SMP (S3)fsac.weebly.com/uploads/1/1/1/3/11138722/reseauxcristallins.pdf · Réseaux cristallins Distance entre deux droites consécutives d’une rangée [m n] pour un réseau carré

SMP (S3)

Réseaux cristallins

M.Katih

Faculté des sciences de Tétouan

Septembre 2011


ar

br

cr

Une maille primitiveRéseau = Ensemble des nœuds

M. Katih, Faculté des sciences de Tétouan 1

ar

br

cr

Nœuds

ar

cetbarrr

,

sont les éléments d’une

base primitive


Définition :Les cristaux sont des corps dans lesquels les particules qui

les constituent sont disposées suivant une période rigoureuse

en formant un motif cristallin régulier.

Motif cristallinMotif cristallin

Atome ou

groupement d’atomes

constituant l’unité

structurale affectée à

un nœud du réseau



Vecteurs de translation :

Nœud 2

'Rr

RRTrrr

−= '

entiersdessontpnm

réseaudubasedevecteurssontcba

cpbnamT

,,

3,,rrr

rrrr++=

Nœud 1

Rr


Un exemple à deux

dimensions qui montre que

le choix des vecteurs de

base et n’est pas

unique.

ar

br


Les parallélogrammes associés aux vecteurs de base ont des

aires égales, ils constituent les mailles primitives .

M1 et M2 sont des

mailles primitives.


M3 et M4 ne le

sont pas.

Les rangées 2D :


M. Katih, Faculté des sciences de Tétouan

arb

r

Rangées : [1 0] [0 1] [1 1] [1 -1] [2 1] [3 -1]

5


Les équations cartésienne des droites de la

rangée [m n] :

Origine O

Nœud N

)1(bnamONrr

+=La droite (ON) est l’ensemble

des points M tel que :

)2(0r

=∧ ONOM


Origine O )2(0

Les coordonnées cartésiennes (x,y) du point M dans la base sont tel que : ),( barr

)3(byaxOMrr

+=

(1) et (3) dans (2) 0=− mynx

Les équations des droites de la rangée [m n] sont alors de la forme :

)( relatifentierrrmynx =−

Exemple :


02 =− yx

12 −=− yx

22 −=− yx

12 =− yx

22 =− yx

0=+ yx 2=+ yx

2−=+ yx

M. Katih, Faculté des sciences de Tétouan

arb

r

Rangées : [2 1] [-1 1]

7

22 =− yx

1=+ yx1−=+ yx


ar

br

O A

B

La rangée

[m n]


O A

n

aOA

r

=

m

bOB

r

=

Réseaux cristallinsDistance entre deux droites consécutives d’une rangée

[m n] pour un réseau carré :

br

0. === baetabarrrr

][

)(

nmrangéela

àlaireperpendicuest

bmanvecteurLerr

−

)(.

abmanOAd =

−= r

rr


ar

O A

n

aOA

r

=

][ nmrangéela22

)(.

nm

a

bman

bmanOAdmn

+=

−

−= rr

Réseaux cristallinsDistance entre deux droites consécutives d’une rangée

[m n] pour un réseau rectangulaire :

br

0. =≠ baetbarrrr

)(22

àlaireperpendicuest

bmaanbvecteurLerr

−

22 )( bmaanb −rr


ar

O A

n

aOA

r

=

][ nmrangéela

2222

22

22 )(.

bnam

ab

bmaanb

bmaanbOAdmn

+=

−

−= rr

rr

Un réseau ne peut posséder que des axes de rotation d’ordre

un, deux, trois, quatre ou six.

Un réseau ne peut posséder que des axes de rotation d’ordre

un, deux, trois, quatre ou six.

Démonstration :

αn

πα 2=a

αcos2aal +=

aUn réseau possède


αn

πα 2=

aun axe de rotation

d’ordre n si une

rotation autour de

cet axe d’un angle

de 2π/n laisse le

cristal invariant.

l ne peut être un multiple entier de a

que pour des valeurs de α = 2π/1,

2π/2, 2 π /3, 2π /4 ou 2 π /6. D’où le

résultat.

a étant la longueur d’un élément

des vecteurs de base.


Réseaux cristallinsSystèmes cristallins à deux dimensions

(Système oblique)Axes de rotation d’ordre un et deux


arb

r

0. ≠≠ baetbarrrr


(Système carré)

r

Caractérisé par l’axe de rotation d’ordre quatre


arb

r

0. == baetbarrrr


(Système rectangulaire)Caractérisé par deux plans de symétrie


ar

br

0. =≠ baetbarrrr


(Système rectangulaire centré)

arb

r

Caractérisé par deux plans de symétrie


0. ≠= baetbarrrr


(Système hexagonal)

ar

br

Caractérisé par l’axe de rotation d’ordre trois


b

3

2),('

π== baangleletba

rrrr

Réseaux cristallinsSystèmes cristallins à deux dimensions :Il y a cinq réseaux de Bravais à deux dimensions compatibles avec

les opérations du groupe ponctuel associé aux nœuds du réseau.

