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Version 2021 14 – La gravitation 1
Solutionnaire du chapitre 14
1. a) L’excentricité est
2
2 10
11 30²²
1
70 000 5 101
6,674 10 2 100,8461
p p
c
ms
Nmkg
v re
GM
mkg
b) Puisque l’excentricité est entre 0 et 1, l’orbite est elliptique.
c) La distance est
10
10
11 cos
1 0,84615 101 0,8461 cos90
9, 23 10
per r
e
m
m
Ce qui est 92,3 millions de km.
2. Le temps entre les deux configurations a et b correspond au quart de la période de la planète X. Il est donc égal à
31 24
XrtGM
On doit trouver à quel pourcentage de la période de la planète Y ce temps correspond. On doit donc faire le rapport de ce temps et de la période de la planète Y. On va appeler ce rapport f.
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 2
3
3
3
3
3
3
1 24
2
4
14
Y
X
Y
X
Y
X
Y
tfT
rGMr
GM
r
r
rr
Puisque 3X Yr r , on arrive à
3
3
3
3
314
27141 2741, 299
Y
Y
Y
Y
rf
r
rr
Le déplacement angulaire de la planète Y est donc
1, 299 360 467,7
3. La distance est
11
11
1
1, 496 10 1 0, 01671
1, 471 10
pr a e
m
m
4. La distance est
11
11
1
1, 496 10 1 0,01671
1,521 10
ar a e
m
m
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 3
5. La vitesse est
11 30²²
11
11
6,674 10 1,9885 10 1 0,016711,496 10 1 0,01671
30 286
p
Nmkg
ms
GM eva e
kgm
6. La vitesse est
11 30²²
11
11
6,674 10 1,9885 10 1 0,016711, 496 10 1 0,01671
29 291
A
Nmkg
ms
GM eva e
kgm
7. La période est
3
311
11 30²²
7
2
1,496 102
6,674 10 1,9885 10
3,156 10365,26
Nmkg
aTGM
mkg
sj
8. L’énergie est
11 30 24²²
11
33
26,674 10 1,9885 10 5,972 10
2 1, 496 102,649 10
mec
Nmkg
GMmEa
kg kgm
J
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Version 2021 14 – La gravitation 4
9. En prenant les valeurs au périhélie, le moment cinétique est
24 11
²40
5,972 10 30 286 1,471 10
2,661 10
p p
ms
kgms
L mv r
kg m
10. a) La vitesse est
11 30²² 11 11
2 1
2 16,674 10 1,9885 101,5 10 1, 496 10
29,705
c
Nmkg
kms
v GMr a
kgm m
b) On trouve l’angle avec la formule suivante.
211 cosa e
re
Ce qui donne
2
11 211
11 cos
1,496 10 1 0,016711,5 10
1 0,01671 cos
a er
em
m
En isolant l’angle, on obtient
cos 0,1762100, 2
c) Comme le moment cinétique est conservé, on doit avoir
sinL mvr
On a donc
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Version 2021 14 – La gravitation 5
²40 24 11
sin2,661 10 5,972 10 29 705 1,5 10 sin
sin 0,9998689,05 ou 90,95
kgm ms s
L mvrkg m
(Cette valeur est très senseible aux arrondissements…)
11. 1) Dans la première possibilité, on suit une orbite avec les caractéristiques suivantes.
11
11
1,5 10
7,8 10p
a
r m
r m
Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est
11 11117,8 10 1,5 10 4,65 10
2 2a pr r m ma m
Le temps sera donc de
3
311
11 30²²
7
1 22
4,65 106,674 10 1,9885 10
8,647 101000,8
c
Nmkg
aTGM
mkg
sjours
2) Dans la deuxième possibilité, on suit premièrement une orbite qui fait le transfert de la Terre à Vénus avec les caractéristiques suivantes.
11
11
1 10
1,5 10p
a
r m
r m
Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est
11 11111,5 10 1 10 1, 25 10
2 2a pr r m ma m
Le temps pour cette première partie est donc
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 6
3
311
11 30²²
7
1 22
1, 25 106,674 10 1,9885 10
1, 205 10139,5
c
Nmkg
aTGM
mkg
sjours
On suit ensuite une orbite qui fait le transfert de Vénus à Jupiter avec les caractéristiques suivantes.
