prix forward d’une obligation zéro coupon : la fonction get_dbfp (discounted bondforward price) le calcule à partir des prix spot et en fonction de la courbe des taux, d’unedate de projection, d’évaluation et une maturité :

dbfp(t, d,M, zRW) =dbp(t, d+M, zRW)

dbp(t, d, zRW)

Taux couponné : Certains taux du marché sont des taux couponnés, c’est-à-dire quele rendement auquel ils font référence tient compte des coupons, comme les taux CMSpar exemple. Ils sont calculés grâce à la fonction get_cpn_rate qui a pour arguments unedate de projection, une maturité, un spread ainsi qu’une fréquence de coupon :

cr(t,M, zRW, f) = f × 1− dbp(t,M, zRW)M∑

j=t+1

dbp(t, j, zRW)

Taux couponné forward : Ils sont calculés par la fonction get_cpn_rate_fwd qui a pourarguments une date de projection, un différentiel, une maturité, un spread ainsi qu’unefréquence de coupon :

crf(t, d,M, zRW, f) = f × 1− dbfp(t, d,M, zRW)M∑

j=t+1

dbfp(t, d, j, zRW)

Notons que toutes ces fonctions existent pour les taux réels mais ne diffèrent que par lasurface des taux utilisée initialement.

À présent que l’interpolation des courbes des taux et les calculs de taux/prix sontdisponibles, les actifs peuvent être évalués. On distingue trois classes d’actifs, elles-mêmedivisées en sous-catégories : les obligations (taux fixe, taux variable, OATi et convertibles),les actifs indiciels (actions, immobiliers, monétaire, OPCVM taux/actions et structurés)et les Interest Rate Derivatives (Cap, Floor et Swaption).

55

3.3.2 Titres obligataires

Les tires obligataires du portefeuille sont de différents types, on traitera dans ce do-cument la modélisation des obligations taux fixe, taux variable et indexées sur l’inflation.

Traitements initiaux Afin de faire correspondre exactement la valeur de marché réelledes titres obligataires à la date d’inventaire avec la valeur de marché recalculée par lemodèle, plusieurs méthodes sont disponibles en fonction de l’univers des scénarios écono-miques de la projection :

Risque neutre : Dans cet univers, on souhaite que l’obligation rapporte le taux sansrisque pour qu’il n’y ait pas de création ou de destruction de valeur. On va donc procé-der à la modification de la valeur de marché de l’obligation. Les flux de l’obligation sontactualisés par la courbe des taux initiale, actualisation qui correspond également à l’ac-tualisation aux taux sans risque forward cumulés. La valeur de marché obtenue est celledite recalculée. Pour retrouver la valeur de marché initiale (réelle), il suffit de modifier lesflux, en l’occurrence, le nominal :

nominalRNinit(0) = nominalinit(0)× VMinit(0)

VMrecalculée(0)

Avec : nominalinit(0) et VMinit(0) les valeurs données comme hypothèses par les Mo-del Points. On utilise ici la fonction de calcul de valeurs de marché qui est définie plus bas.

Monde réel : Dans cet univers, les flux de paiement doivent rester identiques à laréalité. Contrairement à l’univers risque neutre, le nominal n’est pas déformé. Toutefois,on constate que VMrecalculée(0) 6= VMinit. Afin de neutraliser ce biais, nous intégrons unspread zjRW spécifique à chaque obligation j et qui vérifie :

VMinit(0) =∑t

CFt(nominalinit(0))

(1 + zcr(0, t) + zjRW)t

zjRW est aussi déterminé par dichotomie. Concernant le TRA, il ne doit pas y avoir debiais entre les Model Points et la VNC recalculée, néanmoins, en cas d’écart, le TRA estrecalculé.

Obligations Taux Fixe– Nominal : Il n’évolue pas au cours du temps pour une obligation taux fixe,– Flux : Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements,

CFt = coupon(t) + remboursement(t)

56

avec, si r est le nombre de coupons annuels :coupon(t) = taux de couponr

× nominal× 1t≡0 (mod 12r)

remboursement(t) = taux de remboursemement× nominal× 1t=maturité

– Valeur de marché : Elle est obtenue en actualisant les flux de l’obligation aux tauxde marché(courbe des taux zéro coupon et spread de l’obligation le cas échéant),

VM(t) =∑

i≤maturité

coupon(t)

(1 + zcr(t, i) + zRW1RW)i12

+remboursement(t)

(1 + zcr(t, i) + zRW1RW)i12

– Valeur nette comptable : Elle est obtenue en actualisant les flux de l’obligation autaux de rendement actuariel (qui permet d’intégrer l’amortissement du titre),

VNC(t) =∑

i≤maturité

coupon(t)

(1 + tra)i12

+remboursement(t)

(1 + tra)i12

Obligations Taux Variable Une obligation à taux variable reverse un coupon dontle taux de coupon est réévalué périodiquement. On considère ici les obligations à tauxvariables indexées sur le CMS.

