SEPT SUJETS COMPLETS - ARPEMEDans cet exercice, la Terre est assimilée à une sphère de centre A de rayon 6370 km. La figure 1 ci‐dessous représente une partie d’une vue en

Annales2014COPIRELEM Page15

SEPT

SUJETS

COMPLETS

Sujet«0»duM.E.N.(corrigépage71)


SUJET«0»PROPOSÉPARLEM.E.N.Cetexempledesujetaétémisenligneenjuin2013parleM.E.N.«pouraiderlesfuturscandidatsdansleurpréparation.Ilpermetdecomprendrelesconnaissancesetcompétencesattenduesdescandidats.»

PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)AutourduthéorèmedePythagore

L’objetdeceproblèmeestladémonstration,paruneméthodeclassique,duthéorèmedePythagore,etsonutilisationpourcalculerdesdistancesunesituationconcrète.CeproblèmecomprenddeuxpartiesAetB.Cesdeuxpartiessontindépendantes.Danstoutleproblème,ondésigneparThéorèmedePythagorel’énoncésuivant:Dansuntrianglerectangle,lasommedescarrésdescôtésdel’angledroitestégaleaucarrédel’hypoténuse.

PARTIEA:démonstrationparlaméthodeattribuéeàAbrahamGarfield(1831‐1881),20eprésidentdesÉtats‐UnisDans la figure ci‐dessous, les triangles ABC, BDE, BCE sont rectangles respectivement enA, D et B. Onpose:AB=DE=c;AC=BD=b;BC=BE=a.

1) JustifierquelespointsA,BetDsontalignés.

2) JustifierquelequadrilatèreADECestuntrapèze.

3) Exprimerdedeuxmanièresdifférentesl’airedutrapèzeADECenfonctiondea,betc.

4) Endéduirel'égalité:a²=b²+c².

PartieB:uneapplicationduthéorèmedePythagoreLacourbureterrestrelimitelavisionlointainesurTerre.Plusl’altitudedupointd’observationestélevée,plusladistancethéoriquedevisionestgrande.Danscetexercice,laTerreestassimiléeàunesphèredecentreAderayon6370km.La figure 1 ci‐dessous représente une partie d’une vue en coupe de la Terre, qui ne respecte pas leséchelles.(C)désignelecercledecoupe,decentreAetderayon6370km.

Figure1



LepointOreprésentel’emplacementdesyeuxd’unobservateur.LepointMestlepointd’intersectiondelademi‐droite[AO)etducercle(C).OnconsidèrequeMsesitueauniveaudelamer;lalongueurOMreprésentealorsl’altitudeàlaquellesetrouventlesyeuxdecetobservateur.Ladroite(OV)esttangenteenVaucercle(C).LepointVreprésentelepointlimitedevisiondel’observateur.LalongueurOVestappeléeportéevisuellethéorique.

1) LespointsO,MetVétantdéfiniscommeci‐dessus,montrerque laportéevisuelle théoriqueOV,expriméeenkm,estdonnéeparlaformule:

√ 12740 oùOVetOMsontexpriméesenkm.

2) Calculer laportéevisuelle théoriqued’unobservateurplacéauniveaude lameretdont lesyeuxsontsituésà1,70mdusol(onarrondiraaudixièmedekilomètreprès).

3) Onconsidèrelafonctionf:

: ⟼ 12740 OnadoncOV=f(OM),oùOVetOMsontexpriméesenkm.Ondonneci‐aprèslareprésentationgraphiquedelafonctionf.

Figure2

Enutilisantlegraphiquedelafigure2,répondreauxquestionssuivantes:

a) À quelle altitude doit‐on se situer pour avoir une portée visuelle théorique de 100kilomètres?

b) Unobservateur situé audernier étagede laTour Eiffel dont l’altitude est environ 350mètrespourrait‐ilthéoriquementvoirlamer?

c) L’affirmationsuivanteest‐ellevraie:«sionestdeuxfoisplushautsurlaTerre,alorsonaunevisionthéoriquedeuxfoisplusgrande»?



DEUXIEMEPARTIE(13points)Cettepartieestconstituéedequatreexercicesindépendants.

EXERCICE1Unstandàlafoireduprintempsproposeunjeudans lequel il fautd’abord faire tournerune roulette. Ensuite, si la roulette s’arrêtesurunnombrepair,lejoueurpeuttirerunebilledansunsac.La roulette et le sac sont représentés ci‐contre:Des prix sont distribués aux joueurs quitirent une bille noire. Suzy tente sa chanceunefois.

Quelle est laprobabilitéqueSuzy gagneunprix?

EXERCICE2.Lorsd’untournoideBowling,onnotelesrésultatsdes15joueurs.

268220167211266152270279192191164229223222246Lenombremaximaldepointréalisableparunjoueurest300.

Quelrésultatpeut‐onsupprimersansmodifierlamoyennedesrésultats?

EXERCICE3.Lalongueurofficielled’unmarathonest42,195km.Lorsd’unmarathonuncoureurutilisesamontre‐chronomètre.Après5kmdecourse,elleluiindiquequ’ilcourtdepuis17minuteset30secondes.

1) Lecoureurpenseques’ilgardaitcettealluretoutaulongdelacourse,ilmettraitmoinsde2h30entout.A‐t‐ilraison?

2) Enréalitélavitessemoyenneducoureurpendantlesvingtpremierskilomètresaété16km/hetcettevitesseachutéde10%pourlerestantduparcours.Quelaétésontempsdeparcours?Donnerlaréponseenheures,minutes,secondes,centièmesdeseconde(lecaséchéant).

EXERCICE4Leproblèmesuivantaétéproposéàdesélèves.

Jesuispartiàneufheuresmoinsdix;jesuisarrivéà10h40.Quelleaétéladuréedemonparcours?Expliquecommenttuastrouvé.

1) Indiquerlecycleetleniveaudeclasseauxquelsceténoncépeutêtreproposé.

2) Pourchacunedesdeuxproductionsd’élèvesreproduitesci‐dessous,décrirelaprocédureutiliséeetanalyserleserreurscommisesenformulantdeshypothèsessurleursorigines.



TROISIEMEPARTIE(14points)Analysed’exercicesproposésàdesélèvesetdeproductionsd’élèvesrelevantdelaproportionnalité

Cette partie vise l’analyse mathématique de plusieurs situations mettant en œuvre le concept deproportionnalité.Pour répondre aux différentes questions, le candidat pourra se référer s’il le souhaite à l’extrait dudocumentd’accompagnementdesprogrammesdecollègeprésentédansl’annexe1.

I.SituationALeproblèmeci‐dessousaétédonnéenévaluationàdesélèvesdecycle3.

ÉnoncéAÀchaquesaut,unesauterelleavancede30cm.Combiendesautsdoit‐ellefairepourparcourir15mètres?

1) Dansceténoncé,qu’est‐cequiindiquequelasituationestunesituationdeproportionnalité?

2) Le problème a été proposé à 4 élèves, E1, E2, E3 et E4 dont les productions sont données enannexe2.Pourchacundes4élèves:

a) Expliquer, en argumentant à partir des traces écrites de l’élève, si la procédure quisemble avoir été utilisée témoigne d’une mise en œuvre correcte des propriétésmathématiquesdelaproportionnalité.

b) Émettreunehypothèsesurlacausedeserreurséventuelles.

3) D'un point de vue théorique, cette situation de proportionnalité peut être modélisée par unefonctionlinéairedunombredesauts.

a) Explicitercettefonction.

b) Donnerlaréponseattendueenutilisantcettefonction.

II.SituationBLeproblèmeci‐dessousaétédonnéàdesélèvesàl’entréeensixième.

ÉnoncéB6objetsidentiquescoûtent150€.Combiencoûtent9decesobjets?

1) Dansceténoncé,qu’est‐cequiindiquequelasituationestunesituationdeproportionnalité?

2) D’unpointdevuemathématique,qu’est‐cequidifférencieceténoncéduprécédent?

3) Proposertroisméthodespossiblespourrésoudrecetexerciceencycle3,etpourchacuneexpliciterlespropriétésmathématiquesutilisées.

III.SituationCEnclassedeCM2,unprofesseurproposeletravailsuivantauxélèves:

ÉnoncéCUnpavédroitapourbaseuncarrédecôté2cm.Onfaitvariersahauteuretons’intéresseàsonvolume.1) Complèteletableaudevaleurssuivant:

2) Placesurlafeuillelessixpointscorrespondantauxsixcolonnesdutableau.[leprofesseura

distribué une feuille de papier quadrillé sur laquelle les deux axes gradués d’un repèreorthogonalontététracés.Surl’axedesabscissesilaindiqué:hauteurdupavédroit,etsurceluidesordonnées:volumedupavédroit]

3) Queconstates‐tu?Vérifieavectarègle.

1) Citerunenouvellecaractérisationdelaproportionnalitémiseenévidencedanscetexercice.

2) Dansceténoncé,c’estlahauteurdupavédroitquivarie.Sileprofesseuravaitchoisidefairevarierlalongueurducôtéducarrédelabase,qu’est‐cequecelaauraitchangé?Justifier.



IV.SituationDDans ledocumentressource« lenombreaucycle3»ontrouve,auchapitreproportionnalité, les lignessuivantes:

Le termede«proportionnalité» apparaîtdans lesprogrammes2008 [BO2008]au cycle3[…] mais la notion de proportionnalité est présente dans les situations mathématiquesdepuis la maternelle. En effet, les jeux d’échange sont déjà des problèmes relevant de laproportionnalité.Exemple:Unebillebleuevautdeuxbillesrouges.Sijetedonne3billesbleues,combienmedonnes‐tudebillesrouges?

