SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE 5 et 6 Novembre 2003

1

05/11/2003 – « Mesures de risque, besoin en fonds propres » D.CADOUX, JM.LOIZEAU, C.PARTRAT

SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE5 et 6 Novembre 2003

« Mesures de risque,besoin en fonds propres »

D.CADOUX AXA, JM.LOIZEAU MAAFC.PARTRAT ISFA - Institut des Actuaires

2


Sommaire

• Besoin en fonds propres

• Définition et propriétés d’une mesure de risque

• Principales mesures de risque pour le besoin en fonds propres• Ecart-type (variance) • Probabilité de ruine et Value at Risk (VaR)• Tail Value at Risk (TVaR)• Excess Tail Value at Risk (XTVaR)• Expected Policyholder Deficit (EPD)• Mesures de risque basées sur les opérateurs de distorsion

• Lien avec les approches réglementaires

• Conclusion

3


Besoin en fonds propres

• Pourquoi ce besoin ?• Contrainte de solvabilité vs rentabilité

• Besoin en fonds propres global d’un centre de profit au sens large (compagnie, branche, produit)

• Approches Bottom-up et Top-down NON TRAITEES

• Le besoin en fonds propres d’un assureur non-vie dépend du point de vue :• Assurés, organismes de contrôle, agences de notation

• Actionnaires, management de la compagnie, souscripteurs

4


Besoin en fonds propres

•Vision interne de la compagniereprésente le capital théorique jugé

nécessaire par l’assureur pour maintenir son activité

•Différence entre ce capital nécessaire et le capital disponible (CSR)

•Vision externe du besoin en capitalreprésente le capital minimum

réglementaire ou exigé par le marché

5


Définition d’une mesure de risque

•FX fonction de répartition de X :

xXP)x(FX

•Dans la suite, X représentera le résultat de la compagnie

•On appelle mesure de risque une fonction ρ associant à un risque X un réel positif ρ(X)

•Dans la suite, ρ(X) représentera le besoin en fonds propres

6


Exemples de représentations P

robab

ilité

Charge sinistres0

Pro

bab

ilité

Résultat de la compagnie

0

7


Exemple

Pro

bab

ilité

X0

Moyenne - Capital ?

8


Propriétés des mesures de risque

• Liste non exhaustive

• (ii) : Sous-additivité YρXρYXρ • (iii) : Homogénéité positive

0h,XρhXhρ

• (iv) : Monotonie YρXρYX

cXρcXρ • (i) : Invariance par translation

pour toute constante c,

9


Propriétés des mesures de risque

• (v) : Borne supérieure

• (vi) : Conservatisme

• (vii) Sévérité : le besoin en capital doit tenir compte des amplitudes possibles des pertes

XmaxXρ

,XρXρ 0,XminX

10


Notion de cohérence

• Cohérence selon Artzner et al. [1999] = propriétés (i), (ii), (iii) et (iv)

• Limite de la propriété d’homogénéité positive

• Limite de la propriété de sous-additivitéExemple : X Y 2X 2Y X+Y

ω1 100 100 200 200 200

ω2 0 -150 0 -300 -150

ω3 -150 0 -300 0 -150

Ecart-type 126 126 252 252 202

11


Principales mesures de risque

pour le besoin en fonds propres

12


Ecart-type (Variance)

• Sous-additive et homogène positive

• MAIS pas conservatrice

• Moins sensible aux événements extrêmes que d’autres mesures de risque : mauvaise représentation des pertes sensiblement éloignées de la moyenne

• Peu adaptée pour mesurer le besoin en fonds propres

13


Ecart-type

Pro

bab

ilité

X0

Moyenne - Capital

Multiple de

l'écart-type

14


Probabilité de ruine / Value at Risk (VaR)

• Probabilité de ruine = probabilité que le capital initial C, connu, soit absorbé par un résultat déficitaire :

• VaR : perte maximale (sur une période donnée) pour un certain niveau de sécurité α