Oblique, n’est invariant que par des rotations de 2π et de 2π/2

Les autres, peuvent être invariants par des rotations de 2π/3, 2π/4 ou

2π/6 ou des symétries par rapport à un plan.


arb

r

arb

r

arb

r

ar

br

ar

br

Oblique

Carré

Rectangulaire

Rectangulaire centré

Hexagonal

[1 1 1][1 2 0]Les rangées 3D :


arb

r

cr


[0 3 -1]

[3 3 -2]


Les équations cartésienne des droites de la

rangée [m n p] :

Origine O

Nœud N

)1(cpbnamONrrr

++=La droite (ON) est l’ensemble

des points M tel que :

)2(0r

=∧ ONOM


Origine O )2(0

Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) du point M dans la base sont tel que : ),,( cbarrr

)3(czbyaxOMrrr

++=

(1) et (3) dans (2)

=−

=−

0

0

nzpy

mynx

Les équations des droites de la

rangée [m n p] sont alors de la

forme :

=−

=−

entiernombrenzpy

entiernombremynx


N

[m n p]py – nz = 0Représentation

graphique :

arb

r

cr


O

nx – my = 0


Changement de base : (Matrice de passage)

),,( cbaBrrr

= une base primitive,

)',','(' cbaBrrr

= une autre base tel que :

++=

++=

cpbnamb

cpbnamarrrr

rrrr111

'

'

( )

=⇒

321

'nnn

mmm

PB


++=

++=

cpbnamc

cpbnambrrrr

rr

333

222

'

' ( )

=⇒

321

321'

ppp

nnnPB

B

( )'BBP est la matrice de passage de B à B’.

Ces colonnes sont les coordonnées des éléments de

B’ dans la base B.


Changement de base : (Rangées)

O

N� Rangée [m n p] relativement à la base B

� Rangée [m’ n’ p’] relativement à la base B’

'''''' cpbnamcpbnamONrrrrrr

++=++=


( )

=

=

'

'

'

'

'

''

321

321

321

p

n

m

P

p

n

m

ppp

nnn

mmm

p

n

mB

B

( ) ( ) ( ) 1det', ''

1' ±==− B

BB

BB

B PalorsprimitiveBsiPP


Plans réticulaires : (Définition)

Deux rangées [m n p] et [m’ n’ p’] Une famille des

plans réticulaires

Relativement à une même base ),,( cbaBrrr

=

⇒N

[m n p]

La famille des plans


arb

r

cr

[m’ n’ p’]

O

N’

La famille des plans

réticulaires est

l’ensemble de tous les

plans parallèles au plan

(ONN’) et qui passent

par les nœuds du réseau


Plans réticulaires : (Equation cartésienne)

Deux rangées [m n p] et [m’ n’ p’] Une famille des

plans réticulaires

Relativement à une même base ),,( cbaBrrr

=

⇒

cpbnamONetcpbnamONrrrrrr

'''' ++=++=

Le plan (ONN’) est l’ensemble des points M tel que :


Le plan (ONN’) est l’ensemble des points M tel que :

0)'.( =∧ ONONOM

0

'

'

'

=⇒++=

ppz

nny

mmx

czbyaxOMrrr


Plans réticulaires : (Indices de Miller)

0...0

'

'

'

=++⇒= zyx

ppz

nny

mmx

γβα

lNkNhN ..,. === γβα

N est le plus grand

multiple commun des

trois entiers


lNkNhN ..,. === γβαtrois entiers

γβα et,

h, k et l sont

les indices de

Miller

L’éq. du plan (ONN’) :

0=++ lzkyhx

h, k et l sont trois

entiers premiers

entre eux


Plans réticulaires : (Indices de Miller)

La famille des plans réticulaires (h k l) est

l’ensemble des plans parallèles d’équations :

K;3;2;1;0 ±±±=++ lzkyhx

=h

aOA

r


ar

br

cr

O A

C

B

=

=

=

l

cOC

k

bOB

hOA

r

r


Plans réticulaires : (Distance interréticulaire)

cr

C

=

=

c

k

bOB

h

aOA

r

r

r


Aar

br

O

C

B

=

l

cOC

r

H

,.ACAB

ACABOAOHdhkl

∧

∧==

hkl

balackcbhACAB

rrrrrr∧+∧+∧

=∧

hkl

V

hkl

cbaACABOA maille=

∧=∧

).().(

rrr

balackcbh

Vd maille

hkl rrrrrr∧+∧+∧

=⇒


Plans réticulaires : (Distance interréticulaire)