– Nominal : Idem obligation taux fixe.– Flux : Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements,

CFt = coupon(t) + remboursement(t)

avec, si r est le nombre de coupons annuels, ti−1 la date du précédent coupon ainsique fréf et matréf la maturité et la fréquence du taux de référence :coupon(t) = cr(ti−1,matréf, fréf) + marge additive× 1

r× nominal× 1t≡0 (mod 12

r)

remboursement(t) = taux de remboursement × nominal× 1t=maturité

Dans le calcul de la valeur de marché, qui est la somme des flux futurs actualisés,on aura besoin d’une estimation de la valeur des coupons. On utilise donc les tauxCMS (couponnés) forward et on définit les coupons forward tombant en i et évaluéen t comme suit :

coupon_tfwd(t, i) =crf(t, t+ i) + marge additive

r× nominal

– Valeur de marché : Elle s’écrit alors comme la somme du prochain coupon (que l’on

57

connait puisqu’il est définit à la précédente tombée de coupon) et des flux futursestimés :

VM(t) =coupon(t)

(1 + zcr(t, t+ r12

) + zRW1RW)r12

+∑

t+ 12r≤i≤maturité

coupon_fwd(t, i)

(1 + zcr(t, i) + zRW1RW)i12

+remboursement(t)

(1 + zcr(t, i) + zRW1RW)i12

– Valeur nette comptable : Les obligations à taux variables sont amorties linéairement,ce qui donne :

VNC(t) = VNC(0) +nominal× taux de remboursement− VNC(0)

maturité× t

Titres indéxés sur inflation : Les coupons et le nominal d’une OATi sont réévalués àdates fixées pour prendre en compte l’inflation cumulée depuis le lancement de l’emprunt.

– Nominal : Chaque mois, on impacte le nominal par le taux d’inflation. On distin-guera bien nominal(t) et nominalinit

nominal(t) = nominal(t− 1)× (1 + inflation(t))

– Flux : Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements, la par-ticularité des OATi est que les coupons prennent en compte l’inflation. De plus, ledétenteur de l’obligation obtient pour remboursement le plus avantageux entre lenominal initial et inflaté.

CFt = coupon(t) + remboursement(t)

avec, si r est le nombre de coupons annuels :coupon(t) = taux de coupon× 1r× nominal(t)× 1t≡0 (mod 12

r)

remboursement(t) = taux de remboursement×max(nominal(t), nominalinit)× 1t=maturité

– Valeur de marché : Pour ce calcul, une attention particulière doit être portée pourl’actualisation, car certains termes sont inflatés et d’autres non :

58

VM(t) =∑

i≤maturité

coupon(t)(1 + zcrréel(t, i) + zRW1RW)

i12

+ max(nominal(t)

(1 + zcrréel(t,mat) + zRW1RW)mat12

,nominalinit

(1 + zcr(t,mat) + zRW1RW)mat12

)

– Valeur nette comptable : elle est identique aux obligations taux fixe :

VM(t) =∑

i≤maturité

coupon(t)

(1 + tra)i12

+remboursement(t)

(1 + tra)i12

3.3.3 Actifs indiciels

Les actions, l’immobilier, le private equity, les hedge funds sont traités comme des actifsindiciels. Le générateur de scénarios donne pour chaque classe un taux de performanceainsi qu’un taux de dividende.

1. Performance total return : Elle est issue des scénarios économiques. Elle se décom-pose en une partie capital, et une partie revenu (dividende). Nous traitons le casgénérique i parmi les six catégories d’actifs indiciels :

total returni(t) = taux capitalisationi(t) + taux dividendei(t)

2. Valeur de marché :

VMiperf(t) = VMi

perf(t− 1)× (1 + taux capitalisationi(t))

3. Flux : Ils sont constitués des dividendes : VMiperf(t− 1)× taux dividendei(t)

3.3.4 Dérivés de taux

Un Cap (resp. Floor) est une option utilisée pour se couvrir contre les hausses (resp.baisses) d’un taux variable pour lequel l’intérêt est périodiquement réajusté.A chaque date de réajustement, le taux est constaté et s’il dépasse (resp. devient inférieurà) une valeur seuil (cap rate/floor rate), un coupon proportionnel à la différence entretaux variable et valeur seuil est versé. Nous étudierons dans ce document les caps. Uncap est un portefeuille de Caplets. Un Caplet est un call européen sur taux. Il peut aussiêtre considéré comme un put européen sur obligation zéro coupon. Il est caractérisé par :un taux ZC sous-jacent, noté Rt en t, une date de maturité de l’option Tα, une date Tβde versement du payoff, un taux strike R, un nominal L et une fréquence de coupon δ.

