CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 01 Structures algébriquesExercice 1: (Axiomes faibles d’un groupe) Soient E un ensemble non vide muni d’une loi associative et e ∈ E tel que∀x ∈ E, xe = x (E admet un élément neutre à droite) et ∀x ∈ E,∃x′ ∈ E, xx′ = e (tout élément de E admet un inverse àdroite).1: Soit x ∈ E et x′ ∈ E tel que xx′ = e. On pose y = x′x, calculer y2 et en déduire que y = e.2: Montrer que e est l’élément neutre de E. En déduire que E est un groupe.Exercice 2: Soit G un ensemble muni d’une loi associative et qui admet un élément neutre e.1: On suppose que ∀x ∈ G, x2 = e. Montrer que G est un groupe abélien.2: On suppose que G est fini et tous les éléments de G sont réguliers. Montrer que G est un groupe.Exercice 3: Montrer que R∗ × R muni de la loi (a, b)(c, d) = (ac, ad+ b) est un groupe.Exercice 4: Montrer que R2 muni de la loi (a, b)(c, d) = (a+ c, bec + de−a) est un groupe.Exercice 5: Montrer que ]− 1, 1[ muni de la loi a ? b = a+b

1+ab est un groupe.Exercice 6: (Transport de structure) Soit (G, .) un groupe et E un ensemble tel qu’il existe une bijection f : G→ E.Montrer que E muni de la loi x ? y = f(f−1(x).f−1(y)) est un groupe isomorphe à (G, .).Exercice 7: (Centre d’un groupe) Soit G un groupe. Montrer que Z(G) = {x ∈ G/∀y ∈ G, xy = yx} est un sous groupe deG.Exercice 8: (Normalisateur d’une partie, centralisateur d’une partie) Soit G un groupe et A ⊂ G.1: Montrer que N (A) = {x ∈ G/xAx−1 = A} (normalisateur de A) est un sous-groupe de G.2: Montrer que C(A) = {x ∈ G/∀a ∈ A, ax = xa} (centralisateur de A) est un sous-groupe de G.Exercice 9: Soit G un groupe fini et H ⊂ G non vide. Montrer que H est un sous-groupe de G si et seulement si ∀a, b ∈H, ab ∈ H . Le résultat reste-t-il vrai si G n’est pas supposé fini ?Exercice 10: (Produit de deux sous-groupes) Soient G un groupe et H,K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est unsous-groupe de G si et seulement si HK = KH .Exercice 11: (Théorème de Lagrange) Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G.1: Montrer que x ∼ y ⇐⇒ x−1y ∈ H est une relation d’équivalence sur G.2: Montrer que x̄ = xH = {xh/h ∈ H}.3: Montrer que ∀x, y ∈ G, xH et yH sont équipotents.4: En déduire que l’ordre de H divise l’ordre de G (Théorème de Lagrange).5: Application : Soit G un groupe d’ordre fini. Montrer que ord(x)|ord(G).Exercice 12: Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n = ab avec a ∧ b = 1 et d’élément neutre e. On pose A = {x ∈G/xa = e} et B = {x ∈ G/xb = e}.1: Montrer que A et B sont des sous-groupes de G.2: Montrer que A ∩B = {e} et G = AB.Exercice 13: Montrer que tout groupe fini d’ordre premier est cyclique.Exercice 14: Montrer qu’un groupe n’admet pas de sous-groupes propres si et seulement si il est cyclique d’ordre premier ouréduit à l’élément neutre.Exercice 15: Le groupe (Q,+) est-t-il monogène ?Exercice 16: Montrer que tout sous-groupe d’un groupe monogène (resp. cyclique) est monogène (resp. cyclique).Exercice 17: Montrer qu’un groupe est fini si et seulement si l’ensemble de ses sous-groupes est fini.Exercice 18: Soit A = {r1, . . . , rn} une partie finie de Q. Montrer que le sous-groupe G de (Q,+) engendré par A estmonogène infini.Exercice 19: Soit G un groupe et x, y ∈ G. Montrer que xy et yx ont le même ordre.Exercice 20: Soient G un groupe. Montrer que si H et K sont deux sous-groupes de G d’ordres finis premiers entre eux alorsH ∩K = {e}.Exercice 21: Soient G un groupe et a ∈ G d’ordre fini. Montrer que ∀n ∈ N, ord(an) = ord(a)