1) Enquoileproblèmeci‐dessusest‐ilunproblèmedeproportionnalité,

2) Expliciteruneprocédurederésolutionenvisageableengrandesectiondematernelle.

ANNEXE1Extraitdudocument:

Ressourcepourlesclassesde6e,5e,4e,3edecollègeLaproportionnalitéaucollège–EDUSCOL



ANNEXE2Productiondequatreélèvesenréponseàl’exerciceA

E1

E2

E3

E4

SujetCOPIRELEMn°1(corrigépage81)


SUJETN°1PROPOSÉPARLACOPIRELEM

PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)L’objectifdeceproblèmeestderésoudremathématiquementdifférentessituationsmettanten jeudesjetons.

PARTIEA:DisposerdesjetonsVoici16jetonsdisposés«encarré»: O O O O

O O O O O O O O O O O O

Maximepossèdeuncertainnombredejetonsetsouhaitelesdisposer«encarré»enlesutilisanttous.Ilfaitunepremièretentative:ildisposesesjetonsencarré,maissoncarrén’estpasassezgrandetilluireste52jetonsqu’ilnepeutpasplacer.Il faitunedeuxième tentative: il essaied’agrandir sonpremiercarréendisposant4 jetonsdeplusparcôté,illuimanquealors60jetonspourfinirsoncarré.

1) CalculerlenombredejetonsquepossèdeMaxime.

2) Maximepeut‐ilplacertoussesjetonsencarré?Justifierlaréponse.

3) Sansutiliserlacalculatrice,expliquers’ilestpossibledeplacer2700jetonsencarré.

PARTIEB:OrganiserdesjetonsDansunsac,ilya84jetonsbleus,60jetonsrougeset48jetonsjaunes.Cesjetonssontindiscernablesautoucher.

1) Onsouhaiterépartircesjetonsdansdesboîtesquicontiennenttouteslamêmequantitédejetonsde chaque couleur. Donner le nombre possible de boîtes et pour chaque possibilité préciser lecontenudelaboîte.

2) Onpiocheauhasardlesjetonsdanslesacetonlesdéposedansl’unedesboîtes.a) Combien de jetons au minimum faut‐il piocher successivement pour être sûr d’avoir au

moinsunjetonjaune?Justifierlaréponse.b) Quelleestlaprobabilitéde«piocherunjetonjauneenpremier»?

PARTIEC‐JoueraveclesjetonsbleusetrougesDanscettepartie,despointssontaffectésauxdifférentsjetons.

lesjetonsbleusfontgagner3points, lesjetonsrougesfontgagner7points.

Unmeneurde jeudistribueàsesamisdes jetonsbleusetdes jetonsrougesetchacundoitcalculersontotaldepoints.

1) Bernardaautantdejetonsbleusquedejetonsrouges.Sontotaldepointsest70.Combiena‐t‐ildejetonsdechaquecouleur?

2) Paul dit qu’il a 29 jetons qui représentent un total de 159 points. Trouver la composition de lacollectiondejetonsdePaul:

a) parunerésolutionalgébrique;

b) parunerésolutionarithmétique.

3) Célinepossèdedesjetonsbleusetdesjetonsrougespourunevaleurtotalede34points.

a) Combiendejetonsdechaquecouleurpossède‐t‐elle?Trouvertouteslessolutions.

b) Surl’annexe1,ladroited’équation3x +7y =34aétéreprésentée.Enexplicitantlaméthode,retrouvergraphiquementlessolutionsobtenuesprécédemment.

4) Pierren’aquedes jetonsbleuset Jeann’aquedes jetons rouges.Pierredoitdonner34pointsàJean.CommentPierreetJeanpeuvent‐ilsprocéder?Décrireunesolution.



DEUXIEMEPARTIE(13points)Cettedeuxièmepartieest constituéedequestionsà choixmultiples (partieA)etd’uneanalysedeproductionsd’élèvessurlesdécimaux(partieB).

PARTIEA‐Questionsàchoixmultiples(6points)Danscettepartie,aucunejustificationn’estdemandée.Chaquequestionappelleuneoudeuxréponsesexactes.

‐unebonneréponserapportesoit1point,soit0,5point;‐uneabsencederéponsenepénalisepas(0point);‐uneréponsefausseenlève0,5point.

VousindiquerezVraiouFauxdanslescasesquicorrespondentauxaffirmationsA,B,CouDdansletableauréponsedechaquequestion.

1) UnquadrilatèreABCDestappeléisocervolantenAsil’angle estdroitetsiladroite(AC)estunaxedesymétriedelafigure.

Parmilesaffirmationssuivantesindiquezcelle(s)quiest(sont)exacte(s). A:Toutcarréestunisocervolant. B:Toutrectangleestunisocervolant. C:Toutisocervolantestuncarré. D:Toutisocervolantestunrectangle.

2) Surlafigureci‐dessous: ‐lespointsA,EetDsontalignésdanscetordre; ‐ladroite(AB)estperpendiculaireàladroite(AE)etàladroite(BC); ‐letriangleDECestisocèleenE; ‐lamesure,endegré,del’angle estaetcelledel’angle est4a.

Parmilesaffirmationssuivantesuneestvraie,laquelle? Lavaleurdeaest: A:45° B:30° C:20° D:25°

3) Onconsidèrelecubeci‐dessousreprésentéenperspectivecavalière.

Unseuldespatronssuivantscorrespondàcecube.Lequel?

PatronA PatronB PatronC PatronD

A B C D

A B C D

A B C D



4) EFGestuntriangleéquilatéraldecôtédelongueura.LestrianglesEMF,FNGetGPEsontdestrianglesrectanglesisocèlesrespectivementenM,NetPetdisposéscommelafigureci‐dessous.

Parmilesaffirmationssuivantesindiquezcelle(s)quiest(sont)exacte(s). A:EM= √2.

B:L’airedutriangleEMFestégaleà .

C:L’airedutriangleEFGestégaleà√ .

D:Lepérimètredel’hexagoneEMFNGPestégalà6 √2.

E:L’airedel’hexagoneEMFNGPestégaleà .

5) OnconsidèrelapyramidedesommetSetdebaseABCDreprésentéeci‐dessous. LespointsI,J,KetLsontrespectivementlesmilieuxdesarêtes[SA],[SB],[SC]et[SD].

Parmilesaffirmationssuivantesindiquercelle(s)quiest(sont)exacte(s). A:L’aireduquadrilatèreABCDestégaleàquatrefoisl’aireduquadrilatèreIJKL. B:L’aireduquadrilatèreIJBAestégaleàdeuxtiersdel’airedutriangleSAB. C:LevolumedelapyramideSABCDestégalauxhuitseptièmesdusolideABCDIJKL. D:LevolumedelapyramideSABCDestégalàtroisfoisceluidelapyramideSIJKL.

6) Parmilesaffirmationssuivantesindiquercelle(s)quiest(sont)exactes(s).A:Toutquadrilatèreconvexedontlesdiagonalessontperpendiculairesestunlosange.B:Toutparallélogrammedontlesdiagonalessontperpendiculairesestunlosange.C:Toutquadrilatèredontlesdiagonalessontperpendiculairesetsecoupentenleursmilieuxestunlosange.D: Tout quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de mêmes longueurs est unlosange.

A B C D E

A B C D

A B C D



PARTIEB:analysedeproductiond’élèvessurlesdécimaux(7points)Cetexercices’appuiesurlesdocumentsproposésenannexes2et3.Annexe2:Lesréponsesdedeuxélèves(JeanneetTiago)àunexerciceextraitdescahiersdesévaluationsnationalesdesacquisdesélèvesdeCM2enjanvier2011.Annexe3:Extraitdesprogrammesdemathématiquesdel’école(B.O.du19juin2008).

1) Questionsconcernantl’exercicedeJeanneetTiago.

a) Pour chaque question A, B et C de l’exercice de Jeanne et Tiago présenté en annexe 2,identifier de façon précise la connaissance et la compétence issue des programmes demathématiquesdel’écolede2008qu’ellepermetd’évaluer.

DansuneclassedeCM1/CM2,voicilesrésultatsobtenusparles15élèvesdeCM2.

QuestionA QuestionB

260 8élèves 3,10 8élèves

62


602


3,00 1élève 0,03 1élève

b) Dans le tableaude résultats ci‐dessus, les réponsesà laquestionAet3,10à laquestionBapparaissent majoritairement. Quel renseignement nous donnent ces réponses sur lareprésentation du lien entre l’écriture à virgule et l’écriture fractionnaire d’un nombredécimalpourlesélèvesquicommettentcetteerreur?

c) Donnerunehypothèsepermettantd’expliquerl’absencederéponsedeTiagoàlaquestionC.

d) Au regard de la réponse donnée par Jeanne à la question C, quel type de connaissancesmathématiquesfaudrait‐ilretravailler?

2) Desréponsesargumentéesd’élèvesàquiilestdemandédecalculer:23,45×10sontprésentéesenannexe2.

Samiaaécrit:23,450parcequequandonmultipliepardixonmetunzéro.

