1

11

Chapitre 3Chapitre 3Statistique descriptive à une variableStatistique descriptive à une variable

BachelorBachelor 2 2 –– Fondation 2iEFondation 2iE20102010-- 20112011

H. MoussaH. Moussa22

Les statistiques pourquoi ? Les statistiques pourquoi ?

• Multiplicité des champs d’application

•Informatique, robotique

•Climatologie, hydrologie, agriculture

•Economie, gestion

•Biologie, médecine

•Planification urbaine, ….

� Outil d’ aide à la prise de décision

33

Caractéristiques d’une étude statistique Caractéristiques d’une étude statistique

�� L’usage de la statistique ne garantit L’usage de la statistique ne garantit pas l’objectivitépas l’objectivité

�� La précision ne garantit pas la véritéLa précision ne garantit pas la vérité

�� L’interprétation doit primer sur le calculL’interprétation doit primer sur le calcul

44

Présentation et Caractérisation Présentation et Caractérisation de données de données

55

Populations et échantillons Populations et échantillons

Population d’individusPopulation d’individus

Échantillon

Individu

Caractère

QualitatifSexe, Qualité, secteur d’activités,…

QuantitatifÂge, débit de cours d’eau, cours boursier,..

66

Sondages et recensementsSondages et recensements

�� Recensement Recensement

enquête menée auprès de toute la population enquête menée auprès de toute la population

�� SondageSondage

enquête menée auprès d’un échantillonenquête menée auprès d’un échantillon

�� Échantillon représentatif (non biaisé) de la Échantillon représentatif (non biaisé) de la population population ciblecible

�� Quel échantillon choisir ?Quel échantillon choisir ?

2

EchantillonnageEchantillonnage

�� "Un échantillon est "Un échantillon est représentatif si représentatif si les unités qui le les unités qui le constituent ont été choisies par un procédé tels que tous constituent ont été choisies par un procédé tels que tous les membres de la population ont la même probabilité les membres de la population ont la même probabilité de faire partie de l'échantillon" (de faire partie de l'échantillon" (GhiglioneGhiglione & & MatalonMatalon, , 19981998).).

�� Echantillonnage Echantillonnage aléatoire: chaque élément de la aléatoire: chaque élément de la population a une chance égale d'être choisipopulation a une chance égale d'être choisi..

�� Echantillonnage Echantillonnage par par quotas (strates): quotas (strates): échantillonnage échantillonnage permettant de retrouver les mêmes proportions de permettant de retrouver les mêmes proportions de caractéristiques jugées essentielles dans l'échantillon caractéristiques jugées essentielles dans l'échantillon que dans la population.que dans la population.

77

L’EchantillonnageL’Echantillonnage

88

Choisir un bon échantillon : l’échantillon aléatoireChoisir un bon échantillon : l’échantillon aléatoire

À l'élection présidentielle américaine de 1936, la revue «Literacy Digest» a procédé à un sondage à partir des immatriculations et des listes des bottins téléphoniques. Elle a envoyé 10 millions de bulletins fictifs et a reçu 2,3 milllions de réponses. Ses prédictions : le candidat Landon : 55% des voix le candidat Roosevelt : 41% des voix.

La maison Gallup a prélevé un échantillon «aléatoire» de 6 500 personnes et a obtenu comme prédictions :

Landon : 35% et Roosevelt : 64%.

Les résultats de l'élection : Landon 37% et Roosevelt 61%.

Pourquoi la méthode d'échantillonnage de la revue «Literacy Digest » n'était-elle pas valable ?

99

L’observation statistiqueL’observation statistique

�� But : déterminer But : déterminer les caractéristiques de la population les caractéristiques de la population que l'on veut étudierque l'on veut étudier

�� Comment ? Par estimation Comment ? Par estimation ieie en prélevant un en prélevant un échantillon pour recueillir échantillon pour recueillir des données sur des données sur les les caractéristiques à étudier . Les d’une caractéristique caractéristiques à étudier . Les d’une caractéristique sont présentées sont présentées sous forme de sous forme de tableauxtableaux et de et de graphiquesgraphiques. .

