8/6/2019 TD quations diffrentielles (sujet)
1/2
Term. S TD - Maths. 2010-2011
TD - QUATIONS DIFFRENTIELLES
I Exercices dapplication
Exercice I.1. Rsoudre les quations suivantes :
1) y 5y = 0 2) 3y 4y = 0 3) 2y + 3y = 0
Exercice I.2. Dterminer la solution de lquation diffrentielle
donne vrifiant les conditions donnes.
1) 2y 3y = 0 et y(0) = 9 2) 13y 2y = 0 et y(13) = e2 3) y = 2y +
5 et y(1) =
3
Exercice I.3. Dterminer la seule fonction f constante surR,
solution de f = 4f + 3.
Exercice I.4. Soit u la fonction dfinie sur [1 ; +
[ paru(x) =
e2x
1.
1. Montrer que u est drivable sur [1 ; +[ .2. Vrifier que u est
solution de lquation (E) : yy = 1 + y2.
Exercice I.5. On considre lquation diffrentielle (E) : y + 2y =
5 e5x.
1. Dterminer le rel k tel que la fonction g dfinie surR parg(x)
= k e5x soit solution de (E).2. On considre lquation diffrentielle
(E) : y + 2y = 0. Montrer quune fonction f est solution de
(E) si, et seulement si, la fonction h dfinie par h = f g est
solution de (E).3. Rsoudre lquation de (E).
4.
En dduire les solutions de lquation (E).
Exercice I.6. Dterminer les rels a et b tels que la fonction f :
x ax + b soit solution de lquationdiffrentielle (E) : y 2y = 5x
1.
Exercice I.7.
1. Rsoudre lquation diffrentielle (E) : y + y = 0.
2. Soit lquation diffrentielle (E) : y + y = ex. Vrifier que la
fonctionf dfinie surR parf(x) = (x + a) ex, o a R, est solution de
lquation (E).
3.
Dterminer le rel a tel que f(0) = 1.
II Exercices dentranement
Exercice II.1. Pour k rel positif ou nul, on considre la
fonction fk dfinie surR par :
fk(x) = x +1 k ex1 + k ex
1. Justifier quefk est solution de lquation diffrentielle (E) :
2y = (y x)2 + 1.2.
En dduire le sens de variations de la fonctionfk
.
2010 http://exos2math.free.fr/
http://exos2math.free.fr/http://exos2math.free.fr/
8/6/2019 TD quations diffrentielles (sujet)
2/2
Term. S TD - Maths. 2010-2011
Exercice II.2.
1. Vrifier que la fonction g dfinie par g(x) =2
5cos x +
1
5sin x est solution de lquation diffrentielle
(E) : y + 2y = cos x.2. Dmontrer quune fonction f est solution
de (E) si, et seulement si, f g est solution de lquation
diffrentielle (E) : y + 2y = 0.
3. Rsoudre (E).
Exercice II.3. On noteN(t) le nombre datomes dun corps
radioactif linstant t (en jours). La fonctionN est solution de
lquation diffrentielle :
N(t) = N(t), R+On note N0 le nombre datomes linstant t = 0
1. Dterminer N(t) en fonction de N0, et t.2. Soit T la priode de
ce corps radioactif, cest dire le temps au bout duquel le nombre
datomes a t
divis par deux. Montrer que eT = 2.
3. Dterminer la priode dun corps sachant que = 6, 66 105.
Exercice II.4. Un condensateur de capacit C est charg sous une
tension initiale de 20 volts. Il se dchargeensuite dans un rsistor
de rsistance R. La tension aux bornes du condensateur est une
fonction V dutemps, dfinie sur [0 ;+[. Cette fonction V est
solution sur [0 ;+[ de lquation diffrentielle (E) :
V(t) +1
RCV(t) = 0
1. Dterminer toutes les solutions de lquation diffrentielle
(E).2. Dterminer la fonction V grce aux conditions initiales.3.
On suppose que R = 1000 et C = 104
F.a. Montrer que, pour tout t [0 ;+[ , V(t) = 20 e10t.b.
Dterminer les valeurs de t telles que V(t) 0, 02.
4. Lintensit traversant le circuit est une fonction i du temps
dfinie sur [0 ;+[ par i(t) = CV(t).Dterminer i(t).
Exercice II.5.
1. a. Rsoudre lquation diffrentielle y 2y = 0, o y dsigne une
fonction drivable surR.b. On considre la fonction u dfinie par
:
u(x) = (ax + b) ex
o a et b sont deux rels. Dterminer a et b pour que u soit
solution de lquation diffrentielle :
y 2y = x ex
c. Montrer quune fonction v est solution de y 2y = 0 si, et
seulement si, u + v est solution delquationy 2y = x ex.
d. En dduire lensemble des solutions de y 2y = x ex.e. Dterminer
la solutionf qui sannule en 0.
2. a. tudier les limites de f en + et en.b. Montrer que f(x) =
ex k(x), o k(x) = 2 exx 2.c. tudier les variations de k.d. Montrer
que k sannule deux fois surR. On note la plus petite des deux
racines. Quelle est
lautre racine ? Donner un encadrement de .e. Donner les
variations de f.
2010 http://exos2math.free.fr/
http://exos2math.free.fr/http://exos2math.free.fr/