59

1. Flux :CFTβ = δ × (RTα −R)+ × L

2. Valeur de marché : L’existence d’une formule fermée dépend du modèle de tauxconsidéré. La formule la plus connue est la formule de Black qui est obtenue enconsidérant que le taux sous jacent est log-normal avec une volatilité σTα constante.Soit t < Tα :

VMBlackCaplet(t) = L(Tβ − Tα)dbp(t, Tβ)[zcfr(t, Tα, Tβ)N(d1)−RN(d2)]

Avec, comme N est la fonction de répartition d’une loi normale standard, on noteraaussi zcfr(t, Tα, Tβ) = FTα :

d1 =ln(

FTαR

) +σTα2

(Tα − t)σTα√Tα − t

d2 = d1 − σTα√Tα − t

On en déduit ensuite la formule de valorisation d’un cap :

VMBlackCap =

β−1∑i=α

VMBlackCaplet(t, Ti, Ti+1)

3.3.5 Politique financière

Ces actifs modélisés génèrent des produits financiers qui sont regroupés par classe d’ac-tif puis cumulés au sein de l’application Assets. Ces produits financiers comprennent lestombées « naturelles »comme les coupons, les dividendes ainsi que les remboursements,mais aussi les plus ou moins values qui peuvent être réalisées. En effet, les actifs sontcomptabilisés en valeur comptable selon les normes françaises.

Lors de remboursements ou d’arrivées de liquidités dans le portefeuille, le modèle pro-cède automatiquement à l’achat de nouveaux titres selon une allocation pré-définie endébut de projection. De la même façon, si les liquidités sont insuffisantes pour payer lesprestations, le modèle peut être amené à vendre des titres à la valeur de marché de l’ins-tant, afin de combler ce manque de liquidités. Par ailleurs nous avons vu que la politiquede rémunération nécessite parfois la vente forcée ou la réalisation de plus value. Le modèlecède alors des titres, si possible en plus value et tout en respectant l’allocation d’actifscible. Cet algorithme ne sera pas détaillé puisqu’il a été repris du modèle Épargne deSogecap mais les grandes lignes sont résumées dans ce tableau :

60

Conditions de marchéConséquences surl’allocation d’actif

Objectif

1Taux LT > Seuil (7% parexemple)

Report d’une partie de lapart variable en taux fixeLT

Figer un rendement absolujugé élevé

2 Taux CT > Taux LTReport d’une partie de lapart taux fixe en tauxvariable court terme

Profiter d’une opportunitéde marché

3Taux LT < Seuil (3% parexemple)

Report d’une partie de lapart taux fixe LT en tauxfixe MT

Réduire la duration duportefeuille afin de ne pasinvestir sur des taux LTjugés trop bas de manièreabsolue

4

Si le rendement du marchéaction sur 1 an < x% et sile niveau des réserve >seuil

Report d’une partie de lapart taux fixe en action

Profiter des conditionsintéressantes de marchédans la mesure où le niveaudes réserves le permet

Le modèle gérant le comportement comptable de la société selon les normes françaises,notamment le bilan et le résultat social, les actifs en moins-value peuvent amener la sociétéà passer une provision réglementaire, la provision pour risque d’exigibilité.La provision pour risque d’exigibilité est une provision qui doit être passée quand lasomme des actifs R332-20 est en moins value latente par rapport à leur valeur d’achat.On exclut du périmètre les actifs obligataires car il n’existe pas de risque lié à la réalisationde moins values du moment que la compagnie garde jusqu’à son terme l’obligation, écartéle possible risque de défaut lié à la contrepartie.Les compagnies ont la possibilité de passer la provision de manière progressive, par tiersou par huitième si elles peuvent justifier de la duration de leur passif. Cette provisiondoit être passée nette de PDD (provision pour dépréciation durable), qui elle se calculetitre par titre. Elle correspond au cas où l’entreprise considère que les moins values ont degrandes chances de durer (par exemple en cas de défaut d’une obligation). Selon l’ArticleR.331-5-1 :

Cette provision correspond à la perte globale que subirait une entreprisesi elle était amenée à liquider immédiatement ces placements, en l’absence de

61

risque de liquidité ou de risque identifié sur les placements, hormis ceux d’oreset déjà pris en compte dans les provisions pour dépréciation durable. Il s’agitdonc d’une provision à caractère essentiellement prudentiel.

Les plus ou moins value du portefeuille s’écrivent comme différence de la valeur de marchéet de la valeur nette comptable à l’achat pour chaque titre :

PMVL =∑

R332-20

MV−∑

R332-20

BV

La PRE d’une année n s’écrit alors :

PREn =

min(PREn−1 + 1

8(−PMVL),−PMVL

)si PMVL < 0

0 sinon

La provision pour dépréciation durable, qui se passe à l’actif, a pour but de faire comp-tabiliser à la société une ligne d’actif à sa valeur de marché dans le cas où cette ligneprésente une trop grande moins-value. Elle n’est pas présente dans ce modèle.

62

4 Utilisation du modèle en ALM

La phase de modélisation d’un portefeuille de rentiers avec des interactions actif-passifest un travail fastidieux lorsque l’on veut un modèle flexible par rapport aux normescomptables et aux études à réaliser.

