Second degr : Rsum de cours et mthodes
1 Dfinitions :
DFINITION
On appelle trinme du second degr toute fonction f dfinie sur R par f (x) = ax2 +bx+ c (a,b et c rels avec a 6= 0).
Remarque : Par abus de langage, lexpression ax2 +bx+ c est aussi appele trinme du second degr.DFINITION
On appelle racine du trinme f , tout rel qui annule f .
Exemple : 1 est une racine du trinme 2x2 +3x5, car 2(1)2 +3(1)5 = 0.
Remarque : Chercher les racines du trinme ax2 +bx+ c, revient rsoudre dans R lquation ax2 +bx+ c = 0.
2 Factorisation, racines et signe du trinme :
DFINITION
On appelle discriminant du trinme ax2 +bx+ c (a 6= 0), le rel = b24ac.
2-1 Si < 0 :
Racines : Pas de racines relles.Factorisation : Pas de factorisation dans R.Signe : ax2 +bx+ c est toujours du signe de a.
ax+bx+c Signe de a
x +
x
y
O
a>0
a
x1x
y
a>0
a 0 :
Racines : Deux racines relles : x1 =b
2aet x2 =
b+
2a
Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+ c = a(x x1)(x x2).Signe : ax2 +bx+ c est du signe de a lextrieur des racines.
(on suppose que x1 < x2 )
x + x1 x2
ax+bx+c Signe de a Signe de (-a) Signe de a
x
y
O
x1 x2 x2x1
a>0
a
x1 =b
2a= (2
2)
2 2=
22
. Lensemble solution est donc S =
{2
2
} Rsolution dans R de lquation 3x2 +4x+5 = 0 :
(Par rapport aux formules, on a ici : a = 3, b = 4 et c = 5 ).Calcul du discriminant : = b24ac = 424(3)(5) = 1660 =44.Le discriminant est strictement ngatif, donc le trinme nadmet aucune racine relle. Lensemble solution est donc S = /0
Rsolution dans R de lquation x2 +4x = 0 :(Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 4 et c = 0 ).Comme chaque fois que b = 0 ou c = 0, il est inutile dutiliser le discriminant et les formules associes. Les mthodes tradi-tionnelles vues en Seconde sont plus simples et plus rapides. Ici, il suffit de factoriser par x :x2 +4x = 0 x(x+4) = 0 x = 0 ou x+4 = 0 x = 0 ou x =4. Lensemble solution est donc S = {4;0}
Rsolution dans R de lquation 4x21 = 0 :(Par rapport aux formules, on a ici : a = 4, b = 0 et c =1 ).Ici b = 0, il est donc inutile dutiliser le discriminant et les formules associes.
4x21 = 0 4x2 = 1 x2 = 14 x = 1
2ou x =1
2. Lensemble solution est donc S =
{12
;12
}
3-2 Inquations du second degr
Mthode gnrale : on calcule la valeur du discriminant du trinme associ linquation. On en dduit le signe du trinme surR. On dtermine alors lensemble solution S, en cherchant les valeurs de x vrifiant linquation.(Pour les bornes, on applique lesrgles habituelles : les bornes sont toujours ouvertes aux infinis et pour les "doubles-barres", les autres bornes sont ouvertes silinquation est de la forme < 0 ou > 0 et sont fermes si linquation est de la forme 6 0 ou > 0 .)Remarque : Si b = 0 ou c = 0, il est inutile dutiliser le discriminant et les formules associes. Les mthodes vues en Secondesont plus simples et plus rapides : il suffit en gnral de factoriser et de faire un tableau de signes.
Exemples ncessitant le calcul du discriminant : Rsolution dans R de linquation x2 +4x5 6 0 :
(Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 4 et c =5 ).Calcul du discriminant : = b24ac = (4)24(1)(5) = 36.Le discriminant est strictement positif, la rgle est donc "signe de a lextrieur des racines". Il faut donc commencer parcalculer les deux racines :
x1 =b
2a=4
36
2 1=46
2=5 x2 =
b+
2a
=4+
36
2 1=4+6
2= 1
Signe du trinme sur R : (ici a = 1 est positif, donc le trinme est positif lextrieur des racines et ngatif lintrieur) 5 1 +x
x+4x5 + +
Ensemble solution : les solutions de linquation sont les x pour lesquels x2 + 4x5 est infrieur ou gal 0. Cela revient dterminer les x pour lesquels on a le signe dans le tableau de signe. Do, S = [5;1]. Ce qui peut se vrifier graphiquement :
y
x
15 O
Rsolution dans R de linquation 2x25x+3 < 0 :(Par rapport aux formules, on a ici : a =2, b =5 et c = 3 ).Calcul du discriminant : = b24ac = (5)24(2)(3) = 49.
