· Table des matières 1 Des triangles plans 5 1.1 Quelques dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1.1 Hauteur

Quelquesplaisantesdémonstrations

Jenesais

pasgrand'ch

ose

mais

jele

partagevolontier

Je ne sais pas grand' chose mais je le partage volontier

Quelques plaisantes

démonstrations

JMJ � 2017

c©Copyright 2014�2017

JNSPGC

Quelques plaisantes

démonstrations

Jean-Marc Jurkiewicz

29.08.2017

II

Table des matières

1 Des triangles plans 51.1 Quelques dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 De la mesure des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.5 Triangles équilatéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.6 Triangles isocèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.7 Triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.8 Triangles de Curry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Théorème (dit) de Thalès 192.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Démonstration par Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Élevons la hauteur de ABC passant par C . . . . . . . . 212.2.2 Élevons la hauteur de ABC passant par B . . . . . . . . 212.2.3 Élevons la hauteur de ABC passant par A . . . . . . . . . 22

2.3 Autre démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Retour aux triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Autres Propriétés 313.1 Angle au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Angle Inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Hauteur en C du triangle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Trigonométrie 354.1 Quelques dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Lignes trigonométriques des somme et di�érence d'angles . . . . 40

4.2.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Di�érences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.3 Angle double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III

IV TABLE DES MATIÈRES

4.2.4 Angle moitié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Sommes de lignes trigonométriques exprimées en produit de lignes

trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Lois des sinus et des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.1 Lois des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4.2 Loi des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Démonstrations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6 Puissances de lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6.1 Puissances du sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6.2 Puissances du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6.3 Puissances de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6.4 Puissance de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6.5 Quelques produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.6.6 sin2 + cos2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.7 sec2(α) = 1 + tan2(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.8 cot(α) =1

tan(α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.9 tan(α) =sin(α)

cos(α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.10 sec(α) =1

cos(α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.11 cosec(α) =1

sin(α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6.12 sin(α) = 2 sin(α

2) cos(

α

2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6.13 cos(α) = cos2(α

2)− sin2(

α

2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Angles en trigonométrie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7.1 Formules de trigonométrie sphérique . . . . . . . . . . . . 634.7.2 Relation entre les trois cotés et un angle . . . . . . . . . . 644.7.3 Relation entre deux cotés et les deux angles opposés . . . 664.7.4 Relation entre un coté et les trois angles . . . . . . . . . . 674.7.5 Relation entre deux cotés, l'angle qu'ils comprennent et

l'angle opposé à l'un d'eux . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Astronomie 735.1 Thalès de Milet (env. -624, env. -548) et l'école d'Ionie . . . . . . 785.2 Anaximandre, Anaximène et Anaxagore . . . . . . . . . . . . . . 785.3 Pythagore (env. -580, env. -495) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Socrate (env. -470, env. -399) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Platon (env. -428, env.-348) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6 Aristote (env. -384, env. -322) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7 Euclide (env. -325, env. -265) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.8 Archimède (env. -287, env. -212) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.8.1 L'arithmétique chez les Grecs anciens . . . . . . . . . . . 955.9 Aristarque de Samos ( env. -310, env. -230) . . . . . . . . . . . . 97

5.9.1 Proposition VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

TABLE DES MATIÈRES V

5.10 Eratosthène (env. -276 ; env. -194) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.11 Hipparque (env. -190 ; env. -120) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Kepler 1096.1 Vénus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1.1 Taille de l'orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.1.2 Période de Vénus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2 Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2.1 Période de Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Les Logarithmes avant Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4 Les Logarithmes et Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Chapitre VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.6 Chapitre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.7 Des quantités transcendantes qui naissent du cercle . . . . . . . . 1456.8 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.8.1 (1 + kzi )i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.8.2 (1 + x)1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.9 Tracé d'un cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

VI TABLE DES MATIÈRES

Avant-Propos

Comme l'art, la science est unetentative toujours renouveléed'appréhender, de manière deplus en plus riche, la réalité del'univers au-delà de ses re�ets.

Jean-Claude Ameisen - Quandl'art rencontre la science

Ingénieur de formation � je veux dire par là que je ne suis ni mathématicienni physicien � passionné d'astronomie, la cinquantaine bien entamée, j'ai long-temps voué aux � Anciens �une grande admiration pour les savoirs qu'ils ontaccumulés � et démontrés �, des siècles avant notre ère.Cela a commencé lorsque j'étais tout jeune, en classes primaires, lorsque lemaître nous inculquant quelques rudiments de mathématiques ou de géométrieconcluait, pour certains d'entre-eux, en disant que ceux-ci étaient connus depuisdes millénaires.Puis au collège, mon admiration restait entretenue lorsqu'après une belle dé-monstration introduisant un, pour moi nouveau, concept, le professeur termi-nait sa leçon par la même conclusion.Hélas, l'emploi du temps scolaire ne s'y prêtant pas, aucun contexte historique,aucune autre explication n'éclairait l'environnement dans lequel cette décou-verte était faite, ce théorème démontré..C'était un fait, les Anciens connaissant ce théorème et semblait l'avoir toujoursconnu. Comment ont-ils fait me suis-je alors demandé, sachant que la démonstra-tion à laquelle je venais d'avoir eu droit ne leur était pas accessible par ignorancedes concepts mis en ÷uvre par celle-ci.

Les savoirs dont il est question ici sont, grosso-modo enseignés en collège pourla géométrie et en lycée pour ce qui concerne la trigonométrie. Ayant suivi unparcours scolaire français normal, j'ai eu mon bac à la �n des années 1970, etprobablement je savais à ce moment là ce qu'il y avait à savoir de ces matièreslà.

Près de quarante ans plus tard, lorsqu'au cours des mes diverses lecturesme manque une formule qui résiste à ma mémoire, plutôt que de recourir à

1

2 TABLE DES MATIÈRES

une recherche sur l'Internet, j'essaie de la retrouver ou de la re-démontrer avecles bases qui me restent. Ces re-démonstrations peuvent prendre de quelquesminutes à quelques jours, non pas de travail continu et acharné, mais plutôtcomme une ré�exion en arrière-plan.Maintenant que la vie me laisse un peu plus de temps libre, que certaines pré-occupations parentales s'estompent, je peux, en plus de retrouver la formule quime manque, consacrer du temps au contexte de la découverte de celle-ci.Quel a été le cheminement de pensée qui a conduit à cette démonstration. Quecherchait les Anciens a résoudre ? Comment, quand aucun autre théorème nepeut servir de base, passe-t-on d'une technique opératoire sans concept ni jus-ti�cation qui résout un problème, à un théorème qui généralise résolution duproblème posé ?

Et aussitôt, dès lors que l'on s'intéresse au contexte, d'autres questions se posent.Y a-t-il une organisation de la société qui favorise ces cheminements de pensée ?Il est surprenant de constater que les premiers mathématiciens apparaissentalors que la société dorienne se démocratise, n'est-ce qu'un hasard ou est-ce laliberté de pensée et la confrontation d'idées qu'elle implique, qui est le terreaude ce cheminement de pensées ? Ou bien faut-il une classe aisée oisive ? Proba-blement tous ces trois éléments, le moyen-âge nous le démontre.

Il ne s'agit pas d'un livre sur l'histoire des mathématiques ou des sciences.Les sujets abordés sont ceux que j'ai eu envie d'aborder � ou ceux sur lesquelsj'ai trébuché � de part ma passion pour l'astronomie. Il m'a néanmoins semblénécessaire, quelques fois, de rappeler la chronologie des certaines découvertes.En e�et, il me parait important de mettre en évidence le temps mis à l'élabo-ration de ce � . . .théorème déjà connu. . . �, ainsi que tous ceux, nombreux eterronés, en vigueur avant celui-ci qui est valide.Dans notre monde actuel, monde de l'instantanéité, ou le � vite �, l'emportesur le � vrai �, ou attendre est insupportable, ou il faut être� coacher �pour ap-prendre à ne rien faire ou apprendre à méditer, il est di�cile de comprendre quece sont souvent en siècles, ou pour le moins en générations de mathématiciens,qu'il faut mesurer le temps entre l'élaboration d'un concept, et l'élaborationd'une théorie exacte décrivant celui-ci.

Par ailleurs, au cours d'une des soirées portes-ouvertes du club d'astronomiedont je suis membre, j'ai entendu une phrase dont les termes exacts m'échappent,tellement ils m'ont estomaqué, mais dont le sens était que � Les Anciens savaientdéjà calculer cela... Ils avaient déjà connaissance de ceci... Ils disposaient déjàde telle technologie �. Le terme � déjà � sous-entendant qu'on nous cachait deschoses, qu'on ne faisait que de redécouvrir ce qui nous avait été dissimulé jusquelà.Ah la théorie du complot 1...

1. On lira avec intérêt à ce sujet Jacques Matter [JM2 p.89] qui déjà en 1820 a�rmait :� C'est certes à tort qu'on attribue aux Égyptiens la connaissance d'une astronomie profonde,

TABLE DES MATIÈRES 3

D'ailleurs Elvis continue de chanter pour la belle Marilyn sur une île du Paci-�que...Sornettes et balivernes que tout ceci. A tous ceux qui seraient enclins à de tellespensées, je ne dirais qu'une chose : lisez, lisez et lisez.Mais pas n'importe quoi. Faites vous votre opinion par vous même. Jamais nousn'avons eu à notre disposition de telles quantités d'informations et de moyensd'information. Jamais l'accès aux ÷uvres des Anciens, des Classiques et desModernes n'a été aussi aisé. Leur mise en ligne par les Bibliothèques Nationalesest une initiative fantastique.

Le fait que je ne sois ni mathématicien ni physicien transpercera certainementpour certains, par un manque de rigueur mathématique dans les démonstra-tions qui suivent. Qu'ils me pardonnent. Les mathématiques ont pour moi uncoté pratique, c'est un outil à mon service qui m'aide dans mes problèmes detous les jours.

Et tout a commencé avec une incertitude quant au calcul de l'aire d'un tri-angle. . .

d'après quelques données qui nous sont parvenues dans les ouvrages grecs ou les monumentsd'Égypte qui subsistent encore. Si les anciens mathématiciens de ce pays avaient jamais pos-sédé une science un peu complète, on ne voit pas trop comment elle se serait perdue . . .Onregarde comme très-hardie, et par conséquent comme très-belle, l'hypothèse d'une science très-antique, primitive, née avec l'homme ; on s'attache sur tout à faire croire à l'existence d'unecosmographie fort exacte, répandue dans les premiers temps et qui se détériora avec les gé-nérations successives. On croit relever le genre humain par ces suppositions, appuyées toutau plus de notices obscures et fragmentaires. C'est une erreur : si la science est née avecl'homme, si elle fut le partage de la première génération, elle n'est pas l'÷uvre de l'homme.Rien ne serait plus a�igeant à nos yeux que de voir établie historiquement l'hypothèse, quenous combattons : au lieu d'inventer, de découvrir, de perfectionner, le sort du genre humaineût été celui de détériorer, et le fruit de ses travaux, après des siècles, n'eût été que le re-couvrement des connaissances primitives. Si l'astronomie égyptienne eût été ce qu'on pensequelquefois, Eudoxe, qui la possédait, n'aurait pas fourni au poète Aratus cette faible doctrineque contiennent les Phénomènes. Il ne faut pas nier au reste que les Égyptiens n'aient eu desopinions assez plausibles sur les principaux astres, les planètes, sur le cours du soleil et de lalune, et sur le zodiaque : on peut ajouter que leurs calculs sur le retour des saisons, sur lesapparences du ciel aux diverses époques de l'année, ne sont pas dépourvus de mérite.Au commencement, plusieurs écrivains d'Alexandrie s'amusèrent encore à composer ces apo-télesmatiques , ces ouvrages d'astrologie judiciaire , dont il nous reste un si grand nombre ;mais bientôt Timocharis et Aristille mirent des observations à la place des récits populaires,et des principes à celle des opinions. . . �

4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Des triangles plans

1.1 Quelques dé�nitions

Un triangle plan est un polygone plan à 3 angles. Il donc possible de dé�nirun triangle en donnant la longueur de chacun des 3 segments le constituant(a,b,c), ainsi que chacun des 3 angles (BAC = α, ABC = β, ACB = γ) forméspar ces segments.En général, la connaissance de trois paramètres su�t à dé�nir parfaitement untriangle : Un angle et deux segments, deux angles et un segment, trois segments.

A

B

C

c

a

b

α

β

γ

Figure 1.1 � Un triangle quelconque

Somme des angles d’un triangle :La somme des angles de tout triangle vaut deux anglesdroits, soient 180 degrés, soient π radians.

Ce théorème sera démontré ultérieurement.

5

6 CHAPITRE 1. DES TRIANGLES PLANS

1.1.1 Hauteur

Appelons base b l'un des cotés du triangle ABC et hauteur h la longueurdu segment de droite mené perpendiculairement à la base et passant par le troi-sième sommet (voir �gure 1.2) :

A

B

C

hbase

a

b

α

β

γ

Figure 1.2 � Une des trois hauteurs d'un triangle

1.1.2 De la mesure des angles

On ne parlera dans ce chapitre que d'angles plans, un angle étant dé�nicomme la � vitesse � à laquelle se séparent deux droites sécantes (voir �gure1.3).

d1

d2

αα

Figure 1.3 � Un angle

Il apparait immédiatement que les droites � se rapprochent aussi vite qu'ellese séparent � : nous retrouvons le même angle avant le point d'intersection,qu'après le point d'intersection.

1.1. QUELQUES DÉFINITIONS 7

De l'égalité des angles

En plus de l'égalité des angles de part et d'autre du point d'intersection, enprenant comme hypothèses deux droites parallèles coupées par une sécante, lesangles suivants sont aussi égaux entres-eux :(Nota Bene : La dénomination des angles reste valable même si les deux droitesinterceptées ne sont pas parallèles. Les égalités d'angles sont alors fausses).

Angles Correspondants

Les quatre angles correspondants sont (voir �gure 1.4) :

d1

d′1

d2

α

α

β

β

α

β

α

β

Figure 1.4 � Angles Correspondants

Un vocabulaire plus précis permet de dé�nir le type de � correspondance �dont il s'agit :

Angles alternes internes

Ces angles sont alternes, c.à.d. de part et d'autre de la sécante, et internes,c.à.d. à l'intérieur de l'espace délimité par les deux droites parallèles (voir �gure1.5)

d1

d′1d2

α

α

ββ

Figure 1.5 � Angles alternes-internes


Angles alternes externes

Ces angles sont alternes, c.à.d. de part et d'autre de la sécante, et externes,c.à.d. à l'extérieur de l'espace délimité par les deux droites parallèles (voir �gure1.6)

d1

d′1

d2

α

α

β

β

Figure 1.6 � Angles alternes-externes

Par perpendiculaires

Traçons une perpendiculaire à chacune des droites sécantes d1 et d2 (voir�gure 1.7) : Il vient que l'angle formé par les deux perpendiculaires est le mêmeque l'angle formé par les droites initiales.Le tracé des perpendiculaires est l'équivalent d'une rotation de 90�, suivie - ounon- d'une translation. Ces deux transformations sont isométriques.

d1

d2

α

α

Figure 1.7 � Par perpendiculaires


Somme des angles d'un triangle

Il est possible maintenant de démontrer que la somme des angles d'un tri-angle vaut deux angles droits.Dans le triangle ABC, traçons en C la parallèle à AB. Les égalités d'anglescorrespondants ramènent en C, les trois angles du triangle pour y former unangle plat, soient deux angles droits :Premier cas (�gure 1.8 : C � entre � AB)

A B

C

αβ

γ

αβ

Figure 1.8 � Somme des angles d'un triangle

Deuxième cas (�gure 1.9 : C � à gauche � de A)

Troisième cas (�gure 1.10 : C � à droite � de B)

A B

C

α

β

γα

β

Figure 1.9 � Somme des angles d'un triangle (2)

A B

C

α

β γα

β

Figure 1.10 � Somme des angles d'un triangle (3)


Dans les cas ou les trois points sont alignés, la démonstration est évidente.

Orientation des angles

Revenons-en au titre de ce paragraphe ou il s'agit de mesurer un angle. Dela �gure 1.4 découle qu'un angle est orienté : En e�et si l'on prend l'angle αet comme référence la droite d1, selon que l'on se place avant ou après le pointd'intersection, la droite d2 est en-dessus ou au-dessous de d1, et l'angle est "versle bas" ou "vers le haut".Intéressons-nous aux deux demi-droites à droite du point d'intersection. Si l'onimagine ces 2 demi-droites liées entre-elles par ce point d'intersection (�gure1.11). Tous les angles possibles sont obtenus en maintenant l'une des demi-droites �xes, par exemple horizontale, et en faisant tourner l'autre, à partird'une position ou les deux droites sont confondues, pour revenir à cette position.

α

Figure 1.11 � Un angle orienté

Il n'est bien sur pas interdit de continuer de tourner, de tourner, de tourner...Limitons nous pour l'instant au premier tour.Par convention nous mesurerons l'angle α tel que représenté en rouge ci-dessus,et non pas l'angle représenté en bleu.Lorsque, au départ, les deux droites sont confondues, l'angle α est nul, à la �ndu premier tour, lorsque les deux droites sont à nouveau confondues, l'angle αvaut 360�ou 2π radian, ou 400 grades 1 , ou...

1. On lira avec intérêt l'avertissement de Pierre-Simon Laplace à son � Exposition dusystème du monde � : � J'adopterai dans cet ouvrage, la division du quart de cercle, en centdegrés, du degré en cent minutes, de la minute, en cent secondes, etc. J'adopterai pareille-ment, la division du jour, en dix heures, de l'heure en cent minutes, de la minute en centsecondes,etc... �, ou l'on comprend � connaissant la dé�nition du mètre � le choix de 400degrés pour un quart de cercle, dé�nissant ainsi le mètre comme un centième de degré sur leméridien, ou un degré = 10 km sur le méridien


Les unités les plus répandues sont le degré et le radian et seront les seulesutilisées dans ce document.Des explications fort intéressantes concernant l'historique de la division du cercleen 360�ou 400 grades peuvent se trouver sur Wikipédia.

1.1.3 Triangles semblables

Deux triangle T et T ′ sont dit semblables, si en � zoommant �l'un l'on ob-tient exactement l'autre (�gure 1.12).

Soit : α = α′, β = β′, γ = γ′, eta

a′=

b

b′=

c

c′.

En particulier sont semblables les 3 triangles ABC, ADC et CDB construitsen prenant le point C, sur le demi-cercle de diamètre AB et le point D étant leprojeté perpendiculaire de C sur AB.

A B

C

D

α

αβ

β

Figure 1.12 � 3 triangles semblables

1.1.4 Triangles quelconques

La plupart des triangles sont quelconques � encore nommés scalènes � , nonpas qu'ils soient sans intérêt, mais aucune propriété ne relie, soit les anglesentres-eux, soit les segments entres-eux (�gure 1.13).

1.1.5 Triangles équilatéraux

Les trois cotés de ces triangles sont égaux entre-eux : a = b = c (�gure 1.14).

Que valent α, β et γ ?Si l'on � fait tourner �ce triangle autour de son � centre �, il vient un momentou le point A, se trouve en lieu et place du point B initial (le point B occupantla place du point C initial, et le point C occupant la place du point A initial)


A

B

C

a

b

c

α β γ


A

B

C

a

b

c

α

β

γ

Figure 1.14 � Un triangle équilatéral

et pourtant c'est le même triangle qui est dessiné. En tournant d'avantage, l'onramène le point A en lieu et place du point C initial (etc...) et pourtant c'est lemême triangle qui est dessiné.

Les trois angles sont donc identiques et valentπ

3, puisqu'à eux trois ils valent

π. Soit :

Dans un triangle équilatéral :

a = b = c et α = β = γ =π

3.

1.1.6 Triangles isocèles

A

B

C

a

b

c

α

β

γ

Figure 1.15 � Un triangle isocèle

Dans un triangle isocèle, deux des cotés sont de même longueur, soit a = c(�gure 1.15).


La hauteur menée par B intercepte AC en son milieu au point B′. Si l'on� plie �le triangle ABC en utilisant la ligne BB′ comme axe de pliure, le pointA se retrouve sur le point C (ou inversement) et il est impossible de di�érencierle triangle BB′C du triangle BB′A.Ces deux triangles sont semblables et par conséquent α = γ et β = π − 2α.

1.1.7 Triangles rectangles

A

B

C

a

b

cα

β

γ

Figure 1.16 � Un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est un angle droit(�gure 1.16). L'une des propriétés fondamentale du triangle rectangle, appeléthéorème de Pythagore s'énonce de la sorte : le carré de l'hypoténuse (dé�niecomme étant le segment n'appartenant pas à l'angle droit) est égal à la sommedes carrés des deux autres cotés, soit pour le triangle représenté en �gure 1.16 :

Dans un triangle rectangle : a2 = b2 + c2

De nombreuses démonstrations existent. L'une que je trouve particulière-ment élégante se trouve dans le Chou Pei Suan Ching, livre de mathématiqueschinois contemporain à Pythagore, qui ne fait appel qu'à des translations :

Prenons quatre triangles identiques au triangle suivant (�gure 1.17) :

A

B

C

a

b

c

Figure 1.17 � Un triangle rectangle quelconque

et plaçons les de la sorte dans un cadre carré rigide de coté c+b (�gure 1.18) :


Figure 1.18 � Premier pavage

Les aires non hachurées valent b2 d'une part et c2 d'autre part.Procédons aux translations � qui ne modi�ent pas les dimensions, donc les sur-faces � suivantes (�gure 1.19) :

Figure 1.19 � Second pavage

L'aire non hachurée vaut a2.Les aires non hachurées avant et après les translations occupent la même surface,soit b2 + c2 = a2

1.1.8 Triangles de Curry

Voila, nous en savons assez pour résoudre cet apparent paradoxe :

1.2. AIRES 15

Figure 1.20 � Un triangle de Curry

1.2 Aires

1.2.1 Triangles rectangles

L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est :

Aire = L.l

En coupant ce rectangle en deux par une diagonale, nous obtenons deuxtriangles rectangles, identiques et d'aire égale.L'aire de chacun de ces triangles est donc la moitié de celle du rectangle originalsoit, pour un triangle rectangle :

Aire =L.l

2

L

l

l

L


1.2.2 Triangles quelconques

Deux cas de triangle quelconque peuvent se présenter :

Cas 1 Soit le troisième point se projette sur la base :

A

B

C

h

bD

Prenons comme base de ce triangle le segment AC de longueur b

Soit D le point d'intersection de h et de la base bL'Aire(ABC) est égale à l'Aire(ABD) + l'Aire(BDC).

Or le triangle ABD est un triangle rectangle de base AD et de hauteur h,

soit d'aire : Aire(ABD) =AD · h

2

Le triangle BDC est un triangle rectangle de base DC et de hauteur h, soit

d'aire : Aire(BDC) =DC · h

2

Soit : Aire(ABC) = Aire(ABD) +Aire(BDC)

=AD · h

2+DC · h

2=

(AD +DC) · h2

. Or AD +DC = AC = b, soit

Aire(ABC) =b · h

2

Cas 2 Soit le troisième point se projette hors de la base :

Prenons comme base de ce triangle b, soit le segment ACSoitD le point d'intersection de h et de la droite passant par les points A et C

L'Aire(ABC) est égale à l'Aire(ABD) - l'Aire(BDC).

1.2. AIRES 17

h

A

B

Cb

D

Or le triangle ABD est un triangle rectangle de base AD et de hauteur h,

soit d'aire : Aire(ABD) =AD · h

2

Le triangle BDC est un triangle rectangle de base DC et de hauteur h, soit

d'aire : Aire(BDC) =DC · h

2

Soit : Aire(ABC) = Aire(ABD)−Aire(BDC)

=AD · h

2− DC · h

2=

(AD −DC) · h2

. Or AC −DC = AC = b, soit

Aire(ABC) =b · h

2

En conclusion

Quelque soit le triangle (le triangle rectangle étant un cas particulier ou b =l ou L) son aire est égale à

Aire(ABC) =b · h

2


Chapitre 2

Théorème (dit) de Thalès

Á la �n du XIXe siècle, une réforme de l'enseignement décida d'attribuerà certains théorèmes les noms d'illustres mathématiciens grecs, a�n que cesthéorèmes soient � du moins l'espérait-on � plus facilement mémorisés. Rien nedémontre que le théorème qui suit soit dût à Thalès. La première démonstra-tion �partielle� qu'on en trouve est dans les Élements d'Euclide, L VI, Prop.2.Cette façon de nommer les théorèmes, toute pratique qu'elle soit, tend a attri-buer des théorèmes à des mathématiciens qui ne sont peut-être pas les premiersà l'énoncer. Je conserverai néanmoins cette terminologie puisque c'est celle quiest en vigueur, du moins en France.Les théorèmes que l'on pense plus probablement pouvoir attribuer à Thalèssont à trouver en �n de chapitre.

2.1 Énoncé

A

B

C

D

E

FG

Théorème de Thalès : Soit un triangle BAC, et deux points D et E desdroites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC).

19

20 CHAPITRE 2. THÉORÈME (DIT) DE THALÈS

Théorème (dit) de THALÈS :AD

AB=

AE

AC=

DE

BC

2.2 Démonstration par Euclide

Cette démonstration est due à Euclide qui ne démontre pas la dernièreégalité. Cette démonstration a été modernisée.

Soient deux droites a et b sécantes en ASoient deux droites parallèles c et d interceptant a et b respectivement en :B ∈ (b, d), C ∈ (a, d) et D ∈ (b, c) et E ∈ (a, c)

A

B

C

D

E

h

Figure 2.1 � Aire(BDC) = Aire(BEC) - Aire(ADC) = Aire(AEB)

Les deux triangles BDC et BEC ont la même base BC et la même hauteurh, ils ont donc la même aire :

Aire(BDC) = Aire(BEC) =BC · h

2(2.1)

Aire(ADC) = Aire(ABC)−Aire(BDC) (2.2)

etAire(AEB) = Aire(ABC)−Aire(BEC) (2.3)

Or d'après 2.1, Aire(BDC) = Aire(BEC) donc (2.2) et (2.3) impliquentque

Aire(ADC) = Aire(AEB) (2.4)

2.2. DÉMONSTRATION PAR EUCLIDE 21

2.2.1 Élevons la hauteur de ABC passant par C

A

B

C

D

E

h1

Figure 2.2 � Élévation de la hauteur issue de C

Soit h1 la hauteur du triangle ABC passant par C :Dans le triangle ADC AD est la base et h1 la hauteur donc

Aire(ADC) =AD · h1

2(2.5)

Dans le triangle ABC, AB est la base et h1 la hauteur, donc

Aire(ABC) =AB · h1

2(2.6)

DoncAire(ADC)

Aire(ABC)=AD

AB(2.7)

2.2.2 Élevons la hauteur de ABC passant par B

Soit h2 la hauteur du triangle ABC passant par B :Dans le triangle AEB AE est la base et h2 la hauteur donc

Aire(AEB) =AE · h2

2(2.8)


A

B

C

D

E

h2

Figure 2.3 � Élévation de la hauteur issue de B

Dans le triangle ABC AC est la base et h2 la hauteur, donc

Aire(ABC) =AC · h2

2(2.9)

DoncAire(AEB)

Aire(ABC)=AE

AC(2.10)

Or d'après (2.4), Aire(ADC) = Aire(AEB), donc (2.7) et (2.10) impliquentque :

AD

AB=AE

AC(2.11)

2.2.3 Élevons la hauteur de ABC passant par A

Nota : Euclide a omis cette partie de la démonstration.

Soit h3 la hauteur du triangle ABC passant par A, soit J le point d'inter-section de h3 et la droite DE, etK, le point d'intersection de h3 et la droite BC.

Cette hauteur est perpendiculaire à BC, donc à DE car DE est parallèle àBC.

2.2. DÉMONSTRATION PAR EUCLIDE 23

A

B

C

D

E

h3

J

K

Figure 2.4 � Élévation de la hauteur issue de A

Les triangles EJK et EJC ont la même base JE et la même hauteur h, ilsont donc la même aire.