�� statistique statistique descriptivedescriptive

NB :Caractéristique à étudier = Variable NB :Caractéristique à étudier = Variable statistique statistique => Variable aléatoire=> Variable aléatoire 1010

Variable statistiqueVariable statistique

Fiabilité d’un Fiabilité d’un échantillonnageéchantillonnage

�� Les résultats Les résultats obtenus lors obtenus lors de l'étude d'un échantillon de l'étude d'un échantillon sontsont--ils valables pour toute ils valables pour toute la population? la population?

�� statistiquestatistique inférentielleinférentielle ::�� Estimation (moyenne,

variance, écart-type)� Tests de validité � Intervalle de confiance

1111

STATISTIQUE DESCRIPTIVE STATISTIQUE DESCRIPTIVE UNIVARIÉEUNIVARIÉE

Partie 1 Partie 1

1212

3

1313

Collecte de donnéesCollecte de données

�� Exemple 1Exemple 1les 50 notes attribuées par un jury à un examenles 50 notes attribuées par un jury à un examen

1414

Variables discrètesVariables discrètes

•• la variable ne prend qu'un nombre fini de valeurs : la variable ne prend qu'un nombre fini de valeurs : les modalités (xles modalités (xii) )

Dans l’exemple 1, on regroupe les notes par ordre Dans l’exemple 1, on regroupe les notes par ordre

croissant : croissant :

x i

n i

Effectif de la modalité x i

1515

Variables continuesVariables continues

•• la variable prend ses valeurs dans un intervalle la variable prend ses valeurs dans un intervalle (classe ) (classe )

Exemple : Regroupement par classes des 50 notesExemple : Regroupement par classes des 50 notes

ClasseClasse

effectif totaleffectif total∑ ∑ ∑ ∑ ni =N

ni

[x i-1; x i [

1616

FréquenceFréquence

�� Fréquence de la mesure xFréquence de la mesure xii du caractèredu caractère

∑∑∑∑====

====

ii

ii

ii

n

nf

totaleffectif

xàattachéeffectiff

N

1717

Effectifs et Fréquences cumulésEffectifs et Fréquences cumulés

�� Effectifs cumulés (NEffectifs cumulés (Nii))

�� Fréquences cumulées (FFréquences cumulées (Fii))

ii

i

kki nnnnnN ++++++++++++++++======== −−−−

====∑∑∑∑ 12

11 ...

N

NfffffF iii

i

kki ====++++++++++++++++======== −−−−

====∑∑∑∑ 12

11 ...

1818

ExempleExemple

NotesNotes EffectifsEffectifs(n(nii))

Effectifs Effectifs cumuléscumulés(N(Nii) )

FréquencesFréquences(f(fii))

Fréquences Fréquences cumuléescumulées

(F(Fii))

[ 0; 5 [[ 0; 5 [ 1010

[ 5; 8 [[ 5; 8 [ 88

[ 8; 12 [[ 8; 12 [ 1212

[12; 15 [[12; 15 [ 1111

[15; [15; 21 21 [[ 99N = ∑ ∑ ∑ ∑ ni = Interprétation?

4

1919

Représentation graphiqueReprésentation graphique

�� Variables discrètesVariables discrètes�� Diagramme en bâtons ou par Diagramme en bâtons ou par secteurssecteurs

�� Variables continuesVariables continues�� HistogrammeHistogramme

�� Polygones et polygones cumulatifsPolygones et polygones cumulatifs

2020

Diagramme en bâtonsDiagramme en bâtons

�� Exemple 1Exemple 1Statistiques du Statistiques du personnel d’une personnel d’une PME suivant lePME suivant lenombre d’enfants nombre d’enfants à chargeà charge