)C(FX

αxF:xinfXVaRC Xα

15



Pro

bab

ilité

-VaR (X) 0 X

α

α

16



• Concept simple

• Facile à calculer

• Mesure le risque en un seul nombre et ne tient pas compte de la sévérité de la ruine

• Pas sous-additive

• MAIS peut faire sens dans un objectif de solvabilité

17


Tail Value at Risk (TVaR)

• TVaR = perte moyenne au-delà d’un certain seuil dépendant de α

• Mesure le risque à l’aide de deux nombres

• Très sensible à la queue de distribution de X

XVaRXXEXTVaR αα

18


Tail Value at Risk (TVaR) P

robab

ilité

0 X

α

-VaR (X)α-TVaR (X) α

19


Tail Value at Risk (TVaR)

• Assez facile à expliquer et à calculer

• Plus conservatrice que la VaR

• Respecte toutes les propriétés (i) à (vii)

• Risque dans la queue de distribution appréhendé UNIQUEMENT par le moment d ’ordre 1

20


Excess Tail Value at Risk (XTVaR)

• Ruine moyenne au-delà d’un certain seuil dépendant de α

• Issue de la TVaR : TVaR = VaR + XTVaR

XVaRXXVaRXEXXTVaR ααα

21


Expected Policyholder Deficit (EPD)

• Appréhende la probabilité de perte des assurés et l’espérance de celle-ci

• A = actifs de l’assureur

• X = engagement de l’assureur vis à vis des assurés

0,AXmaxEEPD

22


Expected Policyholder Deficit (EPD)

• Utile pour les autorités de contrôle : ratio EPD

• Calcul plus complexe

• Vérifie les propriétés de conservatisme et de sévérité mais le respect des autres propriétés n’a pas été démontré à ce jour

23


Mesures de risque avec opérateurs de distorsion

• Principe = déformation d’une loi de distribution donnée : F*(x)=g(F(x))

• Opérateur de distorsion g = fonction croissante et concave t.q :

g : [0,1] [0,1], g(0)=0 et g(1)=1

• La VaR correspond à la distorsion

αupour,1

αupour,Oug

24


Opérateurs de distorsion - Exemple P

robab

ilité

f*(X)

0 X

f(X)

25


Mesures de risque avec opérateurs de distorsion

• S. Wang propose la transformation suivante :

• Le besoin en capital est égal à

• Prend en compte toute la distribution

• Peu intuitive

• Mise en œuvre complexe

0

*0

**α dxxF1dxxFXEXWT

αΦxFΦΦxF 11*

26


Lien avec les approches réglementaires

• Marge de solvabilité européenne, Solvency II et probabilité de ruine

• RBC et EPD

• Canada et TVaR

27


Conclusion

• Le respect des propriétés est-il important ? Quelle mesure ?

• Groupe de travail AAI (octobre 2003) :« pour l’assurance, la valeur à risque dans la queue de distribution (TVaR) comporte plus d’avantages comme mesure de risque que le facteur VaR ». La TVaR ?...

• « Ce qui est simple est faux et ce qui est compliqué est inutilisable »

28


Références bibliographiques

• Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. (1999), « Coherent measures of risk ». Mathematical Finance 9(3), 203–228.

• Butsic R. (1994), « Solvency measurement for Property-Liability Risk-Based Capital applications », Journal of Risk & Insurance 61.

• De la Foata C., Odjo H. (2001), « Analyse d’un système de sécurité cohérent et optimal pour une compagnie d’assurance IARD », ASTIN 2001

• Groupe de travail de l’AAI sur l’évaluation de la solvabilité de l’assureur (www.actuaries.org)

• Wang S. (2002), « A risk measure that goes beyond coherence », AFIR 2002.

• Wirch J.L., Hardy M.R. (1999), « A synthesis of risk measures for capital adequacy », Insurance : Mathematics & Economics 25.

29


Merci de votre attention

Documents

SEMINAIRE SOLVABILITE ET RENTABILITE EN ASSURANCE NON VIE 5 et 6 Novembre 2003