Aire(AEK) = Aire(AJE) +Aire(EJK) (2.12)

etAire(AJC) = Aire(AJE) +Aire(EJC) (2.13)

Or Aire(EJK) = Aire(EJC) donc (2.12) et (2.13) impliquent que

Aire(AEK) = Aire(AJC) (2.14)

Dans le triangle AEK, JE est la hauteur et AK est la base

Aire(AEK) =AK · JE

2(2.15)

Dans le triangle AJC, KC est la hauteur et AJ est la base

Aire(AJC) =AJ ·KC

2(2.16)


D'après(2.14), Aire(AEK) = Aire(AJC), donc

AK · JE2

=AJ ·KC

2(2.17)

SoitAK

AJ=KC

JE(2.18)

Et d'après (2.11)AK

AJ=AC

AESoit

AK

AJ=AC

AE=KC

JE(2.19)

Les triangles DJB et DJK ont la même base DJ et la même hauteur h, ilsont donc la même aire

Aire(DJB) = Aire(DJK) =DJ · h

2(2.20)

De plus Aire(ADK) = Aire(ADJ) +Aire(DJK) et

Aire(AJB) = Aire(ADJ) +Aire(DJB)

Or d'après (2.20) Aire(DJB) = Aire(DJK) donc

Aire(ADK) = Aire(AJB) (2.21)

Dans le triangle ADK, DJ est la hauteur et AK est la base, soit

Aire(ADK) =AK ·DJ

2(2.22)

Dans le triangle AJB, BK est la hauteur et AJ est la base, soit

Aire(AJC) =AJ ·BK

2(2.23)

D'après(2.21), Aire(ADK) = Aire(AJB), donc

AK.DJ

2=AJ ·BK

2(2.24)

SoitAK

AJ=BK

DJ(2.25)

2.3. AUTRE DÉMONSTRATION 25

Et d'après (2.11)AK

AJ=AB

AD

SoitAK

AJ=AB

AD=BK

DJ(2.26)

En�n, nous avons donc démontré que

AK

AJ=AC

AE=KC

JE=AB

AD=BK

DJ(2.27)

Il reste à démontrer que tous ces rapports valentBC

DE

Or BC = BK +KC , DE = DJ + JE et d'après (2.27)KC

JE=AB

AD=BK

DJ

Soit,

BK +KC =DJ ·ABAD

+JE ·ABAD

=AB(DJ + JE)

AD

Donc

BC

DE=

(BK +KC)

(DE + JE)=AB(DJ + JE)

AD(DE + JE)=AB

AD

Toutes les égalités suivantes ont été démontrées :

AK

AJ=AC

AE=KC

JE=AB

AD=BK

DJ=BC

DE(2.28)

CQFD

2.3 Autre démonstration

Positionnons le triangle ABC, dans un repère orthonormé tel que le pointA soit confondu avec l'origine O de ce repère et que la droite BC soit parallèleaux abscisses. Les coordonnées du point A dans ce repère sont donc (0, 0).La droite BC intercepte l'axe des ordonnées au point −K, la droite DE inter-cepte l'axe des ordonnées au point −J ,

Dans ce repère :

La droite d passant par A et C est d'équation y = −ax ou encore x = λyLa droite d′ passant par A et B est d'équation y = bx ou encore x = δy

AE =√

(AJ2 + JE2) =√

((−J)2 + E2) =√

((−J)2 + (−Jλ)2)

=√

((−J)2(1 + λ)2) = J√

(1 + λ)2


−5

y

−5 5

xd′

d

A

B C

D E−J

−K

Figure 2.5 � Autre démonstration

et

AC =√

(AK2 +KC2) =√

((−K)2 + C2) =√

((−K)2 + (−Kλ)2)

=√

((−K)2(1 + λ)2) = K√

(1 + λ)2

donc

AE

AC=

J

K

De même

AD =√

(AJ2 + JD2) =√

((−J)2 +D2) =√

((−J)2 + (−Jδ)2)

=√

((−J)2(1 + δ)2) = J√

1 + δ)2

et

AB =√

(AK2 +KB2) =√

((−K)2 +B2) =√

((−K)2 + (−Kδ)2)

=√

((−K)2(1 + δ)2) = K√

(1 + δ)2

donc

AD

AB=

J

K

Et en�n

DE = DJ + JE = Jδ + Jλ = J(δ + λ)

2.4. RETOUR AUX TRIANGLES SEMBLABLES 27

et

BC = BK +KC = Kδ +Kλ = K(δ + λ)

donc

DE

BC=

J

K

et

AE

AC=AD

AB=DE

BC=

J

K=

AJ

AK

CQFD

2.4 Retour aux triangles semblables

Il devient aisément démontrable à l'aide de ce théorème ce qu'annoncé pourles triangles semblables, à savoir : En particulier sont semblables les 3 trianglesABC, ADC et CDB construits en prenant le point C, sur le demi-cercle de dia-mètre AB et le pointD étant le projeté perpendiculaire de C sur AB (�gure 2.6).

A B

C

D

α

αβ

β

Figure 2.6 � 3 triangles semblables

Si l'on représente ses trois triangles de la sorte (voir �gure 2.7) :

Et que l'on observe que l'angle α en A, A et C des 3 premières représentationest le même. Il en découle que, dans la représentation du bas ou les trois tri-angles sont � superposés �, l'angle droit mis en commun, les segments des troistriangles ne participant pas à l'angle droit sont parallèles. Les trois trianglessont semblables.CQFD


A

B

C

A

B

C

A

C

D

C

B

D

Figure 2.7 � Les 3 mêmes triangles

Les quatre théorèmes qu'Eudème d'aprés Proclus [JKS p.49] attibue àThalèssont :

� Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

� Les angles à la base d'un triangle isocèle sont de la même mesure.

� Le diamètre d'un cercle coupe ce même cercle en deux parties de mêmeaire.

� Deux triangles sont égaux s'ils ont deux angles identiques et un cotéidentique.

En�n, la paternité de ce que le reste du monde nomme théorème de Thalèsn'est pas non plus certaine. Ce théorème dit que : Si un triangle est inclus dansun cercle de sorte qu'un des côtés soit un diamètre du cercle, alors le triangleest rectangle, l'angle droit étant opposé au côté en question.

Essayons de le démontrer de dernier théorème à notre tour en utilisant la �-gure 2.8 :

Soit à démontrer que γ =π

2.

Dans le triangle ACB nous avons α+ β + γ = π.Scindons l'angle γ en deux angles δ et ε obtenus en joignant C à O.Nous obtenons deux triangles isocèles, AOC et BOC, les cotés égaux OB,OAet OC étant un rayon du cercle.

Dans le triangle isocèle AOC il vient que l'angle en A et l'angle en C sontégaux, soit δ = α.

2.4. RETOUR AUX TRIANGLES SEMBLABLES 29

A

B

CD

O

α

γβ

δ

ε

Figure 2.8 � L'angle en C est droit

De même, dans le triangle isocèle BOC il vient que l'angle en B et l'angle en Csont égaux, soit ε = β.

Il en découle que γ = α+ β

Reporté dans le triangle ACB il vient

α+ β + α+ β = π, soit 2(α+ β) = π,

soit α+ β =π

2or l'angle γ, l'angle en C, mesure α+ β, donc γ =

π

2. CQFD

En fait, à force de ré�échir à ce théorème, la démonstration qui me parait êtrela plus simple est la suivante (voir la �gure 2.9 en page 30) :Soit le triangle inscrit ABC, ou AB est un diamètre du cercle. Traçons parB une parallèle à AC et par A une parallèle à BC. Un quadrilatère dont lescotés sont égaux deux à deux est obtenu. De plus les diagonales se coupent enleurs milieux et ont pour longueur le rayon du cercle (elles ont donc la mêmelongueur), il en découle que ce quadrilatère est un rectangle, donc l'angle en Cest droit.


A

B

C

C ′

O

Figure 2.9 � Les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu

Chapitre 3

Autres Propriétés

Intéressons-nous à quelques autres propriétés déductibles de la �gure 2.8 enpage 29.

Il n'est en aucune façon fait de corrélation temporelle entre la découverte deces théorèmes.

3.1 Angle au centre

Le théorème de l'angle au centre dit que dans un cercle, un angle aucentre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc (�gure 3.1).

Dans la �gure 2.8, ou il a été démontré que l'angle OCA valait aussi α, celarevient à démontrer que l'angle BOC vaut 2α.

A

B

C

O

α

βα2α

π − 2απ

Figure 3.1 � L'angle au centre est le double de l'angle inscrit

31

32 CHAPITRE 3. AUTRES PROPRIÉTÉS

Dans le triangle AOC, l'angle en O vaut π− 2α. Sur le segment AB, l'angleen O vaut π, il en découle que l'angle BOC vaut 2α. CQFD.Il faut souligner que ceci reste vrai, même si les points AOB ne sont pas alignés,car quelques soient les positions de B et C, l'angle BAC est la somme (�gure3.3) ou la di�érence (�gure 3.2) des angles DAC et DAB, le point D étant lepoint du cercle tel que AD en soit un diamètre.

A

B

D

C

O

Figure 3.2 � En procédant par di�érence

A

B

D

C

O

Figure 3.3 � En procédant par somme

3.2 Angle Inscrit

Le théorème de l'angle Inscrit dit que deux angles inscrits dans un cercleinterceptant le même arc de cercle sont de même mesure.C'est une conséquence immédiate du théorème précédant : Où que soit le pointA sur le cercle, l'angle BAC reste le même.

3.3. HAUTEUR EN C DU TRIANGLE INSCRIT 33

3.3 Hauteur en C du triangle inscrit

En regardant la �gure 3.4 et en appliquant le théorème dit de Thales auxtriangles 2 et 3 de la �gure 2.7 il vient :

A

B

CD

O

Figure 3.4 � Hauteur en C du triangle inscrit

CD

DB=AD

CD, soit encore CD2 = AD ·DB, ou CD =

√AD ·DB

La hauteur en C, le point du triangle n'appartenant pas au diamètre, dutriangle inscrit, est égale à la moyenne géométrique des segments du diamètrecréés en abaissant cette hauteur.

Cette propriété a permis à Descartes d'a�rmer dans La Géométrie que laracine carrée est extractible � à la règle et au compas �.

Pour ma part, c'est son utilisation par R. Feynman dans � Les cours de phy-sique de physique - Tome 1 �, pour calculer la vitesse de satellisation qui m'aamené à la retrouver.

En�n, en appliquant le théorème de Pythagore aux deux triangles ABC etBDC, tout en utilisant l'expression de CD précédemment déduite, il vient :

BC2 = BD2 + CD2 = BD2 +AD ·DB.En divisant chaque terme de l'égalité par BC ·BD, il vient : BC

BD=BD +AD

BC.

Or BD +AD = AB doncBC

BD=AB

BCou encore BC2 = AB ·BD.

Et, AC2 = AD2 + CD2 = AD2 +AD ·DB.En divisant chaque terme de l'égalité par AC ·AD, il vient : AC

AD=AD +BD

AC.

34 CHAPITRE 3. AUTRES PROPRIÉTÉS

Or AD +BD = AB doncAC

AD=AB

ACou encore AC2 = AB ·AD.

Ce qu'Euclide dans ses Élements, LVI, Proposition 8, annonce de la sorte :

ThéorèmeSi dans un triangle rectangle on conduit une perpendiculaire de l'angle droitsur la base, les triangles placés autour de la perpendiculaire sont semblablesau triangle total et semblables entre eux.

COROLLAIRE. Il suit de là que, dans un triangle rectangle la perpen-diculaire conduite de l'angle droit, sur la base, est moyenne proportionnelleentre les segments de la base, et que chaque côté de l'angle droit est moyenproportionnel entre la base et le segment qui lui est contigu.

Chapitre 4

Trigonométrie

J'aurais aimé introduire la trigonométrie par une belle chronologie narrantde manière linéaire les origines de celle-ci, les problèmes rencontrés et résolus,l'aspect géométrique que celle-ci à conservée durant tant de siècles pour abou-tir aux travaux de M. Euler et à la plus belle formule mathématique de toustemps � d'après le magazine Mathematical Intelligencer � qui décore le plafonddu palais de la découverte à Paris :

eiπ + 1 = 0

Hélas, cela m'est impossible, tant sont variés et fondamentaux les domainesou la trigonométrie est nécessaire, tant sont reculés dans le temps les problèmesdont la résolution peut être attribuée à une forme de trigonométrie, et tant sonutilisation est géographiquement distribuée : De la Mésopotamie à l'Inde, laChine, l'Égypte, la Perse, la Grèce.

La trigonométrie semble donc proposer des solutions à des problèmes rencontréspat toutes les civilisations. Certes l'autre domaine des mathématiques d'alors,à savoir la géométrie, permettait aussi de résoudre des problèmes communs àtoutes ces civilisations, comme le partage des terres, le lever des impôts, néan-moins la trigonométrie me semble de tout temps reliée à l'astronomie, sciencetout autant universelle à travers les civilisations comme nous le verrons dans unprochain chapitre.

Il me plait d'imaginer, à la �n de la dernière glaciation, quelque chaman préhis-torique asseyant son pouvoir sur le fait de pouvoir prédire, simplement en � li-sant � l'ombre de son bâton, que la période des jours qui raccourcissent est �nie,que l'on ne va pas vers cette période de nuit permanente comme annoncé parl'autre gourou-de-mauvaise-augure-qui-veut-ma-place (bien évidemment, avecun tel pouvoir, ce chaman ne pouvait être que le chef du groupe). Soulagementgénéral, euphorie, on organise une fête, on lève les restrictions concernant laconsommation des réserves, l'alcool coule à �ot, on boit, on chante, on danse

35

36 CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE

(Pour le déroulement de la fête, je ne suis pas si sur, en fait. . .)Avec la précision de cette méthode de mesure, cela devait se passer vers le 25décembre. . .A cette même époque, ce sorcier était aussi capable, toujours grâce au pou-voir qui lui était échu de savoir � lire les ombres et le ciel � de déterminer lesmoments adéquats pour les di�érents travaux agricoles, décisions cruciales quipermettait la survie � ou non � du groupe, à ce tournant décisif de l'Histoirede l'homme, celui-ci passant de chasseur-cueilleur à agriculteur-éleveur. En tantque chef, cette lourde responsabilité le rendait aussi � Le Maître de Temps �. Illui incombait d'établir le � calendrier �. Cela aussi fera l'objet d'un chapitre decet ouvrage.

Ce n'était pas que de l'astronomie, la mesure de la longueur de l'ombre re-lève d'une forme de trigonométrie.

Puis, la trigonométrie s'est placée dans le cercle, et la notion de cordes (enopposition à la notion de sinus) est restée prépondérante durant toute l'an-tiquité. Ptolémée, dans sa Syntaxe Mathématique, s'appuyant sur les travauxd'Hipparque, calcule les tables de cordes les plus précises de l'antiquité, et sur-tout il explique comment les calculer (voir le chapitre consacré à Ptolémée).Il faut néanmoins préciser ici que pour les anciens, la notion moderne de tri-gonométrie était tout à fait étrangère : ils ne cherchaient pas à résoudre destriangles, ils n'avaient pas compris que l'outil dont ils disposait le leur permet-tait. Ils cherchaient a déterminer les éléments inconnus de �gures tracées sur lasphère au moyen d'éléments connus (polyèdres) en se servant exclusivement dela [droite] soutendante de l'arc 1, ce que nous appelons aujourd'hui la corde del'arc.

Ce n'est que vers 1000-1100 que les notions modernes de sinus et de tangentesapparaissent dans le monde occidental, après un parcours par le monde Arabeet l'Inde.

Je ne vais aborder dans ce chapitre que les notions modernes de trigonométrie,de manière très abrupte, en commençant par les dé�nitions. Dans les chapitressuivants, il sera quelque fois rappelé l'état des connaissances trigonométriquesau moment du sujet du chapitre en question et l'on pourra apprécier l'ingéniositéde ceux qui ont su contourner leurs lacunes en cette matière.

1. Ptolémée dans la Syntaxe Mathématique


4.1 Quelques dé�nitions

On appelle angles complémentaires, deux angles dont la somme vautπ

2. Le

complément de l'angle α est doncπ

2− α.

On appelle angles supplémentaires, deux angles dont la somme vaut π. Le sup-plément de l'angle α est donc π − α.

O A

M

α

Q

P

T

Figure 4.1 � Dé�nition des 2 lignes trigonométriques de base

Les deux dé�nitions qui établissent toute trigonométrie et dont il faut trèsexactement se souvenir sont :

On appelle sinus d'un arc, la perpendiculaire abaissée d'une extrémité de cetarc, sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité.

On appelle tangente d'un arc, la tangente menée à l'une des extrémitésde cet arc, depuis cette extrémité, jusqu'au prolongement du diamètre quipasse par l'autre extrémité.

Remarque : le pré�xe co signi�e que ces dé�nitions s'appliquent à l'anglecomplémentaire.

Soit encore :On appelle sinus d'un arc AM ou sin(α) (α étant l'angle orienté AOM), laperpendiculaire MP abaissée d'une extrémité de cet arc, sur le diamètre quipasse par l'autre extrémité (du point M sur le diamètre OA p. ex.).

On appelle tangente d'un arc AM ou tan(α) la tangente AT menée à l'unedes extrémités de cet arc, depuis cette extrémité, jusqu'au prolongement dudiamètre qui passe par l'autre extrémité. (du point A, sur la tangente en A,


jusqu'au prolongement du rayon OM , ou du point M , sur la tangente en M ,jusqu'au prolongement du rayon OA).

On appelle sécante d'un arc AM ou sec(α) le segment OT qui va du centreO à la tangente T .

On appelle cosinus d'un angle, le sinus de son complément.Le cosinus de α est MQ.

On appelle cotangente d'un angle, la tangente de son complément.

En�n :MQ = OP : c'est le segment OP que l'on prend généralement pour le cosinusde α.OQ = MP : c'est le segment OQ que l'on prend généralement pour le sinus de α.

Un angle α donné peut être dé�ni par une in�nité d'arcs AM de rayons dif-férents. D'après le théorème (dit) de Thalès, nous savons que les rapports dechaque ligne trigonométrique (dé�nie ci-dessus) d'un arc au rayon du cercle estle même pour tous les arcs correspondant au même angle.C'est pourquoi nous dé�nirons le cercle trigonométrique comme le cercle centréen O(0, 0) et de rayon 1. Ce cercle est orienté, son orientation est anti-horaire.Il en découle (�gure 4.2) :

Il en découle aussi une autre dé�nition, plus courante de la tangente, enappliquant le théorème (dit) de Thalès sur [O, cos(α), A] et [O,M, T ] :

OA

cos(α)=

AT

cos(α)Msoit

1

cos(α)=

tan(α)

sin(α)ou encore

tan(α) =sin(α)

cos(α)

Ainsi que sec(α) =1

cos(α).

Bien évidemment dans le triangle rectangle MO cos(α), nous avons

cos2(α) + sin2(α) = 1

Soit :cos2(α)

cos2(α)+

sin2(α)

cos2(α)=

1

cos2(α)ou encore 1 + tan2(α) =

1

cos2(α)

que l'on retiendra sous la forme :

cos2(α) =1

1 + tan2(α)


O A

M

α

sin(α)

cos(α)

Ttan(α)

1sin(α)

1cos(α)

α

tan(α)

Figure 4.2 � Les lignes trigonométriques dans le cercle trigonométrique

Et aussi :cos2(α)

sin2(α)+

sin2(α)

sin2(α)=

1

sin2(α)ou encore

1

tan2(α)+ 1 =

1

sin2(α)

Soit1

tan2(α)+

tan2(α)

tan2(α)=

1

sin2(α)

que l'on retiendra sous la forme :

sin2(α) =tan2(α)

1 + tan2(α)

De la �gure précédente découle aussi les signes des lignes trigonométriques pourtout α situé dans n'importe quel quadrant, ainsi que les lignes trigonométriquespour −α et π + α et π − α :

angle sinus cosinus tangente−α − sin(α) cos(α) − tan(α)π − α sin(α) − cos(α) − tan(α)π + α − sin(α) − cos(α) tan(α)


4.2 Lignes trigonométriques des somme et di�é-rence d'angles

Pourquoi toutes ces formules pour calculer ou exprimer les lignes trigonomé-triques d'une somme ou d'une di�érence d'angles, alors qu'un calculatrice nousdonne instantanément le résultat ?En 1975 je passais mon BEPC, que j'ai eu, m'ouvrant ainsi les portes de laclasse de seconde. Pour avoir réussi à cet examen, il m'a été o�ert une calcu-latrice électronique. Grande comme sensiblement toute une main et épaisse dedeux centimètres c'était une calculatrice 4 opérations au bel a�chage vert. Uncadeau magni�que de mes voisins dont il m'arrivait d'être le baby-sitter de leurenfant.Sur la liste des fournitures scolaires de ma rentrée en seconde �gurait � encore �une règle à calculer, instrument dont la beauté mystérieuse avec ses chi�res etindex sur toute la surface me fascinait et dont l'utilisation, qui me paraissaittenir de quelque rituel cabalistique, m'inspirait le plus grand respect envers ceuxqui savaient s'en servir.Bien sur les tables de logarithmes et de lignes trigonométriques faisaient partiede l'équipement standard du lycéen de l'époque. Il me semble avoir été le seulélève de ma classe doté d'une calculatrice, au moins au début de l'année scolaire.L'année d'après, au prix de 3 ans d'économies d'argent de poche je m'o�rais mapremière calculatrice scienti�que programmable. Une Texas Instrument SR56.

Mais au fait, comment les calculatrice calculent-elles les lignes trigonométriques ?Beaucoup pensent qu'elles mettent en ÷uvre les polynômes de Taylor-MacLaurin.Il n'en est rien, ces polynômes ne convergent pas assez rapidement et sont cou-teux � en terme de transistors � à implémenter dans de l'électronique � grandpublic �. Il faut se souvenir que le premier microprocesseur d'Intel, le 4004, mi-croprocesseur 4 bits, en 1971 intégrait 2300 transistors et était cadencé à 108kHz. Au milieu des années 1970, alors que les calculatrices devenaient � grandpublic �, on savait intégrer entre cinq et dix mille transistors sur une puce, ca-dencés à environ 1 MHz (à comparer aux plusieurs milliards de transistors etplusieurs Ghz en 2017). Cette limitation impliquait l'utilisation d'un algorithmesimple et e�cace, ce fut CORDIC (COordinate Rotation Digital Computer),développé par Jack Volder, un ingénieur travaillant à substituer, chez Convair,le résolveur analogique du bombardier B58 par un résolveur numérique. Par lasuite, CORDIC a aussi été implémenté sur les co-processeurs �ottants d'Intel(80x87) et de Motorola (6888x)

Et CORDIC repose sur les formules des lignes trigonométriques de la somme dedeux angles. Paradoxal... non ?

De plus, de très légères modi�cations apportées à CORDIC donnent accès àtoutes les fonctions usuelles des calculatrices, bien sur les fonctions trigonomé-triques, mais aussi les fonctions trigonométriques inverses, logarithmes, expo-

4.2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES DES SOMME ETDIFFÉRENCE D'ANGLES41

nentielles, racine carrée, les fonctions hyperboliques...

Les expressions traduisant les lignes trigonométriques de sommes et/ou de dif-férences permettent aussi de résoudre des problèmes d'analyse dont la solutionmathématique serait impossible à trouver sans ces formules (je pense en parti-culier à certaines intégrales), et ne le négligeons pas, simpli�ent énormément lescalculs � avantage appréciables à l'époque ou ceux-ci étaient réalisés manuelle-ment.

Longtemps donc, très longtemps, le calcul des lignes trigonométriques était untravail fastidieux...

Ceci s'imagine aisément en lisant les Éléments de géométrie de M. Legendre oùil rapporte la nature des calculs qu'il a fallu exécuter après la Révolution, lorsdu changement de mesure d'angle (l'angle droit valant maintenant 100 degrés) :

..Borda... a fait calculer sous ses yeux, des tables de logarithmes, des sinuset tangentes, pour des arcs de 10 en 10 secondes, avec sept décimales, cequi su�t pour les usages astronomiques et nautiques.... dans les bureauxdu cadastre... on y a calculé tout à la fois les sinus naturels de minutes enminutes, avec 22 décimales exactes, les logarithmes de sinus pour tous lesarcs de 10 en 10 secondes avec 12 décimales, et en�n les logarithmes desnombres de 1 à 200000, avec 12 décimales...Ces trois tables... sont un desplus beaux monuments qu'on ait élevé aux sciences, mais leur étendue aempêché jusqu'à présent qu'elles fussent imprimées...

Il est nécessaire, nous le répétons, de calculer les sinus avec 16 décimales,c'est à dire, avec cinq ou six décimales de plus qu'on n'en veut avoir réel-lement, a�n d'être assuré que les erreurs, qui peuvent se multiplier dans lecours de 5000 opérations, n'in�ueront cependant pas sur la 10edécimale..."

5000 opérations, à la main, sur des nombres à 16 ou 22 décimales. . .Si une formule évite ces calculs, on comprend aisément qu'elle soit la bienvenue.

4.2.1 Sommes

Voir la �gure 4.3.

Sinus

Par dé�nition :

sin(α) =BA

OBet cos(α) =

OA

OB


O

B

αA

β

C

D

E

Figure 4.3 � Somme

sin(β) =CB

OCet cos(β) =

OB

OC

et par construction : ED = BA et EB = DA et ECB = α car construitpar deux droites chacune perpendiculaire aux droites qui forment l'angle α.

Calculons le sinus de α+ β

sin(α+ β) =CD

OC=CE + ED

OC=CE +BA

OC=CE

OC+BA

OC· OBOB

=CE

OC+BA

OB· OBOC

. Soit

sin(α+ β) =CE

OC+ sin(α) cos(β).Or :

sin(ECB) = sin(α) =EB

CBet cos(ECB) = cos(α) =

EC

CBsoit EC = CB·cos(α).

Donc :

sin(α+ β) =CB · cos(α)

OC+ sin(α) cos(β) = sin(β) cos(α) + sin(α) cos(β)

Que l'on retiendra sous la forme :

sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α)

Cosinus

Calculons le cosinus de α+ β


cos(α+ β) =OD

OC=OA−AD

OC=OA

OC· OBOB− AD

OC=OA

OB· OBOC− AD

OC

cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− AD

OC

Or :AD

OC=AD

CB· CBOC

et sin(ECB) = sin(α) =EB

CBet AD = EB

Donc :

cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) · CBOC

soit :

cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)

Tangente

Calculons la tangente de α+ β, soit tan(α+ β) =

sin(α+ β)

cos(α+ β)=

sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α)

cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)=

sin(α) cos(β))

cos(α) cos(β)+

sin(β) cos(α)

cos(α) cos(β)

cos(α) cos(β)

cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)

cos(α) cos(β)

soit :

tan(α+ β) =tan(α) + tan(β)

1− tan(α) tan(β)


4.2.2 Di�érences

Voir la �gure 4.4

O

α

B

β

A

C

D

E

Figure 4.4 � Di�érence

Sinus

Par dé�nition :

sin(α) =CD

OCet cos(α) =

OD

OC; sin(β) =

CB

OBet cos(β) =

OC

OB

Par construction : ED = BA et EB = DA et ECB = α car construit pardeux droites chacune perpendiculaire à chacune des droites qui forment l'angleα.Calculons le sinus de α− β

sin(α− β) =BA

OB=CD − CE

OB=CD

OB− CE

OB=CD

OB· OCOC− CE

OB=

CD

OC· OCOB− CE

OB. Donc sin(α− β) = sin(α) cos(β)− CE

OC.

Or :

sin(ECB) = sin(α) =EB

CBet cos(ECB) = cos(α) =

CE

CBsoit CE = CB·cos(α).

Donc : sin(α− β) = sin(α) cos(β)− CB · cos(α)

OB= sin(α) cos(β)− cos(α)

CB

OB


Soit encore :

sin(α− β) = sin(α) cos(β)− sin(β) cos(α)

Cosinus

Calculons le cosinus de α− β

cos(α− β) =OA

OB=OD +DA

OB=OD

OB+DA

OB=OD

OB· OCOC

+DA

OB

cos(α− β) = cos(α) cos(β) +AD

OB

OrAD

OB=AD

CB· CBOB

et sin(ECB) = sin(α) =EB

CBet AD = EB

Donc cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sin(α) · CBOB

soit :

cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)

Tangente

Calculons la tangente de α− β, soit tan(α− β) =

sin(α− β)

cos(α− β)=

sin(α) cos(β)− sin(β) cos(α)

cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)=

sin(α) cos(β))

cos(α) cos(β)− sin(β) cos(α)

cos(α) cos(β)

cos(α) cos(β)

cos(α) cos(β)+

sin(α) sin(β)

cos(α) cos(β)soit :

tan(α− β) =tan(α)− tan(β)

1 + tan(α) tan(β)

4.2.3 Angle double

Il est aisé, à l'aide des formules donnant les lignes trigonométriques de lasomme d'angles de trouver les lignes trigonométriques de l'angle double, enremplaçant dans ces formules β par α. Soit :

sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)

cos(2α) = cos2(α)− sin2(α)

tan(2α) =2 tan(α)

1− tan2(α)


4.2.4 Angle moitié

La formule cos(2α) = cos2(α) − sin2(α) va nous être utile pour calculer les

lignes trigonométriques de l'angle moitiéα

2.

En e�et, si cos(2α) = cos2(α)− sin2(α)

alors cos(2α) + 1 = cos2(α)− sin2(α) + 1,

soit : cos(2α) + 1 = cos2(α)− sin2(α) + sin2(α) + cos2(α),

soit : cos(2α) + 1 = 2 cos2(α).

Remplaçons α parα

2, il vient cos2

(α2

)=cos(α) + 1

2.

Soit :

cos(α

2

)= ±

√1 + cos(α)

2

De même : cos(2α)− 1 = cos2(α)− sin2(α)− 1,

soit : cos(2α)− 1 = cos2(α)− sin2(α)− sin2(α)− cos2(α),

soit : cos(2α)− 1 = −2 sin2(α).

Remplaçons α parα

2, il vient sin2

(α2

)=

1− cos(α)

2.

soit :

sin(α

2

)= ±

√1− cos(α)

2

En�n en utilisant la formule tan(2α) =2 tan(α)

1− tan2(α)

il vient tan(α) =2 tan

(α2

)1− tan2

(α2

) , soit : tan(α)− tan(α) tan2(α

2

)= 2 tan

(α2

)Soit encore tan2

(α2

)tan(α) + 2 tan

(α2

)− tan(α) = 0

Equation du second degré en tan(α

2

)dont les racines sont :

tan(α

2

)=−1±

√1 + tan2(α)

tan(α)

4.3. SOMMES DE LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES EXPRIMÉES EN PRODUIT DE LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES47

4.3 Sommes de lignes trigonométriques expriméesen produit de lignes trigonométriques

Du temps de la règles à calculs, cela aurait pu s'intituler "Ou comment cal-culer par logarithmes la somme de lignes trigonométriques"". Ces formules sontbien utiles pour intégrer...