ord(a)∧n .Exercice 22: Soient G un groupe d’élément neutre e et a, b ∈ G d’ordres finis tels que ab = ba.1: Montrer que si ord(a) ∧ ord(b) = 1 alors ord(ab) = ord(a)ord(b).2: Montrer que si < a > ∩ < b >= {e} alors ord(ab) = ord(a) ∨ ord(b).Exercice 23: Soient G un groupe groupe cyclique d’ordre n et a ∈ G tel que G =< a >. Montrer que ∀k ∈ {1, . . . , n}, <ak >=< ad > où d = k ∧ n.Exercice 24: (sous-groupe de torsion) Soit G un groupe abélien. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordres finis de G estun sous-groupe de G.Exercice 25: (Théorème de Cayley) Soit G un goupe fini d’ordre n. On note (Bij, ◦) le groupe des bijection sur G, ∀g ∈G, fg : x ∈ G 7→ gx et f : g ∈ G 7→ fg .Montrer que f est un morphisme injectif de G dans Bij. En déduire que G est isomorphe à un sous-groupe de Sn.Exercice 26: Soit n ≥ 2.1: Montrer que {(1, i)/2 ≤ i ≤ n} est un système générateur minimal de Sn.2: Montrer que {(i, i+ 1)/1 ≤ i ≤ n− 1} est un système générateur minimal de Sn.

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3: On considère la transposition τ = (1, 2) et le cycle σ = (1, 2, . . . , n) de Sn. Calculer σkτσ−k pour k ∈ {0, . . . , n − 2} eten déduire que τ et σ engendrent Sn.Exercice 27: Soit E un ensemble non vide. Montrer que (B(E),∆,∩) est un anneau.Exercice 28: Montrer que (C,+, ?) avec z ? z′ = zz′ + =mz=mz′ est un anneau.Exercice 29: Soit (A,+,×) un anneau tel que ∀x, y ∈ A, (xy)2 = x2y2. Montrer que ∀x, y ∈ A, xyx = x2y = yx2 et endéduire que A est commutatif.Exercice 30: Soit (A,+,×) un anneau et x, y ∈ A tel que 1− xy soit inversible. Montrer que (1− xy)y(1− xy)−1x = yx et(1− yx)y(1− y(1− xy)−1x = 1 et en déduire que 1− yx est inversible.Exercice 31: Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.Exercice 32: On pose ∀x, y ∈ R, x ? y = x+ y − 1 et x.y = x+ y − xy. Montrer que (R, ?, .) est un corps.Exercice 33: On pose ∀(a, b), (c, d) ∈ Q2, (a, b) ? (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b).(c, d) = (ac + 2bd, ad + bc). Montrer que(Q2, ?, .) est un corps.Exercice 34: (Le nilradical) Soit A un anneau commutatif. Montrer que l’ensembleN (A) des éléments nilpotents de A est unidéal.Exercice 35: (L’annulateur d’un idéal, le conducteur d’une partie) Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A.1: Montrer que J = {a ∈ A/∀i ∈ I, ai = 0} est un idéal de A (l’annulateur de I).2: Soit S une partie de A. Montrer que K = {a ∈ A/∀s ∈ S, as ∈ I} est un idéal de A (le conducteur de S dans I).Exercice 36: Soient A un anneau commutatif, B un sous-anneau de A et I un idéal de A.Montrer que B + I est un sous-anneau de A.Exercice 37: Soit A un anneau principal tel que tout suite décroissante d’idéaux est stationnaire. Montrer que A est un corps.Exercice 38: Soient A un anneau commutatif.1: Montrer que l’union d’une suite croissante (In) d’idéaux de A est un idéal de A.2: En déduire que, si A est principal, toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire.Exercice 39: Montrer qu’un anneau intègre qui possède un nombre fini d’idéaux est un corps.Exercice 40: (Radical d’un idéal) A un anneau commutatif et I, J deux idéaux de A.On appelle radical d’un idéal K de A l’ensemble

√K = {x ∈ A/∃n ∈ N∗, xn ∈ K}.

