Simulation numérique à l’échelle macroscopique par la ...svi.cnrs.fr/spip/IMG/pdf/coursmef.pdf · 1 Introduction 1 2 Rappel de ... 6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et

Simulation numérique à l’échelle macroscopique par laméthode des éléments finis

Franck PigeonneauSurface du verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain

39, quai Lucien Lefranc93303 Aubervilliers cedex

Tél. 01 48 39 59 99email : [email protected]

Mai 2011

ii TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

1 Introduction 1

2 Rappel de mécanique des milieux continus 32.1 Les principes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Equations de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 62.2.2 Equations de la mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 8

3 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés 133.1 Classification des équations aux dérivées partielles . .. . . . . . . . . . . . . . 133.2 Formulation variationnelle d’un problème elliptique .. . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Formulation variationnelle des équations de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Formulation variationnelle des équations de Stokes . . .. . . . . . . . . . . . . 183.5 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 19

4 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret 214.1 Méthode des éléments finis à une dimension . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 214.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 254.3 Mise en œuvre numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

5 Exemples de problèmes traités par la méthode des éléments finis 295.1 Comsol Multiphysicsr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Compression diamétrale d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30

5.2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305.2.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

5.3 Equation de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325.3.2 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin . . . . . . . . . .. . . . . . 335.3.3 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin/moindres carrés . . . . . . . 34

5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 36

GDR Verres Modélisations des verres : de la structure aux propriétés 9-13 mai 2011

TABLE DES MATIÈRES iii

6 Travaux dirigés 396.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel . . . . . .. . . . . . . . . . 406.2 Propagation de front de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 45

6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et propriétés mécaniques . . . . . . . . 456.2.2 Rappel sur le facteur d’intensité de contrainte . . . . .. . . . . . . . . . 466.2.3 Simulation dans Comsol Multiphysicsr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Transfert de masse autour d’une bulle en ascension dans un verre en fusion . . . 476.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486.3.2 Simulation dans Comsol Multiphysicsr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Bibliographie 51

Index 53


Introduction 1

Chapitre 1

Introduction

La physique, la thermodynamique des phénomènes irréversibles, la mécanique ou plus gé-néralement les sciences des transferts présentent une trèslarge variété d’équations multidimen-sionnelles s’appliquant à des milieux continus. Ces équations décrivent les processus mise en jeudans les phénomènes à étudier tels que la diffusion chimiqueou thermique, le mouvement d’unfluide ou encore des réactions chimiques. Dans la grande majorité des cas, ces équations sont desformes différentielles et sont couramment appelées “équations aux dérivées partielles” (EDP enabrégé).

Les solutions exactes ou approchées de ces EDP qui sont toujours d’une aide précieuse nesont malheureusement pas très répandues. Elles sont généralement limitées à des géométrieset des situations simples ou dégénérées. Le recours à des méthodes alternatives s’impose. Larésolution numérique de ces EDP en est une.

Les ordinateurs qui deviennent jour après jour de plus en plus puissants restent néanmoins“finis” en place mémoire, en précision et en temps de calcul. Ainsi, il est utopique de penserpouvoir résoudre le problème continu. De là découle inéluctablement une formulation “discrète”du problème.

Parmi les approximations discrètes, citons la méthode des différences finies qui est sans nulledoute une des premières méthodes à avoir été développée1 basée simplement sur les développe-ments limités permettant d’évaluer les dérivées. Elle est simple à implémenter mais reste d’uneutilité limitée pour décrire des géométries complexes. Citons la méthode des volumes finis trèsutilisée dans la résolution des problèmes hydrodynamiques. Elle est particulièrement bien adap-tée aux problèmes faisant intervenir des équations de conservation avec peu de diffusion.

La méthode des éléments finis, terme pour la première fois introduit par Clough [7] prendses racines dans la résolution de calcul des structures. Elle a ensuite reçue une assise mathéma-tique importante basée sur les approches variationnelles et des résidus pondérés proposées biendes années auparavant par Rayleigh [30] en 1870 pour la première et par Gauss dès 1795 pourla deuxième. Depuis, la méthode des éléments finis a été étendue à une très large gamme deproblèmes allant bien sur de la mécanique des structures à lamécanique des fluides mais aussiélectromagnétisme [35, 9].

1. Newton [24] dans ses “Principia” avait recours à des approximations discrètes bien que présentées uniquementsous forme géométrique dans son œuvre maitresse.


2 Introduction

Ces éléments de cours ne feront qu’effleurer la technique deséléments finis. Comme il s’agitici de résoudre des équations sur des domaines macroscopiques, il nous a semblé important derappeler les concepts de milieux continus, de même que les principes de la dynamique, chapitre2. Pour les lecteurs ayant de bonnes connaissances de la mécanique des milieux continus, cepremier chapitre peut être sauté. La méthode des éléments finis étant fondée sur une formulation“faible” 2, le chapitre 3 sera consacrée à la formulation variationnelle et à la méthode des résiduspondérés. Ce chapitre débutera par la classification des EDPs. Nous appliquerons la formula-tion variationnelle à trois problèmes qui se rencontrent très fréquemment dans les applications.Ensuite, le passage du continu au discret sera abordé dans lechapitre 4 en traitant d’abord unexemple simple à une dimension. La généralisation à un nombre de dimension plus élevé seraabordée. La chapitre 5 sera dénié à la présentation de trois exemples numériquement résolus àl’aide du logiciel Comsol Multiphysicsr. Le premier exemple sera un problème d’élasticité, ledeuxième sera consacré à la résolution d’une équation non-linéaire. Le dernier exemple sera unproblème de mécanique des fluides. Finalement, nous finirons, chap. 6, ces éléments de courspar la présentation des travaux dirigés réalisés au cours decette école.

2. Cet adjectif qui peut vous sembler flou sera précisé par la suite.


Rappel de mécanique des milieux continus 3

Chapitre 2

Rappel de mécanique des milieux continus

2.1 Les principes fondamentaux

La mécanique des milieux continus est la théorie sur laquelle se fonde la mécanique des struc-tures et la mécanique des fluides. Cette dernière est dite “classique” car fondée sur le conceptde temps absolu. Ainsi, l’ensembleT des instants est considéré comme un espace affine dedimension un. Un repère de temps ayant été choisi, à chaque instant correspond un tempst.Spatialement, la mécanique classique est formulée dans l’espace affine euclidien orienté à troisdimensions dont le référentiel est notéE . Un repèreR deE étant choisi, chaque point géomé-triqueP ∈ E est repéré par le tripletx = (x1,x2,x3) ∈ R3.

La matière est considérée constituée d’éléments appelés particules ou points matériels. UnensembleA de telles particules est un ensemble matériel. La conception de milieu continu admetque la matière est sans lacune. Ainsi, on appelle corps matériel ou milieu continu tout ensemblematériel dont toute position est une région fermée deE .

La conséquence première de cette conception est que l’on ne peut pas déduire la mécaniquedes milieux continus de celle du point [34]. Ainsi, les principes de conservation de la masse etde la dynamique doivent être formulés directement. Pour cela rappelons les notions de configu-ration, de déformation et de mouvement.

Définition definition On appelle configuration d’un ensemble matérialA, toute applicationKdeA dansE .

Définition definition On appelle déformation d’un ensemble matérialA entre deux configura-tionsK etK′, la bijectiong deK(A) versK′(A) définie par

g = K′ K−1. (2.1)

Définition definition On appelle mouvement d’un ensemble matérielA durant l’intervalle detempsI ⊂ R, une fonction

χ : A× I 7−→ E (2.2)

qui à chaque particulep ∈ A et à chaque instantt ∈ I associé un point géométriqueP ∈ EP = χ(p,t). (2.3)


4 Rappel de mécanique des milieux continus

Chaque application partielle

χt : p ∈ A 7−→ χ(p,t) ∈ E (2.4)

est une configuration deA.

La masse d’un point matériel n’ayant aucun fondement, on doit introduireρ la masse volu-mique du point matérielp associé au point géométriqueP dans la configurationχt. Le principede la conservation de la masse s’exprime sous la forme :

Principe principe La masse de tout corps matériel ne dépend pas de la configuration. La massede tout corps en mouvementχ est indépendante det:

d

dt

∫

χt(A)

ρ(P )dV = 0. (2.5)

Le principe de la dynamique exprime des relations entre grandeurs cinématiques et efforts.La vitesse et l’accélération se déduisent du mouvement. Ainsi, l’application partielle

χp : t ∈ I 7−→ P = χ(p,t) (2.6)

définit la loi horaire du mouvement de point matérielp. Si une origineO deE est choisie, onaura

OP = χ(p,t). (2.7)

Ainsi, la vitesse et l’accélération dep par rapport au repèreR sont simplement définies par

V (p,t) =dχ(p,t)

dt=

dOP

dt, (2.8)

γ(p,t) =d2χ(p,t)

dt2=

d2OP

dt2. (2.9)

Le torseur dynamique d’un ensemble matérielA écrit en un point quelconqueA par rapportau repèreR est donné par la relation

D(A/R) =

d(A/R) =∫

Aγ(p,t)ρdV

jA(A/R) =∫

AAP× γ(p,t)ρdV

. (2.10)

On définit de même le torseur des efforts deB surA au pointA par

F(A,B) =

F (A,B)MA(A,B)

, (2.11)

oùF (A,B) est la force etMA(A,B) le moment défini enA.Le principe de la dynamique écrit dans le cadre de la mécanique des milieux continus s’écrit

sous la formePrincipe principe Il existe un référentielEg (de repèreRg) appelé galiléen et une chronolo-gie absolue, tels que pour tout corps matérielA en mouvement et à chaque instant, le torseurdynamique galiléen deA soit égal au torseur des efforts extérieurs appliqués àA :

D(A/Rg) = Fe(A) = F(A,Ae), (2.12)


2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus 5

S

n

coté négatif coté positif

FIG. 2.1 – Représentation de la coupureS réalisée sur un corps matérielA à l’aide d’uneorientation continue de la normalen.

oùAe est le plus grand corps séparé deA. Le torseurs des efforts extérieurs prend également encompte les forces à distance.

Passons maintenant à une écriture locale de ces principes deconservation.

2.2 Equations générales de la mécanique des milieux continus

Afin de décrire les efforts internes que subit un corps matériel A par un autreB, la notionde contrainte doit être introduite. Elle repose sur le fait que les efforts de contact ne dépendentpas des corps mais uniquement des surfaces de contact. C’estpour cette raison que ces effortssont introduits sous forme de densités surfaciques mesurées en Newton par mètre carré (N/m2).Lorsque l’on exprime les efforts de contact, il convient de distinguer la partie agissante de lapartie recevante, la notion de coupure est là pour préciser ce point.

Définition definition Etant donnée une surfaceS, illustrée sur la Fig. 2.1, intérieure àA, onappelle coupure deA, notéeS, le couple constitué deS et du choix d’une orientation continue duvecteur unitaire normal,n, àS. On appelle coté positif (resp. négatif) deS le domaine matérielsitué au voisinage deS du même coté (resp. du coté opposé) que la normalen.

La convention universelle de la mécanique des milieux continus est la suivanteDéfinition definition S étant une coupure deA, on noteT

Sla densité vectorielle surfacique

d’efforts de contact réalisant l’action de la matière située du coté positif deS sur la matièresituée du coté négatif deS.