En partant de l'expression des sommes et di�érences de sinussin(α+ β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α)sin(α− β) = sin(α) cos(β)− sin(β) cos(α)

En sommant ces deux lignes, il vient : sin(α+ β) + sin(α− β) = 2 sin(α) cos(β)En en faisant la di�érence, il vient : sin(α+ β)− sin(α− β) = 2 sin(β) cos(α)

En posant p = α+ β et q = α− β il vient p+ q = 2α

soit α =p+ q

2et β =

p− q2

Et :

sin(p) + sin(q) = 2 sin

(p+ q

2

)cos

(p− q

2

)

sin(p)− sin(q) = 2 sin

(p− q

2

)cos

(p+ q

2

)De même, en partant de l'expression des sommes et di�érences de cosinuscos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)

En sommant ces deux lignes, il vient : cos(α+β) + cos(α−β) = 2 cos(α) cos(β)En en faisant la di�érence, il vient : cos(α+ β)− cos(α− β) = −2 sin(α) sin(β

Et avec les mêmes conventions que précédemment :

cos(p) + cos(q) = 2 cos

(p+ q

2

)cos

(p− q

2

)

cos(p)− cos(q) = −2 sin

(p+ q

2

)sin

(p− q

2

)Pour la tangente, nous ré-écrivons sa dé�nition :


tan(p) + tan(q) =sin(p)

cos(p)+

sin(q)

cos(q)=

sin(p) cos(q) + sin(q) cos(p)

cos(p) cos(q)

ou l'on reconnait :

tan(p) + tan(q) =sin(p+ q)

cos(p)cos(q)

Et :

tan(p)− tan(q) =sin(p− q)

cos(p)cos(q)

4.4 Lois des sinus et des cosinus

4.4.1 Lois des sinus

Il existe une relation de proportionnalité entre les longueurs des cotés d'untriangle et les sinus des angles de ce triangle.Considérons le triangle ABC quelconque représenté en �gure 4.5, et exprimonsla hauteur h issue de B de deux façons di�érentes.

A

B

CH

c a

b

h

α

β

γ


Il vient h = c · sin(α) et h = a · sin(γ), soit encorec

sin(γ)=

a

sin(α).

En faisant de même avec la hauteur issue de A il vientc

sin(γ)=

b

sin(β).

La loi des sinus dit que :a

sin(α)=

b

sin(β)=

c

sin(γ)

4.4. LOIS DES SINUS ET DES COSINUS 49

4.4.2 Loi des cosinus

De la �gure précédente il vient aussi que HC = a · cos(γ) et comme b =AH +HC il vient que AH = b− a · cos(γ).En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle BAH il vient :

c2 = (AH)2 + (BH)2, soit encore c2 = (b− a · cos(γ))2 + (a · sin(γ))2.

En développant il vient : c2 = b2 − 2ab · cos(γ) + a2 · cos2(γ) + a2 · sin2(γ).

Or cos2(γ) + sin2(γ) = 1 Donc c2 = b2 + a2 − 2ab · cos(γ).

En faisant γ =π

2, on retrouve évidemment le théorème de Pythagore, c'est

pourquoi la loi des cosinus est aussi appelée le théorème de Pythagore généra-lisé.

La loi des cosinus dit que : c2 = b2 + a2 − 2ab · cos(γ)


4.5 Démonstrations géométriques

Dans ce paragraphe, quelques unes des formules démontrées précédemmentle seront à nouveau et uniquement de manière géométrique.Les dé�nitions des lignes trigonométriques utilisées sont celles représentées parla �gure (4.6) :

rayon=1

cosinus

sinus

cosecante =

1sin

cotangente = 1tan

tangente

secante =

1cos

α

Figure 4.6 � Dé�nitions des lignes trigonométriques de base

4.6. PUISSANCES DE LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES 51

4.6 Puissances de lignes trigonométriques

Ici, lignes trigonométries sont élevées aux puissances croissantes (2,3,4,...),de façon géométrique, uniquement en menant des perpendiculaires à certainesdroites, passant par des points spéci�ques.Par dé�nition, le cercle est de rayon unitaire, le point M est le point du cerclede coordonnées (sin(α), cos(α)), le point O est le centre du cercle.

4.6.1 Puissances du sinus

On commence par mener la perpendiculaire à OM passant par le pied dusinus de coordonnées (cos(α), 0), puis une parallèle à Ox passant par le pointd'intersection de la perpendiculaire précédente et de la droite OM , etc.En abrégeant dé�nition du sinus par : dans dans un triangle rectangle,

sin =cote oppose

hypothenuse,

et en dessinant les triangles rectangles de telle sorte que d'une part, l'angle αsoit conservé et d'autre part que l'hypothénuse du nouveau triangle dessiné soitle sinus de l'angle α dans le triangle précédant, il vient la �gure 4.7, dans laquelleS = sin(α).

α

S

α

S2

α

S3

αS4

S5

Figure 4.7 � Puissance du sinus

4.6.2 Puissances du cosinus

On commence par mener la perpendiculaire à OM passant par le pied dusinus de coordonnées (cos(α), 0), puis une perpendiculaire à Ox passant par lepoint d'intersection de la perpendiculaire précédente et de la droite OM , etc.En abrégeant dé�nition du cosinus par : dans dans un triangle rectangle,


cos =cote adjacent

hypothenuse,

et en dessinant les triangles rectangles de telle sorte que d'une part, l'angle αsoit conservé et d'autre part que l'hypothénuse du nouveau triangle dessiné soitle cosinus de l'angle α dans le triangle précédant, il vient la �gure 4.8, danslaquelle C = cos(α).

α

C

α

C2

α

C3

αC4

C5

Figure 4.8 � Puissance du cosinus

4.6.3 Puissances de la sécante

La sécante est dé�nie comme le segment qui va du centre à la tangente. Endessinant des cercles dont le rayon est la sécante du cercle précédant et en al-ternant le point pris pour la tangente (une fois sur la droite OM , une fois surl'axe Ox), il vient la �gure 4.9, dans laquelle Sec = sec(α).

4.6.4 Puissance de la tangente

Ici il faut imaginer des cercles trigonométriques consécutifs, dont le rayonvaut la tangente construite sur le cercle précédent.La tangente de l'angle, tan(alpha), sera notée tan.

Angles inférieurs à quarante cinq degrés

Dans ce cas, la tangente est inférieure à un, les puissances de celle-ci vontdécroissant.


α

Sec

α

Sec2

α

Sec3

α

Sec4

Sec5

Figure 4.9 � Puissance de la sécante

tan

tan2

α

α

tan3

tan4

tan5

α

Figure 4.10 � Puissance de la tangente pour des angles < 45 degrés

Angles supérieurs à quarante cinq degrés

Dans ce cas, la tangente est supérieure à un, les puissances de celle-ci vontcroissant.


tan

tan2

α

α

tan3

tan4

tan5 α

Figure 4.11 � Puissance de la tangente pour des angles > 45 degrés

4.6.5 Quelques produits

Des �gures précédentes, il vient aussi les produits représentés par la �gure4.12, où sin = sin(α), cos = cos(α), tan = tan(α) et sec = sec(α).


αsin tan

sincos

sincos2

tansec

tansec2

Figure 4.12 � Quelques produits

4.6.6 sin2 + cos2 = 1

α

sin(α

)

α

sin2 (α

)

cos(α)

αcos2 (α

)

rayon=1

Figure 4.13 � sin2(α) + cos2(α) = 1

4.6.7 sec2(α) = 1 + tan2(α)

Soit en appliquant le théorème de Pythagore, soit en traçant le cercle derayon sec(α), il vient : sec2(α) = 1 + tan2(α) :

4.6.8 cot(α) =1

tan(α)

En appliquant le théorème (dit) de Thalès il vient que la tangente est à 1 ce

que 1 est à la cotangente, soit : cot(α) =1

tan(α).


α

Sec

α

Sec2

tan

tan21

tansec=sincos 2

Figure 4.14 � sec2(α) = 1 + tan2(α)

tan(α

)

cot(α)1

1α

Figure 4.15 � cot(α) =1

tan(α)

4.6.9 tan(α) =sin(α)

cos(α)

En appliquant le théorème (dit) de Thalès il vient que le sinus est au cosinus

ce que la tangente est à 1, soit : tan(α) =sin(α)

cos(α).

4.6.10 sec(α) =1

cos(α)

En appliquant le théorème (dit) de Thalès il vient que la sécante est à 1 ce

que 1 est au cosinus, soit : sec(α) =1

cos(α).


1cosinus

sinus

tangente

α

Figure 4.16 � tan(α) =sin(α)

cos(α)

4.6.11 cosec(α) =1

sin(α)

En appliquant le théorème (dit) de Thalès il vient que la cosécante est à 1

ce que 1 est au sinus, soit : cosec(α) =1

sin(α).

4.6.12 sin(α) = 2 sin(α

2) cos(

α

2)

En exploitant les propriétés de la bissectrice il vient la �gure 4.19 qui dé-

montre graphiquement que sin(α) = 2 sin(α

2) cos(

α

2).

4.6.13 cos(α) = cos2(α

2)− sin2(

α

2)

En exploitant les propriétés de la bissectrice il vient la �gure 4.20 qui dé-

montre graphiquement que cos(α) = cos2(α

2)− sin2(

α

2).


cosinus

sec(α)

α

1

rayon=1

Figure 4.17 � sec(α) =1

cos(α)

sinus 1

cosec(α

)

1

α

Figure 4.18 � cosec(α) =1

sin(α)


αsin(α

)

sin(α

)2

sin(α

)2

α2

α2

sin( α2 )

sin( α2 )

sin(α2)cos(

α2)

sin(α2)cos(

α2)

Figure 4.19 � sin(α) = 2 sin(α

2) cos(

α

2)

α

cos(α)

α2

α2

sin( α2 )

sin( α2 )

sin2(α2)sin2(α

2)

sin2(α2)sin2(α

2)

1− sin2(α2) = cos2(α

2

Figure 4.20 � cos(α) = cos2(α

2)− sin2(

α

2)


4.7 Angles en trigonométrie sphérique

Guidé par ma passion pour l'astronomie, je ne peux terminer ce chapitresans aborder quelques notions de trigonométrie sphérique. Je ne voudrais sur-tout pas limiter l'usage de la trigonométrie sphérique à l'astronomie.En e�et, alors que la géométrie plane et sa trigonométrie semblent adaptées ànotre environnement, il n'en est rien, le monde sur lequel nous vivons est sphé-rique et sa représentation sur une mappemonde conduit souvent à des conclu-sions erronées.J'ai eu l'occasion, au cours de mon parcours professionnel, de souvent voyagervers l'ouest des USA. Partant de di�érents aéroports d'Europe, j'ai été surprisde toujours survoler le sud du Groenland et ses majestueux glaciers.Ma représentation mentale sur une carte du monde d'une ligne droite reliantParis à Los Angeles passait très au sud du Groenland (voir �gure 4.21).C'est alors que je me souvenais que sur une sphère, la ligne la plus courte pourrelier deux points est le grand cercle qui passe par ces deux points : Toute autreligne à une courbure plus grande et propose donc un chemin plus long.

Figure 4.21 � Paris-Los Angeles sur une mappemonde

Par contre la route orthodromique passe bien par le sud du Groenland (voir�gure 4.22).

Figure 4.22 � Paris-Los Angeles orthodromique

4.7. ANGLES EN TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE 61

La représentation de la route orthodromique sur une mappemonde est loinde suggérer que cette route soit la plus courte (voir �gure 4.23)

Figure 4.23 � Paris-Los Angeles orthodromique sur mappemonde

Attardons nous donc un peu sur cette trigonométrie un peu déroutante.

Avant de commencer, il convient de donner quelques dé�nitions pour claire-ment délimiter le domaine d'application de la trigonométrie sphérique.

Un triangle sphérique est une partie de la surface de la sphère délimitée partrois arcs de grands cercles, c.-à-d. des cercles dont le centre est confondu avecle centre de la sphère. Les segments des trois arcs de grands cercles comprisentre leurs points d'intersections sont appelés les cotés du triangle, les anglesqu'ils forment deux à deux s'appellent les angles du triangle sphérique.

Figure 4.24 � Un Triangle sphèrique

Par convention, on désigne l'angle d'un triangle sphérique par le nom de sonsommet en lettres majuscules et l'arc par le nom de l'angle opposé en lettresminuscules.La sphère d'étude est une sphère de rayon 1. Dans le plan d'un grand cercle,l'arc a la même valeur que l'angle au centre. On traitera indi�éremment l'angleau centre et l'arc.


Par dé�nition un triangle sphérique est celui dont la longueur d'aucun cotéatteint ou excède un demi-grand cercle et dont aucun angle est plus grand quedeux droits.La somme des angles d'un triangle sphérique n'est pas constante. Cette sommeest toujours supérieure à π et peut atteindre 2π.A chaque triangle sphérique correspond un second triangle que l'on nomme tri-angle polaire ou supplémentaire.

Nota Bene : Deux grands cercles distincts se coupent en exactement deux pointsantipodaux. Il n'y a donc pas de notion de parallélisme sur la sphère : Prenez unhabitant de Paris, et un habitant de Pékin, dites leurs de marcher toujours pleinnord, de sorte que, sur une mappemonde, leurs trajets soient bien parallèles. Surla sphère Terre, ces deux marcheurs de rencontreront au Pôle Nord. Bien surs'ils marchent vers l'est . . ., mais alors ils ne sont plus sur un grand cercle or legrand cercle est à la sphère ce que la droite est au plan : Il n'a à pas de � droitesparallèles � sur une sphère.


4.7.1 Formules de trigonométrie sphérique

Un triangle sphérique est constitué de six éléments : trois angles et troissegments. Pour déterminer tout triangles sphérique, étant donné quatre de seséléments il faut donc 15 équations (C6

4 ). Celles ci sont :

cos(a) = cos(b) · cos(c) + sin(b) · sin(c) · cos(A)

cos(b) = cos(a) · cos(c) + sin(a) · sin(c) · cos(B)

cos(c) = cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) · cos(C)

cos(A) = − cos(B) · cos(C) + sin(B) · sin(C) · cos(a)

cos(B) = − cos(A) · cos(C) + sin(A) · sin(C) · cos(b)

cos(C) = − cos(A) · cos(B) + sin(A) · sin(B) · cos(c)

sin(a)

sin(A)=

sin(b)

sin(B)=

sin(c)

sin(C)

cot(a) · sin(b)− cot(A) · sin(C) = cos(b) · cos(C)

cot(b) · sin(a)− cot(B) · sin(C) = cos(a) · cos(C)

cot(b) · sin(c)− cot(B) · sin(A) = cos(c) · cos(A)

cot(c) · sin(b)− cot(C) · sin(A) = cos(b) · cos(A)

cot(c) · sin(a)− cot(C) · sin(B) = cos(a) · cos(B)

cot(a) · sin(c)− cot(A) · sin(B) = cos(c) · cos(B)

Les démonstrations de ces relations délivrent aussi d'autres formulations decelles-ci qui peuvent s'avérer utiles. Ce sont :

cos(A) =cos(a)− cos(b) · cos(c)

sin(b) · sin(c)

cos(B) =cos(b)− cos(a) · cos(c)

sin(a) · sin(c)

cos(C) =cos(c)− cos(a) · cos(b)

sin(a) · sin(b)

Et


sin(a) · cos(B) = cos(b) · sin(c)− sin(b) · cos(c) · cos(A)

sin(a) · cos(C) = cos(c) · sin(b)− sin(c) · cos(b) · cos(A)

sin(b) · cos(A) = cos(a) · sin(c)− sin(a) · cos(c) · cos(B)

sin(b) · cos(C) = cos(c) · sin(a)− sin(c) · cos(a) · cos(B)

sin(c) · cos(A) = cos(a) · sin(b)− sin(a) · cos(b) · cos(C)

sin(c) · cos(B) = cos(b) · sin(a)− sin(b) · cos(a) · cos(C)

4.7.2 Relation entre les trois cotés et un angle

Il s'agit de trouver la relation entre a, b, c et A ou B ou C.

Figure 4.25 � Trigonométrie sphèrique


Dans le plan tangent à la sphère en A, appelons B′ le point d'intersection dece plan avec la droite OB et C ′ le point d'intersection de ce plan avec la droiteOC, et traçons les segments AB′, AC ′ et B′C ′. Notons que les triangles OAB′

et OAC ′ sont donc rectangles en A et que OA = 1 puisque c'est un rayon de lasphère.

Dans le triangle OAB′, nous avons (voir la �gure 4.2) :

OB′ =1

cos(c), AB′ = tan(c) et OA2 +AB′2 = OB′2, or OA = 1.

Il en découle que OB′2 −AB′2 = 1

De même dans le triangle OAC ′, nous avons (voir la �gure 4.2) :

OC ′ =1

cos(b), AC ′ = tan(b) et OA2 +AC ′2 = OC ′2, or OA = 1.

Il en découle que OC ′2 −AC ′2 = 1

Exprimons B′C ′ dans les deux triangles B′AC ′ et B′OC ′.

Dans le triangle B′AC ′ :

C ′

A

B′

A

Figure 4.26 � Triangle B'AC'

Dans ce triangle, la loi de cosinus nous dit que :

B′C ′2 = AB′2 +AC ′2 − 2AB′AC ′ cos(A).

Dans le triangle B′OC ′ :

Dans ce triangle, la loi de cosinus nous dit que :

B′C ′2 = OB′2 +OC ′2 − 2OB′OC ′ cos(a).


C ′

O

B′

a

Figure 4.27 � Triangle B'OC'

Retranchons la première expressions de BC ′ de la seconde. Il vient :

BC ′2 = OB′2 +OC ′2 − 2OB′OC ′ cos(a)−BC ′2 = AB′2 +AC ′2 − 2AB′AC ′ cos(A)Soit :

0 = 1 + 1− 2 · cos(a)

cos(c) · cos(b)+ 2 · cos(A) · tan(c) · tan(b)

Soit :

0 = 1− cos(a)

cos(c) · cos(b)+

cos(A) · sin(c) · sin(b)

cos(c) · cos(b)

Soit :0 = cos(c) · cos(b)− cos(a) + cos(A) · sin(c) · sin(b).D'où :

cos(a) = cos(c) · cos(b) + cos(A) · sin(c) · sin(b).

En permutant les lettres on trouve les équations entre les trois cotés et unangle :




Ce sont les équations fondamentales de la trigonométrie sphérique : S'il yavaient des équations de trigonométrie sphérique à retenir, ce serait celles-ci,toutes les autres en découlent.

4.7.3 Relation entre deux cotés et les deux angles opposés

Il s'agit de trouver la relation entre a, b et A,B par exemple.


De l'équation cos(a) = cos(b) · cos(c) + sin(b) · sin(c) · cos(A) il vient :

cos(A) =cos(a)− cos(b) · cos(c)

sin(b) · sin(c)

Or sin2(α) = 1− cos2(α) donc sin2(A) = 1− [cos(a)− cos(b) · cos(c)]2

[1− cos2(b)] · [1− cos2(c)]

Soit :

sin2(A) =[1− cos2(b)] · [1− cos2(c)]− [cos(a)− cos(b) · cos(c)]2

[1− cos2(b)] · [1− cos2(c)]

Soit :sin2(A) =

1 − cos2(c) − cos2(b) + cos2(b) · cos2(c) − cos2(a) + 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c) − cos2(b) · cos2(c)

sin2(b) · sin2(c)

Soit :

sin2(A) =1− cos2(c)− cos2(b)− cos2(a) + 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)

sin2(b) · sin2(c)

Donc :

sin(A)

sin(a)=

√1− cos2(c)− cos2(b)− cos2(a) + 2 · cos(a) · cos(b) · cos(c)

sin2(a) · sin2(b) · sin2(c)

Comme le second membre de l'égalité reste inchangé lorsque lorsqu'on permute(A, a) en (B, b) ou en (C, c), il vient que dans un triangle sphérique, les sinusdes angles sont entre-eux comme comme les sinus des cotés opposés.En�n comme tous les angles sont par dé�nition inférieurs à π, leur sinus estpositif et donc le radical n'est pas indéterminé.

sin(A)

sin(a)=

sin(B)

sin(b)=

sin(C)

sin(c)

4.7.4 Relation entre un coté et les trois angles

Il s'agit de trouver la relation entre a et A,B,C par exemple.

En sachant que :





Et en remplaçant le terme cos(c) dans la première équation par sa valeur expri-mée par la troisième équation, il vient :

cos(a) = cos(b)[cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) · cos(C)] + sin(b) · sin(c) · cos(A)

Soit :

cos(a) = cos(a) · cos2(b) + cos(b) · sin(a) · sin(b) · cos(C) + sin(b) · sin(c) · cos(A)

Soit :

cos(a)[1− cos2(b)] = cos(b) · sin(a) · sin(b) · cos(C) + sin(b) · sin(c) · cos(A)

Or 1− cos2(b) = sin2(b). En divisant par sin(a) · sin(b), il vient :

cos(a) · sin(b)

sin(a)= cos(b) · cos(C) +

sin(c) · cos(A)

sin(a)(4.1)

Soit :

sin(c) · cos(A) = cos(a) · sin(b)− sin(a) · cos(b) · cos(C)

De plus nous avons démontré que :

sin(A) · sin(b) = sin(a) · sin(B), soitsin(b)

sin(a)=

sin(B)

sin(A)

et de mêmesin(c)

sin(a)=

sin(C)

sin(A).

Donc l'équation (4.1) devient :

cos(a) · sin(b)

sin(a)= cos(b) · cos(C) +

sin(C) · cos(A)

sin(A)(4.2)

Soit encore, d'une part la formule des cotangentes :

cot(a) · sin(b)− cot(A) · sin(C) = cos(b) · cos(C)

D'autre part, en multipliant les deux termes de l'égalité (4.1) parsin(a)

sin(c)et

en les réarrangeant, il vient :

cos(A) =cos(a) · sin(b)

sin(c)− cos(b) · cos(C) · sin(a)

sin(c)Or

sin(b)

sin(c)=

sin(B)

sin(C).

Donc :


cos(A) =cos(a) · sin(B)

sin(C)− cos(b) · cos(C) · sin(a)

sin(c)

de plus nous avons démontré que cos(b) = cos(a) · cos(c) + sin(a) · sin(c) · cos(B)

Il vient :


sin(C)−cos(C) · sin(a)

sin(c)·[cos(a)·cos(c)+sin(a)·sin(c)·cos(B)]

(4.3)

Soit encore :


sin(C)−cos(C) · sin(a) · cos(a) · cos(c)

sin(c)−cos(C)·sin2(a)·cos(B)

(4.4)

Posons d'une part :

cos(a) · sin(B)

sin(C)=

cos(a) · sin(B)

sin(C)· sin(C)

sin(C)=

cos(a) · sin(B) · sin(C)

sin2(C)

Or nous avons aussi démontré que1

sin2(x)= 1 +

1

tan2(x)

Il vient :

cos(a) · sin(B)

sin(C)= cos(a) · sin(B) · sin(C) +

cos(a) · sin(B) · sin(C)

tan2(C)

D'autre part : sin2(a) = 1− cos2(a), donc :

cos(C) · sin2(a) · cos(B) = cos(C) · cos(B) − cos(C) · cos2(a) · cos(B) (4.5)

Remplaçons ceux deux expression dans l'équation (4.4), il vient :

cos(A) = cos(a) · sin(B) · sin(C) +cos(a) · sin(B) · sin(C)

tan2(C)

− cos(C) · sin(a) · cos(a) · cos(c)

sin(c)− cos(C) · cos(B)

+ cos(C) · cos2(a) · cos(B) (4.6)

Soit encore en remplaçantsin(C)

tan2(C)par sin(C) · cos2(C)

sin2(C)= cos(C) · cos(C)

sin(C)


=cos(C)

tan(C)

Il vient :

cos(A) = cos(a) · sin(B) · sin(C) +cos(a) · sin(B) · cos(C)

tan(C)

− cos(C) · sin(a) · cos(a) · cos(c)

sin(c)− cos(C) · cos(B) + cos(C) · cos2(a) · cos(B)

(4.7)

Soit encore :

cos(A) = cos(a) · sin(B) · sin(C)

+ cos(a) · cos(C)(sin(B)

tan(C)− sin(a) · cos(c)

sin(c))

− cos(C) · cos(B) + cos(C) · cos2(a) · cos(B)

(4.8)

En remarquant que :

sin(B)

tan(C)− sin(a) · cos(c)

sin(c)) = sin(B) · cot(C)− sin(a) · cot(c)

et que la formule des cotangentes nous apprend que :

sin(B) · cot(C)− sin(a) · cot(c) = −(cos(B) · cos(a))

Il vient :

cos(A) = cos(a) · sin(B) · sin(C)− cos(a) · cos(C)(cos(B) · cos(a))

− cos(C) · cos(B) + cos(C) · cos2(a) · cos(B)

= cos(a) · sin(B) · sin(C)− cos(C) · cos(B) (4.9)

Soit après permutations


cos(A) = − cos(B) · cos(C) + sin(B) · sin(C) · cos(a)

cos(B) = − cos(A) · cos(C) + sin(A) · sin(C) · cos(b)

cos(C) = − cos(A) · cos(B) + sin(B) · sin(A) · cos(c)

4.7.5 Relation entre deux cotés, l'angle qu'ils comprennentet l'angle opposé à l'un d'eux

Il s'agit de trouver la relation entre a, b, C et A par exemple.

Le formules à utiliser dans ce cas sont celles des cotangentes, démontrées dansle paragraphe précédent.


Chapitre 5

Astronomie

Il est puéril d'a�rmer que lascience commença en Grèce : le� miracle � grec fut préparé pardes millénaires de travail enÉgypte, en Mésopotamie etpeut-être dans d'autres régions.La science grecque fut moins uneinvention qu'une renaissance.

Georges Sarton (1884-1956) -Introduction to the History of

Science

Il y a environ dix mille ans, l'homme chasseur-cueilleur s'est néolithisé, il estdevenu agriculteur-éleveur et s'est, en conséquence, d'avantage sédentarisé. Uneconséquence immédiate de ce changement de mode de vie est l'explosion démo-graphique qui l'accompagne, l'agriculture permettant de nourrir une populationplus importante que la chasse-cueillette, à surface égale : La population estiméede la France passe de cinquante mille habitants vers 15 000 av. J.C. à cinq centmille habitants vers 5 000 av. J.C. (un rapport dix en dix mille ans), alors quede 100 000 av. J.C. à 17 000 av. J.C. la population n'est passée que de trois ouquatre mille habitants (il y a 100 000 ans, la population de la France entière étaitcelle d'un village d'aujourd'hui !) à environ quatorze mille (un rapport d'environtrois en quatre vint mille ans). Puis elle passe à cinq millions cinq cent millevers 2 500 av. J.C. (un rapport dix en deux mille cinq cents ans)Il devint donc nécessaire d'organiser d'une part la survie d'un groupe d'indi-vidus, et d'autre part d'organiser leur vie en groupe. Par exemple, on penseque la ville d'Uruk, en Mésopotamie, avec quelques milliers d'habitants, étaitla ville la plus importante du monde au ive millénaire avant notre ère. Danscette société hiérarchisée on invente l'écriture, dans un but comptable (impôts,dettes. . .) et l'on doit aussi garantir des récoltes capables de nourrir cette po-pulation. L'agriculteur-éleveur, plein de bon sens découvre vite qu'il est des

73

74 CHAPITRE 5. ASTRONOMIE

moments propices pour chacune de ses activités, qu'il est un moment idéal poursemer, un autre pour récolter, etc. Comme la survie de la famille ou du groupedépendait de la quantité et de la qualité de la récolte il convenait de faire lesbons travaux aux bons moments. La �abilité du calendrier alors en usage 1 �sitant est qu'il y en eu un� ne garantissait pas que le même jour du même mois seretrouvait au même moment du calendrier � astronomique �. Pour éclairer ceci,supposons que par expérience il ait été établi que le meilleur moment pour semersoit le premier avril. Avec un calendrier de trois cent soixante jours qui dérivedonc de cinq jours par an, au bout de trois ans, un fermier faisant con�anceau calendrier sème le quinze mars et il n'est pas exclut que le mauvais tempsou la sécheresse annihile son travail et sa récolte. Il est alors plus raisonnablede regarder le ciel à la recherche de quelque indice permettant de pallier auxdéfaillances du calendrier, dans l'organisation des travaux agricoles ou la déter-mination des périodes propices à la navigation.

Hésiode - Les travaux et les jours viiie siècle av. J.C. :

Commence la moisson quand les Pléiades, �lles d'Atlas, se lèvent dansles cieux, et le labourage quand elles disparaissent ; elles demeurent cachéesquarante jours et quarante nuits, et se montrent de nouveau lorsque l'an-née est révolue, à l'époque où s'aiguise le tranchant du fer. Telle est la loigénérale des campagnes pour les colons qui habitent les bords de la mer ouqui, loin de cette mer orageuse, cultivent un sol fertile dans les gorges desprofondes vallées. Sois toujours nu quand tu sèmes, nu quand tu laboureset nu quand tu moissonnes, si tu veux exécuter à propos tous les travauxde Cérès, voir tes fruits parvenir à leur maturité et n'être pas forcé, danston indigence de parcourir en mendiant les maisons étrangères sans rienobtenir...Lorsque Orion et Sirius seront parvenus jusqu'au milieu du ciel, et quel'Aurore aux doigts de rose contemplera Arcture, ô Persès ! cueille tous lesraisins et apporte-les dans ta demeure ...Le huitième jour du mois, tu peux châtrer les chevreaux et les boeufs mugis-sants et, le douzième, les mulets laborieux. Le vingtième, pendant les grandsjours, tu engendreras un �ls doué d'une âme sage et prudente. Le dixièmeest propre à la génération des hommes, le quatorzième à celle des �lles a.

a. Un autre extrait qui éclaire ce qui suit :� Ne va point uriner dans le courant des�euves qui coulent vers la mer, ni dans l'eau des fontaines ; garde-toi de les profanerainsi. N'y satisfais pas également d'autres besoins ; une telle action ne serait pas pluslouable. �

On peu donc imaginer que la néolithisation s'est accompagnée d'une obser-vation accrue du ciel, et qu'ayant inventé l'écriture, ses observations ont étéconsignées.Je dis que l'observation du ciel s'est accrue car il est plus que probable que celle-ciait toujours eut lieu, mais pas dans les mêmes buts. (voir Théophraste (-371,

1. Voir le chapitre consacré à la mesure du temps

75

-288) et son � Traité des Signes de pluie, de vent, de tempête et de beau temps �qui s'étonne que l'on puisse prédire plus que la météorologie de l'observationdes astres, et en particulier la vie et la mort des individus ).