11
11
1 10
7,8 10p
a
r m
r m
Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est
11 11117,8 10 1 10 4, 4 10
2 2a pr r m ma m
Le temps pour cette seconde partie est donc
3
311
11 30²²
7
1 22
4,4 106,674 10 1,9885 10
7,959 10921,2
c
Nmkg
aTGM
mkg
sjours
Le temps total de ce deuxième trajet est donc de
139,5 jours + 921,2 jours = 1060,7 jours
La première possibilité est donc la meilleure.
12. En lançant tangentiellement, on a l’orbite suivante.
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Version 2021 14 – La gravitation 7
Avec cette orbite, rp est le rayon de la Terre et ra est la plus grande distance entre le centre de la Terre et l’objet.
Avec la conservation de l’énergie, on a
212 2
GMm GMmmvR a
Puisque la vitesse est
0,85
20,85
libv v
GMR
On arrive à
2
2
2
2
2
1 20,852 21 20,852 2
1 1 10,852
1 10,85 12
2 1 0,85
200111
GM GMm GMmmR R a
GM GMm GMmmR R a
R R a
R aRa
Ra
Puisque
2p ar r a
On arrive à
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Version 2021 14 – La gravitation 8
2002111
400 1111
289111
a
a
a
Rr R
r R
r R
Ceci est la distance entre le centre de la Terre et l’objet. La distance entre l’objet et la surface est
289111
178111
178 6371111
10 217
ad r R
d R R
d R
d km
d km
13. Pour trouver le temps, on utiliser la 2e loi de Kepler.
12
c pGM r eA t
Si la comète fait un tour complet, on a
12
c pellipse
GM r eA T
Si la comète passe du point 1 au point 2, l’équation donne
12
c pgris
GM r eA t
En divisant ces deux équations l’une par l’autre, on arrive a
gris
ellipse
A tA T
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Version 2021 14 – La gravitation 9
(Ce qui n’est pas étonnant, puisque la loi de Kepler affirme que les aires sont les mêmes dans des temps égaux. Le rapport des aires est donc égal au rapport des temps.)
Il reste à trouver l’aire de la zone en gris. Cette aire
moitié de l'ellipse triangle
2 2
2 2
2 22
2 2
212 2121 12
112
A A A
b ca e
a e bc
a e a e ae
ea e
On a donc
2 2
2 2
112
1
12
gris
ellipse
A tA T
ea etTa e
e tT
Le temps est donc
12
1 0,872 50
11,15
e tT
ta
t a
14. On a 3 équations et 3 inconnus
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Version 2021 14 – La gravitation 10
3 3
1 12 2001 11 117001 1
2 3 888 000 2
c cmP s
c cmA s
c c
GM GMe eva e a e
GM GMe eva e a e
a aT sGM GM
Pour résoudre ce système, on va premièrement multiplier la première équation par la deuxième équation.
6 ²²
1 12 200 1 7001 1
3,74 10
c cm ms s
cms
GM GMe ea e a e
GMa
Si on multiplie maintenant la racine de cette équation par la troisième, on obtient
36 ²
²
39
9
9
3,74 10 3 888 000 2
7,519034 10 2
7,519034 10 21,196691 10
1196 691
cms
c
c
c
GM asa GM
GM ama GM
m aa m
a km
De là, on peut trouver la masse de la planète
3
39
11 ²²
25
3 888 000 2
1,196691 103 888 000 2
6,674 10
6,706 10
c
Nmckg
c
asGM
ms
M
M kg
On peut trouver l’excentricité avec une des formules de vitesse. On peut aussi la trouver en divisant les deux formules de vitesse.
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Version 2021 14 – La gravitation 11
12 200 11 700 1
12 200 1 11 700 1 1
22 117 1
22 1 17 122 22 17 17
5 395 0,1282
39
cms
ms c
ms c
mcs
GM ea e
GM ea e
GM e a ea e GM e
ee
e ee e
e
e
15. a) La vitesse est
11 30²²
10
2
2 ,674 10 1,9885 105 10
72,86
soleil
p
Nmkg
kms
GMvr
kgm
b) Comme on sait que l’énergie mécanique est nulle sur une trajectoire parabolique, on peut trouver la vitesse avec la conservation de l’énergie
2
2
11 30²²2
11
102
102
,674 10 1,9885 10102 2 10
36, 43
c
c
Nmkg
kms
GM mmvr
GMvr
kgv
mv
16.On peut trouver la vitesse avec la formule de l’excentricité.