L’hypothèse fondamentale de Cauchy (1822), démontrée par Noll en 1955 (cf. pour plus dedétails, Truesdell et Toupin [34]) stipule queT

Sne dépend que de la normale et non pas deS que

l’on peut alors notéeT (P ,n). De plus, Cauchy a démontré queTS

s’écrivait de façon linéaire enfonction den. Ainsi, on peut dire qu’en tout point matérialP , il existe un tenseur de contrainte,σ(P ), tel que

T (P ,n) = σ(P ) · n, (2.13)

où le point représente le produit contracté. Sous forme indicée relativement à une base orthonor-mée, la relation précédente s’écrit

Ti(P ,n) = σij(P )nj, (2.14)



où la convention d’Einstein sur les indices muets (répétés deux fois) est utilisée.Le principe de la dynamique peut être maintenant formulé sous forme locale où nous pas-

sons sous silence l’obtention de ces équationsvia l’écriture intégrale de la relation (2.12). Nousobtenons les deux relations fondamentales suivantes :

ργ = f + divσ, (2.15)

σij = σji. (2.16)

f correspond à la densité volumique des forces à distance (gravité par exemple) ;div est l’opé-rateur de divergence qui appliqué à un tenseur d’ordre deux s’exprime sous la forme

(div σ)i =∂σij

∂xj

= σij,j . (2.17)

La relation (2.16) montre que pour avoir la conservation desmoments, il est nécessaire que letenseur des contraintes soit symétrique.

Ces relations de conservation ne sont pas suffisantes pour poser complètement le problèmecar les conditions aux frontières (conditions aux limites)stipulant par exemple un chargement ouun encadrement doivent être ajoutées. Nous reportons la discussion sur ce point dans le chapitresuivant.

Nous allons maintenant particulariser ces équations de conservation dans le cadre de la mé-canique des structures (élasticité) et de la mécanique des fluides.

2.2.1 Equations de l’élasticité

L’élasticité est la science où l’on cherche à définir l’état de contrainte et de déformation dansun corps sollicité mécaniquement. L’objectif est de contrôler si ce dernier peut supporter lescharges soumises sans aucun endommagement. Afin de relier les déformations et les contraintes,nous devons exprimer la relation les liant qui est généralement décrit sous le nom de loi decomportement. Pour cela, rappelons la notion de champ de déplacement. Celle-ci doit être faiteen introduisant une configuration de référence,K appliqué au corps matérielA. Le domaine deréférence est notéD = K(A) ∈ E .

Définition definition On appelle déplacement associé à une déformationg, le champ vectorielu définit sur la configuration de référenceD par

∀ P ∈ D, u(P ) = g(P )−OP (2.18)

En dehors des solides indéformables, la première approximation possible pour décrire lesdéformations dans un solide est de supposer que celles-ci sont petites ou infinitésimales. Dansce cas, la configuration déformée reste très voisine de la configuration de référence. L’état dedéformation se décrit en faisant un développement limité autour d’un pointP :

u(Q) = u(P ) + gradu(P ) ·PQ, (2.19)



oùgrad est l’opérateur gradient tel que appliqué à un vecteur ce dernier donne un tenseur d’ordredeux :

(gradu)ij =∂ui

∂xj= ui,j. (2.20)

La décomposition canonique du tenseur du gradient deu s’écrit sous la forme

gradu(P ) = w + e, (2.21)

oùw, e sont définis par

w =1

2

(

gradu− tgradu)

, (2.22)

e =1

2

(

gradu+ tgradu)

. (2.23)

t désigne le tenseur transposé.w correspond à la partie antisymétrique ete à la partie symétriqueOn rappelle que la partie antisymétrique ne décrit uniquement le mouvement de translation

et rotation solide, il est d’ailleurs appelé tenseur de rotation. La partie symétrique, qu’en à elle,décrit les déformations : les termes diagonaux correspondent à des allongements et les termesnon-diagonaux à des glissements [34].

Maintenant que les déformations ont été caractérisées, lesrelations entre contrainte et défor-mation peuvent être spécifiées. Comme nous l’avons vu auparavant seul le tenseure décrit lesdéformations. Ainsi, l’état de contrainte étant uniquement relié à l’état de déformation, on s’at-tend à avoir un tenseur de contrainte qui soit une fonction dee décrivant la loi de comportement.Cette dernière constitue une restriction sur les forces subies par un solide. Nous allons nous li-miter ici au cas de l’élasticité linéaire reposant sur deux hypothèses : l’une stipule l’existenced’un état libre de contrainte, appelé état naturel et la seconde est que les contraintes s’exprimentde façon linéaire en fonction des déformations. Ceci se traduit mathématiquement sous la formesuivante

σ(P )ij = Cijkl(P )ekl. (2.24)

Le tenseur d’ordre quatreC est appelé tenseur élastique.Cette relation reste encore trop compliquée pour les applications. C’est pourquoi on introduit

encore deux autres simplifications. La première est de supposer que le corps est homogène,i.e.que le tenseur élastique est indépendant du point matériel,P ; la deuxième est de considérer lemilieu comme isotrope. Ainsi et compte-tenu des symétries des deux tenseursσ ete, seuls deuxconstantes suffissent pour exprimer le tenseur élastique sous la forme [34] :

Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk). (2.25)

oùλ etµ désignent les coefficients de Lamé etδij correspond au symbole de Kronecker, égal à 1si i = j et à zéro sii 6= j.

La relation contrainte déformation devient alors

σ(P )ij = λtr(e)δij + 2µeij , (2.26)



où tr(e) désigne la trace dee : eii.Remarquons que les deux coefficients de Lamé sont reliés au module de Young,E, et au co-

efficient de Poisson,ν, classiquement introduit en résistance des matériaux à l’aide des relationssuivantes

E =µ(3λ+ 2µ)

λ+ µ, (2.27)

ν =λ

2(λ+ µ). (2.28)

Ceci finit complètement l’établissement des équations de l’élasticité linéaire. En effet, le prin-cipe de la dynamique entraîne l’écriture de trois relationsscalaires dépendant de trois inconnuesscalaire,ui. L’introduction de la loi de comportement (2.26) dans l’équation exprimant le bilande quantité de mouvement, Eq. (2.15), conduit à l’écriture des équations de Navier :

ρ∂2ui

∂t2= µui,jj + (λ+ µ)uj,ji + fi. (2.29)

2.2.2 Equations de la mécanique des fluides

Description cinématique des fluides

Nous avons vu précédemment qu’en élasticité, la configuration de référence avait beaucoupd’intérêt pour écrire les équations de la déformation du solide matériel. En mécanique des fluides,on l’on cherche à étudier le mouvement d’un fluide, deux descriptions du milieu matériel existent.La première appelée description Lagrangienne consiste à exprimer la positionx à tout instanttde chaque particule matériel en fonction det et dex0, position dans la configuration de référence,D0. On écrit

x = g(x0,t). (2.30)

Les variablesx0, t sont dites variables de Lagrange.Pour unx0 donné,g(x0,t) décrit la loi horaire du mouvement d’une particule matérielle p

dont la position dans la configuration de référence estx0. La vitesse et l’accélération sont alorssimplement données par les dérivées partielles suivantes

v(x0,t) =∂g(x0,t)

∂t, (2.31)

γ(x0,t) =∂2g(x0,t)

∂t2. (2.32)

Cette description est généralement mal adaptée pour décrire le mouvement du fluide. Eneffet, on recherche rarement à connaître le mouvement individuel de chaque particule matérielle.Il est plus intéressant de connaître à tout moment et en tout point d’une région de l’espace où lefluide se trouve, la vitesse ou toute autre variable des particules matérielles. Ainsi, on introduit ladescription eulérienne qui consiste à exprimer toute grandeur en fonction de la position,x dans



le domaine de l’espace et à chaque instantt. Par exemple, la vitesse, notée iciU , est alors écritesous la forme suivante :

U = U(x,t). (2.33)

Les variablesx , t sont appelées variables d’Euler.L’introduction de cette représentation nécessite de bien définir la dérivation par rapport au

temps. Ainsi on définit les deux dérivées temporelles suivantes [1] :

∂

∂t=

(

∂

∂t

)

x: dérivée temporelle àx fixé, (2.34)

D

Dt=

(

∂

∂t

)

x0

: dérivée temporelle àx0 fixé. (2.35)

La deuxième dérivée correspond au cas où l’on suit une particule matérielle au cours de sonmouvement. Elle est appelée dérivée matérielle ou dérivée convective. Il vient alors que la vitesseest donnée par

U(x,t) =Dx

Dt. (2.36)

L’accélération est également définie à l’aide de

γ(x,t) =DU

Dt. (2.37)

L’expression de la dérivée matérielle s’obtient facilement en utilisant la notion de dérivée defonctions composées. Ainsi on a pour toute grandeur scalaire,f(x,t), la relation suivante :

Df

Dt=

∂f

∂t+U · grad f. (2.38)

Pour une grandeur vectorielle comme la vitesse, on a

DU

Dt=

∂U

∂t+U · gradU , (2.39)

qui suivant une base cartésienne, s’écrit pour la composanteUi

DUi

Dt=

∂Ui

∂t+

∂Ui

∂xj

Uj. (2.40)

Pour finir ces quelques rappels, on parle de mouvement stationnaire si toutes les dérivéespartielles par rapport au temps définies par la relation (2.34) sont nulles. Dans le cas contraire, lemouvement est dit instationnaire.



Equations de Navier-Stokes

Les principes de la conservation de la masse et de la dynamique peuvent maintenant énoncés.Ainsi, la conservation de la masse s’exprime à l’aide de l’équation suivante

∂ρ

∂t+ div(ρU) = 0. (2.41)

oùρ est la masse volumique du fluide. Cette relation est appelée équation de continuité.Pour la quantité de mouvement, on a

ρDU

Dt= f + divσ, (2.42)

oùf sont les forces volumiques.Pour clore le système, le tenseur des contraintes doit être relié au champ de vitesse. L’expé-

rience montre qu’un fluide au repos subit toujours une compression liée à la pression,P régnantdans le fluide. Lorsque le fluide est mis en mouvement, l’existence de la variation du champ devitesse provoque, l’apparition de contrainte de frottement ou de viscosité. Ainsi le tenseur decontrainte peut être décomposé sous la forme suivante

σ = −PI + σv, (2.43)

oùI est le tenseur unité etσv est le tenseur de contrainte visqueuse.Ce dernier doit être relié au gradient de viscosité,gradU . A l’instar de ce que nous avons vu

pour la déformation des solides, le gradient de vitesse peutêtre décomposé de façon canoniquesous la forme :

gradU = Ω+ d, (2.44)

oùΩ, d sont définis par

Ω =1

2

(

gradU − tgradU)

, (2.45)

D =1

2

(

gradU + tgradU)

. (2.46)

La partie antisymétrique est relié au vecteur tourbillon,ω défini par

ω =1

2rotU , (2.47)

où rot est l’opérateur rotationel. On a la relation suivante en repère cartésien [1]

ωi = −1

2ǫijkΩjk, (2.48)

où ǫijk désigne le tenseur d’ordre trois antisymétrique de Levi-Cevitta qui faut1 si i, j etk sontdes permutations paires de123, −1 si i, j et k sont des permutations impaires et0 si deux destrois indicesi, j etk sont repetés une fois.



Le tenseurd caractérise au même titre quee les déformations subit par le milieu et est appelétenseur des taux de déformations.

