T.D. Automatique n°1

Exercice n°1 : D’après Concours commun 96 des Mines de Nantes, Albi, Douai, Alès : Robot de Conditionnement

Le Robot de Conditionnement, est défini partiellement par les dessins ci-dessous.

1 - Modélisation du moteur chargé.

La modélisation de la commande en vitesse de l’ensemble mécanique est obtenue en utilisant les équations différentielles

suivantes, numérotées de 1 à 4 :

(1) u(t) = e(t) + R . i(t) + L . d i(t)

dt équation électrique de l’induit

(2) cm(t) - f . ω(t) = J . d ω(t)

dt équation mécanique sur l’arbre moteur

(3) cm(t) = Kt . i(t) équation donnant la constante de couple

(4) e(t) = Ke . ω(t) équation donnant la constante de f.e.m.

dans lesquelles : u(t) : tension aux bornes de l’induit e(t) : force électromotrice

Ke : constante de f.e.m. cm(t) : couple moteur

i(t) : courant dans l’induit Kt : constante de couple

ω(t) : vitesse angulaire de rotation du moteur

J : moment d’inertie équivalent de l’ensemble mécanique ramené sur l’arbre moteur

1.1 - Exprimer ces quatre équations différentielles dans le domaine de Laplace. On suppose toutes les conditions initiales

nulles. On adopte le principe de notation suivant : la transformée de Laplace d’une fonction du temps t écrite avec une lettre minuscule

est la fonction de p écrite avec la même lettre mais en majuscules.

1.2 - Sachant que f et L sont négligeables,

recopier le schéma fonctionnel ci-contre sur la copie en

indiquant la fonction de transfert de chaque bloc.

1.3 - Déterminer la fonction de transfert en boucle

fermée : H(p) = Ω(p)U(p) . Mettre H(p) sous forme canonique. Préciser l’ordre de H(p). Donner le nom et la valeur numérique, avec les

unités, des paramètres correspondant à cette forme canonique.

On donne : R = 1 ohm ; J = 1.2 10-4 kg.m2 ; Ke = 0.1 V.s / rd ; Kt = 0.1 N.m / A

U(p)

E(p)

I(p) CM(p) Ω(p)+

-

MP/MP* - Orsay - 2013/14

2 - Asservissement de position.

2.1 - Le système est matérialisé par le

schéma bloc ci-contre :

Ω(p) est la transformée de Laplace de la vitesse de rotation de l’arbre du moteur

ΩS(p) est la transformée de Laplace de la vitesse de rotation du bras du robot

θS(p) est la transformée de Laplace de la position angulaire du bras du robot

Recopier le schéma fonctionnel ci-dessous sur la copie en indiquant la fonction de transfert de chaque bloc.

2.2 - Soit le schéma fonctionnel à retour unitaire ci-dessous. Sa chaîne d’action est constitué d’un gain pur réglable Kr et de la

chaîne de la question 2.1.

θS(p) est la transformée de Laplace de la position angulaire réelle du bras du robot

θC(p) est la transformée de Laplace de la consigne de position angulaire du bras du robot

a - Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée : G(p) = θS(p)θC(p)

b - Mettre G(p) sous forme canonique et préciser son ordre.

c - Déterminer en fonction des données du problème les paramètres correspondant à cette forme canonique (Gain,

Pulsation propre ω0 , Coefficient d’amortissement ξ ).

2.3 - On veut déplacer le bras d’une valeur angulaire de consigne θC = 30 degrés par une excitation en échelon de position. Le

temps de réponse à 5% doit être minimal.

a - Calculer Kr. Faire l’application numérique. Quelle est la valeur de ce temps de réponse ?

b - Calculer la position réelle du bras en régime permanent, préciser le théorème utilisé.

c - Quelle est l’erreur statique ? Quel est le dépassement ?

d - On impose que le temps de réponse soit minimal, mais que le dépassement soit nul. Que devient alors la valeur de

ce temps de réponse. Comment a-t-il évolué par rapport à celui trouvé à la question 2.3.a ? Pourquoi ?

2.4 - Quelle est l’erreur de trainage correspondant à une consigne de vitesse Ω0 = 10 degrés/seconde ?

Exercice n°2 : Intérêt de la boucle fermée lors du vieillissement de composants.

On applique un échelon x(t) = U0.u(t) à un système du premier ordre de fonction de transfert G(p) = K

1 + τ . p ( K = 0.8 )

1 - Quelle est la réponse permanente y(∞) ?