� Pour un réseau orthorhombique )0...( cbaetcacbba ≠≠===rrrrrr

222

1

+

+

=

c

l

b

k

a

h

dhkl


� Pour un réseau cubique )0...( cbaetcacbba =====rrrrrr

222lkh

adhkl

++=

Hypothèses de Bragg :

�Les rayons X se réfléchissent sur

les plans réticulaires d’un réseau

cristallin comme sur un miroir

partiellement transparent. On peut montrer que la

La loi de Bragg :


partiellement transparent.

� On obtient un renforcement du

faisceau diffracté dans une direction

donnée si les rayonnements réfléchis

sur les plans réticulaires successifs

d’une même famille présentent entre

eux une différence de marche qui est

multiple entier de la longueur d’onde.

On peut montrer que la

différence de marche δ =

H2A2+A2H’2 s’écrit sous la

forme :

θ

αθαθα

δ

sin2

)]sin()[sin(cos

hkl

hkl

d

d

=

−++=

Qui doit être un multiple

entier de la longueur d’onde.



Systèmes cristallins à trois dimensions :

La distinction entre les systèmes se fait

en donnant les relations qui relient les

paramètres cristallins a, b, c, et les

angles α, β, γ de la maille.

Il n’existe que sept possibilités br

Une maille

tridimensionnelle

β Il n’existe que sept possibilités

correspondant aux sept systèmes

cristallographiques :

Cubique, quadratique, orthorhombique, hexagonal, trigonal,

monoclinique et triclinique.

Si dans ce classement on inclut certains réseaux multiples, on

obtient les 14 réseaux de bravais à trois dimensions.


ar

b

cr

αβ

γ

Les

qu

ato

rze

rése

au

x d

e B

ravais

dan

s l’

esp

ace

à t

rois

dim

ensi

on

s Cubique

Quadratique

Orthorhombique

0... ===

==

cacbba

cbarrrrrr

0... ===

≠=

cacbba

cbarrrrrr

0... ===

≠≠

cacbba

cbarrrrrr

Cubique simple Cubique centrée Cubique à faces centrées

Les

qu

ato

rze

rése

au

x d

e B

ravais

dan

s l’

esp

ace

à t

rois

dim

ensi

on

s


Hexagonal Trigonal TricliniqueMonoclinique

0... === cacbba

3/2),(

0..

π=

==

≠=

ba

cacb

cba

rr

rrrr

0.

0.,0.

≠

≠≠

==

caet

cbba

cba

rr

rrrr

0.

0.,0.

≠

≠≠

≠≠

caet

cbba

cba

rr

rrrr

3/2

0.

0..

π≠

≠

==

≠≠

et

cbet

caba

cba

rr

rrrr


Quelques structures cristallines simples :

1 – Structure de chlorure de césium :Le réseau est cubique simple, le motif comporte un

ion Cl- en (0,0,0) et un ion Cs+ en (½ , ½ , ½).

2 – Structure de chlorure de sodium :Le réseau spatial est cubique à faces centrées, le

motif comprend un ion Cl- en (0,0,0) et un ion de

Na+ en (½, ½, ½).


2 – Structure de chlorure de sodium :

3 – Structure du diamant :Le réseau de diamant est cubique à faces centrées.

Un motif de deux atomes de carbone placés en

(0,0,0) et (¼ , ¼ , ¼).


Structure de chlorure de césium :

Le réseau est cubique simple, le motif comporte un ion Cl- en (0,0,0) et un

ion Cs+ en (½ , ½ , ½).

ion Cl- en (0,0,0)

ion Cs+ en (½ , ½ , ½)



Structure de chlorure de sodium :

Le réseau spatial est cubique à faces centrées, le motif comprend un ion Cl-

en (0,0,0) et un ion de Na+ en (½, ½, ½).

ion Cl- en (0,0,0)

ion Na+ en (½ , ½ , ½)



Structure du diamant :

Le réseau de diamant est cubique à faces centrées. Un motif de deux atomes

de carbone placés en (0,0,0) et (¼ , ¼ , ¼).Atome de carbone


Documents

SMP (S3)fsac.weebly.com/uploads/1/1/1/3/11138722/reseauxcristallins.pdf · Réseaux cristallins Distance entre deux droites consécutives d’une rangée [m n] pour un réseau carré