A11. Représentation des tensions et des courants sinusoïdaux

Vecteurs et nombres complexes

OM→

= [ρ ; ϕ] z =

ρ ; ϕ[ ] coordonnéespolaires

a + jb coordonnéesrectangulaires

Vecteurs Nombres complexes

longueur || OM→

|| = ρ |z| = ρ module

angle ( OX→

, OM→

) = ϕ Arg(z) = ϕ argument

abscisse de M Proj ( OM→

)/OX = a Re(z) = a partie réelle

ordonnée de M Proj ( OM→

)/OY = b Im(z) = b partie imaginaire

z = ρ(cosϕ + jsinϕ) = ρ ej ϕ

formule d’Euler

Transformations de coordonnéesPolaires → Rectangulaires : Rectangulaires → Polaires :

a = ρcosϕb= ρsinϕ

ρ = a2 + b2

ϕ = arctanb

asi a> 0

= arctanba

+ π si a < 0

!

NB1 : nombres complexes remarquables :

ej π = −1 car : cosπ + j sinπ = −1

ej

π2 = j car :

cos

π2

+ j sinπ2

= j ou : e

j π2 = ej π( )1/ 2

= ej π = −1 = j

e− j

π2 = − j car :

cos −

π2

+ j sin −

π2

= − j ou :

e− j

π2 =

1

ej π

2

=1

j= − j

NB2 : produit de nombres complexes

V = T.U ⇔

V = T .U ou, plus simplement : V = T.U

Arg(V ) = Arg(T ) + Arg(U ) ou : ϕV = ϕT + ϕU

G. Pinson - Physique Appliquée Tensions et courants sinusoïdaux - A11 / 1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tensions et courants sinusoïdaux ("régime harmonique")

• Représentation analytique : u(t) = U sin (ωt + ϕ) = U sin [ω(t + ∆t) ] :

U

T t

ωt

T

T/2 3T/2

0

U : amplitude (V)T : période (s) f : fréquence (Hz)

ω = 2πf =

2πT

: pulsation (rad/s)

ϕ : phase (° ou rad)

∆t =

ϕω

: décalage horaire (s)

−ϕ−∆t

NB : ϕ > 0 : AVANCE ϕ < 0 : RETARD

u = U sin (ωt + π/3) u = U sin (ωt – π/3)

• Représentation de Fresnel :

y

x 0

U r

U ω rad/s

ϕ

• Représentation complexe : u(t ) = U ej(ωt+ϕ) =U ejω t

avec U = U ejϕ

= [U ; ϕ] : amplitude complexe(quantité indépendante du temps)

• Remarques à propos des représentations de Fresnel et complexe :

1°) La représentation complexe est plus puissante que la représentation vectorielle, puisqu'elle permet de représenter la grandeur sinusoïdale u(t) à tout instant, et non seulement à l'instant origine.

La partie indépendante du temps, ou amplitude complexe, correspond au vecteur de Fresnel r

U , qui est dessiné à l'instant t = 0.⇒ la représentation de Fresnel est une photo, la représentation complexe une vidéo !

2°) Par rapport à la représentation analytique, vecteurs et nombres complexes présentent une ambiguité, puisqu'ils peuvent représenter aussi bien la fonction :

U sin(ωt+ϕ) = Proj ( r

U )/OY = Im(u) représentation européenne

G. Pinson - Physique Appliquée Tensions et courants sinusoïdaux - A11 / 2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

que la fonction :

U cos(ωt+ϕ) = Proj ( r

U )/OX = Re(u) représentation américaine (utilisée aux USA)

Il convient donc de choisir l'une de ces représentations :

DANS TOUTE LA SUITE, NOUS UTILISERONS LES FONCTIONS EN SINUS

Un fonction en cosinus, par exemple U cos(ωt+ϕ), s'écrira donc : U sin (ωt+ϕ+π/2).

G. Pinson - Physique Appliquée Tensions et courants sinusoïdaux - A11 / 3----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Dérivée ⇔ avance de phase de π/2 :

R. Analytique : u(t ) = U sin ωt + ϕ( ) ⇒

du

dt= ωU cosωt + ϕ( ) = ωU sin ωt + ϕ +

π2

R. Fresnel :

ϕ

r

U

dr

U

dt

ωU +π/2

R. Complexe : u(t ) = U e jωt ⇒

du

dt= jωUe jω t = jωu avec jωu = ωUe

j ωt+ϕ+ π2

• Intégrale ⇔ retard de phase de π/2 :

R. Analytique : u(t ) = U sin ωt + ϕ( ) ⇒ udt∫ = −

U

ωcosωt + ϕ( ) =

U

ωsin ωt + ϕ −

π2

R. Fresnel :

ϕ

r

U

r U ∫ dt

U/ω

– π/2

R. Complexe : u(t ) = U e jωt ⇒ udt∫ =

1

jωUejωt =

u

jω avec

u

jω=

U

ωe

j ω t+ϕ−π2

Notation de Laplace

• En régime transitoire (cf § A14) :

pu ↔du

dtu

p↔ u.dt∫

• En régime harmonique : p = jω

G. Pinson - Physique Appliquée Tensions et courants sinusoïdaux - A11 / 4----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------