Sommaire de la séquence 4data.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201305/ob_ddb9fd_al4...— 88 Cned, Mathématiques 4e 2-Prouve que les quadrilatères MQSR et STOU sont des carrés.3-a)

Sommaire de la séquence 4

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Je découvre la propriété de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89J’applique la propriété de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92J’applique la propriété de Pythagore - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Je résous des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Je résous des problèmes - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98J’apprends à reconnaître un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101J’apprends à reconnaître un triangle rectangle - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103J’applique la propriété de Pythagore et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

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ObjectifsSavoir calculer des longueurs à l’aide de la propriété de Pythagore .

. Être capable de démontrer qu’un triangle est un triangle rectangle, ou n’est pas un triangle rectangle .

© Cned – Académie en ligne

© Cned, Mathématiques 4e — 85

Séquence 4séance 1 —

Séance 1Je découvre la propriété de Pythagore

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n° 4. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

je révise mes acquis

1- Un seul nombre a pour carré 81.

® vrai

® faux

2- Le côté opposé à l’angle droit BAC∑

est :

® [AB]

® [AC]

® [BC]3- Le nombre manquant dans l’égalité

39 + ® = 57 est :

® 57

39

®

39

57

® 57 – 39

® 39 – 57

4- D’après le résultat affiché ci-dessous, l’arrondi au centième de π x 4 est :

® 12,5

® 12,6

® 12,56

® 12,57

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : « SÉQUENCE 4 : «LA PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE ». Fais de même avec ton cahier d’exercices. Effectue ensuite l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, reporte-toi à son corrigé dans le livret de corrigés. Lis attentivement les deux colonnes du corrigé. N’oublie pas de regarder attentivement le corrigé après avoir effectué chaque exercice : c’est nécessaire pour bien comprendre ce cours !

Exercice 1a) Nomme tous les triangles rectangles de cette figure.

b) Indique l’hypoténuse de chacun d’eux.

Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 21- Mesure très soigneusement les longueurs en cm des côtés de chacun des triangles

suivants, puis complète les tableaux.

A

B

C

π x 412.56637061

A

B

C

DFE


— © Cned, Mathématiques 4e86

Séquence 4 — séance 1

C

A B

AB = ............

AB² = ............

AC = ............

AC² = ............

BC= ............

BC² = ............

E

D

F DE = ............

DE² = ............

DF = ............

DF² = ............

EF = ............

EF² = ............

G

H

I

GH = ............

GH² = ............

GI = ............

GI² = ............

HI = ............

HI² = ............

2- a) Que remarques-tu ?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

b) Quelle question es-tu amené(e) à te poser ?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Si tu disposes d’un ordinateur, effectue l’exercice suivant (réponds sur ton cahier d’exercices).

Pour cela, télécharge le fichier séquence4_exercice3 sur ton ordinateur et ouvre-le à l’aide de Geocned. Tu dois voir apparaître une figure.




Exercice 31- a) Les points B et C sont mobiles sur deux droites

perpendiculaires. Déplace les points B et C à l’aide de la souris.

Indication technique :

Pour déplacer le point B, clique sur le point, puis, en maintenant le bouton enfoncé, déplace la souris.

b) Fais calculer BC² par Geocned.


Pour calculer le carré de BC, va dans « mesurer », puis clique sur « carré d’une longueur ». Entre ensuite « B » puis « C ». Clique ensuite sur l’onglet « mesures ».

c) Fais calculer AB² + AC² par Geocned


Pour calculer AB² + AC², va dans « mesurer », puis clique sur « somme de carrés ». Entre ensuite dans l’ordre « A » , « B », « A », « C ».

2- Déplace successivement les points B et C. Que remarques-tu ?

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. Dans cet exercice, on va essayer de répondre à l’aide d’une démonstration à la question suivante : « dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ? ».

Exercice 4On dispose de huit triangles rectangles superposables au triangle ci-contre. On en place quatre sur le carré ABCD de côté a + b, les quatre autres sur le carré MNOP de côté a + b.