Julien aécrit :230,450car

23 10 = 230 45 10 = 450donc

çafait230,450

a. QuellerèglesembleappliquerlesdeuxélèvesSamiaetJulien?

b. Préciser leurserreurset formulerunehypothèsesur lareprésentationdunombredécimalchezcesélèves.

TROISIEMEPARTIE(14points)Analysed’élémentsd’enseignementdelaproportionnalité

Lesdifférentesquestionsvisentl’analysedeplusieursénoncésdeproblèmesetd’unepropositiondemiseenœuvreenclasse.

PARTIEA‐Analysed’unpremierénoncédeproblèmeetdeproductionsd’élèvesLeproblèmeci‐dessousaétédonnéàdesélèvesdecycle3pouraborderlanotiondeproportionnalité.

Pouremballer10livres,unlibraireutilise4mètresdepapier,etpouremballer25livres,illuifaut10mètresdecepapier. a‐Combiendelivreslelibrairepeut‐ilemballeravec14mètresdepapier? b‐Quellelongueurdepapierluifaut‐ilpouremballer50livres? c‐Combiendelivreslelibrairepeut‐ilemballeravec6mètresdepapier?



1) Cette situation semble être une situation de proportionnalité. L’énoncé comporte une partd’implicite(non‐dit)qu’ilseraitbondepréciserpourlevertouteambiguïtélorsdelarésolutiondeceproblème.Commentpeut‐oncompléterceténoncépourlevercetteambiguïté?

2) D'unpointdevuemathématique,cettesituationdeproportionnalitépeutêtremodéliséeparunefonctionlinéaireouparsaréciproque.

a) Donneruneexpressiondechacunedecesdeuxfonctions.

b) Donnerlaréponseattendueauxquestionsa,betcduproblèmeenutilisantl'uneoul'autredecesfonctions.

3) Le problème a été proposé à trois élèves, Laurène, Farida et Yann dont les productions sontdonnéesenannexe4.

a) ExpliciterlesprocéduresutiliséesparLaurènepourrépondreauxquestionsenvousréférantauxpropriétésmathématiquessous‐jacentesàcesprocédures.

b) Donner une explication plausible aux erreurs commises par Farida pour répondre auxquestionsaetc.

c) CommentinterpréterlaréponsedeYannàlaquestionb?

PARTIEB‐Analysed’uneséanced’enseignementseréférantàdeuxénoncésdeproblèmesPour introduire la notion de proportionnalité en classe de CM1, un enseignant décide d’utiliser ledocumentsuivant:

Ildécidedepréparersaséanceenseréférantaucanevasprésentéci‐dessous.

Étape 1 : Seulelarecetteestaffichéeautableau.Ensuitelapremièrequestionportantsurlenombredefruitset laquantitédesiropestécriteau tableau.Lesélèves sont invitésà rechercher les informationsutilespourrépondreàcettequestion.Étape 2 : Les élèves sont répartis en groupes hétérogènes. Ils cherchent une réponse à la question etrédigentuneaffichepourprésenterleurtravail.



Étape 3 : Lemaîtreprocèdeàlamiseencommunàpartirdesaffichesrédigéesdanschaquegroupe.Desexplicationsoralespeuventêtredemandéesauxproducteursdesaffichesetdesargumentsportantsurlavaliditéoulanonvaliditédelaréponsesontéchangésentreélèves.Étape 4 : Unesynthèsecollectivepermetàl'enseignantdemettreenévidencelesélémentspertinentsetleserreurscontenusdanslesaffiches. a‐Ilmetenplaceunmodèledeprésentationquipermetd'écrirelesdonnées,lesrésultatscalculésetdeschématiserlaméthodeutilisée. b‐Ilorganiselacorrectiondelapremièrequestionenséparantlecalculdesingrédientspour8verreset20verresdeceluipour6verreset10verres. Il fait intervenircomme intermédiaire lecalculpour2verresindiquésparuneaffiche.Ilfaitapparaîtreainsilespropriétésqu'ilveutmettreenplace.Étape 5 : Lesélèvesprennentconnaissancedeladeuxièmequestionportantsurlenombredeverresetessaient d'y répondre individuellement. Le maître conduit une correction collective à partir desdifférentespropositions.Étape 6 : Lesélèvesdoiventensuiterésoudretroisexercicesdumêmestyle.Étape 7 : L’exercicesuivantestproposéenfindeséance:

1) Caractériserchacunedesétapesdecetteséanceenprécisantleurintérêtspécifique.

2) Concernantl'étape1, recenserlesinformationsutilesquelemaîtredoitmettreenrelief.

3) Proposerunmodèlequel’enseignantpeutmettreenplacedanslapartiea)del’étape4.Commentschématiserlaméthodeutilisée?

4) Àl'étape7,lemaîtreproposeunnouvelexercice.a) Enquoicetexerciceest‐ildifférentdeceluiproposédansl’étape1?b) Décrireuneprocédurecorrectequ'unélèvedeCM1estsusceptibledemettreenœuvrepour

répondreàlaquestiona)decetexercice.



ANNEXE1Représentationgraphiquedeladroite3x +7y =34



ANNEXE2Réponsesdedeuxélèvesàl’exercicen°2extraitdesévaluationsnationalesdesacquisdesélèvesde

CM2enjanvier2011.

ProductiondeJeanne

Productiondetiago



ANNEXE3Extraitdesprogrammesdel’écoledemathématiques2008



ANNEXE4Productionsdesélèves:Laurène,FaridaetYann






PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)Unproblèmedejardinier.

Unjardinierveutréaliserunparterrecirculairecomposédedifférentespartiescommel’indiqueledessinci‐contre.

Une plate‐bande est représentée par le rectangle ABCD, inscrit dans un disque, et le quadrilatère IJKLreprésenteunmassifaménagéàl’intérieurdelaplatebande.

PARTIEA:ConstruireleparterreLedisquequiconstitueleparterreapourcentreOetpourrayonr.

1) a) ProuverqueAC=BD=2r.

b) LespointsI,J,KetLsontlesmilieuxrespectifsdescôtés[AB],[BC],[CD]et[DA].DéterminerlalongueurdescôtésdeIJKLenfonctionder.Justifierlaréponse.

c) EndéduirelanatureduquadrilatèreIJKL.

2) Onsouhaitequelalargeurdelaplate‐bandesoitégaleaux desalongueur.

a) Prouverqu’alorslalongueurdurectangleestégaleà retquesalargeurestégaleà r.

b) Àl’échelle1/60,ledisqueapourrayon5cm.Construire à la règle et au compas, le plan de ce parterre à cette échelle. Les traits deconstructionresterontapparents.Calculer,envraiegrandeur,l’airedelatoutelaplate‐bande.Lesrésultatsserontdonnésenm2

aucentièmeprès.

PARTIEB:FleurirleparterreLe jardinier décide de planter des tulipes sur le contour de la plate‐bande et de semer du gazon àl’extérieurdecelle‐ci.Commeilsouhaitetondrelemoinspossible,ilenvisagedechangerlesdimensions



de la plate‐bande pour que celle‐ci ait une airemaximale tout en conservant son périmètre. Il cherchealorsquellespourraientêtrelesdimensionsdelaplate‐bande.Unemodélisationmathématiquevapermettrederépondreauproblèmedujardinier.Ainsipourlesquestionssuivantes,lescalculsseferontàpartirdesdimensionsduplanréaliséprécédemment(lerayondudisqueestde5cm,et lepérimètredurectangleABCDreprésentant laplate‐bandeestégalà28cm).

1) MontrerquesiA’B’C’D’estunrectangleayantlemêmepérimètrequelerectangleABCDalorssonairevérifie:

aire(A’B’C’D’)=14 où désignelamesuredelalongueurd’uncôtédurectangleA’B’C’D’,l’unitédelongueurétantlecm.

2) À partir du graphique suivant, déterminer graphiquement pour quelle valeur de le rectangleA’B’C’D’auneairemaximum.

Représentationdelafonctionfquiàunnombre associe14 pourxappartenantàl’intervalle[0;14].

3) Enadmettantque lavaleurdéterminéegraphiquementest exacte,donner lanaturedu rectangleA’B’C’D’ayantmêmepérimètrequeABCDetuneairemaximale,ainsiquelanatureduquadrilatèreI’J’K’L’associé.Justifierlesréponses.

4) Lejardinierpeut‐ilconstruireuneplate‐bandereprésentéeparcequadrilatèreA’B’C’D’etvérifiantlaconditiond’êtreinscritdansledisqueinitialderayon5cm?Justifierlaréponse.

PARTIEC–AcheterdesfleursFinalement,pourdesraisonsesthétiques,lejardinierchoisituneplate‐banderectangulairede3,60msur4,80metveutplanterdestulipessurlepourtourextérieur.

1) Sachantquelestulipesseplantenttousles10cmetqu’ilyenauneàchaquecoindelaplatebande,déterminerlenombredetulipesnécessaires.Justifierlaréponse.

2) Parexpérience,lejardiniersaitque25%destulipesplantéesnefleurirontpas.Combiendetulipesdevra‐t‐ilcommanderpourdisposerfinalementdunombredetulipesnécessaires?

3) Les tulipes sont vendues dans des sacs de 100 bulbes de fleurs variées, dont un quart sont desbulbesdetulipes,unautrequartde jonquilleset lerestede jacinthes.Onsupposeque lesbulbessontindiscernablesautoucher.Àpartird’unlot,lejardiniersouhaitecommencerparplanterlestulipes.Iltireauhasardunbulbe:sic’estunbulbedetulipe,illeplante;sinon,illeremetdanslesac.

