Révisions de mécanique des fluides 4

Révisions écrits ATS 1 / 51

REVISIONS DES ECRITS POUR LE CONCOURS ATS

Révisions de mécanique des fluides 4

◼ Les incontournables 4

◼ Sujet MFL2 : Centrale Supelec TSI 2019 : Quelques caractéristiques physiques de Mars 4

◼ Sujet MFL3 : Centrale Supélec 08 : Sonder l’atmosphère 5

◼ Sujet MFL4 : Banque g2e 2015 + Banque PT 2015 : Distribution d’eau 10

◼ Sujet MFL5 : E3A 2016 : vidange d’une citerne de gazole 12

◼ SUJET MFL 7 : ATS 2018 : Etude d’une hotte aspirante 15

◼ SUJET MFL8 : CCP 2016 : débitmètre à effet Venturi 17

◼ Sujet MFL10 : D’après G2E 2017 - étude d’un bassin 18

◼ Sujet MFL11 : D’après ENS BCPST 2012 - Les énergies renouvelables 20

◼ Sujet MFL12 : ATS 2016 : Instabilité de l’atmosphère 24

◼ Sujet MFL13 + Q0 : ATS 2019 : Impédances et résistances dans différents domaines de la physique (MFL +

Q) 26

Sujet

S2 S3 S4 S5 S7 S8 S10 S11 S12 S13 Chapitre

MFL1 × × × × × × ×

MFL2 × × × × × × × ×

MFL3 × × × × × × ×

THM × × ×

MK × × × ×

Niveau 1,5 2 3 4 2 1,5 2,5 2,5 4 4

Durée (min) 30 100 70 65 30 25 65 70 70 50

◼ EXEMPLES DE PLANS DE REVISION DE MECANIQUE DES FLUIDES

Les sujets sont donnés par ordre de priorité ; vous pouvez bien entendu moduler selon vos besoins.

Niveau 1 : Sujets MFL7, MFL2, MFL8, (pour compléter : MFL11)

Niveau 2 : Sujets MFL11, MFL10, MFL2 (pour compléter : MFL4, MFL5 A) et B))

Niveau 3 : Sujets MFL11, MFL13, MFL5 A) et B), MFL12 (pour compléter : MFL3, MFL4)

Parcours Express : Sujets MFL11, MFL2 (pour compléter : MFL10)

◼ PLUS EN DETAILS

Sujet MFL2 : démo relation fondamentale de la statique des fluides, statique des gaz, G.P., atmosphère isotherme, hauteur

caractéristique

Sujet MFL3 : démo relation fondamentale de la statique des fluides, statique des gaz, G.P., atmosphère isotherme, hauteur

caractéristique, atmosphère à température affine, poussée d’Archimède, PFD, ballon

Sujet MFL4 : statique des fluides incompressibles, bernoulli avec pompe releveuse, calcul de débit avec vitesse uniforme,

bernoulli sans élément actif, évolution du débit avec la hauteur, tube de pitot, étude d’un écoulement de couette

(div, rot, débit, vitesse moyenne).

Sujet MFL5 : bernoulli avec perte de charge + pompe, Torricelli : vitesse + temps de vidange (hyothèse débit constant ou pas),

prise en compte perte de charge singulière, étude de l’écoulement (div, rot, débit, vitesse moyenne).

Sujet MFL7 : débit avec vitesse uniforme, bernoulli avec et sans perte de charge + pompe.

Sujet MFL8 : débit avec vitesse uniforme, bernoulli sans perte de charge, effet venturi, statique des fluides incompressibles


Sujet MFL10 : démo relation fondamentale de la statique des fluides, fluides incompressibles, Torricelli : vitesse (avec et sans

simplification), bernoulli avec pompe, étude d’un écoulement de poiseuille (div, rot, débit, vitesse moyenne, débit),

résistance hydraulique, puissance de la pompe.

Sujet MFL11 : Energie et flux, statique des fluides incompressibles, force de pression sur un barrage, Bernoulli avec et sans

élément actif, pertes de charges, débit avec vitesse uniforme, étude d’un écoulement (allure des L.C, div, rot,

équation de continuité de la masse, G.P., énergie cinétique d’une éolienne.

Sujet MFL12 : relation fondamentale de la statique, étude d’une atmosphère adiabatique, évolution d’une particule de fluide

(comparaison poids / Archimède), statique des fluides incompressibles, débit avec vitesse uniforme.

Sujet MFL13 : débit (vitesse uniforme), bernoulli, caractéristiques d’un écoulement stationnaire et incompressible, écoulement

de poiseuille : étude dynamique pour démontrer le profil de vitesse, débit, résistance hydraulique. Pertes de charge,

résolution de pb château d’eau (cf suite : transferts thermiques).

Révisions de transferts thermiques 30

◼ Sujet Q2 : CCP MP 2016 : étude thermique d’un bâtiment RS 30

◼ Sujet Q3 : D’après CCP TSI 2017 : optimisation thermique d’une pièce 33

◼ Sujet Q4 : G2E 2018 : Mammifères marins 35

◼ Sujet Q5 : ATS 2017 : Force de thermophorèse RS 36

◼ Sujet Q6 : Géothermie (banque PT, 2018) 39

◼ Sujet Q9 : G2E 2017 : Refroidissement de l’eau du bassin RV 41

◼ Sujet Q10 : E3A MP 2017- Conditionnement d’air d’une voiture 41

◼ Sujet Q11 : Centrale TSI 2019 - Dimensionnement du chauffage d’une voiture de TGV 44

◼ Sujet Q12 : D’Après Agro-véto 2011-chauffage d’une maison en hiver 46

◼ SUJET Q13 : CCP MP 2014 : Onde thermique 50

Sujet Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13

Partie

régime stationnaire

× × ×

× × ×

Résistances thermiques

× ×

× × ×

Régime variable × × × ×

Diffusivité, etc × × ×

onde thermique × ×

Niveau 2,5 2 3 4 3 2,5 2,5 2,5 3,5 4

Durée (min) 70 55 15-20 50 35 10 60 50 80 50

◼ EXEMPLES DE PLANS DE REVISION DE DIFFUSION DE LA CHALEUR

Les sujets sont donnés par ordre de priorité ; vous pouvez bien entendu moduler selon vos besoins

Niveau 1 : Sujets Q3 ; Q9 ; Q11 A) (pour compléter : fin du Q11)

Niveau 2 : Sujets Q12 ; Q9 (pour compléter : Q11 ; Q10)

Niveau 3 : Sujets Q12 ; Q6 (pour compléter : Q11, Q5)

Parcours Express : Sujets Q11 (pour compléter : Q9)

◼ PLUS EN DETAILS

Sujet Q2 : Etude du régime stationnaire à 1D cartésienne, résistance thermique, associations, température de surface,

isolation intérieure ou extérieure, informatique

Sujet Q3 : Etude du régime stationnaire à 1D cartésienne, résistance thermique, associations


Sujet Q4 : Résistance thermique, résolution de problème

Sujet Q5 : Etude du régime stationnaire à 1D cartésienne, bilan d’énergie interne pour une particule de fluide en écoulement

Sujet Q6 : Diffusivité thermique, longueur caractéristique, mécanique des fluides : étude d’un débit + 1er principe thermo

Sujet Q9 : Loi de Fourier, Diffusivité thermique, temps caractéristique.

Sujet Q10 : Etude du régime stationnaire à 1D cartésienne, résistance thermique, associations, convection, présence d’une

source de chaleur , étude d’un régime variable.

Sujet Q11 : Equation de la chaleur, Etude du régime stationnaire à 1D cartésienne, résistance thermique, associations,

convection, présence d’une source de chaleur

Sujet Q12 : Equation de la chaleur, Etude du régime stationnaire à 1D cartésienne, résistance thermique, associations,

diffusivité thermique, onde thermique, épaisseur de peau.

Sujet Q13 : Loi de Fourier, onde thermique, épaisseur de peau.


REVISIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES

◼ LES INCONTOURNABLES

Atmosphère isotherme, Manomètre à tube en U, Débitmètre à effet Venturi, Bernoulli avec et sans perte de charge /

élément actif

◼ SUJET MFL2 : CENTRALE SUPELEC TSI 2019 : QUELQUES CARACTERISTIQUES PHYSIQUES DE MARS

Constantes universelles :

Constante de gravitation universelle 𝒢 = 6,673. 10−11 𝑚3. 𝑘𝑔−1. 𝑠−2

Constante des gaz parfaits 𝑅 = 8,314 𝐽. 𝐾−1. 𝑚𝑜𝑙−1

Données sur la planète Mars :

Rayon moyen 𝑅𝑀 = 3389 𝑘𝑚 Masse 𝑀𝑀 = 6,39. 1023 𝑘𝑔 Intensité du champ de pesanteur au sol 𝑔0 = 3,71 𝑚. 𝑠−2 Masse molaire de l'atmosphère 𝑀 = 43,3 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1 Masse volumique de l'atmosphère au sol 𝜌0 = 1,20. 10−2 𝑘𝑔. 𝑚−3 Pression atmosphérique moyenne au sol 𝑃0 = 8,00. 102 𝑃𝑎 Température uniforme de l'atmosphère 𝑇0 = 210 𝐾 Durée du jour sidéral 𝑇𝑠𝑖𝑑 = 8,86. 104𝑠 = 24ℎ 37𝑚𝑖𝑛 Durée de l'année 𝑇𝑎𝑛 = 669 𝑇𝑠𝑖𝑑 = 688 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑠𝑖𝑑é𝑟𝑎𝑢𝑥 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

Aide aux calculs :

1,15 × exp (−43,3 × 3,71

8,314 × 210 × 9,5) = 0,48

480 × 43,3

8,314 × 210= 11,9

8,314 × 285

28,9 × 9,81= 8,36

8,314 × 210

43,3 × 3,71= 10,9

3 × 6,39

4 𝜋 (3389)3= 3,9. 10−11 6,673 ×

6,39

(3389)2= 3,71. 10−6

A – Atmosphère martienne L’atmosphère martienne est essentiellement constituée d’un mélange gazeux de dioxyde de carbone,

d’argon et de diazote. On assimile ces constituants à un gaz parfait unique de masse molaire 𝑀 = 43,3 𝑔 ⋅

𝑚𝑜𝑙−1, à la pression 𝑃 et à la température 𝑇 . Dans cette sous-partie A, le champ de pesanteur est supposé

uniforme, de valeur égale à sa valeur au sol (𝑧 = 0) : 𝑔0 = 3,71 𝑚 ⋅ 𝑠−2 .

1) Généralités

1. Rappeler l’équation des gaz parfaits. On donnera l’unité de chacune des grandeurs qui interviennent

dans cette équation.

2. Notons 𝜌 la masse volumique d’un gaz parfait. Exprimer 𝜌 en fonction de 𝑃 , 𝑇 , 𝑀 et 𝑅 (constante des

gaz parfaits).

2) Modèle de l’atmosphère isotherme

On se place dans le cadre du modèle de l’atmosphère isotherme à la température 𝑇 = 𝑇0 = 210 𝐾 ( 𝑇0 est

la température de surface moyenne martienne). On considère une petite colonne de gaz parfait à l’équilibre


mécanique, de sections égales 𝑠 comprises entre les altitudes 𝑧 et 𝑧 + 𝑑𝑧. L’axe vertical est pris ascendant

(figure 2).

3. Rappeler l’expression de la statique des fluides.

4. Montrer que la pression atmosphérique 𝑃 ne dépend que de 𝑧 et l’exprimer en fonction de 𝑃0 (la

pression atmosphérique martienne au sol), 𝑔0 , 𝑀 , 𝑧 , 𝑅 et 𝑇0 .

5. Au fond du bassin d’Hellas Planitia (altitude 𝑧1 = – 9,5 × 103 𝑚 ), point le plus bas de la planète, la

pression atmosphérique vaut 𝑃1 = 1,15 × 103 𝑃𝑎 . Calculer la valeur de la pression 𝑃0 et la comparer

à la valeur de la pression atmosphérique terrestre au niveau du sol (qu’on prendra égale à la pression

standard 𝑃0).

6. En déduire l’expression littérale de la masse volumique 𝜌 de l’atmosphère martienne en fonction de 𝑃0

, 𝑔0 , 𝑀 , 𝑧 , 𝑅 et 𝑇0 . On notera 𝜌0 la masse volumique au sol ( 𝑧 = 0 ), grandeur à exprimer en fonction

de 𝑃0 , 𝑀 , 𝑅 et 𝑇0. Calculer numériquement 𝜌0.

Dans la suite de cet exercice, nous prendrons une valeur de 𝑃0 égale à 8,0 × 102 𝑃𝑎.

7. Comparer cette valeur à celle calculée à la question 5. Quelle(s) hypothèse(s) du modèle pourrait-on

remettre en cause pour expliquer l’écart entre les valeurs mesurée et calculée de 𝑃0 ?

3) Épaisseur de l’atmosphère martienne dans le modèle de l’atmosphère isotherme

L’épaisseur de l’atmosphère 𝐻 est définie comme l’altitude pour laquelle la pression atmosphérique vaut 𝑃0

𝑒

avec 𝑒 = 𝑒𝑥𝑝(1) ( 𝑒𝑥𝑝 désigne la fonction exponentielle).

8. Exprimer 𝐻 en fonction de 𝑇0 , 𝑅 , 𝑔0 et 𝑀 .

9. Calculer 𝐻 et comparer à l’épaisseur 𝐻 Terre de la troposphère sur Terre (on donne pour la Terre, 𝑀 =

28,9 𝑔 ⋅ 𝑚𝑜𝑙−1, 𝑇0 = 285 𝐾 et 𝑔0 = 9,81 𝑚. 𝑠−2).

◼ SUJET MFL3 : CENTRALE SUPELEC 08 : SONDER L’ATMOSPHERE

Aide aux calculs

8,31 × 273

29 ≈ 80

4

8,31 × 273 ≈ 1,8. 10−3

L’atmosphère entoure toute la Terre et permet à toutes les espèces vivantes terriennes de respirer pour

vivre. Les phénomènes physiques intervenant dans l’atmosphère sont nombreux et caractérisent en fait

différentes couches en fonction de l’altitude : de la troposphère au niveau du sol jusqu’à l’ionosphère couche

d’atmosphère la plus haute avant l’Espace. On se propose dans ce sujet d’étudier la façon dont les

météorologistes sondent les basses couches de l’atmosphère (troposphère et basse stratosphère) pour


tenter de comprendre et de modéliser les phénomènes météorologiques, en vue notamment de répondre à

la difficile question : « Quel temps fera-t-il demain ? ».

Données numériques

Accélération de la pesanteur au niveau du sol : 𝑔 = 10 𝑚. 𝑠−2

Constante des gaz parfaits : 𝑅 = 8,31 𝐽. 𝐾−1. 𝑚𝑜𝑙−1

Masse molaire de l’air : 𝑀 = 29 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1

Masse molaire de l’hélium : 𝑀𝐻𝑒 = 4 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1

Masse volumique de l’air au sol à 𝑇0 = 273 𝐾 et 𝑃0 = 1,0. 105𝑃𝑎 : 𝜇0 = 1,3 𝑘𝑔. 𝑚−3

Partie I - Modéliser l’atmosphère

Toute prévision météorologique est basée sur un modèle fiable de l’atmosphère, rendant compte en

particulier de la pression, de la température et de l’hygrométrie (humidité de l’air) en différents points de

l’espace. Des mesures expérimentales de ces grandeurs en fonction de l’altitude sont ainsi effectuées

régulièrement à l’aide de ballons-sonde pour permettre d’affiner les modèles informatiques existants et de

prévoir les éventuelles formations nuageuses. Dans cette partie, le champ de pesanteur est uniforme, égal à

sa valeur au niveau du sol. L’air sera toujours considéré localement comme un gaz parfait.

I.A - Modèle simple de l’atmosphère isotherme

On considère dans un premier temps le cas d’une atmosphère isotherme au repos, dans laquelle la

température est uniforme et vaut 𝑇0 = 273 𝐾. La pression au niveau du sol vaut 𝑃0 = 1 𝑏𝑎𝑟 = 1,0. 105𝑃𝑎.

On appelle 𝑃(𝑧) la pression qui règne à l’altitude 𝑧.

Figure 1 : Tranche de fluide dans le modèle de l’atmosphère isotherme

1) Faire un bilan des forces de pression s’exerçant sur une tranche de fluide de base 𝑆, comprise entre les

altitudes 𝑧 et 𝑧 + 𝑑𝑧 (figure 1).

2) On note 𝜇 la masse volumique de l’air. En déduire que lorsque la tranche de fluide est à l’équilibre, on

a :

𝑑𝑃 = 𝑃(𝑧 + 𝑑𝑧) − 𝑃(𝑧) = −𝜇 𝑔 𝑑𝑧.

3) L'air est assimilé à un gaz parfait à la température 𝑇0 constante. Etablir alors le lien entre sa masse

volumique 𝜇 et la pression 𝑃.

4) En injectant cette expression dans la relation 𝑑𝑃 = −𝜇 𝑔 𝑑𝑧, établir l’équation différentielle vérifiée

par 𝑃(𝑧).

5) Sachant que 𝑃(𝑧 = 0) = 𝑃0, montrer que la loi d’évolution de la pression 𝑃(𝑧) qui règne à l’altitude 𝑧

pour l’atmosphère isotherme dans le cadre du modèle du gaz parfait est :

𝑃(𝑧) = 𝑃0 exp (−𝑧

𝐻).


où 𝐻 est une constante que l'on exprimera en fonction des données.

6) Déterminer la dimension et la valeur de 𝐻.

Le tracé de 𝑃(𝑧) est reporté sur la figure 2 ci-après (courbe en pointillés).

Figure 2 : Profil de pression dans la troposphère : en pointillés, modèle de l’atmosphère

isotherme ; en trait plein, modèle avec gradient de température (voir question 12)

7) Retrouver graphiquement la valeur de 𝐻.

8) Déduire de ce qui précède l’ordre de grandeur de l’épaisseur 𝑒 de l’atmosphère isotherme dans le cadre

de ce modèle. Faire l’application numérique.