1ère disposition 2ème disposition

a

a

a

a

b

b

b

b

cc

c

c

A I

L

J

B

CD K

a

a

a

a

b

bb

bM

RS T

N

O

Q

P U

c

c

I ∈ [AB] J ∈ [BC] K ∈ [CD] L ∈ [AD] Q ∈ [MN] T ∈ [ON] U ∈ [OP] R ∈ [MP]

1- a) Prouve que le quadrilatère IJKL est un losange.

b) Démontre que l’angle

LIJ∂ est droit.

Aide : on rappelle que les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

c) Quelle est la nature précise du quadrilatère IJKL ?

A

B

C

a

b

c



2- Prouve que les quadrilatères MQSR et STOU sont des carrés.

3- a) Compare l’aire du carré IJKL à la somme des aires des carrés MQSR et STOU.b) Traduis avec les lettres a, b et c la réponse obtenue à la question précédente.

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit.

e retiens CALCULER LA LONGUEUR D’UN CÔTÉ D’UN TRIANGLE RECTANGLE

Définition :

L’hypoténuse d’un triangle rectangle est le

côté opposé à l’angle droit.

Propriété de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors le carré

de l’hypoténuse est égal à la somme des

carrés des côtés de l’angle droit.

Remarque :

• Avant d’appliquer la propriété de Pythagore, vérifie bien que le triangle est un triangle rectangle !

• On appelle également cette propriété le « théorème de Pythagore ».

j

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

le coin des curieux

Pythagore était un philosophe et un mathématicien grec, né à la fin du 6e siècle avant J.-C., dans l’île de Samos, en mer Egée.

Après avoir été élève de Thalès, avoir beaucoup voyagé et s’être opposé au tyran qui régnait à Samos, Pythagore partit s’installer à Crotone (dans le Sud de l’actuelle Italie). Il y fonda une secte à la fois religieuse et scientifique.

Dans l’école Pythagoricienne, on étudiait la philosophie, les mathématiques, les sciences naturelles, la musique, l’astronomie.

La propriété de Pythagore semble connue des Babyloniens dès le XVIIIe siècle avant Jésus-Christ.

On dit que Pythagore aurait été le premier à la démontrer. On ne peut toutefois l’affirmer (son enseignement étant purement oral).

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 7. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.


C

A

B

hypoténuse

C

A

BBC² = AB² + AC²

Je sais que : J'en déduis que :le triangle ABC

est rectangle en A

CROTONE

SAMOS

SICILE

GRECE

MACEDOINE

IONIE



Séance 2J’applique la propriété de Pythagore

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 5Pour chacun des triangles suivants, dis s’il est possible d’appliquer la propriété de Pythagore.Lorsque c’est possible, écris l’égalité obtenue en appliquant ce théorème.a) b) c)

B

A

C

F

E

D

G

I

H

37°

53°


Exercice 6Dans quel triangle peut-on utiliser la propriété de Pythagore et écrire : EF² = EG² + GF² ?

Coche la ou les bonnes réponses.o o o

E

F

G

EF

G

G

F

E

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Ne découpe pas la figure ci-dessous, mais celle (plus grande), qui se trouve dans la page de découpage en fin de livret.

Exercice 7Ci-contre, la figure bleue et les quadrilatères ABCD et CEFG sont des carrés.1- Découpe les cinq pièces numérotées 1, 2, 3, 4 et 5.

Noémie dit qu’avec ces cinq pièces elle a réussi à recouvrir exactement le carré bleu. Y arrives-tu toi aussi ?

2- Quelle conjecture fais-tu concernant l’aire du carré bleu ?

3- Essaie de démontrer ta conjecture.


b

ca

1

2

5

43

AB

DC

GF

E



Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 8Quentin, Manon et Lindsay veulent savoir quelle est la mesure en cm de la longueur BC du triangle ci-contre.• Quentin prend sa règle et mesure

directement BC.

Il conclut : « J’ai trouvé ! La longueur BC est égale à 9 cm ».