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Version 2021 14 – La gravitation 12
2
2 10
11 30²²
1
5 101, 2 1
6,674 10 1,9885 10
76, 42
p p
c
p
Nmkg
kmp s
v re
GM
v mkg
v
b) On pourra trouver sa vitesse avec la conservation de l’énergie. Sur cette trajectoire, l’énergie est
12
cmec
p
GM m eE
r
On a donc
2
2
11 30 11 30² ²² ²2
10 11
6 2 6
1 12 2
1 12 2
,674 10 1,9885 10 1 1,2 ,674 10 1,9885 1012 5 10 2 2 10
12,6542 10 6,6356 10243,10
c c
p
c c
p
Nm Nmkg kg
J Jkg kg
kms
GM m e GM mmvr r
GM e GMvr r
kg kgv
m m
v
v
17. a) Pour connaitre la forme de l’orbite, on va calculer le signe de l’énergie mécanique de la comète. Cette énergie est
212
cmec
GM mE mvr
On n’a pas la masse de la comète, mais de toute façon, on ne veut savoir que le signe de l’énergie. On a donc
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 13
2
11 24²2 ²
11
²²
12
6,674 10 5,972 101 1002 10
1014,2872
Tmec
Nmkgm
s
ms
GME m vr
kgm
m
m
Comme la valeur est positive, l’orbite est hyperbolique.
b) On sait que
²²1014, 2872 m
mec sE m
Au point le plus près de la Terre, on aura donc
2²²
2²²
11014, 2872211014,28722
Tmps
p
Tmps
p
GM mm mvr
GMvr
Il nous faut une deuxième équation pour résoudre. Cette deuxième équation est la conservation du moment cinétique.
11
10 ²
10 ²
sin
100 10 sin 0,5
8,7265 10
8,7265 10
p p
mp ps
mp ps
ms
pp
vr v r
m v r
v r
vr
En remplaçant cette valeur dans l’équation de l’énergie, on arrive à
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Version 2021 14 – La gravitation 14
4 3
4 3
2²²
210 ²
²²
21 14² ²²
² 2
2 21 14²² ² ²
2
11014, 28722
8,7265 1011014, 28722
3,8076211 10 3,9857128 101014, 2872
1014,2872 3,8076211 10 3,9857128 10
1014, 2872 3,
Tmps
p
ms Tm
sp p
m ms sm
sp p
m m mp ps s s
p
GMvr
GMr r
r r
r r
r
14 219857128 10 3,8076211 10 ² 0pm r m
La solution de cette équation quadratique est
214 14 21
14 14
10
3,9857128 10 3,9857128 10 4 1014, 2872 3,8076211 10 ²
2 1014, 28723,9857128 10 3,9855190 10
2 1014, 28721,938 102 1014, 28729 553
p
m m mr
m m
m
km
Comme cette valeur est plus grande que le rayon de la Terre, la comète ne frappe pas la Terre. Elle passe cependant très près (à 3182 km de la surface).
c) On peut trouver l’excentricité avec la formule de l’énergie
12c
mecp
GM m eE
r
11 24²²²
² 6
5
6,674 10 5,972 10 11014, 2872
2 9,553 10
1 4,86 101,0000486
Nmkgm
s
kg m em
m
ee
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 15
18.Le champ est
2
11 24²²
26
6,674 10 5,972 10
6, 471 10
9,518
Nmkg
Nkg
GMgr
kg
m
19. Le champ est
3
11 24 6²²
36
6,674 10 5,972 10 5,371 10
6,371 10
8,278
Nmkg
Nkg
GMrgR
kg m
m
20. a) Le champ est
2
11 22²²
26
6,674 10 7,34 10
1,737 10
1,624
Nmkg
Nkg
GMgr
kg
m
b) Le poids de la personne est
70 1,624113,68
Nkg
P mgkg
N
c) Comme le poids de cette personne sur Terre est de 70 kg x 9,8 N/kg = 686 N, le rapport entre le poids sur la Lune et le poids sur Terre est
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 16
113,68 0,166686
NN
Le poids sur la Lune est donc seulement 16,6 % du poids de la personne sur Terre.