I.B - Profil de température et de pression dans l’atmosphère réelle

Les données transmises par un ballon-sonde au cours de la traversée de la troposphère et de la basse

stratosphère permettent de tracer les profils réels de température et de pression régnant à la verticale d’une

station météo. Les résultats expérimentaux sont rassemblés sur la figure 3 ci-après.

Figure 3 : Relevés de température et de pression dans la troposphère et la stratosphère


9) Quelle différence essentielle y-a-t-il entre la stratosphère et la troposphère au niveau du profil de

température ?

10) D’après le relevé des températures, l’hypothèse de l’atmosphère isotherme semble-t-elle justifiée pour

la troposphère ? Comparer le relevé des pressions et le profil des pressions obtenu figure 2 dans le cadre du

modèle de l’atmosphère isotherme et conclure sur la validité du modèle de l’atmosphère isotherme.

On cherche cependant à affiner le modèle précédent en considérant cette fois un profil de température pour

la troposphère de la forme : 𝑇(𝑧) = 𝑇0 – 𝑎𝑧 avec 𝑇0 et 𝑎 des paramètres constants.

11) Commenter le choix de ce profil de température et évaluer numériquement 𝑇0 et 𝑎.

12) Sachant que 𝑃(𝑧 = 0) = 𝑃0, montrer que la loi d’évolution de la pression 𝑃(𝑧) qui règne à l’altitude 𝑧

pour la troposphère avec gradient de température et dans le cadre du modèle du gaz parfait est :

𝑃(𝑧) = 𝑃0(1 − 𝑏𝑧)𝛼.

où 𝑏 et 𝛼 sont des paramètres constants à déterminer.

13) On se place à faible altitude (𝑏𝑧 ≪ 1) pour le champ de pression 𝑃(𝑧) = 𝑃0(1 − 𝑏𝑧)𝛼 et (𝑧

𝐻≪ 1) pour

le champ de pression 𝑃(𝑧) = 𝑃0 exp (−𝑧

𝐻). Comparer alors les deux expressions obtenues lorsque l’on

fait un développement limité à l’ordre 1.

On rappelle qu’à l’ordre 1 en 휀 : (1 + 휀)𝛼 = 1 + 𝛼휀 et 𝑒 = 1 + 휀.

Un logiciel informatique de traitement de données permet d’ajuster les valeurs de 𝑃0, 𝑏 et 𝑃0 pour que le

modèle décrive correctement les points expérimentaux. On obtient ainsi :

𝑃0 = 1,03. 105 𝑃𝑎 𝑏 = 1,95. 10−5 𝑚−1 𝛼 = 5,91.

La courbe correspondante est tracée en trait plein sur la figure 2.

14) Déduire de ces résultats les expressions de 𝑇0 et 𝑎 en fonction de 𝛼, 𝑏 et d’autres paramètres. Après

application numérique, on trouve : 𝑇0 = 303 𝐾 et 𝑎 = 5,9. 10−3 𝐾. 𝑚−1. Comparer aux valeurs trouvées en

11) et conclure quant à la validité de ce modèle pour décrire la troposphère.

Partie II - Étude d’un ballon-sonde

Le ballon-sonde est le moyen le plus simple et le plus économique d’envoyer une charge dans les différentes

couches de l’atmosphère. Les ballons météorologiques, embarquant du matériel scientifique de mesure,

explorent par exemple toute la troposphère et la basse stratosphère. On se propose ici d’étudier quelques

variantes d’un ballon-sonde stratosphérique : ballon ouvert à l’hélium et ballon fermé à l’hélium. Dans toute

cette partie, l’atmosphère est supposée isotherme, de température 𝑇0 = 273 𝐾, et le champ de pression est

celui fourni par la figure 2 de la Partie I. La pression au niveau du sol vaut 𝑃0 = 1,0. 105 𝑃𝑎.

Tous les gaz sont considérés comme parfaits. On négligera la force de frottement de l’air.

II.A - Le ballon stratosphérique ouvert (B.S.O.)

On considère le ballon-sonde, représenté sur la figure 4 ci-contre, composé :

• d’une enveloppe supposée sphérique, de volume 𝑉 = 100 𝑚3 (correspondant à un

diamètre de l’ordre de 6 𝑚), ouverte sur l’extérieur

Figure 4 : Ballon-sonde


par des manches d’évacuation situées à la base du ballon ;

• d’un parachute permettant de ralentir la descente du ballon à la fin de la mission ;

• d’un réflecteur radar rendant plus facile le suivi à distance du ballon ;

• d’une nacelle, contenant les appareils de mesure, le système de télécommunication et de

positionnement GPS.

On considère un axe vertical ascendant. Son origine est prise au niveau du sol.

Dans ce type de ballon, l’enveloppe est indéformable et garde un volume constant 𝑉. Le ballon étant ouvert

à sa base, la pression à l’intérieur du ballon est identique à tout moment à celle qui règne à l’extérieur. Au

moment du lancement, le ballon est gonflé à l’hélium. On suppose que la température à l’intérieur du ballon

reste constante, égale à la température extérieure 𝑇0. La masse 𝑚 de l’ensemble {enveloppe + parachute +

réflecteur + nacelle} reste constante au cours du vol. Le volume du ballon est assimilé à celui de son

enveloppe 𝑉.

On suppose le modèle de l’atmosphère isotherme valide : 𝑃(𝑧) = 𝑃0 exp (−𝑧

𝐻)

On posera 𝐻 =𝑅 𝑇

𝑀𝑎𝑖𝑟𝑔 et 𝑃0 pression au niveau du sol.

Condition de décollage

15) Déterminer la masse 𝑚𝐻𝑒 de gaz contenue dans l’enveloppe au décollage.

16) Effectuer un bilan des forces précis s’exerçant sur le ballon au moment du décollage. On notera µ0 la

masse volumique de l’air au niveau du sol.

17) En déduire une condition sur 𝑚 pour que le ballon décolle effectivement. On considère dans la suite

𝑚 = 10 𝑘𝑔.

Détermination de la hauteur maximale

18) Expliquer ce qui se passe dans le ballon au cours de son ascension.

19) Le plafond est atteint lorsque le ballon est à son altitude maximale 𝑧𝑚𝑎𝑥. Quelle relation peut-on alors

écrire entre 𝑚, 𝑚𝐻𝑒, 𝜇(𝑧𝑚𝑎𝑥) et 𝑉 lorsque le ballon plafonne ?

20) Sachant que pour une pression (𝑧) , on a 𝜇(𝑧) =𝑃(𝑧).𝑀

𝑅𝑇0 et 𝑚𝐻𝑒 =

𝑃(𝑧).𝑉

𝑅𝑇0. 𝑀𝐻𝑒 , en déduire que la pression

à l’altitude maximale du ballon a pour expression :

𝑃(𝑧𝑚𝑎𝑥) =𝑚𝑅𝑇0

𝑉(𝑀 − 𝑀𝐻𝑒).

21) On trouve 𝑃(𝑧𝑚𝑎𝑥) = 9,1. 103 𝑃𝑎. Estimer alors, à l’aide de la figure 3, l’altitude maximale atteinte par

le ballon-sonde.

Dès que le plafond est atteint, un système de largage libère le ballon de son enveloppe. Le ballon entame

alors sa descente, ralentie par le parachute. Une fois retrouvés au sol, les appareils de mesure pourront servir

une nouvelle fois pour une prochaine mission.

Dès que le plafond est atteint, un système de largage libère le ballon de son enveloppe. Le ballon entame

alors sa descente, ralentie par le parachute. Une fois retrouvés au sol, les appareils de mesure pourront servir

une nouvelle fois pour une prochaine mission.


II.B - Cas d’un ballon fermé

Le ballon-sonde possède cette fois une enveloppe élastique fermée. Cette enveloppe est remplie d’une

masse 𝑚𝐻𝑒 = 0,80 𝑘𝑔 d’hélium au moment du lancement. Les accessoires sont identiques à ceux du ballon

vu en II.A. On suppose comme précédemment que la température à l’intérieur du ballon est identique à

chaque instant à celle de l’air extérieur 𝑇0. Les observations indiquent que le ballon a un diamètre de 𝑑0 =

2 𝑚 au décollage pour atteindre son diamètre maximal de 𝑑𝑚𝑎𝑥 = 4,6 𝑚, juste avant que l’enveloppe

n’éclate à son altitude maximale.

22) Expliquer qualitativement les phénomènes qui provoquent l’éclatement du ballon.

L’élasticité de l’enveloppe s’explique par les propriétés de tension superficielle du matériau, qui imposent la

relation suivante entre la pression intérieure 𝑃𝑖𝑛𝑡 du ballon et la pression extérieure de l’air 𝑃𝑒𝑥𝑡 (formule de

Laplace) :

𝑃𝑖𝑛𝑡 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 = 4𝜎 𝑟⁄

où 𝜎 est appelé coefficient de tension superficielle et 𝑟 le rayon de l’enveloppe sphérique.

23) Déterminer l’unité de 𝜎.

24) Donner l’expression du volume 𝑉 du ballon en fonction de son diamètre 𝑑. On trouve 𝑉0 = 4,2 𝑚3 et

𝑉𝑚𝑎𝑥 = 51,0 𝑚3.

25) Donner l’expression de la pression 𝑃𝑖𝑛𝑡 0 du ballon au moment du lancement. Poser les calculs pour faire

l’application numérique, on trouve 𝑃𝑖𝑛𝑡 0 = 1,08. 105 𝑃𝑎.

26) Déterminer l’expression de 𝜎 en fonction de 𝑑0, 𝑃𝑖𝑛𝑡 0 et 𝑃𝑒𝑥𝑡 0. Faire l’application numérique.

27) Donner l’expression de la pression 𝑃𝑖𝑛𝑡 𝑚𝑎𝑥 du ballon quand il a atteint son diamètre maximal. Poser les

calculs pour faire l’application numérique, on obtient 𝑃𝑖𝑛𝑡 𝑚𝑎𝑥 ≈ 9,0. 103 𝑃𝑎.

28) Sachant que 16

4,6= 3,5, déterminer la pression extérieure 𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑚𝑎𝑥 du ballon quand il a atteint son

diamètre maximal.

29) Estimer alors, à l’aide de la figure 3, la nouvelle altitude maximale atteinte par le ballon-sonde.

◼ SUJET MFL4 : BANQUE G2E 2015 + BANQUE PT 2015 : DISTRIBUTION D’EAU

Dans cette partie, on considère l’eau comme un fluide parfait de masse volumique µ = 103 kg.m-3. On prendra

𝑔 = 10 m.s-2.

1. Une commune

Une commune se compose de deux parties :

• Une Ville Basse (VB) située sur une plaine horizontale.

• Une Ville Haute (VH) située sur un plateau horizontal, dont l’altitude est 𝐻 = 50 m par rapport à la plaine.

On désire assurer la distribution de l’eau potable dans les deux parties de la commune en construisant un

château d’eau situé sur la partie haute.

La différence entre les pressions de l’eau dans les conduites et l’atmosphère doit être inférieure à 8 bars,

pour éviter de détériorer certains appareils ménagers, et supérieure à 1,5 bar pour assurer un débit suffisant.


1. À quelle hauteur au-dessus du sol de la (VH) doit-on maintenir la surface libre de l’eau dans le réservoir

du château d’eau pour se trouver juste à la limite des 8 bars en (VB) ?

2. À quelle hauteur maximale, en (VH), peut-on alors installer un robinet avec un débit suffisant ?

3. L’eau vient d’un canal horizontal située au niveau de (VB) et doit être élevée à l’aide d’une pompe.

a. La commune compte 2000 foyers qui consomment chacun en moyenne 500 L d’eau par jour. Calculer le

travail nécessaire pour élever l’eau consommée en une journée.

b. En déduire l’expression de la puissance moyenne du moteur sachant que la pompe fonctionne, par

intermittence, 10 h par jour, et que son rendement est de 80%. Le calcul donne 10 kW.

2. Le canal

Le canal, à fond horizontal, est rectiligne sur une grande longueur ℓ = 200 𝑚.

Il possède une section rectangulaire de largeur 𝐿 et de profondeur ℎ.

L’écoulement est stationnaire et sa vitesse v est uniforme sur cette section droite.

4. Exprimer le débit volumique 𝒟 à travers une section de la canalisation en fonction de L, h et v.

5. Montrer que la quantité : ℎ +𝑣2

2 𝑔 est une constante le long de la canalisation. On la notera h0.

6. Exprimer 𝒟 en fonction de ℎ, 𝑔, 𝐿 et h0.

7. Pour 𝐿 et ℎ0 fixées, donner l’allure de la courbe de 𝒟 en fonction de ℎ (tableau de variation demandé).

On notera ℎC la hauteur critique du canal qui correspond à un débit maximal 𝒟max.

8. En déduire la vitesse vc de l’écoulement quand la hauteur du canal est égale à hC en fonction de g et h0.

9. Montrer que pour un débit donné, il y a deux profondeurs possibles hT et hF > hT. On ne cherchera pas à

calculer ces profondeurs. Les profondeurs hT et hF correspondent à deux régimes d’écoulement dans le

canal. Caractérisez ces deux régimes. Ils portent le nom de fluvial et torrentiel.

3. Le tube de Pitot

Un tube de Pitot schématisé sur la figure 3, est plongé dans l’eau du canal dont on veut évaluer la vitesse

locale 𝑣. Il possède deux ouvertures : l’une située en M et l‘autre en N.

On négligera la différence d’altitude entre M et N. Ces ouvertures sont reliées par un tube vertical en U

contenant un liquide plus dense que l’eau, de masse volumique µ’.


10. Que peut-on dire de la vitesse au point M ? En déduire la vitesse de l’écoulement en fonction de µ et

de ∆𝑃 = 𝑃M – 𝑃N.

11. Exprimer ∆P en fonction de ∆h, g, µ et µ’.

12. En déduire l’expression de la vitesse v en fonction de ∆h, g et de la densité 𝑑 =𝜇′

𝜇

4. Profil de vitesse

Soit 𝑂𝑦, l’axe horizontal le long du canal et 𝑂𝑧, l’axe vertical ascendant.

Dans le canal, l’écoulement n’est pas uniforme mais a pour champ de vitesses, en coordonnées

cartésiennes :

�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎 𝑧 𝑒𝑦⃗⃗⃗⃗⃗

où 𝑎 est une constante positive.

13. Tracer trois lignes de courant dans le plan (𝑂, 𝑦, 𝑧).

14. Représenter un vecteur vitesse sur chacune de ces lignes.

15. Donner les expressions de 𝑑𝑖𝑣 �⃗� et 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗� en coordonnées cartésiennes et les calculer pour l’écoulement.

16. Cet écoulement est-il un écoulement incompressible ? Justifier.

17. Cet écoulement est-il irrotationnel ? Le cas échéant, indiquer l’orientation du vecteur tourbillon défini

par Ω⃗⃗⃗ =1

2𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗�.

18. Que vaut le débit volumique 𝐷𝑣 à travers la surface 𝑆 centrée en 𝑂 (0, 0, 0) de profondeur h suivant 𝑂𝑧

et de largeur 𝐿 suivant 𝑂𝑥 ?

19. Déterminer l’expression de la vitesse moyenne 𝑣𝑚𝑜𝑦 à travers la surface 𝑆 tout d’abord en fonction de

𝐷𝑣, puis en fonction de 𝑎 et ℎ.

◼ SUJET MFL5 : E3A 2016 : VIDANGE D’UNE CITERNE DE GAZOLE

A. Ecoulement parfait

La citerne est munie d’un orifice par lequel le gazole peut s’écouler.

On suppose que toutes les conditions sont réunies pour qu’on puisse appliquer la relation de Bernoulli entre

un point A de la surface libre du gazole et un point B au niveau de l’ouverture (voir figure ci-après).

SA : section de la citerne au niveau du point A (en m²)

SB : section de l’orifice d’écoulement au niveau

du point B (en m²)

SB << SA

H

h gazole

Air à la pression P0

citerne

A

B : De l’air à la pression

P0

z

x

•

•


Données numériques :

Section de la citerne au point A : 𝑆A = 1,00 m²

Section de l’ouverture au point B : 𝑆B = 1,00.10-3 m²

Intensité du champ de pesanteur : 𝑔 = 9,81 m.s-2

Masse volumique du gazole : = 840 kg.m-3

Vitesse moyenne dans les conduites : 𝑉moy = 4,50 m.s-1

Hauteur de la citerne : 𝐻 = 1 m

Formulaire des opérateurs en coordonnées cylindriques :

grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝑓 = (𝑓

r),z

u⃗⃗r +1

r(𝑓

)

z,r

u⃗⃗ + (𝑓

z)

r,u⃗⃗z

div �⃗� =1

r((r𝑎r)

r),z

+1

r(𝑎

)

z,r+ (

𝑎z

z)

r,

rot⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (�⃗�) = [1

r(𝑎z

)

z,r − (

𝑎

z)

r,] u⃗⃗r + [(

𝑎r

z)

r, − (

𝑎z

r),z

] u⃗⃗ +1

r[( (r𝑎)

r),z

− (𝑎r

)

z,r] u⃗⃗z

∆𝑓 =1

r

r(r (

𝑓

r)) +

1

r2

2𝑓

2

+

2𝑓

z2=

2𝑓

r2+

1

r

𝑓

r+

1

r2

2𝑓

2

+

2𝑓

z2

1. Quelles sont les conditions d’application de la relation de Bernoulli ?

2. Ecrire la relation de Bernoulli entre le point A et le point B. Pour cela, on appellera :

VA (respectivement VB) correspond à la vitesse moyenne (encore appelée vitesse débitante) de

l’écoulement supposée constante au niveau de la section SA (respectivement SB), pA (respectivement pB)

correspond à la pression de l’écoulement supposée constante au niveau de la section SA (respectivement

SB).

3. Comment se traduit la conservation de la masse lors de l’écoulement ? En déduire une relation entre les vitesses moyennes en A et B.

4. Sachant que la section en A est nettement plus grande que celle en B, exprimer la vitesse moyenne VB de l’écoulement en B à l’aide de h et g.