• Manon utilise Geocned. Elle place successivement : A (0 ; 0) B (6,2 ; 0) C (0 ; 6,51)

Elle demande au logiciel de mesurer BC. Geocned affiche : BC = 8.99

• Lindsay a utilisé une propriété du cours, mais elle est bloquée : elle dit que le carré de BC est égal à 80,820 1 mais elle n’arrive pas à trouver BC.

a) Que penses-tu de la réponse de Quentin ?

b) Que penses-tu de ce qu’a obtenu Manon ?

Si tu possèdes un ordinateur, utilise Geocned afin de vérifier que Manon trouve bien : BC = 8.99.Indication technique : Pour placer A, va dans « Créer », choisis « point » puis « fixe ». Entre ensuite « A », puis « 0 » et encore « 0 ».

c) Que penses-tu de la méthode de Lindsay ?

d) À l’aide du travail de Manon et de Lindsay, et d’une calculatrice, peux-tu trouver la valeur exacte de BC ?

Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Pour l’exercice 10, tu regarderas exceptionnellement le corrigé non pas une fois l’exercice terminé, mais à la fin de chaque question.


A

B

C

6,2 cm

6,51 cm

BC = 8.99

AB = 6.2AC = 6.51

mesures

A

C

B



Exercice 9Calcule LM.

Exercice 10Quentin, Manon et Lindsay veulent savoir cette fois quelle est la valeur exacte en cm de EF.1- Quentin mesure EF sur la figure et

hésite entre 12,8 cm et 12,9 cm. Lindsay utilise sa calculatrice et lui dit que EF est plus grand que 12,8 cm et plus petit que 12,9 cm.

Comment Lindsay a-t-elle utilisé sa calculatrice ?

2- Lindsay essaie 12,85 cm. Elle trouve que c’est trop grand. Elle se dit alors que la longueur EF est comprise entre 12,8 et 12,85. Elle essaie alors 12,825 : c’est le nombre qui se trouve à mi-chemin entre 12,8 (soit 12,800) et 12,85 (soit 12,850). EF est-elle égale à 12,825 cm ?

3- Manon dit ensuite à Lindsay : tu n’as pas obtenu la valeur exacte, mais la technique est bonne : il suffit de l’employer plusieurs fois de suite pour trouver enfin le nombre dont le carré est 164. Suis le conseil de Manon : recommence 3 fois de suite la méthode de Lindsay. Trouve-t-on la valeur exacte du nombre qui multiplié par lui-même donne 164 ?

4- Quentin conclut alors : « La valeur exacte de EF est 12,806 249 cm ». Manon écoute Quentin, mais pense qu’il y a un problème. Elle dit à l’aide d’un calcul mental que si l’on multiplie 12,806 249 par lui même, on n’obtient pas 164.

Que penses-tu de la remarque de Manon ? Comment Manon a-t-elle pu calculer mentalement ?



L

KM 8 cm

6 cm

10 cm

8 cmD

F

E



Séance 3J’applique la propriété de Pythagore –suite–

Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens bien la méthode.

je comprends la méthodeCalculer la longueur FG en cm arrondie au dixième

Le triangle EFG est rectangle en E. D’après la propriété de Pythagore, on a :

Á J’indique le triangle rectangle dans lequel on se place ainsi que la propriété que j’utilise.

FG² = EF² + EG² Á J’écris l’égalité correspondant à la propriété de Pythagore en utilisant les lettres de la figure.

FG² = 2,8² + 1,3² Á Je réécris l’égalité précédente en utilisant les valeurs données dans l’énoncé.

FG² = 7,84 + 1,69.FG² = 9,53 Á Pour déterminer le nombre positif FG dont on

connaît le carré, j’utilise la calculatrice. Reporte-toi à la page calculatrice en fin de livret.

d’où : FG ≈ 3,1 cm (arrondi au dixième) Á Je sais qu’il y a deux nombres, qui, multipliés par eux-mêmes donnent 9,53.Je cherche une longueur donc un nombre positif.

J’utilise la touche de la calculatrice.

Reporte-toi à la page calculatrice en fin de livret.Il s’affiche : 3.087069808 ; le chiffre des centièmes de FG est 8, l’arrondi au dixième de FG est donc 3,0 + 0,1 soit 3,1.Je peux vérifier que le résultat obtenu a des chances d’être correct sur la figure.

