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Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4
Cours 3MA2DF02 Serie distribuee le 10.10.2017
1. Probleme.Ecrire les vecteurs (voir figure 1)
−→AB,
−→AC,
−−→AD,
−→AE,
−→AF,
−→AG,
−−→AH,
−−→AM,
−→AS,
−→AR,
−−→AK,
comme combinaisons lineaires des vecteurs de B pour
(1) B = {−→AB,
−−→AD,
−→AE}
(2) B = {−−→CM,
−−→CD,
−→CR}
Figure 1. Exercice 1 (Dessin: J. Grote)
2. Simplifications.Simplifier au maximum (voir figure 2)
(1)−→AB +
−→FG (2)
−→AG+
−−→CD
(3)−−→EB +
−→CA (4)
−−→AH +
−−→EB
(5)−−→EH +
−−→DC +
−→GA (2)
−→AB +
−−→BH +GF
3. Parallelogrammes.On donne trois points A, B et C. Calculer les coordonnees du sommet D du parallelogrammeABCD, celles des milieux M , N , P et Q des cotes [AB], [BC], [CD] et [DA] respectivement,ainsi que celles des centres de gravite G1 et G2 respectifs des triangles ABC et CDA.
1) A = (−4; 1; 3) B = (4; 3; 6) C = (4;−6; 3)
20172018MaTheX - http://www.mathex.net (page 1/6)
Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 2/6)
4. Droites.On donne une droite d par la representation parametrique: P = {A+λ~v |λ ∈ R}, ou A = (5; 2; 3)et ~v = (−1; 3; 3). Le point Q appartient-il a la droite d ?
1) Q = (6;−10;−8)
5. Droites.Trouver une representation parametrique et donner des equations cartesiennes de la droite
(1) qui passe par A = (1; 2; 3) et a pour vecteur directeur ~v = (0;−2; 2)
(2) qui passe par A = (2; 3; 5) et B = (1; 5; 7)
(3) qui passe par A = (8; 6;−12) et parallele a la droite [BC] ou B = (4; 0;−2) et C =(5;−2; 3)
6. Distance.Calculer la distance du point P a la droite d(A,~v) pour:
1) P = (1; 2; 2) A = (1;−1; 2) ~v = (1; 1; 1)
2) P = (3; 1; 4) A = (1; 0; 0) ~v = (1; 2;−1)
7. Traces.Determiner les traces des droites suivantes:
1)
xyz
=
1−3
3
+ λ
11−3
2)
xyz
=
259
+ λ
053
8. Droites.
Determiner la position relative des droites suivantes, la distance des deux droites ou le pointd’intersection et l’angle aigu des deux droites
1) d1 :
x = −3λ− 2y = 8λ+ 10z = −5λ− 2
d2 :
x = 3µ+ 5y = −2µ+ 1z = 2µ+ 13
2) d1 :
xyz
=
08−7
+ λ
12−2
d2 :
xyz
=
−907
+ µ
31−4
Figure 2. Exercice 2 (Dessin: J. Grote)
Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 3/6)
3) d1 passe par les points A =
753
et B =
917
d2 passe par les points P =
313−5
et Q =
019−11
9. Droites tangentes.
Pour quels nombres reels a et b le graphe de la fonction f(x) = x3 +ax2 +bx admet-il une tangentehorizontale au point (1, 1) ?
10. Droites tangentes.Pour quels nombres reels a et b la courbe d’equation y = x3 + ax2 + bx admet-elle pour tangente,au point d’abscisse (i.e. de coordonnee horizontale) −1, la droite d’equation y = x+ 4 ?
11. Droites tangentes.Quels sont les points de la courbe d’equation y = x3 +x2 en lesquels la tangente passe par l’origine?
12. Droites tangentes.
(1) Trouver les equations de toutes les droites tangentes au graphe de la fonction f(x) =4− x2 + x4 passant par le point P = (0, 4)
(2) Meme question pour le point P = (0, 0).
13. Jeu video.Sur l’ecran d’un jeu video que montre la figure 3, on peut voir des avions qui descendent de
gauche a droite en suivant la trajectoire d’equation y = 2x+1x
et qui tirent des balles selon latangente a leur trajectoire en direction des cibles placees sur l’axe 0x aux abscisses 1, 2, 3, 4 et 5.
(1) Une cible sera-t-elle touchee si le joueur tire au moment ou l’avion est en P = (1; 3) ?(2) Meme question si P = (3
2; 8
3).
(3) Determiner les positions de l’avion permettant d’atteindre chacune des cibles.
14. Ombre. Une source lumineuse se trouve a 10 metres d’un mur vertical. Notre amiBernard, qui fait 1.8 m, s’approche de cette source lumineuse a la vitesse de 0.5 metres parseconde (voir figure 4). A quelle vitesse se deplace l’ombre de sa tete sur le mur ?