Aprèsavoirtiréetplantéquatrebulbesdetulipes,iltireauhasarddanslesacunnouveaubulbe.Quelleestlaprobabilitéqu’ils’agissed’unbulbedetulipe?Justifierlaréponse.



DEUXIEMEPARTIE(13points)Cettedeuxièmepartieestconstituéedequestionsappelées«Vrai–Faux– Justifier» (partieA)etd’uneanalysedeproductiond’élèvessurducalculmental(partieB).

PARTIEA‐Vrai–Faux–Justifier(6points)Danscettepartie,desaffirmationssontproposées.Pourchacuned’entreelles,diresielleestvraieousielleestfausse.Justifierlaréponse.Uneréponseexactemaisnonjustifiéenerapporteaucunpoint.Uneréponsefaussen’enlèveaucunpoint.

1) Uneclasseaunemoyennede9sur20àundevoirsurveillé.Affirmation1:Lamoitiédelaclasseaeuaumoins9sur20àcedevoir.

2) Affirmation2:1cLdeliquideoccupeunvolumeégalà0,001dm3.

3) DanslecubeABCDEFGHci‐dessous,l’arêteABmesureacm.

Affirmation3:OnpeutalorsaffirmerquelevolumedusolidedontlessommetssontA,B,DetEest

égalà cm3.

4) Soita,b,c troisentierscomprisentre0et9. Affirmation4:Lesnombresquis’écrivent enbasedixsontdesmultiplesde13.

5) Surunecarteau1/25000deuxvillagessontdistantsde7cm.

Affirmation5:Cesvillagesserontdistantsde cmsurunecarteau1/40000.

6) Onconsidèrelenombre10 9.Affirmation6:Lorsquel'onfait lasommedeschiffrescomposantl'écritureusuelledecenombre,

onobtient73.

PARTIEB:analysedeproductiond’élèvessurunexercicedecalculréfléchi(7points)Lors d'une séance de calcul mental, un enseignant écrit au tableau le calcul. Après un moment derecherche,ausignal,lesélèvesécriventleurrésultatsurl'ardoiseetlèventcelle‐ci.Afindefaireapparaîtrelesdifférentesprocédures,l’enseignantdemandealorsàcertainsélèvesd'expliqueroralementcommentilsontobtenuleurrésultat.Lesréponsesetlesexplicationsoralesfourniesparhuitélèvesquel'ondésigneraparleslettres,A,B,C,D,E,F,GetHsontindiquéesci‐après.

1) Releveretanalyserleserreurscommises.

2) Identifier trois procédures qui ont permis d'obtenir le résultat et qui amènent à mobiliser despropriétésdelamultiplicationquiserontexplicitées.

3) Pourchacunedesprocéduresrepérées,indiquerlesélèvesquil'ontemployée.



ÉlèveA Surl'ardoise:90 Explications:18c'estpresque20,jecalcule20x5,c'est100.Ilfautenlever5etencore5.ÉlèveB Surl'ardoise:90 Explications:18plus18çafait36etencore36,72,etencore18,90.ÉlèveC Surl'ardoise:45 Explications:jecompte5fois8quaranteet5fois1cinq.Cafait45.ÉlèveD surl'ardoise:90 Explications:5c'estlamoitiéde10,jefais18multipliépar10çafait180puisjeprendsla moitié50et40.ÉlèveE surl'ardoise:94 Explications:j'aiposél'opérationdansmatête:5fois8quarante,0etjeretiens4,5fois1 cinqet4neuf.ÉlèveF surl'ardoise:90 Explications:18fois5c'estcomme9fois2fois5.ÉlèveG surl’ardoise:72 Explications:18plus18,36plus18c'estcomme20moins2çafait54,plus18, 72plus18; 90.J'avaisfaux.ÉlèveH surl’ardoise:90 Explications:10multipliépar5cinquante,8multipliépar5quarante,40plus50,90.

Calcul:18x5



TROISIEMEPARTIE(14points)Analysededocumentspédagogiquessurl’enseignementdeladivision

PARTIEA‐Analysed’uneséanceenCE2(Annexe1)Dans l’annexe 1 figure un extrait dumanuelCapMathsCE2 (Hatier, 2011) présentant le support écritd’uneséance.L’objectifdecetteséanceportesurlarésolutiondeproblèmesdepartage.

1) Exprimerlessolutionsdechaqueproblèmedelapartie«Chercher»aumoyend’uneégalité.

2) Citer trois connaissances ou compétences préalables nécessaires à cette activité (partie«Chercher»).

3) Lesélèvessontmisenéquipesdedeux.Ilssontd’abordinvitésàrépondreàlapremièrequestiondelapartie«Chercher».Aprèsuntempsderecherche,l’enseignantorganiseunemiseencommun.

a) Décriretroisprocéduresquelesélèvespeuventmettreenœuvrepourrépondreàlaquestion1concernantlenombrederubansdeTim.

b) Expliciterdeuxtypesd’erreursenvisageables.

c) Quelestlerôled’unemiseencommunàl’issuedelapremièrequestion?

d) Dequellemanièrepeut‐onenvisagerlavérificationdesréponses?

4) Dans un deuxième temps, les élèves doivent résoudre les deux autres questions de la partie«Chercher».Ledéroulementestidentiqueàceluidel’étapeprécédente.

a) Dequellemanièrepeut‐onenvisagerlavérificationdesréponsesdelaquestion3?

b) Analyserlechoixdesnombresdanstoutecetteactivité.

5) Quelsélémentsdesynthèsepourrait‐onmettreenavantàl’issuedecetteactivité?

6) Six exercices numérotés de 4 à 9 sont proposés à la suite de l’activité de recherche. Analyser lechoixdecesexercicesenrelevantunpointcommunetdeuxdifférences.

PARTIEB‐LadivisionenCM2

1) Analysededeuxexercices.Lesdeuxproblèmessuivants(ERMELCM2,Hatier)sontproposésauxélèves:

a) Résoudrelesdeuxproblèmesproposés.

b) Citeruneressemblanceetunedifférenceentrecesdeuxproblèmes.

c) Lacalculatricepeut‐elleconstitueruneaidepourlarésolutiondecesproblèmes?

2) Danslecadredel’Évaluationnationaled’entréeensixième,ilaétéproposéauxélèvesd’effectuer,sanscalculatrice, ladivisioneuclidiennede4584par8.EnAnnexe2sontreproduits les travauxd’AlietteetChristian.

a) Décrirepourchaqueélèvelesprocéduresutiliséespoureffectuerladivisionproposée.Analyserleserreurséventuelles.

b) Quelleaidepourrait‐onapporteràChristian?



ANNEXE1ExtraitdeCapMathsCE2,Hatier2011



ANNEXE2Productionsd’AlietteetChristian




PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)Numérationetopérations

Dans le tableau ci‐dessous, on a écrit quelques nombres entiers avec des hiéroglyphes appartenant àl’écriture égyptienne (vers 3000 av. JC), sans nécessairement respecter scrupuleusement la dispositiondeschiffreshiéroglyphiquesdel’époque.Onnommeralessignesutilisés:

trait spirale fleur(delotus) doigtcourbé têtard dieu anse

42209

120000

1422000

400010

30031

1) Onadmetqu’ilexisteuneécritureuniquedechaquenombredanscesystème(à l’ordreprèsdessymbolesutilisés),chaquesymboleétantutiliséaumaximumneuffois.

Traduirelesnombressuivants:

2 154 813

2) a) Expliciterunerèglepermettantdecomparerdeuxnombresquelconquesécritsdanscesystèmedenumération.

b) Citer un avantage de notre système actuel de numération écrite par rapport au systèmeégyptiendupointdevuedelacomparaisondesnombres.

c) Citer un nombre que l'on peut écrire dans notre système de numération mais qui ne peuts'écriredanslesystèmeégyptien.

3) CalculerladifférenceentrelesdeuxnombresAetBsuivants,enutilisantexclusivementlesystèmedenumérationégyptien(onlaisseravisibleslesdifférentesétapesducalcul).

A

B



4) Pour multiplier deux nombres, les égyptiens utilisaient une méthode dite «par duplicationssuccessives».

Exemples:poureffectuerlesproduits3547et 8925(avecnossymbolesdenumération)

1 47 2 94 4 188 8 376 16 752 32 1504 35 1645 donc35 × 47=1645

1 25 2 50 4 100 8 200 16 400 32 800 64 1600 89 2225 donc89 × 25=2225

a) Effectuerainsileproduit28×34.

b) Montrerquecetteméthodeconduitaurésultatcorrect,surl’exemplede35×47,enjustifiantchacunedesétapesducalcul.

c) Proposerunalgorithmegénéralisantcetteméthodepourcalculerleproduitdedeuxnombresentiers.Justifierqu’ilesteffectivementutilisablepourtoutproduitdedeuxnombresentiers.

5) Dans les exemples donnés, on a utilisé 6 et 7 lignes avant de pouvoir faire l'addition finale. Ensupposantquel'onaitàeffectuer leproduitd'unnombreàquatrechiffresparunnombreàtroischiffres,quelnombreminimaldelignesfaut‐ilécrire?Justifier.

6) DansuneclassedeCE1,desélèvesconfrontéspourlapremièrefoisaucalculde1934,ontcalculéainsi:

34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34+34 68 + 68 + 68 +....................... 136 + ................................. ..........................................

a) Trouver deux points communs entre cette procédure et la méthode dite «par duplications

successives».b) Donner une capacité supplémentaire nécessitée par la méthode dite «par duplications

successives».