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Le discriminant est strictement positif, la rgle est donc "signe de a lextrieur des racines". Il faut donc commencer parcalculer les deux racines :
x1 =b
2a=(5)
49
2(2)=
574
=12
x2 =b+
2a=(5)+
49
2(2)=
5+74
=3
Signe du trinme sur R : (ici a =2 est ngatif, donc le trinme est ngatif lextrieur des racines et positif lintrieur)
3 1/2 +x2x5x+3 +
Ensemble solution : les solutions de linquation sont les x pour lesquels 2x2 5x + 3 est strictement infrieur 0. Celarevient dterminer les x pour lesquels on a le signe dans le tableau de signe. Do, S =];3[]1
2;+[. Ce qui peut se
vrifier graphiquement :y
x1/23
+
O
Rsolution dans R de linquation 2x2 +5x4 > 0 :(Par rapport aux formules, on a ici : a =2, b = 5 et c =4 ).Calcul du discriminant : = b24ac = 524(2)(4) =7.Le discriminant est strictement ngatif, la rgle est donc "toujours du signe de a" , cest dire toujours ngatif car a =2.
Signe du trinme sur R :
x +
2x+5x4
Ensemble solution : les solutions de linquation sont les x pour lesquels 2x2 + 5x 4 est suprieur ou gal 0, ce qui estimpossible vu le tableau de signe. Do, S = /0 .
Rsolution dans R de linquation x2 +
2x+1 > 0 :(Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b =
2 et c = 1 ).
Calcul du discriminant : = b24ac = (
2)24(1)(1) =2.
Le discriminant est strictement ngatif, la rgle est donc "toujours du signe de a", cest dire toujours positif car a = 1.
Signe du trinme sur R :
x+ 2x+1 +
+x
Ensemble solution : les solutions de linquation sont les x pour lesquels x2 +
2x+1 est strictement suprieur 0, ce qui esttoujours le cas vu le tableau de signe. Do, S = R .
Rsolution dans R de linquation 4x24
3x+3 > 0 :(Par rapport aux formules, on a ici : a = 4, b =4
3 et c = 3 ).
Calcul du discriminant : = b24ac = (4
3)24(4)(3) = 0.
Le discriminant est nul, la rgle est donc "toujours du signe de a (cest dire toujours positif car a = 4) et sannule pour la
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racine double x1 =b
2a= (4
3)
2 4=
32
".
Signe du trinme sur R :
3/2 +x4x4 3x+3=0 + +
Ensemble solution : les solutions de linquation sont les x pour lesquels 4x24
3x+3 est strictement suprieur 0, ce qui
est toujours le cas vu le tableau de signe sauf pour
32
. Do, S = R
{3
2
}.
4 Relations entre les coefficients et les racines dun trinme
PROPRIT
Soit un trinme ax2 + bx + c (a 6= 0) dont le discriminant est strictement positif. Les deux racines x1 et x2 sont telles que :x1 + x2 =
ba
et x1 x2 =ca
Application : Cela permet de dterminer rapidement une racine connaissant lautre, en particulier lorsque le trinme admet uneracine "vidente". Remarque : le fait de trouver une racine implique forcment que le discriminant est suprieur ou gal 0. Il estdonc inutile de le calculer !Exemple : x1 = 1 est une racine "vidente" du trinme 2x25x+3. On doit donc avoir :1 x2 =
ca
=32
. Do la deuxime racine x2 est forcment gale 32
.
Une consquence de ces relations entre les coefficients et les racines dun trinme est la proprit suivante :PROPRIT
Dire que deux nombres rels ont pour somme S et pour produit P quivaut dire quils sont solutions dans R de lquation dusecond degr : x2Sx+P = 0 .
Exemple : Pour dterminer (sils existent) deux rels dont la somme S est gale 6 et dont le produit P est gal 1, on rsouddans R lquation x2 Sx + P = 0 x2 6x + 1 = 0. On a = (6)2 4(1)(1) = 32. Il ya donc deux solutions relles :
x1 =6
32
2=
64
22
= 3 2
2 et x2 =6+
32
2=
6+4
22
= 3 + 2
2. Les deux rels cherchs sont donc 3 2
2 et
3+2
2.
5 Equations bicarres : ax4 +bx2 + c = 0
Mthode gnrale : Pour rsoudre ce genre dquations, on utilise un changement dinconnue :
En posant X = x2, lquation ax4 +bx2 + c = 0 est quivalente au systme
{X = x2
aX2 +bX + c = 0
Exemple : Rsolution dans R de lquation x47x2 +12 = 0
On pose X = x2, lquation est quivalente au systme
{X = x2
X27X +12 = 0On rsoud lquation du second degr X27X +12 = 0 :
= (7)24(1)(12) = 4948 = 1 , X1 =(7)
1
2 1=
62
= 3 , X2 =(7)+
1
2 1=
82
= 4
On a donc X = 3 ou X = 4, ce qui quivaut x2 = 3 ou x2 = 4.Do, x =
3 ou x =
3 ou x = 2 ou x =2.
Ainsi, lensemble solution est S ={
3;
3;2;2}
.
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6 Equations irrationnelles avec des racines carres
Mthode gnrale : On isole la racine carre et on utilise le fait que si A = B alors A2 = B2 . On obtient une deuxime quation dusecond degr que lon rsoud. Ensuite, on vrifie systmatiquement si les solutions de la deuxime quation sont bien des solutionsde lquation initiale. (En effet, on ne pro