Le tenseur des contraintes visqueusesσv doit alors être une fonction ded. Dans le casd’un comportement linéaire et isotrope, connu sous le nom defluide newtonien, le tenseur descontraintes visqueuses est

σv = λtr(D)I + 2µd, (2.49)

Le coefficientµ est appelé viscosité de cisaillement. Le premier,λ est relié à la compressibilitésubit par le fluide. L’hypothèse couramment utilisée est de supposer que la quantité3λ + 2µest égal à zéro. De tels fluides sont appelés, fluides de Stokes. On remarque également quetr(d) = divU .

En reportant (2.49) dans l’équation de quantité de mouvement et pour des fluides homogènes,i.e.pourµ etλ constants, on obtient l’équation de Navier-Stokes :

ρDU

Dt= −gradP + (λ+ µ) grad(divU) + µ∆U + f . (2.50)

A l’aide de l’équation de bilan de masse, nous disposons de deux équations pour trois incon-nues,P , U et ρ. Il faut donc compléter ce système par une relation supplémentaire fournie parune loi d’état. Néanmoins, l’hypothèse couramment utilisée est de considérer la masse volumiquecomme constante. Dans ce cas, l’équation de continuité devient seulement

divU = 0, (2.51)

signifiant qu’il y a conservation du volume,i.e. mouvement isochore. De là, l’équation de quan-tité de mouvement dégénère sous la forme la plus connue

ρDU

Dt= −gradP + µ∆U + f . (2.52)

Alors que dans le cas général, la pressionP s’identifie à la pression thermodynamique [1], cecaractère n’a plus de sens dans la situation incompressible. La pression n’est alors qu’un scalairequi assure la condition d’incompressibilité correspondant à un multiplicateur de Lagrange [23].

L’une des grandes difficultés des équations de Navier-Stokes est leur non-linéarité. En effet,la dérivée particulaire de la vitesse présente la contribution Uj∂Ui/∂xj . Cette particularité faitque ces équations font partir des plus compliquées à étudiermathématiquement [33, 23]. A cejour, les mathématiciens ne savent toujours pas démontrer l’existence et l’unicité des équations deNavier-Stokes dans l’espace à trois dimensions. Ce problème fait d’ailleurs parti des “problèmesdu millénaire” proposés par “the Clay Institute of Mathematics” en 2000.

Le membre de gauche de (2.52) correspond aux forces d’inertie. Le deuxième terme dumembre de droite traduit les forces de viscosité. Lorsque laviscosité d’un fluide est importantecomme pour le verre en fusion, les effets visqueux dominent le reste. Ainsi, les équations deNavier-Stokes se simplifient sous la forme des équations de Stokes :

−gradP + µ∆U + f = 0. (2.53)



Les conditions aux limites généralement prises pour les fluides visqueux sur une paroi estd’imposer une condition de non-glissement. Ceci signifie que la vitesse est soit fixée à zéro si laparoi est immobile sinon le fluide est animé de la même vitesseque la paroi. Les écoulements fontapparaître nécessairement un gradient de pression. Inversement, si un gradient de pression existe,il en résulte un mouvement d’un fluide. Ainsi, une des conditions aux limites qui est souvent priseest de fixer une valeur de la contrainte normale principalement dominée par la pression. Lorsquedeux fluides sont en contact, des conditions de saut doivent être écrites traduisant la conservationde la quantité de mouvement (cf. pour plus de détails [18]). Nous reviendrons sur ces conditionsaux limites lors de la résolution numérique des équations deNavier-Stokes.


Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés 13

Chapitre 3

Formulation variationnelle, méthode desrésidus pondérés

La formulation intégrale est à la base de toute discrétisation par la méthode des élémentsfinis. Nous verrons ci-dessous que dans certain cas cela conduit à la minimisation de fonction-nelle, d’où l’adjectif “variationnelle” dans le titre de cechapitre. De plus, les formes intégralespermettent de préciser si les problèmes sont bien posés au sens d’Hadamard [14] : un problèmeest bien posé s’il admet une et une seulle solution et si cettedernière est stable par rapport auxdonnées. La première propriété nous assure que la solution que l’on obtient est bien la bonne. Ladeuxième nous assure qu’en changeant une donnée, par exemple en multipliant par un facteurquelconque un terme source, la solution ne présente pas de singularité (en terme plus imagé, ilne faut pas que la solution “explose”).

3.1 Classification des équations aux dérivées partielles

Les équations aux dérivées partielles sont souvent classifiées en fonction de la valeur prise parles coefficients multiplicateurs des termes différentiels. Le but ici est juste d’introduire le voca-bulaire communément employé par les numériciens. Prenons le cas d’une équation aux dérivéespartielles portant sur un champu dépendant de deux variables,x ety, écrite sous la forme

A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu+G = 0, (3.1)

où les coefficientsA àG peuvent être constants ou fonctions dex et y. L’équation aux dérivéespartielles (3.1) estelliptique si

B2 − 4AC < 0, (3.2a)

parabolique siB2 − 4AC = 0, (3.2b)

et hyperbolique siB2 − 4AC > 0. (3.2c)


14 Formulation variationnelle, méthode des résidus pondérés

On remarque que cette classification ne porte que sur les coefficients des dérivées d’ordres deux.Elle est directement reliée à la forme quadratique prise parles trois termes des dérivées d’ordresdeux de (3.1) [14]. Elle peut être généralisée à un nombre de dimension plus grands que deux età un nombre d’équations plus grands que un (cf. pour plus de détails la référence [11]).

La classification des équations est importante à connaître car elle conditionne les types deconditions aux limites mais également les méthodes numériques à employer. Lorsque les coef-ficientsA à G sont constants, la classe de l’équation ne change pas. Dans le cas contraire, laclassification devient locale. Ce dernier cas est généralement la source de difficultés numériqueset intervient par exemple dans la résolution des écoulements subsoniques.

L’équation de Laplace

∆u =∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0, (3.3)

écrite ici en dimension deux, est l’archétype de l’équationelliptique. Elle se rencontre dans denombreux problèmes de physique où bien souvent des problèmes plus général se réduisent àl’écriture d’une équation de Laplace ou de Poisson lorsqu’il y a un terme source. Notons queles équations de Navier stationnaire présentée précédemment est également un exemple typiqued’équation elliptique.

L’exemple typique de l’équation parabolique est l’équation de diffusion instationnaire quipour un champ de températureT s’écrit

∂T

∂t= κ∆T, (3.4)

où κ est la diffusivité thermique. L’opérateur laplacien∆ peut être écrit en dimension deux outrois ce qui ne change rien au caractère de l’équation.

Finalement, le modèle d’équation hyperbolique nous est fourni par l’équation des cordesvibrantes qui se réduit à

1

c2∂2u

∂t2=

∂2u

∂x2, (3.5)

où c représente la vitesse de propagation des ondes donnée par

c =

√

Ft

ρ. (3.6)

Ft représente la force de traction etρ la masse volumique de la corde.Cette équation, écrite ici en dimension un se généralise à plusieurs dimensions pour les ap-

plications de propagation des ondes sonores mais égalementdes ondes gravitaires à la surfaced’un liquide [17] décrivant les Tsunamis !

3.2 Formulation variationnelle d’un problème elliptique

Pour faire passer l’idée de la formulation variationnelle,nous allons regarder le problèmesimple suivant oùu vérifie dans un domaine à deux dimensionsD, représenté sur la Fig. 3.1,


3.2 Formulation variationnelle d’un problème elliptique 15

D∂D1

∂D2

n

FIG. 3.1 –Représentation du domaineD sur lequel l’équation (3.7) est appliquée. La frontièredeD est partitionné en deux sur lesquels les conditions aux limites sont appliquées.n est lanormale unitaire sortante à la frontière deD.

l’équation de Poisson suivante−∆u = g, (3.7)

où le signe “-” a été introduit pour des raisons qui apparaitront plus loin dans l’exposé. La prisede dérivée du second ordre ne peut se faire que siu ∈ C2(D). Nous préciserons plus loin quelespace doit être considéré.

Afin de définir complètement le problème, on complète l’équation (3.7) par les conditionsaux limites suivantes

u = u1, sur∂D1, (3.8)∂u

∂n=

∂u

∂xi

ni = φ, sur∂D2. (3.9)

La première condition qui porte sur la valeur prise paru sur∂D1 est dite condition de Dirichlet.La deuxième écrite sur la dérivée normale est appelée condition de Neumann.

La formulation variationnelle s’obtient en multipliant l’équation (3.7) par une “fonction test”.Pour faire cela de façon rigoureuse, des espaces fonctionnels doit être introduits. L’espacesWest ainsi définis :

W = v ∈ L2(D),∂mv ∈ L2(D) avecm ≤ 2,v|∂D1= 0. (3.10)

L2(D) est l’espace de fonctions à carré sommable surD. Les quantités∂mv correspondent à l’en-semble des dérivées soit d’ordre un, soit d’ordre deux. Cet espace est une version plus restrictivedeC2(D). Il s’agit d’un espace de Sobolev d’ordre deux (pour plus de détails sur ces espaces,voir le livre de Raviart et Thomas [29]).

De même, on définit un deuxième espaceV sous la forme suivante :

V = v ∈ L2(D),∂v ∈ L2(D),v|∂D1= 0. (3.11)



V forme donc un espace moins régulier queW .Si u ∈ W , vérifiant le problème initial constitué de l’équation (3.7) et muni des conditions

aux limites (3.8) et (3.9), en multipliant par une fonction testv ∈ V , et en intégrant sur l’ensembledu domaineD, on obtient la forme variationnelle suivante

Trouveru ∈ V, tel que

a(u,v) =

∫

D

gvdS +

∫

∂D2

φvdl, ∀v ∈ V, (3.12)

oùa(u,v) est forme bilinéaire symétrique donnée par

a(u,v) =

∫

D

grad u · grad vdS. (3.13)

L’équation (3.12) s’obtient en faisant une intégration parpartie et en appliquant le théorème deGreen-Ostrograski. C’est cette étape qui justifie l’introduction du signe “-” dans (3.7) qui estéliminé par l’intégration par partie. La vérification de l’équation (3.12) est laissée en exercice.

On remarque que dans le problème (3.12),u est maintenant à chercher dansV qui est moinsrégulier que l’espaceW . C’est dans ce sens où cette formulation est dite “faible” car nous ré-duisons le niveau de régularité deu. L’obtention de la forme variationnelle est à la base de larecherche de l’existence et de l’unicité de la solution du problème continu formulé au début decette section.

Montrons maintenant qu’il est relié à un problème de minimisation. En effet en prenantv =δu considéré comme une variation deu, on montre que la fonctionnelle

J(v) =1

2a(v,v)−

∫

D

gvdS −∫

∂D2

φvdl, (3.14)

est minimum siu vérifie le problème variationnel. C’est à partir de ce résultat que l’on montreque la solution est unique, cf. [10, 29].

L’obtention du problème de minimisation n’est possible quesi a est une forme symétrique.C’est d’ailleurs pour cela que par abus de langage, la formulation intégrale, Eq. (3.12), est appe-lée formulation variationnelle.