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 111- Calcule les longueurs en cm de chacun des quatre côtés du

quadrilatère RUTS.

Si besoin, utilise l’arrondi au dixième.

2- Calcule l’arrondi au dixième du périmètre en cm du quadrilatère RUTS.


G

E F2,8 cm

1,3 cm

R

S

T

U 3 cm

1,5 cm

2,5 cm

4,5 cm

I



Exercice 12

F

E

D

A

C

B

G

HI

1- Pour les trois triangles rectangles ci-dessus, quel semble être le plus long côté ? Quelle conjecture es-tu amené à formuler ?

2-

A

CB a) Noémie a tracé à main levée un triangle ABC rectangle en B. En appliquant la

propriété de Pythagore, elle dit avoir su comparer AC2 et BC2. Saurais-tu faire de même ?

b) Saurais-tu comparer AC2 et AB2 ?

c) Déduis du a) et b) la comparaison de AC et BC, puis celle de AC et AB.

On admettra la propriété : « si a et b sont deux nombres positifs tels que a2 > b2 alors a > b.

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

e retiens Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus long côté.j

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 13Noémie essaie de résoudre l’exercice suivant :

Un escalator mesure 7,5 m de long. À quelle hauteur se trouve une personne située au point K ? Autrement dit, calcule KM.

1- Essaie de résoudre cet exercice.

2- Que penses-tu de la réponse de Noémie ci-dessous ?

Le triangle KML est rectangle en M. On a donc :

KM² = KL² + ML²

KM² = 7,5² + 4² = 72,25.

Je trouve à l’aide de ma calculatrice : KM = 8,5 m.


K

LM 4 m

7,5 m



Lis attentivement le paragraphe suivant.

e retiens La propriété de Pythagore permet de calculer la

longueur d’un côté d’un triangle rectangle

connaissant la longueur des deux autres.

j

Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens bien la méthode.

je comprends la méthodeCalculer la longueur IJ en cm

Le triangle IJK est rectangle en J. D’après la propriété de Pythagore, on a : IK² = IJ² + JK² 4,5² = IJ2 + 2,7²

Á Je fais attention ! C’est le carré de l’hypoténuse qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.Il ne fallait pas écrire que IJ² était égal à IK² + JK².

20,25 = IJ2 +7,29

IJ2 = 20,25 – 7,29

IJ2 = 12,96

d’où : IJ = 3,6 cm

Á IJ² est le nombre qui ajouté à 7,29 donne 20,25 donc IJ² est la différence de 20,25 et de 7,29 soit 20,25 – 7,29.

Á Pour déterminer le nombre positif IJ dont je connais le carré, j’utilise la calculatrice.

Lorsque la figure est tracée en vraie grandeur, pense à vérifier ton résultat sur la figure.

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 14Calcule les longueurs en cm des côtés du quadrilatère GHIJ ?

Si besoin, utilise l’arrondi au dixième.


18 m

16 cm

50 cm

23 m

?

?

2,7 cm

4,5 cm

I

J K

G H

IJ

10,2

cm

9 cm

7 cm



Exercice 15La figure ci-contre représente un prisme droit à bases triangulaires.

Calcule :

a) son aire latérale b) son volume.

Rappels :

aire latérale d’un prisme = périmètre d’une base × hauteur

volume d’un prisme = aire d’une base × hauteur


Séance 4Je résous des problèmes

Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 161- Trace :

• un segment [BC] de 4 cm,

• la médiatrice (d) de [BC].

Appelle I le point d’intersection de (d) et [BC].

2- Place un point A sur (d) tel que : AI = 3,5 cm

Quelle est la nature précise du triangle ABC ?


a) un triangle isocèle de sommet principal A tel que : AB = 3 cm et BC = 3,6 cm.

b) la hauteur [AH] issue de A.

2- Calcule

a) AH

b) l’aire du triangle ABC.

3-

a) Trace la hauteur [CK] issue de C.

b) Calcule CK.


A

B C

E F

D10 cm

6,5 cm

5,6 cm



Exercice 18On considère la figure ci-contre représentant à main levée un parallélépipède rectangle.1- Calcule son volume en cm3.