L'in�uence de ceux qui savaient décrypter les messages célestes était énorme,allant jusqu'à dispenser les détenteurs d'un tel savoir, des travaux quotidiens etpénibles. 2 Ils entretenaient par la-même, et à leur grand avantage, des mytheset autres superstitions a�rmant que l'avenir, dont la connaissance était tantconvoitée par les hommes, était écrit dans le ciel. Cette in�uence s'est perpétréejusqu'à ce que que nos vrais rapports à la nature soient connus, non sans di�-cultés, et pour cause, vers environ la �n du xviiie siècle. Je n'ignore pas qu'auxxie siècle certains journaux publient quotidiennement des horoscopes qui sontlus . . .

La plupart des observations étaient donc principalement apotélesmatiques,celles qui ne l'étaient pas organisaient les travaux champêtres. Elles avaient lieu,en Inde, Chine, Mésopotamie, en Égypte, chez les Incas. Aucune n'était d'ordrescienti�que avant les observations des Grecs qui les premiers ont cherché unsystème prédictif dans ce qu'ils voyaient, à l'aide d'outils mathématiques qu'ilsinventaient quasiment en même temps.

Les Grecs avait donc certes une quantité importante d'observations à leurdisposition, la pertinence et la qualité de celles-ci peut prêter à discussion.Il n'en demeure néanmoins qu'ils ont été des mathématiciens et des astronomesde génie. En voici quelques-uns que nous aborderons dans un ordre chronolo-gique.

Concernant les découvertes des mathématiciens grecs il convient de rappelerici que nous ne disposons d'aucun document original 3, les documents à notredisposition ont subit au travers des siècles de nombreuses recopies, traductions

2. Aristote : � . . .les mathématiques sont nées en Égypte parce que dans cette contrée lesprêtres jouissent d'être détachés de a�aires de la vie, et avaient le loisir de s'adonner à l'étude. . .Aussi l'Égypte a-t-elle été le berceau des arts mathématiques, car on y laissait de grandsloisirs à la caste sacerdotale. �Jules César �La guerre des gaules : L6.XII et XIV� : � . . .Les [druides gaulois] s'occupent deschoses divines, président aux sacri�ces publics et privés, règlent les pratiques religieuses. Ungrand nombre d'adolescents viennent s'instruire auprès d'eux, et ils sont l'objet d'une grandevénération. Ce sont eux, en e�et, qui décident de presque toutes les contestations publique etprivées . . .Les druides[Gaulois] n'ont point coutume d'aller à la guerre ni de payer des impôts comme lereste des Gaulois ; ils sont dispensés du service militaire et exempts de toute espèce de charge.Poussés par de si grands avantages, beaucoup viennent spontanément suivre leur enseignement,beaucoup leur sont envoyés par leurs parents et leurs proches. �

3. Contrairement à d'autres civilisation qui utilisaient des supports plus pérenne, commepar exemple les Mésopotamiens et leurs tablettes d'argile, dont la fameuse tablette YBC7289 datée d'environ -1700 qui établit le rapport entre coté et diagonale d'un carré (soitla racine carrée de 2 à 305470

603soit encore 1, 41421296 (pour 1.41421356...)). Des tablettes

mésopotamiennes représentant des tables de multiplications, divisions et d'élévation au carréont également été trouvées.


et parfois même interprétations, avec tous les risques d'erreurs que cela im-plique. Les informations biographiques ne sont pas �ables, souvent rapportéesdes siècles après les faits, et les mathématiques grecques de cette époque ne sontpas écrites, mais racontées.

La plupart des historiens des mathématiques font débuter les mathématiquesgrecques avec Thalès de Milet et un voyage d'études en Égypte. J'en ferai demême, non sans rappeler qu'à l'époque de Thalès de produisit un fait d'uneimportance capitale en Égypte.En e�et, Hérodote rapporte dans Euterpe, son livre II d'Histoire, que Psam-mitique (-663 à -609) à l'aide de pirates grecs réussi un coup d'état, prendle pouvoir en Égypte et autorise pour la première fois l'implantation de non-égyptiens en Égypte :Le roi, [...] �t alliance avec les Ionniens et les Cariens, et les engagea par degrandes promesses à prendre son parti. Avec ces troupes auxiliaires, et les égyp-tiens qui lui étaient restés �dèles,il détrôna les onze rois...Psammitichus reconnut les services des Ioniens et des Cariens par des terres etdes habitations qu'il leur donna vis-à-vis les uns des autres, et qui n'étaient sé-parées que par le �euve. On les nomma les Camps. Il leur donna, avec ces terrestoutes les autres choses qu'il leur avait promises ; il leur con�a même des en-fants égyptiens pour leur enseigner le grec ; et, de ces enfants qui apprirent alorscette langue, sont descendus les interprètes qu'on voit actuellement en Égypte.Les Ioniens et les Cariens habitèrent longtemps les lieux où Psammitichus lesavait placés. Ces lieux sont situés près de la mer, un peu au-dessous de Bu-bastis, vers l'embouchure pélusiaque du Nil ; mais dans la suite le roi Amasistransféra ces étrangers à Memphis, a�n de les employer à sa défense contre lesÉgyptiens. Depuis leur établissement en Égypte, les Grecs ont entretenu aveceux un commerce si étroit, que, à commencer du règne de Psammitichus, noussavons avec certitude tout ce qui s'est passé dans ce pays. Ce sont en e�et lespremiers peuples d'une autre langue que les Égyptiens aient reçus chez eux. Onvoyait encore de mon temps, sur le territoire d'où on les avait tirés, et leursports et les ruines de leurs maisons. Ce fut ainsi que Psammitichus se renditmaître de l'Égypte".L'Égypte et la Grèce étaient donc sans communication directe jusqu'à cette date.Ceci n'exclut pas �peut-être� quelques échanges commerciaux, limités donc uni-quement au commerce. On peut imaginer qu'à cette époque, entre les peuples,quels qu'ils soient, les seuls échanges qui avaient lieu étaient de nature commer-ciale ou guerrière. En autorisant les Grecs à s'installer en Egypte, en favorisantles échanges par la formation d'interprètes, Psammitichus avait-il conscience desretombées de ces échanges ?

77

carte de la Grèce antique


5.1 Thalès de Milet (env. -624, env. -548) et l'écoled'Ionie

Après, semble-t-il, un voyage d'études en Égypte ou Thalès de Milet estformé par les prêtres aux sciences égyptiennes et babyloniennes, il retourne enGrèce et fonde l'école ionienne où il enseigne les premiers éléments de géomé-trie, la sphéricité de la Terre, l'obliquité de l'écliptique et les vraies causes deséclipses de Lune et de Soleil qu'il savait prédire.

Le plus célèbre de � ses � théorèmes est abordé dans un chapitre précédant,nous ne l'aborderons dons pas plus en détail ici.

Pour Thalès de Milet la Terre est un disque plat qui �otte sur l'eau dans unebulle elle-même prise dans les eaux � du haut � (Cosmogonie que l'on trouvesur les plus anciens parchemins égyptiens) .

5.2 Anaximandre, Anaximène et Anaxagore

Tous trois sont de Milet.

Anaximandre (env. -610, env.-546) fut le premier à concevoir un modèle pu-rement mécanique de l'univers ou la Terre est suspendue et immobile - n'ayantaucune raison de se déplacer d'un coté plutôt que d'un autre - dans le ciel enutilisant des hypothèses non mythologiques.Il peut être considéré à ce titre comme le premier scienti�que et fondateur del'astronomie.On lui attribue aussi l'invention du gnomon et des cartes géographiques, maisceux-ci existaient probablement en Égypte avant Anaximandre.

Pour Anaximandre la Terre est cylindrique, le cercle du Soleil est 27 fois ce-lui de la Terre, et celui de la Lune 18 fois. Le Soleil est au plus haut, les cerclesdes étoiles �xes au plus bas.

Chez les anciens Grecs, l'ordre des sept planètes connues, du Soleil et de laLune, et des étoiles �xes a subi presque toutes les combinaisons possibles. Demême l'ordre des sept planètes entre-elles a aussi subi toutes les combinaisonspossibles. Concernant les planètes, il est aisé de comprendre les di�cultés ren-contrées alors, par contre l'ordre proposé par Anaximandre démontre que cen'était pas un grand observateur : En e�et la simple observation d'une éclipsede Lune montre que des étoiles sont occultées par le disque lunaire même si celuici est invisible. Le cercle des étoiles �xes ne peut être au plus bas.

Anaximène, (env. -585, -525) cloue les étoiles sur la voute céleste, en fai-sant les objets les plus éloigné de la Terre. C'est Anaximène qui démontre quela Lune reçoit la lumière du Soleil, et par là même explique les éclipses de Lune.

5.3. PYTHAGORE (ENV. -580, ENV. -495) 79

Pour lui la Terre la Lune et le Soleil sont des disques plats.

Anaxagore, (env.-500, env. -428), enseignant les mêmes hypothèses nonmythologiques de l'école d'Ionie, il fût condamné à mort par les Athéniens pouravoir détruit l'in�uence des dieux sur la nature, en réduisant les phénomènes àdes lois immuables.Ahh obscurantisme quand tu nous tiens...Il ne dût sa survie qu'à la protection que lui accorda son disciple Péricles com-muant la peine de mort initialement prononcée en bannissement pour lui-mêmeet ses enfants.Non partisan de la thèse naissante de l'atomisme il ne peut croire que l'être peutdisparaitre par division, il peut donc y avoir toujours plus petit.Il est le premier Grec à aborder le problème de la quadrature 4 du cerclePar ailleurs il prononce une phrase reprise bien plus tard par Lavoisier : "Rienne naît ni ne périt, mais des choses déjà existantes se combinent, puis se séparentde nouveau".

5.3 Pythagore (env. -580, env. -495)

Pythagore est le premier des penseurs Grec à se dé�nir � philosophe � :

De même, dans la vie, les uns sont esclaves de la gloire, les autres del'argent, mais d'autres, plus rares, observent avec soin la nature : Ce sonteux qu'on appelle amis de la sagesse, c'est-à-dire philosophes .

Le théorème certainement le plus connu de nos chères têtes blondesa2 = b2 + c2 (voir le chapitre sur les triangles rectangles) porte son nom.Même si la paternité de ce théorème ne lui en revient pas, il semble être le pre-mier à l'avoir démontré � uniquement pour les valeurs 3,4,5 semble-t-il � de cecoté de la Méditerranée.Il est intéressant de noter que les concepts de cet homme qui pensait que c'estune chose insensée de tenir compte de l'opinion du grand nombre soient fonda-teurs des concepts adoptés par la franc-maçonnerie - entres autres -.Mais la nous nous éloignons du sujet de cet ouvrage. Revenons-y.

Pour l'école pythagoricienne de Crotone, ou devrions-nous dire la secte politico-religieuse � pentagramme � héritière directe de l'école ionienne, tout est nombreet cela signi�e que les nombres sont le principe, la source et la racine de toutesles choses. Une vénération particulière est voué au nombre dix. Aristote dansLa Métaphysique dit des Pythagoriciens :

. . .Et toutes les concordances qu'ils pouvaient relever, dans les nombres etla Musique, avec les phénomènes du Ciel et ses parties et avec l'ordre del'Univers, ils les réunissaient et les faisaient entrer dans leur système ; et,

4. La quadrature n'est rien d'autre que le calcul d'une aire


si une lacune se révélait quelque part, ils procédaient en hâte aux additionsnécessaires pour assurer la complète cohérence de leur théorie. Par exemple,la Décade paraissant être un nombre parfait et embrasser toute la naturedes nombres, ils disent que les 10 Corps célestes en mouvement sont aunombre de dix ; mais comme les Corps visibles ne sont que neuf, pour cemotif ils en supposent un dixième, l'Antiterre... Or, à cet égard, il apparaîtqu'ils estiment, eux aussi, que le nombre est principe, à la fois commematière des êtres et comme constituant leurs modi�cations et leurs états.Les éléments du nombre sont le Pair et l'Impair ; le Pair est in�ni, l'Impair,�ni ; l'Un procède de ces deux éléments, car il est à la fois pair et impair,et le nombre procède de l'Un ; et l'ensemble du Ciel. . . �

Leur position est donc très dogmatique, ils arrangent l'observation a�n qu'ellecoïncide au dogme, et comme tout dogme, celui-ci les bridera, lorsque appa-raissent les nombres irrationnels dont ils sont les découvreurs.

Les nombres sont entiers, naturels et positifs, (voir le concept de monade). Lesnombres pairs, impairs, premiers et bien d'autres classi�cations... leurs sont fa-miliers, mais pas les nombres négatifs, ni les irrationnels. Le concept du zéroest absent. Le rapport de deux nombres entiers, les notions de puissance et derapports de puissance est commun.La musique -qui uni et coordonne- et l'astronomie sont des sciences soeurs. Leson est un déplacement d'air, et les fréquences des sons sont des vitesses di�é-rentes de déplacement de l'air.Sciences s÷urs, l'astronomie pythagoricienne recherche dans le ciel l'harmoniede la musique et place les planètes, la Lune et le Soleil sur 7 sphères de cristalcentrées sur le � foyer central �, disposées selon des intervalles de son bien pré-cis. Les planètes, la Lune et le Soleil ne peuvent se mouvoir qu'uniformémentet sur des cercles, LA �gure parfaite, et les notes de musique produite par leurrotation génère la musique des sphères, un accord parfait. La huitième sphère,la plus extérieure est la sphère des �xes et porte les étoiles.Cette recherche d'harmonie musicale dans le ciel se retrouvera aussi, bien plustard, chez Kepler dans son Harmonices Mundi (L'Harmonie du monde).

Tentant de résoudre � son � théorème pour un triangle rectangle de côtésunitaires, il ne peut avoir échappé à Pythagore que la solution en est

√2, et lui

même (ou était-ce Hippase de Métaponte) a démontré que ce nombre était irra-tionnel 5 c'est à dire qu'il ne pouvait s'écrire sous la forme de fraction de deuxnombres entiers (ou étaient-ce plus certainement les travaux du même Hippasesur le pentagone régulier � n'oublions pas que le pentagramme était le symbolede leur secte � et le rapport entre l'un de ses cotés et la diagonale qui leur fît

5. soit√2 = a

b, avec a et b premiers entre eux, c.-à.d. a

best irréductible. Il vient que

a2 = 2b2, donc a2 est pair car multiple de 2. Seul le carré d'un nombre pair peut être pair (unnombre impair de fois un nombre impair est impair). Posons a = 2c, il vient que b2 = 4c2,doit b = 2c. Donc b est pair ce qui n'est pas possible car a et b sont premiers entre-eux. Donc√2 ne peut pas s'écrire sous la forme a

b, c'est un nombre irrationnel.

5.3. PYTHAGORE (ENV. -580, ENV. -495) 81

prendre conscience de l'irrationalité de la proportion d'extrême et moyenne rai-son encore appelée nombre d'or ou divine proportion).Seule la date de cette découverte fait à peu près l'unanimité : vers −430.Toujours est-il que toute l'÷uvre de sa vie s'e�ondrait. Un discours toujourstenu n'a plus cours. Le nombre n'était plus tout. Quelque chose d'aussi simpleque la diagonale du carré unitaire n'était pas nombre au sens pythagoricien duterme.

Plutôt que de l'admettre et d'y trouver une stimulation nouvelle pour progresser,cette découverte fût cachée, avec interdiction aux Pythagoriciens d'y faire allu-sion (n'oublions pas qu'à l'époque l'instruction était orale et presque rien n'étaitécrit). Hippase de Métaponte pour ne pas avoir respecté ce silence, pour avoirrévélé l'existence de nombres irrationnels a été banni par les Pythagoriciens. Lalégende voudrait que ceux-ci l'aient noyé, ou amené à se noyer. Les m÷urs trèspaci�stes de cette secte sont en contradiction avec cette interprétation des versde Proclus au Ve siècle :

On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péridans un naufrage jusqu'au dernier, car l'inexprimable, l'informe, doit êtreabsolument tenu secret ; ceux qui l'ont divulgué et ont touché à cette imagede la vie ont instantanément péri et doivent rester éternellement ballottéspar les vagues.

Je pense que les mathématiciens Grecs ont manqué ici une opportunité ma-gni�que. A force de vouloir absolument classer les nombres en catégories, laracine de deux n'entre pas dans la plus simple de ces catégories : pair ou im-paire. De la même manière que l'Antiterre est crée pour porter à dix, puisqu'ilen fallait absolument dix, le nombres des corps célestes, de même les nombresirrationnels sont � annihilés � car ils ne rentrent dans aucune des classi�cationsque les pythagoriciens ont crées.Il leur aurait fallu en créer une nouvelle, qui certes a�aiblissait leur dogme etmettait en péril leurs croyances, mais aurait ouvert tant d'autres portes.Il me semble aussi que cela �ge les mathématiques alors à la géométrie, ou il estsi aisé de dessiner la diagonale d'un carré de coté unitaire, et pour longtemps :il faudra attendre Descartes.

Pythagore apporte également une connaissance connue à Babylone depuis -685environ : l'étoile du soir (celle qu'on voit en premier à la tombée de la nuit,Vesper) et l'étoile du matin (Lucifer ou Phosphore) sont une seule et même,c'est Vénus.

En�n, selon Eudème d'après Proclus [JKS p.78], ce sont les pythagoriciens quiont énoncé les théorèmes suivants :

� La sommes des angles d'un triangle vaut deux angles droits.

� Que de tous les polygones, seuls 3, à savoir le carré, le triangle équila-téral et l'hexagone, peuvent remplir l'espace autour d'un point (pavage


du plan), car 6 angles du triangle équilatéral sont égaux à 3 angles del'hexagone ou 4 angles droits

et ont conduit des recherches quant à la transformation des �gures ainsi queles relations entre les surfaces et les lignes.

Pour eux la Terre est sphérique au centre du monde.

5.4 Socrate (env. -470, env. -399)

N'apparait ici que comme référence temporelle.

5.5 Platon (env. -428, env.-348)

Pour Platon, pythagoricien, disciple de Socrate et fondateur du Lycée lemonde devait avoir une forme sphérique et le mouvement de tout corps célestedevait être circulaire et uniforme, c'est-à-dire à vitesse constante. Dans � Répu-blique �, Platon fait dire à Socrate

Certainement il faut considérer les ornements qui décorent la voute descieux comme ce qu'il y à de plus beau et de plus accompli dans leur ordre,cependant, comme ils appartiennent à l'ordre des choses visibles, il faut lesregarder comme bien inférieurs à ces véritables astres que là vraie vitesse etla vraie lenteur selon le vrai nombre et toutes les vraies �gures produisentdans leurs mouvements respectifs et dans ceux qu'elles impriment aux corpscélestes qui y sont attachés. Or, toutes ces choses échappent à là vue, ellesne peuvent-se saisir que par l'entendement et la pensée,et non par la vue. . ."

Il condamnait ainsi toute observation précise du mouvement des corps cé-lestes qui, dans son esprit, était une activité plus dégradante qu'exaltante. Si lesplanètes ne décrivent pas les formes parfaites (cercles), tel qu'il l'a�rme, c'estparce que les astronomes n'ont pas su voir ce qu'il y avait à voir.

En gros : "Je décrète comment est le monde, à vous de le démontrer". Cettesituation va perdurer jusqu'au xvie siècle, il est impensable de contredire So-crate. Encore un dogme . . .

5.6 Aristote (env. -384, env. -322)

Disciple de Platon et précepteur d'Alexandre le Grand, Aristote fait ad-mettre à nouveau la théorie du mouvement du Soleil autour de la Terre.Il va être le fondateur d'une astronomie qui perdurera près de deux millénairesà travers son Traité du Ciel dans lequel il divise le Cosmos en deux zones, l'unesublunaire, imparfaite périssable, soumise au changement, à la naissance et la

5.6. ARISTOTE (ENV. -384, ENV. -322) 83

la mort et composé des quatre éléments que sont la terre, le feu l'eau et l'air,l'autre supralunaire ou tout est parfait et uniquement composé d'éther : La per-fection de ce monde supralunaire impose aux corps de ce monde un mouvementparfait qui n'est autre que le cercle :

Il n'est pas moins conforme à la raison de supposer que le corps doué dumouvement circulaire est incréé, qu'il est impérissable, et qu'il n'est pointsusceptible d'accroissement ni de changement,

Si donc le corps qui a le mouvement circulaire ne peut ni recevoir d'ac-croissement ni subir de dépérissement, il est tout simple de penser qu'il nepeut pas non plus éprouver d'altération quelconque. . .[ce corps] est éternel,sans accroissement ni dépérissement, à l'abri de la vieillesse, de l'altéra-tion, et de toute modi�cation quelle qu'elle soit. . .

. . .or le corps qui se meut circulairement n'a pas de principe d'où il soitvenu. Si donc il y a un corps qui ne soit pas susceptible d'accroissementni de destruction, la conséquence à tirer de cette même remarque, c'estque ce corps n'est pas davantage susceptible d'altération ; car l'altérationest un mouvement dans la qualité. Or, les habitudes, les dispositions de laqualité ne peuvent pas se produire sans des changements dans les modi�-cations qu'elle subit ; et je cite par exemple la santé et la maladie. Mais,nous voyons que les corps naturels qui changent en subissant des modi�ca-tions, éprouvent tous soit accroissement, soit dépérissement ; et tels sont,par exemple, les corps des animaux et les parties qui les composent, cellesdes plantes et celles mêmes des éléments.

Pour Aristote, l'univers forme 55 sphères concentriques portant les 6 pla-nètes connues, la Terre immobile est le centre de l'univers.A partir d'Aristote, tous - ou presque - les astronomes vont chercher à expliquerleurs observations en n'imprimant aux objets observés que des mouvement circu-laires, en y apportant certes des complications supplémentaires (pour expliquerles variations apparentes de luminosité des planètes, ou les � rebroussements dechemin �) à l'aide d'épicycles et d'équants et en conservant la Terre immobileau centre de l'univers.


5.7 Euclide (env. -325, env. -265)

Rédacteur des Éléments au Musée d'Alexandrie, il fût le fondateur de l'en-seignement des mathématiques dans cette nouvelle école. Tout son mérite estd'avoir, sortant des écoles d'Athènes, réuni dans un ouvrage unique l'ensemblede la science grecque de son temps, avec plus de richesse, de clarté et de mé-thode que cela n'avait été fait jusqu'alors. Ses Élements étaient à l'époque lemanuel le plus complet d'arithmétique et de géométrie (domaine dans lequel ilperfectionne ou complète les démonstrations de ses prédécesseurs) qui ait jamaisété écrit, contribuant par la-même à la disparition des écrits antérieurs.Ses Éléments comprennent treize livres dont les six premiers traitent des �guresplanes, les quatre suivants arithmétiques, traitent des propriétés des nombres eten�n les trois derniers traitent des plans et des solides.Le livre premier débute par 35 dé�nitions (� Le point est ce qui n'a aucunepartie. . . �) trois demandes ou postulats (� Conduire une droite d'un point quel-conque à un point quelconque. . . �) et 12 notions communes ou axiomes (� Lesquantités qui sont égales à une même quantité sont égales entr'elles. . . �). S'ensuivent des propositions sous forme de problème, quelquefois accompagnéesde théorème(� Sur une droite donnée et �nie, construire un triangle équila-téral. . . �). Il y introduit la réduction à l'absurde qui consiste à admettre pro-visoirement comme vraie la proposition contradictoire du théorème énoncé, àen déduire une suite de conséquences, qui conduisent à un résultat évidemmentincompatible avec les vérités connues.

En astronomie, Euclide qui n'était pas un observateur, ne fait que de démontrerdans ses Phénomènes ce que d'autres enseignaient déjà.

Pour illustrer la démarche suivie par Euclide dans les Éléments, je voudraisprendre un exemple que Ptolémée n'ignorait certainement pas lorsqu'il a établisa table des cordes (voir le paragraphe consacré à Ptolémée). Cet exemple est laproposition 11 du livre IV, dont la démonstration nécessite la connaissance despropositions 10.IV, 2.IV, 9.I, 26.III, 27.III et 11.II qui sont démontrées dans lesÉléments avant la proposition 11 du livre IV, ce qui sera fait ici aussi en partie.

Mais auparavant quelques explications concernant les termes employés s'avèrentnécessaires :

� Lorsque Euclide dit � le rectangle compris sous les droites AB,BC �, ilne sous-entend aucunement qu'un rectangle soit construit, il veut sim-plement exprimer le produit de |AB| par |BC|.

� Lorsque Euclide utilise le terme de � droite � il nous faut comprendre� segment de droite �

On pourra aussi apprécier ce que le formalisme à apporté à l'écriture ma-thématique : Á ceux qui a�rment qu'il est plus aiser de retenir une phrase, unpoème, qu'une formule mathématique, je dirais qu'il me semble que retenir

5.7. EUCLIDE (ENV. -325, ENV. -265) 85

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 est plus facile que

� Si une droite est partagée d'une manière quelconque en deux partie, le carréconstruit sur la droite entière est égale aux carrés formés sur les deux segmentset au double du rectangle compris sous ces deux segments �.Peut-être que je me trompe.

Nous commencerons par la proposition 6 du livre II :

Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute, di-rectement une droite quelconque, le rectangle compris sous une droite com-posée de la première droite et de la droite ajoutée, et sous la droite ajoutée,avec le carré de la moitié de la première droite, est égal au carré d'unedroite composée de la moitié de la première droite et de la droite ajoutée.

Qu'une ligne droite quelconque AB (�g. 5.1) soit coupée en deux partieségales au point C ; qu'on lui ajoute directement une droite quelconque BD :je dis que le rectangle compris sous AD,DB avec le carré de la droite CBest égal au carré de CD.

A comprendre de la sorte : AD ·DB + CB2 = CD2

Euclide propose ici une démonstration géométrique de l'identité remarquable(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

(qu'il a déjà démontré dans la proposition 4 du même livre).

En e�et, avec les dé�nitions précédentes, si l'on pose :

a = AB et b = BD il vient que AD = a+ b et CB =a

2et l'équation AD.DB + CB2 = CD2 devient :

(a+ b)b+(a

2

)2=(a

2+ b)2

soit ab+ b2 +(a

2

)2=(a

2+ b)2

ou l'on reconnait l'identité remarquable (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 en posant

x =a

2et y = b

Voici comment il s'y prend :

Sur la droite CD décrivez le carré CEFD (prop.46.1) ; conduisez la droiteDE ; par le point B conduisez la droite BHG parallèle à l'une ou à l'autredes droites CE,DF (prop.31.1) ; par le point H conduisez la droite KLMparallèle à l'une ou à l'autre des droites AD,EF , et en�n par le point Aconduisez la droite AK parallèle à l'une ou à l'autre des droites CL,DM .


A BC D

E F

KM

G

HL

N O

P

Figure 5.1 � Figure de la proposition 6 du livre 2

Puisque la droite AC est égale à la droite CB, le rectangle AL sera égalau rectangle CH (prop.36.1) ; mais le rectangle CH est égal au rectangleHF (prop.43.1) : donc le rectangle AL sera égal au rectangle HF ; donc sinous ajoutons à chacun de ces rectangles le rectangle CM , le rectangle totalAM sera égal au gnomon a NOP ; mais le rectangle AM est compris sousles droites AD,DB, car DM est égal à DB (corrol.4.2) ; donc le gnomonNOP est égal à un rectangle qui est compris sous les droites AD,DB ; doncsi nous ajoutons à chacune de ces deux quantités le carré LG qui est égal aucarré construit sur CB, le rectangle compris sous les droites AD,DB avecle carré construit sur BC sera égal au gnomon NPO et au carré LG. Maisle gnomon NPO et le carré LG composent le carré total CEFD qui estconstruit sur CD : donc le rectangle compris sous AD,DB avec le carréconstruit sur BC est égal au carré construit sur CD. Donc si une lignedroite est coupée en deux parties égales et si on lui ajoute directement unedroite quelconque qui ait la même direction, le rectangle compris sous unedroite composée de la première ligne droite et de la droite ajoutée, et sousla droite ajoutée, avec le carré de la moitié de la première ligne droite, estégal au carré d'une droite composée de la moitié de la première ligne droiteet de la droite ajoutée ; ce qu'il fallait démontrer.

a. Pour Euclide, le gnomon est la �gure qu'il convient d'ajouter au plus petit de deuxpolygones semblables pour obtenir le plus grand. Pour 2 carrés coordonnés par un deleurs angles, ce gnomon est en forme d'équerre. Dans la �gure ci dessus, le gnomon NOPest l'accroissement d'aire nécessaire du carré LEGH pour égaler l'aire du carré CEFD.le gnomon NOP est donc l'aire de HGFM + Aire de BHMD + Aire de CLHB.

Continuons avec la proposition 11 du livre II :

Partager une droite donnée de manière que le rectangle compris sous ladroite entière et l'un de ses segments, soit égal au carré de l'autre segment.

Soit AB (�g. 5.2) la droite donnée : il faut partager la droite AB de ma-nière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un de ses segments,

5.7. EUCLIDE (ENV. -325, ENV. -265) 87

soit égal au carré de l'autre segment.

Il s'agit ici d'un autre moyen de partager un segment en extrême et moyenneraison :Soit un segment AB partagé en deux parties de longueur a et b.Sa façon de faire garanti à Euclide que a < b.Il réalise le partage et extrême et moyenne raison : (a+ b)a = b2 soit encore

(a+ b)

b=

b

aen partageant un segment de longueur 2x en deux segments de

longueur a = x(3−√

5) et b = x(√

5− 1) véri�ant

a+ b = x(3−√

5) + x(√

5− 1) = 2x

et

a+ b

b=

2x

x(√

5− 1)=

2√5− 1

=x(√

5− 1)

x(3−√

5)=b

a

en e�etx(√

5− 1)

x(3−√

5)=x(√

5− 1)(√

5 + 1)

x(3−√

5)(√

5 + 1)=

4

2(√

5− 1=

2√5− 1

.