4.1 Validation du modèle

Un modèle existe déjà chez Sogecap mais ne permettait que la projection des arré-rages en prenant en compte la mortalité et un taux de rendement de l’actif brut. Seules lescontraintes de taux technique et de participation aux bénéfices étaient appliquées, sansaucune politique de marge. Il est implémenté en Excel/VBA.

4.1.1 Vérification des flux non économiques

Une recette 24 a donc été menée pour vérifier la cohérence dans la projection des flux.Le modèle a donc été paramètré avec une courbe de rendement brut et une politique detaux servi simple et sans gestion de PPE. Les tests ont été menés globalement puis pourdes Model Points pris séparément. Les projections ont été réalisées à partir du portefeuilledécrit précédemment. La table de mortalité choisie est la TGH-TGF 05 sans abattementafin de vérifier la nullité du résultat technique qui sert de test de convergence pour lesflux du passif. La courbe de rendement de l’actif a été calibrée en appliquant la politiquede taux servi déjà existante à un contrat d’épargne avec les mêmes provisions initiales, untaux minimum garanti égal au taux technique. Une loi de rachat spécifique, calibré sur lesarrérages des rentes a été intégrée afin que la politique prennent en compte le paiementdes prestations.

Test d’adéquation du χ2 Il est important d’étudier si le modèle implémenté dansMoSes renvoie les mêmes résultats que le modèle historique au moins au niveau du passif.Pour cela, nous allons effectuer un test d’adéquation du χ2. Ce test consiste à comparerla distribution empirique à la distribution théorique. Après avoir découpé l’intervalled’observation en m classes, on construit la statistique du test, notée Q2 mesurant l’écartconstaté entre les valeurs réelles du modèle et les valeurs théoriques selon la formulesuivante :

Q2 =m∑i=1

(ni − npi)2

npi

24. Terme générique pour désigner le test d’un programme informatique

63

avec :– ni la valeur observée dans la classe i ;– npi la valeur théorique de la classe i ;– m le nombre de classes.

Ce test permet de choisir entre les deux hypothèses :– H0 : « la distribution observée et la distribution théorique sont compatibles » ;– H1 : « la distribution observée et la distribution théorique ne sont pas compatibles » .

Sous l’hypothèse H0, Q2 est asymptotiquement distribuée comme une variable de loiχ2m−j−1 où j est le nombre de paramètres estimés dans le modèle théorique. Avec un

niveau de confiance égal à 1− α , l’hypothèse H0 est rejetée si χ2m−j−1 < Q2.

Le niveau de risque α représente le risque de première espèce, c’est-à-dire le risque derejeter l’hypothèse H0 alors qu’elle est vraie. Dans notre étude, nous allons comparerpour chaque variable au passif, la valeur observée dans le modèle et la valeur théoriqueobtenue à partir du modèle historique. Les variables utilisées pour le test correspondentaux provisions, aux flux versés ainsi que certaines valeurs actuarielles. Dans l’absolu,il faudrait donc faire ce test pour chaque période et chaque model point, ce qui estrelativement long. Afin d’éviter la redondance, nous présenterons ici le test du χ2 pourun individu de 69 ans et pour deux périodes consécutives.Nous avons donc 10 classes, comportant chacune une valeur pour chaque période. Lastatistique du test vaut :

Q21 = 9, 2.10−11 et Q2

2 = 2, 03.10−10

Nous devons donc comparer cette valeur à la quantité χ2m−j−1, donnée par la table du χ2.

Avec un seul degré de liberté et un seuil de confiance α égal à 0,1%, pour un test sé-vère du χ2, nous trouvons χ2

1 = 1, 57.10−6 pour un niveau de confiance de 0,1%. Ainsi,Q2

1 < χ21, donc l’hypothèse H0 est acceptée, ce qui signifie que la distribution observée et

la distribution théorique sont compatibles avec un niveau de confiance de 0,1%.

Les résultats du test sont cohérents avec l’aperçu du résultat. En insérant les mêmesrevalorisations, le modèle donne des résultats cohérents avec le modèle historique. Lesrésultats avant frais généraux sont les suivants :

64

Figure 12 – Résultats avant frais généraux

4.1.2 Vérification de la cohérence de la politique de taux servi

Après avoir vérifié la justesse des flux du passif, c’est au tour de la politique dynamiquede taux servi d’être testée. Pour cela nous avons calibré les paramètres de la politique detaux servi et observé les résultats.

Dans la partie précédente, la courbe des rendements était calculée à partir des fluxglobaux, sans tenir compte des particularités individuelles des contrats ni des spécificitésdes rentes. Les Model Points d’actifs du portefeuille de rente ont donc été entrés dansMoSes ainsi que les paramètres de la politique de taux servi. Les hypothèses économiquescorrespondent à celles de l’équivalent certain qui sera détaillé dans la section suivante,l’objet de celle-ci étant de vérifier la cohérence de la politique de taux servi.