2-

a) Quelle est la nature de la face EFGH ?

b) Calcule HF en cm. Tu donneras l’arrondi au dixième.

3- a) Quelle est la nature du triangle DHF ? On ne te demande pas de justifier.

b) Calcule DF en cm. Tu donneras l’arrondi au dixième.

Exercice 19Monsieur Martin désire installer des étagères sous son escalier.

Il fait le schéma ci-contre.

[AD] est horizontal. Calcule la hauteur des montants verticaux [BE], [CF] et [DG].

Lindsay dit qu’avec sa méthode, on peut faire tous les calculs mentalement...

A, B, C, D sont alignés ainsi que A, E, F, G


Séance 5Je résous des problèmes –suite–

Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 20On considère le triangle ABC ci-contre.

Calcule :

a) son périmètre

b) son aire.


4 cm

15 cm

20 cmA

E F

B

H

D C

G

B

H

A

E

F

G

B C D0,8 m

1m

7,5 cm

4,5 cm

6,5 cm

A

BH

H ∈[BC]

C4,5 cm



Exercice 21On considère la figure à main levée ci-contre.1- Représente-la en vraie grandeur.

2- Manon et Quentin ont calculé DC.

Manon : « Je ne trouve qu’une valeur approchée de DC.»

Quentin : « Moi, j’ai trouvé la valeur exacte de DC, et je n’ai même pas eu besoin de calculer DB ! »

Peut-on trouver la valeur exacte de DC ? Si oui, quelle est cette valeur ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

e retiens Étudions un exemple : nous cherchons à calculer BC connaissant AB et AC2.Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après la propriété de Pythagore :BC2 = BA2 + AC2

• On peut calculer la valeur exacte de BC en écrivant : BC 5 + AC2 2 2= =

24

49{

donc BC = 7 cm

• On pourrait également trouver une valeur approchée de BC en utilisant une valeur approchée de AC.

AC ≈ 4,9 cm donc BC2 ≈ 52 + 4,92 soit BC ≈ 49,012BC ≈ 49,012 donc BC ≈ 7 cmCette méthode ne donne qu’une valeur approchée du résultat : cette méthode est donc moins rigoureuse.

j


Exercice 22On considère la figure ci-contre.1- Calcule le périmètre p en cm du triangle LNM.

2- Lindsay, Noémie et Ali ont cherché la question 1. Ils comparent leurs résultats. Lindsay et Noémie ont trouvé : p ≈ 15 cm

Ali dit avoir trouvé la valeur exacte de ce périmètre.

As-tu trouvé, toi aussi le périmètre exact en cm du triangle LNM ? Si ce n’est pas ton cas, essaie de trouver une méthode permettant de l’obtenir. Explique alors pourquoi, dans un premier temps, tu n’avais pas obtenu cette valeur.



5,6 cm

3,2

cm

7,2

cm

A B

C

D

A C

B

5 cm

AC2 = 24

7 cm5 cm

2,5 cm

N ∈[KM]

K

L

N M

5 cm



Séance 6J’apprends à reconnaître un triangle rectangle


Exercice 23a) Complète et trace une figure à main levée :

D’après la propriété de Pythagore,

Si ABC est rectangle en A alors …….. = ……………………

b) Écris la réciproque de la propriété précédente.

.....................................................................................................................................

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices sauf les constructions que tu effectueras sur une feuille de papier calque. Tu pourras alors vérifier par transparence tes figures directement sur le corrigé.

Exercice 241- Dans chacun des cas suivants,

a) AB = 1,8 cm AC = 2,4 cm BC = 3 cmb) AB = 2 cm AC = 4,8 cm BC = 5,2 cmc) AB = 3,3 cm AC = 5,6 cm BC = 6,5 cm

• calcule BC² et AB² + AC²• trace un triangle ABC qui convient, si c’est possible.

2- Que remarques-tu ?

Si tu disposes d’un ordinateur, effectue l’exercice suivant (réponds sur ton cahier d’exercices).Pour cela, télécharge le fichier séquence4_exercicen°25 sur ton ordinateur et ouvre-le à l’aide de Geocned. Tu dois voir apparaître une figure.