Voici comment il s'y prend :

Sur la droite AB décrivez le carré ABDC (prop. 46. I), partagez la droiteAC en deux parties égales en E (prop. 10. I), et menez la droite BE ;ayant prolongé ensuite la droite CA vers F , faites la droite EF égale à ladroite BE (prop. 3. I), décrivez sur AF le carré FH, et prolongez la droiteGH vers K : je dis que la droite AB est partagée en H de manière que lerectangle compris sous AB et BH est égal au carré de AH.

Puisque la droite AC est coupée en deux parties égales en E, si nous luiajoutons directement la droite AF , le rectangle compris sous les droites CF ,FA et le carré de AE, pris ensemble, seront égaux au carré de EF (prop. 6.II) ; mais la droite EF est égale à la droite EB : donc le rectangle comprissous CF , FA et le carré de AE, pris ensemble, sont égaux au carré deEB ; mais les carrés de BA, AE sont égaux au carré de EB (prop. 47. I),car l'angle BAE est droit ; donc le rectangle compris sous CF , FA avecle carré de AE est égal aux carrés de BA, AE. Donc, si on retranche lecarré de AE qui est commun, le rectangle compris sous CF , FA sera égalau carré de AB ; mais le rectangle FK est compris sous les droites CF ,FA, puisque la droite AF est égale à la droite FG, et le carré de AB estégal au carré AD : donc le rectangle FK est égal au carré AD : donc, sil'on-retranche le rectangle commun AK, le carré FH sera égal au rectangleHD ; mais le rectangle HD est compris sous les droites AB, BH, puisque


AB

CD

E

F

H

G

K


AB est égal à BD et que FH est le carré de AH : donc le rectangle comprissous AB, BH sera égal au carré de AH.Donc la droite AB est coupée au point H, de manière que le rectanglecompris sous AB, BH est égal au carré de AH ; ce qu'il fallait faire.

Continuons avec la proposition 32 du livre III qui est particulièrement in-compréhensible sans les explications. Euclide y démontre que les deux angles αet les deux angles β de la �gure 5.3 sont égaux entre-eux :

Si une droite touche la circonférence d'un cercle, et si du point de contacton conduit une corde, les angles que cette corde fait avec la tangente serontégaux aux angles qui sont placés dans les segments alternes du cercle.

Que la droite EF (�g.5.3) touche la circonférence du cercle ABCD au pointB, et que du point B soit conduite la corde BD d'une manière quelconque :je dis que les angles que la corde BD fait avec la tangente EF sont égauxà ceux qui sont compris dans les segments alternes du cercle ; c'est-à-direque l'angle FBD est égal à l'angle compris dans le segment DAB, et quel'angle EBD est égal à l'angle qui est compris dans le segment DCB.

D'un point B conduisez la droite BA perpendiculaire sur EF (prop. 11.I), et dans l'arc BD prenez un point quelconque C et menez les cordes AD,DC, CB. Puisque la droite EF touche la circonférence du cercle ABCDau point B, et que la droite BA a été menée du point de contact B per-pendiculaire sur la tangente EF , le centre du cercle ABCD sera placé surla droite BA (prop. 19. III) : donc l'angle ADB, compris dans le demi-

5.7. EUCLIDE (ENV. -325, ENV. -265) 89

A

B

C

D

E F

α

α

β

β

Figure 5.3 � Figure de la proposition 32 du livre III

cercle, est droit (prop. 31. III) : donc les angles restants BAD, ABD sontégaux à un angle droit ; mais l'angle ABF est droit par construction : doncl'angle ABF est égal aux angles BAD, ABD (ax. 10) : donc si on retranchel'angle commun ABD, l'angle restant DBF est égal à celui qui est comprisdans le segment alterne du cercle, c'est-à-dire à l'angle BAD. Actuellement,puisque le quadrilatère ABCD est inscrit dans le cercle, ses angles opposéssont égaux à deux droits (prop. 22. III) : donc les angles DBF , DBE se-ront égaux aux angles BAD, BCD (prop. 13. I) ; mais on a démontré quel'angle BAD est égal à l'angle DBF : donc l'angle restant DBE sera égalà celui qui est compris dans le segment alterne du cercle DCB, c'est-à-direà l'angle DCB.Donc si une droite touche la circonférence d'un cercle, et si du point decontact on conduit une corde, les angles que cette corde fera avec la tan-gente seront égaux à ceux qui sont compris dans les segments alternes ; cequ'il fallait démontrer.

Continuons avec la proposition 10 du livre IV :

Construire un triangle isocèle qui ait chacun des angles de sa base doubledu troisième angle.

Soit la droite AB (Fig. 5.4) ; que cette droite soit coupée en un point Cde manière que le rectangle compris sous les droites AB,BC soit égal aucarré de CA (prop. 11. II) ; du centre A et avec l'intervalle AB décrivezla circonférence BDE (dem. 3) ; dans le cercle BDE menez la corde BDégale à la droite AC qui est moindre que le diamètre de ce cercle (prop.1. IV), et ayant conduit les droites DA,DC, circonscrivez la circonférenceACD autour du triangle ACD (prop. 5. IV).


Les lignes en traits interrompus dans la �gure 5.4 servent uniquement à laconstruction de la �gure selon les propositions non démontrées dans ce chapitre.

Appelons α l'angle DAB, dans ce triangle 5α =π

2Donc α =

π

10soient encore 36�

Euclide nous apprend donc dans cette proposition à tracer un angle de 36�etde 72�. Ceci va être prépondérant pour tracer des pentagones et des décagonesréguliers inscrits dans un cercle, puis pour les tables de cordes établies par Pto-lémée. Nous y reviendrons.

Nous admettrons à ce stade la proposition 37.III (réciproque de la proposi-tion 36.III) :

Si l'on prend un point quelconque hors d'un cercle, et si de ce point onmène deux droites dont l'une coupe le cercle et dont l'autre tombe sur sacirconférence, et si le rectangle compris sous la sécante totale et le segmentextérieur intercepté entre ce point et tare convexe est égal au carré de ladroite qui tombe sur la circonférence, cette dernière droite sera tangente àla circonférence.

A

B

D

C


Revenons à la proposition 10 du livre IV :

5.7. EUCLIDE (ENV. -325, ENV. -265) 91

Puisque le rectangle compris sous les droites AB,BC est égal au carré dela droite AC et que la droite AC est égale à la droite BD, le rectangle com-pris sous les droites AB,BC sera égal au carré de BD : puisque le pointB est pris hors du cercle ACD et que du point B on a mené un cercleACD, les droites BCA,BD, dont l'une coupe le cercle et dont l'autre nele coupe point, et puisque le rectangle compris sous les droites AB,BC estégal au carré de BD, la droite BD sera tangente au cercle ACD (prop.37. III). Donc, puisque la droite BD est tangente et que la corde DCa été menée du point de contact D, l'angle BDC sera égal à celui quiest compris dans le segment alterne du cercle, c'est-à-dire à l'angle DAC(prop. 32. III). Mais, puisque l'angle BDC est égal à l'angle DAC, si nousajoutons un angle commun CDA, l'angle total BDA sera égal aux deuxangles CDA,DAC. Mais l'angle extérieur BCD est égal aux deux anglesCDA,DAC (prop. 32. I) : donc l'angle BDA est égal à l'angle BCD ;mais l'angle BDA est égal à l'angle CBD (prop. 5. I), puisque le côté ADest égal au côté AB : donc l'angle DBA sera égal à l'angle BCD : doncles trois angles BDA,DBA,BCD sont égaux entre eux ; et puisque l'angleDBC est égal à l'angle BCD, le côté BD sera égal au côté DC (prop. 6.I) ; mais le côté BD est supposé égal au côté CA : donc le côté AC est égalau côté CD : donc l'angle CDA est égal à l'angle DAC (prop. 5. I) : doncles angles CDA,DAC, pris ensemble, sont double de l'angle DAC ; maisl'angle BCD est égal aux angles CDA,DAC (prop. 32. I) : donc l'angleBCD est double de l'angle DAC ; mais l'angle BCD est égal à chacundes angles BDA,DBA : donc chacun des angles BDA,DBA est double del'angle DAB.Donc on a construit un triangle isocèle ADB, dont chacun des angles desa base BD est double du troisième angle ; ce qu'il fallait faire.

Et nous pouvons en�n aborder la proposition 11 du livre IV :

Dans un cercle donné, inscrire un pentagone, équilatéral et équiangle.

Soit ABCDE (�g. 5.5) le cercle donné : il faut inscrire dans ce cercleun pentagone équilatéral et équiangle.Soit le triangle isocèle FGH, ayant, chacun des angles de sa base G,Hdouble de l'angle F (prop. 10. IV). Inscrivez dans le cercle. ABCDE untriangle ACD équiangle avec le triangle FGH (prop. 2. IV), de manièreque l'angle CAD soit égal à l'angle F , et de manière que chacun des anglesACB,CDA soit égal à chacun des angles G,H qui sont placés sur la baseGH. Chacun des angles ACD,CDA sera double de l'angle CAD. Parta-gez chacun des angles ACD,CDA en deux parties égales par les droitesCE,DB (prop. 9. I), et menez les droites AB,BC,DE,EA.


A

EB

C D

G H

F


Puisque chacun des angles ACD,CDA est double de l'angle CAD, etque chacun de ces angles est coupé en deux parties égales par les droitesCE,DB, les cinq angles DAC,ACE,ECD,CDB,BDA sont égaux en-tr'eux ; mais des angles égaux sont appuyés sur des arcs égaux (prop. 26.III) : donc les cinq arcs AB,BC,CD,DE,EA sont égaux ; mais des cordeségales sous-tendent des arcs égaux (prop. ag. III) : donc les cinq cordesAB,BC,CD,DE,EA sont égales entre elles : donc le pentagone ABCDEest équilatéral. Je dis qu'il est aussi équiangle ; car puisque l'arc AB estégal à l'arc DE, si l'on ajoute un arc commun BCD, l'arc total ABCDsera égal à l'arc total EDCB. Or l'angle AED est appuyé sur l'arc ABCDet l'angle BAE est appuyé sur l'arc EDCB : donc l'angle BAE est égalà l'angle AED (prop. 27. III) ; par la même raison chacun des anglesABC,BCD,CDE est égal à chacun des angles BAE,AED : donc le penta-gone ABCDE est équiangle ; mais il a été démontré, qu'il est équilaté-ral. Donc dans un cercle donné, on a inscrit un pentagone équilatéral etéquiangle ; ce qu'il fallait faire.

5.8. ARCHIMÈDE (ENV. -287, ENV. -212) 93

5.8 Archimède (env. -287, env. -212)

Célèbre géomètre - et très certainement meilleur géomètre qu'Euclide- et mé-canicien de génie, Archimède est à mon sens un des génies des mathématiques.Sans vouloir le moins du monde minimiser les travaux d'Euclide, je trouve dansla lecture des travaux d'Archimède cette petite étincelle, ce petit plus, qui dif-férencie le mathématicien, certes rigoureux et méthodique qu'était Euclide, dugénial Archimède.A mon sens, Euclide était encore très platonicien, ses Éléments sont plus untravail de synthèse, une structuration de savoirs existants certes ordonnés dansune progression magistrale et sans précédant. Archimède quant à lui, invente,innove, est à deux doigts de dé�nir les notions de limites et peut-être mêmed'intégrale, quand pour calculer le volume de la sphère, il dessine un cercle etun polygone inscrit puis fait tourner les deux pour que le cercle décrive unesphère et observe ce que décrit le polygone. Ses travaux en mécanique n'y sontcertainement pas étranger.Il ne sera pas réitérer pour Archimède ce qui a été fait pour Euclide, à savoirque les quelques propositions énoncées ici, ne seront pas accompagnées des dé-monstrations d'Archimède, elles ne seront que traduites et � démontrées � dansun langage mathématique plus moderne même si ces � démonstrations � pré-supposent déjà connus certains résultats ignorés d'Archimède. Ces propositionssont issues de � De la sphère et du cylindre � et de � De la mesure du cercle �que je vous invite vivement à lire.Dans � De la sphère et du Cylindre � il démontre :

Proposition XXIV

Un cylindre qui à une base égale à un grand cercle de la sphère, et unehauteur égale au diamètre de cette même sphère, est égal à trois fois lamoitié de la sphère.

Soit : Un cylindre de diamètre D et de hauteur D est de volume3

2du volume

d'une sphère de diamètre D.Ou encore avec nos connaissance modernes :VCyl = 2πrh avec r le rayon de la base et h la hauteur du cylindre

Si, comme l'impose Archimède h = 2r, VCyl = 4πr3 or VSphere =4

3πr3 soit

VCyl =3

2VSphere.

Proposition XXXVI

Une sphère quelconque est quadruple d'un cône qui a une base égale à


Figure 5.6 � Relation entre le volume de la sphère et du cylindre

un grand cercle de cette sphère et une hauteur égale au rayon de cette mêmesphère.

Soit : Un cône dont la base est de rayon r et de hauteur ce même rayon estdu quart du volume d'une sphère de même rayon.Ou encore avec nos connaissance modernes :

Vcone = πr3

3et VSphere =

4

3πr3.

Avec ces 2 propositions Archimède a démontré que le volume d'un cylindrede rayon r et de hauteur 2r est égal au volume du � sablier � formé par deuxcônes chacun de rayon de base r et de hauteur r plus le volume d'une sphère derayon r.Ou encore : Le volume d'un cylindre rayon r et de hauteur 2r évidé du � sa-blier � formé par deux cônes chacun de rayon de base r et de hauteur r est égaleau volume de la sphère � inscrite parfaitement dans le cylindre � de rayon r.La �gure 5.6 résume cette propriété.

Proposition XXXV

La surface d'une sphère quelconque est quadruple d'un de ces grandscercles.

Ou encore avec nos connaissance modernes :

ASphere = 4πr2 or AgrandCerle = πr2 donc ASphere = 4AgrandCerle.

Proposition XXXVII

Ces choses étant démontrées, il est évident que tout cylindre qui a unebase égale à un grand cercle d'une sphère et une hauteur égale au diamètre

5.8. ARCHIMÈDE (ENV. -287, ENV. -212) 95

de cette sphère, est égal à trois fois la moitié de cette sphère, et que lasurface de ce cylindre, les bases étant comprises, est aussi égale à trois foisla moitié de la surface de cette même sphère.

Proposition XLVIII

La surface d'un segment sphérique quelconque plus petit que la moitiéde la sphère, est égale à un cercle qui a pour rayon une droite menée dusommet du segment à la circonférence de cercle qui est la base du segment.

Ou encore avec nos connaissance modernes :(La �gure 5.7 en page 96 représente la Proposition XLVIII.)ACalotte = πd2.Aujourd'hui la formule retenue est ACalotte = 2πrh avec h étant la hauteur dela calotte et r, le rayon de la sphère.Il convient de démonter que d2 = 2rh.En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles Oo′c et o′cs il vient :

d2 = h2 + x2 (5.1)

etr2 = (r − h)2 + x2 (5.2)

soit encore

r2 = r2 − 2rh+ h2 + x2 or h2 + x2 = d2 soit 0 = −2rh+ d2

soit encore d2 = 2rh. CQFD

En�n je tiens à mentionner Archimède pour ses travaux en arithmétiques.Archimède imagine dans son traité intitulé l'Arenaire,[refBiblio] un système

de numérotation, quoi que bien loin du système déjà utilisé en Inde, reposantsur une progression arithmétique � de premier terme 0 et de raison 1 � et uneprogression géométrique � de premier terme 1 et de raison 10 � qui aurait pudonner aux Grecs ce qui manquait cruellement à leur arithmétique.

5.8.1 L'arithmétique chez les Grecs anciens

Il convient ici de faire une petite parenthèse pour rappeler les quelques no-tions de l'arithmétique des Grecs anciens qui nous sont parvenues (Ref bilioDeLArithetiqueDesGrecs).Comme la plupart des peuples de l'époque, les Grecs utilisaient les lettres deleur alphabet, associées à quelques autres signes, pour représenter leurs chi�res.A�n de pouvoir compter jusqu'à mille, il leur fallait 9 symboles pour les unités,


Figure 5.7 � Calotte sphérique

neuf symboles pour les dizaines et 9 symboles pour les centaines. Soient 27 sym-boles, que l'alphabet grec ne comportait pas. Trois épisemons furent ajoutés àl'alphabet :

� le digamma pour 6 (le symbole digamma ne m'est accessible qu'en ma-juscule : z, en minuscule il ressemble à un C cédille di�érent de sigma :ς).

� le koppa pour 90 (le symbole koppa ne m'est pas accessible, il ressembleà un 4).

� le sampi ou sanpi pour 900 (le symbole sampi ne m'est pas accessible, ilressemble à un symbole Euro, retourné).

Ces lettres employées en tant que chi�re étaient surlignées a�n de les distinguerdes lettres employées en tant que lettre.

Cela donne, en omettant le sur-lignage, pour les unités :

α β γ δ ε z ζ η θ1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pour les dizaines, ils continuaient dans l'alphabet :

ι κ λ µ ν ξ o π koppa10 20 30 40 50 60 70 80 90

De même pour les centaines :

ρ σ τ υ φ χ ψ ω sampi100 200 300 400 500 600 700 800 900

C'était donc là tous leurs chi�res.

38 s'écrivait donc 30 + 8 = λν, 580 = 500 + 80 : φπ .Pour les milliers ils utilisaient à nouveau les symboles des unités en y adjoignant

un ι souscrit, soit 1000 :α

ι, mais sans le trait de fraction, voire même ils rem-

5.9. ARISTARQUE DE SAMOS ( ENV. -310, ENV. -230) 97

plaçaient le ι par un simple trait.Le nombre maximum représentable à l'aide de ces symboles est bien évidem-

ment 9999, soitθ

ι[sampi][koppa]θ (toujours sans le trait de fraction).

Y ajouter un vaut chez le anciens Grecs une myriade.Cette limite d'une myriade-1 leur était vraisemblablement trop petite, ils ontdonc inventé une nouvelle représentation pour la multiplication par 10000.De même que le ι souscrit aux unités représentait une multiplication par 1000

de cette unité, unM souscrit représentait une multiplication par 10000, soitα

Mreprésentait 10000 (toujours sans le trait de fraction), à la di�érence près que ce

M pouvait être placé sous un nombre :ξδ

Mreprésente 37 x 10000 soit 370000.

Grâce à cette nouvelle représentation, les Grecs ont repoussé le nombre maxi-mum représentable par leur arithmétique jusqu'à 99999999 (108 − 1), mais ilsconservaient une limite qui devait leur paraître su�samment grande pour êtreacceptable.

Il nous est di�cilement concevable aujourd'hui, d'imaginer qu'il existe une tellelimite, un nombre auquel, si on ajoute une unité, donne un résultat qu'on nesait simplement pas écrire.Ceci explique peut-être aussi le fait que la notion d'in�ni était étrangère auxanciens Grecs.

C'est en connaissant ces limites que l'on perçoit le génie d'Archimède quandil propose un système permettant de ... dénommer des nombres qui excèdent lenombre des grains compris dans un volume de sable égal... à l'univers entier,...dont le diamètre est plus petit que cent myriades de myriades de stades..

5.9 Aristarque de Samos ( env. -310, env. -230)

Aristarque de Samos calcule - à une époque ou les grecs ne disposaient pasencore de notions de trigonométrie, telles qu'entendues aujourd'hui - le diamètrede la Lune, la distance Terre-Lune et la distance Terre-Soleil.

Il est très intéressant de lire Aristarque pour se rendre compte comment étaientréalisés les calculs dans la Grèce antique et à quel point des connaissances tri-gonométriques eussent simpli�é ses calculs.

Cherchant à exprimer ce nous appellerions aujourd'hui la tangente de 87�soittan(87), Aristarque parvient à en donner, dans sa proposition VIII, un encadre-ment relativement précis uniquement basé sur la géométrie d'Euclide.

Nous nous attarderons dans ce chapitre sur cet encadrement.Dans son Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil à la Lune[RefBiblio],


Aristarque de Samos énonce six hypothèses et émet 19 propositions :

1. La lune reçoit sa lumière du soleil.

2. La terre peut être considérée comme un point, et comme le centre del'orbite de la lune.

3. Lorsque la lune nous paraît dikhotome (coupée en deux portionségales), elle o�re à nos regards son grand cercle, qui détermine lapartie éclairée et la partie obscure de cet astre.

4. Lorsque la lune nous paraît dikhotome, sa distance du soleil estmoindre du quart de sa circonférence, de la trentième partie de cequart.

5. La largeur de l'ombre est de deux lunes.

6. L'arc sous-tendu dans le ciel par la lune est le quinzième d'un signe.

J'utiliserai à partir de ce chapitre � sauf mention contraire � les abréviationssuivantes :

� T : Terre, DT : Diamètre de la Terre, dTL : Distance TL� L : Lune, DL : Diamètre de la Lune� S : Soleil, DS : Diamètre du Soleil, dTS : Distance TS

Commençons par exprimer dans un langage plus contemporain certaines de seshypothèses :

Hypothèse 4 : Lorsque la lune nous paraît dikhotome l'angle LTS vaut1

4de

360�-1

30de

1

4de 360�, soit 90�- 3�= 87�. Sur la �gure 5.8, le Soleil n'est

pas représenté, il est hors de la feuille, très à droite. L'angle TLS est un angledroit puisque la lune est dikhotome.

Hypothèse 6 : Les douze signes du zodiaque représentent 360�, soient 30�parsigne, donc l'arc sous-tendu dans le ciel par la lune est de 2�.

5.9.1 Proposition VIII

La distance à laquelle le soleil se trouve de la terre est plus grande dix-huitfois, mais moindre de vingt fois que celle à laquelle la lune se trouve de laterre.

Avec nos connaissance en trigonométrie (� cos = adjacenthypothnuse �), il vient im-


Figure 5.8 � Hypothèse IV très exagérée. Le Soleil est � loin � à droite

médiatement : Le soleil est à1

cos(87)fois la distance Terre-Lune, soit environ

19,107 fois cette distance. Une toute petite ligne de calcul nous donne le résultat.

Voici comment Aristarque de Samos obtient un tel encadrement de cette va-leur (�gure 5.9) :

B

A

D

C E

Figure 5.9 � Proposition VIII - L'angle EBD est très exagéré

Soit A le centre du soleil, et B le centre de la terre ; que la ligne AB, quijoint ces deux centres, soit prolongée ; que le centre de la lune, dans sa di-khotomie, soit C. Par AB et C, je fais passer un plan dont la section avec lasphère, dans laquelle se meut le centre du soleil, sera un grand cercle ADE.Soient tirées les lignes AC et BC, et soit prolongée BC jusqu'en D.Puisquele point C est le centre le la lune dans sa dikhotomie, l'angle ACB seradroit. Du centre B je tire sur AB la perpendiculaire BE. L'arc DE sera


conséquemment la trentième partie de l'arc ADE. En e�et, l'une de nos hy-pothèses (la quatrième) est que la lune dans sa dikhotomie, est éloignée dusoleil d'un quart de la circonférence, moins la trentième partie de ce quart ;donc l'angle CBE est aussi la trentième partie d'un ange droit.

Soit A le centre du soleil, et B le centre de la terre. Traçons le cercle Ce, decentre B et de rayon AB. Soit C le centre de la Lune dans sa dikhotomie.Soit BD le rayon de Ce passant par C, et BE le rayon de Ce perpen-diculaire à AB. AC est perpendiculaire à BD, car la Lune est dans sadikhotomie. L'angle EBD mesure 3�selon l'hypothèse 4 (voir �gure 5.10).

B

A

CE

F

G

H

Figure 5.10 � Proposition VIII - L'angle EBD est exagéré

Soit achevé le parallélogramme AE, et soit tirée la diagonale BF ; l'angleEBF sera la moitié d'un angle droit ; que cet angle EBF soit coupé en deuxparties égales par la ligne BG ; l'angle EBG sera conséquemment le quartd'un angle droit. Mais l'angle DBE est la trentième partie d'un angle droit ;donc la proportion de l'angle EBG à l'angle DBE, est celle des nombre 15et 2. En e�et, si l'angle droit est divisé en 60 parties, l'angle EBG en aurait15, et l'angle DBE 2 ;

Ici Aristarque à besoin d'introduire un angle plus grand que l'angle EBH

et dont il connait la tangente. Il utilise l'angle 22,5�(π

8), dont le calcul de la

tangente sera explicité par la suite. Il démontre donc que :EBG

DBE=

22.5

3=

15

2.(Plus immédiat avec

45

6)

et puisque le rapport de EG à EH est plus grand que celui de l'angle EBGà l'angle DBE, celui de EG à EH sera plus grand que ceui de 15 à 2.


Le point H n'est pas dé�ni dans le texte d'Aristarque de Samos mais estreprésenté sur la �gure jointe au texte. De même, ce n'est qu'avec la �gure quel'on comprend que le point G n'est pas sur le cercle Ce, mais sur la droite EF .EH = tan(EBH) et EG = tan(EBG).Il est remarquable de lire ici qu'Aristarque de Samos, et visiblement ses contem-porains, puisqu'il ne se donne pas la peine de le démontrer, savaient déjà que latangente croît plus vite que l'angle (en e�et (tan(α))′ = 1 + tan2(α) > 1 pour

α 6= 0). DoncEG

EH>

15

2.

Or BE est égale à EF, et l'angle en E est droit ; ainsi le carré construitsur BF est le double du carré construit sur BE.

Dans un carré la diagonale vaut√

2 x coté, donc diagonale2 = 2 x coté2.

Mais on à cette proportion : comme le carré construit sur BF est au carréconstruit sur BE, ainsi le carré construit sur FG est au carré construit surEG. Ainsi le carré construit sur FG sera double de celui construit sur EG.

Ici faut démontrer queFG

GE=√

2, sans aucune formule trigonométrique

(les formules reliant tan(α) à tan(α

2) nous aideraient bien). Notons que GE =

tan(π

8).

En partant du rapport entre la diagonale du carré et son coté et du fait que

l'angle formé par la diagonale et un coté adjacent vautπ

4, la tangente de

π

8est

calculée de la sorte :

π

4

1

1√ 2

Figure 5.11 � La diagonale du carré unité vaut√

2

Positionnons un triangle isocèle dont les deux cotés égaux mesurent√

2 dansun rectangle de longueur

√2 et de largeur 1 de sorte que l'un des cotés du tri-

angle forme la longueur du rectangle. Nous obtenons :

Il en découle que EC = tan(π

8) =√

2− 1.


A

BC

D

E

π

4

3π

8

3π

8

π

8√2

√ 21

1

Figure 5.12 � Tangenteπ

8=√

2− 1

Rapportons cette valeur dans la �gure précédente, il vient :

FG

GE=

1− (√

2− 1)√2− 1

=2−√

2√2− 1

=

√2(√

2− 1)√2− 1

=√

2 C.Q.F.D.

Or 49 est moindre que le double de 25.

Ici les nombres 49 et 25 semblent tomber du ciel. Aristarque recherche 2nombres x et y tels que y2 � presque égal � à 2x2, disons avec une di�érence de1. Il aurait pu prendre, 2 et 3 car 9 � presque égal � à 2x4, avec la dé�nitionprécédente de � presque égal �.Cherchant à dé�nir un encadrement, il convient de chercher des nombres lesplus grands possibles se rapprochant de la valeur recherchée (peu utile d'enca-

drer tan(π

8) par disons 3 et 20).

En�n il dispose du rapportEG

EH>

15

2, et aimerait, pour simpli�er ses calculs

disposer d'un autre rapport avec 15 au dénominateur, c.à.d. avec un x sous-multiple entier de 15 , donc soit 3 soit 5. 3 ayant été exclut pour manque deprécision de l'encadrement, Aristarque - par essais successifs je suppose - abou-tit 5 et 7.

Ainsi le carré construit sur FG a, avec le carré construit sur EG, un rapportplus grand que celui de 49 à 25 ; et conséquemment le coté FG a, avec lecoté EG, un rapport plus grand que celui de 7 à 5.

CommeFG

EG=√

2,FG2

EG2= 2, et 2 >

49

25donc

FG

EG>

7

5.


Componendo, on aura EF est à EG dans un rapport plus grand que celuide 12 à 5 ou de 36 à 15.

Componendo signi�e que

sia

b=c

dalors

a

b+ 1 =

c

d+ 1 =

a

b+b

b=c

d+d

d=a+ b

b=c+ d

d.

Ici Aristarque utilise � Componendo �avec l'inégalité > en lieu et place de l'éga-lité stricte. La démonstration reste identique

DoncFG+ EG

EG>

7 + 5

5, soit

FG+ EG

EG>

12

5soit encore

EF

EG>

36

15.

Et voila le 15 au dénominateur recherché. Utilisons le.

Mais on a prouvé que EG est à EH dans un rapport plus grand que celuide 15 à 2 ; donc l'antécédent de cette proportion étant égal au conséquentde l'autre, on en conclura que EF :EH dans un rapport plus grand que celuide 36 à 2 ou de 18 à 1.

CommeEG

EH>

15

2etEF

EG>

36

15alors

EG

EH.EF

EG>

15

2.36

15, soit

EF

EH> 18.

Ainsi EF est 18 fois plus grande que EH. Or EF est égale à BE ; doncBE est aussi plus de 18 fois plus grande que EH. A plus forte raison BHsera-t-elle plus de 18 fois plus grande que EH.

Comme EF = BE, etEF

EH> 18 alors

BE

EH> 18 et comme BH > BE alors

BH

EH> 18.

Mais à cause de la similitude des triangles, comme BH est à EH, ainsiAB est à BC. AB est donc aussi 18 fois plus grande que BC. Or AB est ladistance du soleil à la terre, et BC est celle de la lune à la terre : donc ladistance du soleil à la terre est plus de 18 fois plus grande que celle de lalune à la Terre.

Les triangles EBH et BAC sont semblables doncBH

EH=AB

BCet

AB

BC> 18

avec AB la distance de la Terre au Soleil et BC la distance de la Terre à laLune. Le Soleil est au moins 18 fois plus loin de la Terre que ne l'est la Lune.

