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Géométrie et Musique

Blaise Christen 26.10.2009

Table des matièresAvant-propos ......................................................................................................................... 3Introduction ........................................................................................................................... 3

Les transformations géométriques chez Bach ................................................................. 4L’offrande musicale............................................................................................................... 5

Les formes musicales ................................................................................................. 6L’ordre des canons ..................................................................................................... 7

Aperçu ........................................................................................................................... 7Analyse........................................................................................................................ 10

L’Art de la fugue ................................................................................................................. 10Les grands débats ..................................................................................................... 11

Aperçu ......................................................................................................................... 12Analyse de la dernière fugue du recueil ........................................................................ 15Étude thématique ......................................................................................................... 17La fin ........................................................................................................................... 17

Conclusion........................................................................................................................... 18Annexes............................................................................................................................... 20Bibliographie ....................................................................................................................... 20


Blaise Christen 26.10.2009 3

Avant-proposLorsqu'on débute un travail comme le mien, lorsqu'on se rend compte de la taille immenseque représentent des œuvres comme celles-ci, on se pose très vite toutes sortes de questions.Pourquoi ai-je choisi ce sujet ? Comment rester neutre au milieu de tous ces musicologues ?Mais aussi des question sur le compositeur et ce qu’implique son travail : Comment un êtrehumain peut-il réaliser à lui seul une œuvre architecturale aussi complexe que l'art de la fu-gue, ou l'offrande musicale ?

J'ai choisi ce sujet pour deux raisons : tout d'abord, j'aime beaucoup Bach et l'art de la fuguedemeure une œuvre fascinante à mes yeux. Ensuite, parce qu'il m'est souvent arrivé, lorsque jetentais d'initier des amis au langage musical et aux transformations géométriques chez Bach,de rencontrer une certaine incrédulité. "Mais est-ce que Bach l'a vraiment voulu ?", "Tu es sûrqu'on peut considérer la musique d'un point de vue mathématique ?" sont des questions assezcourantes. Il est cependant difficile de parler du langage musical de Bach sans parler de mou-vement contraire ou d'augmentation. Cette musique reste extraordinaire même pour une per-sonne ne connaissant pas les transformations courantes, mais l'intérêt s'en épuise vite. Lacompréhension de ces notions permet surtout une compréhension plus grande de ces pièces,pour que les gens ne disent pas "L'art de la fugue c'est toujours la même chose".

Pour ce qui est de la neutralité, j'ai tenté de ne pas trop m'impliquer dans une étude que jelaisse aux musicologues qualifiés. Comment se tenir à l'écart des influences qu'ont sur nousles grandes idées ? C'est pour ne pas trop subir de tentations que la liste des ouvrages aux-quels je fais référence dans ce travail est relativement restreinte. J'ai préféré m'en tenir princi-palement à la partition elle-même pour faire principalement de cette étude un travail d'obser-vation.

Quant à la dernière question, la vraie, celle que tout le monde se pose, je me vois encore ettoujours, même après la rédaction de ce travail, dans l'incapacité d'y répondre. Ces pages demusique ont gardé pour moi leur côté magique, et le mystère qu'elles renferment restera pro-bablement caché définitivement à nos yeux. On aura beau creuser, le secret de ces pièces res-tera invisible, la beauté ne peut pas être mise en équations ( et c'est pourquoi l'analyse de l'Artde la fugue, mais aussi de toute œuvre musicale représente une besogne fastidieuse). Mesda-mes et Messieurs les musicologues, bon travail...

IntroductionDepuis que la musique existe, elle n’a jamais cessé d’être assimilée aux mathématiques. Cesdeux disciplines sont en effet caractérisées par une très forte composante abstraite. Les notespour la musique, les nombres pour les mathématiques. Il suffit aussi de regarder les originesde la musique pour se rendre compte de la parenté qui existe entre ces deux formesd’abstraction : C’est bel et bien Pythagore, un mathématicien qui a posé les bases de notre


4 26.10.2009 Blaise Christen

système musical en tons et demis tons. Le fait est que lorsqu’on parle de musique, il est diffi-cile d’admettre que les sentiments que nous percevons lors de l’audition d’un morceau demusique soient purement mathématiques et entièrement provoqués par une forme de raison-nement mathématique. Il n’est pas possible de donner une équation du beau, de donner unerègle applicable à tous les cas de figure. Ne reconnaît-on pas les artistes justement au faitqu’ils ne se plient pas aux règles qui existent ? Ce travail ne vous donnera probablement pasla clef de l’esthétique musicale. Ce n’est pas dans les idées musicales qu’il faut trouver desmathématiques ou de la géométrie, mais bien dans la structure des œuvres. On pourrait com-parer l’usage de ces transformations géométriques à autant de figures de rhétorique en litté-rature. L’écrivain possède des oxymores, des ellipses,… le compositeur, lui, possède des ren-versements, des augmentations, etc…et l’on sait que Bach était un expert de la rhétorique.

Mon but n’est donc nullement de mettre la musique en équations ou de la dépouiller de toutson caractère émotionnel. Il est beaucoup plus intéressant de laisser à la musique tous sescharmes. Je me bornerai à montrer une manière parmi d’autres d’analyser une partition. Ilexiste une multitude de façons d’analyser une partition : on peut en étudier les harmonies,tenter d’expliquer les sentiments qui en ressortent, etc…Pour ma part, je me limiterai auxtransformations géométriques. Cet aspect est très intuitif, ne nécessitant que très peu deconnaissances en musique et en mathématiques (les transformations sont surtout basées surune géométrie assez simple), et facile à montrer, car très visuel :nous possédons des exemplesconcrets, impossibles à mettre en doute.