Exercice 25Clique sur l’onglet « mesures » de façon à faire apparaître un panneau d’affichage.

Déplace les points A, B et C à l’aide de la souris.

Trouves-tu des points A, B et C pour lesquels

BC² = AB² + AC² et CAB ≠ °90 ?

Quels semblent être les seuls points A, B et C pour lesquels on ait BC² = AB² + AC² ?

Dans l’exercice qui suit, on va démontrer que la réciproque de la propriété de Pythagore est vraie.Tu feras cet exercice sur ton cahier d’exercices à l’exception de la figure que tu complèteras sur ton livret.


figure à main levée



Exercice 26On a représenté à main levée ci-contre un triangle ABC tel que :

BC² = AB² + AC²

a) Trace à main levée le point D qui vérifie à la fois :

• AD = AB

• (AD) ⊥ (AC)

• B et D de part et d’autre de (AC).

b) Compare CD² et CB².

c) Prouve que (AC) est la médiatrice de [BD].

On admettra que deux nombres positifs qui ont le même carré sont égaux.

d) Déduis de ce qui précède que BAC∑ est droit.

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit après l’avoir lu.

e retiens DÉTERMINER SI UN TRIANGLE EST RECTANGLERéciproque de la propriété de PythagoreSi le carré de l’un des côtés d’un triangle est égalà la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle et admet ce côté comme hypoténuse (ce côté est donc le plus long des trois).

Remarque : cette réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

j


Exercice 27Dans chacun des cas suivants que peux-tu déduire de la réciproque de la propriété de Pythagore ?

a) UV² = UW² + VW² donc le triangle UVW est rectangle en …………. .

b) FG² = EF² + EG² donc le triangle EFG est rectangle en …………. .

c) XY² = ZX² + YZ² donc le triangle XYZ est rectangle en …………. .

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 28Les triangles suivants sont-ils rectangles ?1- triangle KLM : KL = 9 cm LM = 12 cm KM = 15 cm

2- triangle RST : RS = 4 cm ST = 2,1 cm RT = 3,4 cm

Lis attentivement les deux paragraphes suivants.


A

B

C

A

B

C

DONC

le triangle ABC est tel que BC² = AB² + AC²

le triangle ABC est rectangle en A

Je sais que : J'en déduis que :

A

B

C



e retiens La propriété de Pythagore permet de calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle, mais aussi de démontrer qu’un triangle n’est pas un triangle rectangle.

j

je comprends la méthode

Le triangle ABC tel que : AB = 8 cm BC = 15 cm AC = 17 cm est-il rectangle ?

Le triangle ABC tel que : AB = 5 cm BC = 12 cm AC = 11 cm est-il rectangle ?

J’écris quel côté est le plus long. Le côté le plus long est [AC]. Le côté le plus long est [BC].

Je calcule séparément le carré du plus long côté et la somme des carrés des deux autres.

AC2 = 172 = 289

AB2 + BC2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289

BC2 = 122 = 144

AB2 + AC2 = 52 + 112 = 25 + 121 = 146

Je compare les deux résultats obtenus et j’applique la bonne propriété.

AC2 = AB2 + BC2

D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

BC2 n’est pas égal à AB2 + AC2.

D’après la propriété de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.

Remarque : Comment faire pour savoir dans le cas de gauche que le triangle ABC est rectangle en B ? Comme : AC2 = AB2 + BC2, l’hypoténuse est donc [AC]. Le triangle est donc rectangle en B car l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.


Exercice 29Les anciens Égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds régulièrement espacés pour obtenir des angles droits (par exemple pour vérifier que leurs champs étaient rectangulaires).

Pour obtenir un angle droit, ils la disposaient ainsi :

Pourquoi étaient-ils sûrs d’avoir un angle droit ?





Séance 7J’apprends à reconnaître un triangle rectangle –suite–

Effectue les cinq exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 30On considère le triangle KLM représenté à main levée ci-contre.

Est-il rectangle ?

Voici les réponses de Noémie et Lindsay :

Noémie Lindsay

LM² = 12² = 144 Le plus long côté est [KM].

