Sommaire de la séquence 11

Sommaire de la séquence 11

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je découvre la section d’un pavé droit par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je découvre la section d’un cylindre par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J’agrandis ou je réduis des figures planes et des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J’agrandis ou je réduis des pyramides et des cônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je découvre la sphère et la boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je calcule le volume d’une boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je calcule des aires et des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Objectifs Connaître les sections de pavés, de cylindres, de pyramides par des plans .

Savoir calculer l’aire d’une sphère, le volume d’une boule .

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Cned, Mathématiques 3e – 243

Séquence 11

Séance 1

Je découvre la section d’un pavé droit par un plan

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°11 Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. JE RÉVISE LES ACQUIS 1- ABCDEFGH est un pavé droit.

L’arête [DC] est :

� parallèle à la face EFGH

� perpendiculaire à la face EFGH

� parallèle à la face BCGF

� perpendiculaire à la face BCGF

2- ABCDE est une

pyramide à

base carrée.

Son volume est

égal à :

� 15 cm3

� 45 cm3

� 120 cm3

� 72 cm3

3- On considère le cône

ci-contre.

On a :

� AB est la hauteur du cône

� le rayon de la base est 3 cm

� la base est un disque

� l’axe du cône est parallèle à la base

4- Si je construis une figure à l’échelle1

10, cela

signifie que :

� 1 cm sur ma figure représente 10 cm en réalité.

� 10 cm sur ma figure représente 1 cm en réalité.

� je dois multiplier toutes les longueurs réelles

par 10.

� les longueurs des segments que je trace sont

10 fois plus petites que les longueurs réelles.

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris : « SÉQUENCE 11 : ESPACE ». Effectue l’exercice suivant dans ton livret. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de te reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les commentaires du professeur ».

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– Cned, Mathématiques 3e 244

Séquence 11

EXERCICE 1 Afin de faciliter le travail du cuisinier, on

observe sur la plupart des emballages de plaques

de beurre de 250 g, des repères permettant de

couper le beurre de 25 g en 25 g.

Thomas coupe 50 g de beurre en

suivant ces marques.

1- Quelle forme semble alors avoir le beurre

découpé ?

……………………………………………………………………………………………………………

Quelle forme semble avoir le beurre restant ?

……………………………………………………………………………………………………………

Aide : tu peux faire l’expérience avec une plaque de beurre pour avoir une idée de la réponse.

2- Trace et hachure sur la figure ci-dessus la partie correspondant à l’endroit où est passé le couteau.

3- Comment est située dans la réalité la partie hachurée par rapport aux faces du pavé droit ? ……………………………………………………………………………………………………………

4- a) Quelle semble être dans la réalité la nature de cette « face hachurée » ?

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

b) Quelles sont ses dimensions ?

……………………………………………………………………………………………………………

c) Trace ci-dessous cette « face hachurée » en vraie grandeur.

Cette partie hachurée s’appelle une section.

C’est la section du pavé droit par un plan parallèle à une face.



Séquence 11

d) Ouvre le fichier sequence11exercice1.

Ce que tu vois est-il en accord avec tes résultats précédents ?

Effectue l’exercice suivant sur ton livret (pour la question 1) puis sur ton cahier d’exercices.

EXERCICE 2 Cette fois, on découpe la plaque de beurre parallèlement

à une arête, comme indiqué sur la figure ci-contre 1- Trace et hachure la section obtenue sur la figure ci-contre.

2- Quelle semble être la nature de cette section ?

3- Trace cette section en vraie grandeur.

Aide : tu peux faire l’expérience avec une plaque de beurre pour avoir une idée de la réponse. 4- Ouvre le fichier sequence11exercice2.

Ce que tu vois est-il en accord avec tes résultats précédents ?



Séquence 11

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le et retiens-le. JE RETIENS SECTION D’UN PAVÉ Propriétés :

● La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une

face du pavé est un rectangle superposable à cette face. ● La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête

du pavé est un rectangle dont une des dimensions est égale à la longueur de cette arête. Remarque : dans le cas d’une section par un plan parallèle à une arête du pavé droit, la deuxième

dimension du rectangle peut souvent se calculer à l’aide de la propriété de Pythagore !

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

EXERCICE 3 On sectionne le cube ci-contre de 5 cm d’arête par un plan passant par le

point I situé sur l’arête [AE] tel que AI = 3 cm.