La citerne est initialement pleine.

5. Si le débit restait constant, exprimer le temps nécessaire T pour vidanger complètement la citerne en fonction de 𝐻 et 𝑔.

6. En réalité, le débit n’est pas constant. Le débit volumique descendant au niveau de la surface libre est égal au débit sortant par l’orifice. Exprimer le temps nécessaire T’ pour vidanger complètement la citerne, à l’aide de SA, SB, 𝐻 et 𝑔.

B. Prise en compte d’une perte de charge singulière

Dans la suite de l’exercice, on considère que le débit reste constant.

Au niveau du convergent (rétrécissement de section sur la ligne de courant AB), on constate une zone de

perturbation caractérisée énergétiquement par une « perte de charge singulière » : le bilan d’énergie se

traduit par une perte d’énergie mécanique volumique modélisable par la formule suivante :

∆𝑃𝑠𝑖𝑛𝑔 = ½ 𝐾𝑐 𝜌 𝑉𝐵2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐾𝑐 = 0,55 (𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠)

7. Réaliser l’analyse dimensionnelle de l’équation ci-dessus.

8. Déterminer une nouvelle expression de VB en tenant compte de la perte de charge singulière.

9. Exprimer à nouveau le temps nécessaire T’’ pour vidanger complètement la citerne, à l’aide de T’et Kc. Commenter.


C. Etude de l’écoulement dans une conduite

On accroche au niveau de B une conduite

cylindrique verticale de grande longueur et de

diamètre 𝑑 = 2𝑎. La figure ci-contre ne

représente qu’une portion =C1C2 de cette

conduite.

L’étude de l’écoulement entre C1 et C2

nécessite alors la prise en compte de la

dissipation d’énergie par frottement dû à la

viscosité du gazole.

Dans la suite, on considère que le gazole est un

fluide incompressible, de masse volumique

constante , de viscosité dynamique , en

écoulement stationnaire.

On suppose que le champ de vitesse est à symétrie cylindrique. Il est donné par la relation :

�⃗⃗�(𝑟) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 (1 −𝑟2

𝑎2) 𝑢𝑧⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑉𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

10. Tracer 𝑉(𝑟).

11. L’écoulement est-il incompressible ? Justifier.

12. L’écoulement est-il rotationnel ? Justifier.

13. Déterminer l’expression du débit volumique DV.

14. En déduire l’expression de la vitesse moyenne Vmoy dans une section de la conduite (encore appelée

vitesse débitante).

D. Remplissage du réservoir d’une voiture

On utilise une pompe centrifuge pour déplacer le gazole de la citerne au réservoir d’une voiture. Le schéma

suivant modélise simplement le circuit du fluide (la citerne étant enterrée, on a bien évidemment zE > zA). La

pompe utilisée ici génère une perte de charge singulière.

B


15. Lister les pertes de charge singulière qu’il faut prendre en compte.

16. Il peut exister un autre type de perte de charge. Comment le nomme-t-on ? Expliquer la cause de la

perte énergétique correspondante.

On obtient les valeurs totales des pertes de charge suivantes :

singulières ∆𝑃𝑠,𝑡𝑜𝑡 = 0,83 𝑏𝑎𝑟

autre perte de charge ∆𝑃 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑠 = 0,58 𝑏𝑎𝑟

17. Ecrire la relation de Bernoulli entre les points A et E en prenant en compte les deux pertes de charges précédentes et l’introduction de la pompe. On notera Pu la puissance utile fournie par la pompe au fluide et DV le débit volumique.

18. En déduire l’expression de Pu en fonction de ρ, g, zE - zA, Vmoy, 𝑆𝐵, ∆𝑃𝑠,𝑡𝑜𝑡 et ∆𝑃 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑠

19. Sachant que la pompe a un rendement η de 80%, déterminer l’expression de Pelec, puissance

électrique alimentant la pompe. Calculer Pe (on prendra zE - zA 5 m).

◼ SUJET MFL 7 : ATS 2018 : ETUDE D’UNE HOTTE ASPIRANTE

L’installation d’une hotte aspirante placée au-dessus d’une plaque de cuisson nécessite une réflexion avant achat. Par exemple, il convient d’apprécier le débit volumique d’air que le dispositif peut traiter afin de renouveler convenablement les gaz présents dans la cuisine.

A) Généralités

1. Pour assurer un bon renouvellement de l'air d’une cuisine, la hotte doit pouvoir déplacer 10 fois par heure le volume d'air de votre cuisine. Estimer le débit volumique 𝐷𝑣 que la hotte doit imposer pour une cuisine de surface 20 𝑚2 et de 2,5 𝑚 de hauteur de plafond.

2. Dans la documentation donnée par le constructeur MIELETM, on retrouve le schéma ci-dessous pour un système d’évacuation d’air vers l’extérieur. Expliquer, succinctement et clairement, pourquoi l’une des deux installations n’est pas acceptable.

Dans la suite, nous allons chercher à évaluer la puissance 𝑃𝑢 qu’une hotte doit fournir à l’air ambiant pour qu’il soit évacué vers l’extérieur avec un débit volumique 𝐷𝑣. Nous travaillerons avec les hypothèses suivantes (dans le référentiel supposé galiléen lié à la cuisine où le champ de pesanteur terrestre est 𝑔 ≈10 𝑚. 𝑠−2) :

- On négligera, dans un premier temps, la viscosité du gaz (et tout autre phénomène de diffusion).

- L’écoulement étudié est stationnaire et sa vitesse suffisamment faible pour considérer le fluide de masse volumique 𝜌 uniforme.

- Le moteur de la hotte, avec ses pales, impose un écoulement contenu au sein même de la hotte, dans une canalisation horizontale menant le gaz à l’extérieur mais aussi dans un cylindre de hauteur ℎ situé


sous la hotte. Ce cylindre, de rayon 𝑅𝐴, est de même axe de symétrie de révolution que celui de la hotte (cf. schéma suivant).

- Les points 𝐵 et 𝐶 appartiennent à une même ligne de courant.

- En dehors de l’écoulement, l’air de la cuisine est au repos, à la pression atmosphérique 𝑃0 = 1 𝑏𝑎𝑟 et à la température 𝑇0 = 300 𝐾.

B) Etude entre les points 𝑩 et 𝑪

Le fluide étudié est dans la canalisation horizontale de rayon 𝑅𝐵 constante. Le champ des vitesses est supposé horizontal et uniforme sur chaque section droite de cette canalisation. Les points 𝐵 et 𝐶 sont sur une même horizontale. Le point 𝐶, à l’extérieur, est à la pression atmosphérique. On note 𝑣𝐵 et 𝑃𝐵 la vitesse et la pression en 𝐵 et 𝑣𝐶 et 𝑃𝐶 la vitesse et la pression en 𝐶.

3. Quelle est la relation entre 𝑣𝐵 et 𝑣𝐶 ? Justifier.

4. Démontrer en tenant compte des hypothèses que 𝑃𝐵 = 𝑃0.

C) Etude entre les points 𝑨 et 𝑩

5. On a 𝑅𝐴 = 4𝑅𝐵. Justifier que 𝑣𝐴 ≪ 𝑣𝐵.

6. En effectuant un bilan de puissance entre 𝐴 et 𝐵, on montre que :

𝑃𝐵 − 𝑃𝐴

𝜌+

𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴

2

2+ 𝑔(𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) =

𝑃𝑢

𝜌𝐷𝑣

Préciser en quoi ce bilan se distingue de celui effectué avec la relation de Bernoulli appliquée à un écoulement conservatif.

7. Démontrer que Pu ≈ ρDv (3gh +Dv

2

2(πRB2 )

2)

D) Bilan et analyse

8. En utilisant le modèle du gaz parfait, exprimer puis calculer la masse volumique 𝜌 du gaz étudié. On donne sa masse molaire 𝑀 ≈ 30 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1 et on prend 𝑅 ≈ 10 𝐽. 𝐾−1. 𝑚𝑜𝑙−1.

9. On considère : ℎ = 0,5 𝑚, 𝑅𝐵 = 0,1 𝑚, 𝐷𝑣 = 0,1 𝑚3. 𝑠−1. Estimer la valeur de 𝑃𝑢. Cette valeur est-elle réaliste pour une hotte de cuisine ?

Une hotte doit aussi permettre le filtrage de l’air aspiré. Un filtre est alors placé en entrée de la hotte. Les molécules constituant le filtre retiennent certaines particules et l’air aspiré devient alors de meilleure qualité. La présence du filtre impose cependant de prendre en compte la viscosité de l’air qui entraîne un phénomène de perte de charge important entre les points 𝐴 et 𝐵.

10. Pour un filtre encrassé utilisé en cuisine, on a un travail massique lié aux forces de viscosité de 1 000 𝐽. 𝑘𝑔−1. Estimer la puissance 𝑃𝑓 que le moteur doit fournir pour cette seule perte de charge (on

prendra encore 𝐷𝑣 = 0,1 𝑚3. 𝑠−1). Conclure.


◼ SUJET MFL8 : CCP 2016 : DEBITMETRE A EFFET VENTURI

On considère l’écoulement d’un fluide dans une conduite horizontale dont la section diminue dans le sens

de l’écoulement (voir la figure 6). On note 𝑅𝐸 et 𝑅𝑆 les rayons des sections circulaires d’entrée et de sortie

de la conduite. L’axe (𝑂𝑥) est l’axe de la conduite : sur cet axe, les points 𝐸 et 𝑆 appartiennent aux faces

d’entrée et de sortie de la conduite. On note (𝑂𝑧) l’axe vertical ascendant. De l’eau (fluide supposé parfait

et incompressible, de masse volumique 𝜇) s’écoule en régime stationnaire dans la conduite, avec un débit

massique

𝐷𝑚.

Figure 6–

Effet

Venturi

1. Donner la définition d’un écoulement parfait. Que peut-on alors dire du profil du champ de vitesse dans

la section correspondant à la face d’entrée ? à la face de sortie ?

On note 𝑣𝐸 et 𝑣𝑆 (respectivement 𝑃𝐸 et 𝑃𝑆) les vitesses du fluide (respectivement les pressions) aux

points 𝐸 et 𝑆 de l’écoulement.

2. Exprimer le débit massique 𝐷𝑚 en fonction de µ, 𝑣𝐸 et 𝑅𝐸. En déduire littéralement la vitesse 𝑣𝐸 de

l’écoulement en entrée.

3. Quelles sont les hypothèses nécessaires pour écrire la conservation du débit massique entre l’entrée et

la sortie de la conduite ? En déduire l’expression de la vitesse 𝑣𝑆 de l’écoulement en sortie en fonction

de 𝑣𝐸, 𝑅𝐸 et 𝑅𝑆.

4. Appliquer la relation de Bernoulli sur une ligne de courant qu’on précisera. En déduire que la variation

de pression, entre 𝐸 et 𝑆, s’écrit

∆𝑃 = 𝑃𝑆 − 𝑃𝐸 =𝐷𝑚

2

2𝜋2𝜇(

1

𝑅𝐸4 −

1

𝑅𝑆4)

5. Justifier que, dans le cas où la section de la conduite diminue, la pression diminue également. C’est

l’effet Venturi.

L’effet Venturi peut être utilisé pour mesurer un débit dans une

conduite fermée.

Une conduite horizontale a une section circulaire de rayon 𝑅.

On réduit localement le rayon de la section à 𝑟 < 𝑅. Ce

dispositif, représenté sur la figure 7, constitue un débitmètre à

effet Venturi. On suppose que les pertes de charges liées à cette

réduction sont négligeables. Dans cette conduite, de l’eau

(fluide supposé parfait et incompressible) s’écoule en régime

stationnaire, avec un débit volumique constant 𝑞.

6. Expliquer comment une mesure judicieuse de différence de pressions, dans le débitmètre à effet

Venturi, permet de mesurer le débit 𝑞. Faire un schéma du débimètre, en précisant clairement les

endroits de la conduite où les mesures de pression doivent être faites.

7. Décrire et schématiser un dispositif permettant de mesurer directement la différence de pression

Figure 7 – Débitmètre à effet Venturi


◼ SUJET MFL10 : D’APRES G2E 2017 - ETUDE D’UN BASSIN

Dans ce problème, on considère un bassin rempli d’eau sur une hauteur ℎ = 1 m. L’eau liquide sera

considérée comme un fluide incompressible de masse volumique ρe = 1000 kg.m-3.

On définit pour les questions 1 à 7 un axe Oz ascendant, l’origine étant choisie au niveau de la surface de

l’eau, ainsi qu’un vecteur unitaire dirigé vers le haut.

L’accélération de la pesanteur sera notée g et sa valeur supposée constante : 𝑔 = 10 m.s-2.

Loi de pression hydrostatique

1. En considérant l’équilibre d’une couche d’eau de section S s’étendant entre les cotes z et z + dz, démontrer la loi de l’hydrostatique relative à la pression.

2. ρe étant constant, en déduire l’expression de la pression P en fonction de z. On notera P0 la pression atmosphérique à la cote z = 0 où se trouve l’interface air-eau.

3. Quelle est la pression maximale à l’intérieur du bassin ?

Ordre de grandeur de la pression dans l’eau

4. Quelle est la valeur moyenne de la pression atmosphérique ? Donner le résultat en unités du système international.

5. Comparer numériquement la pression maximale dans le bassin et la pression atmosphérique.

6. Sur quelle profondeur faudrait-il plonger pour doubler la pression ? Le bassin serait-il assez profond ?

7. À combien monte la pression au fond des fosses océaniques de profondeur 10 km environ ?

Éjection de l’eau par une fontaine et puissance nécessaire pour élever l’eau

Une fontaine réservoir éjecte l’eau avec une vitesse initiale horizontale grâce à un trou de surface 𝑠 percé au

fond d’un récipient cylindrique de surface 𝑆 rempli sur une hauteur 𝐻1. 𝐻1(𝑡) est donc le niveau d’eau de la

fontaine par rapport à son fond.

8. On note 𝑉 = −𝑑𝐻1

𝑑𝑡 la vitesse de l’interface eau-air orientée positivement vers le bas. En supposant

le fluide parfait incompressible et en écoulement quasi-permanent, exprimer la vitesse 𝑣 d’éjection de l’eau en fonction de 𝜌, 𝑔, 𝑆, 𝑠 et 𝐻1.

9. Simplifier l’expression précédente si on suppose 𝑆 ≫ 𝑠.

10. L’eau, encore considérée comme un fluide parfait incompressible de masse volumique ρe dans cette question, est prélevée par la pompe dans le bassin à une hauteur 𝐻1 + 𝐻2 plus bas sous la surface libre du réservoir de la fontaine à travers un tuyau cylindrique de rayon 𝑅 considéré comme entièrement vertical. Le débit volumique est noté 𝐷v. Déterminer la puissance du moteur qui alimente la pompe.


Caractère visqueux du fluide

En tenant compte de la viscosité dynamique 𝜂 du fluide, on montre que, en régime permanent, la vitesse

dans un tuyau cylindrique horizontal d’axe 𝑂𝑧 et de rayon 𝑅, s’écrit :

𝑣 = 𝑣(𝑟)𝑢𝑧⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑣(𝑟) =𝑅2

4𝜂 Δ𝑃

𝐿(1 −

𝑟2

𝑅2)

𝑟 est la distance à l'axe du cylindre, ∆𝑃 est la différence de pression ou pression motrice maintenue aux

bords du tuyau de longueur 𝐿.

Divergence : coordonnées cylindriques

𝑑𝑖𝑣 �⃗� =1

𝑟

𝜕(𝑟. 𝑎𝑟)

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝑎𝜃

𝜕𝜃+

𝜕𝑎𝑧

𝜕𝑧

Rotationnel : coordonnées cylindriques

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗�⃗� = 1

𝑟

𝜕𝑎𝑧

𝜕𝜃−

𝜕𝑎𝜃

𝜕𝑧

𝜕𝑎𝑟

𝜕𝑧−

𝜕𝑎𝑧

𝜕𝑟

1

𝑟

𝜕(𝑟. 𝑎𝜃)

𝜕𝑟−

1

𝑟

𝜕𝑎𝑟

𝜕𝜃

11. Déterminer la dimension puis l’unité de la viscosité 𝜂.

12. Représenter la conduite puis dessiner quelques lignes de courant.

13. Représenter un vecteur vitesse sur chacune de ces lignes.


15. Cet écoulement est-il irrotationnel ? Les cas échéant, indiquer l’orientation du vecteur tourbillon défini

par Ω⃗⃗⃗ =1

2𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ �⃗�.

16. Que vaut le débit volumique 𝐷𝑣 de l’eau qui s’écoule dans le tuyau à travers la surface d’un disque de

rayon 𝑅 (loi de Poiseuille) ?

17. On définit la résistance hydraulique par 𝑅H = ∆𝑃/𝐷V. Donner les grandeurs analogues entrant en jeu dans

la définition de la résistance hydraulique, avec celles de la résistance électrique et de la résistance

thermique. Vous présenterez vos résultats sous la forme d’un tableau.

18. Par analogie avec une résistance électrique ou thermique, donnez le sens physique d’une résistance

hydraulique.


19. Déterminer la résistance hydraulique de l’écoulement.

20. Toujours en raisonnant par analogie, déterminer la puissance linéique développée par la pompe nécessaire pour entretenir ce débit.

21. On considère maintenant que le fluide est acheminé par deux tuyaux de rayon 𝑅

√2 , la surface de la section

de l’ensemble de ces deux tuyaux est donc égale à la surface de la section d’un gros tuyau de rayon 𝑅.

Que devient alors le débit acheminé par ces deux petits tuyaux sous la même pression motrice ∆𝑃 ?

◼ SUJET MFL11 : D’APRES ENS BCPST 2012 - LES ENERGIES RENOUVELABLES

Introduction

La raréfaction des combustibles fossiles et la lutte contre le réchauffement climatique global, impose de

développer l'utilisation d'énergies dites renouvelables. Néanmoins leur mise en œuvre pose de nombreux

problèmes de physique pour répondre aux contraintes économiques et environnementales. Dans ce problème

on propose d'étudier quelques exemples d'utilisation d'énergies renouvelables dans le cadre de la production

d'électricité.