LK² + KM² = 5² + 13² = 25 + 169 = 194 KM² = KL² + LM²

donc LM² ≠ LK² + KM² 13² = 5² + 12²

d’où le triangle KLM n’est pas rectangle. 169 = 25 + 144

169 = 169

KM² = KL² + LM²

le triangle KLM est rectangle en L.

Que penses-tu des solutions de Noémie et Lindsay ? Si elles ne te satisfont pas, propose la tienne.

Exercice 311- Trace en vraie grandeur la figure représentée à main levée ci-

contre.

2- Lindsay dit que (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC. Es-tu de son avis ?

3- Calcule l’aire en cm² du triangle ABC.


K

L

M

5 cm

12 cm

13 cm

A

BH

C

4 cm

3,2

cm

2,4 cm4,8 cm

H ∈[BC]



Exercice 32Voici, en vraie grandeur, un parallélogramme ABCD de centreO. Est-ce un losange ?

Exercice 33On considère la figure à main levée ci-contre.1- Calcule CB.

2- Le triangle ABC est-il rectangle ?

3- Calcule ED de deux façons différentes.

D ∈ [AC] E ∈ [BC] (DE) // (AB)

Exercice 34On voudrait savoir si le triangle EFG ci-contre est rectangle.

Les « carreaux » ont 1 cm de côté.

Lindsay : On ne connaît pas les mesures des côtés du triangle.Ali : Ce n’est pas grave. On peut les calculer. On peut, par exemple, tracer sur le papier pointé un triangle rectangle dont [EF] est l’hypoténuse.1- Essaie de répondre à la question posée.

2- Noémie a calculé EF, FG et EG en utilisant le théorème de Pythagore puis elle a écrit :

EF ≈ 8,1 cm FG ≈ 3,6 cm EG ≈ 7,2 cm EF² ≈ 8,1² c’est-à-dire EF² ≈ 65,61 FG² + EG² ≈ 3,6² + 7,2² soit FG² + EG² ≈ 12,96 + 51,84 c’est-à-dire FG² + EG² ≈ 64,8 On a donc : EF² ≠ FG² + EG² D’après la propriété de Pythagore, le triangle EFG n’est pas rectangle.

Es-tu d’accord avec sa solution ?Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 9. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche.


A

B

C

DO

3,3 cm

5 cm 6 cm

A

BC

D

E

4,8 cm

2 cm

2,5 cm

5,5 cm

E

F

G



Séance 8J’applique la propriété de Pythagore et sa réciproque

Effectue les quatre exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 351- Trace en vraie grandeur la figure représentée à main levée ci-

contre.

2- Calcule KM.

3- Les droites (KN) et (LM) sont-elles parallèles ?


• un segment [OO’] de 6,2 cm

• le cercle C de centre O de rayon 4,4 cm

• le cercle C ’ de centre O’ de rayon 4,4 cm.

2- C et C ’ se coupent en A et B.

Ali dit que AO’BO est un losange.

Manon dit que c’est même un carré.

Que penses-tu de leurs affirmations ?

Exercice 37On considère la figure ci-contre représentant un prisme droit dont les bases ABC et DEF sont des triangles rectangles. 1- Calcule EF en cm.

2- Quentin dit que le triangle AEC est rectangle.

Que penses-tu de son affirmation ?

Exercice 381- Trace en vraie grandeur la figure représentée à main levée

ci-contre.

ABCD est un carré de 6 cm de côté. De plus :

E ∈ [AD] et F ∈ [AB]

2- Est-il vrai que le triangle EFC est rectangle ?



2,5 cm

2,9 cm

2,1 cm

1,5 cm

K

L M

N

3,2 cm 2,4 cm

5 cm

A

BC

D

EF

A B

E

D C

F

6 cm

6,5 cm

1,5 cm



Séance 9J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les deux exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 39Sur la figure à main levée ci-contre,

• les droites (EF) et (AD) sont parallèles,

• E ∈ [AC] ; F ∈ [CD]

• CD = 20 cm.1- Calcule AD.

2- Le triangle ACD est-il rectangle ?