21. On a la configuration suivante.
En additionnant les champs, on a
22 83,844 10Terre LuneGM GMgx m x
Puisqu’on veut que le champ soit nul, on doit avoir
22 8
22 8
22 8
28 2
2228 224
28 2
17 2 8
03,844 10
3,844 10
3,844 10
3,844 10
7,34 103,844 105,972 10
3,844 10 0,01229
1, 4776 10 7,688 10
Terre Lune
Terre Lune
Terre Lune
Lune
Terre
GM GMx m x
GM GMx m x
M Mx m x
Mm x xM
kgm x xkg
m x x
m
2 2
17 2 8 2
0,012291, 4776 10 7,688 10 0,9877 0
m x x xm m x x
La solution de cette équation quadratique est
x = 346 037 km
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Version 2021 14 – La gravitation 17
Le champ est donc nul à 346 037 km de la Terre.
(Il y a une autre solution à 432 330 km de la Terre. À cet endroit, les champs sont de mêmes grandeurs, mais le champ total n’est pas nul, car les champs sont dans la même direction.)
22. On va utiliser un axe des x vers la droite et un axe des y vers le haut. Le champ fait par la Lune est vers la gauche, donc vers les x négatifs. Le champ fait par la Lune est
2
11 22²²
28
4
6,674 10 7,34 10
1,5 10
2,177 10
Lx
Nmkg
Nkg
GMgr
kg
m
Pour trouver la grandeur du champ fait par la Terre, il faut savoir la distance entre la Terre et l’endroit où on veut connaitre le champ. Cette distance est
2 28 8
8
3,844 10 1,5 10
4,126 10
r m m
m
La grandeur du champ fait par la Terre est donc
2
11 24²²
8
3
6,674 10 5,972 104,126 10
2,341 10
T
Nmkg
Nkg
GMgr
kgm
Pour séparer ce champ en composante, on doit connaitre l’angle . On trouve premièrement l’angle .
384 400tan150 000
68,68
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Version 2021 14 – La gravitation 18
L’angle est donc
180180 68,68111,32
Les composantes du champ de la Terre sont donc
3
4
3
3
2,341 10 cos 111,32
8,510 10
2,341 10 sin 111,32
2,181 10
NTx kg
Nkg
NTy kg
Nkg
g
g
Les composantes du champ total sont donc
4 4
3
3
3
2,177 10 8,510 10
1,069 10
0 2,181 10
2,181 10
x Lx Tx
N Nkg kg
Nkg
y Ly Ty
Nkg
Nkg
g g g
g g g
La grandeur du champ est donc
2 2
2 23 3
3
1,069 10 2,181 10
2,429 10
x y
N Nkg kg
Nkg
g g g
23. a) La force est
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 19
2
11 24 22²²
28
20
6,674 10 5,972 10 7,34 10
3,844 10
1,980 10
Nmkg
GMmFr
kg kg
m
N
b) Par la troisième loi de Newton, la force est aussi
201,980 10 N
24. La force de marée faite par le Soleil est
3
2 Soleil TerreSoleil
Soleil Terre
GM mRFr
et la force de marée faite par la Lune est
3
2 Lune TerreLune
Lune Terre
GM mRFr
Le rapport des deux est donc
3
3
3
3
3
3
322 11
2
2
7,34 10 1, 496 10
1,98
Lune Terre
Lune TerreLune
Soleil Soleil Terre
Soleil Terre
Lune
Lune Terre
Soleil
Soleil Terre
Lune Soleil Terre
Soleil Lune Terre
GM mRrF
F GM mRr
MrMr
M rM r
kg m
330 885 10 3,844 10
2,18
kg m
Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2021 14 – La gravitation 20
25. On doit avoir
3
1% de 2 0,01
marées
Lune Terre
Lune Terre
F mgGM mR mgr
On a donc
3
3
11 22 6²²
3
2 0,01
20,01
2 6,674 10 7,34 10 6,371 100,01 9,8
8603 951 8604
Lune Terre
Lune Terre
Lune TerreLune Terre
Nmkg
Lune Terre Nkg
Lune Terre
GM R gr
GM Rrg
kg mr
r m km
26. La distance est
3
³3
³
2, 42285
14082, 422855427
1,5451,545 695 5001074 743 km
pp
s
kgm
Soleilkgm
Soleil
r R
R
Rkm
À 46 000 000 km, elle n’est vraiment pas en danger.