1- Peut-on positionner le plan pour que la section de ce cube soit un carré

dont les côtés mesurent 5 cm ?

2- Peut-on positionner le plan pour que la section de ce cube soit un rectangle

dont les côtés mesurent 5 cm et 4 cm ?

EXERCICE 4 Dans sa chambre (qui a la forme d’un pavé droit), Quentin

veut installer un placard d’angle comme indiqué sur la figure

ci-contre.

Pour cela, il va placer un rideau tendu à partir des points A et

B et qui descend jusqu’au sol.

Quelles vont être les dimensions, en m, du tissu ?

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°3. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.



Séquence 11

Séance 2 Je découvre la section d’un cylindre par un plan

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 5 On considère un cylindre de rayon R et de hauteur h.

On sectionne ce cylindre à l’aide d’un plan P.

Problème : peut-on déterminer précisément la nature de la section obtenue ?

1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème. Aide : tu peux faire des tests en coupant par exemple un fromage cylindrique, ou en construisant à la main plusieurs figures… Quelle conjecture peux-tu émettre ?

2- Ouvre les fichiers sequence11exercice5cas1, puis sequence11exercice5cas2, puis enfin

sequence11exercice5cas3.

Que remarques-tu ?

3- On étudie le cas où le plan est parallèle à la base :

Quelle est la nature précise de la section ?

Réponds sans justifier la réponse.

On admettra cette propriété :

Lorsque le plan est parallèle à la base du cylindre, la section obtenue est un cercle superposable à la base du cylindre.



Séquence 11

4- On étudie le cas où le plan est parallèle à l’axe (OO’) :

a)

Quelle est la nature de la section ?

Réponds sans justifier la réponse.

b)

On se place dans un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm.

On sectionne le cylindre avec le plan P comme indiqué sur la figure.

Trace le rectangle ABCD en vraie grandeur.

On admettra cette propriété :

Lorsque le plan est parallèle à l’axe du cylindre, la section obtenue est un rectangle dont une des dimensions est égale à la hauteur du cylindre. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le et retiens-le. JE RETIENS SECTION D’UN CYLINDRE ● La section d’un cylindre par un plan parallèle

à la base du cylindre est un cercle de même rayon que la base du cylindre. ● La section d’un cylindre par un plan parallèle

à l’axe du cylindre est un rectangle dont une des

dimensions est égale à la hauteur du cylindre.

Remarque : dans le cas d’une section par un plan parallèle à l’axe du cylindre, la deuxième dimension

du rectangle peut souvent se calculer à l’aide de la propriété de Pythagore !




Séquence 11

��EXERCICE 6 Un fromage a une forme cylindrique de 15 cm de diamètre et

4 cm de hauteur.

Maxime propose de couper le fromage parallèlement au disque

de base comme indiqué sur la figure 1.

Paul, lui, propose de couper le fromage parallèlement à l’axe

du fromage comme indiqué sur la figure 2.

figure 1 figure 2

Qui de Maxime ou de Paul a obtenu la section ayant la plus grande aire ?

��EXERCICE 7 Le tunnel représenté ci-contre a été obtenu en sectionnant un

cylindre de rayon 7 m et de hauteur 20 m par un plan,

parallèlement à l’axe de ce cylindre.

Sachant que la hauteur maximale du tunnel est de 3m,

calcule l’aire, au m² près, de la route située sous ce tunnel.




Séquence 11

Séance 3 J’agrandis ou je réduis des figures planes et des solides

Effectue les quatre exercices suivants sur ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 8

Le père de Thomas élève des chèvres sur un terrain circulaire de 40 m de rayon.

Il dit :

- « Ce terrain est grand ; si les chèvres n’avait que le quart du terrain, cela leur

suffirait largement et je pourrais alors planter des fleurs autour ! ».

Thomas dit alors :

- « C’est facile, il suffit de leur réserver un terrain

circulaire de 10 m de rayon.

1- Que penses-tu de la proposition de Thomas ?

2- Que doit faire le père de Thomas pour que l’espace réservé aux

chèvres soit un terrain circulaire quatre fois plus petit ?

Que peut-on dire du rayon ainsi obtenu par rapport au rayon de

départ ?