65

Paramètre Cas A Cas BTaux concurrentiel 4,41% 2,65%Taux servi N-1 4,03% 3,08%Taux cible 4,17% 2,91%Taux de rendement 4,50% 4,08%Taux technique 2,50% 2,50%Taux contractuel 4,05% 3,67%Taux de marge cible 0,45% 0,41%Taux servi 4,17% 2,91%Taux de PVL -0,12% 0%Taux de PPE 0% 0,76%Marge 0,45% 0,41%

Dans le cas A, l’assureur a servi 4,03% l’année précédente et le taux concurrentielest de 4,41% cette année. La moyenne mobile sur deux ans du taux concurrentiel est de4,305%. On obtient donc un taux cible de 4,17% (l’assureur accorde autant d’importanceà la concurrence qu’à la régularité des taux servis). Toutefois, le rendement des actifsne permettent pas à la fois de servir le taux cible et de garder une marge confortable(paramètrée comme 10% des produits financiers). L’assureur essaie de réaliser des plusou moins value selon les opportunités et parvient, en réalisant 0,12% de plus value, àsatisfaire assureur et assuré. Par ailleurs, le taux servi respecte le taux technique et letaux contractuel. Ce cas correspond à l’étape 2 de la politique.

Dans le cas B, le taux cible est de 2,65% et le taux de rendement est de 4,08%. Lerendement est donc divisé entre l’assureur qui reçoit la marge cible et l’assuré qui re-çoit directement le taux cible et indirectement la différence entre le taux servi et le tauxcontractuel via la PPE. L’assureur satisfait son besoin en marge et rémunère contractuel-lement l’assuré, une partie étant mis en réserve pour les années à venir. Ce cas correspondà l’étape 1 de la politique. On remarquera cependant que les taux techniques sont vérifiésaprès politique. Dans le cas B, si le taux technique avait été 5%, l’assureur aurait constaté-0,50% de perte, les taux techniques ne pouvant être rémunérés par la PPE.

4.2 Application du modèle

Le modèle fonctionne comme attendu, il prend en compte beaucoup plus de paramètresque le modèle historique et permet de faire des projections stochastiques

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4.2.1 Hypothèses complémentaires

Il est désormais nécessaire de définir des hypothèses économiques cohérentes aux pro-jections stochastiques risque neutre. Pour cela, nous avons utilisé les hypothèses écono-miques de la MCEV de Sogecap au 31 décembre 2010.La courbe des taux utilisée est la courbe Swap euro de Bloomberg à la date de projection.La courbe des taux d’inflation est également extraite de cette base de données et voici untableau récapitulant les principales valeurs :

Maturité Courbe swap Inflation Courbe réelle1Y 1,311 NC NC3Y 1,89 -0,058 1,955Y 2,56 0,501 2,0610Y 3,32 1,127 2,2015Y 3,64 1,454 2,1920Y 3,70 1,498 2,2030Y 3,49 NC NC

Cette courbe ne tient pas compte de la prime de liquidité pour l’instant. MoSes ESGutilise ces deux courbes pour générer 1000 scénarios économique à l’aide d’une table devolatilités disponible en annexes. Les volatilités du CAC et de l’EUROSTOXX sont cali-brées à partir de la volatilité implicite d’options à la monnaie et de différentes maturités :

1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 7Y 10YVolatilité ATM 23,25 23,42 23,70 24,12 24,48 24,90 25,53

L’immobilier, le private equity et les hedge funds disposent d’une volatilité flat res-pectivement de 15%, 30% et 6%. Le taux de dividende est fixé à 2% pour tous les indices.La corrélation CAC40/EUROSTOXX est de 70% et les autres corrélations sont nulles.Les principaux indicateurs des scénarios utilisés sont en annexe.

Plusieurs test ont été menés sur ce jeu de scénarios pour vérifier leur caractère risqueneutre et market consistent. Enfin, Sogecap considère que la courbe des taux swap nereprésente pas un courbe de taux sans risque mais que la composante de liquidité desspreads reste trop élevée pour être négligée. On ajoute alors une prime de liquidité de 21points de base à la courbe des taux swap.

Un scénario dit « équivalent certain »a également été calculé. Il s’agit d’un scénariodéterministe sensé représenter au mieux le jeu de scénario généré. La projection des tauxse fait grâce aux taux forwards et les indices rapportent le taux sans risque.

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4.2.2 Résultats déterministes

Les projections déterministes permettent à l’utilisateur d’obtenir une vision des ré-sultats plus simple que dans le cas des projections stochastiques. Ce genre de projection,couplé à un scénario dit « équivalent certain »permet en outre de quantifier le coût desoptions et des garanties financière de l’Embedded Value.