27. On va trouver la force nette sur chaque planète. Chaque planète subit la force gravitationnelle des deux autres. Les directions de ces forces sont
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Version 2021 14 – La gravitation 21
Puisque la somme des angles d’un triangle doit donner 180°, l’angle doit être 30°.
La distance r se trouve à partir du rayon de la trajectoire (R) avec la loi des cosinus
2 2 2 2
2
2
2 cos 120
2 2cos 120
3
r R R R
R
R
La force de gravitation faite par chaque masse est donc
2
2
23
MMF GrMGR
La composante de cette force dirigée vers le centre du cercle est
2
2
cos30
32
33 2
RF F
F
MGR
Si on additionne les deux composantes des forces faites par les deux planètes, on a
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Version 2021 14 – La gravitation 22
2 2
2 2
2
2
2
2
3 33 2 3 2
33
3
RM MF G GR RMGRMGR
Cette force doit être égale à la force centripète
2 2
2 24 3
3R MM G
T R
La période est donc
2 2
2 2
2 2 3
2 32
32 102
11 24²²
2 18 2
9
43
14 34 3
4 3 106,674 10 10
1,02455 101,0122 10
32,07
Nmkg
R MM GT R
GMT R
RTGM
mT
kg
T sT sT ans
28. a) En lançant ainsi un objet à partir de la surface de la Terre, on arrive à une orbite ressemblant à ceci
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Version 2021 14 – La gravitation 23
Avec la conservation de l’énergie, on a
212 2
GMm GMmmvR a
Puisque la vitesse est
0,85
20,85
libv v
GMR
On arrive à
2
2
2
2
2
1 20,852 21 20,852 2
1 1 10,852
1 10,85 12
2 1 0,85
200111
GM GMm GMmmR R a
GM GMm GMmmR R a
R R a
R aRa
Ra
Pour trouver la valeur de ra, il nous manque la valeur de l’excentricité. Pour la trouver, on va utiliser la deuxième loi de Kepler.
sin 1prv GMr e
À la position montrée sur la figure, l’angle entre le rayon et la vitesse est de 135°. On a donc
sin135 1
1 12
p
p
Rv GMr e
Rv GMr e
Puisque la vitesse est
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Version 2021 14 – La gravitation 24
0,85
20,85
libv v
GMR
On arrive à
2 10,85 12
10,85 2 12
0,85 1
p
p
p
GMR GMr eR
GMR GMr e
R r e
Puisque rp est a (1 – e), on arrive à
2
2 2
0,85 1 1
0,85 1
0,85 1
R a e e
R a e
R a e
Comme on avait
200111
Ra
L’équation devient
2 2
2 2
2
2000,85 1111
1110,85 1200
0,4009875 10,77396
R R e
e
ee
Ainsi, la distance maximale est
1200 (1 0,77396)111
3,1963
ar a eR
R
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Version 2021 14 – La gravitation 25
La distance entre l’objet et la surface est donc
3,19632,19632,1963 637113 993
d R RR
kmkm
b) Pour connaitre la portée, il faut savoir la valeur de sur l’orbite de l’objet.
Puisqu’au départ, l’objet est à la distance R, la valeur de se trouve avec cette formule
2
2
2
11 cos
200 1 0,77396111 1 0,77396cos
111 1 0,77396200 1 0,77396cos
cos 0,3585111,01
a er
e
R R
On a donc la situation suivante.
Ainsi, l’angle entre le point de départ et la distance maximale ( sur la figure) est
180 111,0168,99
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Version 2021 14 – La gravitation 26
Comme on a le même angle entre la distance maximale et le point de chute, l’angle entre le point de départ et le point d’arrivée mesurée à partir du centre de la Terre est 137,98°.
Ainsi, la distance entre le point de départ et le point de chute est
137,98 2 6371360
15 342
x km
km