EXERCICE 9 On considère la figure ci-contre.

1- Pourquoi peut-on dire que le triangle ABE est une réduction du

triangle ECD ?

2- Quel est le rapport de réduction ?

3- Calcule, en cm², l’aire du triangle ECD, puis l’aire du triangle ABE.

Que remarques-tu ? A, E, C sont alignés ainsi que B, E, D

EXERCICE 10 On considère un cube de 2 cm d’arête.

1- a) Calcule, en cm², l’aire A d’une de ses faces.

b) Calcule, en cm3, le volume V de ce cube.

2- On considère maintenant un cube trois fois plus grand.

Aide : « trois fois plus grand » signifie que toutes les longueurs sont trois fois plus grandes. a) Calcule, en cm², l’aire A ’ d’une des faces du cube agrandi.

b) Calcule, en cm3, le volume V ’ du cube agrandi.

3- a) L’aire d’une face du grand cube est-elle trois fois plus grande qu’une du petit cube ?

b) Le volume du grand cube est-il trois fois plus grand que celui du petit cube ?

c) Quelles conjectures peux-tu émettre concernant l’aire d’une face et le volume du cube agrandi ?



Séquence 11

��EXERCICE 11 1- Un cylindre a pour hauteur h cm et pour rayon r cm.

a) Exprime en cm2 l’aire A1 de l’une de ses bases en fonction de r.

Exprime en cm3 le volume V1

du cylindre en fonction de h et de r.

b)

● On double toutes les longueurs du cylindre (c’est-à-dire en particulier

sa hauteur et son rayon).

Que peux-tu dire de l’aire d’une base du nouveau cylindre obtenu ? Du volume du cylindre obtenu ?

● On triple toutes les longueurs du cylindre de hauteur h et de rayon r.

Que peux-tu dire de l’aire de la base du nouveau cylindre obtenu ? Du volume du cylindre obtenu ?

● Si on multiplie toutes les longueurs du cylindre de hauteur h et de rayon r par le nombre positif k.

Que peux-tu dire de l’aire d’une base du nouveau cylindre obtenu ? Du volume du cylindre obtenu ?

2- Une pyramide à base carrée a pour hauteur h et pour côté de sa base c.

a) Exprime en cm2 l’aire de sa base A2 en fonction de c.

Exprime en cm3 le volume V2

de la pyramide en fonction de c.

b)

● On double toutes les longueurs de cette pyramide.

Que peux-tu dire de l’aire de la base de la nouvelle pyramide obtenue ?

Du volume de la nouvelle pyramide obtenue ?

● On triple toutes les longueurs d’une pyramide de hauteur h et de rayon r.

Que peux-tu dire de l’aire de la base de la nouvelle pyramide obtenue ?

Du volume de cette nouvelle pyramide ?

● Si on multiplie toutes les longueurs d’une pyramide à base carrée de côté c et de hauteur h par le

nombre positif k, que peux-tu dire de l’aire de la base de la nouvelle pyramide ?

Du volume de la nouvelle pyramide obtenue ?

3- Réponds aux mêmes questions que précédemment avec un cône de hauteur h et

dont la base a pour rayon r.

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous, puis recopie-le et retiens-le. JE RETIENS AGRANDISSEMENT D’UN SOLIDE Lorsqu’on agrandit (ou réduit) un solide S, les longueurs du solide agrandi S’ (ou réduit) sont

proportionnelles aux longueurs du solide S.

Le coefficient de proportionnalité k s’appelle coefficient d’agrandissement (ou de réduction). Si k > 1, k est un coefficient d’agrandissement.

Si k < 1, k est un coefficient de réduction.

Lors d’un agrandissement ou d’une réduction, si j’appelle k le coefficient d’agrandissement ou de

réduction, cela signifie que :

● les longueurs sont multipliées par k ● les aires sont multipliées par k² ● les volumes sont multipliés par k3



Séquence 11

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.

EXERCICE 12

Pauline veut construire un pavé cinq fois plus grand

que celui représenté ci-contre.

1- a) Calcule l’aire, en cm², de la face ABCD.

b) Calcule le volume, en cm3, du pavé.

2- Quel est le coefficient d’agrandissement que Pauline va utiliser ?

