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Universit Paris 7 - Denis Diderot Anne 2005-2006
L1 Fabrice Mathurin
MK1 - MAPLE [email protected]
Mercredi 11 Janvier
Examen MK1
Lexamen est compos de6 exercices indpendants. Il suffit de faire
entirement 4 exercices pour obtenir la notemaximale. Il ne faut pas
en entamer plus que4, seuls les4 premiers exercices de votre copie
seront nots. Toutesles rponses sont reporter sur les feuilles
dexamen Les justifications comporteront essentiellement les lignes
de
codes Maple et des explications succintes pour expliquer
prcisment ce qui vous amne aux conclusions.
Nous tiendrons grandement compte de la clart de la rdaction et
de la syntaxe.
Aucun document nest autoris. Les portables doivent tre teints
(sous peine dannulation de la copie), les calcu-
latrices sont interdites.
Exercice 1 (Analyse (5 points)) Donnez les limites et les DLs
des fonctions suivantes lordre et au point pr-cis : (en fournissant
les commandes Maple)
tan(2t) ln(tan(t)) ( lordre7et en 4 ) cos(t) e 1tsin(t) (
lordre2et en 2 ) cos(t)tan(
t2
) ( lordre11et en0) (et +t)
1t ( lordre5et en0)
cos(arcsin(t)) ( lordre9et en0)
Exercice 2 (Suite (6 points)) SoitaR. On considre la
suite(un)nNsuivante :
u0= a; n0 un+1= 5un 3un+ 1
1. crivez une procdure Maple prenant en entre un nombre rel a
Ret un entier naturel n etrenvoyant len-me terme de la suite.
2. Indiquez la valeur deu10en fonction dea.
3. tudiez la convergence de la suite en fonction de la valeur
dea.
Soientaetbdans R. On considre la suite dfinie par :u0= a; u1= b;
n0 un+2=|un+1| un
1. crivez une procdure Maple prenant en entre un nombre rela R,
un nombre relb R et unentier naturelnet renvoyant le n-me terme de
la suite.
2. En prenant quelques exemples faites des simulations
numriques. Que constatez-vous ?
Exercice 3 (Trac (5 points)) Nous allons tudier la fonctionf: x1
+ 1x1
x1
t21 +t8
dt
Bien entendu, tout cet exercice est rsoudre avec Maple.
1. Donnez le domaine de dfinition de la fonction.
2. Dterminez la valeur de la drive de cette fonction.
3. Calculez les limites aux bornes du domaine. Donnez les
diffrentes branches asymptotiques.4. (Difficile) tablissez le
tableau de variation def. Donnez un tableau de valeurs de f.
5. Ralisez le trac du graphe def. Pour cela vous rflchirez
lchelle la plus approprie. Outre le tracapproximatif def, vous
prciserez la (ou les) commande(s) Maple utilises.
Exercice 4 (Boucles for (5 points)) crivez un programme
calculant la double somme des puissanceskme etrme
des entiers de1 n, cest dire :n
i=1
nj=1
ikjr
Ce programme prendra donc3entiers en entre,n, k,r, utilisera des
boucles foret renverra la double somme-i.e.un entier.
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Exercice 5 (Rsolution dquations (5 points)) Vous utiliserez
Maple pour rsoudre ces quations provenant dediffrentes situations
mathmatiques (pour les quations diffrentielles vous pouvez utiliser
la fonction dsolve) :
1. Donnez les racines deX4 + 3X2 + 1.
2. Donnez les valeurs approches des racines relles de X6 13X3 +
2X2 1par une mthode de votrechoix. (105 prs)
3. Rsoudre lquation diffrentielle :(1 +x2)y
2xy= 0
4. Rsoudre le systme linaire :
3x+ 2y 4z = 25y+ 2z = 3
x y+ 8z = 15. Rsoudre lquation diffrentielle :
y(4) y= cos(x)
Exercice 6 (Divers (5 points)) 1. (Boucle While) Donnez le plus
petit entiern1 tel queE(2005 (32)n))soit premier. Expliquez votre
mthode. (E(x)dsigne la partie entire de x, i.e. le pluspetit entier
prcdantx.)
2. (Matrices) On considre la matriceA = (ai,j)1i,j4dfinie
par
1
i, j
4, ai,j =
ij
i+j.
(a) Proposez une mthode permettant de dfinir directement la
matrice (cest--dire sans rentrer un un les 16 coefficients).
(b) Donnez le rang deM.
(c) Calculez, si elle existe, linverse de la matriceA.
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