Je suivrai une structure simple. Mon travail s’articule autour de deux œuvres de J.-S. Bach :L’offrande musicale et l’art de la fugue. En commençant par l’offrande musicale, qui présentechacune des transformations géométriques dans de petites pièces, je souhaite initier le lecteurà ces transformations par des exemples simples et concrets. Ensuite de quoi, ces exemplescommentés seront utilisés pour analyser les Contrapunctus de l’art de la fugue, finissant parune analyse en détail de la dernière fugue inachevée.

En suivant ce plan, je souhaite donner au lecteur la possibilité de voir la musique dite« classique » sous un autre angle, intéressant à plus d’un titre. Il est important de préciser queje ne formulerai aucune nouvelle théorie, laissant ce soin aux nombreux musicologues quitravaillent encore sur ces œuvres.

Les transformations géométriques chez BachLorsqu'on se trouve face à une partition, il existe deux types d'approche de cette musique :

- D’une part la perception purement auditive qui permettra une vision "sentimentale" del'œuvre : "j'aime", "je n’aime pas", "c'est triste", "c'est plutôt joyeux". Cette écoute està la base même de la musique car la presque totalité du répertoire musical est baséesur une perception émotive visant à provoquer des sentiments chez l’auditeur. Cessentiments sont très nombreux, allant de la peur au simple plaisir en passant par latristesse et la joie.

- D’autre part, une vision que j'appellerai concrète : on ne considère plus la partition etles notes comme des abstractions qu'on peut seulement entendre mais d'un supportgraphique permettant les transformations de bases de la géométrie Euclidienne (symé-tries, homothéties, translations). On peut ainsi prendre un court extrait musical, parexemple un thème de fugue, et lui faire subir toutes sortes de transformations :



La transposition : La transformation la plus simple et à la base des styles canoniques et fu-gués. Elle correspond à une forme de translation. On peut par exemple faire une transpositionsimple d'une mélodie, verticale ce qui a pour effet de changer sa tonalité. On peut égalementdans le cadre d'une exposition de fugue superposer une transposition d'un thème à la quinte authème d'origine après quelques mesures.

L’augmentation : c'est, avec son contraire (la diminution) la transformation la plus facile àpercevoir à l'écoute sur un thème car elle correspond tout simplement à ce même thème jouédeux fois plus lentement. En mathématiques, cette transformation est une homothétie de fac-teur 2.1 En musique, cet effet est créé en doublant la valeur des notes du thème : ainsi unecroche devient une noire, une blanche devient une ronde, etc...

La diminution :Le principe est le même que pour l'augmentation mais le thème semble jouédeux fois plus rapidement. Cette transformation correspond à une homothétie de facteur 1/2en mathématiques. En musique, on divise la valeur des notes par deux : ainsi une croche de-vient une double croche, une blanche devient une noire, etc...

Le mouvement contraire (ou renversement): Cette forme d'inversion et la suivante sont in-décelables pour des oreilles inexpérimentées, elle correspond à la symétrie d'axe horizontal.Dans la totalité des exemples que je passerai en revue, l'axe de symétrie est le troisième degréde la tonalité du morceau (appelé aussi Médiante) mais il existe également des inversions surd'autres degrés (tonique, dominante). Un thème par mouvement contraire est donc l'image duthème vu dans un miroir placé horizontalement sur la troisième note de la tonalité utilisée.Ainsi tout mouvement ascendant devient descendant et vice-versa. On distingue encore deuxtypes d'inversions: d'une part la plus fréquente, qui ne conserve pas la dénomination des inter-valles (une seconde majeure peut devenir une seconde mineure ) et se contente de rester dansla tonalité, d'autre part le type d'inversion que l'on rencontre à deux reprises dans l'Offrandemusicale (Canone perpetuo en trio et canon quaerendo invenietis) qui reproduit mécanique-ment les intervalles du rectus.

Le mouvement rétrograde: La forme la moins utilisée car il est rare que la rétrogradationd'un thème sonne bien. De plus, l'effet produit est moindre car le thème devient extrêmementdifficile à percevoir à l'écoute. Elle correspond à une symétrie d'axe vertical. Le thème estainsi joué comme si on le lisait de droite à gauche et non de gauche à droite.

L’offrande musicalePour replacer cette œuvre dansson contexte, il s’agit de don-ner quelques complémentsbiographiques. Frédéric II, roide Prusse, qui jouait de la flûtetraversière avait déjà beaucoupentendu parler de Jean-Sébastien Bach. Tout d’abord,son fils, Carl Philippe-Emmanuel, était alors accom-pagnateur à la cour du roi de-



puis 1740 et lui avait probablement parlé de son père à plusieurs reprises. De plus, le comtede Kayserling, ambassadeur de Russie (qui avait commandé à Bach les fameuses variationsGoldberg), parla au roi avec tant d’enthousiasme du compositeur que Frédéric invita Bachdans son palais de Potsdam dès le printemps de 1747.À peine le musicien était-il arrivé, aprèsun long voyage (rappelons que Bach avait alors soixante-deux ans !) que le roi voulut le voirsans même que Bach eût le temps de se changer. Il lui demanda immédiatement de jouer surles nouveaux pianoforte de Silbermann (le piano en était alors à ses balbutiements) du palais.Le vieux Bach commença à improviser. Le roi, ébloui par tant de talent, proposa au musicienun thème de sa main et lui demanda de le traiter en style fugué à trois voix ce que Bach fit. Leroi voulut alors mettre le génie devant l’impossible et lui demanda d’improviser sur son thèmeune fugue à six voix. Bach dû, bien malgré lui, s’incliner prétextant que le thème était tropcompliqué. Il improvisa cependant une fugue à six voix sur un de ses thèmes personnels. Puisil repartit pour Leipzig avec la ferme intention de prendre sa revanche sur le roi vaniteux.2 Leroi reçoit le premier envoi de Bach en juillet.3