Les différentes parties de l'épreuve sont indépendantes entre elles. Lorsque des applications numériques

sont demandées, il s'agit de donner un résultat numérique en ordre de grandeur avec un seul chiffre

significatif.

On rappelle l'expression de la puissance 𝒫 d'une force �⃗� s'appliquant en un point 𝑀 dont la vitesse est �⃗� :

𝒫 = �⃗��⃗�

La puissance 𝒫 est homogène à une énergie divisée par un temps. Son unité est le watt 𝑊.

La puissance électrique 𝒫𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 consommée en France est de l'ordre de 7. 1010 𝑊.

1. Énergie solaire

Dans des conditions optimales, c'est-à-dire pour un point d'observation situé à l'équateur sous un ciel sans

nuages, le flux solaire arrivant au sol est d'environ 103 𝑊. 𝑚−2. On rappelle qu'un flux d'énergie est une

puissance par unité de surface.

1. Quel est le flux d'énergie arrivant sur un capteur horizontal, moyenné sur une journée de 24 heures ? On

supposera que le jour et la nuit durent 12 heures et que la trajectoire apparente du Soleil reste dans le plan

équatorial.)

2. Toujours sous ces conditions optimales avec une conversion en électricité sans perte, quelle serait la

surface nécessaire pour fournir la puissance électrique consommée en France ? Commenter la valeur

trouvée.

L'énergie du Soleil constitue ainsi la principale source d'énergie renouvelable. De plus l'énergie solaire est

aussi à l'origine des mouvements de fluides à la surface de la Terre, dont une part de l'énergie cinétique peut

être récupérée. D'une part l'inégale répartition du rayonnement solaire provoque le mouvement de masses

d'air et d'eau à l'échelle de la planète en créant la circulation des vents dans l'atmosphère et des courants

marins dans l'océan.

2. Énergie hydroélectrique

L'hydroélectricité consiste à convertir l'énergie potentielle de pesanteur d'une masse d'eau, en énergie

cinétique en la mettant en mouvement. Puis en faisant passer l'écoulement d'eau produit à travers une

turbine couplée à un alternateur, l'énergie cinétique de l'écoulement est convertie en énergie électrique.


2.1. Équilibre hydrostatique d'un barrage

Pour réguler, contrôler l'écoulement, puis le canaliser vers la turbine, il est en général nécessaire d'utiliser

une retenue d'eau, en construisant un barrage supposé plan, de hauteur ℎ et de largeur 𝐿. Les dimensions ℎ

et 𝐿 sont de l’ordre de 100 𝑚. On suppose que la retenue d'eau est complètement remplie. On note 𝑃0 =

1 𝑏𝑎𝑟 la pression atmosphérique, dont on néglige la variation avec l'altitude 𝑧. La référence 𝑧 = 0 correspond

au fond horizontal de la retenue d'eau. La hauteur d'eau dans le barrage est notée ℎ et l’eau liquide sera

considérée comme un fluide incompressible de masse volumique 𝜌𝑒.

Figure 1 - Schéma de principe du barrage.

3. Donner l'expression de la pression hydrostatique 𝑃(𝑧) dans l'eau en fonction de l'altitude 𝑧, de la hauteur

ℎ, de la masse volumique de l'eau 𝜌𝑒 (considérée constante) et de l'accélération de la pesanteur 𝑔 ≈

10 𝑚. 𝑠−2.

4. Donner l’expression de la force élémentaire de pression 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑒𝑎𝑢(𝑧) exercée par l’eau sur la surface 𝑑𝑆 =

𝑑𝑦. 𝑑𝑧 du barrage située à l’altitude 𝑧.

5. Donner l’expression de la force élémentaire de pression 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑎𝑖𝑟 exercée par l’air sur la même surface 𝑑𝑆 du

barrage. Pourquoi cette force ne dépend-t-elle pas de l’altitude 𝑧 ?

6. En déduire l’expression de la résultante des forces de pression 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 exercées sur 𝑑𝑆.

7. Calculer la résultante des forces de pression �⃗�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 s’exerçant sur la totalité du barrage. Estimer sa

valeur.

2.2. Écoulement à la sortie du barrage

On cherche maintenant à évaluer la puissance 𝒫ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜 disponible sur l’arbre de la turbine. On travaille avec

les hypothèses suivantes (dans le référentiel supposé galiléen lié au barrage où le champ de pesanteur

terrestre est 𝑔 ≈ 10 𝑚. 𝑠−2) :

- L’écoulement étudié est stationnaire et sa vitesse suffisamment faible pour considérer l’eau de masse

volumique 𝜌𝑒 uniforme.

- On suppose que le niveau d’eau dans le barrage varie lentement (𝑣𝐴 = 0).

- L’écoulement, de débit volumique 𝐷𝑣 = 20 𝑚3. 𝑠−1 se fait, en sortie de barrage, dans une canalisation

cylindrique de rayon 𝑅 = √3 𝑚 ≈ 1,7 𝑚 constant.

- Les points 𝑨, 𝑩, 𝑪 et 𝑫 appartiennent à une même ligne de courant.

ℎ

𝐻

Réserve d’eau

2𝑅

Turbine

𝑂

𝑧

𝑥

Barrage 𝑨

𝑩

𝑪

𝑫


- La conduite se jette, à sa sortie, dans une rivière, de telle manière que le point 𝑫 est à la pression

atmosphérique 𝑃0 et 𝐻 = 100 𝑚.

- On négligera, dans un premier temps, la viscosité de l’eau (et tout autre phénomène de diffusion).

8. Démontrer, en précisant les hypothèses utilisées, que l’expression de la puissance hydraulique 𝒫ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜

disponible sur l’arbre de la turbine est :

𝒫ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜 = 𝜌𝑒𝐷𝑣 [ 𝑔 (ℎ + 𝐻) −1

2(

𝐷𝑣

𝜋𝑅2)

2

]

9. Calculer numériquement 𝒫ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜 (on prendra 3𝜋 ≈ 10). La puissance électrique consommée en France est

de l'ordre de 7. 1010 𝑊. Quelle serait le nombre de turbines nécessaires pour alimenter la France en

électricité ?

10. Quel peut être l'intérêt de placer la turbine à un niveau plus bas que le barrage ? Cette modification

change-t-elle la force de �⃗�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 (déterminée à la question 7) s’exerçant sur la totalité du barrage ?

On s’intéresse à la partie horizontale entre les points 𝑩 et 𝑪 de la canalisation cylindrique et on néglige la

viscosité de l’eau (et tout autre phénomène de diffusion).

11. Montrer que la variation de pression Δ𝑃𝐵𝐶 entre les points 𝑩 et 𝑪 est nulle.

On considère maintenant que l’écoulement n’est plus parfait entre les points 𝑩 et 𝑪 et qu’il y a perte de

charge uniquement entre ces points.

12. Expliquer ce que cela signifie et en donner des causes. Comment s’appellent ce type de perte de charge ?

On utilise les coordonnées cylindriques horizontales d’axe 𝑂𝑥 représentées ci-dessous.

Figure 2 – Coordonnées cylindriques de la partie horizontale entre les points 𝑩 et .

En tenant compte de la viscosité dynamique 𝜂 du fluide, on montre que, en régime permanent, la vitesse

dans le canalisation cylindrique horizontale d’axe 𝑂𝑥 entre les points 𝑩 et 𝑪, de longueur 𝐿 et de rayon 𝑅,

s’écrit :

�⃗� = 𝑣(𝑟) 𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑣(𝑟) =𝑅2

4𝜂 Δ𝑃𝐵𝐶

𝐿(1 −

𝑟2

𝑅2)

𝑟 est la distance à l'axe du cylindre, Δ𝑃𝐵𝐶 est la différence de pression entre les points 𝑩 et 𝑪.

On donne les expressions de la divergence et du rotationnel en coordonnées cylindriques horizontales :

𝑑𝑖𝑣 𝐴 =1

𝑟

𝜕(𝑟𝐴𝑟)

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝐴𝜃

𝜕𝜃+

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = [1

𝑟

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝜃−

𝜕𝐴𝜃

𝜕𝑥] 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ + [

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝑥−

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑟] 𝑢𝜃⃗⃗ ⃗⃗⃗ +

1

𝑟[

𝜕(𝑟𝐴𝜃)

𝜕𝑟−

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝜃] 𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗

13. Tracer au moins trois lignes de courant dans le plan (𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗).

Représenter un vecteur vitesse sur chacune de ces lignes.

𝑀

𝑟

𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗⃗

𝑢𝜃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑅

𝐿

𝑥


14. Soit l’équation suivante : 𝜕𝜌𝑒

𝜕𝑡= − 𝑑𝑖𝑣 (𝜌𝑒 �⃗� ). Comment se nomme cette équation et que traduit-elle ?

On donnera une réponse concise.


16. Cet écoulement est-il irrotationnel ?

17. Comment le terme Δ𝑃𝐵𝐶 doit-il être pris en compte dans l’expression (donnée dans la question 8) de la

puissance hydraulique 𝒫ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜 disponible sur l’arbre de la turbine ?

3. Énergie éolienne

La circulation atmosphérique se traduit par la présence de vents à la surface de la Terre. À certains endroits

du globe, le vent est suffisamment important et régulier en direction et intensité pour que l'énergie cinétique

de l'air dite éolienne soit utilisée pour la production d'électricité.

18. En considérant que l'air est un gaz parfait dans les conditions standards de température et de pression

(𝑃0 = 1 𝑏𝑎𝑟 et 𝑇0 = 300 𝐾), calculer l'ordre de grandeur de la masse volumique de l'air 𝜌𝑎𝑖𝑟. On rappelle

que la masse molaire de l'air 𝑀𝑎𝑖𝑟 vaut approximativement 30 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1 et que la constante 𝑅 des gaz

parfaits vaut environ 10 𝐽. 𝐾−1. mol−1.

On se place dans les conditions où l’écoulement est stationnaire et la vitesse moyenne 𝑣𝑣𝑒𝑛𝑡 des vents est

de l’ordre de 36 𝑘𝑚. ℎ−1.

On considère l’air de masse volumique 𝜌𝑎𝑖𝑟 uniforme et de vitesse 𝑣𝑣𝑒𝑛𝑡.

Soit 𝑆 une surface perpendiculaire au lignes de courant du vent au niveau de laquelle la vitesse 𝑣𝑣𝑒𝑛𝑡 est

considérée comme uniforme.

Figure 3 – Débit massique à travers la surface 𝑆 d’une éolienne.

19. Déterminer l’expression de 𝑑𝑚, la masse élémentaire qui traverse la surface 𝑆 de l’éolienne pendant la

durée 𝑑𝑡. Illustrer d’un schéma.

20. En déduire l’expression de l’énergie cinétique 𝑑𝐸𝑐 reçue par la surface 𝑆 pendant la durée 𝑑𝑡 en fonction

de 𝑑𝑚, 𝑣𝑣𝑒𝑛𝑡 et 𝑑𝑡 puis en fonction uniquement de 𝜌𝑎𝑖𝑟, 𝑣𝑣𝑒𝑛𝑡, 𝑆 et 𝑑𝑡.

21. Donner la puissance cinétique 𝒫é𝑜𝑙 =𝑑𝐸𝑐

𝑑𝑡 reçue par l’éolienne de surface 𝑆 = 100 𝑚2.

22. Quel serait l'ordre de grandeur du nombre d'éoliennes nécessaires pour fournir la puissance électrique

𝒫𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 consommée en France ? On rappelle que cette dernière est de l'ordre de 7. 1010 𝑊.

�⃗�𝑣𝑒𝑛𝑡

𝑆


Cv

◼ SUJET MFL12 : ATS 2016 : INSTABILITE DE L’ATMOSPHERE

On s’intéresse dans cette partie aux propriétés thermodynamiques de l’atmosphère et aux conditions de développement d’un nuage. Dans toute cette partie, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On oriente l’axe des 𝑧 selon la verticale ascendante. Données :

➢ Pression atmosphérique au niveau du sol : 𝑃0 = 1010 ℎ𝑃𝑎 ➢ Valeur du champ de pesanteur terrestre : 𝑔 ≃ 10 𝑁. 𝑘𝑔−1 ➢ Masse molaire de l’air : 𝑀𝑎𝑖𝑟 ≃ 30 𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1 ➢ Coefficient isentropique : 𝛾 = 1,4 ➢ Température de l’atmosphère au niveau du sol : 𝑇0 = 300 𝐾

➢ Viscosité dynamique de l’air : 𝜂𝑎𝑖𝑟 ≃ 2. 10−5 𝑃𝑎. 𝑠 ➢ Constante des gaz parfaits : 𝑅 ≃ 10 𝐽. 𝐾−1. 𝑚𝑜𝑙−1

Aide aux calculs

0,4

1,4 ≃ 0,3

1

9 ≃ 0,11 √10 ≃ 3,2

12040

1,205≃ 9990

A. Profil de température au sein d’une colonne d’air

Dans la basse atmosphère (troposphère) où se développent les orages, l’air peut être assimilé à un gaz parfait.

On suppose que l’ascension d’une parcelle d’air de volume mésoscopique 𝑉 depuis la surface de la Terre à la

pression 𝑃0 et à la température 𝑇0, jusqu’à une altitude 𝑧 à la pression 𝑃(𝑧), peut être assimilée à une détente

adiabatique et mécaniquement réversible. Le champ de pesanteur est supposé uniforme et noté �⃗� = −𝑔𝑒𝑧⃗⃗ ⃗⃗ ,

l’axe des 𝑧 étant orienté selon la verticale ascendante. On note 𝜌(𝑧) et 𝑃(𝑧) la masse volumique et la

pression de l’air à l’altitude 𝑧, 𝑀𝑎𝑖𝑟 la masse molaire de l’air et 𝛾 =𝐶𝑝

𝐶𝑣 le rapport supposé constant entre les

capacités thermiques massiques à pression constante et à volume constant de l’air.

1) Donner la relation scalaire de la statique des fluides reliant la variation de pression 𝑑𝑃 et la variation

d’altitude 𝑑𝑧 en fonction de 𝜌(𝑧) et 𝑔.

2) Montrer que la masse volumique 𝜌(𝑧) de l’air à une altitude z peut s’écrire sous la forme :

𝜌(𝑧) =𝑀𝑎𝑖𝑟𝑃(𝑧)

𝑅𝑇(𝑧)

3) Enoncer la loi de Laplace en fonction de la température 𝑇, de la pression 𝑃 et de 𝛾. Préciser ses hypothèses d’application.

4) En déduire la relation suivante :

𝑑𝑃

𝑃=

𝛾

𝛾 − 1

𝑑𝑇

𝑇

5) En combinant les équations obtenues précédemment, montrer qu’on obtient l’équation différentielle suivante :

𝑑𝑇

𝑑𝑧= −Γ 𝑎𝑣𝑒𝑐 Γ =

𝛾 − 1

𝛾

𝑀𝑎𝑖𝑟𝑔

𝑅

Calculer Γ et préciser son unité.

6) On appelle 𝑇0 la température de l’air à l’altitude 𝑧 = 0 𝑚. Exprimer 𝑇(𝑧) en fonction de 𝑇0, Γ et 𝑧.

B. Instabilité de l’atmosphère et formation des nuages

Les nuages, et en particulier les nuages d’orage (cumulo-nimbus), se développent lorsque l’atmosphère est instable. Afin de déterminer à quelle condition l’atmosphère est stable ou non, on s’intéresse au mouvement


d’une parcelle d’air de volume mésoscopique 𝑉 de masse volumique 𝜌𝑃. On appelle 𝜌𝑒 la masse volumique de l’air environnant. 7) Cette parcelle d’air de volume mésoscopique 𝑉 est soumis à son poids et à la résultante des forces

pressantes. Exprimer ces forces en considérant que la pression ne dépend que de 𝑧, les représenter sur votre

copie.

8) En déduire que la résultante des forces massiques s’exerçant sur un volume 𝑉 d’air humide s’écrit :

𝑎𝑧 = −𝑔 −1

𝜌𝑃

𝑑𝑃

𝑑𝑧

9) Montrer, en utilisant la relation de la statique des fluides pour l’air entourant la parcelle, que la

résultante des forces massiques peut se mettre sous la forme :

𝑎𝑧 = 𝑔𝜌𝑒 − 𝜌𝑃

𝜌𝑃

En météorologie, cette résultante s’appelle la flottabilité de la parcelle.

Figure 2 : Représentation des forces s’exerçant sur une parcelle de volume mésoscopique 𝑽 d’air humide

10) En considérant l’évolution mécaniquement réversible, montrer que la flottabilité 𝑎𝑧 peut également

s’écrire :

𝑎𝑧 = 𝑔𝑇𝑝 − 𝑇𝑒

𝑇𝑒

où 𝑇𝑝 et 𝑇𝑒 représentent respectivement les températures à l’altitude 𝑧 de la parcelle et de son air

environnant.

11) En utilisant le résultat de la question 6), donner les expressions de 𝑇𝑝(𝑧) et 𝑇𝑒(𝑧) en fonction de

l’altitude 𝑧, de la température au sol 𝑇0 et des gradients verticaux de température Γ𝑝 et Γ𝑒 pour l’air humide

constituant la parcelle et pour l’air constituant son environnement.

12) En déduire finalement que la flottabilité de la parcelle peut se mettre sous la forme :

𝑎𝑧 = 𝑔Γ𝑒 − Γ𝑃

𝑇𝑒. 𝑧

13) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par 𝑧(𝑡), caractérisant le mouvement vertical de la parcelle d’air.

14) A quelle condition sur Γ𝑒 − Γ𝑃 le mouvement de la parcelle sera-t-il oscillatoire et donc stable ?

Exprimer dans ce cas la pulsation 𝜔0 des oscillations en fonction de 𝑔, Γ𝑒, Γ𝑃 et 𝑇𝑒.

C. Vitesse de chute de la pluie

Dans cette partie, on cherche à déterminer la vitesse de chute d’une goutte de pluie depuis la base du nuage. On pourra considérer les fluides incompressibles pour les questions suivantes.