Nom

bre

d’en

fant

s à

char

geE

ffect

ifs

Effe

ctifs

cu

mul

és

Fré

quen

ces

Fré

quen

ces

cum

ulée

s

11 1313 1313 0,430,43 0,430,43

22 99 2222 0,30,3 0,730,73

33 55 2727 0,170,17 0,900,90

44 22 2929 0,070,07 0,970,97

55 11 3030 0,030,03 11

TotalTotal 3030 -- 11 --

2121

Diagramme en bâtons ou en barresDiagramme en bâtons ou en barres

Nombre d’enfants par salarié

Nom

bre

de s

alar

iés

(effe

ctifs

)

2222

HistogrammeHistogramme

�� Exemple 2: Exemple 2: étude de la taille (en m) d’un groupe d’individusétude de la taille (en m) d’un groupe d’individus

Classes Classes Effectifs (ni)Effectifs (ni)[1,700[1,700 ; 1,720 [; 1,720 [ 33[1,720 ; 1,740 [[1,720 ; 1,740 [ 33[1,740 ; 1,760 [[1,740 ; 1,760 [ 55[1,760 ; 1,780 [[1,760 ; 1,780 [ 66[1,780 ; 1,800 [[1,780 ; 1,800 [ 44[1,800 ; 1,820 [[1,800 ; 1,820 [ 3 3

2424

même amplitude :

0,02 m

2323

HistogrammeHistogramme

1.71 1.73 1.771.75 1.79 1.81

8

6

4

2

0

30 %

20 %

10 %

0 %

nombre

pourcentage

taille

EFFECTIFS

FREQUENCES

TAILLE (m)

2424

Histogramme : influence des amplitudes des Histogramme : influence des amplitudes des classesclasses

�� Dans un histogramme, les effectifs et les Dans un histogramme, les effectifs et les fréquences sont traduits par les surfaces fréquences sont traduits par les surfaces des rectangles. On a la relation suivante :des rectangles. On a la relation suivante :

Base du rectangle = amplitudeBase du rectangle = amplitude

Hauteur du rectangle =Hauteur du rectangle = Effectif Effectif AmplitudeAmplitude

5

2525

Exercice : tracer l’histogrammeExercice : tracer l’histogramme

Classes Classes Effectifs (ni)Effectifs (ni)[47,50[47,50 ; 52,50[; 52,50[ 1010[52,50 ; 57,50[[52,50 ; 57,50[ 3030[57,50 ; 60,50[[57,50 ; 60,50[ 6060[60,50 ; 63,50[[60,50 ; 63,50[ 7272[63,50 ; 67,50[[63,50 ; 67,50[ 4040[67,50 ; 80,50[[67,50 ; 80,50[ 48 48

260260

2626

Polygone des effectifs ou des fréquencesPolygone des effectifs ou des fréquences

EFFECTIFS

FREQUENCES

2727

Le polygone des fréquences cumuléesLe polygone des fréquences cumulées

�� Pour la même série , tracer Pour la même série , tracer le polygone des le polygone des effectifs cumulés (ou des fréquences effectifs cumulés (ou des fréquences cumulées)cumulées)

��ordonnées = effectifs cumulés ou ordonnées = effectifs cumulés ou fréquences cumuléesfréquences cumulées

�� Abscisses = bornes supérieures des classesAbscisses = bornes supérieures des classes��Les points sont reliés par des segments de Les points sont reliés par des segments de

droitedroite

2828

Exemple 3: Notes de MathsExemple 3: Notes de Maths

ClassesEffectifs

n i

Effectifs cumulés

Ei

Fréquences fi en %

Fréquences cumulées

Fi en %[6 - 9[ 7 7 46,70 46,70

[9 - 11[ 5 12 33,30 80,00[11 - 14[ 3 15 20,00 100,00

Total 15 100,00

2929

Exemple : Polygone des effectifs Exemple : Polygone des effectifs cumuléscumulés

Répartition des notes obtenues en MATH

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 6 9 11 14 20

Classe des notes

Effe

ctifs

cum

ulés

3030

Caractérisation numérique des Caractérisation numérique des donnéesdonnées

�� Approche graphique : histogramme Approche graphique : histogramme et et polygone polygone donnent une vue donnent une vue globale et globale et détaillée de la distribution des individus détaillée de la distribution des individus dans un échantillon ou une populationdans un échantillon ou une population

