Synthese Des Filtres

8/8/2019 Synthese Des Filtres

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Les types des filtres

Il existe deux types de filtres : les filtres analogiques et les filtresnumriques

Les premiers agissent directement sur le signal analogique dentre,Ils sont constitus dun ensemble de composants analogiques(rsistances, condensateurs, inductances, lments actifs).

Les seconds requirent une numrisation pralable du signal dentre, dont ils modifientles valeurs ainsi laide dun ensemble doprateurs numriques (multiplieurs,

additionneurs, lments dlai).

* Filtres analogiques :


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Filtres numriques :

Il existe deux types de filtres numriques :

Si N=0 : on parle de filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF ou FIRen anglais).

Si N1 : on parle de filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII ou IIRen anglais).

Les filtres numriques sont des systmes linaires, discrets, invariantsdans le temps et unidimensionnels. De plus, pour quils soient

physiquement ralisables, il faut quils soient ncessairement causaux.

Reprsentation du filtre numrique par sa relation de rcurrence :

0 0

. ( ) . ( )N M

k j

k j

a y n k b x n j

! !

!


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Filtrenumrique

xnTe ynTe

Le filtre numrique transforme la suite dchantillon dentre x(nTe)en une suite dchantillon y(nTe).


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LES FILTRES RII

Les filtres IIR possdent une rponseimpultionnelle qui ne se stabilisera jamais, mme l'infini. Ce type de filtre est rcursif, c'est--direque la sortie du filtre dpend la fois du signald'entre et du signal de sortie, il possde ainsiune boucle de contre-raction (feedback) cesfiltres sont inspirs des techniques de filtrageanalogiques.

Ainsi, on a des filtres IIR de Butterworth, deTchebychev, de Bessel, elliptiques, etc.L'ide est ici de profiter dans le mondenumrique de tout le savoir faire acquis dans lemonde analogique.


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Approximation des filtres RII :


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y(n)=bi x(n-i)- aj y(n-j)M N

i=0 j=1

Filtre analogiqueEntrx(t) Sortiey(t)

y(t)=x() h(t- ) d

+

-

Equation aux diffrences :


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Y(j)=X(j ).H(j)

Lattnuation du filtre A() est

X(j )

Y(j )

A()=20 log =20 log1

H(j )

H(j )2

=H(j ).H(- j )= 1L( )2

L(2), tant un polynme en , dsigne la fonction caractristique du filtre.La qualit dun filtre se mesure au fait que sa caractristique soit voisine de

zro dans la bande passante et trs grande lextrieur


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1.Synthse par invariance impulsionnelle

Le principe de cette mthode est le suivant: * on dtermine la rponse impulsionnelle dsire

h(t)

* on chantillonne cette rponse impulsionnelle

la frquence fe et on en dduit la suite {hk} * on recherche la fonction de transfert H(z) du

filtre numrique qui a pour rponse

impulsionnelle la suite {hk}

Soit un filtre analogique de fonction de transfertH(p) et de rponse impulsionnelle h(t), latransforme de Laplace donne :


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N

K=1

A k

(p-pk)

H(p)=

h(n) = A k exp ( p n T e)k

TZ

H(Z)= A k(1-Z exp(pk Te)

-1

K=1

K=1

NN


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2.SYNTHSE PAR INVARIANCE INDICIELLE

Le principe de cette mthode est semblable aucas prcdent :

* on dtermine la rponse indicielle dsire {d}.

* on chantillonne cette rponse indicielle lafrquence Fe et on dduit la suite {dk}.

* on recherche la fonction de transfert H(z) dufiltre numrique qui a la mme rponse indicielle.


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4.SYNTHSE PAR TRANSFORMATIONBILINAIRE

Objectif : obtention de la fonction de transfertH(z) d'un filtre numrique qui a la mme rponsefrquentielle qu'un filtre analogique de rfrenceH(p),autrement dit le mme gabarit.

En pratique, on utilisera cette mthode coupleavec une mthode de synthse de filtresanalogiques qui sera vue par ailleurs enlectronique

Principe : cette mthode a pour objectif de faireconcider


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au mieux les domaines analogique etnumrique.En fait, cause de laconditiond'chantillonnage (Shannon/Nyquist),il ne sera possible de faire concider les deuxdomaines que dans une fraction du domaineutile.

Elle est inspire de la mthode de lintgration

des trapzes. En ngligeant les conditionsinitiales

Si on intgre numriquement par la mthodedes trapzes, on a entre deux chantillons un

accroissement illustr par la figure suivante :


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Exempleprenons le cas dun filtre analogique passe-bande du second ordre

(frquences de coupure 100 Hz et 1000 Hz, pulsation de coupure628 et 6280 rad/sec) obtenu par synthse par la mthode deButterworth sous Matlab : [num,den]=butter(2,[628 6280],'s');bode(num,den)


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La rponse frquentielle d'un filtre numriquequivalent pourra tre de la forme suivante :

La courbe ci-dessous reprsente la superposition des rponsesdes filtres analogiques et numriques tudis prcdemment


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Fonctionnement de la mthode

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