Les formes musicalesIl est très difficile de donner une définition précise des formes musicales que nous allons ren-contrer dans ce travail car Bach, comme tous les génies, prend énormément de liberté dans lecadre que pose la forme (qu’elle soit fuguée ou canonique), repoussant très loin les limitesd'une définition.

Le canon

Un canon est une pièce à plusieurs voix écrites dans un style contrapuntique et dont seule lapremière ( appelée antécédent) est écrite. Les autres voix, superposée à la première étant dé-duite de celle-ci soit directement soit par transformations.Dans l’offrande musicale, on rencontre deux types de canons : d’une part les canons simples,comme nous les connaissons tous (frère Jacques, etc...), qui ne contiennent qu'une seule voixécrite. Dans ce cas, le thème est lui-même traité en canon. D'autre part, les canons à trois voix( dont deux écrites) où l'une est l'antécédent ( souvent dérivé du thème initial) et l'autre lethème lui-même servant de "cantus firmus".

La fugue

Il existe deux possibilités de définitions lorsqu'on parle de fugue: soit on donne une explica-tion brève et simple qui s'adapte à tous les cas de figures, soit on donne le schéma type (lafugue dite "d'école") qui est un modèle théorique, très précis mais ne correspondant à aucunefugue connue.4 Il est évident que les grands compositeurs sont connus pour ne pas se plier auxrègles établies.

Une fugue est une forme musicale principalement bithèmatique : un thème est exposé d'abordà une voix soliste puis une autre voix reprend le thème (à la quinte dans la plupart des cas). Lapremière voix devient alors accompagnement de la seconde et prend le nom de contre-sujet.Ensuite de quoi une troisième voix reprend le thème. Le nombre de voix dépend de l'intentiondu compositeur. Cette étape qui présente les voix superposées les unes aux autres s'appellel'exposition. Au cour du morceau, on peut entendre d'autres expositions dans différents tonsou alors le thème fait une courte apparition à une voix. Le but principal est que l'auditeurpuisse se souvenir du thème à tout moment de la fugue et n'ait pas le temps de l'oublier. Dans



le cas d’une fugue à plusieurs sujets, on a l’impression que la fugue se conclut mais un autrethème subit lui aussi un développement et se supperpose au premier thème (double fugue).

L’ordre des canons

Le manuscrit nous étant parvenu dans un état quelque peu désordonné, sous la forme defeuillets épars, nous ne connaissons pas exactement l'ordre souhaité par le compositeur pourcette œuvre. Il est même possible que le compositeur n'aie pas prévu un ordre précis dans le-quel devaient être jouées les pièces. Les musicologues débattent encore et toujours. A.Bassopropose par exemple une construction basée sur la rhétorique cicéronienne.5

Aperçu

Concernant les notations mathématiques : J'ai tenté d'expliquer les transformations de l'Of-frande musicale en termes purement mathématiques. Ces notations sont en italique dans letexte. Je considère ainsi les notes comme les points d'un système d'axes tel que l'axe horizon-tal correspond au temps qui s'écoule entre deux entrées, valeur exprimée en temps et l'axevertical exprime la hauteur du son exprimée en demi tons.

1) Ricercare à 3

Bach a ajouté à la première édition un acrostiche sur le titre : Regis Iussu Cantio Et ReliquaCanonica Arte Resoluta (A la demande du Roi, le Chant et le Reste Résolus selon l’Art Cano-nique). Ce ricercare est peut-être la retranscription de la fugue à trois voix improvisée devantle roi (et quelque peu améliorée, sans doute) mais là encore les avis des spécialistes diffèrent.La fugue s’ouvre sur le thème du roi :Dans cette fugue, il est intéressant de constater que certaines des transformations géométri-

ques citées plus haut apparaissent déjà sous forme d’ébauche. Ainsi au deuxième temps de lamesure 29, apparaît sur la portée du haut, un motif qui est repris de manière absolument iden-tique sur la portée du bas, mais en augmentation à la mesure suivante. De même, le thème lui-

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Temps [temps]

transposition: translation de vecteur ( 2;-18 ) diminution: homothétie de

facteur 1/2

renversement: symétrie d’axe horizontal ( degré III )1

2 3 4



même subit une transformation du même genre de la mesure 117 à la mesure 124. Le thème asubi quelques modifications (descente chromatique plus longue, rythme différent, intervallesmodifiés au début) mais l'esprit du thème reste le même. Cette fois-ci, les durées sont dimi-nuées de moitié par rapport à l’énoncé original. La notion de mouvement contraire apparaîtelle aussi à la mesure 118 sous la forme d’une montée chromatique qui est le renversement dela descente chromatique qui figure dans le thème.