On considère le mélange air + pluie comme un milieu continu de masse volumique 𝜌𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒 = 1,205 𝑘𝑔. 𝑚−3,

tombant verticalement avec une vitesse verticale �⃗⃗⃗� = −𝑈(𝑧)𝑒𝑧⃗⃗ ⃗⃗ mesurée par rapport sol. On considère ce

fluide comme un fluide parfait incompressible s’écoulant de façon stationnaire dans un cylindre conique de

section 𝑆 variable depuis la base du nuage d’orage (𝑧𝑏𝑎𝑠𝑒 = 500 𝑚) jusqu’au sol, avec une vitesse initiale

𝑈(500) nulle.

15) Appliquer la relation de Bernoulli le long d’une ligne de courant comprise entre la base du nuage et le

sol.

16) On note 𝑃500, la pression atmosphérique à 500 𝑚 d’altitude. Montrer que la vitesse du fluide 𝑈(0) au

niveau du sol s’écrit :

𝑈(0) = √2 ×𝑃500 − 𝑃0

𝜌𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒+ 2𝑔𝑧𝑏𝑎𝑠𝑒

17) Calculer la valeur de 𝑈(0) sachant que 𝑃500 = (𝑃0 − 6020 )𝑃𝑎. Cette valeur vous paraît-elle plus

plausible que celle trouvée précédemment : 0,11. 10−1𝑚. 𝑠−1 ?

Pour les questions suivantes, la vitesse de chute de ce fluide sera prise égale à 3 𝑚. 𝑠−1 au niveau du sol.

18) Calculer le débit volumique 𝐷𝑣 des précipitations tombant sur une surface 𝑆 = 10 𝑘𝑚2. Sachant que

la masse volumique de l’air sec vaut 𝜌𝑎𝑖𝑟 = 1,2 𝑘𝑔. 𝑚−3, quelle est la masse d’eau liquide contenue dans

1 𝑚3 du mélange air+pluie ? En déduire le débit massique d’eau 𝐷𝑚 en tonnes par seconde.

19) Exprimer la durée d’écoulement ∆𝑡 d’une masse de fluide 𝑚 en fonction de 𝑚 et du débit massique

𝐷𝑚. Combien de temps pourra durer l’averse en supposant que le nuage contient 300 000 tonnes d’eau ?

◼ SUJET MFL13 + Q0 : ATS 2019 : IMPEDANCES ET RESISTANCES DANS DIFFERENTS DOMAINES DE LA PHYSIQUE

(MFL + Q)

Impédance vient du mot latin impedir qui signifie entraver. Il s’agit d’un concept tout à fait transversal en

physique traduisant qualitativement le rapport 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑒

𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . En régime sinusoïdal, l’impédance complexe

𝑍 peut présenter une partie réelle souvent appelée résistance et à l’origine des dissipations énergétiques. Ce

sujet aborde les notions de résistances électriques, hydrauliques et thermiques.

II- Résistance hydraulique

a) Loi de Poiseuille

On considère une installation simplifiée constituée d’un château d’eau alimentant une habitation. L’eau dans

le réservoir atteint une hauteur 𝐻 = 30 𝑚 supposée constante. L’eau circule dans une canalisation

cylindrique de rayon 𝑎 = 20 𝑚𝑚 et de longueur 𝐿 avant d’atteindre le robinet de la maison.


La pression atmosphérique 𝑝0 est supposée uniforme, la masse volumique de l’eau supposée incompressible

est notée 𝜌 et l’intensité du champ de pesanteur terrestre est notée 𝑔. L’étude est menée dans le référentiel

terrestre supposé galiléen.

On ouvre le robinet en 𝐶 et on remplit une baignoire de 180 𝐿 en 30 minutes.

16) Evaluer numériquement le débit volumique 𝐷𝑣 en 𝐶 en 𝑚3. 𝑠−1.

17) En déduire la vitesse moyenne 𝑣𝐵 de l’écoulement en 𝐵 et la calculer.

On prendra 1

4𝜋≈ 0,08.

18) Exprimer la pression 𝑝𝐵 en 𝐵 en fonction de 𝑣𝐵 et des données du sujet en précisant les hypothèses

utilisées pour appliquer la relation de Bernoulli. On supposera que la vitesse de l’écoulement en 𝐴 est telle

que 𝑣𝐴 ≪ 𝑣𝐵.

19) Comparer numériquement 𝑣𝐵2 et 2𝑔𝐻. En déduire une expression simple de 𝑝𝐵. Commenter ce résultat.

On souhaite caractériser l’écoulement stationnaire entre les points 𝐵 et 𝐶 en tenant compte de la viscosité

dans la canalisation. Du fait des symétries du problème, on cherche en coordonnées cylindriques un champ

des vitesses de la forme :

𝑣(𝑀) = 𝑣𝑧(𝑟, 𝑧) 𝑢𝑧⃗⃗⃗⃗⃗.

Avec la géométrie proposée, on donne l’opérateur divergence 𝑑𝑖𝑣 �⃗� =1

𝑟

𝜕𝑟𝑣𝑟

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝑣𝜃

𝜕𝜃+

𝜕𝑣𝑧

𝜕𝑧 et l’opérateur

gradient : 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑟𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ +

1

𝑟

𝜕𝑓

𝜕𝜃𝑢𝜃⃗⃗ ⃗⃗⃗ +

𝜕𝑓

𝜕𝑧𝑢𝑧⃗⃗⃗⃗⃗.

20) Montrer, en utilisant les hypothèses de travail, que 𝑣𝑧 ne dépend pas de 𝑧. On utilisera l’équation de

conservation de la masse pour justifier ce résultat.

Le résultat précédent implique que le mouvement de toute particule de fluide est rectiligne et uniforme.

Nous allons étudier le déplacement d’un volume 𝑉 cylindrique de fluide, de rayon 𝑟 < 𝑎, d’axe 𝑧 et de

longueur ℓ < 𝐿 :

Dans la suite, on néglige l’effet du poids dans la canalisation horizontale d’axe 𝑧. Le mouvement de ce volume

𝑉 est assuré par des forces pressantes. On supposera que le champ des pressions 𝑝 dans la canalisation est

fonction uniquement de , on a donc 𝑝(𝑧).

21) Donner l’expression de la résultante 𝐹𝑛⃗⃗ ⃗⃗ des forces de pression s’exerçant sur 𝑉.

Parallèlement, ce volume 𝑉 subit des forces de viscosité par le fluide qui l’entoure et qui se déplace à une

vitesse différente. On donne la loi phénoménologique de Newton définissant la force tangentielle subie par

chaque élément 𝑑𝑆 de la paroi latérale de 𝑉 :

𝑑𝐹𝑡⃗⃗⃗⃗ = 𝜂

𝑑𝑣𝑧(𝑟)

𝑑𝑟𝑑𝑆𝑢𝑧⃗⃗⃗⃗⃗

où 𝜂 est le coefficient de viscosité dynamique de l’eau.


22) Donner l’expression de la résultante des forces 𝐹𝑡⃗⃗⃗⃗ de viscosité s’exerçant sur 𝑉 en fonction de

𝑑𝑣𝑧(𝑟)

𝑑𝑟.

23) La prise en considération de la viscosité de l’eau implique la condition 𝑣𝑧(𝑟 = 𝑎) = 0. En déduire alors

que 𝑣𝑧(𝑟) =Δ𝑃

4𝜂ℓ(𝑎2 − 𝑟2) où Δ𝑝 = (𝑝(𝑧) − 𝑝(𝑧 + ℓ)).

24) Exprimer le débit volumique 𝐷𝑣 dans la conduite et en déduire la loi de Poiseuille reliant le débit

volumique à la perte de charge Δ𝑝 : 𝐷𝑣 =𝜋𝑎4

8𝜂ℓΔ𝑝.

25) Montrer, à l’aide d’une analogie électrocinétique, que l’on peut définir une résistance hydraulique 𝑅ℎ

entre les points 𝐵 et 𝐶.

26) Expliquer alors l’intérêt des châteaux d’eau.

b) Résolution de problème

La question suivante n’est pas guidée et demande de l’initiative de la part du candidat. Une rédaction

complète et soignée de la problématique posée est attendue, et toutes les pistes de recherche explorées par

le candidat doivent être consignées sur sa copie. Si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Il est conseillé

au candidat de ne pas excéder 10 minutes de réflexion sur cette question.

27) Un Français consomme en moyenne 150 𝐿 d’eau par jour et le volume d’eau dans un château d’eau est

typiquement 𝑉𝑐 = 2 500 𝑚3. Quelle serait alors la distance moyenne séparant deux châteaux d’eau en

France en supposant que l’on n’utilise pas plus de la moitié des réservoirs chaque jour ? La distance « à vol

d’oiseau » est de 1 000 𝑘𝑚 entre Dunkerque et Perpignan et aussi entre Brest et Strasbourg.

III- Résistance thermique

a) Loi de Fourier

On considère une lame de verre d’épaisseur 𝑒, de surface 𝑆 et de

conductivité thermique 𝜆𝑣 uniforme. On suppose que le champ des

températures 𝑇 dans cette lame ne dépend spatialement que de la variable

𝑥. On impose une température 𝑇(0) en 𝑥 = 0 et une température 𝑇(𝑒) <

𝑇(0) en 𝑥 = 𝑒. On suppose dans toute la suite que le régime stationnaire

est atteint et on néglige le transfert conductoconvectif. On note 𝑗 le

vecteur densité de flux thermique.

28) Enoncer la loi de Fourier et justifier que 𝑗 = 𝑗(𝑥) 𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗. On donnera l’expression de 𝑗(𝑥).

29) Exprimer la puissance thermique 𝑃𝑡ℎ(𝑥) mesurée à la cote 𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒) et traversant la surface 𝑆 de la

lame de verre en fonction de 𝑆, 𝜆𝑣 et 𝑑𝑇

𝑑𝑥.

30) Justifier que la puissance 𝑃𝑡ℎ soit indépendante de 𝑥.

31) En déduire alors que 𝑇(0) − 𝑇(𝑒) = 𝑅𝑡ℎ𝑃𝑡ℎ. On donnera l’expression de 𝑅𝑡ℎ en fonction de 𝑒, 𝜆𝑣 et 𝑆.

Un triple vitrage est constitué de deux lames de verre identiques de

conductivité thermique 𝜆𝑣 , d’épaisseur 𝑒 et de surface 𝑆 séparées par une

épaisseur 𝑒 de gaz de conductivité 𝜆𝑔𝑎𝑧 de même surface 𝑆.

32) Donner l’expression de la résistance thermique équivalente 𝑅𝑒𝑞.

33) On a 𝜆𝑔𝑎𝑧 ≪ 𝜆𝑣. Donner une expression approchée de la résistance

thermique équivalente. Interpréter le résultat obtenu.

b) Isolation thermique d’une maison

Le tableau ci-dessous donne les conductances surfaciques avant puis après

rénovation d’une maison :


Avant rénovation Après rénovation Surface

Mur 1 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 0,5 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 100 𝑚2

Toiture 0,5 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 0,1 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 100 𝑚2

Fenêtres 5 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 1 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 20 𝑚2

Porte 2 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 1 𝑊. 𝐾−1. 𝑚−2 10 𝑚2

Soit 𝑃𝑡ℎ,𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 la puissance thermique échangée par l’ensemble de la maison avec l’extérieur avant rénovation

et 𝑃𝑡ℎ,𝑎𝑝𝑟è𝑠 la puissance thermique échangée par l’ensemble de la maison avec l’extérieur après rénovation.

34) Donner la valeur numérique du rapport 𝑃𝑡ℎ,𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡

𝑃𝑡ℎ,𝑎𝑝𝑟è𝑠 et interpréter la valeur obtenue.


REVISIONS DE TRANSFERTS THERMIQUES

◼ SUJET Q2 : CCP MP 2016 : ETUDE THERMIQUE D’UN BATIMENT

Avec les nouvelles normes environnementales et les diagnostics de performance énergétique des bâtiments,

la cartographie thermique permet de localiser les zones de déperdition thermique les plus importantes.

On peut ensuite cibler les travaux d’isolation à effectuer en toute connaissance de cause. L’isolation peut

s’effectuer par l’intérieur ou l’extérieur avec des matériaux adéquats.

On pourra alors vérifier, à réception des travaux, l’efficacité de ces derniers.

FIGURE 1 – Thermographie infrarouge

On étudie une pièce parallépipédique de longueur 𝑎 = 8 𝑚, de largeur 𝑏 = 5 𝑚, de hauteur ℎ = 2,5 𝑚 et

possédant un radiateur électrique de puissance maximale 𝑃 = 2 𝑘𝑊. La pièce est constituée d’une enceinte

en béton d’épaisseur 𝐿 = 15 𝑐𝑚 et de masse volumique

𝜌 = 2,2. 103 𝑘𝑔. 𝑚−3. On note 𝑐 = 1,0. 103 𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1 sa capacité thermique massique et 𝜆 sa

conductivité thermique (𝜆 = 1,5 𝑆. 𝐼.)

Aide aux calculs

1,25 × 8 × 5 × 2,5 = 125 2 × 1,3 × 2,5 = 6,5 6,5 × 1,5 = 9,75

2 × 1,3 × 2,5 = 6,5 2,2 × 6,5 × 1,5 = 21,5 1

6,5= 0,15

1

1,65= 0,625

1

1,8= 0,556

FIGURE 2 – Isolation a) par l’intérieur ou b) par l’extérieur


1. Exprimer l’aire 𝑆𝑝 de la surface en contact avec la pièce en fonction de 𝑎, 𝑏 et ℎ, en négligeant l’épaisseur

des murs. Faire l’application numérique.

Première partie : équation de la chaleur en régime stationnaire

On étudie la conduction thermique dans le mur modélisé par une barre de section 𝑆, de longueur 𝐿 en contact

avec deux thermostats de températures 𝑇𝑖𝑛𝑡 et 𝑇𝑒𝑥𝑡 (voir figure 3).

On note : 𝑗 = 𝑗(𝑥, 𝑡) 𝑒𝑥 le vecteur densité de flux thermique.

FIGURE 3 – Modélisation du mur

2. On désire faire un bilan énergétique en régime stationnaire sur la tranche comprise entre les abscisses 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥 du mur. Montrer alors que l’équation différentielle de la chaleur à laquelle obéit la température 𝑇(𝑥) en régime stationnaire est :

𝑑2𝑇

𝑑𝑥2= 0.

3. Les températures de surface seront prises égales à celles des thermostats. Résoudre l’équation différentielle et déterminer alors 𝑇(𝑥) la température à l’intérieur du mur à l’abscisse 𝑥. Tracer 𝑇(𝑥).

4. Définir et exprimer la température moyenne du mur notée 𝑇𝑚𝑜𝑦. Indiquer la position particulière 𝑥𝑝 où

la température est égale à la température moyenne.

5. Exprimer la densité de flux 𝑗(𝑥) et le flux thermique Φth(𝑥) qui traverse le mur. Que remarquez-vous ?

6. Calculer la puissance 𝑃 qu’un radiateur doit fournir afin de maintenir la température intérieure à 20 °𝐶 pour une température extérieure de 10 °𝐶. Commenter ce résultat par rapport au radiateur installé.

7. Donner l’expression de la résistance thermique 𝑅𝑚𝑢𝑟 du mur étudié. Préciser son unité et calculer sa valeur.

8. On souhaite programmer le tracé du profil de température dans le mur. Pour cela, on utilise le programme ci-dessous.

a=

b=

e=

n=100

h=e/(n-1)

x=0:h:e

T=(b-a)/e*x + a

1. Indiquer à quelles grandeurs correspondent les paramètres a, b et e. Indiquer la valeur à donner à

chacun d’entre eux pour le cas étudié dans cette première partie.


2. Indiquer la ligne de code à modifier pour changer le nombre de valeurs de température calculées. Faire

la modification pour obtenir 1000 points.

3. Quelle est la ligne de code à indiquer pour tracer le profil de température dans le mur ?

Deuxième partie : isolation

Afin de limiter sa consommation énergétique, le propriétaire décide d’isoler la pièce.

Importance de l’isolation

Le propriétaire peut disposer l’isolant à l’intérieur ou à l’extérieur du mur. Pour cela, il recouvre les murs d’un

isolant de faible capacité thermique, de conductance thermique 𝜆𝑖 = 0,05 𝑆. 𝐼 et d’épaisseur 𝑒 = 5 𝑐𝑚.

9. Calculer la résistance thermique 𝑅𝑖 relative à l’isolation de la pièce. Comparer cette valeur à 𝑅𝑚𝑢𝑟.

Par la suite, on prendra 𝑅𝑖 = 𝛽𝑅𝑚𝑢𝑟 avec 𝛽 = 10.

10. Déterminer la puissance nécessaire 𝑃𝑚𝑖𝑛 afin de maintenir une température 𝑇𝑖𝑛𝑡 dans la pièce de 20 °𝐶 pour une température extérieure 𝑇𝑒𝑥𝑡 de 10 °𝐶. Cette puissance dépend-elle de la position relative des résistances ?

Isolation intérieure ou extérieure ?

On appelle 𝑇𝑠 la température de la surface de contact entre l’isolant et le mur.

11. Faire deux schémas thermiques équivalents faisant intervenir les résistances thermiques 𝑅𝑖 et 𝑅𝑚𝑢𝑟 et positionner les différentes températures 𝑇𝑠, 𝑇𝑖𝑛𝑡 et 𝑇𝑒𝑥𝑡 ,

• le premier schéma correspondant à une isolation intérieure ;

• le second à une isolation extérieure.

12. En déduire l’expression de 𝑇𝑠,𝑖𝑛𝑡 température de la surface de contact entre l’isolant et le mur, quand

l’isolation est à l’intérieur, en fonction de 𝛽, 𝑇𝑒𝑥𝑡 et 𝑇𝑖𝑛𝑡.

13. Déterminer aussi l’expression de 𝑇𝑠,𝑒𝑥𝑡 température de la surface de contact entre l’isolant et le mur, quand l’isolation est à l’extérieur, en fonction de 𝛽, 𝑇𝑒𝑥𝑡 et 𝑇𝑖𝑛𝑡.