2 - En raison du vieillissement, K diminue de 10%. De quelle proportion change y(∞) ?

On insère ce système du premier

ordre dans un système asservi représenté ci-

contre. La chaîne d’action est composée d’un

gain pur A et de G(p). Le retour est unitaire.

3 - Déterminer la fonction de transfert H(p) = Y(p)X(p)

4 - Déterminer la valeur à donner au gain A pour que H(p) ait le même gain que G(p).

5 - Dans ces conditions, quel est l’effet de la diminution de 10% de K, sur la valeur y(∞) de la réponse à x(t) = U0.u(t).

6 - Comparer à la question 2 et conclure.

U(p) Ω(p) ΩS(p) θS(p)

θC(p) U(p) θS(p)+

-Kr

X(p) V(p) Y(p)

+-

A G(p)

Exercice n°3 : Enregistreur graphique.

Un enregistreur graphique, sur la gamme 0 - 10 volts, est un système dont l’entrée est la tension à enregistrer (en volts)

et dont la sortie est le déplacement de la plume sur le papier (en cm). Son schéma fonctionnel est donné sur la figure ci-dessous.

On suppose que l’enregistreur est assimilable à un système du premier ordre de gain statique 2.5 cm/volt et de bande passante

(à -3 dB) 1,25 Hz.

1 - Quelle est la valeur de la pulsation de coupure ωc ?

2 - Donner la fonction de transfert G(p) = Y(p)X(p) de l’enregistreur.

3 - Le signal à enregistrer est un échelon de 4 volts.

a - Calculer y(t) le signal observé sur l’enregistrement

b - Dessiner la forme de ce signal y(t).

c - Au bout de combien de temps le signal y(t) représente-t-il le signal appliqué à 5% près ?

4 - Pour améliorer la qualité de l’enregistrement, on voudrait diviser par 2 le temps obtenu à la question précédente. Le gain

conservant la même valeur que précédemment. Quelle fonction de transfert H(p) d’un enregistreur répondrait à un tel cahier des

charges ?

5 - Pour améliorer l’enregistreur initial, on peut lui associer

un ensemble électronique de fonction de transfert C(p) comme sur la

figure ci-contre. Quelle relation y a-t-il entre H(p), C(p) et G(p) ? En

déduire la fonction de transfert C(p).

6 - Dessiner le diagramme de Bode de C(p), G(p) et H(p). On commencera par tracer le diagramme asymptotique puis on

calculera quelques valeurs exactes là où elles sont nettement différentes des valeurs asymptotiques.

7 - Le signal à enregistrer par l’enregistreur amélioré est un échelon de 4 volts.

a - Calculer v(t) et y(t).

b - Dessiner x(t), v(t) et y(t).

c - Comparer au résultat de la question 3.

d - Expliquer pourquoi la réponse de l’enregistreur corrigé est plus rapide que celle de l’enregistreur seul.

Exercice n°4 : Commande de l’orientation d’un satellite

Pour qu’un satellite géostationnaire puisse être alimenté

en énergie électrique, il faut que ses panneaux solaires soient

correctement orientés. Ceci suppose donc de pouvoir orienter

tout le satellite autour d’un axe de rotation. Ceci se fait par

réaction à l’émission de gaz par des petites fusées latérales.

Une commande recevant une tension envoie une tension

proportionnelle à la fusée qui va créer un couple c(t) sur le

satellite, le faisant tourner autour de son axe de rotation d’un angle θ(t). Le satellite étant dans le vide, on suppose qu’il n’est

soumis à aucune autre action mécanique. On appelle J son moment d’inertie en rotation autour de l’axe cité plus haut.

1 - Représenter le schéma fonctionnel de ce système de commande de satellite.

2 - Ecrire l’équation mécanique relative à la position angulaire de ce satellite ( dernier bloc du schéma précédent ).

3 - On suppose dans toute la suite les conditions initiales nulles. Quelle est la fonction de transfert Θ(p) / C(p) du satellite ?

4 - On suppose, le système étant au repos, que l’émission de gaz pendant un bref instant est assimilable à l’application d’un

Dirac c(t) = C0T0 δ(t). Quelle est l’évolution de θ(t) qui en résulte ? Peut on orienter d’un angle θ0 le satellite avec ce couple ?