DEUXIEMEPARTIE(13points)Cettedeuxièmepartieestconstituéed’exercices(partieA)etd’uneanalysedeproductiond’élèvessurlanotiond’aireetdepérimètre(partieB).

PARTIEA‐Résoudrelesexercicessuivantsenjustifiantlesréponses.(7points)

Exercice1

Mestunpointdusegment[AB]delongueur10,5cm.AIMestuntriangleéquilatéraletBMJKestuncarré.OnseproposederechercherlapositiondupointMpourqueAIMetBMJKaientlemêmepérimètre.

1) Onnotex lamesureencmdelalongueurAM.Exprimer en fonction de x le périmètre de AIM et celui de MJBK, et résoudre le problèmealgébriquement.

2) Donnerunerésolutiongraphiqueduproblème.

Exercice2Enfindemarché,unmaraîcherdécide,alorsqu’illuireste60salades,48oignonset36bottesderadis,deconstituerdeslotsidentiquesdelégumespourécoulersamarchandise.

1) Quelestlenombremaximumdelotsidentiquesqu’ilpeutconstituer?Justifierlaréponse.

2) Pourcenombremaximumdelotsidentiques,quelleestlacompositiondechaquelot?

Exercice3ABCDest un trapèze convexe isocèle dont unedes bases est le segment [AB] et dont les diagonales secoupentenunpointO,telque: AB=5cm;OA=3cmetOC=4cm.

1) CalculerCD.

2) Construireauxvraiesdimensions,enutilisantunerèglegraduéeetuncompas,cetrapèze.Lestraitsdeconstructionresterontapparents.

Exercice4OnconsidèrelesnombresentiersNetqtelsque:N<4200etq=82.DansladivisioneuclidiennedeNparunnombreentierd,onobtientlequotientqetlerester.

1) Danscettequestion,r=45.

a) DéterminerdpourN=3899.

b) DanslecasgénéraloùN<4200,rechercherl’ensembledescouples(N,d)possiblesdanscettedivisioneuclidienne.Justifierlesréponses.

2) Danscettequestion,r=112.DanslecasgénéraloùN<4200,rechercher l’ensembledescouples(N,d)possiblesdanscettedivisioneuclidienne.Justifierlesréponses.

3) Discuter,selonlavaleurder,l’existencedecouples(N,d)danscettedivisioneuclidienne.



PARTIEB:analysedeproductiond’élèvessurlesnotionsd’aireetdepérimètre(6points)Lesdeuxproductionssuivantes(élèven°1etélèven°2)sontextraitesdescahiersd'évaluationnationalededébut6e.Lescompétencesévaluéessont:

‐ Mesurerl’aired’unesurfacegrâceàl’utilisationd’unréseauquadrillé.‐ Calculerlepérimètred’unpolygone.‐ Différencier aire et périmètre (en particulier savoir que deux surfaces peuvent avoir le même

périmètresansavoirnécessairementlamêmeaire).‐ Formuleretcommuniquersadémarcheparécrit.‐ Argumenteràproposdelavaliditéd’unesolution.

1) PourlacomparaisondesairesetdespérimètresdesparcellesAetBdel’évaluation:

a) donnerunesolutionutilisantdesmesures(valeursnumériques),

b) donnerunesolutionn’utilisantpaslesmesures.

2) Commentpeut‐onexpliquerquelesélèvesprivilégientlessolutionsnumériques?

3) Commentinterpréterlesréponsesdel’élèven°1?

4) Commentinterpréterlesréponsesdel’élèven°2?



Élèven°2



TROISIEMEPARTIE(14points)Analysedesituationsdeclasseenmaternelle

PARTIEA–DénombrerdescollectionsUnélèvedeGrandeSection,enfind’année,estconfrontésuccessivementauxdeuxtâchessuivantes:Tâche A :Untasd’unevingtainedejetonsestdevantlui.Onluidemandecombienilyadejetons.Tâche B :L’élèvereçoitunebarquette;lemaîtreditàl’élèved’allerchercherdouzejetonsdanslaréserveetdelesrapporterdanssonpanier.

1) Pourchacunedecestâches,décrireuneprocédureutilisantlacomptinenumériquepermettantderéaliserlatâche.

2) CettequestionportesurlatâcheA.Décriredeuxerreursqu’unélèvepeutfaireendénombrantparcomptagelavingtainedejetonsquiestdevantlui.

3) La tâche B est plus complexe que la tâche A. En s’appuyant sur les procédures décrites dans laquestion1,donnerunargumentpermettantdejustifiercetteaffirmation.

PARTIEB–VariationsautourdelatâcheADanscettepartie,certainesvaleursdesvariablesdelatâcheAvontêtremodifiées.Ilvas’agird’analyserleseffetsdeceschangementsdevaleursurlesprocéduresdesélèves.

1) Letasdejetonsproposécontientmoinsdequatrejetons,quelleautreprocédurepeututiliserunélèvedanscecas?

2) Le nombre de jetons proposé:12. Par ailleurs, les jetons ne sont pas présentés en tas, maisorganiséssurlatabledel’élèvecommeci‐dessous:

Quelleprocédure,différentedecelledécriteenquestion1,peutalorsêtreutiliséeparunélèvepourréaliserlatâche?

3) Onremplaceletasd’unevingtainedejetonsparunecollectiond’unevingtainedepointsdessinéesurunefeuilleetnonorganisée.Enquoicelapeut‐ilobligeràmodifieruneprocédurepossibledanslecas1?

PARTIEC–VariationsautourdelatâcheBDanscettepartie,certainesvaleursdesvariablesdelatâcheBvontêtremodifiées.Ilvas’agird’analyserleseffetsdeceschangementsdevaleursurlesprocéduresdesélèves.

1) Aulieudedireàl’élèvederamenerdouzejetons,lemaîtredonneàl’élèveunecarteconstellationreprésentantunecollectiondedouzeélémentsorganiséeainsi:

etluidemandederapporterautantdejetonsquedepointsreprésentéssurlacarte.

Décrireuneprocédure,différentedecelledécritedanslaquestion1,quel’élèvepeututiliserpourréaliserlatâche.

2) Le maître place dans un sac des cartes sur lesquelles sont inscrites les écritures chiffrées desnombresjusqu'à15.Unélèvepiochedanslesaclacarte«12»etdoitapporterautantdejetonsquelenombreinscritsurlacarte.Quelleconnaissancelemaîtresouhaite‐t‐ilévaluer?



PARTIED–Variationsautourdelatâche«Comparerdesquantités»Dans cette partie, il va s’agir d’identifier différentes procédures non numériques et numériquespermettantdecomparerdesquantités.Onconsidèredeuxcollectionsde jetonsque l’ondésirecomparer.Lesdeuxcollectionscomportentunequinzainedejetons.Unecollectionestcomposéedejetonsbleus,l’autredejetonsrouges.

1) Donner une procédure non numérique permettant de réaliser cette tâche lorsque les collectionssontproches(surunemêmetableparexemple).

2) Donneruneprocédurepermettantderéalisercettetâchelorsquelescollectionssontéloignées(surdeuxtablesséparées).

3) Ci‐aprèssontprésentéssixitemsportantsurlacomparaisondecollectionsselonleurquantité.Cesitemssontdonnéssurfeuille.Parunjeusurlesvaleursdesvariablesdelasituation,chaqueiteminduituneprocéduredecomparaisondifférentedesautres.

Pour chaque item, décrire la procédure de comparaison induite et expliquer quelle valeur desvariablesdelasituationfavorisecetteprocédure.

CRPEgroupement1–avril2014(corrigépage116)


GROUPEMENT1–avril2014

PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)Dansceproblème,ons’intéresseàdifférentesméthodesdecalculoud’estimationdel’airedecertainsquadrilatères.

PARTIEA:ChezlesMayasLescivilisationsanciennesutilisaientdiversprocédéspourestimerlesairesdeschamps.LesMayas,parexemple,estimaientl'aired'unquadrilatèreencalculantledemi‐produitdeslongueursdesdiagonales.

Aire≈

1) JustifierquecetteestimationMayadonnelavaleurexactedel’aired’uncarrédecôtéa.

2) Onconsidèreunrectangledelongueur4cmetdelargeur3cm. LaformuleMayadonne‐t‐ellelavaleurexactedel’airedecerectangle?

PARTIEB:ChezlesIndiensOn dit qu’un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si ses quatre sommets sont des points de cecercle.C’estlecasduquadrilatèreci‐dessous.

Brahmagupta, mathématicien indien du VIIe siècle, a établi une formule donnant l’aire d’un telquadrilatèrelorsqu’ilestnoncroisé:

oùa,b,c etd sontleslongueursdescôtésduquadrilatèreetp estsondemi-périmètre.

1) Étuded’uneconfigurationparticulière

a) ConstruireuncercleΓetdeuxpointsAetCdiamétralementopposéssurcecercle.PlacerunpointBsurlecercleΓdistinctdespointsAetC.ConstruirelepointD,symétriquedupointBparrapportàladroite(AC).Laisser apparents les traits de construction.

b) JustifierquelequadrilatèreABCDestinscriptibledanslecercleΓ.



c) Exprimerl’aireduquadrilatèreABCDenfonctiondeslongueursABetBCenutilisantlaformuledeBrahmagupta.On admettra que le quadrilatère ABCD est non croisé.

d) Retrouverl’expressionprécédentedel’aireduquadrilatèreABCDparuneautreméthode.