2) Canon perpetuussuper thema regium

Le thème apparaît ici dans sa forme diminuée (c’est-à-dire en noires). Il est suivi d’une codalibre. Le thème sert de cantus firmus (c’est-à-dire de mélodie) au canon. Il occupe la partiemédiane de la tessiture et est entouré par les deux voix du canon qui, lui, est écrit sur ladeuxième ligne. La première voix du canon, écrite en clef de sol, entre sur la bémol, au dessusde la portée et la deuxième, en clef de fa, entre à la distance d’une mesure sur la bémol, deuxoctaves plus bas.

en notation mathématique: translation de vecteur (4;-24)

Canones diversisuper thema regium

3)Canon a 2 ( dit canon en écrevisse) :Le thème figure ici de manière très semblable au ricer-care, à l’exception de la descente chromatique qui est syncopée, et est suivi d’une partie librede 9 mesures ( la même longueur que le thème ). La première et la deuxième voix, entrent enmême temps. La deuxième correspond à la première voix prise en mouvement rétrograde(c’est-à-dire qu’on lit la première voix depuis la fin). Ce canon offre donc un axe de symétrieà sa neuvième mesure.en notation mathématique: axe de symétrie vertical: x= 36 (mesure 9-10)

4) a 2 violini in unisono : Le thème est à la basse. Au soprano figure un canon simple àl’unisson à une distance d’une mesure.en notation mathématique : translation de vecteur (4;0)

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mes.9

mes.10

axe de symétrie

première voix

deuxième voix



5) a 2 per motum contrarium : Le thème joue le rôle de cantus firmus au soprano. La pre-mière voix du canon est lue en clef d’ut première ligne. La deuxième voix est déduite de lapremière en retournant la partition et en lisant la première voix de droite à gauche en clef d’uttroisième ligne.

en notation mathématique: translation de vecteur (2;0) puis symétrie d'axe horizontal : y=degré III, médiante (ici, mi bémol)

6) Per augmentationem, contrario motu. Bach fait figurer une note en latin : Notulis cres-centibus crescat Fortuna Regis (que la fortune du roi croisse avec la valeur des notes). Unevariation ornée du thème sert de cantus firmus. La deuxième voix est lue par mouvementcontraire et jouée deux fois plus lentement.

en notation mathématique : homothétie de facteur 2 puis symétrie d'axe horizontal: y= degréIII, médiante (ici, mi bémol)

7) a 2. (Per tonos) Ici aussi une devise flatteuse: Ascedentque Modulatione ascendat GloriaRegis ( et que la gloire du roi augmente avec la modulation ascendante) La deuxième voixentre à la deuxième mesure à la quinte. Le cantus firmus est également une variation du thèmeroyal. Le canon module de do mineur à ré mineur et recommence dans cette tonalité. Le ca-non peut être joué de manière ininterrompue sur toute l'étendue de la gamme par tons entiers.



en notation mathématique : translation de vecteur (7;4). à la mesure 9 la tonalité passe de t àt+1 ton

Les canons 8 à 12 ne contenant que très peu de transformations géométriques, je ne les faitpas figurer dans ce travail. Le lecteur interessé pourra trouver un court descriptif de ces ca-nons sous l’annexe 7. J’invite également par là à encourager le lecteur dans de plus amplesrecherches s’il en éprouve l’envie.

13) Canone perpetuo: La deuxième voix entre en renversement en respectant tous les inter-valles, en renversement parfait. Il s'agit probablement du canon qui a posé le plus de problè-mes harmoniques au compositeur puisqu'il a été contraint de le superposer à une basse chif-frée.

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AnalyseJe vais à présent analyser en détails un canon de l’Offrande musicale. Il s’agit du canon 6)« per augmentationem contrario motu ».

Lorsqu'on observe la partition, la première chose qui surprend est le rythme: des gammes entriple croches, parfois même en quadruple croches, beaucoup de rythmes pointés(----) : On estvraisemblablement ici en présence d'un morceau en style français. Le thème royal est exposéde manière très fleurie, richement orné. De plus, il se situe entre les deux voix du canon ce quile rend encore plus difficile à percevoir à l'écoute. Bach a rendu le thème très fluide en "rem-

plissant tous les interval-les pour n'avoir pratique-ment que des intervallesconjoints. La richesse del'ornementation est telleque lorsque les trois voixsont jouées en mêmetemps, toutes les crochessont marquées et la plu-part des doubles-crochesle sont également, chaquevoix venant remplir les"blancs" laissés par lesautres. Ce canon est pro-bablement l'un des plus

complexes du recueil. Il correspond au contrapunctus 15 de l'art de la fugue dont on possèdeplusieurs versions qui montrent que Bach a beaucoup retravaillé cette forme de canon. Laprincipale difficulté de ce canon est que le thème du roi et la première voix sont joués deuxfois durant un seul énoncé de la seconde voix qui joue le rôle de mélodie au canon puisquec'est la voix la plus haute.

Cette analyse clos le chapitre traitant de l’Offrande musicale. Après ce court aperçu des dif-férentes transformations utilisées par Bach, je vais maintenant passer à l’étude de l’Art de lafugue, partie centrale de mon travail.