X(p) Y(p)H(p)

X(p) Y(p)G(p)C(p)

V(p)

signal àenregistrer x(t)

signalenregistré y(t)

Enregistreur

θ(t)

c(t)

G

Le satellite étant incontrôlable, on lui adjoint un capteur de position de gain a (V/rd) et de constante de temps négligeable. La

fonction de transfert de l’actionneur se réduit à un gain A (N.m/V). Le signal ε(t) envoyé à la commande de l’actionneur est la

différence entre une tension de consigne vc(t) et la tension vr(t) délivrée par le capteur. Cette commande proportionnelle est de

gain k (V/V). Elle délivre une tension v(t).

5 - Représenter le schéma fonctionnel de ce système de commande de satellite.

6 - Quelle est la fonction de transfert H1(p) = Θ(p) / Vc(p) de ce système bouclé.

7 - Quelles sont les réponses θ(t) de ce système à des consignes vc(t) = V0T0 δ(t) et vc (t) = V0 u(t). Peut on orienter d’un

angle θ0 le satellite avec ces entrées ?

Pour stabiliser le satellite, on inclut une deuxième boucle (appelée correction tachymétrique) dans le système. Elle est réalisée

grâce à un capteur de fonction de transfert b.p , ( b en V.s/rd), qui délivre une tension vb(t). Celle ci est soustraite au signal délivré par

l’organe de commande de l’actionneur.

8 - Représenter le nouveau schéma fonctionnel de ce système de commande de satellite.

9 - Justifier le qualificatif ‘’tachymétrique’’ de cette nouvelle boucle.

10 - Déterminer la fonction de transfert H2(p) = Θ(p) / V(p) de cette boucle interne. En déduire la fonction de transfert

H3(p) = Θ(p) / Vc(p) de ce système.

11 - Comparer les fonctions de transfert H1(p) et H3(p). En quoi la réponse θ(t) à une entrée vc(t) = V0 u(t) est-elle modifiée

avec H3(p) par rapport à celle obtenue à la question 7 avec H1(p) ?

12 - En déduire la relation entre l’angle final obtenu θ0 et V0.

Exercice n°5

Un expérimentateur distrait a procédé à l’enregistrement de la réponse impulsionnelle de 11 systèmes du second ordre Si

caractérisés par les pôles de leurs fonctions de transfert.

Malheureusement, n’ayant pris soin de repérer les enregistrements au fur et à mesure des essais, il se trouve dans l’obligation

d’établir la correspondance entre pôles et réponses. Vous allez l’aider un peu.

1 - Donner la réponse impulsionnelle y(t), d’un système du second ordre, de gain K, de pulsation propre ω0, et de coefficient

d’amortissement ξ. tel que -1 < ξ < 1 ( entrée x(t) = A.δ(t) ).

2 - Sachant que l’expérimentateur distrait a toujours utilisé la même échelle de temps, mais pas forcément la même échelle

d’amplitude pour effectuer ses enregistrements, établir le tableau de correspondance entre les 11 réponses EVi représentées ci-dessous

et les 11 systèmes Si du second ordre dont les pôles sont donnés ci-dessous. (a et b sont des réels positifs et j2 = -1).

On justifiera les correspondances écrites par quelques phrases.

S1 : p1,2 = ± j b

S2 : p1,2 = - a ± 2 j b

S3 : p1,2 = a ± j b

S4 : p1,2 = - 2 a ± j b

S5 : p1,2 = - 2 a ± 2 j b

S6 : p1,2 = 0

S7 : p1,2 = ± 2 j b

S8 : p1,2 = - a ± j b

S9 : p1,2 = a ± 2 j b

S10 : p1,2 = 2 a ± j b

S11: p1,2 = 2 a ± 2 j b

Exercice n°6 : D’après concours X MP 2000

On désire montrer que l’asservissement décrit par le schéma bloc ci-dessous est insensible à un échelon de perturbation Z(p).

1 - Pour cela mettre Y(p) sous la forme Y(p) = H1(p) X(p) + H2(p) Z(p) où H1(p) et H2(p) sont deux fonctions de transfert

que l’on déterminera.

2 - Pourquoi la grandeur quantifiant l’erreur ne peut être ici, a priori, X(p) - Y(p) ?

3 - Former l’erreur E(p) = X(p) - Xr(p) dans le cas particulier (erreur en régulation) où X(p) = 0 et Z(p) = 1p .