On se place dans des conditions extrémales de température, 𝑇𝑖𝑛𝑡 vaut toujours 20 °𝐶 mais 𝑇𝑒𝑥𝑡 a maintenant

pour valeur −13 °𝐶.

14. Calculer 𝑇𝑠,𝑖𝑛𝑡 et 𝑇𝑠,𝑒𝑥𝑡 .

15. Tracer deux profils précis de température des variations spatiales de la température :

• le premier profil correspondant à une isolation intérieure ;

• le second à une isolation extérieure.

Le problème de la congélation d’humidité liée à la perméabilité à l’air et à l’humidité des matériaux

constitutifs du mur est un problème délicat à résoudre. Pour un mur en béton donné et compte tenu de

l’humidité qu’il renferme, l’eau qu’il contient se congèle si la température baisse en dessous de 𝑇1 et son

volume augmente. Les cycles répétés gel-dégel, selon les évolutions temporelles et climatiques, entraînent

la dégradation des matériaux, et plus particulièrement celle du béton.

16. Que vaut 𝑇1 ? Positionner 𝑇1 sur chaque profil de température.

17. Conclure sur un choix d’isolation (extérieure ou intérieure).

18. Comment modéliser la prise en considération du sol de la pièce ?

19. Comment traduire l’influence de la présence d’une fenêtre dans la pièce ?

20. En revenant sur les photographies de la figure 1, quel(s) phénomène(s) avons-nous négligé(s) ?


◼ SUJET Q3 : D’APRES CCP TSI 2017 : OPTIMISATION THERMIQUE D’UNE PIECE

Données

Surface au sol : 80 𝑚2 ; largeur : 10,0 𝑚; longueur : 8,0 𝑚; hauteur sous plafond : 3,0 𝑚

Tous les murs donnent sur l’extérieur

Température intérieure : 𝑇0 = 20,0 °𝐶, supposée uniforme

Température extérieure : 𝑇1 = 5,0 °𝐶, supposée uniforme

Surface vitrée : deux baies vitrées de 6,0 𝑚2 chacune

Épaisseur de vitre : 𝑒 = 4,0 𝑚𝑚

Conductivités thermiques (en 𝑊. 𝑚−1. 𝐾−1) :

𝜆𝑣 = 1,0 ; 𝜆𝑎𝑖𝑟 =1

310−1 ≃ 0,033 ; 𝜆𝐴𝑟 =

1

510−1 ≃ 0,020

Capacité thermique de la pièce : 𝐶 = 3,0. 105 𝐽. 𝐾−1

Puissance développée par la pompe à chaleur : 𝑃 = 300 𝑊

Aide aux calculs

2

3≃ 0,67

2×92

3≃ 60

2×152

3≃ 100

Parmi les différents éléments constitutifs d’une habitation, les fenêtres jouent un rôle important dans le

comportement thermique de l’habitation.

On cherche ici à montrer l’intérêt d’utiliser un double vitrage en commençant par étudier l’effet d’un simple

vitrage.

On s’intéresse d’abord à un simple vitrage. On considère une paroi vitrée de surface S, d’épaisseur 𝑒,

homogène, de conductivité thermique 𝜆𝑣, constante et uniforme dans la paroi (voir figure 1).

On ne tient compte que des transferts thermiques par conduction. On considère la conduction comme

unidimensionnelle selon 𝑒𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ et en régime stationnaire. Ainsi, les grandeurs ne dépendent que de 𝑥.

On note Φ(𝑥) le flux thermique à travers une surface 𝑆 constante et 𝑗𝑡ℎ(𝑥) la densité surfacique de flux

thermique.

Figure 1 – Simple vitrage

1. Rappeler la loi de Fourier tridimensionnelle, qui régit le transfert thermique par conduction, ainsi que

sa simplification dans le cas unidimensionnel selon 𝑒𝑥⃗⃗⃗⃗⃗.

2. Que représente 𝑗𝑡ℎ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ? Interpréter le signe " − " dans la loi de Fourier.

3. Donner la relation entre Φ(𝑥) et 𝑗𝑡ℎ(𝑥). Donner l’unité dans le Système International de Φ(𝑥).


4. On rappelle que l’on se place en régime stationnaire. Justifier que le flux thermique est alors le même à

travers toutes les sections de la paroi.

5. En déduire que la température varie suivant une fonction affine de la position 𝑥 à travers la paroi vitrée.

6. Déterminer cette fonction affine en fonction de 𝑇0, température à l’intérieur de la pièce et de 𝑇1,

température à l’extérieur de la pièce.

7. Tracer l’allure de la courbe représentative de 𝑇(𝑥) pour 𝑥 ∈ [−𝑒, 2𝑒].

8. On souhaite programmer le tracé du profil de température dans la fenêtre. Pour cela, on utilise le

programme ci-dessous.

a=

b=

e=

n=100

h=e/(n-1)

x=0:h:e

T=(b-a)/e*x + a

Indiquer à quelles grandeurs correspondent les paramètres a, b et e. Indiquer la valeur à donner à chacun

d’entre eux pour le cas étudié dans cette première partie.

Indiquer la ligne de code à modifier pour changer le nombre de valeurs de température calculées. Faire la

modification pour obtenir 1000 points.

Quelle est la ligne de code à indiquer pour tracer le profil de température dans le mur ?

9. En déduire l’expression de 𝑗𝑡ℎ pour la paroi vitrée en fonction de 𝑇0, 𝑇1, 𝑒 et 𝜆𝑣.

10. 𝑅𝑡ℎ étant définie positivement, montrer que la résistance thermique 𝑅𝑡ℎ pour la paroi vitrée de surface

S a pour expression : 𝑅𝑡ℎ =𝑒

𝜆𝑣 𝑆

11. Faire l’application numérique avec les valeurs proposées dans les données pour une baie vitrée en

simple vitrage.

Figure 2 – Double vitrage

On considère désormais une baie vitrée de même surface mais en double vitrage. Elle est composée de

deux parois vitrées identiques de surface 𝑆, d’épaisseur 𝑒, homogènes, de conductivité thermique 𝜆𝑣,


séparées par une couche d’air sec homogène, de surface 𝑆, d’épaisseur 3𝑒 et de conductivité thermique

𝜆𝑎𝑖𝑟 (voir figure 2).

On considère à nouveau qu’il n’y a que des transferts thermiques par conduction, sans mouvement

fluide dans la couche d’air sec.

Comme en question 4, le flux, noté ici Φ, est le même à travers toutes les sections de la paroi entre 𝑥 =

0 et 𝑥 = 5𝑒. On note 𝑅𝑡𝑜𝑡 la résistance thermique totale de la paroi.

12. Quelle analogie peut-on faire avec les résistances électriques ?

13. Exprimer 𝑅𝑡𝑜𝑡 pour la paroi double vitrage en fonction de 𝑆, 𝑒, 𝜆𝑎𝑖𝑟 et 𝜆𝑣.

14. Calculer numériquement 𝑅𝑡𝑜𝑡 pour une baie vitrée en double vitrage. Commenter.

Afin d’améliorer l’isolation thermique, il existe des fenêtres double vitrage à lame d’argon, de

conductivité thermique 𝜆𝐴𝑟. L’isotope majoritaire de l’argon sur Terre est l’isotope 𝐴𝑟1840 .

15. Donner la composition de l’atome d’argon 𝐴𝑟1840 .

16. Calculer numériquement la résistance thermique 𝑅𝑡𝑜𝑡 pour une baie vitrée double vitrage à lame

d’argon.

17. Comparer les résistances thermiques des trois types de parois vitrées évoqués dans ce sujet.

Commenter.

18. Voici une photo d’un bâtiment qui comporte une fenêtre à simple vitrage et une à un double vitrage.

Préciser quelle fenêtre est à simple vitrage et quelle fenêtre à double vitrage en justifiant votre réponse.

http://www.econologik.com/wp-content/uploads/2013/12/thermographie-double-vitrage-recent-ancien.png

◼ SUJET Q4 : G2E 2018 : MAMMIFERES MARINS

1 Régulation thermique

1.1. Couche de graisse

Un grand dauphin pèse en moyenne 150 kg et mesure en moyenne 3 mètres de long. Il mange en moyenne

5 kg de poisson par jour, dont l’apport énergétique moyen est de 100 kcal pour 100 g de poisson (1 kcal =

4 kJ). Sa température interne est de 36°. Il est isolé de l’eau par une couche de graisse de conductivité

thermique λg = 0,2 W.m−1.K−1.

http://www.econologik.com/wp-content/uploads/2013/12/thermographie-double-vitrage-recent-ancien.png


En détaillant vos hypothèses et les étapes de votre raisonnement, estimer l’épaisseur moyenne de la couche

de graisse d’un grand dauphin. On pourra assimiler le dauphin à un cylindre, et utiliser la résistance thermique

de la couche de graisse.

Remarque : il est possible que certaines données du texte ci-dessus soient inutiles. Il est également possible

que certaines valeurs numériques utiles à la résolution soient manquantes ; vous les estimerez alors avec

bon sens.

1.2. Adaptations vasculaires

Les adaptations les plus extraordinaires chez les mammifères marins pour maintenir leur température

corporelle sont sans doute les adaptations vasculaires. Ces adaptations contrôlent les pertes de chaleur en

agissant sur la circulation du sang.

Le « réseau admirable », est un système d'échange de chaleur à contre-courant. Ces réseaux se retrouvent

principalement dans les régions peu isolées comme les nageoires pectorales, dorsales et caudales des cétacés,

les pattes des pinnipèdes et la nageoire caudale des siréniens. Ils sont formés d'artères, chacune entourée de

plusieurs veines.

Comment ça fonctionne ? Comme ces appareils domestiques qui combinent échange d'air et récupération de

chaleur. La chaleur du sang des artères (qui part des organes internes et se dirige vers les extrémités) est

récupérée par le sang des veines (qui part des extrémités et se dirige vers les organes internes). De cette façon,

le sang qui atteint les capillaires à la surface du corps est déjà refroidi, limitant les pertes de chaleur du corps

vers l'environnement.

Parallèlement, le sang qui revient des capillaires de la surface du corps et qui atteint les organes est réchauffé

et risque moins d'abaisser la température interne du corps.

Illustrer par un ou plusieurs schémas le fonctionnement du réseau admirable décrit dans ce document. On

indiquera en particulier les échanges thermiques, entre vaisseaux sanguins, ainsi qu’entre les vaisseaux et le

milieu extérieur.

◼ SUJET Q5 : ATS 2017 : FORCE DE THERMOPHORESE

Pour extraire les particules en lévitation, on utilise une force dite de thermophorèse 𝐹𝑡ℎ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝐾 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑇 où 𝐾

est une constante et 𝑇 est le champ des températures dans le réacteur. Cette force est donc obtenue en

appliquant un gradient de température.

Pour réaliser un champ de température non uniforme dans le réacteur, on impose une température

𝑇1 = 9°𝐶 sur toute la paroi extérieure en verre n°1 et une température 𝑇2 = 36°𝐶 sur toute la paroi

extérieure en verre n°2 (figure 8)

a) Etude du gradient de température dans les parois en verre du réacteur

On utilise un dispositif qui permet d’imposer une température uniforme et stationnaire sur toute la surface

𝑆 de la paroi extérieure en verre n°2. Ce système de chauffage consomme une puissance moyenne 𝑃 > 0


pour maintenir la température 𝑇2 sur toute la surface 𝑆. Le verre, de conductivité thermique 𝜆, d’épaisseur

𝑒 = 1 𝑐𝑚 est alors le siège d’une conduction thermique considérée comme unidirectionnelle suivant l’axe

𝑂𝑦 (on néglige donc tout effet de bord) et stationnaire. On note 𝑗 le vecteur densité de flux thermique (aucun

transfert conducto-convectif ne sera à considérer). Cette partie porte sur l’étude de la température 𝑇(𝑦) de

la paroi n°2.

1. Comparer qualitativement la conductivité thermique 𝜆 des métaux et celle des gaz dans les conditions

usuelles.

2. Ecrire la loi de Fourier dans le cadre de nos hypothèses en donnant l’unité de toutes les grandeurs

physiques introduites.

3. En tenant compte des hypothèses de travail, montrer que dans la paroi en verre :

𝑑𝑇

𝑑𝑦= −

𝑃

𝜆 𝑆

4. Avec 𝑆 = 40 𝑐𝑚2, 𝜆 = 2,5 𝑈𝑆𝐼 et 𝑃 = 1 𝑊, calculer la chute de température entre les deux faces de

la paroi n°2.

b) Etude du gradient de température dans le réacteur

5. La conduction thermique est un mode de transfert thermique. Citer les deux autres modes de transfert

thermique et proposer un exemple illustrant chacun de ces modes.

6. Expliquer pourquoi le gaz, contenu dans le réacteur dont les parois sont à 𝑇2 et 𝑇1, est mis en

mouvement.

L’étude complète du comportement du gaz d’argon dans tout le réacteur est délicate à cause de la présence

des parois. Aussi, nous travaillerons localement dans une région telle que 𝑧 ≈ 𝑑 2⁄ et 𝑥 ≈ 0. Nous pourrons

alors effectuer les hypothèses simplificatrices suivantes d’un écoulement supposé unidirectionnel :

- On considère que le régime stationnaire est atteint.

- On observe un déplacement du gaz à la vitesse �⃗� = 𝑣(𝑦)𝑢𝑦⃗⃗ ⃗⃗⃗ (par rapport au référentiel supposé galiléen lié

au réacteur) dans un champ des températures 𝑇(𝑦) et des pressions 𝑝(𝑦).

- Le gaz contenu dans le réacteur est supposé parfait (de capacité thermique massique à pression constante

𝑐𝑝 uniforme). La vitesse de l’écoulement et le gradient de température sont suffisamment faibles pour

considérer la masse volumique comme quasi-uniforme. On notera cette masse volumique 𝜌.

- On suppose le fluide parfait (sans viscosité).

- On note 𝜆 la conductivité thermique du gaz (supposée constante) et on note 𝑗 le vecteur densité de flux

thermique de conduction.

La figure 9 ci-dessous représente le système fermé que l’on va étudier entre les instants 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡. Ce

parallélépipède rectangle est de volume élémentaire 𝛿𝑉 = 𝑏2𝛿𝑦 (avec 𝑏 ≪ 𝑑) et contient un gaz d’énergie

interne 𝑑𝑈.


7. Soit l’équation suivante :

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −𝑑𝑖𝑣 (𝜌�⃗�)

Comment se nomme cette équation et que traduit-elle ? On donnera une réponse concise.

8. Réécrire l’équation ci-dessus en tenant compte des hypothèses de travail. Montrer alors que 𝑣(𝑦) est

nécessairement une constante.

9. Exprimer le transfert thermique de conduction 𝛿2𝑄 échangé avec le système étudié pendant l’intervalle

de temps 𝑑𝑡 en fonction, entre autres, de 𝑑2𝑇

𝑑𝑦2.

10. Exprimer le travail des forces pressantes 𝛿2𝑊 s’exerçant sur le système étudié pendant l’intervalle de

temps 𝑑𝑡 en fonction, entre autres, de 𝑑𝑝

𝑑𝑦.

11. Ecrire le premier principe de la thermodynamique des systèmes fermés entre 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡 et montrer

que :

𝑑2𝑇

𝑑𝑦2−

𝜌 𝑣 𝑐𝑝

𝜆

𝑑𝑇

𝑑𝑦= 0

La résolution de l’équation précédente conduit au graphique suivant (figure 10) :

12. On rappelle l’expression de la force de thermophorèse 𝐹𝑡ℎ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −𝐾 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑇. Comment le graphe ci-dessus

permet-il d’appréhender l’intensité de 𝐹𝑡ℎ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ?

13. Justifier que l’on puisse considérer la force de thermophorèse comme étant uniforme au voisinage du

centre du réacteur.

14. Sur quel intervalle [𝑦1, 𝑦2] pouvons-nous considérer cette force uniforme ?

15. Calculer ‖𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑇‖ sur l’intervalle [𝑦1, 𝑦2]. On donnera le résultat en 𝐾. 𝑚−1.


◼ SUJET Q6 : GEOTHERMIE (BANQUE PT, 2018)

La crise pétrolière de 1973 a amené les pouvoirs publics à des politiques volontaristes en matière

d’énergie. La construction des logements obéit depuis lors à des règles d’isolation thermique. Ces règles

sont de plus en plus contraignantes au fil des décennies mais réalisables grâce à des avancées

technologiques majeures et ont permis de limiter la facture énergétique française.

Ces dernières années, la problématique du réchauffement climatique a amené les gouvernements à

accélérer la transition énergétique afin d’améliorer le bilan carbone de la France et diversifier ses sources

d’énergie. La France développe en particulier la part des énergies dites renouvelables dans son bouquet

énergétique.

De même, les Etats-Unis, premier consommateur au monde d’énergie fossile, ont lancé en 2010 le plan

Home star, plan d’isolation thermique des bâtiments, défendu par le président Obama en personne.

En France, le coût de l’électricité est peu élevé du fait de la production nucléaire. 75 % de l’électricité est

produite en France par des centrales nucléaires. La France a le deuxième parc de centrales après les Etats-

Unis.

Toutefois, les investissements importants dans le nucléaire (sécurité et maintenance des centrales) et

l’épuisement du « combustible » à l’échelle de quelques dizaines d’années amènent à développer des

sources d’énergie renouvelable. La France a développé à son maximum l’énergie hydroélectrique et les

barrages au fil de l’eau.

L’énergie géothermique est encore sous exploitée.

On se propose d’étudier ici le principe d’une PAC en géothermie basse énergie d’un point de vue technique

et d’un point de vue thermodynamique (Diagramme (P, h)).

Données et applications numériques :

√6 ≈ 2,4 1 𝑎𝑛 ≈ 3. 107 𝑠𝑒𝑐 3,14. 106 ℎ ≈ 360 𝑎𝑛𝑠

237

44≈ 5

306

47≈ 6,5

348

89≈ 3,9

5

237≈ 0,02

Première partie : Géothermie

Equation de la chaleur dans un conducteur

On considère un conducteur de longueur L dont la surface latérale est isolée thermiquement.