L’Art de la fugue



Pour comprendre le côté très théorique de l’Art de la fugue, il est important de dire les raisonsde sa création. Bach entre en 1747 dans la Société des sciences musicales fondée par Lorenz

Christoph Mizler. Les membres de cette société sonttenus de montrer l'étendue de leurs connaissances enpubliant chaque année un ouvrage de théorie musi-cale. Bach, compositeur avant tout, fait une demandepour pouvoir fournir en lieu et place de l'ouvragethéorique une pièce musicale conséquente à valeurthéorique. Ainsi envoya-t-il l'offrande musicalecomme première œuvre. Le second envoi fut consti-tué des variations canoniques sur Vom Himmel HochDa Komm ich her et le troisième devait probable-ment comprendre l'ensemble des contrapunctus del'Art de la Fugue. L'idée d'écrire une œuvre d'unetelle importance dû prendre forme dans son espritalors qu'il rédigeait l'offrande musicale. Sans doutevoulait-il couronner l'ensemble de son œuvre musi-cale d'un hommage à cette forme musicale (la fugue)qu'il aimait tant. Les raisons de l'inachèvement deL'art de la fugue sont pour les musicologues d'au-

jourd'hui, encore obscures et se prêtent à de nombreux débats concernant le plan général, l'or-dre des fugues.

Les grands débats

Tout comme pour l'offrande musicale, l'Art de la Fugue offre un exceptionnel terrain de ba-taille pour les musicologues. Bach a en effet laissé volontairement ou non un certain nombrede points sombres dans cette œuvre:

- -L'instrumentation : Bach ne signale que dans un seul cas l'instrument à utiliser ; Ils'agit en fait d'une transcription pour deux clavecins de la fugue miroir numéro 16. Àpartir d'ici, les opinions divergent: Les uns tentent tout comme G.Lehonardt de prou-ver que l'œuvre devait être jouée au clavecin, d'autres voient dans l'art de la fugue uneœuvre purement théorique réservée à l'analyse et à l'écoute intérieure, d'autres encore,sans se poser de questions, jouent ces fugues en utilisant tout simplement des instru-ments qui sonnent bien.

- -Le nombre de contrapunctus : L'œuvre restant inachevée, on ne sait pas vraimentquelle allure devait avoir l'art de la fugue dans son ensemble. Ici, les musicologuessont divisés en deux groupes : ceux qui voient dans le contrapunctus 21 la dernière fu-gue, à quatre sujets, le couronnement de la pièce, les autres pensent qu'il ne s'agissaitnon pas d'une quadruple fugue mais d'une triple fugue qui devait être suivie de plu-sieurs autres.

- -L'ordre des contrapunctus: Comme le montre Jacques Chailley, il existe bien une di-zaine de classements différents qui sont tous plus ou moins reconnus. Nous utiliseronsici le classement de l’édition de Wolfgang Graeser, (reprise dans l’édition Dover de



l’offrande musicale et l’art de la fugue) non pas parce qu'il nous paraît plus cohérentmais parce qu'il faut trouver un moyen de se repérer7.

AperçuGroupe I

Le premier groupe est constitué de quatre fugues simples :

Contrapunctus 1 Cette fugue expose le thème principal et le montre dans son état le plussimple : à l'endroit et sans modification.

Contrapunctus 2 Ici, le style est différent : on constate dès la quatrième mesure que le rythmedu thème est modifié et prend un rythme de croches inégales très courant dans le stylefrançais. À partir de leur apparition, ce rythme ( croche pointée-double croche) accompa-gnera le thème et restera présent jusqu'à la fin du morceau. L'exposition se fait de bas enhaut (Basse -> Soprano)

Contrapunctus 3 Première modification géométrique : il s'agit toujours d'une fugue simplemais le thème se présente par mouvement contraire ( inversion sur axe de médiante) :

Il est intéressant de constater que cette fugue expose la réponse avant le sujet lui même.On peut le voir au fait que le thème est légèrement modifié. Cette modification de la ré-ponse s'appelle une mutation.

Contrapunctus 4 Dans cette fugue également le thème de base est inversé. L'exposition desvoix est symétrique par rapport à la fugue numéro 2). Le thème est inversé et l'entrée desvoix se fait dans l'ordre inverse (Soprano -> Basse)

Groupe II

Le deuxième groupe est constitué de trois contre-fugues. Une contre-fugue est une fugue danslaquelle la réponse du thème n'est pas une transposition au degré V mais un renversement decelui-ci :

Contrapunctus 5 Contre-fugue simple: le sujet apparaît d'abord renversé puis la réponse l'ex-pose à l'endroit. L'exposition se fait de manière symétrique: Sujet-Réponse Réponse-Sujet.Le sujet est exposé 11 fois à l'endroit et 11 fois à l'envers.

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Contrapunctus 6 « in Stile francese »: contre-fugue avec diminution: Le thème est toutd'abord exposé à l'endroit en rythme pointé. Le thème apparaît ensuite dès la deuxièmemesure à l'envers en valeurs deux fois plus courtes et apparaît toujours en valeurs courtes àla troisième mesure du thème original.

Contrapunctus 7 per Augmentationem et Diminutionem. Ici aussi la réponse apparaît avantle sujet lui-même: celui-ci entre dès la deuxième mesure, à l'envers et est précédé de la ré-ponse à l'endroit et en valeurs deux fois plus courtes. Le thème entre à la basse à la cin-quième mesure et est proposé en valeurs deux fois plus longues.

Groupe III

Le troisième groupe comprend quatre fugues à plusieurs sujets ( deux doubles fugues et deuxtriple fugues). Une double fugue est une fugue dans laquelle on expose d'abord le premiersujet qui subit un développement, puis la fugue semble se conclure mais un nouveau thèmeentre comme si une nouvelle fugue commençait. Le deuxième thème est également soumis àun développement. Dans un troisième temps, les deux thèmes sont combinés et font entendreun développement commun.