3- a) Déduis-en les dimensions, en cm, du pavé agrandi.

b) Déduis-en l’aire, en cm², de la face ABCD agrandie.

c) Déduis-en le volume, en cm3, du pavé agrandi.




Séquence 11

Séance 4 J’agrandis ou je réduis des pyramides et des cônes

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. EXERCICE 13

Problème : peut-on déterminer précisément la nature de la section d’une pyramide par un plan

parallèle à sa base ?

1- Essaie pendant 10 minutes de répondre au problème.

2- Ouvre les fichiers sequence11exercice13cas1, puis sequence11exercice13cas2, puis enfin

sequence11exercice13cas3.

Quelles conjectures peux-tu émettre ?

3- On admet que la section d’une pyramide par un plan parallèle à sa

base est un polygone.

Que peux-tu dire de la section A’B’C’D’ ?

Aide : Utilise la propriété de Thalès !

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier d’exercices. JE RETIENS SECTION D’UNE PYRAMIDE La section d’une pyramide par un plan parallèle à

la base est un polygone de même forme que la base :

c’est une réduction du polygone constituant la base

de la pyramide. Ses côtés sont parallèles à ceux de la base.

Le coefficient de réduction est :

SO' SA' A 'B'

SO SA AB= = =k



Séquence 11

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 14 Sur la figure ci-contre, ABCD représente un meuble en verre qui a la forme

d’une pyramide ayant pour base un triangle rectangle.

On a : AD = 3 m.

Le triangle BCD qui représente le bas du meuble est au niveau du sol.

1- Calcule, en m², l’aire du triangle rectangle BCD.

2- Marion veut construire une étagère B’C’D’ située à 2 m du sol.

a) Que peux-tu dire de l’étagère B’C’D’ ?

b) Calcule le coefficient de réduction correspondant à la situation décrite dans

ce problème.

c) Déduis-en l’aire, en m², au centième près, de l’étagère B’C’D’.

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 15 1- Ouvre les fichiers sequence11exercice15cas1 et sequence11exercice15cas2. Déplace le plan de coupe.

Quelle conjecture peux-tu émettre ?

2- On admet que la section d’un cône par un plan parallèle à sa base est

un cercle. Exprime O’A’ en fonction de OA, de SO’ et de SO.

Aide de Thomas : rappelle-toi de ce que tu as fait avec les pyramides !

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier d’exercices.



Séquence 11

JE RETIENS SECTION D’UN CÔNE La section d’un cône de révolution par un plan parallèle

à la base est une réduction de la base. Les centres des deux cercles sont alignés.

Le coefficient de réduction est :

SO' SA' O'A '

SO SA OA= = =k .

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 16 On considère le cône ci-contre.

1- Calcule, au cm3 près, le volume de ce cône.

2- On sectionne le cône par un plan parallèle à sa base et situé à 2

cm de la base. On obtient alors un petit cône.

a) Calcule le coefficient de réduction du cône ainsi obtenu.

b) Déduis-en le volume réduit, au cm3 près, du cône ainsi

obtenu.




Séquence 11

Séance 5 J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. EXERCICE 17 Une tente indienne (tipi) à la forme d’un cône de 3 m de rayon et de

5 m de hauteur.

Nadia veut installer un tipi sur un terrain circulaire ayant une superficie de 20 m².

1- Peut-elle installer le tipi décrit ci-dessus ?

2- Si elle installe un tipi qui est une réduction du tipi décrit ci-dessus, quelle sera

alors la hauteur maximale de son tipi en m ?

Tu donneras une valeur approchée au dixième près de ta réponse

EXERCICE 18 Pauline veut construire une maquette de la pyramide de Khéops

à l’échelle1

5 000.

La pyramide de Khéops est une pyramide à base carrée de côté

230 m et de hauteur 147 m.

Construis un patron de la maquette de Pauline.

EXERCICE 19 1- Montre que les deux cônes ci-dessous ont le même volume.

figure 1 figure 2

2- On effectue un agrandissement de rapport 3. Déduis-en, en cm

3, le volume V ’ des cônes agrandis.



Séquence 11

3- Aurélie calcule séparément les volumes des cônes agrandis.

Elle trouve le même résultat mais ne trouve pas le même résultat qu’à la question 2.

Elle pense donc qu’elle s’est trompée mais ne sait pas à quelle question.