Sa masse volumique est notée ρ et sa chaleur massique à pression constante est notée 𝐶𝑚.

On rappelle que l’unité de 𝐶𝑚 est le J.kg-1.K-1. On note A l’aire de sa section droite. Enfin, on note λ la

conductivité thermique du conducteur. Le conducteur vérifie la loi phénoménologique de Fourier.

1. Qu’appelle-t-on thermostat ou source de chaleur ? Donner un exemple de système

thermodynamique assimilable à un thermostat. Quelle est en théorie la capacité thermique d’un

thermostat idéal ?

On admet qu’en régime variable, la température à l’intérieur d’un conducteur solide, de conductivité

thermique λ, de masse volumique ρ et de capacité thermique massique 𝐶𝑚 vérifie l’équation « de la

chaleur » :

𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝐷

𝜕²𝑇

𝜕𝑥²


2. Donner le nom de la constante 𝐷 et déterminer sa dimension.

3. On suppose que 𝐷 = 𝜌𝑎 𝜆𝑏 𝐶𝑚𝑑. Retrouver par analyse dimensionnelle les exposants 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑑. En

déduire l’expression de D en fonction de λ, ρ et 𝐶𝑚 .

Géothermie très basse énergie.

En géothermie très basse énergie, on utilise l’énergie stockée dans le sol à basse profondeur. La diffusivité

thermique d’un sol sableux sec est de DSol = 0,2.10-6 USI.

4. Si on chauffe le conducteur pendant une durée 𝜏, la conduction thermique modifie le champ initial des températures du conducteur sur une distance caractéristique 𝐿. A l’aide d’une analyse dimensionnelle de l’équation de la chaleur, montrer que 𝜏 = 𝐾1𝐿2 où 𝐾1 est une constante que l’on exprimera en fonction des constantes de l’énoncé.

5. Déterminer avec un minimum de calculs un ordre de grandeur de la profondeur minimum

d’utilisation dans ce sol afin que les fluctuations annuelles de température de l’air à sa surface y

soient imperceptibles.

Géothermie basse énergie

Dans les profondeurs de la Terre en deçà de quelques centaines de mètres, des roches poreuses contiennent

souvent de l’eau chaude à environ 70 °C. La porosité des roches est de l’ordre de 15 % c’est-à-dire qu’il y a

15 m3 d’eau chaude pour 100 m3 de roches.

L’épaisseur de la nappe de roche poreuse contenant l’eau chaude supposée constante est d’environ

𝑯 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎.

On rappelle qu’un litre d’eau a une masse de 1 kg et une chaleur massique :

𝐶𝑃𝑚,𝑒𝑎𝑢 = 4,18 𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1 = 1 𝑘𝑐𝑎𝑙. 𝑘𝑔−1. 𝐾−1.

L’eau à 70 °C est pompée vers la surface, et après utilisation elle est réinjectée pour maintenir la pression en

amont (schéma simpliste ci-contre). Elle a alors une température de 10 °C.

La distance entre les puits d’extraction et de réinjection est d’environ H’ = 1 km.

L’eau est réinjectée avec un débit volumique DV = 100 m3.h-1 constant et avec une symétrie cylindrique de

hauteur H autour de puits de réinjection.

On note 𝑟(𝑡) la distance parcourue par l’eau froide depuis le puits à une date t. 𝑟(𝑡) est appelée distance du

front froid par rapport au puits de réinjection. On a évidemment 𝑟(𝑡 = 0) = 0.


6. Calculer le volume d’eau froide 𝑑𝜏 réinjectée entre t et t + dt en fonction de r, dr et H.

7. En déduire r(t) en fonction de t, H et DV.

8. Au bout de combien d’années le front froid atteint le puits d’extraction situé à 1 km (Cf schéma). Donner une expression littérale puis une estimation grossière en années. Conclure sur la pérennité de l’installation.

9. Déterminer en kilocalorie (kcal) l’énergie récupérable par unité de surface de la nappe puis l’énergie en kilocalorie (kcal) récupérable par 𝑚3 d’eau de la roche. La comparer à celle d’un mètre cube de pétrole : EPétrole pour un mètre cube = 60 Mcal.

10. Commenter le résultat. Le procédé est-il rentable ? Justifier votre réponse.

◼ SUJET Q9 : G2E 2017 : REFROIDISSEMENT DE L’EAU DU BASSIN RV

Suite du sujet MFL10

Soit un bassin d’eau, de profondeur H. L’origine est prise à la surface libre de l’eau et l’axe des z est

descendant.

22. On note λe La conductivité thermique de l’eau. Rappeler la forme de la loi de Fourier et déterminer l’unité de λe.

23. L’équation aux dérivées partielles qui décrit un régime transitoire unidimensionnel est

𝜌𝑒𝑐𝑒

𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝜆𝑒

𝜕2𝑇

𝜕𝑧2

où 𝜌e la masse volumique de l’eau et ce. la capacité thermique massique de l’eau. Compte tenu de la

profondeur h du bassin, mettre en évidence par une analyse dimensionnelle un temps caractéristique τ

en fonction de ℎ, 𝜌e, 𝜆e et ce. Pour l’application numérique prendre ℎ = 1 m.

On donne 𝑐e = 4.103 J.kg-1.K-1 ; 𝜆e = 0,6 W.m-1.K-1 et 𝜌e = 1000.kg.m-3. Faire l’application numérique.

24. Commenter la valeur numérique obtenue.

◼ SUJET Q10 : E3A MP 2017- CONDITIONNEMENT D’AIR D’UNE VOITURE

E - Modélisation du régime permanent

Pour le confort et la sécurité des passagers (la respiration des passagers changerait la composition de ”l’air” qui deviendrait moins riche en dioxygène, ce qui favorise l’endormissement du conducteur), on doit renouveler l’air de la voiture et empêcher aussi refroidissement ou réchauffement par rapport à une situation normale dans laquelle l’intérieur du véhicule reste à une température consigne uniforme et constante égale à 𝑇𝐶 = 293 K.


On assimile l’automobile (représentée schématiquement ci-dessous) à un parallélépipède creux de hauteur 𝐻 = 1, 5 m, de largeur 𝑙 = 1,75 m et de longueur 𝐿 = 4, 0 m, réalisée en partie avec un matériau 1 hybride d’épaisseur 𝑒1 = 10 cm, de conductivité thermique 𝜆1 = 0, 10 S.I. et en partie en verre d’épaisseur 𝑒2 = 2,0 mm et de conductivité thermique 𝜆2 = 1, 2 S.I.

On peut simplifier le modèle en supposant que les vitres occupent une hauteur 𝑑 = 0, 50 m des parois verticales. Le toit, le sol et les parties basses des parois verticales sont constitués du matériau 1. On néglige les effets de bord et/ou la conduction par les coins.

E.1 Rappeler la loi de Fourier en définissant les grandeurs utilisées. Par analyse dimensionnelle, préciser quelle est l’unité de la conductivité thermique 𝜆𝑖.

On considère un morceau de paroi de surface 𝑠, d’épaisseur 𝑒 et de conductivité thermique 𝜆. La température est supposée ne dépendre que de la variable position sur la normale à cette paroi notée 𝑂𝑧.

E.2 Etablir, en régime permanent, le lien entre la différence des températures de part et d’autre de la paroi ∆𝑇 = 𝑇𝑒𝑥𝑡 − 𝑇𝑖𝑛𝑡 et le flux thermique (ou puissance thermique) Φ qui traverse, de l’extérieur vers l’intérieur, une surface 𝑠 de paroi d’un matériau de conductivité thermique 𝜆. En déduire la résistance thermique de cet élément de paroi en fonction de 𝑠, 𝑒 et 𝜆.

E.3 A quelle situation physique correspond une association en série de résistances thermiques ? A quelle situation physique correspond une association en parallèle de résistances thermiques ?

E.4 Donner l’expression des résistances thermiques des parties suivantes du véhicule en fonction des données nécessaires :

(a) 𝑅1 résistance thermique du toit (le sol de la voiture possède la même résistance thermique),

(b) 𝑅2 résistance thermique des parties latérales en matériau 1 (de hauteur 𝐻 − 𝑑),

(c) 𝑅3 résistance thermique de toutes les vitres (partie latérale de hauteur 𝑑).

E.5 Faire un schéma électrique équivalent de la voiture et en déduire sa résistance thermique totale 𝑅𝑉.

E.6 Calculer la valeur numérique de 𝑅𝑉 et celle de 𝑅3 (partie vitrée). Comparer la puissance thermique totale perdue par la voiture et celle traversant les vitres. Commenter.


E.7 En réalité, le rapport entre l’écart de température ∆𝑇 = 𝑇𝑒𝑥𝑡 − 𝑇𝑖𝑛𝑡 et le flux thermique total Φ entrant dans la voiture par les parois est différent du résultat précédent. De quel autre phénomène de transfert fallait-il vraisemblablement tenir compte ? Exprimer, pour le plafond, la résistance qui doit être rajoutée à 𝑅1 en appelant ℎ le coefficient de la loi de Newton entre le matériau 1 et l’air. Commenter. Faire le nouveau schéma électrique équivalent.

Par la suite, on prendra 𝐺 =1

𝑅𝑣 = 150 W.K−1 pour le rapport

Φ

∆𝑇.

On suppose que :

• l’appareil de conditionnement de l’air de la voiture permet de refroidir l’habitacle en été, de le réchauffer en hiver et de renouveler l’air en même temps,

• la pression est toujours la même à l’extérieur et à l’intérieur et est égale à la pression standard 𝑝 = 𝑝° = 1,0.105 Pa,

• et l’habitacle est maintenu à la température de consigne 𝑇𝑐 = 293 K.

E.8 Chacun des 𝑛 passagers dégage une puissance thermique 𝑝 = 75 W. Exprimer la puissance 𝑃1 fournie par le conditionneur en fonction de 𝑛, 𝑝, 𝐺 et ∆𝑇 = 𝑇𝑒𝑥𝑡 − 𝑇𝑖𝑛𝑡.

E.9 Calculer les deux valeurs de 𝑃1 pour 𝑛 = 4 passagers, en été 𝑇𝑒𝑥𝑡 = 303 K ou en hiver 𝑇𝑒𝑥𝑡 = 263 K. Commenter le signe. Pour quelle température extérieure n’y aurait-il pas besoin de conditionnement ? L’ordre de grandeur vous paraît-il vraisemblable ?

F - Régime transitoire

Lorsque les passagers montent dans le véhicule, la température intérieure est égale à la température extérieure 𝑇𝑒𝑥𝑡 = 263 K (hiver). D`es leur installation dans le véhicule, les passagers règlent le conditionneur au maximum, ce dernier fournit alors une puissance 𝑃1,𝑚𝑎𝑥 dont on se propose de déterminer la valeur pour

que la température de consigne 𝑇𝑐 soit atteinte en Δ𝑡 = 2, 0 min.

On rappelle que les passagers fournissent une puissance 𝑝 = 75 W par personne et que la conductance

thermique de l’ensemble de la voiture vaut 𝐺 =1

𝑅𝑣= 150 W.K−1.

L’atmosphère intérieure au véhicule est caractérisée par une capacité thermique totale 𝐶.

On se place dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).

F.1. Montrer que la température de l’air du véhicule vérifier l’équation différentielle suivante :

𝑑𝑇

𝑑𝑡+

𝑇

𝜏=

𝑇∞

𝜏

en explicitant les expressions de 𝜏 et 𝑇∞ en fonction de 𝑅𝑣 , 𝐶, 𝑛, 𝑝, 𝑇𝑒𝑥𝑡 et 𝑃1,𝑚𝑎𝑥.

F.2 Proposer un schéma électrique équivalent.

F.3 Représenter l’allure de l’évolution au cours du temps de la température de l’habitacle.

F.4 Résoudre l’équation de la question F.1 et déterminer l’expression littérale de 𝑃1,𝑚𝑎𝑥 en fonction de 𝑅𝑣 , 𝜏, 𝑛, 𝑝, 𝑇𝑒𝑥𝑡, 𝑇𝑐 et ∆𝑡 pour que la température de consigne soit atteinte en une durée ∆𝑡.

F.5 Evaluer l’ordre de grandeur de la quantité de matière (𝑞 en mol) de l’air contenu dans la voiture en supposant que l’air occupe 50% du volume intérieur. L’air est considéré comme un gaz parfait de masse molaire 𝑀 = 29 g.mol-1 et caractérisé par des capacités thermiques molaires isobare 𝐶𝑝 et isochore 𝐶𝑣 dont

le rapport vaut 𝛾 =𝐶𝑝

𝐶𝑣= 1,4. On fera l’application numérique à la température 𝑇𝑐 = 293 𝐾.

F.6 Rappeler le lien entre énergie interne et enthalpie d’une mole de gaz parfait. En déduire la valeur de 𝐶𝑝 − 𝐶𝑣 en fonction de 𝑅 et 𝛾.

F.7 Evaluer la valeur numérique de la capacité 𝐶 des 𝑞 moles d’air puis celle de 𝑃1,𝑚𝑎𝑥. Commenter.

F.8 Déterminer, sans calculs excessifs et en réutilisant les résultats des questions précédentes, la puissance 𝑃1,𝑚𝑖𝑛 < 0 que devrait avoir un climatiseur pour que 𝑇 atteigne 𝑇𝑐 en ∆𝑡 = 2,0 min également en été

(𝑇𝑒𝑥𝑡 = 303 K) avec 𝑛 = 4 passagers.


F.9 Quelles critiques pourriez-vous faire à ce modèle simpliste et quelles améliorations du modèle proposeriez-vous ?

◼ SUJET Q11 : CENTRALE TSI 2019 - DIMENSIONNEMENT DU CHAUFFAGE D’UNE VOITURE DE TGV

A – Équation de la diffusion thermique dans une paroi solide

Soit le parallélépipède représenté sur la figure 10. On considère le problème unidimensionnel suivant l’axe (𝑂𝑥) (toutes les grandeurs ne dépendent à priori que de 𝑥, éventuellement du temps 𝑡 et sont uniformes sur toute section orthogonale à (𝑂𝑥)).

On suppose qu’un flux thermique traverse ce volume. L’épaisseur de la paroi (suivant (𝑂𝑥)) est 𝑒 et sa section 𝑆.

On a également représenté une petite tranche comprise entre 𝑥 et 𝑥 + d𝑥.

Les notations utilisées sont :

— masse volumique du matériau 𝜌 ;

— capacité thermique massique 𝑐 ;

— conductivité thermique 𝜆 ;

— vecteur densité de flux thermique 𝑗(𝑥, 𝑡) = 𝑗(𝑥, 𝑡) 𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗ ;

— champ de température dans le parallélépipède 𝑇 (𝑥, 𝑡).

Q 37. Exprimer le transfert thermique 𝛿𝑄𝑖𝑛 entrant de la tranche d’épaisseur d𝑥 pendant une durée d𝑡 en

fonction de 𝜕𝑗

𝜕𝑥 et des données.

Q 38. Exprimer la variation d’énergie interne d𝑈 de cette tranche pendant cette même durée d𝑡 au cours de laquelle la température varie de d𝑇.

Q 39. En appliquant un résultat de la thermodynamique que l’on rappellera, en déduire une relation entre 𝜕𝑗

𝜕𝑥

et 𝜕𝑇

𝜕𝑡.

Q 40. Rappeler l’expression de la loi de Fourier (dans ce cas particulier unidimensionnel).

On peut déduire de ce qui précède l’équation dite de la chaleur ou de la diffusion thermique :

𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝐷

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2

Q 41. Donner, en le justifiant à partir des résultats des questions 39 et 40, l’expression de 𝐷 en fonction des données.

B – Régime stationnaire

Dans cette sous-partie le système est en régime stationnaire. On suppose que :

𝑇 (𝑥 = 0) = 𝑇1

𝑇 (𝑥 = 𝑒) = 𝑇2

Q 42. Déterminer l’expression de 𝑇(𝑥).


Q 43. En déduire l’expression de la densité de flux thermique 𝑗(𝑥), ainsi que la puissance thermique 𝒫𝑡ℎ traversant une section quelconque de surface 𝑆 orthogonale à (𝑂𝑥) et orientée dans le sens des 𝑥 positifs. Que peut-on dire du champ 𝑗(𝑥) dans le volume étudié ?

Q 44. Définir la résistance thermique 𝑅𝑡ℎ du volume et l’exprimer en fonction de 𝜆, 𝑆 et 𝑒.

Loi de Newton

On suppose qu’en plus des phénomènes purement diffusifs s’ajoutent des phénomènes conducto-convectifs aux interfaces paroi / fluide (air) ; pour simplifier on ne les prendra en compte qu’en 𝑥 = 𝑒.

La modélisation de ces phénomènes par la loi de Newton consiste à supposer qu’il existe une discontinuité de température entre la paroi et le fluide et un flux thermique entre les deux de sorte que

𝑗𝑐𝑐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ℎ (𝑇2,𝑝 − 𝑇2,𝑓) 𝑢𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗

où 𝑗𝑐𝑐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ est la densité de flux conducto-convectif sortant de la paroi, ℎ le coefficient de conducto-convection de l’interface paroi / fluide, 𝑇2,𝑝 la température en 𝑥 = 𝑒 de la paroi et 𝑇2,𝑓 la température de l’air côté

droit.

Q 45. Quelle est la puissance thermique 𝒫𝑐𝑐 échangée par conducto-convection à travers la surface 𝑆 en 𝑥 = 𝑒 ?

Q 46. En déduire l’expression de la résistance thermique 𝑅𝑐𝑐 équivalente à ajouter en série à 𝑅𝑡ℎ pour modéliser la conducto-convection en 𝑥 = 𝑒.

C – Chauffage d’une voiture de TGV

Cette partie est moins guidée que le reste du sujet et fait plus appel à l’analyse des documents et à un raisonnement personnel construit. Le nombre de points attribué à cette partie tient compte de ces spécificités.