4 - Vérifier que lim t→∞

e(t) = 0

5 - Parmi les différents blocs du schéma ci-dessus, quel est celui qui rend nulle cette erreur ?

Exercice n°7 : D’après concours X-ENSCachan 2005

Déterminer les expressions H1 , H2 , H3 et H4

fonctions des expressions K, A, B, C, D, E, F et G

réalisant l’équivalence entre le schéma blocs ci-dessus

et le schéma blocs ci-contre.

X(p) Y(p)

+-

+-

++

++

A

Z(p)

Dp

1p

R

Bp C

E

K1 + τ p

Xr(p) W(p)

V(p)

X(p) Y(p)

+-

+-

+-

++

K

Z(p)

G

A B

F

W(p)C+

-

E

D

X(p) Y(p)

+-

++

Z(p)

W(p)H1 H3

H4

H2

Exercice n°8 : Etude de l’asservissement en roulis d’une voiture de train pendulaire ( d’après concours Centrale-Supelec 2000 )

L’extension du réseau dédié aux TGV est actuellement revue à la baisse en raison des coûts élevés et des délicats problèmes

de l’impact de ces nouvelles voies ferrées sur l’environnement. Ainsi, la SNCF doit aujourd’hui adapter sa gamme de matériels à ces

nouveaux impératifs : construire moins de nouvelles lignes, mieux exploiter le réseau classique.

Pour valoriser le réseau classique il est nécessaire de relever la vitesse au-delà de

la barre des 160 km/h afin d’obtenir un gain de temps conséquent. Cependant pour assurer

le confort du passager lorsque le train aborde une courbe, il faut limiter la sensation

physique due à l’accélération centripète. L’effet de la courbe sur le passager peut être

compensé par le dévers de voie qui rehausse le rail extérieur relativement au rail intérieur.

Sur les voies dédiées spécifiquement aux trains à grande vitesse, les dévers sont

suffisants pour assurer le confort du passager. Ils correspondent aux rayons de courbe

pour la vitesse de circulation «maximale».

Le réseau classique admet un dévers insuffisant pour effacer les effets ressentis

par le voyageur dans un virage abordé à grande vitesse. Pour compenser cette

insuffisance, en plus du dévers de voie, il devient nécessaire d’incliner la caisse de la

voiture transportant le passager, c’est la pendulation.

En France la pendulation n’est pas une idée neuve. Elle commence avec la voiture prototype Chartet-Mauzin construite en

1956 et a accompagné les

débuts du TGV : le TGV 001 en

1970, puis le TGV 002

commandé mais resté à l’état de

maquette.

Très développés sur le

plan mécanique, ces systèmes

ont souffert du manque de

performance des automatismes.

Lancés trop tôt au

regard des techniques de

l’époque, les véhicules

pendulaires sont restés en

France à l’état de prototypes.

En revanche, l’Espagne

avec le Talgo pendulare et

l’Italie avec les ETR ont

continué à développer le

système pendulaire.

Pour le TGV pendulaire, la traverse de pendulation suspendue au bogie sera placée sous la suspension secondaire. Cette

solution, a été retenue parce qu’elle s’applique le mieux aux rames articulées : liaison intercaisse, suspension secondaire et

intercirculation restent identiques aux autres TGV ( voir Figure 2 ) .

Ces investissements ne présentent un intérêt que si le gain de temps est suffisant. Pour cela, les trains devront pouvoir

atteindre une vitesse de 220 km/h sur lignes classiques, ces lignes pouvant présenter des courbes d’un rayon de 1200 m.

Figure 1

Figure 2

Remarque actuelle : Compte tenu des coûts, certes moins importants que la création d’une ligne nouvelle pour TGV, mais tout de

même non négligeables, la SNCF et les régions ont finalement abandonné ce projet de trains pendulaire et, en 2011, seuls

circulent sur les rails français les trains pendulaires espagnols et italiens, le Talgo pendulare entre Paris et Madrid et l’ETR

entre Lyon et Turin ou Milan

Le système train +

voie peut être représenté par

le diagramme FAST donné

Figure 3.

Le système de pendulation

développé par GEC Alstom pour le

TGV consiste à relier la traverse

pendulaire supportant la caisse de la

voiture au châssis de chaque bogie

par l’intermédiaire de 2 biellettes L1

et L2 selon la Figure 4.