Observe sa copie et aide-la à corriger ses erreurs :

��EXERCICE 20 On travaille avec le cône et la pyramide à base rectangulaire ci-dessous, dont les dimensions sont

indiquées sur les figures.

Problème : Quel rayon, au mm près, doit-on choisir pour obtenir un cône qui soit un agrandissement

ou une réduction du cône ci-dessus et qui ait le même volume que la pyramide ?


2- a) Calcule le volume V 1 , en cm

3, du cône ci-dessus.

b) Calcule le volume V 2 , en cm3, de la pyramide.

3- a) Montre que le coefficient d’agrandissement k permettant d’obtenir un cône de volume V 2 vérifie :

k3 ≈ 1,0610.

b) A l’aide d’un tableur détermine une valeur approchée de k au centième près.

4- Conclus.


figure 2

On fait un agrandissement de rapport 3. Cela signifie que le rayon du cône est 3 fois plus grand, c’est-à-dire ici : r = 3 × 2 soit 6 cm.

D’où : V ’ = ²π× ×6 93

soit 108 π cm3.

figure 1

On fait un agrandissement de rapport 3. Cela signifie que le rayon du cône est 3 fois plus grand, c’est-à-dire ici : r = 3 × 3 soit 9 cm.

D’où : V ’ = ²π× ×9 43

soit 108 π cm3.



Séquence 11

Séance 6 Je découvre la sphère et la boule

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. EXERCICE 21 On veut représenter la sphère terrestre. Pour cela, trace un cercle de rayon

5 cm.

1- Quelle est la forme géométrique de l’équateur, du tropique du Cancer,

du tropique du Capricorne ? Représente-les sur ta figure.

Aide : Effectue une recherche dans le dictionnaire ou sur Internet pour savoir comment on représente un cercle en perspective. 2- Que peux-tu dire des centres de ces cercles ? Quel est le cercle le plus grand ?

On dit que l’équateur est un grand cercle de la sphère terrestre, son centre est également le centre de

la sphère.

3- Effectue une recherche dans le dictionnaire ou sur Internet et cite des demi-grands cercles de la

sphère terrestre. Comment se nomment-ils ? Trace quelques-uns de ces demi-grands cercles sur ta

figure. Quel est leur rôle ? Qu’évoque pour toi Greenwich ?

EXERCICE 22 On coupe une orange de rayon 4 cm.

1- a) Quelle est la nature de la section obtenue ? Ne justifie pas ta réponse. b) Comment doit-on couper l’orange pour obtenir la plus grande

section ?

2- Ouvre le fichier sequence11exercice22cas1 et sequence11exercice22cas2.

On observe une sphère et un plan de coupe.

Déplace le plan de coupe. Ce que tu vois est-il en accord avec tes résultats précédents ?

Cite toutes les natures de section observées.



Séquence 11

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. JE RETIENS BOULES ET SPHÈRES Définition : La sphère de centre O et de rayon r est constituée de tous les points

situés à la distance r du point O. Exemple : une bulle de savon.

La boule de centre O et de rayon r est constituée de tous les points

de l’espace situés à une distance inférieure ou égale à r du point O. Elle est donc constituée de la sphère de centre O et de rayon r et de son intérieur. Exemple : une boule de glace.

Section d’une sphère par un plan Propriété : On considère une sphère de centre O et de rayon r, et un plan P perpendiculaire à (OH).

OH est la distance du centre O de la sphère au plan P.

Il existe 3 situations :

● La distance du point O au plan est strictement supérieure à r.

Dans ce cas, le plan et la sphère n’ont aucun point commun. ● La distance du point O au plan est égale à r.

Dans ce cas, le plan et la sphère ont un seul point commun. On dit que la sphère et le plan sont tangents en H. ● La distance du point O au plan est strictement inférieure à r.

Dans ce cas, le plan et la sphère sont sécants. La section de la sphère par le plan est un cercle. La section de la boule par le plan est un disque. Remarque : si le plan passe par le centre de la sphère, la section obtenue s’appelle « grand cercle ».

Son rayon est celui de la sphère.



Séquence 11


EXERCICE 23 On coupe une orange de 4 cm de rayon à une distance de 3 cm de son

centre comme indiqué sur la figure.

1- Trace le triangle AOO’ en vraie grandeur.