2) Étuded’uneautreconfigurationparticulière:lerectangle

a) Justifierqu’unrectangleestinscriptibledansuncercle.

b) Àl’aidedelaformuledeBrahmagupta,retrouverl’expressionusuelledel’aired’unrectangledelongueurL etdelargeurl.

PARTIEC:Àl’èredutableurOns’intéresseàl’airedesrectanglesdontlepérimètreest14cm.Onnotex lamesureencmd’undescôtésd’untelrectangle.LafonctionAquiàx associel’aireA(x)encm²durectangleestreprésentéeci‐dessous.

1) Pourquoiselimite‐t‐onàdesvaleursdex comprisesentre0et7?

2) ÉtudegraphiqueRépondreauxquestionssuivantes,parlecturedelareprésentationgraphiquedelafonctionA.

a) Quellessontlesdimensionsd’unrectangledepérimètre14cmetd’aire10cm²?

b) Encadrerpardeuxnombresentiersconsécutifs lavaleurdex pourlaquelle l’airedurectanglesemblemaximale.

c) Encadrerpardeuxnombresentiersconsécutifslavaleurdel’airemaximaledurectangle.



3) Poursuitedel’étudeàl’aided’untableur

a) Proposeruneformulequi,entréedanslacelluleB2etrecopiéeversladroite,apermisd’obtenirlesvaleursdeA(x)surlaligne2.

b) À partir du tableau ci‐dessus, améliorer l’encadrement de la valeur de x obtenu par lecturegraphiqueàlaquestion2) b).Donneralorsuneestimationdelavaleurdel’airemaximale.

4) Déterminationdesvaleursexactes

a) Justifierquepourtoutxdel’intervalle[0;7],ona

b) Pourquellevaleurdexl’aireA(x)est‐ellemaximale?Justifier.

QuelleestlavaleurmaximaledeA(x)?

c) Quepeut‐ondiredurectangledepérimètre14cmetd’airemaximale?



DEUXIEMEPARTIE(13points)Cettepartieestcomposéedequatreexercicesindépendants.

Exercice1Lecrossducollègeaeulieu.200élèvesdetroisièmeontfranchilaligned'arrivée.Voicilesindicateursdesperformancesréaliséesenminutes.

MinimumPremierquartile

MédianeTroisièmequartile

Moyenne Étendue

12,5 14,8 15,7 16,3 15,4 4,2

Répondreauxquestionssuivantesenjustifiant.

1) Quelleestlaperformanceenminutesdudernierarrivé?

2) Quelleestlasommedes200performancesenminutes?

3) Ariane est arrivée treizième.Donner l’encadrement leplusprécispossiblede saperformanceenminutes.

4) L’affirmationsuivanteest‐ellevraie? Affirmation:Plusde50%desélèvesontmisuntempssupérieurautempsmoyen.

Exercice2Indiquersilesaffirmationssuivantessontvraiesoufaussesenjustifiantlaréponse.Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.

1) Affirmation 1 : Lasommedecinqnombresentiersconsécutifsestunmultiplede5.

2) Affirmation 2 : Lasommedesanglesd’unpentagoneconvexeestégaleà540°.

3) Ondisposedupland’unemaisonàl’échelle1/50.Affirmation 3 : Lesairessurleplansont50foispluspetitesquelesairesréelles.

4) Shéhérazadecommenceàlireunconteunlundisoir.Ellelit1001nuitsconsécutives.Affirmation 4 : Elletermineraundimanchesoir.

Exercice3Pours’entraîner,uncyclisteeffectueunparcoursaller‐retourentredeuxvillesAetBdistantesde45km.IlpartdelavilleAà9h30etonconsidèrequ’àl’aller,ilrouleàunevitesseconstantede30km/h.Aprèsunreposd’uneheure,ilrepartdelavilleBetcettefois‐cirejointlavilleAàlavitesseconstantede50km/h.

1) Àquelleheurearrive‐t‐ilàlavilleB?

2) ReprésentergraphiquementladistanceentrelecyclisteetlavilleAsurl’intégralitéduparcours.Onplaceraenabscisse l’heurede la journéeet enordonnée ladistanceentre le cyclisteet la villeAexpriméeenkm.

3) Àquelleheureest‐ilderetouràlavilleA?Donnerlerésultatenheuresetminutes.

Exercice4Onconsidèreundéàquatrefacesenformedetétraèdrerégulier.Sesquatrefacessontnumérotéesde1à4.Lerésultatd’unlancerestlenombreindiquésurlafacesurlaquellereposeledé.Ledéestsupposééquilibré.

1) Onalancéledésixfoisetobtenulasériederésultats:1;2;4;1;1;2.Au 7e lancer, la probabilité d’obtenir le nombre 1 et celle d’obtenir le nombre 3 sont‐ellesdifférentes?

2) Onlanceledédeuxfoisdesuite.

a) Quelleestlaprobabilitéd’obteniruneseulefoislenombre1lorsdecesdeuxlancers?

b) Quelleestlaprobabilitéquelenombreobtenuaudeuxièmelancersoitstrictementsupérieuraunombreobtenuaupremierlancer?



TROISIEMEPARTIE(14points)Cettepartieestcomposéededeuxexercicesindépendants.

EXERCICE1Unenseignantproposeunjeudebatailleàsesélèvesdematernelle.Il utilise un jeu de cartes représentant les nombres de 1 à 6. Voici douze cartes extraites du jeu: parexemple,lapremièrecarte(enhautàgauche)représentelenombre3etladernièrecarte(enbasàdroite)représentelenombre5.

«Verslesmaths,Maternellemoyennesection»p130et131,EditionACCES,2009.

Voicilarègledujeu:

Deuxélèvess’opposent.Lescartessontbattuespuisdistribuées,puischacundesdeuxélèvesposesescartes,àl’envers,entasdevantlui.Ils retournent chacun une carte: celui dont la carte représente le nombre le plus grandremportelesdeuxcartesetlesmetsoussontas.Encasd’égalité,chaqueélèveretourneunenouvellecartesurlatable.Celuidontlanouvellecartereprésentelenombreleplusgrandremportetouteslescartesretournéessurlatable.Àlafin,celuiquin’aplusdecarteaperdu.(Onpeutaussiarrêter le jeuauboutd’uncertain tempsetcompter lescartesdechacundesdeuxélèves:celuiquialeplusdecartesagagné).

1) Citerdeuxcompétencesmathématiquestravailléesparlesélèveslorsdecejeudebataille.

2) Pourchaquecompétencecitéeenréponseàlaquestion1),donnerdeuxcausespossiblesd’erreurs.

3) L’enseignantpeututiliserunautrejeudecartesreprésentéci‐dessous:

Comparer les intérêts respectifs de chacun des jeux au regard des deux compétences citées enréponseàlaquestion1).

EXERCICE2

A. EnclassedeCM1,unenseignantproposeenapplicationdelaleçonsurlesnombresdécimauxlesdeuxexercicessuivants:Exercice1 Calcule les sommes suivantes : 0,3 + 0,8 1,3 + 0,12

Cadren°1

Exercice2 Range dans l’ordre croissant les nombres décimaux suivants : 5,100 5,6 5,03

Cadren°2



1) Voicilesréponsesd’unélèveàl’exercice1:

0,3+0,8=0,111,3+0,12=1,15

Cadren°3

Àpartirdecesréponses,indiquercequecetélèvesemblemaîtriseretcequ’illuiresteàtravailler.

2) Voicilaréponsed’unélèveàl’exercice2:5,03<5,6<5,100

Cadren°4

a) Quellereprésentationerronéedesnombresdécimauxpourraitêtreàl’originedel’erreurdecetélève?Justifier.

b) Quelledésignationoraledesnombres5,03 ; 5,6 et5,100 l’enseignantpourrait‐il utiliserpouraiderlesélèvesàseconstruireunebonnereprésentationdesnombresdécimaux?

B. EnclassedeCM2,unautreenseignantproposel’exercicederéinvestissementsuivant:

Cadren°5

Extraitdumanuel«PourcomprendrelesmathématiquesCM2»,Hachette2005.

1) Quelledéfinitiond’unnombredécimalpeut‐ondonneràl’écoleélémentaire?

2) Unélèveaffirmequelasommededeuxnombresdécimauxnepourrajamaisêtreunnombreentier.Comment l’enseignantpeut‐ilutiliser le supportde l’exerciceducadren°5 pour luiapporteruneréponsejustifiée?

3) Un autre élève se demande si la somme de deux nombres décimaux est toujours un nombredécimal.Quelleréponseargumentéel’enseignantpeut‐illuiapporter?

4) Pourprolonger l’activité, l’enseignantdemandeauxélèvesdeplacer lenombre1,07sur ladroitegraduéedel’exerciceci‐dessus.

Citerdeuxintérêtsqu’ilpourraityavoiràprolongerainsil’activité.




PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)AlbertpartdanslesAlpesAutrichiennes,danslamythiquestationdeskideKitzbühel.

Suivons‐ledanssonpéripleetsesdiversesactivités.

PARTIEA:La montée à la stationSurlederniertronçonderoutemontantàlastationenlignedroite,Albertavuunpanneausignalantunepente constante de 25%. La pente est le rapport entre le dénivelé et le déplacement horizontal(théorique).