Scénario central Le scénario utilisé pour la projection déterministe centrale est lescénario équivalent certain de l’Embedded Value. Les projections ont été réalisées surun produit du portefeuille qui représente 27% des provisions mathématiques pour desraisons de temps de calcul. L’actif a été ajusté en contrepartie mais uniquement de fa-çon proportionnelle pour conserver l’échéancier. Cette projection donne les prestationssuivantes :

Figure 13 – Prestations payées aux assurés

On remarque que les prestations diminuent rapidement en raison de l’âge moyen re-lativement élevé de ce produit.Il est intéressant d’observer l’adossement actif-passif du modèle. En effet, les prestationsversées vont conduire à la vente de titres dans le cas où le cash est insuffisant, et d’au-tant plus que le modèle cherche à avoir une allocation cible en cash en fin d’année. Surl’échéancier suivant, les provisions mathématiques sont en bleu, la valeur de marché desactifs en rouge et la provision pour excédents en vert :

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Figure 14 – Adossement actif-passif

Aussi, le modèle prend maintenant en compte de nombreux facteurs qui le rendentplus précis. En effet, la participation aux excédents, la réserve de capitalisation ainsi queles frais généraux ont été modélisés. Voici l’évolution du résultat avant et après fraisgénéraux.

Figure 15 – Résultats brut d’impôts, avant et après frais généraux

La baisse de résultat à la troisième année s’explique notamment par une baisse desproduits financiers amplifiée par un taux servi qui ne baisse pas.

Allocations d’actif La différence d’allocation des actifs entre les assureurs Vie et lesfonds de pension a été abordée dans la deuxième partie de ce travail. À partir des mêmes

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informations économiques, différentes pondérations entre les actions et les obligations ontété testées comme l’allocation cible d’actif. En effet, le modèle se réalloue à chaque find’année de projection sur la base de l’allocation cible. C’est donc sur ce paramètre qu’aété testée la sensibilité du résultat à l’allocation. Le tableau suivant résume les différentespondérations utilisées.

Part Taux 84 79 74 69 64 59 54Part Action 16 21 26 31 36 41 46

Les résultats des projections sont directement liés aux hypothèses économiques. Eneffet, on remarque que les projections avec une pondération forte en actions ont un résultatmoindre en début de projection et plus élevé en fin de projection. Ces résultats ne sontpas illogiques néanmoins, on observe que le rendement des actions est plus faible que lacourbe des taux en début de projection et la tendance s’inverse ensuite (les courbes destaux sont disponibles en annexes). Voici les échéanciers des différentes projections.

Figure 16 – Résultats bruts avant frais généraux selon les allocations

Toutefois, tester des allocations en déterministe n’est pas très réaliste car il n’y aqu’une trajectoire de projection. Il est pour cela nécessaire d’étudier les résultats avec desprojections stochastiques.

4.2.3 Résultats stochastiques

Les projections stochastiques permettent de mettre en évidence les garanties et lesoptions qui peuvent se déclencher ou non. Nous avons vu précédemment que le résultatpouvait s’écrire comme plusieurs options de strike i le taux technique.

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Analyse du résultat Nous avons définis précédemment les indicateurs que sont le BestEstimate, la Net Asset Value ainsi que la Value of In-Force. Le Best Estimate est la valeuractualisée des cash flows liés aux engagements et est constitué :

– des cash-flows : les arrérages diminués des frais sur arrérages (ce qui est réellementversé à l’assuré) ainsi que les frais généraux,

– des provisions mathématiques à la fin de la projection,– de la provisions pour participations aux excédents,– de 90% des plus values latentes en fin de projection qui appartiennent aux assurés

compte tenu de la participation aux bénéfices,– et de 30% de la réserve de capitalisation.Dans notre projection, le Best Estimate est égal à 41,3 millions d’euros (pour 41,2

millions de PM) et est constitué comme suit :

Figure 17 – Décomposition du Best Estimate

Par ailleurs la valeur de marché des actifs en début de projection était de 42,3 millionsd’euros, on obtient donc une Net Asset Value d’environ un million d’euros dans cetteprojection.

De plus, nous avions défini la Net Asset Value comme la valeur actuelle des margesfutures qui est très proche de la Value of In-Force de l’Embedded Value constituée :

– des résultats futurs actualisés,– de 10 % des plus values latentes,– de 70 % de la réserve de capitalisation,

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– des produits financiers des fonds propres (résultats nets cumulés),– et des produits financiers de la réserve de capitalisation.On obtient une VIF de 0,81 million d’euros qui se décompose comme suit :

Figure 18 – Décomposition de la Value of In-Force

L’écart entre la NAV et la VIF correspond à l’écart de convergence, c’est le montant deflux d’actifs qui ne sont pas pris en compte dans la valeur de marché initiale et dépend desscénarios économiques. Cet écart, ramené à la valeur de marché des actifs est de 0,49%.Il est du même ordre de grandeur que celui constaté dans les études utilisant le même jeude scénarios.

Nous avions défini le coût des options et garanties financières dans la seconde partiede ce mémoire et la calculons comme différence entre la VIF équivalent certain et la VIFstochastique. Ce montant s’élève à 405 ke.

Allocations d’actif Il peut être intéressant de calculer ces indicateurs pour différentesallocations. Nous avons retenu le scénario central, ainsi que les allocations plus richesen action de 10% et 30%. Pour cette première allocation, le Best Estimate augmente de423 ke soit 1,03% en raison notamment de la plus grande richesse à distribuer en fin deprojection. Pour la seconde allocation, le Best Estimate augmente de près de 2 millionsd’euros, soit 4,70% pour des raisons analogues.