3.3 Formulation variationnelle des équations de l’élasticité

Les équations de l’élasticité linéaire écrites sur un domaine spatial à trois dimensionsD dansle cas stationnaire s’écrivent sous la forme suivante

∂σij

∂xj

+ fi = 0. (3.15)

Le tenseur de containte est donné par la loi de comportement

σij = λtr(e)δij + 2µeij, (3.16)


3.3 Formulation variationnelle des équations de l’élasticité 17

où le tenseur de déformatione est défini par

eij =1

2

(

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)

(3.17)

etu correspond au champ de déplacement.Comme précédemment, nous considérons la situation où la frontière deD est partitionnée en

deux. Sur la partie∂D1, on impose les déplacements sous la forme

u = 0, sur∂D1 (3.18)

et sur la deuxième partie, on impose un chargement exprimé enterme de contrainte sous la forme

σ · n = T , sur∂D2. (3.19)

Les espaces introduits précédemment doit être généralisées pour les fonctions vectoriels,u.Ainsi, ici V etW seront les suivants

V = v ∈[

L2(D)]3,∂v ∈

[

L2(D)]3,v|∂D1

= 0, (3.20)

W = v ∈[

L2(D)]3,∂mv ∈

[

L2(D)]3

avecm ≤ 2,v|∂D1= 0. (3.21)

La formulation faible du problème continu local, Eq. (3.15), s’obtient en multipliant parv ∈ V l’équation (3.15). Par suite de l’intégration par partie etcompte-tenu des conditions auxlimites et du fait que le tenseur de contrainte est symétrique, on obtient le problème variationnellesuivant :

Trouveru ∈ V , tel que

a(u,v) =

∫

D

f · vdV +

∫

∂D2

T · vdS, ∀v ∈ V, (3.22)

avec

a(u,v) =

∫

D

σij(u)eij(v)dV. (3.23)

Cette forme bilinéaire est encore symétrique comme on peut le voir simplement en permutantuet v. Le problème variationnel (3.22) exprime le principe des travaux virtuels. En prenant pourv une variation deu, on montre que la solution de (3.22) minimise la fonctionnelle suivante

J(v) =1

2a(v,v)−

∫

D

f · vdV −∫

∂D2

T · vdS. (3.24)

Résultat bien connu de tout les mécaniciens qui savent que parmi les champs cinématiquementadmissibles, le champ réel est celui qui minimise l’énergiepotentielle [10].



3.4 Formulation variationnelle des équations de Stokes

Passons à un problème crucial pour la résolution des équations de la mécanique des fluides.Nous nous limitons ici à la situation d’un fluide incompressible où les effets visqueux sont pré-pondérants. Dans cette situation, les équations de Stokes régissent l’écoulement dans un domaineD qui sont rappelées ci-dessous

divU = 0, (3.25)

−µ∆U + gradP = 0. (3.26)

U etP désignent respectivement la vitesse et la pression.µ est la viscosité dynamique. Dans ceséquations, les forces de volume ont été négligées. Les conditions aux limites sont simplementdes conditions de vitesse imposée :

U = g sur∂D. (3.27)

A la différence de ce nous avons vu jusqu’à maintenant,U et P ont un caractère différent.Alors que la vitesse présente un caractère elliptique, la pression n’intervient uniquement par songradient. On s’attend à ce que ces deux variables jouent un rôle différent.

Pour établir la forme faible de ce problème et compte-tenu des conditions aux limites indi-quées ci-dessus, on prend comme espace pour les fonctions tests pour la vitesse le suivant :

H10 = v ∈

[

L2(D)]3,∂v ∈

[

L2(D)]3,v|∂D = 0. (3.28)

Pour la pression, l’espace suivant :

L20 = q ∈ L2(D),

∫

D

qdV = 0. (3.29)

Le fait de prendre un espace à moyenne nulle provient du fait que la pression intervient uni-quement à travers son gradient. Ainsi, prendreP + c où c est une constante à la place deP nechange rien aux équations de conservation. L’imposition d’une moyenne nulle permet d’éliminercet arbitraire.

En multipliantV ∈ H10 par l’équation de quantité de mouvement et en intégrant par partie et

en multipliant parq ∈ L20 l’équation de conservation de la masse et en intégrant, la formulation

faible du problème de Stokes s’énonce sous la forme :

Trouver(U ,P ) ∈ H10(D)× L2

0(D) tel que

a(U ,V ) + b(V ,p) = 0, ∀V ∈ H10(D),

b(U ,q) = 0, ∀q ∈ L20(D),

(3.30)

oùa(U ,V ) et b(U ,q) sont donnés par

a(U ,V ) =

∫

D

µ∂Ui

∂xj

∂Vi

∂xjdV, (3.31)

b(U ,q) = −∫

D

q divUdV. (3.32)


3.5 Méthode des résidus pondérés 19

Comme dans les deux précédents exemples, en prenantV = δU , on établit la fonctionnellesuivante

L(V ,q) =1

2a(V ,V ) + b(V ,q). (3.33)

On montre que siL(U ,P ) admet l’encadrement suivant

L(U ,q) ≤ L(U ,P ) ≤ L(V ,P ), ∀(V ,q) ∈ H10 (D)× L2

0(D), (3.34)

alors le problème (3.30) est bien posé.L’encadrement montre que la fonctionnelle ne correspond plus à un minimum mais à un point

selle [9]. Cette particularité a des conséquences importantes sur la mise en œuvre numérique dela résolution du problème de Stokes. En effet, les résultatsétablis sur le problème continu doitêtre également vrais sur le problème discret. Ainsi, le faitqueU et P ne soient pas dans lesmêmes espaces fonctionnels et que l’encadrement (3.34) doit être vérifié entraîne que les choixd’éléments finis pour discrétiser la vitesse et la pression ne sont pas arbitraire. Nous en donneronsdes exemples dans le chapitre 4.

Remarquons pour finir que nous avons abordé ce problème de type point selle en prenantl’exemple de la mécanique des fluides. Néanmoins, la mécanique des solides présente le mêmetype de problème lorsque le coefficient de Poisson tend vers1/2 correspondant à la limite d’unsolide incompressible [9, 35].

3.5 Méthode des résidus pondérés

La méthode des résidus pondérés est déjà un premier pas vers une solution discrète. Suppo-sons qu’un problème s’écrit de façon générale dans un domaineD sous la forme suivante

L(u) = f , ∀ x ∈ D, (3.35)

où L est un opérateur différentiel vectoriel quelconque portant sur le champu et f un termesource. De même, les conditions aux limites peuvent être écrites ainsi

M(u) = t ∀ x ∈ ∂D. (3.36)

Comme numériquement il est impossible de résoudre le problème continu,u peut être ap-prochée en la développant suivant une base de fonctions sousla forme suivante :

u =

N∑

n=1

anφn, (3.37)

oùan sont des coefficients numériques inconnus etφn des fonctions de base. La barre au dessusdeu signifie qu’il s’agit d’une solution approchée. L’introduction du champ approché,u dansles équations du problème continu entraîne que les égalitésdes équations (3.35) et (3.36) ne sontplus rigoureusement vérifiées. On note les résidus sous la forme suivante :

R(u) = L(u)− f , (3.38)

B(u) = M(u)− t. (3.39)



La méthode des résidus pondérés consiste à minimiser l’erreur commise en intégrant lesrésidus sous la forme

∫

D

R(u) ·WmdV +

∫

∂D

B(u) ·WmdS = 0, pourm = 1 àN, (3.40)

oùWm correspond à une fonction test ou encore appelée fonction poids.Le choix deWm permet d’énumérer diverses méthodes [11] :1. Méthode des sous-domaines : Elle s’obtient en décomposant le domaineD en N sous-

domaines tel queD = ∪Nn=1Dn et queDn ∩ Dm = ∅ ∀n 6= m et en prenantWm = 1

surDm. Cette méthode coïncide avec celle des volumes finis qui a l’avantage d’assurer laconservation des bilans sur le domaine discrétisé.

2. Méthode de collocation : IciWm = δ(x−xm) oùδ représente la fonction de Dirac. Cetteméthode impose que l’on force le problème discret à vérifier les équations du problèmelocale en un nombre limité de points. C’est la base de la méthode des différences finies oùles opérateurs différentiels sont par la suite approchés. Cette méthode est également utiliséedans les méthodes spectrales où dans ce cas les fonctions de base sont prises suivant desbases de polynômes orthogonaux qui en font des méthodes trèsprécises.

3. Méthode des moindres carrés : En prenant comme fonction test

Wm =∂R

∂amsurD (3.41)

et

Wm =∂B

∂amsur∂D, (3.42)

on minimise les erreurs revenant à écrite la forme intégraleainsi∫

D

R(u) ·RdV +

∫

∂D

B(u) ·BdS = 0, (3.43)

correspondant bien à l’erreur quadratique.4. Méthode de Galerkin : Elle correspond au choix suivantWm = φm. Remarquons que dans

le cas où les fonctions de base sont choisies de telle sorte à être des solutions fondamentalesdu problème local et vérifiant les conditions aux limites, laméthode de Galerkin permetd’établir une solution exacte du problème correspondant par exemple à une décompositionde Fourier.

Comme nous l’avons vu au cours du précédent chapitre, le faitde prendre la fonction test dansle même espace que celui de l’inconnue conduit soit à un problème de minimisation soit à un pro-blème de type point selle. Ainsi, l’utilisation de la méthode de Galerkin nous assure de retrouvercette caractéristique. C’est pourquoi cette méthode est laplus populaire dans la méthode des élé-ments finis. Néanmoins, dans certaines situations comme parexemple les équations de transport,la méthode de Galerkin n’est pas efficace. Pour ces situations, la méthode des moindres carrésest préférable car elle donne toujours des opérateurs symétriques. Néanmoins, elle requiert desespaces très réguliers. Quelque fois, les deux méthodes sont couplées, on parle alors d’approche“Galerkin-Moindres carrés”. Nous en verrons deux exemplesau cours du chapitre 5.


Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret 21

Chapitre 4

Méthode des éléments finis ou commentpasser du continu au discret

Sur la base des deux chapitres précédents, nous pouvons aborder la mise en œuvre de laméthode des éléments finis. Les étapes importantes dans la discrétisation sont la formulationsous une forme varionnelle ou plus précisément sous une forme faible et ensuite l’écriture sousforme discrète du problème continu et puis finalement la résolution numérique du problèmediscret. Pour aborder cette méthode, nous commençons par traiter un problème à une dimension,§4.1. Ensuite, une situation à plusieurs dimensions sera présentée, §4.2.

4.1 Méthode des éléments finis à une dimension

L’exemple traité ici est emprunté à Raviart et Thomas [29]. Il s’agit d’un problème elliptiqueécrit sur l’ouvertΩ =]0,1[ sous la forme suivante

−d2u

dx2= f surΩ =]0,1[, (4.1)

u(0) = u(1) = 0. (4.2)

Comme précédemment dans l’écriture intégrale, nous introduisons un espace fonctionnel.Ici, il s’agit de l’espace de SobolevH1

0 que nous avons déjà rencontré précédemment et qui estdéfini en 1D par

H10 (Ω) = v ∈ L2(Ω),

dv

dx∈ L2(Ω), v(0) = v(1) = 0. (4.3)

En prenantu et v deux fonctions dans l’espaceH10 (Ω), la formulation variationnelle s’écrit

a(u,v) =

∫ 1

0

fvdx, (4.4)

avec

a(u,v) =

∫ 1

0

du

dx

dv

dxdx. (4.5)


22 Méthode des éléments finis ou comment passer du continu au discret

1 2 i N

x0 = 0 xi−1 xi xN = 1

FIG. 4.1 –Discrétisation du segment]0,1[ enN éléments réguliers.

1

1 2 i N

x0 = 0 xi−1 xi xN = 1

φ0 φ1 φi φN−1 φN

FIG. 4.2 –Fonctions de base sur le segment]0,1[.