1: Montrer que√I est un idéal de A et que I ⊂

√I .

2: Montrer que si J un idéal de A tel que I ⊂ J alors√I ⊂√J .

3: Montrer que√√

I =√I ,√I ∩ J =

√I ∩√J et√I + J =

√√I +√J .

Exercice 41: (Idéal premier, idéal maximal) Soient A un anneau commutatif et I un idéal de A.On dit que I est un idéal premier si I 6= A et ∀x, y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I .On dit que I est un idéal maximal si I 6= A et pour tout idéal J de A telque I ⊂ J alors J = I ou J = A.1: Soient I, J et K trois idéaux de A avec I premier. Montrer que si J ∩K = I alors J = I ou K = I .2: Montrer qu’un idéal maximal est premier.3: On suppose que A est principal. Montrer que tout idéal non nul premier est maximal.4: Montrer que si A admet un nombre fini d’idéaux alors tout idéal premier de A est maximal.5: Montrer que dans un anneau fini tout idéal premier est maximal.6: On suppose que tout idéal de A est premier. Montrer que A est un corps.Exercice 42: Montrer que l’ensemble des nombres décimaux D = {x ∈ Q/∃n ∈ Z; 10nx ∈ Z} est un anneau principal.Exercice 43: Soit n ∈ N∗. Montrer que les idéaux de Z/nZ sont principaux. Z/nZ est-il principal ?Exercice 44: Montrer que tout idéal de l’anneau Z2 est principal. Z2 est-il principal ?Exercice 45: (L’anneau des entiers de Gauss) On pose Z[i] = {m+ in/m, n ∈ Z}.1: Montrer que (Z[i],+,×) est un anneau (L’anneau des entiers de Gauss).2: Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe n ∈ Z tel que | x− n |≤ 1

2 .3: Soit z ∈ C. Montrer qu’il existe u ∈ Z[i] tel que | z − u |< 1.4: Montrer que ∀a ∈ Z[i],∀b ∈ Z[i] \ {0},∃q ∈ Z[i],∃r ∈ Z[i] tels que a = bq + r et |r| < |b|.5: Montrer que Z[i] est principal.Exercice 46: On veut montrer que l’ensemble des nombres premiers est infni.Supposons par l’absurde qu’il est fini d’éléments p1, . . . , pk et soit n = p1 · · · pk. Montrer que ϕ(n) = 1 et conclure.Exercice 47: Trouver tous les entiers naturels tel que : 1)ϕ(n) = ϕ(2n) 2)ϕ(n) = n

2 3)ϕ(n) = n3 4)ϕ(n) = 25 5)ϕ(n) = 12

Exercice 48: Soient m,n ∈ N∗. Montrer que ϕ(mn) = (m ∧ n)ϕ(m ∨ n).

Exercice 49: Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Montrer quen∑

k=1k∧n=1

k =nϕ(n)

2.

Exercice 50: Une minoration de ϕ(n) : Soit n ∈ N tel que n ≥ 2 et on pose ω(n) le nombre des facteurs premiers de n.1: Montrer que ω(n) ≤ lnn

ln 2 .2: Montrer que n

ω(n)+1 ≤ ϕ(n).3: En déduire que n ln 2

lnn+ln 2 ≤ ϕ(n).Exercice 51: Soit n ∈ N composé tel que n ≥ 2. Montrer que ϕ(n) ≤ n−

√n.

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