�� Pour extraire Pour extraire les caractéristiques les caractéristiques essentielles des séries , on utilise des essentielles des séries , on utilise des grandeurs numériques grandeurs numériques

6

3131

Paramètres numériques Paramètres numériques de séries statistiquesde séries statistiques

�� MMesures esures de de tendance centrale tendance centrale ou de ou de positionposition�� modemode�� médiane médiane �� MoyenneMoyenne�� Médiale (voir Médiale (voir TD 3)TD 3)

�� MMesures esures de de dispersiondispersion�� étendue, étendue, �� ÉcartÉcart--typetype, variance, , variance, �� écart écart moyenmoyen�� Intervalle interquartileIntervalle interquartile

3232

Mesures de tendances Mesures de tendances centrale ou de positioncentrale ou de position

3333

Le modeLe mode

�� correspond à la variable qui présente l’effectif correspond à la variable qui présente l’effectif (ou la fréquence) le (ou la fréquence) le plus plus élevéélevé

�� représentation graphique : le représentation graphique : le sommet de la sommet de la distribution distribution

le mode est la valeur la plus fréquente

3434

ExemplesExemples

•distribution unimodale

taille

mode pourles femmes

mode pourles hommes

fréquence

fréquence

X

•distribution bimodale

Taille des individus dans une population adulte

3535

Avantages et inconvénients du modeAvantages et inconvénients du mode

�� Avantages Avantages -- Détermination graphique aisée Détermination graphique aisée

�� Inconvénients Inconvénients du modedu mode

-- Significatif Significatif uniquement si unique uniquement si unique -- Variable continue : le mode peut varier en Variable continue : le mode peut varier en

fonction du découpage des classes fonction du découpage des classes

45 – 68 – 89 – 74 – 62 – 56 – 49 – 52 – 63 kg

3636

La médianeLa médiane

�� La médiane est un paramètre de position, La médiane est un paramètre de position, qui permet de couper la population étudiée qui permet de couper la population étudiée en deux groupes contenant le même en deux groupes contenant le même nombre d'individus. nombre d'individus.

�� �� 50 % de la population étudiée a une 50 % de la population étudiée a une modalité inférieure à la médiane et 50 % modalité inférieure à la médiane et 50 % une modalité supérieure à la médiane. une modalité supérieure à la médiane.

7

3737

Calcul de la médiane : cas Calcul de la médiane : cas discret (1/2)discret (1/2)

�� ExempleExemple 11

�� Poids d’un échantillon de 9 personnes Poids d’un échantillon de 9 personnes ::

�� La série est classée suivant l’ordre La série est classée suivant l’ordre croissant :croissant :

45 – 68 – 89 – 74 – 62 – 56 – 49 – 52 – 63 kg

45 – 68 – 89 – 74 – 62 – 56 – 49 – 52 – 63 (kg)

3838

Calcul de la médiane : cas Calcul de la médiane : cas discret (2/2)discret (2/2)

�� ExempleExemple 22

�� Si le nombre d’individus est pair, on prend la Si le nombre d’individus est pair, on prend la moyenne entre les deux valeurs centralesmoyenne entre les deux valeurs centrales ::

45 – 68 – 89 – 74 – 62 – 56 – 49 – 52 – 63 kg

médiane =

56 + 62 2 = 59

3939

Médiane : variable continueMédiane : variable continue

• Colonne des fréquences cumuléesla médiane est ici la note correspondant à la fréquence cumulée 50% : F(Me) = 50%