La discrétisation commence par la réalisation d’un maillage. Pour le cas simple qui est lenôtre ici, on partitionneΩ enN segments qui constituent les éléments finis comme illustré surla FIG. 4.1. L’élémenti est compris entre les sommetsxi−1 etxi. En prenant pour simplifier unmaillage uniforme, les sommetsxi sont donnés par la relation suivante

xi = ih, (4.6)

oùh correspond à la taille de la maille donnée par

h =1

N. (4.7)

Nous allons maintenant construire une approximationuh deu pour cela on introduit un es-pace d’approximation de fonctions continue et affines par morceau défini ainsi

Vh = vh ∈ C0(Ω); ∀i ∈ [1,N ], vh|[xi−1,xi] ∈ P1, (4.8)

où P1 désigne l’espace des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à1. On définit lesfonctions de baseφi pouri variant de0 àN par

φi(x) =

x−xi−1

h, si x ∈ [xi−1,xi],

xi+1−xh

, si x ∈ [xi,xi+1],0 sinon.

(4.9)

Ces fonctions, dessinées sur la FIG. 4.2, satisfont la condition

φi(xj) = δij, 0 ≤ i,j ≤ N. (4.10)

Dans la mesure où la famille(φ0, · · · ,φN) constitue un espace vectoriel de dimensionN+1 1,on peut construire une approximation deu sous la forme

uh =N∑

i=0

uh(xi)φi(x), (4.11)

1. C’est d’ailleurs pour cela que les fonctionsφi sont dites fonctions de base.


4.1 Méthode des éléments finis à une dimension 23

oùuh(xi) correspondent à la valeur prise paruh enxi et qui constitue nos inconnues maintenant.Par la suite on noteuh(xi) = ui.

La formulation variationnelle peut maintenant être écriteen prenant des fonctions dansVh. Lenombre d’inconnues s’élève àN+1 entraînant qu’il est nécessaire de constituerN+1 équations.Pour se faire, la méthode de Galerkin est employée. Ceci veutdire que nous allons écrireN + 1l’équation (4.4) en prenantvh = φi où i varie de0 àN .

Le support deφi est l’intervalle[xi−1,xi+1] sur les éléments intérieurs. Pourφ0, le supportn’est que[x0,x1] et pourφN , le support n’est que[xN−1,xN ]. La formulation variationnelle s’écritsous la forme du système suivant

a(φ0,φ0)u0 + a(φ1,φ0)u1 =

∫ x1

0

fφ0dx, (4.12)

a(φi−1,φi)ui−1 + a(φi,φi)ui + a(φi+1,φi)ui+1 =

∫ xi+1

xi−1

fφidx, (4.13)

pouri = 1 àN − 1

a(φN−1,φN)uN−1 + a(φN ,φN)uN =

∫ xN

xN−1

fφNdx. (4.14)

Ce système est dit tridiagonale montrant que la discrétisation par éléments finis reste locale. Lecalcul des coefficientsa(φi,φj) se fait sans difficulté. On obtient le système suivant

1

hu0 −

1

hu1 = b0, (4.15)

−1

hui−1 +

2

hui −

1

hui+1 = bi, (4.16)

pouri = 1 àN − 1

−1

huN−1 +

1

huN = bN . (4.17)

Les coefficients de second membre doivent être déterminés par une méthode d’intégration nu-mérique telle que la méthode des trapèzes. On remarque au passage, que cette discrétisation esttotalement équivalente à celle obtenue par une méthode des différences finies.

Remarquons qu’à ce stade les conditions aux limites n’ont pas été utilisées. Dans cet exemple,les valeurs deu sont imposées à zéro enx = 0 et 1. Ces conditions doivent être fixéesa priori. Le fait de stipuler indépendamment de la formulation variationnelle les conditions aux limitesde type Dirichlet font qu’elles sont appelées “conditions aux limites essentielles”. Les conditionsaux limites de type Neumann rentrent directement dans la formulation intégrale et sont alors dites“conditions aux limites naturelles” [8]. Ainsi, pour notreexemple, la première et la dernière lignedoivent être remplacées en imposantu0 = 0 et uN = 0. Le système final peut être résolu sansaucune difficulté.

Afin d’illustrer cette partie, nous appliquons cette méthode à la résolution du problème sui-vant

−d2u

dx2= sin(πx), surΩ =]0,1[, (4.18)

u(0) = u(1) = 0. (4.19)



101

10210

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

||u−

uex|| 1,||u

−uex|| 0

N

||u− uex||1||u− uex||0||u− uex||1 = 0.2/N

||u− uex||0 = 6.4 · 10−2/N2

FIG. 4.3 –Représentation des erreurs||u− uex||1, ||u− uex||0 en fonction du nombre de maillesur le segment]0,1[.

Ce problème admet une solution exacte très simple donnée par

uex(x) =sin(πx)

π2. (4.20)

Ce problème est résolu à l’aide du logiciel Comsol Multiphysicsr qui sera utilisé lors destravaux dirigés. La connaissance de la solution exacte permet de faire un contrôle de l’erreurfaite par la résolution numérique. Pour faire cette estimation d’erreur, nous devons définir unenorme, dans le cadre des espaces de Sobolev, la norme utilisée est définie ainsi :

||u||1 =

√

√

√

√

∫ 1

0

[

u2 +

(

du

dx

)2]

dx. (4.21)

Il est courant d’utiliser la norme dans l’espace des fonctions à carré sommableL2 défini par

||u||0 =√

∫ 1

0

u2dx. (4.22)

Le calcul de l’erreur suivant les deux normes suivantes a étéréalisé en prenant un nombred’éléments allant de10 à 100. Le résultat est montré sur la FIG. 4.3 où les erreurs obtenues àl’aide des normesH1 etL2 sont représentées en fonction du nombre d’éléments. La normeH1

étant plus contraignante, l’erreur est plus importante quecelle obtenue en normeL2. Les courbescorrespondent à des régressions linéaires où l’on constateque l’erreur décroît enh = 1/N ennormeH1 et enh2 en normeL2.

Ce résultat montré sur l’exemple numérique traité ici est enfait un résultat fondamental del’approximation par éléments finis. Siuh désigne la solution du problème discret etu la solution


4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions 25

FIG. 4.4 –Représentation du maillage d’une ellipse à l’aide d’éléments triangulaires.

du problème continu, l’erreur||u − uh||1 est du même ordre de grandeur que||u − I(u)||1 oùI(u) correspond à l’interpolation deu surVh. De plus, on montre [9] que||u− I(u)||1 = O(h)et ||u − I(u)||0 = O(h2). Il est possible d’étendre ces résultats à des éléments finisnon pluslinéaires mais dans des espaces de polynômes d’ordre plus élevé que1 typePk où k est l’ordredes polynômes utilisés. Dans ce cas, on a le résultat suivant[9] : ||u − I(u)||1 = O(hk) et||u− I(u)||0 = O(hk+1).

4.2 Eléments finis à deux ou trois dimensions

A plusieurs dimensions, la discrétisation de tout problèmecontinu va devoir passer par lepartitionnement du domaine auquel est appliqué le problèmeà résoudre. La FIG. 4.4 présentel’exemple du maillage d’une ellipse à l’aide d’éléments triangulaires.

Les logiciels utilisent plusieurs types d’éléments finis basés sur des polyêdres réguliers. Leséléments finis ont une définition précise que nous donnons ci-dessous [10].

Définition definition On appelle élément fini de Lagrange2 le triplet (K,Σ,P ) constitué de– d’un compactK polyédrique droit ou courbe,– d’un ensembleΣ de points appelés nœuds ou degrés de liberté,– d’un espace vectorielP de fonctions appelé espace d’interpolation.

Il faut que ce triplet donne des valeurs d’une fonction quelconquef surK continues. Dansle cas où l’interpolation est continue d’une élément à l’autre, on parle d’élément fini conformedans le cas contrainte, d’élément non-conforme.

2. Il existe des éléments où les degrès de liberté sont à la fois les valeurs nodales mais également les dérivées, onparle alors d’élément fini de Hermite[9].



P1 P2 P3

2D

3D

FIG. 4.5 –Eléments finis de Lagrange,P1, P2 etP3, pour les dimensions de l’espace égales à2et3.

Q1 Q2 Q3

2D

3D

FIG. 4.6 –Eléments finis de Lagrange,Q1, Q2 etQ3, pour les dimensions de l’espace égales à2et3. Seuls les nœuds visibles sont représentés.

Des exemples d’éléments finis triangles en deux et prismes entrois dimensions, ditsPk sontprésentés sur la FIG. 4.5 pourk de1 à3. Les cercles correspondent aux nœuds où sont imposéesles valeurs des inconnues. En deux dimensions, l’élémentP1 possède3 degrés de liberté, l’élé-mentP2 en a6 et l’élémentP3, 10. A trois dimensions de l’espace, les élémentsP1, P2 etP3 enpossèdent respectivement4, 10 et 20. Les fonctions de base sur ces éléments sont généralementétablis à l’aide des coordonnées barycentriques [10]. Ces fonctions ne sont pas présentées ici etpeuvent être trouvées dans la référence [9].

Il est couramment utilisé dans les applications des éléments basés sur les formes carrée ou cu-bique. Ces éléments en fonctions du degré d’interpolation sont appelésQk. La FIG. 4.6 présenteces éléments pourk allant de1 à 3 en 2D et 3D. Les nombres de nœuds sont pour les élémentsQ1, Q2 etQ3 respectivement4, 9 et16 en 2D et8, 27 et64 en 3D. Les fonctions de base pour ceséléments sont obtenues en prenant les fonctions d’interpolation de Lagrange suivant les deux outrois directions de l’espace.

Ces éléments ont été présentés ici pour des mailles parfaites dont les arêtes avaient toutes unelongueur unité. On les appelle éléments de référence. Pour passer d’un élément quelconque dansune géométrie complexe à un élément de référence, une transformation géométrique simple est


4.3 Mise en œuvre numérique 27

appliquée.Lors de la présentation de la formulation faible du problèmede Stokes, nous avons vu que

ce dernier avait une structure particulière où l’on peut prouver l’existence et l’unicité de la solu-tion en montrant que le problème est de type point selle. Pouravoir des chances de trouver unesolution numérique à ce type de problème, il est nécessaire que le problème discret présente lesmêmes caractéristiques que celui continu. Pour avoir la structure de point selle, des conditionssont à remplir. Celles-ci induisent un choix non arbitrairedes éléments finis utilisés pour la vi-tesse et la pression. Cette condition a été clairement établie sur le plan mathématique par Babuška[3] et Brezzi [4] et est connue sous le nom de condition Babuška-Brezzi. La vitesse devant êtredans un espace plus régulier que la pression, les élémentsPk/Pk−1, où le premier correspond àcelui de la vitesse et le deuxième pour la pression, est stable. Cet élément est connu sous le nomd’“élément de Taylor-Hood”. La généralisation aux éléments Qk/Qk−1 est également souventutilisée en pratique.

4.3 Mise en œuvre numérique

L’objectif de ce cours n’étant pas de programmer de code d’éléments finis, nous allons rapi-dement passer sur la mise en œuvre numérique.

Une des caractéristiques de la méthode des éléments finis estque le maillage est dit “nonstructuré”. Ceci veut dire qu’il est impossible de repérer par un couple(i,j) ∈ N2 en 2D ouun triplet (i,j,k) ∈ N3 chaque élément ou sommet. Cette particularité provoque quechaqueélément ainsi que ces nœuds doivent être bien repérés. Cetteétape est connue sous le nom deconnectivité. Cette particularité fait que la technique par éléments finis est souvent considéréecomme compliquée à mettre en œuvre. Il est vrai que sur une géométrie simple, la méthodedes éléments finis sera plus longue à programmer que la méthode des différences finies, parexemple. Par contre, la méthode des éléments finis est tout desuite généralisable à des géométriescomplexes alors que la méthode des différences finies induitdes simplifications géométriques quiréduisent le champ d’application.