La biellette L1 peut avoir

un mouvement de rotation d’axe

(A,x1→

) par rapport au châssis du

bogie et un mouvement de rotation d’axe (B,x1→

) par rapport à la traverse pendulaire. De même pour la biellette L2 en C et D.

Un vérin, relié au châssis du bogie en E et à la traverse pendulaire en H, permet, en faisant varier la longueur du segment EH,

de piloter cette pendulation, ce qui est la caractéristique d’une pendulation active.

Les actionneurs utilisés dans les systèmes de pendulation active sont des vérins hydrauliques, pneumatiques ou

électromécaniques. L’étude suivante correspond à la solution du vérin hydraulique unique double effet piloté par une servo-valve.

Le but de l’étude est donc l’asservissement en position angulaire de l’ensemble traverse pendulaire, caisse de la voiture.

La consigne de position angulaire à obtenir est calculée à partir d’informations provenant de capteurs (accéléromètres…)

implantés sur les différentes voitures du train. La gestion de ces informations n’est pas abordée dans l’étude proposée. Le modèle

retenu correspond à l’étude préliminaire du système qui devra être réalisée sur un banc d’essai fixe.

On montre par une étude cinématique que le mouvement de la traverse pendulaire ainsi crée est un mouvement de rotation

d’axe (I,x1→

) où I est le point intersection des droites AB et CD.

Ceci permet donc de représenter le système selon la Figure 5.

- La charge à déplacer est la caisse de la voiture pendulée qui est modélisée par un solide (C).

- La servo-valve est un organe commandé par un courant i(t) et permettant d’obtenir un débit d’huile q(t) proportionnel

au courant d’alimentation. Ce débit q(t) correspond à l’alimentation d’un vérin double effet (actionneur du système).

- Le vérin développe une force F(t) qui va permettre de mettre en rotation la charge (C).

FP : Assurer le confortdes passagers

FT1 : Limiter la sensationphysique due àl’accélération transversale

FT11 : Incliner la voiture parrapport au bogie

FT12 : Incliner le bogie parrapport à l’horizontale

FT2 : Filtrer lesirrégularités de la voie

FT21 : Amortir et diminuerles amplitudes desmouvements du bogie parrapport au galiléen lié au sol

FT22 : Amortir et diminuerles amplitudes desmouvements de la caisse parrapport au bogie

Système dependulation

Dévers dela voie

Suspensionprimaire

Suspensionsecondaire

Figure 3

Figure 4

- Un capteur de position permet de connaître la position

y(t) de la tige du vérin par rapport au corps de vérin.

- Un correcteur permet d’élaborer une tension de

commande u(t) qui, via un convertisseur tension-

courant, génère le courant i(t) qui alimente la servo-

valve.

On notera :

y(t) la position de la tige du vérin

α2(t) la position angulaire du solide (C)

( pour y(t) = 0 et α2(t) = 0 , on a IH ⊥ EH )

On pose IH = R

Hypothèse : y(t) et α2(t) étant petits, on considère que y(t) = R α2(t)

L’étude en position angulaire du solide (C) est donc équivalente à celle en translation du vérin

Q1 - Donner le schéma bloc permettant de décrire le dispositif d’asservissement de la position y(t) de la tige de vérin à la position

de consigne yC(t) . Pour cette question, l’huile circulant dans le vérin pourra être assimilée à un fluide incompressible ou

compressible. Préciser uniquement les noms des composants de chaque bloc ainsi que les grandeurs physiques intermédiaires et leurs

unités. α2(t) et R n’interviennent pas à ce niveau.

La modélisation du comportement du vérin et de sa charge sera menée à partir des éléments suivants.

- Le débit q(t) délivré par la servo-valve et entrant dans le vérin est relié à la pression σ(t) existant dans le vérin

par la relation q(t) = 2 S d y(t)

dt + V0

b d σ(t)

dt

σ(t) : pression utile dans le vérin V0 : demi volume du vérinS : section du vérin

b : compressibilité de l’huile y(t) : position de la tige du vérin

- La charge est constituée du solide (C) qui admet J comme moment d’inertie par rapport à l’axe (I,x1→

)

- Le moment de rappel appliqué à (C) sera modélisée par un couple de moment - µ α2(t) x→

Le mouvement α2(t) du solide (C) est donc déterminé par la relation J d2 α2(t)

dt2 = F(t) R - µ α2(t)

On note V(p) = L( v(t) ) la transformée de Laplace de v(t) = d y(t)

dt

Γ(t) = L( d v(t)

dt ) la transformée de Laplace de d v(t)

dt

Q(p) = L( q(t) ) la transformée de Laplace de q(t)

Σ(p) = L( σ(t) ) la transformée de Laplace de σ(t)

F(p) = L( f(t) ) la transformée de Laplace de f(t)

Q2 - Reproduire et compléter le schéma bloc de la Figure 6 représentant les équations de comportement du vérin. Ce schéma

admet Q(p) comme entrée et Y(p) comme sortie. ( Préciser la fonction de transfert de chaque bloc ainsi que les signes des entrées des

comparateurs ) .