Contrapunctus 8 On entend tout d'abord un nouveau thème, chromatique, qui n'a rien à voiravec le thème principal. Celui-ci apparaît pour la première fois légèrement varié (par grou-pes de trois noires séparés par des soupirs) à la mesure 94 au ton principal mais renversépuis est repris par les autres voix comme une nouvelle exposition. Les deux thèmes secombinent dès la mesure 148. Il est intéressant de constater que le contre-sujet communaux deux thèmes, qui apparaît à la mesure 39 donne également lieu à une exposition et àdéveloppement thématique ( certains voient dans cette fugue une triple fugue dont cecontre-sujet serait, en fait, le troisième thème).

Contrapunctus 9 Cette double-fugue s'intitule dans l'édition originale "a 4 alla Duodecima" où"à la douzième". La première partie fait entendre l'exposition d'un nouveau sujet. Le sujetprincipal entre à la mesure 35 sans faire entendre d'exposition intermédiaire et se combineimmédiatement avec le nouveau sujet. Cette particularité fait dire à J.Chailley que cette fu-gue est incomplète. A la mesure 89 on assiste au renversement des deux voix à la dou-zième (d'où le titre): à la mesure 35 lors de la première combinaison des deux thèmes, lethème principal apparaissait au soprano et le nouveau sujet au ténor, sous sa forme initiale,à la mesure 89, le thème principal apparaît bien sous sa forme initiale mais dans la tessiturede basse et le nouveau sujet est énoncé sous forme de réponse, à la douzième (octave +quinte) de la mesure 35.

Contrapunctus 10 a 4 alla decima Ici aussi exposition d'un nouveau sujet. On peut remarquerque le sujet, divisé en trois parties (soupir trois noires-soupir trois noires -mouvement encroches) comporte une symétrie dans les deux premières. En effet, le deuxième groupe denoire est l'inversion exacte du premier. L'exposition du thème principal débute à la mesure

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23, où il apparaît dans sa forme renversée et pointée. Les deux thèmes se combinent en-suite dès la mesure 44.A la mesure 66, on peut remarquer l'une des seules tentatives de mouvement rétrograde detout l'art de la fugue: en effet, la basse fait un entendre un passage de 5 mesure qui est lareproduction approximative du thème principal par mouvement rétrograde.

A partir de la mesure 75, les deux thèmes apparaîtront toujours répartis sur trois voix : unevoix énonce l'un des deux thèmes et deux autres l'accompagnent avec l'autre thème doubléà la sixte ou à la tierce (exemples mesures 75,85,103,etc...).

Contrapunctus 11 Pour clore ce troisième groupe, voici une fugue qui reprend tous les élé-ments du contrapunctus 8 (sujet principal, nouveau sujet et contre-sujet) par mouvementcontraire. De plus, elle les reprend dans l'ordre inverse, ce qui crée un second effet de sy-métrie. Le sujet principal est exposé et développé jusqu'à la mesure 27. Le nouveau thèmecommence son exposition à ce moment-là. Le sujet principal réapparaît en mouvementcontraire à la mesure 71. Le contre-sujet qui peut aussi être vu comme un troisième sujetfait son entrée à la mesure 89. Il est étonnant de constater que lorsque ce thème entre au té-nor, il énonce quatre notes assez familières: si bémol-la-do-si bécarre ou en notation alle-mande :B-A-C-H. Enfin, les trois thèmes se mêlent à la mesure 145.

Groupe IV

Le quatrième groupe est un peu à part des autres car il n'est pas constitué de fugues à propre-ment parler mais de canons à deux voix.

Contrapunctus 12 canon simple à l'octave: le thème est tout d'abord énoncé à l'endroit, dansun rythme ternaire, richement orné. La deuxième voix entre à la cinquième mesure. A lamesure 41, le thème est à nouveau énoncé mais en mouvement contraire, cette fois-ci.

Contrapunctus 13 Canon à la douzième. Le thème débute à la basse, orné en groupes desextolets puis est repris à la voix supérieure une douzième au-dessus. Une seconde exposi-tion sous forme de strette prend place à la mesure 34 (le canon recommence mais les deuxvoix sont renversées) . Cette fois c'est le soprano qui débute. Cette strette réapparaît à lamesure 42 puis le canon se boucle sous forme de canon perpétuel à la mesure 68.

Contrapunctus 14 Le thème est exposé varié de manière syncopée. La réponse montre lethème à la dixième. Cependant, contrairement au précédent, la réponse est modifiée et nonmodulante ( on reste en ré mineur ). A la mesure 40, le canon recommence avec les deuxvoix inversées. Enfin, le thème est repris une dernière fois, juste avant la cadence finale endiminution.



Contrapunctus 15 Ce canon est le plus complexe du groupe. On en a retrouvé plusieurs ver-sions différentes qui montrent la quantité de problèmes que la rédaction de cette pièce a dûcauser. Le principe est le même que pour le canon per augmentationem contrario motu del'Offrande musicale: le thème est renversé puis pris en augmentation. Le thème a dû pource faire être orné au point d'être pratiquement impossible à reconnaître (il l'est en tout cas àl'audition). Le renversement des deux voix à lieu à la cinquante-quatrième mesure. Lapièce se termine par une réexposition en valeurs courtes du thème.

Groupe V

Le cinquième groupe est un groupe particulier car il développe une forme de fugue probable-ment jamais été utilisé avant ni depuis, à ma connaissance. Il s'agit de la fugue miroir: Unthème est développé de manière fuguée sous la forme d'une fugue simple du début jusqu'à lafin. Puis, au lieu d'en renverser uniquement le thème, c'est toute la fugue qui est prise parmouvement contraire (on prend le renversement de chaque voix).