Le maillage est une étape cruciale dans la mise en œuvre. La réalisation d’un mailleur est untravail de spécialiste. Nous avons vu qu’un élément fini doitpermettre une interpolation bien dé-finie. Pour assurer cette propriété, il est nécessaire d’avoir des mailles les plus géométriquementparfaites. Une des techniques les plus utilisées est celle de la triangulation de Delaunay. Pourplus de détails, nous renvoyons aux ouvrages spécialisés comme celui de George et Bourouchaki[12].

L’utilisation de la transformation géométrique entre un élément quelconque et l’élément deréférence est cruciale dans la mise en œuvre de la méthode deséléments finis. En effet, lesintégrales induites par la formulation faible d’un problème peuvent être faite sur l’élément deréférence. Ceci permet de faire un passage du local au global. Tous les programmes basés sur laméthode des éléments finis sont bâtis sous cette forme. Ceci permet de faire l’assemblage desmatrices.

Les intégrales doivent être calculées numériquement. Les quadratures les plus utilisées sontcelles faisant appel à la méthode de quadrature de Gauss où l’on transforme les intégrales en une



somme finie de termes évalués en des points précis sur l’élément de référence appelés points deGauss.

Le but de toute discrétisation étant d’obtenir des systèmesmatriciels, la méthode des élémentsfinis n’échappe pas à la règle. Notons que l’aspect local de cette méthode conduit à ce que lesmatrices obtenue sont creuses,i.e. pleines de zéro. Comme dans les applications, le nombre dedegrés de liberté peut être très élevé, il est impossible de stocker toutes les matrices. Ainsi, lesméthodes numériques ne sauvent que les coefficients non nuls. La connectivité des élémentspermet de savoira priori les coefficients des matrices non nuls. Ensuite, le calcul des inconnuesse fait à l’aide de méthodes, soit directes lorsque l’on cherche à déterminer directement le vecteurinconnu, soit itératives lorsque l’on cherche le vecteur inconnu sans à avoir à résoudre de systèmelinéaire, cf. pour plus de détails [19, 20].


Exemples de problèmes traités par la méthode des éléments finis 29

Chapitre 5

Exemples de problèmes traités par laméthode des éléments finis

Ce chapitre illustre des exemples résolus à l’aide de la méthode des éléments finis. Le champd’application possible étant très grand, il a fallu faire unchoix. Comme l’élasticité est à la basede l’utilisation de la méthode nous traitons en premier ce cas. Ensuite afin de montrer les possi-bilités de cette technique, deux problèmes non-linéaires seront vus. De plus, ils seront formulésà l’aide de l’approche Galerkin/moindres carrés. Comme cesexemples numériques sont réalisésà l’aide du logiciel Comsol Multiphysicsr, nous présentons au préalable une rapide introductiondu logiciel.

5.1 Comsol Multiphysicsr

Ce logiciel a d’abord été une boîte à outil dans Matlabr. Ensuite, il a été vendu séparément deMatlabr sous le nom Femlab. Ce logiciel utilisait un langage de script très proche du langage deMatlabr. Depuis la version 4, Comsol Multiphysicsr a complètement évolué sous une nouvelleforme. Le langage de script est maintenant Java.

Ce logiciel est avant tout un logiciel de résolution de système d’équations différentiellesalgébriques. Il présente l’avantage d’être un environnement de modélisation intégrée avec uneapproche semi-analytique : l’utilisation spécifie ses équations ce qui rend son utilisation trèsflexible. Afin de répondre à des problèmes plus spécifiques, des modèles sont déjà construitspour étudier par exemple la mécanique des structure, la mécanique des fluides, les transferts dechaleur, l’électromagnétisme. Le dernière particularitéde ce logiciel est de pouvoir coupler desphénomènes physiques entre eux.

Comsol Multiphysicsr intégre l’ensemble des outils à la réalisation d’une simulation : le pré-traitement, la résolution et le post-traitement. Le prétraitement consistera à construire la géomé-trie du problème considéré, indiquer les matériaux, décrire les équations, imposer les conditionsaux limites et mailler le domaine. La résolution est le calcul de la solution avec le solveur intégré.Le post-traitement permet de visualiser les résultats et sauvegarder la solution.

Ce logiciel présente un large panel d’applications. Ici, nous avons choisi quelques exemples


30 Exemples de problèmes traités par la méthode des élémentsfinis

σn = −P

σn = −P

2α A

A′

B

B′

C

C ′

D D′

FIG. 5.1 –Géométrie et maillage du disque en compression.

d’utiliser du logiciel en élasticité, équation non-linéiaire à une dimension et mécanique desfluides.

5.2 Compression diamétrale d’un disque

Cet exemple traite un problème d’élasticité linéaire à deuxdimensions. La géométrie est undisque de rayonR et d’épaisseure. On sollicite le matériau en lui appliquant une compressiondiamétrale sur un angle2α. La géométrie et le chargement sont illustrés sur la FIG. 5.1. Expéri-mentalement, ce type de problème est connu sous le nom d’essai brésilien. Il est très utilisé pourles matériaux fragiles comme le verre, le béton [6].

5.2.1 Position du problème

Le disque a un rayon de2 cm. L’épaisseur est prise égale à1 cm. Le problème est formuléen élasticité linéaire en supposant que le champ des contraintes est plan. Ce qui signifie que letenseur des contraintes s’écrie

σ =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 0

. (5.1)

Le tenseur de déformation est alors donné par

e =

exx exy 0eyx eyy 00 0 ezz

. (5.2)

Toutes ces quantités ne dépendent que des coordonnéesx ety.


5.2 Compression diamétrale d’un disque 31

FIG. 5.2 –Composantes de contrainte (a)σxx, (b)σxy et (c)σyy dans le disque.

Les équations d’équilibre sont identiques à celles que nousavons écrites, §3.3 Eq. (3.15). Laformulation variationnelle reste également la même. En terme de conditions aux limites, sur lesarcsBC etB′C ′, nous imposons une compression diamétrale sous la forme suivante :

σn = −P

√

1−(

θ

α

)2

, (5.3)

oùP correspond à la pression maximale qui est prise pour cette exemple à10 MPa.θ est l’anglefait entre un point courant sur les arcsBC etB′C ′. Ce choix de cette condition aux limites vientde la théorie de Hertz du contact [16]. Sur le reste du disque,les contraintes sont nulles. Pourque le problème soit bien posé, il faut se fixer une valeur du déplacement. Ici, on fixe à zéro lesdéplacements verticaux aux deux pointsD etD′ :

uy = 0, enD etD′. (5.4)

5.2.2 Résultats numériques

Les composantes de contrainteσxx, σxy et σyy sont représentées sur la FIG. 5.2. La compo-santeσxx est très homogène sur l’ensemble du disque avec une valeur del’ordre de0,4 MPa. Endehors des zones localisées autour des contacts,σxx est supérieur à zéro montrant que le maté-riau est sollicité en traction. Cet essai est donc le moyen indirect de faire un essai en traction.Il est également utilisé pour étudier la propagation de fissure. La composanteσxy présente unesymétrie par rapport au centre du disque.σyy montre que le disque est sollicité en compressionoù les valeurs maximales de pression sont obtenues au niveaudes contacts.

L’élasticité linéaire plane peut être formulée de façon théorique à l’aide de la fonction d’Airyce qui permet d’obtenir des solutions analytiques. Le cas dela compression d’un disque a étéétudié par Hertz en 1882, cf. [16]. Dans le cas où la sollicitation se fait suivant la ligneABreprésentée sur la FIG. 5.1, il existe une solution exacte en supposant que la forces’applique enun point. Les deux composantes du tenseur des contraintesσxx etσxy suivant la ligneAA′ sont



-0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015 0,02-5e+06

-4e+06

-3e+06

-2e+06

-1e+06

0

σxx,σyy

y

σxx, sol. num.σxx, sol. num.σxx, Eq. (5.5)σyy, Eq. (5.6)

FIG. 5.3 –σxx et σyy en fonction dey suivant la ligneAA′. Comparaison à la solution donnéepar (5.5) et (5.6).

alors données par [16]

σxx =F

πRe, (5.5)

σyy =−F

πRe

3R2 + y2

R2 − y2, (5.6)

oùF représente la force totale due à la pression appliquée sur les arcsBC etB′C ′. Dans notrecalcul,F vaut274,35 N. On constate que dans cette solution exacte,σxx est indépendant dey.

La FIG. 5.3 donne l’évolution en fonction dey des deux composantesσxx et σxy obtenuesnumériquement. Elles sont comparées aux deux équations indiquées ci-dessus. En dehors de lazone de contact, la comparaison avec la solution exacte est très acceptable.

5.3 Equation de Burgers

Dans cet exemple, nous allons étudier un problème non-linéaire à advection prédominanteoù la méthode de Galerkin est mise en défaut. Pour remédier à ce problème, nous utiliserons uneméthode mixte Galerkin/moindres carrés.


Soit un ouvert à une dimension,Ω =] − 1,1[, repéré par la coordonnéex. L’inconnue,u,vérifie l’équation d’advection/diffusion suivante :

udu

dx− ν

d2u

dx2= 0, (5.7)


5.3 Equation de Burgers 33

oùν est un coefficient de diffusivité.L’équation (5.7) est connue sous le nom d’équation de Burgers stationnaire. Burgers [5] a

proposé cette équation modèle pour étudier la turbulence dans les fluides. Elle est également à labase de la compréhension des phénomènes tels que les trafics routiers.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

u(−1) = 1, (5.8)

u(1) = −1. (5.9)

La solution exacte de cette équation peut être obtenue sans trop de difficulté. Elle prend laforte suivante

uex(x) = A tanh

(

−Ax

2ν

)

, (5.10)

oùA est une constante d’intégration solution de l’équation transcendante

A tanh

(

A

2ν

)

= 1. (5.11)

Si ν est très petit devant un,A tend vers1. Dans la situation inverse oùν est très grand,A tendvers

√2ν. Pour des valeurs quelconques deν, il faut avoir recours à une résolution numérique

pour obtenirA.

5.3.2 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin

Le formulation faible au sens de Galerkin du problème discret consiste à résoudre le problèmesuivant :

Trouveruh ∈ H10 (ω), tel que

a(uh,vh) = 0, ∀vh ∈ H10 (ω), (5.12)

oùa(uh,vh) est donné par

a(uh,vh) =

∫ 1

−1

(

uhduh

dxvh + ν

duh

dx

dvhdx

)

dx. (5.13)

Remarquons quea(uh,vh) n’est ni bilinéaire ni symétrique. Le problème ici ne peut pas êtreinterprété comme un problème d’optimisation. Il peut néanmoins être résolu par la méthodedes éléments finis. Des éléments de typeP2 ont été utilisés. L’utilisation de Comsol Multiphicsr

permet de résoudre le problème non-linéaire à l’aide d’un solveur utilisant la méthode de Newton.La FIG. 5.4 présente l’évolution deu en fonction dex pour trois valeurs deν égales à10−1, 10−2

et10−3.Pour ν = 10−1, la solution numérique est tout à fait régulière. Par contre, pour les plus

faibles valeurs deν, on observe des oscillations dans le profil deu. Ceci est dû au fait qu’avecla diminution deν les termes de diffusion deviennent négligeables. L’advection devient donc



-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

x

u

ν = 10−1

ν = 10−2

ν = 10−3

FIG. 5.4 –Solution numérique de l’équation de Burgers en formulationde Galerkin pourν =10−1, 10−2 et10−3.

prépondérante. La formulation de Galerkin s’avère inadéquate dans ce cadre. En effet, on montreque pour avoir une solution stable en formulation de Galerkin, il faut que l’inégalité suivante soitvérifiée

a(uh,uh) ≥ αh||uh||21. (5.14)

On appelle cette propriété, la coercivité [9]. Or, pour une équation d’advection, le coefficientαh devient très grand et l’inégalité (5.14) n’est plus assurée. En terme matricielle, ceci revient àavoir un système avec une matrice mal conditionnée rendant difficile la recherche d’une solution.