15. Continuite.Determiner une solution approchee a 0.01 pres dans l’intervalle prescrit de l’equation
1) cos(x)− x = 0 0 ≤ x ≤ π2
2) x3 − 3x2 − 7x+ 1 = 0 − 2 ≤ x ≤ 0
3) cos(x)− x2 = 0 0 < x < 1
16. Continuite.On considere deux nombres a et b tels que a < b, ainsi que la fonction f donnee par f(x) =x+ (x− a)(x− b). Utiliser le theoreme de la valeur intermediaire pour demontrer qu’il existe unevaleur x0 telle que f(x0) = a+b
2.
Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 4/6)
17. Continuite.Soit f une fonction continue de [a; b] vers [a; b]. Prouver qu’il existe c ∈ [a; b] tel que f(c) = c.(Indication: Faire une esquisse du graphe de f et de celui de la fonction identite.)
18. Continuite.Soit f la fonction de R dans R definie par
f(x) =
(x+ b)2 si x < −1
a si x = −1
−12x+ 1
2si x > −1
(1) Esquisser le graphique de f pour a = −12
et b = 2.(2) Si b = 2, existe-t-il une valeur de a pour laquelle la fonction f est continue en x0 = −1 ?(3) Calculer, si elle existe, la limite lim
x→−1f(x) pour b = 2.
(4) Si b = 1, existe-t-il une valeur de a pour laquelle la fonction f est continue en x0 = −1 ?(5) La fonction f admet-elle une limite en x0 = −1 si b = 1.
19. Miroir parabolique.Le graphe de la fonction f(x) = ax2 represente un miroir parabolique (voir figure 5). Montrer queles rayons verticaux tombant sur le miroir sont tous reflechis en un meme point (0, F ), appele lefoyer.
20. Plans.Soit π le plan d’equation 2x+ 3y − 3z − 5 = 0. Le point Q appartient-il au plan π ?
1) Q = (0; 2; 2) 2) Q = (4; 32; 5
2)
Figure 3. Exercice 13
Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 5/6)
10 m
Figure 4. Exercice 14
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
i
ip
r
x
f(x)
F
Figure 5. Miroir parabolique (f(x) = ax2).
21. Distance.Calculer la distance du point P au plan (ABC) pour:
1) A = (0; 0; 0) B = (−1;−2;−3) C = (2;−3;−1) P = (3; 2;−1)
22. Plans.Trouver une representation parametrique et l’equation cartesienne du plan:
(1) qui passe par A = (1;−2; 3) et admet pour vecteurs directeurs ~v = (0;−2; 2) et ~w =(5; 8;−3)
(2) qui passe par A = (0; 0; 0), B = (2; 1;−1) et C = (1; 3;−1)
23. Plans.Trouver une representation parametrique des plans d’equations:
1) 2x− 3y + 4z + 5 = 0
Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 6/6)
24. Intersections.Determiner les coordonnees du point d’intersection de la droite d et du plan Π pour:
1) d :
x = −4− 5λy = 8 + 6λz = 3− λ
Π : 2x+ 3y − z − 5 = 0
25. Plans.Determiner une representation parametrique de la droite d’intersection des deux plans Π1 et Π2
pour:
1) Π1 : x− 2y + z + 3 = 0 Π2 : x+ y − 3z − 2 = 0
2) Π1 :
x = 3 + ky = 1 + nz = 2 + n
Π2 :
x = 4y = 2 + 2pz = −p+ q
3) Π1 : x− 2y + z = 0 Π2 : (PQR) P = (2; 3; 1), Q = (−3; 0; 2), R = (1; 2; 3)
4) Π1 : (ABC) A = (6; 4; 7), B = (9; 2; 9), C = (1; 7; 0)
Π2 : (PQR) P = (2; 2; 4), Q = (6; 13; 4), R = (1; 3; 7)
26. Plans.Montrer que les plans d’equations 3x − y + 9z + 4 = 0, x + y − z = 0 et x + 2y − 4z − 1 = 0ont une infinite de points communs. Determiner une representation parametrique de leur droitecommune.
27. Traces.Determiner les traces des plans suivants:
1) 3x+ 4y − z − 5 = 0
2)
x = 6 + 3k − 2ny = 6 + k − nz = 2 + 2k − n
3) (A;B;C), A = (3; 4; 0), B = (−3; 8; 1), C = (1; 2;−3)
28. Limites. Calculer, si elles existent, les limites suivantes
1) limx→0
sin(2x)
x2) lim
x→0
sin(3x)
sin(2x)
3) limx→0
sin(x4
)5x
4) limx→0
1− cos(x)
sin2(x)
5) limx→0
tan(7x)
sin(3x)6) lim
x→0
sin(ax)
xa 6= 0
7) limx→1
sin(x− 1)
x− 18) lim
x→0
tan(x)
x
9) limx→π
2
cos(x)
x− π2
10) limx→0
sin(x)
2x2 + x