Ainsiunepentede25%indiqueundéniveléde25mpourundéplacementhorizontalde100m.

Lafiguren’estpasàl'échelle

Onnoteαl'anglequelarouteformeavecl'horizontale.Cetangleestappelél'inclinaisondelaroute.

1) Calculer,audegréprès,l'inclinaisonduderniertronçondelarouteempruntéeparAlbert.

2) Cetronçonderoutepermetdes'éleverde145m.Calculersalongueur,aumètreprès.

PARTIEB:Ski sur la StreifSitôtarrivé,AlbertdécidededévalerlapisteappeléeStreif,réputéelaplusdifficileaumonde.

Voiciquelquescaractéristiquesdecettepiste:• Longueurtotale:3312m• Pentemaximale:85%• Penteminimale:5%• Dénivelé:862m

1) Albert s'élance dans la descente à 14h 58min 47s et termine la descente à 15h 03min 08s.Calculersavitessemoyennedurantcettedescente,enkm/h,arrondieaudixième.

2) Lemeilleurskieurdelastationaréaliséladescenteàlavitessemoyennede100km/h.S'ils'était lancédans ladescenteaumêmeinstantqu'Albert,combiendetempsavant luiserait‐ilarrivé?

PARTIEC:Saut sur la StreifLorsdesadescentedelaStreif,Alberteffectueunsaut.On admet que la hauteur du saut d'Albert par rapport au sol de la piste s'exprime en fonction dudéplacementhorizontal,x,parlafonctionSsuivante:

S: ⟼2,5

etS( )étantexprimésenmètre.

routedénivelé

déplacementhorizontal



1) Calculerl'imagede10parlafonctionS.Interprétercerésultatencequiconcernelesautd'Albert.

2) OnatracélacourbereprésentativedecettefonctionS.

a) Quereprésente,pourAlbert,lavaleur55surl'axedesabscisses?

b) Déterminer graphiquement quelle a été la hauteur maximale du saut d'Albert. À queldéplacementhorizontalcettevaleurcorrespond‐elle?

3) À l'aide de l'expression de la fonction S, retrouver, par le calcul, la hauteur maximale du saut d'Albert.

PARTIED:TiràlacarabineAlbertobserveensuiteunentraînementautiràlacarabinesurunecible.La cible est constituée de trois disques concentriques derayonsrespectifs5cm,10cmet15cm,commeschématiséci‐contre.

Undébutanttouchelacibleunefoissurdeux.Lorsqu'ilatteint lacible, laprobabilitéqu'ilatteigneunezonedonnéeestproportionnelleàl'airedecettezone.

1) Untireurdébutanttouchelacible.Quelleprobabilitéa‐t‐il d'atteindre la couronne extérieure (partiequadrillée)?

2) Un tireur débutant va appuyer sur la détente. Quelleprobabilité a‐t‐il de toucher la cible et d'atteindre soncœur(partienoire)?

Lesmesuresdesrayonsci‐dessussontencentimètres.




Exercice1EnclassedeCM2,unprofesseurproposel'exercicesuivant:

Mathis a effeuillé des fleurs à 5 pétales en disant «j'aime les maths... un peu..., beaucoup...,passionnément..., à la folie». Il a ôté 83 pétales en tout. Il n'est passé à la fleur suivante quelorsqu'ilavaitcomplètementeffeuillélafleurprécédente.

Combiendefleursa‐t‐ileffeuilléesentotalité?Surladernièrefleurqu'ilaeffeuillée,reste‐t‐ildespétales?

1) Dequelleopérationmathématiqueceproblèmerelèvet‐il?

2) Proposertroisprocédurespossiblespourrépondreàlaquestionposée.

Exercice2EmmaproposeàsonamiJulesdeluidonnersesbonbonsàlaconditionqu'iltrouveexactementcombienelle en a. Emma lui dit qu'elle amoinsde100bonbons et que lorsqu'elle les regroupepar deux, trois,quatre,cinqousix,illuienrestetoujoursun.

1) CombienEmmaa‐t‐elledebonbons?Justifierlaréponseenexplicitantladémarcheutilisée.

2) Pour vérifier sa réponse, Jules décide d'utiliser un tableur. Pour cela, il utilise la fonction MOD(nombre;diviseur),quidonnelerestedeladivisioneuclidiennedunombreparlediviseur.

JulesaprévudecalculerencolonnelesrestesdeladivisioneuclidiennedesnombresdelacolonneApar2,3,4,5et6.

a) Parmilesformulessuivantes,enchoisirunequipourraitêtreinséréedanslacelluleB2etquipourrait,enétantétendueverslebas,complétercorrectementlacolonneB:

= MOD (1 ; 2) = MOD (A2 ; B1) = MOD (A2 ; 2)= MOD (1 ; B1) = MOD (A2 ; B$1) = MOD (2 ; 1)

b) Jules a rempli de la même façon le reste du tableau. Comment peut-il l'utiliser pour résoudre ce problème ?

Exercice3Oneffectueàlacalculatricelescalculsci‐dessous: 1232–1222–1212+1202=4 452–442–432+422=4

1) Tester ce résultat surprenant sur une autre série de quatre nombres consécutifs et émettre uneconjecture.

2) Prouverquelaconjecturefaiteprécédemmentestvraie.



Exercice4SoitABCDEFGHuncubedecôté12cm.OnnoteIlemilieude[AB],Jceluide[BC],Kceluide[CD],Lceluide[AD]etMceluide[AE].

1) DémontrerqueIJKLestuncarré.

2) Calculerl'aireducarréIJKL(encm2).

3) AILMestunepyramideàbasetriangulaire.Calculerlevolumedecettepyramide(encm3).

Rappel:volumed’unepyramide=3

1×airedelabase×hauteur

4) On ôte au cube en chacun de ses huit sommets une pyramide identique àAILM pour créer unnouveausolide.Vérifierquelevolumedecenouveausolideest1440cm3.



TROISIEMEPARTIE(14points)Laproportionnalitéavecdesélèvesdecycle3.

Unenseignanttraitelaproportionnalitéavecdesélèvesdecycle3.

PARTIEAL'enseignants'interrogesurl'énoncéd'unexercice,pourlequelunephrase(notée[...])resteàpréciser:

PourunevisiteduChâteaudeVersailles, lacoopérativescolairedoitpayer105€pouruneclassede25élèvesdeCE1.Maisungroupede20élèvesdeCE2se jointfinalementàcetteclasse.[...]Combienlacoopérativedevra‐t‐ellepayerentout?

1) Proposerunephrasecomplétantl'énoncépourquecettesituationsoitsansambiguïtéunesituationdeproportionnalité.

2) Proposer une phrase complétant l'énoncé pour que cette situation ne soit pas une situation deproportionnalité.

PARTIEBL'enseignantpropose l'institutionnalisationde laproportionnalité ci‐dessous àpartirde celleproposéedanslemanuel«Outilspourlesmaths»‐CM1–Magnard–édition2011:

1) Quellepropriétécaractéristiquedelaproportionnalitéletraitementdel'exemple1illustre‐t‐il?

2) Quellepropriétécaractéristiquedelaproportionnalitéletraitementdel'exemple2illustre‐t‐il?

3) Danscetextraitdemanuel, l'expression«rapportentre lesnombres»désignedansletraitementdesexemples1et2,descoefficientsjouantdesrôlesdifférents.Explicitercesdifférentsrôles.

4) Quelle propriété caractéristique de la proportionnalité est utilisée dans le traitement del'exemple3?Donneruneautrefaçondemettreenévidencequelasituationn'estpasunesituationdeproportionnalité,faisantappelàuneautrepropriétécaractéristique.



PARTIECL'enseignantproposeunautreexercice:

Lorsquejefaisunemousseauchocolatpour8personnes,j'utilise6œufs.Quandjefaisunemousseauchocolatpour12personnes,j'utilise9œufs.Combienfaudra‐t‐ild'œufssijefaisunemousseauchocolatpour20personnes?

Analyser les quatre productions des élèves ci‐dessous, en précisant les propriétés mathématiquesimplicitementmobilisées.

PARTIEDL'enseignantproposeundernierexercice:

Dansuneville,ilyadeuxmédiathèques.Le service culturel de cettemunicipalité effectueun recensementdes fondsd'ouvragesdechaqueétablissement.Àcettefin,lesdocumentalistesontrelevélesélémentssuivants: ‐àlamédiathèqueJeanJAURÈS,onpeuttrouver5000ouvragesdont40%deromans; ‐àlamédiathèqueGeorgeSAND,onpeuttrouver4000ouvragesdont60%deromans.Calculerlepourcentagederomansauseinduservicecultureldelaville.

1) Pourquoi cet exercice s'inscrit‐il dans une séquence d'apprentissage traitant de laproportionnalité?

2) Après une phase de recherche individuelle, l'enseignant organise une phase de mise en commun. Paul dit : « J'ai trouvé 50% parce que c'est exactement entre 40% et 60% ».

a) Quelle erreur de raisonnement Paul commet-il ?

b) Par quel nombre faudrait-il remplacer 5000 pour que 50% soit la bonne réponse ? Justifier la réponse.




PREMIEREPARTIE:PROBLÈME(13points)Ceproblèmeestcomposédetroispartiesindépendantes.