Il reste à déterminer maintenant la borne supérieure de l'encadrement.


Il reste à prouver qu'elle est moins de 20 fois plus grande. Pour y réussir,par le point D, je mène DK parallèle à BE, et autour du triangle BDK jeconstruit le cercle BKDL. BD sera le diamètre de ce cercle, puisque l'angleen K est droit. Je porte le rayon de ce cercle au point L, en sorte que BLsera le coté de l'hexagone.

B

A

D

C E

Km

L

Figure 5.13 � Proposition VIII - Borne supérieure- L'angle EBD est exagéré

Le point m est le milieu du segment BD. Le triangle mBL est un triangleisocèle, chacun de ses angles vaut 60�. L'hexagone mentionné par Aristarqueest obtenu à l'aide de 6 de ces triangles.

Puis donc que l'angle DBE est la trentième partie d'un angle droit, BDKsera de même la trentième partie d'un angle droit.

DBE = BDK = 3�. (égalité des angles alternes-internes).

Ainsi l'arc BK sera la soixantième partie de la circonférence entière.

L'angle au centre BMK vaut le double de l'angle BDK soit 6�, donc l'arc

BK mesure6

360=

1

60de la circonférence.


Or BL est la sixième partie de cette même circonférence ;

Car BL est un des cotés de l'hexagone.

ainsi l'arc BL sera décuple de l'arc BK. Mais l'arc BL a, avec l'arc BK, unrapport plus grand que la ligne droite BL avec la ligne droite BK. Ainsi ladroite BL est au moins 10 fois plus grande que la droite BK. Or le diamètreBD est double du rayon BL ; ainsi BD est moins de 20 fois plus grande queBK. Mais on a la proposition BD est à BK comme AB à BC. Ainsi AB estmoins de 20 fois plus grande que BC. Or AB est la distance de soleil à laterre, et BC est celle de la lune à la terre : donc la distance à la terre estmoins de 20 fois plus grande que celle de la lune à la terre. On se souvientqu'il a été démontré que cette première distance est plus de 18 fois plusgrande que la seconde.

Cette dernière partie ne nécessite pas d'explications supplémentaires, saufpeut-être � l'arc BL a, avec l'arc BK, un rapport plus grand que la ligne droiteBL avec la ligne droite BK �. La démonstration relative à cette a�rmation està trouver dans la � Syntaxe Mathématique � de Ptolémée (voir le paragrapheconsacré à Ptolémée).

Nous avons donc 18dTL < dTS < 20dTL

et dans la proposition X il démontre que les diamètres de la Lune et du So-leil sont dans les mêmes proportions, soit

18DL < DS < 20DL.

Ce n'est qu'un millénaire plus tard que de meilleures mesures angulaires ontpermis de mesurer cet angle à 90�- 0.15�= 89.85�, amenant le Soleil à 382 foisla distance Terre-Lune.Il est très probable qu'Aristarque de Samos savait que la valeur de 3�qu'il utiliseest très exagérée et a été délibérément choisie a�n que ses calculs aboutissent.Sa démonstration n'en conserve pas moins un caractère pédagogique magistral.

Intéressons-nous maintenant à la l'hypothèse 5, qui stipule que : La largeurde l'ombre [de la Terre durant une éclipse] est de deux lunes, et dans sa propo-sition XVIII :

le diamètre de la terre est au diamètre de la lune en plus grand rapport quecelui de 108 à 43, moindre que celui de 60 à 19.

Soit un rapportDT

DLcompris entre 2,51 et 3,15. Les mesures actuelles donnent

DT = 3.66 DL.


En�n dans sa proposition XVI il stipule que

Le diamètre du Soleil est au diamètre de la terre en plus grande proportionque 19 à 3, et en moindre que 43 à 6.

Soit DS compris entre 6,3 et 7,2 DT , pour 109 déterminé aujourd'hui.

Quoiqu'entachées d'erreurs et bien que ne délivrant que des résultats relatifs(le diamètre de la Terre est inconnu à l'époque), Aristarque de Samos délivreles premières valeurs des diamètres et distances Terre, Lune, Soleil fruits de cal-culs et non de quelque "illumination".

Il considère aussi que si le Soleil est tellement plus grand que la Terre, le Soleildoit être immobile au centre, et que c'est la Terre qui lui tourne autour. C'étaitdonc un précurseur de l'héliocentrisme.

En�n, on lui prête aussi l'invention du scaphé.

Figure 5.14 � Un scaphé

5.10. ERATOSTHÈNE (ENV. -276 ; ENV. -194) 107

5.10 Eratosthène (env. -276 ; env. -194)

Eratosthène n'est ni ce que j'ai appelé un observateur, ni un astronome,c'est un des plus grand géographe de l'antiquité, d'une grande rigueur et d'uneextrême précision utilisant une nouvelle théorie de géographie mathématique.Eratosthène a accès, de part sa propre observation ou plus probablement parune observation qui lui est rapportée - il était à la tête de la bibliothèqued'Alexendrie- , qu'à Syène (Assouan ? 32�54'E) au solstice d'été, le Soleil éclairele fond d'un puits et qu'à la ronde les hauteurs ne projettent pas d'ombres. Il enprend pour hypothèse que Syène est située exactement sur le tropique du Canceret en déduit que la hauteur du pôle y est égale à l'obliquité de l'écliptique.Il admet - ce qui est faut - qu'Alexandrie (29�53'E), est sur le même méridien.

En�n il connait la distance entre ces deux villes, mesurée par les bématistesou les Lagides eux-mêmes ou par d'autre moyen, et estimée à 5000 stades.Il mesure aussi l'angle de l'ombre projetée à Alexandrie lors du solstice d'été et

le trouve égal à1

50de cercle.

Il en déduit 6 que la distance séparant Alexandrie de Syène représente1

50de la

circonférence terrestre qui en conséquence est de 50 · 5000 Stades soient 250.000stades, soient encore 694,44 stades par degré de circonférence. Eratosthène cer-tainement conscient de toutes les incertitudes qui entachent ses mesures et pro-bablement pour faciliter la mémorisation du chi�re, arrondi ce chi�re à 700stades par degrés.On ne sait hélas quel était le stade utilisé, il nous est donc impossible de traduireen mètres sa mesure de la circonférence terrestre, ni d'en estimer la précision.

Il est aussi envisageable qu'Eratosthène n'ait voulu par là que donner une mé-thode de calcul de la circonférence, laissant a ses successeurs la possibilité d'enaugmenter la précision.

α

α

α

α

Figure 5.15 � Angles alternes

6. les Eléments d'Euclide notamment les égalités d'angles alternes (proposition 29 - Livre1 : Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entr'eux,l'angle extérieur, égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieursplacés du même côté, égaux à deux droits., et en supposant que les rayons du Soleil sontparallèles, celui-ci étant "très loin".


A Syène le fond du puits est éclairé, à Alexandrie une ombre persiste.

S

A

α

α

Figure 5.16 � Eratosthène mesure la circonférence de la Terre

Ptolémée attribue à Eratosthène la mesure de l'intervalle entre les tropiques

de 47�2

3qu'il égalise à

11

83de la circonférence,

5.11 Hipparque (env. -190 ; env. -120)

Hipparque de Bithynie est certainement le meilleur observateur de l'anti-quité, sur l'île de Rhodes.Dans son Traité des levers et des couchers des étoiles, il introduit les conceptsde la trigonométrie sphérique, élevant grâce à celle-ci l'astronomie au rang descience exacte.Dans ses douze livres du Traité de cordes, dont seuls nous restent des témoi-gnages indirects, il établi une table de cordes, par pas de 3�45′ pour des anglescompris entre 7�30′ et 180�, dans un cercle de rayon 3436.Hipparque place l'origine de l'écliptique au commencement du Bélier, C'est lepoint Vernal. Il est aussi le premier à dresser un catalogue des étoiles qu'ilclasse selon leur éclat, en 6 grandeurs, base de la notion actuelle de magnitude.Il dé�nit les constellations, en reprenant celles des Babyloniens.

Chapitre 6

Kepler

Comment Képler a-t-il déterminé la taille de l'orbite de Vénus, et sa période ?

6.1 Vénus

6.1.1 Taille de l'orbite

Pour déterminer les caractéristiques de l'orbite de Vénus, Kepler à utilisé laméthode des quadratures et des oppositions.Vénus étant une planète intérieure, la distance angulaire entre le Soleil et Vénusest bornée et de limite 90�(pour une orbite de Vénus confondue avec l'orbitede la Terre).

S

T

V1 V2

αβ

Figure 6.1 � Kepler caractérise la taille de l'orbite de Vénus

Convention : T=Terre, S=Soleil, V= Vénus.

109

110 CHAPITRE 6. KEPLER

Appelons élongation l'angle présenté par TSV.Dans la �gure 6.1, cet angle est noté α ou β .Cet angle est maximum quand l'angle T V S est un angle droit : La visée depuisla Terre est alors tangente à l'orbite de Vénus : On dit que la Terre est enquadrature de Vénus.Kepler sait que l'élongation maximale de Vénus est de 45.9�(et/ou 46.93�).Il en déduit que sin(45.9) = dSV

dST soit dSV = 0.718.dST .La distance du Soleil à Vénus est 0.718 fois la distance du Soleil à la Terre.

6.1.2 Période de Vénus

En première approximation, Kepler calcule qu'entre deux situation de qua-drature il s'est écoulé 142 jours, la première élongation mesure 46�, la suivantemesure 47�.

S

T1

T2

V1

V2

46�

47�

44�

43�

142j => 140�

Figure 6.2 � Kepler caractérise la période l'orbite de Vénus

(les angles marqués d'un arc simple sont les anges mesurés, les angles mar-qués d'un arc double sonr les angles calculés)

Soit ST le rayon vecteur de la Terre. ST balaye 360�en 365 jours : En 142jours ST balaye 360

365 .142 = 140�.

6.2. MARS 111

Durant la même période, SV, le rayon vecteur de Vénus, a balayé un anglede 44�(90�- élongation1) + 140�(angle balayé par la Terre) + 43�(90�- élon-gation2) = 227�. Pour balayer 360�il lui faudra 142

227 .360 = 224, 7 jours.

Les caractéristiques de l'orbite de Vénus sont donc :Demi-axe = 0.718U.APériode = 224,7 jours

6.2 Mars

6.2.1 Période de Mars

Mars étant une planète extérieure, le procédé utilisé pour Vénus est inappli-cable. Kepler mesure la durée séparant 2 conjonctions supérieures de Mars etde la Terre. La conjonction supérieure est dé�nie lar l'angle STP l = 180�, etPl étant la planète en conjonction supérieure, Mars dans ce cas.

S

T0

M0

Figure 6.3 � (1) Première conjonction supérieure

Après 89 jours la Terre et Mars sont en quadrature :

ST1

M1

Figure 6.4 � (2) Quadrature après 89 jours


S

T2

M2

Figure 6.5 � (3) Un an terrestre s'écoule (365,25j)

S

T3

M3

Figure 6.6 � (4) Un an martien s'écoule

; La deuxième conjonction supérieure à lieu 47,5 jours après que les deuxans se soient écoulés. En 47,5 jours la Terre parcourt 47,5

360 = 0.13 tour.La révolution synodale de Mars est de 778 jours. Durant cette période la Terre ae�ectuée 2,13 tours et Mars 1,13 tour. Donc l'année martienne dure 778

1,13 = 688, 5jours terrestres.

De plus, entre la première conjonction et le quadrature, 89 jours se sont écoulés.Durant cette période l'angle balayé par le rayon vecteur ST vaut 89

365 .360 = 88�.Durant cette même période l'angle balayé par le rayon vecteur SM vaut 89

688 .360 =47�.A la quadrature, l'angle M1S1T1 vaut donc 88− 47 = 41�.A la quadrature, dans le triangle rectangleMST , nous avons sin(M1S1T1) = ?

?

6.2. MARS 113

S

T4

M4

Figure 6.7 � (5) Deux ans terrestres s'écoulent (730,5j)

S

T5

M5

0,13tour

Figure 6.8 � (6) Deuxième conjonction supérieure après 778 jours

; ++++++++++++++++++++++ Newrr ++++++++++++++++++++++ New


Logarithmes et exponentielles

eiπ + 1 = 0

ou la démonstration que Dieuexiste selon Euler

Aie, aie, aie. . .Les Presses polytechniques et universitaire romandes viennentde publier Le minimum théorique de Susskind et Hrabovsky, et évidemmentje l'ai acheté. Un grand bouquin.La première centaine de pages est un bon rafraichissement de la mémoire etles exercices qui s'y trouvent sont faciles. On peut presque les résoudre de tête,jusqu'à ce qu'on prenne e�ectivement un stylo et une feuille pour les résoudre,et je dois reconnaître que l'exercice 5 du chapitre 2 m'a donné du �l à retordre,quand il s'est agit de calculer les dérivées des fonctions exponentielle et loga-rithme népérien : pour démontrer l'une il me fallait l'autre et pour démontrerl'autre il me fallait l'une. Donc très insatisfaisant, il me fallait savoir qui de lapoule ou de l'÷uf...Les dé�nitions très scolaires de ces deux fonctions qui me restaient en mémoirene me satisfaisaient plus non plus, à savoir que la fonction exponentielle est lafonction réciproque de la fonction logarithme népérien.Il me fallait en connaitre d'avantage, principalement sur la fonction exponen-tielle, comment Euler a-t-il dé�ni et calculé e.Un peu d'histoire, donc, et le respect de la chronologie.

6.3 Les Logarithmes avant Euler

bla bla

6.4 Les Logarithmes et Euler

En 1748, Euler dans son Introduction à l'analyse in�nitésimale démontrecomment exprimer les exponentielles, les logarithmes et les lignes trigonomé-triques, sous forme de développements rapidement convergents destinés à enfaciliter le calcul.En e�et, dans ce XVIIIe siècle, il est de plus en plus nécessaire d'exprimer ces

115


logarithmes, exponentielles et lignes trigonométriques avec un grand nombre dechi�res signi�catifs � de l'ordre de 16 � dont les calculs sont longs, fastidieuxet source d'erreurs. Ces démonstrations l'amènent à dé�nir une base de loga-rithmes, qu'il appelle e � et que nous continuons à appeler de la sorte, bien queprécédemment découverte par Leibnitz et nommé b par ce dernier � présentantdes propriétés fort intéressantes, .

Dans cet ouvrage, après une courte introduction à la notion de logarithme,Euler en démontre l'utilité et l'utilisation par quelques exemples intéressantsaussi de par la nature des problèmes qu'il était cherché à résoudre à cette époque.

Dans les paragraphes suivants j'explique comment Euler à procédé. Le textedes chapitres VI à VIII provient de la traduction de cet ouvrage � écrit en latin �par J.B. Labey. Tout le génie et la puissance de calcul d'Euler y �gurent.

Il est à noter que la notion de fonction est encore absente. On ne parle pasde la fonction exponentielle, ni de la fonction logarithmique, mais de la valeurde telle exponentielle, ou de tel logarithme.

Je tiens aussi à préciser qu' évidemment aucun calcul chi�ré, e�ectué à la cal-culette, à l'ordinateur, ou par quelque autre moyen, ne sert ni de preuve, ni dedémonstration. Ceux qui �gurent ci-après ne sont que des exemples pour �xerdes ordres de grandeurs.

Et voici la traduction du texte d'Euler

6.5 Chapitre VI

Des quantités Exponentielles & des Logarithmes

96. Quoique la connaissance des fonctions transcendantes doive faire un desobjets du calcul intégral, cependant il sera à propos de traiter ici de quelquesespèces qui se présentent plus fréquemment, & qui préparent la voie à plu-sieurs recherches. Nous considérerons donc d'abord les quantités exponen-tielles, ou les puissances dont l'exposant est une quantité variable ; car il estclair que ces sortes de quantités ne peuvent être rapportées aux fonctionsalgébriques, puisque celles-ci n'admettent que des exposants constants. Ondistingue plusieurs espèces de quantité exponentielles, suivant que l'expo-sant seul, ou que l'exposant avec le nombre qu'il a�ecte est une quantitévariable ; az est de la première espèce, & yz de la seconde. De plus, l'expo-sant même peut être une quantité exponentielle, comme dans les formulesaa

z

; ayz

; yaz

; xyz

. Nous ne multiplierons pas davantage les espèces de cesgrandeurs ; car leur nature sera su�samment connue, après que nous au-rons traité seulement la première espèce.

6.4. LES LOGARITHMES ET EULER 117

97. Soit donc proposée la quantité exponentielle az, ou ce qui revient aumême, une puissance de la constante a, qui ait pour exposant la variablez. Cet exposant z renfermant tous les nombres déterminé, il est évidentque si à la place de z, on substitue successivement tous les nombres entierspositifs, on obtiendra pour az les valeurs déterminées

a1; a2; a3; a4; a5; a6;

etc si l'on met pour z les nombres négatifs −1, −2, −3, etc, la quantité az

deviendra successivement

1

a;

1

a2;

1

a3;

1

a4; etc;

& si l'on fait z = 0, on aura toujours

a0 = 1.

Mais si l'on substitue à z des fractions, comme

1

2;

1

3;

2

3;

1

4;

3

4, etc,

on aura pour résultats les quantités

√a; 3√a;

3√a2; 4√a;

4√a3; etc;

lesquelles considérées en elle-mêmes, ont deux ou un plus grand nombrede valeurs, puisque l'extraction des racines en fournit toujours plusieurs.Cependant on n'admet ordinairement dans ce cas, que les valeurs que se pré-sentent les premières, c'est-à-dire celles qui sont réelles & positives, parceque la quantité az est regardée comme une fonction uniforme de z. Ainsi a

52

tiendra un certain milieu entre a2 & a3 et sera par conséquent une quan-tité du même genre ; & quoique a

52 ait la double valeur −aa

√a & +aa

√a,

cependant on ne tient en compte que la dernière. Il en est de même si l'ex-posant z a des valeurs ; mais comme il est di�cile dans ce cas de concevoirle nombre de valeurs que renferme la quantité proposée, on se contente deconsidérer la seule valeur réelle. Ainsi a

√7 sera une valeur déterminée com-

prise entre les limites a2 et a3.

98. Les valeurs de la quantité exponentielle az dépendent surtout de la gran-deur du nombre constant a ; car, si a = 1, az sera toujours = 1, quelquevaleur qu'on substitue à l'exposant z ; mais si a est > 1, la valeur de az serad'autant plus grande, qu'on substituera à z un plus grand nombre, jusqu'àce qu'elle devienne =∞, en faisant z =∞ ; si z = 0, az deviendra = 1, &si z est < 0, les valeurs de az deviendront plus petites que l'unité ; jusqu'àce qu'ayant fait z = −∞, az devienne = 0. Le contraire arrive, si a est < 1,


& cependant un nombre positif ; car alors les valeurs de az décroîtrons, àmesure que z croîtra au dessus de 0 ; & elles croîtront, si l'on prend pour z

des nombres négatifs. En e�et si a est < 1,1

aest > 1 ; soit donc

1

a= b ; on

aura az = b−z, & par conséquent le second cas pourra être regardé commeune conséquence du premier.

99. Si a = 0, on remarque un grand saut dans les valeurs de az ; car tantque z sera un nombre positif ou plus plus grand que zéro, on aura toujoursa0 = 1 ; si z = 0, a0 sera = 1 ; mais si z est un nombre négatif ; az obtiendraune valeur in�niment grande. E�ectivement soit z = −3, alors

az = 0−3 =1

03=

1

0=∞.

On observera encore de plus grand sauts, si la quantité constante a a unevaleur négative, par exemple −2 ; car en substituant à z des nombres entiers,les valeurs de az deviendront alternativement positives & négatives, commele fait la série suivante

a−4; a−3; a−2; a−1; a0; a1; a2; a3; etc.

+1

16; −1

8; +

1

4; −1

2; 1; −2; +4; −8; +16.

Et si l'on donne à l'exposant z des valeurs fractionnaires, la puissance az =(−2)z prendra des valeurs tantôt réelles, tantôt imaginaires ; car a

12 =√−2,

quantité imaginaire, & a13 = 3√−2 ; = − 3

√2 quantité réelle. Mais si l'on sub-

stitue à z des valeurs irrationnelles, la puissance az représentera-t-elle desquantités réelles ou imaginaires ? C'est ce qu'il n'est pas possible de décider.

100. Après avoir ainsi fait connaître les inconvénients qui se présentent,lorsqu'on substitue à a des nombres négatifs, prenons pour a un nombrepositif, & même plus grand que l'unité, parce qu'il est aisé de ramener à cecas celui où a exprimerait un nombre positif plus petit que l'unité. Si doncon suppose az = y, en mettant à la place de z tous les nombres réels ren-fermés entre les limites +∞ & −∞, y acquerra toutes les valeurs positives,comprises entre les limites +∞ & 0. Car si z =∞, y =∞ ; si z = 0, y = 1 ;& si z = −∞, y = 0. Donc réciproquement, quelque valeur positive qu'onprenne pour y, il y aura pour z une valeur correspondante, qui satisfera àla condition az = y ; mais si on donnait à y une valeur négative, l'exposantz ne pourrait avoir une valeur réelle.

101. Soit donc y = az, y sera une certaine fonction de z, & on verra facile-ment par la nature des puissances quel rapport il y a entre y & z. En e�et,quelque soit la valeur qu'on donne à z, celle de y est par là déterminée. On


aura aussiyy = a2z; y3 = a2z;

& en généralyn = anz;

d'où

√y = a

12 z; 3√y = a

13 z; &

1

y= a−z;

1

yy= a−2z, &

1√y

= a−12 z,

ainsi des autres. De plus si v = ax, on aura

vy = ax+z, etv

y= ax−z.

Ces considérations sont propres à faciliter les moyens de trouver la valeurde y, cette de z étant donnée.

EXEMPLE

Soit a = 10 ; à cause de l'Arithmétique décimale dont nous nous servons, ilsera facile d'avoir les valeurs de y, lorsqu'on prendra pour z des nombresentiers. En e�et, on aura

101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10000, & 100 = 1;

de même

10−1 =1

10= 0, 1; 10−2 =

1

100= 0, 01; 10−3 =

1

1000= 0, 001,

& si l'on prend pour z des fractions, les valeurs de y pourront être indiquéesà l'aide de l'extraction des racines ; ainsi

1012 =√

10 = 3, 162277 etc.

102. Si étant donné le nombre a, on peut conclure de chaque valeur de z,celle de y ; réciproquement ayant pris pour y une valeur quelconque positive,on conçoit qu'il existe pour z un nombre convenable pour que az = y ; cettevaleur de z, en tant qu'elle peut être regardée comme une fonction de y,s'appelle ordinairement le LOGARITHME de y. La théorie des logarithmessuppose donc l'existence d'un nombre constant représenté par a, que pourcette raison on appelle la Base des logarithmes. Cette base une fois choisie,le logarithme d'un nombre y n'est autre chose que l'exposant de la puissance


de az égale à ce nombre y. On a coutume d'indiquer le logarithme du nombrey de cette manière ly. Conséquemment, si

az = y,

z = ly.

Il s'ensuit de-là que la base logarithmique, quoique arbitraire, doit cepen-dant être plus grande que l'unité, & qu'il n'y a que les nombres positifs quipuissent avoir des logarithmes réels.

103. Ainsi, quelque nombre qu'on prenne pour la base logarithmique a,

l1 sera toujours = 0 ;

car, si dans l'équation az = y, qui revient à celle-ci z = ly, on supposey = 1, on a z = 0. Ensuite les logarithmes des nombres plus grand quel'unité seront positifs & dépendants de la valeur de la base a ; ainsi

la = 1; laa = 2; la3 = 3; la4 = 4;

etc ; d'où l'on peut conclure réciproquement le nombre qu'on a pris pour labase logarithmique ; c'est celui dont le logarithme = 1. Les logarithmes desnombres plus petits que l'unité, & cependant positifs seront négatifs ; car

l1

a= −1; l

1

a2= −2; l

1

a3= −3;

etc ; quant aux logarithmes des nombres négatifs, ils ne seront point réels,mai imaginaire, comme nous l'avons déjà remarqué.

104. De même, si ly = z, on aura

lyy = 2z; ly3 = 3z,

& en général

lyn = nz ou lyn = nly,

à cause de z = ly. Donc le logarithme d'une puissance de y est égal au loga-rithme de y même, multiplié par l'exposant de la puissance ; par conséquenton aura

l√y =

1

2z =

1

2ly; l

1√y

= ly−12 = −1

2ly,


ainsi des autres ; d'où il s'ensuit qu'étant donné le logarithme d'un nombrequelconque, on pourra trouver les logarithmes de toutes les puissances de cemême nombre. Supposons à présent deux logarithmes connus ; savoir,

ly = z, & lv = x;

puisque y = az, & v = ax, nous aurons

lvy = x+ z = lv + ly.

Donc le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme deslogarithmes des facteurs ; nous aurons de même

ly

v= z − x = ly − lv;

donc le logarithme d'une quantité fractionnaire est égal au logarithme dunumérateur diminué de celui du dénominateur. Ces règles servent à calcu-ler les logarithmes de plusieurs nombres, lorsqu'on en connait déjà quelquesuns.

105. D'après ce que nous venons d'exposer, il est clair qu'il n'y a de lo-garithmes rationnels que ceux des puissances de la base a ; car si un autrenombre b n'est pas une puissance de la base a, son logarithme ne peut êtreexprimé par un nombre rationnel, le logarithme de b ne sera pas non plusun nombre irrationnel ; car si on avait lb =

√n, on aurait aussi a

√n = b ; ce

qui est impossible, puisque le nombres a & b sont supposés irrationnels. Orse sonr les logarithmes des nombres rationnels & entiers dont on a surtoutbesoin, parce qu'ils servent à trouver ceux des fractions & ceux des nombressourds. a Puisqu'aucun nombre, soit rationnel, soit irrationnel, ne peut re-présenter les logarithmes des nombres, qui ne sont pas des puissances dela base, on a donc raison de les rapporter aux quantités transcendantes ; &c'est la cause pour laquelle on a coutume de ranger les logarithmes parmices dernière.

106. On ne peut donc obtenir les logarithmes des nombres que par approxi-mation au moyen des fractions décimales ; & ils approcheront d'autant plusd'être exacts, qu'ils auront été calculés avec plus de chi�res décimaux. Il serapossible de cette manière, d'avoir à peu près le logarithme de tout nombre,par la seule extraction d'une racine carrée. En e�et, puisqu'en supposant

ly = z, & lv = x ;

l√vy =

x+ z

2,

si le nombre proposé b tombe entre les limites a2 & a3, dont les logarithmessont 2 & 3, cherchez la valeur de a2

12 ou a2

√a, & b sera renfermé entre


les limites a2 & a2 12 , ou a2 1

2 & a3. Quelque soit celui de ces deux cas,qui ait lieu, en prenant une moyenne proportionnelle, on approchera leslimites, & on pourra, en continuant, arriver à des limites, qui ne soientpas séparées l'une de l'autre d'une quantité donnée, & avec lesquelles parconséquent le nombre proposé b pourra être confondu sans erreur, & commeles logarithmes de chacune de ces limites sont données, on aura à la �n lelogarithme du nombre b.

EXEMPLE

Soit la base logarithmique a = 10, qui est celle des tables ordinaires, &proposons-nous de trouver le logarithme approché de 5. Comme ce nombreest renfermé entre les limites 1 & 10, dont les logarithmes sont 0 & 1, onprocédera de la manière suivante à l'extraction des racines, & on continuerales opérations jusqu'à ce qu'on soit arrivé à des limites, qui ne di�èrent pasdu nombre proposé 5.

A = 1, 000000; lA = 0, 0000000; SoitB = 10, 000000; lB = 1, 0000000; C =

√AB

C = 3, 162277; lC = 0, 5000000; D =√BC

D = 5, 623413; lD = 0, 7500000; E =√CD

E = 4, 216964; lE = 0, 6250000; F =√DE

F = 4, 869674; lF = 0, 6875000; G =√DF

G = 5, 232991; lG = 0, 71877500; H =√FG

H = 5, 048065; lH = 0, 7031250; I =√FH

I = 4, 958069; lI = 0, 6953125; K =√HI

K = 5, 002865; lK = 0, 6992187; L =√IK

L = 4, 980416; lL = 0, 6972656; M =√KL

M = 4, 991627; lK = 0.6982421; N =√KM

N = 4, 997242; lN = 0, 6987304; O =√JN

O = 5, 000052; lO = 0, 6989745; P =√NO

P = 4, 998647; lP = 0, 6988252; Q =√OP

Q = 4, 999350; lQ = 0, 6989135; R =√OQ

R = 4, 999701; lR = 0, 6989440; S =√OR

S = 4, 999876; lS = 0, 6989592 ;T =√OS

T = 4, 999963; lT = 0, 6989668; V =√OT

V = 5, 000008; lV = 0, 6989707; W =√TV

W = 4, 999984; lW = 0, 6989687; X =√WV

X = 4, 999997; lX = 0, 6989697; Y =√V X

Y = 5, 000003; lY = 0, 6989702; Z =√XY

Z = 5, 000000; lZ = 0, 6989700;

Ainsi, en prenant des moyennes proportionnelles, on est parvenu à trouver


Z = 5, 000000,à quoi répond le logarithme cherché 0, 698970, en supposantla base logarithmique = 10. Par conséquent

1069897100000 = 5

à peu près. C'est de cette manière que Briggs & Vlacq ont calculé latable ordinaire des logarithmes, quoiqu'on ait imaginé depuis des méthodesplus expéditives pour les trouver.

107. Il y a donc autant de systèmes di�érents de logarithmes qu'on peutprendre de nombres di�érents pour la base a, & conséquemment le nombrede système logarithmique sera in�ni. Au reste, dans deux systèmes, les lo-garithmes d'un même nombre ont toujours entr'eux un même rapport- Carsoit la base d'un système = a, celle d'un autre = b, le logarithme d'unnombre n dans le premier = p, dans le second = q, on aura

ap = n & bq = n,

donc

ap = bq, & a = bqp .