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Central +10% +30%Best Estimate 41 282 41 295 43 422Net Asset Value 1 012 589 -928Cout des options 405 699 1 865Ecart de convergence 0,49% 0,60% 0,65%

La hausse du Best Estimate s’explique quasiment totalement par la hausse du coûtdes options et garanties financières. En effet, plus la volatilité est grande, plus une optiona un prix élevé. En augmentant la part action, on augmente la volatilité du portefeuilleet les garanties de taux techniques et contractuels coûte plus cher à l’assureur.

Baisse des taux Le risque financier inhérent au rentes viagères le plus important pourun assureur vie est le risque de baisse des taux. Nous avons appliqué le choc applicabledans la MCEV (baisse de 100bps de la courbe des taux) et l’impact s’élève à 2,5 millionsd’euros sur le Best Estimate, soit 5,94%, et 2,5 millions d’euros sur la valeur de marchédes actifs obligataire. L’impact détaillé du Best Estimate est le suivant :

Central Baisse taux écartCash flows 39 328 41 286 5,0%PM fin 1006 1 172 16,5%PPE fin 605 929 53,5%PMVL fin 315 276 -12,1%RC fin 28 70 149,8%Best Estimate 41 282 43 733 5,95%

Les variations proviennent de deux effets : tout d’abord la baisse des taux implique uneaugmentation des montants du fait de l’actualisation, mais les montants distribués auxassurés sont par ailleurs moindres. De plus, on observe que le modèle a vendu beaucoupplus de titres que dans le scénario central. On obtient ainsi un NAV quasi stable du aufait que la baisse des taux n’est pas suffisamment forte pour déclencher les garanties detaux technique (2,6% contre des taux qui passent de 4,5% à 3,5%). On remarque que leBest Estimate augmente en même temps que le coût des options.

Risque de longévité Le risque technique inhérent aux rentes le plus important estsans aucun doute le risque de longévité. Nous avons appliqué le choc applicable dansSolvabilité 2 (baisse de 15% de la mortalité) et l’impact s’élève à 3,4 millions d’euros, soit8,16% du Best Estimate central. L’évolution plus détaillée est la suivante :

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Central Longévité écartCash flows 39 328 42 651 8,4%PM fin 1006 1 039 3,3%PPE fin 605 597 -1,2%PMVL fin 315 330 5,0%RC fin 28 31 11,6%Best Estimate 41 282 44 650 8,2%

Les évolutions sont conformes aux attentes, les cash flows augmentent en raison d’uneplus faible mortalité, de même que les provisions mathématiques. La provision pour par-ticipation aux excédents diminue car l’assureur a moins doté. La réserve de capitalisationaugmente car l’assureur a en moyenne vendu plus de titres obligataires pour payer lesengagements.

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Conclusion

La modélisation est une partie intégrante du travail de gestionnaire actif-passif. Outrele fait de permettre la réalisation des études réglementaires, c’est un véritable outil decompréhension du fonctionnement d’une société d’assurance. Ce mémoire décrit le pro-cessus nécessaire à l’élaboration d’un modèle actif-passif de rentes viagères : étude desbesoins, prévision mathématique des résultats, implémentation puis utilisation.

Les besoins d’un modèle de projection stochastique sont multiples, autant réglemen-taires qu’opérationnels. Nous avons présenté trois évolutions réglementaires qui obligentles assureurs à utiliser un modèle stochastique, mais convergent vers un but : valoriser lesengagements et les marges futures aux conditions de marché. Solvabilité 2 concerne l’évo-lution du Best Estimate et de la Net Asset Value en cas de chocs, d’une part, mais d’autrepart impose un processus strict de justification des hypothèses utilisées. Les normes IFRScontraignent les assureurs à posséder la richesse suffisante pour couvrir les engagementsen valeur de marché, au risque de passer une provision pénalisante. Enfin, l’EmbeddedValue utilise surtout la notion de valeur créée par l’entreprise, mais donne aussi de bonsindicateurs opérationnels comme le coût des options financières.Les besoins ne s’arrêtent pas là pour autant, ce modèle est voué à être utilisé par Sogecapdans le cadre d’études récurrentes comme le budget, l’allocation d’actifs ou bien le suivides risques techniques et des efforts dans la modélisation ont été fait pour satisfaire cesbesoins.

La modélisation est en soit un travail complexe, qui nécessite une connaissance dé-taillée du fonctionnement des produits et des actifs, mais aussi de la compagnie et de sesrègles comptables et prudentielles. Une difficulté s’est ajoutée à ce travail : la modélisationdes rentes devait compléter le modèle épargne actuellement utilisé chez Sogecap, c’est-à-dire que les produits de rente et d’épargne partagent le même actif, les mêmes fondspropres ou encore la même réserve de capitalisation. C’était donc à la fois un travail demodélisation et un travail d’intégration.