On considère une voiture de TGV dans des conditions hivernales. La température extérieure est constante égale à 𝑇𝑒𝑥𝑡 = – 4 °C. On cherche à estimer la puissance du chauffage 𝒫𝑐ℎ nécessaire pour maintenir la température intérieure constante à 𝑇𝑖𝑛𝑡 = 20 °C.

On fait dans un premier temps les hypothèses suivantes :

— le régime est stationnaire ;

— les vitres et le reste des parois (latérales, sol et toit) sont constituées de plusieurs couches comme schématisé figure 11 ;

— les vitres sont par ailleurs le siège de phénomènes conducto-convectifs côté intérieur (coefficient ℎ𝑖) et côté extérieur (coefficient ℎ𝑒) ;

— en outre, l’air intérieur est en permanence renouvelé par de l’air neuf venant de l’extérieur et ce avec un débit volumique 𝐷𝑉 (figure 12). La puissance thermique nécessaire pour l’amener de la température extérieure à la température intérieure s’écrit

𝒫𝑎𝑖𝑟 𝑛𝑒𝑢𝑓 = 𝐷𝑚𝑐𝑝(𝑇𝑖𝑛𝑡 − 𝑇𝑒𝑥𝑡) (II.1)

où 𝐷𝑚 est le débit massique de renouvellement de l’air et 𝑐𝑝 la capacité thermique massique à pression

constante de l’air (notons que la masse volumique de l’air est considérée comme constante et uniforme).

Les données numériques utiles au problème sont fournies en fin d’énoncé.

Q 47. Pourquoi les valeurs des coefficients conducto-convectif verre / air sont-elles différentes (ℎ𝑖 et ℎ𝑒) pour l’extérieur et l’intérieur de la voiture ?

Q 48. Justifier l’expression de l’équation (II.1).

Q 49. On souhaite se placer dans un premier temps dans la situation la plus défavorable (celle qui nécessitera la plus grande valeur de 𝒫𝑐ℎ). Doit-on supposer la voiture pleine de passagers ou vide (justifier) ?

Q 50. On se place dans l’hypothèse de la question précédente. En précisant toutes les étapes du raisonnement et des calculs, estimer la valeur de la résistance thermique équivalente totale de la voiture (𝑅𝑡𝑜𝑡).


Q 51. En précisant toutes les étapes du raisonnement et des calculs, estimer la valeur de 𝒫𝑐ℎ permettant de maintenir la température intérieure constante.

Q 52. Que devient cette valeur si on suppose la voiture pleine de passagers ?

◼ SUJET Q12 : D’APRES AGRO-VETO 2011-CHAUFFAGE D’UNE MAISON EN HIVER

Ce problème propose l’étude simplifiée du chauffage hivernal d’une maison dans des conditions extrêmes.

Dans un premier temps, les pertes thermiques à travers les parois sont calculées. Puis, la puissance électrique

nécessaire au chauffage est évaluée. Enfin, la troisième partie présente le principe d’un dispositif de

préchauffage de l’air, appelé puits canadien.

Les trois parties sont largement indépendantes.

Afin de simplifier l’étude, le seul mode de transfert thermique pris en compte est la diffusion. Dans tout le

problème, la température extérieure, 𝑇𝑒, est uniforme et constante. La température intérieure de la maison,

𝑇𝑖, est uniforme.

La maison comporte une seule pièce qui est modélisée par un parallélépipède rectangle surmonté d’un toit.

Les éléments considérés dans la maison sont :

• Les murs, la porte et le toit dont la résistance thermique totale est notée 𝑅𝑚 ;

• Une seule fenêtre de surface 𝑠, dont les propriétés thermiques sont étudiées dans la première partie.

• Les pertes thermiques à travers le sol de la maison sont négligeables.


Données :

• Température extérieure 𝑇𝑒 = 258,15𝐾 (−15°𝐶)

• Résistance thermique (mur, porte, toit) 𝑅𝑚 = 1,0. 10−2𝐾. 𝑊−1

• Surface de la fenêtre 𝑠 = 5, 0𝑚2

• Conductivité thermique du verre 𝜆𝑣 = 1, 0𝑊. 𝑚−1. 𝐾−1

• Conductivité thermique de l’air 𝜆𝑎 = 2, 0. 10−2𝑊. 𝑚−1. 𝐾−1

• Epaisseur des plaques de verre 𝑒 = 5, 0𝑚𝑚

A. Evaluation des pertes thermiques

Dans cette partie, la température intérieure de la maison est constante : 𝑇𝑖 = 298,15𝐾 (25°𝐶). Les seules

pertes considérées sont celles liées à la conduction thermique à travers les murs, la porte, le toit et la fenêtre.

L’étude est réalisée en régime stationnaire.

Préliminaire : Analogie avec l’électrocinétique

1. Expliciter brièvement une analogie entre diffusion thermique en régime permanent et électrocinétique. En particulier, préciser l’analogue de la température et de la puissance thermique 𝑃𝑡ℎ.

2. Soient deux résistances électriques 𝑟1 et 𝑟2 en série (figure 1). Démontrer la formule donnant

l’expression de la tension 𝑈2 en fonction de 𝑟1, 𝑟2 et de la tension totale 𝑈.

Soit Pm la puissance thermique à travers les murs, la porte et le toit de la maison, orientée de l’intérieur vers

l’extérieur.

3. Donner l’expression de la résistance thermique Rm en fonction des températures Ti et Te et

de la puissance thermique P𝑚. Donner le schéma thermique correspondant. Pourquoi la

résistance thermique est-elle toujours positive ?

4. Application numérique : calculer P𝑚.

Soit le conducteur solide cylindrique d’axe 𝑂𝑥, de section 𝑆, de conductivité thermique 𝜆 et de longueur ℓ

dessiné figure 2. Le conducteur est en régime stationnaire et la température 𝑇(𝑥) à l’intérieur de ce dernier

est supposée n’être qu’une fonction de 𝑥. On note 𝑇0 = 𝑇(0) et 𝑇1 = 𝑇(ℓ). Les parois latérales du cylindre

sont parfaitement isolées.

5. Donner la définition du vecteur densité de flux thermique 𝑗𝑡ℎ. Enoncer la loi de Fourier.

6. Effectuer le bilan d’énergie en régime stationnaire sur la portion infiniment petite du

conducteur située entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥. Déduire l’expression de 𝑑𝑇

𝑑𝑥 en fonction de 𝑇0, 𝑇1 et ℓ.

7. Démontrer l’expression de la résistance thermique du cylindre, Rth, en fonction de ℓ , 𝜆 et 𝑆.


La fenêtre est constituée d’une plaque de verre de surface 𝑠 et d’épaisseur 𝑒. La conductivité thermique du

verre est notée 𝜆𝑣. Les pertes dues au cadre de la fenêtre sont négligées. La résistance thermique de la

fenêtre est identique à celle d’un cylindre de même section 𝑠 et de longueur 𝑒.

8. Exprimer la puissance thermique perdue à travers la fenêtre, 𝑃𝑓 , en fonction de 𝜆𝑣, 𝑒, 𝑠, Ti et Te.

Réaliser l’application numérique.

Pour réduire cette déperdition d’énergie, la fenêtre simple est remplacée par un double vitrage composé de

deux vitres identiques d’épaisseur 𝑒 et de surface 𝑠, séparées par une épaisseur 2𝑒 d’air. La conductivité

thermique de l’air est notée 𝜆𝑎. La fenêtre double vitrage est schématisée figure 3. Quatre points A, B, C et

D sont placés sur le schéma. A est au niveau de l’interface extérieur/verre, B au niveau de l’interface verre/air,

C au niveau de l’interface air/verre et D au niveau de l’interface verre/intérieur. Les températures en A et D

sont 𝑇(𝐴) = Te et 𝑇(𝐷) = Ti.

9. Faire un schéma thermique équivalent.

10. Exprimer puis calculer les valeurs numériques des résistances thermiques 𝑅𝐴𝐵, 𝑅𝐵𝐶 et 𝑅𝐶𝐷.

11. Donner la résistance thermique totale 𝑅𝐴𝐷 en fonction de 𝑒, 𝜆𝑣, 𝜆𝑎 et 𝑠. Faire l’application

numérique. Commenter.

12. Que vaut la puissance thermique perdue à travers la fenêtre 𝑃′𝑓? Montrer que l’on a 𝑃′𝑓

𝑃𝑓≈

𝜆𝑎

2𝜆𝑣

et déduire la valeur numérique de 𝑃′𝑓.

Dans les questions suivantes, les températures aux points B et C sont calculées.

13. Exprimer (𝑇𝐵 − 𝑇𝑒) en fonction de (𝑇𝑖 − 𝑇𝑒) et des résistances thermiques 𝑅𝐴𝐵, 𝑅𝐵𝐶 et 𝑅𝐶𝐷.

Réaliser l’application numérique.

14. Au final, quel élément du double-vitrage assure l’essentiel de l’isolation ?

Pour conclure cette partie, on s’intéresse à la puissance thermique totale 𝑃𝑇 perdue par la maison équipée

d’une fenêtre simple (respectivement 𝑃′𝑇 , pour une fenêtre double).

15. Faire un schéma thermique de la situation. On note 𝑅𝑚 et 𝑅𝑓 les résistances thermiques du

mur et de la fenêtre.

16. Montrer que la puissance thermique totale 𝑃𝑇 , perdue par la maison équipée, s’exprime selon

:

Fenêtre simple 𝑃𝑇 =(𝑇𝑖−𝑇𝑒)

𝑅1 (1)

Fenêtre double 𝑃′𝑇 =(𝑇𝑖−𝑇𝑒)

𝑅2 (2)

où l’on exprimera 𝑅1 en fonction de 𝑅𝑚, 𝑒, 𝜆𝑣 et 𝑠; et 𝑅2 en fonction de 𝑅𝑚, 𝑒, 𝜆𝑣, 𝜆𝑎 et 𝑠.

B. Puits canadien

Le puits canadien est un système de préchauffage passif de l’air utilisant les réserves d’énergie du sol

entourant la maison. En faisant passer l’air dans une canalisation enterrée dans le sol, celui-ci se réchauffe,


ce qui permet de réduire fortement la consommation électrique de chauffage en hiver, ainsi que les

émissions de CO2 qui en résultent. Dans cette partie, un modèle simple de ce dispositif est étudié.

Une entrée d’air est située à une distance L de la maison. Une pompe à l’intérieur de la maison permet de

faire circuler l’air dans un tuyau de section ST enterré à une profondeur h dans le sol, la température du sol

étant Ts = 283, 15 K (10°C), (figure 3).

Dans la suite, l’étude montre d’abord que la température du sous-sol est peu sensible aux variations de la

température de l’air extérieur. La longueur minimale de canalisation permettant de préchauffer l’air

correctement est ensuite calculée.

On admet qu’en régime non stationnaire la température à l’intérieur d’un conducteur solide, de conductivité

thermiqueλ, de masse volumique ρ et de capacité thermique massique c vérifie (dans le cas où elle ne dépend

que d’une variable d’espace z) l’équation « de la chaleur » :: 𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝐷𝑡ℎ

𝜕²𝑇

𝜕𝑧² (3)

17. Donner le nom de la constante Dth et déterminer sa dimension.

18. On suppose que 𝐷𝑡ℎ = 𝜌𝑎 𝜆𝑏 𝑐𝑑. Retrouver par analyse dimensionnelle les exposants

𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑑. En déduire l’expression de 𝐷𝑡ℎ en fonction de λ, ρ et c.

La température de l’air extérieur (qui est aussi la température à la surface du sol) varie (annuellement) de

manière périodique autour de sa valeur moyenne selon :

Tsurf(t) = Ts + (ΔT)sin(ωt)

Le sol est un milieu homogène, assimilé au demi-espace z > 0, de masse volumique ρ, de capacité thermique

c et de conductivité thermique λ. Lorsque la profondeur devient très importante(z ⟶ +∞), la température

tend vers Ts (qui est une constante). La température dans le sol T(z, t)est une fonction de z et de t qui vérifie

l’équation (3), dont la solution est de la forme :

𝑇(𝑧, 𝑡) = 𝑇𝑠 + 𝐴 𝑒𝑥𝑝(−𝑧

𝛿1)𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −

𝑧

𝛿1)

19. Indiquer quelle est la condition limite de la température du sol en 𝑧 = 0 pour tout instant 𝑡 : 𝑇(𝑧 = 0, 𝑡). En déduire l’expression de 𝐴.

20. Donner la relation entre 𝛿1, 𝜔 et 𝐷𝑡ℎ afin que 𝑇(𝑧, 𝑡) soit bien solution de l’équation de la chaleur (3).

21. Physiquement, que représente la fonction 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −𝑧

𝛿1) ainsi que le terme 𝐴 𝑒𝑥𝑝(−

𝑧

𝛿1) ?

Figure 3 : Principe du puits canadien


22. La canalisation est enterrée à une profondeur ℎ = 5 𝛿1. Estimer, avec un seul chiffre significatif, le facteur numérique par lequel a été divisée l’amplitude des oscillations de la température autour de la valeur moyenne. Conclure.

23. Pourquoi le puits permet de réduire fortement la consommation électrique de chauffage ? Quelle peut être l’utilité du puits en été ?

◼ SUJET Q13 : CCP MP 2014 : ONDE THERMIQUE ONDE THERMIQUE

ln(10) ≈ 2,3 2𝜋

24 × 3600 = 7,3. 10−5

2𝜋

365 × 24 × 3600 = 2,0. 10−7

√2 × 2,6

7,3≈ 0,84 √2,6 ≈ 1,61 2,3 × 8,4 = 19,3 2,3 × 1,61 = 3,7

L’objet de cette partie est d’étudier l’amortissement dans le sol des variations quotidiennes et annuelles de

température, en vue de l’enfouissement d’une canalisation d’une installation géothermique.

On se place en repère cartésien. La surface du sol, supposée plane et d’extension infinie, coïncide avec le

plan (𝑂, 𝑥, 𝑦) (voir figure 1). La température au niveau de cette surface, notée 𝑇(0, 𝑡), varie sinusoidalement

en fonction du temps t avec la pulsation ω autour d’une moyenne 𝑇0 : 𝑇(0, 𝑡) = 𝑇0 + 𝛼 cos(𝜔𝑡), où α est

une constante. Soit un pour M dans le sol, repéré par ses coordonnées (𝑥, 𝑦, 𝑧) avec 𝑧 ≥ 0. On cherche à

déterminer le champ de température en M, noté 𝑇(𝑀, 𝑡).

1. Justifier que 𝑇(𝑀, 𝑡) ne dépend ni de x ni de y. On notera dans la suite : 𝑇(𝑀, 𝑡) = 𝑇(𝑧, 𝑡).

2. Donner l’expression de la loi de Fourier relative à la conduction thermique, en rappelant les grandeurs

intervenant dans cette loi. On notera λ la conductivité thermique du sol, supposée constante. Citer une

loi physique analogue à la loi de Fourier.

On travaille avec l’écart de température par rapport à 𝑇0 en posant 𝜃(𝑧, 𝑡) = 𝑇(𝑧, 𝑡) − 𝑇0. Tout autre

phénomène que la conduction thermique est négligé. On donne, dans le cadre de notre modèle, l’équation

de la chaleur :

𝑐 𝜌 𝜕𝜃

𝜕𝑡= 𝜆

𝜕2𝜃

𝜕𝑧2

Où 𝜌 et 𝑐 désignent respectivement la masse volumique et la capacité thermique massique du sol. Ces deux

paramètres sont supposés constants.

Figure 1 : repérage adopté pour l’étude de l’onde thermique


On cherche la solution de l’équation de la chaleur en régime sinusoïdal permanent. A cet effet, on introduit

la variable complexe 𝜃(𝑧, 𝑡) = 𝑓(𝑧)𝑒𝑗𝜔𝑡 avec 𝑗2 = −1 et 𝑓(𝑧) une fonction de z. L’inconnue 𝜃(𝑧, 𝑡) est alors

donnée par 𝜃(𝑧, 𝑡) = 𝑅𝑒 (𝜃(𝑧, 𝑡)) où 𝑅𝑒 désigne la partie réelle.

3. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par 𝑓(𝑧). On fera intervenir la diffusivité thermique du sol

donnée par : 𝐷 =𝜆

𝜌 𝑐

4. Exprimer la solution générale de cette équation en faisant intervenir deux constantes d’intégration

notées A et B. On utilisera le fait que 1+𝑗

√2= √𝑗. Par un argument physique à préciser, montrer que l’une

de ces constantes est nulle.

5. Déterminez la seconde constante puis montrer que 𝜃(𝑧, 𝑡) se met sous la forme :

𝜃(𝑧, 𝑡) = 𝛼 𝑒−

𝑧𝛿 × 𝑒

𝑗(𝜔𝑡−𝑧𝛿

)

où δ est une grandeur à exprimer en fonction de 𝜔 et D et α une grandeur que vous déterminerez grâce

aux conditions limites.

6. Exprimer 𝑇(𝑧, 𝑡) à l’aide des paramètres : 𝑇0, δ, α, ω et des variables z et t. Interpréter physiquement

l’expression obtenue. Interpréter physiquement le paramètre δ.

7. Exprimer la profondeur 𝐿10 pour laquelle l’amplitude des variations de température dans le sol est

atténuée d’un facteur 10 par rapport à celle de la surface du sol.

8. On donne pour un sol humide : 𝐷 = 0,26. 10−6 𝑚2. 𝑠−1. Calculer numériquement 𝐿10 dans les deux cas

suivants :

• Cas n°1 : variation quotidienne de température

• Cas n°2 : variation annuelle de température

A quelle profondeur préconiseriez-vous d’enfouir la canalisation de l’installation de géothermie ?

9. Calculer littéralement le décalage temporel ∆𝑡 entre 𝑇(𝑧 = 𝐿10, 𝑡) et 𝑇(0, 𝑡). Pour les variations

quotidiennes, on trouve 8,75 h pour les variations quotidiennes et 133,1 jours pour les variations

annuelles.

10. Le modèle développé vous parait-il pertinent ? Quels phénomènes non pris en compte dans le modèle

peuvent intervenir ? Répondre succinctement.

Documents

Révisions de mécanique des fluides 4