Il faut donc que la fractionp

qait une valeur constante, quelque nombre qu'on

ait pris pour n. Par conséquent si les logarithmes de tous les nombres ontété calculés pour un système, on pourra par une simple règle de trois obte-nir facilement les logarithmes des mêmes nombres pour un autre système.Ainsi les logarithmes pour la base 10 étant donnés, on pourra trouver leslogarithmes pour une autre base, par exemple, pour la base 2, = q, tandisque le logarithme du même nombre, pour la base 10, = p ; puisque pour labase 10, l2 = 0.3010300, & que pour la base 2, l2 = 1, nous aurons

0, 3010300 : 1 :: p : q.

doncq =

p

0.3010300= 3.3219277p.

Donc si on multiplie par le nombre 3.3219277 tous les logarithmes ordi-naires, on obtiendra la tables des logarithmes correspondants pour la base2.

108. Il suit delà que les logarithmes de deux nombres dans quelque sys-tème que ce soit conservent le même rapport.Car soient deux nombresM & N , dont les logarithmes pour la base a soientm & n, on aura M = am, & N = an. Donc amn = Mn = Nm, & partant

M = Nmn ,


équation qui ne renfermant plus la base a, fait voir clairement que la fractiondmn a une valeur indépendante de la base a. En e�et, soient µ & ν leslogarithmes des mêmes nombres M & N pour une autre base b, on enconclura pareillement que

M = Nµν .

DoncN

mn = N

µν

, &

m

n=µ

νou m : n :: µ : ν.

C'est ainsi que nous avons déjà vu que dans tout système de logarithme,les logarithmes de di�érentes puissances du même nombre, comme ym, &yn sont entre-eux comme les exposants m : n.

109. Ainsi, pour construire une table de logarithmes pour une base quel-conque a, il su�t d'avoir calculé par la méthode que nous avons donnéeci-dessus, ou par une autre plus commode, seulement les logarithmes desnombres premiers ; car les logarithmes des nombres composés étant égauxà la somme des logarithmes de tous les facteurs, les logarithmes de cesnombres se trouveront par la seule addition. Par exemple, les logarithmesdes nombres 3 & 5 étant connus, on aura

l15 = l3 + l5; l45 = 2l3 + l5,

& comme nous avons trouvé pour la base a = 10,

l5 = 0.6989700,

& qu'en outre l10 est = 1 ; nous aurons

l10

5= l2 = l10− l5,

& par conséquent

l2 = 1− 0.6989700 = 0.3010300.

Or les logarithmes des nombres premiers 2 & 5 une fois trouvés donne-ront ceux des nombres composés de 2 & de 5 ; comme 4, 8, 16, 32, etc ;20, 40, 80, 25, 50, etc.

110. Les tables de logarithmes sont du plus grand usage pour abréger les cal-culs numériques, parce qu'elles font connaitre non-seulement le logarithme


d'un nombre donné, mais aussi le nombre qui répond à un logarithme pro-posé. Ainsi, supposons que c, d, e, f, g, h, représentent des nombres quel-conques, on pourra, sans multiplication, trouver la valeur de cette expres-sion

ccd√e

f 3√gh

car le logarithme de cette quantité

= 2lc+ ld+1

2le− lf − 1

3lg − 1

3lh;

& cherchant le nombre qui lui correspond, on aura la valeur demandée.Les tables de logarithmes sont surtout d'une grande utilité pour trouver lespuissance & les racines les plus compliquées, en substituant aux opérationsordinaires la multiplication & la division.

EXEMPLE I

On demande la valeur de la puissance 2712 .

Son logarithme étant =7

12l2 ; si l'on multiplie le logarithme de 2 pris dans

les tables, qui est 0.3010300, par 712 , c'est à dire, par

1

2+

1

12; on trouvera

l2712 = 0.1756008;

logarithme auquel répond le nombre

1, 498307,

valeur approchée de2

712 .

EXEMPLE II

Si le nombre des habitants d'un province s'accroît tous les ans d'un tren-tième, & qu'il y ait au commencement 100000 habitants ; on veut savoircombien il y en aura au bout de 100 ans.Soit, pour abréger, le nombre donné d'habitants = n, de sorte que

n = 100000;

au bout d'un an le nombre des habitants sera

=

(1 +

1

30

)n =

31

30n;


au bout de deux ans =

(31

30

)2

n, au bout de trois ans =

(31

30

)3

n ; & en�n

au bout de cent ans

=

(31

30

)100

n =

(31

30

)100

100000.

Le logarithme de ce dernier nombre

= 100l31

30+ l100000.

Or

l31

30= l31− l30 = 0.014240439;

donc

100l31

30= 1.4240439,

ajoutant l100000 = 5, le logarithme du nombre cherché des habitants

= 6, 4240439,

auquel répond le nombre= 2654874.

Donc au bout de cent ans, le nombre des habitants sera plus de vingt-sixfois & demi plus considérable.

EXEMPLE III

La terre ayant été repeuplée après le déluge par six hommes ; supposonsqu'au bout de deux cents ans le nombre des hommes se soit élevé à 1000000,on demande de quelle partie il a du augmenter tous les ans.Supposons que pendant ce temps le nombre des hommes se soit accru tousans de 1

x , le nombres des hommes pendant deux cents ans sera nécessaire-ment monté à (

1 + x

x

)200

6 = 1000000,

d'où l'on tire1 + x

x=

(1000000

6

) 1200

.

Donc

l1 + x

x=

1

200l1000000

6=

1

200.5.2218187 = 0.0261092;

conséquemment


1 + x

x=

1061963

1000000& 1000000 = 61396x.

Donc

x = 16 environ.

Ainsi, pour une aussi grande population, il aurait fallu que le genre humainse fût accru tous les ans d'un seizième ; ce que la durée de la vie des premiershommes rend vraisemblable. Si la même augmentation eût continué d'avoirlieu pendant 400 ans, le nombre des hommes fût monté à

1000000.1000000

6= 166666666666.

Ce nombre d'habitants est si considérable, que toute la terre n'eût pas su�pour les nourrir.

EXEMPLE IV

Si le nombre des hommes est doublé à chaque siècle, quel est l'accroissementannuel ?Supposons que le nombre des hommes se soit accru tous les an de sa partie1

x, & qu'au commencement le nombre des habitants ait été = n ; au bout de

cent ans il sera =

(1 + x

x

)100

n, lequel devant être = 2n, donnera l'équation

1 + x

x= 2

1100

&

l1 + x

x=

1

100l2 = 0.0030103.

Donc1 + x

x=

10069555

10000000

& x =10000000

69555= 144 environ.

Il su�t donc que le nombre des hommes ait augmenté tous les ans de1

144.

On voit bien par-là combien sont ridicules les objections de ces incrédules,qui nient que toute la terre ait pu être peuplée en si peu de temps par unseul homme b

111. L'usage des logarithmes est particulièrement essentiel pour résoudre les


équation, dans lesquelles l'inconnue se trouve en exposant. Si, par exemple,on arrive à l'équation

ax = b,

d'où il faille tirer la valeur de l'inconnue x ; on ne pourra y parvenir qu'enemployant les logarithmes. En e�et, puisque ax = b, on aura

lax = xla = lb,

& partant

x =lb

la.

Au reste, il importe peu ici de quel système de logarithmes on se servira,puisque dans tous les systèmes les logarithmes des nombres a & b ont tou-jours entre eux un même rapport.

EXEMPLE I

Si un nombre d'hommes augmente tous les ans de sa centième partie, onveut savoir après combien d'années le nombre en sera décuple. Supposonsque ce soit après x années, & que le nombre des hommes au commencement

ait été 0n ; après x années, il sera(

101

100

)xn, lequel devant être 10n, donne

l'équation (101

100

)x= 10,

& par conséquent

xl101

100= l10,

&

x =l10

l101− l100;

d'où l'on conclura

x =10000000

43214= 231.

Donc au bout de 231 ans, un nombre d'hommes, dont l'accroissement an-nuel est de sa centième partie, devient dix fois plus grand ; au bout de 462ans il sera devenu cent fois, & au bout de 693 ans, mille fois plus grand.

EXEMPLE II

Un particulier doit 400000 �orins, dont il est convenu de payer tous les ansl'intérêt à 5 pour cent ; il acquitte tous les ans 25000 �orins ; on demandeaprès combien d'années sa dette sera entièrement éteinte.


Écrivons a pour la somme due 400000 �. & b pour la somme 25000 �. payéetous les ans ; il devra donc au bout d'un an

105

100a− b;

au bout de deux ans (105

100

)2

a−(

105

100

)b− b;

au bout de trois ans(105

100

)3

a−(

105

100

)2

b−(

105

100

)b− b;

& en mettant pour abréger, n au lieu de105

100, il restera dû après un nombre

x d'années

nxa− nx−1b− nx−2b− nx−3b......− b = nxa− b(1 + n+ n2 + ......+ nx−1).

Mais comme par la nature des progressions géométriques

1 + n+ n2 + ...+ nx−1 =nx − 1

n− 1;

après x années, il sera dû

nxa− nxb− bn− 1

fl.,

quantité, qui égalée à zéro donnera cette équation

nxa =nxb− bn− 1

,

ou

(n− 1)nxa = nxb− b,& par conséquent (b− na+ a)nx = b,

&

nx =b

b− (n− 1)a;

d'où

x =lb− l[b− (n− 1)a]

ln;


mais, puisque

a = 400000, b = 25000, n =105

100;

on aura

(n− 1)a = 20000, & b− (n− 1)a = 5000,

& le nombre x d'années, après lequel la dette est entièrement éteinte

=l25000− l5000

l 100100

=l5

l 2120=

6989700

211893:

donc x sera un peu moindre que 33 ; c'est à dire qu'au bout de 33 ans, ladette sera non-seulement acquittée, mais le créancier sera tenu de rendre

(n33 − 1)

n− 1b−n33a =

(2120

)33.5000− 25000

120

= 100000

(21

20

)33

−500000 florins.

Or

l21

20= 0, 0211892991;

par conséquent

l

(21

20

)33

= 0, 69924687; & l100000

(21

20

)33

= 5, 6992469;

à quoi répond le nombre 500318, 8 ; donc au bout de 33 ans révolus le créan-

cier doit rendre 3184

5�orins.

112. Les logarithmes ordinaires calculés pour la base = 10, outre l'usagequi leur est commun avec tous les autres, jouissent dans l'arithmétique dé-cimale d'un avantage particulier, & méritent par cette raison la préférencesur ceux des autres systèmes. En e�et, les logarithmes de tous les nombres,excepté les puissances de 10, étant exprimés en décimales, les logarithmesdes nombres compris entre 1 & 10 seront renfermés entre 0 & 1, & ceuxdes nombres contenus entre 10 et 100 seront compris entre 1 et 2 ; ainsi desuite. Chaque logarithme est donc composé de deux parties ; la première estun nombre entier, & se nomme caractéristique, & la seconde est unefraction décimale. La caractéristique est moindre d'une unité que le nombrede chi�res dont chaque nombre est composé ; ainsi le logarithme de 78509aura 4 pour caractéristique, parce que ce nombre est composé de 5 chi�res ou�gures. On verra donc sur le champ à l'inspection d'un logarithme de com-bien de chi�re est composé le nom correspondant. Par exemple, le nombreauquel appartient le logarithme 7, 5804631 renfermera 8 �gures.


113. Si deux logarithmes se conviennent par leur parties décimales, & ne dif-fèrent que par la caractéristique, les nombres correspondant seront entre euxcomme une puissance de 10 à l'unité ; & s'accorderont par les �gures dontils sont composés. Par exemple, les logarithmes 4, 9130187 & 6, 9130187appartiennent respectivement aux nombre 81850, & 8185000 ; le logarithme3, 9130187 répond à 8485, & le logarithme 0, 9130187 au nombre 8, 815.La seule partie décimale fera donc connaître les chi�res qui composent lenombre ; la caractéristique indiquera le nombre de chi�res entiers qu'on doitséparé sur la gauche, & les autres sur la droite exprimeront les décimales.Par exemple, dans le logarithme 2, 7603429, la partie décimale annonceles chi�res 5758945, & la caractéristique 2 fait voir qu'il faut prendre laquantité 575, 8945. Si la caractéristique était 0, le nombre correspondantserait 5, 758945 ; si elle était −1, le nombre serait dix fois plus petit &= 0, 5758945 ; & à la caractéristique −2, répondrait le nombre 0, 05758945etc. Au lieu des caractéristiques −1,−2,−3, etc on écrit ordinairement9, 8, 7 etc & on ne perd pas de vue que ces logarithmes doivent être di-minués d'une dizaine. On trouve tout cela expliqué fort au long dans lesIntroductions aux Tables des Logarithmes.

EXEMPLE

Si la progression 2, 4, 16, 256, etc dont chaque terme est le carré du précé-dent, est continué jusqu'au vingt-cinquième terme ; on demande la grandeurde ce dernier terme.Il sera plus commode d'exprimer les termes de cette progression par desexposants, de cette manière

21, 22, 24, 28, etc.

Il est évident que les exposants forment une progression géométrique, & quecelui du vingt-cinquième terme sera

224 = 16777216;

de sorte que le terme cherché

= 216777216.

Son logarithme sera donc= 16777216l2;

& commel2 = 0, 301029995663981195,

le logarithme du nombre demandé sera

= 5050445, 25973367;


dont la caractéristique nous apprend que le nombre en question exprimé dela manière ordinaire sera composé de

50504456

chi�res. La partie décimale 259733675932 cherchée dans la tables des lo-garithmes donnera les premiers chi�res du nombre demandé, qui seront181858. Quoique ce nombre ne puisse aucunement être exprimé, au moinsest-il certain qu'il est composé de 5050446 chi�res, & que les six premierssont 181858, lesquels doivent être encore suivis vers la droite de 5050440autres, dont quelques-uns pourraient être déterminé avec des tables de loga-rithmes plus étendues ; c'est ainsi qu'on trouverait pour les onze premierschi�res 18185852986.

6.6 Chapitre VII

Du Développement des Quantités exponentielles & logarith-

miques en Séries.

114. Puisqu'on a a0 = 1, & qu'à mesure que l'exposant de a augmente, lavaleur de la puissance augmente aussi, pourvu que a soit un nombre plusgrand que l'unité ; il s'ensuit que si l'exposant surpasse in�niment peu zéro,la puissance surpassera l'unité aussi in�niment peu. Soit ω un nombre in�-niment petit, ou une fraction si petite qu'elle di�ère in�niment peu de zéro,on aura

aω = 1 + ψ,

ψ étant un nombre in�niment petit ; car il est constant par le Chapitreprécédent, que si ψ n'était pas in�niment petit, ω ne pourrait pas l'être nonplus. ψ sera donc ou = ω ou > ω, ou < ω, rapport qui dépendra toujoursde la valeur de la lettre a. Comme ce rapport est encore inconnu, faisonsψ = kω, de manière que

aω = 1 + kω;

si nous prenons a pour la base logarithmique, nous aurons

ω = l(1 + kω).

EXEMPLE

Pour faire voir plus clairement comment le nombre k dépend de la basea ; supposons a = 10, & cherchons au moyen des tables ordinaires, le lo-garithme d'un nombre qui excède de très peu l'unité, par exemple celui de

1 +1

1000000, de manière que kω =

1

1000000;

nous trouverons l(

1 +1

1000000

)= l

1000001

1000000= 0, 00000043429 = ω.


Donc à cause de kω = 0.00000100000,1

k=

43429

100000

& k =100000

43429= 2, 30258.

On voit par-là que k est un nombre �ni dépendant de la valeur de la basea ; car si nous eussions pris un autre nombre pour la valeur de la base a,le logarithme du même nombre 1 + kω, aurait eu un rapport donné avec lepremier, & il en serait résulté une autre valeur pour k

a. Pour Yahya Al Samaw'al (1130 ; 1180), un nombre rationnel est appelé nombrelogique, un nombre irrationnel est appelé nombre sourd.

b. Euler, �ls et petit �ls de pasteur était très croyant et s'opposait aux athées. Lesexemple ci-dessus sont destinés �me semble-t-il� à prouver la véracité des écrits bibliques

Pour tout a tel que a > 1, et ω in�niment petit, nous avons toujours aω = 1 + εavec ε in�niment petit.

Posons ε = kω, de sorte que aω = 1 + kωet dans la base logarithmique a nous avons ω = la(1 + kω).k est directement relié à la base a

Exemple : si a = 10 et ε = kω =1

1000000, (1 + kω) =

1000001

1000000nous trouvons

ω = l101000001

1000000= 0, 00000043429 · · · = 4, 3629 · · · .10−7.

Comme kω = 10−6, il vient k =10−6

4, 3629 · · · .10−7=

10

4, 3629 · · ·= 2, 30258 · · ·

Et dans une autre base b, il faudra diviser ce résultat par l10(b) car

lb(x) =la(x)

la(b)

De manière plus moderne et à la calculatrice :Calculons :

1010−6

= 1, 000002302587743945513560 · · ·

qui est très peu di�érent de (1 + k.10−6) en assignant à k la valeur trouvéeci-dessus.Changeons de base, passons en base 2 et cherchons maintenant, toujours à lacalculette,

210−6

= 1, 0000006931474207 · · ·

Et0, 000002302587743945513560

0, 0000006931474207= 3, 32193030768 · · · =

1

l10(2)


115. Puisque aω = 1 + kω, on aura

aiω = (1 + kω)i,

quelque nombre qu'on prenne pour i. Donc

aiω = 1 +i

1kω +

i(i− 1)

1 · 2k2ω2 +

i(i− 1)(i− 2)

1 · 2 · 3k3ω3 + etc

Si l'on fait i =z

ω, & que z représente un nombre quelconque �ni, à cause de

ω in�niment petit, i deviendra un nombre in�niment grand, & par consé-quent ω =

z

i, étant une fraction dont le dénominateur est in�ni, sera une

quantité in�niment petite, telle qu'elle a été supposée. Écrivons doncz

ià

la place de ω, & nous aurons a

az =

(1 +

kz

i

)i=

1+1

1kz+

1(i− 1)

1 · 2ik2z2+

1(i− 1)(i− 2)

1 · 2i · 3ik3z3+

1(i− 1)(i− 2)(i− 3)

1.2i.3i.4ik4z4 + etc;

équation, qui sera vraie, si l'on prend pour i un nombre in�niment grand,& alors k sera un nombre déterminé dépendant de la valeur de a, commenous venons de la voir.

116. Comme i est un nombre in�niment grand ; il s'en-suit que

i− 1

i= 1;

car il est évident que plus le nombre qu'on substituera à i sera grand, plus

la valeur de la fractioni− 1

iapprochera de l'unité ; donc si i est un nombre

plus grand qu'aucune quantité assignable, la fractioni− 1

iégalera l'unité.

Par une raison semblable ;

i− 2

i= 1

i− 3

i= 1 etc.

Concluons de-là que

i− 2

2i=

1

2;i− 2

3i=

1

3;i− 3

4i=

1

4;


ainsi des autres. Ces valeurs étant substituées, il en résultera

az = 1 +kz

1+k2z2

1 · 2+

k3z3

1 · 2 · 3+

k4z4

1 · 2 · 3 · 4+ etc l′infini.

Cette relation exprime en même temps la relation entre les nombres a &k ; car, en supposant z = 1, on aura

a = 1 +k

1+

k2

1 · 2+

k3

1 · 2 · 3+

k4

1 · 2 · 3 · 4+ etc

& pour que a = 10, il faut que k soit environ = 2, 30258 ; comme nousl'avons trouvé ci-dessus.

117. Supposonsb = an,

en prenant le nombre a pour la base logarithmique, nous aurons lb = n ; &puisque bz = anz, nous obtiendrons par une série in�nie

bz = 1 +knz

1+k2n2z2

1 · 2+k3n3z3

1 · 2 · 3+k4n4z4

1.2.3.4+ etc,

& en écrivant lb au lieu de n,

bz = 1 +kz

1lb+

k2z2

1 · 2(lb)2 +

k3z3

1 · 2 · 3(lb)3 +

k4z4

1 · 2 · 3 · 4(lb)4 + etc.

Ainsi, la valeur de la lettre k étant une fois connue par celle de la base a,une quantité exponentielles quelconque bz pourra être exprimée par une sé-rie in�nie, dont les termes marchent suivant les puissance de z. Cela posé,faisons voir à présent comment les logarithmes peuvent être développés enséries in�nies.

a. Bien que cette formule soit parfaitement exacte, il me semble que le traducteur aitremplacé �ou confondu� un i au numérateur et un i au dénominateur pour les remplacerpar un 1. La formule que je préfère est (voir le chapitre concernant le binôme de Newton) :(1 + kz

i

)i= 1 + i

ikz +

i(i−1)i·2i k2z2 +

i(i−1)(i−2)i·2i·3i k3z3 +

i(i−1)(i−2)(i−3)i.2i.3i.4i

k4z4 + etc ;

Formule mathématiquement rigoureusement identique puisque 11= i

i

Peut-on dé�nir une exponentielle de la forme ax sous la forme d'un développe-ment convergeant rapidement de sorte à en faciliter le calcul ?

Ayant dé�ni aω = 1 + kω, il vient Il vient : anω = (1 + kω)n.

En appliquant la formule du binôme de Newton, nous obtenons :

anω = 1 +n

1kω +

n(n− 1)

1 · 2k2ω2 +

n(n− 1)(n− 2)

1 · 2 · 3k3ω3 + etc (6.1)


Cherchons à nous débarrasser des termes en n et en ω. Pour ce faire, posons

n =z

ω, soit z = nω et ω =

z

navec z un nombre quelconque �ni. Comme ω est

in�niment petit, n devient in�niment grand et (n− 1) = n, (n− 2) = n, · · ·

Ré-écrivons la formule (6.1) de sorte que les termes en ω disparaissent. Il vient :

az =

(1 +

kz

n

)n=

1 +1

1kz +

1(n)

1 · 2ik2z2 +

1(n)(n)

1 · 2n · 3nk3z3 +

1(n)(n)(n)

1.2n.3n.4nk4z4 + etc; (6.2)

Donc,

az =

(1 +

kz

n

)n= 1 +

kz

1+k2z2

1 · 2+

k3z3

1 · 2 · 3+

k4z4

1 · 2 · 3 · 4+ · · · (6.3)

Nous pouvons donc exprimer n'importe quelle exponentielle sous la forme d'undéveloppement de la forme donné par l'équation (6.3). Le problème est la valeurde k, qui est reliée à celle de a par la formule obtenue en faisant z = 1, soit :

a =

(1 +

k

n

)n= 1 +

k

1+

k2

1 · 2+

k3

1 · 2 · 3+

k4

1 · 2 · 3 · 4+ · · · (6.4)

En e�et, supposons b = am, nous aurons la(b) = m et bz = amz. Reporté dansl'équation (6.3) il vient :

bz = amz = 1 +kmz

1+k2m2z2

1 · 2+k3m3z3

1 · 2 · 3+

k4m4z4

1 · 2 · 3 · 4+ · · · (6.5)

Et en remplaçant m par la(b) il vient :

bz = 1 +kz

1la(b) +

k2z2

1 · 2[la(b)]

2+

k3z3

1 · 2 · 3[la(b)]

3+

k4z4

1 · 2 · 3 · 4[la(b)]

4+ etc.

118. Comme aω = 1 + kω, ω étant une fraction in�niment petite, & quela relation entre a & k est donnée par cette équation :

a = 1 +k

1+

k2

1 · 2+

k3

1 · 2 · 3+ etc;

en prenant a pour la base logarithmique, nous aurons

ω = l(1 + kω) & iω = l(1 + kω)i;

or il est est visible que plus le nombre substitué à i sera grand, plus lapuissance (1 + kω)i surpassera l'unité, & qu'en faisant i = à un nombrein�ni, la valeur de la puissance (1 + kω)i s'élèvera au dessus de l'unité.


Donc si l'on suppose(1 + kω)i = 1 + x,

on aural(1 + x) = iω.

Il suit de là que le nombre iω, étant �ni, puisqu'il est le logarithme dunombre 1 + x, i doit être in�niment grand ; car autrement iω ne pourraitavoir une valeur �nie.

119. Ayant fait(1 + kω)i = 1 + x;

[on aura]1 + kω = (1 + x)

1i , & kω = (1 + x)

1i − 1

d'où

iω =i

k

[(1 + x)

1i − 1

].

Or iω = l(1 + x) ; donc

l(1 + x) =i

k(1 + x)

1i − i

k,

i étant supposé in�niment grand ; mais a

(1 + x)1i = 1 + 1

i x−1(i−1)i·2i x2 + 1(i−1)(2i−1)

i·2i·3i x3 − 1(i−1)(2i−1)(3i−1)i·2i·3i·4i x4 + etc

& à cause de i in�niment grand

i− 1

2i=

1

2

2i− 1

3i=

2

3;

3i− 1

4i=

3

4etc

donc

i(1 + x)1i = i+

x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ etc,

& par conséquent

l(1 + x) =1

k

(x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ etc

),

a étant toujours la base logarithmique, & k désignant le nombre relatif àcette base, de manière qu'on ait l'équation

a = 1 +k

1+

k2

1 · 2+

k3

1 · 2 · 3+ etc

120. Puisque nous avons trouvé une série égale au logarithme du nombre1 + x, nous pourrons à son aide, la base a étant donnée, représenter la


valeur du nombre k. En e�et, supposons 1 +x = a, à cause de la = 1, nousaurons

1 =1

k

(a− 1

1− (a− 1)2

2+

(a− 1)3

3− (a− 1)4

4+ etc

)& par conséquent

k =a− 1

1− (a− 1)2

2+

(a− 1)3

3− (a− 1)4

4+ etc

Série in�nie, dont la valeur, en faisant a = 10, devra être à-peu-près =2, 30258, quoiqu'il soit di�cile de concevoir que

2, 30258 =9

1− 92

2− 93

3+

94

4+ etc;

parce que les termes de cette série vont toujours en augmentant, & qu'il nesu�t pas par conséquent d'en calculer quelques-uns pour obtenir une valeurapprochée. Nous remédierons tout-à-l'heure à cet inconvénient.

121. Si

l(1 + x) =1

k

(x

1− x2

2+x3

3− x4

4− etc

);

en faisant x négative,

l(1− x) = −1

k

(x

1+x2

2+x3

3+x4

4+ etc

);

& ôtant la seconde partie de la première ;

l(1 + x)− l(1− x) = l1 + x

1− x=

2

k

(x

1+x3

3+x5

5− x7

7+ etc

).

Soit maintenant1 + x

1− x= a,

de manière que

x =a− 1

a+ 1,

à cause de la = 1,

k = 2

(a− 1

a+ 1+

(a− 1)3

3(a+ 1)3+

(a− 1)5

5(a+ 1)5+ etc

);


équation qui donne la valeur du nombre k, lorsqu'on connait celle de la basea. Ainsi en faisant a = 10, on aura

k = 2

(9

11+

93

3.113+

95

5.115+

97

7.117+ etc

);

série assez convergente, pour qu'on en puisse tirer promptement la valeurapprochée de k.

a. voir le chapitre concernant le binôme de Newton

Peut-on dé�nir un logarithme de la forme la(x) sous la forme d'un développe-ment convergeant rapidement de sorte à en faciliter le calcul ?

Ayant posé aω = (1 + kω), avec k et a reliés par la formule (6.4) il vientω = la(1 + kω) et iω = la(1 + kω)i.Posons

(1 + kω)i = (1 + x)

Oriω = la(1 + kω)i donc iω = la(1 + x)

iω étant le logarithme de (1 + x), ce produit est �ni et implique que i estin�niment grand, puisque ω est in�niment petit.Comme (1 + kω)i = (1 + x) il vient

1 + kω = (1 + x)1i , & kω = (1 + x)

1i − 1 (6.6)

d'où

iω =i

k

[(1 + x)

1i − 1

].

Or iω = l(1 + x) ; donc

la(1 + x) =i

k(1 + x)

1i − i

k, (6.7)

En appliquant la formule du binôme de Newton à (1 + x)1i il vient :

(1+x)1i = 1+

1

ix−1(i− 1)

i · 2ix2+

1(i− 1)(2i− 1)

i · 2i · 3ix3−1(i− 1)(2i− 1)(3i− 1)

i · 2i · 3i · 4ix4 + etc

Comme i est in�niment grand, il vient que(bi− 1)

ci=b

cdonc

i(1 + x)1i = i+

x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ etc,

et de par l'équation (6.7)

la(1 + x) =1

k

(x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ etc

)(6.8)


a étant toujours la base logarithmique, reliée à k par l'équation (6.4) Nouspouvons donc exprimer n'importe quelle logarithme sous la forme d'un dévelop-pement de la forme donné par l'équation (6.7). Le problème reste est la valeurde k, qui est reliée à celle de a par la formule (6.4).

La formule (6.4) permet aisément de trouver la base a, une fois k �xé, maispas k, une fois la base �xée.Essayons donc de déterminer cette base a, connaissant k.Rendons x négatif dans l'équation (6.8). Il vient :

la(1− x) = −1

k

(x

1+x2

2+x3

3+x4

4+ etc

); (6.9)

En faisant (6.8) - (6.9) il vient :

la(1 + x)− la(1− x) = la1 + x

1− x=

2

k

(x

1+x3

3+x5

5− x7

7+ etc

). (6.10)

Et dé�nissons a =1 + x

1− x, de manière que x =

a− 1

a+ 1.

Reportons cette valeur de x dans l'équation (6.10). Comme laa = 1, il vient :

k = 2

(a− 1

a+ 1+

(a− 1)3

3(a+ 1)3+

(a− 1)5

5(a+ 1)5+ etc

);

équation qui donne la valeur du nombre k, lorsqu'on connait celle de la base a.Ainsi en faisant a = 10, on aura

k = 2

(9

11+

93

3.113+

95

5.115+

97

7.117+ etc

);

série assez convergente, pour qu'on en puisse tirer promptement la valeur ap-prochée de k.