2- Calcule, au mm près, le rayon O’A de la section de l’orange.

EXERCICE 24 On coupe une orange de 12 cm de diamètre posée sur une table, à 4 cm du point de contact entre

l’orange et la table.

Calcule, au mm près, le rayon de la section ainsi obtenue.




Séquence 11

Séance 7 Je calcule le volume d’une boule

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 25 Problème : Quelle est l’arête d’un cube dont le volume est 1 m

3 ? Quel est le rayon d’une boule dont

le volume est 1 m3.

1- Essaie de répondre à ce problème pendant 10 minutes.

Tu peux essayer d’utiliser internet, ou ouvrir le fichier sequence11exercice25 à l’aide de Geogebra. 2- Ouvre le fichier sequence11exercice25 à l’aide de Geogebra.

Déplace le point A puis réponds au problème.

3- On admet que le volume V d’une boule de rayon r

est : 34

3= πrV .

Calcule l’arrondi au centième du volume en m3 des boules dont les rayons sont donnés dans le tableau

ci-dessous.

Tu peux utiliser un tableur !

R en m 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66

V en m3 …… …… …… …… …… …… ……

Peux-tu répondre exactement au problème ?

4- Ouvre le fichier sequence11exercice25 à l’aide d’un tableur.

Essaye par tâtonnements de déterminer la valeur approchée la plus précise

du rayon de la sphère cherché.

5- Pour tenter de répondre au problème, on peut représenter la fonction qui au rayon x d’une boule,

associe son volume, c’est-à-dire 34x

3π .

Représente cette fonction à l’aide de Geogebra et cherche à répondre au problème.

Aide : si tu n’arrives pas à représenter cette fonction, ouvre le fichier sequence11exercice25question5 à l’aide de Geogebra.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 9. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.



Séquence 11

Séance 8 Je calcule des aires et des volumes

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier d’exercices. JE RETIENS VOLUME D’UNE BOULE - AIRE D’UNE SPHÈRE Propriétés (admises) :

● Le volume d’une boule de rayon r est r34

3ππππ .

● L’aire d’une sphère de rayon r est r 24ππππ .

Exemples :

Une sphère a pour rayon 5 cm. Son aire est égale à 4π × 52 soit 100π cm

2.

Une boule a pour rayon 5 cm. Son volume est égal à 345

3π× soit

500

3π cm

3.


EXERCICE 26 On veut confectionner un couvercle ayant la forme d’une

demi-sphère de rayon 6 cm collée à un cylindre dont les

dimensions sont indiquées sur la figure ci-contre.

Quelle est l’aire, en cm², de ce couvercle ?

Tu donneras sa valeur exacte puis son arrondi à l’unité.

EXERCICE 27 Aurélie veut remplir d’eau une boîte

cylindrique de 20 cm de haut et de 5 cm de

rayon. Pour cela, elle utilise un bol ayant la

forme d’une demi-sphère de rayon 5 cm.

Combien de fois au minimum Aurélie devra-t-

elle remplir ce récipient pour que la boîte

cylindrique soit remplie à ras bord ?



Séquence 11

��EXERCICE 28 Clément voit dans une vitrine deux boîtes de chocolat en poudre : une boîte sphérique de rayon 3 cm

et une boîte cylindrique de 6 cm de rayon et 1 cm de hauteur. Compare les volumes et les aires de ces

deux boîtes.

��EXERCICE 29 Andry achète une glace (une boule et un cornet). La boule fond et la

moitié de la glace remplit entièrement le cornet. L’autre moitié de la

glace dépasse du cornet en formant une demi-boule comme indiqué sur

la figure.

1- a) Calcule, en cm

3, le volume de la boule de glace avant qu’elle ne fonde

sachant que le rayon de la boule était égal à 3 cm.

b) Calcule la hauteur du cornet en cm.

2- On considère maintenant une boule de rayon r cm où : r > 0.

Exprime, en fonction de r, la hauteur h du cornet sachant qu’on se trouve

à nouveau dans la situation décrite ci-dessus.

Lis attentivement le paragraphe suivant

LE COIN DES CURIEUX C’est le grand mathématicien Archimède qui a établi au troisième siècle

avant Jésus-Christ la formule permettant de calculer le volume d’une

boule.

Il avait démontré que le volume d’une boule est les2

3de celui du cylindre

la contenant exactement (tu peux vérifier ce résultat).