Contrapunctus 16 Le thème est très différent de l'original : il est orné en triolets successifsdonnant l'allure d'une danse. Il est varié de façon à ce qu'il soit repérable et son renverse-ment également. L'exposition se fait de la même manière que pour une contre-fugue : laréponse équivaut au renversement du sujet. Ce sujet n'est en tout et pour tout exposé quecinq fois dans son intégralité mais les développements sur différentes parties du thème sontnombreux.

Contrapunctus 17 Le contrapunctus numéro 17 n'est en fait qu'une transcription par Bach lui-même du numéro 16 pour deux clavecins. Il est intéressant de constater que le thème appa-raît directement enrichit d'un contre-sujet (différents pour le rectus et l'inversus). Pour lereste, les voix sont, à peu de choses près semblables au contapunctus 16

Contrapunctus 18 Une nouvelle contrainte pour l'élaboration de cette fugue miroir: les voixentrent exactement dans l'ordre inverse dans le rectus et l'inversus (de bas en haut, respec-tivement de haut en bas) ce qui n'était pas le cas dans les numéros précédents. Le thèmeapparaît ici en rythme ternaire, offrant un sentiment de balancement. Le thème principaln'apparaît que quatre fois (pendant l'exposition) en entier mais la fugue offre déjà des idéesmusicales reprises dans la fugue finale.

Dernière Fugue (inachevée)On ignore si elle annonçait un nouveau groupe de fugues ou si elle se contentait de clore l'en-semble de l'oeuvre. Les musicologues ne sont pas d'accord à ce sujet.

Contrapunctus 19 "Fuga a tre soggetti" dans l'édition originale. Possédait-elle vraiment troissujets ? La question sera développée plus tard. Les trois thèmes présents sont tous exposésclairement en solo avant d'être mélangés aux autres. Il faut signaler que cette fuguecontient à elle seule plusieurs des particularités de chacune des fugues précédentes dont j'aidonné un aperçu plus haut.

Analyse de la dernière fugue du recueilI) Exposition du premier sujetL'exposition se fait dans l'ordre suivant : mesures 1-6 entrée de la basse, mes.6-11entrée duténor, mes.11-16 entrée de l'alto, mes. 16-21 entrée du soprano. L'exposition se fait donc debas en haut, comme dans le contrapunctus 2.

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II) Strettes et transformations géométriquesLa basse reprend le thème par mouvement contraire comme si celui-ci était attribué à unecinquième voix. A la quatrième mesure du thème (mes. 24), il est repris au ténor, à l'endroit,se superposant à lui-même.mes. 30: Le thème est repris à l'envers à l'altomes. 37: une nouvelle strette débute au soprano. Le sujet et repris avec une

mesure de retard à l'alto. Dans les deux cas, le thème est à l'endroit.mes. 40-41: Ces deux mesures ne sont pas sans rappeler la fugue numéro 10: Le

thème lui-même doublé à la sixte est accompagné de son contre-sujet doublé à la tierce.

mes. 43: thème à la basse, à la sous-dominante (sol mineur).mes. 55: thème au ténor, par mouvement contraire, à la sous-dominante.mes. 61 : strette sur la tonique à deux voix entre la basse et le soprano qui entre avec une

mesure de retard.mes. 71: strette renversée entre l'alto et le ténor au relatif majeur (Fa majeur)mes. 79: strette à deux voix entre le soprano et l'alto: le soprano expose le thème à

l'envers, celui-ci est repris deux mesure plus loin par l'alto mais à l'endroit.mes. 89: strette à trois voix entre la basse, le ténor qui entre une mesure plus tard et

l'alto qui entre encore deux mesure après.mes. 97: strette entre le ténor et l'alto, à deux mesures d'intervalle.mes. 105: réexposition du thème dans sa forme originelle: à la basse.III) Exposition du second sujetL'exposition se fait dans l'ordre suivant : mes114-121:alto, mes.121-128. soprano, mes. 128-135 : basse, mes. 135-141 : ténor.

IV) Combinaisons des deux premiers sujetsmes. 147-148 : entrée respectives du deuxième et du premier sujet. Celui-ci, entre une mesure

après le second sujet. Le premier sujet est à la basse, le second est au soprano.mes. 156: deuxième combinaison entre l'alto et le ténor. Le premier sujet possède une

légère modification rythmique (croche au lieu d'une noire dans la seconde mesure)

mes. 167: ténor-soprano. Cette fois-ci, le premier sujet entre deux mesures après le second.

mes. 180: à trois voix. La basse entre tout d'abord avec le second sujet. Deux mesures plus tard, le premier thème entre à l'alto, suivi par une réponse au soprano une mesure plus tard. Cette dernière combinaison mène à une "pseudo" conclusion.

V) Exposition du troisième sujetL'exposition se déroule comme suit:ténor: mes. 193, alto : mes. 195, soprano: mes. 201, basse : mes. 203. À la mesure 210, unenouvelle exposition, semblable pour la tonalité et l'entrée des voix se déroule.mes. 222: le troisième thème apparaît par mouvement contraire à la basse.

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mes. 225:le thème apparaît sous forme de strette: Il entre tout d'abord sous forme syn-copée sur le dernier temps de la mesure 225 puis se superpose à lui-même à lamesure suivante.

VI) Combinaison des trois premier sujetsmes. 233: Le deuxième sujet entre en premier, suivi à la mesure suivante par le

premier thème. Le troisième sujet entre à la mesure 235. Au soprano, une partie qui reprend le début du deuxième thème en canon et semble libre est énoncée. La fugue s'achève au moment ou les trois thèmes ont été énoncés.

