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Système d ’équations :3 problèmes.

Type d ’activité : exercices dirigés

2

Conseils et méthode de travail

Une feuille s’ouvre sur une ou plusieurs questions :

A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.

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Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

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Sommaire

Au supermarché

Poker.

Balade en vélo

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Au supermarché Pierre lit :

« Assortiment de boulons 2 tailles différentes 50 et 80 mm

400 pièces . Masse totale : 6,3 kg »

Pierre souhaite connaître le nombre de boulons de chaque taille.Il pèse un boulon de 50 mm et trouve 12g.Il pèse ensuite un boulon de 80mm et trouve 18g.Pierre est satisfait, il connaît le nombre de boulons de chaque taille. Et toi ?

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Le lot est composé de 400 boulons.x + y = 400

Les x boulons de 50 mm pèse :12x grammes

Les y boulons de 80 mm pèse :18y grammes

donc l ’ensemble des boulons pèse :12x + 18y = 6300 grammes

D ’où le système x + y = 4002x + 3y = 1050

On peut diviser tous les termes de l’équation par 6

x + y = 40012x + 18y = 6300

Appelons x le nombre de boulons de 50 mm et y le nombre de boulons de 80mm.

6

x + y = 4002x + 3y = 1050

En procédant par substitution :y = 400 - x2x + 3(400 - x) = 10502x +1200 - 3x = 1050-x = 1050 - 1200-x = -150x = 150donc y = 250Le couple (150; 250) est solution de ce système !

Le lot se compose de150 boulons de 50 mmet 250 boulons de 80mm

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Jacques et Olivier jouent au poker. (L’un contre l ’autre !) Si Olivier perd 50 euros, il aura le double de ce que possède Jacques.Mais si Jacques perd 50 euros, il lui restera le quart de ce que possède Olivier.

Olivier possède x euros

Jacques possèdey euros

1erpossibilité

2ème possibilité

Appelons x le nombre d'euros que possède Olivier et y le nombre d'euros que possède Jacques :

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Jacques et Olivier jouent au poker. (L’un contre l ’autre !) Si Olivier perd 50 euros, il aura le double de ce que possède Jacques.Mais si Jacques perd 50 euros, il lui restera le quart de ce que possède Olivier.

Olivier Jacques

1erpossibilité

2ème possibilité

x - 50 y + 50 x - 50 = 2( y + 50)

x + 50 y - 50 x + 50 = 4( y - 50)

Conseil : réduis les équations avant de résoudre le système.

x - 2y - 150 = 0 x - 50 = 2( y + 50) x + 50 = 4( y - 50) x - 4y + 250 = 0

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x - 2y = 150 x - 4y = - 250

Pour résoudre ce système la méthode de résolution par addition est particulièrement rapide. Mais la méthode de résolution par substitution

ne pose aucun problème !

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x - 2y = 150 x - 4y = - 250

On additionne membre à membre

Olivier dispose deJacques dispose de

soit

En procédant par addition

x - 2y = 150 - x + 4y = 250

550 €200 €

x - 2y - x + 4y = 150 + 2502y = 400 y = 200

d ’où x - 2 x 200 = 150

et x = 550

Le couple (550 ; 200) est solution de ce système

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Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace.Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine.Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes.Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.

MasevauxMalvauxBallon

d'Alsace

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Aller Masevaux

Ballon d ’Alsace

Malvaux

Distance

Vitesse

Temps

x y

10km/h 30km/h

heurex

10heure

y

30

heuresyx

5,23010

La durée du trajet aller est :

Attention ! 2heures 30minutes = 2,5 heures

Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace.Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine. Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes. Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.

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Retour Masevaux

Ballon d ’Alsace

Malvaux

Distance

Vitesse

Temps

x y

10km/h 30km/h

heurey

10heure

x

30

heurexy

5,13010

La durée du trajet retour est :

Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace.Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine.Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes.Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.

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Il reste à résoudre le système5,1

3010

xy

5,23010

yx

En multipliant chaque équation

par 30 !

3x + y = 753y + x = 45

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3x + y = 753y + x = 45

y = 75 - 3x

3(75 - 3 x) + x = 45225 -9x + x = 45-8x = 45 - 225x = -180/-8x = 22,5 y = 75 - 3 x 22,5

y = 7,5

La distance entre :

- Masevaux et le sommet du col du Ballon d ’Alsace est 22,5 km. - Le col du ballon d ’Alsace et Malvaux est de 7,5km.- Malvaux et Masevaux est 30km.