L'article 122 dé�nit la base des logarithmes naturels comme 1 + la sommeà l'in�ni des inverses des factorielles. Ce qui est souvent présenté comme unemerveilles des mathématiques n'est en fait que la dé�nition même du nombre e.Euler en cherchant à exprimer les logarithmes et les exponentielles en tant queséries � rapidement � convergentes, dans le but de les calculer plus rapidementet avec plus de précision, invente donc les logarithmes naturels et leur base e.

122. Comme on peut prendre à volonté la base a pour établir un système delogarithmes, nous pourrons la prendre telle, que k devienne = 1. Supposonsdonc k = 1 ; la série trouvée ci-dessus (art.116) deviendra

a = 1 +1

1+

1

1.2+

1

1.2.3+

1

1.2.3.4+ etc,


dont les termes convertis en décimales, % ajoutés donnent pour a cettevaleur

2, 71828182845904523536028,

dont le dernier chi�re est encore exact. Les logarithmes calculés sur cettebase, s'appellent Logarithmes naturels ou hyperboliques, parce qu'ils peuventreprésenter la quadrature de l'hyperbole. Au reste, pour abréger nous dé-signerons constamment ce nombre 2, 71828182845904523536028etc par lalettre e, qui indiquera par conséquent la base des logarithmes naturels ouhyperboliques, à laquelle correspond la valeur de k = 1 ; c'est à dire, quecette lettre e exprimera la somme de série

1 +1

1+

1

1 · 2+

1

1 · 2 · 3+

1

1 · 2 · 3 · 4+ etc,

continuée à l'in�ni

Pour �nir, et ne plus avoir à se préoccuper de ce nombre k dans l'équation(6.3), il est tentant de dé�nir une base de logarithme en �xant k = 1. Cette basesera égale à

a =

(1 +

1

n

)n= 1 +

1

1+

1

1 · 2+

1

1 · 2 · 3+

1

1 · 2 · 3 · 4+ · · · (6.11)

Appelons e cette valeur, qui vaut sensiblement 2, 71828182845904523536028 . . .

Nous obtenons donc, non pas par quelque mystère mathématique, mais

Par dé�nition e = 1 +1

1+

1

1 · 2+

1

1 · 2 · 3+

1

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

Dans cette base, comme k = 1, nous avons aussi l'équation (6.3) qui détermineque, pour n in�niment grand,

Par dé�nition ez =(

1 +z

n

)n= 1 +

z

1+

z2

1 · 2+

z3

1 · 2 · 3+

z4

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

Ou encore sous une forme plus moderne :

Par dé�nition ex = limn→+∞

(1 +x

n)n =

+∞∑n=0

xn

n!


123. Telle est donc la propriété des logarithmes hyperboliques, que celui dunombre 1+ω = ω ; ω signi�ant une quantité in�niment petite, & comme envertu de cette propriété k = 1, on pourra obtenir les logarithmes hyperbo-liques de tous les nombres. Ainsi, en écrivant e à la place du nombre trouvéci-dessus, on aura toujours

ez = 1 +z

1+

z2

1 · 2+

z3

1 · 2 · 3+

z4

1 · 2 · 3 · 4+ etc,

Quant aux quantités hyperboliques, on les calculera au moyen des séries

l(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+x5

5etc,

&,

l1 + x

1− x=

2x

1+

2x3

3+

2x5

5+

2x7

7+

2x9

9+ etc,

lesquelles sont très convergentes, si on prend pour x une fraction très pe-tite. Ainsi avec la dernière série on trouvera sans peine les logarithmes desnombres, qui ne sont pas beaucoup plus grands que l'unité.

En e�et en faisant x =1

5, on aura

l6

4= l

3

2=

2

1 · 5+

2

3 · 53+

2

5 · 55+

2

7 · 57+ etc

En faisant x =1

7, on trouvera

l4

3=

2

1 · 7+

2

3 · 73+

2

5 · 75+

2

7 · 77+ etc

En faisant x =1

9, on obtiendra pareillement

l5

4=

2

1 · 9+

2

3 · 93+

2

5 · 95+

2

7 · 97+ etc

Or les logarithmes de ces fractions feront trouver ceux des nombres entiers ;car par la nature des logarithmes

l3

2+ l

4

3= l2;

alors

l3

2+ l2 = l3 et 2l2 = l4


Ensuite

l5

4+ l4 = l5, l2 + l3 = l6, 3l2 = l8, 2l3 = l9, etl2 + 15 = l10.

. . .l7 que j'ai calculé de cette manière : j'ai fait dans la dernière série x = 199

& j'ai obtenu

l100

98= l

50

99= 0, 0202027073175794484078230,

lequel étant soustrait de

l50 = 2l5 + l2 = 3, 9120230054281460586187508,

donne pour reste l29, dont la moitié donne l7

124. faisons le logarithme hyperbolique de 1 + x ou l(1 + x) = y, nousaurons

y =x

1+x2

2+x 3

3+x4

4+ etc

Prenons à présent le nombre a pour base logarithmique, & soit dans cettehypothèse, = v le logarithmes du même nombre 1 +x, nous aurons, commenous l'avons vu,

v =1

k

(x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ etc

)=y

k

Donck =

y

v,

ce qui fournit un moyen très commode de déterminer la valeur de k corres-pondante à la base a, puisqu'elle se trouve égale au logarithme hyperboliqued'un nombre quelconque, divisé par le logarithme du même nombre formésur la base a.Ainsi, en supposant ce nombre = a, on aura v = 1, & par conséquent k =au logarithme hyperbolique de la base a. Dans le système des logarithmesordinaires, où a = 10, k sera = au logarithme hyperbolique de 10, ou

k = 2, 3025850929940456840179914;

valeur dont nous avions déjè approché d'assez près. Si donc on divise tousles logarithmes hyperboliques par ce nombre k, ou ce qui revient au même,si on les multiplie par la fraction décimale

0, 4342944819032518276511289,


on aura les logarithmes ordinaires, qui conviennent à la base a = 10.

125. Puisque

ez = 1 +z

1+

z2

1 · 2+

z3

1 · 2 · 3+ etc;

Si l'on suppose ay = ez ; on aura, en prenant les logarithmes hyperboliques,yla = z, à cause de le = 1. Cette valeur substituée à z donnera

ay = 1 +yla

1+y2(la)2

1 · 2+y3(la)3

1 · 2 · 3+ etc;

Donc une quantité exponentielle quelconque peut être convertie en une sé-rie in�nie, à l'aide des logarithme hyperboliques ; mais aussi, i désignant unnombre in�niment grand, les quantités exponentielles & logarithmes peuventêtre représentées par des puissances. En e�et,

ez = (1 +z

i)i,

& par conséquent

ay = (1 +yla

i)i;

d'ailleurs , on a pour les logarithmes hyperboliques

l(1 + x) = i[(1 + x)

1i − 1

]Au surplus, l'usage des logarithmes est démontrés plus en détail dans lecalcul intégral.

Dans cette base e, notons ln le logarithme. Nous avons

Par dé�nition : ln(1 + ε) = ε

A la calculatrice nous trouvons ln(1 + 10−6) = 0.999999500000.10−6.

Et pour �nir, en reportant k = 1 dans les équations (6.8) et (6.6), il vient,pout i in�niment grand,

Par dé�nition : ln(1 + x) =

(x

1− x2

2+x3

3− x4

4+ · · ·

)Et,

Par dé�nition : ln(1 + x) = i (1 + x)1i − i

Ou encore sous une forme plus moderne, en posant z = (1 + x) :

Par dé�nition : ln(z) = limn→+∞

n(z

1n − 1

)

6.7. DES QUANTITÉS TRANSCENDANTES QUI NAISSENT DU CERCLE145

6.7 Des quantités transcendantes qui naissent ducercle

Dans le chapitre suivant, M. Euler toujours obnubilé par les calculs, s'at-taque aux lignes trigonométriques et en recherche l'expression sous forme deséries � rapidement � convergentes.Seuls de courts extraits seront retranscrits ici.

Dans l'article 126 , M. Euler nomme π la longueur d'un arc de 180 degrés,rappelle que cette valeur est irrationnelle et en donne une valeur avec 127 chi�resaprès la virgule.Dans les articles suivants sont rappelés les formules des sommes et produits deslignes trigonométriques, ainsi que celles des angles doubles et des angle moitiés.L'article 122 introduit les nombres imaginaires dans la trigonométrie de la ma-nière suivante :

132. Puisque

sin2z + cos2z = 1,

en décomposant en facteurs, on aura

(cosz +√−1sinz)(cosz −

√−1sinz) = 1

Ces facteurs, quoique imaginaire, sont d'un grand usage dans la combinai-son & dans la multiplication des arcs. En e�et, cherchons le produit de cesfacteurs

(cosz +√−1sinz)(cosy +

√−1siny)

nous trouverons

cosy.cosz − siny.sinz + (cosy.sinz − siny.cosz)√−1;

mais commecosy.cosz − sinysinz = cos(y + z),

&cosy.sinz − sinycosz = sin(y + z);

nous obtiendrons ce produit

(cosy +√−1siny)(cosz +

√−1sinz) = cos(y + z) +

√−1sin(y + z)

Semblablement

(cosy −√−1siny)(cosz −

√−1sinz) = cos(y + z)−

√−1sin(y + z)


De même

(cosx±√−1sinx)(cosy ±

√−1siny)(cosz ±

√−1sinz) = cos(x+ y + z)±√

−1sin(x+ y + z).

133. Il suit de là que

(cosz ±√−1sinz)2 = cos2z ±

√−1sin2z

et(cosz ±

√−1sinz)3 = cos3z ±

√−1sin3z

& qu'en général

(cosz ±√−1sinz)n = cosnz ±

√−1sinnz :

d'où nous tirerons à cause du double signe

coznz =(cosz +

√−1sinz)n + (cosz −

√−1sinz)n

2

&

sinnz =(cosz +

√−1sinz)n − (cosz −

√−1sinz)n

2√−1

Donc en développant ces binômes en séries, nous aurons

cosnz = (cosz)n − n(n− 1)

1 · 2(cosz)n−2(sinz)2

+n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

1 · 2 · 3 · 4(cosz)n−4(sinz)4

+n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4)

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6(cosz)n−6(sinz)6 + etc

et

sinnz =n

1(cosz)n−1sinz − n(n− 1)(n− 2)

1 · 2 · 3(cosz)n−3(sinz)3

+n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4)

1 · 2 · 3 · 4 · 5(cosz)n−5(sinz)5 − etc

134. Soit z un arc in�niment petit, alors sinz = z, & cosz = 1 ; soit enmême temps n un nombre in�niment grand, pour faire que l'arc nz soit unegrandeur �nie, pour que nz, par exemple, = v ; à cause de sinz = z =

v

n,

on aura

cosv = 1− v2

1 · 2+

v4

1 · 2 · 3 · 4− v6

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6+ etc


&

sinv = v − v3

1 · 2 · 3+

v5

1 · 2 · 3 · 4 · 5− v7

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7+ etc

Ainsi l'arc v étant donné, on pourra à l'aide de ces séries, trouver son sinus& son cosinus.. . .

En�n l'article 138 annonce :

138. Supposons encore dans les formules précédentes (art. 133) l'arc zin�niment petit, & n un nombre in�niment grand i, a�n d'obtenir pour izune valeur �nie v ; nous aurons donc nz = v, & z =

v

i, & par conséquent

sinz =v

i, & cosz = 1 ; ces substitutions faites donneront

cosv =

(1 + v

√−1i

)i+(

1− v√−1i

)i2

et

sinv =

(1 + v

√−1i

)i−(

1− v√−1i

)i2√−1

Or dans le chapitre précédent, nous avons vu que(1 +

z

i

)i= ez,

e désignant la base des logarithmes hyperboliques ; ayant donc écrit pour z,d'une part +v

√−1 & d'autre part −v

√−1, on aura

cosv =e+v√−1 + e−v

√−1

2

et

sinv =e+v√−1 − e−v

√−1

2√−1

On comprend par là comment les quantités exponentielles imaginaires seramènent à des sinus & à des cosinus d'arcs réels. On aura aussi

e+v√−1 = cosv +

√−1sinv

ete−v√−1 = cosv −

√−1sinv

Soit la démonstration, en posant i =√−1, que e(iπ) + 1 = 0.


139. Supposons à présent dans les mêmes formules (art. 133) n un nombre

in�niment petit, ou n =1

i, i étant un nombre in�niment grand, nous aurons

cos(nz) = cos(zi

)= 1, & sin(nz) = sin

(zi

)=z

i;

car le sinus d'un arcz

i, qui s'évanouit, est égal à cet arc, & son cosinus

= 1. Cela posé nous aurons

1 =(cosz +

√−1sinz)

1i + (cosz −

√−1sinz)

1i

2

&z

i=

(cosz +√−1sinz)

1i − (cosz −

√−1sinz)

1i

2√−1

Or en prenant les logarithmes hyperboliques, nous avons fait voir (art. 125)que

l(1 + x) = i(1 + x)1i − i ou y

1i = 1 +

1

ily,

en mettant y à la place de 1 + x. Donc si mous écrivons à présent aulieu de y, d'une part cosz +

√−1sinz, & de l'autre cosz −

√−1sinz, nous

trouverons

1 =1 + 1

i l(cosz +√−1sinz) + 1

i l(cosz −√−1sinz)

2= 1,

à cause des logarithmes qui deviennent nuls, de sorte que nous n'en pouvonsrien conclure ; mais l'autre équation relative au sinus donne

z

i=

1i (cosz +

√−1sinz)− 1

i (cosz −√−1sinz

2√−1

& par conséquent

z =1

2√−1

l

(cosz +

√−1sinz

cosz −√−1sinz

)On voit d'après cela comment les logarithmes imaginaires se ramènent auxarcs circulaires.

140. A cause desinz

cosz= tanz, on aura l'expression d'un arc z par sa tan-

gente de cette manière :

z =1

2√−1

l1 +√−1tanz

1−√−1tanz


Or nous avons vu ci dessus (art 123) que

l1 + 1

1− x=

2x

1+

2x2

3+

2x5

5− 2x7

7− etc

donc en supposant x =√−1tanz, nous aurons

z =tanz

1− (tanz)3

3+

(tanz)5

5− (tanz)7

7+ etc

Faisons donc tanz = t, de sorte que z soit l'arc dont la tangente est t, &que nous désignerons ainsi : Atant, ce qui donne z = Atant. La tangente tétant connue, l'arc correspondant sera

z =t

1− t3

3+t5

5− t7

7+t9

9− etc

Puis donc qu'en supposant la tangente t égale au rayon 1, l'arc z devient= à l'arc de 45�ou z =

π

4, nous trouverons

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ etc;

série que Leibnitz a donnée le premier pour exprimer la valeur de la cir-conférence du cercle.141. Mais pour obtenir promptement, au moyen d'une telle série, la lon-gueur d'un arc de cercle, [. . .] on choisit ordinairement pour remplir ce but

l'arc de 30�dont la tangente =1√3[. . .]. On aura

π

6=

1√3− 1

3 · 3√

3+

1

5 · 32√

3− etc;

&

π =2√

3

1− 2√

3

3 · 3+

2√

3

3 · 32− 2√

3

7 · 33+ etc

Et c'est par le moyen de cette série,& avec un travail incroyable, qu'on estvenu à bout de trouver la valeur de π que nous avons donnée ci-dessus.

142. Ce calcul est d'autant plus pénible, que tous les termes sont irration-nels, & chacun d'eux n'est guère plus petit que le tiers de celui qui précède.

Et �ni par donner pourπ

4, une série rationnelle beaucoup plus convergente.


6.8 Binôme de Newton

Calculons (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e). Appelons n le nombre de termesdu produit, soit ici n = 5.Il est évident qu'un des termes de ce produit sera xn = x5 et un autre seraformé du produit des n termes abcde.De même il y aura autant de terme en xn−1 qu'il y a de termes dans les produits( SoiENt n termes en xn−1 : un pour a, un pour b, un pour c, etc). De même ily aura autant de terme en xn−2 que de paires possibles - 2 parmi n - (un pourab, un pour ac, un pour ad, un pour ae ,un pour bc, etc)Et il y aura autant de terme en xn−3 que de triplets possibles - 3 parmi n - (unpour abc, un pour abd ,un pour bad, un pour abe ,un pour bcd, etc)etcIl y aura autant de terme en xn−m que de mplets possibles - m parmi n -

Essayons de résumer ceci dans un tableau :

x5 + ax4 + abx3 + abcx2 + abcdx + abcde+ bx4 + acx3 + abdx2 + abcex+ cx4 + adx3 + abex2 + acdex+ dx4 + aex3 + acdx2 + bcdex+ ex4 + bcx3 + acex2

+ bdx3 + adex2

+ bex3 + bcdx2

+ cdx3 + bcex2

+ cex3 + bdex2

+ dex3 + cdex2

En conclusion, chaque puissance m de x, pour 0 ≤ m ≤ n, est présente au-tant de fois que de combinaisons possibles (n−m) parmi n.

Rappel : Le nombre de combinaisons (tiercé dans le désordre : abc = acb ) de péléments tirés d'un ensemble de n éléments est : Cpn = n!

p!(n−p)! aussi noté(np

).

Utilisons cette formule pour calculer (x + a)n. Il vient le polynôme de New-ton :

(x+ a)n =n∑p=0

(np

)xn−pap et appliquons le à (1 + y)n.

Le terme pour p = 0 est n!0!n!1

0y0 = 1.

Le terme pour p = 1 est n!1!(n−1)!1

n−1y1 = ny car n! = n(n− 1)!


n−2y2 = n(n−1)2! y2 car n! = n(n−1)!(n−2)


n−3y3 = n(n−1)(n−2)3! y3

6.8. BINÔME DE NEWTON 151


n−4y4 = n(n−1)(n−2)(n−3)4! y4

etc.

6.8.1 (1 + kzi)i

Calculons (1 + kzi )i. Il vient :

(1+ kzi )i = 1+ ikzi + i(i−1)

2!

(kzi

)2+ i(i−1)(i−2)

3!

(kzi

)3+ i(i−1)(i−2)(i−3)

4!

(kzi

)4+etc

Remarquons en�n que la factorielle au dénominateur est celle de la puissancedu terme kz

i et que n!in = 1i.2i.3i.4i...ni. Il vient :(1 + kz

i

)i= 1 + i

ikz + i(i−1)i·2i k

2z2 + i(i−1)(i−2)i·2i·3i k3z3 + i(i−1)(i−2)(i−3)

i.2i.3i.4i k4z4 + etc

6.8.2 (1 + x)1i

Calculons (1 + x)1i . Il vient :

(1+x)1i = 1+ 1

i x+ 1i2! (

1i −1)x2+ 1

i3! (1i −1)( 1

i −2)x3+ 1i4! (

1i −1)( 1

i −2)( 1i −3)x4+

etcor

1i2! (

1i − 1) = 1

i2! (1−ii ) = (1−i)

i.2i = − (i−1)i.2i

et

1i3! (

1i − 1)( 1

i − 2) = 1i3! (

1−ii )( 1−2i

i ) = (i−1)(2i−1)i.2i.3i

et

1i4! (

1i − 1)( 1

i − 2)( 1i − 3) = 1

i4! (1−ii )( 1−2i

i )( 1−3ii ) = − (i−1)(2i−1)(3i−1)

i.2i.3i.4i

etcdonc(1 + x)

1i = 1 + 1

i x−(i−1)i.2i x

2 + (i−1)(2i−1)i.2i.3i x3 − (i−1)(2i−1)(3i−1)

i.2i.3i.4i x4 etc


Des déductions d'observationssimples

Dans ce chapitre, un observateur est placé dans des conditions d'observationdu ciel les plus simples possibles, sans appareillage sophistiqué.Cet observateur est supposé être détaché de tout dogme et de toute croyancepopulaire, son esprit est libre et prêt à accepter les déductions de ses observa-tions ainsi que leurs conséquences même si celles-ci remettent profondément encause sa représentation du monde.Nous supposerons l'observateur placé dans l'hémisphère nord, en un endroit avecpeu d'obstacles à sa vue, dans quelque direction que ce soit, peu de reliefs, peude végétation, peu de bâtiments. Quelques uns de ces éléments sont néanmoinsnécessaires a�n de disposer de repères permettant de quanti�er les observations.En ce lieu, le climat permet des observations régulières et rapprochées : le cielne se couvre pas pour de longues périodes ininterrompues.Pour cet observateur, le système de référence qui s'impose en premier, est celuidont il est le centre. Il observe � pour lui � et ne partage pas �encore� ses ob-servations. Ce premier système de référence est le système local.En tournant sur lui-même, l'observateur de part sa limite de vision, dé�ni sonhorizon local : un cercle dont il occupe le centre. Il existe pour lui une directionprivilégiée et un plan privilégié qui peuvent être aisément déterminés et avecgrande précision : ce sont la verticale locale et le plan horizontal. La verticalelocale est dé�nie par la direction du �l à plomb dans sa position d'équilibre, leplan horizontal est dé�ni par la surface libre d'un liquide en équilibre au lieud'observation. De plus la verticale locale est perpendiculaire au plan horizontal.

La plus grande partie, du moins en durée, de l'astronomie ancienne, et mêmejusqu'au début du XXe siècle, a consisté à observer et à consigner les levers, lescouchers et les points culminants du Soleil, de la Lune, et de quelques étoiles ouensembles d'étoiles regroupées en astérismes a�n de pouvoir les identi�er.Notre observateur fait de même et débute ses observations en hiver, disons enjanvier de notre calendrier. Nous considérerons qu'il connait déjà la direction dela plus haute élévation du soleil sur l'horizon, soit le sud. Cette hypothèse n'estélaborée que pour simpli�er les explications. Toutes les déductions qui suiventrestent possibles sans que l'observateur connaisse le sud.

153


Notre observateur regarde plein sud et observe la course du Soleil. Celui se lèveet monte obliquement dans le ciel, de la gauche vers la droite jusqu'à un pointculminant, puis redescend et se couche à sa gauche. A ce moment apparaissentdans le ciel des astres qui décrivent aussi une trajectoire de la gauche vers ladroite, avec un point culminant, tout comme le soleil. De plus chaque astre à satrajectoire propre, qui ne croise jamais celle d'un autre astre.Disposant d'un instrument de mesure du temps, il détermine que le soleil metle même temps entre le lever et le point culminant qu'entre le point culminantet le coucher. Il mesure cette égalité aussi pour les astres, bien que ces tempssoient di�érents pour chacun d'entre-eux. Pour les astres, ces temps sont d'au-tant plus important que l'astre considéré s'est levé plus à gauche (donc couchéplus à droite).Réitérant ses observations quelques jours plus tard, il constate que le Soleil selève plus à gauche, monte plus haut dans le ciel et se couche plus à droite. Ace moment, les astres qu'il avait vu, lors de sa première observation, se leverau moment du coucher du soleil sont déjà au dessus de l'horizon : Les astresn'attendent donc pas de se lever pour s'allumer, ni le coucher du soleil pour semettre en mouvement, celui-ci est indépendante du soleil. De même qu'ils n'at-tendent pas de se lever pour s'allumer il est très probable qu'ils ne s'éteignentpas lors de leur coucher : les astres sont toujours présents, leur faible clarté estnoyée dans celle du Soleil le jour, et ils ne sont donc pas visible quand le Soleilbrille.La disposition relative des astres entre-eux est la même que lors de la premièreobservation : les astérismes restent identiques à eux-même aussi bien lors d'uneobservation que d'une observation à l'autre.En�n, de la même manière qu'il a observé que plus un astre se lève vers le sud,plus vite il se couche, il observe que dans la direction opposée, certains astresne se couchent jamais, chacun de ceux-ci semblant décrire un cercle, tous lescercles ayant le même centre et ce centre n'est pas directement à la verticale del'observateur.

Figure 6.9 � Les étoiles décrivent des cercle autour d'un point

Il imagine donc, que toutes les étoiles décrivent un cercle, et que celles quise lèvent et se couchent décrivent la portion de cercle non-vue sous l'horizon del'observateur.

6.8. BINÔME DE NEWTON 155

Il en découle, de toute apparence que le ciel tourne autour de lui. De plus, au-cune étoile ne semble plus proche, ou plus éloignée que les autres, elles paraissenttoutes à la même distance de l'observateur et comme de plus les astérismes sontconservés, il en déduit que toutes les étoiles parcourent leur cercle à la mêmevitesse angulaire : elles sont comme liées entre-elles.Il les place donc sur une sphère dont il est le centre. Cette sphère tourne à vitesseconstante selon un axe incliné, ce qui explique pourquoi les astres et le Soleilne parcourent pas le ciel à hauteur sur l'horizon constante. Il n'en voit qu'unepartie, la partie invisible est sous son horizon.

Réitérant ses observations, il comprend l'intérêt de les consigner pour lestransmettre aux observateurs à venir, lui même aimerait pro�ter d'observationse�ectuées par des observateurs avant lui. Il nomme certains astres bien recon-naissables. Il donne aussi un nom aux astérismes. Il appelle zénith, le point situéà la verticale de sa tête, c'est à dire le pôle de l'horizon local en direction duhaut. Tout cela simpli�e ses consignations d'observations.Après de nombreuses observations il s'aperçoit que quelques astres ne conserventpas leurs écarts par rapport aux autres : il les appelle les � errants �. Le mou-vement des errants l'étonne car non seulement les errants se déplacent par rap-port aux autres astres, mais leurs mouvements sont contraires à celui des astres�xes, parfois ce mouvement s'arrête, s'inverse puis reprend son cours principal.Ce mouvement ne peut se concevoir que si les errants ne sont pas sur la sphèredes astres �xes. Il ne trouve aucune corrélation directe entre les mouvementsdes errants, il semble que chacun est sur sa propre sphère. De plus, alors queles étoiles occupent tout le ciel, il observe que les errants n'en occupent qu'unebande étroite, située grossièrement dans la portion de ciel parcourue par lacourse du soleil durant le jour.Lors de ses nombreuses observations diurnes, il remarque qu'il survient un jourou le Soleil à midi est moins haut dans le ciel que le jour précédant, alors quedepuis le début de ses observations, le point culminant du Soleil était toujoursplus haut, d'un jour à l'autre. À partir de cette date, le Soleil se lève de moinsen moins à sa gauche et monte de moins en moins haut dans le ciel. Puis aprèsune période d'environ cent quatre vingt jours, le phénomène s'inverse : le pointculminant s'élève à nouveau.Sa représentation de la course du Soleil dans l'hémisphère céleste est celle deslignes jaunes dans la �gure 6.10.

P est le point autour duquel tournent les astres qui ne se couchent jamais.Les points e et h représentent les hauteurs maximale et minimale du point culmi-nant du soleil de midi dans le ciel, au cours de l'année.Ces hauteurs sont-elles identiques d'une année à l'autre ?

A�n de conserver quelques traces de ses observations, et de disposer de va-leurs mesurées et traçables, il décide d'utiliser l'ombre d'un bâton planté verti-calement dans le sol comme instrument de mesure. Cette ombre lui donne deuxindications : une indication de direction, celle du Soleil, et une indication de lon-


Figure 6.10 � Hémiphère célèste

gueur, elle même proportionnelle à la hauteur de Soleil au dessus de l'horizon.Il peut donc consigner ces mesures (direction du Soleil, longueur de l'ombre)chronologiquement, selon son calendrier, et les comparer, à date égale, toujoursselon son calendrier, d'une année à l'autre (on supposera que son calendrier dis-pose d'une notion d'année).Pour mesurer la hauteur du Soleil il utilise la notion d'angle et sa mesure endegré, dont il en faut 360 pour faire une cercle complet 1 et nomme angle d'élé-vation cette hauteur. Il dé�ni l'azimut comme l'angle entre la projection d'unastre sur le plan de son horizon et le sud, parce cette direction est facile a dé-terminer.Dans la �gure 6.10 il cherche à mesurer l'angle OG′′G. Peut-être sait-il que, s'iltrace au sol OG′ de même longueur que son gnomon, soit OG′ = OG, perpen-diculairement à OG′′, les triangles GOG′′ et G′OG′′ sont identiques et qu'alorsil peut plus aisément mesurer au sol l'angle OG′′G′ qui est identique à l'angleOG′′G qu'il cherche à mesurer.Il lui faut pour cela savoir ce qui rend les triangles semblables, et savoir tracerla perpendiculaire à une droite dé�nie par deux points.Puis connaissant les angles d'élévation maximale et minimale, il se demande siun évènement particulier quali�e les jours de l'année (l'un lorsque cet angle estcroissant, l'autre lorsqu'il est décroissant) ou le soleil est exactement entre sesdeux angles.Il lui faut pour cela savoir diviser un angle en deux partie égales.Toujours selon cette �gure, il conserve au sol les traces du point G′′ au cours dela journée, et de quelques jours en quelques jours, disons que tous les 10 jours iltrace au sol la position du point G′′ toutes le trente minutes (selon nos minutes).Les courbes qu'il trace sont étranges et le laisse perplexe.

1. D'autres civilisations ont peut-être utilisé une autre division du cercle, cela ne changeen rien le raisonnement

6.9. TRACÉ D'UN CÔNE 157

Figure 6.11 � Le premier gnomon

6.9 Tracé d'un cône

Le nadir est l'antipode du zénith.Premier système de référence local : coordonnées horizontalesOn se place du point de vue de l'observateur, légèrement au dessus de son

horizon local, son sud (l'axe des x) est dirigé vers l'épaule gauche du lecteur. Lerepère choisi est tel que l'axe des x est orienté vers le sud, l'axe des y est orientévers l'est et l'axe des z est l'axe vertical (zénith du lieu).


Figure 6.12 � Cone

Liste des tableaux

159

Documents

· Table des matières 1 Des triangles plans 5 1.1 Quelques dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1.1 Hauteur