•La médiane se trouve donc dans l'intervalle [9 ;11[

� On la détermine par interpolation linéaire

Exemple 3

ClassesEffectifs

n i

Effectifs cumulés

Ni

Fréquences fi en %

Fréquences cumulées

Fi en %[6 - 9[ 7 7 46,70 46,70[9 - 11[ 5 12 33,30 80,00

[11 - 14[ 3 15 20,00 100,00Total 15 100,00

4040

Interpolation LinéaireInterpolation Linéaire

4141

Détermination graphique de la médianeDétermination graphique de la médiane

Répartition des notes obtenues en MATH

0

20

40

60

80

100

0 6 9 11 14 20

Notes

Fré

que

nces

cu

mu

lées

en %

Me

50A B

C

M

M'

4242

Médiane : variable continueMédiane : variable continue

Par interpolation linéaire, f(c) est approchée par la valeur I. D’où d’après le théorème de Thalès

Soit Me ≈ 9,2

50 % des personnes ont eu une note inférieure à 9,2 et 50 % des individus ont eu plus de 9,2 .

467,080,0

467,050,0

911

9

−−=

−−Me

8

4343

Formule générale de la Formule générale de la médiane médiane (variable continue)(variable continue)

�� Par interpolation linéaire, on a :Par interpolation linéaire, on a :

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))ii

i

ii

i

xfxf

xfMef

xx

xMe

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−

++++++++ 11

4444

Détermination graphique de la médianeDétermination graphique de la médiane

�� Sur le polygone des fréquences cumuléesSur le polygone des fréquences cumuléesMe correspond à l’abscisse du point de Me correspond à l’abscisse du point de coordonnée ½ : F(Me) = 50%coordonnée ½ : F(Me) = 50%

�� Sur le polygone des effectifs cumulés, Me Sur le polygone des effectifs cumulés, Me correspond à l’abscisse du point de correspond à l’abscisse du point de coordonnée ½ coordonnée ½ N ( N: effectif N ( N: effectif total) total)

4545

Avantages et inconvénients Avantages et inconvénients de la médianede la médiane

�� Avantages Avantages -- Calcul aisé Calcul aisé -- Donne une idée satisfaisante de la tendance centrale Donne une idée satisfaisante de la tendance centrale

-- Robuste : elle n’est pas influencée par les valeurs aberrantes de Robuste : elle n’est pas influencée par les valeurs aberrantes de la série.la série.

-- Minimise la somme des écarts moyensMinimise la somme des écarts moyens

�� Inconvénients Inconvénients -- Pas toujours définie dans le cas d’une série discrète.Pas toujours définie dans le cas d’une série discrète.-- Exemple : 12 n’est pas la médiane de la série :Exemple : 12 n’est pas la médiane de la série :

6 7 7 8 10 11 6 7 7 8 10 11 12 1212 1212 14 17 14 17 1717 1717

4646

La La moyenne arithmétiquemoyenne arithmétique

n1, n2, n3, .........,nN sont les effectifs correspondants aux • modalités x1, x2, x3, .......,xN., si la série est discrète , • ou centres de chaque classe, si la série est continue .

2ème formule

4747

La moyenne : série discrèteLa moyenne : série discrète

�� Calculer la moyenne de la série suivante :Calculer la moyenne de la série suivante :

4848

La moyenne : série continueLa moyenne : série continue

�� Calculer la moyenne de la série suivante :Calculer la moyenne de la série suivante :

9

4949

Avantages et inconvénients Avantages et inconvénients de la moyennede la moyenne

�� Avantages Avantages -- Meilleure caractéristique de position : elle prend en Meilleure caractéristique de position : elle prend en

compte toutes les valeurs d’une sériecompte toutes les valeurs d’une série-- Elle minimise la somme des écarts quadratiques Elle minimise la somme des écarts quadratiques

�� Inconvénients Inconvénients -- Moins robuste que la médiane : elle Moins robuste que la médiane : elle est influencée par est influencée par

les valeurs aberrantes ( exagérément faibles ou les valeurs aberrantes ( exagérément faibles ou exagérément élevées) de la série.exagérément élevées) de la série.