En souvenir de cette découverte, la tombe d’Archimède à Syracuse est

surmontée d’une sphère inscrite dans un cylindre.




Séquence 11

Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices. ��EXERCICE 30 figure 1 figure 2

Brice possède deux cubes de 5 cm d’arête chacun.

Il découpe le premier cube parallèlement à la face ABCD comme indiqué sur la figure 1.

Il découpe le deuxième cube parallèlement à l’arête [EF] comme indiqué sur la figure 2.

Comment doit-il positionner son couteau, pour le deuxième cube, pour que les deux sections aient la

même aire ?

��EXERCICE 31

On enterre trois vases ayant la forme d’une demi-sphère, d’un cône et d’une pyramide à base carrée

dont les dimensions sont indiquées sur la figure ci-dessus.

Le vase n°1 est enterré entièrement. Les deux autres sont enterrés partiellement.

On remplit ces trois vases avec du sable jusqu’au niveau du sol.

Problème : A quelles profondeurs h2 et h3 doit-on enterrer les vases n°2 et n°3 pour qu’ils contiennent

autant de sable que le vase n°1 ?



Séquence 11


2- Calcule, en cm3, les volumes V 1, V 2 et V 3 des trois vases.

3- a) Dans le vase V2 (respectivement le vase V3 ), le sable forme un cône (respectivement une pyramide)

qui est une réduction du vase V2 (respectivement V 3). Exprime :

● le coefficient de réduction k2 du vase n°2 en fonction de la profondeur h2

● le coefficient de réduction k3 du vase n°3 en fonction de la profondeur h3.

b) Déduis-en une expression :

● du volume V ’ 2 de sable du vase n°2 en fonction de h2

● du volume V ’3 de sable du vase n°3 en fonction de h3.

4- Traduis le problème posé à l’aide de deux équations.

5- Ouvre le fichier sequence11exercice31 à l’aide d’un tableur et détermine une valeur approchée, au

dixième près, des profondeurs h2 et h3.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. JE M’ÉVALUE 1- Lorsqu’on sectionne un cube par un plan parallèle à une face, la section est :

� un carré � un rectangle � on ne peut pas savoir

2- On sectionne un cylindre de hauteur 6 cm et

de rayon 4 cm par un plan parallèle à l’axe.

Quelles sont, en cm, les dimensions de la

section ?

OI = 2 cm

� 6 cm et 8 cm. � 6 cm et 12 cm.

� 6 cm et 4 3 cm. � 8 cm et 12 cm.

3- La section de ce cône par ce plan parallèle à la

base est :

� un cercle de rayon 4 cm.

� un cercle de rayon 1 cm. � un cercle de rayon 2 cm. � un cercle de rayon 1,5 cm.



Séquence 11

Dans les questions 4, 5, 6 et 7, on considère une pyramide ayant

pour base un triangle BCD rectangle en B tel que BC = 3 cm et

BD = 4 cm, et pour hauteur [AB] telle que AB = 8 cm.

4- Quel est, en cm3, le volume exact de la pyramide ?

� 32 cm3

� 96 cm3

� 48 cm3

� 16 cm3

5- On sectionne cette pyramide par un plan parallèle à la base BCD et passant par le point I du

segment [AB] tel que BI = 3 cm.

Quel est le coefficient de réduction permettant d’obtenir la pyramide AIJK ?

� 8

5 �

5

8 �

3

8 �

8

3

6- Quelle est l’aire, en cm², de la base réduite

IJK de la pyramide AIJK ?

� 2,34375 cm² � 4,6875 cm²

� 3,75 cm² � 0,84375 cm²

7- Quel est le volume, en cm3, de la pyramide

réduite AIJK ?

� 6,25 cm3

� 10 cm3

� 3,90625 cm3

8- La section d’une sphère par un plan peut

être :

� un cercle

� un disque

� un rectangle

� un point

9- Le volume, en cm3, de

la boule ci-contre est

égal à :

� 288 π

� 2 304 π

� 144 π

� 576 π

10- Le volume, en cm3, du solide ci-contre est égal à :

� 163,28 cm3

� 52 π cm3

� 163,362 818 cm3

� Il manque une information pour répondre à la question.


Documents

Sommaire de la séquence 11