Il convient de trouver un remède à ce problème. Une des solutions est de faire une discréti-sation plus fine car on donne dans ce cas un caractère plus important aux termes de diffusion.Pour des équations comme l’exemple traité ici c’est possible car le nombre de degrés de libertéreste faible. Dans des situations générales, ce n’est pas souhaitable pour des raisons de temps decalcul. L’autre solution est de changer de formalisme ce quiest proposé ci-dessous.

5.3.3 Solution à l’aide de la méthode de Galerkin/moindres carrés

La perte du caractère elliptique entraîne que la méthode de Galerkin n’est plus optimale pourrésoudre les problèmes à forte dominance hyperbolique. Ceci a souvent été interprété commeune impossibilité pour la méthode des éléments finis de résoudre des équations hyperboliques. Ilest possible de remédier à cette difficulté en utilisant la méthode des moindres carrés. En effet,à l’aide de cette dernière, on minimise l’erreur quadratique du résidu de l’équation discrétisée.Cette formulation vue dans le chapitre 3 prend la forme suivante lorsqu’on l’applique à l’équationde Burgers étudiée ici :

∫ 1

−1

(

uhduh

dx− ν

d2uh

dx2

)(

vhdvhdx

− νd2vhdx2

)

dx = 0. (5.15)


5.3 Equation de Burgers 35

On retrouve dans ce cas un opérateur symétrique ce qui conduira sous forme discrétisée à desmatrices symétriques qui sont toujours régulières et donc faciles à inverser. Les espaces danslesquels se trouventuh etvh n’ont pas été précisés. La présence de dérivée seconde entraîne qu’ilfaut donner un sens suffisamment régulier à ce type de terme. Or, ceci ne peut pas être fait sinous nous limitons à des espaces de typeH1 conforme. En effet, siuh est dans un espaceH1,sa première dérivée aura une image dans un espaceL2 et la dérivée seconde dans un espaceencore moins régulier qui ne peut être réalisé à l’aide de la méthode des éléments finis où seul lacontinuité des champs est imposée au passage d’un élément à un autre.

Une des façons pour remédier à cette difficulté est de prendredes espaces plus riches enutilisant des éléments finis qui se trouvent dans des espacesH2 conforme [2]. Une autre façonde faire est de coupler la formulation de Galerkin avec celledes moindres carrés. Le principe dela méthode repose sur le fait que sur chaque élément du maillage la quantité du type

uhduh

dx− ν

d2uh

dx2, (5.16)

a un sens car toutes les fonctions engendrées sur les espacesH1 sontC∞ sur chaque élément [9].Ainsi, la formulation Galerkin/moindres carrés s’écrit sous la forme :

Trouveruh ∈ H10 (ω), tel que

a(uh,vh) +∑

K∈Ωh

τ(hK)

∫

K

(

uhduh

dx− ν

d2uh

dx2

)(

vhdvhdx

− νd2vhdx2

)

dx = 0, (5.17)

∀vh ∈ H10 (ω).

K désigne un élément fini etΩh au maillage sur le domaineΩ. τ(hK) est une fonction de la taillede la maille notée icihK . Cette quantité doit être dimensionnellement une fonctionenhK/u ouenh2

K/ν. Hauke et Hughes [15] proposent une forme générale qui prendla forme suivante pournotre exemple traité ici :

τ(hK) = min

(

hK

|uh,K|,h2K

12ν

)

, (5.18)

où |uh,K| correspond à la valeur absolue deuh sur l’élémentK. Le coefficient numérique1/12provient de l’estimation de la dérivée seconde des fonctions de base.

La résolution numérique de la formulation (5.17) est faite àl’aide de Comsol Multiphysicsr

où l’intégrale du terme de moindres carrés est ajouté. La FIG. 5.5 donne l’évolution deu enfonction dex obtenue à l’aide de la formulation Galerkin/moindres carrés pourν = 10−4. Deuxdiscrétisations ont été utilisées : l’une avec100 éléments et une deuxième avec400 éléments. Lesrésultats numériques sont comparés à la solution exacte, Eq. (5.10). La solution numérique neprésente plus d’oscillations. Avec le maillage le moins raffiné, la zone oùu passe de1 à−1 sefait sur quelques éléments. En raffinant le maillage, cette zone se réduit et la variation très brutaleest très bien capturée avec le maillage fin.

La formulation de Galerkin/moindres carrés a été vue ici surun exemple très simple. Elle peutêtre étendue à une forme très générale présentée dans l’article [15] où les auteurs l’utilisent pourdes écoulements avec des ondes de choc. La formulation de Galerkin/moindres carrés est très



-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

-1

-0,5

0

0,5

1

x

u

N = 100N = 400Sol. exacte, Eq. (5.10)

FIG. 5.5 –Solution numérique de l’équation de Burgers en formulationde Galerkin/moindrescarrés pourν = 10−4 avec deux maillage. Comparaison avec la solution exacte, Eq. (5.10).

FIG. 5.6 –Géométrie et maillage d’un demi-cylindre de longueur2 et de diamètre unité.

bien adaptée pour décrire des problèmes à forte dominante hyperbolique que l’on rencontre enmécanique des fluides compressibles ou lorsque la viscositédevient très faible. Nous en donnonsun exemple dans la prochaine section.

5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre

L’exemple de cette section traite de la résolution numérique des équations de Navier-Stokesinstationnaire sur une géométrie tridimensionnelle. La géométrie correspond à un cylindre coupéen deux. Le problème est écrit sous forme réduite où l’échelle caractéristique est le diamètre ducylindre. La longueur du cylindre est prise à deux fois le diamètre. La géométrie et le maillagesont montrés sur la FIG. 5.6.

L’écoulement est généré en faisant glisser le plan horizontal, z = 0, suivant la directionx.


5.4 Ecoulement forcé dans un demi-cylindre 37

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

t

Ux

Re = 200Re = 2000

FIG. 5.7 –La composanteU de la vitesse en un point de coordonnées(0,1,O,25) en fonction dutemps pourRe = 200 et2000.

Les équations de l’écoulement sont les suivantes

divU = 0, (5.19)∂U

∂t+ gradU ·U = −gradP +

1

Re∆U . (5.20)

Le problème normalisé ne dépend que d’un seul paramètre,Re correspondant au nombre deReynolds défini par

Re =ρUD

µ, (5.21)

où ρ est la masse volumique,µ la viscosité dynamique,U est la vitesse de glissement du planz = 0 etD est le diamètre du conduit. Les conditions aux limites sont de types non glissement.Sur la planz = 0, la vitesse est égale àU = ex oùex est le vecteur unitaire suivant la directionx.

Ce problème est résolu numériquement à l’aide de Comsol Multiphysicsr où des éléments deTaylor-Hood,P2/P1, sont employés. Il est formulé à l’aide de la méthode de Galerkin/moindrescarrés. Le problème étant instationnaire l’avancement en temps se fait à l’aide d’une méthoded’intégration empruntée à la résolution des systèmes d’équations différentielles ordinaires, cf.pour plus de détails [32], chap 7. Le problème étant non linéaire, le système matriciel est résolueà l’aide d’une méthode de type Newton.

Deux calculs ont effectué pourRe = 200 et 2000. A priori, les conditions aux limites nechangeant pas avec le temps, on s’attend à trouver une solution stationnaire. Néanmoins, leséquations de Navier-Stokes peuvent conduire à des instabilités contrôlées par un paramètre, ici ils’agit du nombre de Reynolds. La FIG. 5.7 présente l’évolution de la composante suivant l’axex pour un point de coordonnées(0; 1; 0,25) pourRe = 200 et2000.



Les comportements en fonction du nombre de Reynolds sont très différents. Pour,Re = 200,l’écoulement tend vers un état stationnaire. L’écoulementest constitué d’une seule cellule engen-drée par le glissement du planz = 0. Par contre, àRe = 2000, l’écoulement est instationnaire.L’instabilité de ce type d’écoulement est connue sous le nomd’instabilité de Görtler. Cette der-nière est due au fait que le fluide au cours de son mouvement subit des forces centrifuges causéespar la courbure du cylindre. Il se forme alors un écoulement secondaire.


Travaux dirigés 39

Chapitre 6

Travaux dirigés

Ce dernier chapitre décrit les exercices qui seront vus lorsdes travaux dirigés réalisés à l’aidede Comsol Multiphysicsr. Nous proposons trois exercices dont le premier est un exemple em-prunté directement dans la bibliothèque de modèles de Comsol Multiphysicsr. Le but de cepremier exercice est de se familiariser avec le logiciel surun cas très simple. Les deux autresexercices ont des liens plus forts avec des applications touchant le verre dans son état solide etliquide.


40 Travaux dirigés

6.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel


6.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel 41


42 Travaux dirigés


6.1 Equation de Poisson avec un terme source ponctuel 43


44 Travaux dirigés


6.2 Propagation de front de fissure 45

A B C

DEF

l

w

a

r

ux = 0

uy = 0

FIG. 6.1 –Géométrie de l’éprouvette sollicitée en compression.

l (mm) 20w (mm) 2r (mm) 0,4a (mm) 10e (mm) 5

TAB. 6.1 –Valeurs des coefficients géométriques de l’échantillon soumis à une compression.

6.2 Propagation de front de fissure

La propagation des fissures avec corrosion sous contraintesdans les matériaux fragiles commele verre présente beaucoup d’intérêts pour étudier la tenuede ces matériaux. On imagine très bienles applications possibles par exemple comme la tenue des pare-brises suite à un choc ou à l’ini-tiation d’une fissure. Dans cet exercice, nous reproduisonsune étude numérique faite dans lecadre de la thèse de Pallares [25]. Il s’agit de la sollicitation en compression d’un verre de faibleépaisseur sur lequel une fissure est initiée.

6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et propriétés mécaniques

La géométrie de l’échantillon est très simple : il s’agit d’un barreau percé d’un trou localiséau milieu de l’éprouvette. Comme le problème présente deux symétries, seulement un quart dudomaine est considéré pour la simulation numérique. La géométrie est représentée sur la FIG.6.1. La demi-longueur de l’échantillon est notéel, sa demi-hauteurw. Le trou a un rayonr. Onconsidère qu’une fissure a été initiée faisant une longueura.

Le tableau 6.1 donne les valeurs à prendre pour cet exercice.

Les conditions aux limites sont les suivantes : sur la frontièreBC, on impose un déplacementnul suivanty, uy = 0 ; sur EF , un déplacement nul suivant l’axex, ux = 0 ; sur CD, unecontrainte de compression égal à10 MPa. Les autres parties de la frontière sont laissées libre decharge,σ · n = 0.

Les propriétés du matériau sont celles d’un verre. Elle sontrésumées dans le TAB. 6.2.


46 Travaux dirigés

Propriété Valeur UnitéE 70 · 109 Paν 0,23 –ρ 2500 kg/m3

TAB. 6.2 –Propriétés mécaniques utilisées pour le calcul d’élasticité.