45 – 68 – 89 – 74 – 62 – 56 – 49 – 52 – 63 kg

5050

Les caractéristiques de Les caractéristiques de dispersiondispersion

5151

L’ étendue d’une distribution statistiqueL’ étendue d’une distribution statistique

�� L’étendue est la différence entre la plus grande L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur et la plus petite valeurvaleur de la série :de la série :

�� Exemple Exemple (diapo n(diapo n°°48), 48), le calcul exact donnele calcul exact donne ::

20 20 -- 0 = 200 = 20

�� Un calcul approché ( centre des classes) Un calcul approché ( centre des classes)

17.5 17.5 -- 2.5 = 152.5 = 15

5252

L‘intervalle L‘intervalle interquartileinterquartile

�� Le premier quartile (QLe premier quartile (Q11) est la valeur telle que 25 ) est la valeur telle que 25 % des valeurs prises par la variable lui soit % des valeurs prises par la variable lui soit inférieures et 75% lui soit supérieures.inférieures et 75% lui soit supérieures.

�� Le troisième quartile (QLe troisième quartile (Q33) est la valeur telle que ) est la valeur telle que 75 % des valeurs prises par la variable lui soit 75 % des valeurs prises par la variable lui soit inférieures et 25% lui soit supérieures.inférieures et 25% lui soit supérieures.

�� Remarque : deuxième quartile = médiane. Les Remarque : deuxième quartile = médiane. Les quartiles sont des caractéristiques de quartiles sont des caractéristiques de positionposition

�� Intervalle interquartile : QIntervalle interquartile : Q3 3 -- QQ11

5353

Variance et écart type Variance et écart type

V: varianceV: variance

L'écart L'écart -- type est le nombre : .type est le nombre : .

Autre formule :Autre formule :

5454

ExempleExemple

Compléter le tableau suivant :Compléter le tableau suivant :

10

Compléments de TD NCompléments de TD N°°33

Concentration Concentration –– indice de Giniindice de Gini--MédialeMédiale

Courbe de concentrationCourbe de concentration

�� La courbe de concentration, ou courbe de La courbe de concentration, ou courbe de Lorenz, joint, par des segments de droite, les Lorenz, joint, par des segments de droite, les points ayant, pour :points ayant, pour :

-- abscisses : les fréquences cumulées (en %)abscisses : les fréquences cumulées (en %)

-- ordonnées : le rapport des xordonnées : le rapport des xii nnii cumulés sur la cumulés sur la somme totale des somme totale des xxkk nnkk ( en %)( en %)

Exemple Exemple iièmeème ordonnée = ordonnée = xx11 nn11 + … + x+ … + xii nnii

somme de tous les (somme de tous les (xxkk nnkk ))

Indice de GiniIndice de Gini

�� L'indice de Gini L'indice de Gini G est G est le le double de la surface double de la surface SScomprise entre la diagonale comprise entre la diagonale et la courbe de et la courbe de Lorenz : Lorenz :

G G = 2 S = 2 S

�� S = ½ [S = ½ [1 1 –– ∑∑ffii ((qqii + q+ qii--11)])]

Fréquences cumulées : Fi

Pou

rcen

tage

cum

ulé

du

cara

ctèr

e (q

i)

fi = Fi – Fi-1

MédialeMédiale

�� Valeur partageant en 2 fractions de poids Valeur partageant en 2 fractions de poids égale la masse cumulée des xégale la masse cumulée des xii nnii

�� Correspond à l’abscisse ( Correspond à l’abscisse ( lue sur l’axe des classeslue sur l’axe des classes ) du point ) du point d’ordonnée 50% , pris sur la courbe de concentrationd’ordonnée 50% , pris sur la courbe de concentration

�� détermination par interpolation linéairedétermination par interpolation linéaire