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RUGOSITE DE SURFACE
Equations de Kuramoto-Sivashinski
DEPOTGRAVURE
Pascal Brault, Jean-Marc Bauchire GREMI
caractériser la rugosité d’une surface:Dimensions caractéristiques ( ou //)
en déduire les mécanismes d’apparition:Diffusion, redépôt, ....
Objectifs
Qu’est ce qui caractérise la rugosité ?
Une surface peut être décrite par une fonction h(x,y,t)
L’amplitude de la rugosité : - écart-type rugosité
- Longueur de corrélation rugosité //
moyenne sur toutes les originesr0 et toutes les orientations. ( =1 site occupé, 0 sinon)
1
1
1
1
1
1
21
1
)(1
)(21
)()(1
)()(N
i
M
jij
N
i
M
jij th
NMthavecthth
NMttW
rrrrrt
)()()( 00//
Evolution de la rugosité
Il existe des lois d’échelles qui décrivent l’évolution de la rugosité
Un exemple simple:croissance de grain sphérique: r t1/3 car dépôt =volume donc V t et V r3
croissance «d’ilôts plats »: r t1/2 car dépôt =surface donc S t et V r2
22
22
21
;;
hR
RhRt
h
hhtRtRh
Ombrage
R= taux de gravure, Ω angle d’ouverture (ombrage), Ds = diffusion de surface, Dv = diffusion dans le volume, = croissance oblique, = évaporation-redépôt, = bruit aléatoire
Equations de Langevin non linéaires (stochastiques)
non-linéaritéEqn KPZ
Equations de Langevin non linéaires (stochastiques)
L’Equation de Kuramoto-Shivashinsky
B. Khang, APL78, 805 (2001)
22
224
224
;2
2
),,(),,(1),,(),,(),,(
),,(),,(2
),,(),,(),,(
YfaetCDKK
tyxtyxhtyxhtyxhKt
tyxh
bienou
tyxtyxhtyxhtyxhKt
tyxh
s
skTdE
kTe
s
il suffit donc de trouver les paramètres !!
Balance entre terme érosion instable -||2h et diffusion de surface -K 4h formation de structures de taille
Résolution
- Les paramètres utilisés (actuellement sans connexion avec la réalité)K = 2.0, =-0.6769, =-1, bruit uniforme [-1/2, +1/2] décorrélé x,y,t(>0 croissance, <0 érosion). CL périodiques
tq
On calcule h(x,y,t), W2(t) et <h(t)>
)'()'(2),'(),( ttxxDtxtx d avec D = 0.1
exemple = 1
W2(t)
<h(t)>
maximum d’organisationau changement de régime
<h(x,y,t=120)>
rugosité et
apparition structures
rugosité cinétiqueW tβ
(pour la clarté des interfaces, h(x,y,0)= (x,y) puis =0 pour t>0)ne change rien aux résultats: h(x,y,t) est plus « bruitée »
= -1
le film de film h(x,y,t)
64 x 64
Influence de la taille du domaine h(xmax,ymax,t)
8 x 8
16 x 16
32 x 32
64 x 64
128 x 128
256 x 256
512 x 512
1024 x 1024temps
w2
Un domaine de 256 x 256 est un bon compromis précision résultats – temps calcul
Influence du schéma de discrétisation de 4h(x,y,t)
∆
221144
4
461
iiiii
i
gggggxx
gSchéma : 2-2 (5 pts)
4433221144
4
144
1
9
2
36
79
9
62
72
7071iiiiiiiii
i
gggggggggxx
gSchéma : 2-4 (9 pts)
665544
332211
44
4
331776
1
3072
1
6144
8382944
21871
4096
9535
512
3659
27648
2803011
iiiiii
iiiiiii
i gggggg
ggggggg
xx
gSchéma : 2-4' (13 pts)
33221144
4
6
12
2
13
3
281iiiiiii
i
gggggggxx
gSchéma : 2-6 (7 pts)
4433221144
4
240
7
5
2
60
169
15
122
8
911iiiiiiiii
i
gggggggggxx
gSchéma : 2-8 (9 pts)
665544
332211
44
4
453600
479
1050
19
4200
6435670
4969
1120
4469
175
1769
2700
370371
iiiiii
iiiiiii
i gggggg
ggggggg
xx
gSchéma : 2-12 (13 pts)
Influence du schéma de discrétisation de 4h(x,y,t)
∆
SchémaTemps calcul
normalisé
2-2 (5pts) 1
2-4 (9 pts) 1.2611
2-4' (13 pts) 1.5185
2-6 (7 pts) 1.1471
2-8 (9 pts) 1.2728
2-12 (13 pts) 1.5180
temps
w2
Le schéma "2-6" est un bon compromis précision résultats – temps calcul
W2(t)avec schéma 5 pt 256x256
W2(t)avec schéma 7 pt 256x256
W2(t)avec schéma 7 pt 1024x1024
Influence du schéma de discrétisation de 4h(x,y,t)
∆
<h(t)>avec schéma 5 pt 256x256
<h(t)>avec schéma 7 pt 256x256
<h(t)>avec schéma 7 pt 1024x1024
Influence de l'amplitude du terme stochastique
Conclusions/Perspectives
Ca marche ! choix taille de matrice, schéma de discrétisation : Ok
Utiliser des valeurs de paramètres adapté à un problème physique gravure plasma de Si.
Conditions aux limites Dirichlet. (En fait h(x,0,t) = h(0,y,t) = 0) : Pb de divergence du schéma numérique ? mais Ok si K = 0
K=2K=0