PARTIEA:Optimisationduvolumed’unmouleOnfabriqueunmouledepâtisserie(sanscouvercle)dansuneplaquedemétalcarréedecôté10cmendécoupantunpetitcarrédanschaquecoinpuisenpliantcommesuit:

1) Parmilesquatregraphiquesci‐dessous,quelestceluiquireprésentelevolumedumoule(encm3)obtenuenfonctiondelalongueurdescôtésdescarrésdécoupés(encm)?Justifier.

2) Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs la longueur du côté qui permetd’obtenirlevolumemaximal.



PARTIEB:Optimisation de la disposition desmoules sur les plaques decuissonLesmoules finalement choisis ont une forme de pavé droit de base carrée de côté 7cm et de hauteur1,5cm.Unfourprofessionnelestcomposédequatreplaquesdecuissonrectangulairesde40cmpar70cm.Lepâtissierveutdisposersesmoulesenlignesetencolonnescommesurlafigureci‐dessousenlaissantaumoins1cmentredeuxmoulesetaumoins1cmentrelesmoulesetleborddesplaques.

Combiendemoulespourra‐t‐ilplacersuruneplaque?Justifier.

PARTIEC:OptimisationducoûtduchocolatUnparticulieraprévuderecevoirdix‐septpersonnesetveutfaireuneganacheauchocolat.Lepâtissierluiadonnésarecette.Voicilalistedesingrédientspourquatrepersonnes:«25cLdecrèmefraîcheépaisse,1cuillèreàsoupedesucre,50gdebeurreet200gdechocolat».

1) Quellemassedechocolatdoit‐ilprévoirpoursaréception?

2) Ilarelevélesinformationssuivanteschezuncommerçant:

TabletteChocolat

DégustationChocolatSaveur

ChocolatPâtissier

ChocolatIntense

ChocolatÀcuisiner

Prixd’unetablette(en€) 2,10 2,80 2,62 1,36 2,81

Quantitépartablette(eng)

150 200 200 100 200

a) Queltypedetablettesdechocolatdoit‐ilacheters’ilveutdépenserlemoinspossibleenachetantunseultypedetablettes?Justifier.

b) Chezlecommerçant,lestablettesdetype«ChocolatDégustation»sontenpromotionavecuneréductionduprixde5%.Choisircestablettesdevient‐ilplusavantageux?Justifier.


Exercice1Danscetexercice,cinqaffirmationssontproposées.Pourchacune,diresielleestvraieousielleestfausse,puisjustifierlaréponse.Uneréponseexactemaisnonjustifiéenerapporteaucunpoint.Uneréponsefaussen’enlèvepasdepoint.

1) Affirmation 1 :Plusl’aired’unrectangleestgrande,plussonpérimètreestgrand.

2) Pourrempliruncubede1md’arête,ilfautexactement40sacsdeciment.Affirmation 2 : Ilfautexactement5sacspourrempliruncubede50cmd’arête.



3) AetB sontdeuxnombres entiers strictement inférieurs à 100dont les écritures à deux chiffresutilisentlesmêmeschiffresdansl’ordreinverse.Comme,parexemple,21et12oubien40et04.Affirmation 3 :LenombreA+Bestdivisiblepar11.

4) Lamassed’unoursonbaissede30%pendantl’hiverpuiselleaugmentede30%auprintemps.Affirmation 4 : Finalement,àlafinduprintemps,l’oursonaretrouvélamassequ’ilavaitendébutd’hiver.

5) Unverreestassimiléàuncônederévolution. Ilestrempliàmi‐hauteur. Affirmation 5 : Levolumeduliquidereprésentelequartduvolumetotalduverre.

Exercice2Voicilaformuledel'énergiecinétiqued’unobjet:

12

danslaquelle désignel’énergiecinétiqueenjoule(J); désignelamassedel'objetenkilogramme(kg);désignelavitessedel'objetenmètreparseconde(m/s).

1) Calculer l’énergie cinétique en joule pour un camion d’une tonne qui roule à une vitesse de100km/h.

2) L’énergiecinétiqueest‐elleproportionnelleàlavitesse?Justifier.

Exercice3

1) Onsupposequ’unnouveau‐nésurdeuxestungarçon.Calculerlaprobabilitéd'avoirdeuxgarçonsdansunefamilleayantdeuxenfants.

2) Une étude statistique de suivi des naissances a été menée dans une ville. On en a extrait ledocumentsuivant.Quelslienspeut‐onfaireentrecegraphiqueetlaréponseobtenueàlaquestion1)?



Exercice4Letriathlonolympiqueestunedisciplinesportivequiconsisteàenchaînertroisépreuves:

1reépreuve:1,5kmdenatation, 2eépreuve:40kmdecyclisme, 3eépreuve:10kmdecourseàpied.

Unentraineurdeclubarécapitulélesperformancesdesesathlèteslorsd’unecompétitiondanslafeuilledecalculci‐dessous.

1) a)Quelleformulepeut‐ilavoirsaisiedanslacelluleE9etétiréejusqu’enE13?

b) Quelleformulepeut‐ilavoirsaisiedanslacelluleB14etétiréejusqu’enD14?

2) Quelleestlavitessemoyenne,enkm/h,del’athlète1surl’ensembledestroisépreuves?



TROISIEMEPARTIE(14points)Analysed’exercicesproposésàdesélèvesetdeproductionsd’élèvesrelevantdelamaîtrisedela

multiplication(sensettechniqueopératoire)

PARTIEA:encycle2Dans cette partie, on considère une classe de CE1 dont tous les élèves connaissent les tables demultiplicationpar2,3,4et5.L’enseignantsouhaiteproposerlesdeuxexercicesci‐dessousetils’interrogesurlesvaleursnumériquesàchoisirpourcompléterlesénoncés.

Énoncé1.Legoûter? enfantssontréunispourgoûter.Chaqueenfantreçoit4bonbons.Combiendebonbonsa‐t‐ondonnés?

Énoncé2.LesaimantsUnemaîtresseveutafficherdesimagesdanslaclasse.Elledisposede36aimants.Elleabesoinde ? aimantspourchaqueimage.Quelestleplusgrandnombred’imagesqu’ellepeutafficher?

1) L’enseignantpropose l’énoncé1dansunpremier tempscomplétépar«3 enfants»puisdansunsecondtempscomplétépar«23 enfants».Indiquer en quoi ces deux choix sont susceptibles d’induire des procédures différentes chez lesélèves.

2) L’enseignantproposel’énoncé2dansunpremiertempscomplétépar«4 aimants»puisdansunsecondtempscomplétépar«3 aimants».Indiquer en quoi ces deux choix sont susceptibles d’induire des procédures différentes chez lesélèves.

PARTIEB:encycle3UnenseignantdeCycle3adonnéleproblèmeci‐dessousàsesélèves.

Un entrepreneurdoit expédier27 colisàun client. Iladeuxpossibilitéspour faire livrer lescolis: ‐parbateau,enmettanttouslescolisdansuncontainer; ‐parlaroute,enmettanttouslescolisdansuncamion.Leprixdutransportd’uncontainerparbateauest420euros,maisl’entrepreneursaitque,s’ilutilisecemodedetransport,alorsilpourrapartagerpourmoitiélecoûtde420eurosavecunautreentrepreneur.Leprixdutransportparcamionestde8eurosparcolis.Quelmodedelivraisonseralepluséconomique?

Voicilestravauxdetroisélèves:



1) ÉtudedelaproductiondeLucie

Quelle(s) propriété(s) des opérations utilise-t-elle implicitement ?

2) Étudedelaproductiond’Adèle

a) Indiquer trois connaissances et compétences correctement réinvesties dans le domaine de la résolution de problème ou dans celui de « nombres et calcul ».

b) Indiquer les erreurs commises.

3) ÉtudedelaproductiondeNoémie

a) Indiquer trois connaissances et compétences correctement réinvesties dans le domaine de la résolution de problème ou dans celui de « nombres et calcul ».

b) Indiquer les erreurs commises.

PARTIEC:«PerGelosia»Unmaîtreproposeàsesélèveslapratiquedel’algorithmedemultiplication«PerGelosia»pourlecalculde32 45.Ilutiliselafichedepréparationreproduitesurlapagesuivante.

1) Retrouver le résultat par un calcul en ligne du produit 32 45 utilisant la distributivité de lamultiplicationparrapportàl’addition.

2) Expliquer pourquoi l’algorithme «Per Gelosia» garantit que le chiffre des unités de la somme8+1+5estlechiffredesdizainesduproduit32 45.

3) Comment obtient‐on le nombre des centaines du produit 32 45 dans le cadre de l’algorithme«PerGelosia»?Justifier.

4) Enutilisantl’algorithme«PerGelosia»,poseretcalculer642 475.



Fichedepréparationdel’enseignant

Lamultiplication«PerGelosia»

Dessineruncarréetplacerlesnombresàmultiplier.

Reporterdansunepremièrecaseleproduitdesdeuxnombresécritsenboutdesa ligneetdesacolonne(ici3 4).Dizainesetunitéssontécritesdepartetd’autredeladiagonale.

Remplir toutes les cases du tableau selon lemêmeprincipe.

Additionner les nombres figurant sur chaquediagonaleencommençantenbasàdroiteducarré.Écrirelesrésultatsenregardàl’extérieurdutableauenrecourantsinécessaireàuneretenue.

32×45=1440

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SEPT SUJETS COMPLETS - ARPEMEDans cet exercice, la Terre est assimilée à une sphère de centre A de rayon 6370 km. La figure 1 ci‐dessous représente une partie d’une vue en