Ox

yP

rθFissure

FIG. 6.2 –Fissure et système de coordonnées polaire à la pointe de la fissure.

6.2.2 Rappel sur le facteur d’intensité de contrainte

Lorsque l’on sollicite l’échantillon en compression, il subit une traction suivant la directiontransverse. Ainsi, la fissure, artificiellement créée, est soumise en traction correspondant au modeI de sollicitation d’une fissure. Pour un domaine infini commereprésenté sur la FIG. 6.2, subis-sant une traction uniforme suivant l’axey, les composantes du tenseur des contraintes s’écrivent[21]

σxx =KI√2πr

cos

(

θ

2

)[

1− sin

(

θ

2

)

sin

(

3θ

2

)]

, (6.1)

σyy =KI√2πr

cos

(

θ

2

)[

1 + sin

(

θ

2

)

sin

(

3θ

2

)]

, (6.2)

σxx =KI√2πr

sin

(

θ

2

)

cos

(

θ

2

)

cos

(

3θ

2

)

. (6.3)

Le champ de déplacement est donné par

ux =KI

2E

√

r

2π(1 + ν)

[

(2κ− 1) cos

(

θ

2

)

− cos

(

3θ

2

)]

, (6.4)

uy =KI

2E

√

r

2π(1 + ν)

[

(2κ− 1) sin

(

θ

2

)

− sin

(

3θ

2

)]

, (6.5)

oùκ = (3 − ν)/(1 + ν) en contrainte plane.r et θ sont les coordonnées polaires dont l’origineest prise à la pointe de la fissure, cf. 6.2.KI est le facteur d’intensité de contrainte dans le modeI.


6.3 Transfert de masse autour d’une bulle en ascension dans un verre en fusion 47

6.2.3 Simulation dans Comsol Multiphysicsr

Le calcul présentera les caractéristiques suivante :– 2D ;

– Calcul de mécanique des structures ;– Stationnaire.

La géométrie est assez simple à réaliser. Dans la mesure où l’on souhaite faire varier lesdimensions géométriques, par exemple la longueur de la fissure, il est préférable de définir aupréalable l’ensemble des grandeurs définisant la géométriedu problème en suivant le TAB. 6.1et les indications données dans la sous-section 6.2.1. On fera de même par les propriétés dumatériau selon le TAB. 6.2.

Concernant la géométrie, on commencera par faire un rectangle de longueurl et de largeurw.Ensuite, on placera un disque centré au niveau de l’origine du repère cartésien ayant pour rayonr. La différence booléenne entre ces deux objets permettra dedéfinir la géométrie. Finalement,on placera un point correspondant à la pointe de la fissure ayant pour coordonnées(a,0).

Le matériau sera défini en spécifiant le module de Young, le coefficient de Poisson et la massevolumique.

Pour le modèle, on choisira l’option contrainte plane. Les conditions aux limites seront spé-cifiées en suivant ce qui est résumé sur la FIG. 6.1.

Le calcul sera fait en choisissant le solveur où un raffinement automatique est fait afin deminimiser les erreurs de calcul.

L’exploitation consistera à sortir l’évolution du déplacement depuis la pointe de la fissure età déterminer le facteur d’intensité de contrainte suivant les développements rappelés ci-dessus.

6.3 Transfert de masse autour d’une bulle en ascension dansun verre en fusion

Les transferts de masse sont importants dans le cadre de l’élaboration des verres. Ils condi-tionnent l’évolution du volume des bulles en mouvement dansle verre fondu [26, 27]. Cet exer-cice a pour but de calculer le coefficient de transfert de masse. Sin désigne le nombre de molesd’une espèce au sein d’une bulle de rayona, l’évolution temporelle den varie selon l’équationsuivante

dn

dt= 2πaShD(C∞ − CS), (6.6)

oùD est le coefficient de diffusion,C∞ la concentration molaire à l’infini,CS celle à la surfacede la bulle.Sh est le nombre de Sherwood correspondant au coefficient de transfert de massenormalisé. Il est défini par la relation

Sh =

∫

SD ∂C

∂n|SdS

2πaD(C∞ − CS), (6.7)

oùS est la surface de la bulle.


48 Travaux dirigés

ephi

rho

ez

erhox

y

z

φ

FIG. 6.3 –Système de coordonnées cylindrique,(r,φ,z).

Le nombre de Sherwood dépend de la compétition de deux modes de transfert : la diffusionet la convection. Dans cet exercice, on se propose de calculer le nombre de Sherwood.


Pour faire le calcul du nombre de Sherwood, il faut résoudre l’équation décrivant le transportde la concentrationC. On prend en compte dans ce problème le déplacement de la bulle. On ad-met que la vitesse de déplacement de la bulle est donnée par lasolution d’Hadamard-Rybczynski[13, 31]. Le problème admettant une symétrie de révolution,on utilise le système de coordonnéescylindriques(r,φ,z) illustré sur la FIG. 6.3.

Le problème est écrit sous une forme normalisée. L’équationd’advection/diffusion est alorsla suivante :

uz∂C

∂z+ ur

∂C

∂r=

1

Pe

[

1

r

∂

∂r

(

r∂C

∂r

)

+∂2C

∂z2

]

, (6.8)

oùur etuz, les deux composantes de la vitesse normalisées par la vitesse d’ascension de la bulle,sont donnée par [28]

ur =zr

4(z2 + r2)3/2, (6.9)

uz = −1 +r2 + 2z2

4(z2 + r2)3/2. (6.10)

Pe désigne le nombre de Péclet ainsi défini

Pe =2aUT

D , (6.11)

oùUT est la vitesse d’ascension de la bulle.La géométrie du problème est définie suivant la FIG. 6.4. La bulle a un diamètre unité car

le diamètre réel a été utilisé pour normaliser le problème. Pour prendre en compte l’écoulementautour de la bulle, on la place sur un disque représentant le verre. Comme le problème est forte-ment dépendant des mouvements de la bulle, la position de cette dernière est décentrée de façonà décrire correctement son sillage.S est la surface de la bulle. La surface du grand disque estdécoupée en deux afin d’aménager les conditions aux limites.


6.3 Transfert de masse autour d’une bulle en ascension dans un verre en fusion 49

z

rSΓ1

Γ2

FIG. 6.4 –Domaine de calcul autour de la bulle dans le plan(z,r).

Les conditions aux limites pourC sont les suivantes :

C = 1, surS, (6.12)

C = 0, surΓ1, (6.13)∂C

∂n= 0, surΓ2. (6.14)

Ceci définit l’ensemble des éléments pour faire le calcul.

6.3.2 Simulation dans Comsol Multiphysicsr

Le modèle aura les caractéristiques suivantes :– 2D axi ;– Equation d’advection/diffusion disponible dans le module de transport d’espèce chimique ;– Stationnaire.On définira un paramètre, notePe, correspondant au nombre de Péclet que l’on prendra égal

pour un premier calcul à100.La géométrie sera faite en définition un demi-disque de rayonégal à20. On placera un autre

demi-disque de rayon unité dont le centre sera situé à deux fois le diamètre du petit disque depuisle haut du grand demi-disque. On placera un point à la coordonnéez = 0 et r = 20. Ensuite, lagéométrie sera finalisée en faisant la différence booléennedes deux disques.

Concernant l’équation, on rentrera comme coefficient de diffusion1/Pe. Les deux compo-santes de vitesses seront définies suivant les relations (6.9) et (6.10) en changeant le signe afin deprendre la situation d’une bulle fixe placée dans un écoulement descendant. Les conditions auxlimites seront définies comme présenté ci-dessus.

Pour le solveur, on utilisera le raffinement automatique afinde bien résoudre la couche limiteautour de la bulle. Ceci sera surtout vrai lorsque le nombre de Péclet devient grand.

Lorsque le calcul sera fini, on fera le calcul de l’intégrale du flux à la surface de la bulle quinous donnera directement le nombre de Sherwood. Ce calcul sefait en faisant une intégration surle contour de la bulle du flux de concentration,∂C/∂n. Pour tenir compte de la prise en comptedu coefficient diffusion, il convient de multiplier la valeur de l’intégrale par un facteurPe/π.


50 Travaux dirigés

On cherchera à voir quelle loi suitSh en fonction dePe afin de vérifier la solution de Levich[22] qui montre que

Sh = 0.651√Pe. (6.15)


BIBLIOGRAPHIE 51

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[35] O. C. Zienkiewicz.The finite element method. McGraw-Hill Book Company, Maidenhead,1977.


Index

Accélération, 4

Coefficient de Poisson, 8Coercivité, 34Compression diamétrale, 30Condition de Dirichlet, 15Condition de Neumann, 15Conditions aux limites, 6, 14, 15

essentielles, 23naturelles, 23

Configuration, 3Configuration de référence, 6Contraintes planes, 30Convention d’Einstein, 6Convention universelle de la mécanique des mi-

lieux continus, 5Coupure, 5

Descriptioneulérienne, 8Lagrangienne, 8

Décomposition canonique, 7Déformation, 3Déplacement, 6Dérivée

matérielle, 9

Elasticité, 6linéaire, 7, 16, 30

ElémentP2, 33

Elément fini, 25P1, 26P2, 26P3, 26Q1, 26

Q2, 26Q3, 26conforme, 25de Lagrange, 25non-conforme, 25

Ensemble matériel, 3Equation, 13

d’advection/diffusion, 32de Burgers, 33de contniuité, 10de diffusion, 14de Laplace, 14de Poisson, 15, 40des cordes vibrantes, 14elliptique, 13hyperbolique, 13parabolique, 13

Equations, 1aux dérivées partielles, 1, 13de Navier, 8, 14de Navier-Stokes, 36de Stokes, 11, 18

Espace de Sobolev, 15

Facteur d’intensité de contrainte, 46Fissure, 45Fluide

de Stokes, 11newtonien, 11

Fonction de base, 19Fonction de Dirac, 20Fonction poids, 20Fonction test, 15Formulation

faible, 16Formulation variationnelle, 14


54 INDEX

Homogénéité, 7

Instabilitéde Görtler, 38

Loi de comportement, 6, 7Loi horaire, 4, 8

Maillage, 22non structuré, 27uniforme, 22

Maille, 22Matrice

creuse, 28Module de Young, 8Mouvement, 3

stationnaire, 9Mécanique, 3

classique, 3des fluides, 3des milieux continus, 3des structures, 3

Méthode, 1de collocation, 20de Galerkin, 20, 23de Newton, 33des différences finies, 1, 20, 23des moindres carrés, 20des résidus pondérés, 19des sous-domaines, 20des volumes finis, 1des éléments finis, 21Galerkin/moindres carrés, 32

Nombrede Péclet, 48de Reynolds, 37de Sherwood, 47

Points matériels, 3Principe, 3

de la conservation de la masse, 4, 10de la dynamique, 4, 6, 10

Problème, 1

continu, 1de minimisation, 16de Stokes, 27elliptique, 14, 21

Problèmebien posé, 13

Tenseur, 5de contrainte, 5des contraintes, 10, 30des taux de déformation, 11élastique, 7

Torseur, 4des efforts, 4dynamique, 4

Transfert de masse, 47

Variablesd’Euler, 9de Lagrange, 8

Vitesse, 4


Documents

Simulation numérique à l’échelle macroscopique par la ...svi.cnrs.fr/spip/IMG/pdf/coursmef.pdf · 1 Introduction 1 2 Rappel de ... 6.2.1 Géométrie, conditions aux limites et