Exercice 40Noémie, Ali et Quentin doivent calculer BC. Malheureusement, ils n’ont pas leur calculatrice !1- Ils commencent par appliquer la propriété de Pythagore au triangle ABC.

Fais comme eux.

2- Ils sont perplexes. Comment trouver une écriture décimale de BC ?

Soudain, Ali affirme qu’il a démontré que : 1 < BC < 2.

Essaie de retrouver son raisonnement.

3- a) Quentin dit que BC est de la forme « 1 virgule quelque chose ».

Es-tu d’accord avec lui ?

b) Il dit qu’il va déterminer le chiffre des dixièmes de BC.

Il calcule 1,12. Fais comme lui. Que conclus-tu ?

Il calcule 1,22. Que conclut-il cette fois ?

Essaie de trouver le chiffre des dixièmes de BC en utilisant sa méthode.

4- Essaie, en t’aidant de ce qui précède, de déterminer le chiffre des centièmes.

5- Noémie se demande si BC est un nombre décimal (elle se souvient, au début de cette séquence, d’avoir rencontré un segment, dont la mesure de la longueur en cm n’était pas un nombre décimal).

Elle demande à son professeur de l’aider. Il lui répond : « Si BC est un nombre décimal

• quel est son dernier chiffre non nul ?

• le dernier chiffre non nul de son carré ? »

Aide Noémie à résoudre son problème.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test.Lis attentivement chaque question et coche directement la (les) réponse(s) exacte(s) sur ton livret.Une fois les dix questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.


A

D

F

CB

7 cm

24 cm

E7,8 cm

13 cm

A B

C

1 cm

1 cm



je m’évalue

1- Quelle est la longueur AC en m de l’échelle ?

A

BC

2,1 m

2,8

m

® 4,9 m

® 4,5 m

® 3,43 m

® 3,5 m

2- Quel est l’arrondi au dixième de la largeur en cm de l’écran rectangulaire de télé ?

K L

MN

56 cm

42 cm

® 14 cm

® 37 cm

® 37,1 cm

® 70 cm

Dans les questions 3 et 4, on considère le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous à main levée.

A

E

F G

H

BC

D

7,2 cm

2,4 cm

1,8 cm

3- Quelle est la mesure de la longueur de [BD] ?

® 0,6 cm

® 3 cm

® 4,2 cm

® 9,6 cm

4- Quelle est la mesure de la longueur de [BH] ?

® 7,8 cm

® 4,2 cm

® 6,5 cm

® 10,2 cm




5- Si ST² = SU² + UT² alors le triangle STU :

® est rectangle en S

® est rectangle en U

® est rectangle en T

® n’est pas rectangle.

6- Sans essayer de tracer en vraie grandeur la figure représentée à main levée ci-dessous, on peut affirmer qu’il n’est pas possible de construire cette figure.

A

B

C

4,5 cm

4,3 cm

2,9 cm

® vrai

® faux

Dans les questions 7 et 8, on considère un triangle ABC tel que :

AB = 7 m ; AC = 25 m ; BC = 24 m

7- Que peut-on dire de ce triangle ?

® Il est rectangle en A.

® Il est rectangle en B.

® Il est rectangle en C.

® Il n’est pas rectangle.

8- Quelle propriété a permis de traiter la question précédente ?

® une des propriétés des milieux

® la réciproque de la propriété de Pythagore

® la propriété de Pythagore

® la propriété de Thalès

Dans les questions 9 et 10, on considère le parallélogramme représenté ci-dessous à main levée.

K

L

M

N

4,1 cm2,9 cm

5 cm




9- Ses côtés consécutifs [KL] et [LM] sont-ils perpendiculaires ?

® oui

® non

10- Quelle propriété a permis de traiter la question précédente ?

® la propriété des milieux

® la propriété de Pythagore

® la réciproque de la propriété de Pythagore

® la propriété de Thalès



Documents

Sommaire de la séquence 4data.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201305/ob_ddb9fd_al4...— 88 Cned, Mathématiques 4e 2-Prouve que les quadrilatères MQSR et STOU sont des carrés.3-a)