Figure 5

Figure 6

On notera k = µR2 et M =

JR2

Q(p) Y(p)Σ(p) Γ(p) V(p)F(p)1p

Q3 - Déterminer la fonction de transfert entre la position de la tige du vérin et le débit d’huile entrant dans le vérin, H1(p) = Y(p)Q(p) , en

fonction des paramètres b , V0 , S , M , k et la variable de Laplace p .

Q4 - Discuter de la stabilité du système ainsi créé, c’est à dire de l’aptitude du système à répondre à un échelon q(t) = q0 u(t) par une

position y(t) bornée et monotone ou oscillatoire amortie.

Le contrôle de l’amortissement du vérin peut être abordé en mettant en œuvre une des deux solutions suivantes :

• Première solution Un débit de fuite réglable est créé entre les deux chambres du vérin. Le débit réel utile entrant dans le

vérin est alors q(t) - λ σ(t) ( avec q(t) débit sortant de la servo-valve ) .

Q5 - Indiquer la modification à apporter au schéma bloc demandé à la question Q2 ( Porter, dans une couleur différente, cette

modification sur le schéma que vous avez tracé pour répondre à la question Q2 ) .

Q6 - Déterminer la nouvelle fonction de transfert H2(p) = Y(p)Q(p)

On montre avec des outils de deuxième année que ce système est stable.

Q7 - Quelle est la réponse permanente y(∞) pour une entrée q(t) = q0 u(t) ?

Q8 - Quelle est l’inconvénient majeur de devoir envoyer un débit constant pour avoir une position constante ?

En conséquence on envisage une autre solution.

• Deuxième solution On envisage une architecture composée d’une boucle de vitesse et d’une boucle de position. Le

système peut alors se ramener au schéma bloc de la Figure 7.

Le bloc entre Q(p) et V(p) correspond à ce qui avait été trouvé avant l’application de la première solution de modification.

On retient une correction proportionnelle C(p) = γ .

Figure 8

Figure 7

YC(p) Y(p)

+-

U(p) Q(p)

V(p)

VC(p)50 C’(p) +

- 1p

δ

1 + p2

β2

h

1 + τ p

C(p) G

n

AI(p)

Q9 - Montrer que la boucle interne de fonction de transfert H3(p) est équivalente à un système du second ordre dont on donnera les

caractéristiques.

On retient : A.G = 1

300 m3/(s.V) n = 10 V/(m/s) δ = 28,1 m-2 β = 77 rad/s

Q10 - En utilisant les abaques de la Figure 8 déterminer γ et τ pour assurer , lors d’un échelon vc(t) = v0 u(t) , un dépassement

de 10% et un temps de réponse à 5% de 0,017 s.

Les abaques correspondent à un système du second ordre décrit par sa fonction de transfert : H(p) = 1

1 + 2 ξω0

p + p2

ω02

Un ensemble servo-valve et

vérin associé à une structure de

correction interne a été retenu.

L’architecture est représentée par la

Figure 9.

La position y(t) de la tige de vérin est

mesurée par un capteur de gain h = 50 V/m

Des considérations de stabilité conduisent à

adopter une correction proportionnelle C’(p) = ν

avec ν = 22

Q11 - Identifier la forme de la fonction de transfert

H4(p) représentée par le diagramme de Bode donné

Figure 10 . Donner la valeur numérique des

coefficients caractéristiques de cette fonction.

Q12 - Déterminer l’erreur de position εpos résultant

d’un échelon de position yC(t) = y0 u(t) avec

y0 = 0,1 m

Q13 - Déterminer littéralement et numériquement

l’erreur de traînage εtr résultant d’une rampe de

position yC(t) = v0 t u(t) avec v0 = 0,1 m/s

Figure 10

Figure 9

YC(p) Y(p)+

-50

1p

h

H4(p)C’(p)