Avant d’utiliser le modèle, une phase de validation est toujours nécessaire et a été exé-cutée, malgré la différence notoire entre ce modèle et le modèle historique. Les résultatsrestent toutefois cohérents, et les exemples d’utilisation ont permis de corriger certainesimperfections.

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Finalement, ce modèle répond aux besoins initiaux de projections déterministes ou sto-chastiques et reste flexible et paramétrable. Il reste cependant perfectible, on notera quedes axes d’amélioration sont déjà programmés comme la diminution du temps de calculou la rémunération à l’inflation.

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Remerciements

Je tiens à remercier le département ALM de Sogécap pour son ambiance chaleureuseet professionnelle, sa disponibilité son écoute et la précision des réponses à mes interro-gations.

Je remercie particulièrement Anne-Laure Sirand pour son encadrement et les précieuxconseils prodigués, Marc Potislavowski pour son partage de connaissances sur l’EmbeddedValue, Julien Burger pour les informations à propos du générateur de scénarios et le LATet enfin Olivier Michelin lors des nombreuses heures de « débogage » passées ensemble.

Enfin, je remercie toute l’équipe enseignante de l’ISFA pour les connaissances que j’aiapprises et sans lesquelles la rédaction de ce mémoire aurait été impossible.

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Références

[1] CFO Forum [2009], « MCEV Principles and Guidance ».

[2] CNP Assurances [2012], « Rapport Embedded Value, présentation des résultats2011 ».

[3] Commission Européenne [2010], « QIS 5 Technical Specifications ».

[4] Commission Européenne [2011], « Draft Implementing measures Solvency II ».

[5] Factorielles [2006], « La lettre de Factorielles n°25 ».

[6] Hull J. [2004], « Options, futures et autres actifs dérivés », Pearson Education.

[7] Michelin O. [2012], « Risque de crédit : implémentation dans un modèle ALM,allocations optimales sous Solvabilité 2 », Mémoire d’actuariat.

[8] Paris B. [2003], « Gestion Actif-Passif en Assurance Vie », Economica.

[9] Peteuton P. [2012], « Théorie et pratique de l’assurance vie », Dunod, 4ème édition.

[10] Planchet F. [2006], « Modèles prospectifs de mortalité avec dérive constante ».

[11] Planchet F. [2006], « Pilotage technique d’un régime de rentes viagères : identifi-cation et mesure des risques, allocation d’actif, suivi actuariel », Thèse.

[12] Planchet F., Thérond P. [2004], « Allocation d’actifs d’un régime de rentes encours de service », Proceedings of the 14th AFIR colloquim.

[13] Planchet F., Thérond P. [2005], « Rentes en cours de service : un nouveaucritère d’allocation d’actifs ».

[14] Planchet F., Serant D. [2006], « Tables de mortalité d’expérience pour les por-tefeuilles de rentiers », Notice de présentation.

[15] Quittard-Pinon F. [2003], « Marchés des capitaux et théorie financière », Econo-mica, 3ed.

[16] Site de la FFSA, Données clefs de l’assurance de personnes 2011

[17] Construction d’une interpolation spline cubique

[18] Code des Assurances

[19] Site du CNAM, section Le coeur du métier

[20] Site de Towers Watson, publications

[21] Site de l’OCDE, Statistiques

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Table des figures

1 Organigramme de Société Générale Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sogécap à l’international . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Hiérarchie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Échéancier des arrérages sur 30 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Allocation d’actifs chez les assureurs vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Allocation d’actifs dans les fonds de pension . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Performance des actifs en considérant l’inflation . . . . . . . . . . . . . . . 248 Comparaison d’une VAP en fonction de la table de mortalité . . . . . . . . 289 Organigramme d’un modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110 Première ligne du Model Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411 Surface des taux obtenue par interpolation spline cubique . . . . . . . . . . 5412 Résultats avant frais généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6513 Prestations payées aux assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814 Adossement actif-passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6915 Résultats brut d’impôts, avant et après frais généraux . . . . . . . . . . . . 6916 Résultats bruts avant frais généraux selon les allocations . . . . . . . . . . 7017 Décomposition du Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7118 Décomposition de la Value of In-Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7219 Volatilités implicites de swaptions au 31/12/2010 . . . . . . . . . . . . . . 8020 Moyennes et VaR 10% des principaux indicateurs des scénarios économiques 8121 Courbes des taux à t = 12 et t = 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

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Annexe A : Volatilités implicites

Figure 19 – Volatilités implicites de swaptions au 31/12/2010

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Annexe B : Aperçu des scénarios

On remarquera que la VaR à 10% est calculée pour chaque période sur l’échantillonde 1000 points car nous n’avons pas d’indicateur pour trier deux jeux de scénarios.

Figure 20 – Moyennes et VaR 10% des principaux indicateurs des scénarios économiques

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Annexe C : Courbes des taux déterministes

Figure 21 – Courbes des taux à t = 12 et t = 240

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