Étude thématiqueLe premier sujet, que Jacques Chailley assimile au thème principal, est un thème lent, trèsnoble. Il débute, comme le thème principal, par l'intervalle tonique-dominante puis domi-nante-médiante. Après cela viennent trois rondes qui remontent à la dominante. Ce thème est,pour ce qui est de la hauteur des notes, parfaitement symétrique. Ainsi ce thème possède en satroisième mesure, sur sa quatrième note un axe de symètrie verticale ne respectant pas lesdurées. Le thème est composé de sept notes. Les personnes intéressées par la numérologie nemanqueront pas d'y voir le chiffre de la perfection souvent présent dans les œuvres de Bach.

Le deuxième thème est d'un esprit totalement différent du premier : Il est composé de crocheset de doubles-croches. C'est un thème beaucoup plus libre, fluide et entraînant. Ce thème aussicontient une ressemblance avec le thème principal : les cinq première notes de ce deuxièmethème correspondent aux cinq dernières notes du thème principal. Pour les amateurs de numé-rologie : le thème compte 41 notes exactement. Ce nombre est l'une des signature numériquede Bach. On obtient ce nombre en additionnant le numéro de la place dans l'alphabet (sansprendre en compte le J ) de I.S.BACH.

Le troisième thème est également une signature musicale de Bach : le sujet est constitué deslettres de son nom en notation allemande. Ce sujet possède lui aussi un point commun avec lethème principal: à la cinquième mesure, le sujet fait entendre les notes ré-do#-ré qui corres-pondent à l'enchaînement tonique-sensible-tonique entendu aux mesures 2 et 3 du thème prin-cipal.

La fin



On a souvent épilogué sur l'inachèvement de l'art de la fugue en insistant parfois plus quenécessaire sur le côté dramatique du "compositeur aveugle forcé d'interrompre son œuvrepour cause de maladie". Pourtant, quelques questions se posent: pourquoi Bach a-t-il inter-

rompu ainsi son travail sans même se donner la peine de terminer une cadence, laissant touten suspens Alors même que Bach a toujours demandé à ses élèves de terminer une cadencecommencée8?

- Si la fugue s'achève si loin du but, pourquoi Bach fait-il figurer chacun des thèmes à lamême voix et à la même hauteur que lors de leur exposition initiale respective?- Comme le fait remarquer Hans Heinrich Eggebrecht, n'est-ce pas le thème principalque l'on voit apparaître (bien que très orné) dès la mesure 233 au soprano? Tous les musico-logues, qui semblent par ailleurs bien sûrs d'eux, ont encore beaucoup de travail.

ConclusionOn pense souvent que ce qui fait un chef d'œuvre, c'est la beauté de la pièce, le plaisir qu'on aà l'écouter. Ce n'est cependant pas toujours le cas. Bien sûr l'Art de la fugue est magnifique àécouter, mais je ne connais pas de personne novice, non-initiée aux transformations géométri-ques, capable d'écouter l'Art de la fugue sans éprouver un certain sentiment de longueur. De

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mesure 233

mesure 239



même pour l'Offrande musicale, une personne ne connaissant rien des mouvements rétrogra-des, contraires et des augmentations, ne manquera pas de voir dans cette série de petits bijouxdes "courtes pièces anodines, sans grand intérêt". À mon avis, Bach veut nous faire compren-dre les deux manière de voir la musique, il tente même de les souder pour les rendre indisso-ciables. L'approche purement musicale de la musique, le plaisir qu'on a à l'écouter, et devenuune idée presque universelle dans les siècles suivant Bach : le Romantisme n'a pas grand-chose à faire de ces mathématiques, il lui faut du sentiment, du drame, de la vie. L'approchepurement mathématique, quant à lui, sera un peu oubliée les années suivantes mais ce n'estque pour réapparaître au vingtième siècle avec l'avènement du sérialisme et des musiquespurement mathématique qui sont loin de faire l'unanimité parmi les auditeurs peu expérimen-tés que nous sommes.

Ce qui fait des deux pièces les plus géométriques de Bach des chefs d'œuvre (et de Bach ungénie), c'est d'être le carrefour de ces deux aspects de la nature humaine: le sentiment et laraison. Si l'un de ces deux aspects n'est pas perçu par l'auditeur, ces deux pièces perdent deleur superbe et ne sont qu'une œuvre de plus au catalogue de la Bach Werke Verzeichnis,mais lorsque les deux se mêlent... on se rend compte de la puissance de raisonnement, de cal-cul, d'architecture (car c'est bien une cathédrale sonore que Bach construit) que requièrent detelles œuvres, de la sensibilité extrême du personnage. Bach voulait sans doute montrer auxgens de son époque que les mathématiques n'étaient pas seulement une discipline abstraite,totalement séparée du monde des arts (rappelons que la période baroque est une période clefde ce mélange entre art et science) mais bien que les mathématiques pouvaient devenir agréa-bles, belles au contact de l'art. Mais à présent, assez parlé de maths, de géométrie et autresthéories musicales, écoutons L'Art de la fugue et L'Offrande musicale avec des oreilles neu-ves, rendons à la musique sa place et son sens. Mesdames et Messieurs les instrumentistes,Musique...



AnnexesBibliographie

Documents

Table des matières - Blaise Christenmusique.barmin.ch/textes/L'Art de la Fugue.pdf · qu’ils ne se plient pas aux ... on ne considère plus la partition et les notes comme des